MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra výtvarné výchovy
Variace na vzorce Prostor a objem v ploše Doprovodný text k praktické diplomové práci Brno 2013
Vedoucí práce:
Autor práce:
doc. Jan Bružeňák
Bc. Kristýna Musilová
Bibliografický záznam:
MUSILOVÁ, Kristýna. Variace na vzorce – Prostor a objem v ploše. Doprovodný text k praktické diplomové práci. Brno: Masarykova univerzita, Pedagogická fakulta, Katedra výtvarné výchovy, 2013, s. 77. Vedoucí diplomové práce doc. Jan Bružeňák.
2
Anotace:
Praktická část diplomové práce sestává ze série obrazů, na kterých je pomocí výtvarných médií (zejména kresby) a geometrických metod vytvořen imaginární prostor v podkladové ploše. Základní inspirací jsou zde různé stereometrické útvary a geometricky vyjádřené vzorce. Skrze jejich deformace autorka hledá možnosti vyjádření svých myšlenek. Doprovodná textová část pojednává o výtvarných a matematických prostředcích používaných k zobrazování prostoru na plochu. Je zde sledován vývoj zachycování prostorovosti. Práce se dále zabývá matematikou jako zdrojem inspirace pro umělce. Na závěr je komentována praktická část.
Annotation:
The practical part of the thesis consists of a series of pictures in which an imaginary space is created in the underlying surface by art media (especially drawing) and geometric methods. There are various stereometric forms and formulas expressed geometrically as the primary source of inspiration. The author uses a deformation of the shapes as a way to communicate her ideas. The theoretic part of this thesis discusses the artistic and mathematical methods that are used to display three-dimensional space on the surface. There is an evolution of imaging the spatiality described. This work also deals mathematics as a source of inspiration for the artists. Finally, the practical part is commented by the author.
Klíčová slova:
Zobrazování prostoru, promítání, perspektiva, výtvarné umění, matematika, geometrie, stereometrie, kresba, techniky.
Key words:
Display space, projection, perspective, art, mathematics, geometry, stereometry, drawing, techniques.
3
Prohlašuji, že jsem závěrečnou práci vypracovala samostatně, s využitím pouze citovaných literárních pramenů, dalších informací a zdrojů v souladu s Disciplinárním řádem pro studenty Pedagogické fakulty Masarykovy univerzity a se zákonem č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon), ve znění pozdějších předpisů.
Hlavní částí diplomové práce je praktický umělecký výkon (cyklus obrazů). Předložený text má charakter doprovodné průvodní zprávy k praktické diplomové práci.
V Brně, duben 2013
....................................... Bc. Kristýna Musilová
4
Děkuji doc. Janu Bružeňákovi za vedení této diplomové práce. Zvláště pak chci poděkovat za vstřícnost, ochotu a podporu, jež mi pomohly tuto práci dokončit.
5
Obsah 1. Úvod /7 2. Prostředky k zobrazování prostoru /8 2. 1. Matematické prostředky /9 2. 1. 1. Volné rovnoběžné promítání /10 2. 1. 2. Pravoúhlé promítání /12 2. 1. 3. Kosoúhlé promítání – kavalírní, vojenská perspektiva /13 2. 1. 4. Středové promítání – lineární perspektiva /15 2. 2. Výtvarné prostředky /17 2. 2. 1. Techniky /17 2. 2. 2. Barvy /19 3. Souvislosti /23 3. 1. Optika /24 3. 2. Vývoj zobrazování prostoru /26 3. 2. 1. Pravěk /27 3. 2. 2. Starověk /27 3. 2. 3. Středověk /29 3. 2. 4. Novověk – Od renesance k Mongeovi /30 3. 2. 5. Od 19. století po současnost /31 4. Má tvorba – Variace na vzorce /34 5. 1. Inspirace /35 5. 2. Technika /36 5. Závěr /38 6. Resumé /39 6. 1. Resumé /39 6. 2. Summary /39 7. Použité zdroje /40 7. 1. Literatura /40 7. 2. Internetové zdroje /43 8. Příloha – Obrazová dokumentace /44 8. 1. (a+b)3 = a3 +a2b +ab2 + b3 /45 8. 2. Průniky rovin /50 8. 3. Řady těles /62 8. 4. Transformace, modelace, řezy /67 8. 5. Hyperkrychle /75
6
1. Úvod „Viz tyto prostory strachuj se o své tělo – chtělo by se Ti tam a snít – a – kde jsi?“ Paul Klee1
Název Variace na vzorce – Prostor a objem v ploše se vztahuje k sérii kreseb i doprovodné textové části, které spolu tvoří tuto diplomovou práci. Námětem pro obrazy mi byly útvary, vztahy a situace, které mohou nastat v imaginárním geometrickém světě. Tento prostor geometrických
prvků
vzniká
abstrahováním
určitých
„přebytečných“
vlastností.
Zjednodušením formy se předmět stává univerzálnějším. Elementární znak může být zástupcem různých významů. Někdo chápe pravidla, která v tomto matematickém světě platí, jako svazující omezení. Já z nich cítím příslib svobody. Jsou to návody a rady, jak se v tomto prostoru neztratit. Mohou být mapou, jež kohokoli provede záhadným místem. Mohou být inspirací. Textovou část koncipuji jako teoretické pozadí a doplnění tohoto tématu. Zabývám se zde prostředky, které lze využít k zobrazování prostoru. Věnuji se zejména některým matematickým metodám a výtvarným výrazovým prostředkům. Pojednávám o historických souvislostech, které vedly k vytvoření zmíněných teorií a metod. Zvláště pak sleduji vývoj zobrazování prostoru na plochu.
1
KLEE, Paul. Čáry. Vyd. 1. Praha: Odeon, 1990, ISBN 8020701125. s. 142
7
2. Prostředky k zobrazování prostoru
„Umění v žádném případě není přirozené, nýbrž umělé. Tvořit neznamená napodobovat přírodu, ale vyrovnat se jí a dokonce ji překonávat díky vynalézavosti, jíž je mezi živými tvory nadán pouze člověk.“ Victor Vasarely2
Staneme-li před obrazem, ne jako diváci toužící po „uměleckém zážitku“, ale jako chladní analyzující pozorovatelé, můžeme záhy odvodit a popsat, jaké prostředky autor použil k navození dojmu prostorovosti (je-li v obraze). Samozřejmě různá výtvarná media k vytváření plasticity výjevu mohou používat různé techniky. Co ale mají kresba, malba či grafika společného? Mezi univerzální výtvarné prostředky můžeme zařadit barvy. Jejich vlastnosti a především účinky některých kombinací (světlé, tmavé, kontrastní barvy) prostorovost zvýrazní. V barevných odstínech a jejich vzájemných poměrech máme „dalšího činitele k vyvolání prostorové hloubky. Je to tzv. vzdušná perspektiva, vyvolaná proměnami barev ve vzduchu, vnímaných v různých vzdálenostech.“3 Co když je obraz černo-bílý? I tak existuje plno dalších výtvarných prostředků – různé kreslířské (grafické, malířské) techniky, šrafování, stínování… Oprostíme-li se od použitých technik, zaměříme-li se na „konstrukci prostoru“ v ploše obrazu dostáváme se k matematickým prostředkům, tedy geometrickým metodám. V povědomí (nejen) výtvarníků je zcela jistě lineární perspektiva. Jedná se o speciální zobrazení, které v našem prostředí umělci používají už více než šest set let. Při pohledu na obraz můžeme rychle odhadnout, zda její principy byly použity. Opovíme-li ano, lze perspektivu dále specifikovat (ptačí, žabí…). Odpovíme-li ne, neznamená to ještě, že obraz nesplňuje podmínky nějakého specifického zobrazení. Ve výtvarné tvorbě se používají další způsoby zobrazování, z geometrie můžeme aplikovat hned několik. Zejména kolmé, kosoúhlé či volné rovnoběžné promítání. I některé další principy v tvorbě vycházejí z principů matematických. Mnoho nadaných lidí má pro ně přirozený cit a někdy si ani neuvědomují, že je používají. Jedná se o kompozici, rytmus, poměry velikostí jednotlivých částí. Správné užití je jednou z možností, jak navodit na dvojrozměrné ploše iluzi rozměru třetího.
2 3
WALTHER, Ingo F a Karl RUHRBERG. Umění 20. století. Praha: Slovart, c2004, ISBN 8072095218. s. 345 CRHÁK, František. Prostor a perspektiva. 4. vyd. V Praze: Státní pedagogické nakladatelství, 1984. s. 41
8
2. 1. Matematické prostředky Tak jako světelný zdroj promítne náš stín na bílou zeď, dataprojektor promítne obrázek na plátno nebo fotoaparát zachytí portrét, snaží se matematik přesně promítnout obraz trojrozměrného předmětu na zvolenou průmětnu. Má na výběr hned několik možností, jakou zvolí metodu. Při selekci bere v úvahu účel zobrazení – proč předmět zobrazuje a jak bude dále s nákresem pracovat. Chce, aby schéma bylo především názorné, nebo aby se z něj daly měřit skutečné velikosti? Snaží se o předmětu podat co nejvíce informací, nebo ho zobrazit tak, jak se přirozeně jeví lidskému oku? Podle cíle a dostupných prostředků volí matematik nejvhodnější metodu. V odvětvích, která spadají pod výtvarné umění, musí tyto speciální geometrické metody ovládat především architekti, designéři a návrháři užitého umění. Ti ve své práci využívají různé technické pomůcky, počítače, programy a aplikace. My se budeme zabývat metodami, které se mohou uplatnit v kresbě nebo jejich užití lze vypozorovat v namalovaných (nakreslených) obrazech. Tudíž metodami, které lze zvládnout „ručně“ s pomocí pravítek a kružítka. Matematickou disciplínou zaobírající se „zejména geometrickými vztahy a zákony, pomocí nichž lze zobrazovat vícerozměrné útvary na rovinu nebo plochu“4 je deskriptivní geometrie. Deskriptivní geometrie, tak jako každá vědní disciplína, má kromě metod i svou terminologii. V odborných textech jsou nové pojmy zaváděny pomocí definic a matematických vět, většinou doplněných o důkazy. Chceme-li se (alespoň trochu) seznámit se zobrazovacími metodami geometrie, musíme si připomenout a zavést některé základní pojmy. Matematické definice však někdy bývají komplikované a pro laika nepochopitelné.
Proto se
na následujících stránkách místo definic setkáme spíše s popisy důležitých vlastností těchto metod doplněnými názornými náčrtky. Termíny jsou zde vymezeny přímo souvislostmi v textu nebo formou poznámek pod čarou. Snažím se zde o to, aby byl text pochopitelný i čtenářům, kteří se se základy geometrie setkali jen během primárního a sekundárního vzdělávání.
4
MENŠÍK, Miroslav a Ota SETZER. Deskriptivní geometrie. 3. vyd. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1981, s. 10
9
2. 1. 1. Volné rovnoběžné promítání Tato geometrická metoda je nejpoužívanější na základních a středních školách, proto ji má v povědomí každý. Využívá se její názornost při zobrazování prostorových objektů. Rovina, na kterou zde promítáme, se nazývá průmětna nebo nákresna. „Zobrazovanému útvaru říkáme vzor, odpovídající útvar na nákresně, vzniklý zobrazením, je jeho obraz.“5 Přímka, jež vede od vzoru bodu k jeho obrazu, je promítací přímka. Ta určuje směr promítání tak, že každý jiný bod ve stejném zobrazení bude promítnut v témže (rovnoběžném) směru. Pracujeme zde s body, přímkami, úsečkami, křivkami, rovinami a projekcí jejich obrazů. Při konstrukci obrazu ve volném rovnoběžném promítání musíme dodržovat pravidla, která vychází z vlastností tohoto promítání: „Obrazem přímky je přímka nebo bod. (…) Dvě rovnoběžné přímky se promítají jako dvě rovnoběžné přímky nebo jako dva body. (…) Rovinné útvary ležící v rovinách rovnoběžných s průmětnou se zobrazují jako útvary shodné se svými vzory. (…) Dvě rovnoběžné a shodné úsečky se promítají jako dvě rovnoběžné a shodné úsečky nebo jako dva body. (…) Dělící poměr bodů, ležících na přímkách, které se promítají jako přímky, zůstává zachován.“6 Poslední větu chápeme tak, že je-li úsečka rozdělena na dvě části v určitém poměru, musí tento poměr platit, i když se promítnutím změní její velikosti. Slovo „volné“ v názvu tohoto promítání znamená, že máme volnost při volbě průmětny i směru. Zpravidla je vybíráme tak, aby byl obraz názorný, protože zvolíme-li vhodný směr a průmětnou rovinu, bude podoba výsledných obrázků vycházet z vlastností zobrazovaných těles. Hledáním a odvozováním vlastností skutečných předmětů z těchto obrazů rozvíjíme svou prostorovou představivost. Hodící se útvary pro vysvětlení postupu konstrukce jejich obrazu jsou hranatá tělesa – například krychle. Když zvolíme rovinu jedné její stěny tak, aby byla rovnoběžná s průmětnou, bude obraz této stěny (čtverec) tvarem i velikostí shodný se vzorem. O takto zobrazované krychli můžeme říct, že je v průčelné poloze (obr. 1). Volbou směru promítání nyní určíme, zda se bude jednat o nadhled zprava (obr. 1_a), nadhled zleva
5
MENŠÍK, Miroslav a Ota SETZER. Deskriptivní geometrie. 3. vyd. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1981, s. 57 6 ŘÍHA, Ota. Konstrukční geometrie. 1. dotisk 1. vydání. Brno: Masarykova univerzita, 2002, ISBN 80-2102104-7. s. 17
10
(obr. 1_c) nebo podhledy (obr. 1_b, d). Pro větší názornost se oku neviditelné hrany zakreslují přerušovanou čárou. 7
a
b
c
d
Obr. 1_Obrazy krychlí ABCDEFGH ve volném rovnoběžném promítání
U krychle v prostoru svírají každé dvě hrany se společným vrcholem pravý úhel.8 Tedy i úhel ABC by byl v prostoru pravý. Ve volném rovnoběžném promítání velikost tohoto úhlu volíme a tím určíme směr promítání. U všech výše zobrazených krychlí je tedy směr promítání určen velikostí úhlu ABC9. Obr. 1_a znázorňuje nadhled zprava a ∠ABC = 140˚. Všimněme si, že přední stěnu zde tvoří čtverec ABFE. Zatímco u obr. 1_b se jedná o podhled zleva. Velikost úhlu ABC je zde opět 140˚, ale přední stěnu tvoří čtverec DCGH. Pro znázornění nadhledu zleva jsem zvolila ∠ABC = 50˚. Přední stěnu opět tvoří čtverec ABFE, zatímco u obr. 1_d je přední stěna
čtverec DCGH a jedná se o podhled zprava. Na obrázcích můžeme zkontrolovat, zda jsou zachována pravidla pro volné rovnoběžné promítání. Nejnápadnější je zde zachování rovnoběžnosti – všechny hrany, které jsou u prostorového tělesa rovnoběžné, vidíme jako rovnoběžné úsečky. Ve skutečné krychli mají všechny hrany stejnou velikost, ale na obr. 1 můžeme vidět, že velikost úsečky AB není stejná jako velikost BC. Všechny úsečky znázorňující „hloubku předmětu“ jsou zkráceny oproti „úsečkám výšky a šířky“ v určitém poměru. Tento poměr s ohledem na názornost můžeme opět volit. Při směru promítání určeném velikostí úhlu kolem 135˚ nebo 45˚ se volí poměr zkrácení velikostí AB ku BC jako dvě ku jedné. V obr. 1 je u všech krychlí tento poměr použit. Velikost BC je tedy rovna polovině délky AB. 7
srov. ŘÍHA, Ota. Konstrukční geometrie. 1. dotisk 1. vydání. Brno: Masarykova univerzita, 2002, ISBN 80210-2104-7. s. 18-19 8 Pravý úhel má velikost 90˚. Svírají-li dvě hrany (přímky, úsečky) pravý úhel, říkáme o nich, že jsou na sebe kolmé. 9
Dále budeme značit velikost úhlu, který svírají úsečky AB a BC, tedy úhlu ABC takto ∠ABC . Je-li úhel
veliký například 35 stupňů, píšeme ∠ABC = 35˚.
11
Při zobrazování složitějších těles se nejčastěji využívá pomocných konstrukcí (obr. 2_a), vycházejících z vlastností, že rovnoběžné přímky zůstanou rovnoběžné a všechny přímky kolmé na průmětnu (na rovinu rovnoběžnou s průmětnou) se zobrazují pod úhlem určeným směrem promítání. Kružnice se zobrazuje na elipsu, jejíž konkrétní podoba je dána opět směrem promítání a poměrem zkrácení.
a
b
obr. 2_Konstrukce neúplné krychle a do ní vnořené koule ve volném rovnoběžném promítání
Metoda volného rovnoběžného promítání nebo některé její principy se ve výtvarnictví mohou využít u studijní kresby předmětů nebo postav. „Neviditelné linie“ potom vynecháváme (obr. 2_b), nebo při určité průhlednosti kreslíme jemnou nevýraznou linkou.
2. 1. 2. Pravoúhlé promítání Jedná se o specifický druh rovnoběžného promítání, kdy zvolíme směr promítání kolmě na průmětnu. Takto získaný obraz je vlastně obrys promítaného vzoru. Přímky (úsečky, hrany), které jsou rovnoběžné se směrem promítání, se promítnou na nákresnu jako body. (Tuto eventualitu pravidla volného rovnoběžného promítání umožňují.) Někdy k jednoznačnému určení tělesa musíme udělat více kolmých průmětů na různě zvolené nákresny. Zvolíme-li jednu ze stěn tělesa rovnoběžnou s průmětnou, zobrazí se například krychle jako čtverec, kvádr jako obdélník a šestiboký hranol opět jako obdélník. Při kolmém průmětu jiných geometrických těles na svislou průmětnu můžeme získat další „zavádějící obrazy“. Koule se promítne sice jako kruh, ale trojboký jehlan i kužel se promítnou jako trojúhelníky a válec opět jako obdélník. V těchto případech je vhodné zvolit ještě další průmětny.
12
Rovinu, na kterou jsme promítali v předchozí kapitole (svislá průmětna), budeme nazývat nárysna. Rovina k ní kolmá, tedy vodorovná, se obvykle označuje jako půdorysna. Můžeme však i volit jinak orientované průmětny (obr. 3_c)10. Průmětem na půdorysnu bychom jednoznačně určili rozdíl mezi válcem a kvádrem. Promítneme-li těleso z obr. 2_b zepředu na nárysnu (obr. 3_a), získáme jiný obraz než při průmětu na půdorysnu (obr. 3_b).
a
b
c
obr. 3_Kolmé průměty těles z předchozí kapitoly
Konstrukční postup jako při pravoúhlém promítání používáme (i když třeba jen v myšlenkách) při hledaní obrysů a reálných tvarů objektů. V deskriptivní geometrii se při konstrukci obrazu prostorového tělesa nejčastěji používá pravoúhlé promítání na dvě vzájemně kolmé sdružené průmětny (půdorysnu a nárysnu). Metoda se podle jména svého autora nazývá Mongeovo promítání. Metoda je důležitá pro technickou praxi, protože díky ní lze problémy s konstrukcí prostorového objektu „vyřešit v ploše.“
2. 1. 3. Kosoúhlé promítání - kavalírní, vojenská perspektiva „Rovnoběžné promítání, jehož směr je určen přímkou s, která není kolmá k průmětně, nazýváme kosoúhlé“.11 Kosoúhlé promítání je tedy jeden z druhů rovnoběžné projekce a platí pro ně stejná pravidla. Příklady obrazů z kapitoly o volném rovnoběžném promítání (obr. 1, obr. 2) jsou zároveň i ilustrací kosoúhlého promítání. Proč se o kosoúhlém promítání zmiňujeme zvlášť, když se dá říct, že o něm hovořila celá kapitola? Existují totiž specifické druhy kosoúhlé projekce, jež hrály v minulosti úlohu i ve výtvarném umění. Jedná se o kavalírní a vojenskou perspektivu. 10
Jedná se o zobrazení krychle, jejíž tělesová úhlopříčka EC je kolmá k průmětně. To znamená, že úhlopříčka EC je rovnoběžná se směrem promítání a vzory bodů E a zároveň C se promítnou do jednoho bodu. 11 KRAEMER, Emil. Zobrazovací metody: (promítání rovnoběžné). 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1991, ISBN 8004217788. s. 58
13
Vojenská perspektiva je označení pro metodu využívající průměty na půdorysnu12. Výhoda tohoto zobrazení spočívá v tom, že „kosoúhlé průměty podstav všech těles a objektů stojících na první průmětně s těmito podstavami splynou, takže jsou ve vojenské perspektivě zobrazeny ve skutečném tvaru a skutečné velikosti (případně jistém měřítku).“13 Kosoúhlý průmět hran, jež by ve skutečnosti byly kolmé na půdorysnu, „zvolíme tak, aby byl rovnoběžný s levým okrajem výkresu. Konstrukce kosoúhlých průmětů hranatých útvarů stojících na první průmětně je pak velmi jednoduchá: sestrojíme půdorys daného útvaru a v jeho vrcholech (…) vyneseme příslušné výšky.“14 Všechny úsečky znázorňující výšky budou v tomto zobrazení vzájemně rovnoběžné (obr. 4_a)15. Výškám můžeme nechat skutečný rozměr, ale názornějšího obrazu dosáhneme, zkrátíme-li původní výšku o jednu čtvrtinu její velikosti. Vojenskou perspektivu můžeme využít, když chce zobrazit svrchu ulici nebo město bez „efektu sbíhání linií“ klasické lineární perspektivy.
a
b
obr. 4_Ukázka objektů zobrazených ve vojenské a kavalírní perspektivě
Kavalírní perspektiva je kosoúhlé promítání s úhlem skosení 135º a poměrem zkrácení jedna. Postavíme-li podstavu objektu na půdorysnu a jednu stěnu tohoto předmětu v nárysně, všechny úsečky, které jsou k dané stěně ve skutečnosti kolmé, se zobrazí pod úhlem 135º. Zároveň si tyto úsečky (tedy úsečky rovnoběžné se směrem promítání) zachovávají svou velikost. Na obrázku vidíme hranol s podstavou pravidelného šestiúhelníku (obr. 4_b). U
12
Půdorysna bývá také označována jako první průmětna. Nárysna je pak druhá průmětna. ŘÍHA, Ota. Konstrukční geometrie II. 2. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2009, ISBN 9788021048034. s. 213 14 ŘÍHA, Ota. Konstrukční geometrie II. 2. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2009, ISBN 9788021048034. s. 214 15 Tamtéž.
13
14
přední a zadní stěny (obdélníky ABB'A' a DEE'D') je obraz totožný se vzorem. Dále jsou zachovány například velikosti úseček BD (B'D') a AE (A'E'). Průměty získané touto metodou nejsou tak názorné, přesto se s jejím použitím můžeme setkat.
2. 1. 4. Středové promítání – lineární perspektiva Zatímco předchozí promítání řadíme do skupiny rovnoběžných, lineární perspektiva je promítání středové. Jak toto zobrazení funguje, si můžeme přiblížit na „procesu dívání se jedním okem“. Představme si rovinu – skleněnou plochu, skrze kterou sledujeme jedním okem předmět. Fixem můžeme na sklo zakreslit jeho obrysy a tím získat jeho obraz ve středovém promítání. „Zjednodušíme-li situaci ještě tím, že pokládáme oko za bod, můžeme vznik obrazu na tabuli vyložit čistě geometricky takto: obrazy jednotlivých bodů předmětu jsou průsečíky povrchu tabule s přímkami spojujícími tyto body s okem.“16 Ve středovém promítání tedy opět používáme rovinu – průmětnu, na kterou zobrazujeme body. Zatímco u rovnoběžného promítání byly vzory bodů promítnuty na své obrazy v průmětně rovnoběžně s daným směrem promítání, zde hraje důležitou roli bod S, který nazýváme střed. Potom od každého libovolného bodu A zamýšlíme spojnici se středem S. Tam kde tato promítací přímka AS protne průmětnu, vznikne obraz bodu zvaný středový průmět. Při rovnoběžném promítání se rovinné útvary ležící v rovinách rovnoběžných s průmětnou zobrazovaly jako útvary stejné se svými vzory ve tvaru i velikosti. Ve středovém promítání se tyto útvary náležící rovinám rovnoběžným s průmětnou zobrazují shodné ve tvaru, ale s jinou velikostí. Pro toto zobrazení platí, že čím je útvar dál od středu a průmětny, tím je jeho obraz menší. „Prostředí, v němž se uplatňují rovnoběžné linie, se v perspektivě projevuje sbíhavostí linií. (…) Třetí způsob vyjádření perspektivního dojmu se projevuje transformací ploch. (…) Čím bude úhel ostřejší, tím výraznější bude zdánlivé zkrácení plochy a tím větší vznikne dojem hloubky.“17 Je patrné, že rozličnou volbou vzájemného postavení vzoru, průmětny a středu promítání můžeme získat zcela jiné obrazy téhož tělesa. Při využívání principů lineární perspektivy ve výtvarné tvorbě můžeme zvolit „klasickou“ horizontálně orientovanou rovinu průmětny. Bodem S je naše oko a směr kolmý k průmětně spojuje oko s nekonečnem, které „klademe“ někam k horizontu. K tomuto bodu se potom sbíhají linie rovnoběžné se směrem našeho pohledu, snad proto ho nazýváme úběžník. Volba 16
KRAEMER, Emil. Zobrazovací metody: (promítání rovnoběžné). 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1991, ISBN 8004217788. s. 57 17 CRHÁK, František. Prostor a perspektiva. 4. vyd. V Praze: Státní pedagogické nakladatelství, 1984. s. 52
15
sklonu průmětny a úhlu pohledu může mít svůj symbolický význam. Mezi „základní druhy pohledů“ patří pohledy ze stran (nárožní perspektiva), zepředu (průčelní perspektiva), nadhled (ptačí perspektiva) a podhled (žabí perspektiva).18 Lze také zaměnit plochou průmětnu za válec nebo kulovou plochu (válcová a kulová perspektiva) a získat zakřivené, ohnuté či vypouklé obrazy.
18
CRHÁK, František. Prostor a perspektiva. 4. vyd. V Praze: Státní pedagogické nakladatelství, 1984. s. 45
16
2. 2. Výtvarné prostředky Jedinec, který ovládá „umění dívat se,“ může nakreslit „plastický obraz“ bez znalostí geometrických metod konstrukce prostoru v ploše. Výtvarník má totiž daleko více prostředků, jak znázornit prostorovost. Může si vybrat formu. „Umělec si vytváří své “snové“ modely. „Snové“ ve smyslu kombinací z prvků reálně vnímaných, abstrahovaných, záměrně (vědomě) pokřivených.“19 Nepotřebuje pravítka, přesné rozměry či úhloměr, vystačí si třeba i s naznačením stínů, které se v jeho námětu objevují. Možností má samozřejmě víc, i když správné použití světel, stínů a kontrastů obecně je účinný způsob k vytvoření iluze trojrozměrnosti. Umístění formátu, volba pohledu i kompozice hrají při vzniku díla důležitou roli. Čelní pohled není vhodný, spíš nadhled mírně ze strany. Dobré je naznačení souvislostí a vztahů mezi objekty. Ať už schématicky, prodloužením některých linií nebo třeba „odrazem barev“ mezi různými předměty. „V zobrazení prostoru na ploše je zrcadlení vítaným jevem.“20 Rovině dodáme třetí dimenzi, dokážeme-li zachytit průsvitnost materiálu. Nebo zvládneme-li naznačit, že je něco uvnitř či za ním. Vyzdvihnout prostorovost můžeme také použitím střídajících se linií či barevných ploch v určitém rytmu nebo překrýváním tvarů. Využít můžeme také kladení barev různého jasu vedle sebe. Výrazovým prostředkům, technikám kresby a barvám, jsou věnovány následující stránky.
2. 2. 1. Techniky Při seznamování se s výtvarnými prostředky a materiály uvažujeme, jakými technikami můžeme pracovat. Obecně existuje obrovské množství výtvarných technik. Záleží na médiu, které jsme zvolili, na materiálech, které máme k dispozici a na dalších okolnostech. Protože je tato diplomová práce doprovodným textem k praktickému uměleckému výkonu, jenž spočívá převážně v kresbě, bude tato kapitola zaměřená na techniky související s kresbou. Kresba jako výrazový výtvarný prostředek využívá zejména lineární stopu nástroje. Linií načrtnutý tvar může v našem vědomí vyvolat představu předmětu. Většinou takto rozpoznáme elementární geometrická tělesa a jednoduché objekty. Kombinací nástrojů s různě širokou
19
BEČVÁŘ, Jindřich, FUCHS, Eduard. Člověk - umění - matematika: sborník přednášek z letních škol Historie matematiky. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, ISBN 8071960314. s. 26 20 CRHÁK, František. Prostor a perspektiva. 4. vyd. V Praze: Státní pedagogické nakladatelství, 1984. s. 40
17
stopou nebo jen přítlakem můžeme do jisté míry i linkou naznačit stín. Při znázorňování složitějších útvarů je vhodná modulace světlými a tmavými plochami. „Kontrastním rozlišením světla a stínu při hranách zobrazovaného tělesa vyzdvihneme dojem jeho trojrozměrnosti.“21 Tvar tedy formujeme pomocí stínování. Jednou ze základních kresebných technik je šrafování. Podkladovou plochu zaplňujeme sérií zřetelných paralelních tahů, přičemž vzdálenost jednotlivých čar určuje tmavost. Dále můžeme použít křížové šrafování, při kterém se překrývají vrstvy paralelních tahů v různých úhlech.22 Vhodnou volbou úhlů při této technice můžeme výrazně ovlivnit plasticitu zobrazovaného objektu. Je výhodné vybrat jeden ze směrů linií tak, aby kopíroval tvar předmětu. Při vybarvování plochy dosáhneme různé intenzity stupňováním přítlaku. Také vrstvení tahů (jedné či různých barev) přes sebe může umocnit dojem kontrastu mezi znázorňovaným světlem a stínem. Pro rozlišení různých částí objektů či rovin můžeme stínovat pomocí textur. Zde máme volnost, jestli zvolíme shluky krátkých čar, vlnky, „kudrlinky“, malá kolečka či jen tečky způsobené otiskem hrotu. Při kresbě tužkou, pastely a zejména uhlem dosáhneme plynulého přechodu mezi odstíny roztíráním. Roztírání a rozmazávání lze tedy použít k prolínání barev nebo opět k vytvoření textury. Jde zde o techniku frotáže, kdy položíme papír na povrch s výraznou strukturou a pomocí tahů těrkou nebo stranou tuhy „zkopírujeme“ vzor struktury. Dále lze použít techniku vyjímání, kdy gumou stíráme nanesený grafit (pastel, uhel atd.) a můžeme tak zvýraznit světlost některých míst. Klasické suché techniky lze ještě doplnit mokrými, kdy pomocí rozředění či rozpíjení, ve vodě rozpustných pastelů nebo například tuží, můžeme dosáhnout zajímavých efektů. Při této činnosti je třeba dávat pozor, abychom zmírněním kontrastů či zašpiněním světlých ploch prostorovost naopak nepotlačili. Kresba nám umožňuje zachytit detaily s velkou přesností. Ale prostorovou situaci lze zobrazit i uvolněnými tahy rukou. „Rytmus pravidelně se střídajících ploch a objemů je jedním z účinných prostředků vyzdvižení prostorovosti.“23 Ať už pro tvorbu zvolíme libovolnou techniku nebo jich několik sloučíme, důležitá je jejich vhodná a vyvážená kombinace. Protože i když se snažíme dosáhnout pomocí kontrastů dojmu plasticity, nesjednocený styl či techniky kresby mohou rušit celkový dojem z výjevu.
21
HANUŠ, Karel. O barvě: optická stránka barevnosti ve výtvarnictví. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1969, s. 78 22 srov. SMITH, Ray. Encyklopedie výtvarných technik a materiálů: [kompletní praktický průvodce nástroji, technikami a materiály pro malbu, kresbu, grafiku a tisk s více než 1000 ilustrací]. Vyd. 1. Praha: Slovart, 2000, ISBN 8072092456. s. 74 23 CRHÁK, František. Prostor a perspektiva. 4. vyd. V Praze: Státní pedagogické nakladatelství, 1984. s. 43
18
2. 2. 2. Barvy Barvy jsou jedny z prvních vlastností věcí, které se naučíme ve svém životě zrakem rozeznávat. Každý den se setkáváme s nepřeberným množstvím barev, a přesto nás stále znovu dokáží zaujmout a fascinovat. Jedním z mnoha potěšení pro umělce je pracovat s barvami. Barva je jeden z výtvarných výrazových prostředků. Skrze barvy může autor vnést do uměleckého díla atmosféru, originalitu a určit mu formu. Nadto v barvách máme další prostředek pro znázornění prostoru v ploše. Z rozsáhlé teorie barev zmíním ty poznatky a vlastnosti, které jsou pro iluzi prostorovosti klíčové. Barva je imaginární pojem podobně jako číslo. Existovala-li by červená a žádná jiná, bylo by to stejné, jako kdyby existovala pouze číslice jedna. Pojem červená by pro nás neměl žádný význam bez existence ostatních barev a vztahů mezi nimi (stejně tak bychom si nevěděli rady s jedničkou, kdyby nebylo ostatních čísel a početních operací). Je třeba si uvědomit, že vztahy mezi barvami jsou důležité. Barva osamocená má jiný účinek než kombinace dvou barev a jinak vyzní kombinace barev tří. V reálném světě se jen zřídkakdy ocitneme v prostředí, které by obsahovalo jen jednu jedinou barvu. A kdyby se nám to přeci jen povedlo a my se ocitli například v „jednobarevné místnosti“, je jisté že působením světla a stínů by v tomto prostředí nastaly změny barvy alespoň sytostní či světlostní. Slovo barva je úzce spjato se slovem světlo. Bez světla by nebyly barvy. Bíle světlo je složeno ze spektra barevných složek24 o rozličných vlnových délkách. Povrchy různých složení částečně pohlcují či odráží dopadající světlo. Zjednodušeně řečeno – kombinaci složek světla, jež těleso odrazí, vnímáme jako barvu oné věci. Výsledná barva se mění i úhlem dopadu, intenzitou či zabarvením světla. I když si to nemusíme vždy uvědomit, barvy konkrétních věcí se mění se změnou prostředí. Na povrchu něčeho, co sledujeme, můžeme mimo vlastní barvy rozpoznat odraz barev z okolních objektů. Naši představu o prostoru tedy ovlivňuje světlo, stíny i „odrazy barev“. Dalším faktorem jsou změny v barevnosti vzdalujících se předmětů. Těmto barevnostním změnám se říká vzdušná perspektiva.25 Obraz může postrádat geometrickou konstrukci, a přesto správně zvolenou kombinací barev znázorňovat plastický či prostorový námět. Jakými barvami a kombinacemi lze tedy dosáhnout prostorovosti plochy? Důležité je využití kontrastů. Nejzákladnější kontrasty jsou světlo a stín, tmavé a světlé, teplé a studené. Abychom dokázali tyto kontrasty vyvolat a využít, potřebujeme znát základy teorie barev. 24 25
Primární světelné barvy jsou modrá, červená a zelená. Tyto poznatky se využívají nejen v kresbě a malbě, ale i v prostorové tvorbě.
19
Při zkoumání vlastností barev a především vlastností jejich kombinací můžeme vycházet z kruhového uspořádání barev. Základem tohoto kruhu jsou tři primární barvy – azurová, purpurová a žlutá26. Rovnoměrným mícháním těchto barev získáme barvy sekundární (červená, zelená, modrá), jež v kruhu umístíme mezi barvy primární. Následným míšením získáme terciární barvy (obr. 6_a).27 Při tvorbě kruhu je důležité postupovat systematicky a barvy míchat ve stejném poměru, protože umístění barevných odstínů hraje důležitou roli. Sousední barvy v kruhu můžeme nazývat příbuzné, protože mají společné vlastnosti. Použijeme-li sousední barvy v obraze, budou se vzájemně zvýrazňovat. Oproti tomu barvy v kruhu protilehlé - doplňkové28 jsou k sobě v maximálním barevném kontrastu. Například žlutá a k ní protikladná tmavě modrá (obr. 6_b). Žlutá je světlá a teplá barva, zatímco modrá je tmavá a studená.
a
b
c
obr. 6_Příklady barevných kruhů
U jednotlivých barev rozlišujeme stupně sytosti a světlosti. Přidáváme-li do základní barvy šedou, světlost barvy se nemění29, ale barva ztrácí na sytosti. Čím méně šedé obsahuje, tím více je sytá. Pomocí kombinace jedné barvy různých sytostí můžeme dosáhnout kontrastu tonálního. Obklopíme-li barvu jejím méně sytým odstínem, zdá se být barva živější. Účinek
26
Volba základních barev se dle autorů může mírně lišit. Důležité je tvrzení, že pomocí kombinací těchto tří primárních barev dokážeme namíchat celé barevné spektrum včetně černé. Pro souvislost s optikou a světlem, jenž bude přiblížena v jedné z následujících kapitol, jsem pro tvorbu barevného kruhu zvolila rozdělení barev z knihy: PARRAMÓN, José M. Teorie barev. 2. vyd. Praha: Svojtka a Vašut, c1998, ISBN 8072360469. s. 16 27 Při zvolení základních barev červená, žlutá a modrá se jako sekundární barvy uvádějí zelená, fialová a oranžová. Postupným systematickým mícháním, při větším počtu odstínů, však můžeme dojít k obdobnému barevnému kruhu, ve kterém budou platit tytéž vztahy, které mají platnost u kruhu získaného míšením azurové, purpurové a žluté. 28 Označení doplňková (komplementární) barva bude blíže vysvětleno v kapitole Souvislosti – Optika. 29 Šedá je střední stupeň mezi bílou a černou, proto barvu nezesvětlí ani neztmaví.
20
tohoto kontrastu je tím větší, čím větší je rozdíl v sytosti barev.30 Umístíme-li do středu barevného kruhu bílou, můžeme postupným zesvětlováním barev získat světlostní stupně (obr. 6_c). Čím více bílé přidáváme, tím je odstín světlejší. Mluvíme zde o stupnici jasu jedné (libovolné) barvy. I světlostními rozdíly jedné barvy lze docílit kontrastu – kontrastu světlostního. Sousedí-li barva se svým tmavším odstínem, tak ta světlejší zdánlivě zesvětlí a tmavá zdánlivě ztmavne.31 Jak se chovají rozličné barvy položené vedle sebe? Působí tu kontrast barevný. První barva ovlivní druhou barvu svou doplňkovou barvou a naopak. Například když je žlutá (její doplňková barva je tmavě modrá) vedle purpurové (její doplňková barva je zelená). Žlutá získá nádech do zelena a purpurová modravě zfialoví. Díky těmto vlastnostem se doplňkové barvy vzájemně zvýrazní, když je vedle sebe položíme. Tomuto jevu, jenž vzniká u dvou doplňkových barev, se říká kontrast komplementární. Kdybychom viděli obraz vytvořený pomocí různých barev stejné sytosti a jasu, neznamená to, že by mezi barvami na obraze byl jen kontrast barevný. Protože i odlišné barvy v kruhu (stejné sytosti a jasu) mohou vytvořit světlostní stupnici. Barvy bez přidání bílé či černé mají rozdílnou světlost. Určíme-li černou na stupnici světlosti rovnou nule a bílou jedné, náleží barvám hodnoty uvedené v tabulce.
Černá
Fialová
Modrá
Zelená
Červená
Oranžová Žlutá
0
1
1
1
1
2
4
3
2
2
3
3
4
Bílá 1
tab. 1_Stupnice světlosti barev32
Většinou se setkáme s působením těchto tří kontrastů současně. Výjimkou je černobílá fotografie (či jiná barva v kombinaci s černou a bílou), kde působí kontrast tonální a světlostní. Světlostní kontrast je přitom pro plasticitu obrazu nejdůležitější. Se všemi kontrasty a s nimi souvisejícími změnami barev dále pracuje vzdušná perspektiva. Princip vzdušné perspektivy je založený na faktu, že v barevnosti vzdalujícího se předmětu dochází ke změnám. Tyto změny jsou tři – světlostní, barevné a sytostní. U světlostních změn tmavší barvy směrem do dálky zesvětlají a světlé ztmavnou. Světlostní kontrast bude největší u nejbližších předmětů a malý u objektů vzdálených. Barva vzdálených předmětů se jeví 30
srov. HANUŠ, Karel. O barvě: optická stránka barevnosti ve výtvarnictví. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1969, s. 75 31 Tamtéž. s. 75 32 SEILER-HUGOVA, Ueli. Barvy: vidět, prožívat, rozumět. Vyd. 1. Praha: Wald Press, 2009, ISBN 9788090393141. s. 91
21
méně sytá, a proto ubíráme-li barvě na sytosti, podporujeme vjem hloubky. Pravidlo pro barevné změny určuje, že vzdušné prostředí dodává barvám na světlém pozadí červenavý nádech a na tmavém pozadí modravý.33 Nejúčinnějšího prostorového dojmu dosáhneme použitím všech proměn vzdušné perspektivy.
Na obraze tedy plní barva úlohu impresivní, kdy navozuje představu o předmětu a jeho vlastnostech (tvar, struktura, barva atd.). Pro umělce je také důležitá expresivní funkce barvy. Teorie expresivity se opírá symboliku barev a jejich působení na psychiku.34 Výše popsané vztahy mezi barvami, vzájemné ovlivňování se a kontrasty si divák při pohledu na umělecké dílo většinou neuvědomuje. Tyto informace jsou důležité pro tvůrce. Správné užití může obrazu dodat plasticitu, sjednotit jej, nebo podtrhnout a zvýraznit důležitý detail. Barva zde plní konstruktivní funkci.
33
srov. CRHÁK, František. Prostor a perspektiva. 4. vyd. V Praze: Státní pedagogické nakladatelství, 1984. s. 41 34 srov. PODLIPSKÝ, Rudolf. Základy výtvarné kultury: výtvarné prostředky. In: Unium.cz [online]. 2009 [cit. 2013-04-02]. Dostupné z: http://www.unium.cz/materialy/zcu/fpe/vytvarne-prostredky-m13148-p1.html
22
3. Souvislosti „Obraz je realita: není ani špatný, ani zavádějící či klamný, ani není slabou kopií. A neztrácí svou auru, pokud si uvědomíme, že jeho poezie či neobratná próza nespočívají v rozdílu mezi ním a skutečností, ale v tom, jaké možnosti obraz nabízí pro spojení nespoutané tvořivosti oka, tvořivosti, která postrádá falešný stud, s otupělou vnímavostí smyslů.“ David Freedberg35
Většina informací v předchozím textu je technického charakteru. Co a jak. Jakým způsobem dosáhnout nejlepšího dojmu iluze. Jsou to poznatky, jež mají být doporučením, jak postupovat, když chceme vyjádřit nějakou myšlenku prostřednictvím imaginárního prostoru. Postupy, které nám mohou usnadnit cestu k dosažení chtěného námětu. Většina výtvarníků už se s touto teorií nebo její částí setkala. Konstrukce obrazu za použití nějakých pravidel36 se v umění objevuje napříč historií. Existují styly i umělecké směry, které z matematiky vycházejí, a samozřejmě jsou i takové, které jí zavrhují a odmítají. Zajímám se o výtvarné umění i matematickou vědu, proto chci v této práci hledat spojitosti mezi matematikou a výtvarnou tvorbou. Sleduji tedy tvorbu, která z nějakých matematických principů vychází nebo jí geometrie či matematika byly inspirací. Vše, co víme, co nás utváří, co vytváříme, vychází ze zkušeností a schopnosti inovovat. Zkušeností nejenom našich vlastních, ale i zkušeností našich předků, jež jsme získali například přečtením různých knih. Získáváme-li informace o události v minulosti prostřednictvím psaného záznamu od jiné osoby, občas můžeme pochybovat, zda chápeme správně popisované skutečnosti. Nevíme totiž, jaká byla zkušenost lidstva té doby. Máme dvě možnosti – o minulosti pochybovat, nebo věřit tomu, že ten, kdo pořizoval záznam, chápal slova a věty ve stejných významech jako my. Ideální by bylo znát všechny souvislosti. To samozřejmě není možné. V této práci se zabývám zobrazováním prostoru na plochu. Popis samotných prostředků, jak prostorovosti dosáhnout, je neúplnou zprávou o tomto problému. Při zkoumání souvislostí a vývoje zachycování prostorovosti můžeme objevit fascinující příběh pokroku a změn v lidském myšlení. Souvislosti, ať už historické, nebo jen vztah výtvarného umění a matematiky, doplňují mozaiku již sdělených informací. 35
KESNER, L. Vizuální teorie: Současné anglo-americké myšlení o výtvarných dílech. První vydání. Jinočany: H&H, 1997, ISBN 80-86022-17-X. s. 163 36 Ať už se jedná o kánony, vkomponování symboliky, geometrické metody, určené barevnosti.
23
3. 1. Optika Výtvarné umění se prezentuje převážně vizuálně. Různé malířské styly, techniky, teorie barev vycházely z dobových vědomostí o optice. Při řešení problému zobrazení prostoru na plochu je znalost některých principů optiky důležitá. Vždyť to, jak naše oko vnímá skutečný prostor, je klíčové pro „konstrukci iluze“. Divák ale potřebuje zkušenost, aby předloženou iluzi pochopil. Například při pozorování kulatého talíře z úhlu vidíme elipsu. Mozek pomocí asociací a zkušeností vnímá obraz talíře jako kulatý a jen málokdo by talíř nakreslil pomocí tvaru elipsy. Podobně nezkušený divák nemusí pochopit imaginární prostor v obraze vytvořený pomocí lineární perspektivy. Schopnost, která nám pomáhá „rozluštit iluzi“, je prostorová představivost. Potřebujeme ji například i při prohlížení fotografie. Je totiž chybou předpokládat, že vidění funguje jako fotografování. Fotografická projekce vychází z nehybné čočky, zatímco náš nedokonalý zrak získává obrazy okolního světa neustálým kmitáním oka.37 „Fotografie tedy nenapodobuje vidění, nýbrž umělé zpodobňování v perspektivní konstrukci. (…) V tom namnoze spočívá dnešní zájem o fotografii: dovádějíc do důsledků principy perspektivy, objevuje nám neviditelné.“38 V současnosti jsme fotografiemi obklopeni už od útlého dětství a tudíž na způsob tohoto zobrazení navyklí. Přesto mají někteří lidé problém s řešením některých nakreslených „prostorových“ schémat a musí prostorovou představivost záměrně rozvíjet. Řešíme-li optickou stránku barevnosti ve výtvarném umění, musíme opět zmínit světlo. Vždyť jen pomocí světla můžeme vnímat barvy. Paprsek bílého „viditelného světla“ je složen z celého spektra barev – různé frekvence světla vnímáme jako rozličné barvy (obr. 7).
obr. 7_ Spektrum viditelného záření světla
37
srov. CHALUPECKÝ, Jindřich a Jan ŠULC. Evropa a umění. Vyd. 1. Praha: Torst, 2005, ISBN 8072152645. s. 286 38 Tamtéž. s. 289
24
Podobně jako u pigmentových barev existují primární barvy i u světelných barev. Jsou jimi červená, zelená a tmavě modrá. Překrytím těchto tří primárních barevných světel získáme světlo bílé. Sekundární barvy jsou žlutá (červené a zelené světlo), azurová (modré a zelené světlo), purpurová (červené a modré světlo).39 Vzpomeňme si na primární a sekundární malířské barvy. Jednalo se také o těchto šest barev. Avšak základní pigmentové barvy, z kterých lze namíchat libovolný odstín, jsou u světla barvami sekundárními a naopak. Míšení světelných barev se nazývá aditivní.40 Proč jsou pro nás barvy světla tak důležité při úvahách o zobrazování? Barevné vlastnosti předmětů, které vidíme (chceme zobrazit), vnímáme právě díky světlu. Tuto důležitou funkci světla si při běžném dívání neuvědomujeme. „Světlo je neviditelné, dosud nikdo ho neviděl. Viditelným se stává teprve na hmotě.“41 Při dopadu na předmět se část světla odrazí a část předmět absorbuje. To, jaké množství světla se odrazí, závisí na délce vlny světla, povaze hmoty, úhlu dopadu i rozdílu mezi jednotlivými látkami, tedy mezi prostředím a předmětem (například vzduchem a papírem, vodou a pískem).42 Odražené složky světla jsou barvou, kterou vnímáme. Světlo při dopadu na předmět se tedy do jisté míry rozloží. A obráceně lze říct, že „barva odražená“ a „barva vstřebaná“ se vzájemně doplňují na světlo bílé. Zajímavé na tomto procesu je, že vztah barvy „vstřebaného světla“ k barvě, kterou vidíme, odpovídá protilehlým barvám z kruhu (viz. předchozí kapitola). Právě pro tuto spojitost se barvy protilehlé nazývají také doplňkové. Skutečnost, kterou si při vnímání barev neuvědomujeme, ale malíři ji ve své tvorbě využívají, je, že doplňková barva k barvě předmětu bývá obsažena v jeho stínu.43 Uplatníme-li tuto vědomost ve své tvorbě, dosáhneme většího kontrastu mezi zobrazovaným předmětem a jeho stínem. Navíc je-li doplňková barva součástí stínu, tak se díky komplementárnímu kontrastu zvýrazní barevnost objektu.
39
srov. PARRAMÓN, José M. Teorie barev. 2. vyd. Praha: Svojtka a Vašut, c1998, ISBN 8072360469. s. 13 Aditivní znamená, že je založeno na skládání či sčítání. 41 SEILER-HUGOVA, Ueli. Barvy: vidět, prožívat, rozumět. Vyd. 1. Praha: Wald Press, 2009, ISBN 9788090393141. s. 27 42 srov. HANUŠ, Karel. O barvě: optická stránka barevnosti ve výtvarnictví. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1969, s. 24 43 Využívání tohoto poznatku je patrné například u postimpresionistických a fauvistických děl. 40
25
3. 2. Vývoj zobrazování prostoru Vnímání prostoru, orientace v něm, správné využití, odhad vzdáleností (či přesné měření), to jsou problémy, s kterými se lidé potýkají od prvopočátku své existence. Vnímání prostoru, osahání hmotných věcí, uchopení různých předmětů a jejich opětovné rozpoznání patří k vývoji každého člověka. Vnímání prostoru, sledování různých forem, rozpoznávání elementárních tvarů a vlastností a snaha o jejich zachycení, o přenesení informace z prostoru do plochy je lidstvu vlastní dlouhá tisíciletí. Výtvarné projevy jsou stejně jako náznaky matematického myšlení spjaty už se začátkem lidské existence. Zatímco výtvarná tvorba je pro člověka jeden ze způsobů vyjadřování, tudíž se zrodila přirozeně a spontánně, vznik matematiky je účelový. První náznaky matematického myšlení souvisí s řešením každodenních problémů našich předků. Různé matematické disciplíny mohly mít základ v rozličných lidských činnostech. Chceme-li si všímat zobrazování prostoru na plochu, musíme kromě dějin umění sledovat především vývoj geometrie. Geometrie je „nauka o vlastnostech a vzájemných vztazích prostorových útvarů“44. S nadsázkou můžeme říct, že jedno z prvních geometrických cvičení, které lidé řešili, bylo zdobení keramiky, kdy chtěli pomocí obrazců vyplnit plochu tvořenou stěnou vázy. Než se učenci začali věnovat matematice jako samostatnému vědnímu oboru, byly geometrické problémy nejčastěji součástí zemědělství (výměra polí) a stavitelství (tvar a objem, poměry jednotlivých částí…). V průběhu dějin matematika ovlivňovala vývoj jiných odvětví (hospodářství, stavitelství, filozofii, umění a technickou vyspělost) a samozřejmě problémy různých dob měly vliv na vývoj matematiky. Malíři, snažící se ve svých obrazech zachytit svět co nejvíc reálně, nadšeně přijímali matematické poznatky (kompoziční pravidla, zlatý řez, lineární perspektiva). Ale i naopak – kreativitu, představivost a přístup některých umělců můžeme najít za pokroky ve vývoji geometrie. Dnes v matematice (geometrii, stereometrii45) běžně používáme různé druhy perspektiv či promítání při zobrazování prostorových těles. Při pohledu do historie zjistíme, že mnohé vědecky podložené techniky známe jen relativně krátkou dobu. Je tedy na místě otázka - Kdy se u lidí zrodila potřeba zobrazovat „prostorově“?
44
KRAUS, Jiří. Nový akademický slovník cizích slov A-Ž. Vyd. 1. Praha: Academia, c2005, ISBN 8020013512. s. 276 45 Stereometrie je prostorová geometrie, tedy nauka o prostorových útvarech.
26
3. 2. 1. Pravěk – intuitivní prostor Z jeskynních maleb můžeme vyčíst, že „pravěký umělec“ zachycuje dění kolem sebe. Prostor a vztahy mezi jednotlivými objekty neřeší. (Vnímáme jej spíš intuitivně.) Má tendenci zjednodušovat tvary a abstrakcí jim přisuzovat různé významy. Můžeme se zde (na stěnách jeskyní nebo střepech keramiky) setkat například s kolečkem, může to být symbol slunce, oka nebo hlavy. Spatříme-li na vykopávce vlnovku, předpokládáme, že vlnovka znázorňovala pohyb větru nebo vlny na vodní hladině. Tento fakt, že jde tedy o symboliku, o abstrahování vlastností a členění do množin (vždyť slunce, oko a hlava jsou množina koleček), lze považovat za počátek matematického myšlení. Přímo stereometrické uvažování pravěkých lidí nemůžeme doložit ve formě nákresu, svědčí o něm však předměty, které produkovali. Z praktických důvodů se totiž naši předci záhy naučili vyrábět jednoduchá tělesa – části nástrojů, nádoby, rituální předměty, stavební díly. Mnohé z nich se podobaly elementárním geometrickým tělesům (válec, koule, hranol). Neměli důvod, proč tyto předměty zakreslovat a tak, i když známe kamenné modely pravidelných mnohostěnů z období tři tisíce let před naším letopočtem, zmínky o jejich konstrukci v ploše datujeme až o dvě a půl tisíciletí později.
3. 2. 2. Starověk – zhmotnění plochy Ani z období velkých starověkých civilizací jako jsou Egypt a Mezopotámie nemáme dochovány žádné kresby prostorových či geometrických těles (přestože tělesa z n-úhelníku lidé tehdejší doby znali i vytvářeli). V prozkoumaných matematických textech z Egypta jsou rozepsány úlohy řešící výpočet obsahu trojúhelníku, čtyřúhelníku, kruhu, úlohy řešící výpočet úhlu, který svírá základna a stěna jehlanu (pyramidy), také úlohy o objemu kvádru (sýpky o čtvercovém půdorysu), válce (sýpka o kruhovém půdorysu) a komolého jehlanu. Podobně se i v úlohách prostorové geometrie z Mezopotámie řeší objemy těles souvisejících s běžným životem (výpočet objemů či rozměrů různých domů, kanálů, náspů). Značení a mnohdy i postupy jsou samozřejmě odlišné od těch, které používáme my. Některé výpočty jsou přesné, jiné jen přibližné. Učenci z těchto dvou civilizací mají společné, že i když řešili úlohy o objemech prostorových těles, nezobrazovali prostor do plochy. Při ilustrování příkladu o výpočtu objemu sýpky (kvádru) použili znak čtverce. Řešili-li výšku či sklon pyramidy,
27
zakreslili ji jako trojúhelník.46 Schémata či nákresy prostorových těles do jedné roviny se v Egyptě neobjevují ani ve stavitelství či sochařství. Objekt se kreslil pomocí půdorysu, nárysu a stranorysu (využívali kolmého promítání). Přesnou podobu (kolmý průmět) objektů mnohdy rýsovali na stavební materiál v odpovídajících rozměrech nebo i v určitém měřítku na papyrus. V jisté míře využívali podobnost, pomocí čtvercové sítě mohli předkreslený tvar ve zvoleném měřítku zvětšovat.47 Na nástěnných malbách v zobrazeném prostoru však neřeší vztahy mezi jednotlivými předměty. Dva sousedící předměty jsou mnohdy zobrazeny každý z jiného úhlu pohledu (kolmé průměty na různé roviny), například svrchu či z boku.
Kolem šestého století před naším letopočtem se díky přístupu řeckých učenců rozvíjí matematika. Známe pověsti o velkých myslitelích a jejich práci, o spolcích a školách, díky nimž došlo v poměrně krátké době k všestrannému rozkvětu myšlení. Na rozvoj matematiky měla v té době velký vliv pythagorejská škola. Skrze zkoumání harmonií čísel se její představitelé chtěli dopracovat k harmonii světa. Věnovali se aritmetice, rovinné i prostorové geometrii. „Pythagorejci zastávali názor, že geometrie, která si zasluhuje být studována, je ta, která povznáší duši (namísto té, která se jen snaží usnadnit život).“ 48 I když některé jejich předpoklady (tudíž i závěry) nebyly správné, na systém poznatků, který Pythagorejci vybudovali, navazují další známí myslitelé (Archytás, Platón, Aristotelés). Kolem roku tři sta před naším letopočtem zpracoval Eukleides důležité rozsáhlé dílo – Stoicheia (Základy). Toto dílo čítá třináct knih, ve kterých „shrnul většinu matematických poznatků své doby jako ucelenou teorii vybudovanou podle principů zformulovaných Aristotelem.“49 Celé tři knihy věnuje geometrii prostoru. Popisuje zde například polohové vlastnosti přímek a prostorů. Shrnuje poznatky o tělesech a jejich vzájemných vztazích. Přitom Eukleidova geometrie není nauka o celém prostoru, nýbrž o tělesech, které obklopuje prázdnota. „Prázdnota, která se rozprostírá kolem geometrických objektů, rozhoduje o tom, které geometrické objekty lze uskutečnit a které uskutečnit nelze.“50 (Významnost této práce dokazuje fakt, že byla jen v málo pozměněné a zjednodušené formě využívaná jako učebnice geometrie ještě v minulém století.) 46
srov. BEČVÁŘ, Jindřich, BEČVÁŘOVÁ, Martina, VYMAZALOVÁ, Hana. Matematika ve starověku: Egypt a Mezopotámie. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2003, 371 s. ISBN 8071962554. 47 srov. KADEŘÁVEK, František a DAFER. Geometrie a umění v dobách minulých. Praha: Půdorys, 1994, ISBN 8090079156. s. 12 48 FUCHS, Eduard. Matematika v proměnách věků. IV Brno: Akademické nakladatelství CERM, 2007, [2] l. obr. příl. ISBN 9788072045365. s. 9 49 BEČVÁŘOVÁ, Martina. Eukleidovy Základy: jejich vydání a překlady. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2002, ISBN 8071962333. s. 12 50 EUKLEIDÉS,. Základy. 1. vyd. Kanina: OPS, 2011, 152 s. ISBN 9788087269244. s. 10
28
Ve výtvarném umění se objevuje snaha o reálné zobrazení prostoru (mozaiky a malby v Pompejích, dekorace od Agatharchose). Tato perspektiva je spíš intuitivní, ale prostorovost podtrhuje záměrná hra světel a stínů v kombinaci s rozmazaným pozadím. Shrnutí poznatků tehdejších učenců o pravidlech perspektivního zobrazování sepsal Vitruvius ve své práci De architectura. Tento architekt vycházel z předpokladu, že klamnost zrakového vidění je závislá na hustotě vzduchu, proto se musí některé přímky nahradit křivkami a některé části ztenčit či naopak. Zajímavé je, že se nesnažil být objektivní. Chtěl pomocí deformací zachycovat ideální objekty.51
3. 2. 3. Středověk – krok zpět V období středověku vývoj zobrazování prostoru stagnoval. To souvisí s celkovým poklesem zájmu o vědu. Matematika se využívá především kvůli řešení praktických problémů. Kvůli potřebám architektury a sochařství se v takzvaných hutních školách učí metoda kolmého promítání. Učni zakreslovali (obdobně jako v Egyptě) kolmé průměty předmětu svrchu (půdorysna), zepředu (nárysna) či boku (bokorysny). Ve školách sedmi svobodných umění je geometrie také zařazena, ale její součástí „je hlavně soubor geografických poznatků (…) teprve v závěru je krátká pasáž o geometrických útvarech.“52 Později k rozvoji prostorové geometrie přeci jen pozvolna dochází kvůli potřebám architektonických stylů. „Potreba složitejšíh a sofistikovanejšíh vedomostí z geometrie sa vynorila s rozvojom románskeho staviteľstva od 11. storočia a značne vzrastala s nástupom a rozmachom gotickej cirkevnej i svetskej architektúry v nasledujúcich storočiach. Rastúce nároky na obsah, objem i úroveň praktických aritmetických i geometrických vedomostí pomáhali saturovať od 11. storočia aj katedrálne a mestské školy“53. Stále se ale setkáváme s obrazy vzniklými užitím nevhodných kombinací pohledů svrchu a z boku. Je tedy patrné, že autor měl zájem o znázornění jednotlivých předmětů, ale už se tolik nezabýval jejich vzájemnými vztahy. Neřešil prostor mezi objekty. Některá zobrazení připomínají kombinace několika volných rovnoběžných promítání.
51
srov. INGERLE Petr. Příběh perspektivy : dějiny jedné ideje: od renesance k modernímu umění a myšlení. Vyd. 1. Brno: Barrister & Principal : Moravská galerie v Brně, 2010. ISBN 9788070272299. s. 7 52 BEČVÁŘ, Jindřich. Matematika ve středověké Evropě. Praha: Prometheus, 2001, ISBN 80-7196-232-5. s. 70 53 FUCHS, Eduard. Matematika v proměnách věků. IV Brno: Akademické nakladatelství CERM, 2007, [2] l. obr. příl. ISBN 9788072045365. s. 138
29
3. 2. 4. Novověk – Od renesance k Mongeovi Zlom nastává ve chvíli, kdy se učenci začali zaobírat prostorem kolem jednotlivých geometrických těles. „Na počátku novověku se do zájmů geometrů dostávají nutnosti svazující vytváření geometrických objektů a posléze i samotný prostor, který se později stává hlavním předmětem studia geometrie. Popud k této změně směru geometrických bádání nepochybně vzešel z přírodovědy. Novověká přírodověda totiž hledala řád reálného světa a sice jako určitou skladbu nutností, jimiž jsou sevřeny události a děje tohoto světa. Ztotožnění prostoru reálného světa s třírozměrným prostorem geometrickým pak povýšilo geometrii na vědu přírodní“54. Období renesance tedy znamená pro geometrii další posun kupředu. Zobrazováním prostoru se v tomto období zabývají nejen matematici, ale i umělci. Upouštělo se od kolmého promítání a obrazům se dodávala plasticita pomocí sbíhání hloubkových přímek (přímky kolmé k nákresně) do jednoho bodu, zpočátku ale obraz postrádal úběžný bod nebo jich měl několik. „V rýdzo geometrickom ohľade už od 13. storočia intenzívne pracovala na exaktnom formovaní metód lineárnej perspektívy celá plejáda výtvarných umelcov a vedcov.“55 Už v sedmdesátých letech třináctého století napsal filosof a učenec Witelo desetidílný traktát Perspectiva. Ten ovlivnil v následujících stoletích „autory píšící o geometrické optice, kterou lze chápat jako jednu z větví aplikované matematiky. Stojí tedy v jistém smyslu i u zdroje teorií perspektivy, jež vzešla z geometrické optiky.“56 Na rozvoji lineární perspektivy se výrazně podílel také architekt a teoretik umění Filippo Brunelleschi. Některé umělce nauka o lineární perspektivě natolik fascinovala (například Paolo di Donno zvaný Uccello), že ji dovedli k dokonalosti
a
přistupovali
k zobrazování
předmětů
stejně
jako
matematici
při
geometrických konstrukcích. Vznikaly knihy věnující se tomuto problému. Výtvarní umělci oproti matematikům mohli v zobrazování prostoru využívat další prostředek – vzdušnou perspektivu. Její principy využívané k dosažení prostorovosti obrazů popisuje například Leonardo da Vinci. Jedna z prvních učebnic lineární perspektivy z patnáctého století je od Piero della Francesca. Píše v ní o lineární perspektivě, že je to „průmět prostorového úvaru, který je získán jako 54
EUKLEIDÉS. Základy. 1. vyd. Kanina: OPS, 2011, 152 s. ISBN 9788087269244. s. 10 FUCHS, Eduard. Matematika v proměnách věků. IV Brno: Akademické nakladatelství CERM, 2007, [2] l. obr. příl. ISBN 9788072045365. s. 139 56 INGERLE Petr. Příběh perspektivy : dějiny jedné ideje: od renesance k modernímu umění a myšlení. Vyd. 1. Brno: Barrister & Principal : Moravská galerie v Brně, 2010. ISBN 9788070272299. s. 19
55
30
průnik zorného kužele s rovnou průmětnou.“57 Jak již bylo dříve zmíněno, tak v matematické terminologii jde o středové promítání na svislou rovinu - nákresnu, kdy středem promítání je naše oko a nákresnou malířské plátno. V šestnáctém století pak podrobně popisuje lineární perspektivu a rozebírá její geometrickou konstrukci také Albrecht Dürer. Bylo by ale mylné domnívat se, že renesanční perspektiva vznikala jenom z touhy po nápodobě skutečnosti. Arnheim (1982) vysvětluje, že renesanční systém perspektivy vznikl, „aby poskytl kontinuum prostoru do hloubky“.58 Šlo tedy o vytvoření jednotného obrazového prostoru, ve kterém jsou čitelné vztahy mezi jednotlivými předměty. Umělci využívali matematické konstrukce a výtvarné prostředky navozující tuto iluzi prostoru. Mimo lineární perspektivu se koncem šestnáctého století už běžně (při kresbě například plánů hradeb, zachycení vojenských tažení a bitev) k zobrazování prostoru používá kavalírní perspektiva. Rozvíjí se deskriptivní a analytická geometrie, ale jen ve dvou dimenzích. Různé teorie a experimenty s konstrukcí prostorových útvarů vrcholí ke konci osmnáctého století v práci Gasparda Mongeho Geométrie descriptive. Pomocí promítání na dvě kolmé průmětny dosáhl přesného zakreslení objektů, které se používá v technické praxi dodnes.59
3. 2. 5. Od 19. století po současnost Jak vytvořit dojem, že má plocha prostor a objem, bylo stále více technickou otázkou. Vynález fotografie, vývoj nových technologií, film… Teorie zobrazování už existovala a záleželo na umělcích, zda chtěli (a jakým způsobem) využít těchto znalostí. Vedle geometrických metod značně ovlivnily malbu nové poznatky o optice. Změnu ve vnímání barev okolního prostředí můžeme vyčíst z impresionistických děl, ale ve výrazné podobě se objevuje u neoimpresionistů. „Barvy už se nemíchaly na paletě (kromě sousedících barev spektra), byly umísťovány vedle sebe na plátno, exaktně a podle pravidel vědecké analýzy světla“60. Postimpresionisté a fauvisté používali „techniku dosahování maximálních kontrastů pomocí doplňkových barev“61. Došlo i ke změně v roli geometrie. Ta se stala pomocníkem nejen při konstrukci obrazu reálného světa, ale také podpornou součástí formy subjektivního 57
FUCHS, Eduard. Matematika v proměnách věků. IV Brno: Akademické nakladatelství CERM, 2007, [2] l. obr. příl. ISBN 9788072045365. s 70 58 původně z ARNHEIM, Rudolf. The Power of the Center: A Study of Composition in the Visual Arts, University of California Press, Berkley 1982, revid. vyd., s. 49 vzato z KESNER, L. Vizuální teorie: Současné angloamerické myšlení o výtvarných dílech. První vydání. Jinočany: H&H, 1997. ISBN 80-86022-17-X. s. 199 59 srov. ŘÍHA, Ota. Konstrukční geometrie. 2. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2009, ISBN 9788021048034. s. 111 60 WALTHER, Ingo F a Karl RUHRBERG. Umění 20. století. Praha: Slovart, c2004, ISBN 8072095218. s. 13 61 PARRAMÓN, José M. Teorie barev. 2. vyd. Praha: Svojtka a Vašut, c1998, ISBN 8072360469. s. 44
31
originálního ztvárnění (i nereálných) myšlenek. Například Klee vidí geometrii, jako prostředek „konstrukce nového světa, jednoho z možných světů.“62 Různé směry či hnutí měly k využívání geometrie ve své tvorbě odlišné názory. V některých kubistických dílech se uplatňovala metoda rozložení námětu na jednotlivé elementární tvary. Ty se pomocí různých projekcí a perspektivních zobrazení stávaly znovu celkem. „Jednou z intencí kubistického osvobození se ze zákonů perspektivy byla tedy i možnost svobodného deformování předmětů podle „vyšších“ zákonitostí, než je lineární perspektiva.“63 Někteří zástupci surrealismu využívali pravidel perspektivy při deformaci nereálných figur. A naopak jiní surrealisté zdánlivě reálně zachytili architekturu či krajinu, ale při bližším zkoumání zjistíme, že obraz postrádá perspektivu, nebo jich tam je několik kontrastně odlišných. Styl obzvlášť zaměřený na nedokonalost lidského vnímání a vycházející ze zkoumání optiky byl nazvaný Op – art. „Tato příbuznost mezi vědeckými a uměleckými jevy, které normálně unikají vnímání, dává op – artu určitou neočekávanou dimenzi.“64 Využívání optických klamů a iluzí je společné pro další umělecké styly (Bauhaus, Dadaismus, Konstruktivismus, Orfismus, Futurismus, Neoimpresionismus)65. Umělci některých avantgardních směrů šedesátých a sedmdesátých let dvacátého století využívali matematických a geometrických poznatků k zobrazování nejednoznačnosti a demonstrování paradoxu. „Zatímco od počátku 20. století hrál perspektivně konstruovaný prostor v umění roli srovnatelnou s tradičním akademismem a o jeho rozbití se zasloužila různou měrou řada avantgardních uměleckých směrů, tvůrci 60. a 70. let se zaměřili na zkoumání paradoxní stránky perspektivy a na její demonstraci v tvorbě perspektivních ambignit.“66 V současnosti se v umění běžně využívá počítač. Existuje řada programů zaměřených na vizualizaci prostorových situací. Možnost originálně zobrazit prostor v ploše je zpřístupněná i lidem, kteří v podstatě neznají metody a prostředky sloužící k zobrazování. A naopak právě díky teoretickým znalostem dokáží někteří umělci a specialisté vytvářet „náhledy“ na problémy, které jsme si dříve nedokázali představit. Opět se může propojovat matematika s výtvarným tvořením. Stačí například zadat při programování do vzorce místo proměnných odstíny barev a program vygeneruje obraz. Ten lze pomocí různých médií dále měnit. 62
BEČVÁŘ, Jindřich, FUCHS, Eduard. Člověk - umění - matematika: sborník přednášek z letních škol Historie matematiky. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, ISBN 8071960314. s. 25 63 INGERLE Petr. Příběh perspektivy : dějiny jedné ideje: od renesance k modernímu umění a myšlení. Vyd. 1. Brno: Barrister & Principal : Moravská galerie v Brně, 2010. ISBN 9788070272299. s. 114 64 PIJOÁN, José. Dějiny umění. Vyd. 4., v Knižním klubu 1. V Praze: Balios, 2000, ISBN 802420218210. s. 224 65 srov. DEMPSEYOVÁ, Amy. Umělecké styly, školy a hnutí: encyklopedický průvodce moderním uměním. 1. vyd. Praha: Slovart, c2002, 304 s. ISBN 8072094025. 66 INGERLE Petr. Příběh perspektivy : dějiny jedné ideje: od renesance k modernímu umění a myšlení. Vyd. 1. Brno: Barrister & Principal : Moravská galerie v Brně, 2010. ISBN 9788070272299. s. 125
32
Právě využívání kombinací rozličných médií je pro dnešní dobu typické. Umělci propojují malířské prostředky s prostorovou tvorbou, hudbou, akčním uměním… Někteří se snaží „přestavět“ hotová díla jiných autorů, další hledají a vytváří nové formy. Vždyť technologie nám umožňují na plochu zobrazovat nejen prostor, ale i pohyb.
33
4. Má tvorba – Variace na vzorce „Představivost je důležitější než vědomosti.“ Albert Einstein67
To, co vytvářím, vychází z mého nitra. Protože se vyvíjím, vyvíjí se i má tvorba. Nijak přímo, dalo by se říct, že prochází cykly. Je ovlivňována mými náladami, emocemi, momentálními zájmy. Důležitá je inspirace, jež vychází z životních situací či snění. Překvapivě se pro mě stalo inspirací i studium. Někteří lidé se podivují, že studuji výtvarnou výchovu a matematiku. Tyto obory jim k sobě nesedí. Na jejich dotazy ohledně této kombinace jsem jim dřív nedokázala odpovědět jinak než: „Mě to baví!“. I já jsem tyto obory brávala jako dva rozličné světy. Při výtvarných činnostech jsem uspokojovala potřebu tvořit a v matematice touhu poznávat a logicky myslet. Stále více si však uvědomuji, že se tyto oblasti propojují a v mém nitru splývají v jeden svět. Dá se říct, že za to může imaginární povaha matematiky, která vždy vyburcuje mou představivost k činu. Kam až sahá moje paměť, ráda jsem si něco představovala (asi jako každé dítě). Ležela jsem na louce a představovala si, kolik různých neviditelných bytostí by tu mohlo žít. Četla knihy a ilustrací mi byly mé představy. Většina mých kreseb a maleb té doby byly z představy. Naučit se kreslit dle skutečnosti byla (a pořád je) výzva. Ale motivem mých výtvorů je nejčastěji „tak trochu jiná realita“. Načrtnu svou vizi a potom ji třeba upravuji. Zkouším, zda dokáži přenést obraz ze své hlavy na papír. V tu chvíli se konfrontuje má představivost s mou kreslířskou zručností. Při studiu deskriptivní geometrie kresbu nahradilo rýsování a volné představy byly vyměněny za definice, pravidla a metody, ale i přesto bylo něco vzrušujícího na vytváření imaginárních objektů v ploše. A když jsem odložila úhloměr, pravítka a kružítka má mysl putovala právě stvořeným prostorem. Občas jsem si představovala, jak by asi vypadaly průniky různých dimenzí či vnoření rozličných těles do sebe. Tenkrát (asi před třemi roky) zůstalo jen u představ. Když jsem začala přemýšlet o tématech vhodných pro svou diplomovou práci, nebyla jsem si jistá, které zvolit. A pak se to stalo. Na hodině didaktiky matematiky vyučující načrtla geometrický model operace s mnohočleny. Vzorec (a+b)3 = a3 +a2b +ab2 + b3 se znázorní jako 67
Citáty slavných osobností. CREATIVE COMMONS. Citaty.net [online]. [cit. 2013-04-01]. Dostupné z: http://citaty.net/autori/albert-einstein/
34
krychle složená z kvádrů a krychlí odpovídajících velikostí. Připadalo mi to dokonalé. Vzorec, který slouží při řešení různých (matematických) problémů, do kterého se dají dosadit za proměnné sumy peněz, množství látek, lidí nebo vteřin a řešit tak praktické záležitosti, tento vzorec má ve své geometrické podobě perfektní formu - tvar krychle. Přišla jsem ten den domů a stále dokola tu malou krychli kreslila. Snažila jsem se ji názorně zobrazit a barevně rozlišit jednotlivé části, abych mohla všem ukázat: „Jak je ta matematika skvělá!“. Ten den jsem se začala více zajímat o souvislosti mezi jednotlivými matematickými disciplínami, hlavně o vizualizaci některých vzorců. Časem jsem dospěla k závěru, že právě toto téma je pro mě ideální.
4. 1. Inspirace Inspirací se mi stala matematika. V matematice stejně tak jako v umění existují zástupné znaky. Smysl těchto symbolů můžeme různě vyložit. Záleží na tom, do jakých souvislostí je dosadíme. Myslím, že geometrické prvky mohou také být nositeli významů. Každý z nás je však může chápat trochu jinak. Například Kandinsky přisuzuje některým pojmům z geometrie lidské rysy. „Z hlediska hmoty se geometrický bod rovná nule. V této nule jsou ovšem skryty nejrůznější "lidské" vlastnosti. Nulu - geometrický bod si spojujeme s představou maximální úspornosti, tedy s krajní, ovšem výmluvnou zdrženlivostí.“68 Otevřeme-li svou mysl možnosti, že „geometrický prostor“ je abstrakcí skutečného světa nebo i jen části našeho vnitřního světa, můžeme matematiku vnímat jako poezii či abstraktní malbu. Vše vychází z bodu. Snad i na začátku vesmíru byl jen bod. Takové malé tiché nic, pohroužené samo do sebe, ale obsahující nesmírné množství energie. I při umělecké tvorbě je jeden malý bod důležitý. „Bod je výsledkem prvního střetnutí nástroje s materiální plochou, tedy se základní plochou. (…) Při tomto prvním střetnutí dojde k oplodnění základní plochy.“69 Určitým pohybem, sílou či energií se z bodu může stát přímka, z přímek plocha, z ploch prostor… Mou počáteční inspirací se stalo jedno z těles, která mohou vyplňovat prostor. Byla to krychle. Útvar vymezený šesti rovinami, dvanácti jejich průniky (hranami) a osmi vrcholy. Objekt tak jednoduchý svými jasně vymezenými vlastnostmi a rozmanitý v možnostech svého složení.
68
KANDINSKY, Wassily a Pavla PEČÍNKOVÁ. Bod - linie - plocha: příspěvek k analýze malířských prostředků. Vyd. 1. Praha: Triáda, 2000, ISBN 808613816x. s. 21 69 Tamtéž. s. 24
35
Jak už jsem zmínila, prvotní impulz ke vzniku této práce byl geometricky vyjádřený vzorec (a+b)3 = a3 +a2b +ab2 + b3. Při přemítání nad možnostmi dalších námětů mě zaujaly pojmy prostor a roviny v něm. Kolem sebe denně vidíme různé roviny, jež vymezují tvary předmětů (mnoho z nich je v navzájem kolmé poloze – prvky architektury, krabičky, nábytek). Ale jak by vypadaly věci, kdyby „roviny jejich stěn“ nekončily? Jak by vypadaly „průniky hraničních rovin“ dvou různých věcí? Jak by v takové realitě vypadalo setkání dvou lidí? Tyto otázky mě také podnítily k tvorbě. Další část série kreseb je tedy věnována průniku rovin. V průběhu tvoření jsem experimentovala s různými metodami zobrazování a zkoušela jejich kombinace, vzniklo tak několik obrazů s motivem řad těles v ustupujícím prostoru. Při zkoumání souvislostí, zejména historických, jsem se setkala s tendencí transformovat některé objekty na jiné. Pomocí různých řezů, modelace a výpočtů se matematici snažili například přetvořit krychli na kouli. Průběh této přeměny by se snad dal zachytit animací, v představách ho vidím jen mlhavě. Ale v jisté zjednodušené formě se i tento proces objevuje v námětech mých kreseb. Posledním problémem, kterého jsem se svou tvorbou dotkla, je zobrazení krychle ve čtvrté dimenzi. Tato krychle bývá označována jako teserakt nebo hyperkrychle. „Teserakt je čtyřrozměrnou analogií obyčejné krychle. (…) Stejně jako krychli můžeme znázornit protažením čtverce do třetího rozměru a vytyčením jeho stopy v prostoru, tak i teserakt vznikne stopou, kterou krychle vytvoří při protažení do čtvrtého rozměru.“70 Zatímco klasická krychle je ohraničená čtvercovými stěnami, stěny hyperkrychle jsou tvořeny z krychlí. V matematice se čtvrtý rozměr běžně používá při výpočtech, ale vizualizaci tohoto předmětu je těžké si představit. (Ke konstrukci přibližné podoby se využívá počítačů.) Přemýšlení o čtvrté dimenzi mě opět svádělo k filosofickým úvahám. „Teologové dříve spekulovali, že ve čtvrtém rozměru se nachází nebe, peklo a andělé a že tam budou po smrti přebývat naše duše.“71 Záhadnost čtvrtého rozměru ve svých kresbách ztvárňuji jako jakési rozpínání (krychle v) prostoru.
4. 2. Technika Při tvorbě cyklu obrázků, které jsou nedílnou součástí této diplomové práce, jsem se nejčastěji vyjadřovala prostřednictvím kresby. Při této výtvarné činnosti využívám různé kresebné 70
PICKOVER, Clifford A. Matematická kniha: od Pythagora po 57. dimenzi: 250 milníků v dějinách matematiky. 1. vyd. v českém jazyce. Praha: Argo, 2012, ISBN 9788073633684. s. 282 71
Tamtéž. s. 282
36
nástroje s ohledem na jejich vlastnosti. Nejčastěji jsem volila tužku, pastel, fixy, ale i pastelky a tuš. V některých případech jsem kresbu kombinovala s koláží. Kresba tužkou je pro mě nejpřirozenější. Je to nástroj, který nosím všude s sebou. Náčrty právě vnuknutých představ většinou vznikají tužkou. Pro ztvárnění geometrických námětů se skvěle hodí. Při kresbě tužkou dokáži být přesná, ale mohu i stínovat a „mlžit“. Tužka je pro mě zároveň spojnicí mezi uměleckou tvorbou a geometrií. Přesně vedenou linií mohu narýsovat objekt, ale různě silným přítlakem (jemnou či tlustou stopou) přeměním úsečky a přímky na hrany mající svůj stín, na průniky prostorů, na linie, jež jsou v symbióze či napětí se svým okolím. Podobnou vlastnost mají i pastelky. Většinou zanechávají silnější stopu, ale tyto výrazné barevné linie lze využít pro zachycení kontrastů. Pastelkami lze snadno stínovat, jemným přítlakem či nanášením vrstev pigmentu. Při překrývání více barev přes sebe se původní barva nestírá, nemaže, zůstává jasná. Tohoto efektu využívám, když chci navodit dojem průhlednosti ploch. Při takovémto použití pastelek mám pocit, že se dívám na dvě prosvítající roviny, zatímco při vrstvení pastelu se odstíny „až moc smíchají“ a takto vybarvená plocha vypadá jako jedna skvrnitá rovina. Ale tato vlastnost pastelu nemusí být jeho negativum. Mohu tímto způsobem naznačit například stěnu tělesa, na které se odráží barvy z okolí. Úskalí pastelu vidím spíše v jeho tendenci rozmazávat se. Opět je to zároveň i jeho přednost, protože se s ním skvěle stínuje. Krom suchých technik jsem pracovala i s tuší a fixem. Při znázorňování povrchu některých rovin jsem nanášela tuš štětcem a využila barevnou plochu místo linií. Kresbu tuší také kombinují s koláží. Barevné kusy papírů přelepené přes sebe představovaly opět roviny a různě přerušované černé linky měly naznačit jiný sklon „imaginárních ploch“. Některá umístění linií vychází z deskriptivní geometrie, jiné intuitivně doplňuji, aby výsledný „prostor“ odpovídal mým představám. Při opakovaném zobrazování trojdimenzionálních situací na plochu jsem zatoužila po prostorové tvorbě. Nechtěla jsem se však vzdalovat od cíle této práce a tak jsem alespoň vrstvila plochy papírů přes sebe. V průběhu tvorby jsem kvůli některým nedostatkům popsaných kresebných nástrojů (nevýrazná stopa tužky, nepřesnost pastelů, rozpíjení tuší) experimentovala i s jinými. Ve fixu jsem objevila ideální prostředek. S jeho použitím sice nastala naprostá redukce stínování, ale otisk fixu je natolik výrazný, že pomocí „pouhých linií“ jsem dokázala přesně vymezit vztahy v prostoru papíru. Využívám kombinace fixů s různě širokou stopou pro zvýraznění některých detailů a naznačení ideje, že ne všechny vztahy a zobrazené útvary jsou stejně důležité.
37
5. Závěr Variace na vzorce nejsou jen pouhou vizualizací matematických principů. I když použití matematických metod při tvorbě této práce zapřít nelze. Ani se o to nesnažím, ba naopak. Čerpám ze znalostí deskriptivní geometrie. Využívajíc konstrukční principy buduji tělesa a útvary, jež jsou mi blízké. Pomocí známých metod stavím mosty mezi různými dimenzemi. Zobrazuji svět, který vznikl abstrakcí všeho složitého. Prostor v jeho prostotě a jednoduché formě. Místo, kde si jednotlivé body hájí svou samotu nebo se spojují do přímek, roviny se míjejí, rozvírají, protínají nebo slučují do „dokonalých tvarů“, elementární útvary jsou ve vzájemném napětí či souznění. Při tvorbě těchto obrazů jsem uplatňovala možnost potlačit aspekty, které bývají obvykle důležité a vyzdvihnout ty vztahy, které třeba někdo považuje za vedlejší, za pomocné konstrukce. Prostor a objem v ploše je téma, kterým vymezuji teoretické zaměření své diplomové práce. V doprovodné textové části jsem sledovala vývoj zobrazování prostoru na plochu a různé prostředky, jak prostorovosti docílit. Mnohé otázky, které jsem si na začátku studia tohoto problému kladla, jsou zodpovězeny. Vyvstaly však některé nové. Jak zobrazit čtvrtý rozměr a jemu příslušné objekty? Lze vůbec čtvrtou dimenzi „vměstnat“ na dvourozměrnou podkladovou plochu? Jsou další dimenze někde mimo, nebo je obsahují všechny věci? Možná by bylo možné vytvořit obraz útvaru ze čtvrté dimenze do prostoru… Intuice mi říká, že se musím dobře dívat a mít otevřenou mysl. Třeba k rozluštění této otázky jen stačí změnit úhel pohledu. Jednoduše napsáno: diplomová práce mně odpověděla na mnohé otázky, ale navíc mi dala až nečekaně výraznou inspiraci pro budoucí výtvarnou tvorbu.
38
6. Resumé
6. 1. Resumé Výsledkem diplomové práce je soubor obrazů vytvořených pomocí kresby. Inspirací pro jejich tvorbu mi byly různé stereometrické útvary a geometricky vyjádřené vzorce. V doprovodné textové části jsem uvedla své inspirační zdroje (ke kterým patří zejména matematika), použité techniky a teoretické souvislosti. Popsala jsem zde matematické a výtvarné prostředky, které slouží k zobrazování prostorovosti, a vývoj zobrazování prostoru na plochu.
6. 2. Summary The result of my graduation thesis is the collection of pictures made by drawing. The various stereometric forms and formulas expressed geometrically were an inspiration for creating them. In the theoretic part of this thesis I reported on my sources of inspiration (which include mathematics), used techniques and theoretical context. I describe the mathematical and artistic means used to display spatiality and an evolution of imaging space on the surface here.
39
7. Použité zdroje
7. 1. Literatura ARNHEIM, Rudolf. The Power of the Center: A Study of Composition in the Visual Arts, University of California Press, Berkley 1982, revid. vyd.
BEČVÁŘ, Jindřich, Martina BEČVÁŘOVÁ a Hana VYMAZALOVÁ. Matematika ve starověku: Egypt a Mezopotámie. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2003, 371 s. ISBN 8071962554.
BEČVÁŘ, Jindřich a Eduard FUCHS. Matematika v 16. a 17. století: seminář Historie matematiky III : Jevíčko, 18.8.-21.8.1997. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1999, 321 s. ISBN 8071961507.
BEČVÁŘ, Jindřich a Eduard FUCHS. Člověk - umění - matematika: sborník přednášek z letních škol Historie matematiky. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 186 s. ISBN 8071960314.
BEČVÁŘ, Jindřich a Eduard FUCHS. Historie matematiky I: seminář pro vyučující na středních školách : Jevíčko, 19.8.-22.8.1993 : sborník. 1. vyd. Brno: Jednota českých matematiků a fyziků, 1994, 241 s.
BEČVÁŘOVÁ, Martina. Eukleidovy Základy: jejich vydání a překlady. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2002, 297 s. ISBN 8071962333.
CRHÁK, František. Prostor a perspektiva. 4. vyd. V Praze: Státní pedagogické nakladatelství, 1984.
DEMPSEYOVÁ, Amy. Umělecké styly, školy a hnutí: encyklopedický průvodce moderním uměním. 1. vyd. Praha: Slovart, c2002, 304 s. ISBN 8072094025.
EUKLEIDÉS. Základy. 1. vyd. Kanina: OPS, 2011, 152 s. ISBN 9788087269244.
40
FUCHS, Eduard. Matematika v proměnách věků. Brno: Akademické nakladatelství CERM, 2007, 223 s., [2] l. obr. příl. ISBN 9788072045365.
HANUŠ, Karel. O barvě: optická stránka barevnosti ve výtvarnictví. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1969, 92 s.
CHALUPECKÝ, Jindřich a Jan ŠULC. Evropa a umění. Vyd. 1. Praha: Torst, 2005, 553 s. ISBN 8072152645.
INGERLE Petr. Příběh perspektivy : dějiny jedné ideje: od renesance k modernímu umění a myšlení. Vyd. 1. Brno: Barrister & Principal : Moravská galerie v Brně, 2010. ISBN 9788070272299.
KADEŘÁVEK, František a DAFER. Geometrie a umění v dobách minulých. Praha: Půdorys, 1994, 87 s., 37 s. ISBN 8090079156.
KANDINSKY, Wassily a Pavla PEČÍNKOVÁ. Bod - linie - plocha: příspěvek k analýze malířských prostředků. Vyd. 1. Praha: Triáda, 2000, 191 s. ISBN 808613816x.
KESNER, L. Vizuální teorie: Současné anglo-americké myšlení o výtvarných dílech. První vydání. Jinočany: H&H, 1997. ISBN 80-86022-17-X.
KLEE, Paul. Čáry. Vyd. 1. Praha: Odeon, 1990, 171 s. ISBN 8020701125.
KRAEMER, Emil. Zobrazovací metody: (promítání rovnoběžné). 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1991, 245 s. ISBN 8004217788.
KRAEMER, Emil. Zobrazovací metody: (promítání rovnoběžné). II. díl. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1991, 460 s. ISBN 8004217788.
KRAUS, Jiří. Nový akademický slovník cizích slov A-Ž. Vyd. 1. Praha: Academia, c2005, 879 s. ISBN 8020013512.
41
KUŘINA, František. Deset geometrických transformací. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2002, 282 s., [8] s. obr. příloh. ISBN 8071962317.
MENŠÍK, Miroslav a Ota SETZER. Deskriptivní geometrie. 3. vyd. Praha: SNTL Nakladatelství technické literatury, 1981, 181 s.
MRÁZEK, Jiří. Taje matematiky. Praha: Práce, c1986, 246 s.
Naučte se kreslit lidské tělo. Vyd. 1. Překlad Jan Feldstein. Brno: Zoner Press, 2009, 143 s. Encyklopedie Zoner Press. ISBN 978-80-7413-028-1.
PARRAMÓN, José M. Teorie barev. 2. vyd. Praha: Svojtka a Vašut, c1998, 112 s. ISBN 8072360469.
PICKOVER, Clifford A. Matematická kniha: od Pythagora po 57. dimenzi: 250 milníků v dějinách matematiky. 1. vyd. v českém jazyce. Praha: Argo, 2012, 542 s. ISBN 9788073633684.
PIJOÁN, José. Dějiny umění. Vyd. 4., v Knižním klubu 1. V Praze: Balios, 2000, 300 s. ISBN 802420218210.
ŘÍHA, Ota. Konstrukční geometrie. 1. dotisk 1. vydání. Brno: Masarykova univerzita, 2002, 83 s. ISBN 80-210-2104-7.
ŘÍHA, Ota. Konstrukční geometrie II. 2. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2009, 80-223 s. ISBN 9788021048034.
SEILER-HUGOVA, Ueli. Barvy: vidět, prožívat, rozumět. Vyd. 1. Praha: Wald Press, 2009, 139 s. ISBN 9788090393141.
SMITH, Ray. Encyklopedie výtvarných technik a materiálů: [kompletní praktický průvodce nástroji, technikami a materiály pro malbu, kresbu, grafiku a tisk s více než 1000 ilustrací]. Vyd. 1. Praha: Slovart, 2000, 352 s. ISBN 8072092456.
42
STRONG, Donald E. Antické umění. Praha: Artia, 1970, 187 s.
ŠTRAUSS, Tomáš. Op-art: ABC umenie. 1. vyd. Bratislava: Vydavateľstvo Slovenského fondu výtvarných umení, 1969, 86 s.
WALTHER, Ingo F a Karl RUHRBERG. Umění 20. století. Praha: Slovart, c2004, 840 s. ISBN 8072095218.
7. 2. Internetové zdroje
Citáty slavných osobností. CREATIVE COMMONS. Citaty.net [online]. [cit. 2013-04-01]. Dostupné z: http://citaty.net/autori/albert-einstein/
PODLIPSKÝ, Rudolf. Základy výtvarné kultury: výtvarné prostředky. In: Unium.cz [online]. 2009 [cit. 2013-04-02]. Dostupné z: http://www.unium.cz/materialy/zcu/fpe/vytvarneprostredky-m13148-p1.html
43
8. Příloha - Obrazová dokumentace praktické diplomové práce
44
8. 1. (a+b)3 = a3 +a2b +ab2 + b3
Tužka a pastel na papíře, 29 x 20 cm
45
Pastel na papíře, 20 x 32 cm
46
Tužka a pastelka na papíře, 20 x 29 cm
47
Tužka a fix na papíře, 30 x 41 cm
48
Tužka a fix na papíře, 30 x 41 cm
49
8. 2. Průniky rovin
Kombinovaná technika – tuš, koláž, 41 x 30 cm
50
Tužka a tuš na papíře, 30 x 41 cm
51
Tužka a tuš na papíře, 18 x 30 cm
52
Pastel na papíře, 30 x 41 cm
53
Tuš na papíře, 20 x 29 cm
54
Pastelka na papíře, 20 x 29 cm
55
Tužka a tuš na papíře, 20 x 29 cm
56
Pastel na papíře, 20 x 32 cm
57
Pastel na papíře, 20 x 29 cm
58
Tužka a tuš na papíře, 23 x 30 cm
59
Kombinovaná technika – tuš, koláž, 30 x 41 cm
60
Pastelka na papíře, 29 x 20 cm
61
8. 3. Řady těles
Kombinovaná technika – pastel, koláž, 41 x 30 cm
62
Tužka a pastel na papíře, 20 x 29 cm
63
Pastel na papíře, 20 x 29 cm
64
Fix na papíře, 30 x 41 cm
65
Pastel na papíře, 30 x 41 cm
66
8. 4. Transformace, modelace, řezy
Tužka a pastel na papíře, 29 x 20 cm
67
Pastel na papíře, 20 x 29 cm
68
Pastel na papíře, 20 x 29 cm
69
Pastelka na papíře, 20 x 29 cm
70
Pastel na papíře, 20 x 29 cm
71
Tužka a pastel na papíře, 20 x 29 cm
72
Tuš na papíře, 30 x 41 cm
73
Tužka a pastel na papíře, 29 x 20 cm
74
8. 5. Hyperkrychle
Fix na papíře, 41 x 30 cm
75
Pastel na papíře, 30 x 36 cm
76
Fix na papíře, 30 x 41 cm
77
