Vzorce a recepty nebeské mechaniky Verze 3.0 Petr Scheirich, 2004 http://nebmech.astronomy.cz
Obsah 1 Úvod
1
2 Souřadnice na obloze
1
3 Pohyb po kuželosečce
4
4 Elipsa
6
5 Pohyb po elipse
7
6 Parabola
10
7 Pohyb po parabole
11
8 Hyperbola
13
9 Pohyb po hyperbole
14
10 Převod souřadnic na dráze na rovníkové či ekliptikální souřadnice 16 11 Problém 3 těles
18
12 Geografické a geocentrické souřadnice
19
1
Úvod
Tato brožurka nemá být učebnicí nebeské mechaniky. Její první verze vznikla v roce 2001 z autorovy potřeby vytvořit kompaktní seznam vzorců používaných (nebo použitelných) při výpočtech pohybů a poloh vesmírných těles, aby je nebylo nutné neustále hledat v nejrůznější literatuře, či dokonce znovu odvozovat. Od čtenáře se předpokládá, že význam pojmů, které se v ní vyskytují, alespoň zhruba zná. Všem začátečníkům před jejím používáním doporučuji si nastudovat stránky http://nebmech.astronomy.cz, kde je vše srozumitelně vysvětleno.
2
Souřadnice na obloze
Označení veličin: α – rektascenze (v tomto odstavci vždy v hodinách), t – hodinový úhel (v hodinách), δ – deklinace, h – výška nad obzor, A – výška nad obzorem, φ – zeměpisná šířka, λ – zeměpisná délka, Sm – místní hvězdný čas, Sg – Greenwichský hvězdný čas, S0 – Greenwichský hvězdný čas v 0 h UT, JD – Juliánské datum v 0 h UT, Tu – čas uplynulý od standardní epochy J2000,0 (JD 2451545,0) vyjádřený v juliánských stoletích, k – poměr středního slunečního dne a středního hvězdného dne, xA , yA , zA – pravoúhlé azimutální souřadnice (osa x míří k jihu, osa z k zenitu), xR , yR , zR – pravoúhlé rovníkové souřadnice (osa x míří k jarnímu bodu, osa z k sev. neb. pólu), l, b – ekliptikální souřadnice (délka a šířka), xE , yE , zE – pravoúhlé ekliptikální souřadnice (osa x míří k jarnímu bodu, osa z k sev. pólu ekliptiky), o – sklon ekliptiky k rovníku.
1
Převodní vztahy mezi veličinami: Tu = (JD − 2451545, 0)/36525, k = 1, 002737909350795 + 5, 9006 · 10−11 Tu − 5, 9 · 10−15 Tu2 , [6] S0 = 24110, 54841 + 8640184, 812866Tu + 0, 093104Tu2 − 6, 2 · 10−6 Tu3 , [6] Sg = S0 + kUT, Sm = S0 + kUT + λ/15.
Sm = α + t. Obzorníkové souřadnice xA = cos h cos A, yA = cos h sin A, zA = sin h.
zA , h = arctan q 2 xA + yA2
xA xA xA xA
> 0 : A = arctan(yA /xA ) < 0 : A = arctan(yA /xA ) + 180◦ , = 0 a yA > 0 : A = 90◦ , = 0 a yA < 0 : A = 270◦ .
Rovníkové souřadnice xR = cos δ cos(15α), yR = cos δ sin(15α), zR = sin δ. α, δ vypočteme z xR , yR a zR obdobně jako A, h z xA , yA , zA . Obzorníkové ↔ rovníkové souřadnice xA = xR cos H sin φ + yR sin H sin φ − zR cos φ, yA = xR sin H − yR cos H, 2
zA = xR cos H cos φ + yR sin H cos φ + zR sin φ, xR = xA cos H sin φ + yA sin H + zA cos H cos φ, yR = xA sin H sin φ − yA cos H + zA sin H cos φ, zR = −xA cos φ + zA sin φ, kde H = 15Sm . Ekliptikální souřadnice xE = cos b cos l, yE = cos b sin l, zE = sin b. l, b vypočteme z xE , yE a zE obdobně jako A, h z xA , yA , zA . Ekliptikální ↔ rovníkové souřadnice xR = xE , yR = yE cos o − zE sin o, zR = yE sin o + zE cos o, xE = xR , yE = yR cos o + zR sin o, zE = zR cos o − yR sin o, kde o = 23◦ 26′ 21, 448′′ − 46, 8150′′Tu − 0, 00059′′Tu2 + 0, 001813′′Tu3 = 23, 43929111◦ − 0, 013004166◦Tu − 0, 1638◦ · 10−6 Tu2 + 0, 5036◦ · 10−6 Tu3 [6]
3
3
Pohyb po kuželosečce
Označení veličin: v – pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danému bodu), u – úhlová rychlost (= dv/dt), e – numerická výstřednost dráhy (excentricita), p – parametr dráhy, G – univerzální gravitační konstanta, MS – hmotnost soustavy, M⊙ – hmotnost Slunce, r – vzdálenost od centra (ohniska), V – rychlost na dráze, γ – úhel směru rychlosti V (měřený ve stejném smyslu jako pravá anomálie v). x, y – souřadnice v rovině dráhy s počátkem v ohnisku a osou x mířící k pericentru, Vx , Vy – složky rychlosti na dráze v souřadnicích x, y, Vr – radiální složka rychlosti na dráze (ve směru průvodiče), Vt – kolmá složka rychlosti na dráze (kolmá k radiální), E – celková energie soustavy, 4
M – celkový moment hybnosti soustavy. Velikosti a jednotky konstant: G = 6, 672 · 10−11 Nm2 kg −2 [kg −1 m3 s−2 ] [1] Sluneční soustava: MS = 1, 9891 · 1030 kg, GMS = 1, 3271244 · 1020 m3 s−2 , = 2, 959122083 · 10−4 AU 3 d−2 , G = 2, 959122083 · 10−4 M⊙−1 AU 3 d−2 , GMZ = 398600, 44 · 109 m3 s−2 , GMM = 4902, 8 · 109 m3 s−2 , kde MZ je hmotnost Země a MM je hmotnost Měsíce. Převodní vztahy mezi veličinami: Veškeré vzorce v této a následujících kapitolách věnovaných pohybu v poli centrální síly platí pro souřadný systém s počátkem v jednom z těles. Chcemeli spočítané veličiny (s centrem v tělesu A) převést do těžišťového systému, transformujeme je podle vzorců: Pro délkové veličiny a rychlosti: a′ = a · mA /(mA + mB ); pro úhly: v ′ = v. (Čárkované veličiny jsou v těžišťovém systému)
r=
p 1 + e cos v
x = r cos v
=
y = r sin v
=
r2u =
(polární rovnice kuželosečky). p−r , e q r 2 e2 − (p − r)2 e
.
q
GMS p (Keplerův zákon ploch),
s
s
GMS GMS V = (1 + 2e cos v + e2 ) = (2p/r − 1 + e2 ), p p e + cos v γ = arctan − + 180◦ pro v ∈ (0◦ , 180◦ ), sin v 5
γ = arctan − s
e + cos v sin v
pro v ∈ (180◦, 360◦ ), s
s
GMS 2 2pr − p2 Vr = = e −1+ = −eVx , p r2 s s √ GMS GMS p GMS Vt = (1 + e cos v) = = (1 − e2 ) + eVy , p r p GMS e sin v p
s
GMS Vx = − sin v p Vy =
s
s
GMS =− p
GMS (e + cos v) p
=
s
s
p−r re
2
GMS re2 + p − r p re
e2 − 1 E = GmA mB , 2p m2 m2 M 2 = A B Gp. MS
4
1−
Elipsa
Označení veličin: a – velká (hlavní) poloosa, e – numerická výstřednost (excentricita), b – malá (vedlejší) poloosa, 6
1 = − Vr , e 1 = Vt − e
s
GMS 1 − e2 . p e
p – parametr, q – vzdálenost v pericentru, Q – vzdálenost v apocentru, r – vzdálenost od ohniska, v – pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danému bodu). Převodní vztahy mezi veličinami: r=
p 1 + e cos v
(polární rovnice elipsy).
s
r
p−r q p Q b2 p e= 1− 2 = 1− = = 1− = − 1 = − 1, a a r cos v a q a 2 2 b q q+Q Q p q a= = = = = = , 2 p 1−e 2 1+e 1−e 2q − p b2 q2 p= = a(1 − e2 ) = q(1 + e) = Q(1 − e) = 2q − = r(1 + e cos v), a a p q = a(1 − e) = , 1+e p Q = a(1 + e) = . 1−e
5
Pohyb po elipse
(Viz obr. v sekci 3) Označení veličin: M – střední anomálie, E – excentrická anomálie, v – pravá anomálie, a – velká poloosa dráhy, e – numerická výstřednost (excentricita) dráhy, n – střední denní pohyb, G – univerzální gravitační konstanta, k – Gaussova gravitační konstanta (pro úhly vyjádřené v radiánech), kS – Gaussova gravitační konstanta pro úhly vyjádřené ve stupních, MS – hmotnost soustavy, r – vzdálenost od centra (ohniska), 7
V – rychlost na dráze, x, y – souřadnice v rovině dráhy s počátkem v ohnisku a osou x mířící k pericentru, Vx , Vy – složky rychlosti na dráze v souřadnicích x, y, Vr – radiální složka rychlosti na dráze (ve směru průvodiče), Vt – kolmá složka rychlosti na dráze (kolmá k radiální). Vp – rychlost v pericentru, Va – rychlost v apocentru, T – oběžná doba, t – čas, T0 – okamžik průchodu pericentrem. Velikosti a jednotky konstant: Sluneční soustava: k=0,01720209895 GMS = k 2 AU 3 d−2 , kS = k180/π = 0.985607614. Ostatní viz kapitola Pohyb po kuželosečce. Převodní vztahy mezi veličinami:
T = 2π k=
s
a3 , GMS
q
GMS ,
n = ka−3/2 [rad] = kS a−3/2 [◦ ], M = n(t − T0 ), M0 = n(t0 − T0 ), M = n(t − t0 ) + M0 , E − e sin E = M (Keplerova rovnice, pro M, E v rad.), E − (180/π)e sin E = M (pro M, E ve stupních), cos E − e cos v = , 1 − e cos E e + cos v cos E = , e cos v + 1
√
1 − e2 sin E , 1 − e cos E √ 1 − e2 sin v sin E = , e cos v + 1 sin v =
8
tan
v 2
=
s
1+e tan E2 . 1−e
r = a(1 − e cos E), x = r cos v = a(cos E − e), √ y = r sin v = a 1 − e2 sin E. V =
s
GMS
2 1 − , r a
rGMS , 2GMS − V 2 r s GMS 1 + e Vp = , a 1−e
a=
Va =
s
GMS 1 − e , a 1+e
s
s
GMS sin E Vx = − a 1 − e cos E
=−
Vy =
s
Vr =
s
GMS e sin v a(1 − e2 )
Vt =
s
GMS (1 + e cos v) a(1 − e2 )
GMS (1 − e2 ) cos E a 1 − e cos E =
GMS sin v, a(1 − e2 )
=
v u u GMS t
9
GMS (e + cos v), a(1 − e2 )
2ar − a2 (1 − e2 ) −1 r2
a
=
s
q
GMS a(1 − e2 ) r
=
s
!
= −eVx ,
GMS (1 − e2 ) + eVy . a
6
Parabola
Označení veličin: p – parametr, q – vzdálenost v pericentru, e = 1 – numerická výstřednost (excentricita), r – vzdálenost od ohniska, v – pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danému bodu). Převodní vztahy mezi veličinami:
r=
p 1 + e cos v
p q= , 2 cos v =
=
p 1 + cos v
=
2q − 1. r
10
2q 1 + cos v
=
q , cos2 12 v
7
Pohyb po parabole
(Viz obr. v sekci 3) Označení veličin: B, W – analogie střední anomálie, v – pravá anomálie, G – univerzální gravitační konstanta, k – Gaussova gravitační konstanta (pro úhly vyjádřené v radiánech), kS – Gaussova gravitační konstanta pro úhly vyjádřené ve stupních, MS – hmotnost soustavy, r – vzdálenost od centra (ohniska), V – rychlost na dráze, x, y – souřadnice v rovině dráhy s počátkem v ohnisku a osou x mířící k pericentru, Vx , Vy – složky rychlosti na dráze v souřadnicích x, y, Vr – radiální složka rychlosti na dráze (ve směru průvodiče), Vt – kolmá složka rychlosti na dráze (kolmá k radiální). Vp – rychlost v pericentru, T – oběžná doba, t – čas, T0 – okamžik průchodu pericentrem. Převodní vztahy mezi veličinami: B = q −3/2 (t − T0 ),
v 1 v tan + tan3 2 3 2
=
s
GMS B 2
(Barkerova rovnice).
Řešení Barkerovy rovnice: tan v2 = 2 cot γ
=
1 − tan γ2 , tan γ2
kde q γ tan 2 = 3 tan β2 , 2 tan β = 3B
s
2 . GMS
11
Některá literatura (např. [?]) definuje analogii střední anomálie (i Barkerovu rovnici) mírně odlišně, vše se ale liší pouze o konstanty: q
W =
3·
3 tan
v v + tan3 2 2
GMS /2
q 3/2
(t − T0 ),
= W.
Řešení Barkerovy rovnice: 2 , tan 2γ
tan v2 =
kde q tan γ = 3 tan β2 , 2 tan β = . W Další možností řešení (viz. [9]) je toto: tan v2 = Y − 1/Y, kde q √ 3 Y = G + G2 + 1, G = W/2.
x = r cos v y = r sin v V =
s
= 2q tan v2
2GMS r
Vx = −Vr Vy = Vt Vp =
= q(1 − tan2 v2 )
s
s
=
q
= 2q − r,
= 2 q(r − q).
GMS (1 + cos v), q
q
2GMS (r − q)
s
GMS =− =− sin v, r 2q s √ 2GMS q GMS = = (1 + cos v), r 2q
2GMS . q 12
8
Hyperbola
Označení veličin: a – hlavní poloosa, e – numerická výstřednost (excentricita), b – vedlejší poloosa, p – parametr, q – vzdálenost v pericentru, r – vzdálenost od ohniska, v – pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danému bodu), vm – maximální/minimální hodnota pravé anomálie, α – odchylka asymptot. Převodní vztahy mezi veličinami: r=
p 1 + e cos v
(polární rovnice hyperboly).
s
r
b2 e= 1+ 2 = a −1 = cos vm
1+
p a
=
p−r r cos v
13
=
q +1 a
=
p −1 q
=
1 cos α2
b2 q p q2 = = 2 = p e−1 e −1 p − 2q 2 q2 b p= = a(e2 − 1) = q(e + 1) = + 2q a a p q = a(e − 1) = e+1 a=
= r(1 + e cos v)
α + |2vm | = 360◦ e cos α2 = 1 2 cos α = 2 − 1 e e cos vm = −1 cos vm = − cos α2
9
Pohyb po hyperbole
(Viz obr. v sekcích 3 a 8) Označení veličin: M – analogie střední anomálie, H – analogie excentrické anomálie, v – pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danému bodu), a – velká poloosa dráhy, e – numerická výstřednost (excentricita), n – analogie středního denního pohybu, G – univerzální gravitační konstanta, k – Gaussova gravitační konstanta, MS - hmotnost soustavy, r – vzdálenost od centra (ohniska), V – rychlost na dráze, x, y – souřadnice v rovině dráhy s počátkem v ohnisku a osou x mířící k pericentru, Vx , Vy – složky rychlosti na dráze v souřadnicích x, y, Vr – radiální složka rychlosti na dráze (ve směru průvodiče), Vt – kolmá složka rychlosti na dráze (kolmá k radiální). Vp – rychlost v pericentru, 14
V∞ – rychlost v nekonečnu (příletová nebo odletová), t – čas, T0 – okamžik průchodu pericentrem, 2θ – úhel odchýlení dráhy (odchylka vektorů příletové a odletové rychlosti), vm – maximální/minimální hodnota pravé anomálie, α – odchylka asymptot, d – impact parameter – vzdálenost, ve které by těleso prolétlo okolo centra, kdyby se pohybovalo po přímce bez gravitace. Převodní vztahy mezi veličinami: q
k=
GMS ,
n = ka−3/2 rad, M = n(t − T0 ), M0 = n(t0 − T0 ), M = n(t − t0 ) + M0 , e sinh H − H = M. cosh H − e , cos v = 1 − e cosh H e + cos v cosh H = , e cos v + 1 tan
v 2
=
s
√
e2 − 1 sinh H , e cosh H − 1 √ sin v e2 − 1 sinh H = , e cos v + 1 sin v =
1+e tanh H2 . 1−e
q (1 − e cosh H), 1−e q x = r cos v = (e − cosh H), 1s− e e+1 y = r sin v = q sinh H, e−1
r=
V =
s
a=
rGMS , −2GMS + V 2 r
GMS
2 1 + r a
=
v u u tGM
S
15
2 e−1 + , r q !
Vp =
s
GMS
e+1 , q
s
s
GMS (e − 1) sinh H Vx = − q e cosh H − 1 Vy =
s
Vr =
s
Vt =
s
=−
GMS (1 + e) cosh H (1 − e) q e cosh H − 1
GMS e sin v q(e + 1)
=
GMS (1 + e cos v) q(e + 1)
v u u tGM
=
s
GMS (e + cos v), q(e + 1)
e − 1 2r − q(e + 1) + q r2
S
=
GMS sin v, q(e + 1)
q
GMS q(e + 1) r
=
s
!
= −eVx ,
GMS (1 + e) (1 − e) + eVy . q
θ = 90◦ − α2 , vm = 90◦ + θ. e sin θ = 1, GMS d= cot θ V∞2 V∞ =
s
q = cot θ e−1
=q
GMS (e − 1) , q
v u
u 1 GMS d q = − 2 + GMS t 4 + V∞ V∞ GMS
e=
10
v u u t
s
dV∞2 1+ GMS
!2
!2
e+1 , e−1
,
.
Převod souřadnic na dráze na rovníkové či ekliptikální souřadnice
Označení veličin: x, y – souřadnice tělesa na dráze vyjadřéné v soustavě s počátkem v centrálním tělese a osou X mířící k pericentru (jejich výpočet viz sekce 5, 7 a 9), 16
Xr , Yr , Zr – souřadnice tělesa v pravoúhlé rovníkové soustavě. Počátek soustavy je v centrálním tělese, osa X míří k jarnímu bodu, rovina XY je rovnoběžná s rovinou zemského rovníku, Xe , Ye , Ze – souřadnice tělesa v pravoúhlé ekliptikální soustavě. Počátek soustavy je v centrálním tělese, osa X míří k jarnímu bodu, rovina XY je rovnoběžná s rovinou ekliptiky, Pr1 , Pr2 , Pr3 , Qr1 , Qr2 , Qr3 – směrové kosiny dráhy v rovníkové soustavě, Pe1 , Pe2 , Pe3 , Qe1 , Qe2 , Qe3 – směrové kosiny dráhy v rovníkové soustavě, i – sklon dráhy k ekliptice, ω – argument délky perihelia dráhy, Ω – délka výstupného uzlu dráhy, o – sklon ekliptiky k rovníku (viz sekce 2).
Význam veličin: Pi jsou složky jednotkového vektoru P mířícího od centra do směru pericentra (směr osy x souřadnic na dráze), vyjádřené v ekliptikální nebo rovníkové souřadnicové soustavě. Qi jsou složky vektoru kolmého na P a ležícího na dráze (směr osy y souřadnic na dráze), vyjádřené v ekliptikální nebo rovníkové souřadnicové soustavě. Převodní vztahy mezi veličinami: Pr1 = A1 cos ω + A2 sin ω, Pr2 = B1 cos ω + B2 sin ω, Pr3 = C1 cos ω + C2 sin ω, Qr1 = A2 cos ω − A1 sin ω, Qr2 = B2 cos ω − B1 sin ω, 17
Qr3 = C2 cos ω − C1 sin ω, kde A1 = cos Ω, A2 = − cos i sin Ω, B1 = sin Ω cos o, B2 = cos i cos Ω cos o − sin i sin o, C1 = sin Ω sin o, C2 = cos i cos Ω sin o + sin i cos o. Pe1 = cos ω cos Ω − sin ω sin Ω cos i, Pe2 = cos ω sin Ω + sin ω cos Ω cos i, Pe3 = sin ω sin i, Qe1 = − sin ω cos Ω − cos ω sin Ω cos i, Qe2 = − sin ω sin Ω + cos ω cos Ω cos i, Qe3 = cos ω sin i. Xr = Pr1 x + Qr1 y, Yr = Pr2 x + Qr2 y, Zr = Pr3 x + Qr3 y, Xe = Pe1 x + Qe1 y, Ye = Pe2 x + Qe2 y, Ze = Pe3 x + Qe3 y.
11
Problém 3 těles
Označení veličin: Rp – sféra gravitačního vlivu planety (vůči Slunci), Mp – hmotnost planety, D – vzdálenost mezi Sluncem a planetou, M⊙ – hmotnost Slunce.
18
Převodní vztahy mezi veličinami: Mp Rp = D M⊙
12
!2/5
.
Geografické a geocentrické souřadnice
(pro Zemi jako rotační elipsoid) [7], [8]
Označení veličin: ϕ – geografická šířka, h – nadmořská výška, ϕ′ – geocentrická šířka, ρ – vzdálenost od středu Země, a – rovníkový poloměr Země, b – polární poloměr Země, x, z – pravoúhlé geocentrické souřadnice, f – zploštění zemského elipsoidu, e – excentricita zemského elipsoidu. Velikosti konstant: a = 6 378 137 m (WGS 84), [8] 19
f = 1/298.257 223 563 (WGS 84), b = 6 356752 m. Převodní vztahy mezi veličinami: b = a(1 − f ), a−b f= , a e2 = 2f − f 2 , x = ρ cos ϕ′ z = ρ sin ϕ′ kde
= (aC + h) cos ϕ, = (aS + h) sin ϕ,
1 C=q , cos2 ϕ + (1 − f )2 sin2 ϕ
S = (1 − f )2 C.
Geografické (ϕ, h) → geocentrické (ϕ′ , ρ) souřadnice: Pro h = 0 : tan ϕ′ = (b/a)2 tan ϕ. Pro h 6= 0 : tan u = (b/a) tan ϕ, b sin u + h sin ϕ s= , a h cos ϕ c = cos u + , a s b sin u + h sin ϕ tan ϕ′ = = , c a cos u + h cos ϕ √ ρ = a s2 + c2 . Geocentrické (ϕ′ , ρ) → geografické (ϕ, h) souřadnice: Z ρ a ϕ′ spočteme x, z, ϕ počítáme iterační metodou:
20
ϕ1 = arctan(z/x), ! z + aCe2 sin ϕn ϕn+1 = arctan , x kde 1 . C=q 1 − e2 sin2 ϕn
Proces opakujeme, dokud se hodnoty ϕn+1 a ϕn od sebe neliší méně, než je požadovaná přesnost. Pak h=
x − aC. cos ϕ
Reference [1] Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, SPN, Praha, 1988 [2] Astronomy on the Personal Computer, O. Montenbruck, T. Pfleger, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1989 [3] Základy nebeské mechaniky, P. Andrle, Academia, Praha, 1971 [4] Malá encyklopedie kosmonautiky, P. Lála, A. Vítek, Mladá fronta, Praha, 1982 [5] Základy astronomie a astrofyziky, V. Vanýsek, Academia, Praha, 1980 [6] Astronomická příručka, M. Wolf a kol., Academia, Praha, 1992 [7] Astronomické algoritmy pro kalkulátory, Zdeněk Pokorný, Hvězdárna a planetárium hl. m. Prahy [8] The Astronomical Almanac for the Year 1995, US Naval Observatory, Royal Greenwich Observatory, 1994 [9] Astronomical algorithms, Jean Meeus, Willmann-Bell, Inc., Richmond, 1991
21
