Matematika pro ekonomiku

Matematika pro ekonomiku Pojistná matematika

14.10.2011

Matematika pro ekonomiku

1

´ MATEMATIKA I. POJISTNA


Pojistná matematika

2

Základn´ı odvˇetv´ı: ˇ zivotn´ı pojiˇstˇ en´ı, do nˇehoˇz spadá výplata pˇredem sjednané ˇcástky v pˇr´ıpadˇe smrti nebo doˇzit´ı se urˇcitého vˇeku; neˇ zivotn´ı pojiˇstˇ en´ı, do nˇehoˇz spadaj´ı ostatn´ı události, jejichˇz spoleˇcným rysem je, ˇze vyplácená ˇcástka - náhrada ˇskody, která v souvislosti s touto událost´ı vznikla - nen´ı pˇredem známa. ´ Ukoly pojiˇst’ovny: stanovit výˇsi ceny za pojiˇstˇen´ı, tzv. pojistn´ e, stavovit si tzv. technickou rezervu, tj. ˇcástku, kterou mus´ı m´ıt k dispozici na události, které jsou nahláˇseny se zpoˇzdˇen´ım, vyplácet pojistn´ e plnˇ en´ı.


Výpoˇcet pojistného

3

Hlavn´ı u ´daj: souhrnná výˇse ˇskod, za nˇeˇz mus´ı být vyplaceno pojistné plnˇen´ı - náhodná veliˇcina S Odhadneme rozdˇelen´ı této náhodné veliˇciny vˇcetnˇe jej´ıch parametr˚ u Základ pro výpoˇcet pojistného: stˇredn´ı hodnota ES - tzv. ryz´ı (nebo také netto) pojistn´ e Bezpeˇ cnostn´ı pˇrir´ aˇ zka - ochrana proti nepˇr´ıznivému pr˚ ubˇehu + správn´ı náklady Brutto pojistn´ e = netto pojistné + bezpeˇcnostn´ı pˇriráˇzka = to, co je skuteˇcnˇe klientem zaplaceno


Výpoˇcet bezpeˇcnostn´ı pˇriráˇzky Nejbˇeˇznˇejˇs´ı zp˚ usoby stanoven´ı brutto pojistného BP (pro vˇsechny pojiˇstˇence dohromady) jsou: 1 2 3

princip stˇredn´ı hodnoty: BP = (1 + a)ES, kde a > 0; √ princip smˇerodatné odchylky: BP = ES + a var S, kde a > 0; princip rozptylu: BP = ES + a var S, kde a > 0.

Výhody a nevýhody metod: Druhá a tˇret´ı metoda maj´ı nevýhodu, ˇze je nutné poˇc´ıtat kromˇe stˇredn´ı hodnoty nav´ıc rozptyl. Druhá a tˇret´ı metoda jsou vˇsak pˇresnˇejˇs´ı, nebot’ berou v u ´vahu i velikost fluktuac´ı rizika. Poznámka Má-li pojiˇst’ovna n klient˚ u, je pak základn´ı pojistné pro jednoho klienta BP/n.


4

5

´ MATEMATIKA I. POJISTNA a) neˇzivotn´ı pojiˇstˇen´ı


Modelován´ı celkové výˇse ˇskod

6

Souhrn pojistných smluv daného typu pojiˇstˇen´ı se nazývá pojistn´ y kmen nebo také pojistn´ e portfolio. Pˇredpokládejme, ˇze pojistný kmen je homogenn´ı, tzn. ˇze ˇskody, které mohou nastat na jednotlivých smlouvách, jsou nezávislé stejnˇe rozdˇelené náhodné veliˇciny Xi . Poˇcet ˇskodn´ıch událost´ı je pak také náhodná veliˇcina N. Celkový u ´hrn ˇskod je tud´ıˇz náhodná veliˇcina S=

N X

Xi .

i=1


Modelován´ı celkové výˇse ˇskod

7

Jelikoˇz je náhodná veliˇcina S=

N X

Xi

i=1

daná souˇctem náhodného poˇctu náhodných veliˇcin, ˇr´ıkáme, ˇze má sloˇ zen´ e rozdˇ elen´ı. Pro sloˇzená rozdˇelen´ı plat´ı ES = ENEX1 a var S = ENvar X1 + var N(EX1 )2 .


Rozdˇelen´ı výˇs´ı jednotlivých ˇskod

Poˇzadavky: nezáporné hodnoty spojitost pravdˇepodobnost extrémnˇe velkých hodnot minimáln´ı ⇓ Nejjednoduˇsˇs´ı model: exponenciáln´ı rozdˇelen´ı


8


9

Weibullovo rozdˇ elen´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı k

F (x) = 1 − e −αx , a hustotou

x ≥ 0, k > 0, α > 0 k

f (x) = αkx k−1 e −αx , které je k−tou odmocninou exponenciáln´ıho rozdˇelen´ı Exp(α).



Paretovo (tak´ e logaritmicko-exponenci´ aln´ı) rozdˇ elen´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı x −α F (x) = 1 − , x ≥ a, α > 0, a > 0 a a hustotou f (x) = αaα x −α−1 , které vzniklo transformac´ı X = ae Y , kde Y má exponenciáln´ı rozdˇelen´ı Exp(α).


10


Logaritmicko-norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı s hustotou 2 2 1 e −(logx−µ) /2σ , f (x) = √ 2πσx

11

x > 0,

které vzniklo transformac´ı X = eY , kde Y má normáln´ı rozdˇelen´ı N(µ, σ 2 ).


Rozdˇelen´ı poˇctu ˇskod

12

Pˇredpoklady: portfolio obsahuje n smluv, pravdˇepodobnost ˇskodn´ı ud´ alosti na jedné smlouvˇe je p, stˇredn´ı poˇcet ˇskod je np = λ.

⇓ Poˇcet ˇskod má binomické rozdˇelen´ı Bi(n, p). Rozsah pojistného kmene bývá hodnˇe velký a pravdˇepodobnost ˇskodn´ı události hodnˇe malá ⇓ P(N = k) =

n(n − 1) . . . (n − k + 1) k λ p (1− )n−k k! n

−→

n→∞,p→0

⇒ pouˇz´ıvá se Poissonovo rozdˇelen´ı (jednoduˇsˇs´ı výpoˇcty).


λk −λ e , k!

Technické rezervy

13

Slouˇz´ı k zabezpeˇcen´ı prostˇredk˚ u potˇrebných k u ´hradˇe závazk˚ u pojiˇst’ovny v následuj´ıc´ıch obdob´ıch. Nˇekolik druh˚ u, napˇr. vyrovn´ avac´ı rezerva - slouˇz´ıc´ı k vyrovn´ av´ an´ı výkyv˚ u v n´ akladech na pojistn´ a plnˇen´ı zp˚ usoben´ a nepˇr´ıznivými vlivy, rezerva na nezaslouˇzené pojistné - souvis´ı s prov´ adˇen´ım u ´ˇcetnictv´ı na konci roku, tj. v dobˇe, kdy je jeˇstˇe smlouva platn´ a a tud´ıˇz na n´ı jeˇstˇe m˚ uˇze vzniknout pojistn´ a ud´ alost rezerva na prémie a slevy, atd.

nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı: rezerva na pojistn´ a plnˇ en´ı (nebo téˇz ˇskodn´ı rezerva) - udrˇzuje prostˇredky k výplatˇe pojistného plnˇen´ı pojistných událost´ı, které jsou nahláˇseny v pozdˇejˇs´ım obdob´ı neˇz se staly.


Rezervy na pojistná plnˇen´ı - trojúheln´ıková schémata Oznaˇcme Xj,s celkovou výˇsi ˇskod, které vznikly v roce j a byly uhrazeny do konce roku j + s (s = zpoˇzdˇen´ı). Pˇredpokládejme, ˇze jsme v roce t. Data, která máme k dispozici, m˚ uˇzeme seˇradit do tzv. kumulativn´ıho troj´ uheln´ıku: 1 2 .. . t −1 t

0 X1,0 X2,0

1 X1,1 X2,1

Xt−1,0 Xt,0

Xt−1,1

... ... ...

s X1,s X2,s

... ... ...

t −2 X1,t−2 X2,t−2

t −1 X1,t−1

Poznámka Nˇekdy se m´ısto ˇskod, které vznikly v roce j a byly urazeny do konce roku j + s, pracuje s hodnotami Yj,s ˇskod, které vznikly v roce j a byly urazeny právˇe v roce j + s. Pak mluv´ıme o nekumulativn´ım troj´ uheln´ıku. Matematika pro ekonomiku

14

Rezervy na pojistná plnˇen´ı - trojúheln´ıková schémata

ˆj,∞ , která je odhadem celkové výˇse ˇskod C´ılem je nalézt hodnotu X vzniklých v roce j. Rezervou na pojistná plnˇen´ı je pak hodnota ˆj,∞ − Xj,t−j . X Poznámka Samozˇrejmˇe se pˇredpokládá, ˇze po nˇejakém koneˇcném poˇctu let jsou jiˇz vˇsechna pojistná plnˇen´ı pro daný rok vyplacena. Za tuto dobu je ˆj,∞ spoˇc´ıvaj´ı v doplnˇen´ı povaˇzován právˇe ˇcas t, proto metody odhadu X kumulativn´ıho troj´ uheln´ıku na ˇctverec.


15

Metoda chain-ladder

16

Tato metoda pˇredpokládá, ˇze sloupce jsou si u ´mˇerné, tj. ˇze . Xj,s+1 = cs Xj,s ,

s = 0, . . . , t − 2, j = 1, . . . , t − s − 1.

Odhadem parametru cs je hodnota Pt−s−1

Xj,s+1 j=1 cˆs = Pt−s−1 . Xj,s j=1 Troj´ uheln´ık na ˇctverec pak tedy dopln´ıme pomoc´ı vztahu ˆj,r = Xj,t−j cˆt−j · · · cˆr −1 X a pro odhad koneˇcné celkové výˇse plnˇen´ı tak dostáváme ˆj,∞ = X ˆj,t−1 X a výˇse rezervy je tud´ıˇz ˆj,t−1 − Xj,t−j . X Matematika pro ekonomiku

Zobecnˇen´ı metody chain-ladder

17

Pˇredpokládejme, ˇze tzv. v´ yvojov´ e faktory dj,s = Xj,s+1 /Xj,s ,

s = 0, . . . , t − 2, j = 1, . . . , t − 1,

závisej´ı na ˇrádkovém indexu j, tj. máme 0 d1,0

1 .. . t −1

1 d1,1

... ...

s d1,s

... ...

t −2 d1,t−2

dt−1,0

a následnˇe poˇc´ıtáme Pt−s−1 dˆs =

ωj,s dj,s j=1 , Pt−s−1 ωj,s j=1

s = 0, . . . , t − 2,

kde ωj,s jsou váhy pro dj,s (vˇetˇs´ı váhy pro novˇejˇs´ı hodnoty). Pak opˇet ˆj,r = Xj,t−j dˆt−j · · · dˆr −1 . X Poznámka Klasickou metodu chain-ladder z´ıskáme, pokud vol´ıme ωj,s = Xj,s . Matematika pro ekonomiku

Londýnský ˇretˇezec

18

Tato metoda stejnˇe jako klasická metoda chain ladder pˇredpokládá, ˇze sloupce na sobˇe závisej´ı bez ohledu na ˇrádek, tentokrát vztahem . Xj,s+1 = as + cs Xj,s ,

s = 0, . . . , t − 2, j = 1, . . . , t − s − 1.

Parametry as a cs se urˇc´ı tzv. metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u, tj. minimalizac´ı výrazu t−s−1 X

(Xj,s+1 − as − cs Xj,s )2 ,

s = 0, . . . , t − 3,

j=1

(pro s = t − 2 pak vol´ıme at−2 = 0 a ct−2 = X1,t−1 /X1,t−2 ).


(1)

Londýnský ˇretˇezec

19

ˇ sen´ım minimalizace je Reˇ Pt−s−1 Xj,s j=1 Xj,s+1 Xj,s âs = Pt−s−1 2 −( Xj,s )2 (t − s − 1) j=1 Xj,s j=1 Pt−s−1 Pt−s−1 Pt−s−1 (t − s − 1) j=1 Xj,s+1 Xj,s − j=1 Xj,s+1 j=1 Xj,s cˆs = . Pt−s−1 2 Pt−s−1 (t − s − 1) j=1 Xj,s − ( j=1 Xj,s )2 Pt−s−1 j=1

Xj,s+1

Pt−s−1 j=1

2 − Xj,s Pt−s−1

Pt−s−1 j=1

Na ˇctverec pak doplˇ nujeme postupnˇe poˇc´ıtán´ım ˆj,s+1 = âs + cˆs X ˆj,s , X

s = t − j, . . . , t − 2, j = 2, . . . , t,

ˆj,t−j = Xj,t−j je známá hodnota na diagonále. kde X


20

´ MATEMATIKA I. POJISTNA b) ˇzivotn´ı pojiˇstˇen´ı


ˇ Zivotn´ ı pojiˇstˇen´ı

21

Spoleˇcné prvky ˇzivotn´ıho a neˇzivotn´ıho pojiˇstˇen´ı: Výˇse pojistného plnˇen´ı je n´ ahodn´ a veliˇcina, ozn. Z . Výˇse netto pojistného se tedy poˇc´ıt´ a jako NP = EZ . Brutto pojistné = netto pojistné + bezpeˇcnostn´ı pˇrir´ aˇzka. Povinnost tvorby rezerv, (zp˚ usob výpoˇctu je vˇsak odliˇsný).

Odliˇsné prvky ˇzivotn´ıho a neˇzivotn´ıho pojiˇstˇen´ı: Uzav´ır´ a na delˇs´ı dobu → diskontn´ı faktor v=

1 , 1+i

kde i je technick´ au ´rokov´ a m´ıra. EZ se nepoˇc´ıt´ a ze zn´ amých rozdˇelen´ı → u ´mrtnostn´ıch tabulek. Pojistné se vˇetˇsinou neplat´ı jednor´ azovˇe, nýbrˇz na spl´ atky po dobu nˇekolika let. T´ımto rozdˇelen´ım spl´ atek se vˇsak nebudeme zabývat a pojistné, které budeme poˇc´ıtat, tj. EZ , budeme nazývat jednor´ azovým netto pojistným.


Modelován´ı u´mrtnosti

22

Oznaˇcme T0 náhodnou veliˇcinu popisuj´ıc´ı délku ˇzivota právˇe narozeného jedince a obecnˇeji pak Tx náhodnou veliˇcinu popisuj´ıc´ı zbývaj´ıc´ı délku ˇzivota jedince ve vˇeku x. Kromˇe jiˇz známé distribuˇcn´ı funkce Fx (t) = P(Tx ≤ t) se v ˇzivotn´ım pojiˇstˇen´ı pracuje s tzv. funkc´ı pˇreˇzit´ı Sx (t) = P(Tx > t) = 1 − Fx (t).



23

Hodnoty Fx a Sx jsou pro celoˇc´ıselné hodnoty x a t viz v u ´mrtnostn´ı tabulky: qx = Fx (1) = P(Tx ≤ 1) pravdˇepodobnost, ˇze jedinec, který je naˇzivu ve vˇeku x, zemˇre pˇred dosaˇzen´ım vˇeku x + 1; px = Sx (1) = P(Tx > 1) pravdˇepodobnost, ˇze jedinec, který je naˇzivu ve vˇeku x, se doˇzije vˇeku x + 1; t qx

= Fx (t) = P(Tx ≤ t)

pravdˇepodobnost, ˇze jedinec, který je naˇzivu ve vˇeku x, zemˇre pˇred dosaˇzen´ım vˇeku x + t; t px

= Sx (t) = P(Tx > t)

pravdˇepodobnost, ˇze jedinec, který je naˇzivu ve vˇeku x, se doˇzije vˇeku x + t. Matematika pro ekonomiku


24

Základ´ı vztahy mezi tˇemito pravdˇepodobnostmi: P(Tx > k) =k px = px · px+1 · px+k−1 a P(k ≤ Tx < k + 1) =k+1 qx −k qx =k px · qx+k . Hodnoty k px a k qx se z´ıskaj´ı jednoduchým zp˚ usobem. Oznaˇcme v nˇejaké populaci l0 poˇcet novˇe narozených jedinc˚ u a lx poˇcet jedinc˚ u, kteˇr´ı se doˇzili vˇeku x. Pak lx+k k px = lx a lx − lx+k . k qx = lx



25

Dalˇs´ım uˇziteˇcným znaˇcen´ım je dx = lx − lx+1 poˇcet lid´ı, kteˇr´ı zemˇreli ve vˇeku x. Toho se vyuˇz´ıvá zejména pro výpoˇcet pravdˇepodobnosti, ˇze pojiˇstˇený ve vˇeku x zemˇre v (k + 1)−n´ım roce pojiˇstˇen´ı, která se poˇc´ıtá jako dx+k . k px · qx+k = lx

Poznámka Pˇri volbˇe populace, z n´ıˇz hodnoty odhadujeme, je tˇreba brát v u ´vahu spoustu vliv˚ u jako napˇr. zmˇenu zp˚ usobu ˇzivota, války apod. T´ımto problémem se zabývá sociologie a demografie.


Komutaˇcn´ı ˇc´ısla - motivace

26

Pˇr´ıklad: Jaké je (jednorázové) netto pojistné pro pojiˇstˇen´ı, které sjedná 40-letý muˇz, kde pojiˇst’ovna vyplat´ı 1 mil. Kˇc, pokud pojiˇstˇený do 5 let zemˇre (vyplác´ı se na konci roku, kdy zemˇre), a pokud nezemˇre, pojiˇstˇen´ı zanikne bez náhrady. ˇ sen´ı: Reˇ Zemˇre-li pojiˇstˇený v k−tém roce pojiˇstˇen´ı, dotane 1 mil. Kˇc. Vezmeme-li vu ´vahu ztrátu hodnoty penˇez, má ˇcástka, kterou dostane, souˇcasnou hodnotu 106 · v k . Pravdˇepobnost, ˇze pojiˇstˇený v k−tém roce pojiˇstˇen´ı zemˇre, je k p40 · q40+k . Stˇredn´ı (souˇcasná) hodnota toho, co mus´ı pojiˇst’ovna vyplatit, je tud´ıˇz 106 · (

4 X k=0

v k+1 ·k p40 · q40+k ) = 106 ·

d40 v + d41 v 2 + . . . + d44 v 5 . l40


Komutaˇcn´ı ˇc´ısla

27

komutaˇcn´ı ˇc´ısla nultého ˇrádu: Dx = lx v x Cx = dx v

(diskontovaný poˇcet doˇz´ıvaj´ıc´ıch se vˇeku x)

x+1

(diskontovaný poˇcet zemˇrelých ve vˇeku x)

komutaˇcn´ı ˇc´ısla prvn´ıho ˇrádu: Nx =

Mx =

∞ X j=0 ∞ X

Dx+j = Dx + Dx+1 + Dx+2 + . . .

Cx+j = Cx + Cx+1 + Cx+2 + . . .

j=0

komutaˇcn´ı ˇc´ısla druhého ˇrádu: ∞ X Sx = Nx+j = Nx + Nx+1 + Nx+2 + . . . j=0

Rx =

∞ X

Mx+j = Mx + Mx+1 + Mx+2 + . . .

j=0 Matematika pro ekonomiku

Komutaˇcn´ı ˇc´ısla - pokraˇcován´ı motivace

Zpˇet k pˇr´ıkladu: 106 ·

d40 v 41 + d41 v 42 + . . . + d44 v 45 d40 v + d41 v 2 + . . . + d44 v 5 = 106 · = l40 l40 v 40 106 ·

C40 + C41 + . . . + C44 M40 − M45 = 106 · , D40 D40

pˇriˇcemˇz hodnoty M40 , M45 a D40 najdeme v u ´mrtnostn´ıch tabukách.


28

Druhy ˇzivotn´ı pojiˇstˇen´ı

29

Základn´ım dˇelen´ım ˇzivotn´ıho pojiˇstˇen´ı je dˇelen´ı na kapitálové pojiˇstˇen´ı - jednorázová výplata ˇcástky v pˇr´ıpadˇe u ´mrt´ı nebo doˇzit´ı se daného vˇeku d˚ uchodové pojiˇstˇen´ı - pravidelné výplaty ˇcástek v pˇr´ıpadˇe doˇzit´ı se daného vˇeku Oba tyto druhy pak maj´ı spoustu typ˚ u, z nichˇz si zde uvedeme ty nejbˇeˇznˇejˇs´ı. Poznámka Jelikoˇz pro stˇredn´ı hodnotu plat´ı E(aZ ) = aEZ , budeme vˇzdy, pokud nebude ˇreˇceno jinak, poˇc´ıtat jednorázové netto pojistné (JNP) pro výplatu jednotkové ˇcástky. Pokud by pojiˇstˇen´ı bylo sjednáno na ˇcástku c, bylo by výsledné JNP obyˇcejným c−násobkem námi vypoˇcteného JNP.


Kapitálová ˇzivotn´ı pojiˇstˇen´ı

30

Pojiˇstˇ en´ı pro pˇr´ıpad doˇ zit´ı spoˇc´ıvá ve výplatˇe pˇredem sjednané ˇcástky na konci roku n, pokud se osoba pojiˇstˇená ve vˇeku x doˇzije vˇeku x + n, jinak pojiˇstˇen´ı zaniká bez náhrady. Pro (jednorázové) netto pojistné plat´ı JNP = EZ =n px · v n =

Dx+n . Dx



31

Pojiˇstˇ en´ı pro pˇr´ıpad smrti spoˇc´ıvá ve výplatˇe pˇredem sjednané ˇcástky na konci roku, v nˇemˇz osoba pojiˇstˇená ve vˇeku x zemˇre, jinak pojiˇstˇen´ı zaniká bez náhrady. Pro (jednorázové) netto pojistné plat´ı JNP = EZ =

∞ X

.k px · qx+k · v k+1 =

k=0


Mx . Dx


32

Doˇ casn´ e pojiˇstˇ en´ı pro pˇr´ıpad smrti spoˇc´ıvá ve výplatˇe pˇredem sjednané ˇcástky na konci roku, v nˇemˇz osoba pojiˇstˇená ve vˇeku x zemˇre, pokud k tomuto u ´mrt´ı dojde bˇehem n let, jinak pojiˇstˇen´ı zaniká bez náhrady. Pro (jednorázové) netto pojistné plat´ı JNP = EZ =

n−1 X k=0

.k px · qx+k · v k+1 =

Mx − Mx+n . Dx



33

Sm´ıˇsen´ e pojiˇstˇ en´ı spoˇc´ıvá ve výplatˇe pˇredem sjednané ˇcástky a na konci roku, v nˇemˇz osoba pojiˇstˇená ve vˇeku x zemˇre, pokud k tomuto u ´mrt´ı dojde bˇehem n let, jinak vyplat´ı ˇcástku b. Pro (jednorázové) netto pojistné plat´ı JNP = EZ = a·

n−1 X k=0

.k px ·qx+k ·v k+1 +b·n px ·v n =

a(Mx − Mx+n ) + bDx+n . Dx


D˚ uchodová ˇzivotn´ı pojiˇstˇen´ı

34

Pojiˇstˇ en´ı doˇ zivotn´ıho d˚ uchodu spoˇc´ıvá v pravidelné výplatˇe pˇredem sjednaných ˇcástek vˇzdy na zaˇcátku roku, pokud osoba pojiˇstˇená ve vˇeku x ˇzije. Pro (jednorázové) netto pojistné plat´ı ∞ X Nx .k px · v k = . JNP = EZ = Dx k=0



35

Pojiˇstˇ en´ı odloˇ zen´ eho doˇ zivotn´ıho d˚ uchodu spoˇc´ıvá v pravidelné výplatˇe pˇredem sjednaných ˇcástek vˇzdy na zaˇcátku roku, pokud osoba pojiˇstˇená ve vˇeku x ˇzije, avˇsak tyto výplaty zaˇcnou aˇz po j letech od uzavˇren´ı tohoto pojiˇstˇen´ı. Pro (jednorázové) netto pojistné plat´ı ∞ X Nx+j JNP = EZ = .k px · v k = . Dx k=j



36

Pojiˇstˇ en´ı doˇ casn´ eho doˇ zivotn´ıho d˚ uchodu spoˇc´ıvá v pravidelné výplatˇe pˇredem sjednaných ˇcástek vˇzdy na zaˇcátku roku, pokud osoba pojiˇstˇená ve vˇeku x ˇzije a neuplynulo jeˇstˇe n let od zaˇcátku pojiˇstˇen´ı. Pro (jednorázové) netto pojistné plat´ı JNP = EZ =

n−1 X k=0

.k px · v k =

Nx − Nx+n . Dx


37

´ ANALYZA ´ II. SHLUKOVA DAT


Shluková analýza dat

38

C´ıl: zaˇradit objekty z nˇejakého souboru objekt˚ u do skupin (shluk˚ u) tak, aby si objekty v jedné skupinˇe byly podobnˇejˇs´ı neˇz objekty z r˚ uzných skupin. Metod pro toto zaˇrazen´ı je spousta, stejnˇe tak struktur shluk˚ u m˚ uˇze bý v´ıce (kromˇe rozdˇelen´ı do nˇekolika skupin m˚ uˇzeme ˇradit do vzájemnˇe vnoˇrených podskupin apod.).


Vstupn´ı data

39

Soubor objekt˚ u, které dostaneme, je tvoˇren n prvky (objekty), které se maj´ı shlukovat. U kaˇzdého z nich pak pozorujeme m r˚ uzných znak˚ u (promˇenných). To znamená, ˇze vstupn´ı u ´daje m˚ uˇzeme seˇradit do matice rozmˇeru n × m. Jej´ı prvky pak budeme znaˇcit xil , i = 1, . . . , n, l = 1, . . . , m.


Typy promˇenných

40

Rozliˇsujeme promˇenné 1

2

3

4

pomˇerové - u jejich hodnot m˚ uˇzeme urˇcit, o kolik i kolikr´ at je jedna hodnota vˇetˇs´ı neˇz druh´ a (napˇr. vˇek, cena, ...), intervalové - u jejich hodnot m˚ uˇzeme urˇcit, o kolik, ne vˇsak uˇz kolikr´ at, je jedna hodnota vˇetˇs´ı neˇz druh´ a (napˇr. teplota, ...), ordin´ aln´ı - u jejich hodnot m˚ uˇzeme urˇcit poˇrad´ı hodnot (napˇr. z´ akladn´ı, stˇredn´ı a vysok´ a ˇskola, ...), nomin´ aln´ı - u jejich hodnot m˚ uˇzeme urˇcit pouze, zda jsou stejné nebo r˚ uzné (napˇr. barva oˇc´ı, ...).

Prvn´ıch dva typy - lze pracovat pˇr´ımo s jejich hodnotami. Ordináln´ı promˇenné - napˇr. hodnoty jejich poˇrad´ı. Nomináln´ı promˇenné - speciáln´ı pˇr´ıstup.


Typy promˇenných

41

Pro nomináln´ı promˇenné lze pak pouˇz´ıt metodu rozdˇelen´ı promˇenné na v´ıce binárn´ıch (tj. nabývaj´ıc´ıch hodnot 0 nebo 1) promˇenných, kde 1 znamená, ˇze objekt splˇ nuje danou vlastnost, 0 opak. Napˇr. pˇr´ısluˇsnost k ˇ ˇ lze zapsat takto: univerzitˇe (CVUT, UK nebo VSE) Univerzita ˇ CVUT UK ˇ VSE

X1

X2

X3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Poznámka Analogicky lze pracovat i se zbylými typy promˇenných. Promˇenné ordináln´ı lze pak pomoc´ı binárn´ıch promˇenných zapsat i takto: Vzdˇelán´ı základn´ı stˇredn´ı vysokoˇskolské

X1 0 1 1

X2 0 0 1


Normován´ı hodnot promˇenných

42

Poˇzadavek: namˇeˇrené znaky by mˇely m´ıt podobnˇe velké a rozptýlené hodnoty → tˇreba hodnoty vhodnˇe vynormovat. Pˇreveden´ı na promˇenné binárn´ı → moc promˇenných na vstupu. Jiné zp˚ usoby: vydˇelen´ı smˇerodatnou odchylkou promˇenné l: zil =

xil , sl

vydˇelen´ı varianˇcn´ım rozpˇet´ım Rl = maxi (xil ) − mini (xil ): zil =

xil , Rl

pˇreveden´ı na hodnoty z intervalu < 0, 1 >: zil =

xil − mini (xil ) , Rl

pˇreveden´ı na hodnoty z intervalu < 0, 1 >, jejichˇz souˇcet je roven 1: xil zil = Pn

i=1

xil

.


Mˇeˇren´ı podobnosti

43

Objekt i vyjádˇrit jako ˇc´ıselný vektor xi o sloˇzkách xil , l = 1, . . . , m (popˇr. po znormován´ı zi o sloˇzkách zil , l = 1, . . . , m). Dva objekty pak m˚ uˇzeme povaˇzovat za podobnˇejˇs´ı neˇz jiné dva, pokud jsou si v m−dimenzionáln´ım prostoru bl´ıˇz. Obecnˇe se vzdálenost´ı mysl´ı funkce Dij dvou prvk˚ u i a j, která splˇ nuje následuj´ıc´ı: 1 2 3

Dij ≥ 0, Dii = 0, Dij = Dji

Poznámka Obˇcas se vyˇzaduje jeˇstˇe ˇctvrtá vlastnost Dij + Djk ≥ Dik . Pak se mluv´ı m´ısto o vzdálenosti o metrice.


Mˇeˇren´ı podobnosti

44

Nejˇcastˇeji pouˇz´ıvanými vzdálenostmi jsou: eukleidovská: v u m uX Dij = D(xi , xj ) = t (xil − xjl )2 , l=1

mˇestských blok˚ u (manhattanská): Dij = D(xi , xj ) =

m X

|xil − xjl |,

l=1

ˇ sevova): maximová (Cebyˇ Dij = D(xi , xj ) = max |xil − xjl |. l


Metody shlukové analýzy

45

Vˇetˇsinou se v literatuˇre uvád´ı dˇelen´ı tˇechto metod na dvˇe základn´ı skupiny podle toho, co má být výsledkem shlukován´ı, a to: metody rozkladu (nehierarchické) - výsledkem je rozdˇelen´ı souboru do k shluk˚ u, kde poˇcet shluk˚ u je pˇredem daný, metody hierarchické - výsledkem je posloupnost do sebe vnoˇrených skupin objekt˚ u.


Metody rozkladu

46

Metody rozkladu lze dále rozdˇelit, a to na: metody jednoznaˇcného pˇriˇrazen´ı - výsledkem je jednoznaˇcná pˇr´ısluˇsnost kaˇzdého objektu do nˇejakého shluku, fuzzy shluková analýza - výsledkem jsou m´ıry pˇr´ısluˇsnosti uip kaˇzdého objektu i do p−tého shluku, pro které plat´ı 1 2

0 uip ≤ 1, P≤ k p=1 uip = 1.


Metody rozkladu

47

Metoda k−pr˚ umˇ er˚ u 1

Na zaˇcátku se vybere k poˇcáteˇcn´ıch centroid˚ u (napˇr. prvn´ıch k objekt˚ u v souboru).

2

Pro kaˇzdý prvek souboru se spoˇcte jeho vzdálenost k jednotlivým centroid˚ um a prvek se pˇriˇrad´ı do shluku k centroidu, ke kterému má nejbl´ıˇz.

3

Po pˇriˇrazen´ı vˇsech prvk˚ u se spoˇcte nový centroid shluku (napˇr. bod v prostoru, jehoˇz souˇradnicemi jsou pr˚ umˇery hodnot jednotlivých promˇenných) a celá procedura se opakuje.

4

Konˇc´ı se ve chv´ıli, kdy uˇz se ˇzádný prvek bˇehem celé procedury nikam nepˇresune.


Metody rozkladu

48

Metoda k−medoid˚ u Jedná se o metodu podobnou metodˇe k−pr˚ umˇer˚ u s t´ım rozd´ılem, ˇze m´ısto centroidu, coˇz m˚ uˇze být libovolný bod v prostoru, se prvky pˇriˇrazuj´ı medoidu, coˇz je konkrétn´ı objekt ze shluku. Ten se urˇc´ı tak, aby souˇcet vzdálenost´ı od tohoto objektu byl minimáln´ı.


Hierarchické metody

49

Hierarchické metody lze stejnˇe jako nehierarchické metody dále dˇelit podle toho, zda shlukujeme podle jedné ˇci podle v´ıce promˇenných, na metody 1

2

monotetické - shluky se vytv´ aˇrej´ı postupnˇe podle jednotlivých promˇenných polytetické - v kaˇzdém kroku jsou uvaˇzov´ any vˇsechny promˇenné najednou

podle toho, zda shluky postupnˇe rozkládáme nebo sluˇcujeme, na metody 1

2

aglomerativn´ı - na poˇc´ atku je kaˇzdý objekt samostatným shlukem a postupnˇe doch´ az´ı ke spojov´ an´ı shluk˚ u divizivn´ı - na poˇc´ atku je celý soubor jedn´ım shlukem a postupnˇe doch´ az´ı k dˇelen´ı shluk˚ u



50

Monotetick´ e shlukov´ an´ı Výhodnˇejˇs´ı pro divizivn´ı pˇr´ıstup. Vˇsechny promˇenné mus´ı být binárn´ı. Postupnˇe dˇel´ıme shluky na dva podshluky podle hodnoty 0 nebo 1. Problém: nejednoznaˇcnost rozkladu (moˇznost´ı výbˇeru prvn´ı promˇenné m, druhé m − 1 atd.) ˇ sen´ı: kritérium výbˇeru promˇenných: Reˇ 1

2 3

Uvaˇzujme kontingenˇcn´ı tabulku k−té a l−té promˇenné k \l 0 1 0 akl bkl 1 ckl dkl Pro kaˇzdou dvojici se spoˇcte koeficient qkl = |akl dkl − bkl ckl |. Za promˇennou, podle které budeme shluky dˇelit, je promˇenn´ a s nejvyˇsˇs´ı hodnotou X ql = qkl , k = 1, 2, . . . , m. k6=l Matematika pro ekonomiku


51

Polytetick´ e shlukov´ an´ı Na poˇcátku kaˇzdý prvek samostatný shluk. V kaˇzdém kroku slouˇcen´ı dvou shluk˚ u, které jsou si nejpodobnˇejˇs´ı. Vzdálenost mezi g −tým shlukem a sjednocen´ım shluk˚ u h a h0 urˇcuje napˇr. metoda pr˚ umˇerné vazby: Dg =

nh0 nh Dgh + Dgh0 , nh + nh0 nh + nh0

kde nh a nh0 jsou poˇcty prvk˚ u ve shluc´ıch h, resp. h0 , medi´ anov´ a metoda: Dg =

1 1 1 Dgh + Dgh0 − Dhh0 , 2 2 4

metoda nejbliˇzˇs´ıho souseda: Dg =

1 (Dgh + Dgh0 − |Dgh − Dgh0 |), 2

atd. Matematika pro ekonomiku

Matematika pro ekonomiku

Recommend Documents