8.2.7
Vzorce pro geometrickou posloupnost
Předpoklady: 8202, 8206
Př. 1:
Pro geometrickou posloupnost platí a5 =
1 ; q = 2 . Urči člen a9 , aniž bys určoval 2
a1 . Mohli bychom pomocí vzorce pro n-tý člen určit člen a1 a pak pomocí stejného vzorce určit i
a9 . Tento postup je složitější a zakazuje ho zadání příkladu. Zkusíme to jinak: Abych se od členu a5 dostal ke členu a9 musím čtyřikrát ( 9 − 5 = 4 ) násobit kvocientem ⇒ 1 a9 = a5 ⋅ q ⋅ q ⋅ q ⋅ q = a5 ⋅ q 4 = ⋅ 24 = 23 = 8 2 Člen a9 se rovná 8. Př. 2:
V geometrické posloupnosti s kvocientem q vypočítej hodnotu členu as , pokud znáš hodnotu ar .
Stejný příklad jako předchozí, pouze počítáme obecně. Člen ar násobíme kvocientem q a to ( s − r ) krát ⇒ as = ar ⋅ q s − r . Vzorec funguje i pro výpočet předchozího členu. Dosadíme hodnoty z příkladu 1: 1 d = 2 , a9 = 8 , počítáme člen a5 = a9 ⋅ q 5−9 = 8 ⋅ 2−4 = . 2 V geometrické posloupnosti ( an )n =1 s kvocientem q platí pro všechna r , s ∈ N ∞
a s = ar ⋅ q s − r . Vzorec je možné snadno interpretovat slovně: určitý člen v posloupnosti vypočteme z libovolného předchozího (následujícího) tak, že ho vynásobíme (vydělíme) kvocientem tolikrát, o kolik je jeho index větší (menší).
Dodatek: Vzorec as = ar ⋅ q s − r je také velmi podobný vzorci as = ar + ( s − r ) d pro aritmetickou posloupnost. Př. 3:
(BONUS) Dokaž pomocí vzorce pro n-tý člen geometrické posloupnosti platnost vzorce as = ar ⋅ q s − r .
Pro členy posloupnosti ve vzorci platí: ar = a1 ⋅ q r −1 , as = a1 ⋅ q s −1 . Rovnice vydělíme:
as a1 q s −1 = ⋅ ar a1 q r −1
1
as s −1− r −1 =q ( ) ar a s = ar ⋅ q s − r Předchozí postup je pochopitelný, ale také lehce napadnutelný. Při jeho použití dělíme a museli bychom tedy zajistit, aby všechna čísla v první rovnici byla nenulová. Většinou se proto používá jiný postup: as = a1 ⋅ q s −1 . Určitě platí: s − 1 = s − r + r − 1 . as = a1 ⋅ q s − r + r −1 = a1 ⋅ q s − r ⋅ q r −1 = ( a1 ⋅ q r −1 ) ⋅ q s − r = ar ⋅ q s − r
Dodatek: Podobně jako u aritmetické posloupnosti i teď platí, že nám už známý vzorec pro n-tý člen geometrické posloupnosti není nic jiného než speciální případ vzorce as = ar ⋅ q s − r , kdy dosadíme s = n a r = 1 . Př. 4:
V geometrické posloupnosti ( an )n =1 jsou dány členy a5 = ∞
5 , a10 = 80 . Urči q, a1 a 2
a8 . Dosadíme do vztahu mezi ar a as : as = ar ⋅ q s − r . a10 = a5 ⋅ q10 −5 5 80 = ⋅ q 5 / : 5 2 q5 16 = 2 q 5 = 32 ⇒ q = 2 Teď určíme a1 : an = a1 ⋅ q n −1 ⇒ a5 = a1 ⋅ q 5−1 5 = a1 ⋅ 24 2 5 5 a1 = 5 = 2 32 Teď už snadno dopočítáme libovolný člen posloupnosti, známe vzorec pro n-tý člen: 5 8−1 5 ⋅ 27 n −1 an = a1 ⋅ q ⇒ a8 = ⋅ 2 = 5 = 5 ⋅ 4 = 20 . 32 2 5 Pro zadanou posloupnost platí: q = 2 , a1 = , a8 = 20 . 32
Pedagogická poznámka: V předchozím příkladu někteří zoufalci už zase mají problémy rozlišit an a n. Dodatek: Vzorec nevyžaduje, abychom do něj dosazovali za s větší číslo než za r. Například předchozí příklad můžeme počítat i takto: as = ar + ( s − r ) d a5 = a10 ⋅ q 5−10
2
5 = 80 ⋅ q −5 2 q 5 = 32 ⇒ q = 2 . V geometrické posloupnosti ( an )n =1 jsou dány členy a4 = 1 , a9 = 9 3 . Urči q, a1 a ∞
Př. 5:
a6 . Dosadíme do vztahu mezi ar a as : as = ar ⋅ q s − r a9 = a4 ⋅ q 9− 4
9 3 = 1⋅ q 5 32 3 = q 5 1
1 5 5 q = 5 32 3 = 3 3 = 3 2 = 3 2 = 3 Teď určíme a1 : an = a1 ⋅ q n −1 ⇒ a4 = a1 ⋅ q 4 −1 5
1 = a1 ⋅ a1 =
( 3)
1 2 2
3
1
33 Teď už snadno dopočítáme libovolný člen posloupnosti, známe vzorec pro n-tý člen: an = a1 ⋅ q n −1 ⇒ a6 =
1 3
⋅ 3
6 −1
3
=
35 3
= 32 = 3 .
3
Pro zadanou posloupnost platí: q = 3 , a1 =
1 33
, a6 = 3 .
Podobně jako u aritmetické i u geometrické posloupnosti dokážeme vzorcem sečíst prvních n členů. Pro součet sn prvních n členů geometrické posloupnosti ( an )n =1 , tedy pro ∞
a1 + a2 + ... + an − 2 + an −1 + an platí:
a) je-li q = 1 sn = n ⋅ a1 , b) je-li q ≠ 1 sn = a1
qn −1 . q −1
Uvedené vzorce nejsou na rozdíl od ostatních moc podobné vzorci pro aritmetickou posloupnost. Ani se k nim neváže žádná historka. Jejich důkaz však není obtížný. Dokážeme: a) Je-li q = 1 sn = n ⋅ a1 . Je-li q = 1 pak pro všechny členy posloupnosti platí: an = an −1 = .... = a2 = a1 ⇒ sčítáme n-krát stejnou hodnotu a1 ⇒ sn = a1 + a1 + ... + a1 = na1 . n − krát
3
qn −1 . q −1 Napíšeme si součet řady: sn = a1 + a2 + ... + an −1 + an .
b) Je-li q ≠ 1 sn = a1
Všechny členy v řadě vyjádříme vzorcem pro n-tý člen: sn = a1 + a1q + ... + a1q n − 2 + a1q n −1 . q ⋅ sn = a1q + a1q 2 + ... + a1q n −1 + a1q n
Předchozí rovnost si vynásobíme kvocientem q: Teď od sebe předchozí dvě rovnice odečteme:
q ⋅ sn = a1q + a1q 2 + ... + a1q n −1 + a1q n sn = a1 + a1q + ... + a1q n − 2 + a1q n −1
.
q ⋅ sn − sn = − a1 + a1q − a1q + a1q 2 − a1q 2 + ... + a1q n −1 − a1q n −1 + a1q n
sn ( q − 1) = a1q − a1 n
sn =
a1 ( q n − 1)
( q − 1)
Př. 6:
= a1
0
/ : ( q − 1)
0
0
qn −1 q −1
BONUS: Dokaž vzorec pro součet geometrické posloupnosti pro q ≠ 1 matematickou indukcí.
Dokazujeme větu: Pro součet sn prvních n členů geometrické posloupnosti ( an )n =1 , tedy pro ∞
a1 + a2 + ... + an − 2 + an −1 + an platí: je-li q ≠ 1 sn = a1
qn −1 . q −1
1. Ověříme vztah pro n = 1 Sčítáme jediné číslo a1 = s1 .
qn −1 q1 − 1 = a1 = a1 ⋅1 = a1 . q −1 q −1 2. Předpokládáme platnost vztahu pro n = k a dokazujeme platnost pro n = k + 1 : k Víme, že platí: sk = ( a1 + ak ) = a1 + a2 + ... + ak . 2 q k +1 − 1 Chceme dokázat, že platí: sk +1 = a1 . q −1 sk +1 je součet členů posloupnosti: sk +1 = a1 + a2 + ... + ak + ak +1 . Dosadíme do vzorce: sn = a1
qk −1 = a1 + a2 + ... + ak ⇒ sk +1 = sk + ak +1 . Použijeme vzorec sk = a1 q −1 qk −1 + ak +1 , vzorec pro sk +1 , který potřebujeme q −1 ⇒ tento člen musíme vyjádřit pomocí a1 a q ⇒ ak +1 = a1q k −1+1 = a1q k .
Napíšeme vztah: sk +1 = sk + ak +1 = a1 neobsahuje ak +1
sk +1 = a1
q k − 1 q k ( q − 1) qk −1 k qk −1 + a1q k = a1 + q = a1 + = q −1 q − 1 q − 1 q −1
q k − 1 + q k +1 − q k sk +1 = a1 q −1
q k +1 − 1 = a 1 q −1
Hotovo.
4
Př. 7:
Urči součet: a) prvních osmi členů geometrické řady a1 = 2 q = 3 , b) prvních osmi členů geometrické řady a1 = 2 q = −2 , c) všech nezáporných celočíselných mocnin dvou menších než 100. Součet určený v bodu c) vzorce zkontroluj pomocí kalkulačky.
a) součet prvních osmi členů geometrické řady a1 = 2 q = 3 Jenom dosadíme do vzorce: sn = a1
qn −1 . q −1
(
)
8 3 −1 34 − 1 81 − 1 160 3 + 1 160 3 + 1 s8 = 2 ⋅ = 2⋅ =2 = ⋅ = = 80 3 −1 3 −1 3 −1 3 −1 3 −1 3 + 1
(
)
3 +1
b) součet prvních osmi členů geometrické řady a1 = 2 q = −2 Jenom dosadíme do vzorce: sn = a1
qn −1 . q −1
( −2 ) − 1 = 2 ⋅ 256 − 1 = −2 255 = −2 ⋅ 85 = −170 s8 = 2 ⋅ −3 3 ( −2 ) − 1 8
c) všech mocnin dvou menších než 100 Největší mocnina dvou menší než 100 je 64 = 26 . Určujeme tedy součet: 1 + 2 + 4 + .. + 64 . Jde o geometrickou posloupnost: a1 = 1 , q = 2 , chceme s7 (64 je sedmý člen).
qn −1 q −1 7 2 − 1 128 − 1 s7 = 1 = = 127 2 −1 1 Součet všech mocnin dvou menších než 100 je 127. Kalkulačka potvrdí náš výpočet. sn = a1
Př. 8:
Je možné, aby součet prvních n členů geometrické posloupnosti, jejíž žádný člen není roven nule, byl nulový? Pokud ano, za jakých podmínek?
Takovou posloupností může být například posloupnost: −1;1; − 1;1; − 1;1;... Její součet je: −1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... ⇒ pokud je v součtu sudý počet členů, je součet nulový. Podmínku ze zadání splňuje každá geometrická posloupnost: a1 ; q = −1 , pokud sčítáme sudý počet členů (tedy pokud platí n = 2k ).
5
Př. 9:
Urči číslo x tak, aby čísla a1 = 1 , a2 = 2 x , a3 = 7 ⋅ 2 x − 10 tvořila tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Urči tuto posloupnost.
Pro po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti musí platit: an +1 = an ⋅ q . Protože všechna a zadaná čísla jsou různá od nuly můžeme psát i q = n +1 . an a2 a3 2 x 7 ⋅ 2 x − 10 Dosadíme: q = = ⇒ = /⋅ 2 x . x a1 a2 1 2
Získali jsme exponenciální rovnici: ( 2 x ) = 7 ⋅ 2 x − 10 . 2
(2 )
x 2
− 7 ⋅ 2 x + 10 = 0 , provedeme substituci y = 2 x .
y 2 − 7 y + 10 = 0
( y − 2 )( y − 5) = 0 2x 2 = =2 1 1 Jde o geometrickou posloupnost: a1 = 1 , q = 2 ⇒ 1, 2, 4, 8, 16, … y1 = 2 ⇒ 2 x = 2 ⇒ x = 1 , q =
2x 5 = =5 1 1 Jde o geometrickou posloupnost: a1 = 1 , q = 5 ⇒ 1, 5, 25, 125, 625, … y2 = 5 ⇒ 2 x = 5 ⇒ x = log 2 5 , q =
Př. 10: Petáková: strana 67/cvičení 14 strana 68/cvičení 16 a) strana 68/cvičení 18
Shrnutí: Pro členy geometrické posloupnosti platí podobné vzorce jako pro členy aritmetické posloupnosti.
6
