Matematika pro chemicke´ inˇzenyry ´ Drahoslava Janovska´
ˇ y´ integral ´ Plosn ´ sky ZS 2016-2017 Pˇrednaˇ ˇ ´ Sponzorovano grantem VSCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 2016
´ ´ a bude se zkouˇset pˇri ustn´ Povinna´ latka. Bude v p´ısemkach ´ ı zkouˇsce ´ e´ oznaˇcen´ı) (ˇzadn F Pˇr´ıklady k procviˇcen´ı - dobrovolne´ ˇ ı ved ˇ et ˇ v´ıc. Tato latka ´ ´ set, F Pro studenty, kteˇr´ı chtej´ se nebude pˇrednaˇ ´ nebude v p´ısemkach, nebude se zkouˇset.
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´
Obsah
1
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
2
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole Orientace plochy ´ vektoroveho ´ Ploˇsn´y integral pole
3
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´
4
ˇ Stokesova veta
5
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
ˇ Stokesova veta
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´
ˇ Stokesova veta
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
S . . . plocha zadana´ parametrizac´ı Φ : D −→ R3 , D = ha, bi × hc, di, Φ = Φ(x(u, v ), y (u, v ), z(u, v )),
u = u(t), v = v (t), (u, v ) ∈ D .
´ ı pole zadane´ na ploˇse S, napˇr. hustota elektrickeho ´ ´ f . . . skalarn´ naboje ´ ˇ rozloˇzeneho na ploˇse S, f : S −→ R . Pˇripomenme, zˇ e g11 g12 g(u, v ) = det . g12 g22 Pak
ZZ
ZZ f dS =
S
ZZ D
f (Φ(u, v )) D
p g(u, v )dudv = | {z } ´ dS. . . element ploˇsneho obsahu
p f (x(u, v ), y (u, v ), z(u, v )) g(u, v )dudv .
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´
ˇ Stokesova veta
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
F ZZ Pˇr´ıklad
f dS, kde f (x, y ) = 2 − xyz a parametrizace
ˇ Vypoˇctete S
3
Φ : D −→ R : Φ(u, v ) = (u, v , u 2 + v 2 ),
D = {(u, v ) ∈ R2 , u 2 + v 2 ≤ 4} .
− → e 1 = (1, 0, 2u),
− → e 2 = (0, 1, 2v )
g11 = 1 + 4u 2 , g12 = 4uv , g22 = 1 + 4v 2 =⇒ g = 1 + 4u 2 + 4v 2 . p dS = 1 + 4u 2 + 4v 2 dudv ZZ ZZ p u = r cos ϕ f dS = (2 − uv (u 2 + v 2 )) 1 + 4(u 2 + v 2 )dudv = v = r sin ϕ S D Z 2π Z 2p = 1 + 4r 2 (2 − r 4 sin ϕ cos ϕ)dϕ) |{z} r dr = 0
0
Z = 4π
2
r 0
p
´ Jacobian
4r 2 + 1dr =
√ π (17 17 − 1). 3
=
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´
ˇ Stokesova veta
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
Orientace plochy
Orientace plochy
´ vektoroveho ´ M´ısto ”integral pole pˇres plochu S”se pouˇz´ıva´ term´ın ”tok vektorovou plochou”. Motivace z hydrodynamiky. ´ Definice Plochu S naz´yvame orientovanou, jestliˇze na n´ı existuje (resp. lze ´ ych vektoru. na n´ı definovat) spojite´ vektorove´ pole jednotkov´ych normalov´ ˚ ´ Poznamka Existuj´ı i neorientovane´ plochy, napˇr. Moebiuv ˚ list, ale my ´ budeme pˇredpokladat, zˇ e pracujeme jen s orientovan´ymi plochami. Oznaˇcme
int S = vnitˇrek plochy S .
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´
ˇ Stokesova veta
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
Orientace plochy
Orientace plochy s krajem S . . . plocha, Φ jej´ı parametrizace, Φ : Ω ⊂ R2 −→ R3 , H(Ω) . . . hranice Ω. v6 Obraz H(Ω) pˇri parametrizaci Φ ´ je obvykle kˇrivka, kterou naz´yvame krajem plochy nebo konturou plochy nebo hranic´ı plochy:
d
c a
0
b
-
Ω = ha, bi×hc, di uzavˇrena´ oblast
u
∂ S = hranice S .
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´
ˇ Stokesova veta
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
Orientace plochy
ˇ ıkame, ´ Definice R´ zˇ e orientace kˇrivky K - hranice plochy S, K = ∂ S, je koherentn´ı s orientac´ı plochy S, jestliˇze pozorovatel pohybuj´ıc´ı se po kˇrivce K ˇ jej´ı orientace a s hlavou smeˇ ˇ ruj´ıc´ı ve smeru ˇ kladne´ normaly ´ k ploˇse ve smeru S, ma´ plochu S po leve´ ruce.
´ ˇ normaly ´ = kladn´y smer ˇ osy z, K koherentneˇ Na obrazku vlevo je kladn´y smer ´ orientovana s kruhem S. ˇ normalov´ ´ ych vektoru˚ Uzavˇrene´ plochy orientujeme tak, zˇ e za kladn´y smer ˇ ast ˇ kter´y smeˇ ˇ ruje ven z plochy. C ´ omezena´ uzavˇrenou bereme ten smer, plochou . . . vnitˇrek plochy S, int S.
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´
ˇ Stokesova veta
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
Orientace plochy
Tok vektoru plochou
´ vyplnenou ˇ Pˇredstavme si prostor nebo jeho cˇ ast proud´ıc´ı kapalinou. Pohyb − → kapaliny popisuje rychlostn´ı pole v (P) (= pole rychlost´ı proud´ıc´ı kapaliny). − → ´ ı na cˇ ase. Vektor v (P) urˇcuje velikost a smer ˇ Necht’ toto pole nezavis´ ˇ ´ ´ ´ . . . proudnic´ıch. Do rychlosti cˇ astic kapaliny. Castice se pohybuj´ı po kˇrivkach ´ ık. proud´ıc´ı kapaliny um´ıst´ıme plochu S, napˇr. obdeln´ ? Kolik kapaliny proteˇce plochou S za jednotku cˇ asu? − → v (P) je konstantn´ı na ploˇse S a kolme´ k ploˇse S. Celkove´ mnoˇzstv´ı kapaliny, ktere´ proteˇce plochou S za jednotku cˇ asu: − → m = Po(S) · || v ||, ´ kde m je objem kvadru, Po(S) je plocha podstavy − → ´ ´ kvadru a v je v´ysˇ ka kvadru.
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´
ˇ Stokesova veta
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
Orientace plochy
− → v (P) je konstantn´ı, ale nen´ı kolme´ k S. ˇ znostenu, ˇ m = objem rovnobeˇ h . . . v´ysˇ ka, − → − → h = v (P) · n (P), − → ˇ rychlosti kapaliny v (P) h je kolm´y prum ˚ et − → ˇ normaly ´ n k ploˇse S, do smeru − → − → m = v (P) · n (P) Po(S) | {z } plocha podstavy
− → ´ ´ vektoroveho ´ Obecn´y pˇr´ıpad – ˇreˇs´ıme pomoc´ı ploˇsneho integralu pole v
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´
ˇ Stokesova veta
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
− → ´ ych vektoru˚ (orientuje S . . . orientovana´ plocha, n (P) . . . pole normalov´ − → plochu S), P ∈ S, v (P) . . . zadane´ vektorove´ pole na S. Oznaˇcme − → − → f (P) = v (P) · n (P) |{z} ´ ı pole (= ”h”) skalarn´
´ ı souˇcin) (skalarn´
− → ´ ´ Definice Ploˇsn´ym integralem vektoroveho pole v pˇres plochu S, resp. − → ´ tokem vektoroveho pole v plochou S, rozum´ıme cˇ ´ıslo ZZ ZZ → − → − v · dS = f dS . (1) S
Ω
Praktick´y v´ypoˇcet Φ : Ω −→ R3 . . . parametrizace plochy S, Ω . . . uzavˇrena´ oblast ˇ Pak v parametricke´ rovine. ZZ ZZ p → − → − → − − → v · |{z} dS = v (Φ(u, v )) · n (Φ(u, v )) · g(u, v )dudv . {z } | | {z } S Ω − → − → f (P) dS dS = n · dS ´ vektoroveho ´ Na leve´ straneˇ stoj´ı ploˇsn´y integral pole, vpravo je nahrazen ´ ´ eˇ pravou stranou rovnice (1). dvojn´ym integralem, konkretn
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´
ˇ Stokesova veta
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
F Pˇr´ıklad
ˇ ´ Mejme zadano vektorove´ pole − → a (x, y , z) = (z, x, −3y 2 z),
(x, y , z) ∈ R3 .
´ ˇ r = 4 a leˇz´ı mezi Plocha S je valcov a´ plocha, jej´ızˇ osou je osa z, ma´ polomer − → ˇ tok vektoroveho ´ rovinami z = 0 a z = 5. Vypoˇctete pole a touto plochou, ´ ˇ kladne´ normaly ´ smeˇ ˇ ruje z valce ´ ktera´ je orientovana tak, zˇ e smer ven. − → ˇ ˇ ı Resen´ a = (a1 , a2 , a3 ), a1 (x, y , z) a2 (x, y , z) a3 (x, y , z)
= = =
z x −3y 2 z
Parametrizace plochy S: x y z
= = =
4 cos u 4 sin u v
u ∈ h0, 2πi v ∈ h0, 5i
D = h0, 2πi × h0, 5i
− → − → e 1 (P) = (−4 sin u, 4 cos u, 0), e 2 (P) = (0, 0, 1), g11 = 16, g22 = 1, g12 = 0
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´
ˇ Stokesova veta
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
F √ 16 0 Metrick´y tenzor plochy: g = det = 16, dS = gdudv = 4dudv . 0 1 − → ´ ych vektoru: n (P) . . . pole jednotkov´ych normalov´ ˚ − → − → − → i j k − → − → e 1 (P) × e 2 (P) = −4 sin u 4 cos u 0 = (4 cos u, 4 sin u, 0) 0 0 1 q − → − → || e 1 (P) × e 2 (P)|| = 16 cos2 u + 16 sin2 u = 4 − → − → e 1 (P) × e 2 (P) − → n (P) = − = (cos u, sin u, 0) → − → | {z } || e 1 (P) × e 2 (P)|| ´ ych vektoru˚ pole jednotkov´ych normalov´
− → − → a (Φ(u, v )) · n (Φ(u, v )) = (v , 4 cos u, −3 · 16 sin2 u · v ) · (cos u, sin u, 0) = = cos u(v + 4 sin u)
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´
ˇ Stokesova veta
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
F Tedy
→ − → − a · dS = 4
ZZ
ZZ (v cos u + 4 sin u cos u)dudv = D
S 5
Z
2π
Z
=4
(v cos u + 4 sin u cos u)dudv = 0 0
0
Zkontrolujte si. ´ er ˇ Zav
− → ´ ´ Celkov´y tok vektoroveho pole a valcovou plochou je nulov´y.
´ ı valcov ´ ´ a´ z valce ´ Interpretace Jistou cˇ ast´ e´ plochy kapalina vytek ven a ´ ı vtek ´ a´ dovnitˇr tak, zˇ e celkove´ mnoˇzstv´ı kapaliny, ktere´ proteˇce jinou cˇ ast´ ´ ´ valcovou plochou, je nulove. ´ a´ resp. vytek ´ a, ´ zavis´ ´ ı na uhlu, ´ Poznamka To, zda kapalina vtek kter´y sv´ıra´ ´ − → ´ vektor a (P) s kladnou normalou k ploˇse. ˇ tok vektoroveho ´ ´ valcov ´ ´ ı ukol: Domac´ ´ Vypoˇctete pole pouze pro cˇ ast e´ plochy: x > 0, y > 0, z > 0. [V´ysledek 90[j 3 ]]
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´
ˇ Stokesova veta
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´ ˇ udav ´ a´ vztah mezi ploˇsn´ym integralem ´ ´ Tato veta a trojn´ym integralem. ˇ ˇ Necht’ uzavˇrene´ teleso Veta W ⊂ R3 , S = ∂ W . . . hranice W ( S je plocha). ´ S orientujeme tak, zˇ e ma´ vneˇ orientovanou normalu, − → F (x, y , z) = (F1 (x, y , z), F2 (x, y , z), F3 (x, y, z)) , ´ ı derivace. Pak Fi maj´ı spojite´ parcialn´ ZZ ZZZ → − →− − → F dS = div F (x, y , z) dxdy dz . {z } S W | kapaliny expanze nebo kontrakce | {z } | {z } − → − → div F > 0 div F < 0 ˇ ˇr´ıka: ´ Veta ´ Celkova´ expanze (kontrakce) kapaliny ve W je rovna celkovemu mnoˇzstv´ı kapaliny, ktere´ vyteˇce (vteˇce) pˇres hranici S = ∂ W . − → ˇ Pak podm´ınka ´ Poznamka v (x, y , z) . . . rychlostn´ı pole v kapaline. − → div v = 0 je rovnice kontinuity nestlaˇcitelne´ kapaliny
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´
ˇ Stokesova veta
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
F ˇ Pˇr´ıklad Vypoˇctete ZZ → − − →− → F dS, F (x, y , z) = (3x + z 77 , y 2 − sin x 2 z, xz + yexp(x 5 )) , S
− → ´ ˇ s´ı S . . . povrch kvadru B : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 2, n . . . vnejˇ ´ y vektor. jednotkov´y normalov´ − → div F (x, y , z) = 3 + 2y + x
ZZ
ˇ Gausova veta =⇒ ZZZ → − →− − → F dS = div F (x, y , z)dxdy dz .
S
B
´ vpravo trojn´y integral, ´ Vlevo ploˇsn´y integral, ´ B . . . kvadr
´ Vypoˇcteme trojn´y integral: ZZZ ZZZ − → div F (x, y , z)dxdy dz = (3 + 2y + x)dxdy dz = B B Z 1 Z 3 Z 2 = ( ( (3 + 2y + x)dz)dy )dx = 39[j 3 ] = 0
0
0
mnoˇzstv´ı kapaliny, ktere´ vyteˇce pˇres hranici ∂ S.
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´
ˇ Stokesova veta
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
ˇ Stokesova veta
ˇ udav ´ a´ vztah mezi kˇrivkov´ym integralem ´ Tato veta pˇres uzavˇrenou kˇrivku a ´ ´ ploˇsn´ym integralem vektoroveho pole. ˇ Veta − → F (x, y , z) = (F1 (x, y , z), F2 (x, y , z), F3 (x, y , z)) dane´ vektorove´ pole na ploˇse S Fi ∈ C 1 (S), Pak
∂ S = C, Z C
´ . S a ∂ S jsou koherentneˇ orientovany
→ − → − F · dS =
ZZ
→ − → − rot F · dS ,
S
´ pˇres kˇrivku C ⊂ R3 , vpravo je ploˇsn´y ´ Poznamka Vlevo je kˇrivkov´y integral − → − → ´ vektoroveho ´ ´ integral pole rot F . . . rotace vektoroveho pole F . Plochu ´ eho ´ orientujeme pomoc´ı normalov vektoru.
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´
ˇ Stokesova veta
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
F − → Pˇr´ıklad F (x, y, z) = (y, z, x), S = cˇ tvrtkruh v rovineˇ y − z, C jeho kladneˇ orientovana´ hranice. Z → − → − F · dS pomoc´ı Stokesovy Vypoˇcteme C − → ˇ ´ eho ´ vety. Orientaci normalov vektoru n urˇc´ıme podle pravidla prave´ ruky. Zde ori´ ´ smeru ˇ osy x. entace v zaporn em F1 (x, y, z) = y , F2 (x, y , z) = z, F3 (x, y , z) = x . − → rot F =
− → i ∂ ∂x F1
− → j ∂ ∂y F2
− → k ∂ ∂z F3
= ∂F3 − ∂F2 , − ∂F3 + ∂F1 , ∂F2 − ∂F1 ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y − → rot F = (−1, −1, −1)
Parametrizace cˇ tvrtkruhu v rovineˇ y − z: π Φ(r , θ) = (0, r cos θ, r sin θ), 0 ≤ r ≤ 1, θ ∈ h0. i . 2
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´
ˇ Stokesova veta
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
F − → ´ ´ eho ´ V´ypoˇcet jednotkoveho normalov vektoru n : ∂Φ ∂Φ = (0, cos θ, sin θ), = (0, −r sin θ, r cos θ) ∂r ∂θ − − → − → → j k i ∂Φ ∂Φ × = 0 cos θ sin θ = (r , 0, 0) ∂r ∂θ 0 −r sin θ r cos θ | {z } ´ y vektor (r , 0, 0) je ale orientovan ´ do kladneho ´ ˇ osy x, my Normalov´ smeru − → ´ ´ smeru ˇ potˇrebujeme orientaci v zaporn em =⇒ n = (−r , 0, 0) Z ZZ Z 1 Z π/2 → → − → − − → − π F · dS = rot F · dS = (−1, −1, −1)(−r , 0, 0)dθdr = . 4 C S 0 0 − → − → ´ Poznamka Vektorove´ pole v (x, y , z), pro ktere´ plat´ı rot v (x, y, z) = 0 . . . tzv. nev´ırove´ vektorove´ pole.
ˇ y´ integral ´ skalarn´ ´ ıho pole Plosn
ˇ y´ integral ´ vektoroveho ´ Plosn pole
ˇ ı veta ˇ Gaussova divergencn´
ˇ Stokesova veta
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
ˇ ımu studiu Literatura k dals´
Davis, H. F., Snider, A. D.: Introduction to Vector Analysis, fourth edition. Allyn and Bacon, Inc., Boston, 1979. ´ ı a integraln´ ´ ı poˇcet funkc´ı v´ıce promenn´ ˇ ych s Fialka, M.: Diferencialn´ aplikacemi (Uˇcebn´ı text). UTB Zl´ın, 2008. ISBN 978-80-7318-665-4. ´ M.: Zaklady ´ ´ Kl´ıcˇ , A., Dubcova, tenzoroveho poˇctu s aplikacemi. ˇ Vydavatelstv´ı VSCHT, Praha 1998. Pandey, R. K.: Vector Analysis. Discovery Publishing House, 2007.