OBSAH 1. CÍL PRÁCE 2. ÚVOD 3. PROCENTA A PROMILE 3.1. PROCENTA 3.2. PROMILE 4. POSLOUPNOSTI 4.1. ARITMETICKÁ POSLOUPNOST 4.2. GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST 5. ÚROKOVÁNÍ 5.1. JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ 5.2. ZNEHODNOCOVÁNÍ 5.3. DAŇ 5.4. SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ 6. VÝZKUM 7. ZÁVĚR 8. SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY
5
1. CÍL PRÁCE Cílem práce je dát dohromady typové úlohy z finanční matematiky, které by byly použitelné při práci učitele matematiky na základní škole. Dalším z cílů práce je aplikace použitých úloh na žáky základní školy a vypracování krátké studie na nejčastěji opakované chyby. Finanční matematika se skládá z několika základních celků. Rozhodl jsem se zaměřit na procenta, promile a úrokování.
6
2. ÚVOD
7
3. PROCENTA A PROMILE 2.1. Procenta S procenty se setkáváme v každodenním životě, ať již o tom víme či nikoliv. Při nákupu, kdy studujeme, kolik masa obsahují uzeniny či konzervy. V televizi, kde nás v reklamách a teleshoppinzích upozorňují, kolik ušetříme. Při různých statistických výzkumech, které ukazují popularitu různých osobností apod. Procenta jsou i v daních, které se odvádějí státu. Na oblečení, kde je uvedeno, z jakých materiálů je vyrobeno. Je nutné si proto uvědomit, co to vůbec procento je a jaký má význam. Setkáváme se s několika základními pojmy: Základ (značíme z) – číslo udávající celek Procentová část (značíme č) – číslo, které udává část základu odpovídající počtu procent Počet procent (značíme p) – udává počet procent Příklad 1 20% za 100 je 40; zde počet procent p = 20, základ z = 100 a procentová část č = 40. Jedno procento odpovídá jedné setině celku (základu). Výpočet úlohy s procenty lze provést více způsoby. Na následujících příkladech si ukážeme několik způsobů řešení. Všechna řešení daného příkladu jsou rovnocenné, takže je na každém, který z nich si oblíbí a bude dále používat. Příklad 2 Určete, kolik je 35% z 320. Řešení a) Výpočet přes jedno procento – úskalí tohoto postupu je, že si žák musí správně určit, co je základ.
8
100 % …………………… 320 1 % …………………... 320 : 100 = 3,2 35 %……………………. 35.1,2 = 112 b) Výpočet pomocí trojčlenky – zde je nutné si pamatovat, že při výpočtu platí přímá úměra (tzn. „šipky“ jdou stejným směrem). 100 %
……………. 320
35 %
……………… x
x
320 .35 112 100
c) Výpočet pomocí vzorce – zde je opravdu nutné, aby si žáci uvědomili, co mají vypočítat a správně roztřídit uvedené údaje. z = 320 p = 35 % č. = ? č
z. p 320 .35 112 100 100
Tento vzorec má i druhou podobu, kde se nedělí 100 a přímo si žák převede procento na desetinné číslo. z = 320 p = 35 % = 0,35 č=? č z . p 320 . 0,35 112 Odpověď: 35 % z 320 je 112. Příklad 3 Kolik procent je 36,4 z 56? Řešení a) Výpočet přes jedno procento – úskalí tohoto postupu je, že si žák musí správně určit, co je základ.
9
100 % …………………… 56 1 % …………………..... 56:100 = 0,56 x %……………………. 36,4:0,56 = 65 b) Výpočet pomocí trojčlenky – zde je nutné si pamatovat, že při výpočtu platí přímá úměra (tzn. „šipky“ jdou stejným směrem). 100 %……………. 56 x % …………… 36,4 x
36,4 .100 65 56
c) Výpočet pomocí vzorce – zde je opravdu nutné, aby si žáci uvědomili, co mají vypočítat a správně roztřídit uvedené údaje. z = 56 p=?% č. = 36,4
č. 100 36,4 .100 65 z 56
Tento vzorec má i druhou podobu, kde se nenásobí 100, žák si potom musí výsledek převést na celé číslo tím, že jej vynásobí 100. z = 56 p=x% č = 36,4 p
č 36,4 0,65 z 56
Odpověď: 36,4 z 56 je 65 %. Příklad 4 Určete základ, když víte, že 12% je 60.
10
Řešení a) Výpočet přes jedno procento 12 % …………………… 60 1 % …………………... 60 : 12 = 5 100 %……………………. 5 . 100 = 500 b) Výpočet pomocí trojčlenky – zde je nutné si pamatovat, že při výpočtu platí přímá úměra (tzn. „šipky“ jdou stejným směrem). 100 % 12 % x
……………. x ……………… 60
60.100 500 12
c) Výpočet pomocí vzorce – zde je opravdu nutné, aby si žáci uvědomili, co mají vypočítat a správně roztřídit uvedené údaje. z=? p = 12 % č. = 60
č. 100 60.100 500 p 12
Tento vzorec má i druhou podobu, kde se nenásobí 100 a přímo si žák převede procento na desetinné číslo. z=? p = 12% = 0,12 č = 60 z
č 60 500 0,12
11
Úlohy: 1. Vypočítej, kolik procent je: a) 25 ze 100
e) 1710 z 1800
b) 15 z 90
f) 60,75 ze 135
c) 80 ze 400
g) 149 ze 745
d) 38 z 95
h) 297 z 900
2. Vypočítej základ: a) 25% je 300
e) 34% je 306
b) 48% je 12
f) 13% je 78
c) 66% je 528
g) 51% 765
d) 3% jsou 129
h) 79% je 2686
3. Vypočítej, kolik je: a) 16% z 1520
e) 57% z 22743
b) 21% z 2100
f) 66% z 900
c) 33% z 300
g) 74% ze 700
d) 48% z 2400
h) 8% z 3150
4. Vypočítej kolik je: a) 300 g z 1,44 kg
e) 385 m z 11 km
b) 3 cm z 2 m
f) 42 s z 3,5 minuty
c) 344 kg ze 172 t
g) 78 dm z 650 dm
d) 48 l z 960 l
h) 96 l z 1 hl
5. Do školy jezdí autobusem 48 % dětí z celkového počtu 500 dětí, které školu navštěvují. Kolik dětí jezdí autobusem? 6. Školní výlet v počtu 28 dětí a 2 vyučující dorazil do hotelu, v kterém měli být ubytováni, čímž obsadil 8 % kapacity hotelu. Jakou kapacitu měl hotel? 7. Ve firmě pracuje celkem 800 lidí, z toho je 29 % žen. Kolik mužů pracuje ve firmě? 8. Řemeslník vyrobí za směnu 168 výrobků. Po inovaci výroby zlepšil svůj výkon o 25 %. Kolik výrobků vyrobil po inovaci? 9. Z 200 výrobků je 8 % vadných. Kolik výrobků je dobrých? 10. Televizor vyl po slevě 24 % za 11 552 Kč. Kolik stál před slevou? 11. Tričko stojí 200 Kč. Kolik bude stát po 20 % slevě?
12
12. Last minut pobyt u moře stál původně 15 000 Kč. Nejprve byl zlevněn o 33 % a poté ještě o 22 %. Kolik pobyt nakonec stál? 13. Pobyt na horách stál po dvojí slevě 4 250 Kč, přičemž první sleva byla 20 % a druhá 15 %. Kolik stál pobyt původně? 14. Lyže byly z částky 14 200 Kč zlevněny o 16 % a následovně o 25 % zdraženy. Byly levnější nebo dražší než na začátku a o kolik? 15. Lyžařská souprava byla nejprve zlevněna o 30 % a následně poté zdražen o 40 %. Na cenovce je nyní napsána částka 2 500. Kolik stála na počátku? 16. Ovocnářský sad tvoří celkem 400 stromů. Z toho je 40 % třešní, 22 % hrušní, 18 % jabloní a zbylé stromy jsou švestky. Urči kolik stromů od každého druhu jev sadě? 17. Žáci 7. A. jeli na školní výlet. První den ušli 18 km, druhý den o 30 % méně než první den a třetí den o 20 % méně než druhý den. Kolik kilometrů žáci ušli za tři dny dohromady? 18. V továrně vyrobili za den 120 aut. Druhý den se výroba zvýšila o 40 % a třetí den se snížila o 25 % oproti druhému dni. Kolik aut za tři dny vyrobili v továrně dohromady? 19. Lyže stály 14 500 Kč. Po slevě stálo na cedulce: Sleva 25% - 14500 Kč 10 295 Kč. Bylo to správně? Pokud ne, kolik by měly stát doopravdy a jaká byla sleva? 20. Pan Novák dostal v lednu výplatu ve výši 21 600 Kč. V dalším měsíci měl dostat prémie 15 % a výplata byla 24 640 Kč. Dostal správnou částku? Pokud ne, dostal více nebo méně než měl? A o kolik? 21. Televizor stál před slevou 4 000 Kč. V akci byl zlevněn o 20 %. O kolik procent musí být zdražen, aby stál stejně jako před slevou? 22. Obývací stěna stojí 30 000 Kč. Pokud si ji vezmete na splátky, je jejich měsíční výše pouze 699 Kč po dobu 5 let. Je výhodné koupit stěnu za hotové nebo na splátky? Kolik přeplatím, nebo nedoplatím, pokud zvolím koupi na splátky? 23. Notebook stál 15 000 Kč, a byl zlevněn 2x. Poprvé o 15% a podruhé o 20%. Kolik stál po obou slevách? Jaká byla celková sleva v procentech? 24. Školní výlet trval celkově 3 dny. První den děti ušli 10 km, druhý den o 20 % více než první den a třetí den o 25 % méně než druhý den. Kolik ušli každý den? Kolik ušli celkově za celý výlet? 25. Pole má celkovou výměru 150 ha. První den zorali 48 % celkové rozlohy, druhý den polovinu toho, co první den a třetí den zbytek. Kolik zorali každý den? 13
26. Obdélník ABCD má rozměry stran a = 10 dm a b = 40 dm. Co se stane s obsahem a obvodem, pokud stranu a o 40 % prodloužíme a stranu b o 30 % zkrátíme? O kolik se zmenší nebo zvětší? 27. Jana, Martina a Lenka si vydělaly 1 500 Kč. Rozdělí si je podle toho, kolik strávily v práci času. Jana byla v práci 35 %, Martina o 20 % více a zbytek doby tam byla Lenka. Kolik korun dostala každá z nich? 28. Po usušení ztratí byliny 70 % své hmotnosti. Kolik bylin potřebuji k získání 1,8 kg sušeného extraktu? 29. Petr si rozvrhl výrobu součástek do tří dnů: první den udělá 40 % z celkového počtu, druhý den o 15 % více a na poslední den mu zůstalo vyrobit 10 součástek. Kolik součástek měl vyrobit celkem?
30. V sadě je celkem 180 stromů. z nich jsou jabloně, 45 % švestky a zbývající
hrušně. Kolik je v sadě stromů od každého druhu? Kterých stromů je v sadě nejvíce?
31. V sadě jsou stromy rozděleny takto: jabloní, 45 % švestek a 27 hrušní. Kolik
stromů je v sadě dohromady? 32. Ve škole byl konán průzkum ohledně způsobu dopravy. Zúčastnilo se jej 480 dětí a po vyhodnocení vyšly tyto výsledky: 20 % dětí chodí do školy pěšky,35 % jezdí autobusem, 15 % vlakem a 30 % vozí rodiče. Kolik dětí se dopravuje jednotlivými prostředky? 33. Pokud zvětšíme stranu čtverce o 30 %, zvětší se obsah o 125 %. Jaký bude obvod čtverce? 34. Obchodník nakoupil zboží za nákupní cenu. Doporučená maloobchodní cena je
o 180 % vyšší. Prodal koupeného zboží. Vydělal něco? Pokud ano , kolik
procent z ceny zboží, kterou zaplatil, vydělal? 35. Otec řekl synovi: Když vyřešíš 20 úloh z matematiky, tak za každou správně zodpovězenou otázku dostaneš 100 korun a za každou špatně vyřešenou mi dáš 300 korun. Kolik procent úloh syn vyřešil správně, když po kontrole obdržel 400 Kč?
14
2.2. Promile S promile se člověk v běžném životě setkává častěji než by čekal. Každou chvíli se dozvídáme z televize, že ten řidič autobusu nebo lékař měl v krvi určité množství alkoholu. A mnoho z nás ani neví, co to vůbec promile znamená. Jedno promile je tisícina celku. Nebo Jedno promile je desetina procenta. Obě tato tvrzení jsou rovnocenná a lze použít jakékoliv z nich. I zde mám základní pojmy, s kterými jsme se setkali již u procent: Základ (značíme z) – číslo udávající celek Promilová část (značíme č) – číslo, které udává část základu odpovídající počtu promile Počet promile (značíme p) – udává počet promile. Značka pro promile je ‰ – což si můžeme představit jako procento s ještě jednou nulou na konci. Příklad 1 20‰ ze 100 je 4; zde počet promile p = 20, základ z = 100 a promilová část č = 4. Výpočet úlohy s promile lze provést více způsoby. Na následujících příkladech si ukážeme několik způsobů řešení. Všechna řešení daného příkladu jsou rovnocenné, takže je na každém, který z nich si oblíbí a bude dále používat. Příklad 2 Určete, kolik je 35‰ z 320. Řešení a) Výpočet přes jedno procento – úskalí tohoto postupu je, že si žák musí správně určit, co je základ.
15
1000 ‰…………………… 320 1 ‰ …………………… 320 : 1000 = 0,32 35 ‰……………………. 35.0,32 = 11,2 b) Výpočet pomocí trojčlenky – zde je nutné si pamatovat, že při výpočtu platí přímá úměra (tzn. „šipky“ jdou stejným směrem). 1000 ‰
……………. 320
35 ‰
……………… x
x
320 .35 11,2 1000
c) Výpočet pomocí vzorce – zde je opravdu nutné, aby si žáci uvědomili, co mají vypočítat a správně roztřídit uvedené údaje. Z = 320 p = 35 ‰ č. = ? č
z. p 320 .35 11,2 100 1000
Tento vzorec má i druhou podobu, kde se nedělí 100 a přímo si žák převede procento na desetinné číslo. Z = 320 p = 35 ‰ = 0,035 č=? č z . p 320 . 0,035 11,2 Odpověď: 35 ‰ z 320 je 112. Příklad 3 Kolik promile je 36,4 z 56? Řešení a) Výpočet přes jedno promile – úskalí tohoto postupu je, že si žák musí správně určit, co je základ.
16
1000 ‰…………………… 56 1 ‰ …………………….. 56:1000 = 0,056 x ‰……………………. 36,4:0,056 = 650 b) Výpočet pomocí trojčlenky – zde je nutné si pamatovat, že při výpočtu platí přímá úměra (tzn. „šipky“ jdou stejným směrem). 1000 ‰……………. 56 x ‰ …………… 36,4 x
36,4 .1000 650 56
c) Výpočet pomocí vzorce – zde je opravdu nutné, aby si žáci uvědomili, co mají vypočítat a správně roztřídit uvedené údaje. Z = 56 p=?‰ č. = 36,4
č. 1000 36,4 .1000 650 z 56
Tento vzorec má i druhou podobu, kde se nenásobí 1000, žák si potom musí výsledek převést na celé číslo tím, že jej vynásobí 1000. Z = 56 p=x‰ č = 36,4 p
č 36,4 0,65 650 z 56
Odpověď: 36,4 z 56 je 650 ‰ Příklad 4 Určete základ, když víte, že 12‰ je 60.
17
Řešení a) Výpočet přes jedno procento 12 ‰ …………………… 60 1 ‰ …………………… 60 : 12 = 5 100‰……………………. 5 . 1000 = 5000 b) Výpočet pomocí trojčlenky – zde je nutné si pamatovat, že při výpočtu platí přímá úměra (tzn. „šipky“ jdou stejným směrem). 1000 ‰ 12 ‰ x
……………. X ……………… 60
60.1000 5000 12
c) Výpočet pomocí vzorce – zde je opravdu nutné, aby si žáci uvědomili, co mají vypočítat a správně roztřídit uvedené údaje. Z=? p = 12 ‰ č. = 60
č. 1000 60.1000 5000 p 12
Tento vzorec má i druhou podobu, kde se nenásobí 1000 a přímo si žák převede promile na desetinné číslo. Z=? p = 12‰ = 0,012 č = 60 z
č 60 5000 0,012
18
Úloha: 1. Určete: a) 1 ‰ z 1000
c) 33 ‰ ze 450
b) 15 ‰ ze 150
d) 25 ‰ z 900
e) 18 ‰ ze 125
g) 100 ‰ ze 780
f) 73 ‰ z 550
h) 49 ‰ ze 400
2. Vypočítejte, kolik promile je: a) 30 ze 180
e) 215 z 900
b) 45 z 535
f) 198 ze 450
c) 150 z 900
g) 132 ze 792
d) 160 z 800
h) 100 z 1000
3. Určete základ: a) 22 ‰ je 4,092
e) 680 ‰ je 612
b) 13 ‰ je 112,71
f) 160 ‰ je 520
c) 38 ‰ je 76
g) 987 ‰ je 3948
d) 325 ‰ je 406,25
h) 95 ‰ je 266
4. Určete kolik promile je a) 125 g z 8 kg
e) 89 l z 20 hl
b) 12 mm z 20 m
f) 394 ml z 2 l
c) 24 cm3 z 2 dm3
g) 78 mm3 ze 7,8 dm3
d) 397 dm z 1 km
h) 58 m z 1 km
5. Určete stoupání silnice v promile, když víte, že na 10 km stoupne nadmořská výška o 20 m. 6. Kolik promile naměříme člověku, kterému se v krvi rozpustí 11,5 mililitrů alkoholu? V lidském organismu je cca 4,6 litru krve. 7. Na dopravní značce je uvedeno, že stoupání je 15 ‰. O kolik stoupne vozovka, když víte, že cesta je dlouhá 25 km. 8. V roztoku byla naměřená koncentrace 7 ‰. Jaké je množství látky v roztoku, když více, že objem nádoby je 28 litrů a je naplněna do tří čtvrtin. 9. Objem krychle o straně 20 cm jsme zmenšili o 100 ‰. Jaká bude délka strany nové krychle? 10. Kolik litrů 30 % alkoholu musím vypít, aby mi naměřili 1‰ alkoholu v krvi.
19
Množství krve v lidském organismu je 4,6 l. 11. Ve válci je o průměru 50 cm je vepsána koule. Jak se změní objem koule, jestliže zvětšíme výšku válce o 60‰. 12. Pan Novák si uloží každý den v roce o 1‰ z 1000 více než předchozí den. Kolik peněz bude mít odloženo k 1.1. 2017, když si začal šetřit 1. 1. 2016 a odložil si 1 ‰? 13. Pan Jaroslav si půjčil v bance 10 000 Kč. Bylo mu řečeno, že pokud se zpozdí se splacením, bude mu účtováno penále ve výši 1 ‰ za každý den zpoždění. Bohužel se zpozdil o týden. Kolik musel zaplatit jako penále? 14. Při výzkumu bylo zjištěno, že 12 ‰ lidí při otázce na svůj věk lže. Výzkumu se zúčastnilo 2 500 lidí. Kolik z nich lhalo? 15. Při zpětné kontrole bylo zjištěno, že jeden stroj vytváří při výrobě 6 ‰ a druhý dokonce 7 ‰ špatných výrobků. Oba stroje vyrobili dohromady 2400 výrobků a bylo v nich dohromady 25 ‰ vadných výrobků. Kolik výrobků vyrobil každý ze strojů.
20
3. Posloupnosti Posloupnost se sice na základní škole nevyučuje, ale je základem pro výpočet úrokování, proto je nutné se o nich zmínit a případným zájemcům z řad žáků ozřejmit, kde se vzaly vztahy, podle nichž úrokování počítáme. O posloupnosti se dá obecně říci, že se jedná o funkci, jejímž definičním oborem jsou přirozená čísla. Dále je nutné si uvědomit, že grafem posloupností jsou izolované body, což vyplývá z předchozí věty. Rozlišujeme posloupnosti konečnou – jejím definičním oborem je určitá podmnožina přirozených čísel a nekonečnou - definičním oborem je celý obor přirozených čísel. Pokud není striktně řečeno jinak, pracujeme s posloupností jako by byla nekonečná. Dalším důležitým dělením posloupností je na aritmetickou a geometrickou, přičemž pro úrokování je důležitá především geometrická.
21
3.1.
Aritmetická posloupnost
Jedná se o druh posloupnosti, v níž je mezi jejími sousedními členy stálý rozdíl. Přehled základních vztahů: 1 .
Výpočet n – tého členu posloupnosti
!
Rekurentní vyjádření
Výpočet libovolného členu posloupnosti pomocí jiného" # $ % .
% .
Součet řady
- první člen posloupnosti - n-tý člen posloupnosti - diference
22
Úlohy: 1. Určete: a) ? , ' 20,
b) ? , ' 54,
1
4
c) ? , ' 20, ( 32
2. Vypočítejte součet prvních patnácti členů posloupnosti, kde 8,
0,5
3. Určete součet všech čísel menších než 200, které jsou dělitelné třemi. 4. Zjistěte, zda jsou čísla 60, 512 členy posloupnosti, kde je * 384, (' 1152.
5. Napište: a) Prvních šest členů posloupnosti, když víme, že ' 15,
b) První čtyři členy posloupnosti, když 51, 15
4
c) Napište dvacátý osmý člen posloupnosti zapsané v a) 6. Roury jsou naskládány v deseti řadách, a to tak, že v každé řadě je o jednu rouru méně, než v řadě pod ní. V nejvyšší řadě je osm rour. Kolik je rour celkem? 7. Máme trojúhelník, jehož úhly tvoří aritmetickou posloupnost, a to tak, že největší úhel je 30 stupňů. Jakou velikost mají ostatní úhly? 8. Při ponoru do moře klesá teplota každých 30 metrů o 2,7 stupně. Jaká teplota bude panovat v hloubce 1830 metrů, pokud je na hladině teplota 20 stupňů Celsia. 9. Město plánuje stavbu nového kinosálu. Kolik řad musí mít, pokud se sem má vejít 3 215 lidí a podle projektu bude mít každá další řada o 3 sedadla více a v první řadě má být 19 sedadel. 10. Zloději pozorují provoz pancéřových vozů a zjistili, že peníze jsou z banky odváženy v pravidelných intervalech. Bohužel ji nemohli sledovat celou dobu a zjistili pouze to, že první odvoz je v 6:30 a poslední v 20:30. Mezi tím jsou další čtyři odvozy. V jakých časech jsou ostatní? 11. Součet 12 po sobě jdoucích je 240. Určete první a poslední. 12. Učitel v první třídě si nevěděl s malým Gaussem rady a tak mu dal tento příklad – Máme čísla od jedné do sta. Jaký bude součet takovéto řady? Poznámka: Malý Gauss to vyřešil za 2 minuty. Budeš rychlejší? 13. Mezi čísla 12 a 144 vložte několik členů aritmetické posloupnosti tak, aby byl součet posloupnosti 624. Vypište tyto členy. 23
14. Při výkupu studny byla zájemci zaslána tato nabídka: Ražba každého následujícího metru studny bude o 60 korun dražší než ten předchozí. Jak hlubokou studnu si může nechat vykopat, pokud chce do výkopu investovat 600 korun. 15. Máme střechu ve tvaru lichoběžníku, kterou potřebujeme pokrýt taškami. Víme, že spodní řadu tvoří 147 tašek a hřebenová řada čítá 115 tašek. V každé následující řadě je o jednu tašku více než v předcházející, počínaje řadou u hřebenu. Jakou cenu zaplatíme, když padesát tašek stojí 225 korun a kupují se po celých baleních. 16. Hranol ve tvaru kvádru je tvořen hranami, které tvoří aritmetickou posloupnost. Víme, že součet těchto stran je 38 cm, obsah + 152 ,- . 17. Plechovky psího žrádla byly v rámci propagační akce sestaveny do podoby pyramidy o dvaceti pěti řadách, kdy základnu tvoří 25 plechovek a v každé následující je o jednu plechovku méně. Kolik plechovek potřebujeme? 18. Střechu ve tvaru lichoběžníku pokrývají tašky v řadách tak, že v každé následující je o jednu tašku méně než v předchozí. Na střeše je celkem 18 řad a spodní řada je tvořena 48 taškami. Jak dlouhou řadu lze vytvořit, když položíte tašky vedle sebe a jedna taška má šířku 28 cm. 19. V aritmetické posloupnosti platí: . 28 / 15
24
3.2.
Geometrická posloupnost
Jedná se o druh posloupnosti, kde každý následující člen je q - násobkem předcházejícího. . 0 1
Výpočet n – tého členu posloupnosti
! . 0
Rekurentní vyjádření
Výpočet libovolného členu posloupnosti pomocí jiného" # . 0 "1# Součet řady – rozlišujeme zde podle hodnoty kvocientu q≠1
% .
23 1 21
.
q=1 % .
- první člen posloupnosti - n-tý člen posloupnosti 0 – kvocient
25
1 24 12
Úlohy: 1. Určete prvních šest členů posloupnosti, kde a) 5, 0 4 b) 7, 0
c) 40, 0 0,8 d) 1,5, 0 1,5
2. Určete následující členy geometrické posloupnosti , 6 , pokud a) ( 5, 405
b)
*.
, '
c) 20 , 0 1/4 3. Při náboru na brigádu bylo budoucímu pracovníkovi slíbeno, že za první den získá 1 Kč, za druhý den 2 Kč, za třetí den 4 Kč, tj. za každý následující den získá dvojnásobek co předcházející den. Kolik peněz by vydělal, kdyby pracoval celý měsíc, tedy 30 dní v měsíci? 4. Historický příklad: Mudrc naučil arabského vládce hru šachy a ten jej z vděčnosti chtěl obdarovat. Mudrc si stanovil tuto odměnu: Na každé políčko šachového herního plánu, který je tvaru čtverce o počtu 8x8 polí, položí dvojnásobný počet zrnek pšenice než na předcházející. Kolik by vážila celá mudrcova odměna, pokud si vezmeme, že jedno zrnko váží jeden gram? 5. Pokud pustíme kouli z určité výšky, vyskočí po každém odrazu do 5/6 výšky, z které padala. Z jaké výšky kouli pustíme, když při pátém odrazu vyskočila do výšky 30 cm? 6. Mezi čísla 5 a 69,12 vložte dva členy tak, aby všechny čtyři tvořili členy geometrické posloupnosti. 7. Zjistěte, zda čísla 27 a 84 patří do geometrické posloupnosti, která je definovaná svým členem * 1 kvocientem q = - 3. 8. Existují na světě organismy, které se rozmnožují dělením tak, že se každé 3 hodiny rozdělí na dva rovnocenné jedince. Na kolik jedinců se tento organismus rozdělí za 24 hodin? 9. Pokud dostatečně táhneme za drát, zmenší se jeho průměr o 20 %. Původní průměr drátu byl jeden centimetr. Jak se změní průměr drátu po šesti taženích. 26
10. Pokud dostatečně táhneme za drát, zmenší se jeho průměr o 20 %. Původní průměr drátu byl jeden centimetr. Kolikrát musíme drát natáhnout, aby se průměr drátu zmenšil na polovinu svého původního průměru. 11. V geometrické posloupnosti platí ( 15 ( . 40
27
5. Úrokování 5.1.
Jednoduché úrokování
V současném prostředí se znalost finanční matematiky stává životní nutností. Děti jsou doslova masírováni různými bankami a společnostmi, které tvrdí, že právě oni jsou ti nejlepší, nejlevnější a nejspolehlivější. Právě u nich si máme půjčit. Pokud se nevyznáte trochu více v matematice snadno jim. Cílem této kapitoly je zvednout trochu finanční gramotnost ohledně půjček, úvěrů a výše přeplatků. Finanční matematika se netýká pouze peněžních ústavů, ale vyskytuje se také při výpočtu demografické křivky, při hospodaření s půdou a lesy a dalších oblastech lidského života. Při výpočtech úloh z finanční matematiky by bylo dobré, aby žáci mohli používat kalkulačku. Je to především z toho důvodů, že při vyšším počtu úrokovacích období mohou nastat při ručním výpočtu nepřesnosti, které nepříznivě ovlivní výsledek. Slovníček pojmů: Věřitel – člověk, který věří, že se mu půjčené peníze vrátí. Člověk, který půjčuje peníze. Jistina – částka, kterou si půjčuji. Dlužník – člověk, který si půjčuje (Je to vlastně i bankovní ústav, v němž máte uloženy peníze. Úrok – částka, kterou dostane věřitel po splacení jistiny navíc. Úroková míra – výše úroku za určité úrokovací období. Úroková doba – doba, po kterou jsou peníze uloženy v bance či peněžním ústavu nebo půjčeny. Úrokovací období – doba, po které se jistina zvýší o úrok. Úrokovací období se uvádí ve dnech, měsících, čtvrtletích, pololetích a letech. Termínovaný vklad – jde o jednorázové vložení peněz na účet, kde se poté úročí smluvenou úrokovou mírou. Rozlišujeme pevnou a pohyblivou úrokovou mírou. Pevná znamená, že je stejná po celou dobu a pohyblivá, že se mění podle vývoje na finančním
28
trhu. Rozlišujeme různé doby trvání - krátkodobý vklad (7 dní – 12 měsíců), střednědobý (2, 3, 4 roky) a dlouhodobý (výběr možný až po 5 letech).
Základním vzorcem pro výpočet jednoduchého úrokování je:
? ?' . 1
@
, kde
''
An = výsledná částka A0 = výchozí částka p = úrokovací míra n = počet úrokovacích období Příklad 1 Pan Novotný si uložil v bance 30 000 při 1 % úroku s úrokovací dobou 1 rok. Kolik peněz si může vybrat po 5 letech? Řešení V první řadě musíme správně rozpoznat, co která zadaná hodnota znamená, abychom poté správně dosadili do vztahu. A0 = 30 000 Kč An =? p=1% n=5 Nyní jsme schopni dosadit: ? ?' . 1
1 30 000 . 1 31 530, 30 Ač 100 100
Odpověď:
29
Pan Novotný si může po 5 letech vybrat 31 530,30 Kč. Příklad 2 Pan Pšenica vrátil po 2 letech bance částku 22 510. Kolik peněz si půjčil, když víte, že peníze měl půjčené na 3% úrok a že úrokovací období bylo půl roku? Řešení: A0 = ? An = 22 510 Kč p = 3% Nyní nastává kritická situace, je potřeba si uvědomit že úrokovací období je půl roku, takže se ve dvou letech, po které byly peníze půjčeny, objeví čtyřikrát. n=4 ? ?' . B1
C 100
22 510 ?' . 1
3 . 100
22 510 ?' . 1,12550881 Je potřeba psát číslo co nejpřesněji, protože s každým zaokrouhlením se nám změní výsledná hodnota, což se u finanční matematiky projevuji opravdu markantně. 22 510 ?' 1,12550881 ?' 20 000 Odpověď: Pan Pšenica si původně půjčil částku 20 000 Kč. Příklad 3 Roční přírůstek Kocourkova je 8 %. Za jak dlouho se počet obyvatel zvedne z 15 000 na 20 0000? 30
Řešení: A0 = 8 000 An =20 000 p=8% n=? ? ?' . B1
C 100
20 000 8 000. D1
8 E 100
Nyní vydělíme 20 000 : 8 0000 = 2,5. 2,5 1,08 Musíme obě strany rovnice zlogaritmovat log 2,5 log 1,08 Pravidla pro logaritmování říkají, že log . log , toho využijeme při dalším výpočtu. log 2,5 . log 1,08 HIJ ,
HIJ ,'/
11,9 Odpověď: Populace v Kocourkově vzroste z 8 000 na 20 000 za 11,9 roku. Příklad 4 Paní Krátká si půjčila v bance 50 000. Po 5 letech vrátila peněžnímu ústavu 55 204 Kč, a víme, že úrokovací období bylo rok. Jaký byl úrok? Řešení:
31
A0 = 50 000 Kč An =55 204 Kč p=? n=5 ? ?' . B1
C 100
55 204 50 000. B1 1,10408 B1
C 100
L1,10408 1
M
1,02 1 2 Odpověď: Úrok byl 2 %.
32
C 100
100
100
Úlohy: 1. Pan Novák si uložil v bance 20 000 na 2 % úrok s úrokovací dobou jeden rok. Kolik peněz dostane po pěti letech? 2. Pan Novotný dostal po pěti letech částku 86 787 Kč při 5 % procentním úroku a úrokovacím období jeden rok. Jakou částku vložil? 3. Manželé si berou hypotéku na dům ve výši 2 500 000 Kč. Tato hypotéka je úročena 5,6 % za rok. Jaká musí být měsíční splátka, když chtějí, aby byla hypotéka splacena za 20 let? 4. Počet obyvatel města je 10 000. Roční přírůstek činí 8 %. Kolik bude ve městě žít obyvatel po 15 letech? 5. Kolik přeplatím, když si vezmu půjčku 300 000 při 4,8 % úroku a úrokovacím období jeden rok na dobu 8 let? 6. Při koupi bytu jsou dvě možnosti jeho financování: buď složím 40 % kupní ceny a zbytek splácím ve formě splátek při roční úrokové míře 6 % a dobou splatnosti 10 let. Nebo formou hypotéky s roční úrokovou mírou 4,4 % a dobou splatnosti taktéž 10 let. Který způsob je výhodnější, to znamená, že při něm přeplatím méně? Vypočítejte pro byt v ceně 1 350 000 Kč. 7. Jaroslav si půjčil od banky 50 000 Kč při měsíční úrokové sazbě 0,8 %. Kolik bance vrátí, při splacení půjčky za 2 roky? 8. Bylo změřeno, že v lese je roční přírůstek 4,5 %. Jaká byla výměra lesa po 10 letech, když na počátku byla 25 000 ha. 9. Roční přírůstek v lese je 8 % a základní rozloha 40 000 ha. Kolik hektarů zabírá les po 10 letech, když po 5 letech přišla vichřice a 10 % lesa zničila? 10. Jan si půjčil částku 10 000 na 3,5 % úrok za půl roku na deset let. Kolik činí měsíční splátka, když chce, aby byla půjčka splacena včas? 11. Pan Kadeřábek splatil po 6 letech půjčku 74 940 Kč, roční úrok byl 2,4 %. Kolik si půjčil? 12. Kolik zaplatím, když si vezmu půjčku 50 000 Kč, při čtvrtletním úroku 2 % na dobu 5 let? 13. Při předčasném splacení je cílová částka navýšena o 0,1 % za každý měsíc chybějící do doby řádného splacení, ale banka klientovi vrátí částku ve výši dvou měsíčních splátek. Kdy se mi vyplatí předčasně splatit půjčku ve výši
33
100 000 Kč při ročním úroku 6 % na pět let? Podmínkou pro předčasné splacení je řádná platba minimálně čtyři pětiny doby. 14. Jaký úrok nabídli Petrovi, když po 8 letech splácení 50 000 korun zaplatil 58 000 korun? Bereme úrokovací období 1 rok. 15. Při ukládání do banky vám nabídnou 0,3 % za měsíc. Kolik dostanete za 5 let, pokud si uložíte 10 000 korun? 16. Podnikatel kupuje nákladní automobil v hodnotě 1 500 000 na leasing. Vezme jej na splátky s úrokem 5 % a úrokovací dobou 1 rok. Na splacení má dva roky. Za jak dlouho se mu investice vrátí, když víme, že si za pronajmutí účtuje 1 500 korun denně? 17. Adam chce uložit do banky 10 000 korun spořicí účet. Obešel proto více peněžních ústavů a dostal tyto nabídky: V první bance mu řekli, že dostane úrok 5 % ročně. V druhé 1,5 % čtvrtletně a v třetí 0,52 % měsíčně. V které bance dostane po uplynutí 5 let nejvíce? Jaké jsou rozdíly mezi jednotlivými peněžními ústavy? 18. Roční přírůstek obyvatel ve městě je 3 %. Za jak dlouho se počet obyvatel zvedne z 5 000 na 8 000? 19. Jak dlouho bude pan Novák splácet půjčku 80 000 korun, když při 5 % úroku a úrokovacím období jeden rok splatil 100 000? 20. Kolik si musím uložit do banky, abych si po 8 letech mohl vyzvednout částku 100 000 korun, když jsem si je tam ukládal při 2,5 % úroku a úrokovacím období půl roku. 21. Mnoho společností nyní nabízí rychlou půjčku. Kolik peněz musím vrátit, když si půjčím 20 000 na 30 dnů, při úroku 0,6 % a úrokovacím období jeden den? 22. Pro výpočet úroků z prodlení činí podle České národní banky dvojnásobek původní úrokovací sazby zvýšené o osm procentních bodů. Kolik tedy musím zaplatit, když jsem se zpozdil o 3 měsíce, když jsem měl půjčeno 25 000 korun, při úrokovacím období jeden měsíc a úroku 0,54 %. 23. Dan si uložil do banky 20 000 Kč jako střednědobý termínovaný vklad na 4 roky s pohyblivou úrokovou mírou. První rok byla zaručena úroková míra 2,6% druhý rok došlo k propadu a úroková míra byla pouze 1,1 %. V třetím roku došlo k zlepšení a úroková míra byla 1,5 %. Jakou částku dostane Dan po výběru? Jak by se změnila výsledná částka, pokud by se rozhodl uložit své 34
peníze jako termínovaný vklad s pevnou úrokovou mírou 1,9 %. Dostal by více nebo méně? A o kolik? 24. Pan Votýpka si uložil v bance 500 000 korun na krátkodobý termínovaný vklad s fixní úrokovou mírou ve výši 1,1 % na dobu 12 měsíců a úrokovací dobou 1 měsíc. Kolik dostane? 25. Společnost nabízí půjčku s ročním úrokem 0,85 % při úrokovacím období rok na dobu 5 let. Drobným písmem je však napsáno, že tato úrokovací míra je pohyblivá a každým rokem se zdvojnásobí. Kolik tedy zaplatí pan Jeřábek, když si od společnosti půjčil 50 000 Kč.
35
5.2. Znehodnocování Některé věci ztrácí s časem svoji hodnotu. To je známá pravda. Pomocí finanční matematiky jsme schopni určit, jak se bude vyvíjet cena během doby, po kterou předmět vlastníme. Používáme stejný vztah jako v předchozí kapitole, jen s malým rozdílem. Místo plus se ve vztahu objevuje mínus, které vyjadřuje, že cena předmětu s časem klesá.
? ?' . 1 100 An = konečná částka A0 = výchozí částka p = počet procent, o kolik klesá cena n = počet období, po které cena klesá
Příklad 1 Nová motorka má cenu 385 000 Kč. S každým rokem klesá její hodnota o 4 %. Jakou cenu bude mít po 5 letech? Řešení: An = ? A0 = 385 000 Kč p=4% n = 5 let ? ?' . 1
4 385 000 . D1 E 313 918 100 100
Odpověď:
36
Motorka bude mít po 5 letech hodnotu 313 918 korun. Příklad 2 Po třech letech má nákladní automobil cenu 1 200 000 korun. Během této doby ztrácel hodnotu a to rychlostí 8 % ročně. Jaká byla kupní cena automobilu? An = 1 200 000 Kč A0 = ? p=8% n = 3 roky ? ?' . 1
100
1 200 000 ?' . 1
8 ( 100
1 200 000 ?' . 0,778688 ?' 1 541 054 Ač Odpověď: Kupní cena automobilu byla 1 541 054 Kč.
37
Úlohy: 1. Nový stroj stojí 15 000 Kč a jeho hodnota klesá o 4 % každý rok. Jakou má cenu po 10 letech? 2. Cena zájezdu klesla v průběhu 4 let o 10 % za rok. Původně stál zájezd 25 000. Kolik stojí nyní? O kolik procent klesla cena zájezdu vůči původní ceně? 3. V České republice byl roční úbytek obyvatel 1,8 %. O kolik klesne počet obyvatel za 2 roky, když původně zde žilo 10 milionů obyvatel? 4. Martin si chtěl koupit novou motorku. Hledal ji proto na internetu a zjistil, že před 2 lety stála motorka 345 000 a dnes ji může sehnat už za 300 000. Jaký byl roční pokles ceny, když víme, že cena klesala stejnoměrně? 5.
Ročně se zmenší zalesněná plocha o 16 %. O kolik procent se zmenší rozloha lesa za 6 let, když původně byla jeho rozloha 2 000 ha?
6. V rámci úsporných opatření bylo rozhodnuto, že se učitelům sníží během 5 let plat o 2 % ročně. O kolik se jim tedy celkově snížil plat, když původně brali v průměru 25 000 Kč měsíčně? 7. Lesníci zjistili, že jim pytláci sníží meziročně stav lovné zvěře o 1,2 %. Jaká bude situace v revíru, když bylo zjištěno, že při posledním sčítání zvěře, které proběhlo před 2 roky, se v něm nacházelo 8 000 zajíců, 2000 kusů srnčí zvěře, 800 kusů divočáků a 300 kusů vysoké. 8. Cena počítačů klesne meziročně o 20 %. Notebook stál před 3 lety 15 000 Kč. Kolik by stál dnes? 9. Jaká byla původní cena automobilu před 3 lety, když nyní ho lze sehnat za 854 000 Kč a víme, že meziročně se cena automobilu sníží o 7 %. 10. Za jak dlouho klesne cena stroje z 1 500 000 Kč na 1 000 000 Kč, pokud se každého půl roku znehodnotí o 2,1 %.
38
5.3.
Daň
V případě že si peníze uložíme do banky, tak to není zadarmo. Peněžní ústav si bere z každého úroku. Běžná daň, která je ve všech bankách a spořitelnách na spořicích účtech je 15 %. Je nutné si uvědomit, že těchto patnáct procent se bere z úroku a ne z cílové částky. Pro výuku budeme samozřejmě uvažovat, že se daně budou v různých peněžních ústavech lišit. Je nutné napřed vypočítat, kolik procent doopravdy připíše na účet jako úrok. Poté můžeme postupovat podle výše zmíněného postupu, který byl zmíněn v kapitole Jednoduché úrokování. Příklad 1 Pan Jaroslav si v bance uložil své celoživotní úspory, které činili 400 000 korun. Byl mu nabídnut úrok 2 % s roční úrokovací dobou. Jakou částku si vyzvedl za 20 let, pokud si banka strhávala 15 % z úroku. Řešení: A0 = 400 000 Kč An = ? p=2% d = 15 % n = 20 let Napřed si vypočítáme, kolik panu Jaroslavovi připíšou na účet: 85 % z 2 = 0,85 . 2 = 1,7 To znamená, že skutečná výše úroku byla 1,7 % Nyní se pustíme do výpočtu: ? ?' . 1
100
? 400 000 . 1 39
1,7 ' 100
? 400 000 . 1,4 ? 560 000 Odpověď: Pan Jaroslav dostane po 20 letech 560 000 Kč. Když se pořádně podíváme na vzorec, a předchozí výpočet, můžeme skloubit vztah pro jednoduché úrokování a výpočet skutečné výše úroku do jednoho: 100 . 100 100
? ?' . 1 Příklad 2
Po uplynutí 4 let si vyzvedla paní Novotná z banky 68 000 Kč. Banka si vzala daň z úroku 15 % a peníze úročila úrokovou sazbou 4 %. Kolik peněz si do banky uložila? Řešení: A0 = ? An = 68 000 Kč d = 15 % p=4% n = 4 roky ? ?' . 1
100 . 100 100
68 000 ?' . 1
4 100 15 . . 100 100
68 000 ?' . 1 0,04 .0,85 . 68 000 ?' . 1,034. ?' 59 488 Odpověď:
40
Paní Novotná si do banky uložila 59 488 korun. Příklad 3 První Solidní Kocourkovská Záložna nabízí vynikající roční úrokovou sazbu 40 % při zanedbatelné dani 60 %. Kolik si vybere pan Mourek po 5 letech, pokud vloží do banky 1000 kocourkovských zlatých? Řešení: A0 = 1000 An = ? d = 60 % p = 40 % n = 5 let ? ?' . 1
100 . 100 100
? 1000 . 1
40 100 60 . 100 100
? 1000 . 1 0,40 .0,4 ? 1000 . 1,16 ? 2100,30 Odpověď: Pan Mourek dostane po pěti letech 2 100, 30 kocourkovských zlatých.
41
Úlohy: 1. Po třech letech si pan Novák vybral z banky 1 000 000 korun. Finance měl v tomto peněžním ústavu uloženy na půlroční úrok s úrokovou sazbou 5 % a daní 20 %. Kolik peněz do banky uložil? 2. Kolik peněz musíme do banky uložit, abychom po čtyřech letech získali čistý zisk 100 000 korun, pokud je uložíme s úrokovou sazbou 1,5 % a daní 15 %? 3. Paní Novotná si do banky uložila 25 000 korun s roční úrokovou sazbou 0,8 % a úrokovou sazbou 10 %. Kolik peněz dostala po šesti letech? 4. Při měsíčním úročení úrokovou sazbou 2,5 % a dani 12,5 % uložím do banky 10 000 Kč. Kolik dostanu po jednom roce? 5. Pan Janda si vybírá mezi několika finančními ústavy, kam by chtěl uložit své úspory. První z nich mu nabízí roční úrokovou sazbu 5 % s daní 20 %, druhý roční úrokovou sazbu 4 % s daní 15 % a třetí roční úrokovou sazbu 2,5 % s daní 12 %. Který z těchto finančních ústavů je pro pana Jandu nejlepší, když si chce uložit 20 000 korun. 6.
Roční přírůstek obyvatel města je 2,5 %, bohužel z tohoto počtu 5 % zemře. Jaký je skutečný přírůstek města o 100 000 obyvatelích,
42
5.4.
Složené úrokování
http://www.tabsg.cz/pdf/Matematika/Ari_posloupnost.pdf http://www.spsko.cz/documents/MAT_pospisilova/Geometrick%C3%A1%20posloupn ost%20a%20jej%C3%AD%20u%C5%BEit%C3%AD.pdf
43
