Matematika pro geometrickou morfometrii (2)

Matematika pro geometrickou morfometrii (2) Ján Dupej ([email protected]) Laboratoř 3D zobrazovacích a analytických metod Katedra antropologie a genetiky člověka Přírodovědecká fakulta UK v Praze

Matematika pro geometrickou morfometrii (2)

Opakování

2


Opakování

3


Opakování

4


Opakování

5

Opakování • GMM = geometrie + statistika + biologie + antropologie + ...

• Tvar = geometrická data (souřadnice – velikost – posunutí – otočení ) • Zvětšení, posunutí, rotace – transformace souřadnic • Lineární, realizace maticovými operacemi


• Studium tvaru a jeho změn

6

Opakování • Vektory – sčítání, skalární součin, vrchol, směr

• 𝐴𝐵 = 𝐶 • 𝑐𝑖𝑗 = 𝒂𝑖∗ ∙ 𝒃∗𝑗

• Transformace • Rotace – rotační matice cos⁡(𝛼) sin(𝛼) −sin⁡(𝛼) cos⁡(𝛼) • Posunutí – přičtení vektoru 𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = (𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦) • Zvětšení – násobení skalárem 𝑎 𝑥, 𝑦 = (𝑎𝑥, 𝑎𝑦)


• Matice – sčítání, násobení, vektor jako matice

7

Opakování • Velikost – centroid size (CS) • Tvar – tvarové proměnné

1

0

1

• Registrace (normalizace) • Obecně hledání transformace jednoho datového souboru na druhý • V našem případe zatím rigidní – posunutí, rotace, zvětšení

• Dvoubodová registrace (Bookstein)


• Eliminace rozdílné velikosti, polohy, orientace

8

Příklady na procvičení

• Centroid size tvaru popsaného landmarky a) 𝐴 = 6,1,0 , 𝐵 = −3, −1, −5 , 𝐶 = 1,1,1 , 𝐷 = 1, −4,1 b) 𝐴 = 2.1, 0.1 , 𝐵 = 5.1, −2.0 , 𝐶 = (1.1, 3.2) • Otočení bodu A okolo počátku o úhel 𝛼⁡ve směru hodinových ručiček a) 𝐴 = 2,3 , 𝛼 = 115° b) 𝐴 = 1,4 , 𝛼 = −35° c) 𝐴 = 5,1 , 𝛼 = 40°


• Vzdálenost dvou bodů a) 𝑃 = 5,3,1 , 𝑄 = 8,6,0 b) 𝑃 = 1.5, 4.1 , 𝑄 = (5.1, −2.0)

9

Příklady na procvičení • Počet stupňů volnosti tvaru popsaného 𝑘 landmarky ve 2D/3D

• [*] Booksteinova transformace 2D tvaru popsaného landmarky s baseline definovanou 1. a 2. landmarkem a) 1,2 , 2,3 , 4,1 b) 5,1 , 3, −2 , −1,8


a) 2D, 𝑘 = 5 b) 3D, 𝑘 = 4

10

Prokrustovská analýza • „Lepší“ alternativa • Hledání nejlepších parametrů transformace (posunutí, škálování, rotace) ve smyslu nejmenší vzdálenosti odpovídajících si landmarků (nejmenších čtverců) • Optimalizační problém • Účelová funkce popisuje cenu řešení (jak moc je špatné) • Minimalizace účelové funkce

Globálně extrémní řešení

Cena řešení


• Funguje ve 3D, není ovlivněna výběrem základny

11 Prostor řešení (parametrů)

Prokrustovská analýza • Idea • Nalezení rigidní transformace která minimializuje vzájemnou vzdálenost eliminuje rozdílnou polohu a velikost • • • • •

Rozklad na dva problémy (dvojice a množina) Těžiště v počátku Jednotková velikost Minimalizace vzálenosti od průměru (ne vzájemnou) Suboptimální


• Algoritmus

12

Prokrustovská analýza Problém množiny jedinců • Hledám takové transformace jednotlivých jedinců, aby celkový součet vzdáleností (přes všechny vzorky a jejich landmarky) od průměru byl nejmenší • Problém: průměr se počítá až z transformovaných vzorků

2. Problém dvojice • Referenční a pohyblivý tvar • Transformace pohyblivého tvaru aby se přiblížil referenčnímu


1.

• Problém 1. řešen jako posloupnost problémů 2. • Jeden z vzorků vybrán jako průměr • Zarovnání po dvou a spočítání nového průměru

13

Prokrustovská analýza

𝑌𝐻 − 𝑋 → 𝑚𝑖𝑛 • Referenční tvar 𝑋⁡(jednotkové velikosti s těžištěm v počátku), kterému se chci nejvíč přiblížit objektem 𝑋 • 𝑋⁡posuneme a zmenšíme 𝑌 na a nakonec otočíme na 𝑋 • 𝒕⁡je poloha těžiště, posun těžiště do počátku • CS je středová velikost, škálování na jednotkovou velikost • 𝐻⁡je rotační matice, úhel který ji definuje se spočítá minimalizací vzdáleností k referenčnímu tvaru • Norma … odpovídá součtu čtverců


• Jak ohodnotit transformaci 𝑋 − 𝟏𝑇 𝒕 𝑋= 𝐻 = 𝑌𝐻 𝐶𝑆

14

Prokrustovská analýza • (Frobeniova) norma a stopa matice •

𝐴 ≔ 𝐴

2 𝐹

= 𝑡𝑟(𝐴𝑇 𝐴)

• Dosazení 𝑌𝐻 − 𝑋 = 𝑡𝑟 𝑌 𝑇 𝑌 + 𝑋 𝑇 𝑋 − 2𝑡𝑟(𝑋 𝑇 𝑌𝐻)

• Maximalizace posledního členu a SVD • 𝑡𝑟 𝑋 𝑇 𝑌𝐻 = 𝑡𝑟 𝑈𝑆𝑉 𝑇 𝐻 = 𝑡𝑟 𝑆𝑉 𝑇 𝐻𝑈 = 𝑡𝑟(𝑆𝑄) • 𝑡𝑟(𝑆𝑄) → 𝑚𝑎𝑥

• Q je jednotková protože tak maximalizuje stopu • 𝑄 = 𝑉 𝑇 𝐻𝑈 = 𝐼


•

• Co musíme udělat

• Singular value decomposition: 𝑋 𝑇 𝑌 = 𝑈𝑆𝑉 𝑇 • 𝐻 = 𝑉𝑈 𝑇

15

Singular Value Decomposition • Rozklad transformační matice 𝑴 na dvě rotace a zvětšení

• 𝑼, 𝑽𝑇 rotační matice 𝜎1 • 𝚺= 0 0

0 𝜎2 0

0 0 ⋱

• 𝜎𝑖 - singulární hodnoty • Zvětšení ve směru osí souřadného systému o 𝜎𝑖


𝑴 = 𝑼𝚺𝑽𝑇

16


OPA - demonstrace • R

17

GPA - demonstrace


• PAST, Morphome3cs • 3D

18

3D GPA


• Obličeje • GPA pouze na landmarcích a podle stejné transformace přepočítání celé sítě

19

GPA – shrnutí • Výhody • Rozšiřitelné do 3D, stabilní, rychlá, jednotková velikost

• Všechny landmarky mají stejnou váhu, není podchycena různá stabilita landmarků (Pinocchio) • Extrémní jedinec může rozhodit zarovnání celé skupiny, protože chyba se rozloží do všech vzdáleností • Řešení: medián, předvýběr

20


• Nevýhody

Resistant-fit analýza • Transformace v GPA se určí pomocí mediánu odpovídajících si landmarků 𝐩𝟐

𝐩𝟓

• 𝑡=

1 5

𝐪𝟑

𝐪𝟏

𝐩𝟒

𝑝1 − 𝑞1 + ⋯ + 𝑝5 − 𝑞5

𝐪𝟓

𝐪𝟒

= 3.2


𝐩𝟑

𝐩𝟏

• Průměr

𝐪𝟐

• Medián • Setřídit, vybrat prostřední • 𝑡 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛*𝑝1 − 𝑞1 , …, 𝑝5 − 𝑞5 + = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛*3,3,3,3,4+ = 3

21

Booksteinova registrace


Srovnání registrací

22

Klouzavá základna

Prokrustovská registrace

Parametrický prostor

Výška


• Prostor lidí

Obvod pasu

23

Prostor trojúhelníků • Na začátku mám souřadnice vrcholů trojúhelníků (konfigurační prostor)

• Prostor je omezený – tvoří povrch polokoule • Dva parametry jsou azimut a elevace


• Po zarovnání trojúheníků získám prostor který má jen 2 stupně volnosti

24


Prostor trojúhelníků

25

Prostor trojúhelníků • Částečná prokrustovská vzdálenost

𝜌 2

• Odpovídá 2sin⁡( )

• Prokrustovská vzdálenost • Vzdálenost po povrchu • Odpovídá 𝜌

• Úplná Prokrustovská vzdálenost • Bez obledu na jednotkovou velikost, velikost je cos⁡(𝜌) • Nejkratší vzdálenost, odpovídá sin⁡(𝜌)


• Přímá vzdálenost mezi dvěma body na povrchu • Tvar přecházející z jednoho do druhého nemá jednotkovou velikost

26

Kendallův prostor • Prostor indukovaný úplnou prokrustovskou vzdáleností • Vzájemné vzdálenosti libovolných bodů v prostoru odpovídají úplné prokrustovské vzdálenosti • Odpovídá povrchu koule o průměru 1/2


• To neplatilo u prostoru trojúhelníků

27

Důsledky zakřivení prostoru • Statistické metody pracují na ploše, ne sféře

• Chceme používat jednoduchou Eukleidovskou vzdálenost mezi vektory tvarových proměnných • 𝐸𝑑 𝒂, 𝒃 =

𝑛 𝑖

𝑎𝑖 − 𝑏𝑖

2

• Dá se použít pro porovnání podobných tvarů při projekci do tečné roviny okolo referenčního tvaru • Příklad • Teoreticky můžu srovnávat lebky odlišných živočichů pokud mají stejný počet landmarků • Vzdálenosti nebudou extrémně odlišné (řádově)


• Některé mohou pracovat v zakřiveném prostoru, jiné ne

28

Tečný prostor • Rovina (platí eukleidovské vzdálenosti, LA)

• Čím dále od tohoto bodu tím víc jsou vzájemné vzdálenosti deformované

• Dvě možnosti, projekce • Pravoúhlá • Stereografická


• Dotýká se prostoru tvarů v jednom bodě (referenční tvar, napr. průměrný tvar)

29

Praktické cvičení


• Práce s daty • Zadávání landmarků • Prokrustovská analýza

30

Zdroje • Software, literatura • http://life.bio.sunysb.edu/morph/

• Data, software, přednášky • \\qnapdisk\public\prednasky\gmm_lectures


• Přednášky

31

2D data • Úprava digitální fotografie

• Nadužívaní rastrových obrázků • Grafy, popisky obrázků, schémata ve vektorovém editoru (Inkscape, CorelDraw, PowerPoint...)

• tpsDig • ImageJ • Morphome3cs


• Šetrné úpravy (oříznutí, změna kontrastu, rozlišení) • Photoshop, Gimp, IrfanView (hromadné úpravy)

32

2D data • Výstup

• Kalibrace • „Kolik mm představuje jeden pixel na roastrovém obrázku“ • Převod do zvolených jednotek


• Landmarky – různé formáty (.tps, .nts, .csv, .txt) • Křivky jako bodové množiny • Souřadnice v referenčních jednotkách nebo pixelech

33


3D data • Přímé snímání souřadnic

34

3D data • Snímání na naskenovaných datech


• Povrchová data - .obj, .stl, .wrl • Objemová data - DICOM

35

• • • •

Morphome3cs Rhinoceros MeshLab Rapidform


3D landmarkování

36

Matematika pro geometrickou morfometrii (2)

Recommend Documents