Matematika pro chemické inženýry

Matematika pro chemicke´ inˇzenyry ´ Drahoslava Janovska´

´ ı diferencialn´ ´ ı rovnice Parcialn´ ´ sky ZS 2016-2017 Pˇrednaˇ ˇ ´ Sponzorovano grantem VSCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 2016

´ ´ a bude se zkouˇset pˇri ustn´ Povinna´ latka. Bude v p´ısemkach ´ ı zkouˇsce ´ e´ oznaˇcen´ı) (ˇzadn F Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı - dobrovolne´ ˇ ı ved ˇ et ˇ v´ıc. Tato latka ´ ´ set, F Pro studenty, kteˇr´ı chtej´ se nebude pˇrednaˇ ´ nebude v p´ısemkach, nebude se zkouˇset.

´ ıch parcialn´ ´ ıch diferencialn´ ´ ıch rovnic 2. rˇadu ´ ˇ ych ´ ı PDR 2. rˇadu ´ ´ Klasifikace linearn´ Transformace promenn ´ Linearn´ s konstantn´ımi koeficienty Linear

Obsah 1

´ ıch parcialn´ ´ ıch diferencialn´ ´ ıch rovnic 2. rˇadu ´ Klasifikace linearn´

2

ˇ ych Transformace promenn ´

3

´ ı PDR 2. rˇadu ´ Linearn´ s konstantn´ımi koeficienty Pˇrevod na kanonický tvar

4

´ ı vlnova´ rovnice 2. rˇadu ´ Linearn´

5

ˇ ı Rovnice veden´ı tepla a jej´ı rˇesen´

6

´ ı rˇesen´ ˇ ı Stacionarn´

7

ˇ em ´ intervalu Vlnova´ rovnice v 1D na konecn

8

´ ıku Veden´ı tepla a vlnova´ rovnice na obdeln´

9

Laplaceova rovnice

10

ˇ ımu studiu Literatura k dals´


´ ıch parcialn´ ´ ıch diferencialn´ ´ ıch rovnic 2. rˇadu ´ Klasifikace linearn´ ´ ıch rovnic, jejichˇz teorie se odv´ıj´ı z vety ˇ o Na rozd´ıl od obyˇcejných diferencialn´ ´ a´ podobna´ veta ˇ pro existenci a jenoznaˇcnosti ˇreˇsen´ı, neexistuje zˇ adn ´ ı diferencialn´ ´ ı rovnice (PDR). Kaˇzdý typ PDR ma´ vlastn´ı teorii. parcialn´ ´ ı PDR 2.ˇradu ´ Linearn´ Auxx + 2Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu = G , kde obecneˇ A, B, C, D, E, F , G jsou spojite´ funkce x a y v oblasti Ω ⊂ R2 , ´ bodeˇ pˇriˇcemˇz alesponˇ jedna z funkc´ı A, B, C je nenulova´ v kaˇzdem (x, y ) ∈ Ω . Je-li

A ´ Poznamka: B

AC − B 2 > 0 . . . AC − B 2 < 0 . . . AC − B 2 = 0 . . . B = AC − B 2 . C

elipticke´ PDR hyperbolicke´ PDR parabolicke´ PDR


F

Pˇr´ıklad

Uvaˇzujme rovnici ∂2u ∂2u + y 2 = 0. 2 ∂x ∂y

Zde A = 1, B = 0, C = y , D = E = F = G = 0, tedy AC − B 2 = y . Rovnice ´ je tedy eliptickeho typu pro vˇsechny body horn´ı poloroviny, tj. pro y > 0, je ´ ˇ tj. pro y < 0, a je parabolickeho ´ hyperbolickeho typu v doln´ı polorovine, typu v bodech osy x, t.j. pro y = 0 . Pˇr´ıklad

Nyn´ı uvaˇzujme rovnici 4

∂2u ∂2u ∂2u +2 + = 0. 2 ∂x ∂x∂y ∂y 2

´ protoˇze AC − B 2 = 4 − 4 = 0. Tato rovnice je parabolicka,


ˇ ych Transformace promenn ´

´ ı parcialn´ ´ ı diferencialn´ ´ ı rovnici druheho ´ ´ ˇ Veta Kaˇzdou linearn´ rˇadu dvou ˇ ych, eliptickou, hyperbolickou, nebo parabolickou, lze vhodnou promenn´ ´ ı transformac´ı souˇradnic pˇrevest ´ v okol´ı kaˇzdeho ´ lokaln´ bodu (x0 , y0 ) ∈ Ω na ´ kanonický tvar. Tj. u rovnice eliptickeho typu na tvar ∂2u ∂2u ∂u ∂u + + a1 (x, y ) + b1 (x, y ) + c1 (x, y )u = f1 (x, y ) , 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y ´ u rovnice hyperbolickeho typu na tvar ∂2u ∂u ∂u ∂2u − + a2 (x, y ) + b2 (x, y) + c2 (x, y )u = f2 (x, y) 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y ´ a u rovnice parabolickeho typu na tvar ∂2u ∂u ∂u + a3 (x, y) + b3 (x, y ) + c3 (x, y )u = f3 (x, y ) , ∂x 2 ∂x ∂y

a3 (x, y ) 6= 0 .


´ ı PDR 2. rˇadu ´ Linearn´ s konstantn´ımi koeficienty ˇ ´ ı PDR 2. ˇradu ´ Mejme nyn´ı linearn´ s konstantn´ımi koeficienty A

∂2u ∂u ∂2u ∂u ∂2u + B +D + C +E + Gu − F = 0 , ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂y

(1)

kde |A| + |B| + |C| 6= 0. K dane´ rovnici pˇriˇrad´ıme charakteristickou rovnici A(dy)2 − Bdxdy + C(dx)2 = 0 .

(2)

ˇ sen´ım charakteristicke´ rovnice je kaˇzda´ dvojice funkc´ı Reˇ x = ϕ(t),

y = ψ(t),

t ∈ (α, β) ,

ˇ ktera´ splnuje danou rovnici. Pˇritom za dx dosad´ıme výraz ˇ ıme výrazem (dt)2 . a nakonec celou rovnici vydel´

(3) dx dy , za dy výraz dt dt

Definice Jestliˇze jsou funkce x(t) = ϕ(t), y (t) = ψ(t) rˇeˇsen´ım rovnice (2) a jsou-li rovnice (3) parametrickými rovnicemi hladke´ kˇrivky, pak tuto kˇrivku nazveme charakteristikou.


F Pˇr´ıklad

ˇ charakteristiky rovnice Najdete ∂2z ∂2z − = 0. ∂x 2 ∂y 2

ˇ sen´ ˇ ı Re

K rovnici pˇriˇrad´ıme charakteristickou rovnici: (dy )2 − (dx)2 = 0 ,

neboli (dy )2 = (dx)2

y

=⇒

(dy )2 =1 (dx)2

dy = ±1 . dx

=⇒

Charakteristikami dane´ rovnice jsou pˇr´ımky

6 @

y =x +P

@ @ @

@

x

a

y = −x + Q,

kde P, Q ∈ R. ´ Mame tak dveˇ tˇr´ıdy pˇr´ımek a kaˇzdým bodem roviny 0xy ´ ı prav ´ eˇ jedna pˇr´ımka z kaˇzde´ tˇr´ıdy. prochaz´

´ ´ eˇ jedna charakteristika, ´ Poznamka Bodem (x, y ) muˇ prav ˚ ze prochazet ´ a. ´ nebo charakteristik muˇ ˚ ze být v´ıce a nebo nemus´ı existovat zˇ adn


F Pˇr´ıklad

ˇ charakteristiky pro rovnici veden´ı tepla Najdete

ˇ sen´ ˇ ı Re

∂u ∂2u = 0. − ∂t ∂x 2 Rovnici pˇriˇrad´ıme charakteristickou rovnici:

(dy )2 = 0 =⇒ dy = 0 =⇒ y = P, P ∈ R . Charakteristiky rovnice veden´ı tepla jsou pˇr´ımky y = konst. Pˇr´ıklad

ˇ charakteristiky Laplaceovy rovnice Najdete

ˇ sen´ ˇ ı Re

∂2u ∂2u + = 0. 2 ∂x ∂y 2 Laplaceoveˇ rovnici pˇriˇrad´ıme charakteristickou rovnici: (dy )2 + (dx)2 = 0 ,

´ Souˇcet dvou nezaporn´ ych hodnot je roven nule tehdy a jen tehdy, pokud obeˇ ´ takˇze mame ´ hodnoty jsou souˇcasneˇ nulove, dy = 0 =⇒ y = P , dx = 0 =⇒ x = Q , P, Q ∈ R . ´ Vztahy x = Q , y = P, ale nepopisuj´ı zˇ adnou kˇrivku, proto Laplaceova ´ rovnice nema´ zˇ adnou charakteristiku.

´ ıch parcialn´ ´ ıch diferencialn´ ´ ıch rovnic 2. rˇadu ´ ˇ ych ´ ı PDR 2. rˇadu ´ ´ Klasifikace linearn´ Transformace promenn ´ Linearn´ s konstantn´ımi koeficienty Linear Pˇrevod na kanonicky´ tvar

´ F Pˇrevod na kanonicky´ tvar - rovnice hyperbolickeho typu ´ zeme si, jak lze PDR 2. ˇradu ´ ´ Ukaˇ s konstantn´ımi koeficienty (1) pˇrevest pomoc´ı charakteristik na kanonický tvar. ˇ ´ Mejme rovnici hyperbolickeho typu, tj. B 2 − 4AC > 0. Bez ujmy na obecnosti ´ ´ muˇ zˇ e A 6= 0. Charakteristickou rovnici ˚ zeme pˇredpokladat, A(dy )2 − Bdxdy + C(dx)2 = 0 uprav´ıme na tvar A Zaved’me substituci λ :=

dy dx

2 −B

dy + C = 0. dx

dy a hledejme ˇreˇsen´ı rovnice dx Aλ2 − Bλ + C = 0 .

´ Vzhledem k podm´ınce pro rovnici hyperbolickeho typu, ma´ tato kvadraticka´ ´ a´ ruzn rovnice dveˇ realn ˚ a´ ˇreˇsen´ı. Oznaˇcme je λ1 , λ2 ∈ R .


F Potom λ1 :=

dy dx

=⇒

dy = λ1 dx

=⇒

y = λ1 x + ξ , ξ ∈ R . y = λ2 x + η, η ∈ R.

Analogicky Charakteristikami jsou tedy dveˇ tˇr´ıdy pˇr´ımek y = λ1 x + ξ ,

a

y = λ2 x + η , ξ, η ∈ R .

´ ı prav ´ eˇ jedna pˇr´ımka z kaˇzde´ tˇr´ıdy, Jinak ˇreˇceno, Kaˇzdým bodem prochaz´ ´ ´ ´ ´ zname-li bod (x, y ), zname i cˇ ´ısla ξ, η a naopak, zname-li cˇ ´ısla ξ, η, zname i souˇradnice pruseˇ ˚ c´ıku charakteristik: x=

ξ−η , λ2 − λ1

y=

λ2 ξ − λ1 η , λ2 − λ1

a naopak ξ = y − λ1 x ,

η = y − λ2 x .


F

ˇ ych x, y muˇ Tedy kaˇzdou funkci promenn´ ˚ zeme povaˇzovat za funkci ˇ ych ξ, η. Pˇritom plat´ı: promenn´ ξ − η λ2 ξ − λ1 η , = U(ξ, η) . u(x, y ) = u λ2 − λ1 λ2 − λ1 A naopak U(ξ, η) = U(y − λ1 x, y − λ2 x) = u(x, y ) .

ˇ Zkoumejme, jakou rovnici splnuje funkce U, jestliˇze funkce u je rˇeˇsen´ım ´ ı derivace sloˇzene´ funkce rovnice (1). Mus´ıme tedy vypoˇc´ıtat parcialn´ u(x, y ) = U(ξ, η),

ξ = ξ(x, y ), η = η(x, y ) .


F

∂u ∂x ∂u ∂y ∂2u

= =

∂U ∂ξ ∂U ∂η ∂U ∂U · + · = −λ1 − λ2 , ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂η ∂U ∂ξ ∂U ∂η ∂U ∂U · + · = + , ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂ξ ∂η 2 ∂2U ∂2U 2∂ U + 2λ λ + λ , 1 2 2 ∂ξ 2 ∂ξ∂η ∂η 2

=

λ21

∂2u ∂x∂y

=

−λ1

∂2u ∂y 2

=

∂2U ∂2U ∂2U +2 + . ∂ξ 2 ∂ξ∂η ∂η 2

∂x 2

∂2U ∂2U ∂2U − (λ1 + λ2 ) − λ2 , ∂ξ 2 ∂ξ∂η ∂η 2

Dosad´ıme tyto hodnoty do rovnice (1) a dostaneme ∂2U ∂2U ∂2U ∂2U ∂2U ∂2U A λ21 2 + 2λ1 λ2 + λ22 + B −λ − (λ + λ ) − λ + 1 1 2 2 ∂ξ ∂ξ∂η ∂η 2 ∂ξ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 2 ∂2U ∂U ∂U ∂ U ∂2U ∂U ∂U + − λ2 +E + +Gu−F = 0 . +C +2 +D −λ1 2 ∂ξ ∂ξ∂η ∂η 2 ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η


F ´ jen cˇ leny, ktere´ obsahuj´ı 2. derivace): Po uprav eˇ dostaneme (zaj´ımaj´ı nas ´ (Aλ21 −Bλ1 +C)

∂2U ∂2U ∂2U +(2Aλ1 λ2 −B(λ1 +λ2 )+2C) +(Aλ22 −Bλ2 +C) 2 +· · · = 0 . 2 ∂ξ ∂ξ∂η ∂η

ˇ Nyn´ı uprav´ıme koeficienty techto derivac´ı. Protoˇze λ1 , λ2 byly koˇreny ´ ıch kvadraticke´ rovnice Aλ2 − Bλ + C = 0, jsou koeficienty druhých parcialn´ ´ Koeficient 2Aλ1 λ2 − B(λ1 + λ2 ) + 2C uprav´ıme derivac´ı podle ξ 2 a η 2 nulove. pomoc´ı Vietových vzorcu. ˚ Plat´ı λ1 + λ2 = −

B −B = , A A

λ 1 λ2 =

C . A

Tedy

C B 1 − B + 2C = (−B 2 + 4AC) 6= 0 , A A A ´ Tedy koeficient u sm´ısˇ ene´ druhe´ parcialn´ ´ ı protoˇze rovnice byla hyperbolicka. ˇ celou rovnici. Dostaneme derivace bude nenulový a muˇ ˚ zeme j´ım vydelit kanonický tvar hyperbolicke´ rovnice, který se pouˇz´ıva´ k ˇreˇsen´ı: 2Aλ1 λ2 − B(λ1 + λ2 ) + 2C = 2A

∂2U + ··· = 0. ∂ξ∂η


´ ı vlnova´ rovnice 2. rˇadu ´ Linearn´ Pˇr´ıklad

´ ı vlnova´ rovnice 2. ˇradu ´ Linearn´ utt − c 2 uxx = 0

A = −c 2 , B = 0, C = 1, AC − B 2 = −c 2 < 0 hyperbolicka´ .

(4) =⇒ vlnova´ rovnice je

Proˇc vlnova´ rovnice? ˇ e´ dvakrat ´ spojiteˇ Necht’ f (·) je libovolna´ funkce jedne´ promenn ´ Necht’ u(x, t) = f (x − ct) . Pak diferencovatelna. ∂ u(x, t) = f 0 (x − ct).(−c) , ∂t

∂2 u(x, t) = f ”(x − ct) · c 2 , ∂t 2

∂2 ∂ u(x, t) = f 0 (x − ct) , u(x, t) = f ”(x − ct) . ∂x ∂x 2 Dosad´ıme-li u(x, t) = f (x − ct) a pˇr´ısluˇsne´ derivace do rovnice (4), dostaneme f ”(x − ct) · c 2 − c 2 f ”(x − ct) = 0 , a tedy u(x, t) = f (x − ct) ˇreˇs´ı ˇ e, ´ ktera´ ma´ dveˇ spojite´ rovnici (4) pro libovolnou funkci jedne´ promenn ˇ u(x, t) = f (x + ct) je take´ ˇreˇsen´ı vlnove´ rovnice (4). derivace. Obdobne,


´ Jak se funkce u(x, t) = f (x − ct) chova? ˇ suje, profil V cˇ ase t = 0 je ˇreˇsen´ı jednoduˇse u(x, 0) = f (x) . Jak se cˇ as zvetˇ f (x) se pohybuje vpravo rychlost´ı c , t.j. u(x, t1 ) = f (x − ct1 ) = f (x − ct1 + ct2 − ct2 ) = f ((x + c(t2 − t1 )) − ct2 ) = = u(x + c(t2 − t1 ), t2 ) .

Obdobneˇ je-li u(x, t) = f (x + ct), pohybuje se profil f (x) doleva s rychlost´ı c: u(x, t1 ) = f (x + ct1 ) = f (x + ct1 − ct2 + ct2 ) = f ((x − c(t2 − t1 ) + ct2 ) = = u(x − c(t2 − t1 ), t2 ) .


F Napˇr: f (x) = x 2 , c = 1, t1 = 1, u(x, t1 ) = f (x − ct1 ) = (x − ct1 )2 =⇒ u(x, 1) = (x − 1)2 , u(x, 2) = (x − 2)2 , u(x, 3) = (x − 3)2 , . . .

u(x, t) = f (x − ct)

−→

←− u(x, t) = f (x + ct)


ˇ e´ oblasti Rovnice veden´ı tepla a vlnova´ rovnice v 1D na konecn Rovnice veden´ı tepla ´ delky ´ ˇ (v jedne´ dimenzi), drat ´ Kovový drat ` vede teplo jen v jednom smeru nemus´ı být na konc´ıch nutneˇ izolovaný izolovaný

izolovaný 0 Rozloˇzen´ı teploty okrajova´ podm´ınka nebo ´ cn´ı podm´ınka poˇcateˇ

L ut − γ 2 uxx = 0 , u(0, t) = g1 , u(L, t) = gL u(0, t) = g1 (t), u(L, t) = gL (t) u(x, 0) = f (x) ,

0 < x < L, 0 < t < ∞ , 0 < t < ∞, 0 < t < ∞, 0 ≤ x ≤ L.

´ Poznamka: A = −γ 2 , E = 1, AC − B 2 = 0 =⇒ parabolicka´ PDR. ˇ sen´ı existuje, a to prav ´ eˇ jedno. Reˇ


ˇ ı tepla za jednotku cˇ asu jednotkovou Oznaˇcme ϕ(x) tok tepla = prouden´ plochou. ´ Fourieruv veden´ı tepla ˚ zakon ϕ(x) = −k0

∂u(x, t) , ∂x

kde

´ (k0 male´ . . . izolator, ´ k0 je tepelna´ vodivost materialu k0 velke´ . . . dobrý vodiˇc)


´ na konci upevnen ˇ y´ Drat rovnice okr.pod. poˇc.pod.

ut − γ 2 uxx = 0 , u(0, t) = 0, u(L, t) = 0 , u(x, 0) = f (x) ,

0 < x < L, 0 < t < ∞ 0 < t < ∞, (homogenn´ı) 0 ≤ x ≤ L.

ˇ s´ıme metodou separace promenn´ ˇ ych, tj. hledame ´ ˇreˇsen´ı ve tvaru Reˇ u(x, t) = X (x) · T (t) . Dosad´ıme do naˇs´ı ulohy: ´

∂u = X 0 (x) · T (t) , ∂x

∂2u = X 00 (x) · T (t) , ∂x 2

=⇒

X (x)T 0 (t) − γ 2 X 00 (x)T (t) = 0 , T 0 (t) X 00 (x) = =k. 2 γ T (t) X (x) | {z } | {z } ˇ e´ t je rovna funkci promenn ˇ e´ x a jedina´ moˇznost, jak se Tedy funkce promenn ˇ e´ konstanteˇ k , k . . . separaˇcn´ı mohou rovnat je, zˇ e se rovnaj´ı nejak konstanta . =⇒ 2 rovnice


T 0 (t) − kγ 2 T (t) 00

X (x) − kX (x)

=

0

=

0

ˇ sen´ı T 0 (t) − k γ 2 T (t) = 0: Reˇ T (t) = Ce−A(t) ,

Z

Z

A(t) =

a(t)dt =

2 T (t) = Cekγ t , 2

−k γ 2 dt = −k γ 2 t

C ∈ R.

Omezen´ı na k : kdyby k > 0 =⇒ k γ > 0 =⇒

lim T (t) = +∞ . . .

t−→+∞

´ ı =⇒ pˇredpoklad k ≤ 0 . Necht’ napˇr´ıklad k = −λ2 . Pak nefyzikaln´ 2 2 T (t) = Ce−λ γ t ,

C ∈ R.

ˇ sen´ı X 00 (x) − kX (x) = 0 , t.j. X 00 (x) + λ2 X (x) = 0 =⇒ charakteristicka´ Reˇ rovnice τ 2 + λ2 = 0 =⇒ τ = ±λi =⇒ X (x) = A cos λx + B sin λx ,

A, B ∈ R, λ ∈ R .


Hledane´ ˇreˇsen´ı: 2 2 u(x, t) = (A cos λx + B sin λx) · C · e−λ γ t

Okrajove´ podm´ınky: u(0, t) u(L, t)

= =

T (t)X (0) T (t)X (L)

= =

=⇒ X (0) = 0 , t.j. X (L) = 0 ,

0 0

0 < t < +∞ ´ ı ˇreˇsen´ı) T (t) 6= 0 (chceme netrivialn´

X (0) = A cos 0 + B sin 0 = A = 0 ,

X (L) = A cos λL + B sin λL = B sin λL = 0 , B 6= 0 ,

´ ı ˇreˇsen´ı . Tedy λL = nπ , nechceme trivialn´ λ=n·

π , L

n ∈ N.

Oznaˇcme jedno z ˇreˇsen´ı Xn (x) =Bn sin λn x = Bn sin

nπ x . L


Dostaneme nπ 2 2 un (x, t) = Tn (t)Xn (x) = Cn e−λ γ t Bn sin x , L n2 π 2 nπ − 2 γ2t sin un (x, t) = bn e L x , bn := Cn Bn . L Tedy muˇ ˚ zeme zvolit libovolne´ pˇrirozene´ n a dostaneme ˇreˇsen´ı. ´ cn´ımi podm´ınkami? Jak je to s poˇcateˇ ´ ı =⇒ linearn´ ´ ı kombinace ˇreˇsen´ı je opet ˇ Rovnice veden´ı tepla je linearn´ ˇreˇsen´ı. Necht’ tedy ˇreˇsen´ı ma´ tvar u(x, t) =

∞ X

un (x, t) =

n=1

t = 0 =⇒ u(x, 0) =

∞ X n=1

∞ X n=1

nπ 2 2 x . bn e−λ γ t sin L

un (x, 0) =

∞ X n=1

bn sin

nπ x . L


Zbýva´ urˇcit konstanty bn . Jestliˇze bude platit ∞ X

nπ x , L n=1 {z } | Fourierova sinova´ ˇrada na h0, Li

f (x) = u(x, 0) =

bn sin

dostaneme jednoznaˇcne´ ˇreˇsen´ı . Sinova´ ˇrada (rozvoj funkce f (x) do sinu) ˚ f (x) =

∞ X n=1

bn sin

nπ x , L

kde bn =

2 L

Z

L

f (x) sin 0

nπ x dx . L

Výsledne´ ˇreˇsen´ı :

u(x, t) =

∞ X n=1

n2 π 2 Z nπ nπ − 2 γ2t 2 L bn e L sin x , kde bn = f (x) sin x dx . L L 0 L

´ Poznamka: Pro t −→ +∞ konverguje ˇreˇsen´ı k nule, t.j. k okrajovým ´ u(0, t) = u(L, t) = 0 . podm´ınkam ´ ´ cn´ı podm´ınky, konstantn´ı ˇreˇsen´ı Funkce u(x, t) ≡ 0 je, zanedbame-li poˇcateˇ naˇs´ı ulohy. ´


´ na konc´ıch perfektneˇ izolovany´ Drat ´ na konc´ıch izolovaný ⇒ na konc´ıch zˇ adn´ ´ y tok (”nic nevchaz´ ´ ı ani Drat ´ ı”) . Metodou separace promenn´ ˇ ych tentokrat ´ ˇreˇs´ıme ulohu nevychaz´ ´ ut − γ 2 uxx = 0 , ux (0, t) = 0, ux (L, t) = 0 , u(x, 0) = f (x) ,

rovnice okr.pod. poˇc.pod.

0 < x < L, 0 < t < ∞ ´ y tok 0 < t < ∞, zˇ adn´ 0 ≤ x ≤ L.

ˇ sen´ı hledame ´ Reˇ ve tvaru u(x, t) = X (x) · T (t) . Dostaneme

X (x) = A cos(λx) + B sin(λx) ,

´ cn´ıch podm´ınek Z poˇcateˇ ux (0, t) = X 0 (0) = 0 =⇒ −Aλ sin(λx) + Bλ cos(λx) = 0, λ 6= 0 =⇒ B = 0 =⇒ 0

X (x) = A cos(λx) ,

´ Dale X (L) = −Aλ sin(λL) = 0 =⇒ λL = nπ, n = 0, 1, . . . nπ Poloˇzme λn := , n = 0, 1, . . . L


Dostaneme nπ Xn (x) = An cos x , L

n2 π 2 − 2 γ2t , Tn (x) = Cn e L

n2 π 2 nπ − 2 γ2t un (x, t) = Tn (t)Xn (x) = an e L cos x , L Z linearity

u(x, t) =

∞ X n=0

un (x, t) = a0 +

∞ X n=1

an := An Cn .

n2 π 2 nπ − 2 γ2t an e L cos x . L


´ cn´ı podm´ınky Z poˇcateˇ u(x, 0) = a0 +

∞ X

an cos

n=1

nπ x , L

´ koeficienty an definujeme z cosinoveho rozvoje f (x) pro 0 ≤ x ≤ L . Výsledne´ ˇreˇsen´ı:

u(x, t) = a0 +

∞ X n=1

a0 an

= =

n2 π 2 nπ − 2 γ2t x , kde an e L cos L

1 L

Z

2 L

Z

L

f (x)dx , 0 L

f (x) cos 0

nπ x dx . L


´ Poznamka Co se stane pro t −→ ∞? ˇ vˇsechny cˇ leny pro n > 0 konverguj´ı k 0, ale teplota pro t −→ ∞ je Opet ´ konstanta a0 . Povˇsimnete ˇ si, zˇ e a0 je prum ˇ a´ hodnota poˇcateˇ ´ cn´ı tentokrat ˚ ern ˇ o stˇredn´ı hodnoteˇ integraln´ ´ ıho poˇctu je teploty, nebot’ podle vety Z 1 L prm(f (x), h0, Li) = f (x)dx L 0 ´ ´ hodnoty. a ˇreˇsen´ı dasahne teto

∞ ←− T u(0, t) okr.p.

0

u(L, t) okr.p.

p.p.u(x, 0)

L


´ ı rˇesen´ ˇ ı (steady state solutions) Stacionarn´ ´ ı ˇreˇsen´ı je takove´ ˇreˇsen´ı, ktere´ nezavis´ ´ ı na cˇ ase, je pouze funkc´ı Stacionarn´ x, t.j. u(x, t) = U(x) . ´ Poznamenejme, zˇ e v pˇredchoz´ıch dvou problemech veden´ı tepla (difuze) platilo, zˇ e lim u(x, t) = U(x). t−→∞

´ ı ˇreˇsen´ı do rovnice difuze Dosad’me stacionarn´ ∂ ∂2 U(x) −γ 2 2 U(x) = 0 ⇐⇒ U 00 (x) ≡ 0 , ∂x |∂t {z }

t.j. grafem U je pˇr´ımka .

=0 ˇ Funkce U(x) mus´ı take´ splnovat okrajove´ podm´ınky, t.j. ∀t > 0

U(0) = U(L) = 0 =⇒ U(x) ≡ 0 .

Pro ˇreˇsen´ı ulohy s okrajovými podm´ınkami ux (0, t) = ux (L, t) je ˇreˇsen´ım ´ ´ jakakoliv konstantn´ı funkce.


Homogenizace

ˇ homogenn´ı okrajove´ podm´ınky. Obecne´ nehomogenn´ı Zat´ım jsme meli ´ ı okrajove´ podm´ınky maj´ı tvar linearn´ α1 u(0, t) + β1 ux (0, t)

=

p1 (t) ,

α1 β1 6= 0

α2 u(L, t) + β2 ux (L, t)

=

p2 (t) ,

α2 β2 6= 0 .

´ Ulohu s takovými okrajovými podm´ınkami nelze ˇreˇsit separac´ı. Co s t´ım? Uvaˇzujme napˇr´ıklad ulohu ´ rovnice okr.pod. poˇc.pod.

ut − γ 2 uxx = 0 , u(0, t) = A, u(L, t) = B , u(x, 0) = f (x) ,

0 < x < L, 0 < t < ∞ 0 < t < ∞, 0 ≤ x ≤ L.

´ pˇrevedeme na ulohu Tento problem s homogenn´ımi okrajovými podm´ınkami ´ – tzv. homogenizace.


e(x, t) + h(x) Necht’ u(x, t) = u

=⇒

e(x, t) = u(x, t) − h(x) , u

ˇ a´ funkce. Jaka? ´ kde h(x) je nejak ´ ı ˇreˇsen´ı U je pˇr´ımka, ktera´ splnuje ˇ Uˇz v´ıme, zˇ e stacionarn´ okrajove´ podm´ınky. Tedy obecneˇ U(x) = mx + b, kde m a b urˇc´ıme z okrajových podm´ınek, U(0) U(L)

= =

b =⇒ b = A mL + b = mL + A = B

´ ı ˇreˇsen´ı je U(x) = Stacionarn´

=⇒

m=

B−A . L

A(L − x) B−A Bx x +A= + . L L L

Tedy ˇreˇsen´ı zap´ısˇ eme ve tvaru e(x, t) = u + U(x) u(x, t) | {z } | {z } | {z } ´ nehomog.okr.p. homog.okr.p. ”nafituj´ı”ˇzadan e´ okr.p. e(x, t) . . . cˇ asteˇ ´ ”transient solution”) u e´ ˇreˇsen´}ı (pˇrechodne, | ´ cn{z mezivýsledek


e(x, t) + U(x) do rovnice ut − γ 2 uxx = 0 . Nyn´ı dosad´ıme u(x, t) = u Dostaneme e(x, t) e(x, t) ∂u ∂2u − γ 2 U 00 (x) = 0 =⇒ − γ2 ∂t ∂x 2 | {z } =0 2 e(x, t) e(x, t) ∂u 2∂ u = 0 stejna´ rovnice jako pro u(x, t) −γ ∂t ∂x 2 e(0, t) = u(0, t)−A = 0, u e(L, t) = u(L, t)−B = 0 homogenn´ı okrajova´ podm´ınka u e(x, 0) = f (x) − U(x) := g(x) = f (x) − u

B−A ´ cn´ı podm´ınka x − A poˇcateˇ l

Dostaneme ulohu pro ”mezivýsledek” ´ rovnice okr.pod. poˇc.pod. Hledane´ ˇreˇsen´ı je

et − γ 2 u exx = 0 , u e(0, t) = u e(L, t) = 0 , u e(x, 0) = g(x) , u u(x, t)

0 < x < L, 0 < t < ∞ 0 < t < ∞, 0 ≤ x ≤ L.

e(x, t) + U(x) . u | {z } | {z } ´ cne´ ˇreˇsen´ı stacionarn´ ´ ı ˇreˇsen´ı cˇ asteˇ =


ˇ em ´ intervalu Vlnova´ rovnice v 1D na konecn ˇ a´ ve dvou bodech x = 0 a x = L Modelova´ rovnice: Elasticka´ struna upevnen ´ pˇredpoklad ´ ame, ´ ´ ı (rovnovaˇ ´ zný) Struna je pevna, zˇ e kdyˇz nastane stacionarn´ stav, struna je rovna´ pˇr´ımka. x 0

L u(x, t)

? 0 ≤ x ≤ L, u(x, t) . . . svisle´ posunut´ı 2 ∂2u 2∂ u − c = 0, 0 ≤ x ≤ L, 0 < t < ∞ , ∂t 2 ∂x 2 ´ ı na vlastnostech struny, konkretn ´ eˇ c je vlnova´ c je parametr, který zavis´ ´ rychlost systemu, t.j. rychlost, s jakou se profil vlny pohybuje.

rovnice

ˇ a´ na obou konc´ıch dveˇ okr.p. u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0 struna upevnen dveˇ poˇc.p. u(x, t) = f (x), ut (x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ L , f (x) je poˇc. posunut´ı struny, g(x) je poˇc. svisla´ rychlost struny v bodeˇ x. Za vhodných pˇredpokladu˚ na f (x) a g(x) ma´ uloha jednoznaˇcne´ ˇreˇsen´ı. ´


´ ˇreˇs´ıme separac´ı, t.j. hledame ´ ˇreˇsen´ı rovnice (bez okr. a poˇc. Ulohu podm´ınek) ve tvaru u(x, t) = X (x)T (t) . Dosad´ıme do rovnice a dostaneme X (x)T 00 (t) − c 2 X 00 (x)T (t) = 0

T 00 (t) X 00 (x) = =k, c 2 T (t) X (x)

=⇒

tedy T 00 (t) − kc 2 T (t)

=

0

X 00 (x) − kX (x)

=

0.

Tyto dveˇ rovnice vyˇreˇs´ıme. Poznamenejme, zˇ e konstanta k muˇ ˚ ze být pouze ≤ 0. Poloˇz´ıme k := −λ2 .


Dostaneme T (t)

=

A sin(cλt) + B cos(cλt),

A, B ∈ R

X (x)

=

C sin(λx) + D cos(λx),

C, D ∈ R ,

Okrajove´ podm´ınky:

X (0) = C sin(0) + D cos(0) = D = 0 . Tedy

X (x)

=

C sin(λx)

X (L)

=

C sin(λL) = 0 =⇒

´ ı ˇreˇsen´ı C = 0, trivialn´ C 6= 0, λL = nπ ⇒ λ =

nπ , L

n∈N

ˇ t.j. pro C 6= 0 splnuje nekoneˇcneˇ mnoho ˇreˇsen´ı naˇs´ı rovnice struny okrajove´ podm´ınky. Pro libovolne´ n ∈ N je un (x, t) = Tn (t)Xn (x) = [An sin(cλn t) + Bn cos(cλn t)] · Cn sin(λn x) , kde λn =

nπ , An , Bn , Cn ∈ R libovolne´ konstanty. L


´ ı kombinace ˇreˇsen´ı je take´ ˇreˇsen´ı: Linearn´ u(x, t) =

∞ h X nπ nπ i nπ An sin(c t) + Bn cos(c t) · sin( x) . L L L n=1

Poznamenejme, zˇ e Cn jsme se zbavili tak, zˇ e jsme poloˇzili An := An Cn ,

Bn := Bn Cn .

´ cn´ıch podm´ınek u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ L , je Z poˇcateˇ u(x, 0) =

∞ X

Bn sin(

n=1

ut (x, t) =

∞ h X n=1

ut (x, 0) =

∞ X n=1

An c

nπ 2 x) = f (x), definujeme Bn = L L

An cos(c

L

Z

f (x) sin( 0

nπ x)dx . L

nπ nπ πn nπ nπ i t)c − Bn sin(c t)c · sin( x) , L L L L L

nπ nπ 2 sin( x) = g(x), def. An = L L cnπ

L

Z

g(x) sin( 0

nπ x)dx . L


Výsledne´ ˇreˇsen´ı u(x, t)

=

An

=

Bn

=

∞ h X nπ nπ i nπ An sin(c t) + Bn cos(c t) · sin( x) , L L L n=1 Z L nπ 2 g(x) sin( x)dx , cnπ 0 L Z L 2 nπ f (x) sin( x)dx . L 0 L

Poznamenejme, zˇ e celkove´ ˇreˇsen´ı je nekoneˇcný souˇcet vˇsech ˇreˇsen´ı, ktere´ jsme naˇsli separac´ı:   nπ nπ nπ t) + Bn cos(c t) · Cn sin( x) , un (x, t) = An sin(c L L L | {z } Tn (t) Jak se tato ˇreˇsen´ı chovaj´ı?


´ Pro pevne´ t je Tn (t)konstanta, kterou nasob´ x) . ıme sin( nπ L | {z } ´ stejný profil ma´ vzhledem k x stale ˇ ıkame, ´ R´ zˇ e Tn (t) je amplituda sin( nπ x) . Tn (t) osciluje v cˇ ase. L ˇ Tedy naˇse ˇreˇsen´ı je souˇctem ˇreˇsen´ı, ktera´ osciluj´ı v cˇ ase. Kaˇzde´ z techto ´ rˇeˇsen´ı je stojata´ vlna, t.j. vlna s pevným profilem a cˇ asoveˇ zavislou amplitudou. Pozor! Souˇcet stojatých vln nen´ı nutneˇ stajata´ vlna. ´ ı typ stojate´ vlny tzv. mod ´ . Kaˇzde´ ˇreˇsen´ı un (x, t) vznikle´ separac´ı je specialn´ 2L ´ ı ´ ma´ vlnovou delku ´ Kaˇzdý mod . Pro n = 1 dostaneme tzv. fundamentaln´ n ´ . mod


F ˇ sme ulohu Reˇ ´ utt − c 2 uxx

=

0,

0 < x < L, 0 < t < ∞,

rovnice

u(0, t)

=

0,

u(L, t) = 0, 0 < t < ∞,

okrajove´ podm´ınky

u(x, 0)

=

f (x),

Necht’

ut (x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ L,

f (x) = 2 sin( πL x) +

1 2

sin( 3π x) , L

´ cn´ı podm´ınky . poˇcateˇ

g(x) = 0 .

´ cn´ım profilem vlny, ale struna se na Tedy zaˇcali jsme s nenulovým poˇcateˇ ´ ´ Naˇse ˇreˇsen´ı: poˇcatku nehýba. u(x, t)

=

∞ h X n=1

An Bn

An sin(c

nπ nπ nπ i t) + Bn cos(c t) · sin( x) L L L

Z L 2 nπ g(x) sin( x)dx, g(x) = 0 =⇒ An = 0 ∀n cnπ 0 L Z L Z 2 nπ 2 L π 1 3π nπ = f (x) sin( x)dx = 2 sin( x) + sin( x) sin( x)dx . L 0 L L 0 L 2 L L =


F

sin α · sin β =

ˇ Pˇripomenme si, zˇ e Ortogonalita: Z

L

1 (cos(α − β) − cos(α + β)) . 2

mπ nπ x) · sin( x)dx = 0 ∀m 6= n , L L Z L nπ L (sin( x))2 dx = m = n je =⇒ L 2 0

sin( 0

pro

1 , Bn = 0 ∀n 6= 2, 3. 2 Naˇse ˇreˇsen´ı je souˇctem pouze dvou cˇ lenu: ˚ B1 = 2, B2 = 2, B3 =

u(x, t) = 2 cos(

cπ π 1 3π 3π t) sin( x) + cos(c t) sin( x) . L L 2 L L


´ ıku (ve 2D) F Veden´ı tepla a vlnova´ rovnice na obdeln´

utt − c 2 (uxx + uyy ) = 0,

t > 0, 0 < x < L, 0 < y < H,

rovnice

u(0, y , t)

=

0,

u(L, y, t) = 0,

t > 0, 0 < y < H ,


u(x, 0, t)

=

0,

u(x, H, t) = 0,

t > 0, 0 < x < L ,


u(x, y , 0)

=

f (x, y),

0 < x < L, 0 < y < H ,

´ cn´ı podm´ınka poˇcateˇ

ut (x, y , 0)

=

g(x, y ),

0 < x < L,

´ cn´ı podm´ınka . poˇcateˇ

ˇ ych: ˇreˇsen´ı ve tvaru Separace promenn´ u(x, y , t) = T (t)X (x)Y (y ) dosad´ıme do rovnice, abychom z´ıskali podm´ınky, ktere´ mus´ı tyto funkce ˇ splnovat.


F

T 00 XY − c 2 TX 00 Y − c 2 TXY 00 = 0 X 00 Y 00 T 00 − − =0 2 c T X Y

/ : (c 2 TXY )

T 00 X 00 Y 00 = − 2 c T |X {z Y } |{z} ´ ı jen na t zavis´ ´ ı jen na x a y zavis´ =⇒

ˇ oznaˇcme ji −k 2 (ˇze je menˇs´ı Tedy funkce vpravo se mus´ı rovnat konstante, ˇ neˇz nula plyne z toho, zˇ e mus´ı splnovat okr. podm.). Tedy X 00 Y 00 = −k 2 − , X Y X 00 = −kx2 , X Y 00 = −ky2 , Y +rovnice

vlevo funkce x, vpravo funkce y

Y 00 + k 2 = kx2 Y X 00 + k 2 = ky2 X

T 00 = −k 2 , c2T

=⇒

=⇒

 obyˇc. rovnice pro X , Y , T :     T 00 + k 2 c 2 T = 0  X 00 + (k 2 − ky2 )X = 0    Y 00 + (k 2 − kx2 )Y = 0


F ˇ sen´ı (bez okrajových podm´ınek) Reˇ T (t)

=

A sin(kct) + B cos(kct) ,

X (x)

=

C sin(kx x) + D cos(ky y )

Y (y )

=

E sin(ky y ) + F cos(ky y )

kde k 2 = kx2 + ky2

´ Nyn´ı pˇridame okrajove´ podm´ınky: u(0, y , t)

=

T (t)X (0)Y (y) = 0 ,

0
u(L, y , t)

=

T (t)X (L)Y (y) = 0 ,

0
u(x, 0, t)

=

T (t)X (x)Y (0) = 0 ,

0 < x < L,

u(x, H, t)

=

T (t)X (x)Y (H) = 0 ,

0 < x < L.

´ ı ˇreˇsen´ı tedy mus´ı platit Pro netrivialn´ X (0) = 0, X (L) = 0, Y (0) = 0, Y (H) = 0 .


F ˇ ´ Z techto podm´ınek mame 0

=

X (0) = D cos(ky y )

0

=

X (L) = C sin(kx L) + D cos(ky L),

0

=

Y (0)E sin(0) + F cos(0),

0

=

Y (H) = E sin(ky H)

⇐⇒

k2

=

kx2 + ky2

n2 π 2 m2 π 2 + , 2 L H2

=⇒

k2 =

=⇒ D = 0

=⇒

C 6= 0

kx =

=⇒

nπ L

F =0

ky H = mπ

=⇒

ky =

mπ H

m, n ∈ N .

´ ame ´ Dostav nπ mπ x) , Ym (y) = Em sin( y ), m, n ∈ N . L H r nπ 2 mπ 2 = + a ˇreˇsen´ı vzeˇsle´ ze separace oznaˇc´ıme L H

Xn (x) = Cn sin( Oznaˇcme kmn umn (x, y , t)

= =

Tmn (t)Xn (x)Ym (y ) = mπ nπ y) , [Amn sin(kmn ct) + Bmn cos(kmn ct)] · sin( x) sin( L H | {z } Tmn (t)


F

Výsledne´ ˇreˇsen´ı (vyuˇzijeme Fourierovy ˇrady): u(x, y , t) =

∞ X ∞ X n=1 m=1

[Amn sin(kmn ct) + Bmn cos(kmn ct)] · sin(

nπ mπ x) sin( y) , L H

´ cn´ı podm´ınky: Poˇcateˇ ∞ X ∞ X nπ mπ u(x, y , 0) = f (x, y ) = Bmn sin( x) sin( y) , L H } {z | n=1 m=1 2D sinova´ ˇrada Z HZ L 4 nπ mπ Bmn = f (x, y ) sin( x) sin( y)dxdy LH 0 0 L H Z HZ L 4 nπ mπ Amn = g(x, y ) sin( x) sin( y )dxdy LHckmn 0 0 L H


F Laplaceova rovnice ˇ ´ ´ ı diferencialn´ ´ ı rovnice 2. ˇradu ´ Casov eˇ nezavisl a´ parcialn´ ∂ 2 u(x, y ) ∂ 2 u(x, y) + = 0, 2 ∂x ∂y 2

´ ıku na obdeln´

0 < x < L, 0 < y < H .

(5)

ˇ sen´ı u(x, y ) se s cˇ asem nemen´ ˇ ı, zˇ adn ´ e´ poˇcateˇ ´ cn´ı podm´ınky. Reˇ | {z } tzv. harmonicka´ funkce Okrajove´ podm´ınky: y

u(0, y ) = g1 (y ) u(x, 0) = f1 (x)

6

u(L, y ) = g2 (y ) u(x, H) = f2 (x)

(6)

f2 (x)

H

Podm´ınky kompatibility:

g1 (x) 0

f1 (x)

L

g2 (x)

f1 (0) = g1 (0),

f1 (L) = g2 (0)

-

f2 (0) = g1 (H),

f2 (L) = g2 (H)

x


ˇ ımu studiu Literatura k dals´

Evans L. C.: Partial Differential Equations: Second Edition. University of California, Berkeley. American Mathematical Society, 2010. Kub´ıcˇ ek M., Dubcova´ M., Janovska´ D.: Numericke´ metody a algoritmy, ˇ VSCHT Praha, 2005 (second edition). McKay B.: Partial Differential Equations for Engineers, University of Utah, 2002. http://www.math.utah.edu/ mckay/3150notes.pdf Rasmuson A., Andersson B., Olsson L., Andersson R.: Mathematical Modeling in Chemical Engineering. Cambridge University Press, 2014. Tolstov G. P.: Fourier Series. Dover Books on Mathematics, 1976.

Matematika pro chemické inženýry

Recommend Documents