Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky

Vektorové operace

součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky)

G u = B − A = ( b1 − a1 , b2 − a2 ) G 2 2 u = ( b1 − a1 ) + ( b2 − a2 ) Počítačová geometrie

Petra Surynková


Vektorové operace

G G skalární součin dvou vektorů u = ( u1 , u2 ) a v = ( v1 , v2 ) G G u ⋅ v = u1v1 + u2 v2 G G G u = u ⋅u G G G G α u = α 2 (u ⋅ u ) = α u

platí:

Počítačová geometrie

G G G G u ⋅v = v ⋅u G G G G G G G (u + v ) ⋅ w = u ⋅ w + v ⋅ w G G G G u v u ⋅ = α α ( ) ( ⋅v) Petra Surynková


Vektorové operace G G úhel ϕ ∈ 0, π nenulových vektorů u , v G G u ⋅v cos ϕ = G G u v

Cauchyova nerovnost

G G G G G G u ⋅ v ≤ u v ; ∀u , v

rovnoběžné vektory kolmé vektory


Petra Surynková


Vektorové operace

vektorový součin dvou vektorů

G G ⎛ u2 u ×v = ⎜ ⎝ v2

G G u , v v prostoru

u3 u1 u3 u1 u2 ⎞ ,− , ⎟ v3 v1 v3 v1 v2 ⎠

lze vyjádřit pomocí G G G bázových vektorů kartézské soustavy souřadnic i , j , k G G G

i j G G u × v = u1 u2 v1 v2


k u3 v3

Petra Surynková


Vektorové operace


G G u ×v


C G v

ϕ A

G u

B

platí

G G G G G G (u × v ⊥ u ) ∧ (u × v ⊥ v ) G G G G G u × v = o ⇔ u , v LZ G G G G G u × v ≠ o ⇔ u , v LN G G G G u × v = u v sin ϕ

geometrický význam vektorového součinu Počítačová geometrie

Petra Surynková


Vektorové operace



G v

G G u ×v

ϕ

C G v

ϕ A

G u

G G G G P = u × v = u v sin ϕ G u

B

geometrický význam vektorového součinu Počítačová geometrie

G v sin ϕ

obsah rovnoběžníka sestrojeného nad oběma vektory umístěnými do společného bodu trojúhelník -

1 P 2

Petra Surynková


Vektorové operace

G G G u , v , w v prostoru G G G G G G [ u , v , w] = ( u × v ) ⋅ w

smíšený součin dvou vektorů

D umístění vektorů do společného počátečního bodu

G w G n A


G v

C

G u B

Petra Surynková


Vektorové operace

smíšený součin dvou vektorů

G G G u , v , w v prostoru u1 G G G u [ , v , w] = v1

u2

u3

v2

w1

w2

v3 = w3

D G w

G n A

G v

=− C

G u B

geometrický význam smíšeného součinu Počítačová geometrie

a1

a2

b1

b2

c1

c2

d1

d2

G G G V = [ u , v , w]

a3 1 b3 1 c3 1 d3 1

- objem rovnoběžnostěnu Petra Surynková


Geometrie v rovině a v prostoru

různá vyjádření přímky a roviny vzájemná poloha dvou přímek – rovnoběžnost, různoběžnost (průsečík), mimoběžnost vzájemná poloha rovin – rovnoběžnost, různoběžnost (průsečnice) vzdálenost dvou bodů vzdálenost bodu od přímky vzdálenost bodu od roviny vzájemná poloha bodu a geometrického útvaru odchylky


Petra Surynková


Vzdálenost bodu od přímky v rovině přímka – obecná rovnice ax + by + c = 0,( a, b) ≠ (0,0) vzdálenost bodu P[ p1 , p2 ] ap1 + bp2 + c d= a 2 + b2

orientovaná vzdálenost bodu P[ p1 , p2 ] od přímky určené dvěma body A[ a1 , a2 ], B[b1 , b2 ], A ≠ B

přímka – parametrické vyjádření

X = A + ( B − A)t , t ∈ \


tj. vzdálenost opatřená znaménkem ,,+“ nebo ,,-“ podle toho, zda je bod nalevo nebo napravo od přímky Petra Surynková


orientovaná vzdálenost bodu P[ p1 , p2 ] od přímky určené dvěma body A[ a1 , a2 ], B[b1 , b2 ], A ≠ B

d ( A, I ) = t I B − A

P

sP I

B A tI vzdálenost bodu od přímky, význam parametrů t a s Počítačová geometrie

d ( P, AB ) = d ( P, I ) = sP B − A

tI < 0

- bod na přímce před body A a B

t I ∈ 0,1

- bod úsečky AB

tI > 0

- bod na přímce za body A a B

sP > 0

- bod P leží nalevo od přímky AB

sP = 0

- bod P leží na přímce AB

sP < 0

- bod P leží napravo od přímky AB Petra Surynková


Vzdálenost bodu od přímky v prostoru přímka určená dvěma body A[ a1 , a2 , a3 ], B[b1 , b2 , b3 ], A ≠ B

X = A + ( B − A)t , t ∈ \ G JJJG u = AB

POZOR – v prostoru nelze přímku popsat jednou obecnou rovnicí

vzdálenost bodu

P[ p1 , p2 , p3 ]

G ( P − A) ⋅ u G d = −( P − A) + G2 u u Počítačová geometrie

Petra Surynková


Vzdálenost bodu od přímky v prostoru přímka určená dvěma body A[ a1 , a2 , a3 ], B[b1 , b2 , b3 ], A ≠ B

X = A + ( B − A)t , t ∈ \ G JJJG u = AB

vzdálenost bodu

NEBO

P[ p1 , p2 , p3 ]

pomocí roviny kolmé přímce a procházející daným bodem

NEBO

pomocí vektorového součinu


G JJJG u × AP d= G u Petra Surynková


Vzdálenost bodu od úsečky

leží-li bod v pásu vymezeném dvěma kolmicemi na úsečku v jejích koncových bodech vzdálenost bodu od úsečky = vzdálenosti bodu od přímky

leží-li mimo pás, je výsledek menší ze vzdáleností ke koncovým bodům úsečky k testování lze využít parametr t I z předchozích vztahů


Petra Surynková


Vzdálenost bodu od úsečky

P P

d

d

B

B

I A


A

Petra Surynková


Poloha bodu vůči přímce a úsečce

úloha má smysl pouze v rovině (v prostoru vůči rovině) lze použít předchozí vztah pro výpočet sP

stačí zjistit znaménko čitatele

pro bod P[ p1 , p2 ] a přímku (úsečku) určenou dvěma body

( p2 − a2 )(b1 − a1 ) − ( p1 − a1 )(b2 − a2 )


>0 =0 <0

A[a1 , a2 ], B[b1 , b2 ], A ≠ B

- bod P leží nalevo od přímky AB - bod P leží na přímce AB - bod P leží napravo od přímky AB

Petra Surynková


Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek

převedení na předchozí případ

Vzdálenost dvou mimoběžných přímek

rovná se délce jejich nejkratší příčky (k oběma mimoběžkám kolmá) nebo odvození pomocí vektorového součinu

G G JJJG ( u × v ) ⋅ AB d= G G u ×v


Petra Surynková


obecná rovnice roviny zadané třemi nekolineárními body

A[a1 , a2 , a3 ], B[b1 , b2 , b3 ], C[c1 , c2 , c3 ]

x

y

z

1

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 1 =0 b3 1 c3 1

analogicky lze zapsat i pro přímku


Petra Surynková


Vzdálenost bodu od roviny rovina – obecná rovnice ax + by + cz + d = 0,( a, b, c ) ≠ (0,0,0) vzdálenost bodu P[ p1 , p2 , p3 ] d=

ap1 + bp2 + cp3 + d a 2 + b2 + c2

analogicky k přímce v rovině - orientovaná vzdálenost bodu P[ p1 , p2 , p3 ] od roviny určené třemi nekolineárními body

A[a1 , a2 , a3 ], B[b1 , b2 , b3 ], C[c1 , c2 , c3 ]


Petra Surynková


Poloha bodu vůči rovině rovina – obecná rovnice ax + by + cz + d = 0,( a, b, c ) ≠ (0,0,0) poloha bodů P[ p1 , p2 , p3 ], Q[ q1 , q2 , q3 ]

h1 = ap1 + bp2 + cp3 + d h2 = aq1 + bq2 + cq3 + d h1h2 > 0(< 0) ⇒ P, Q


leží ve stejné (opačné) polorovině

Petra Surynková


Svazek rovin

společná průsečnice 2

∑ λ ( a x + b y + c z + d ) = 0, ( λ , λ ) ≠ (0,0) i =1

i

i

i

i

i

1

2

Trs rovin

společný bod 3

∑ λ ( a x + b y + c z + d ) = 0, ( λ , λ , λ ) ≠ (0,0,0) i =1


i

i

i

i

i

1

2

3

Petra Surynková


Odchylka dvou přímek

směrové vektory přímek –

G G u ⋅v cos ϕ = G G u v

ϕ ∈ 0, π

G G u, v

Odchylka přímky a roviny

G G u ⋅n cosψ = G G = sin ϕ u n

p G ψ n

ϕ

G u


ρ Petra Surynková


Odchylka dvou rovin

normálové vektory rovin –

G G nα , nβ

G G nα ⋅ nβ cos ϕ = G G nα nβ

Vzájemné polohy přímek, rovin

průsečíky, průsečnice vzájemná poloha tří rovin


Petra Surynková


Poloha bodu vůči mnohoúhelníku

lokalizace bodu v konvexním a nekonvexním mnohoúhelníku konvexní mnohoúhelník – orientace vrcholů, použití determinantů nekonvexní mnohoúhelník – paprskový algoritmus

určení polohy bodu vzhledem k množině mnohoúhelníků

viz minulý semestr


Petra Surynková


Poloha bodu vůči kružnici

snadné – dosazení do rovnice kružnice pro střed S [ s1 , s2 ] a poloměr r a bod P[ p1 , p2 ]

( p1 − s1 ) + ( p2 − s2 ) 2

2

− r2

>0 =0 <0

- bod P leží vně kružnice - bod P leží na kružnici - bod P leží uvnitř kružnice

nebo - z porovnání vzdálenosti bodu a středu s poloměrem

P S Počítačová geometrie

d ( P, k ) = d ( P, S ) − r

Petra Surynková


Poloha bodu vůči kouli pro střed S [ s1 , s2 , s3 ] a poloměr r a bod P[ p1 , p2 , p3 ]

( p1 − s1 ) + ( p2 − s2 ) + ( p3 − s3 ) − r 2 2

2

2

>0 =0 <0

- bod P leží vně koule - bod P leží na povrchu koule - bod P leží uvnitř koule

nebo – opět z porovnání


Petra Surynková


Poloha přímky a kružnice přímka y = kx + q 2 2 2 kružnice x + y = r

(1 + k ) x D


+ 2kqx + q 2 − r 2 = 0

2

2

>0 =0 <0

- přímka protíná kružnici ve dvou bodech - přímka je tečnou kružnice - přímka neprotíná kružnici

Petra Surynková


Kružnice zadaná třemi body A[a1 , a2 ], B[b1 , b2 ], C[c1 , c2 ]

rovnice kružnice

x2 + y2 a12 + a22 b12 + b22 c12 + c22

x a1 b1 c1

y a2 b2 c2

1 1 =0 1 1

určení středu

a = b1 − a1

c = c1 − a1

e = a ( a1 + b1 ) + b ( a2 + b2 )

b = b2 − a2

d = c2 − a2

f = c ( a1 + c1 ) + d ( a2 + c2 )


Petra Surynková


Kružnice zadaná třemi body e = a ( a1 + b1 ) + b ( a2 + b2 ) a = b1 − a1 c = c1 − a1

b = b2 − a2

f = c ( a1 + c1 ) + d ( a2 + c2 )

d = c2 − a2

g = 2 ( a ( c2 − b2 ) − b ( c1 − b1 ) ) s1 = ( de − bf ) / g s2 = ( af − ce ) / g

je-li g jinak

= 0 , leží zadané body na přímce a kružnice neexistuje r = ( a1 − s1 ) + ( a2 − s2 ) 2


2

2

Petra Surynková


Plocha trojúhelníka s vrcholy A[ a1 , a2 ], B[b1 , b2 ], C[c1 , c2 ]

a1

1 P = b1 2 c1

a2 1 b2 1 c2 1

Plocha mnohoúhelníka

triangulace, součet ploch trojúhelníků


Petra Surynková

Vzorce počítačové grafiky

Recommend Documents