5.2. Určitý integrál 5.2.1. Definice a vlastnosti Má-li spojitá funkce f(x) na otevřeném intervalu I primitivní funkci F(x), pak pro čísla a, b∈ ∈I je definován určitý integrál funkce f(x) od a do b vztahem [3, 5, 7]: b
b
∫ f ( x)dx = [F ( x)] a
= F (b) − F (a ) .
(46)
a
• Funkce f(x) se nazývá integrovatelná v
, • interval je integrační interval, • reálná čísla a, b jsou integrační meze, • a je dolní mez, • b horní mez určitého integrálu.
Určitý integrál je reálné číslo, které je jednoznačně určeno funkcí f(x) a mezemi a, b. Uvědomte si zásadní rozdíl mezi neurčitým integrálem (množina primitivních funkcí) a určitým integrálem (reálné číslo). Poznámka: Při výpočtu primitivní funkce F(x) k funkci f(x) je zbytečné uvádět integrační konstantu c. Dosaďme do vztahu (46) primitivní funkci F(x) doplněnou o konstantu c: b
b
a
a
∫ f ( x)dx = [F ( x) + c] = [F (b) + c] − [F (a) + c] = F (b) + c − F (a) − c = F (b) − F (a) . Vidíme, že integrační konstanta c se ve výsledku nevyskytuje. y y
y=x
y = f(x)
x a
1
Obr. 39: a) Geometrický význam integrálu A
b
x
b) Geometrický význam určitého integrálu
1
Příklad 5.7: Vypočítejte určitý integrál A = ∫ xdx . 0
Řešení: Integrovaná funkce f(x) = x, dolní mez a = 0, horní mez b = 1 (obr. 39a). Podle vztahu (46) musíme nejprve určit primitivní funkci a pak do ní dosadit horní a dolní mez:
1
x2 12 0 2 1 A = ∫ xdx = = − = . 2 2 2 0 2 0 1
Geometrický význam určitého integrálu
Vypočítejme obsah P trojúhelníka ohraničeného funkcí y = x, osou x a přímkou x = 1 (obr. 1 1 39a). Protože tento trojúhelník je pravoúhlý, snadno určíme P = 1.1 = . Výsledek je 2 2 totožný s výsledkem určitého integrálu v příkladu 5.7. Tuto okolnost můžeme zobecnit: Dá se dokázat, že b
určitý integrál
∫ f ( x)dx
je číselně roven obsahu rovinného obrazce,
a
který je ohraničen funkcí f(x) > 0, osou x a přímkami x = a, x = b (obr. 39b). Na základě geometrického názoru a vlastností neurčitého integrálu nyní snadno pochopíme základní vlastnosti určitého integrálu: Nechť f(x) a g(x) jsou funkce integrovatelné v , c∈ a k je reálné číslo. Pak platí: a
•
∫ f ( x)dx = 0 , a
•
b
a
a
b
∫ f ( x)dx = - ∫ f ( x)dx , zaměníme-li v integrálu horní a dolní mez, změní se znaménko integrálu na opačné,
•
b
b
b
a
a
a
∫ ( f ( x) + g ( x))dx =∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx , určitý integrál součtu je roven součtu určitých integrálů, b
b
a
a
• ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx , konstantu vytýkáme před určitý integrál, •
b
c
b
a
a
c
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .
Příklad 5.8: Vypočítejte určité integrály: 4
a) B = ∫ (2 x + 1) dx 2
2
Řešení: Integrand nejprve upravíme a pak použijeme vztah (46): 4
x3 43 23 B = ∫ (4 x + 4 x + 1)dx = 4 + 2 x 2 + x = (4 + 2.4 2 + 4) − (4 + 2.2 2 + 2) 3 3 3 2 2 4
2
B=
302 . 3
π 2
b) C =
∫ (cos x − 2 sin x )dx 0
Řešení: Podle (46) platí: π
π π C = [sin x + 2 cos x ]02 = sin + 2 cos − (sin 0 + 2 cos 0) = −1 . 2 2 c)
pro x≤1 ,
1 6
D = ∫ f ( x)dx,
f(x)=
pro x∈<1,4> ,
x
−2
x2
pro x≥4.
Řešení: V tomto případě musíme určitý integrál rozdělit na součet tří integrálů: 1
4
6
D = ∫ 1dx + ∫ xdx + ∫ x dx = [x]
1 −2
2
−2
1
4
4
6
x2 x3 64 ) + + = (1 − (−2) ) + (162 − 12 ) + ( 216 3 − 3 2 3 1 4
367 . 6
D=
5.2.2. Metoda per partes v určitém integrálu Jsou-li funkce u(x), v(x) a jejich derivace u´(x), v´(x) spojité v uzavřeném intervalu , pak platí [3, 5, 7]: b
b
a
a
b ∫ u ′( x).v( x)dx = [u( x).v( x)]a −∫ u ( x).v ′( x)dx .
(47)
Poznámka: Stručněji lze uvedený vztah zapsat ve tvaru
∫ u ′.vdx =[u.v − ∫ u.v′dx ]a , b
b
a
který si vzhledem k větší přehlednosti snáze zapamatujeme.
Příklad 5.9: Vyřešte integrály: π
a) E = ∫ ( x − 2) sin xdx 0
Řešení: Zvolíme v = x - 2, u´ = sin x, vypočítáme v´ = 1, u = ∫ sin x dx = -cos x a dosadíme do vztahu (47):
[
E = ( x − 2 )(− cos x ) − ∫ 1.(− cos x )dx
]
π 0
= [(2 − x ) cos x + sin x ]0 = π
= (2 − π ) cos π + sin π − (2 − 0) cos 0 − sin 0 = π − 2 − 2 = π − 4 .
e
b) F= ∫ ln( x + e)dx 0
Řešení: Zvolíme v = ln(x+e), u´= 1,
vypočítáme v´=
1 , u = ∫ 1 dx = x x+e
a dosadíme do vztahu (47): e
e
e
x x+e−e e x. ln( x + e) − ∫ x + e dx = x. ln( x + e) − ∫ x + e dx = x. ln( x + e) − ∫ (1 − x + e dx 0 0 0
[x. ln( x + e) − x + e. ln( x + e)]e0 = e. ln 2e − e + e. ln 2e − e. ln e = 2e. ln 2e − 2e = 2e(ln 2e − 1) . 1
c) G = ∫ xe x dx 0
vypočítáme v´ =1, u = ∫ e x dx = e x
Řešení: Zvolíme v = x, u´ = ex, a dosadíme do vztahu (47):
[
G = x.e x − ∫ 1.e x dx
] = [x.e 1
x
0
− ex
]
1 0
= 1.e − e − (0 − e) = e .
5.2.3. Substituční metoda v určitém integrálu Je-li funkce f(x) • integrovatelná v uzavřeném intervalu , • funkce x = ϕ(t) má v uzavřeném intervalu <α, β> spojitou derivaci ϕ& (t ) , • přičemž ϕ(α) = a a ϕ(β ) = b, pak platí [5, 7]: b
∫
f ( x)dx =
β
∫ f (ϕ (t ))ϕ& (t ).dt .
α
a
Poznámka: Při výpočtu určitého integrálu musíme provést nahrazení „staré“ proměnné za „novou“ proměnnou celkem třikrát: v integrandu, v diferenciálu a v integračních mezích! Příklad 5.10: Vypočítejte vhodnou substitucí integrály: ln x + 2 dx x 1 e
a) H =
∫
1 ′ 1 Řešení: Protože platí (ln x + 2 ) = , zvolíme substituci ln x + 2 = t, potom dx = dt . x x Přepočítáme meze: α = ln 1 + 2 = 2, β = ln e+ 2 = 1 + 2 = 3 a dosadíme do integrálu: 3
t 2 9 5 H = ∫ t.dt = = − 2 = . 2 2 2 2 2 3
π 2
b) I = ∫ cos 4 x. sin xdx 0
Řešení: Zvolíme substituci
cos x = t,
pak -sin xdx = dt, sin xdx = -dt.
Přepočítáme meze: α = cos 0 =1, β = cos
π 2
= 0 a dosadíme:
1
t 5 1 1 I = ∫ t (− dt ) = − ∫ − t dt = = − 0 = . 5 5 0 5 1 0 0
1
4
4
1
∫x
c) J =
x 2 + 1dx
0
Řešení: Substitucí x 2 + 1 = t , 2xdx = dt, xdx = 12 dt , α = 0 + 1 = 1, β = 1 + 1 = 2, převedeme integrál na tvar: 2
∫
J=
(
)
3 3 2 1 1 t 1 2 1 2 2 1 2 dt = ∫ t dt = t = 2 − 1 = 2 2 − 1 . 2 21 2 3 1 3 3
2
1
5.2.4. Geometrické aplikace určitého integrálu Obsah rovinné oblasti Z geometrického významu určitého integrálu víme, že pro obsah P rovinné oblasti, která je ohraničena osou x, přímkami x = a, x = b a funkcí y = f (x) > 0 platí (obr. 39b): b
P=
∫ f ( x)dx .
(48)
a
Podle zadání rovinného obrazce rozlišujeme tyto možnosti: y
y y = f(x)
a
2
y = x - 4x
b
x
0
4
x
Obr. 40: a, b) Výpočet obsahu obrazce pro f(x) < 0
• V případě, že funkce f (x) je v intervalu záporná, je integrál na pravé straně vztahu (48) rovněž záporný. Vzhledem k tomu, že obsah každého obrazce je vždy nezáporné číslo, použijeme pro libovolnou funkci y = f (x) (obr. 40a) ve vztahu (48) její absolutní hodnotu: b
P=
∫
f ( x) dx .
(49)
a
Příklad 5.11: Vypočítejte obsah obrazce, který je ohraničen osou x a funkcí y = x2 – 4x.
Řešení: Grafem funkce je parabola, pro jejíž průsečíky s osou x platí: x2 – 4x = 0, po úpravě x(x – 4)= 0 a tedy x = 0, x = 4. Integrujeme v intervalu <0, 4> a protože je funkce y = x2 – 4x v tomto intervalu záporná (obr. 40b), použijeme vztah (49): 4
P=
∫ 0
4
x3 64 32 x − 4 x dx = − ∫ x − 4 x dx = − − 2 x 2 = − − 2.16 = . 3 3 3 0 0 4
2
(
)
2
• Pokud je rovinná oblast ohraničena dvěma funkcemi o rovnicích y = f (x) a y = g (x), přičemž platí f (x) ≥ g (x), a přímkami x = a, x = b (obr. 41a), je její obsah určen vztahem b
P=
∫ ( f ( x) − g ( x))dx .
(50)
a
Příklad 5.12: Vypočítejte obsah obrazce, který je ohraničen funkcemi y = x2, y = x2 + 2 v intervalu <0, 3>.
Řešení: Podle vztahu (50) a obr. 41b platí:
∫ (( x 3
P=
2
)
3
+ 2) − x dx = 2 ∫ dx = 2[x ] 0 = 2.3 = 6 . 2
3
0
0
y
y y = f(x)
2
y=x+2 y = x2
y = g(x) a
b
x
3 x
Obr. 41: a, b) Výpočet obsahu obrazce ohraničeného dvěma funkcemi a přímkami x = a, x = b
• V případě, že je rovinná oblast ohraničena pouze dvěma funkcemi o rovnicích y = f (x) a y = g (x), přičemž platí f (x) ≥ g (x) (obr. 42a), je její obsah určen vztahem (50). Integrační meze a a b určují x – ové souřadnice průsečíků obou křivek, proto musíme nejprve vyřešit rovnici f (x) = g (x). y
y
y=x
g(x)
2
y = 2x + 3 3
f(x) a
b
x
-1
3
x
Obr. 42: a, b) Výpočet obsahu obrazce ohraničeného dvěma funkcemi
Příklad 5.13: Vypočítejte obsah obrazce, který je ohraničen funkcemi y = x2 a y = 2x + 3.
Řešení: Integrační meze určíme vyřešením rovnice x2 = 2x + 3,
x2 - 2x - 3 = 0, (x – 3)(x + 1) = 0, x = 3, x = -1 ⇒ a =-1, b = 3 . Pro obsah dané oblasti (obr. 42b) platí : 3
x3 1 32 . P = ∫ 2 x + 3 − x dx = x 2 + 3 x − = (9 + 9 − 9 ) − 1 − 3 + = 3 −1 3 3 −1 3
(
2
)
Délka rovinné křivky • Je-li rovinná křivka vyjádřena explicitně funkcí y = f(x), pak její délku pro x∈ vypočítáme podle vzorce b
s=
∫
b
1 + ( f ′( x) ) dx = ∫ 1 + ( y ′) 2 dx . 2
a
(51)
a
Příklad 5.14: Vypočítejte délku křivky y = 2x pro x∈<2, 5>.
Řešení: Dolní mez a = 2, horní mez b = 5, y´= (2x)´= 2, proto podle (51) platí: 5
s=
∫ 2
5
5
2
2
1 + 2 dx = 5 ∫ dx = 5 [x ] = 5 (5 − 2 ) = 3 5 . 2
O správnosti výsledku se snadno přesvědčíme přímým výpočtem (použitím Pythagorovy věty) – obr. 43. y y = 2x
2
5
x
Obr. 43: Výpočet délky křivky vyjádřené explicitně
•.Pro výpočet délky křivky je obvykle mnohem výhodnější parametrické zadání křivky: x = ϕ (t),
y = ψ(t),
t∈<α, β> (viz kapitola 4.4.7).
V tomto případě pro délku rovinné křivky platí vztah β
s=
β
2 2 ∫ (ϕ& (t ) ) + (ψ& (t )) dt = ∫
α
( x& ) 2 + ( y& ) 2 dt .
(52)
α
Příklad 5.15: Ověřte vztah pro výpočet délky kružnice o poloměru r.
Řešení: Umístíme-li střed kružnice do počátku soustavy souřadnic, mají její parametrické rovnice tvar: x = rcos t, y = rsin t, t∈<0, 2π>. Dosadíme do vztahu (52) derivace x& = − r sin t , y& = r cos t :
2π
s=
∫ (− r sin t ) + (r cos t ) 2
2π
2
dt = r ∫ dt = 2πr ,
0
0
což je známý vztah pro určení obvodu kruhu o poloměru r.
Objem rotačního tělesa Představme si v rovině oblast, která je ohraničena osou x, přímkami x = a, x = b a funkcí y = f (x) > 0.
y y = x2
x
1
0
y = -x2
Obr. 44: Výpočet objemu a povrchu pláště rotačního tělesa
Rotací této oblasti kolem osy x vznikne rotační těleso pro jehož objem platí b
b
V = π ∫ ( f ( x) ) dx =π ∫ y 2 dx . 2
a
(53)
a
Příklad 5.16: Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného osou x, křivkou y = x2 a přímkou x = 1 kolem osy x. Řešení: Z obr. 44 je zřejmé, že a = 0, b = 1. Dosazením do vztahu (53) získáme 1
( )
V= π∫ x 0
2 2
1
x5 π dx = π ∫ x dx = π = . 5 0 5 0 1
4
Povrch pláště rotačního tělesa Pomocí určitého integrálu snadno vypočítáme rovněž povrch pláště rotačního tělesa, jehož vznik je popsán v předchozím odstavci (obr. 44a). Snadno se dá odvodit vztah b
b
S = 2π ∫ f ( x) 1 + ( f ′( x) ) dx = 2π ∫ y 1 + ( y ′) 2 dx . 2
a
(54)
a
Příklad 5.17: Vypočítejte obsah pláště rotačního komolého kužele, který vznikne rotací přímky y = 2x v intervalu x∈<2, 5> kolem osy x. Řešení: Stejně jako v příkladu 5.14 je dolní mez a = 2, horní mez b = 5, y´= (2x)´= 2, proto podle (54) platí: 5
5
2
2
5
[ ]
S = 2π ∫ 2 x 1 + 2 dx = 2π 5 ∫ 2 xdx =2π 5 x 2
2
2
= 2π 5 (25 − 4 ) = 42π 5 .
5.2.5. Cvičení 1.
Vypočítejte určité integrály: 1
a) ∫ ( x 2 + 2 x − 1)dx
[ 13 ]
0
1
b) ∫ (3 − x 2 ) 3 dx
[ 688 ] 35
0
9
⌠ x +1 dx c) ⌡1 x
[ 64 ] 3
4
⌠ 1− x 2 d) x dx ⌡2 e) ∫
π2 2 x 0
π4
⌠ f) ⌡0
⌠ g) ⌡1
sin x dx
sin x 3
1 + ln x dx x
π
h) ∫ sin x (1 − cos 3 x ) dx 0
2.
[π-2] [ 12 ]
dx
cos x e
[ 94 − 2 ln 2 ]
[ 23 (2 2 − 1) ] [2]
Vypočítejte obsah obrazce, který je ohraničen danou funkcí a osou x v daném intervalu: a) y = x 2 − 2 ,
<0, 4>
[ 40 ] 3
b) y = e 2 x ,
<0, 1>
[ 12 (e 2 − 1) ]
c) y = x 3 + x 2 , <0, 1>
[ 127 ]
d) y = sin 2 x ,
< π4 , π2 >
[ 12 ]
3. Vypočítejte obsah obrazce ohraničeného funkcemi: a) y = x 2 , y = x
[ 16 ]
b) y = x 3 , y = x
[ 12 ]
c) y = x 2 , y 2 = x
[ 13 ]
d) y = e x , y = e, x = 0
[1]
e) y = cos x, y = sin x, x = 0 v I. kvadrantu
[ 2 −1]
f) y = x 2 + x , y = 2 x 2 − 6 [ 125 ] 6 4. Vypočítejte objem tělesa, které vznikne otáčením zadaného obrazce kolem osy x: a) y = x 2 , x = 3, y = 0 [ 2435 π ]
b) y = x 2 , y = x
[ 215π ]
c) y = x 2 , y 2 = x
[ 310π ]
d) y = tg x, y = 0, x =
π 4
e) y = x 2 , y = 1 − x 2 f) xy = 1, y = 0, x = 1, x = 4
[ π4 (4 − π ) ] [ 23π 2 ] [ 34 π ]
5. Vypočítejte délku křivky zadané parametricky: x = t 2 , y = t − 13 t 3 , t ∈ < 0, 3 >. [ 2 3 ]
