Aritmetická a geometrická posloupnost, definice, vlastnosti, vzorce, užití. ARITMETICKÁ POSLOUPNOST 1. Posloupnost je dána n-týn členem. Určete druh posloupnosti, d, q: 2 − 5n a) a n = 4 n 2−n b) an = 2 .3 n c) an = n +1
AP; d = -5/4 GP; q = 2/3 není AP ani GP
2. Je dána aritmetická posloupnost, doplňte chybějící údaje: a) a1 = 2, an = 18, sn = 330: n, d, a5, s10 =? a5 = 4; d = 0,5; n = 33 ; s10 = 42,5 b) a1 = 0, n = 11, an = 5: d, sn, s20 = ? d = 0,5; sn = 27,5; s20 = 95 c) a1 = 3, d = –0,5, sn = 0:n,an, s30, a18 =? an = -3; n = 13 ; s30 = -127,5; a18 = -5,5 d) a50 = 6; d = 0,04; n = 100: a1, a100, s100 = ? a1 = 4,04; a100 = 8; s100 = 602 e) a2 = –20, a3 = 10: a1, a4= ? a1 = -50; a4 = 40 3. Určete aritmetickou posloupnost (a1,d), ve které platí: 2 a a) 2 = ; a3 + a7 = 46 . Kolik členů dá součet 1575? a1 = 3; d = 5; n = 25 a6 7 a1 = -2,5; d = 2 b) a1 + a4 = 1; a2 – a6 = –8 c) součet prvních tří členů je 60 a součin stejných členů je 7500 a1 = 15; d = 5 nebo a1 = 25; d = -5 4. První dva členy aritmetické posloupnosti jsou a1 = 57; a2 = 54. a) Vypočtěte padesátý člen posloupnosti. -90 -825 b) Vypočtěte součet prvních padesáti členů posloupnosti. c) Kolik prvních členů posloupnosti je třeba sečíst, aby byl součet co největší?19(20) 5. Největší záporný člen aritmetické posloupnosti, jejímž prvním členem je číslo 100 a třetím členem číslo 76, je a) –2 b) –6 c) –10 d) jiné záporné číslo d 5. Aritmetická posloupnost obsahuje 50 členů, první tři jsou –140; –132; –124 a poslední tři 236; 244; 252. a) určete dvacátý člen 12 b) určete součet všech 50 členů 2800 c) kolikátým členem posloupnosti je číslo 100 31 7. Mezi kořeny kvadratické rovnice x2 – 2x – 120 = 0 vložte 10 čísel tak, aby spolu s kořeny vzniklo 12 členů aritmetické posloupnosti. Určete a1, d. a1 = 12; d = -2 nebo a1 = -10; d = 2; čísla: 10,8,6,4,2,0,-2,-4,-6,-8 8. Strany pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Obvod trojúhelníka je 96cm. Určete strany trojúhelníka.
24; 32; 40
9. Za dobrý prospěch dal otec synovi počátkem školního roku 20kč s tím, že mu je bude v průběhu následujících 11měsíců zvětšovat: a)po měsíci vždy o 4kč nebo b) po půl měsíci vždy o 1kč. Která možnost je pro syna výhodnější a o kolik? b o 209Kč 10. Vypočtete vnitřní úhly šestiúhelníku, tvoří-li aritmetickou posloupnost a nejmenší úhel je 70°. 70°°; 90°°; 110°°; 130°°; 150°°; 170°°
11. a) O kolik je součet prvních 100 přirozených sudých čísel větší než součet prvních 100 přirozených lichých čísel? o 100 b) Určete součet prvních 150 přirozených čísel dělitelných 3. 33 975 c) Určete součet všech přirozených trojciferných čísel. 494 550 d) Určete součet všech přirozených čísel dělitelných 5, která jsou menší než 5000. 2 497 500 12. Určete reálné číslo x tak, aby a1,a2,a3 byly 3 po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti: a1 = x2 + x, a2 = x2 + 4x + 4, a3 = 16. x1 = 1; x2 = -8 13. Plechovky jsou narovnány v deseti řadách nad sebou. Každá vyšší řada má o jednu plechovku méně. Ve spodní řadě je 24 plechovek. Kolik je všech plechovek? 195 14. 200 kostek je narovnáno v řadách nad sebou. Každá vyšší řada má o jednu kostku méně. Horní řada má 1 kostku. Z kolika kostek se skládá spodní nejdelší řada a kolik kostek je nevyužito? 19 kostek, 10kostek 15. V soutěži byly za prvních 6 míst vyplaceny odměny v celkové hodnotě 2 400 Kč. Nejvyšší odměna byla za první místo, za další umístění se odměny postupně snižovaly vždy o stejnou částku. Které tvrzení je pravdivé? a) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je roven 800,– Kč. b) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je roven 1 200,– Kč. c) Součet částek pouze za 1. a 6. místo je větší než 1 200,– Kč. d) Součet částek pouze za 1. a 6. místo nelze jednoznačně určit. a 16. Spirálu tvoří 15 půlkružnic. Délka první půlkružnice je a1 = 22dm a každá následující je o 22dm delší. a) určete délku třetí půlkružnice 66dm b) určete délku celé spirály (na obrázku je pouze její část) 264m c) poslední půlkružnice měří 33m. Určete její průměr v metrech. 21m
17. Součet dvanácti po sobě jdoucích sudých čísel je 396. Určete pravdivost tvrzení: a) Daná čísla tvoří geometrickou posloupnost. b) Největší číslo je dvojnásobkem nejmenšího. c) Rozdíl největšího a nejmenšího je 24. d) Sedmé nejmenší číslo je 34.
ne ano ne ano
18. Aby součet všech přirozených čísel od jedné do n přesáhl 1 000 000, musí být n rovno alespoň: a) 1 000 b) 1 202 c) 1 414 d) 1 828 c 19. Posloupnost tvoří sedmnáct po sobě jdoucích přirozených lichých čísel seřazených vzestupně od nejmenšího k největšímu. Prostřední člen a9 je číslo 23.Určete pravdivost tvrzení: 1. Rozdíl mezi dvěma sousedními členy je 1. ne 2. a12 = 29 ano 3. Všechny členy jsou větší než 5. ano 4. Součet čtyř nejmenších členů je 40. ano
GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST 1. Určete, zda čtveřice čísel tvoří geometrickou posloupnost: a) 4; 2; –2; –4 b) 1; 4; 16; 64 c) 8; –4; 2; –1 d) 0; 4; 8; 12
ne ano ano ne
2. Je dána geometrická posloupnost,určete zbývající údaje: n = 8; s8 = 12240 a) a1 = 6144, an = 48, q = 0,5: n,sn = ? b) an = 96, q = 2, sn = 189: n, a1 =? n = 6; a1 = 3 c) a4 = 4,a8 = 16: a1, q, s8 =? a1 = q = √2; s8 = 30 + 15√ √2 d) a2 = -10, a3 = 20: a1, a4= ? a1 = 5; a4 = -40 3 e) q = ; a54=54: a51; a55 = ? a51=16, a55=81 2 3. Určete geometrickou posloupnost (a1,q), ve které platí: a) a2 + a3 = 60 a1 + a4 = 252 a1 = 2; q = 5 nebo a1 = 250; q = 1/5 a2 + a3 = 10 a1 =1/9; q = 9 nebo a1 = 81; q = 1/9 b) a2⋅a3 = 9 c) a8 – a4 = 360 a7 – a5 = 144 a1 = 3; q = 2 nebo a1 = -3072; q = 1/2 d) a8 : a2 = 64; určete a7 : a3 16 4. V geometrické posloupnosti s kvocientem q platí: an = 210-2n. Rozhodněte o pravdivosti tvrzení: a5 = 0 (ne) a6 = q (ano) 5. Kvádr, jehož délky stran tvoří geometrickou posloupnost, má povrch P = 78cm2 a součet délek hran z 1 vrcholu je 13cm. Vypočtete objem kvádru. 27cm3 6. Mezi čísla 16 a 81 vložte tolik čísel, aby s danými čísly tvořila geometrickou posloupnost a platilo: a) celkový součet zadaných a vložených čísel je 211 q = 1,5; čísla: 24, 36, 54 q = -1,5; čísla: -24, 36, -54 b) součet vložených čísel je –42 1 byly 3 po sobě jdoucí členy geometrické cos x posloupnosti. Určete kvocient vzniklé posloupnosti. x = 45°°+k180°°; q = √2
7. Určete úhel x tak, aby sin x, tgx,
8. Přičteme-li k číslům –6,2,26 reálné číslo x, dostaneme první 3 členy geometrické x = 10; a1 = 4; q = 3 posloupnosti. Určete x, první člen a kvocient této posloupnosti. 9. Pan Novák uložil do banky 50000kč. Vklad je úročen 8% ročně. Určete: a) kolik bude mít na účtu za rok (daň z úroků se neuvažuje) b) kolik bude mít na účtu za rok, bude-li odečtena daň z úroků 15% c) kolik bude mít na účtu za 4 roky (daň z úroků se neuvažuje) d) kolik bude mít na účtu za 4 roky, je-li daň z úroků 15%.
54 000Kč 53 400Kč 68 024,40Kč 65 051,20Kč
10. Město má 10000 obyvatel. Ročně přibývá 2%. a) kolik obyvatel bude mít za 3 roky? b) za kolik let bude ve městě 12 000 obyvatel?
10 612 9,2 roků
11. Za jakou dobu klesne hodnota stroje na polovinu původní ceny, jestliže každoročně odepisujeme 5% z ceny předchozího roku?
14 roků
12. Během 5-ti let se má zvýšit výroba o 32%. Jak velký musí být roční přírůstek v %? 5,71% 13. Při které procentové míře vzroste vklad vložený do banky za 11 let o 25%, pokud nepočítáme daň z úroků? 2,05% Jaká by musela být procentová míra, pokud bychom počítali s 15% daní? 2, 41% 14. Firma zvyšovala za posledních pět let výrobu každý rok o 10 % proti předcházejícímu roku. O kolik procent firma zvýšila výrobu za posledních pět let? Výsledek zaokrouhlete na celá procenta. 61% 15. V rámci úsporných opatření rozhodlo vedení podniku, že na konci každého čtvrtletí klesne počet zaměstnanců podniku o 7 % oproti stavu na počátku čtvrtletí. O kolik procent klesne počet zaměstnanců od začátku roku k počátku ledna roku následujícího? Zaokrouhlete na celá procenta. b a) 22 b) 25 c) 27 d) 30 16. Pořizovací cena přístroje je 200 000Kč. Po uplynutí každého roku se hodnota přístroje snižuje o čtvrtinu hodnoty z předcházejícího roku. Klesne-li hodnota pod 30% pořizovací ceny, je možné vyměnit přístroj na konci roku za nový. Po kolika letech je možné přístroj vyměnit za nový? A) po 3 letech B) po 4 letech C) po 5 letech C D) po 6 letech E) po 7 letech nebo později 17. V Kocourkově se příjmy každým rokem zvýší o 50% oproti příjmům z předchozího roku. Během každého dvouletého období však peníze ztratí polovinu své hodnoty. Jak se změní hodnota příjmů po uplynutí 10 let? A) zvýší se o více než 200% B) zvýší se asi o 80% C) nezmění se D) sníží se asi o 69% E) sníží se asi o 94% B 18. V oblasti se během dvou let počet obyvatel zvýšil z 24 500 na 26 509. V obou letech byl zaznamenán stejný procentuální přírůstek oproti předchozímu roku (meziroční procentuální přírůstek). Jaký meziroční přírůstek byl zaznamenán? A) méně než 4,0 % B) přibližně o 4,0 % C) přibližně o 4,1 % D) přibližně o 4,2 % E) více než o 4,2 % B
FINANČNÍ MATEMATIKA ŘEŠENÁ PROCENTY 1. Martin si půjčil částku 42 000 korun. Na konci každého úrokovacího období splatil 6 000 korun. Po pěti splátkách se dlužná částka snížila na 20 000 korun. Kolik procent z dosud zaplacených peněz šlo na platbu úroků? A) téměř 24 % B) téměř 27 % C) 30 % D) asi 33 % E) jiný počet B 2. Zdeněk si potřebuje půjčit částku 15 000Kč. Dohodne se s věřitelem, že mu dluh splatí během roku v pěti pravidelných splátkách po 3 000Kč. Ke každé splátce má navíc připlatit 5% aktuálního dluhu. (Tedy při první splátce je to 5% z 15 000Kč, při poslední už jen 5% ze 3 000Kč.) Kolik korun celkem připlatí Zdeněk k dlužné částce? A) 2 070Kč B) 2 250Kč C) 2 750Kč D) 3 750Kč E) jinou částku B 3. Eva uloží 450 000Kč na roční termínovaný vklad s roční úrokovou mírou 3%. Z úroků zaplatí 15% daň. Kolik korun bude z tohoto termínovaného vkladu odvedeno na daních? A) 13 500Kč B) 2 250Kč C) 2 025Kč D) 1 000Kč E) jiná částka C 4. Manželé Kvapilovi chtějí uložit 1,8miliónu na rok do banky a pak je rozdělit stejným dílem mezi své dvě děti. Kolik korun by prodělali, pokud by peníze nejprve rozdělili a obě částky uložili v bance zvlášť? A) 38 060Kč B) 32 130Kč C) 15 300Kč D) 9 360Kč E) jinou částku C Banka nabízí tyto úrokové sazby a odpočítává se 15% daň z úroků.
