8 Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 1 1 1 1 , , , ,.......... 2 3 4 5
Posloupnost je funkci s definičním oborem celých kladných čísel - např. 1, Jako funkci můžeme také posloupnost zobrazit do grafu: an 1
1
2
3
4
5
n
Typy posloupností: A) Konečné B) Nekonečné
A)
{1,− 1,2,− 2,3,− 3,4,− 4} {1,2,3,4,5,6,........}
Rostoucí pro každé dva sousední členy platí a n a n + 1 Např. {1,2,3,4,5,6,........}
B)
Klesající pro každé dva sousední členy platí an an + 1
1 1 1 1 , , , ,.......... 2 3 4 5
Např. 1,
A)
Posloupnost daná výčtem prvků
B)
Posloupnost daná vzorcem pro n-tý člen
{1,2,3,4,5,6,........}
∞
1 n n= 1
Posloupnost rostoucí a klesající a)
rostoucí např. :
{ n} n= 1 ∞
1
∞
b)
klesající
např.
1 n n= 1
Jednotlivé členy posloupnosti můžeme zobrazovat jako body v rovině ∞
1 n n= 1
{ n} n= 1 ∞
Zde je vidět růst a klesání posloupností. Definice rostoucí posloupnosti: jsou-li m, n ∈ N, an < am
⇔ n<m
Definice klesající posloupnosti: jsou-li m, n ∈ N, an > am ⇔
n<m
Příklady:
{ n} ∞n= 1
1) Posloupnost
je rostoucí ...... např. a1 = 1 a2 = 2
( 1 < 2) ∧ ( 1 < 2) 1 2) Posloupnost n
∞
je klesající n = 1
a1 = 1 a2 =
( 1 < 2) ∧
1 2
(1 > ) 1 2
∞
n Příklad: Rozhodněte, zda posloupnost an = je rostoucí nebo klesající n + 1 n = 1 Řešení: Budeme předpokládat, že posloupnost je klesající. Pro její dva členy an a an+1 by mělo platit an > an+1 . an =
n+ 1 n n+ 1 an+1= = n + 1 + 1 ( ) n+ 1 n+ 2 n n+ 1 > ( n + 1)( n + 2) n+ 1 n+ 2 .
n( n + 2) > ( n + 1)
2
2
n 2 + 2n > n 2 + 2n + 1 0 >1
tato nerovnost není splněna
Původní předpoklad byl nesprávný, posloupnost je rostoucí.
Cvičení Rozhodněte , zda je rostoucí nebo klesající posloupnost: ∞
1.)
1 3 n n= 1
2.)
1 n( n + 1) n = 1
3.)
2n + 1 n + 2 n= 1
4.)
1 + ( − 1) n n n = 1
5.)
1 − n 2 n= 1
K ∞
K
∞
R ∞
ani R ani K
∞
6.)
{ 2n} n=∞ 1
7.)
n + 1 n n= 1
K R
∞
K
Aritmetická posloupnost = posloupnost čísel, kde 2 sousední členy se liší vždy o totéž číslo - diferenci d. např.
{2,5,8,11,14,17,....}
posloupnost zadaná výčtem
V této posloupnosti je první člen a1 = 2 , diference d = 3 ( sousední členy se liší vždy o 3 ) Platí :
an+1 = an + d
d = an+1 – an
Vzorec pro n-tý člen Odvodíme na příkladě: Příklad: Je dána aritmetická posloupnost, ve které platí: a1 = 1, d = 3, určete desátý člen. a1 = 1 a2 = a1 + d = 1 + 3= 4 a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d = 1 + 6= 7 a4 = a3 + d = a1 +2 d + d = a1 + 3d = 1 + 9= 10 ……….
an = a1+(n-1)d a10 = a1+9d=1+27= 28 3
Odvodili jsme vzorec pro n – tý člen:
an = a1+(n-1)d
Pokud je posloupnost dána libovolnými dvěma členy ar,
as, pak platí vztah:
as = ar+(s-r)d Příklad: Je dána aritmetická posloupnost, ve které platí: a4 = -1, a8 = 7 Určete diferenci a dvacátý člen. Použijeme vzorec as = ar+(s-r)d a8 = a4 + 4d 7 = -1 + 4d d=2 a20 = a8 + 12d a20= 7 + 12.2 = 7 + 24 = 31
Součet n-členů aritmetické posloupnosti: Příklad: Určete součet všech přirozerných číse od 1 do 100. Řešení: Jedná se o aritmetickou posloupnost, kde a1 = 1,d = 1. Její součet napíšeme takto: s100 =
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +…………………………….+ 98 + 99 + 100
s100 = 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 95 +……….. …………………. + 3 + 2 +
1
2 s100 = 101 +101+101+101+101+101+…………………………….+101+101+101 100 . 101 2 s100 = 100 . 101 s100 = 50 . 101 =5050 Obecně platí:
sn =
n 2
( a1 + an )
Příklad: V aritmetické posloupnosti je a2 = 6 , a5 = 18. Určete součet prvních dvaceti členů. Řešení: Pro dosazení do vzorce s20 =
20 ( a1 + a 20 ) potřebujeme znát člen a20. K jeho nalezení potřebujeme určit 2
diferenci d. Platí:
a5 = a 2 + 3d d=
a5 − a 2 18 − 6 = = 4 3 3
a1= a2- d = 6 - 4 = 2
Člen a20 : a 20 = a5 + 15. d = 18 + 15.4 = 78 Nyní můžeme určit s20 :
s20 = 10( 2 + 78) = 800 4
Příklad: Posloupnost zadaná pomocí n-tého členu:
{ 4n − 3} ∞n= 1
a1=1 ; a2=5 ; a3=9 ......
d=4
má tyto členy
Důkaz , že se jedná o aritmetickou posloupnost: člen an = 4n - 3 člen an+1 = 4(n+1) - 3 = 4n + 4 - 3 = 4n + 1 Mělo by platit: an+1 - an = d Po dosazení dostaneme: 4n + 1 - 4n - 3 = d
d = -2 Dokázali jsme, že se jedná o aritmetickou posloupnost s diferencí d = -2. Pokud by při řešení z rovnice nevypadlo n , posloupnost by aritmetická nebyla. Cvičení: 1. Najděte součet prvních 7 členů arimetické posloupnosti, víte-li, že 6. člen je (-6) a součet 2. a 5. členu je 3. 2. V aritmetické posloupnosti je člen a4=3,4 ; a7=5,8. Určete deferenci d ,a1, a10 a součet s10. 3. Železné roury se skládají do vrstev tak, že roury každé vrstvy horní zapadají do mezer vrstvy dolní. Do kolika vrstev se složí 102 roury , má-li nejkratší vrstva 3 roury? Kolik rour má vrstva nejspodnější? 4. V aritmetické posloupnosti je a4 = 72 , a8 = 128 , kolik členů této posloupnosti dává součet 504? [7 ] 5. Jsou-li prvky a1 , d , an , n , sn prvky aritmetické posloupnosti, určete zbývající v případech že: a) a1 = 15 ; d =
5 3
; a13 = ? ; s13 = ?
b) a20 = -66,5 ; d = −
7 2
; a1 = ? ; s40 = ?
c) a1 = -15 ; a12 = 21 ; d = ? ; s12 = ? d) a1 = 5 ; s15 = 0 ; d = 0 ; a15 = ? e) an = 40 ; d =
1 2
; sn = 1 007,5 ; n = ? ; a1= ?
3 [ a) 35;325 b) 0;-2730 c) 3 11 ;36 d) -
5 7
; -5 e) n = 31;130;a1 = 25;-24,5 ]
6. Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Jak jsou strany dlouhé , je-li obsah trojúhelníku S = 6 dm2? [3;4;5 ] 7. V aritmetické posloupnosti platí: a1 + a5 = -8 ; a2 + a6 = -4 . Napište prvních pět členů této posloupnosti. [ -8 ; -6 ; -4 ; -2 ; 0 ] 8. Určete s10 v aritmetické posloupnosti ,ve které platí a2 + a5 = 10 ; a3 + a7 = 16 . [ 90 ] 9. Určete prvních šest členů posloupnosti, která je dána rekurentním vztahem a podmínkami: a) a1 = 1 ; an + 1 = an2 - n - 1 b) a1 = 2 ; an + 1 = an2 - n - 1 c) a1 = 1; a2 = 2 ; an + 2= an + 1 - an [a)1,-1,-2,0,-5,19 ; b)2,2,1,-3,4,10 ; c)1,2,1,-1,-2,-1 ] 10. Rozhodněte, zda posloupnost s n- tým členem an = { n − 50} n = 1 je aritmetická. ∞
[ ne ]
5
11. Zjistěte, zda čísla 77 , 127 jsou členy aritmetické posloupnosti kde a1 = −
11 , a2 = 0. 7
[77 ano , 127 ne ] 12. Za vykopání studny bylo zaplaceno 208 Kč. Jak hluboká je studna, jestliže vykopání prvního metru stálo 12 Kč, a každý následující metr byl o 4 Kč dražší? Kolik stálo vykopání posledního metru? [ hloubka n = 8 m , a8 = 40 Kč ] 13. Turista ujde první den 40 km a každý další den o 3 km méně než den předcházející. Určete, kolik kilometrů ujde za týden. [ 217 km ] 14. Určete součet všech přirozených čísel dělitelných třemi a menších než tisíc. [ 166833 ] 15. Aritmetická posloupnost je určena prvním členem a1 = 3 a diferencí d = 2. Kolik prvních členů této posloupnosti je třeba sečíst, aby součet byl 120? [ 10 ]
6