1/65
2/65
Obsah Obsah ...................................................................................................................................................................... 2 Aritmetická posloupnost ......................................................................................................................................... 4 1. Soustava rovnic, součet ............................................................................................................................. 4 2. AP - předpis .............................................................................................................................................. 5 3. AP - součet ................................................................................................................................................ 6 3. AP - pravoúhlý trojúhelník ....................................................................................................................... 7 4. Součet čísel v intervalu ............................................................................................................................. 8 Geometrická posloupnost ...................................................................................................................................... 10 2. Soustava rovnic I. ................................................................................................................................... 10 3. Soustava rovnic II. .................................................................................................................................. 10 4. Součet geometrické posloupnosti I. ........................................................................................................ 11 5. Součet geometrické posloupnosti II. ....................................................................................................... 11 6. Součet nekonečné řady ........................................................................................................................... 12 7. Užití geometrické posloupnosti .............................................................................................................. 13 Souřadnice bodů v rovině a v prostoru.................................................................................................................. 14 1. Vzdálenost bodů v rovině ....................................................................................................................... 14 2. Vzdálenost bodů v prostoru .................................................................................................................... 14 3. Střed úsečky v rovině .............................................................................................................................. 14 4. Střed úsečky v prostoru........................................................................................................................... 15 5. Určení souřadnice bodu v rovině pro danou vzdálenost ......................................................................... 15 6. Určení bodu úsečky pro daný střed ......................................................................................................... 15 7. Užití vzdálenosti a středu úsečky ............................................................................................................ 16 Vektory v rovině a v prostoru ............................................................................................................................... 17 1. Délka těžnice v trojúhelníku, obsah pravoúhlého trojúhelníka ............................................................... 17 2. Vektory v rovině z daných bodů, vektory kolmé .................................................................................... 17 3. Skalární součin vektorů - kolmost .......................................................................................................... 18 4. Úhel vektorů v rovině ............................................................................................................................. 18 5. Úhel vektorů v prostoru .......................................................................................................................... 19 6. Úhel v trojúhelníku ................................................................................................................................. 19 7. Vektory v prostoru z daných bodů, násobení vektoru číslem ................................................................. 19 Rovnice přímky v rovině ....................................................................................................................................... 21 1. Parametrická rce přímky strany trojúhelníka .......................................................................................... 21 2. Parametrická rce přímky tc- .................................................................................................................... 21 3. Parametrická rce přímky vc- ................................................................................................................... 22 4. Parametrická rce osy strany trojúhelníka ................................................................................................ 23 5. Obecná rce přímky strany trojúhelníka ................................................................................................... 24 6. Obecná rce přímky tabc . .......................................................................................................................... 24 7. Obecná rce přímky vabc. .......................................................................................................................... 25 8. Obecná rce osy strany trojúhelníka ........................................................................................................ 26 9. Parametrická rce rovnoběžky se stranou trojúhelníka............................................................................. 26 10. Obecná rce rovnoběžky se stranou trojúhelníka ..................................................................................... 27 11. Parametrická a obecná rce přímky tc- ..................................................................................................... 27 12. Parametrická rce přímky dané bodem a směrem .................................................................................... 27 13. Parametrická rce přímky dané bodem a normálou .................................................................................. 28 14. Parametrická rce přímky dané dvěma body ............................................................................................ 28 15. Obecná rce přímky dané bodem a normálou .......................................................................................... 28 16. Obecná rce přímky dané bodem a směrem ............................................................................................. 29 17. Obecná rce přímky dané dvěma body ..................................................................................................... 29 18. Úhel vektorů ........................................................................................................................................... 29 Vzájemná poloha dvou přímek v rovině ............................................................................................................... 30 19. Různoběžné - obecná a obecná přímka ................................................................................................... 30 20. Různoběžné - parametrická a obecná přímka ......................................................................................... 30 21. Rovnoběžné - parametrická a obecná ..................................................................................................... 30 22. Totožné - parametrická a obecná ............................................................................................................ 31
3/65 23. Totožné - parametrická a parametrická ................................................................................................... 31 Těžiště, střed kružnice opsané, vzdálenost bodu od přímky ................................................................................. 33 24. Těžiště trojúhelníka................................................................................................................................. 33 25. Střed kružnice opsané ............................................................................................................................. 34 26. Vzdálenost bodu od přímky .................................................................................................................... 35 Obsah trojúhelníka ................................................................................................................................................ 36 27. Obsah trojúhelníka .................................................................................................................................. 36 Výrazy s faktoriálem ............................................................................................................................................. 37 1. Úpravy čísel ............................................................................................................................................ 37 2. Krácení zlomků ....................................................................................................................................... 37 3. Sčítání zlomků ........................................................................................................................................ 39 4. Úpravy kombinačních čísel..................................................................................................................... 40 5. Důkazy .................................................................................................................................................... 41 Rovnice s faktoriálem ........................................................................................................................................... 42 1. Rovnice s faktoriálem ............................................................................................................................. 42 2. Rovnice s kombinačními čísly ................................................................................................................ 43 3. Rovnice s vytýkáním .............................................................................................................................. 44 4. Různé ...................................................................................................................................................... 44 Permutace, variace, kombinace ............................................................................................................................. 46 1. Variace bez opakování ............................................................................................................................ 46 2. Vlajka...................................................................................................................................................... 46 3. Permutace ............................................................................................................................................... 47 4. Variace s opakováním ............................................................................................................................. 47 5. Variace bez, s opakováním - čísla s nulou či podmínkou ....................................................................... 48 6. Dělitelnost ............................................................................................................................................... 49 7. Kombinace .............................................................................................................................................. 49 8. Kombinace bodů ..................................................................................................................................... 50 9. Permutace s opakováním ........................................................................................................................ 50 10. Kombinace s opakováním ....................................................................................................................... 51 11. Různé ...................................................................................................................................................... 51 Binomická věta (5) ................................................................................................................................................ 52 1. Obecná binomická věta ........................................................................................................................... 52 2. Základní binomický rozvoj I. .................................................................................................................. 52 3. Základní binomický rozvoj II. ................................................................................................................ 52 4. Užití binomické věty I ............................................................................................................................ 53 5. Užití binomické věty II ........................................................................................................................... 53 6. Určení binomického členu ...................................................................................................................... 54 7. Určení binomického koeficientu ............................................................................................................. 54 Klasická pravděpodobnost .................................................................................................................................... 56 1. Mince nebo děti. ..................................................................................................................................... 56 2. Pravděpodobnost výběru ze skupiny ...................................................................................................... 56 3. Pravděpodobnost výběru ze skupiny se součinem .................................................................................. 58 4. Kostka a kostičky .................................................................................................................................... 58 5. Pravděpodobnost výběru dvojciferného čísla ......................................................................................... 59 6. Pravděpodobnost výběru čísla ................................................................................................................ 59 7. Hod dvěma kostkami .............................................................................................................................. 60 8. Hod třemi kostkami ............................................................................................................................... 61 9. Různé ...................................................................................................................................................... 61 Podmíněná pravděpodobnost (4) ........................................................................................................................... 62 1. Pravděpodobnost doplňkového jevu - variace ........................................................................................ 62 2. Pravděpodobnost doplňkového jevu - kombinace .................................................................................. 62 3. Násobení pravděpodobností 1 ................................................................................................................. 62 4. Násobení pravděpodobností 2 ................................................................................................................. 63 5. Sčítání pravděpodobností - variace ......................................................................................................... 63 6. Sčítání pravděpodobností - kombinace ................................................................................................... 63 7. Různé ...................................................................................................................................................... 64
Mgr. Václav Horský, 2006
4/65
Aritmetická posloupnost 1. Soustava rovnic, součet 1) Určete součet deseti členů aritmetické posloupnosti, je-li dáno: a1 a6 a2 12 a3 a4 11 VH: a1 2, d 3, S10 115 2) Určete součet deseti členů aritmetické posloupnosti, je-li dáno: a1 a4 26 a2 a5 30 VH: a1 10, d 2, S10 190 3) Určete součet dvanácti členů aritmetické posloupnosti, je-li dáno: a2 a4 2 a 3 a5 6 VH: a1 3, d 2, S12 96 4) Určete součet deseti členů aritmetické posloupnosti, je-li dáno: a1 a3 a5 21 a2 a6 20 VH: a1 1, d 3, S10 145 5) Určete součet osmi členů aritmetické posloupnosti, je-li dáno: a2 a6 32 a4 a5 36 VH: a1 4, d 4, S8 144 6) Určete součet dvanácti členů aritmetické posloupnosti, je-li dáno: a2 a5 a3 10 a1 a6 17 VH: a1 1, d 3, S12 210 7) Určete součet jedenácti členů aritmetické posloupnosti, je-li dáno: a7 a5 2 a3 a6 a2 3 VH: a1 9, d 2, S11 11 8) Určete součet třinácti členů aritmetické posloupnosti, je-li dáno: a3 a6 20 a7 2a4 a2 4 VH: a1 4, d 4, S13 260 9) V aritmetické posloupnosti určete osmý člen, je-li dáno: a1 a7 22 a3 a4 88 VŠE: a1 2, d 3, a8 23 10) V aritmetické posloupnosti určete jedenáctý člen, je-li dáno: a2 1 a3 a5 10 a6 9 VŠE: a1 1, d 2, a11 19 11) V aritmetické posloupnosti určete desátý člen, je-li dáno: a4 1 a2 a5 9 a6 2 VŠE: a1 3, d 3, a10 24 12) V aritmetické posloupnosti určete devátý člen, je-li dáno: a2 1 a3 a 7 3 a5 2 3 3 VŠE: a1 2 , d 4 , a9 92
5/65
13) V aritmetické posloupnosti určete S18 , je-li dáno: a18 4 d 15 Radl: a1 375 , d 15 , S18 513 5 14) V aritmetické posloupnosti určete S 22 , je-li dáno: a22 23 d 1 61 Radl: a1 3 , d 1, S 22 649 3 15) V aritmetické posloupnosti určete S19 , je-li dáno: a19 14 d 2 1387 Radl: a1 145 4 , d 2, S19 4 16) V aritmetické posloupnosti určete S 21 , je-li dáno: a21 2 d 18 Radl: a1 92 , d 18 , S 21 273 4
17) V aritmetické posloupnosti určete S15 , je-li dáno: a2 8 a15 73 Radl: a1 3, d 5, S15 570 18) V aritmetické posloupnosti určete S17 , je-li dáno: a2 18 a17 87 Radl: a1 25, d 7, S17 527 19) V aritmetické posloupnosti určete S 21 , je-li dáno: a1 4 a20 110
Radl: a1 4, d 6, S 21 1176 20) V aritmetické posloupnosti určete S 41 , je-li dáno: a1 3 a40 153 Radl: a1 3, d 4, S 41 157 21) V aritmetické posloupnosti určete první člen, je-li dáno: a14 3 a23 21 Radl: a1 23, d 2 22) V aritmetické posloupnosti určete první člen, je-li dáno: a9 6 a15 8 Radl: a1 743 , d 73 23) V aritmetické posloupnosti určete první člen, je-li dáno: a11 9 a19 33 Radl: a1 21, d 3 24) V aritmetické posloupnosti určete první člen, je-li dáno: a7 22 a14 15 Radl: a1 28, d 1 2. AP - předpis 1) Je-li daná posloupnost aritmetická, určete d a S 25 :
6/65
1 n 3 2 n 1 Radl: a1 72 , d 12 , S 25 475 2 2) Je-li daná posloupnost aritmetická, určete d a S 25 :
n 3 5 n 1 Radl: a1 54 , d 15 , S 25 80 3) Je-li daná posloupnost aritmetická, určete d a S 25 :
n 4 n n 1 Radl: není aritmetick á 4) Je-li daná posloupnost aritmetická, určete d a S 25 :
2 n 5 n 1 Radl: a1 52 , d 52 , S 25 130 5) Je-li daná posloupnost aritmetická, určete d a S 25 :
1 n 2 n 1 Radl: a1 12 , d 1, S 25 625 2 6) Je-li daná posloupnost aritmetická, určete d a S 25 :
3n 4n1
Sb-MM: a1 1, d 3, S 25 875 …str.89/2.1-a) 7) Je-li daná posloupnost aritmetická, určete d a S 25 :
2
n 1 n 1
Sb-MM: není aritmetick á …str.89/2.1-b) 8) Je-li daná posloupnost aritmetická, určete d a S 25 :
3 2
n n 1
Sb-MM: není aritmetick á …str.89/2.1-c) 9) Je-li daná posloupnost aritmetická, určete d a S 25 :
n 1 n 2 n1 Sb-MM: není aritmetick á …str.89/2.1-d) 3. AP - součet 1) Určete n, je-li dáno: a1 0, d 3, S n 165 Sb-MM: n 2 n 110 0, n1 10, n2 11 …str.89/2.3-b) 2) Určete n, je-li dáno:
7/65
a1 3, d 2, S n 120
VH: n 2 2n 120 0, n1 12, n2 10 3) Určete n, je-li dáno: a1 0, d 2, S n 156 VH: n 2 n 156 0, n1 12, n2 13 4) Určete n, je-li dáno: a1 3, d 3, S n 135 VH: n 2 n 90 0, n1 10, n2 9 5) Určete n, d, je-li dáno: a1 2, an 32, Sn 187 Sb-MM: n 11, d 3 …str.89/2.3-a) 6) Určete n, je-li dáno: a1 1, d 2, S n 120 VH: n 2 2n 120 0, n1 10, n2 12 7) Určete n, je-li dáno: a1 2, d 3, S n 222 VH: 3n 2 n 444 0, n1 373 , n2 12 8) Určete n, je-li dáno: a1 4, d 3, S n 144 VH: 3n 2 5n 288 0, n1 23 3 , n2 9 9) Určete n, je-li dáno: a1 4, d 3, S n 72 VH: 3n 2 11n 144 0, n1 163 , n2 9 10) Určete n, je-li dáno: a1 1, d 2, S n 144 VH: n 2 144 0, n1 12, n2 12 11) Určete n, je-li dáno: a1 3, d 2, S n 48 UO: n 2 2n 48 0, n1 8, n2 6 12) Určete n, je-li dáno: a1 20, d 4, Sn 56 VH: n2 11n 28 0, n1 4, n2 7 3. AP - pravoúhlý trojúhelník 1) Délky stran pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Delší odvěsna je 12 m. Určete délky zbývajících stran. Radl: a1 9m, a2 12m, a3 15m 2) Délky stran pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Delší odvěsna je 24 dm. Určete délky zbývajících stran. Sb-MM: a1 18dm, a2 24dm, a3 30dm …str.89/2.5 3) Délky stran pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Nejkratší strana je 12 cm. Určete délky zbývajících stran.
8/65
4)
5)
6)
7)
8)
9)
VH: a1 12cm, a2 16cm, a3 20cm Délky stran pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Přepona má délku 10 mm. Určete délky zbývajících stran. VH: a1 6mm, a2 8mm, a3 10mm Délky stran pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Přepona má délku 35 cm. Určete délky zbývajících stran. VH: a1 21cm, a2 28cm, a3 35cm Délky stran pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Nejkratší strana je 3 cm. Určete délky zbývajících stran. VH: a1 3cm, a2 4cm, a3 5cm Délky stran pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Delší odvěsna je 16 cm. Určete délky zbývajících stran. VH: a1 12cm, a2 16cm, a3 20cm Délky stran pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Kratší odvěsna je 6 cm. Určete délky zbývajících stran. Radl: a1 6cm, a2 8cm, a3 10cm Délky stran pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Rozdíl délek odvěsen je 5 cm.. Určete délky zbývajících stran. Radl: a1 15cm, a2 20cm, a3 25cm
4. Součet čísel v intervalu 1) Určete součet všech sudých přirozených čísel menších než 150. Radl: n 74, S 74 5550 2) Určete součet všech lichých přirozených čísel menších než 150. Radl: n 75, S 75 5625 3) Určete součet všech přirozených dvojciferných čísel. Radl: n 90, S 90 4905 4) Určete součet všech přirozených trojciferných čísel. Radl: n 900, S 900 494550 5) Určete součet všech přirozených dvojciferných čísel, dělitelných pěti. Radl: n 18, S18 945 6) V aritmetické posloupnosti a1 , a2 ,....., a7 je a1 113 , d 43 Vypočtěte:
8a 8a 8a 1
2
3
.... 8 7 a
Radl: a7 133 , S7 73 , 8 7 27 7) Vypočtěte, když i je imaginární jednotka: i i 2 i 3 i 4 ..... i 64 Radl: S 64 2080, i 2080 1 8) Určete součet 22 25 28 .... 316 319 aritmetické posloupnosti Nydl: S100 17050 9) Určete součet 21 23 25 .... 415 417 aritmetické posloupnosti Nydl: S199 43581 S
10) Najděte součet všech sudých přirozených čísel v intervalu 251; 311
9/65
VH: n 30;
S30 8430
11) Najděte součet všech lichých přirozených čísel v intervalu 251; 311 VH: n = 31, S31 = 8 711 12) Najděte součet všech sudých přirozených čísel v intervalu 253; 313 VH: n = 30, S30 = 8 490 13) Najděte součet všech lichých přirozených čísel v intervalu 253; 313 VH: n = 31, S31 = 8 773 14) Najděte součet všech sudých přirozených čísel v intervalu 241; 311 VH: n = 35, S35 = 9 660 15) Najděte součet všech lichých přirozených čísel v intervalu 241; 311 VH: n = 36, S36 = 9 936
10/65
Geometrická posloupnost 2. Soustava rovnic I. 1) Určete prvních šest členů geometrické posloupnosti, jestliže je dáno: a2 2, a5 128 VH: a1 12 , q 4 2) Určete prvních šest členů geometrické posloupnosti, jestliže je dáno: a3 18, a4 54 VH: a1 2, q3 3) Určete prvních šest členů geometrické posloupnosti, jestliže je dáno: a3 12, a6 96 VH: a1 3, q2 4) Určete prvních šest členů geometrické posloupnosti, jestliže je dáno: a3 3, a6 81 VH: a1 13 , q3 5) Určete prvních šest členů geometrické posloupnosti, jestliže je dáno: a3 8, a6 64 VH: a1 2, q 2 6) Určete prvních šest členů geometrické posloupnosti, jestliže je dáno: a1 1, a2 2 Sb-MM: a1 1, q 2 …str.89/2.7-a) 7) Určete prvních šest členů geometrické posloupnosti, jestliže je dáno: a1 16, q 12 Sb-MM: a1 16, q 12 …str.89/2.7-b) 8) Určete prvních šest členů geometrické posloupnosti, jestliže je dáno: a3 8, a6 64 Sb-MM: a1 2, q 2 …str.89/2.7-d) 3. Soustava rovnic II. 1) Určete prvních šest členů geometrické posloupnosti, jestliže je dáno: a2 a1 15, a3 a2 60 Sb-MM: a1 5, q 4 …str.89/2.7-e) 2) Určete součet devíti členů geometrické posloupnosti, jestliže je dáno: a1 a2 1, a6 a7 32 q 2, S 9 171 VH: a1 1, 3) Určete součet pěti členů geometrické posloupnosti, jestliže je dáno: a1 a2 a3 9, a4 a5 a6 72 VH: a1 3, q 2, S 5 93 4) Určete součet pěti členů geometrické posloupnosti, jestliže je dáno: a6 2a5 2a4 54, a3 2a2 2a1 2 S 5 122 VH: a1 2, q 3, 5) Určete součet pěti členů geometrické posloupnosti, jestliže je dáno:
11/65
a3 8a1 2, a6 8a4 54 VH: a1 2, q 3, S 5 242 6) Určete součet deseti členů geometrické posloupnosti, jestliže je dáno: a3 a1 3, a6 a4 24 VH: a1 1, q 2, S10 341 7) Určete součet sedmi členů geometrické posloupnosti, jestliže je dáno: a7 a6 a4 48, a4 a3 a1 6 VH: a1 2, q 2, S 7 254 8) Určete součet pěti členů geometrické posloupnosti, jestliže je dáno: a4 2a3 36, a3 2a2 12
VH: a1 4, q 3, S 5 242 4. Součet geometrické posloupnosti I. 1) V geometrické posloupnosti je a1 4, q 5 . Určete nejmenší přirozené číslo, pro které je S n 124 . VŠE: n 4 2) V geometrické posloupnosti je a1 3, q 4 . Určete nejmenší přirozené číslo, pro které je S n 255 . VŠE: n 5 3) V geometrické posloupnosti je a1 3, q 4 . Určete nejmenší přirozené číslo, pro které je S n 63 . VŠE: n 4 4) V geometrické posloupnosti je a1 5, q 6 . Určete nejmenší přirozené číslo, pro které je S n 215 . VŠE: n 4 5) V geometrické posloupnosti je a1 2, q 3 . Určete nejmenší přirozené číslo, pro které je S n 242 . VŠE: n 6 5. Součet geometrické posloupnosti II. 1) Určete druhý člen geometrické posloupnosti v níž je dáno: q 2, S3 2 VH: a2 43 2) Určete druhý člen geometrické posloupnosti v níž je dáno: q 2, S3 4 VH: a2 83 3) Určete druhý člen geometrické posloupnosti v níž je dáno: q 3, S3 5 VH: a2 157 4) Určete druhý člen geometrické posloupnosti v níž je dáno: q 3, S3 3
12/65
5)
6)
7)
8)
VH: a2 79 Určete třetí člen geometrické posloupnosti v níž je dáno: q 2, S3 2 VH: a3 83 Určete třetí člen geometrické posloupnosti v níž je dáno: q 2, S3 4 VH: a3 163 Určete třetí člen geometrické posloupnosti v níž je dáno: q 3, S3 5 VH: a3 45 7 Určete třetí člen geometrické posloupnosti v níž je dáno: q 3, S3 3 VH: a3 277
6. Součet nekonečné řady 1) Určete součet nekonečné řady: 16 8 4 2 1 12 ... UO: a1 16, q 12 , S 32 2) Určete součet nekonečné řady: 10 1 0,1 0,01 0,001 .... VH: a1 10, q 101 , S 100 9 3) Určete součet nekonečné řady: 1 100 10 1 101 100 ... VH: a1 100, q 101 , S 1000 9 4) Určete součet nekonečné řady: 10 10 103 109 10 27 81 ... VH: a1 10, q 13 , S 15 5) Určete součet nekonečné řady: 10 5 52 54 85 ... VH: a1 10, q 12 , S 20 6) Vypočtěte: 2 x 2 x1 2 x2 2 x3 ...... Radl: a1 2 x , q 12 , S 23 2 x 7) Vypočtěte: 3x 3x1 3x2 3x3 ...... Radl: a1 3x , q 13 , S 32 3x 8) Vypočtěte: log x log x log 4 x log 8 x ...... Radl: a1 log x, q 12 , S 2 log x 9) Vypočtěte:
x 5 x 5 4 x 5 8 x 5 16 x 5 ......
13/65
Radl: a1 5, q 12 , S 10 x10 10) Vypočtěte: 1 1 1 1 4 8 16 ...... x x x x 1 Radl: a1 2 , q 12 , S 1 1x 7. Užití geometrické posloupnosti 1) Kolik si půjčil klient od banky, jestliže po 4 letech dluží částku 1 097 824,- Kč při 14 % úroku? a1 = 650 000,- Kč 2) Město má 250 000 obyvatel a předpokládaný roční přírůstek 1,3 %. Kolik obyvatel lze očekávat za 10 let? a11 = 284 469 3) Částka 50 000,- Kč je vložena na účet s 4 %-ním ročním úročením. Jaká částka bude na účtu za 10 let? a11 = 74 012,- Kč 4) Automobil ztrácí každý rok 25 % své hodnoty. Jaká bude hodnota automobilu po 3 letech, jestliže jeho původní cena činí 550 000,- Kč? a4 = 232 031,- Kč 5) Stroj ztrácí každý rok 10 % své hodnoty. Jaká byla jeho nákupní cena, jestliže po 13-ti letech má hodnotu 10 168 Kč,-? a1 = 40 002,- Kč 6) Jaká bude po 7 letech výše vkladu 300 000,- Kč na účtu se složeným ročním úročením 3%? a8 = 368 962,- Kč 7) Jaká byla výše vkladu, jestliže po 6-ti letech je na účtě 569 394,- Kč, při ročním úročení 4 %? a1 = 450 000,- Kč 8) Porodnost v České republice klesá průměrně o 3,5 % ročně. V roce 1998 se narodilo 128 831 dětí. Jaký bude předpokládaný počet narozených dětí v roce 2030? a33 = 41200 9) V bance si půjčíte 500 000,- Kč s úrokem 12 %. Kolik bude váš dluh po 5-ti letech? a6 = 881 171,- Kč
14/65
Souřadnice bodů v rovině a v prostoru 1. Vzdálenost bodů v rovině 1) Vypočítejte vzdálenost bodů C=[3; 3] a D=[2; -1]. |CD| = 17 2) Vypočítejte vzdálenost bodů R=[-2; 5] a S=[3; 4]. |RS| = 26 3) Vypočítejte vzdálenost bodů X=[-4; -2] a Y=[-2; 3]. |XY| = 29 4) Vypočítejte vzdálenost bodů B=[-2; 1] a D=[5; -3]. |BD| = 65 5) Vypočítejte vzdálenost bodů P=[7; 3] a Q=[-5; -2]. |PQ| = 13 6) Vypočítejte vzdálenost bodů K=[5; 7] a L=[2; 11]. |KL| = 5 7) Vypočítejte vzdálenost bodů U=[4; 3] a V=[1; -2]. |UV| = 5 8) Vypočítejte vzdálenost bodů M=[1; -1] a N=[4; -2]. |MN| = 10 2. Vzdálenost bodů v prostoru 1) Vypočítejte vzdálenost bodů A=[-4; 2; 6] a B=[-1; -1; 3]. |AB| = 27 2) Vypočítejte vzdálenost bodů X=[4; 3; 0] a Y=[1; 5; 3]. |XY| = 22 3) Vypočítejte vzdálenost bodů B=[2; 2; -1] a D=[-3; 4; 1]. |BD| = 33 4) Vypočítejte vzdálenost bodů U=[-2; -1; 5] a V=[-5; -3; 4]. |UV| = 14 5) Vypočítejte vzdálenost bodů K=[3; 1; -5] a L=[1; 2; -3]. |KL| = 3 6) Vypočítejte vzdálenost bodů C=[3; 1; 1] a D=[1; 3; 2]. |CD| = 3 7) Vypočítejte vzdálenost bodů R=[5; -2; -3] a S=[2; 0; 3]. |RS| = 7 8) Vypočítejte vzdálenost bodů P=[-1; -2; -5] a Q=[1; 3; -4]. |PQ| = 30 3. Střed úsečky v rovině 1) Jsou dány body A=[2; 1] a B=[8; 5]. Vypočítejte souřadnice středu úsečky AB. SAB=[5; 3] 2) Jsou dány body U=[2; -3] a V=[4; 5]. Vypočítejte souřadnice středu úsečky UV. SUV=[3; 1] 3) Jsou dány body C=[3; -2] a D=[5; 4]. Vypočítejte souřadnice středu úsečky CD. SCD=[4; 1]
15/65
4) Jsou dány body M=[-3; 2] a N=[5; 2]. Vypočítejte souřadnice středu úsečky MN. SMN=[1; 2] 5) Jsou dány body K=[-3; -4] a L=[2; -2]. Vypočítejte souřadnice středu úsečky KL. SKL=[-1/2; -3] 6) Jsou dány body X=[0; 5] a Y=[-3; -3]. Vypočítejte souřadnice středu úsečky XY. SXY=[-3/2; 1] 7) Jsou dány body P=[4; -2] a Q=[1; 2]. Vypočítejte souřadnice středu úsečky PQ. SPQ=[5/2; 0] 4. Střed úsečky v prostoru 1) Jsou dány body A=[2; -1; 3] a B=[0; 5; -9]. Vypočítejte souřadnice středu úsečky AB. SAB=[1; 2; -3] 2) Jsou dány body U=[3; 0; 5] a V=[-1; 4; -11]. Vypočítejte souřadnice středu úsečky UV. SUV=[1; 2; -3] 3) Jsou dány body K=[4; 5; 1] a L=[0; -1; -9]. Vypočítejte souřadnice středu úsečky KL. SKL=[2; 2; -4] 4) Jsou dány body C=[2; -3; 3] a D=[4; 5; 7]. Vypočítejte souřadnice středu úsečky CD. SCD=[3; 1; 5] 5) Jsou dány body X=[-8; 3; 4] a Y=[2; 5; 0]. Vypočítejte souřadnice středu úsečky XY. SXY=[-3; 4; 2] 6) Jsou dány body P=[0; -7; 3] a Q=[-8; 5; -3]. Vypočítejte souřadnice středu úsečky PQ. SPQ=[-4; -1; 0] 5. Určení souřadnice bodu v rovině pro danou vzdálenost 1) Jsou dány body A=[1; 3], B=[-1; x]. Určete číslo x tak, aby |AB| = 5 . x1 = 4, x2 = 2 2) Jsou dány body R=[x; 2], S=[3; 4]. Určete číslo x tak, aby |RS| = 8 . x1 = 1, x2 = 5 3) Jsou dány body Q=[x; -2], P=[2; -3]. Určete číslo x tak, aby |QP| = 10 . x1 = -1, x2 = 5 4) Jsou dány body E=[-1; x], F=[3; 1]. Určete číslo x tak, aby |EF| = 5. x1 = 4, x2 = -2 5) Jsou dány body A=[-2; x], B=[2; 1]. Určete číslo x tak, aby |AB| = 11 . NŘ 6) Jsou dány body X=[4; 2], Y=[1; x]. Určete číslo x tak, aby |XY| = 3. x1,2 = 2 7) Jsou dány body A=[-1; x], C=[3; -1]. Určete číslo x tak, aby |AC| = 7 . NŘ 8) Jsou dány body U=[1; -2], V=[x; -1]. Určete číslo x tak, aby |UV| = 2 . x1 = 0, x2 = 2 9) Jsou dány body G=[7; 1], H=[-5; x]. Určete číslo x tak, aby |GH| =13. x1 = -4, x2 = 6 10) Jsou dány body T=[x; -3], U=[-2; 3]. Určete číslo x tak, aby |TU| =6. x1,2 = -2 6. Určení bodu úsečky pro daný střed 1) Jsou dány bodu A=[1; -1; 3] a S=[2; 1; 0]. Určete bod B tak, aby bod S byl střed úsečky AB.
16/65
B=[3; 3; -3] 2) Jsou dány bodu K=[1; 1; 3] a S=[-1; 0; 1]. Určete bod L tak, aby bod S byl střed úsečky KL. L=[-3; -1; -1] 3) Jsou dány bodu U=[-4; -6; -5] a S=[-1; -3; -2]. Určete bod V tak, aby bod S byl střed úsečky UV. V=[2; 0; 1] 4) Jsou dány bodu P=[3; -2; 3] a S=[3; 2; 0]. Určete bod Q tak, aby bod S byl střed úsečky PQ. Q=[3; 6; -3] 5) Jsou dány bodu C=[-4; 1; -2] a S=[-3; 3; 1]. Určete bod D tak, aby bod S byl střed úsečky CD. D=[-2; 5; 4] 6) Jsou dány bodu R=[-3; 1; 7] a S=[-1/2; 3; 5/2]. Určete bod T tak, aby bod S byl střed úsečky RT. T=[2; 5; -2] 7) Jsou dány bodu M=[4; 3; -2] a S=[1; 4; -3]. Určete bod N tak, aby bod S byl střed úsečky MN. N=[-2; 5; -4] 7. Užití vzdálenosti a středu úsečky 1) Na ose x určete bod P, který má od bodů A=[8; -5; 0] a B=[4; -1; 4] stejnou vzdálenost. P=[7; 0; 0] 2) V trojúhelníku A=[1; -3], B=[7; -1], C=[2; 4] určete délku těžnice tc. SAB=[4; -2], |CSAB| = 40 3) Vypočtěte obvod trojúhelníku ABC o vrcholech A=[-4; 2], B=[0; -1], C=[3; 3]. o = 10 +5 2 4) Dokažte, že trojúhelník o vrcholech K=[0; 0], L=[3; 1], M=[1; 7] je pravoúhlý. pro délky stran musí platit Pythagorova věta 5) Dokažte, že trojúhelník o vrcholech A=[2; 1], B=[6; 3], C=[1; 3] je pravoúhlý. pro délky stran musí platit Pythagorova věta 6) Na ose z určete bod R, který má od bodů K=[4; -1; -5] třikrát větší vzdálenost než od bodu L=[2; 1; 1]. R1=[0; 0; 3], R2=[0; 0; 1/2] 7) Na ose z určete bod R, který je stejně vzdálen od bodů P=[-4; 1; 7], Q=[3; 5; -2]. R=[0; 0; 14/9] 8) V trojúhelníku A=[-2; -1], B=[4; -3], C=[2; 1] určete délku těžnice ta. SBC=[3; -1], |ASBC| = 5 9) V trojúhelníku A=[-2; -1], B=[4; -3], C=[2; 1] určete délku těžnice tb. SAC=[0; 0], |BSAC| = 5 10) V trojúhelníku A=[-2; -1], B=[4; -3], C=[2; 1] určete délku těžnice tc. SAB=[1; -2], |CSAB| = 10 11) Vypočtěte obsah pravoúhlého trojúhelníku o vrcholech K=[0; 0], L=[3; 1], M=[1; 7]. S = 1/2 10 40 = 10 12) Vypočtěte obsah pravoúhlého trojúhelníku o vrcholech A=[2; 1], B=[6; 3], C=[1; 3]. S = 1/2 5 20 = 5
17/65
Vektory v rovině a v prostoru 1. Délka těžnice v trojúhelníku, obsah pravoúhlého trojúhelníka 13) V trojúhelníku A=[1; -3], B=[7; -1], C=[2; 4] určete délku těžnice tc. SAB=[4; -2], |CSAB| = 40 14) V trojúhelníku A=[-4; 5], B=[-6; -1], C=[0; -3] určete délku těžnice ta. SBC=[-3; -2], |ASBC| = 50 15) V trojúhelníku A=[-4; 5], B=[-6; -1], C=[0; -3] určete délku těžnice tb. SAC=[-2; 1], |BSAC| = 20 16) V trojúhelníku A=[-4; 5], B=[-6; -1], C=[0; -3] určete délku těžnice tc. SAB=[-5; 2], |CSAB| = 50 17) V trojúhelníku A=[-2; -1], B=[4; -3], C=[2; 1] určete délku těžnice ta. SBC=[3; -1], |ASBC| = 5 18) V trojúhelníku A=[-2; -1], B=[4; -3], C=[2; 1] určete délku těžnice tb. SAC=[0; 0], |BSAC| = 5 19) V trojúhelníku A=[-2; -1], B=[4; -3], C=[2; 1] určete délku těžnice tc. SAB=[1; -2], |CSAB| = 10 20) Vypočtěte obsah pravoúhlého trojúhelníku o vrcholech K=[0; 0], L=[3; 1], M=[1; 7]. S = 1/2 10 40 = 10 21) Vypočtěte obsah pravoúhlého trojúhelníku o vrcholech A=[2; 1], B=[6; 3], C=[1; 3]. S = 1/2 5 20 = 5 2. Vektory v rovině z daných bodů, vektory kolmé 1) Jsou dány body A=[1; 3], B=[4; 2], C=[2; 0], D=[-2; 2]. Určete souřadnice vektorů a vektory k nim kolmé:
r CA s DC v BC w AC r CA (-1; 3), s DC (4; -2), v BC (-2; -2), w AC (1; -3) 2) Jsou dány body T=[1; 0], U=[-3; 2], V=[1; 4], W=[3; 1]. Určete souřadnice vektorů a vektory k nim kolmé: a TU
b VT c TW d WT a TU (-4; 2), b VT (0; -4), c TW (2; 1), d WT (-2; -1) 3) Jsou dány body E=[-1; 1], F=[0; 4], G=[2; 1], H=[4; -1]. Určete souřadnice vektorů a vektory k nim kolmé: u GF v HF w EG s GH
18/65
u GF (-2; 3), v HF (-4; 5), w EG (3; 0), s GH (2; -2) 4) Jsou dány body P=[-3; 0], Q=[1; 1], R=[3; 3], T=[2; 4]. Určete souřadnice vektorů a vektory k nim kolmé: a RT
b PQ u QP s PR a RT (-1; 1), b PQ (4; 1), u QP (-4; -1), s PR (6; 3) 3. Skalární součin vektorů - kolmost 1) Vypočítejte skalární součin daných vektorů a rozhodněte zda jsou navzájem kolmé. u = (2; 1), v = (-3; 2) u = (4; -5), v = (-5; -4) u = (1; 0; 3), v = (3; 2; 1)
u = (-3; -2; -1), v = (-2; -1; -3) VH: -4; 0; 6; 11 2) Vypočítejte skalární součin daných vektorů a rozhodněte zda jsou navzájem kolmé. a = (-1; -4), b = (-3; -2) a = (3; 4), b = (-2; -1) a = (3; -1; 2), b = (-2; 4; 3) a = (2; 1; 4), b = (3; 6; -3) VH: 11; -10; -4; 0 3) Vypočítejte skalární součin daných vektorů a rozhodněte zda jsou navzájem kolmé. s = (4; 3), n = (-2; 2) s = (3; -1), n = (-1; -3) s = (4; 5; 9), n = (-5; 4; 0) s = (-3; -4; 1), n = (1; -1; -1) VH: -2; 0; 0; 0 4) Vypočítejte skalární součin daných vektorů a rozhodněte zda jsou navzájem kolmé. v = (-2; -4), w = (2; -1) v = (1; 5), w = (-3; 2) v = (1; 5; 2), w = (0; -1; 0) v = (-1; 1; 1), w = (2; 3; -1) VH: 0; 7; -5; 0 4. Úhel vektorů v rovině 1) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: a = (-1; -4), b = (-3; -2) 42,27° 2) Vypočítejte velikost úhlů vektorů:
19/65
s = (4; 3), n = (-2; 2) 98,13° 3) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: v = (1; 5), w = (-3; 2) 67,62° 4) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: u = (2; 1), v = (-3; 2) 119,74° 5. Úhel vektorů v prostoru 1) Vypočítejte velikost úhlů vektorů:
a = (3; -1; 2), b = (-2; 4; 3) 101,45° 2) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: u = (-3; -2; -1), v = (-2; -1; -3) 38,21° 3) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: v = (1; 5; 2), w = (0; -1; 0) 155,91° 4) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: u = (1; 0; 3), v = (3; 2; 1) 59,53° 6. Úhel v trojúhelníku 5) Vypočítejte velikost úhlu v trojúhelníku A=[-1; -5], B=[-7; 5], C=[-1; 3]. a = (-1; -4), b = (-3; -2) 42,27° 6) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: s = (4; 3), n = (-2; 2) 98,13° 7) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: v = (1; 5), w = (-3; 2) 67,62° 8) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: u = (2; 1), v = (-3; 2) 119,74° 7. Vektory v prostoru z daných bodů, násobení vektoru číslem 1) Jsou dány body K= [-2; 3; 0], L= [4; 1; 4]. Určete: a) souřadnice vektorů u LK b) souřadnice vektorů v KL c) délku úsečky KL d) střed úsečky KL VH: u LK (6; -2; 4), v LK (-6; 2; -4), |KL| = 56 , SKL= [1; 1; 2] 2) Jsou dány body A=[-3; 2; 2], B=[1; 0; 4]. Určete:
20/65
a) souřadnice vektorů s AB b) souřadnice vektorů u BA c) délku úsečky AB d) střed úsečky AB VH: s AB (4; -2; 2), u BA (-4; 2; -2), |AB| = 3) Jsou dány body P=[4; -2; 5], Q=[6; 0; -1]. Určete: e) souřadnice vektorů a PQ
24 , SAB= [-1; 1; 3]
f) souřadnice vektorů b QP g) délku úsečky PQ h) střed úsečky PQ a PQ (2; 2; -6), b QP (-2; -2; 6), |PQ| = 44 , SPQ= [5; -1; 2] 4) Jsou dány body D=[1; 6; -5], E=[3; 0; -1]. Určete: i) souřadnice vektorů a DE j) souřadnice vektorů w ED k) délku úsečky ED l) střed úsečky ED
a DE (2; -6; 4), w ED (-2; 6; -4) ), |ED| =
56 , SPQ= [2; 3; -3]
21/65
Rovnice přímky v rovině 1. Parametrická rce přímky strany trojúhelníka 1) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište parametrickou rovnici přímky BC. a: x = -3 - t, y = 2 + 2t. 2) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište parametrickou rovnici přímky AC. b: x = 1 - 3t, y = 4 + t. 3) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište parametrickou rovnici přímky AB. c: x = 1 - 2t, y = 4 - 1t. 4) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište parametrickou rovnici přímky BC. a: x = 2 + 2t, y = -3 - t. 5) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište parametrickou rovnici přímky AC. b: x = 4 + t, y = 1 - 3t. 6) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište parametrickou rovnici přímky AB. c: x = 4 - 1t, y = 1 - 2t. 7) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-1; 0], B=[-1; -4], C=[5; 2]. Napište parametrickou rovnici přímky BC. a: x = 5 + t, y = 2 + t. 8) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-1; 0], B=[-1; -4], C=[5; 2]. Napište parametrickou rovnici přímky AC. b: x = 5 + 3t, y = 2 + t. 9) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-1; 0], B=[-1; -4], C=[5; 2]. Napište parametrickou rovnici přímky AB. Speciál c: x = -1 + 0t, y = -4 - 1t. 10) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište parametrickou rovnici přímky BC. a: x = 3 + 2t, y = 5 + 5t. 11) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište parametrickou rovnici přímky AC. b: x = 3 + 3t, y = 5 + 2t. 12) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište parametrickou rovnici přímky AB. c: x = -3 + t, y = 1 - 3t. 2. Parametrická rce přímky tc1) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-1; 0], B=[-1; -4], C=[5; 2]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží těžnice tb. SAC = [2, 1], tb: x = 2 + 3t, y = 1 + 5t. 2) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-1; 0], B=[-1; -4], C=[5; 2]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží těžnice ta. SBC = [2, -1], ta: x = 2 + 3t, y = -1 - 1t. 3) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-1; 0], B=[-1; -4], C=[5; 2]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží těžnice tc.
22/65
SAB = [-1, -2], tc: x = 5 + 3t, y = 2 + 2t. 4) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží těžnice tc. SAB = [-1, 3], tc: x = -1 - 4t, y = 3 + 3t. 5) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží těžnice tb. SAC = [-2, 5], tb: x = -3 + t, y = 2 + 3t. 6) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište parametrickou rovnic přímky na níž leží těžnice ta. Speciál SBC = [-4, 4], ta: x = 1 + t, y = 4. 7) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží těžnice tc. SAB = [3, -1], tc: x = 3 + 3t, y = -1 - 4t. 8) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží těžnice tb. SAC = [5, -2], tb: x = 2 + 3t, y = -3 + t. 9) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište parametrickou a obecnou rovnici přímky na níž leží těžnice ta. Speciál SBC = [4, -4], ta: x = 4, y = 1 + t . 10) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží těžnice ta. SBC = [1, 0], ta: x = -3 - 4t, y = 1 + t. 11) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží těžnice tb. SAC = [0, 3], tb: x = -1 + t, y = -5 + 8t. 12) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží těžnice tc. SAB = [-2, -2], tc: x = 3 + 5t, y = 5 + 7t. 3. Parametrická rce přímky vc1) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží výšky vb. vb: x = -3 + t, y = 2 + 3t. 2) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží výšky va. va: x = 1 + 2t, y = 4 + t. 3) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží výšky vc. vc: x = -5 + t, y = 6 - 2t. 4) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží výšky vb. vb: x = 2 + 3t, y = -3 + t. 5) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží výšky va. va: x = 4 - t, y = 1 + 2t. 6) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží výšky vc. vc: x = 6 - 2t, y = -5 + t.
23/65
7) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-1; 0], B=[-1; -4], C=[5; 2]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží výšky vb. vb: x = -1 + 3t, y = -4 + t. 8) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-1; 0], B=[-1; -4], C=[5; 2]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží výšky va. Speciál va: x = -1 + 1t, y = 0 - 1t. 9) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-1; 0], B=[-1; -4], C=[5; 2]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží výšky vc. Speciál vc: x = 5 + 1t, y = 2 + 0t. 10) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží výšky va. va: x = -3 + 5t, y = 1 - 2t. 11) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží výšky vb. vb: x = -1 + 2t, y = -5 - 3t. 12) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište parametrickou rovnici přímky na níž leží výšky vc. vc: x = 3 + 3t, y = 5 + t. 4. Parametrická rce osy strany trojúhelníka 1) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište parametrickou rovnici osy strany AC. SAC = [-2, 5], ob: x = 2 + t, y = 1 + 3t. 2) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište parametrickou rovnici osy strany BC. SBC = [2, -1], oa: x = 2 + 2t, y = -1 - t. 3) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište parametrickou rovnici osy strany AB. SAB = [-1, -2], oc: x = -1 + t, y = -2 - 2t. 4) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište parametrickou rovnici osy strany AC. SAB = [-1, 3], ob: x = -1 + 3t, y = 3 + t. 5) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište parametrickou rovnici osy strany BC. SAC = [-2, 5], oa: x = -2 - t, y = 5 + 2t. 6) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište parametrickou rovnici osy strany AB. SBC = [-4, 4], oc: x = -4 - 2t, y = 4 + t. 7) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-1; 0], B=[-1; -4], C=[5; 2]. Napište parametrickou rovnici osy strany AC. SAB = [3, -1], ob: x = 3 + 3t, y = -1 + t. 8) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-1; 0], B=[-1; -4], C=[5; 2]. Napište parametrickou rovnici osy strany BC. SAC = [5, -2], oa: x = 5 + 1t, y = -2 - 1t. 9) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-1; 0], B=[-1; -4], C=[5; 2]. Napište parametrickou rovnici osy strany AB. SBC = [4, -4], Speciál oc: x = 4 + 1t, y = -4 + 0t. 10) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište parametrickou rovnici osy strany BC.
24/65
SBC = [1, 0], oa: x = 1 + 5t, y = 0 - 2t. 11) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište parametrickou rovnici osy strany AC. SAC = [0, 3], ob: x = 0 + 2t, y = 3 - 3t. 12) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište parametrickou rovnici osy strany AB. SAB = [-2, -2], oc: x = -2 +3 t, y = -2 - t. 5. Obecná rce přímky strany trojúhelníka 1) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište obecnou rovnici přímky BC. a: 2x + y + 4 = 0. 2) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište obecnou rovnici přímky AC. b: x + 3y - 13 = 0. 3) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište obecnou rovnici přímky AB. c: x - 2y + 7 = 0. 4) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište obecnou rovnici přímky BC. a: x + 2y + 4 = 0. 5) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište obecnou rovnici přímky AC. b: 3x + y - 13 = 0. 6) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište obecnou rovnici přímky AB. c: 2x - y + 7 = 0. 7) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište obecnou rovnici přímky BC. a: 5x - 2y - 5 = 0. 8) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište obecnou rovnici přímky AC. b: 2x - 3y + 9 = 0. 9) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište obecnou rovnici přímky AB. c: 3x y + 8 = 0. 6. Obecná rce přímky tabc . 1) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište obecnou rovnici přímky na níž leží těžnice tc. SAB = [-1, 3], tc: 3x + 4y - 9 = 0 2) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište obecnou rovnici přímky na níž leží těžnice tb. SAC = [-2, 5], tb: 3x - y + 11 = 0 3) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište obecnou rovnici přímky na níž leží těžnice tc. SAB = [3, -1], tc: 4x + 3y - 9 = 0
25/65
4) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište obecnou rovnici přímky na níž leží těžnice tb. SAC = [5, -2], tb: x - 3y - 11 = 0 5) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište obecnou rovnici přímky na níž leží těžnice ta. Speciál SBC = [-4, 4], ta: y - 4 = 0 6) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište obecnou rovnici přímky na níž leží těžnice ta. Speciál SBC = [4, -4], ta: x - 4 = 0 7) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište obecnou rovnici přímky na níž leží těžnice ta. SBC = [1, 0], ta: x + 4y - 1 = 0 8) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište obecnou rovnici přímky na níž leží těžnice tb. SAC = [0, 3], tb: 8x - y + 3 = 0 9) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište obecnou rovnici přímky na níž leží těžnice tc. SAB = [-2, -2], tc: 7x - 5y + 4 = 0 7. Obecná rce přímky vabc. 1) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište obecnou rovnici přímky na níž leží výška vb. vb: 3x - y + 11 = 0. 2) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište obecnou rovnici přímky na níž leží výška va. va: x - 2y + 7 = 0. 3) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište obecnou rovnici přímky na níž leží výška vc. vc: 2x + y + 4 = 0. 4) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište obecnou rovnici přímky na níž leží výška vb. vb: x - 3y - 11 = 0. 5) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište obecnou rovnici přímky na níž leží výška va. va: 2x - y - 7 = 0. 6) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište obecnou rovnici přímky na níž leží výška vc. vc: x + 2y + 4 = 0. 7) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište obecnou rovnici přímky na níž leží výška va. va: 2x + 5y + 1 = 0. 8) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište obecnou rovnici přímky na níž leží výška vb. vb: 3x + 2y + 13 = 0. 9) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište obecnou rovnici přímky na níž leží výška vc. vc: x - 3y + 12 = 0.
26/65
8. Obecná rce osy strany trojúhelníka 1) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište obecnou rovnici osy strany AC. SAC = [-2, 5], ob: 3x - y + 11 = 0. 2) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište obecnou rovnici osy strany BC. SBC = [-4, 4], oa: x - 2y + 12 = 0. 3) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište obecnou rovnici osy strany AB. SAB = [-1, 3], oc: 2x + y - 1 = 0. 4) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište obecnou rovnici osy strany AC. SAC = [5, -2], ob: x - 3y - 11 = 0. 5) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište obecnou rovnici osy strany BC. SBC = [4, -4], oa: 2x - y - 12 = 0. 6) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište obecnou rovnici osy strany AB. SAB = [3, -1], oc: x + 2y - 1 = 0. 7) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-1; 0], B=[-1; -4], C=[5; 2]. Napište obecnou rovnici osy strany AC. SAB = [2, 1], ob: 3x + y - 7 = 0. 8) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-1; 0], B=[-1; -4], C=[5; 2]. Napište obecnou rovnici osy strany BC. SBC = [2, -1], oa: x + y - 1 = 0. 9) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-1; 0], B=[-1; -4], C=[5; 2]. Napište obecnou rovnici osy strany AB. SBC = [4, -4], Speciál oc: y + 4 = 0. 10) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište obecnou rovnici osy strany BC. SBC = [1, 0], oa: 2x + 5y - 2 = 0. 11) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište obecnou rovnici osy strany AC. SAC = [0, 3], ob: 3x + 2y - 6 = 0. 12) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište obecnou rovnici osy strany AB. SAB = [-2, -2], oc: x - 3y - 4 = 0. 9. Parametrická rce rovnoběžky se stranou trojúhelníka 1) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište parametrickou rovnici přímky rovnoběžné se stranou BC a procházející vrcholem A. a: 2) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište parametrickou rovnici přímky rovnoběžné se stranou BC a procházející vrcholem A. pa: x = -3 + 2t, y = 1 + 5t. 3) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište parametrickou rovnici přímky rovnoběžné se stranou AC a procházející vrcholem B. pb: x = -1 - 3t, y = -5 + 2t.
27/65
4) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište parametrickou rovnici přímky rovnoběžné se stranou AB a procházející vrcholem C. pc: x = 3 + t, y = 5 - 3t. 5) Napište obecnou rovnici přímky, která prochází bodem A a je rovnoběžná s přímkou p = KL: A=[3; -2], K=[1; 2], L=[-1; -6]. Radl: q: x = 3 + t, y = 5 - 3t. 10. Obecná rce rovnoběžky se stranou trojúhelníka 6) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište obecnou rovnici přímky rovnoběžné se stranou BC a procházející vrcholem A. pa: 5x - 2y + 17 = 0. 7) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište obecnou rovnici přímky rovnoběžné se stranou AC a procházející vrcholem B. pb: 2x - 3y - 13 = 0. 8) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[-3; 1], B=[-1; -5], C=[3; 5]. Napište obecnou rovnici přímky rovnoběžné se stranou AB a procházející vrcholem C. pc: 3x + y - 14 = 0. 11. Parametrická a obecná rce přímky tc13) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište parametrickou a obecnou rovnici přímky na níž leží těžnice tc. SAB = [-1, 3], tc: x = -1 - 4t, y = 3 + 3t, 3x + 4y - 9 = 0 14) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište parametrickou a obecnou rovnici přímky na níž leží těžnice tb. SAC = [-2, 5], tb: x = -3 + t, y = 2 + 3t, 3x - y + 11 = 0 15) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište parametrickou a obecnou rovnici přímky na níž leží těžnice tc. SAB = [3, -1], tc: x = 3 + 3t, y = -1 - 4t, 4x + 3y - 9 = 0 16) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište parametrickou a obecnou rovnici přímky na níž leží těžnice tb. SAC = [5, -2], tb: x = 2 + 3t, y = -3 + t, 1x - 3y - 11 = 0 17) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[1; 4], B=[-3; 2], C=[-5; 6]. Napište parametrickou a obecnou rovnici přímky na níž leží těžnice ta. SBC = [-4, 4], ta: x = 1 + t, y = 4 , y - 4 = 0 18) Jsou dány vrcholy trojúhelníku A=[4; 1], B=[2; -3], C=[6; -5]. Napište parametrickou a obecnou rovnici přímky na níž leží těžnice ta. SBC = [4, -4], ta: x = 4, y = 1 + t , x - 4 = 0 12. Parametrická rce přímky dané bodem a směrem 1) Napište parametrické vyjádření přímky p určené bodem A=[3; -5] a směrovým vektorem s = (2; -1) p: x = 3 + 2t, y = -5 - 1t. 2) Napište parametrické vyjádření přímky p určené bodem A=[-3; 5] a směrovým vektorem s = (2; -1) p: x = -3 + 2t, y = 5 - 1t. 3) Napište parametrické vyjádření přímky p určené bodem A=[-3; -5] a směrovým vektorem
s = (2; -1)
28/65
p: x = -3 + 2t, y = -5 - 1t. 4) Napište parametrické vyjádření přímky p určené bodem A=[3; 5] a směrovým vektorem s = (2; -1) p: x = 3 + 2t, y = 5 - 1t. 13. Parametrická rce přímky dané bodem a normálou 1) Napište parametrické vyjádření přímky p procházející bodem A=[3; -5] a kolmé na vektor n = (1; -3) p: x = 3 + 3t, y = -5 + 1t. 2) Napište parametrické vyjádření přímky p procházející bodem A=[3; -5] a kolmé na vektor n = (2; -3) p: x = 3 + 3t, y = -5 + 2t. 3) Napište parametrické vyjádření přímky p procházející bodem A=[3; -5] a kolmé na vektor n = (-1; -2) p: x = 3 + 2t, y = -5 - 1t. 4) Napište parametrické vyjádření přímky p procházející bodem A=[3; -5] a kolmé na vektor
n = (3; 2) p: x = 3 + 2t, y = -5 - 3t. 14. Parametrická rce přímky dané dvěma body 1) Napište parametrické vyjádření přímky p procházející body A=[3; -5] a B=[1; -2]. p: x = 3 + 2t, y = -5 - 3t. 2) Napište parametrické vyjádření přímky p procházející body A=[2; -5] a B=[1; -2]. p: x = 2 + t, y = -5 - 3t. 3) Napište parametrické vyjádření přímky p procházející body A=[3; -5] a B=[2; -2]. p: x = 3 + t, y = -5 - 3t. 4) Napište parametrické vyjádření přímky p procházející body A=[3; -5] a B=[1; -3]. p: x = 3 + 2t, y = -5 - 2t.
15. Obecná rce přímky dané bodem a normálou 1) Napište obecnou rovnici přímky p procházející bodem A=[3; -5] a kolmé na vektor
n = (3; 2) p: 3x + 2y + 1 = 0 2) Napište obecnou rovnici přímky p procházející bodem A=[3; -3] a kolmé na vektor n = (2; 3) p: 2x + 3y + 3 = 0 3) Napište obecnou rovnici přímky p procházející bodem A=[3; 5] a kolmé na vektor n = (3; -2) p: 3x - 2y + 1 = 0 4) Napište obecnou rovnici přímky p procházející bodem A=[3; 1] a kolmé na vektor n = (2; -3) p: 2x - 3y - 3 = 0
29/65
16. Obecná rce přímky dané bodem a směrem 1) Napište obecnou rovnici přímky p určené bodem A=[2; -5] a směrovým vektorem s = (1; -3) p: 3x + y - 1 = 0 2) Napište obecnou rovnici přímky p určené bodem A=[-2; -5] a směrovým vektorem s = (1; 3) p: 3x - y + 1 = 0 3) Napište obecnou rovnici přímky p určené bodem A=[2; -6] a směrovým vektorem s = (1; -4) p: 4x + y - 2 = 0 4) Napište obecnou rovnici přímky p určené bodem A=[2; 6] a směrovým vektorem
s = (1; 4) p: 4x - y - 2 = 0 17. Obecná rce přímky dané dvěma body 1) Napište obecnou rovnici přímky p procházející body A=[3; -4] a B=[1; -1]. p: 3x + 2y - 1 = 0 2) Napište obecnou rovnici přímky p procházející body A=[3; 2] a B=[1; -1]. p: x + 2y + 1 = 0 3) Napište obecnou rovnici přímky p procházející body A=[3; 4] a B=[1; 1]. p: 3x - 2y - 1 = 0 4) Napište obecnou rovnici přímky p procházející body A=[1; -2] a B=[-1; 1]. p: 3x + 2y + 1 = 0 18. Úhel vektorů 9) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: a = (3; -1; 2), b = (-2; 4; 3) 101,45° 10) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: u = (-3; -2; -1), v = (-2; -1; -3) 50° 11) Vypočítejte velikost úhlů vektorů:
v = (1; 5; 2), w = (0; -1; 0) 155,91° 12) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: u = (1; 0; 3), v = (3; 2; 1) 59,53°
30/65
Vzájemná poloha dvou přímek v rovině 19. Různoběžné - obecná a obecná přímka 1) Určete vzájemnou polohu přímek a: 5x - 2y - 5 = 0, b: 2x - 3y + 9 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. P = [3; 5] 2) Určete vzájemnou polohu přímek a: 5x - 2y - 5 = 0, b: 3x + y + 8 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. P = [-1; -5] 3) Určete vzájemnou polohu přímek a: 3x + y + 8 = 0, b: 2x - 3y + 9 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. P = [-3; 1] 4) Určete vzájemnou polohu přímek a: 2x + 5y - 2 = 0, b: x + 4y - 1 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. P = [1; 0] 5) Určete vzájemnou polohu přímek a: 3x + 2y - 6 = 0, b: 8x - y + 3 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. P = [0; 3] 6) Určete vzájemnou polohu přímek a: x - 3y - 4 = 0, b: 7x - 5y + 4 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. P = [-2; -2] 20. Různoběžné - parametrická a obecná přímka 1) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 6 + 5t, y = 4 + 2t, b: x + 3y + 4 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. P = [-4; 0] 2) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 2 - 3t, y = -2 + t, b: 3x - 2y - 10 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. P = [2; -2] 3) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 2 + 2t, y = -2 + 3t, b: 2x - 5y + 8 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. P = [6; 4] 4) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 2 + t, y = -2 - 4t, b: 5x + 2y - 9 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. P = [1; 2] 5) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 6 + 7t, y = 4 + 5t, b: 3x - y + 2 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. P = [-1; -1] 6) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = -4 + 8t, y = 0 + t, b: 2x + 3y - 11 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. P = [4; 1] 21. Rovnoběžné - parametrická a obecná 1) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 6 + 5t, y = 4 + 2t, b: 2x - 5y + 4 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Rovnoběžné 2) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 2 - 3t, y = -2 + t, b: x + 3y - 1 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Rovnoběžné
31/65
3) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 2 + 2t, y = -2 + 3t, b: 3x - 2y - 7 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Rovnoběžné 4) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 2 + t, y = -2 - 4t, b: 4x + y - 9 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Rovnoběžné 5) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 6 + 7t, y = 4 + 5t, b: 5x - 7y + 2 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Rovnoběžné 6) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = -4 + 8t, y = 0 + t, b: x - 8y + 8 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Rovnoběžné 22. Totožné - parametrická a obecná 1) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 6 + 5t, y = 4 + 2t, b: 2x - 5y + 8 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Totožné 2) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 2 - 3t, y = -2 + t, b: x + 3y + 4 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Totožné 3) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 2 + 2t, y = -2 + 3t, b: 3x - 2y - 10 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Totožné 4) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 2 + t, y = -2 - 4t, b: 4x + y - 6 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Totožné 5) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 6 + 7t, y = 4 + 5t, b: 5x - 7y - 2 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Totožné 6) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = -4 + 8t, y = 0 + t, b: x - 8y + 4 = 0. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Totožné 23. Totožné - parametrická a parametrická 1) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 6 + 5t, y = 3 + 2t, b: x = -4 + 10t, y = -1 + 4t. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Totožné 2) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 2 + 3t, y = -5 - 2t, b: x = -4 - 6t, y = -1 + 4t. Jsouli přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Totožné 3) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 6 + t, y = 3 + 2t, b: x = 2 + 3t, y = -5 + 6t. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Totožné 4) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 2 + t, y = -5 - 6t, b: x = 1 - t, y = 1 + 6t. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Totožné 5) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 6 - 7t, y = 3 - 6t, b: x = -1 + 7t, y = -3 + 6t. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Totožné
32/65
6) Určete vzájemnou polohu přímek a: x = 4 + 2t, y = -1 - t, b: x = 6 - 4t, y = -2 + 2t. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. Totožné
33/65
Těžiště, střed kružnice opsané, vzdálenost bodu od přímky 24. Těžiště trojúhelníka 1) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[-1; -5], B=[-7; 5], C=[-1; 3]. SBC=[-4; 4]> ta: 3x + y + 8 = 0, SAC=[-1; -1]> tb: x + y + 2 = 0, SAB=[4; 0]-> tc: x - y + 4 = 0. T= [-3; 1]. 2) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[2; -7], B=[-4; 3], C=[-4; -5]. SBC=[-4; -1] ta: x + y + 5 = 0, SAC=[-1; -6] tb: 3x + y + 9 = 0, SAB=[-1; -2] tc: x - y - 1 = 0. T= [-2; -3]. 3) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[-2; -8], B=[4; -6], C=[4; 2]. SBC=[4; -2]> ta: x - y - 6 = 0, SAC=[1; -7]> tb: 3x - y - 10 = 0, SAB=[1; -3]-> tc: x + y + 2 = 0. T= [2; -4]. 4) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[1; 8], B=[7; -2], C=[7; 6]. SBC=[7; 2]> ta: x + y - 9 = 0, SAC=[4; 7]-> tb: 3x + y - 19 = 0, SAB=[4; 3]-> tc: x - y - 1 = 0. T= [5; 4]. 5) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[7; 8], B=[-3; 2], C=[5; 2]. SBC=[1; 2]-> ta: x - y + 1 = 0, SAC=[6; 5]-> tb: x - 3y + 9 = 0, SAB=[2; 5]-> tc: x + y - 7 = 0. T= [3; 4]. 6) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[8; 3], B=[-2; -3], C=[6; -3]. SBC=[2; -3]-> ta: x - y - 5 = 0, SAC=[7; 0]-> tb: x - 3y - 7 = 0, SAB=[3; 0]-> tc: x + y - 3 = 0. T= [4; -1]. 7) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[8; 3], B=[-2; -3], C=[0; 3]. SBC=[-1; 0]-> ta: x - 3y + 1 = 0, SAC=[4; 3]-> tb: x - y - 1 = 0, SAB=[3; 0]-> tc: x + y - 3 = 0. T= [2; 1]. 8) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[8; 3], B=[-2; 9], C=[0; 3]. SBC=[-1; 6]->ta: x + 3y - 17 = 0, SAC=[4; 3]->tb: x + y - 7 = 0, SAB=[3; 6]-> tc: x - y + 3 = 0. T= [2; 5]. 9) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[5; 3], B=[-5; 9], C=[-3; 3]. SBC=[-4; 6]-> ta: x + 3y - 14 = 0, SAC=[1; 3]-> tb: x + y - 4 = 0, SAB=[0; 6]-> tc: x - y + 6 = 0. T= [-1; 5]. 10) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[3; 2], B=[-7; 8], C=[-5; 2]. SBC=[-6; 5]-> ta: x + 3y - 9 = 0, SAC=[-1; 2]->tb: x+- y - 1 = 0, SAB=[-2; 5]->tc: x - y + 7 = 0. T= [3; 4]. 11) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[-4; 4], B=[-7; 3], C=[2; -1]. ta: 2x + y + 4 = 0, tb: x + 4y - 5 = 0, tc: 3x + 5y - 1 = 0. T= [-3; 2]. 12) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[5; -1], B=[3; 3], C=[-5; 4]. ta: 3x +4 y -11 = 0, tb: x - 2y + 3 = 0, tc: x + 3y - 7 = 0. T= [1; 2]. 13) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[4; -3], B=[3; 5], C=[1; 4]. ta: 5x + 2y -14 = 0, tb: 3x - y - 4 = 0, tc: 2x + 3y - 10 = 0. T= [2; 2]. 14) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[5; 4], B=[-1; 6], C=[-1; -1]. ta: x - 4y + 11 = 0, tb: 3x + 2y - 9 = 0, tc: 2x - y + 1 = 0. T= [1; 3]. 15) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[7; -4], B=[4; 0], C=[-8; 1]. ta: x + 2y + 1 = 0, tb: x - 3y - 4 = 0, tc: 2x + 9y + 7 = 0. T= [1; -1]. 16) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[1; -3], B=[-2; 4], C=[-8; 2]. ta: x + y + 2 = 0, tb: 3x - y + 10 = 0, tc: x + 5y - 2 = 0. T= [-3; 1]. 17) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[6; -4], B=[-3; 3], C=[-9; 1]. ta: x + 2y + 2 = 0, tb: 3x + y + 6 = 0, tc: x + 7y + 2 = 0. T= [-2; 0]. 18) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[-4; 4], B=[-7; 3], C=[-4; -1]. ta: 2x - y + 12 = 0, tb: x + 2y + 1 = 0, tc: 3x + y + 13 = 0. T= [-5; 2]. 19) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[7; -2], B=[6; 6], C=[-1; 5].
34/65
ta: 5x + 3y - 29 = 0, tb: 3x - 2y - 6 = 0, tc: 2x + 5y - 23 = 0. T= [4; 3]. 20) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[6; 1], B=[2; 6], C=[-5; 2]. ta: 2x + 5y - 17 = 0, tb: 3x - y = 0, tc: x - 6y + 17 = 0. T= [1; 3]. 21) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[6; 1], B=[2; 6], C=[-5; 5]. ta: 3x + 5y -23 = 0, tb: 2x - y + 2 = 0, tc: x + 6y - 25 = 0. T= [1; 4]. 22) Určete souřadnice těžiště trojúhelníka o vrcholech A=[-4; 4], B=[-7; 3], C=[5; -1]. ta: x + y = 0, tb: x + 5y - 8 = 0, tc: 3x + 7y - 8 = 0. T= [-2; 2]. 25. Střed kružnice opsané 1) Určete střed kružnice opsané trojúhelníka o vrcholech A=[5; -4], B=[3; 2], C=[-1; 4]. SBC=[1; 3] oa: 2x - y + 1 = 0, SAC=[2; 0] ob: 3x - 4y - 6 = 0, SAB=[4; -1] oc: x - 3y - 7 = 0. S= [-2; -3]. 2) Určete střed kružnice opsané trojúhelníka o vrcholech A=[1; -3], B=[5; -1], C=[7; 1]. SBC=[6;0] oa: x + y - 6 = 0, SAC=[4;-1] ob: 3x + 2y - 10 = 0, SAB=[3; -2]-> oc: 2x + y - 4 = 0. S= [-2; 8]. 3) Určete střed kružnice opsané trojúhelníka o vrcholech A=[1; -2], B=[-3; 0], C=[-5; 6]. SBC=[-4; 3] oa: x - 3y + 13 = 0, SAC=[-2; 2]ob: 3x - 4y + 14 = 0,SAB=[-1; -1]oc: 2x - y + 1 =0. S= [2; 5]. 4) Určete střed kružnice opsané trojúhelníka o vrcholech A=[6; -4], B=[4; 2], C=[-2; 4]. SBC=[1; 3] oa: 3x - y = 0, SAC=[2; 0] ob: x - y - 2 = 0, SAB=[5; -1] oc: x - 3y - 8 = 0. S= [-1; -3]. 5) Určete střed kružnice opsané trojúhelníka o vrcholech A=[5; 2], B=[3; 6], C=[-1; 8]. SBC=[1; 7] oa: 2x - y + 5 = 0, SAC=[2; 5] ob: x - y + 3 = 0, SAB=[4; 4] oc: x - 2y + 4 = 0. S= [-2; 1]. 6) Určete střed kružnice opsané trojúhelníka o vrcholech A=[5; 2], B=[-1; 4], C=[-3; 8]. SBC=[-2; 6] oa: x - 2y + 14 = 0, SAC=[1; 5] ob: 4x - 3y + 11 = 0, SAB=[2; 3] oc: 3x - y - 3 = 0. S= [4; 9]. 7) Určete střed kružnice opsané trojúhelníka o vrcholech A=[1; 1], B=[-3; 3], C=[-5; 7]. SBC=[-4; 5] oa: x - 2y + 14 = 0, SAC=[-2; 4] ob: x - y + 6 = 0, SAB=[-1; 2] oc: 2x - y + 4 = 0. S= [2; 8]. 8) Určete střed kružnice opsané trojúhelníka o vrcholech A=[-3; 1], B=[-1; 5], C=[-2; 4]. SBC=[-3/2;9/2]oa: x + y - 3 = 0,SAC=[-5/2;5/2]ob: x + 3y - 5 = 0,SAB=[-2; 3]oc: x + 2y - 4 = 0. zlomky! S= [2; 1]. 9) Určete střed kružnice opsané trojúhelníka o vrcholech A=[6; -3], B=[4; 1], C=[1; 2]. SBC=[5/2;3/2]oa: 3x - y - 6 = 0,SAC=[7/2;-1/2]ob: x - y - 4 = 0,SAB=[5; -1] oc: x - 2y - 7 = 0. zlomky! S= [1; -3]. 10) Určete střed kružnice opsané trojúhelníka o vrcholech A=[-6; -3], B=[2; 1], C=[-5; 0]. SBC=[-3/2;1/2]oa: 7x+y+10= 0,SAC=[-11/2;-3/2]ob: x+3y+10= 0,SAB=[-2;-1]oc: x+2y+5 = 0. zlomky! S= [-1; -3]. 11) Určete střed kružnice opsané trojúhelníka o vrcholech A=[3; -1], B=[7; 7], C=[2; 2]. SBC=[9/2;9/2]oa: x + y - 9 = 0,SAC=[5/2;1/2]ob: x - 3y - 1 = 0,SAB=[5;3] oc: x + 2y - 11 = 0. zlomky! S= [7; 2]. 12) Určete střed kružnice opsané trojúhelníka o vrcholech A=[-4; -2], B=[3; -1], C=[-6; 2]. SBC=[-3/2;1/2]oa: x - y + 5 = 0,SAC=[5;0]ob: x - 2y + 5 = 0,SAB=[-1/2;-3/2]oc: 7x + y + 5 = 0. zlomky! S= [-1; 2]. 13) Určete střed kružnice opsané trojúhelníka o vrcholech A=[-3; -4], B=[2; 1], C=[-6; 5]. SBC=[-2;3]oa: 2x - y +7 = 0,SAC=[-9/2;1/2]ob: x - 3y +6 = 0,SAB=[-1/2;-3/2]oc: x + y +2 = 0. zlomky! S= [-3; 1]. 14) Určete střed kružnice opsané trojúhelníka o vrcholech A=[-2; -5], B=[3; 0], C=[-6; 3].
35/65
SBC=[-3/2;3/2]oa: 3x - y +6 = 0,SAC=[-4;-1]ob: x - 2y +2 = 0,SAB=[1/2;-5/2]oc: x + y +2 = 0. zlomky! S= [2; 0]. 15) Určete střed kružnice opsané trojúhelníka o vrcholech A=[4; -7], B=[1; 4], C=[-4; 5]. SBC=[-3/2;9/2]oa: 5x -y +12= 0,SAC=[0;-1]ob: 2x -3y -3= 0,SAB=[5/2;-3/2]oc: 3x -11y -24= 0. zlomky! S= [-3; -3]. 16) Určete střed kružnice opsané trojúhelníka o vrcholech A=[-8; -7], B=[7; -2], C=[-5; -4]. SBC=[1;1]oa: 2x -y -1= 0,SAC=[-13/2;-3/2]ob: 3x 11y+36= 0,SAB=[-1/2;-9/2]oc: 3x+y +6= 0. zlomky! S= [-1; -3]. 17) Určete střed kružnice opsané trojúhelníka o vrcholech A=[8; -8], B=[5; 3], C=[-7; -5]. SBC=[-1;-1]oa: 3x+2y+5= 0,SAC=[1/2;-13/2]ob: 5x-y-9= 0,SAB=[13/2;-5/2]oc: 3x-11y-47= 0. zlomky! S= [1; -4]. 18) Určete střed kružnice opsané trojúhelníka o vrcholech A=[-5; -5], B=[-2; 4], C=[-3; 3]. zlomky! SBC=[-5/2;7/2]oa: x +y -1= 0,SAC=[-4;-1]ob: x +4y +8= 0,SAB=[-7/2;-1/2]oc: x +3y +5 = 0. S= [4; -3]. 19) Určete střed kružnice opsané trojúhelníka o vrcholech A=[9; -8], B=[3; 4], C=[-4; 5]. zlomky! SBC=[-1/2;9/2]oa: 7x -y +8 = 0,SAC=[5/2;-3/2]ob: x -y -4 = 0,SAB=[6;-2]oc: x - 2y 10 = 0. S= [-2; -6]. 26. Vzdálenost bodu od přímky 1) Určete vzdálenost bodu M=[2; -5] od přímky p: x - 7y + 13 = 0 n: 7x + y - 9 = 0, P=[1; 2], |PM|= 50 . 2) Určete vzdálenost bodu M=[2; -4] od přímky p: x - 5y + 4 = 0 n: 5x + y - 6 = 0, P=[1; 1], |PM|= 26 . 3) Určete vzdálenost bodu M=[-4; -3] od přímky p: x + 4y - 1 = 0 n: 4x - y + 13 = 0, P=[-3; 1], |PM|= 17 . 4) Určete vzdálenost bodu M=[-1; 4] od přímky p: 2x - y + 1 = 0 n: x + 2y - 7 = 0, P=[1; 3], |PM|= 5 . 5) Určete vzdálenost bodu M=[-2; 4] od přímky p: 3x - 2y + 1 = 0 n: 2x + 3y - 8 = 0, P=[1; 2], |PM|= 13 . 6) Určete vzdálenost bodu M=[2; 5] od přímky p: x - 3y + 3 = 0 n: 3x + y - 11 = 0, P=[3; 2], |PM|= 10 . 7) Určete vzdálenost bodu M=[3; 4] od přímky p: 5x + 2y + 6 = 0 n: 2x - 5y + 14 = 0, P=[-2; 2], |PM|= 29 . 8) Určete vzdálenost bodu M=[-3; -2] od přímky p: x - 2y + 9 = 0 n: 2x + y + 8 = 0, P=[-5; 2], |PM|= 20 . 9) Určete vzdálenost bodu M=[-7; 4] od přímky p: x + y + 1 = 0 n: x - y + 11 = 0, P=[-6; 5], |PM|= 2 . 10) Určete vzdálenost bodu M=[-1; -3] od přímky p: 3x + y - 14 = 0 n: x - 3y - 8 = 0, P=[5; -1], |PM|= 40 . 11) Určete vzdálenost bodu M=[3; -6] od přímky p: x - y - 5 = 0 n: x + y + 3 = 0, P=[1; -4], |PM|= 8 . 12) Určete vzdálenost bodu M=[3; -7] od přímky p: 5x - 3y - 2 = 0 n: 3x + 5y + 26 = 0, P=[-2; -4], |PM|= 34 .
36/65
Obsah trojúhelníka 27. Obsah trojúhelníka 1) V trojúhelníku ABC, kde A=[4; -1], B=[-2; -1], C=[2, 3] určete obsah pomocí výšky va. VH: a: x – y + 1 = 0, va : x + y – 3 = 0, P=[1; 2], S=|BC|.|AP|= 322 18 12 2) V trojúhelníku ABC, kde A=[2; -2], B=[6; 2], C=[1, 1] určete obsah pomocí výšky vc. VH: c: x – y - 4 = 0, vc : x + y – 2 = 0, P=[3; -1], S=|AB|.|CP|= 322 8 8 3) V trojúhelníku ABC, kde A=[2; -4], B=[5; -1], C=[1, 1] určete obsah pomocí výšky vc. VH: c: x – y - 6 = 0, vc : x + y – 2 = 0, P=[4; -2], S=|AB|.|CP|= 182 18 9 4) V trojúhelníku ABC, kde A=[4; -5], B=[4; -1], C=[1, -2] určete obsah pomocí výšky vb. VH: b: x + y - 1 = 0, vb : x - y – 5 = 0, P=[2; -3], S=|AC|.|BP|= 182 8 6 5) V trojúhelníku ABC, kde A=[2; -3], B=[6; 1], C=[-1, 2] určete obsah pomocí výšky vc. VH: c: x – y - 6 = 0, vc : x + y – 1 = 0, P=[3; -2], S=|AB|.|CP|= 322 32 16 6) V trojúhelníku ABC, kde A=[4; -1], B=[-5; -4], C=[2, 3] určete obsah pomocí výšky va. VH: a: x – y + 1 = 0, va : x + y – 3 = 0, P=[1; 2], S=|BC|.|AP|= 982 18 21 7) V trojúhelníku ABC, kde A=[2; -3], B=[6; 1], C=[-2, 3] určete obsah pomocí výšky vc. VH: c: x – y - 5 = 0, vc : x + y – 1 = 0, P=[3; -2], S=|AB|.|CP|= 322 50 20
37/65
Výrazy s faktoriálem 1. Úpravy čísel 1) Vypočtěte: 83 306! 2 304! VH: 3 403 + 93 330 = 96 733 2) Vypočtěte: 75 153! 72 151! VH: 67 525 + 23 256 = 90 781 3) Vypočtěte: 101 202! 99 200! VH: 5 050 - 40 602 = -35 552 4) Vypočtěte: 71 89! 68 87! VH: 57 155 - 7 832 = 49 323 5) Vypočtěte: 77 273! 74 271! VH: 73 150 - 74 256 = - 1 106 2. Krácení zlomků 1) Zjednodušte výraz: n!(n 1)! (n 1)!(n 2)! Sb-MM, Sb-rce: n n 2 …str.84/1.2–b) 2) Zjednodušte výraz: (n 3)!(n 2 1) (n 1)! Sb-rce: nn12 …str.57/5.2–16) 3) Zjednodušte výraz: (n 3)! (n 1)!(n 2 4) Sb-rce: nn23 …str.57/5.2–15) 4) Zjednodušte výraz: (n!) 2 (n 1)!(n 1)! Sb-rce: nn1 …str.57/5.2–12) 5) Zjednodušte výraz:
38/65
n (n 1)! n 1 (n 2)! 2
Radl: n 2 6) Zjednodušte výraz: n! (n 1)! Sb-MM: n …str.84/1.2–a) 7) Zjednodušte výraz: (n 1)! (n 1)! Sb-rce: n(n 1) …str.57/5.2–5) 8) Zjednodušte výraz: n! (n 2)! Sb-rce: (n 1)n …str.57/5.2–7) 9) Zjednodušte výraz: (n 2)! (n 1)! Sb-rce: (n 2)(n 1)n …str.57/5.2–13) 10) Zjednodušte výraz: (n 1)!n n! (n 1)! Sb-rce: n …str.57/5.2–17) 11) Zjednodušte výraz: (n 2)! (n 1)! (n 3)! (n 2)! Radl: 1 12) Zjednodušte výraz: n! (n 1)! (n 1)! n(n 1)! Radl: 2n 1 13) Zjednodušte výraz: (n 1)! n! n! (n 1)! Sb-MM: 1 …str.84/1.2–c) 14) Zjednodušte výraz: (n 1)! n! n! (n 1)! 2
VŠE: n n21 n 15) Zjednodušte výraz: (n 2)! (n 1)! n! 2 n! (n 1)! (n 2)! Sb-rce, SMP, VŠE: 2 …str.58/5.3–9) 16) Zjednodušte výraz:
39/65
1 n2 n (n 2)! (n 1)! 2 Radl: (nn21)! 3. Sčítání zlomků 17) Zjednodušte výraz: n3 2 (n 1)! (n 3)! VH:
2 n 2 5 n 7 ( n 1)!
18) Zjednodušte výraz: 1 2n (n 1)! (n 3)! VH:
n 2 3n 6 ( n 3)!
19) Zjednodušte výraz: 5 3 (n 2)! n! 2
VH: 5n n5! n 3 20) Zjednodušte výraz: 3 n2 n! (n 2)! VH:
4 n 2 9 n 6 ( n 2 )!
21) Zjednodušte výraz: 1 1 n! (n 1)! Sb-rce: ( n n1)! …str.58/5.3–1) 22) Zjednodušte výraz: 1 1 n! (n 1)! Sb-rce: ( nn 12)! …str.58/5.3–2) 23) Zjednodušte výraz: 4 n2 n (n 2)! (n 1)! Sb-rce: ( n 21)! …str.58/5.3–6) 24) Zjednodušte výraz: 2 2n 2 n (n 1)! (n 1)! Sb-rce: ( n n1)! …str.58/5.3–7) 25) Zjednodušte výraz: 1 1 1 n! (n 1)! (n 2)!
40/65
2
Sb-MM, SMP: 1nn! …str.84/1.2–d) 26) Zjednodušte výraz: 1 1 1 (n 1)! n! (n 1)! SPŠ:
n2 2n ( n 1)!
27) Zjednodušte výraz: n2 9 6 1 (n 3)! (n 2)! (n 1)! Sb-rce, SMP, VŠE: ( n 12)! …str.58/5.3–3) 28) Zjednodušte výraz: 1 3 n2 4 n! (n 1)! (n 2)! Sb-rce, SMP, VŠE: 0 …str.58/5.3–4) 4. Úpravy kombinačních čísel 1) Upravte: n 1 n 1 5 4 n 1 n 2 VH: 2n 2 3n 5 2) Upravte: n 2 n 2 6 n n 1 VH: 3n 2 7n 6 3) Upravte: n 3 n 1 4 2 n 5 n VH: n 2 11n 8 4) Upravte: n n 3 3 8 n 2 n 2 VH: 4n 2 7n 9 5) Upravte: n 1 n 1 Sb-rce: n ( n21) …str.59/5.6–2c) 6) Zjednodušte výraz: 6 n 6 n 6 n n 3 n 2 n 1 Radl: n 2 5 7) Zjednodušte výraz:
41/65
n n! : (n 3)! 2 Radl: 2(n 2) 8) Zjednodušte výraz: n 2 n 1 n n 1
Radl: (n 1) 2 9) Zjednodušte výraz: n 1 n 2 : n 3 n 4 Radl: nn13 10) Zjednodušte výraz: n 1 n n n 1 Radl: n 2 n 11) Zjednodušte výraz: n n : n 2 n 1 Radl: n21 5. Důkazy 1) Dokažte, že pro přípustná n platí: n 1! n n! n! Sb-MM: CMBD…str.85/1.3-a) 2) Dokažte, že pro přípustná n platí: n! n 2 (n 1)! (n 1)! Sb-MM, Sb-rce: CMBD…str.85/1.3-b) 3) Dokažte, že pro přípustná n platí: n n! n (n 1)! (n 1)! VH: CMBD 4) Dokažte, že pro přípustná n platí: n 1! n! n n! Sb-rce: CMBD…str.58/5.4–3)
42/65
Rovnice s faktoriálem 1. Rovnice s faktoriálem 1) Řešte rovnici: x 6 ! x 2 16 x 28 x 4 ! Sb-MM, Sb-rce: 2 x 2 5x 2 0 x2 12 , x1 2 …str.85/1.4-b) 2) Řešte rovnici: x 3 ! x 2 14 x x 2 ! Sb-MM: 2 x 2 3x 14 0 x2 72 , x1 2 …str.85/1.4-c) 3) Řešte rovnici: x 5 ! 14 x x 2 17 x 3 ! VŠE: 2 x 2 5x 3 0 x2 32 , x1 1 4) Řešte rovnici: x x 5 ! 6 x 2 x 1 x 4 ! VH: 5x 2 4 x 1 0 x2 15 , x1 1 5) Řešte rovnici: 2 x 1 ! x8 x 3 ! VŠE: 2 x 2 7 x 4 0 x2 12 , x1 4 6) Řešte rovnici: x 3 ! x 2 8x 6 x 5 ! VH: 2 x 2 15x 18 0 x2 32 , x1 6 7) Řešte rovnici: x 1 ! 24 x 12 5 x 1 ! VH: 5x 2 19 x 12 0 x1 3, x2 4 / 5 8) Řešte rovnici: x 2 ! 2 x! 3! x! ( x 2)! VŠE: x 2 5x 4 0 x2 1, x1 4 9) Řešte rovnici: x 2 ! 14 x 31 (2 x 3) x 3 ! VŠE: 2 x 2 15x 25 0 x2 52 , x1 5 10) Řešte rovnici:
43/65
3 x 1 ! 22 x 64 x 3 !
VŠE: 3x 2 31x 70 0 x2 103 , x1 7 2. Rovnice s kombinačními čísly 1) Řešte rovnici: x 1 x 2 9 x 3 x 4 Sb-MM, Sb-rce, SMP: x 2 4 x 5 0 x2 1, x1 5 …str.85/2.4-d) 2) Řešte rovnici: x 1 x 2 4 x 2 x 4 Sb-rce, SMP, VŠE: x 2 3x 4 0 x2 1, x1 4 …str.61/5.12-3) 3) Řešte rovnici: x 2 x 3 16 x 4 x 5 Sb-rce, SPŠ: x 2 6 x 7 0 x2 1, x1 7 …str.61/5.12-5) 4) Řešte rovnici: x 3 x 1 3x 15 2 x 1 x 2 VH: x 2 3x 10 0 x1 2, x2 5 5) Řešte rovnici: x x 1 4 2 2 Sb-MM: 2 x 2 4 x 6 0 x1 3, x2 1 …str.85/2.4-b) 6) Řešte rovnici: x x 2 8 1 2 VH: x 2 3x 10 0 x1 5, x2 2 7) Řešte rovnici: x 2 x 4 8 x 3 2 x 2 VH: x 2 7 x 6 0 x1 6, x2 1 8) Řešte rovnici: x x 3 4 2 2 Sb-MM: x2 2 x 1 0 D 8 NŘ …str.85/2.4-c) 9) Řešte rovnici: x x 3 4 2 1
44/65
Sb-rce: x 2 x 2 0 x1 1, x2 2 …str.61/5.12-2) 10) Řešte rovnici: x 2 3 2 Sb-rce: x 2 5x 0 x2 0, x1 5 …str.61/5.12-1) 11) Řešte rovnici: x 3 x 2 2 2 x 30 x 4 2 VH: x 2 25 0 x1 5, x2 5 11) Řešte rovnici: x x x2 1 2 x 2 x 1 SMP: x 1, NŘ 3. Rovnice s vytýkáním 1) Řešte rovnici: x 5! x 3! 3 x 4! VH: x 2 10 x 25 0 x1, 2 5 2) Řešte rovnici: x 2! x ! 3 x 1! VH: x 2 4 x 4 0 x1, 2 2 3) Řešte rovnici: x 4! x 2! 3 x 3! Sb-rce: x 2 8x 16 0 x1, 2 4 …str.59/5.5-3) 4) Řešte rovnici: x 3! x 1! 3 x 2! Sb-rce: x 2 6 x 9 0 x1, 2 3 …str.59/5.5-2) 4. Různé 1) Řešte rovnici: log( x 6)! log( x 5)! 2 log x Sb-rce: x 2 x 6 0 x2 2, x1 3 …str.59/5.5-6) 2) Řešte rovnici: log( x 1)! log x! 1 Sb-rce: 9 …str.59/5.5-7) 3) Řešte rovnici:
45/65
log x! log( x 2)! log 5 1
Sb-rce: x 2 x 2 0 x2 1, x1 2 …str.59/5.5-8) 4) Řešte rovnici: 2 log( x 2) log( x 2)! log( x 3)! VH: x 2 5x 6 0 x2 2, x1 3 5) Řešte rovnici: log( x 3)! log( x 5)! log( x 3) 0 VH: x 5
46/65
Permutace, variace, kombinace 1. Variace bez opakování 1) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel sestavených z číslic 1, 3, 5, 8, 9 tak, že se v něm každá číslice vyskytuje nejvýše jednou. VH: 5.4.3.2=120 2) Určete počet všech trojciferných přirozených čísel sestavených z číslic 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9 tak, že se v něm každá číslice vyskytuje nejvýše jednou. VH: 7.6.5=210 3) Určete počet všech trojciferných přirozených čísel sestavených z číslic 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 tak, že se v něm každá číslice vyskytuje nejvýše jednou. VH: 8.7.6=336 4) Na parkovišti je pět míst. Kolika způsoby tam může zaparkovat 7 různých automobilů? VH: 7.6.5.4.3=2 520 5) Určete počet všech přirozených čísel menších než 500, v jejichž zápisu jsou pouze cifry 3, 5, 7, 9, každá nejvýše jednou. VH: (1.3.2 = 6) + (4.3 = 12) + (4) = 22 6) Kolik uspořádaných trojic lze utvořit z devíti různých prvků, jestliže v nich žádný prvek neopakuje? VH: 9.8.7=504 7) Kolika způsoby lze rozdělit tři medaile mezi 13 účastníků soutěže? VH: 13.12.11=1 716 8) Kolika způsoby lze rozdělit tři medaile mezi 12 účastníků soutěže? VH: 12.11.10=1 320 9) Kolik uspořádaných čtveřic lze utvořit z osmi různých prvků, jestliže se v nich žádný prvek neopakuje? VH: 8.7.6.5=1 680 10) Určete kolika způsoby lze sestavit rozvrh na jeden den pro třídu, v níž se vyučuje dvanácti předmětům a každému nejvýše jednu vyučovací hodinu denně, má-li se skládat ze šesti vyučovacích hodin. V kolika z nich se vyskytuje daný předmět a v kolika z nich je tento předmět zařazen na 1. vyučovací hodinu? V6(12)=665 280, 6.V5(11)=332 640, V5(11)=55 440 11) O telefonním čísle svého spolužáka si František zapamatoval jen to, že je šestimístné, začíná sedmičkou, neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné pětadvaceti. Určete kolik telefonních čísel přichází v úvahu. 2.V3(7)=420 2. Vlajka 1) Vlajka je složena ze tří různobarevných pruhů. K dispozici jsou barvy bílá, červená, modrá, zelená, žlutá. Kolik vlajek lze sestavit, a kolik z nich má modrý pruh? Nydl: 60, 36 2) Vlajka je složena ze tří různobarevných pruhů. K dispozici jsou barvy bílá, červená, modrá, zelená, žlutá, černá. Kolik vlajek lze sestavit, a kolik z nich má modrý pruh uprostřed? VH: 120, 20 3) Vlajka je složena ze tří různobarevných pruhů. K dispozici jsou barvy bílá, červená, modrá, zelená, žlutá. Kolik vlajek lze sestavit, a kolik z nich nemá zelený pruh uprostřed? VH: 60, 48 4) Vlajka je složena ze tří různobarevných pruhů. K dispozici jsou barvy bílá, červená, modrá, zelená. Kolik vlajek lze sestavit, a kolik z nich nemá bílý pruh uprostřed?
47/65
VH: 24, 18 3. Permutace 1) Kolika způsoby lze rozsadit pět hostů do pěti křesel stojících v jedné řadě? VH: 5!=120 2) Na parkovišti je šest míst. Kolika způsoby tam může zaparkovat 6 různých automobilů? VH: 6!=720 3) Čtyři poslanci mají projev. Určete počet všech možných pořadí. VH: 4!=24 4) Kolika způsoby lze rozsadit šest hostů do šesti křesel stojících v jedné řadě? VH: 6!=720 5) Kolika způsoby lze na polici rozmístit 8 knih? VH: 8!=40 320 6) Kolik slov vznikne přemístěním písmen slova LAMPION? VH: 7!=5040 7) Kolik slov vznikne přemístěním písmen slova KLADIVO? VH: 7!=5040 8) Kolik slov vznikne přemístěním písmen slova RADOST? VH: 6!=720 9) Kolik slov vznikne přemístěním písmen slova RYPADLO? VH: 7!=5 040 10) Kolik slov vznikne přemístěním písmen slova RAKEV? VH: 5!=120 11) Kolik slov vznikne přemístěním písmen slova MRKEV? VH: 5!=120 12) Kolika způsoby můžete seřadit do fronty 7 zákazníků? VH: 7!=5 040 13) V lavici sedí 5 žáků v jedné řadě. Kolika způsoby je můžeme přesadit? VH: 5!=120 14) Pan Komárek, Loudal a Mlynář soutěží v běhu na 42 m. Kolik různých výsledků může mít tato soutěž. VH: P(3) = 6. 4. Variace s opakováním 1) Je rodina se čtyřmi dětmi. Kolik je možností, jestliže rozlišujeme věk dítěte a pohlaví? VH: 2.2.2.2=16 2) Kolik je možných výsledků při pěti hodech mincí? VH: 32 3) Kolik vrhů lze provést dvěma kostkami? VH: 36 4) Kolik různých pěticiferných čísel lze vytvořit z číslic 2, 5? VH: 32 5) Kolik vrhů lze provést třemi kostkami? VH: 216 6) Kolik různých pěticiferných čísel lze vytvořit z číslic 2, 5, 8? VH: 243 7) Trezor má pěti místný kód sestavený z číslic 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Kolik možných kódů lze vytvořit? VH: 59 049
48/65
8) Trezor má pěti místný kód sestavený z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Kolik možných kódů lze vytvořit? VH: 59 049 9) Určete, kolik značek Morseovy abecedy lze vytvořit sestavením teček a čárek do skupin o čtyřech prvcích. VH: 16 10) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel sestavených z číslic 1, 3, 5, 8, 9. VH: 625 11) Kufřík má zámek s pěti kotoučky, na nichž jsou číslice 0,1,2,3 ….,9. Zámek se otevře, když je nastaveno pěticiferné číslo, které je "heslem". Majitel kufříku zapomněl heslo a pamatuje si pouze číslici na místě stovek. Kolik musí vyzkoušet všech možných pěticiferných čísel. VH: 10 000 12) Anglická abeceda má 26 písmen. Kolik z ní lze teoreticky vytvořit čtyřpísmenových slov? VH: 456 976 13) Určete, kolik značek Morseovy abecedy lze vytvořit sestavením teček a čárek do skupin o jednom až čtyřech prvcích. VH: 30 14) Kolik různých výsledků je při hodu 2x mincí. VH: V´2(2) = 4 15) Kolik kódů lze nastavit na zámku u kola, který má dva kotouče s čísly {1, 2, 3, 4, 5}? VH: V´2(5) = 25 5. Variace bez, s opakováním - čísla s nulou či podmínkou 1) Kolik různých pěticiferných čísel lze sestavit z číslic 0, 2, 3? Sb-MM: 2.3.3.3.3=162…str.87/7.1 2) Určete počet všech čtyřciferných čísel tvořených z cifer {0,1,2, ….9} tak, aby se číslice neopakovaly. VH: 4536 3) Určete počet všech čtyřciferných čísel tvořených z cifer {0,2,5,6,7,8} tak, aby se číslice neopakovaly. VH: 300 4) Určete počet všech tříciferných čísel tvořených z cifer {0,2,3,5,6,7,8} tak, aby se číslice neopakovaly. VH: 180 5) Určete počet všech čtyřciferných čísel tvořených z cifer {0,2,3,5,7,8,9} tak, aby se číslice neopakovaly. VH: 720 6) Kolik pěticiferných čísel je možné sestavit z číslic {0,1,3,4,7}?(číslice se nesmějí opakovat). PF JCU: 96 7) Kolik šesticiferných čísel je možno sestavit z číslic {1,2,3,4,5,6}, mají-li čísla začínat číslicí 4. (číslice se nesmějí opakovat). PF JCU: 120 8) Kolik dvojciferných čísel lze vytvořit z číslic {4, 7, 9, 0} tak, aby se cifry neopakovaly? VH: 9 9) Kolik je všech dvojciferných čísel? VH: 90
49/65
6. Dělitelnost 10) Určete počet všech čtyřciferných čísel dělitelných pěti tvořených z cifer {0,2,3,5,6,7,8} tak, aby se číslice neopakovaly. VH: 220 11) Určete počet všech čtyřciferných čísel dělitelných dvěma tvořených z cifer {0,2,6,7,8} tak, aby se číslice neopakovaly. VH: 78 12) Určete počet všech čtyřciferných čísel dělitelných pěti tvořených z cifer {0,2,5,6,7,8} tak, aby se číslice neopakovaly. VH: 108 13) Určete počet všech čtyřciferných čísel dělitelných dvěma tvořených z cifer {0,2,5,6,7,8} tak, aby se číslice neopakovaly. VH: 204 7. Kombinace 1) Určete, kolika způsoby lze vybrat z 26 žáků 3 zástupce třídy. VH: C3(26) = 2600 2) Určete, kolika způsoby lze vybrat namátkou 4 výrobky z dodávky 30 ks. VH: C4(30) = 27 405 3) Ve třídě je 28 žáků. V hodině budou vyvolání dva. Kolik je možností? VH: C2(28) = 378 4) Kolika způsoby lze vybrat z 20 vojáků tříčlennou hlídku? VH: C3(20) = 1140 5) Kolik různých přímek je určeno vrcholy krychle? VH: C2(8) = 28 6) Kolika způsoby lze vybrat družstvo na volejbal (6 lidí) ze skupiny 9 studentů? VH: C3(9) = 84 7) V Matesu se tipuje 5 čísel z 35. Kolik je všech možností? VH: 324 632 8) Ve skladu je 10 výrobků, mezi nimi jsou 3 vadné. Kolika způsoby z nich můžeme vybrat kolekci pěti výrobků, aby a) všechny byly dobré, b) byl nejvýše jeden vadný, c) byl právě jeden vadný, d) byl alespoň jeden vadný? 21, 126, 105, 231 9) Kolik se odehraje utkání v piškvorkách, jestliže hraje každý s každým, a soutěže se účastní 11 hráčů? VH: C2(11) = 55 10) Na půdě je 6 párů bílých a 5 párů černých ponožek. Kolika způsoby lze vybrat dvě ponožky? VH: C2(22) = 231 11) Dealer nabízí výrobky od 4 firem (Sony, JVC, Philips, Panasonic). Obchodník si ale chce vybrat jen tři firmy. Kolik má možností? VH: C3(4) = 4 12) Kolika způsoby lze vybrat dva dobrovolníky na službu z žáků Alois, Bart, Cenda, David? VH: C2(4) = 6
50/65
8. Kombinace bodů 1) Kolik přímek je určeno šesti body, jestliže tři leží na jedné přímce. VH: C2(6) - C2(3) + 1 = 15 - 3 + 1 = 13 2) Kolik přímek je určeno sedmi body, jestliže tři leží na jedné přímce. VH: C2(7) - C2(3) + 1 = 21 - 3 + 1 = 19 3) Kolik přímek je určeno sedmi body, jestliže čtyři leží na jedné přímce. VH: C2(7) - C2(4) + 1 = 21 - 6 + 1 = 16 4) Kolik přímek je určeno osmi body, jestliže tři leží na jedné přímce. VH: C2(8) - C2(3) + 1 = 28 - 3 + 1 = 26 5) Kolik přímek je určeno osmi body, jestliže čtyři leží na jedné přímce. VH: C2(8) - C2(4) + 1 = 28 - 6 + 1 = 23 6) Kolik přímek je určeno devíti body, jestliže čtyři leží na jedné přímce. VH: C2(9) - C2(4) + 1 = 36 - 6 + 1 = 31 7) Kolik přímek je určeno desíti body, jestliže čtyři leží na jedné přímce. VH: C2(10) - C2(4) + 1 = 45 - 6 + 1 = 40 8) Kolik přímek je určeno devíti body, jestliže pět leží na jedné přímce. VH: C2(9) - C2(5) + 1 = 36 - 10 + 1 = 27 9) Kolik přímek je určeno jedenácti body, jestliže čtyři leží na jedné přímce. VH: C2(11) - C2(4) + 1 = 55 - 6 + 1 = 50 10) Kolik přímek je určeno jedenácti body, jestliže pět leží na jedné přímce. VH: C2(11) - C2(5) + 1 = 55 - 10 + 1 = 46 11) Kolik přímek je určeno devatenácti body, jestliže šest leží na jedné přímce. VH: C2(19) - C2(6) + 1 = 171 - 15 + 1 = 157 9. Permutace s opakováním 1) Kolik slov lze utvořit přemístěním písmen MINIMUM? VH: 420 2) Kolik slov lze utvořit přemístěním písmen MATEMATIKA? VH: 151 200 3) Kolik slov lze utvořit přemístěním písmen KOLALOKA? VH: 2 520 4) Kolik slov lze utvořit přemístěním písmen KARAKAS? VH: 420 5) Kolik slov lze utvořit přemístěním písmen ABRAKADABRA? VH: 83 160 6) Kolik slov lze utvořit přemístěním písmen HONOLULU? VH: 5 040 7) Kolik slov lze utvořit přemístěním písmen REKREACE? VH: 3 360 8) Určete počet všech anagramů, jež lze ze slova KOMBINATORIKA utvořit. VH: 389 188 880 9) Určete kolika způsoby lze přemístit písmena slova MISSISSIPPI. VH: 34 650 10) Tři chlapci a čtyři dívky. Kolika způsoby dle pohlaví je lze postavit vedle sebe? VH: 35 11) Je 5 černých a 4 bílé kuličky. Kolik různých seskupení vznikne seřazením do jedné řady? VH: 126 12) Kolik znaků lze vytvořit ze dvou čárek a čtyřech teček? VH: 15
51/65
13) Hod 6 krát mincí. Kolik je možností tak, aby padly 2 ruby? VH: 15 10. Kombinace s opakováním 1) Kolik je možností při zakoupení pěti jogurtů při výběru ze čtyř druhů? VH: C´5(4)=56 2) Pan Josef Šiška si chce koupit 6 čokolád. V obchodě mají 3 druhy. Kolik má možností? VH: C´6(3)=28 3) Klenotník vybírá do prstenu 4 drahokamy. K dispozici má rubíny, smaragdy a safíry. Kolik má možností? VH: C´4(3)=15 4) V prodejně je 5 druhů velikonočních pohlednic. Kolik je možností při zakoupení 8 ks? VH: C´8(5)=495 5) Pan Květák dostane od svého zaměstnavatele tři nové Trabanty a může vybírat z šesti barev. Kolik má možností? VH: C´3(6)=56 6) Karkulka se rozhodla koupit babičce tři flašky vína. Kolik má možností, jestliže v Jednotě mají 7 druhů vín. VH: C´3(7)=84 7) Pan Vorel hodlá vybavit firmu sedmi mobilními telefony a má na výběr z pěti druhů. Kolik má možností? VH: C´7(5)=330 8) Pan ředitel hodlá zakoupit 15 hodin řízených rádiovým signálem. Má na výběr z 6 barev. Kolik má možností? VH: C´15(6)=15 504 9) Určete počet všech Apolloniových úloh. VH: C´3(3)=10 11. Různé 1) Na maturitním večírku je 15 hochů a 12 děvčat. Určete kolika způsoby mohou utvořit taneční pár. (C2(27)- C2(12)- C2(15))=180, nebo 15.12 = 180 2) Kolik čísel je mezi prvním miliónem přirozených čísel více: těch, která mají nějakou číslici rovnu 3 nebo těch, která číslici 3 neobsahují? která neobsahují 3 je 531 441
52/65
Binomická věta 1. Obecná binomická věta 1) Napište obecnou binomickou větu: VH: n n n n a b n
n nk k n 2 n2 n 1 n 1 n 0 n n 0 n 1 1 n2 2 n 3 3 b .. 0 a b 1 a b 2 a b 3 a b ... n k a n 2 a b n 1 a b n a b
2. Základní binomický rozvoj I. 1) Určete: ( x y) 6 VH: x 6 6 x 5 y 15.. 2) Určete: ( x y) 5 Sb-MM: x5 5x 4 y 10 x3 y 2 10 x 2 y 3 5xy 4 y 5 str.86/3.1-a) 3) Určete: (a b) 5 Sb-rce: a5 5a 4b 10a3b2 10a 2b3 5ab4 b5 …str64/5.18-1) 4) Určete: (1 m)7 Sb-rce: 1 7m 21m2 35m3 35m4 21m5 7m6 m7 …str64/5.18-2) 5) Určete: ( x 3 y) 5 Sb-MM: x5 15x 4 y 90 x3 y 2 270 x 2 y 3 405xy 4 243 y 5 …str.86/3.1-b) 6) Určete: (2 x y )5 VH: 32 x5 80 x 4 y 80 x3 y 2 40 x 2 y 3 10 xy 4 y 5 7) Určete: (3x 2y ) 4 Sb-MM: 81x 4 216 xy 216 xy2 96 yx3 16 y14 …str.86/3.1-c) 3
2
3. Základní binomický rozvoj II. 1) Určete: (1 2 3 ) 4 Sb-MM: 217 104 3 …str.86/3.1-d) 2) Určete: ( 2 3) 4 VH: 193 132 2 3) Určete: (2 3 )5 VH: 362 209 3 4) Určete:
53/65
( 5 2) 4
VH: 161 72 5 4. Užití binomické věty I 1) Určete pátý člen binomického rozvoje výrazu:
1 3x
2 12
Sb-rce: 40095x 8 …str.64/5.21-a) 2) Určete třetí člen binomického rozvoje výrazu:
2 x
2 13
VH: 159744x 4 3) Určete čtvrtý člen binomického rozvoje výrazu: x 212 Sb-MM: 1760x9 …str.86/3.2-a) 4) Určete čtvrtý člen binomického rozvoje výrazu:
3 x
3 7
VH: 2835x 9 5) Určete šestý člen binomického rozvoje výrazu:
4 x
2 8
VH: 3584x 10 5. Užití binomické věty II 1) Určete jedenáctý člen binomického rozvoje výrazu: 1 2 x 2x 1001 VH: 1024 x2
14
2) Určete čtvrtý člen binomického rozvoje výrazu: 9
1 x 2 3x VH: 289 3) Určete pátý člen binomického rozvoje výrazu: 10
2 1 x 3x 8 VH: 7027x 4) Určete třetí člen binomického rozvoje výrazu: 1 x 2 2x 33x 6 VH: 2
12
54/65
6. Určení binomického členu 1) Kolikátý člen daného binomického rozvoje obsahuje x 7 : 8
2 1 2x x Sb-MM: 4 tý …str.86/3.4
2) Kolikátý člen daného binomického rozvoje obsahuje x 6 : x 112 Sb-MM: 7 tý …str.86/3.2-b) 7. Určení binomického koeficientu 1) Určete koeficient daného binomického rozvoje, který je u x 2 :
2 x 3
10
Sb-rce: k 6 3360 …str.65/5.22-a) 2) Určete koeficient daného binomického rozvoje, který je u absolutního členu: 12
2 3 x x Sb-rce: k 3 1760 …str.65/5.22-b) 3) Určete koeficient daného binomického rozvoje, který je u x 6 : 10
2 3 x x VŠE: k 7 15 210 4) Určete koeficient daného binomického rozvoje, který je u x 7 : 8
2 2 x x VŠE: k 5 7 26 5) Určete koeficient daného binomického rozvoje, který je u x 2 : 11
2 x x
11 VŠE: k 5 25 5 6) Určete koeficient daného binomického rozvoje, který je u x 9 : 11
1 4x3 2x
11 VŠE: k 5 2 4 5 7) Určete koeficient daného binomického rozvoje, který je u x11 : 10
2 1 x x
55/65
10 VŠE: k 3 3 8) Určete koeficient daného binomického rozvoje, který je u x 7 : 2 2 x x
8
8 VŠE: k 5 23 5 9) Určete koeficient daného binomického rozvoje, který je u x : 11
1 x x
11 VŠE: k 3 3 10) Určete koeficient daného binomického rozvoje, který je u x 6 : 10
1 3 x x
10 VŠE: k 4 4 11) Určete koeficient daného binomického rozvoje, který je u x 1 : 1 x x
7
7 VŠE: k 4 4
56/65
Klasická pravděpodobnost 1. Mince nebo děti. 1) Hodíme čtyřikrát mincí. Určete pravděpodobnost, že padne: a) líc aspoň třikrát, b) právě jednou rub. n = V´4(2) = 16, a) m1= 5, P(A) = 0,3125, b) m2= 4, P(B) = 1/4 = 0,25 2) Hodíme čtyřikrát mincí. Určete pravděpodobnost, že padne: a) nejvýše jednou rub, b) právě třikrát líc. n = V´4(2) = 16, a) m1= 5, P(A) = 0,3125 b) m2= 4, P(B) = 1/4 = 0,25 3) Zvolíme náhodně rodinu se čtyřmi dětmi. Rozlišujeme pohlaví a věk. Určete pravděpodobnost, že mezi dětmi: a) bude právě jeden chlapec, b) budou aspoň tři dívky. n = V´4(2) = 16, a) m1= 4, P(B) = 1/4 = 0,25 b) m2= 5, P(A) = 0,3125, 4) Zvolíme náhodně rodinu se čtyřmi dětmi. Rozlišujeme pohlaví a věk. Určete pravděpodobnost, že mezi dětmi: a) budou právě tři dívky, b) bude nejvýše jeden chlapec. n = V´4(2) = 16, a) m1 = 4, P(B) = 1/4 = 0,25 b) m2 = 5, P(A) = 0,3125, 5) Hodíme třikrát mincí. Určete pravděpodobnost, že padne: a) aspoň dvakrát líc, b) právě jednou rub. n = V´3(2) = 8, a) m1= 4, P(A) = 4/8 = 1/2, b) m2= 3, P(B) = 3/8 6) Hodíme třikrát mincí. Určete pravděpodobnost, že padne: a) nejvýše jednou rub, b) právě dvakrát líc. n = V´3(2) = 8, a) m1= 4, P(A) = 4/8 = 1/2, b) m2= 3, P(B) = 3/8 7) Hodíme třikrát mincí. Určete pravděpodobnost, že padne: a) třikrát tatáž strana mince, b) poprvé líc. n = V´3(2) = 8, a) m1= 2, P(A) = 1/4 = 0,25, b) m2= 4, P(B) = 0,5 8) Zvolíme náhodně rodinu se třemi dětmi. Rozlišujeme pohlaví a věk. Určete pravděpodobnost, že: a) mezi dětmi bude nejmladší dívka, b) všechny děti budou stejného pohlaví. n = V´3(2) = 8, a) m1= 4, P(B) = 0,5; b) m2= 2, P(A) = 1/4 = 0,25 9) Zvolíme náhodně rodinu se třemi dětmi. Rozlišujeme pohlaví a věk. Určete pravděpodobnost, že mezi dětmi: a) bude právě jeden chlapec, b) budou aspoň dvě dívky. n = V´3(2) = 8, a) m1= 3, P(B) = 3/8; b) m2= 4, P(A) = 4/8 = 1/2 2. Pravděpodobnost výběru ze skupiny 1) V dodávce 30 ks výrobků je sedm zmetků. Určete pravděpodobnost, že při výběru 2 ks to budou oba bez vady. n = C2(30) = 435, m = C2(23) = 253, P(A) = 0,5816 2) Ve třídě je 30 žáků z nichž 8 nevypracovalo domácí úkol. V hodině bude kontrolováno pět žáků. Určete pravděpodobnost, že všichni vybráni budou mít domácí úkol.
57/65
n = C5(30) = 142 506, m = C5(22) = 26 334, P(A) = 0,1848 3) V osudí je 9 bílých a 22 černých koulí. Náhodně vybereme čtyři koule. Určete pravděpodobnost, že všechny tažené koule jsou černé. n = C4(31) = 31 465, m = C4(22) = 7 315, P(A) = 0,2325 4) Z 26 žáků ve třídě, ve které je 12 chlapců a 14 dívek, se losují 3 zástupci. Jaká je pravděpodobnost, že to budou samé dívky. n = C3(26) = 2 600, m = C3(14) = 364, P(A) = 0,14 5) V krabici je 32 nýtů, z nichž je 8 železných a ostatní mosazné. Náhodně vybereme čtyři z nich. Jaká je pravděpodobnost, že všechny budou mosazné. n = C4(32) = 35 960, m = C4(24) = 10 626, P(A) = 0,2955 6) Ve třídě je 28 žáku, z toho 17 děvčat. V hodině budou vyvoláni dva žáci. Určete pravděpodobnost, že oba vyvolání žáci budou chlapci. n = C2(28) = 378, m = C2(11) = 55, P(A) = 0,1455 7) Ve třídě je 29 žáků z nichž 9 je nepřipraveno na hodinu. V hodině budou vyvoláni dva žáci. Určete pravděpodobnost, že všichni vyvolaní žáci budou připraveni na vyučování. n = C2(29) = 406, m = C2(20) = 190, P(A) = 0,468 8) Určete pravděpodobnost výhry I. pořadí ve sportce (tj. 6 čísel ze 49) n = C6(49) = 13 983 816, m = C6(6) = 1, P(A) = 0,000 000 072 9) Ze třídy o 26 žácích jsou vybráni 3 žáci. Určete pravděpodobnost, že jsou to právě žáci Novák, Dvořák a Novotný. n = C3(26) = 2 600, m = 1, P(A) = 0,0003846 10) V dodávce 30 ks výrobků jsou dva zmetky. Určete pravděpodobnost, že při výběru 2 ks to budou oba zmetky. n = C2(30) = 435, m = 1, P(A) = 0,0022989 11) V dodávce 30 ks výrobků je 9 zmetků. Určete pravděpodobnost, že při výběru 5 ks: a) budou všechny zmetky, b) budou 3 zmetky, c) bude aspoň 1 zmetek, d) budou aspoň 2 zmetky. n = C5(30) = 142 506, m = C5(9) = 126, P(A) = 0,0008842 n = C5(30) = 142 506, m = C3(9). C2(21) = 17 640, P(A) = 0,1238 n = C5(30) = 142 506, m´ = C5(21) = 20 349, m = 122 157, P(A) = 0,8572 n = C5(30) = 142 506, m´ = C5(21)+ C1(9). C4(21) = 74 214, m = 68 292, P(A) = 0,4792 12) Ve třídě je 29 žáku, z toho 17 děvčat. V hodině bude vyvoláno pět žáků. Určete pravděpodobnost, že: a) všichni vyvolání žáci budou chlapci, b) bude vyvolán aspoň jeden chlapec, c) budou vyvolány tři dívky, d) boudou vyvoláni aspoň dvě dívky. n = C5(29) = 118 755, m = C5(12) = 792, P(A) = 0,00667 n = C5(29) = 118 755, m´ = C5(17) = 6 188, m = 112 567, P(A) = 0,9479 n = C5(29) = 118 755, m = C3(17). C2(12) = 44 880, P(A) = 0,3779 n = C5(29) = 118 755, m´ = C5(12)+ C1(17). C4(12) = 9 207, m = 109 548, P(A) = 0,9225 13) V osudí je 16 červených a 15 modrých lístků. Náhodně vybereme 4 lístky. Určete pravděpodobnost, že: a) všechny tažené lístky budou modré, b) dva lístky budou modré, c) aspoň jeden lístek bude modrý, d) aspoň dva lístky budou modré.
58/65
n = C4(31) = 31 456, m = C4(15) = 1 365, P(A) = 0,0434 n = C4(31) = 31 456, m = C2(15). C2(16) = 12 600, P(A) = 0,4004 n = C4(31) = 31 456, m´ = C4(16) = 1 820, m = 29 645, P(A) = 0,9422 n = C4(31) = 31 456, m´ = C4(16)+ C1(15). C3(16) = 10 220, m = 21 245, P(A) = 0,6751 14) V krabici je 12 bílých a 17 zelených míčků. Náhodně vybereme 4 míčky. Určete pravděpodobnost, že: a) všechny míčky budou zelené, b) dva míčky budou zelené, c) aspoň jeden míček bude zelený, d) aspoň dva míčky budou zelené. n = C4(29) = 23 751, m = C4(17) = 2 380, P(A) = 0,1002 n = C4(29) = 23 751, m = C2(12). C2(17) = 8 976, P(A) = 0,3779 n = C4(29) = 23 751, m´ = C4(12) = 495, m = 23 256, P(A) = 0,9791 n = C4(29) = 23 751, m´ = C4(12)+ C1(17). C3(12) = 4 235, m = 19 516, P(A) = 0,8217 3. Pravděpodobnost výběru ze skupiny se součinem 1) V dodávce 30 ks výrobků je sedm zmetků. Náhodně vybereme pět výrobků. Určete pravděpodobnost, že 2 ks budou zmetky a 3 ks budou bez vady. n = C5(30) = 142 506, m = C2(7). C3(23) = 21.1771 = 37 191, P(A) = 0,261 2) Ve třídě je 30 žáků z nichž 8 nevypracovalo domácí úkol. V hodině bude kontrolováno pět žáků. Určete pravděpodobnost, že dva žáci budou mít domácí úkol a tři budou bez domácího úkolu. n = C5(30) = 142 506, m = C2(22). C3(8) = 231.56 = 12 936, P(A) = 0,0908 3) V osudí je 9 bílých a 22 černých koulí. Náhodně vybereme čtyři koule. Určete pravděpodobnost, že dvě vybrané koule budou bíle a dvě černé. n = C4(31) = 31 465, m = C2(9). C2(22) = 36.231 = 8316, P(A) = 0,2643 4) Z 26 žáků ve třídě, ve které je 12 chlapců a 14 dívek, se losuje 6 zástupců. Jaká je pravděpodobnost, že to budou dva chlapci a čtyři dívky. n = C6(26) = 230 230, m = C2(12). C4(14) = 66.1 001 = 66 066, P(A) = 0,287 5) V krabici je 32 nýtů, z nichž je 8 železných a ostatní mosazné. Náhodně vybereme šest z nich. Jaká je pravděpodobnost, že budou tři železné a tři mosazné. n = C6(32) = 906 192, m = C3(8).C3(24) = 56.2 024 = 113 344, P(A) = 0,1251 6) Určete pravděpodobnost výhry III. pořadí ve sportce (tj. 3 čísla jsou uhodnuta správně a 3 jsou uhodnuta špatně). n = C6(49) = 13 983 816, m = C3(6).C3(43) = 20.12 341 = 246 820, P(A) = 0,01765 4. Kostka a kostičky 1) Krychle a = 6 cm, která má všechny strany obarveny je rozřezána na 1 cm krychličky. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraná krychlička: a) má jednu stranu obarvenou b) má tři strany obarveny. n = 216, a) m1= 96, P(A) = 0,444 b) m2 = 8, P(B) = 0,037 2) Krychle a = 7 cm, která má všechny strany obarveny je rozřezána na 1 cm krychličky. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraná krychlička: a) má jednu stranu obarvenou b) je neobarvená. n = 343, a) m1= 150, P(A) = 0,4373 b) m2 = 125, P(B) = 0,3644
59/65
3) Krychle a = 8 cm, která má všechny strany obarveny je rozřezána na 1 cm krychličky. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraná krychlička: a) má dvě strany obarveny b) je neobarvená. n = 512, a) m1= 72, P(A) = 9/64 = 0,1406 b) m2 = 216, P(B) = 27/64 = 0,4219 4) Krychle a = 9 cm, která má všechny strany obarveny je rozřezána na 1 cm krychličky. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraná krychlička: a) má dvě strany obarveny b) má tři strany obarveny. n = 729, a) m1= 84, P(A) = 28/243 = 0,1152 b) m2 = 8, P(B) = 0,01097 5) Krychle a = 5 cm, která má všechny strany obarveny je rozřezána na 1 cm krychličky. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraná krychlička: a) má jednu stranu obarvenou b) má tři strany obarveny. n = 125, a) m1= 54, P(A) = 0,432 b) m2 = 8, P(B) = 0,064 6) Krychle a = 10 cm, která má všechny strany obarveny je rozřezána na 1 cm krychličky. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraná krychlička: a) má dvě strany obarveny b) je neobarvená. n = 1000, a) m1= 96, P(A) = 0,096 b) m2 = 512, P(B) = 0,512
5. Pravděpodobnost výběru dvojciferného čísla 1) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolené dvojciferné číslo je dělitelné třemi? n = 90, m = 30, P(A) = 1/3 2) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolené dvojciferné číslo je dělitelné pěti? n = 90, m = 18, P(A) = 1/5 3) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolené dvojciferné číslo je dělitelné sedmi? n = 90, m = 13, P(A) = 13/90 4) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolené dvojciferné číslo je dělitelné jedenácti? n = 90, m = 9, P(A) = 1/10 5) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolené dvojciferné číslo je dělitelné dvěma? n = 90, m = 45, P(A) = 1/2 6) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolené dvojciferné číslo má obě cifry stejné? n = 90, m = 9, P(A) = 1/10 6. Pravděpodobnost výběru čísla 1) Jaké je pravděpodobnost, že náhodně zvolené číslo od 1 do 20 je prvočíslo? n = 20; m = 8; P(A) = 0,4 2) Jaké je pravděpodobnost, že náhodně zvolené číslo od 1 do 25 je prvočíslo? n = 25; m = 9; P(A) = 0,36 3) Jaké je pravděpodobnost, že náhodně zvolené číslo od 1 do 27 je prvočíslo? n = 27; m = 9; P(A) = 0,3333 4) Jaké je pravděpodobnost, že náhodně zvolené číslo od 1 do 30 je prvočíslo? n = 30; m = 10; P(A) = 0,333 5) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolené trojciferné číslo je dělitelné pěti? n = 9.10.10 = 900; m = 2 x 9.10.1 = 180; P(A) = 0,2 6) Jaké je pravděpodobnost, že náhodně zvolené číslo od 1 do 20 je dělitelné třemi?
60/65
n = 20; m = 6; P(A) = 0,3 7) Jaké je pravděpodobnost, že náhodně zvolené číslo od 1 do 30 je dělitelné čtyřmi? n = 30; m = 7; P(A) = 0,233 8) Jaké je pravděpodobnost, že náhodně zvolené číslo od 1 do 25 je dělitelné třemi? n = 25; m = 8; P(A) = 0,32 7. Hod dvěma kostkami 15) Hodíme dvěma kostkami. Určete pravděpodobnost, že padne: a) součet 7, b) právě jedna pětka. n = 36; a) m1 = 6, P(A) = 0,167; b) m2 = 10, P(B) = 0,278 16) Hodíme dvěma kostkami. Určete pravděpodobnost, že padne: a) součet 6, b) právě jedna čtyřka. n = 36; a) m1 = 5, P(A) = 0,1389; b) m2 = 10, P(B) = 0,278 17) Hodíme dvěma kostkami. Určete pravděpodobnost, že padne: a) součet 5, b) právě jedna trojka. n = 36; a) m1 = 4, P(A) = 0,111; b) m2 = 10, P(B) = 0,278 18) Hodíme dvěma kostkami. Určete pravděpodobnost, že padne: a) součet 4, b) právě jedna dvojka. n = 36; a) m1 = 3, P(A) = 0,0833; b) m2 = 10, P(B) = 0,278 19) Hodíme dvěma kostkami. Určete pravděpodobnost, že padne: a) součet 8, b) právě jedna šestka. n = 36; a) m1 = 5, P(A) = 0,1389; b) m2 = 10, P(B) = 0,278 20) Hodíme dvěma kostkami. Určete pravděpodobnost, že padne součet: a) právě 11, b) menší nebo roven 5. n = 36; a) m1 = 2, P(A) = 0,0556; b) m2 = 10, P(B) = 0,2778 21) Hodíme dvěma kostkami. Určete pravděpodobnost, že padne součet: a) aspoň 11, b) právě 2. n = 36; a) m1 = 3, P(A) = 0,0833; b) m2 = 1, P(B) = 0,0277 22) Hodíme dvěma kostkami, černou a bílou. Určete pravděpodobnost, že padne na černé kostce větší číslo než na bílé: n = 36; m = 15, P(A) = 0,41667 23) Hodíme dvěma kostkami. Určete pravděpodobnost, že padne: a) aspoň jedna 6, b) právě součet 10. n = 36; a) m1 = 11, P(A) = 0,3055; b) m2 = 3, P(B) = 0,0833 24) Hodíme dvěma kostkami. Určete pravděpodobnost, že padne: a) aspoň jedna 6, b) právě součet 10, c) právě jedna 3, d) součet aspoň 5. n = 36; a) m1 = 11, P(A) = 0,3055; b) m2 = 3, P(B) = 0,0833
61/65
n = 36; c) m1 = 10, P(A) = 0,2777; d) m2 = 30, P(B) = 0,8333 25) Hodíme dvěma kostkami. Určete pravděpodobnost, že padne: c) součet právě 3, d) součet menší nebo roven 11, e) právě jedna 5, f) aspoň jedna 1. n = 36; a) m1 = 2, P(A) = 0,0556; b) m2 = 35, P(B) = 0,9722 n = 36; a) m1 = 10, P(A) = 0,2777; b) m2 = 11, P(B) = 0,3055 26) Hodíme dvěma kostkami. Určete pravděpodobnost, že padne: a) aspoň jedna 2, b) právě součet 3, c) právě jedna 5, d) součet aspoň 5. n = 36; a) m1 = 11, P(A) = 0,3055; b) m2 = 2, P(B) = 0,0556 n = 36; c) m1 = 10, P(A) = 0,2777; d) m2 = 30, P(B) = 0,8333 8. Hod třemi kostkami 1) Hodíme třemi kostkami. Určete pravděpodobnost, že padne: a) aspoň jedna 2, b) součet 5, c) právě jedna 5, d) součet aspoň 5. n = 216; a) m1 = 91, P(A) = 0,4213; b) m2 = 6, P(B) = 0,02777 n = 216; c) m1 = 75, P(A) = 0,3472; d) m2 = 212, P(B) = 0,9815 9. Různé 1) Hodíme šesti kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padnou vesměs různá čísla? n = 66 = 46 656; m = 6! = 720; P(A) = 0,01542 2) Jsou lístky s čísly 1, 2, 3, 4, 5. Náhodně vybereme tři lístky, které položíme v pořadí tak, jak byly taženy. Určete pravděpodobnost, že vzniklé číslo je: a) sudé b) liché rozhoduje pouze poslední číslice n = 5; a) P(A) = 2/5; b) P(B) = 3/5
62/65
Podmíněná pravděpodobnost 1. Pravděpodobnost doplňkového jevu - variace 1) Určete pravděpodobnost, že při třech hodech kostkou padne aspoň jednou 6. n = 63 = 216, m´= 53 = 125, m = 91, P(A) = 0,4213 2) Určete pravděpodobnost, že při třech hodech kostkou padne aspoň jednou 1. n = 63 = 216, m´= 53 = 125, m = 91, P(A) = 0,4213 3) Hází se třemi kostkami. Určete pravděpodobnost, že součet bude menší než 17. n = 63 = 216, m´= 4, m = 212, P(A) = 0,9815 4) Hází se třemi kostkami. Určete pravděpodobnost, že součet bude aspoň 5. n = 63 = 216, m´= 4, m = 212, P(A) = 0,9815 5) Určete pravděpodobnost, že při dvou hodech kostkou padne aspoň jednou 6. n = 62 = 36, m´= 52 = 25, m = 11, P(A) = 0,30555 2. Pravděpodobnost doplňkového jevu - kombinace 1) Zkouška má 20 otázek z nichž se losují 2. Josef se naučil prvních 7. Jaká je pravděpodobnost jevu, že aspoň jednu otázku bude umět? n = C2(20) = 190, m´= C2(13) = 78, m = 112, P(A) = 0,589 2) Mezi dvaceti výrobky jsou čtyři zmetky. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodné kontrole tří výrobků bude aspoň jeden zmetek? n = C3(20) = 1140, m´= C3(16) = 560, m = 580, P(A) = 0,50877 3) Ve třídě je 30 žáků, z nichž je 5, kteří se neučili. V hodině budou vyvoláni 3 žáci. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude aspoň jeden, který se neučil? n = C3(30) = 4060, m´= C3(25) = 2300, m = 1760, P(A) = 0,4335 4) Ve třídě je 28 žáků, z nichž 5 nevypracovalo domácí cvičení. V hodině budou kontrolováni 4 žáci. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude aspoň jeden žák bez domácího cvičení? n = C4(28) = 20475, m´= C4(23) = 8855, m = 11620, P(A) = 0,5675 3. Násobení pravděpodobností 1 1) Střelec zasáhne cíl první ranou s pravděpodobností 0,95, druhou ranou s pravděpodobností 0,9 a třetí ranou s pravděpodobností 0,8. Jaká je pravděpodobnost, že a) zasáhne cíl všemi třemi ranami, b) zasáhne první ranou, c) zasáhne jednou ranou, d) zasáhne aspoň jednou ranou? P(A) = 0,684, P(B) = 0,019, P(C) = 0,032, P(D) = 0,999, 2) Střelec zasáhne cíl první ranou s pravděpodobností 0,9, druhou ranou s pravděpodobností 0,85 a třetí ranou s pravděpodobností 0,8. Jaká je pravděpodobnost, že a) zasáhne cíl třetí ranou, b) zasáhne všemi třemi ranami, c) zasáhne dvěma ranami, d) zasáhne aspoň jednou ranou? P(A) = 0,012, P(B) = 0,612, P(C) = 0,329, P(D) = 0,997, 3) Střelec zasáhne cíl první ranou s pravděpodobností 0,95, druhou ranou s pravděpodobností 0,9 a třetí ranou s pravděpodobností 0,85. Jaká je pravděpodobnost, že a) zasáhne cíl dvěma ranami, b) zasáhne druhou ranou, c) zasáhne aspoň jednou ranou,
63/65
d) zasáhne všemi třemi ranami? P(A) = 0,24725, P(B) = 0,00675, P(C) = 0,99925, P(D) =0,72675 4) Střelec zasáhne cíl první ranou s pravděpodobností 0,9, druhou ranou s pravděpodobností 0,8 a třetí ranou s pravděpodobností 0,7. Jaká je pravděpodobnost, že a) zasáhne cíl všemi třemi ranami, b) zasáhne pouze třetí ranou? P(A) = 0,504, P(B) = 0,014 4. Násobení pravděpodobností 2 1) Pravděpodobnost, že absolvent udělá autoškolu je 0,6 na první pokus, na druhý pokus 0,8 a na třetí 0,9. Určete pravděpodobnost, že a) uspěje až na třetí pokus, b) bude úspěšný maximálně na podruhé. VH: P(A) = 0,072, P(B) = 0,92 2) Pravděpodobnost úspěšné maturity v řádném termínu tj. v květnovém termínu je 0,9. Na podzim je pravděpodobnost 0,8 a třetí termín tj. za rok je 0,7. Určete pravděpodobnost, že a) student odmaturuje na podzim, b) student odmaturuje nejhůře na třetí termín. VH: P(A) = 0,08, P(B) = 0,994 3) Pravděpodobnost přijetí na vysokou školu je 0,5 na první pokus, na druhý 0,6 a na třetí pokus je 0,7. Určete pravděpodobnost, že uchazeč a) se dostane na vysokou školu maximálně do tří let, b) bude úspěšný právě na potřetí. VH: P(A) = 0,94, P(B) = 0,14 4) Daňový poplatník podá přiznání s pravděpodobností 0,8 na první pokus, na druhý pokus s pravděpodobností 0,9 a na třetí 0,95. Určete pravděpodobnost, že podá přiznání a) na druhý pokus, b) maximálně na třetí pokus. VH: P(A) = 0,18, P(B) = 0,999 5. Sčítání pravděpodobností - variace 1) Je rodina se čtyřmi dětmi. Jaká je pravděpodobnost, že všechny čtyři děti jsou dívky nebo nejmladší je chlapec? n = 16, P(A) = 1/16, P(B) = 1/2, P(AB) = 9/16 = 0,5625 2) Je rodina se čtyřmi dětmi. Jaká je pravděpodobnost, že všechny čtyři děti jsou chlapci nebo nejstarší je dívka? n = 16, P(A) = 1/16, P(B) = 1/2, P(AB) = 9/16 = 0,5625 3) Hází se čtyřmi mincemi. Jaká je pravděpodobnost, že pokaždé padne rub, nebo poprvé padne líc? n = 16, P(A) = 1/16, P(B) = 1/2, P(AB) = 9/16 = 0,5625 4) Hází se čtyřmi mincemi. Jaká je pravděpodobnost, že pokaždé padne líc, nebo naposled padne rub? n = 16, P(A) = 1/16, P(B) = 1/2, P(AB) = 9/16 = 0,5625 6. Sčítání pravděpodobností - kombinace 1) V dodávce 30 ks nýtů, z nichž je 7 železných a ostatní mosazné. Náhodně vybereme dva z nich. Jaká je pravděpodobnost, že oba budou ze stejného materiálu? n = C2(30) = 435, m = C2(23) + C2(7) = 253 + 21, P(AB) = 0,6299
64/65
2) Ze třídy 28 žáků, ve které je 12 chlapců a 16 dívek, se losují 2 zástupci. Jaká je pravděpodobnost, že oba budou stejného pohlaví? n = C2(28) = 378, m = C2(12) + C2(16) = 66 + 120, P(AB) = 0,4921 3) V osudí je 9 bílých a 12 červených lístků. Náhodě vybereme dva lístky. Jaká je pravděpodobnost, že oba budou stejné barvy? n = C2(21) = 210, m = C2(9) + C2(12) = 36 + 66, P(AB) = 0,4851 4) V urně je 13 černých a 18 bílých koulí. Náhodně vybereme dvě koule. Jaká je pravděpodobnost, že obě budou stejné barvy? n = C2(31) = 465, m = C2(13) + C2(18) = 78 + 153, P(AB) = 0,4968 5) V dodávce 30 ks nýtů, z nichž je 7 železných a ostatní mosazné. Náhodně vybereme tři z nich. Jaká je pravděpodobnost, že všechny tři budou ze stejného materiálu? n = C3(30) = 4 060, m = C3(23) + C3(7) = 1771 + 35, P(AB) = 0,4448 6) Ze třídy 28 žáků, ve které je 12 chlapců a 16 dívek, se losují 2 zástupci. Jaká je pravděpodobnost, že oba budou stejného pohlaví? n = C3(28) = 3 276, m = C3(12) + C3(16) = 220 + 560, P(AB) = 0,2381 7) V osudí je 9 bílých a 12 červených lístků. Náhodě vybereme dva lístky. Jaká je pravděpodobnost, že oba budou stejné barvy? n = C3(21) = 1 330, m = C3(9) + C3(12) = 84 + 220, P(AB) = 0,2286 8) V urně je 6 černých a 25 bílých koulí. Náhodně vybereme dvě koule. Jaká je pravděpodobnost, že obě budou stejné barvy? n = C3(31) = 4 495, m = C3(6) + C3(25) = 20 + 2 300, P(AB) = 0,5161 7. Různé 1) Hodíme šesti kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padnou vesměs různá čísla? n = 66, m = 6!, P(A) = 0,0154 2) Hodíme černou a bílou kostkou. Jaká je pravděpodobnost jevu, že na černé kostce padne větší číslo než na bílé? n = 36, m = 15, P(A) = 15/36 = 0,417 3) Jaká je pravděpodobnost jevu, že při tahu sportky (6 čísel ze 49) bude taženo aspoň jedno jednociferné číslo? n = C6(49) = 13983816, m´= C6(40) = 3838380, m = , P(A) = 0,7255 4) Určete pravděpodobnost výhry 5. pořadí ve sportce (3 čísla jsou určeny správně). Sportka (6 čísel ze 49). n = C6(49) = 13983816, m= C3(6). C3(43) = , P(A) = 0,0176504 5) Karetní hru tvoří 52 karet 4 barev. Po vytažení a vrácení jedné karty se balíček promíchá a znovu táhne jedna karta. Určete pravděpodobnost, že obě vytažené karty mají stejnou barvu. první tah určuje barvu, druhý: P(A) = 1/4 = 0,25 6) Z balíčku 32 karet se náhodně tahají dvě karty. Určete pravděpodobnost, že obě tažené karty jsou esa. P(A) = 4/32, P(B) = 3/31, P(AB) = 12/992 = 0,012097 7) Z balíčku 32 karet se náhodně tahají dvě karty. Určete pravděpodobnost, že obě tažené karty budou červené.
65/65
P(A) = 8/32, P(B) = 7/31, P(AB) = 56/992 = 0,05645 8) Z karetní hry o 52 kartách náhodně vytáhneme tři karty. Určete pravděpodobnost toho, že to bude: a) trojka, sedmička a eso b) dvě esa a král. P(A) = 4/52, P(B) = 4/51, P(C) = 4/50, P(ABC) = 64/132 600 = 0,0004827 P(A) = 4/52, P(B) = 3/51, P(C) = 4/50, P(ABC) = 48/132 600 = 0,000362 9) V osudí jsou je pět lístečků s čísly 1, 2, 3, 4, 5. Náhodně vybereme tři lístky a položíme je vedle sebe v pořadí v jakém byly taženy. Určete pravděpodobnost, že takto vzniklé číslo je: a) sudé b) liché. P(A) = 2/5 = 0,4 P(B) = 3/5 = 0,6 10) Jaký nejmenší počet karet je nutné vzít z balíčku 52 karet, aby pravděpodobnost toho, že mezi vybranými kartami budou aspoň dvě karty téže barvy byla: a) rovna 1 b) větší než 0,5. 5 karet (Dirichletův princip) 3 karty, neboť prst, že vytáhneme tři různé 13.13.13.4/C3(52) = 0,397 11) Co je pravděpodobnější? V rodině se 2 dětmi jsou chlapec a dívka nebo v rodině se 4 dětmi jsou dva chlapci a dvě dívky? Pravděpodobnost narození chlapce uvažujeme 0,5. n = 4, m = 2, P(A) = 0,5 n = 16, m = 6, P(B) 3/8 = 0,375
