Gymnázium Ivana Olbrachta v Semilech
Planimetrické a stereometrické vzorce
Matematika Mgr. Martin Krajíc
31. 3. 2014
Jaroslav Grof
24 stran
3. ročník
Obsah Obsah ................................................................................................................................. 1 Seznam použitých zkratek ................................................................................................. 2 1. Úvod .................................................................................................................................. 3 2. Planimetrické vzorce ......................................................................................................... 5 2.1 Pythagorova věta ......................................................................................................... 5 2.2 Trojúhelníky ................................................................................................................ 6 2.2.1 Pravoúhlý trojúhelník ........................................................................................... 6 2.2.2 Rovnoramenný trojúhelník ................................................................................... 6 2.2.3 Rovnostranný trojúhelník ..................................................................................... 7 2.2.4 Obecný trojúhelník ............................................................................................... 8 2.3 Čtyřúhelníky ................................................................................................................ 9 2.3.1 Čtverec .................................................................................................................. 9 2.3.2 Kosočtverec .......................................................................................................... 9 2.3.3 Obdélník ............................................................................................................. 10 2.3.4 Kosodélník .......................................................................................................... 10 2.3.5 Lichoběžník ........................................................................................................ 11 2.4 Pravidelné n-úhelníky ................................................................................................ 12 2.5 Kruh, kružnice ........................................................................................................... 13 2.6 Kruhová výseč ........................................................................................................... 14 3. Stereometrické vzorce ..................................................................................................... 15 3.1 Skupina 1 ................................................................................................................... 16 3.1.1 Krychle ............................................................................................................... 16 3.1.2 Kvádr .................................................................................................................. 16 3.1.3 N-boké hranoly ................................................................................................... 17 3.1.4 Válec ................................................................................................................... 17 3.2 Skupina 2 ................................................................................................................... 18 3.2.1 Čtyřboký jehlan .................................................................................................. 18 3.2.2 Kužel................................................................................................................... 19 3.2.3 Čtyřboký komolý jehlan ..................................................................................... 19 3.2.4 Komolý kužel ..................................................................................................... 21 3.2.5 Koule .................................................................................................................. 22 4. Závěr ................................................................................................................................ 23 5. Seznam literatury ............................................................................................................. 24
1
Seznam použitých zkratek α, β, γ
úhly
a, b, c
strany trojúhelníků, hrany těles
A, B, C
vrcholy obrazců a těles
h
výška tělesa
d
průměr kruhu
n
neurčité poslední číslo
o
obvod obrazce
op
obvod podstavy
r
poloměr kruhu
S
obsah obrazce, povrch tělesa
Sp
obsah podstavy
u
úhlopříčka obrazce
v
výška obrazce
V
objem tělesa
2
1. Úvod Zvoní. Učitel matematiky vstupuje do třídy. Dnes máme na programu hodiny komolý jehlan. Profesor napíše na tabuli vzoreček pro výpočet povrchu a objemu. Zadává příklad. Počítáme. Tato a mnohé další situace mě přiměly ponořit se hlouběji do vzorečků v matematice. Kde se vzaly? Od čeho jsou odvozeny? Jak jsme se k nim dostali? Chápu, že učitel nemá v hodině prostor vysvětlovat zrod každého vzorečku, jednak z časových důvodů, jednak kvůli náročnosti učiva. A tak jsem se rozhodl zjistit to sám. Následujících dvacet stran jsem zasvětil svým myšlenkovým pochodům při vlastním odvozování vzorců pro výpočty v matematice, převážně planimetrii a stereometrii. Chtěl bych dokázat, že průměrný středoškolský student je schopen si většinu těchto vzorců odvodit a tudíž není nucen si každý pamatovat. Učení vzorců nazpaměť je totiž velmi zrádné, stačí malé odchýlení a hned je z objemu kvádru obvod trojúhelníku.
3
Odvozování mých vzorců je postaveno na třech axiomech: 1) obvod je dán součtem délek všech stran 2) obsah obdélníka je dán součinem délek dvou jeho různých stran (obsah čtverce o straně 1j je 1j2) 3) objem kvádru je dán součinem délek třech jeho různých stran (objem krychle o straně 1j je 1j3)
4
2. Planimetrické vzorce 2.1 Pythagorova věta Velmi nezbytná věta, používaná nejen v geometrii. S jejím využitím jsem se setkal i ve fyzice a to při výpočtech, které na první pohled s trojúhelníkem vůbec nesouvisí. Pojednává o vztahu délek v pravoúhlém trojúhelníku. První odvození a důkaz této věty nám poskytl již v 6. století př. n. l. velmi slavný filosof, astronom a matematik Pythagoras ze Samu.[1] Od té doby počet důkazů vzrostl až nad 300.[2] „Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého rovinného trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad jeho odvěsnami.“ Tento čtverec je rozdělen na jeden menší čtverec a čtyři shodné pravoúhlé trojúhelníky. Upravením rozdílných vyjádření obsahu téhož obrazce v rovnosti dostáváme výsledný vzorec:
b
a b
c c
(Viz 2.2 Trojúhelníky na straně 6 a 2.3.1 Čtverec
c
a
c
b
na straně 9.) b
5
a
a
2.2 Trojúhelníky
2.2.1 Pravoúhlý trojúhelník Vzorec pro obvod (z definice obvodu): Při počítání obsahu využijeme pravého úhlu. Pokud totiž položíme dva shodné pravoúhlé trojúhelníky k sobě, dostáváme obdélník. Pro výpočet tedy dělíme dvěma obsah tohoto obdélníku. b a (Pro výpočet délek stran lze použít Pythagorova věta. Viz 2.1 Pythagorova věta na straně 4. Pro výpočet obsahu obdélníku viz 2.3.3 Obdélník na straně 10.)
2.2.2 Rovnoramenný trojúhelník Trojúhelník, který má dvě strany stejně dlouhé, odlišně od strany třetí. Z toho tedy vyplývá, že má stejné i dva úhly, odlišně od úhlu třetího. Vzorec pro obvod lze z definičního vztahu zkrátit:
Rozdělením rovnoramenného trojúhelníku získáme dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. Vzorec pro obsah lze proto zapsat:
(Doplněním rovnoběžek k základně a výšce získáváme obdélník s dvojnásobným obsahem.)
β
b
v
α a
6
Je však velmi častým jevem, že neznáme výšku. Pokud známe strany (a, b), lze vzorec poupravit pomocí Pythagorovy věty.
Pokud známe stranu a úhel, můžeme si pomocí goniometrických funkcí spočítat výšku a dosadit do předchozích vzorečků:
2.2.3 Rovnostranný trojúhelník Má všechny strany stejně dlouhé a tudíž i všechny úhly vždy stejně velké (60°). Vzorec pro obvod lze tedy zkrátit:
Obsah vypočteme obdobně jako u předchozích trojúhelníků:
(Součin základny a výšky nám dá obdélník s dvojnásobným obsahem než má trojúhelník, proto dělíme dvěma.)
v
60°
a Pokud neznáme výšku, lze vzorec upravit opět pomocí goniometrických funkcí:
7
2.2.4 Obecný trojúhelník Trojúhelník, který nelze zařadit do žádné z konkrétních skupin. Nelze na něj tedy uplatnit žádný z výše uvedených vzorců. Obvod (vychází z definice):
Obsah lze spočítat, pokud známe stranu a výšku na ni kolmou. Jejich součinem opět vzniká obdélník s dvojnásobným obsahem. Proto dělíme dvěma.
c
va
b
α a Pokud si výšku vyjádřím goniometrickou funkcí, dostávám známější zápis vzorečku:
8
2.3 Čtyřúhelníky
2.3.1 Čtverec Má čtyři strany, vždy dvě dvojice stran jsou navzájem kolmé nebo rovnoběžné. Jeho úhlopříčky jsou stejně dlouhé, kolmé a navzájem se půlí. Vše vychází z definice:
u u
Pokud známe úhlopříčku čtverce, lze jeho obsah spočítat
a
(Velký čtverec má 8 malých trojúhelníků, malý čtyři. Proto tedy dělíme dvěma.)
2.3.2 Kosočtverec „Sešlápnutý čtverec.“ Má všechny strany stejně dlouhé a vždy dva protější úhly jsou stejné, různé od úhlu pravého. Jeho úhlopříčky jsou navzájem kolmé, půlí úhly i sebe samé vzájemně. Vzorec pro obvod vychází z definice:
u2 v
β
α Obsah lze spočítat pomocí úhlopříček jako u čtverce.
u1
a
Jejich součinem získáváme obdélník s dvojnásobným obsahem.
Součinem základny a výšky získáme obsah obdélníku, kterému na jedné straně do kosočtverce část chybí, ale na straně druhé mu tatáž část přebývá, proto má obsah stejný.
9
Pokud délky některých úseček neznáme, můžeme je dopočítat přes jeden z úhlů pomocí goniometrických funkcí.
2.3.3 Obdélník Protější strany jsou rovnoběžné a stejně dlouhé. Jeho úhlopříčky jsou stejně dlouhé a navzájem se půlí. u Obvod lze z definičního vztahu zkrátit:
b a
Obsah vychází z definice:
2.3.4 Kosodélník „Sešlápnutý obdélník.“ Má vždy dvě protější strany i úhly stejně velké. Jeho úhlopříčky se vzájemně půlí. u2 Obvod lze z definičního vztahu zkrátit:
b
va
u1 β
α a Obsah lze odvodit stejně jako u kosočtverce.
Součinem základny a její výšky získáváme obdélník s obsahem stejným, jako má daný kosodélník.
Pokud neznáme některé z délek, můžeme si je opět dopočítat přes goniometrické funkce.
10
2.3.5 Lichoběžník Má jednu dvojici protějších stran rovnoběžnou. Obvod vychází z definice:
Pro vypočítání obsahu si dopomůžeme přeskupením lichoběžníku na trojúhelník. c
d
va b α
β a
a+c Z tohoto obrázku je již zřejmé, jak bude výsledný vzorec vypadat.
Výška a délky stran lze opět dopočítat pomocí goniometrických funkcí.
11
2.4 Pravidelné n-úhelníky Obrazce se stejným počtem stran i úhlů. Všechny strany i úhly jsou stejně velké.
a Obvod vychází z definice:
Pro výpočet obsahu si obrazec rozdělím na n trojúhelníků. Obsah se pak rovná součtu obsahů všech těchto trojúhelníků:
(Pro různé varianty přepočtů mezi úhly a délkami viz 2.2 Trojúhelníky na straně 6.) v a
12
b
2.5 Kruh, kružnice Kružnice je množina všech bodů, které mají od daného bodu v rovině stejnou vzdálenost r. Kruh je množina všech bodů, které od daného bodu mají vzdálenost stejnou nebo menší r. U kružnice tedy není možné určovat obsah, budu se zabývat pouze kruhem. Pro výpočet obvodu využiji obrázek:
d = 2r
Pokud budu s kruhem otáčet po rovné ploše, jedním otočením kolem dokola se dostanu na vzdálenost, která je přibližne 3,14ti násobkem jeho průměru. Zavádí se konstanta , má nekonečný desetinný rozvoj.
Pro obsah je nutný další obrázek:
r
13
2.6 Kruhová výseč Její obvod i obsah lze odvodit naprosto analogicky jako u kruhu. γ
Kruhovou výsečí budu po rovné ploše otáčet pouze s jejím zakřiveným obvodem. Vyjde mi určitá konstanta, kterou vynásobím průměrem výseče. Avšak je tu malý problém. Každá výseč s různým úhlem by měla jinou konstantu. Z toho mi plyne, že se konstanta mění s úhlem. Přímo úměrně. Jak jsou spolu tato čísla spojena? Jednoduše! 360° zkrátka odpovídá 2 . Pokud budu mít výseč úhel 180°, konstanta bude rovna
atd.
Pro výpočet obsahu jsem zvolil jinou metodu. Vytvořím si poměr mezi obvodem a obsahem u normálního kruhu. Přes ten poté spočítám obsah u kruhové výseče, u které znám úhel, tedy i obvod.
Úhel γ je nutné dosazovat nikoli ve stupních, ale ve stupních odpovídající výše uvedené konstantě, tedy v radiánech! stupně
360°
270°
180°
135°
radiány
14
90°
60°
45°
30°
3. Stereometrické vzorce Tyto výpočty nejsou nic jiného, než složení předchozích vzorců dohromady se třetím axiomem. Pro lepší pochopení výpočtu povrchu těles je dobré nakreslit si jejich síť. Proto u každého tělesa bude menší schéma. Tělesa rozdělím do dvou skupin: Skupina 1
- tělesa, pro která platí následující
(rovnost třetího axiomu a definice skupiny 1)
a (rovnost druhého axiomu a definice skupiny 1) a
Skupina 2
- ostatní tělesa, pro která pravidla skupiny 1 neplatí
15
3.1 Skupina 1
3.1.1 Krychle Abych spočítal povrch krychle, musím sečíst obsah šesti čtverců, ze kterých se skládá. a Nebo mohu vyjít z definice Skupiny 1:
Objem krychle vychází z definice: (Násobím obsah podstavy výškou.) a
3.1.2 Kvádr Pro povrch kvádru sčítám šest obdélníků z nichž vždy dva jsou stejné.
Z definice skupiny 1: a b Objem počítám dle obecného vzorce:
c
c
b a 16
3.1.3 N-boké hranoly Spočítat povrch n-bokých hranolů nebude o nic složitější. Vyjdu z definice: h
Pro výpočet objemu taktéž: a (Výpočet obvodu a obsahu n-úhelníku viz 2.4 Pravidelné n-úhelníky na straně 12.)
h a
3.1.4 Válec V podstatě jde o n-úhelník, u kterého se n blíží nekonečnu.
Povrch válce se skládá ze dvou kruhů (podstavy) a obdélníku (rozrolovaný plášť).
r o h
Pro objem válce stále vycházím z definice: d
r
h
17
3.2 Skupina 2
3.2.1 Čtyřboký jehlan Povrch čtyřbokého jehlanu se skládá ze čtyř rovnoramenných trojúhelníků a jednoho čtverce (obdélníku). Použiji již odvozené planimetrické vzorce: e v Pokud by byl podstavou obdélník:
a Pro jeho objem však již nelze uplatnit definice skupiny 1. Pokud budu uvažovat pravidelný jehlan a krychli o stejné základně a budu hledat vztah mezi jejich objemy, narazím na zajímavý fakt. Jehlany lze umístit do krychle tři a to tak, že zaplňují celý její objem a vzájemně se nepřekrývají. Pro lepší pochopení, na obrázku to jsou jehlany se základnami ABCD, ABFE a BCGF, všechny s vrcholem H.[3] Proto lze objem jehlanu určit:
G
H F
E Nyní je vidět, že objem je roven třetině součinu základny a výšky.
D A
C B
h
1
a [3] RNDR., POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia: Stereometrie. 3. vydání. Žitná 25, 117 07, Praha 1: Prometheus, s. r. o., 2002, s. 154. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-178-7. 18
(Z tohoto vzorce mohu vytvořit obecný vzorec, který platí pro všechna podobná tělesa. Tělesa, kterým vedou z každého bodu obvodu jejich podstavy úsečky do jednoho bodu. Př. nepravidelný čtyřboký jehlan, kužel, čtyřstěn, n-boký jehlan,…)
3.2.2 Kužel
Povrch kužele se skládá z obsahu kruhu a obsahu kruhové výseče, která má stejný obvod jako kruh. r
a
Pro
přepočty mezi
výškou,
stranou
a
poloměrem
lze
snadno
využít
goniometrických funkcí. Objem vychází z obecného vzorce pro výpočet objemu jehlanu, protože v tomto ohledu mají stejnou charakteristiku. a
h r
3.2.3 Čtyřboký komolý jehlan
Komolý jehlan je takový jehlan, který „má uříznutou špičku“. Jeho dvě podstavy jsou vzájemně rovnoběžné. Povrch se skládá ze dvou čtverců a čtyř lichoběžníků.
19
Pokud je podstavou obdélník.
Pro výpočet objemu vyjdu z jednoduché myšlenky. Odečtu objem malého jehlánku od objemu velkého jehlanu.
Já však budu znát pouze a1, a2 a h1. Proto si neznámé h2 a h vyjádřím pomocí ostatních známých.
h
Poměr h:a je vždy stejný, protože tan α se nemění.
Nyní můžu h dosadit do původní rovnice a upravit:
(Tento vzorec platí pro komolé jehlany se čtvercovou podstavou. Pokud ho ještě upravím, dostávám vzorec platný pro všechna komolá tělesa, neboť v něm nevystupuje délka strany, ale obsah podstavy, u kterého mi nebude záležet na tvaru)
20
3.2.4 Komolý kužel Povrch se skládá ze dvou kružnic a jednoho kruhového pásu. Pro výpočet obsahu kruhového pásu odečtu od obsahu velké výseče o poloměru
obsah malé výseče o
poloměru a lze zapsat jako a1 + a2 (viz obrázek) a1 a a2 vyjádřím:
(Spojení Pythagorovy věty a vzorce použitého při výpočtu objemu komolého jehlanu na straně 20.) Objem spočítám podle obecného vzorce.
21
3.2.5 Koule Svými středoškolskými znalostmi průměrného studenta nedokážu odvodit vzorce pro kouli. Dokáži pouze určit, v jakém poměru bude její povrch a její objem. Její povrch S rozdělím na spoustu malých plošek, které budou sloužit jako podstavy pro spoustu jehlanů o výšce r. Tyto jehlany vyplní celý objem koule.
r r r
22
4. Závěr Zvoní. Učitel matematiky vstupuje do třídy. Dnes máme na programu hodiny velikosti vektorů a operace s nimi. Vzoreček již nepotřebuji, odvodím si ho sám. V této seminární práci jsem odvodil většinu vzorců, které bude středoškolský student během svého studia potřebovat. Nechť tato práce není pouze průvodcem vzorečky, pomůckou při učení, či náhradou tabulek. Kéž je i inspirací studentům k hlubšímu bádání, zkoumání matematiky a hlavně odrazením od pasivního přijímání vzorců.
23
5. Seznam literatury [1] Pythagoras. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001- [cit. 2014-03-29]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Pythagoras [2] Pythagorova věta. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001- [cit. 2014-03-29]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Pythagorova_v%C4%9Bta [3] RNDR., POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia: Stereometrie. 3. vydání. Žitná 25, 117 07, Praha 1: Prometheus, s. r. o., 2002, s. 154. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-178-7.
24
