2008 MATEMATIKA PRO EKONOMY
Matematika pro ekonomy À³À
ěešení soustavy lineárních rovnic užitím matic – Gaussova eliminaþní metoda (GEM) MATICE
Hlavní diagonála
§ 2 1 0 3 6· ¨ ¸ ¨0 0 1 2 6¸ ¨ 3 5 4 7 2¸ © ¹
TROJÚHELNÍKOVÁ MATICE § 2 5 2 0 2· ¨ ¸ ¨ 0 3 5 1 4¸ ¨ 0 0 1 7 2¸ © ¹
§ 4 1 ¨ ¨0 S ¨0 0 ¨ ¨0 0 ©
PIVOT = první nenulový prvek v Ĝádku Pozn.: ai ... i-tý Ĝádek matice
2· ¸ 2¸ 1¸ ¸ 0 ¸¹
§ 6 2 2· ¨ ¸ 0 0 5 ¨ ¸ ¨0 0 3¸ © ¹
Soustava lineárních rovnic a matice x1 – 2x2 + 3x3 = 7 2x1 + x2 – x3 = 0 – 3x1 + 4x2 + x3 = –1
§ 1 2 3 7 · ¨ ¸ ¨ 2 1 1 0 ¸ ¨ 3 4 1 1¸ © ¹
Princip GEM: 1) pomocí urþitých povolených úprav vytvoĜíme z pĤvodní matice matici trojúhelníkovou 2) tuto opČt pĜevedeme do podoby soustavy rovnic 3) ze získaných rovnic odspodu vyjádĜíme pivotní neznámé
Povolené úpravy: 1) zámČna dvou ĜádkĤ 2) násobení Ĝádku þíslem 3) nahrazení Ĝádku jeho souþtem s násobkem jiného Ĝádku
§ 1 5 2 1 · § 1 5 2 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 4 2 6 8 ¸ : 2 | ¨ 2 1 3 4 ¸ | .... ¨ 7 5 3 2 ¸ ¨ 7 5 3 2 ¸ © ¹ © ¹ 1 5 2 1 § 1 5 2 1 · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 4 2 1 3 ¸ 4a1 | ¨ 4 4 1 2 4 5 1 4 2 3 4 1¸ | .... ¨ 7 5 3 2 ¸ ¨ ¸ 3 7 5 2 © ¹ © ¹ 1 5 2 1 §3 5 9 1 · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 2 7 1 3 ¸ 3 2a1 | ¨ 3 2 2 3 3 7 2 5 3 1 2 9 3 (3) 2 1¸ | .... ¨7 5 3 2 ¸ ¨ ¸ 3 7 5 2 © ¹ © ¹
Povolené úpravy: 1)
zámČna dvou ĜádkĤ
2)
násobení Ĝádku þíslem
3)
nahrazení Ĝádku jeho souþtem s násobkem jiného Ĝádku
Cíl úprav: pod hlavní diagonálou vytvoĜit nuly
I. vytváĜíme nuly v 1. sloupci pĜiþítáním vhodného násobku 1. Ĝádku
II. vytváĜíme nuly v 2.druhém sloupci pĜiþítáním vhodného násobku 2. Ĝádku
Schéma algoritmu: § a11 ¨ ¨ a21 ¨a ¨ 31 ¨ a41 ¨ : ©
a12 a22 a32 a42 :
a13 a23 a33 a43 :
a14 ... · ¸ a24 ... ¸ a34 ... ¸...... ¸ a44 ... ¸ : :::¸¹
§ a11 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ©
§ a11 ¨ ¨ 0 ...... ¨ 0 ¨ ¨ 0 ¨ 0 ©
a12
a13
a14
a22
a23 a33 a43
a24 a34 a44
:
:
§ a11 ¨ ¨ 0 ¨ 0 ¨ ¨ 0 ¨ 0 ©
0 0 0
... · ¸ ... ¸ ... ¸ ...... ¸ ... ¸ :::¸¹
a12
a13
a22 a23 a32 a33 a42 a43 :
:
a12 a22 0 0 0
a13 a23 a33 0 0
a14 ...· ¸ a24 ...¸ a34 ...¸ ...... ¸ a44 ...¸ : :::¸¹ a14 a24 a34 a44 :
... · ¸ ... ¸ ... ¸ ...... ¸ ... ¸ :::¸¹
PĜíklad: § 1 2 3 7 · ¸ ¨ 1 1 0 ¸ – 2a1 ¨ 2 ¨3 4 1 1¸¹ + 3a1 ©
3 §1 2 1 2 3 7 § · ¨ ¨ 7 | ¨0 5¸ | ¨ 0 5 7 14 ¸ ¨ ¨ 0 1 5© 0 10 0¸ 5 18 a2 © ¹
§1 ¨ | ¨0 ¨0 ©
2
3
5
7
2
10
7 · ¸ 14 ¸ 36 ¸¹
7 · ¸ 14 ¸ 20 ¸¹
| :2
| : 18 7 · §1 2 3 ¨ ¸ | ¨ 0 5 7 14 ¸ ¨0 0 1 2 ¸¹ ©
7 · x 2 y 3z §1 2 3 ¸ ¨ 5y 7z ¨ 0 5 7 14 ¸ ¸ ¨0 0 1 2 z ¹ ©
(3) z
7 14
(1) (2)
2
(3)
2
(2) 5 y 7 z 5y 72 y
14 14 0
(1) x 2 y 3 z x 20 32 x
7 7 1
K = ^>1; 0; 2@`
PĜíklad: x
y
2z
3
3x
y
z
6
x
3y
2z
3
Triky vhodné v urþitých situacích PĜíklad:
§ 2 3 3 1· ¨ ¸ ¨ 1 5 2 0¸ ¨ 4 2 1 3¸ © ¹
§ 1 5 2 0· ¨ ¸ | ¨ 2 3 3 1¸ ¨ 4 2 1 3¸ © ¹
9 9 3· : 3 § 2 3 3 1 · 5 § 6 § 2 3 3 1· 3 ¨ ¸ ¸ ¨ ¨ ¸ a | 6 10 4 0 ¸ 1 | ¨ 0 1 13 3 ¸ ¨ 3 5 2 0 ¸ (2) ¨ ¨ 5 ¸ ¨ 5 2 1 3 ¸ (2) ¨ 5 2 1 3¸ 2 1 3 © ¹ ¹ © © ¹ § 10 15 15 5 · : 5 § 2 3 3 1 · ¨ ¸ ¸ ¨ | | ¨ 0 1 13 3 ¸ | ¨ 0 1 13 3 ¸ ¨ 10 4 2 6¸ a ¨ 0 11 13 1¸ a © ¹ 1 © ¹ 2
§2 3 3 1 · ¨ ¸ | ¨ 0 1 13 3 ¸ ¨ 0 12 0 4 ¸ © ¹
x1 ... x3 x2
1 / 3
...
9 9 3· : 3 § 2 3 3 1 · 5 § 6 § 2 3 3 1· 3 ¨ ¸ ¸ ¨ ¨ ¸ ¨ 3 5 2 0 ¸ (2) | ¨ 6 10 4 0 ¸ a1 | ¨ 0 1 13 3 ¸ ¨ 5 ¸ ¨ 5 2 1 3 ¸ (2) ¨ 5 2 1 3¸ 2 1 3 © ¹ ¹ © © ¹
§2 § 10¨ 15 ¨| ¨ 0 | ¨ 0 ¨ 1 ¨ ©0
3 15
3
1 · ¸ :5 3 ¸ | ... 1 ¸¹
5· 13¸ 3¸ 13¸ 10 4 2 6¹ a1 ©
1 13 11
§ 2 3 3 1· ¨ ¸ 3 5 2 0 ¨ ¸ 2 3a1 | ¨ 5 2 1 3 ¸ 2 5a 1 © ¹
3 1· §2 3 ¨ ¸ 0 1 13 0 ¨ ¸ | ... ¨ 0 11 13 1 ¸ © ¹
Nestandardní situace v nČkterém Ĝádku vzniknou nuly pouze na levé stranČ soustava nemá Ĝešení PĜíklad: 2 1· § 1 2 1· § 1 2 1 · § 1 ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ ¸ ¨ 0 1a 1¸| ¨0 7 7¸ : 7 ¨ 2 3 5 ¸ 2a1 | ¨ | ¨ 2 ¸ ¨ 4 ¸ 0 1 1 ¸ : 7 0 7 7 1 3 4a1 ¨ 2a2 ¸ ¸ ¨ ¨ ¸ ¨0 2 1 ¸ ¨0 8 4 ¸ : 4 ¨ 3 2 1 ¸ 3a ¹ © ¹ © 1 © ¹
|
§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ©
2 1 0 0
1· ¸ 1¸ 0 ¸ ¸ 1 ¸¹
0 x2
1
K
^`
MATICE § 2 1 0 3 6· ¨ ¸ 0 0 1 2 6 ¨ ¸ ¨ 3 5 4 7 2¸ © ¹
A
§ a11 a12 ¨ ¨ a21 a22 ¨a © 31 a32
a13
a14
a23
a24
a33
a34
a15 · ¸ a25 ¸ a35 ¸¹
... matice
Amn ... matice o m Ĝádcích a n sloupcích
hlavní diagonála
§ 2 1 0 3 6· ¨ ¸ ¨ 0 0 1 2 6¸ ¨ 3 5 4 7 2¸ © ¹
§ 2 1 0 3 6· ¨ ¸ ¨ 0 0 1 2 6¸ ¨ 3 5 4 7 2¸ © ¹
vedlejší diagonála §2 ¨ ¨0 ¨0 ©
pivoty 1
0
1 0
1 3
3 6· ¸ 2 6¸ 7 2 ¸¹
trojúhelníková matice
þtvercová matice
§2 5 · ¨¨ ¸¸ © 1 3¹
§1 3 7· ¨ ¸ ¨ 0 2 2¸ ¨5 4 0¸ © ¹
§8 ¨ ¨1 ¨1 ¨ ¨3 ©
7 6 6· ¸ 2 3 2¸ 1 1 0¸ ¸ 1 4 5 ¸¹
§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ©
0 0 0· ¸ 1 0 0¸ 0 1 0¸ ¸ 0 0 1 ¸¹
jednotková matice (musí být þtvercová) znaþení: I, In §1 0· ¨¨ ¸¸ ©0 1¹
§1 0 0· ¨ ¸ ¨ 0 1 0¸ ¨0 0 1¸ © ¹
Operace s maticemi I. sþítání matic §1 3 7· § 2 1 4· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 2 2¸ ¨ 3 0 5¸ ¨ 5 4 0¸ ¨7 0 2¸ © ¹ © ¹
§ 1 2 3 1 7 4 · § 3 4 11· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 3 2 0 2 5¸ ¨ 3 2 7 ¸ ¨ 5 7 4 0 0 2 ¸ ¨12 4 2 ¸ © ¹ © ¹
Pozn.: Sþítat lze pouze matice stejného typu.
II. násobení matice þíslem §1 3 7· ¨ ¸ 3¨0 2 2¸ ¨5 4 0¸ © ¹
§ 3 1 3 3 3 7 · § 3 9 21· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 3 0 3 2 3 2¸ ¨ 0 6 6 ¸ ¨ 3 5 3 4 3 0 ¸ ¨15 12 0 ¸ © ¹ © ¹
III. násobení matice s maticí – násobíme Ĝádky první matice se sloupci druhé matice § 2 4 0 1· ¸ § 1 0 3· ¨ ¨¨ ¸¸ ¨ 5 1 1 0 ¸ © 2 1 1¹ ¨ 0 3 1 1 ¸ © ¹
§1 2 0 5 3 0 ¨¨ © 2 2 1 5 1 0
1 4 01 3 3 2 4 111 3
1 0 0131 2 0 1111
11 0 0 31· ¸¸ 211 0 11¹
§ 2 13 3 4· ¨¨ ¸¸ © 1 10 2 3¹
Pozn.: Násobit lze pouze matice urþitého typu podle pravidla:
Am,n Bn,p = Cm,p
§2 1· ¨ ¸ § 1 3· ¸¸ PĜ.: ¨ 3 5 ¸ ¨¨ ¨ 0 4¸ © 1 0¹ © ¹ Pozn.: 1) násobení matic obecnČ není komutativní, tj. neplatí AB = BA 2) pro jakoukoli matici A a jednotkovou matici I (patĜiþných rozmČrĤ!) platí: ......................................................... PĜ.:
§ 1 0 0· ¸ § 1 2 3· ¨ ¨¨ ¸¸ ¨ 0 1 0 ¸ © 4 5 6¹ ¨ 0 0 1¸ © ¹
IV. transponování matice (transpozice) = prohození ĜádkĤ za sloupce a naopak
T
§1 2 3 4· ¨ ¸ ¨5 6 7 8¸ ¨9 0 1 2¸ © ¹
§1 ¨ ¨2 ¨3 ¨ ¨4 ©
5 9· ¸ 6 0¸ 7 1¸ ¸ 8 2 ¸¹
HODNOST MATICE = poþet jejích lineárnČ nezávislých ĜádkĤ* – znaþení: h(A) – má-li A rozmČry m u n, platí:
h(A) d ...........................
PĜ.:
A
§1 ¨ ¨2 ¨3 ¨ ¨4 ¨5 ©
6 7 8 9 8
7· ¸ 6¸ 5¸ ¸ 4¸ 3 ¸¹
h( A) d 3
* tj. poþet ĜádkĤ, které zbudou, vynecháme-li ty, které jsou lineární kombinací ostatních
Výpoþet hodnosti matice dvČ užiteþná tvrzení: 1) úpravami GEM ani transponováním se hodnost matice nezmČní 2) hodnost trojúhelníkové matice je rovna poþtu jejích nenulových ĜádkĤ
pomocí GEM upravíme matici na trojúhelníkový tvar a spoþítáme, kolik je nenulových ĜádkĤ
PĜ.: Urþete hodnost matice A:
a)
§ 1 3 5· ¸ ¨ ¨ 0 1 2 ¸ A ¨2 1 0 ¸ ¸ ¨ ¨ 1 2 5¸ ¸ ¨3 1 1 ¹ ©
0 2 1 3· § 1 ¨ ¸ ¨ 3 1 1 2 1 ¸ 3a1 | ¨ 5 2 0 5 1 ¸ 5a 1 © ¹
§ 1 0 2 1 3 · ¨ ¸ | | ¨ 0 1 5 5 8 ¸ ¨0 1 5 5 8 ¸ a 2 © ¹
1 3 · §1 0 2 ¨ ¸ ¨ 0 1 5 5 8¸ | ¨ 0 2 10 10 16 ¸ : 2 © ¹
§1 ¨ ¨0 ¨0 ©
0
2
1 5 0 0
1 5 0
3 · ¸ 8¸ 0 ¸¹
................
b)
§ 3 1 1 1· ¨ ¸ ¨ 2 1 3 2 ¸ A ¨ 1 2 2 1¸ ¨ ¸ ¨ 4 3 1 0 ¸ © ¹
h(A) = ?
Determinant = þíslo, které lze vypoþítat z každé þtvercové matice – znaþení: «A «, det A – zpĤsob výpoþtu závisí na rozmČrech matice
1u1 A = (–2)
«A «= ......
2u2 A
B
§3 ¨¨ ©5
2· ¸¸ 4¹
§ 2 1· ¸¸ ¨¨ 0¹ © 3
– „kĜížové pravidlo“
«A «= 34 – 52 = 2
«B «= –20 – 3(–1) = 3
3u3 A
§5 ¨ ¨3 ¨2 ©
2 0 1
– Sarrusovo pravidlo
1· ¸ 5¸ 4 ¸¹
5 2 1 5 2 1 3 0 5 3 0 5 2 1 4 2 1 4
«A «= 504 + 252 + 131 – – 201 – 15 5 – 432 = –26
§ 2 1 1· ¨ ¸ B ¨ 1 1 2¸ ¨1 3 1 ¸ © ¹
4u4 §1 ¨ ¨0 A ¨ 2 ¨ ¨1 ©
1 2 3 0
«A «=
– 0 «A2,1 « + 2 «A2,2 « – 1 «A2,3 « + 0 «A2,4 «=
(A
2 1 1 1
– rozvojem podle zvoleného Ĝádku nebo sloupce (volíme ten, kde je nejvíc nul)
1· ¸ 0¸ 2¸ ¸ 1 ¸¹
1
1
2
1
2 2
1
1
1
2 1 2 1 1
2,1...
1
1
3 2 0 1
= ... = 0 – 0 = 0 )
matice vzniklá z A vynecháním 2. Ĝádku a 1. sloupce; A2,2, A2,3, A2,4... podobnČ
PĜ.:
§2 ¨ ¨1 A ¨ 0 ¨ ¨ 1 ©
1 1 0· ¸ 2 3 0¸ , ¸ 1 1 2 ¸ 0 2 3 ¸¹
A
?
Cramerovo pravidlo – k vyĜešení soustavy n rovnic o n neznámých
x1 2x1
2x2 3x3 x2 x3
3x1 4x2
x3
7 § 1 2 3 · § x1 · ¨ ¸ ¨ ¸ 0 ¨ 2 1 1¸ ¨ x2 ¸ ¨3 4 1 ¸ ¨ x ¸ 1 © ¹ © 3¹
A (matice levé strany)
x1
A1 A
, x2
A2 A
§7· ¨ ¸ ¨ 0¸ ¨1¸ © ¹
b (sloupec pravé strany)
, x3
A3 A
,
kde A1 = matice vzniklá z A zámČnou prvního sloupce (odpovídajícího neznámé x1) sloupcem b atd.
PĜ.: § 1
¨ ¨2 ¨3 ©
x1
A1 A
7 0 1 1 2 3
2 1 4 2 1 4 2 1 4
x3
3 · § x1 · ¸ ¨ ¸ 1¸ ¨ x2 ¸ 1 ¸¹ ¨© x3 ¸¹ 3 1 1 3 1 1
...
A3 A
§7· ¨ ¸ ¨ 0¸ ¨1¸ © ¹
34 36
17 18
1 2 7 2 1 0 3 4 1 1 2 3 2 1 1 1 3 4
x2
...
A2 A
82 36
1 2 3 1 2 3
41 18
7 3 0 1 1 1 2 3 1 1 4 1
...
14 36
7 18
PĜ.:
5x1 3x2 9 2 x1 7 x2 20
INVERZNÍ MATICE Definice: NechĢ A je þtvercová matice. V nČkterých pĜípadech existuje matice A–1, pro kterou platí: AA–1 = A–1A = I, Tato matice se nazývá maticí inverzní k A.
§1 0 0· ¸ ¨ I ... jednotková matice, napĜ. I 3u3 ... ¨ 0 1 0 ¸ ¨0 0 1¸ ¹ ©
Výpoþet inverzní matice I. pomocí GEM II. pomocí adjungované matice
I. Výpoþet A–1 pomocí GEM
A I |
GEM
...
| IA
1
PĜ.:
§3 2· ¸¸, A ¨¨ ©5 4¹
A1
?
§3 2 1 0· ¨¨ ¸¸ | © 5 4 0 1 ¹ 3 5a1
§ 3 2 1 0 · a2 | ¨¨ ¸¸ © 0 2 5 3¹
§ 3 0 6 3· : 3 ¸¸ | | ¨¨ ©0 2 5 3 ¹ : 2
2 1· §1 0 ¨¨ ¸¸ © 0 1 2,5 1,5 ¹
Zk.: § 3 ¨¨ ©5
§23· §2 2 2 (1·2 , 5 ) ¨¨ ¸ ¨ ¸¸ ¸ ¨ 5 2 4 ( ©4 ¹ © 2,5 1,5 ¹2 , 5 )
A
1
3 ( 1 ) 2 1, 5 · ¸¸ 5 ( 1 ) 4 1, 5 ¹
1· § 2 ¨¨ ¸¸ © 2,5 1,5 ¹
§1 0· ¨¨ ¸¸ ©0 1¹
§ 3 2· PĜ.: A ¨¨ ¸¸, ©8 5 ¹
A1
?
II. Výpoþet A–1 pomocí adjungované matice
A1
§ ¨ 1 ¨ A ¨ ¨ ¨ ©
A11 A21
A12 A22
A13 A23
A31 :
A32 :
A33 :
... · ¸ ... ¸ ... ¸ ¸ :::¸¹
T
matice, která vznikla z A vynecháním 3. Ĝádku a 2. sloupce
§1 6· ¸¸, A ¨¨ ©3 2 ¹
PĜ.: A
1 2 3 (6) A11 A12 A21 A22
A
1
1 A
2 3 6 1
A1
20
A11
2
A12
3
A21
6
A22
1
§ A11 ¨¨ © A21
?
A12 · ¸ A22 ¸¹
1 § 2 6· ¸¸ ¨¨ 20 © 3 1 ¹
T
3· 1 § 2 ¸¸ ¨¨ 20 © (6) 1 ¹
§ 1 / 10 3 / 10 · ¨¨ ¸¸ © 3 / 20 1 / 20 ¹
T
1 § 2 3· ¸¸ ¨¨ 20 © 6 1 ¹
0,3 · § 0,1 ¨¨ ¸¸ © 0,15 0,05 ¹
T
PĜ.:
§11 3 · ¸¸, A ¨¨ © 8 2¹
A1
?
Typy þtvercových matic (n u n) REGULÁRNÍ i °A° z 0 i inverzní matice existuje i h(A) = n
SINGULÁRNÍ i °A° = 0 i inverzní matice neexistuje i h(A) n
Užití inverzní matice k Ĝešení soustavy rovnic x1 2x2 3x3 2x1 x2 x3 3x1 4x2 x3
7 0 1
§ 1 2 3 · § x1 · ¸ ¨ ¸ ¨ 2 1 1 ¸ ¨ x2 ¸ ¨ ¨3 4 1 ¸ ¨ x ¸ ¹ © 3¹ ©
& A x – známe-li náhodou
A–1,
lze uvažovat:
& & A x b
& & A x b & & 1 1 A A x A b & & 1 I x A b
& x
& A b 1
§7· ¨ ¸ ¨ 0¸ ¨1¸ © ¹
& b
/ A
–1
zleva
PĜ.: Užitím matice inverzní k matici levé strany vyĜešte soustavu:
& A x
& b
& x
& A1 b
1) 3x1 2 x2 2 5 x1 3x2 5 §3 ¨¨ ©5 §3 | ¨¨ ©0
§ x1 · ¨¨ ¸¸ © x2 ¹
2 1 0· § 3 2 1 0 · 2a2 ¸¸ ¸¸ | | ¨¨ 3 0 1 ¹ 3 5a1 © 0 1 5 3 ¹ 0 9 6 ·: 3 § 1 0 3 2 · ¸¸ ¸¸ | ¨¨ 1 5 3¹ © 0 1 5 3¹
§ 2· A ¨¨ ¸¸ ©5¹ 1
§ 3 2· § 2· ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ © 5 3¹ © 5¹
§ 6 10 · ¨¨ ¸¸ © 1015¹
§ 4· ¨¨ ¸¸ © 5¹
KK
^^>>44;; 55@`@`
2) 7 x1 2 x2 20 3x1 2 x2
3) 3x1 2 x2
6 x1 5 x2
40
9 6
PĜ.: ZjistČte, zda matice B je inverzní k A. Pokud & & ano, vypoþtČte pomocí B vektor Ĝešení soustavy rovnic A x b . Pokud B není inverzní k A, urþete Gaussovou eliminaþní metodou hodnost A.
FUNKCE f
x
y g: y = x2
f: y = x + 1 0
f
....
0
g
....
3
f
....
3
g
....
-7
f
....
-3
g
....
Znaþení a formulace
3
f
4
„Hodnota funkce f v bodČ 3 je 4“ „Funkþní hodnota f v bodČ 3 je 4“ „Funkce f pĜiĜazuje hodnotČ 3 hodnotu 4“
f: 3 o 4
f (3) = 4 f(x) = y
y (3) = 4
Graf funkce f: y = x + 1
f: 3 1 –2 4
o o o o
4 2 –1 5
PrĤbČh funkce
na intervalech ¢-2; 2² a ¢4; 6) je f ............................ na intervalech ¢-4; -2² a ¢3; 4² je f .............................
v bodČ 3 má funkce stacionární bod (není ani rostoucí, ani klesající) – teþna je vodorovná
i na intervalu (-f; 2² je funkce .......................... – teþna se nachází nad grafem i na intervalu ¢2; f) je funkce .............................. – teþna se nachází pod grafem i v bodČ 2 je inflexní bod (funkce pĜechází z konvexní na konkávní) – teþna pĜechází z jedné strany grafu na druhou
Extrémy
v bodČ –2 má f ostré lokální minimum, jeho hodnota je –1 v bodČ 4 má f ostré globální minimum o hodnotČ -2 ve všech bodech intervalu ¢2; 3² má f neostré lokální maximum o hodnotČ 1
Složená funkce f(g(x)) ... funkce složená z funkcí f, g f ... vnČjší funkce g ... vnitĜní funkce f(g(x)) získáme tak, že do f místo x dosazujeme g(x) PĜ.: f : y sin x g:y
x4 2x 3
f g (x) g f (x) f f (x) g g (x)
PĜ.:
f :y
x 1 , g:y x 1
x2
Limita lim f ( x) = „limita f(x) pro x blížící se k x0“
xo x0
= hodnota, ke které se f(x) blíží, blíží-li se x k x0
PĜíklady:
1) lim( x 3) xo2
1 3) lim x of x
1 5) lim x o0 x (jednostranná) limita pro x blížící se k nule zprava
2) lim sin x x of
1 4) lim 2 x o0 x 1 6) lim x o0 x (jednostranná) limita pro x blížící se k nule zleva
1 7 ) lim neexistuje, protože limity zprava a zleva se liší xo 0 x
Ilustrace lim f ( x )
xo2
lim f ( x)
xo2
lim f ( x) xo2
lim f ( x)
x o1
lim f ( x)
x o1
lim f ( x) x o1
lim f ( x)
x o1
lim f ( x)
x o1
lim f ( x) xo1
lim f ( x) x of
lim f ( x)
x o f
Konkrétní výpoþet limit I. dosazením
lim 2 x 3 2 5 3 7 x o5
II. úvahou podpoĜenou znalostí funkce
III. rĤzné triky – rozsáhlá problematika
IV. L´Hospitalovo pravidlo (viz derivace)
SPOJITOST FUNKCE f se nazývá spojitá v bodČ x0, jestliže
lim f (x) lim f (x) f (x0)
xo x0
xo x0
lim f ( x)
x o1
lim f ( x)
x o1
f (1) f ....... spojitá v bodČ 1
lim f ( x)
xo2
lim f ( x)
xo2
f ( 2) f ....... spojitá v bodČ 2
lim f ( x)
x o1
lim f ( x)
x o1
f (1) f ....... spojitá v bodČ 1
lim f ( x)
x o1
lim f ( x)
x o1
f (1) f ....... spojitá v bodČ 1
Lineární funkce = funkce daná pĜedpisem f: y = kx + c, kde k, c R k ....... smČrnice c ....... absolutní koeficient
Grafem lineární funkce je pĜímka.
Význam absolutního koeficientu f: y = kx + c f(0) = c graf prochází bodem >0; c]
c je hodnota, ve které graf protíná osu y y = 0,5x + 3 y = 0,5x + 1 y = 0,5x y = 0,5x – 2
Význam smČrnice f1: y = 3x – 1 f2: y = 1x – 1 f3: y = 0,5x – 1 f4: y = 0x – 1 f5: y = –1x – 1 f6: y = –2x – 1
HRUBÁ INTERPRETACE: SmČrnice urþuje sklon (smČr) pĜímky. 3x – 1 x–1 0,5x – 1
k > 0 pĜímka je ..................... k = 0 pĜímka je ..................... k 0 pĜímka je .....................
–1 –x – 1 –2x – 1
PěESNÁ INTERPRETACE: f: y = kx + c y1
'y y0
'x x0
x1
SmČrnice udává, kolikrát je pĜírĤstek funkþní hodnoty ('y) vČtší než pĜírĤstek promČnné ('x).
y = 3x – 1 1
y = 1x – 1 -2
3
1
y = 0,5x – 1
1 1
1 2
y = 0x – 1 1 -1
y = –1x – 1 y = –2x – 1
PĜ.: Podle grafu urþete pĜedpis lineárních funkcí:
Alternativní formulace I.: 'y
D
D 'x
k
'y 'x
.......... ........
SmČrnice lineární funkce pĜedstavuje tangens úhlu, který graf této funkce svírá s kladným smČrem osy x.
Alternativní formulace II.: 'y = k 'x = 1
k
'y 'y 'y 'x 1
SmČrnice lineární funkce pĜedstavuje hodnotu, o kterou se zvýší y, pokud se x zvýší o 1.
PĜ.: Urþete hodnotu lineární funkce v bodČ 8, víte-li, že její smČrnice je rovna 2 a její graf prochází bodem A = >3; 7@.
'x = ....... 'y = k 'x = ............................. y1 = .......
PĜ.: Urþete hodnotu lineární funkce v bodČ 5, víte-li, že její smČrnice je rovna 1,5 a její graf prochází bodem A = >1; 2@.
y1
PĜ.: Urþete rovnici pĜímky, jejíž smČrnice je 3 a která prochází bodem >4; 5@.
'y = k 'x
.................................................
.................................................
PĜ.: Urþete rovnici pĜímky, jejíž smČrnice je 2 a která prochází bodem >5; 1@.
DERIVACE derivace funkce f = funkce f ´, která každému x D(f) pĜiĜazuje hodnotu smČrnice teþny, vedené ke grafu f v bodČ [x; f(x)@ PĜ.: MČjme funkci f : y x2 4x, derivace této funkce je f c : y 2x 4. f(0) = 0
f ´(0) = –4
f(1) = –3
f ´(1) = –2
f(2) = –4
f ´(2) = 0
f(4) = 0
f ´(4) = 4
graf f prochází body [0; 0@, [1; –3@, [2; –4@, [4; 0@
smČrnice teþen v tČchto bodech jsou –4, –2, 0 a 4
graf f prochází body [0; 0@, [1; –3@, [2; –4@, [4; 0@
-
smČrnice teþen v tČchto bodech jsou –4, –2, 0 a 4
Výpoþet derivací I. Derivace konstanty
c
c PĜ.: (3)´ = 0
.........
Každá teþna je vodorovná smČrnice je vždy rovna 0
II. Derivace mocninné funkce (f: y = xn)
c
x n
.......... ....
PĜ. 1) (x4)´ = ....... 2) (x)´ = (x1)´ = 1x0 = ....... 3) (1)´ = (x0)´ = 0x-1 = ........ (viz derivace konstanty!)
c § 1· 4) ¨ 5 ¸ ©x ¹ c 3 5 5) x
=
=
Pozn.: Úpravy mocnin xa b x 3 x 7
x a xb xa xb
x
x
a b
1 q
x x
x
p q
5 3
a b
x q
q
x
ab
x
x7 x3
x
x
1 xn
n
......
x 3
......
7
1 7
x
......
......
1
§x· ¨¨ ¸¸ © y¹
3
1 5 3
x
......
x3 x7
1 x1
x 3 7
......
...... 1
§x· ¨¨ ¸¸ © y¹
xp 1 5 3
x 3
3
x 4
......
......
PĜ.:
c c c § 3 · 3 § x 2 4 x 3 · ¨ x 2 x 4 ¸ §¨ x 2 4 ·¸ §¨ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ ¸ 5 5 ¨ x 6 x5 ¸ ¨ 1 1 ¨ ¨ 6 ¸ 6 ¸ © ¹ © x x ¹ © x ¹ © c § 11 12 · ¨§ 4 · ¸ c c 11 11 1 ¨ ¸ ¨ ¨ x ¸ ¸ § 4 2 · § 8 · 11 11 c ¨ © ¹ ¸ ¨ x ¸ ¨ x ¸ §¨ x 8 6 ·¸ ¸ ¨ 11 ¸ ¨¨ 11 ¸¸ ¨¨ 11 ¸¸ ¨© ¹ ¨ x6 ¸ © x6 ¹ ©x6 ¹ ¸ ¨ 35 11 ¹ © 1 11 11 24 x x 24 24 24
c · x ¸ ¸ 11 6 ¸ x ¹ 11 4
§ ¨x ¨ ©
11 24
c · ¸ ¸ ¹
11 24 24 x 35
PĜ.:
§ ¨ ¨ ©
c 3 3 2 · x x ¸ ¸ x ¹
III. Derivace nČkterých dalších elementárních funkcí c
sinx
c
.................. c
tan x
.................. c
.......... ..
c
e x
cosx
cot x
.......... .. c
......
ln x
......
IV. Derivace souþtu, rozdílu a reálného násobku funkcí: c c
f
r g
.......... .
k f
.......... ...
(f, g ... funkce, k R) c 5 § 5 · 3 sin x 7e x 8 ¸ PĜ.: 1) ¨ 3x 6 x x © ¹ c c c c c c 3 x 5 6 x 5 x 0,5 3 sin x 7 e x 8
3 5x4 6 1 5 (0,5x1,5 ) 3 cos x 7 ex 0 15x 4 6
c
2) 7 x 2 x 5 x 3x 2 4
3
2
c
3) 12 x 3 7 x 2 4 x 2000 c § 5 7 · ¨ 4) ¨ 3 4 5 ¸¸ x ¹ ©x
5 2 x3
3 cos x 7e x
V. Derivace souþinu funkcí: c
f g
f c g f gc
3x
PĜ. 1) > x 3 5 x 2 1 cos x @ c
3x ª§ 3 º 3· 2) «¨ 7 x 5 x ¸ 2 ln x » x¹ ¬© ¼
c
2
2
10 x cos x x 3 5 x 2 1 sin x
10 x cos x x 3 5 x 2 1 sin x
VI. Derivace podílu funkcí: c §f · ¨¨ ¸¸ ©g¹
f c g f gc g2
PĜ. 1) c sin x · cos x cos x sin x sin x c § ¸ tan x ¨ cos 2 x © cos x ¹
c § x 4x 3 · ¨¨ ¸¸ © 3x 1 ¹ 2
PĜ. 2)
cos 2 x sin 2 x cos 2 x
1 cos 2 x
VII. Derivace složené funkce c
> f g ( x) @
PĜ. 1) sin x 5
5
2) sin x
c
c
cos x 5 5 x 4
f c g ( x) g c( x) 5 x 4 cos x 5
sin x 5
sin x 5
sin 5 x
sin x 5
5 sin 4 x cos x
> 3
2
3) ln x 5 x
c 3 ln 2 x 2 5 x
@
1 2 x 5 2 x 5x 3 2 x 5 ln 2 x 2 5 x x 2 5x
>
5
2
4) x 3 x 4
@ 7
c
5
2
6
7 x 3x 4 5 x 4 6 x
c 5) ln(3 x 1) c § 1 · ¸ 6) ¨ 3 © x 4x ¹
7) e
x 2 3 x 1
c
7
8) ln x
c
Teþna grafu funkce f y
'y
y0
'x x0
x
derivace = smČrnice teþny ROVNICE TEýNY:
'y
=
'y
= f ´(x0)* 'x
k
'x
y – y0 = f ´(x0) (x – x0)
*smČrnice teþny v bodČ [x0; y0@ = derivace f v bodČ x0 = f ´(x0)
PĜ.: Urþete rovnici teþny funkce f: y = x2 – 3x – 4 v bodČ [5; ?@. f
f(x) = x2 – 3x – 4 f´(x) = 2x – 3 derivace = smČrnice teþny
y0 = .....
f ´(5) = ..... 'y = 7 'x y – 6 = 7(x – 5)
t: y = 7x – 29
PĜ.: Urþete rovnici teþny funkce f ( x )
f
3x 1 v bodČ [3; ?@. 2x 4
Diferenciál f 'f(x) 'y
y0 'x
'y
f c( x0 ) 'x
'f ( x )
f c( x0 ) 'x
df ( x )
f c( x0 ) dx
x0
DIFERENCIÁL:
(vlastnČ aproximace f teþnou) Pozn.: ýasté znaþení derivace:
f c( x )
df dx
PĜ.: Urþete diferenciál funkce f: y = x3 – 5x v bodČ 1: f ´(x) = 3x2 – 5 f ´(1) = 312 – 5 = –2
df(x) = –2dx
PĜ.: OdhadnČte pomocí diferenciálu, o kolik se pĜibližnČ zmČní hodnota funkce f: y = x3 – 40x, jestliže hodnota x se zmČní z 20 na 22. Jaká pak tato hodnota pĜibližnČ bude? f ´(x) = 3x2 – 40 f ´(20) = 1160
'f(x) = f ´(20)'x = 11602 = 2320 f(20) = 203 – 4020 = 7200 f(22) = 7200 + 2320 = 9520
f(22) 'f(x) f(20)
'x = 2 20
22
Hodnota f se zmČní pĜibližnČ o 2320, bude se tedy rovnat 9520. PĜ.: Nabídková funkce jisté komodity má tvar Q(p) = p3 – 40p, kde Q je množství v kg a p je cena za 1 kg v Kþ. Nyní je cena 20 Kþ/kg. OdhadnČte pomocí diferenciálu, o kolik se pĜibližnČ zmČní nabídka, pokud cena komodity vzroste na 22 Kþ/kg. Jaká pak bude pĜibližnČ tato nabídka?
PĜ.: Nabídková funkce jisté komodity má tvar Q( p ) 20 4 3 x 2 , kde Q je množství v kg a p je cena za 1 kg v Kþ. Nyní je cena 6 Kþ/kg. OdhadnČte pomocí diferenciálu, o kolik se pĜibližnČ zmČní nabídka, pokud cena komodity vzroste na 6,2 Kþ/kg. Jaká pak bude pĜibližnČ tato nabídka? 5
PrĤbČh funkce I.: hledání extrémĤ k =3 k=1 k = 0,5
k=0
VÝZNAM SMċRNICE: k > 0 pĜímka je rostoucí k = 0 pĜímka je vodorovná k 0 pĜímka je klesající
k = –1 k = –2
DERIVACE = SMċRNICE TEýNY
f´(x) > 0 f je .................................... f´(x) = 0 f má v x ............................ f´(x) 0 f je ....................................
PĜ.: Urþete, kde funkce f: y = x4 + 4x3 nabývá lokálních extrémĤ. f ´(x) = (x4 + 4x3)´ = 4x3 + 12x2
4x3 + 12x2 = 0 x1 = 0
x2 = –3 –3 x
(– f; –3)
/ :4
x3 + 3x2 = 0 x2 (x + 3) = 0 0
–3
(–3; 0)
0
(0; f)
f ´(x) f(x) Funkce f je na intervalu (-f; -3) klesající, v bodČ -3 nabývá svého minima o hodnotČ –27, na intervalu (-3; 0) je rostoucí, v bodČ 0 je stacionární bod a na intervalu (0; f) je opČt rostoucí.
PĜ.: Urþete, kde funkce f: y = 9x2 – 2x3 – 10 nabývá lokálních extrémĤ.
x f ´(x) f(x)
PrĤbČh funkce II.: konkávnost a konvexita f ´(x) = 0 f ´(x) 0 f ´(x) > 0 f ´(x) > 0
f ´(x) 0
f ´(x) = 0 KONKÁVNÍ f ´ (x) je klesající
........................
KONVEXNÍ f ´ (x) je rostoucí
.........................
PĜ.: Urþete, kde je funkce f: y = x3 + 2x2 – 4x + 1 konvexní, kde konkávní a kde má inflexní body. f ´(x) = (x3 + 6x2 – 4x + 1)´= 3x2 + 12x – 4 f ´´(x) = (f´(x))´ = (3x2 + 12x – 4)´ = 6x + 12 x
(–f; –2)
–2
6x + 12 = 0 x = –2
(–2; f)
f ´´(x) f(x)
Funkce f je na intervalu (–f; –2) konkávní, v bodČ –2 má inflexní bod a na intervalu (–2; f) je konvexní.
PĜ.: Urþete, kde je funkce f: y = 3x5 – 25x4 + 40x konvexní, kde konkávní a kde má inflexní body.
x f ´´(x) f(x)
L´Hospitalovo pravidlo
f 0 - pro výpoþet limit typu , 0 f (tzv „neurþité výrazy“) , f 0 lim f ( x ) lim g ( x ) f f ( x) f c( x ) xoa xoa lim lim nebo xoa g ( x) x o a g c( x ) lim f ( x ) lim g ( x ) 0
xoa
xoa
2x 4 c
2x 4 PĜ.: 1) lim 2 xo2 x 5 x 6
lim
x 3 3x 2 1 PĜ.: 2) lim x of ex
3x 2 6 x lim x of ex
x o2
x
2
5x 6
c
2 2 lim 2 xo2 2 x 5 1 6x 6 lim x of ex
6 lim x x of e
0
PĜ.: 3)
lim x 3 ln x x o0
§ · ¨ ln x ¸ ¸ lim¨ x o0 ¨ 1 ¸ ¨ 3 ¸ © x ¹
§ · ¨ x3 ¸ ¸ lim¨ x o0 ¨ 1 ¸ ¨ ¸ © ln x ¹
§ 1 · § 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ lim¨ x 4 ¸ lim¨ x ¸ x o0 ¨ 3 x ¸ x o0 ¨ 3 ¸ ¨ ¸ ¨ 4 ¸ © ¹ © x ¹
§ ln x c · ¸ lim¨ x o0 ¨ 3 c ¸ ¹ © x
§ 1 x4 · ¸¸ lim¨¨ x o0 x 3 © ¹
§ x3 · lim¨¨ ¸¸ x o0 © 3¹
0
PĜ. 4) 7x 3 lim 2 x of 3 x 5 x 2
PĜ. 5) § cos x 1 · lim¨ ¸ 2 x o0 © x ¹
PĜ. 6) 1 · § x lim ¨¨ x e ¸¸ x o0 ¹ ©
Funkce dvou promČnných (x, y)
f
f(x, y) = z
PĜ.: f(x, y) = x2 – y3 f(0, 0) = 02 – 03 = .... f(1, 0) = 12 – 03 = .... f(2, 1) = 22 – 13 = .... f(1, 2) = 12 – 23 = .... grafem je plocha nad rovinou xy v 3D prostoru
Parciální derivace – derivujeme jen podle jedné promČnné, s druhou zacházíme jako s konstantou – znaþení:
wf , f xc wx
....... derivace f podle x (funkce)
w2 f , f xc,cx 2 wx
....... druhá derivace f podle x
w2 f , f xc,cy wxwy
....... smíšená druhá parciální derivace
wf (3;1), f xc(3;1) ....... hodnota derivace f podle x v bodČ (3; 1) wx (þíslo)
PĜ.: f (x, y) x2 y xy xy3 f xc f xc,cx
f xc,cy
f yc
2 yx y y 3
2y
2x 1 3y
f xc(1;3)
2
3
2 3 1 3 3
24
x 2 x 3 xy 2
f yc,cx
2x 1 3y
f yc,cy
6 xy
f xc,xc (1;3)
2
23 6
PĜ.: f ( x, y) 5x 2 y 3 3 sin x 4 y
Diferenciál, teþná rovina funkce 1 promČnné:
'y
f c( x0 )
'x
funkce 2 promČnných:
'z
f xc( x0 ; y0 ) 'x f yc ( x0 ; y0 ) 'y
diferenciál:
df > x 0 ; y 0 @
f xc ( x 0 ; y 0 ) dx f yc ( x 0 ; y 0 ) dy
teþná rovina:
z z0
f xc ( x 0 ; y 0 ) ( x x 0 ) f yc ( x 0 ; y 0 ) ( y y 0 )
PĜ.: VypoþtČte diferenciál funkce f(x, y) = x e3y – 9 v bodČ [2; 3]. f´x = e3y – 9 f´x (2; 3) = e33 – 9 = 1 f´y = x e3y – 9 3 = 3x e3y – 9
f´y (2; 3) = 32 e33 – 9 = 6
df[2; 3] = 1dx + 6dy
PĜ.: VypoþtČte diferenciál funkce f(x, y) = x2y – y3 v bodČ [-3; 2].
PĜ.: Urþete pomocí diferenciálu, o kolik se zmČní hodnota funkce f(x; y) = x2y3, jestliže se hodnoty vstupních promČnných zmČní z [1; 2@ na [0,9; 2,05@.
f xc
2 xy 3 ,
f xc(1;2)
2 1 2 3
f yc 16 ,
3x 2 y 2
f yc (1;2)
'z 16 'x 12 'y
'x
'z 16 ( 0,1) 12 0,05
1
3 12 2 2 0,1, 'y
12 0,05
Hodnota funkce se sníží pĜibližnČ o 1. Pozn.: f(1; 2) = 8, f(0,9; 2,05) = 6,98
'z = -1,02
PĜ.: Urþete pomocí diferenciálu, o kolik se zmČní hodnota funkce f(x; y) = 5xy – x3 + y2, jestliže se hodnoty vstupních promČnných zmČní z [0; 3@ na [0,2; 2,9@.
PĜ.: Urþete rovnici teþné roviny funkce f(x; y) = 3xy2 – x4 v bodČ [1; 2@.
f xc
3 y 2 4 x3 ,
f xc(1;2) 'z
3 2 2 4 13
f yc 8,
8 'x 12 'y
6 xy
f yc (1;2) f (1;2)
6 1 2 12 3 1 2 2 14
z0 z 11 8 ( x 1) 12 ( y 2)
8 x 12 y z 21 0
11
11
PĜ.: Urþete rovnici teþné roviny funkce f(x; y) = 2xy + y2 v bodČ [2; –1@.
Hledání lokálních extrémĤ 1) najdeme body >x0; y0@, v nichž platí
f xc x0 ; y0 0,
f yc x0 ; y0 0
2) v tČchto bodech je extrém, pokud je splnČna podmínka:
D2 x0 ; y0
f xxcc ( x 0 ; y 0 ) f yxcc ( x 0 ; y 0 )
3) nalezený extrém je: MINIMUM, pokud
f xycc ( x 0 ; y 0 ) !0 f yycc ( x 0 ; y 0 )
D1 x0 ; y0
MAXIMUM, pokud D1 x0 ; y0
f xxcc x0 ; y0 ! 0
0
PĜ.: NaleznČte lokální extrémy funkce f(x; y) = x4 + 2y2 – 2xy. 1)
f xc
4 x 3 2 y,
4 x3 2 y 0 4 y 2x 0
x
4 (2 y )3 2 y
0
32 y 3 2 y
0
16 y 3 y
0
2
y (16 y 1)
f yc
0
4 y 2x
2y
y ( 4 y 1) ( 4 y 1)
y1
0
y2
0,25
x1
.....
x2
.....
0
y3 x3
body „podezĜelé“ z extrému
0,25 ......
[0; 0@, [0,5; 0,25@, [–0,5; –0,25@... body „podezĜelé“ z extrému
D2
f xxcc f yxcc
D 2 0;0
f xycc f yycc
12 x 2 2
48 0 2 4
2 4
4
D2 0,5;0,25 48 0,52 4 8 D2 0,5;0,25 48 0,5 4 8 2
D1
f xxcc
.......... ..... v bodČ [0; 0@ není extrém v bodech [0,5; 0,25@, [–0,5; –0,25@ je extrém
12 x 2
D1 0 ,5;0 , 25 12 0 ,5 2 D1 0,5;0,25 12 (0,5)
3 2
3
v bodech [0,5; 0,25@, [–0,5; –0,25@ je minimum
PĜ.: NaleznČte lokální extrémy funkce f(x; y) = 4xy + 2x2 + y4.
Integrály (primitivní funkce)
³ f ( x) dx
F ( x) C
= (neurþitý) integrál funkce f = primitivní funkce k funkci f
F c( x)
f ( x)
C ... konstanta libovolné hodnoty
Pozn.: Proþ je tam konstanta:
c
F ( x ) C
2
PĜ.: x 5x C
c
2x 5
F c( x )
2 ( 2 x 5 ) dx x 5x C ³
Metody integrování I. - základní pravidla
³ x dx
3 x ³ dx
PĜ.:
n
............
³ 1 dx
³ ( f r g) ³ f r ³ g PĜ. 1:
³ 8 x
3
³k f
x4 C 4 0 x ³ dx
³ x dx x1 c 1
x2 C 2 xC
k³ f
15 x 2 8 x 2 dx
8³ x 3 dx 15³ x 2 dx 8³ x dx 2 ³ 1 dx
x4 x3 x2 8 15 8 2 x 4 3 2
2 x 4 5x3 4 x 2 2 x C
PĜ. 2:
³ 7 x
PĜ. 3:
³ 12 x
PĜ. 4:
dx ³ x2
5
11x 4 5 x 3 dx 7
14 x 6 9 x 2 dx
dx PĜ. 5: ³ 3 x § 4 6 3 x· ¸ dx PĜ. 6: ³ ¨¨ 3 5 3 ¸ x 4 5 x ¹ ©
Metody integrování II. – další elementární funkce dx ³x
³
³x
e x dx
³ sin x dx ³
dx cos 2 x
1
dx
x0 0
1 ³ x dx ........
?
a x dx
......
³
.........
³ cos x dx
........
dx sin 2 x
³
......
........
........
Metody integrování III. – „per partes“
³ uv c
uv ³ u cv
c
u cv uvc
Proþ: uv
³ f g uv
³ ucv uvc
f G ³ f cG uv
³ ucv ³ uvc
Použití: A) integrování souþinu typu x P ( x ) e , (P(x) ... mnohoþlen) P ( x ) sin x, P ( x ) cos x,
– derivujeme P(x) – sníží se stupeĖ mnohoþlenu B) integrování souþinu typu P ( x ) ln x
1 – derivujeme ln x – derivace je x C) integrování souþinu typu e x sin x, e x cos x,
A) integrování souþinu typu P ( x ) sin x, P ( x ) cos x, P ( x ) e x 2 x ³ sin x dx
PĜ.1:
x 2 ( cos x ) ³ 2 x ( cos x ) dx ...
... x 2 cos x 2 ³ x cos x dx
x2 cosx 2 x sin x ( cosx) PĜ.2: (3 x 2 5 x ) e x dx
³
x 2 cos x 2 x sin x ³ sin x dx
x 2 cos x 2 x sin x 2 cos x C
B) integrování souþinu typu P ( x ) ln x PĜ.1:
³ (6 x
2
1) ln x dx
...
2 x
3
2 x
x ln x ³
3
1 2 x x dx ... x
3
x ln x ³ 2 x 2 1 dx
3 x 2 2 x 3 x ln x xC 3
3 PĜ.2*: x ln x dx
³
Pozn.: Integrování výrazu ln x
³ ln x dx ³ 1 ln x dx ...
x ln x ³ 1 dx
x ln x x C
1 x ln x ³ x dx x
...
C) integrování souþinu typu sin x e x , cos x e x x PĜ.1: sin x e dx
³
sin x e x ³ cos x e x dx
sin x e x cos x e x ³ ( sin x) e x dx
sin x e x cos x e x ³ sin x e x dx x x x x sin x e dx sin x e cos x e sin x e dx ³ ³ x
2³ sin x e dx
sin x ex cosx ex :2
x (sin x cos x) e x C ³ sin x e dx 2
³ sin x ex dx
x PĜ.2: cos x e dx
³
Metody integrování IV. – substituce
³ f ( g ) g c dx
F (g)
g ... vnitĜní funkce, F ... primitivní funkce k funkci f
Proþ: F ( g ) c
F c( g ) g c
f ( g ) gc
Formální postup:
³
f g ( x) g c( x) dx t
³
f (t ) dt
F (t )
F g ( x) C
dt
subst . : g ( x ) t g c( x ) dx
dt
PĜ. 1: ³ sin( x 2 3 x 5) ( 2 x 3) dx
³ sin t dt
cos t
cos( x 2 3 x 5) C
PĜ. 2: ³ sin 3 x 1 cos x dx
(5 x 4 6 x 2 ) dx PĜ. 3: ³ x5 2 x3
³
³ t
3
1 dt
t4 t 4 sin 4 x sin x C 4
1 4 2 5 x 6 x dx 5 3 x 2x
ln t
1 ³ t dt
ln x 5 2 x 3 C
PĜ. 4: ³ ( x2 5x 4)7 (2x 5)dx
PĜ. 5: ³
x 2 5 x 4 ( 2 x 5) dx
( 2 x 5) dx PĜ. 6: ³ 2 x 5x 4
PĜ. 7: ³ e
x 2 5 x 4
( 2 x 5) dx
PĜ. 8*: ³ 3 sin 5 x cos x dx PĜ. 8: ³ sin x cos x dx PĜ. 9: ³ (sin 2 x 3 sin x 4) cos x dx
cos x dx PĜ. 10: ³ cot x dx ³ sin x
2 ln x ln x 5 PĜ. 11*: ³ dx x
1 ln x ln x 5 dx x
³
2
t3 t2 5t 3 2
ln 5 x PĜ. 12: ³ dx x sin ln x dx PĜ. 13: ³ x ln 3 x ln x 2 PĜ. 14: ³ dx x
ln 3 x ln 2 x 5 ln x C 3 2
PĜ. 15: ³ sin(5 x 2) dx
1 sin(5 x 2) 5 dx ³ 5 1 ( cos t ) 5
³ f (ax b) 10 ( 9 x 4 ) dx PĜ. 16: ³
x3 dx PĜ. 17: ³ 4 x 1
(9 x 4)11 9 11
1 1 3 4 x dx 4 ³ 4 x 1
1 sin t dt ³ 5
cos(5 x 2) C 5
F (ax b) a (9 x 4)11 C 99 1 1 dt ³ 4 t
1 ln t 4 ln( x 4 1) C 4
PĜ. 18: ³ cos( 4 x 3) dx
dx PĜ. 19: ³ 5x 2
PĜ. 20: ³ 6
dx 3x 1
³
dx x 1
PĜ. 21*:
PĜ. 22*: ³ sin x cos 6 x dx
PĜ. 23:
³
4 x 5 7 x 4 dx
x2 dx PĜ. 24: ³ 3 x 8
PĜ. 25: ³ e
x2 4 x3
(x 2) dx
Urþitý integrál b
³ f ( x) dx >F ( x)@
b
F (b) F (a)
a
a
(výsledkem je þíslo!)
F ... primitivní funkce k funkci f, a ... dolní mez, b ... horní mez 4
³
2
PĜ. 1: 6 x dx 2 4
³
PĜ. 2: (6 x) dx 2
S
³
PĜ. 3: sin x dx 0
>2x @ 3
5 1
3
3
2 5 2 1
2 125 2 1 248
e3
ln x dx PĜ. 4: ³ x 1 ln x ³ x dx
e
PĜ. 5:
³ x ln x dx 1
³ x ln x dx
Význam urþitého integrálu S
¦ f ( x) dx b
S
f (x)
a
dx
S
lim ¦ f ( x) dx
dxo0
³ f (x) dx a
b
b
³ f (x) dx a
... obsah plochy pod grafem f v rozmezí hodnot a, b
b
Pozn.: Je-li f na intervalu (a;b) záporná, vyjde též záporný! S
³ f (x) dx a
f(x) = sinx
0
S1
S
2S S2
S
2S
³ sin x dx 0
S1 ....
2
2S
³S sin x dx S2
....
.....
³ sin x dx 0
S ....
....
PĜ.*: Užitím urþitého integrálu vypoþtČte velikost plochy, kterou na intervalu ¢0; 3² ohraniþují funkce f(x) = e6 – 2x a osa x.
