4.3.4
Základní goniometrické vzorce I
Předpoklady: 4301 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé x ∈ R platí: sin 2 x + cos 2 x = 1 . Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: 1
T
sin(x)
-1
T0 cos(x) S
120°
R 1
-1 Obě funkce jsou souřadnicemi bodu T na jednotkové kružnici ⇒ body STT0 tvoří pravoúhlý trojúhelník ⇒ platí Pythagorova věta ST0 + T0T = ST = 1 (bod T leží na jednotkové kružnici). 2
Př. 1:
2
2
Urči hodnoty všech goniometrických funkcí v bodě x, jestliže platí sin x =
π zároveň x ∈ ; π . 2 Hodnotu cos x určíme ze vzorce: sin 2 x + cos 2 x = 1 . cos 2 x = 1 − sin 2 x
cos x = 1 − sin 2 x
(protože
cos 2 x = cos x )
2
9 16 4 3 cos x = 1 − sin x = 1 − = 1 − = = 25 25 5 5 4 π cos x je v intervalu ; π záporný ⇒ cos x = − . 5 2 Hodnoty ostatních funkcí zjistíme s definičních vztahů: 3 4 − sin x 3 cos x 4 tg x = = 5 =− cotg x = = 5 =− . 3 cos x − 4 4 sin x 3 5 5 2
1
3 a 5
Př. 2:
1 a 3 π 3 ;π , π ; π a 2 2
Urči hodnoty všech goniometrických funkcí v bodě x, jestliže platí cos x = − π zároveň sin x < 0 . Rozhodni, do kterého z intervalů 0; , 2 3 π ; 2π náleží úhel x. 2
Hodnotu sin x určíme ze vzorce: sin 2 x + cos 2 x = 1 . sin 2 x = 1 − cos 2 x
sin x = 1 − cos 2 x
(protože
sin 2 x = sin x )
2
1 8 2 2 2 2 1 sin x = 1 − cos x = 1 − = 1 − = = ⇒ sin x = − ( sin x < 0 ) 9 9 3 3 3 Hodnoty ostatních funkcí zjistíme s definičních vztahů: 2 2 1 − − sin x cos x 3 =2 2 3 = 1 = 2. = = cotg x = tg x = 1 cos x sin x 4 2 2 2 2 − − 3 3 Protože hodnoty sin x i cos x jsou záporné, leží koncové rameno orientovaného úhlu x ve 3 třetím kvadrantu a platí tedy x ∈ π ; π . 2 2
Př. 3:
Urči, kdy je definován výraz
1 + cotg 2 x , a pak jej zjednoduš. 1 + tg 2 x
Definiční obor: Musí být definovány všechny funkce ve výrazu :
• •
π
+ k ⋅π , 2 cotg x není definován pro x = 0 + k ⋅ π , tg x není definován pro x =
π π ⇒ musíme vyloučit x ≠ ∪ + k ⋅ π ; 0 + k ⋅ π = ∪ k ⋅ . k∈Z 2 k∈Z 2 Žádné další hodnoty x vyloučit nemusíme, protože ve jmenovateli zlomku je součet druhé mocniny a jedničky, tedy číslo vždy kladné. Upravujeme výraz: cos 2 x sin 2 x + cos 2 x 1 1+ 2 2 2 2 1 + cotg x sin x = sin x sin 2 x = cos x = cotg 2 x = = 1 sin 2 x cos 2 x + sin 2 x 1 + tg 2 x sin 2 x 1+ cos 2 x cos 2 x cos 2 x Druhý vzorec:
Pro každé x ≠ k ⋅
π 2
, kde k ∈ Z platí: tg x ⋅ cotg x = 1 .
2
Vzorec se používá i v jiných tvarech: tg x =
Př. 4:
1 1 nebo cotg x = .. cotg x tg x
Vysvětli, proč je ve vzorci tg x ⋅ cotg x = 1 uvedena podmínka x ≠ k ⋅
Jak jsme zjistili při řešení příkladu 3, pro x ≠ k ⋅
π 2
, kde k ∈ Z .
π
, kde k ∈ Z není vždy jedna z obou funkcí 2 tg x nebo cotg x definována ⇒ nemá smysl uvažovat o platnosti vztahu tg x ⋅ cotg x = 1 .
Př. 5:
Dokaž platnost vztahu tg x ⋅ cotg x = 1 .
Dosadíme: tg x = tg x ⋅ cotg x = 1 sin x cos x =1 cos x sin x 1=1
Př. 6:
sin x cos x , cotg x = . cos x sin x
Zjednoduš výraz
1 + cotg 2 x pomocí vzorce tg x ⋅ cotg x = 1 . 1 + tg 2 x
2 2 1 + cotg 2 x 1 + cotg 2 x 1 + cotg 2 x cotg x (1 + cotg x ) = = = = cotg 2 x 2 2 2 1 cotg x + 1 1 + tg x cotg x + 1 1+ 2 cotg 2 x cotg x
Př. 7:
1 + tg 2 x Odhadni výsledek, který vznikne zjednodušením výrazu . Odhad potvrď 1 + cotg 2 x výpočtem.
2 2 1 + tg 2 x 1 + tg 2 x 1 + tg 2 x tg x (1 + tg x ) = = 2 = = tg 2 x 2 2 1 tg x + 1 1 + cotg x 1 + tg x + 1 2 2 tg x tg x
Umíme určit hodnoty všech goniometrických funkcí v bodě x, pokud známe hodnotu sin x nebo cos x a znaménko druhé funkce (případně interval). Dokážeme určit hodnoty i v případě, že budeme znát hodnoty tg x ( cotg x )? Zkusíme určit hodnoty všech goniometrických funkcí v bodě x, jestliže platí tg x = −2 a 3 zároveň x ∈ π ; 2π . 2 1 1 Snadno určíme cotg x : tg x ⋅ cotg x = 1 ⇒ cotg x = =− . tg x 2
3
sin x cos x 1 = −2 i cotg x = =− ⇒ cos x sin x 2 z obou vztahů získáme rovnici: sin x = −2 cos x ⇒ nevede k cíli (1 rovnice na dvě neznámé) ⇒ musíme přidat další rovnici ⇒ použijeme cos 2 x + sin 2 x = 1 ⇒ 2 rovnice na dvě neznámé. Hodnoty dalších funkcí: vztahy tg x =
Rychlejší postup: cos 2 x + sin 2 x = 1
/ : cos 2 x
cos 2 x sin 2 x 1 + = 2 2 cos x cos x cos 2 x 1 1 + tg 2 x = cos 2 x 1 1 1 1 5 = cos 2 x = = = ⇒ cos x = 2 2 1 + tg x 1 + ( −2 ) 5 5 5 5 3 V intervalu π ; 2π jsou hodnoty cos x kladné ⇒ cos x = . 5 2 sin x 5 tg x = ⇒ sin x = cos x ⋅ tg x = ⋅ ( −2 ) cos x 5 2 5 sin x = − 5
Pedagogická poznámka: Předchozí postup ukážu studentům rychle na tabuli s tím, že si jej nemají opisovat. Postup si zachytí do sešitu při řešení následujícího příkladu (který je velmi podobný). Při jeho řešení nechávám předchozí postup na tabuli. Př. 8:
Urči hodnoty všech goniometrických funkcí v bodě x, jestliže platí cotg x = 2 a
π zároveň x ∈ 0; . 2 Podobný postup jako výše: 1 1 2 tg x = = = cotg x 2 2 cos 2 x + sin 2 x = 1
/ : sin 2 x
(potřebujeme získat zlomek cotg x =
cos 2 x sin 2 x 1 + 2 = 2 sin x sin x sin 2 x 1 cotg 2 x + 1 = sin 2 x 1 1 1 1 3 sin 2 x = = = ⇒ sin x = = 2 2 1 + cotg x 1 + 2 3 3 3 3 π V intervalu 0; jsou hodnoty sin x kladné ⇒ sin x = . 3 2
4
cos x ) sin x
cotg x =
cos x 3 6 ⇒ cos x = sin x ⋅ cotg x = ⋅ 2= sin x 3 3
Př. 9:
Vyřeš předchozí příklad pomocí pravoúhlého trojúhelníku s vhodně zvolenými délkami stran.
π Pro x ∈ 0; jsou hodnoty všech goniometrických funkcí kladné. 2 Platí: cotg = 2 ⇒ poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníku cotg x =
přilehlá s úhlem x protilehlá
je 2 ⇒ hodnoty goniometrických funkcí můžeme určovat například z následujícího pravoúhlého trojúhelníku:
1 x 2
Délka přepony: c 2 = a 2 + b 2 =
( 2)
2
+ 12 = 3 ⇒ c = 3 .
Hodnoty zbývajících goniometrických funkcí: 1 3 2 3 6 sin x = = cos x = ⋅ = 3 3 3 3 3
Pedagogická poznámka: Postup z příkladu 9 je sice méně elegantní a exaktní, ale pro většinu studentů snáze přijatelný. Ve skutečnosti si podobný trojúhelník můžeme π nakreslit i pro úhly se základní velikostí mimo interval 0; . Z pravoúhlého 2 trojúhelníku si určíme absolutní hodnoty hodnot goniometrických funkcí a znaménka zjistíme z polohy koncového ramene úhlu. Př. 10: Petáková: strana 44, cvičení 45 c)
Shrnutí: Platí sin 2 + cos 2 x = 1 (pravoúhlý trojúhelník) a tg x ⋅ cotg x = 1 (definice).
5
