1
Důkazy Ackermannova vzorce Rady studentům: •
• •
Důkaz 1 je trochu zdlouhavý, ale přirozený. Tak byste při odvození postupovali, kdybyste vzorec předem neznali. Důkaz 2 je krátký, ale je založen na triku, na který byste předem (bez znalosti výsledku) nepřišli. Jakmile ho ale použijete, hledaný vzorek se zázračně „vyloupne.“ Důkaz 3 vyžaduje předchozí znalosti matematiky a teorie systémů, které dosud nemáte.
Důkaz 1- Konstruktivní pomocí transformace, podle Franklina, Apendix E, p. 853)
x Ax + Bu hledáme stavovou zpětnou vazbu u = −Kx takovou, aby výsledný Pro soustavu= s ) det ( sI − A + BK ) . charakteristický polynom uzavřené smyčky byl c(=
a) Obecná transformace stavu x do nového stavu x je dána vztahem x = Tx s nesingulární maticí T . Při ní se stavové rovnice změní následovně
x = Tx = Ax + Bu = ATx + Bu x = T-1 ATx + T-1Bu = Ax + Bu Pokud známe staré a nové matice, ale ne matici transformační, můžeme ji vypočítat pomocí matic řiditelnosti
Cx = B AB A n −1B Cx = B AB A n −1B které jsou spojeny vztahem
Cx
B AB A n −1B = B AB A n −1B T-1B T-1 ATT-1B T-1 A n −1TT-1B = -1 -1 -1 n −1 T-1 AB T-1 A n −1B T= T B = B AB A B T Cx
z čehož plyne, že nesingulární T nemění hodnost matice řiditelnosti a tedy řiditelnost systému a dále
T = Cx Cx−1 b) Ve speciálním případě převodu systému do kanonického tvaru řiditelnosti mají matice zvláštní strukturu, což ukážeme na systému 3. řádu s charakteristickým polynomem
ac ( s ) =s 3 + a1s 2 + a2 s + a1 :
(1.1)
− a1 − a2 − a3 1 A A= B B= = 0 0 , = c c 0 1 0 1 −a1 a 21 −a2 C= C= −a1 x c 0 1 0 0 1
2
1 0 0
T = Cx Cc−1
(1.2)
tedy matice řiditelnosti v normálním tvaru řiditelnosti je horní trojúhelníková s jedničkami na hlavní diagonále. Tedy má plnou hodnost a z toho plyne, že systém lze do tohoto tvaru převést právě, když je úplně řiditelný. Pro zajímavost je
1 a1 C = 0 1 0 0 −1 c
a2 a1 1
tedy horní trojúhelníkoví Toeplitzova matice s prvním řádkem vazbu [1 a1
a2 ] .
c) Pro systém v kanonickém tvaru řiditelnosti je návrh stavové ZV snadný. Výsledná stavová matice uzavřené smyčky je A new,= A c − B c K c a má charakteristický polynom (stále pro 3. řád) c
s 3 + ( a1 + kc1 ) s 2 + ( a2 + kc 2 ) s + ( a3 + kc 3 ) Označíme-li požadovaný výsledný charakteristický polynom uzavřené smyčky
cCL ( s ) =s 3 + c1s 2 + c2 s + c3 pak z porovnání koeficientů u jednotlivých mocnin plyne
a1 + kc1= c1 , a2 + kc 2= c2 , a3 + kc 3= c3 nebo vektorově
a + Kc = c d) Nyní najdeme vztahy mezi koeficienty charakteristických polynomů a maticí A. Podle CayleyHamiltonovy věty každá čtvercová matice vyhovuje své charakteristické rovnici. Pro matici A c to znamená
A cn + a1A cn −1 + + an −1A c + an I = 0 z čehož
A cn = −a1A cn −1 − − an −1A c − an I .
3
Nyní dosaďme matici do charakteristického polynomu uzavřené smyčky
cCL ( A c ) = A cn + c1A cn −1 + + cn −1A c + cn I a v tom dosaďme z předchozího za nejvyšší mocninu matice A c
cCL ( A c ) = ( −a1 + c1 ) A cn −1 + + ( −an −1 + an −1 ) A c + ( −an + cn ) I
(1.3)
e) Dále ukážeme, že matice A c má díky své struktuře zajímavou vlastnost "posunutí" :
= když označíme en
0 1] , en −1 [ 0 [0=
0 1 0] atd., pak zřejmě
0 1 0] en −1 [0= 0 1 0] A c en − 2 [0=
= en A c = ( en A c ) A c
= en A 0 0] e1 [1= n −1 c
Když tedy přenásobíme vztah (1.3) en = [ 0 0 1] , dostaneme
en cCL ( A c ) = ( −a1 + c1 ) e1 + + ( −an −1 + cn −1 ) en −1 + ( −an + cn ) en =
kc1 kc 2 kcn ] [=
Kc
f) Nyní máme kompaktní řešení, ale v kanonickém tvaru řiditelnosti. Musíme proto naše K c převést na hledané K v původních souřadnicích. Jestliže u = −K c x c , tak u = −K c T −1x a −1 = en cCL ( A c )T−1 K K= cT
= en cCL (T−1AT)T−1 = en T−1cCL ( A)
(
kde jsme použili fakt, že T −1AT
)
k
= T−1A k T . Nyní dosadíme za transformační matici ze (1.2)
T = Cx Cc−1 : K = enCc Cx−1cCL ( A) Ze zvláštního tvaru matice Cc plyne, že její poslední řádek, tedy en Cc se rovná en . Z toho konečně dostáváme Ackermannův vzorec
K = enCx−1cCL ( A)
Numerická poznámka: Raději se vyhneme invertování matice řiditelnosti. Uděláme to tak, že řešením soustavy rovnic
ZCx = en vypočteme rovnou Z = enCx−1 a pak stavovou ZV dostaneme přímo z K = ZcCL ( A) .
4
5
Důkaz 2 – Odvození Ackermannova vzorce pro n=3 podle Ogaty (1997, kap. 12). Pro soustavu= x Ax + Bu hledáme stavovou zpětnou vazbu u = −Kx takovou, aby výsledný charakteristický polynom uzavřené smyčky byl
c(= s ) det ( sI − A + BK ) kde
c( s ) = s n + cn −1s n −1 + + c1s + c0 je dáno. Pro zjednodušení výrazů označíme
A new= A − BK
(1)
c( s ) det ( sI − A new ) a charakteristická rovnice je takže CL charakteristický polynom je=
c(= s ) det ( sI − H = ) det ( sI − A + BK=) 0 Podle Cayley- Hamiltonovy věty z lineární algebry každá matice vyhovuje své charakteristické rovnici, takže když dosadíme do c( s ) za s A new tak platí −1 + + A new s + c0 I= 0 c( A new )= A nnew + cn −1A nnew
(2)
Dále budeme pokračovat pro zvláštní případ n = 3 , což zjednoduší výrazy, ale zachová myšlenku důkazu. Proto má (2) tvar
c( A new ) = A 3new + c2 A 2new + A new s + c0 I = 0,
n= 3
(3)
Abychom mohli ve (3) dosadit z definice za A new , nejprve si vypočteme potřebné mocniny
A 2new = A 2 − ABK − BKA + ( BK ) ( A − BK ) = 2
2
Na pravé straně, protože se to bude později hodit, znovu vytkneme BK a dosadíme A new
A 2new = A 2 − ABK − BKA new ( A − BK ) = 2
(4)
Podobně, po troše počítání, dostaneme
A 3new = A 2 − A 2 BK − ABKA new − BKA 2new ( A − BK ) = 3
(5)
Nyní už můžeme dosadit (1), (4) a (5) do (3)
(A
2
− A 2 BK − ABKA new − BKA 2new ) + c2 ( A 2 − ABK − BKA new ) + c1A new ( A − BK ) + c0 I = 0
Což, po úpravě, dává
(A
3
+ c2 A 2 + As + c0 I ) − c2 ( ABK − BKA new ) − c1 ( BK ) − ( A 2 BK − ABKA new − BKA 2new ) = 0
Člen v první závorce můžeme zkráceně napsat jako 1
c( A) = A 3 + c2 A 2 + As + c0 I
(6)
Když to dosadíme do předchozího vztahu, ostatní členy převedeme zleva doprava a seřadíme je tak, aby měly vedoucí koeficienty B, BA atd., dostáváme 2 c( A) =B ( c1K + c2 KA new + KA new ) + AB ( c2K + KA new ) + A 2BK
Tuhle rovnici můžeme také napsat maticově jako 2 c1K + c2 KA new + KA new 2 = c( A) B AB A B c2 K + KA new K
Levá matice na pravé straně je zřejmě matice řiditelnosti soustavy. Protože Ackermannův vzorec platí jen pro úplně řiditelné soustavy, je matice řiditelnosti invertovatelná a výraz můžeme upravit na 2 c1K + c2 KA new + KA new −1 2 K + KA = B AB A B c 2 new c( A) K
Konečně přenásobíme rovnost zleva vektorem [ 0
0 1] , čímž extrahujeme hledané K −1
K = [ 0 0 1] B AB A 2 B c( A)
(6)
Což je zřejmě Ackermannův vzorec ve zvláštním případě n = 3 . Odvození pro obecné n , bychom provedli obdobně.
1
Pozor, uvědomte si, že vytkneme
nikoli matice
A!
c( A) ≠ 0 , protože c( x) je charakteristickým polynomem matice A new a
6
Další poznámky - Matice řiditelnosti v normálním tvaru řiditelnosti: Pro 4. řád je: >> Ac=[-a1 -a2 -a3 -a4;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0], Bc=[1;0;0;0] Ac = [ -a1, -a2, -a3, -a4] [ 1, 0, 0, 0] [ 0, 1, 0, 0] [ 0, 0, 1, 0] Bc = 1 0 0 0 >> Cc=[Bc Ac*Bc Ac^2*Bc Ac^3*Bc] Cc = [ 1, -a1, a1^2 - a2, a1*a2 - a3 + a1*(a2 - a1^2)] [ 0, 1, -a1, a1^2 - a2] [ 0, 0, 1, -a1] [ 0, 0, 0, 1] >> inv(Cc) ans = [ 1, a1, a2, a3] [ 0, 1, a1, a2] [ 0, 0, 1, a1] [ 0, 0, 0, 1]
Pro 5. řád >> Ac=[-a1 -a2 -a3 -a4 -a5;1 0 0 0 0;0 1 0 0 0;0 0 1 0 0; 0 0 0 1 0], Bc=[1;0;0;0; 0] Ac = [ -a1, -a2, -a3, -a4, -a5] [ 1, 0, 0, 0, 0] [ 0, 1, 0, 0, 0] [ 0, 0, 1, 0, 0] [ 0, 0, 0, 1, 0] Bc = 1 0 0 0 0 >> Cc=[Bc Ac*Bc Ac^2*Bc Ac^3*Bc Ac^4*Bc] Cc = [ 1,-a1,a1^2-a2,a1*a2-a3+a1*(a2-a1^2),a1*a3-a4+a2*(a2-a1^2)- a1*(a1*a2 - a3 + a1*(a2 - a1^2))] [ 0, 1, -a1, a1^2 - a2, a1*a2 - a3 + a1*(a2 - a1^2)] [ 0, 0, 1, -a1, a1^2 - a2]
7
[ 0, 0, [ 0, 0,
0, 0,
>> inv(Cc) ans = [ 1, a1, a2, a3, a4] [ 0, 1, a1, a2, a3] [ 0, 0, 1, a1, a2] [ 0, 0, 0, 1, a1] [ 0, 0, 0, 0, 1]
1, 0,
-a1] 1]
8
9
Důkaz 3 - Matematický, podle Kailatha s. 198 a dále a) Vztah mezi OL a CL charakteristickými polynomy
aCL= ( s ) det ( sI − A + BK )
{
(
= det ( sI − A ) I + ( sI − A ) BK −1
(
)}
= det ( sI − A ) det I + ( sI − A ) BK
(
−1
= aOL ( s ) det 1 + K ( sI − A ) B
(
−1
= aOL ( s ) 1 + K ( sI − A ) B −1
)
)
)
, kde naposledy byl požit maticový vztah obecně pro obdélníkové matice P rozměrů n × m a Q rozměrů m × n , že det ( I n − PQ )= det ( I m − QP ) , v našem případě pro m = 1 to je
det ( I n − PQ ) = det (1 − QP ) . Z předchozího tedy plyne pro oba charakteristické polynomy
( s ) aOL ( s ) K ( sI − A ) B aCL ( s ) − aOL= −1
b) Z předchozího vztahu můžeme určit K porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin obou polynomů. Předtím ještě použijeme jeden ze "vztahů pro resolventy" (lze dokázat přenásobením
( sI − A) )
adj ( sI − A )= Is n −1 + ( A + a1 I ) s n − 2 + + ( An −1 + a1 An − 2 + + an −1I ) tedy
− A) ( sI = −1
1 Is n −1 + ( A + a1 I ) s n − 2 + + ( An −1 + a1 An − 2 + + an −1I ) a( s)
označíme-li
aOL ( s ) = s n + a1s n −1 + + an , aCL ( s ) = s n + α1s n −1 + + α n dostaneme porovnáním koeficientů polynomů výše
a1 − α1 = KB a2 − α 2 = kAB + a1 KB a3 − α 3= kA2 B + a1 KAB + a2 KB což můžeme napsat v kompaktním tvaru
10
a −α = KCA−T
(1.4)
kde
a
a1 a2 an ] , α [α= α 2 α n ] ,C [= 1
B
AB An −1 B
a A− je dolní trojúhelníková Toeplitzova matice s prvním sloupcem [1 a1 an −1 ] . T
Protože je A− vždy nesingulární, má rovnice (1.1) řešení pro libovolná a, α právě když C je nesingulární. Pak můžeme stavovou ZV vypočítat z (Bass-Gurova) vzorce
K=
( a − α ) A−−TC −1
c) Nyní z Bass-Gurova vzorce odvodíme Ackermannův vzorec
K = qn′ aCL ( A) , kde aCL ( s ) je požadovaný CL charakteristický polynom a
qn′ = [ 0 0 1]C −1 je poslední řádek matice C
−1
Pokud by soustava byla v kanonickém tvaru řiditelnosti, měl by Ackermannův vzorec tvar
K C = ε − a = qc′,nα ( AC )
tedy poslední řádek matice
α ( AC )
(1.5)
