Logika a matematika pro ekonomy

Logika a matematika pro ekonomy

Jan Coufal Vítězslav Línek


VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU Praha 2010

Předmluva Vážené čtenářky a vážení čtenáři, učební text s názvem Logika a matematika pro ekonomy, který právě pročítáte, je určen jako základní literatura pro předměty Logika a matematické metody a Matematika pro ekonomy. Pro předmět Logika a matematické metody jsou určeny kapitoly 1., 2., 3., 6. a 7., pro předmět Matematika pro ekonomy jsou určeny kapitoly 1., 4., 5., 6., 7., 8. a 9. Vycházeli jsme ze svých zkušeností i současných trendů při výuce matematiky a logiky. Úvodní kapitola je jakýmsi vstupem do problematiky. Druhá kapitola je věnována logice a zacházení s jazykem. Třetí kapitola je malý výlet do krajiny, která se nazývá teorie grafů. Čtvrtá kapitola je věnována lineární algebře, speciálně aritmetickým vektorům, maticím a jejich užití pro řešení soustav lineárních rovnic. V páté kapitole se studuje maticová algebra a determinanty. Šestá kapitola je nejprve opakování množinových operací a funkcí, jsou připomenuty základní elementární funkce a kapitolu uzavírá studium limity a spojitosti funkce. Sedmá kapitola se zabývá derivací funkce jedné proměnné a jejími aplikacemi. V osmé kapitole jsou studovány neurčitý a určitý integrál, poslední devátá kapitola se věnuje funkcím dvou proměnných a jejich diferenciálnímu počtu, zvláště vyšetřování lokálních extrémů funkcí dvou proměnných. V závěru učebnice je přehled standardních vzorců pro každý z předmětů a vzorové zkouškové testy. Při vytváření textu jsme se opírali nejen o osvědčenou literaturu, ale také o názory matematiků i ekonomů z velkého spektra institucí vědeckých, vysokoškolských i praktických. Ač jsme text vytvářeli z osvědčených komponent, jsou v literatuře popsány případy, kdy dílo utvořené z osvědčených komponent nesplnilo očekávání (Josef Čapek: Jak si pejsek s kočičkou dělali k svátku dort v knize Povídání o pejskovi a kočičce, Albatros, Praha, 1972). Věříme, že tato situace nenastala. Přejeme Vám úspěšné studium a děkujeme všem, kteří upozorní na nedostatky. Zároveň děkujeme jazykovým i grafickým odborníkům za péči, kterou věnovali vydání tohoto učebního textu.

V Praze, červenec 2010

Jan Coufal a Vítězslav Línek

Logika a matematika pro ekonomy Jan Coufal Vítězslav Línek

Copyright © Vysoká škola ekonomie a managementu 2010. Vydání první. Všechna práva vyhrazena. ISBN 978-80-86730-58-5

Vysoká škola ekonomie a managementu www.vsem.cz

Žádná část této publikace nesmí být ani publikována, ani šířena žádným způsobem a v žádné podobě bez výslovného svolení vydavatele.

Obsah

Obsah 1. Úvod 1.1 O matematice a logice 1.2 Množiny

2. Logika

5 6 10

17

2.1 Logika jako nauka o správném myšlení

18

2.2 Matematická logika

21

2.3 Výrokový počet

23

2.4 Predikátový počet

38

2.5 Neřešené příklady s výsledky

42

2.6 Dodatek

47

3. Grafy

53

3.1 Trochu historie

54

3.2 Grafy

56

3.3 Stromy

59

3.4 Dodatek

62

4. Matice a soustavy lineárních rovnic

67

4.1 Aritmetické vektory

68

4.2 Matice

74

4.3 Transponovaná matice

80

4.4 Soustavy lineárních rovnic

82


91

5. Maticová algebra a determinanty

101

5.1 Reálný násobek matice, součet a součin matic

102

5.2 Regulární, singulární a inverzní matice

107

5.3 Determinant matice

116


125

Edice učebních textů

6. Množinové operace a funkce jedné proměnné


137

6.1 Množinové operace

138

6.2 Číselné množiny

142

6.3 Funkce jedné proměnné

144

6.4 Základní elementární funkce

147

6.5 Elementární funkce

155

6.6 Limita funkce

163

6.7 Spojitost funkce

175


178

7. Diferenciální počet

185

7.1 Derivace funkce

186

7.2 Derivace operací

191

7.3 Užití derivace funkce

204

7.4 Druhá derivace funkce

208

7.5 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

209

7.6 Extrémy spojité funkce v uzavřeném intervalu

243

7.7 Některé ekonomické aplikace

245


247

8. Integrály

257

8.1 Primitivní funkce

258

8.2 Neurčitý integrál

261

8.3 Určitý integrál

280


284

9. Funkce dvou proměnných

295

9.1 Funkce dvou proměnných a její graf

296

9.2 Derivace a parciální derivace funkcí dvou proměnných

300


311

Závěr

317

Předmět Logika a matematické metody

318

Předmět Matematika pro ekonomy

327



Jak používat tuto učebnici

Tuto knihu můžete jednoduše přečíst od začátku do konce, ale mnohem užitečnější vám bude s perem a papírem. Nejefektivnější formou učení je aktivní učení, a proto jsme naplnili text příklady, abyste se přesvědčili, jak učivo zvládáte. Každá kapitola také obsahuje cíle, souhrn kapitoly a rychlý kviz. Následující body vám objasní, jak s knihou pracovat co nejefektivněji:

a)

Vyberte si kapitolu, kterou budete studovat, přečtěte si úvod a cíle na začátku kapitoly.

b)

Potom si přečtěte souhrn kapitoly na jejím konci (před rychlým kvizem a úkoly). Neočekávejte, že tento krátký závěr znamená v této fázi příliš mnoho, ale zkuste, zda můžete spojit některý z probraných bodů s některým z cílů.

c)

Poté si přečtěte samotnou kapitolu. Zamyslete se nad jednotlivými úkoly tak, jak jdou za sebou. Největší prospěch z těchto úkolů získáte, pokud si své odpovědi napíšete předem a poté je zkontrolujete se správným řešením.

d)

Při čtení používejte poznámkový sloupec a přidávejte vlastní komentáře, odkazy na další materiál atd. Pokuste se formulovat své vlastní názory. V psychologii i sociologii je mnoho věcí otázkou výkladu a často je zde prostor pro alternativní názory. Čím hlubší dialog s knihou povedete, tím více ze svého studia získáte.

e)

Až dočtete kapitolu, znovu si přečtěte souhrn kapitoly. Poté se vraťte k cílům na začátku kapitoly a položte si otázku, zda jste jich dosáhli.

f)

Nakonec upevněte své znalosti tím, že písemně vyřešíte úkoly v závěru kapitoly. Své odpovědi si můžete zkontrolovat tak, že se podíváte zpět do textu. Návrat k textu a hledání významných detailů dále zlepší pochopení předmětu.

Pokyny pro práci s učebnicí

Značky a symboly v učebním textu

Struktura distančních učebních textů je rozdílná již na první pohled, a to např. v zařazování grafických symbolů – značek. Specifické grafické značky umístěné na okraji stránky upozorňují na definice, cvičení, příklady s postupem řešení, klíčová slova a shrnutí kapitol. Značky by měly studenta intuitivně vést tak, aby se již po krátkém seznámení s distanční učebnicí dokázal v textu rychle a snadno orientovat.

Definice Upozorňuje na definici nebo poučku pro dané téma.

Kvíz Označuje rychlý kvíz na konci kapitoly.

Klíčová slova Shrnutí důležitých výrazů či odborných termínů nezbytných pro orientaci v tématu.

Shrnutí kapitoly Shrnutí kapitoly se zařazuje na konec dané kapitoly. Přehledně, ve strukturovaných bodech shrnuje to nejpodstatnější z předchozího textu.

Příklad Označuje příklad praktické aplikace učiva.

kapitola

Úvod

1

Kapitola 1

Úvod

1. kapitola Úvod Milý čtenáři, pokud si myslíš, že na tebe čeká milostný příběh, nebyl jsi nikdy na větším omylu. Očekáváš city, poezii, fantazii? Naději, vášeň, dráždivost a melodrama? Raději své naděje pokorně zkroť. Očekává tě cosi skutečného, chladného a solidního, něco tak neromantického jako pondělní ráno, kdy všichni, kdo musí pracovat, se probouzejí s vědomím, že je třeba vstát, a pak také vstanou. (Charlotte Brontëová – Předehra k Shirley)

Úvod každé publikace by měl být jako správná minisukně, tj. krátký, plný příslibů, a přece cudně zdrženlivý. Naše situace je složitější, proto bude úvod trochu delší (a snad ne nezajímavý). Podivné místo je svět, ve kterém žijeme. Spojením neznámých činitelů přírody byl vytvořen myslící tvor, člověk, který je schopen se tázat, co znamenají věci kolem něj a jaký je jejich smysl. Jeho tělesné i duševní vlastnosti se neustále mění, stejně jako jeho okolí. Od růžového jitra, ozářeného paprsky vycházejícího slunce, až do pozdního večera, kdy na temnícím se nebi vytryskávají světla dalekých hvězd, neslyšitelný tok času se nezastaví a nedá se ničím zabrzdit. Někdy líně klestí svou cestu mezi břehy života, jindy zase zrychlí svůj tok a šíleným chvatem strhává vše do závratných hlubin. Je to náš vlastní, osobní čas, kterým žijeme, jenž zabarvuje svérázně každé dění, který se ale nehodí pro nezaujatý pohled na svět.

Úvod V této kapitole uvedeme zdroje vzniku logiky a zvláště matematiky, jejich postavení mezi jednotlivými naukami. Rovněž se budeme krátce zabývat stěžejním pojmem matematiky, kterým je množina. Dále se budeme věnovat základním symbolům, které vyjadřují vztah mezi prvkem a množinou.

5

Kapitola 1



1.1

O matematice a logice Zmíníme některé aspekty historie myšlení, které podle našeho názoru nejvíce ovlivnily současnou tvář matematiky a logiky. Marně hledáme kolem sebe neměnící se absolutno. V odlesku této věčnosti budovali lidé svá náboženství a domnívali se, že v jejich strnulosti vidí věčnost, po které toužili. Tok času tím nezastavili. Pro něj neplatil žádný lidský zákon a předpis. Zatímco plynul, měnily se nejpevnější lidské výtvory v prach a rozplynuly se vniveč. Nejen výtvory myšlenek lidského ducha jsou tak rychle a snadno pomíjející, nýbrž i celé naše okolí, roviny i hory, lesy, řeky a oblaka, vše se mění, střídá a na velkém jevišti života není nic stálého. Vody dešťů unikají do moře, vypařují se v oblaka, ze kterých se déšť znovu vrací k zemi. Hory se zmenšují, vodní přívaly nesou písek a balvany, kterými zaplňují mořské dno, a koloběh se opakuje. Nejméně třicettisíckrát během minulých geologických dob se přelily oceány v nebe a zase zpět. Bylo rozpuštěno téměř vše, co nyní dělá mořskou vodu slanou a hořkou. Souběžně probíhal vývoj tvorstva na zemi. Ale jak podivně! Nemluvíme ani o dobách nejprimitivnějšího života, kdy moře bylo jeho kolébkou, v níž se děly věci, které asi nikdy nepochopíme. Zdá se nám, že příroda je velkým a marnotratným experimentátorem, který má neskonale mnoho prostředků k dispozici a hýří různými pokusy, neboť jak jinak bychom si mohli vysvětlit velkou změnu v různých tvorech, která se odehrávala od okamžiku, kdy se na zemi objevil život? Přepodivné pokusy činila příroda během tří set milionů let, než konečně stvořila gigantickou rasu dinosaurů, kterou však nechala náhle zahynout během krátké doby. Dalších sto milionů let tvořila druh savce, mamuta, před kterým by vyhlížel velký slon jako trpaslík. Ani s tímto tvorem se nespokojila, nemluvě ani o velkém množství různých jiných, kteří všichni zmizeli a učinili místo poslednímu pokusu – člověku. Jak se přírodě tento poslední pokus podařil či jak je s ním spokojena, nemůžeme dobře říci. Někdy se však zdá, že s ním začíná ztrácet trpělivost, a víme, že její moc je tak značná, že až příliš snadno by ho mohla odkázat do minulosti, jako svá ostatní dřívější díla. Pozorujeme-li totiž člověka, zjišťujeme, že téměř vše je v něm paradoxní. Zajistí-li se někomu blahobyt k tomu, aby se mohl věnovat tvůrčí práci, tento člověk zleniví. Dosáhne-li dobyvatel vítězství, zpohodlní. Zbohatne-li štědrý člověk, stane se skrblíkem. Nezáleží na politických doktrínách, které chtějí přispět k rozvoji člověka, nevíme-li, jaký typ člověka se zrodí? Jediný slaboučký Bernard Bolzano má větší váhu než kdovíkolik úspěšných bezejmenných. Je zajímavé sledovat myšlenkový vývoj lidstva a jeho měnící se názory na různé zajímavé problémy. Někteří hovoří o tom, že matematika a logika jsou jako past na myši. Lze to vyjádřit i jinak. Matematika a logika je oceán a toho, kdo se na něj jednou odváží, buď postihne mořská nemoc a s hrůzou pomyslí na jeho hloubku a šíři, nebo jednou provždy se zasnoubí s jeho nekonečnými vodami. Právě proto je matematika velkým dobrodružstvím myšlení. Matematika, odvozená z řeckých slov μαθηματικός (čti mathématikós), které znamená milující poznání, a μάθημα (čti máthéma), které vyjadřuje vědu, příp. vědění, příp. poznání, je věda zabývající se z formálního hlediska kvantitou, strukturou, prostorem a změnou. Mezi jinými vědami se vyznačuje nejvyšší mírou abstrakce a přesnosti. Díky těmto vlastnostem je matematika často označována za „královnu věd“. V její historii se zrcadlí mnohé z nejhlubších myšlenek bezpočtu generací lidstva. Matematika byla ovlivněna zemědělstvím, obchodem i výrobou zboží, technikou a filosofií, podobně jako fyzikou a astronomií. Vliv hydrodynamiky na teorii funkcí, Kantova učení a zeměměřičství na geometrii, elektromagnetismu na teorii diferenciálních rovnic, karteziánství na mechaniku a scholastiky na infinitezimální počet (jde o společné označení pro diferenciální a integrální počet) je nejen nepopiratelný, ale i určující. Kdo chce proniknout do matematiky hlouběji, musí putovat za velkými mistry a z jejich spisů poznat postup při bádání v matematice. Kdo se chce dostat až sem, potřebuje, aby měl určitý přehled, který získá v učebnicích a přehledech. Každá doba nazírá na minulost svým způsobem a hledá v ní především odpověď na vlastní současné otázky. Vlastně lze říci, že nejen historia magistra vitae (tj. historie učitelka života), ale také vita magistra historiae (tj. život učitel historie).

6

Kapitola 1

Úvod

Faktografie může být sice zajímavá při popisu geologických vrstev ve středních Čechách či toku Orlice nebo takových rostlinných druhů, jež trvají nebo poklidně tečou, ale nepoví nic o tématu tak proměnlivém a neklidném, jako je matematika. Soupis dat nestačí a mezi mnoha řekami se může náhle vyskytnout jedna, která (třeba nepoměrně kratší) vykoná více svými vlivy, o něž tu především jde. A proto je nutné vracet se k pramenům, zkoumat složení vody a její specifické vlastnosti, proto je nutné odvážit se pod hladinu, která jako všechny hladiny obráží skutečnost, ale která – a proto je nutné sestoupit do hlubiny – obráží tuto skutečnost jinak, zajímavěji a barevněji a především tak, že tento odraz je daleko věrnější. Samozřejmě každá metafora je pomůckou, každé přirovnání má své meze a jednu nohu kratší. Přirovnávat se má věc méně známá k známější. Vycházeje ze slov Bertranda Russella, že historie světa je souhrn událostí, kterým bylo možno se vyhnout, uvedeme velice stručný nástin vývoje matematiky, ponoříme se do hlavního proudu (dlužno říci, že autoři těchto řádků nevědí o řekách skoro nic, jen občas sestoupí do jejich proudu, aby si zaplavali) a poněkud tendenčně pohlédneme pod hladinu. Abychom se vrátili k obrazu řeky, budeme hledat proudy rychlé a čisté vody, které podemílají oči modrookým holkám a které jsou plné obrazů. Budeme se vyhýbat těm částem toku, které poznaly zdánlivé dobrodiní regulace, protože regulace je nuda. Raději nás budou zajímat ty části toku, které rozkolísávají krajiny, lidi i hvězdnou oblohu. Historie matematiky sahá až do pravěku, velký rozvoj prodělala v antickém Řecku, kdy výrazných úspěchů dosáhla zejména geometrie. V předmluvě ke svému dílu o architektuře vypráví Vitruvius tuto příznačnou anekdotu: „Aristippus philosophus Socraticus, naufragio cum eiectus ad Rhodiensium litus animadvertisset geometrica schemata descripta, exclamavisse ad comites ita dicitur: Bene speremus, hominum enim vestigia video.“ Přeložme toto místo volně do češtiny, abychom patřičně vytkli jeho symbolický obsah. Aristippus, Sokratův žák nebo stoupenec, byl při ztroskotání lodi vyvržen na břeh ostrova Rhodos. Tam zpozoroval v písku nakreslené geometrické obrazce, a proto zvolal radostně ke svým druhům: „Buďme dobré naděje, protože vidím stopy lidí.“ Další etapou prudkého rozvoje matematiky byla renesance, v níž byly ustaveny základy matematické analýzy. Vůbec posledním významným obdobím dějin matematiky byl přelom 19. a 20. století, kdy vznikla teorie množin a matematická logika. Co tedy musí ekonom na vysoké profesionální úrovni znát, aby mohl obstát před skutečně obtížnými problémy? Matematiku? Určitě mnoho věcí z tohoto oboru. Mnohdy směřovala výuka pouze k umění ovládat mechanické znalosti, aniž došlo k jakémukoli pochopení matematiky. Abychom viděli toto nebezpečí plastičtěji, představme si, že se seznamujeme s chemií tak, že se nejprve seznámíme s Bunsenovým hořákem, pak postupně v laboratoři objevíme řadu zajímavých přístrojů a začneme dělat pokusy. Zvládnout aparatury moderní chemie v laboratoři vyžaduje zručnost i otevřenou hlavu, prováděné pokusy jsou poutavé a často i vzrušující. Tak se vždy těšíme do laboratoře a odcházíme z ní někdy očouzeni, vždy však spokojeni. Z toho, co víme o chemii, je nám jasné, že naše seznamování s chemií se minulo cílem, protože celá laboratoř a pokusy v ní jsou jenom nástrojem ke zkoumání vlastností, složení, vnitřní stavby a přeměny látek. Tzn. cílem toho všeho je dojít k chemickým rovnicím, vzorcům atd. a k umění jich využívat. Jinak bychom měli k chemii vztah ztělesněný nezapomenutelným strýcem Františkem z Jirotkova Saturnina: Byl to podivuhodný človíček. Vystřídal překvapující množství povolání z toho důvodu, že považoval za nedůstojné, aby někoho poslouchal. Teta tomu říkala vrozená hrdost… Názor tety, že strýc byl vědeckým pracovníkem, také není možné vyvrátit. V určitém smyslu slova byl člověkem, který objevil celou řadu chemických pouček a pravidel nejrůznějšího druhu. Všechna tato pravidla už před ním objevili jiní, ale strýc o tom nic nevěděl, a nelze proto jeho zásluhy přehlížet. Protože chemii vůbec nerozuměl, byly cesty jeho objevů posety trny a zkropeny potem, ale tím větší byla jeho radost ze získání zkušeností. Nebylo mu lze upřít sportovního ducha. Podobal se člověku, který po zvládnutí malé násobilky prohlásil svým učitelům: „Dál už mi nic neříkejte. Nechci nic slyšet o tom, že pan Pythagoras, Eudoxus, Euklides, Archimédes a tak dále, vymyslili to a to. Nepotřebuji týt z toho, co objevili jiní. Dejte mi papír, tužku a kružítko a nechte mne na pokoji. Však já na to přijdu sám.“ A strýček opravdu na leccos přišel. Tak například zjistil při pokusu, který měl vzrušující průběh, že lít vodu do kyseliny je blbost, a vůbec mu nevadilo, že tento poznatek, korektněji vyjádřený, mohl získat z učebnice chemie pro nižší třídy škol středních, aniž by si přitom popálil prsty a zánovní vestu.

7

Kapitola 1



Chemie mu byla panenskou pevninou, roztočeným větrným zámkem plným dveří, které se otvíraly tajemnými formulemi. Neznal názvosloví, ignoroval valenční koncovky a žasl, když mu ve zkumavkách a křivulích šuměly prudké chemické reakce. Podoben středověkému alchymistovi pachtil se za přeludem, padal a zase se zvedal, jenže na konci jeho cesty nezářil kámen mudrců, nýbrž… Chemických strýců Františků není mnoho, neboť není tak jednoduché opatřit si chemickou laboratoř. Matematickým a logickým strýcem Františkem se člověk stane snadněji, protože je čím dál tím jednodušší opatřit si vlastní tužku a papír nebo zkoumat různé matematické softwarové produkty, a tak předvádět své umění v neumění. Zvíře nemůže obměňovat svou činnost. Nevnímá minulost ani budoucnost, žije v přítomnosti, žije právě teď. Jeho instinktivní chování je geneticky naplánováno. Člověk žije v čase. S minulostí ho spojují vzpomínky, k budoucnosti zaměřuje své plány a touhy. Člověk má paměť, schopnost uchovat ve svém vědomí to, co prožil. Dokáže proměnit včerejší zážitky z lovu ve zkušenosti, které zdokonalí lov zítřejší. To je základní mechanismus vývoje lidstva, jehož podstata se nezměnila ani po tisíciletích. Paměť má také i svou negativní stránku. Uchovává nejen poučení, ale také bolest a utrpení. Z nich vytváří děsivé představy a strach, kterými se blokuje a demobilizuje činnost. Vydává člověka do rukou osudu jako žábu, která je hypnotizována hadem. Uveďme básničku Praktika polského básníka Adama Mickiewicze v překladu českého novináře a publicisty Karla Havlíčka Borovského: „Nač budu potřebovat,“ ptalo se pachole, „třírohy1), čtverouhle2), kola3), parabole?“ – „Že potřebné,“ dí mudřec, „musíš nyní věřit, nač jsou potřebné, poznáš, až svět začneš měřit.“ Autor jedné z nejoriginálnějších filosofických koncepcí 20. století A. N. Whitehead napsal: „První člověk, který si všiml analogie mezi skupinou sedmi ryb a skupinou sedmi dní, udělal pozoruhodný krok v dějinách myšlení. Byl prvním člověkem, který uvažoval o pojmu patřícím do čisté matematiky.“ Rovněž nikdy nikdo nenakreslil kružnici či bod. Všechny geometrické pojmy jsou idealizovány, jsou absolutně dokonalé, proto nereálné. Matematika by bez abstrakce, idealizace a fantazie nikdy neexistovala. Domnívat se, že fantazii potřebuje pouze umělec, je hluboký omyl. Patří k vlastnostem člověka, že vše podrobuje úvahám a vynakládá trvalé úsilí, aby všemu přišel na kloub. Bylo tomu tak zřejmě odjakživa. Není předmětu, který by ušel lidské pozornosti a zvídavosti. K určitým otázkám se však ještě připojuje citový přízvuk, a to hlavně k těm, jež se jakýmkoli způsobem vztahují k lidské cestě hlubinami věků. První zřetelné a jasné přirovnání matematiky k jazyku vědy vyslovil, jak se zdá, Galileo Galilei: „Filosofie světa je obsažena v grandiózní knize stále otevřené všem a každému – myslím tím knihu přírody. Porozumět jí však může jen ten, kdo se naučí jejímu jazyku a písmu, jímž je napsána. Napsána je jazykem matematiky a jejím písmem jsou matematické vzorce.“ Smysl tohoto Galileiho přirovnání je samozřejmě hlubší. Bez matematiky by mnohé technické i naučné objevy nebyly možné. Galileův básnický příměr platí svým způsobem stále (i přes odstup čtyř století). Jeden z největších fyziků 20. stol. Werner Heisenberg charakterizoval postavení matematiky v současné fyzice velmi podobně: „Původním, prvotním jazykem, který vzniká v procesu vědeckého osvojování faktů, je obvykle pro fyziku jazyk matematiky, zvláště pak matematické schéma, které fyzikům dovoluje předvídat výsledky budoucích experimentů.“ Pro vyjádření a sdělení myšlenek si lidstvo vytvořilo geniální prostředek – živou řeč a její písemnou podobu. Řeč se však mění. Přizpůsobuje se podmínkám života, obohacuje svou slovní

8

1)

Tj. trojúhelníky.

2)

Tj. čtyřúhelníky.

3)

Tj. kružnice či kruhy.

Kapitola 1

Úvod

zásobu, vytváří nové prostředky pro vyjádření nejjemnějších odstínů myšlenek. Ale zároveň se ukazuje i jako nedostatečná. V různých oblastech lidské činnosti tak vznikají vlastní jazyky, účelně přizpůsobené přesnému, výstižnému a krátkému vyjádření myšlenek, specifických pro příslušný obor lidské činnosti. Při práci na zhotovení nového výrobku se už nespokojujeme se slovním popisem, ale pro zpřesnění rozměrů, tvaru a dalších detailů užíváme i výkresu – tedy informace sdělené jakýmsi jazykem konstrukčním. Takový jazyk nesmí připustit nejednotné čtení, musí názorně předat celý komplex informací nezbytných k úspěšnému vykonání práce. Zmíněná forma sdělení je samozřejmě nesrovnatelně vhodnější než obyčejný slovní popis, vždyť slovní vyjádření jen trochu složitější konstrukce by bylo natolik těžkopádné a neohrabané, že by ztratilo přehlednost i pro samotného autora. Grafické zadání přečte kterýkoli specialista, i když třeba nebude rozumět jazyku slovního komentáře. Vždyť nejen současná matematika, ale také vznik a vývoj počítačů by nebyly myslitelné bez určité kultury myšlení. Tato kultura se vyvíjela a pěstovala dlouho před vznikem prvního počítače. Ve vědě je jasnost a přesnost formulací bytostně důležitá. Jazyk vědy nesmí obsahovat žádné nepřesnosti nebo dovolit dvojí výklad. Jinak by nemohla věda existovat jako systém poznatků, nemohla by být budována na jistotě přesných a jednoduchých tvrzení, předpokladů a úvah. Stejně tak je nutné předem rozmýšlet všechny možné závěry a neztratit ze zřetele ty, kterým se výzkum dosud nevěnoval. Vědecký výklad musí být krátký a věcný, naprosto konkrétní. Právě proto je nauka nucena si vypracovat vlastní jazyk, schopný maximálně respektovat tuto specifiku. Poznamenejme, že matematické symboly nejen nenechávají prostor nepřesným vyjádřením nebo mlhavým výkladům, ale často dovolují i takové zjednodušení logických postupů a úvah, které vede mnohem rychleji a příměji k výsledku. Navíc spolehlivost matematických vět je především důsledkem metody, kterou se matematické věty dokazují. Ukážeme to na jednoduchém příkladu – na úloze, která formálně vede k řešení soustavy lineárních rovnic. Pomocí algebraické symboliky se taková soustava řeší velmi snadno, není třeba žádných speciálních úvah. Ty jsou jednou provždy pro všechny takové soustavy rovnic hotové. Aplikace standardních pravidel tak dovoluje bez jakýchkoli principiálních obtíží dovést řešení každé takové úlohy do konce. A teď si představme, že k řešení nebudeme smět používat jazyk matematických symbolů. V takové situaci jsou např. ti, kdo umějí řešit algebraické úlohy pouze prostředky tzv. elementární matematiky. To samozřejmě vede ke značným a zcela zbytečným komplikacím. Každá úloha se v takovém případě stává zvláštním problémem a je pro ni nutno vypracovat zvláštní systém rozhodování. I nejjednodušší výpočet si najednou vyžaduje značné intelektuální vypětí. Srovnáme-li potom, jak jednoduše umožňuje řešit složité aritmetické úkoly i ta nejprostší algebraická symbolika, vyvstane před námi přínos matematiky ve zcela novém světle – jako přínos nauce, ekonomii i nejrůznějším technickým a přírodovědným oborům. Lze říci, že pro matematiku je charakteristická její systematičnost, ale také je velmi důležitá hospodárnost i obsažnost jejího vyjadřování. Navíc spolehlivost matematických vět je především důsledkem metody, kterou se matematické věty dokazují. Matematická symbolika umožňuje zjednodušit zápis informací, zpřehlednit jej a vhodně přizpůsobit dalšímu zpracování. V rozvoji takových formalizovaných zápisů se před nedávnem objevil nový směr – je spjat s výpočetní technikou a jejím využitím v nejrůznějších oblastech lidské činnosti. Se strojem je nutno „hovořit“, komunikovat, stroji je třeba předem určit způsoby rozhodování ve všech v úvahu přicházejících situacích tak, aby mohl určit v daných podmínkách nejsprávnější postup. Stroj běžné řeči nerozumí. Je třeba s ním „rozmlouvat“ jazykem jemu srozumitelným – tj. jazykem přesným, jednoznačným, neobsahujícím žádnou nedostatečnou nebo nadbytečnou informaci. Dnes se užívá celé řady jazykových systémů, jejichž prostřednictvím stroje sdělované informace přijímají, jednoznačně a spolehlivě s nimi pracují. To je také jedno z tajemství rychlosti počítačů, schopnosti snadno zvládnout i nejnáročnější numerické a logické operace. Za tisíciletí své existence prošla matematika velkou a složitou cestou, během níž se nejednou změnil její charakter, obsah a styl výkladu. Z primitivního obratného počítání s kamínky na počitadle a od jednoduchých záznamů na vrubovkách vyrostla matematika dnes v rozsáhlou vědní disciplínu s vlastním předmětem zkoumání a se specifickou metodikou. Vypracovala si vlastní jazyk, velmi přesný a ekonomický, neobyčejně efektivní nejen pro matematiku samu, ale i pro četné oblasti matematických aplikací. Uveďme ještě vyjádření ruského matematika Pafnutije Lvoviče Čebyševa: Matematika vznikla a rozvíjela se vlivem všeobecného základního úkolu veškeré lidské činnosti – používat existujících prostředků k dosažení největšího užitku.

9

Kapitola 1



1.2

Množiny Matematické objekty mají vesměs abstraktní charakter (ať již jde o čísla, zobrazení, funkce, operace, relace, plochy, struktury, příp. něco jiného) a základním požadavkem je tedy správně rozumět jazyku, jímž matematika o těchto objektech hovoří. Jazyk matematiky v sobě sdružuje prostředky potřebné pro zavádění a popis vlastností matematických objektů a je výsledkem dlouhodobého vývoje. Dnes je možné o jazyce matematiky říci, že jde o množinově logický jazyk matematiky. Jak tato věta napovídá, základním matematickým pojmem je množina. Jde o prvotní či primární pojem, tudíž jej nemůžeme definovat. Může jej vymezit filosofie matematiky.

FILOSOFICKÁ DEFINICE

Množina Souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek, nazýváme množinou.

Uvedený popis pojmu množina není možné pokládat za její definici. Poznamenejme, že množinu také nelze definovat v nějakém běžném smyslu v elementární logice. Dále si všimněme, že v této filosofické definici slovo souhrn nahrazuje slovo množina. Objekty množiny se nazývají prvky množiny. Charakterizující vlastnost množiny je, že je jednoznačně určena svými prvky (ale nevšímá si jejich pořadí ani žádné další struktury). Zakladatel teorie množin Georg Cantor se vyjádřil: Množina je souhrn objektů, které jsou přesně určené a rozlišitelné a tvoří součást světa našich představ a myšlenek; tyto objekty nazýváme prvky množiny. V našich úvahách se omezíme na množiny, které obsahují různé typy čísel, příp. s nimi souvisí. Postavíme se na pozici tzv. naivní teorie množin. I přes použité slůvko naivní, které má v případě matematické teorie trochu hanlivý nádech, je Cantorova teorie naprosto dostačující jako množinový základ pro většinu ostatních matematických disciplín a bylo v ní dosaženo mnoha vynikajících výsledků v oblasti zkoumání vlastností nekonečných množin, což byla ostatně hlavní Cantorova motivace pro její vytvoření. Problémy nastávají teprve ve chvíli, kdy se naivní teorie množin pokouší pracovat s „příliš velkými“ množinami. Pro nás bude stačit si uvědomovat, že ve vytváření množin jsou jisté meze. Uveďme některá základní značení:

10

a)

Množiny budeme označovat velkými písmeny latinské abecedy A, B, C, . . ., Z, případně s indexy. Pro některé množiny (speciálně číselné) vyhradíme speciální písmena.

b)

Prvky množin budeme označovat malými písmeny latinské abecedy a, b, c, . . ., z, případně s indexy.

c)

Připouštíme množinu, která neobsahuje žádné prvky, nazývá se prázdná množina a značí se symbolem4.

d)

Symbolem a  A označíme tvrzení: a je prvek množiny A.

e)

Symbolem a  A označíme tvrzení: a není prvek množiny A.

f)

Jestliže A je konečná množina obsahující právě prvky a1, a2, . . ., an , potom tuto skutečnost zapisujeme A = {a1, a2, . . ., an }, tzn. množinu A zapíšeme výčtem prvků.

g)

Jsou-li A a B množiny, potom množina A je rovna množině B (a označíme A = B) právě tehdy, jestliže množiny A a B mají stejné prvky. V opačném případě jde o různé množiny, tuto skutečnost budeme zapisovat A  B.

Kapitola 1

Úvod

Tvrzení A je neprázdná množina nebo zápis A 4, znamená, že množina A obsahuje alespoň jeden prvek. Jsou-li a a b prvky, potom {a, b} = {b, a}, tj. nezáleží na pořadí zápisu prvků a a b v množině. Množina {a, b} je neuspořádaná dvojice prvků a a b . Např. pro přirozená čísla 1 a 3 určitě platí {1, 3} = {3, 1} = {1, 1, 3, 3}.

11

Kapitola 1



Shrnutí kapitoly •

V této kapitole jsme se věnovali historickým aspektům vzniku i rozvoje matematiky a logiky.

•

Dále jsme se věnovali množinám, značení množin, jejich prvků a elementárním symbolům pro množiny a prvky množin.

Klíčová slova matematika

logika

množina

prázdná množina

neprázdná množina

konečná množina

prvek množiny

rovnost množin

neuspořádaná dvojice prvků

12

kapitola

Logika

2

Kapitola 2

Logika

2. kapitola Logika Logika je plebejský způsob myšlení. Vznešení a mocní se bez ní obešli. (Gabriel Laub)

Úvod Logiku je obvyklé charakterizovat jako analýzu metod lidského myšlení nebo uvažování, což odpovídá i etymologii slova logika. Slovo logika je odvozeno z řeckého λογος (čti logos, což v řečtině znamená slovo či „smysluplná“ řeč, nebo také pojem) a má více významů – v češtině se běžně používá ve smyslu myšlenková cesta, která vedla k daným závěrům. V této kapitole vymezíme naučnou disciplínu, která se nazývá logika. Budeme se věnovat základům matematické logiky, speciálně výrokovému a predikátovému počtu.

17

Kapitola 2


Logika a metematika pro ekonomy

2.1

Logika jako nauka o správném myšlení Logika je formální věda, zkoumající právě onen způsob vyvozování závěrů. S logikou jsou potíže. Topíme se v problémech a tušíme, že mnohé z nich by byly řešitelné lepším uplatněním logiky. Kvalita myšlení určuje úspěšnost každého jednotlivce i společnosti. Vadné myšlení, ať je to nesprávný výběr argumentů nebo logické chyby, nás stojí obrovské prostředky a vede k frustraci. Logika není empirickou vědou o myšlení; studuje objektivní podmínky správnosti, jinak řečeno je to disciplína studující relaci „vyplývání“. Logika také nezkoumá úplně obecně poznání – to je předmětem filosofické disciplíny epistemologie. Definice logiky – nauka o správném myšlení – je asi správná, ale dělá nám potíže logiku popsat tak, aby byla srozumitelná. Často se slovo logika objevuje s různými přívlastky, hovoří se o matematické logice, formální logice, symbolické logice, ale také o intuicionistické logice, konstruktivní logice, modálních logikách, vícehodnotových logikách, pravděpodobnostní logice, deontické logice a mnoha dalších. Termín logika se často vyskytuje i v běžné řeči v rozmanitých slovních spojeních, jako to nemá žádnou logiku, neúprosná logika vývoje, ženská logika, logika věci vyžaduje, aby… apod. Možná to bude tím, že při definici logiky používáme termín myšlení, aniž bychom si rozmysleli, co myšlení je. Zkusme tedy začít tam. Začněme příkladem.

PŘÍKLAD 2.1 Mějme svah hory v horské krajině.

a)

Kámen na svahu hory se vždy stejným způsobem skoulí do údolí (pokud není podepřen tak, aby se to nestalo). Řekneme, že kámen nemyslí.

b)

Kamzík na tomtéž svahu se rozhlédne a vydá se tam, kde je nejméně překážek, kde hrozí nejmenší nebezpečí a kde je nejvíce trávy. Řekneme, že kamzík myslí jednoduše.

c)

Člověk, podle svých znalostí, je schopen se vydat kterýmkoli směrem tak, aby i za cenu velkých překážek dosáhl svého cíle. K tomu často používá pomůcky – například kompas, mapu, mobil, internet nebo GPS. Umí používat i formální postupy a spolupracovat s dalšími lidmi, aby z informací vyvodil co nejlepší plán svého putování. Řekneme, že člověk myslí složitě.

Tento jednoduchý příklad nás vede k názoru, že myšlení je takový proces zpracování informace, aby bylo dosaženo nějakého cíle. Logika je tedy věda o správném vedení tohoto procesu. Uvedli jsme, odkud termín logika pochází. Evangelista sv. Jan v prvním verši první kapitoly svého Evangelia praví, že na počátku bylo Slovo (tj. λογος), tedy jazyk, myšlení, uvažování, ale také řád věcí. Logik si v této souvislosti klade otázku, jak tento řád uchopit, co je pravda, co je z pravdivých tvrzení odvoditelné, také jak obtížné je důsledky odvodit. Logické odvozování se odehrává v jazyce. Každá vědní disciplína si vytváří svůj jazyk, má své pojmy, tedy svou logiku. Některé pojmy jsou transdisciplinární, tj. jsou společné všem vědním disciplínám, dokonce i každodennímu uvažování. Aristotelés nás naučil, že jedny výroky souvisejí s jinými, jsou důsledky jiných, dokonce, že celé množiny výroků souvisejí s jinými množinami výroků. Jsou dva způsoby, jak se dozvědět něco o pravdivosti výroků a korektnosti tvrzení – rozum a evidence. Máme dát přednost evidenci, nebo rozumu? Logika straní rozumu, ale jen do určité míry. Zdá se, že logické důkazy jsou redukovány na posloupnosti evidencí. Petr

18

Kapitola 2

Logika

Vopěnka v Rozpravách o geometrii uvádí: „Čím více zákonů logiky známe, tím více můžeme rozum vytlačit z přímého rozhodování o správnosti úvah, které jsme v myšlení vykonali. Stačí se podívat, zda se taková úvaha zákony logiky řídí. Správnost takové úvahy již jen evidujeme, a ověříme-li takto její správnost, není potřebné zkoumat ji rozumem.“ Pro člověka to však má opět své meze. Vždy jsme schopni jen nepatrného počtu evidencí. Např. iterované (tj. opakované) aplikace pravidel odvozování jsou ústupkem, který sice činíme ve prospěch rozumu (dlouhé důkazy určitě nejsou evidentní), ale vždy se ochotně vracíme k evidencím. V této souvislosti se naskýtá otázka, zda stejné meze má i stroj. Ať tak či onak, jako hledači důvodů a důsledků narážíme nejen na svá vlastní omezení, ale i na skutečnost, že svět se neustále mění. Logika, odkázaná nám Aristotelem a v tomto a minulém století rozvíjená v prostředí matematiky a zahleděná do základů matematiky, vyzdvihnuvší statickou stránku vztahu odvoditelnosti, se v současné době snaží postihnout i dynamiku usuzování, tj. nalézt racionální prostředky charakterizující změny epistémických vztahů. Zkoumáme-li nějakou strukturu, postupujeme často tak, že formulujeme tvrzení o této struktuře, která jsou evidentní a která tuto strukturu pokud možno co nejlépe vystihují. Potom se na základě jistých pravidel usuzování snažíme odvodit další netriviální tvrzení o zkoumané struktuře. Vytváříme kalkul.5) Tato struktura může také být „modelem“ nějaké reálné struktury. Formální kalkul používáme vždy, když chceme „vypočítat“ to, co není ve struktuře evidentní. Mezi klasické, nejlépe prozkoumané a stále nejdůležitější kalkuly v logice patří výrokový počet (odstavec 2.3) a predikátový počet (odstavec 2.4). Logika se vyvinula v samostatnou disciplínu velice dávno, dokonce dříve než aritmetika a geometrie. Jako mnoho dalších věd vznikla logika coby součást filosofie a částečně takové zařazení stále platí. Logika byla spojována s matematickým náhledem už od dob, kdy sama matematika (hlavně geometrie) začala být chápána jako samostatná vědecká disciplína. Thales Milétský byl už v 6. století před naším letopočtem nejen skvělým geometrem, ale uvědomoval si, že dobré poznatky je třeba zdůvodňovat. Ne každý důvod je dobrý. Logicky uvažovat znamená mj. hledat argumenty. Aristoteles je všeobecně považován za zakladatele logiky a bez nadsázky můžeme říci, že logiky matematické. Aristoteles přinesl logice pojem sylogismus a podrobně jej prozkoumal. Příčinou vzniku logiky byla potřeba čelit hlubokému morálnímu rozkladu, který Řeckem šířili sofisté – „učitelé moudrosti“. Učili, jak vychytralostí porazit v diskusi protivníka, i když je pravda na jeho straně. Moudrost a vzdělání dávali do služeb prospěchářství. Uveďme tři ukázky jejich umění: a)

Sokrates je člověk, Korikós je jiný než Sokrates; tedy Korikós je cosi jiného než člověk.

b)

Sokrates je bílý, bílá je barva; tedy Sokrates je barva.

c)

5 = 2 + 3, číslo 2 je sudé, číslo 3 liché; tedy 5 je číslo sudo-liché.

Sofistika urychlila devalvaci tradičních morálních hodnot řecké společnosti. Na obranu těchto hodnot dává Aristoteles zbraň vědce, tou je poznání. Odhaluje, že sofisté „pěstují moudrost pro zdání, nikoli pro skutečnou moudrost“. Hlubokou analýzou nalézá zákony správného usuzování a argumentace. Jim je věnována řada Aristotelových spisů, tradičně od středověku latinsky označovaných jako Organon čili nástroj, rozumí se právě myšlení. Jednotlivá tvrzení spojujeme v soudy, z předpokladů (premis) vyvozujeme závěry. Organon znamená začátek nové vědecké disciplíny – logiky. Základní formou soudu je sylogismus: ze dvou tvrzení se společným členem plyne třetí. Obě výchozí tvrzení mohou být buď obecná (každý, všichni), nebo jednotlivá (je, existuje), a kromě toho mohou být také záporná (žádný a jen některý); podle toho pak některé závěry platí a jiné ne. Formalizováním aristotelské logiky vznikla predikátová logika včetně kvantifikátorů. Aristotelova „analytika“ či logika jakožto nauka o pravidlech myšlení a řeči také z jazyka a z jeho forem vychází: podstata, případek (akcidens), atribut a podobně jsou zároveň kategorie myšlení i jazyka. Sylogistika se pak stala hlavním tématem logických zkoumání až do konce středověku. Dnešní logika je formalizována, axiomatizována. Aristotelova logika je „lidská“. Je velmi úzce spjata s psychikou člověka, jeho představami, způsoby myšlení a především s komunikací. Zastavme se u těch Aristotelových myšlenek, které hluboko pronikly do struktury Eukleidových Základů. 5)

Česky slovu kalkul odpovídá slovo počet.

19

Kapitola 2



Základním stavebním kamenem myšlení a komunikace je pojem. Pojem postihuje podstatu věci, ale nesplývá s ní. Vědomí člověka si vytváří pojmy činností, kterou nazýváme abstrakce. Začíná od smyslových zkušeností a tam, kde některý smyslový orgán chybí, tam chybí i jistá znalost. Zde se Aristoteles liší od Platona. Lidé se domlouvají pomocí pojmů. Mnohdy ten, kdo se ptá, a ten, kdo odpovídá, nemají na mysli totéž. Proto je třeba věnovat velkou péči přesnému vymezení pojmů, tj. definicím. Je třeba dbát, abychom

a)

používali pouze slova známá a dobře vymezená,

b)

začínali zařazením vymezovaného pojmu do nejbližšího rodu,

c)

nevynechali žádnou z podstatných podmínek,

d)

neuváděli žádnou z nepodstatných či dokonce rušivých podmínek.

K tomu doplňuje Aristoteles ilustrační příklady, např.: vymezení „člověk je to, co umí počítat“ nebo „těleso je to, co má tři rozměry“ nesplňují požadavek b). Vymezení „gramatika je umění napsat, co bylo řečeno“ nesplňuje požadavek c), protože neuvádí, že je to i umění přečíst to, co bylo napsáno. Vymezení „lékařství je učení o způsobování zdraví a nemocí“ nesplňuje požadavek d), protože cílem lékařství koneckonců nemůže být způsobování nemocí. Poznamenejme ještě, že tato vymezení neuvádějí nic o existenci pojmů, které jsou vymezovány. Hovoří pouze „co a jak je a ne že je“. Eukleidés při vytváření základních pilířů geometrie nás naučil axiomatické metodě, která sehrála významnou úlohu o dva tisíce let později při hledání axiomů teorie množin, která se stala důležitým prizmatem, kterým nahlížíme moderní matematiku. Dalším obdobím, jehož počátek je obvykle přesně datován rokem 1662, kdy Nicole Arnauld vydal dílo La logic ou l’art de penser (Logika, aneb umění myslet) a které se někdy nazývá Logika z Port-Royal. V této době převládají otázky epistemologické a psychologické, které omezovaly jak logický výzkum v užším smyslu, tak i vyjasnění základních pojmů. Lze vytušit, že to bylo pro rozvoj logiky období nejméně plodné, v některých aspektech občas dokonce zavádějící. Vliv tohoto období se silně projevil ve filosofických systémech (Kant, Hegel). Počátek období vývoje moderní logiky (symbolické, matematické) je spjat se jménem G. W. Leibnize (1646–1716), právě on formuloval koncepci nové logiky ve formě následujících požadavků:

a)

vytvoření univerzálního znakového systému, který by obsahoval základní znaky charakterizující základní pojmy a jejich kombinace vymezující všechny ostatní pojmy,

b)

vytvoření logického kalkulu (kalkul – systém znaků a pravidel pro operace se znaky), který má umožnit kalkulovou formulaci všech výrazů vyjádřených prostředky výchozího znakového systému,

c)

zavedení rozhodovací procedury, která má umožnit rozhodnutí o pravdivosti či nepravdivosti daného výroku.

Leibniz stanovil zásadu sporu a zásadu dostatečného důvodu, výslovně formuloval zásadu totožnosti, kterou implicitně znal již Aristoteles. Na straně druhé teprve „nedávno“ – po dlouhém období stagnace – se znovu začal tento obor rozvíjet. Mohutný impuls dostala logika v 19. století rozvojem algebraických metod v logice. Tedy opět návrat k matematickému zázemí logiky, který je spojen se jmény George Boolea, Johna Venna a dalších, dává podnět ke vzniku toho, co dnes nazýváme klasickým výrokovým počtem. Třetí (pro logiku velmi významné období) je zrod predikátového počtu. Jeho základem je dílo člověka, který se narodil před sto šedesáti lety, tj. v roce 1848, kdy v Praze zemřel jiný velikán, který významně ovlivnil náš pohled na logiku a matematiku – Bernard Bolzano. Jde o Gottloba Fregeho, kterému vděčíme za predikátový počet, který se stal jedním z nejvýznamnějších nástrojů studia racionální argumentace. Je to náš hlavní nástroj pro formulování teorií i pro analýzu jejich logické struktury. Dvacáté století přineslo nebývalý rozvoj logiky, zejména při zkoumání základů matematiky. Byly to paradoxy (Russelův, Bourali-Fortiho a dalších), které se objevily na přelomu devatenáctého a dvacátého století při budování teorie množin, jejíž intuitivní základy položili

20

Kapitola 2

Logika

Bernard Bolzano a Georg Cantor. Bertrand Russel obohatil logiku o teorii typů, David Hilbert vytvořil program formalizace, jímž chtěl zabezpečit v té době paradoxy poněkud zpochybněné základy matematiky samotné. Brněnský rodák Kurt Gödel ve třicátých letech dvacátého století zřetelně ukázal na vnitřní meze programu formalizace. Druhá polovina dvacátého století je ve znamení digitalizace, což pro logiku mj. znamená obrat k algoritmizaci, k vyčíslitelnosti a posléze k otázkám složitosti výpočtových procesů. Allan Turing podal rigorózní (tj. formální) charakteristiku výpočtového zařízení, které je dnes po něm nazváno Turingův stroj, a položil otázku možnosti umělé inteligence. Vývoj logiky byl v posledních dvou miléniích nejen bohatý, ale často i dramatický. Dnes se logika skládá ze tří hlavních součástí: formální (či matematické nebo symbolické) logiky, která je obecnou teorií objektů (a rovněž ontologií), obecné metodologie věd a sémiotiky, tj. logické teorie řeči. Velmi často se setkáte s pověrou, že existují jiné, údajně hlubší logiky – logika pocitů, transcendentální logika, dialektická logika či logika zjevení – je-li zjevení dáno lidem od boha a má-li božský obsah, musí být zprostředkován v jim srozumitelné podobě, a tedy v lidském jazyce. Ale lidský jazyk se řídí zákony logické sémiotiky a formální logiky. Jazyk porušující tyto zákony není lidskou řečí, ale nesrozumitelným blábolením. Nikdy nejsme osvobozeni od logiky (ani v případě vícehodnotové logiky). Jednou z velkých pověr je názor, který formuloval Pascal slovy: Srdce má své důvody, jež rozum nezná; tedy snaha zbavit se okovů logiky. Tudy cesta nevede.

2.2

Matematická logika Logika se výrazně rozvinula i v matematice, a tak je také řazena i do matematiky, a zpravidla se nazývá matematická logika. Termín matematická logika je možno chápat ve dvou různých smyslech:

a)

jde o takovou část logiky, která používá matematické prostředky a metody,6)

b)

jde o logiku, která se používá v matematice (tzn. matematika a její jazyk je nejen nástrojem, ale i předmětem teoretických úvah).7)

Obě pojetí matematické logiky se od sebe trochu liší, ale pro naše účely je potřebné pouze první pojetí. Budeme se samozřejmě zabývat spíše těmi aspekty logiky, které nejsou tak striktně svázány s matematikou samotnou a které mají obecnější metodologický dosah. Brzy ale bude zřejmé, že je velmi obtížné rozlišit, co je primární, zda matematika či logika. To je dáno tím, že z historického pohledu to byla právě matematika, která přinášela a stále přináší podněty pro rozvoj logických zkoumání, a také tím, že snaha vybudovat pro matematiku pevné základy si vyžádala precizovat logické pojmy. Z tohoto pohledu se nám může zdát vztah matematiky a logiky jako uzavřený kruh, v každém případě značné metodologické hodnoty. 6)

Někdy se v tomto případě hovoří také o symbolické nebo formální logice.

7)

V takovém případě spíše než o matematické logice hovoříme o metamatematice, tj. o disciplíně, která se věnuje jazyku matematiky.

21

Kapitola 2



Jestliže začínáme hovořit o formálních vlastnostech myšlení nebo v užším smyslu usuzování, je třeba hned na počátku říci, že označení matematická logika neznamená, že jde o nějaké postupy, které jsou jen pro zasvěcené. Logika není formální proto, že pracuje se symboly, které by měly nějaký tajemný význam, je formální proto, že ji nezajímá obsah našich sdělení, ale že na základě formy úsudků odvozujeme jejich korektnost. Formální zkoumání jakéhokoli skutečného objektu a jeho vztahu k jiným objektům spočívá v odpovídající abstraktní a idealizované charakterizaci tohoto objektu a vztahů k jiným objektům či strukturám. Můžeme tedy říci, že v logice místo samotného procesu myšlení zkoumáme jazyk nebo formalizovanou a zjednodušenou verzi každodenního jazyka nebo posloupnost výpovědí o vnějším světě. Předmětem zkoumání není vztah vnějšího světa a naší případné informace. Logika (a také matematická logika) se musí budovat velice opatrně, abychom nedospěli ke sporům, které se také označují jako paradoxy8) nebo antinomie. Nejznámější je paradox lháře, nazývaný také paradox Kréťana či Epimenidův paradox. Jde o jeden z nejstarších známých logických paradoxů. Patří mezi tzv. autoreferenční paradoxy, tj. paradoxy vycházející z vlastnosti jazyka umožňující hovořit jím o jazyce – tedy o sobě samém. Byl vysloven krétským filosofem Epimenidem z Knósu někdy okolo roku 600 př. n. l. Paradox lháře bývá uváděn v mnoha různých formulacích, ačkoli jeho podstata je ve všech zněních stejná. Původní znění paradoxu vyslovené Epimenidem je následující: „Všichni Kréťané jsou lháři.“ Podstatné je, že autorem tohoto výroku je Epimenidés, který je sám Kréťan. Způsob, kterým z tohoto faktu vyplývá logický spor, je shodný pro všechny formulace. Formulace paradoxu Kréťana se od formulace Epimenidova paradoxu liší jen nepodstatně, a to tím, že autorem výroku nemusí být sám Epimenidés, ale kdokoli jiný. Paradox Kréťana zní následovně: „Epimenidés říká: ‚Všichni Kréťané jsou lháři.‘ Epimenidés je Kréťan.“ Paradox lháře je zřejmě nejmodernější reformulací popisovaného paradoxu. Zní takto: „Teď lžu.“ či „Tato věta je nepravdivá.“ Podstata paradoxu – v původní Epimenidově formulaci i ve formulaci paradoxu Kréťana si je nutné nejprve uvědomit, že sousloví „být lhářem“ se zde používá ve smyslu „lhát vždy“. Pak lze již postupovat k odvození sporu stejným způsobem jako u formulace paradoxu lháře, kterou jedinou zde rozebereme. Ze dvou uvedených variant paradoxu lháře opět rozebereme jen jednu, druhá je zcela obdobná. Mějme tedy větu: „Tato věta je nepravdivá.“ Jistě je tato věta buďto pravdivá, nebo nepravdivá (protože je to nějaké smysluplné tvrzení). Pokud je tato věta pravdivá, znamená to, že je pravda to, co tvrdí, tedy je pravda, že tato věta je nepravdivá, tedy tato věta je nepravdivá. To je ovšem spor s předpokladem, že je tato věta pravdivá. Tedy jistě je tato věta nepravdivá. Pak to ale znamená, že není pravda to, co tvrdí, tedy není pravda, že tato věta je nepravdivá, tedy tato věta je pravdivá, což je opět spor s předpokladem. Tedy v obou možných případech („věta je pravdivá“ i „věta je nepravdivá“), z nichž alespoň jeden vždy nastává, jsme došli ke sporu. Řešení paradoxu – v současné době se paradox lháře řeší tak, že se (obecný) jazyk rozčlení do několika úrovní (jazyk, metajazyk, metametajazyk…) a stanoví se, že na každé z těchto úrovní lze hovořit jen o úrovních (ostře) nižších. Pak věta „Tato věta je nepravdivá.“ je větou nějaké úrovně jazyka, která hovoří sama o sobě, tedy o své vlastní úrovni, což bylo zakázáno. Proto věta „Tato věta je nepravdivá.“ není smysluplným tvrzením a ptát se na to, jestli je pravdivá či ne, tedy nemá vůbec smysl. Uveďme ještě jednu antinomii. Jde o paradox holiče. V malém městě je jediný holič, který holí právě ty muže ve městě, kteří se neholí sami. Takové město ovšem nemůže existovat, neboť zde opět dochází ke sporu: Holí holič sám sebe? Sám sebe má holit právě tehdy, když sám sebe holit nebude. Základem každé teorie je systém vět, které přijímáme předem jako pravdivé a které nazýváme axiomy (nebo postuláty). V matematice další tvrzení vyplývají jedno z druhého a z axiomů v určitém pořadí podle jistých principů a jsou zpravidla provázeny úvahami, které mají za8)

22

Paradox je jazykový výraz překvapivého významu nebo úsudek s neočekávaným mnohdy protiintuitivním závěrem. Z řeckého para (zvrácený), doxa (myšlenka). Ve starověké filosofii nazývaný též antinomie nebo aporie.

Kapitola 2

Logika

jistit jejich platnost. O úvahách tohoto druhu hovoříme jako o důkazech, a tvrzení, jejichž platnost zajišťují, nazýváme věty (nebo teorémy9) ). Mezi termíny a symboly vyskytujícími se ve větách a důkazech rozlišujeme konstanty a proměnné. V aritmetice se např. setkáváme s konstantami typu „číslo“, „nula“ („0“),} „jednička“ („1“), „součet“ („+“) a mnoha jinými. Každý z těchto termínů má přesně vymezený význam, který v průběhu úvah zůstává neměnný. Jako proměnné používáme zpravidla jednotlivá písmena, např. v aritmetice malá písmena a, b, c, . . ., x, y, z. Na rozdíl od konstant nemají proměnné samy o sobě nějaký význam. Na otázku „má jednička takovou a takovou vlastnost?“ (např. „je jednička celé číslo?“) lze odpovědět kladně nebo záporně; odpověď může být pravdivá či nepravdivá, ale v každém případě bude mít smysl. Ale na otázku týkající se x, např. na otázku „je x celé číslo?“, nelze dát odpověď, která by měla smysl. Na straně druhé existují termíny daleko obecnějšího charakteru, které se vyskytují ve většině aritmetických tvrzení, termíny, s nimiž se setkáváme jak v úvahách běžného života, tak i ve všech možných odborných disciplínách, které představují nezbytný prostředek sdělování lidských myšlenek a usuzování v jakékoli oblasti; sem náleží slova „a“, „ne“, „nebo“, „je“, „každý“, „některý“ a mnoho jiných. Úkolem logiky je stanovit přesný význam takových termínů a formulovat nejobecnější zákony, jimiž se tyto termíny řídí. Jde vlastně o nauku o jazyku zabývající se jak jeho strukturou (syntax), tak i jeho významovou stránkou a vztahem jazyka k realitě (sémantika).

2.3

Výrokový počet

10)

Výrok je elementární pojem matematické logiky a výrokového počtu zvláště, tudíž jej můžeme vymezit pouze filosofickou definicí

FILOSOFICKÁ DEFINICE

Výrok Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho pravdivosti či nepravdivosti, nazýváme výrokem.

Pravdivostní hodnotu výroku ale nemusíme znát. Jde o jednoduché a základní stavební kameny výrokového počtu. Z hlediska gramatického výrok musí být oznamovací věta. Výroky zachycují existenci objektů, zachycují stavy a popisují děje. Výrokový počet se zabývá těmi formami usuzování, u nichž platnost závěrů nezávisí ani na smyslu, ani na vnitřní struktuře výroku, ale výhradně na pravdivosti nebo nepravdivosti výroků. Z hlediska gramatického výrok představuje oznamovací větu. Není to s nimi jednoduché. Uveďme některé příklady jak z reálného světa, tak i z matematiky.

9) Také je nazýváme poučky. 10) Místo termínu výrokový počet se používají ekvivalentní termíny výrokový kalkul nebo výroková logika.

23

Kapitola 2



PŘÍKLAD 2.2 a)

Tvrzení „50 metrů na jih stojí skála“ je výrok.

b)

Tvrzení „Jehličí píchá“ není výrok, protože např. smrkové ano, modřínové ne, tudíž nelze odpovědět, zda je tvrzení pravdivé nebo nepravdivé.

c)

Věta „Gen je biologická struktura“ je výrok (pravdivý).

d)

Věta „Gen není biologická struktura“ je výrok (nepravdivý).

e)

Tvrzení „Skála na jihu je 20 metrů vysoká“ je určitě výrok.

f)

Věta „Led taje při 0° C“ je výrok.

g)

Tvrzení „8 je číslo sudé“ je výrok (pravdivý).

h)

Věta „2 je číslo liché“ je výrok (nepravdivý).

i)

Věta „x je číslo liché“ není výrok, protože nevíme, co znamená x.

j)

Tvrzení „Zlato je chemický prvek“ je výrok (pravdivý).

k)

Tvrzení „Zlato je fialové“ je výrok (nepravdivý).

l)

Věty „Na Marsu je život“ a „Ve vesmíru je život“ jsou výroky, i když jejich pravdivost nebo nepravdivost nejsme schopni posoudit s jistotou, ale můžeme konstatovat fakt, že naše míra přesvědčení u prvního tvrzení klesá, zatímco u druhého tvrzení roste díky kosmickým výzkumům.

m)

Tvrzení „Bezbarvé zelené myšlenky zuřivě spí“ není výrok. Jde sice o gramaticky správnou větu, která je „nesmyslná“.

n)

Věta „Život je když“ není dobře sestavená, její skladba neodpovídá pravidlům skladby českého jazyka, nemá tudíž smysl se jakkoli vyjadřovat o její pravdivosti či nepravdivosti, tedy nejde o výrok. Někdy uvádíme, že tato věta odporuje syntaxi českého jazyka.

o)

Věta „Život je ostroúhlý“ je sice gramaticky správná, avšak zjevně nesmyslná vzhledem k vadnému použití predikátu ostroúhlý, nemá tudíž smysl uvažovat o její pravdivosti či nepravdivosti, tedy nejde o výrok. Někdy uvádíme, že tato věta odporuje sémantice českého jazyka.11) Někdy se latinsky označuje contradictio in adjecto.12)

p)

Tvrzení „Bude zítra pršet?“ není výrok, protože jde o tázací větu, u které nemá smysl klást otázku o její pravdivosti nebo nepravdivosti.

q)

U tvrzení „Zelená barva je nejkrásnější“ zase neurčíme, jestli je pravdivé nebo nepravdivé, tudíž nejde o výrok. Takové tvrzení se pak nazývá hypotéza (domněnka).

r)

U tvrzení „Zítra bude námořní bitva“ pro změnu rozhodne o jeho pravdivosti až čas, který je v něm uveden, proto je můžeme považovat za výrok.

s)

Věta „Existuje nekonečně mnoho prvočísel“ je zcela jistě pravdivý výrok.

Mezi termíny logické povahy existuje malá vybraná skupina slov jako „ne…“, „… a…“, „… nebo…“, „jestliže…, potom…“, „… právě tehdy, jestliže…“. Všechna tato slova jsou nám velmi dobře známa z běžného jazyka a jsou prostředkem vytváření složených výroků z jednodušších výroků. V gramatice jsou (s výjimkou slova „ne“) řazena k tzv. větným spojkám. Již jen z tohoto důvodu není přítomnost těchto slov specifickou vlastností nějaké zvláštní vědy.

11) Je nutné uvést, že v běžné komunikaci používáme často jen neúplné části vět přirozeného jazyka, rozhovor jen zřídka probíhá v celých větách, přitom si většinou rozumíme, ale to je jiná otázka. Zde budeme uvažovat o jazykových výrazech, které je možno považovat za věty jazyka. 12) Česky rozpor v přívlastku, jde o sémanticky vadné spojení, například: bezbarvá duha, kulatý čtverec, zdravý nemocný apod.

24

Kapitola 2

Logika

PŘÍKLAD 2.3 Souvětí „Gen je biologická struktura nebo na Marsu je život“ jsme vytvořili z výroků v předcházejícím příkladu užitím spojky nebo. V tomto jednoduchém případu je zřejmé, že vzhledem k tomu, že první výrok pravdivý, je i výsledný složený výrok pravdivý. To je vlastnost spojky nebo (je samozřejmě jedno, je-li pravdivý první nebo druhý výrok).

Stanovit význam a způsob používání těchto slov je úkolem základní části matematické logiky, která se nazývá výrokový počet. V dalším budeme výroky označovat zpravidla malými písmeny řecké abecedy , , , … Z jednotlivých výroků budeme vytvářet složitější výroky, které lze nazvat logická souvětí, užitím logických operací pomocí logických spojek (mnohdy ztotožňujeme logické operace s logickými spojkami). Probereme nejdůležitější spojky výrokové logiky. Předpokládejme, že  a  jsou výroky. Uvedeme pět logických operací (negaci, disjunkci, konjunkci, implikaci a ekvivalenci) reprezentovaných logickými spojkami , , ,  a . V tabulce 2.1 uvádíme jednotlivé logické spojky, jejich užití v logických operacích při vytváření logických souvětí a také čtení spojek. Upozorňujeme, že pro vybudování výrokového počtu bychom vystačili se dvěma spojkami, zbývající spojky bychom mohli odvodit. Takové vyjádření je sice přehlednější, ale je méně srozumitelné. Negace je jednomístná spojka, spojky konjunkce, disjunkce, implikace a ekvivalence jsou dvoumístné.

TABULKA 2.1 logická spojka

zapíšeme

čteme

česky



non 

není pravda, že 

konjunkce



et 

a (současně) 

disjunkce



vel 

nebo13) 

implikace



implikuje 

jestliže , potom ,  je postačující podmínka pro ,  je nutná podmínka pro 

ekvivalence



je ekvivalentní 

 právě tehdy, jestliže 

negace

DEFINICE

Formule výrokového počtu a)

Každý výrok je formule výrokového počtu.

Jsou-li a formule výrokového počtu, potom ,,,,  jsou rovněž formule výrokového počtu.

b)

c)

Všechny formule výrokového počtu vznikají konečným počtem aplikací pravidel a) a b).

13) Spojku nebo v českém jazyce je možno chápat jako spojku vylučovací (složený výrok je pravdivý, je-li pravdivý alespoň jeden z obou výroků) i nevylučovací (složený výrok je pravdivý, je-li pravdivý právě jeden z obou základních výroků), v latině spojka vel vyjadřuje nebo v nevylučovacím smyslu, proto v matematické logice (a tudíž i v matematice) ji budeme vždy chápat v nevylučovacím smyslu. Latina pro spojku nebo ve vylučovacím smyslu výraz aut … aut …, česky obvykle spojku nebo ve vylučovacím smyslu vyjadřujeme buď…, nebo….

25

Kapitola 2



Formule otevírají obrovský prostor kombinací symbolů. Abychom se v něm vyznali, je třeba si ujasnit jeho nejjednodušší části:

a)

jak vypadají formule obsahující pouze jeden výrok,

b)

jak vypadají formule obsahující pouze dva výroky.

Pravdivé a nepravdivé výroky mají hezký vztah, realizovaný spojkou negace:

a)

Z každého pravdivého výroku umíme udělat nepravdivý – např. k výroku „stříbro je žluté“ mechanicky odvodíme nepravdu „není pravda, že stříbro je žluté“, což lze ekvivalentně vyjádřit „stříbro není žluté“.

b)

Z každého nepravdivého výroku umíme udělat pravdivý – např. k výroku „zlato je fialové“ mechanicky odvodíme pravdu „není pravda, že zlato je fialové“, což lze ekvivalentně vyjádřit „zlato není fialové“.

Z daných faktů vyvozujeme důsledky tak dlouho, dokud to dokážeme nebo dokud nedojdeme k něčemu, co nám připadá tak dobré, že to chceme zrealizovat. Vyvozování důsledků provádíme úsudkem (o něm podrobněji níže), většinou s použitím pravidel nazývaných implikace. Každá implikace má formu dvojice „příčinadůsledek“. Příklady implikací:

a)

Když zapálíme papír, zůstane černý popel.

b)

Když v lese potkáme srnku, uteče.

Jednoduchými úsudky můžeme budovat rozsáhlé usuzovací řetězce, různě propojené dalšími logickými funkcemi. Tím získáváme obrazy reálných dějů – drahocennosti našeho pokladu znalostí. Tak, jak čas plyne, poznáváme objekty a výroky o nich. Pozorujeme dění kolem a sbíráme implikace. Protože tyto znalosti používáme při myšlení, schraňujeme je po celý život a budujeme si z nich svůj vnitřní svět.

a)

Zvláštní pozornost přitom věnujeme lidským tvářím a jednání s lidmi, abychom byli schopni s každým a za každé situace jednat tím nejlepším způsobem. Svoje znalosti o lidech a správném chování si hojně doplňujeme čtením novin a sledováním televize.

b)

Při pozorování světa používáme princip „podobné věci mívají podobné vlastnosti i účinky“ – jde o princip abstrakce. Takto budujeme objektové hierarchie. Přitom pečlivě sledujeme odchylky od tohoto pravidla. Svůj systém znalostí zdokonalujeme studiem knih a internetu.

c)

Důležitou roli hraje naše vzdělávání ve škole.

d)

K logice se vztahuje spousta, možná všechny anekdoty – i jejich české pojmenování vtip napovídá, že jde o chytré myšlenky.

e)

Se správným myšlením se pojí citáty a úsloví – ty většinou podávají všeobecná vodítka správného a chytrého jednání.

Většina chyb v myšlení jsou chyby úsudku:

a)

Nesplněný předpoklad.

b)

Neplatné pravidlo.

K tomu stačí přimíchat špatně vytvořené negace a neuvěřitelný propletenec je hotov. V praxi se často musíme rozhodovat i přesto, že nemáme dostatek informace pro splnění podmínek úsudku – např.:

26

a)

Rybář jde na ryby, i když neví, jestli některou chytí.

b)

Zemědělec zaseje přesto, že nezná dopředu ani průběh počasí, ani aktivitu škůdců, ani vývoj cen.

c)

Soudce musí rozhodovat přesto, že nemá všechny informace pro jednoznačný úsudek.

Kapitola 2

Logika

Neúmyslné chyby jsou námětem diskuse, úmyslné chyby jsou základem taktiky politiků a právníků. Pak se jim říká překrucování faktů, dezinterpretace, zavádějící argumentace atd. Nejde o to, jak jednotlivé spojky čteme či jaký mají význam v běžném jazyce, ale o to, jaký význam jim dáme v našem zkoumání běžného jazyka i jazyka matematiky (i když se budeme snažit neodchylovat se od přirozeného významu spojek v češtině). Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li o formuli pravdivou.14) Podle ohodnocení formulí definujeme, zda souvětí je pravdivé či

nepravdivé. Tak bude definováno pravdivostní ohodnocení pro jakoukoli formuli výrokového počtu. V tabulce 2.2 je uveden význam logické spojky negace a v tabulce 2.3 význam zbývajících logických spojek v logických operacích v závislosti na pravdivosti (a nepravdivosti) vstupních formulí  a . TABULKA 2.2 



0

1

1

0

TABULKA 2.3 











0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

Pohledem do tabulky se nám spojka implikace  jeví dosti nenápadně, přesto právě ona je základem logiky myšlení. Výrok  nazýváme předpoklad15) a výrok  závěr16) implikace . Pro implikaci platí: a)

implikace poskytuje jistotu – platí-li , vždy platí  (proto  je postačující podmínka pro  a  je nutná podmínka pro ),

b)

tedy neplatí-li , nemůže platit ,

c)

implikace je nepravdivá, jestliže předpoklad implikace  je pravdivý a závěr implikace  je nepravdivý, ve všech ostatních případech je pravdivá, mj. to ukazuje, že implikace je jediná z dvoumístných spojek, u které záleží na pořadí výroků a, tj. implikace vyjadřuje obecně něco jiného než implikace ,

d)

implikace neklade žádné další požadavky, neplatí-li , může  platit i neplatit (implikace je vždy pravdivá, když je  nepravdivé), tzn. nepravdivý výrok implikuje libovolný výrok, je to jeden z paradoxů implikace,

e)

implikace je pravdivá, je-li  pravdivé a  jakékoli, tzn. pravdivý výrok je implikován libovolným výrokem, jde o druhý z paradoxů implikace.

14) To, že jsme k označení pravdivostních hodnot pravda a nepravda použili číslice a pro označení spojek pro někoho možná nezvyklé symboly, nemá žádný skrytý (natož snad i tajemný) význam. Jde jenom o zkratky, které nám pomáhají učinit zápisy formulí přehledné. 15) Předpoklad implikace nazýváme také premisa implikace nebo antecedent implikace. 16) Závěr implikace nazýváme také konsekvent implikace.

27

Kapitola 2



Uveďme ještě jednu poznámku o vztahu přirozeného jazyka a formálního jazyka výrokového počtu, přesněji o tom, jak výrazy přirozeného jazyka formalizovat. Není to úplně jednoznačné. Logickou spojku konjunkce vyjadřujeme českou spojkou a, ale ne každé české a vyjadřuje konjunkci, o které víme, že v ní nezáleží na pořadí výroků, tj.    a    mají stejné pravdivostní ohodnocení. O tom, že ne každé české a nebo anglické and musí vyjadřovat konjunkci, se přesvědčíme na příkladech. Vyslovíme-li české věty Upadl a vstal a Vstal a upadl, tak je ihned zřejmé, že spojka a zde neznamená konjunkci (každé a v přirozeném jazyce není konjunkce), ale nejspíše časovou následnost dvou událostí. Zřejmě není třeba zvlášť argumentovat, že časová následnost závisí na pořadí výroků. Tudíž bychom mohli trochu paradoxně konstatovat, že logika začíná tam, kde už logickou strukturu věty známe. Vedle toho, že logika mluví o věci tak notoricky známé, jako je myšlení, má ještě jednu nemilou vlastnost: Vůbec ji totiž nezajímá svět kolem. Nepátrá po obloze jako astronomie, nezkoumá jevy jako třeba optika, ani si nestaví nové světy jako matematika. Vystačí si s tím, co už v hlavě máme. Logika pouze tvoří nové výroky z výroků, které jsou dány. Z tohoto pohledu je činnost logiky následující:

a)

informace se v logickém kroku logiky plně zachovává – to je tzv. tautologie,

b)

informace se v logickém kroku částečně ztrácí – to je tzv. dedukce,

c)

informace v logickém kroku se změní tak, že něco nového přibude – jde o logickou chybu, např. chybná indukce.

Pro nás jsou důležité tautologie.

DEFINICE

Tautologie Tautologie (výrokového počtu) je každá formule výrokového počtu, která je vždy pravdivá (tj. bez ohledu na pravdivost či nepravdivost vstupujících výroků).

PŘÍKLAD 2.4 Dokážeme, že formule je tautologie. Řešení 



0

1

1

1

Tedy formule je tautologie a nazývá se zákon totožnosti.

PŘÍKLAD 2.5 Dokážeme, že formule je tautologie. Řešení 





0

1

1

1

0

1

Tedy formule  je tautologie. Byla známa již ve starověku a nazývá se zákon vyloučené třetí možnosti (v latině se uvádí tertium non datur, tj. třetí možnost není dána), neboli věci jsou buď tak, nebo naopak, třetí možnost není.

28

Kapitola 2

Logika

Poznamenejme, že negace je velmi náchylná k chybám. Je to proto, že přirozený jazyk zná několik způsobů vytváření opaku. Opakem „černé barvy“ je pro někoho „bílá“, pro jiného „bílá nebo barevná“, pro logika je to pouze barva „nečerná“. Tím se pro výrok „barva je černá“ dosáhne žádoucí stav, kdy spolu se svou negací tvoří dvojici výroků, které pokrývají všechny možné barvy.

PŘÍKLAD 2.6 Dokážeme, že formule () je tautologie. Řešení 





()

0

1

0

1

1

0

0

1

Tedy formule () je tautologie. Nazývá se někdy zákon sporu.

PŘÍKLAD 2.7 Dokážeme, že formule  je tautologie. Řešení 







0

1

0

1

1

0

1

1

Tedy formule  je rovněž tautologie. Jde o zákon dvojné negace, tj. výrok i jeho dvojná negace vyjadřují totéž.

PŘÍKLAD 2.8 Dokážeme, že formule ()  () je tautologie. Řešení 







()  ()

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

Tedy formule ()  () je tautologie.

29

Kapitola 2



PŘÍKLAD 2.9 Dokážeme, že formule ()  () je tautologie. Řešení 











()  ()

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

Tedy i tato formule (  )  (  ) je tautologie. Jde o pravidlo kontrapozice, tj. implikace a  vyjadřují totéž.

PŘÍKLAD 2.10 Dokážeme, že formule ()  () a ()  () jsou tautologie. Řešení 









()



()  ()

0

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

1











()



()  ()

0

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

Tedy i formule ()  () a ()  () jsou tautologie. Souhrnně se nazývají de Morganova pravidla, tj. negace disjunkce je konjunkce negací a negace konjunkce je disjunkce negací.

PŘÍKLAD 2.11 Dokážeme, že formule ()  () je tautologie. Řešení 









( ))  (( )

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

Rovněž formule ()  () tautologie. Ukazuje vyjádření implikace disjunkcí a negací.

30

Kapitola 2

Logika

PŘÍKLAD 2.12 Dokážeme, že formule ()   je tautologie. Řešení 







()  

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

1

Rovněž formule ()   tautologie. Nazývá se Duns Scotův17) zákon a vyjadřuje, že ze sporu vyplývá cokoli.

PŘÍKLAD 2.13 Dokážeme, že formule ()  () je tautologie. Řešení 







()  ()

0

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

Tedy i tato formule ()  () je tautologie.

Uvedeme přehled některých tautologií:18)  (  ) a  (  ) (zákony idempotence),   (  ) (zákon simplifikace), ((  )  )   (Peirceův zákon), (  )  (  ) (negace implikace), (  )  (  ), (  )  ((  )  (  )) (negace ekvivalence), (  )  ((  )  (  )) (zákon ekvivalence, ekvivalence je konjunkce implikací zleva doprava a zprava doleva). Tyto tautologie ukazují, že při budování výrokového počtu vystačíme se dvěma spojkami negace a implikace, příp. negace a disjunkce, příp. negace a konjunkce. To je vše, vše co je nutné vědět a čeho se držet – všechno ostatní je odvozeno od tohoto základního schématu. 17) Jan (Johannes) Duns Scotus (Skotský), byl též nazýván doctor marianus („učitel mariánský“) nebo doctor subtilis („učitel přesný, důsledný“), *pravděpodobně 1266, Duns, Skotsko – + 8. listopadu 1308, Kolín nad Rýnem, jeden z nejproslulejších teologů a myslitelů nejen své doby. Byl rozený Skot (proto jeho příjmení), Duns je pravděpodobně upřesnění dle jeho rodiště. Zákon, po něm nazvaný, formuloval takto: Ze dvou odporujících si tvrzení plyne cokoliv. Lze jej také vyjádřit, že kontradikce je explozivní nebo kontradikce implikuje libovolný výrok. 18) Důkaz, že jde o tautologie, je obsažen v neřešených příkladech s výsledky v této kapitole, tedy pečlivý čtenář si to dokáže sám.

31

Kapitola 2



PŘÍKLAD 2.14 Dokážeme, že formule  = (  )  ((  )  (  )) je tautologie. Řešení 











(  )  (  )



0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Tedy formule  = (  )  ((  )  (  )) je tautologie.

PŘÍKLAD 2.15 Dokážeme, že formule  = (  (  ))  ((  )  (  )) je tautologie. Řešení Opět standardně vyplníme tabulku. 











  (  )

(  )  (  )



0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Tedy formule  = (  (  ))  ((  )  (  ) je také tautologie.

Uveďme ještě některá odvozovací pravidla (nazývaná také dedukční pravidla), která umožňují přechod od pravdivých tvrzení k pravdivým tvrzením. Pravidlo substituce – tautologie zůstane tautologií, i když v ní nahradíme každý výskyt určitého výroku jednou a toutéž formulí. Pravidlo ekvivalentního nahrazení – je-li  formule, která obsahuje alespoň na jednom místě podformuli , jestliže platí, že je ekvivalentní s , a jestliže formule  vznikne nahrazením libovolného počtu výskytů formule  formulí  ve formuli , pak  je ekvivalentní s . Pravidlo odloučení (latinsky modus ponens nebo modus ponendo ponens) – platí-li  a platí-li implikace   , potom také platí , tj. formule ( (  ))   je tautologie.

32

Kapitola 2

Logika

Modus tollens nebo modus tollendo tollens – jde o odvozovací pravidlo, které praví: neplatí-li  a platí-li implikace   , potom neplatí , tj. formule ( (  ))   je tautologie. Modus tollendo ponens – jde o odvozovací pravidlo (první ze dvou pravidel disjunktivního sylogismu), které říká: neplatí-li  a platí-li disjunkce  , potom platí , tj. formule ( (  ))   je tautologie. 19) Pravidlo řezu – jde o odvozovací pravidlo, které praví: platí-li disjunkce    a  , potom platí disjunkce  , tj. formule (( )  (  ))  (  ) je tautologie.

PŘÍKLAD 2.16 Uveďme příklad modu ponendo ponens. Hujer byl v práci. () Jestliže byl Hujer v práci, pak se viděl s Hliníkem. (  ) Tedy: Hujer se viděl s Hliníkem. ()

PŘÍKLAD 2.17 Uveďme příklad modu tollendo tollens. Jestliže Hujer je vinen, pak byl na místě zločinu ve chvíli jeho spáchání. (  ) Hujer nebyl na místě zločinu ve chvíli jeho spáchání. () Tedy: Hujer není vinen. ()

PŘÍKLAD 2.18 Uveďme příklad modu tollendo ponens. Hujer nemá pravdu. () Pravdu má Hliník nebo pravdu má Hujer. (  ) Tedy: Pravdu má Hliník. ()

Pro úplnost zaveďme ještě termín kontradikce.

DEFINICE

Kontradikce Každou formuli výrokového počtu, která je vždy nepravdivá (tj. bez ohledu na pravdivost či nepravdivost vstupujících výroků), nazveme kontradikcí výrokového počtu.

19) Podmínkou úspěšné argumentace v modu tollendo ponens je úplnost disjunkce – nesmí existovat další, v disjunkci neuvedená alternativa. Usuzování z neúplné disjunkce je velmi častou chybou!

33

Kapitola 2



PŘÍKLAD 2.19 Dokážeme, že formule   je kontradikce. Řešení 



 

0

1

0

1

0

0

Tedy formule   je kontradikce.

VĚTA (o vztahu mezi tautologií a kontradikcí) Negace tautologie je kontradikce. Negace kontradikce je tautologie.

PŘÍKLAD 2.20 Víme, že formule   je tautologie, tudíž formule ( ) je kontradikce. Víme, že formule   je kontradikce, tudíž formule ( )je tautologie.

PŘÍKLAD 2.21 Dokážeme, že formule ( )  ( ) je kontradikce. Řešení 



 

 

( )  ( )

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

Tedy formule ( )  ( ) je kontradikce a formule (( )  ( )) je tautologie.

PŘÍKLAD 2.22 Dokážeme, že formule ( ) je kontradikce. Řešení 

 

( )

0

1

0

1

1

0

Tedy formule ( ) je kontradikce a formule ( ) je tautologie.

34

Kapitola 2

Logika

PŘÍKLAD 2.23 Dokážeme, že formule ( )  ( ) je kontradikce. Řešení 





 

 

( )  ( )

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

Rovněž formule (  )  (  ) kontradikce a formule ((  )  (  )) je tautologie.

PŘÍKLAD 2.24 Dokážeme, že formule ( )  ( ) je kontradikce. Řešení 







 

 

( )  ( )

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

0

Tedy i formule ( )  ( ) je kontradikce a formule (( )  ( )) je tautologie.

DEFINICE

Splnitelná formule Formule výrokového počtu  se nazývá splnitelná, jestliže není kontradikce.

Tj. formule je splnitelná, když pro ni existuje alespoň jedno pravdivé ohodnocení. Určitě platí: Každá tautologie je také splnitelná formule. Také platí: Formule výrokového počtu není splnitelná právě tehdy, jestliže je kontradikce.

PŘÍKLAD 2.25 Dokážeme, že formule   a   jsou splnitelné. Řešení 



 

 

0

1

1

0

1

0

0

1

Formule   a   nejsou kontradikce, proto jde o splnitelné formule, které nejsou tautologie.

35

Kapitola 2



PŘÍKLAD 2.26 Dokážeme, že formule ( )  ( ) je splnitelná. Řešení 



 

 

( )  ( )

0

0

1

1

1

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

Tedy i formule ( )  ( ) je splnitelná a není tautologie.

PŘÍKLAD 2.27 Dokážeme, že formule  = (( )  )  ( ( )) je splnitelná. Řešení 







 

 

( )  

 ( )

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Tedy formule  = (( )  )  ( ( )) je splnitelná, ale není tautologie.

Zavádějí se i další spojky, my uvedeme tři dvoumístné. 



 

 

 

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

Logická operace   se nazývá exkluzivní disjunkce (příp. alternativa, příp. nonekvivalence, příp. vylučovací nebo, příp. XOR20) ). Formuli   čteme česky: buď , nebo . Logická operace    se nazývá Shefferův operátor (příp. NAND21) ). Shefferův operátor vyjadřuje neslučitelnost výroků a formuli   také česky lze číst: nikoli  a  současně. Logická operace   se nazývá Pierceova šipka (nebo také Nicodův operátor nebo NOR22) ). Pierceova šipka vlastně představuje oboustranný zápor, proto formuli   česky čteme: ani , ani . Spojky XOR, NAND a NOR se používají mj. při programování. 20) Termín XOR je odvozen z anglického exclusive or, tj. vylučovací nebo. 21) Termín NAND je odvozen z anglického not and (ne a), protože jde o negaci konjunkce. 22) Termín NOR je odvozen z anglického not or (ne nebo), protože jde o negaci disjunkce.

36

Kapitola 2

Logika

Uvedeme některé tautologie, které ukazují, že novými spojkami nezískáme nic nového: ( )  ( ), ( )  ( ), ( )  (( )  ( )), ( )  (( )  ( )), ( )  (( )  ( )), ( )  (( )  ( )), ( ), ( ), ( )  ( ), ( )  ( ), ( )  ( ), ( )  ( ), ( )  ( ), ( ) ( ), ( ) , (( ) ( ))  ( ), (( ) ( ))  ( ), ( )  ( ), ( )  ( ), ( ) ( ), ( ) , (( ) ( ))  ( ), (( ) ( ))  ( ). Doplníme ještě odvozovací pravidla o jedno. Modus ponendo tollens – jde o odvozovací pravidlo (druhé ze dvou pravidel disjunktivního sylogismu) pro exkluzivní disjunkci, které říká: z    a  lze korektně odvodit , tj. formule (( )  )  je tautologie.23)

PŘÍKLAD 2.28 Uvedeme příklad modu ponendo tollens. Hliník má pravdu. () Buď Hliník má pravdu, nebo Hujer má pravdu. ( ) Tedy: Hujer nemá pravdu. ()

23) Podmínkou úspěšné argumentace v modu ponendo tollens je, aby se členy disjunkce vzájemně vylučovaly, aby nemohly platit oba zároveň. Pokud by mohly platit obě alternativy současně, pak by samozřejmě platnost  ještě nevylučovala platnost .

37

Kapitola 2



2.4

Predikátový počet

24)

Nejen v matematice, ale i v jiných disciplínách je velice důležité používání proměnných a vyjádření toho, že je nějaká vlastnost splněna „pro všechny“ nebo „pro některé“ prvky určité množiny. Zacházení s proměnnými i se splněním nějaké vlastnosti pro všechny nebo některé prvky množiny je úkolem predikátového počtu. Pro snazší popis těchto charakteristik zavádíme predikáty s volnou proměnnou, které popisují vlastnosti prvků v množině a jsou vázány na elementární pojem výrokového počtu, kterým je výrok. Další pojmy predikátového počtu jsou spjaty s elementárním pojmem predikát, např. predikáty s volnou proměnnou jsou nejjednodušší formule predikátového počtu.

DEFINICE

Predikát s volnou proměnnou Je-li M množina, potom ( x ) je predikát s volnou proměnnou25) x na množině M, jestliže platí: dosadíme-li za x v ( x ) libovolný prvek c množiny M, potom ( c ) je výrok (ať již pravdivý, nebo nepravdivý).

PŘÍKLAD 2.29 Tvrzení „jehličí píchá“ není výrok, protože někdy platí (smrk), někdy ne (modřín). Abychom z něj udělali výrok, musíme je doplnit, např.:

a)

„každé jehličí píchá“ – výrok nepravdivý,

b)

„některé jehličí píchá“ – výrok pravdivý,

c)

„smrkové jehličí píchá“ – výrok pravdivý,

d)

„modřínové jehličí píchá“ – výrok nepravdivý.

Uděláme-li logickou analýzu, tak množina M obsahuje např. čtyři prvky: smrkové jehličí, borové jehličí, jedlové jehličí a modřínové jehličí, proměnná je jehličí a predikát s volnou proměnnou jehličí je  (jehličí) = jehličí píchá. Dosadíme-li za jehličí prvky množiny M, dostáváme výrok.

PŘÍKLAD 2.30 Jako množinu M uvažujme množinu všech kladných přirozených čísel a symbolem (x) označíme tvrzení x je sudé číslo. Je zřejmé, že (x) je predikát s volnou proměnnou x na množině všech kladných přirozených čísel, protože dosadíme-li za x v (x) libovolné kladné přirozené číslo, dostáváme výrok.

24) Místo termínu predikátový počet se používají ekvivalentní termíny predikátový kalkul nebo predikátová logika. 25) Někdy se místo termínu predikát s volnou proměnnou používá termín výroková forma nebo podmínka s volnou proměnnou. Termín predikát také zdůvodňuje, proč se tato část logiky nazývá predikátový počet.

38

Kapitola 2

Logika

Značení Je-li ( x ) predikát s volnou proměnnou x na množině M, symbolem {x ; ( x )} označíme množinu všech prvků x z množiny M, pro které je ( x ) pravdivé.

Pro studium je používání proměnných otázkou významné důležitosti, protože představuje základ symboliky. Uvažujeme-li množinu {x; (x)}, zajímá nás, kdy je tato množina prázdná, kdy je neprázdná, kdy je totožná s množinou M. Tyto skutečnosti lze vyjádřit kvantifikátory.

Značení Jestliže {x ; ( x )} = M, potom tuto skutečnost zapíšeme 6 ( (x)) a čteme pro všechna xdM

(nebo pro každé nebo pro libovolné) x z množiny M je ( x ) (pravdivé). Symbol  se nazývá obecný (nebo univerzální nebo velký) kvantifikátor.26) Jestliže {x ; ( x )} =4 (tzn. množina obsahuje alespoň jeden prvek), potom tuto skutečnost zapíšeme 7 ( (x)) a čteme existuje (alespoň jedno) x z množiny M takové, xdM

že ( x ) (je pravdivé) nebo pro některé x z množiny M je ( x ) (pravdivé). Symbol  se nazývá existenční (nebo malý) kvantifikátor.27)

PŘÍKLAD 2.31 Jako množinu M uvažujme množinu všech kladných přirozených čísel a symbolem (x) označíme tvrzení x je sudé číslo. Označme P množinu {x; (x)}. Množina P je neprázdná (např. 2  P), proto je pravdivé tvrzení existuje alespoň jedno x z množiny M takové, že (x), což můžeme zapsat 7 ( (x)). Protože P  M (např. 1  P M), neplatí 6 ( (x)), takže je xdM

xdM

pravdivé tvrzení J 6 ( (x)) (tzn. ne pro všechna x z množiny M je (x) pravdivé). xdM

PŘÍKLAD 2.32 Označme symbolem Z množinu všech celých čísel a symbolem (n) označíme tvrzení n2 = 25. Označme A množinu {n; (n)}, tj. A = {n; (n)} = {n; n2 = 25}. Množina A obsahuje právě dva různé prvky –5 a 5, tedy A = {n; (n)} = {n; n2 = 25} = {–5; 5} 4, proto je pravdivé tvrzení existuje alespoň jedno n z množiny Z takové, že (n) je pravdivé, což můžeme zapsat

7 ( (n)) . Protože A  Z (např. 2  A Z), neplatí 6 ( (n)) , takže je pravdivé tvrzení ndZ J 6 ( (n)) (tzn. není pravda, že pro všechna n z množiny Z je (n) pravdivé). ndZ

ndZ

Samozřejmě mohli bychom uvést mnohá další tvrzení takového typu.

DEFINICE

Formule predikátového počtu a)

Každý predikát je formule predikátového počtu.

b)

Jsou-li  a  formule predikátového počtu, potom ,  ,  ,   a   jsou rovněž formule predikátového počtu.

c)

Je-li  formule predikátového počtu a M množina, potom 6  a 7  jsou forxdM xdM mule predikátového počtu.

d)

Všechny formule predikátového počtu vznikají konečným počtem aplikací pravidel a), b) a c).

26) Znak  pro univerzální kvantifikátor vznikl převrácením písmena A z anglického All – všechno, každý. 27) Znak  pro existenční kvantifikátor vznikl převrácením písmena E z anglického Exists – existuje.

39

Kapitola 2



DEFINICE

Tautologie predikátového počtu Tautologie (predikátového počtu) je každá formule predikátového počtu, která je vždy pravdivá.

Poznamenejme, je-li nějaká formule tautologie výrokového počtu, potom je i tautologií predikátového počtu. Uvedeme dvě tautologie predikátového počtu.

VĚTA (de Morganova pravidla pro predikátový počet) Formule

a)

J 6 ( (x)) + 7 J ( (x)) ,

b)

J 7 ( (x)) + 6 J ( (x))

xdM

xdM

xdM

xdM

jsou tautologie predikátového počtu.

Slovně lze tyto tautologie formulovat takto:

a)

neplatí pro všechna x z množiny M (x) právě tehdy, jestliže existuje x z množiny M takové, že neplatí (x),

b)

neexistuje x z množiny M takové, že (x) právě tehdy, jestliže pro všechna x z množiny M neplatí (x) .

PŘÍKLAD 2.33 Uvažujme formuli  = 6 (x 2 3). Určíme její negaci a užitím de Morganových pravidel pro xdM

predikátový počet ji maximálně zjednodušíme. Řešení

J = J 6 (x 2 3) + 7 J (x 2 3) + 7 (x # 3) . xdM

xdM

xdM

PŘÍKLAD 2.34 Uvažujme formuli  = 7 (x $ 7). Určíme její negaci a užitím de Morganových pravidel pro xdM

predikátový počet ji maximálně zjednodušíme. Řešení

J = J 7 (x $ 7) + 6 J (x $ 7) + 6 (x 1 7) . xdM

40

xdM

xdM

Kapitola 2

Logika

PŘÍKLAD 2.35 Uvažujme formuli  = 6

7 (x = y + 3). Určíme její negaci a užitím de Morganových pravidel pro predikátový počet ji maximálně zjednodušíme. xdM ydN

Řešení

J = J 6

7 (x = y + 3) + 7 J 7 (x = y + 3) + 7

xdM ydN

xdM

ydN

6 J(x = y + 3) + 7

xdM ydN

6 (x ! y + 3) .

xdM ydN

Poznamenejme, že obsahuje-li formule predikátového počtu na svém začátku dva různé kvantifikátory, potom záleží na pořadí kvantifikátorů. De Morganova pravidla pro predikátový počet lze ekvivalentně formulovat takto: Formule

a) b)

6 ( (x)) + J 7 J ( (x)) ,

xdM

xdM

7 ( (x)) + J 6 J ( (x))

xdM

xdM

jsou tautologie predikátového počtu.

PŘÍKLAD 2.36 Uvažujme tvrzení: Každý člověk je smrtelný. Vytvoříme-li predikát s volnou proměnnou člověk, tj. (člověk) = člověk je smrtelný. Užijeme-li ekvivalenci a), potom původní tvrzení je ekvivalentní formulaci Neexistuje člověk takový, že není smrtelný, což lze ekvivalentně formulovat takto: Žádný člověk není nesmrtelný. Shrneme-li, platí – věty Každý člověk je smrtelný a Žádný člověk není nesmrtelný jsou ekvivalentní.

41

Kapitola 2



2.5

Neřešené příklady s výsledky Příklad 1: Rozhodněte, zda formule jsou splnitelné, nebo tautologie, nebo kontradikce, jestliže:

a)

( )  

b)

  

c)

  ( )

d)

  ( )

e)

( )  ( )

f)

  ( ),

g)

  ( ),

h)

  ( ),

i)

( )  ,

j)

( )  ( ),

k) l)

  ( ), ( ) ( ),

m)

  ( ),

n)

( )  ( ),

o)

( )  ,

p)

( )  ,

q)

( )  ( ),

r)

( )  ( ),

s)

( )  ( ),

t)

( )  ( ),

u)

( )  ,

v)

( )  ,

w)

( )  ( ),

x)

( )  ( ),

y)

  ( ),

z)

  ( ).

Výsledky Jde vesměs o tautologie, které nejsou kontradikce, tudíž jde i o splnitelné formule.

42

Kapitola 2

Logika

Příklad 2: Rozhodněte, zda formule jsou splnitelné, nebo tautologie, nebo kontradikce, jestliže:

a)

( )  ( ),

b)

  ( ),

c)

  ( ),

d)

 ( ),

e)

 ,

f)

( )  ( ),

g)

( )  ( ),

h)

 ( ),

i)

( )  ( ),

j)

( )  (( )  (  )),

k)

( )  ( ),

l)

( )  ( ),

m)

( )  ( ),

n)

( )  ( ),

o)

( )  ( ),

p)

 ( ),

q)

 ( ),

r)

 ( (  )),

s)

 ( (  )),

t)

( ) ,

u)

( )  ( ),

v)

( )  ( ),

w)

( ) ( ),

x)

( )  (( )  (  )),

y)

( )  (( )  (  )),

z)

( )  (( )  (  )).



a)

( )  (( )  (  )),

b)

( )  ( ),

c)

( )  ( ),

d)

( )  ( ),

e)

( ) ( ),

f)

( ) ( ),

43

Kapitola 2


g)

( )  ( ),

h)

( )  ( ),

i)

 ( ),

j)

 (),

k) l)


( )  ( ), ( )  (( )  ( )),

m)

( )  ( ),

n)

( ) ,

o)

(  ( )) ,

p)

(  ( )) ,

q)

( )  (( )  ( )),

r)

( )  (( )  ( )),

s)

( )  (( )  ),

t)

( )  (( )  ),

u)

(  ( ))  ,

v)

(  ( ))  ,

w)

(  ( ))  ,

x)

(  ( )),

y)

(( )  )  (  ( )),

z)

( )  .



a)

(  ),

b)

( )  ( ),

c)

( )  (( )  ( ),

d)

( )  ( ),

e)

( )  ( ),

f)

(( )  ),

g)

( )  (( )  ),

h)

( )  (( )  ),

i)

( (  )),

j)

(( )  ),

k)

44

( ( ))  (( )  ( )),

l)

( ( ))  (( )  ( )),

m)

( ( ))  (( )  ( )),

n)

( )  (( )  ( )),

Kapitola 2

Logika

o)

( )  (( )  ( )),

p)

( )  (( )  (( )  )),

q)

( )  (( )  ( )),

r)

(( )  )  (  ( )),

s)

(( )  )  (  ( )),

t)

(( )  )  (  ( )),

u)

(( )  )  (  ( )),

v)

(( )  )  (  ( )),

w)

(( )  )  (  ( )),

x)

( ( ))  ((  )  ( )),

y)

(( )  )  (  ( )),

z)

( ( ))  ((  )  ( )).



a)

( )  ((  ( ))  ( )),

b)

( (  ))  ( (  )),

c)

(( )  )  (  ( )),

d)

(( )  )  ((  )  ( )),

e)

(( )  )  ((  )  ( )),

f)

(( )  )  (  ( )),

g)

(( )  ( ))  ( ).



a)

( )  (  ),

b)

( ) ((  )  (  )),

c)

( ) (( )  (  )),

d)

( ) ((  )  (  )),

e)

( ) (( )  (  )),

f)

( ),

g)

( ),

h)

( ) ( ),

i)

( ) ( ),

45

Kapitola 2


j) k) l)

( ) ( ), ( )  ( ), ( ) ( ),

m)

( ) ,

n)

(( ) ( ))  ( ),

o)

(( ) ( ))  ( ),

p)

( )  ( ),

q)

( )  ( ),

r)

( )  (  ),

s)

( )  ( ),

t)

( )  ( ),

u)

( )  ,

v)

(( ) ( ))  ( ),

w)

(( ) ( ))  ( ),

z)


(( ) ) .


Příklad 7: Negujte následující formule predikátového počtu a užitím de Morganových pravidel pro predikátový počet je maximálně zjednodušte:

a)

 = 6 (x # 4) ,

g)

 = 6 (x z B) ,

b)

 = 6 (x ! -5) ,

h)

 = 7 (x d K) ,

c)

 = 7 (x = 4) ,

i)

 = 6 (x d (0, 5)) ,

d)

 = 7 (x $ 5) ,

j)

= 6

7 (x + y # 5) ,

e)

 = 6 (x d C) ,

k)

= 7

6 (x - 5 = y + 2) .

f)

 = 7 (x z L) ,

xdM xdM xdM xdM xdA

xdA xdA

x d -1,2

xdM ydN xdM ydN

xdA

Výsledky

46

a)

J + 7 (x 2 4) ,

g)

J + 7 (x d B) ,

b)

J + 7 (x = -5) ,

h)

J + 6 (x z K) ,

c)

J + 6 (x ! 4) ,

i)

J +

d)

J + 6 (x 1 5) ,

j)

J + 7

6 (x + y 2 5) ,

e)

J + 7 (x z C) ,

k)

J + 6

7 (x - 5 ! y + 2) .

f)

J + 6 (x d L) ,

xdM xdM xdM xdM xdA xdA

xdA xdA

7

x d -1, 2

(x z (0, 5)) ,

xdM ydN xdM ydN

Kapitola 2

Logika

2.6

Dodatek Často se zdá, že spravedlnost odchází, zatímco přichází, jindy ji zase lidské oko vidí přicházet, ale ona odchází, aby se po čase navrátila. Vrcholí středověk. Cestovatel, který se při svých cestách dostal do Persie, se při svém vstupu do sídelního města setkal s kočárem, ve kterém jel velký šáh do paláce. Neznal tamní zvyky, proto nepadl okamžitě před šáhem do prachu silnice. Byl ihned šáhinšáhovými strážci zajat a odveden před vládce, který jej bez mrknutí oka odsoudil k trestu smrti. Šlo o cizince, tudíž dostal možnost ovlivnit způsob popravy, proto veliký šáh prohlásil: „Jestliže bude zítra ráno tvůj první výrok pravdivý, potom budeš sťat. Jestliže bude zítra ráno tvůj první výrok nepravdivý, potom budeš pověšen.“ Teď byla každá rada drahá. Udělejme nejprve logickou analýzu tohoto tvrzení. Symbolem  označme výrok zítra ráno bude tvůj první výrok pravdivý, symbolem  výrok budeš sťat a symbolem  výrok budeš pověšen. Šáhinšáhův rozsudek lze tedy symbolicky zapsat: (  )(  ). Prozkoumejme tuto výrokovou formuli: 









  

(  )(  )

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

tedy formule (  )(  ) je tautologie, tj. ať si zvolí cestovatel cokoli, vždy zemře. Jenže všechno je jinak (jak praví prastará anekdota). Samotné zadání je sporné. Právě tohoto rozporu využil cestovatel a jeho první výrok ráno zněl: „Budu pověšen.“ Tímto výrokem se zachránil. Proč? Šáhinšáh shledal, splní-li výrok, potom byl výrok pravdivý a cestovatel musí být sťat, a zároveň nesplní-li tento výrok a dá jej setnout, potom cestovatel řekl výrok nepravdivý a měl být pověšen. A protože příběh má končit happyendem, šáhinšáh cestovatele propustil a za jeho moudrost jej štědře odměnil. Potom žili všichni šťastni, spokojeni, ale věčné štěstí nikde není. Poznamenejme, že vždy to tak nedopadne. Jsou mudrci a vědění jim nepomůže, a jsou hlupáci a nezajdou na svou hloupost. Někdy uštkne had kejklíře, který po celý život cvičí hady, a někdy chytí hada někdo, kdo ani neví jak. Což lze shrnout: Má-li člověk špatné údaje, ale dokonalou logiku, pak jsou jeho závěry jistě mylné. Dopřeje-li si sem tam nějakou trhlinu v logickém uvažování, může díky náhodě dospět ke správnému výsledku. Pro úplnost dodejme, že jde o další verzi paradoxu lháře.

47

Kapitola 2




V této kapitole jsme se věnovali historickým aspektům vzniku i rozvoje logiky jako nauky o tom, jak z pravdivých tvrzení odvodit pravdivá tvrzení.

•

Dále jsme se zabývali matematickou logikou jako takovou částí logiky, která používá matematické metody.

•

Ve výrokovém počtu jsme zavedli pojem výrok, logické spojky negaci, konjunkci, disjunkci, implikaci a ekvivalenci, vytvořili jsme formule výrokového počtu, podle kterých umíme rozhodnout, zda jsou tautologie, kontradikce nebo splnitelné formule. Doplňkově jsme si uvedli spojky exkluzivní disjunkce, Shefferův operátor a Pierceovu šipku.

•

V predikátovém počtu jsme studovali predikát s volnou proměnnou, věnovali jsme se kvantifikátorům a vytvořili jsme formule predikátového počtu. Použitím de Morganových pravidel pro predikátový počet jsme zjednodušovali negace formulí predikátového počtu.

Klíčová slova

48

logika

paradox lháře (Kréťana)

matematická logika

výrokový počet

predikátový počet

výrok, negace

konjunkce

disjunkce

implikace

ekvivalence

formule výrokového počtu

tautologie, kontradikce

splnitelná formule

exkluzivní disjunkce

Shefferův operátor

Pierceova šipka (Nicodův operátor)

predikát s volnou proměnnou

obecný kvantifikátor

existenční kvantifikátor

formule predikátového počtu

de Morganova pravidla pro predikátový počet

tautologie predikátového počtu

kapitola

Grafy

3

Grafy

Kapitola 3

3. kapitola Grafy Úvod V této kapitole se budeme věnovat některým základním pojmům teorie grafů. Zavedeme pojem graf, orientovaný graf, cesta v grafu, cyklus v grafu. Dále se budeme věnovat speciálním grafům, které se nazývají stromy, jimiž budeme reprezentovat aritmetické výrazy i formule výrokového počtu.

53

Kapitola 3



3.1

Trochu historie Nejprve trochu historie. Tradičně se za zakladatele teorie grafů považuje Leonhard Euler, který roku 1736 řešil úlohu, jak projít přes sedm mostů přes řeku Pregel v Königsbergu28) (každý z nich právě jednou) a vrátit se do výchozího místa. To v moderní teorii odpovídá pojmu eulerovský graf.

Mosty v Königsbergu

OBRÁZEK 3.1 (a)

(b)

Sedm mostů města Königsbergu je slavný, již vyřešený matematický problém, založený na skutečném místě a skutečné situaci. Pruské město Königsberg leží na řece Pregel, která vytváří dva ostrovy, které byly s ostatním městem spojeny sedmi mosty (viz obr. 3.1 (a) – dnes tomu tak není, protože dva z mostů byly zničeny za britského náletu v roce 1944, další dva byly později zničeny Sověty při stavbě dálnice a jeden ze zbývajících tří mostů byl zničen ještě před druhou světovou válkou a znovu vybudován Němci v roce 1935). Otázka zněla, zda je možné je všechny přejít tak, aby ten, kdo se o to pokouší, vyšel z jednoho místa, vstoupil na každý most pouze jednou (aniž by přeplaval řeku) a vrátil se zpět na výchozí místo (viz obr. 3.1 (a)). Úlohou se zabývali a bavili obyvatelé Königsbergu v 18. stol. Teprve Leonhard Euler v r. 1736 dokázal, že taková procházka není možná. Ke svému důkazu použil následující zjednodušení. Oba břehy a každý ostrov označil jako A, B, C a D (viz obr. 3.1 (b)) a vytvořil z nich body, mosty označil jako spojnice mezi odpovídajícími body (viz obr. 3.2). Má-li existovat požadovaná procházka mosty, museli bychom být schopni projít všemi spojnicemi právě jednou a vrátit se do výchozího bodu. Ale to není možné, protože kdyby taková procházka byla možná, musíme každým bodem (ostrovem nebo břehem) projít sudý počet krát, jinými slovy – z každého bodu musí vycházet sudý počet spojnic. Kdybychom chtěli mosty jenom projít a netrvali bychom na tom, že se chceme zase vrátit do místa, ze kterého jsme vyšli, směli bychom mít dva body, ze kterých vychází lichý počet spojnic (to by byly první a poslední bod naší procházky). Na obr. 3.2 ze všech čtyř bodů vychází lichý počet spojnic. Největší význam Eulerovy úvahy je v tom, že poprvé použil body spojené spojnicemi ke zjednodušení problému, který studoval. Teorie grafů se právě zabývá řešením úloh, které se „dají převést na obrázky bodů spojených spojnicemi“.

28) Česky Královec (jméno vzniklo podle toho, že město založil český král Přemysl Otakar II.), v latině se nazývá Regiomontum, dnes je město na území Ruska a nazývá se Kaliningrad.

54

Kapitola 3

Grafy

Eulerovo řešení

OBRÁZEK 3.2 C

A

D

B

Neorientovaný graf

OBRÁZEK 3.3

3

4

1

8

V roce 1845 publikoval Gustav Kirchhoff zákony, které platí v elektrických obvodech a slouží k výpočtu napětí a proudu v jednotlivých větvích obvodu. V teorii grafů našly své uplatnění při studiu tzv. toků v sítích. V roce 1852 předložil Francis Guthrie takzvaný problém čtyř barev — tedy otázku, zda je možné obarvit libovolnou mapu pomocí nejvýše čtyř barev tak, aby každé dvě sousední země (které mají společnou hranici delší než jediný bod) měly odlišnou barvu. Byl vyřešen až o více než sto let později, přičemž pro jeho řešení bylo zavedeno mnoho zásadních konceptů teorie grafů.

55

Kapitola 3



3.2

Grafy Graf je základním objektem a pojmem teorie grafů.

DEFINICE

Graf, vrchol grafu, hrana grafu, smyčka, triviální graf Graf (nebo neorientovaný graf) G je definován dvěma množinami V a E, kde V je nějaká neprázdná konečná množina a E konečná množina některých dvojic prvků z V. Prvky množiny V se nazývají vrcholy grafu (někdy se pro vrcholy používá též pojem uzly) a prvky množiny E se nazývají hrany grafu a mohou to být buď uspořádané, nebo neuspořádané dvojice. Každé hraně jsou přiřazeny dva vrcholy (tzn. víme, které dva vrcholy spojuje). Hraně, jejíž oba krajní vrcholy jsou stejné, říkáme smyčka. Jestliže graf má právě jeden vrchol a žádnou hranu, nazývá se triviálním.

PŘÍKLAD 3.1 Pro graf z obr. 3.2 platí: množina vrcholů V = {A, B, C, D}, množina E se skládá ze sedmi hran a z obrázku je patrné, mezi kterými vrcholy hrany vedou. Pomocí grafů i pro jejich lze reprezentovat struktury a úlohy z nejrůznějších oborů. Taktéž mnoho problémů praktického života může být formulováno jako úloha teorie grafů – např. struktura vzájemného propojení článků v nějakém časopise. Jednotlivé články jsou vrcholy grafu a odkaz z článku A na článek B je orientovanou hranou mezi vrcholy A a B. Pokud graf není příliš velký, můžeme jej nakreslit. Také řada pojmů této teorie je velice názorná. Uveďme několik příkladů grafů.

PŘÍKLAD 3.2 a)

Silniční síť. Vrcholy grafu tvoří města, každá silnice mezi dvěma městy představuje hranu.

b)

Městská silniční síť. Vrcholy grafu jsou křižovatky, každá ulice mezi dvěma křižovatkami určuje hranu.

c)

Přiřazovací úloha. Vrcholy tvoří pracovníci podniku a úkoly, které pracovníci vykonávají; pracovník A může vykonávat úkol B.

Jsou ovšem případy, kdy záleží na směru hrany. Např. v příkladu městské silniční sítě se často vyskytují jednosměrné ulice – jednosměrnou ulicí se lze pohybovat pouze jedním směrem. Uvažují se proto také tzv. orientované hrany. Struktura grafu může být rozšířena o ohodnocení hran (také označováno jako váha; může reprezentovat délku, náklady na přesun, průchodnost apod.) nebo vrcholu. Výsledkem je model reálné sítě. Takové modely se používají pro analýzu dopravy nebo počítačových sítí (např. internetu).

56

Kapitola 3

Grafy

DEFINICE

Orientovaný graf Graf G nazveme orientovaným grafem, jestliže se skládá z neprázdné konečné množiny V vrcholů (také uzlů), konečné množiny E hran a pro každou hranu víme, z kterého do kterého vrcholu vede, tj. každé hraně jsou přiřazeny dva vrcholy – její počáteční a koncový vrchol. Hraně, která má stejný počáteční i koncový vrchol, říkáme orientovaná smyčka. Jestliže graf má právě jeden vrchol a žádnou hranu, nazýváme jej opět triviálním grafem.

Na obr. 3.4 je zakreslen orientovaný graf.

PŘÍKLAD 3.3 Uveďme některé příklady orientovaných grafů.

a)

Rodokmen. Vrcholy jsou lidé, z vrcholu i vede hrana do vrcholu j, jestliže osoba i je otcem osoby j.

b)

Program pro počítač. Vrcholy jsou podprogramy, z podprogramu i vede hrana do podprogramu j, jestliže podprogram j může být aktivován podprogramem i.

c)

Učebnice. Vrcholy jsou kapitoly této knihy, hrana vede z kapitoly i do kapitoly j, jestliže se při studiu kapitoly j předpokládá prostudování kapitoly i.

d)

Úřad. Vrcholy jsou úředníci, hrana vede od úředníka i k úředníku j, jestliže úředník i je nadřízeným úředníka j.

DEFINICE

Symetrizace orientovaného grafu a stupeň vrcholu Symetrizace orientovaného grafu je taková operace, při níž se odstraní orientace hran (převod orientovaného grafu na neorientovaný). Stupeň vrcholu neorientovaného grafu je počet hran spojených s tímto vrcholem s tím, že každou smyčku počítáme dvakrát. Stupeň vrcholu orientovaného grafu je stupeň vrcholu v symetrizaci grafu.

PŘÍKLAD 3.4 Stupeň vrcholu v označíme st(v).

a)

Uvažujme neorientovaný graf z obr. 3.3. Potom st(1) = st(3) = 2 a st(4) = st(8) = 1.

b)

Uvažujme orientovaný graf z obr. 3.4. Potom např. st(7) = st(6) = 3, st(9) = 2 a st(11) = 1.

DEFINICE

Cesta a cyklus v grafu, souvislý graf Cesta v neorientovaném grafu je posloupnost vrcholů, která začíná vrcholem vl , končí v koncovém vrcholu vk s tím, že dva po sobě následující vrcholy v posloupnosti spojuje hrana.

57

Kapitola 3



Cesta v orientovaném grafu je cesta v jeho symetrizaci. Graf (orientovaný nebo neorientovaný) je souvislý, pokud se z každého vrcholu existuje cesta do libovolného jiného vrcholu. Cyklus v grafu (v orientovaném i neorientovaném) je o cesta začínající a končící ve stejném vrcholu. Speciální případy cyklů: Hamiltonův cyklus projde všechny vrcholy právě jednou. Eulerův cyklus obsahuje všechny hrany právě jednou.

Orientovaný graf (principiálně nevadí ohodnocení vrcholů stejně)

OBRÁZEK 3.4

2

7

6

2

5

58

5

9

11

4

Kapitola 3

Grafy

3.3

Stromy DEFINICE

Strom Souvislý graf (orientovaný nebo neorientovaný), který neobsahuje cykly a smyčky, nazveme stromem.

Na obr. 3.3 je neorientovaný strom a na obr. 3.4 je orientovaný strom. Uveďme některé vlastnosti stromů: 1.

V každém stromu o alespoň dvou vrcholech existuje vrchol, který má stupeň 1.

2.

Každý strom, který má n vrcholů, má přesně n – 1 hran.

DEFINICE

Kořen stromu, kořenový strom, binární strom Vrchol r orientovaného stromu nazýváme kořenem stromu, jestliže pro každý vrchol x stromu existuje cesta29) z vrcholu r do vrcholu x. Kořenový strom je orientovaný strom, který má kořen. Binární strom je kořenový strom, ve kterém v libovolného vrcholu začínají maximálně dvě hrany.

Na obr. 3.4 je kořenový strom, který je i binární strom. Binárními stromy lze reprezentovat aritmetické výrazy.

OBRÁZEK 3.5 (b)

(a)

–

+

2

3

5

4

29) U této cesty dbáme na orientaci hran.

59

Kapitola 3



PŘÍKLAD 3.5 Binárním stromem budeme reprezentovat aritmetické výrazy 2 + 3, 5 – 4, 4 . 7 a 9 : 2. Řešení V tomto případě je situace jednoduchá, jako kořen stromu uvedeme symbol operace. Výraz 2 + 3 je reprezentován stromem na obr. 3.5 (a), výraz 5 – 4 na obr. 3.5 (b), výraz 4 . 7 na obr. 3.6 (a) a výraz 9 : 2 na obr. 3.6 (b).

PŘÍKLAD 3.6 Binárním stromem budeme reprezentovat aritmetický výraz (5 + 7) . (12 – (2 . 3)). Řešení Binární strom je na obr. 3.7. Postupujeme postupně. Nejprve vezmeme (5 + 7), pak (2 dále (12 – (2 . 3)), následně tyto dva stromy sloučíme v jeden.

OBRÁZEK 3.6 (a)

(b)

.

4

:

9

7

2

OBRÁZEK 3.7

.

+

5

–

7

.

12

2

60

3

. 3),

Kapitola 3

Grafy

PŘÍKLAD 3.7 Binárním stromem budeme reprezentovat výrokovou formuli (  )  (  (  )). Řešení Formuli (  )  (  (  )) reprezentuje binární strom na obr. 3.8.

OBRÁZEK 3.8



















61

Kapitola 3



3.4

Dodatek Nedílnou součástí matematiky je teorie informace. Pro člověka začínajícího v této oblasti uvádíme příklad ztráty informace v řídicím systému podniku v posloupnosti instrukcí, které směřují od ředitele k řadovému pracovníku. Instrukce ředitele náměstkovi: Zítra v 9.00 hod. bude zatmění Slunce, tedy něco, co se každý den nevidí. Ať pracovníci nastoupí v pracovních oděvech na nádvoří. Při pozorování tohoto vzácného jevu podám sám příslušný výklad. Bude-li pršet, nebude nic vidět, v tom případě půjdeme do jídelny – sám podám výklad tohoto přírodního jevu. Instrukce náměstka vedoucím odborů: Na pokyn ředitele bude zítra v 9.00 hod. zatmění Slunce. Bude-li pršet, nebude to možná zítra na nádvoří v pracovním oděvu vidět. V tom případě se zatmění slunce provede v jídelně, tedy něco, co se každý den nevidí. Vedoucí odboru sděluje vedoucím oddělení: Na pokyn ředitele dojde zítra v 9.00 hod. v pracovním oděvu ke zmizení Slunce. Ředitel dá v jídelně pokyn k tomu, má-li pršet, což se nevidí každý den. Vedoucí oddělení nařizuje skupinářům: Bude-li zítra v jídelně pršet, tedy něco, co se každý den nevidí, zmizí v 9.00 hod. náš ředitel v pracovním oděvu. Skupinář instruuje pracovníky: Zítra v 9.00 hod. zmizí náš ředitel. Škoda, že se to nedá vidět každý den.

62

Kapitola 3

Grafy

Shrnutí kapitoly • •

V této kapitole jsme se věnovali historickým aspektům vzniku i rozvoje teorie grafů. Uvedli jsme pojem graf, vrcholy grafu, hrany grafu, orientovaný graf, symetrizace orientovaného grafu, cesta v grafu, cyklus v grafu. Věnovali jsme se speciálním grafům strom, kořenový strom a binární strom. Zabývali jsme se reprezentací aritmetického výrazu i formule výrokového počtu binárním stromem.

Klíčová slova graf

vrchol grafu

hrana grafu

cesta v grafu

cyklus v grafu

orientovaný graf

symetrizace orientovaného grafu

strom

kořenový strom

binární strom

63

kapitola

4

Matice a soustavy lineárních rovnic


Kapitola 4

4. kapitola Matice a soustavy lineárních rovnic Úvod V této kapitole uvedeme aritmetické vektory a operace s nimi, lineární závislost i nezávislost vektorů. Tyto pojmy a souvislosti použijeme u matic, pro které uvedeme jejich hodnost i určení hodnosti matice převodem na matici v Gaussově tvaru. Vrcholem našeho snažení v této části učebního textu bude řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou (u soustav lineárních rovnic, které mají právě jedno řešení uvedeme i Jordanovu eliminační metodu).

67

Kapitola 4



4.1

Aritmetické vektory DEFINICE

Aritmetický vektor a aritmetický vektorový prostor a)

Je-li r kladné reálné číslo, potom r-rozměrný aritmetický vektor je uspořádaná r-tice reálných čísel a = (a1, a2, a3, . . ., ar ), přičemž pro i = 1, 2, 3, . . ., r reálné číslo ai je i-tá souřadnice aritmetického vektoru a .

b)

Množina všech r-rozměrných aritmetických vektorů je r-rozměrný aritmetický vektorový prostor a značí se Vr .

Aritmetické vektory slouží nejen k záznamu fyzikálních jevů, ale také k záznamu informací např. o podniku, lze zaznamenat jako první souřadnici příjem podniku za určitý měsíc, druhá souřadnice výdaje za příslušný měsíc, třetí souřadnice počet odpracovaných hodin v tomtéž měsíci, čtvrtá souřadnice může představovat spotřebu energie v tomto časovém období atd. Protože aritmetické vektory z Vr jsou uspořádané r-tice reálných čísel, musí pro tyto vektory platit: Jestliže a = (a1, a2, a3, . . ., ar ) a b = (b1, b2, b3, . . ., br ) jsou vektory z Vr , potom a = b právě tehdy, jestliže pro všechna i = 1, 2, . . ., r je ai = bi , tj. dva vektory se rovnají právě tehdy, jestliže mají stejné odpovídající souřadnice.

DEFINICE

Součet vektorů a reálný násobek vektoru Jestliže a = (a1, a2, a3, . . ., ar ) a b = (b1, b2, b3, . . ., br ) jsou vektory z Vr a k je reálné číslo, potom: a)

součet vektorů a a b je vektor a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, . . ., ar + br ) a

b)

k – násobek vektoru a je vektor k . a = (k . a1, k . a2, k . a3, . . ., k . ar ).

Lze sčítat pouze vektory, které mají stejný počet souřadnic, tj. patří do stejného vektorového prostoru Vr . Vektory tedy sčítáme tak, že sečteme odpovídající souřadnice vektorů. Protože souřadnice jsou reálná čísla, platí pro ně komutativní zákon, tudíž i součet aritmetických vektorů je komutativní, tj. a + b = b + a . Reálným číslem násobíme vektor tak, že tímto číslem vynásobíme všechny souřadnice vektoru.

68

Kapitola 4


PŘÍKLAD 4.1 Mějme vektory a = (1, –2, 3, 5, 0) a b = (2, 2, –3, –1, 5). Určíme vektory a + b , 3 a (–2) . a + 3 . b .

. a, 2 . b

Řešení Vektory a = (1, –2, 3, 5, 0) a b = (2, 2, –3, –1, 5) jsou vektory z V5 , protože mají 5 souřadnic. Operace a + b i operace (–2) . a + 3 . b jsou definovány, neboť jde o vektory z téhož vektorového prostoru. Platí:

a + b = (1, –2, 3, 5, 0) + (2, 2, –3, –1, 5) = (1 + 2, –2 + 2, 3 – 3, 5 – 1, 0 – 5) = (3, 0, 0, 4, –5), 3 . a = 3 . (1, –2, 3, 5, 0) = (3 . 1, 3 . (–2), 3 . 3, 3 . 5, 3 . 0) = (3, –6, 9, 15, 0), 2 . b = 2 . (2, 2, –3, –1, 5) = (2 . 2, 2 . 2, 2 . (–3), 2 . (–1), 2 . 5) = (4, 4, –6, –2, 10) a (–2) . a + 3 . b = (–2) . (1, –2, 3, 5, 0) + 3 . (2, 2, –3, –1, 5) = = (–2 . 1 + 3 . 2, –2 . (–2) + 3 . 2, –2 . 3 + 3 . (–3), –2 . 5 + 3 . (–1), –2 . 0 + 3 . (–5)) = = (4, 10, –15, –13, –15).

PŘÍKLAD 4.2 Mějme vektor a = (3, –1, 2, 3). Určíme vektory 0 . a , 1 . a a (–1) . a . Řešení Vektor a = (3, –1, 2, 3) je aritmetický vektor z V4 , platí: 0 . a = (0 . 3, 0 . (–1), 0 . 2, 0 . 3) = (0, 0, 0, 0), 1 . a = (1 . 3, 1 . (–1), 1 . 2, 1 . 3) = (3, –1, 2, 3) = a , (–1) . a = (–1 . 3, –1 . (–1), –1 . 2, –1 . 3) = (–3, 1, –2, –3).

Poznamenejme, že z příkladu 4.2 mj. vyplývá: pro libovolný vektor a z Vr platí 1 a 0 . a je rovno vektoru, který má všechny souřadnice nulové.

.a=a

DEFINICE

Nulový a opačný vektor a)

Nulový vektor ve Vr je vektor o = (0, 0, 0, . . ., 0).

b)

Jestliže a = (a1, a2, a3, . . ., ar ) je vektor z Vr , potom opačný vektor k vektoru a je vektor –a = (–a1, –a2, –a3, . . ., –ar ).

Např. vektor o = (0, 0) je nulový vektor ve V2 , vektor o = (0, 0, 0, 0) je nulový vektor veV4 , o = (0, 0, 0, 0, 0, 0) je nulový vektor ve V6.

69

Kapitola 4



PŘÍKLAD 4.3 Uvažujme vektor a = (–2, –3, 1, 7), určíme opačný vektor k vektoru a , tj. vektor –a , součty a + (–a ), (–a ) + a , 0 . a , a + o a o + a . Řešení Zcela jistě –a = (2, 3, –1, –7)  V4 ,

a + (–a ) = (–2 + 2, –3 + 3, 1 – 1, 7 – 7) = (0, 0, 0, 0) = o  V4 , (–a ) + a = (2 – 2, 3 – 3, 1 + 1, –7 + 7) = (0, 0, 0, 0) = o  V4 , 0 . a = (0 . (–2), 0 . (–3), 0 . 1, 0 . 7) = (0, 0, 0, 0) = o  V4

a + o = (–2 + 0, –3 + 0, 1 + 0, 7 + 0) = (–2, –3, 1, 7) = a , o + a = (0 – 2, 0 – 3, 0 + 1, 0 + 7) = (–2, –3, 1, 7) = a .

VĚTA (o vlastnostech nulového a opačného vektoru) Jestliže a je vektor z Vr , potom:

a)

a + o = o + a = a,

b)

a + (–a ) = (–a ) + a = o ,

c)

0 . a = o,

d)

(–1) . a = –a ,

e)

–(–a ) = a .

Vlastnost a) uvádí, že nulový vektor ve Vr hraje stejnou roli vzhledem ke sčítání vektorů ve Vr jako 0 vzhledem ke sčítání reálných čísel. Vlastnost c) praví, že nulový vektor ve Vr je nulovým násobkem jakéhokoli vektoru z Vr . Vlastnost d) ukazuje, že opačný vektor k vektoru a je (–1)násobek vektoru a . Ve vlastnosti e) je uvedeno, je-li –a opačný vektor k vektoru a , potom vektor a je opačný vektor k vektoru –a , tzn. vektory a a –a jsou navzájem opačné vektory.

DEFINICE

Lineární kombinace vektorů Jestliže a , a1, a2, a3 , . . ., a n , jsou vektory z Vr , potom vektor a je lineární kombinací vektorů a1, a2, a3 , . . ., a n , jestliže existují reálná čísla k1, k2, k3, . . ., kn taková, že:

a = k1 $ a1 + k2 $ a2 + k3 $ a3 + ... + k n $ a n , čísla k1, k2, k3, . . ., kn jsou koeficienty této lineární kombinace.

70

Kapitola 4


PŘÍKLAD 4.4 Mějme vektory a = (3, 1, 1, 2), a1 = (5, 4, 3, 2), a2 = (3, 1, 1, 2), a a3 = (1, –2, 3, 4). Rozhodneme, zda vektor a je lineární kombinací vektorů a1, a2, a3 . Řešení I ti, kteří mají špatný postřeh, přijdou na to, že a = a2, tudíž a = 0 . a1 + 1 . a2 + 0 . a3 , proto vektor a je lineární kombinací vektorů a1, a2, a3 .

PŘÍKLAD 4.5 Mějme vektory a = (0, 0, 0, 0), a1 = (5, 4, 3, 2), a2 = (3, 1, –1, 2), a a3 = (1, 2, 3, 4). Rozhodneme, zda vektor a je lineární kombinací vektorů a1, a2, a3 . Řešení Vektor a je nulový vektor ve V4 , tudíž a = 0 kombinací vektorů a1, a2, a3 .

. a1 + 0 . a2 + 0 . a3, proto vektor a je lineární

PŘÍKLAD 4.6 Mějme vektory a = (5, 2, 3, 1), a1 = (0, 0, 3, 2) a a2 = (0, 0, 0, 5). Rozhodneme, zda vektor a je lineární kombinací vektorů a1, a2. Řešení Je-li vektor a je lineární kombinací vektorů a1, a2, potom musí existovat reálná čísla k1 a k2 taková, že a = k1 . a1 + k2 . a2, tj. (5, 2, 3, 1) = k1 . (0, 0, 3, 2) + k2 . (0, 0, 0, 5). Musí platit (5, 2, 3, 1) = (k1 . 0 + k2 . 0, k1 . 0 + k2 . 0, k1 . 3 + k2 . 0, k1 . 2 + k2 . 5) = (0, 0, 3k1, 2k1 + 5k2). Jenže dva vektory se rovnají, jestliže mají stejné odpovídající si souřadnice, to není splněno ani pro první, ani pro druhé souřadnice. Z tohoto důvodu vektor a není lineární kombinací vektorů a1, a2.

Příklad 4.4 ukazuje, obsahuje-li skupina vektorů vektor a , potom vektor a je lineární kombinací této skupiny vektorů. Příklad 4.5 uvádí, že nulový vektor ve Vr je lineární kombinací jakékoli neprázdné skupiny vektorů z Vr .

DEFINICE

Lineární závislost a nezávislost vektorů Jestliže a1, a2, a3 , . . ., a n , jsou vektory z Vr , potom: a)

vektory a1, a2, a3 , . . ., a n , jsou lineárně závislé, jestliže: buď n = 1 a a1 = o , nebo n > 1 a některý z vektorů a1, a2, a3 , . . ., a n lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů zbývajících,

b)

vektory a1, a2, a3 , . . ., a n jsou lineárně nezávislé, jestliže: buď n = 1 a a1 ≠ o (tj. alespoň jedna souřadnice vektoru a1 je různá od 0), nebo n > 1 a žádný z vektorů a1, a2, a3 , . . ., a n nelze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů zbývajících.

71

Kapitola 4



Poznamenejme, že každá neprázdná skupina vektorů z Vr je buď lineárně závislá, nebo lineárně nezávislá. Tedy platí:

a)

jsou-li vektory a1, a2, a3 , . . ., a n lineárně závislé, potom vektory a1, a2, a3 , . . ., a n nejsou lineárně nezávislé,

b)

jsou-li vektory a1, a2, a3 , . . ., a n lineárně nezávislé, potom vektory a1, a2, a3 , . . ., a n nejsou lineárně závislé.

PŘÍKLAD 4.7 Mějme vektory a1 = (3, 1, –1, 2), a2 = (5, 4, 3, 2), a3 = (3, 1, –1, 2) a a4 = (1, 2, 3, 4). Rozhodneme, zda vektory a1, a2, a3 a a4 jsou lineárně závislé nebo nezávislé. Řešení Platí a1 = a3 , tudíž podle příkladu 4.4 víme, že a1 = 0 . a2 + 1 . a3 + 0 . a4. Vektor a1 je lineární kombinací vektorů a2, a3 a a4, jeden z vektorů je lineární kombinací vektorů zbývajících, proto vektory a1, a2, a3 a a4 jsou lineárně závislé.

PŘÍKLAD 4.8 Mějme vektory a1 = (3, 1, –1, 2), a2 = (5, 4, 3, 2), a3 = (0, 0, 0, 0) a a4 = (1, 2, 3, 4). Rozhodneme, zda vektory a1, a2, a3 a a4 jsou lineárně závislé nebo nezávislé. Řešení Vektor a3 je nulový vektor ve V4 , proto a3 = 0 . a1 + 0 . a2 + 0 . a4. Vektor a3 je lineární kombinací vektorů a2, a3 a a4, jeden z vektorů je lineární kombinací vektorů zbývajících, proto vektory a1, a2, a3 a a4 jsou lineárně závislé.

PŘÍKLAD 4.9 Mějme vektory a1 = (5, 2, 3, 1), a2 = (0, 0, 3, 2) a a3 = (0, 0, 0, 5). Rozhodneme, zda vektory a1, a2 a a3 jsou lineárně závislé nebo nezávislé. Řešení Z příkladu 4.6 víme, že vektor a1 není lineární kombinací vektorů a2, a3 . Vektor a2 není lineární kombinací vektorů a1 a a3 , protože vektor a1 bychom nuseli vynásobit 0 (vzhledem k prvním souřadnicím), ale potom dostáváme spor u třetích souřadnic. Vektor a3 není lineární kombinací vektorů a1 a a2, protože vektor a1 bychom museli vynásobit 0 (vzhledem k prvním souřadnicím) a rovněž vektor a2 bychom museli vynásobit 0 (vzhledem ke třetím souřadnicím). Žádný z vektorů a1, a2 a a3 není lineární kombinací vektorů zbývajících, tudíž vektory a1, a2 a a3 jsou lineárně nezávislé.

Příklad 4.7 ukazuje – obsahuje-li skupina vektorů z Vr dva stejné vektory, potom je lineárně závislá. Z příkladu 4.8 vyplývá – obsahuje-li skupina vektorů z Vr nulový vektor, potom je lineárně závislá.

72

Kapitola 4


DEFINICE

Skalární součin vektorů Jestliže a = (a1 , a2 , a3 , . . ., ar ) a b = (b1 , b2 , b3 , . . ., br ) jsou vektory z Vr , potom skalární součin vektorů a a b je reálné číslo r

a $ b = a1 $ b1 + a2 $ b2 + a3 $ b3 + ... + a r $ b r = / ai $ bi . i =1

Skalární součin dvou vektorů z Vr určíme tak, že vynásobíme odpovídající souřadnice a součiny sečteme. Výsledkem musí být reálné číslo.

PŘÍKLAD 4.10 Mějme vektory a = (1, –2, 3, 5, 0) a b = (2, 2, -3, -1, 5). Určíme skalární součiny a . b a b . a . Řešení Podle definice skalárního součinu dostáváme:

a . b = (1, –2, 3, 5, 0) . (2, 2, –3, –1, 5) = 1 . 2 + (–2) . 2 + 3 . (–3) + 5 . (–1) + 0 . 5 = = 2 – 4 – 9 – 5 = –16, b . a = (2, 2, –3, –1, 5) . (1, –2, 3, 5, 0) = 2 . 1 + 2 . (–2) + (–3) . 3 + (–1) . 5 + 5 . 0 = = 2 – 4 – 9 – 5 = –16. Určitě platí a . b = b . a .

PŘÍKLAD 4.11 V divadle se na představení prodalo 120 vstupenek za 100 Kč, 60 vstupenek za 200 Kč, 30 vstupenek za 300 Kč a 10 vstupenek za 500 Kč. Určíme celkovou tržbu. Řešení Tuto úlohu lze řešit různými způsoby, zvolíme řešení užitím skalárního součinu, vektor a = (120, 60, 30, 10) reprezentuje počet prodaných vstupenek v jednotlivých cenových kategoriích, vektor b = (100, 200, 300, 500) uvádí ceny jednotlivých vstupenek, celková tržba je skalární součin vektorů a a b , tj. a . b = (120, 60, 30, 10) . (100, 200, 300, 500) = 120 . 100 + + 60 . 200 + 30 . 300 + 10 . 500 = 38 000, tedy celková tržba je 38 000 Kč.

73

Kapitola 4



4.2

Matice DEFINICE

Matice A je matice typu r  s, jestliže A je r . s reálných čísel aij pro i = 1, 2, . . ., r a j = 1, 2, . . ., s zapsaných ve schématu:

R S a11, Sa21, A = SSa31, S h SS a , r1 T

a12, a22, a32, h a r2,

a13, a23, a33, h a r3,

g, g, g, j g,

V a1s W a2s W a3s WW , hW a rs WW X

přičemž pro prvek aij matice A je i řádkový index a j sloupcový index.

Je-li A je matice typu r  s, potom r určuje počet řádků a s počet sloupců matice A. Je-li aij prvek matice A, potom i určuje, ve kterém řádku matice A je aij (proto jde o řádkový index), a j určuje, ve kterém sloupci matice A je aij (proto jde o sloupcový index), tzn. i a j určují umístění prvku v matici.

PŘÍKLAD 4.12 1, 0, 4, 12 Mějme matici A = = G . Jde o matici typu 2  4. První řádek je aritmetický vektor 2, 5, 3, 15 (1, 0, 4, 12) a druhý řádek je aritmetický vektor (2, 5, 3, 15), tzn. jde o vektory z V4, tj. počet sloupců určuje počet souřadnic. První sloupec je vektor (1, 2), druhý sloupec (0, 5), třetí sloupec (4, 3) a čtvrtý sloupec (12, 15), jde o vektory z V2 , tj. počet řádků určuje počet souřadnic.

Je-li A je matice typu r  s, potom řádky matice A jsou aritmetické vektory z Vs a sloupce A jsou aritmetické vektory z Vr .

DEFINICE

Hodnost matice Jestliže A je matice, potom hodnost matice A, kterou označíme h (A ), je maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A.

Je-li A je matice typu r × s, potom 0 ≤ h(A) ≤ min {r, s}, přičemž h(A) = 0 právě tehdy, jestliže matice A je nulová (tj. všechny prvky matice A jsou 0). Z toho mj. vyplývá, jestliže alespoň jeden prvek matice A je různý od 0, potom h(A) ≥ 1.

74


Kapitola 4

PŘÍKLAD 4.13 R V S5, 2, 3, 1 W Určíme hodnost matice A = S0, 0, 3, 2 W . SS W 0, 0, 0, 5 W T X Řešení Podle příkladu 4.9 jsou řádky matice A, tj. vektory a1 = (5, 2, 3, 1), a2 = (0, 0, 3, 2) a a3 = (0, 0, 0, 5) lineárně nezávislé, tudíž h (A ) = 3. Půjde nám o to, abychom matici A převedli na matici, která má stejnou hodnost a pro kterou snadno určíme její hodnost. Takovou maticí pro nás bude matice v Gaussově tvaru.

DEFINICE

Matice v Gaussově tvaru Matice A je v Gaussově tvaru, jestliže: a)

matice A je nenulová (tj. alespoň jeden její prvek je různý od 0),

b)

matice A neobsahuje nulový řádek (tj. v každém řádku je alespoň jeden prvek je různý od 0),

c)

první nenulové číslo v libovolném řádku matice A je zároveň poslední nenulové číslo v příslušném sloupci.

PŘÍKLAD 4.14 R V S1, 2, 3, 4 W Rozhodneme, zda matice A = S0, 0, 5, 6 W je v Gaussově tvaru. SS W 0, 0, 0, 7 W T X Řešení Matice A je nenulová, protože obsahuje alespoň jedno nenulové číslo (je splněna vlastnost a)). Matice neobsahuje nulový řádek, protože každý řádek obsahuje alespoň jedno nenulové číslo (je splněna vlastnost b)). Ověření prvních dvou vlastností je jednoduché. Přejděme k ověření části c). První nenulové číslo v prvním řádku je 1, ale v prvním sloupci (ve kterém prvek leží) jde o poslední nenulové číslo. První nenulové číslo ve druhém řádku je 5, ve třetím sloupci (ve kterém prvek leží) jde o poslední nenulové číslo. První nenulové číslo ve třetím řádku je 7, ve čtvrtém sloupci (ve kterém prvek leží) jde o poslední nenulové číslo. Matice A je tedy v Gaussově tvaru.

PŘÍKLAD 4.15 R V S9, 8, 7, 6 W Rozhodneme, zda matice A = S0, 0, 5, 4 W je v Gaussově tvaru. SS W 0, 0, 3, 2 W T X Řešení Matice A je nenulová, protože obsahuje alespoň jedno nenulové číslo (je splněna vlastnost a)). Matice neobsahuje nulový řádek, protože každý řádek obsahuje alespoň jedno nenulové číslo (je splněna vlastnost b)). Přejděme k ověření části c). První nenulové číslo v prvním řádku je 9, v prvním sloupci (ve kterém prvek leží) jde o poslední nenulové číslo. První nenulové číslo ve druhém řádku je 5, ale ve třetím sloupci (ve kterém prvek leží) nejde o poslední nenulové číslo, protože po ním je ještě číslo 3. Tzn. matice A není v Gaussově tvaru.

75

Kapitola 4



VĚTA (o hodnosti matice v Gaussově tvaru) Jestliže matice A je v Gaussově tvaru, potom hodnost matice A je rovna počtu všech řádků matice A.

Půjde nám o to, jak matici A převést na matici v Gaussově tvaru a neztratit důležité informace. K tomu potřebujeme pojem ekvivalentní matice.

DEFINICE

Ekvivalentní matice Jestliže A je matice typu r  s a B je matice typu t  s, potom matice A a B jsou ekvivalentní a označíme A  B, jestliže jak libovolný řádek matice A lze vyjádřit jako lineární kombinací řádků matice B, tak i libovolný řádek matice B lze vyjádřit jako lineární kombinací řádků matice A.

Poznamenejme, že dvě ekvivalentní matice musí mít stejný počet sloupců.

VĚTA (o hodnosti ekvivalentních matic) Jestliže A a B jsou matice takové, že A  B, potom h(A) = h(B).

Jaké úpravy použít, aby dvě matice byly ekvivalentní? Na tuto otázku nám odpoví následující věta.

VĚTA (o elementárních úpravách matice) Jestliže matice B vznikla z matice A některou z následujících úprav:

a)

záměnou pořadí řádků,

b)

vynásobením řádků nenulovými reálnými čísly,

c)

přičtením násobku některého řádku k jinému řádku,

d)

vynecháním řádku, který je násobkem jiného řádku.

Potom A  B (tudíž i h(A) = h(B)).

76


Kapitola 4

PŘÍKLAD 4.16 R V S 1, 3, 1, 2 W Určíme hodnost matice A = S 1, 1, -1, 0 W . SS W 2, 3, 0, 1W T X Řešení Matici A převedeme na ekvivalentní matici v Gaussově tvaru, u které snadno určíme hodnost.

R V R V R V R V R V S 1, 3, 1, 2 W (1) S 1, 1, -1, 0 W (2) S 1, 1, -1, 0 W (3) S 1, 1, -1, 0 W (4) S 1, 1, -1, 0 W A = S 1, 1, -1, 0 W + S2, 3, 0, 1W + S0, 1, 2, 1W + S0, 1, 2, 1W + S0, 1, 2, 1W= B . SS W S W S W S W S W 2, 3, 0, 1W S 1, 3, 1, 2 W S0, 2, 2, 2 W S0, 1, 1, 1W S0, 0, -1, 0 W T X T X T X T X T X Při úpravách matice A jsme použili: (1)

záměnu pořadí řádků – druhý řádek je první, třetí řádek druhý a první řádek třetí (je výhodné, aby v prvním řádku na prvním místě bylo číslo 1 nebo (–1),

(2)

první sloupec jsme upravili tak, aby odpovídal matici v Gaussově tvaru, tj. první řádek jsme opsali, první řádek jsme vynásobili číslem (–2) a přičetli k řádku druhému, první řádek jsme vynásobili (–1) a přičetli k řádku třetímu, první a druhý řádek jsme opsali, třetí řádek jsme vynásobili 1 , 2 první a druhý řádek jsme opsali, druhý řádek jsme vynásobili (–1) a přičetli ke třetímu řádku.

(3) ( 4)

Výsledná matice B je v Gaussově tvaru (tj. je nenulová, neobsahuje nulový řádek a první nenulové číslo v jakémkoli řádku je poslední nenulové číslo v příslušném sloupci), tudíž je její hodnost rovna počtu řádků, tj. h(B) = 3. Matice A je ekvivalentní matici B, proto má i stejnou hodnost, tj. A  B a z toho vyplývá h(A) = h(B) = 3.

PŘÍKLAD 4.17 R V S3, -1, -1 W Určíme hodnost matice A = S2, 3, -2 W . SS W 4, -5, 0 W T X Řešení Matici A převedeme na ekvivalentní matici v Gaussově tvaru.

R V R V R V S3, -1, -1 W (1) S 1, -4, 1 W (2) S 1, -4, 1 W (3) 1, -4, 1 A = S2, 3, -2 W + S2, 3, -2 W + S0, 11, -4 W + > H= B . SS W S W S W 0, 11, -4 4, -5, 0 W S4, -5, 0 W S0, 11, -4 W T X T X T X Při úpravách matice A jsme použili: (1)

druhý a třetí řádek jsme opsali, druhý řádek jsme vynásobili (–1) a přičetli k prvnímu řádku (abychom na prvním místě v prvním řádku měli 1),

(2)

první řádek jsme opsali, první řádek jsme vynásobili (–2) a přičetli k řádku druhému, první řádek jsme násobili (–4) a přičetli k třetímu řádku,

(3)

třetí řádek jsme vynechali, protože je shodný s řádkem druhým (můžeme vynechat řádek, který je lineární kombinací řádků zbývajících).

Výsledná matice B je v Gaussově tvaru, proto h(A) = h(B) = 2.

77

Kapitola 4



Máme-li rozhodnout, zda vektory a1, a2, a3 , . . ., a n z Vr jsou lineárně závislé nebo nezávislé, lze zjišťovat, je-li některý z nich lineární kombinací vektorů zbývajících. Tato cesta je pracná i zdlouhavá. Daleko jednodušší je zapsat vektory pod sebe do matice A a určit její hodnost. Jestliže hodnost matice A je menší než počet vektorů, potom vektory jsou lineárně závislé; jestliže hodnost matice A je rovna počtu vektorů, potom vektory jsou lineárně nezávislé.

PŘÍKLAD 4.18 Rozhodneme, zda vektory a1 = (6, 5, 4), a2 = (2, 1, –1) a a3 = (2, 3, 6) lineárně závislé nebo nezávislé. Řešení Vektory a1, a2, a3 zapíšeme pod sebe do matice (volíme vhodné pořadí řádků vzhledem k úpravám v prvním sloupci):

R V R V S2, 1, -1W (1) S2, 1, -1W (2) 2, 1, 1 A = S6, 5, 4 W + S0, 2, 7 W + = G= B . SS WW SS WW 0, 2, 7 2, 3, 6 0, 2, 7 T X T X Použili jsme: (1)

první řádek jsme vynásobili (–3) a přičetli ke druhému řádku, první řádek jsme násobili (–1) a přičetli k řádku třetímu,

(2)

třetí řádek jsme vynechali, protože je shodný s řádkem druhým.

Hodnost matice B je 2 (matice B je v Gaussově tvaru), tudíž i hodnost matice A je 2. Protože hodnost matice A je menší než počet vektorů, jsou vektory a1, a2, a3 lineárně závislé.

PŘÍKLAD 4.19 R V S 1, 2, -1, 1 W S 1, 0, 1, -1 W Určíme hodnost matice A = S W. S 1, 4, -2, 3 W S-1, -3, 1, -2 W T X Řešení Opět upravíme matici A na matici v Gaussově tvaru.

R V R V R S 1, 2, -1, 1 W S 1, 2, -1, 1 W S 1, S 1, 0, 1, -1 W (1) S0, -2, 2, -2 W (2) S0, A=S W+ S W+ S S 1, 4, -2, 3 W S0, 2, -1, 2 W S0, S-1, -3, 1, -2 W S0, -1, 0, -1 W S0, X T X T T

V R V 2, -1, 1 W S 1, 2, -1, 1 W -1, 1, -1 W (3) S0, -1, 1, -1 W (4) W+ S W+ 2, -1, 2 W S0, 0, 1, 0 W -1, 0, -1W S0, 0, -1, 0 W X T X R V 1, 2, -1, 1W (4) S + S0, -1, 1, -1W= B. SS W 0, 0, 1, 0 W T X

Při úpravě matice A postupovali takto: (1) (2)

78

první řádek jsme opsali, k druhému řádku přičetli (–1)násobek prvního řádku, ke třetímu řádku přičetli (–1)násobek prvního řádku a ke čtvrtému řádku přičteme první, druhý řádek jsme vynásobili 1 , 2


(3)

ke třetímu řádku přičteme 2násobek druhého a k čtvrtému řádku (–1)násobek druhého,

(4)

čtvrtý řádek je (–1)násobek třetího, tudíž jej můžeme vynechat.

Kapitola 4

Výsledná matice B je v Gaussově tvaru, proto h(A) = h(B) = 3.

PŘÍKLAD 4.20 R V S 1, 3, 1W V závislosti na reálném parametru k určíme hodnost matice A = S0, 1, 2 W . SS W 1, 5, k W T X Řešení Opět upravíme matici A na matici v Gaussově tvaru.

R V R V R V S 1, 3, 1W (1) S1, 3, 1 W (2) S1, 3, 1 W A = S0, 1, 2 W + S0, 1, 2 W + S0, 1, 2 W= B . SS W S W S W 1, 5, k W S0, 2, k - 1W S0, 0, k - 5W T X T X T X Úpravy: (1)

ke třetímu řádku jsme přičetli (–1)násobek prvního,

(2)

ke třetímu řádku jsme přičetli (–1)násobek druhého.

Je-li k –5 = 0 (tj. k = 5), je poslední řádek v matici B nulový vektor, který můžeme vynechat (je nulovým násobkem kteréhokoli řádku), tudíž h(B) = 2. Jestliže k –5 ≠ 0 (tj. k ≠ 5), je matice B v Gaussově tvaru, tudíž h(B) = 3. Shrneme-li, potom platí: jestliže k = 5, potom h(A) = h(B) = 2, jestliže k ≠ 5, potom h(A) = h(B) = 3.

PŘÍKLAD 4.21 V závislosti na reálném parametru k rozhodneme o lineární závislosti a nezávislosti vektorů a1 = (2, 1, –1, 3), a2 = (4, –6, –1, 1), a3 = (6, –5, 1, 0), a4 = (8, –4, –3, k). Řešení Vektory a1, a2, a3 , a4 zapíšeme pod sebe do matice, kterou upravíme na matici v Gaussově tvaru. Dostáváme:

V R V R V R S2, 1, -1, 3 W S2, 1, -1, 3 W S2, 1, -1, 1 W S4, - 6, -1, 1 W (1) S0, -8, 1, -5 W (2) S0, -8, 1, -1 W A=S W+ S W+ S W= B . S6, - 5, 1, 0 W S0, -8, 4, -9 W S0, 0, 3, -4 W S8, - 4, -3, k W S0, -8, 1, k - 12 W S0, 0, 0, k - 7 W T X T X T X Úpravy: (1)

k druhému řádku jsme přičetli (–2)násobek prvního řádku, ke třetímu (–3)násobek prvního a ke čtvrtému (–4)násobek prvního,

(2)

ke třetímu i ke čtvrtému řádku jsme přičetli (–1)násobek druhého.

79

Kapitola 4



Podobně jako v předcházejícím příkladu dostáváme: jestliže k = 7, potom h(A) = h(B) = 3, jestliže k ≠ 7, potom h(A) = h(B) = 4. Pro vektory a1, a2, a3 , a4 tedy platí: jestliže k = 7, potom vektory a1, a2, a3 , a4 jsou lineárně závislé, jestliže k ≠ 7, potom vektory a1, a2, a3 , a4 jsou lineárně nezávislé.

4.3

Transponovaná matice DEFINICE

Transponovaná matice R S a11, Sa21, S Jestliže matice A = a31, S S h SS a , r1 T

a12, a22, a32, h a r2,

a13, a23, a33, h a r3,

R S a11, Sa12, S T k matici A je matice A = a13, S S h SS a , 1s T

V a1s W a2s W a3s WW , potom transponovaná matice hW a rs WW X V a31, g, a r1 W a32, g, a r2 W a33, g, a r3 WW . h j hW a3s, g, a rs WW X

g, g, g, j g,

a21, a22, a23, h a2s,

PŘÍKLAD 4.22 1, 0, 5, 9 K matici A = = G určíme matici transponovanou. 2, 5, 3, 7 Řešení

R S1, S0, T Transponovaná matice k matici A je matice A = S S5, S 9, T transponovaná A T je typu 4  2.

80

V 2W 5W W . Matice A je typu 2  4, matice 3W 7W X

Kapitola 4


PŘÍKLAD 4.23 R V S 1, 0, 1, 2 W Mějme matici A = S 2, 1, 3, 5W, určíme její hodnost, matici transponovanou a hodnost matice SS W -1, 2, 4, 3 W T X transponované. Řešení

V R V R V R S 1, 0, 1, 2 W (1) S 1, 0, 1, 2 W (2) S 1, 0, 1, 2 W Nejprve určíme hodnost matice A, tj. A = S 2, 1, 3, 5W + S0, 1, 1, 1W + S0, 1, 1, 1W= B , W S W SS W S -1, 2, 4, 3 W S0, 2, 5, 5W S0, 0, 3, 3 W X T X T X T Jednotlivé úpravy , které jsme použili, jsou: (1)

první řádek jsme násobili číslem (–2) a přičetli k řádku druhému, první řádek jsme přičetli k řádku třetímu,

(2)

druhý řádek jsme násobili číslem (–2) a přičetli k řádku třetímu.

Výsledná matice B je v Gaussově tvaru, tudíž h(A) = h(B) = 3.

R S 1, S0, Transponovaná matice k matici A je matice A T = S S 1, S2, T

2, 1, 3, 5,

V -1W 2W W. 4W 3W X

Určíme hodnost matice AT, tj.:

R V R V R V R V S 1, 2, -1W S 1, 2, -1W S 1, 2, -1W S 1, 2, -1W R1, 2, 1V -W S0, 1, 2 W (1) S0, 1, 2 W (2) S0, 1, 2 W (3) S0, 1, 2 W (4) S T S A =S W+ S W+ S W+ S W + 0, 1, 2 W= C, při převodu matice AT na S 1, 3, 4 W S0, 1, 6 W S0, 0, 4 W S0, 0, 1W SS0, 0, 1WW S2, 5, 3 W S0, 1, 5W S0, 0, 3 W S0, 0, 1W T X T X T X T X T X matici C v Gaussově tvaru jsme použili úpravy: (1)

první řádek jsme násobili číslem (–1) a přičetli k řádku třetímu, první řádek jsme násobili číslem (–2) přičetli k řádku čtvrtému,

(2)

druhý řádek jsme násobili číslem (–1) a přičetli k řádkům třetímu a čtvrtému, třetí řádek jsme vynásobili číslem 1 a čtvrtý řádek číslem 1 , 4 3 třetí a čtvrtý řádek jsou stejné, proto lze jeden z nich vynechat.

(3) (4)

Dostáváme h(AT ) = h(C ) = 3, tedy h(A) = h(AT ) = 3.

VĚTA (o vlastnostech transponované matice) Jestliže A je matice typu r  s, potom:

a)

AT je matice typu s  r,

b)

(AT )T = A,

c)

h(AT ) = h(A ).

81

Kapitola 4



Vzhledem k vlastnosti a) je matice A transponovaná k matici A T, tzn. matice A a matice A T jsou matice navzájem transponované. Někdy je při výpočtu hodnosti matice A výhodnější počítat hodnost transponované matice A T, která má podle vlastnosti c) stejnou hodnost.

4.4

Soustavy lineárních rovnic DEFINICE

Soustava lineárních rovnic a její řešení Soustava r lineárních rovnic o s neznámých x1, x2 , x3 , . . ., xs je soustava rovnic:

a11 $ x1 a21 $ x1 a31 $ x1 h a r1 $ x1

+ a12 $ x2 + a22 $ x2 + a32 $ x2 h + a r2 $ x2

+ a13 $ x3 + a23 $ x3 + a33 $ x3 h + a r3 $ x3

+ g + a1s $ x s + g + a2s $ x s + g + a3s $ x s j h + g + a rs $ x s

= b1, = b 2, = b3, h = br,

kde pro i = 1, 2, . . ., r a j = 1, 2, . . ., s jsou aij a bi reálná čísla. Řešení této soustavy je každý vektor c = (c1, c2, c3, . . ., cs )  Vs , který vyhovuje všem rovnicím této soustavy.

R S a11, a12, a13, Sa21, a22, a23, S Matice této soustavy je matice a31, a32, a33, S S h h h SS a , a , a , r1 r2 r3 T R V S a11, a12, a13, g, a1s, b1 W Sa21, a22, a23, g, a2s, b2 W S W soustavy je matice a31, a32, a33, g, a3s, b3 . S W S h h h j h hW SS a , a , a , g, a , b WW r1 r2 r3 rs r T X

g, g, g, j g,

V a1s W a2s W a3s WW , rozšířená matice této hW a rs WW X

Pro ilustraci uvedeme příklady, ve kterých určíme matici soustavy lineárních rovnic i rozšířenou matici. Dále uvedeme vzájemně jednoznačnou korespondenci mezi maticemi a soustavami lineárních rovnic.

82

Kapitola 4


PŘÍKLAD 4.24 Určíme matici soustavy a rozšířenou matici soustavy pro soustavu lineárních rovnic: 2x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 1, 3x1 + 2x2 – 4x3 + 3x4 = 2, –x1 + 4x2

+ 5x4 = 3.

Řešení

R V S 2, 1, 2, 2 W Matice této soustavy je matice S 3, 2, -4, 3 W SS W -1, 4, 0, 5W T X R V S 2, 1, 2, 2, 1W a rozšířená matice této soustavy je matice S 3, 2, -4, 3, 2 W . SS W -1, 4, 0, 5, 3 W T X

PŘÍKLAD 4.25 R V S 1, 3, 1, 2, 2 W Mějme matici A = S5, 4, -3, 0, 2 W . Určíme soustavu lineárních rovnic tak, aby matice A byla SS W 2, 3, 0, 1, 3 W T X rozšířenou maticí této soustavy. Řešení Použijeme-li definici rozšířené matice soustavy, potom matici A odpovídá soustava tří lineárních rovnic o čtyřech neznámých: x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 2, 5x1 + 4x2 – 3x3 2x1 + 3x2

= 2, + x4 = 3.

Příklady ukazují, že každé soustavě r lineárních rovnic o s neznámých odpovídá právě jedna rozšířená matice soustavy typu r  (s + 1) a každé matici typu r  (s + 1) odpovídá právě jedna soustava r lineárních rovnic o s neznámých. Budeme upravovat matici soustavy i rozšířenou matici soustavy na matici v Gaussově tvaru a obě matice se od sebe liší pouze tím, že rozšířená matice soustavy obsahuje navíc sloupec pravých stran, proto zapisujeme obě matice dohromady:

R S a11, Sa21, Sa , S 31 S h SS a , r1 T

a12, a22, a32, h a r2,

a13, a23, a33, h a r3,

g, g, g, j g,

a1s, a2s, a3s, h a rs,

V b1 W b2 W b3 WW . hW b r WW X

83

Kapitola 4



DEFINICE

Ekvivalentní soustavy lineárních rovnic Dvě soustavy lineárních rovnic o s neznámých jsou ekvivalentní, jestliže mají stejnou množinu všech řešení.

Při řešení soustav lineárních rovnic nám půjde o to převést soustavu lineárních rovnic na soustavu ekvivalentní, která bude snadněji řešitelná.

VĚTA (o ekvivalentních soustavách lineárních rovnic) Dvě soustavy lineárních rovnic o s neznámých s rozšířenými maticemi soustavy A a B jsou ekvivalentní právě tehdy, jestliže A  B.

Při řešení soustavy lineárních rovnic zapíšeme rozšířenou matici soustavy a převedeme ji na matici v Gaussově tvaru. Tento postup se nazývá Gaussova eliminační metoda. Značení. Při řešení soustavy lineárních rovnic budeme značit symbolem h hodnost matice soustavy lineárních rovnic, symbolem hr hodnost rozšířené matice této soustavy a symbolem s počet neznámých. Jestliže h je hodnost matice soustavy lineárních rovnic a hr hodnost rozšířené matice této soustavy, potom buď h = hr , nebo h + 1 = hr , protože rozšířená matice soustavy se odlišuje od matice soustavy pouze přidáním jediného sloupce.

PŘÍKLAD 4.26 Určíme všechna řešení soustavy rovnic:

2x1 - 3x2 + x3 = -5, 3x1 - 5x 3 = 8 , -x1 + x2 - 3x3 = 4, x1 + 2x2 + 4x3 = 1. Řešení Jde o soustavu čtyř lineárních rovnic o třech neznámých x1, x2 a x3 . Zapíšeme rozšířenou matici soustavy, kterou upravíme na matici v Gaussově tvaru.

R V R V R V S 2, -3, 1 -5W S-1, 1, -3 4 W S-1, 1, -3 4 W S 3, 0, -5 8 W (1) S 2, -3, 1 -5W (2) S 0, -1, -5 3 W (3) S W+ S W+ S W+ S-1, 1, -3 4 W S 3, 0, -5 8 W S 0, 3, -14 20 W S 1, 2, 4 1W S 1, 2, 4 1W S 0, 3, 1 5W T X T X T X R S-1, 1, -3 (3) S 0, -1, -5 +S S 0, 0, -29 S 0, 0, -14 T

84

V R 4 W S-1, 1, -3 3 W (4) S 0, -1, -5 W+ S 29 W S 0, 0, -1 14 W S 0, 0, -1 X T

V V 4W R -1, 1, -3 4 W (5) S W 3 S W + 0, -1, -5 3 W . 1W SS W 0, 0, -1 1 W 1W T X X

Kapitola 4


Použité úpravy: (1)

záměna pořadí řádků – na první místo jsme dali třetí řádek, na druhé první řádek, na třetí druhý řádek a čtvrtý řádek zůstal na svém místě,

( 2)

k druhému řádku jsme přičetli 2násobek prvního řádku, ke třetímu řádku jsme přičetli 3násobek prvního řádku a ke čtvrtému řádku jsme přičetli první řádek,

(3)

druhý řádek jsme vynásobili číslem 3 a postupně přičetli ke třetímu a čtvrtému řádku, třetí řádek jsme vynásobili číslem 1 a čtvrtý řádek číslem 1 , 29 14 vynechali jsme čtvrtý řádek, protože je shodný s třetím řádkem.

(4) (5)

R S-1, 1, Matice ekvivalentní matici soustavy je S 0, -1, SS 0, 0, T R V S-1, 1, -3, 4 W ekvivalentní matici S 0, -1, -5, 3 W , tudíž hr = SS W 0, 0, -1, 1W T X

V -3 W -5W , tudíž h = 3, rozšířená matice soustavy je W -1W X 3, dále s = 3.

R V S-1, 1, -3, 4 W Soustava ekvivalentní původní soustavě a odpovídající rozšířené matici S 0, -1, -5, 3 W má tvar SS W 0, 0, -1, 1W T X -x1 + x2 - 3x3 = 4, -x2 - 5x3 = 3, V této soustavě ihned určíme x3 = –1, dosadíme do rovnice druhé, ze které -x3 = 1. spočteme x2 = 2. Dosadíme-li do rovnice první, máme x1 = 1. Tato soustava lineárních rovnic má jediné řešení x = (x1, x2, x3) = (1, 2, –1). Má-li soustava lineárních rovnic jediné řešení, používá se také Jordanova eliminační metoda. Rozšířenou matici soustavy upravíme tak, aby v matici soustavy v první rovnici byl koeficient u x1 byl 1, v druhé rovnici byl koeficient u x2 byl 1, ve třetí rovnici byl koeficient u x3 byl 1, všechny zbývající koeficienty 0, tzn.:

R V R V R V R V S-1, 1, -3 4 W (6) S-1, 1, 0 1W (7) S-1, 0, 0 -1 W (8) S 1, 0, 0 1W S 0, -1, -5 3 W + S 0, -1, 0 -2 W + S 0, -1, 0 -2 W + S0, 1, 0 2 W SS W S W S W S W 0, 0, -1 1 W S 0, 0, -1 1W S 0, 0, -1 1W S0, 0, 1 -1W T X T X T X T X použili jsme úpravy: (6)

ke druhému řádku jsme přičetli (–5)násobek třetího řádku a ke druhému řádku (–3) násobek třetího řádku,

(7)

k prvnímu řádku jsme přičetli druhý řádek,

(8)

všechny tři řádky jsme vynásobili číslem (–1).

Maticí ekvivalentní rozšířené matici soustavy odpovídá soustava rovnic:

x1 x2

= 1, = 2, x3 = -1.

která ihned dává řešení. Výhoda této metody je v tom, že v ekvivalentní rozšířené matici soustavy sloupec pravých stran je řešením.

85

Kapitola 4



PŘÍKLAD 4.27 4x1 - 2x2 + 4x3 - x4 = 5, Určíme všechna řešení soustavy rovnic 2x1 + x2 - 3x3 + x4 = -3, -2x1 + 7x2 - 17x3 + 5x4 = -10. Řešení Jde o soustavu tří lineárních rovnic o čtyřech neznámých x1, x2, x3 a x4. Zapíšeme rozšířenou matici soustavy. Opět budeme rozšířenou matici této soustavy upravovat pro použití Gaussovy eliminační metody.

V R V R V R V R S 4, -2, 4, -1 5W (1) S 2, 1, -3, 1 -3 W (2) S2, 1, -3, 1 -3 W (3) S2, 1, -3, 1 -3 W S 2, 1, -3, 1 -3 W + S 4, -2, 4, -1 5W + S0, -4, 10, -3 11W + S0, -4, 10, -3 11W . W SS W S W S W S -2, 7, -17, 5 -10 W S-2, 7, -17, 5 -10 W S0, 8, -20, 6 -13 W S0, 0, 0, 0 9 W T X T X T X T X Úpravy: (1)

záměna pořadí řádků,

(2)

ke druhému řádku přičteme (–5)násobek prvního a ke třetímu řádku přičteme první,

(3)

ke třetímu řádku přičteme 2násobek druhého.

V matici ekvivalentní matici soustavy je poslední řádek nulový, tudíž h = 2, matice ekvivalentní rozšířené matici soustavy je v Gaussově tvaru, tedy hr = 3, dále s = 4. Je-li nějaký vektor řešením soustavy lineárních rovnic, musí vyhovovat všem rovnicím soustavy. Rovnice, která odpovídá třetímu řádku matice ekvivalentní rozšířené matici soustavy je 0 . x1 + 0 . x2 + 0 . x3 + 0 . x4 = 9. Dosadíme-li za neznámé neznámých x1, x2, x3 a x4 jakákoli reálná čísla, vždy bude levá strana 0 a pravá strana 9, tj. rovnice nemá řešení, nemá-li řečení jedna rovnice v soustavě, nemá řešení celá soustava. Původní soustava lineárních rovnic je ekvivalentní této soustavě, tudíž původní soustava nemá řešení.

PŘÍKLAD 4.28 3x1 - x2 + 2x3 - 2x4 - 4x5 = 0, - x2 + 2x3 + x4 + 2x5 = 0, Určíme všechna řešení soustavy rovnic 2x1 - 3x2 + 6x3 + x4 + 2x5 = 0, - 2x2 + 4x3 + 3x4 + 6x5 = 0. Řešení Jde o soustavu čtyř lineárních rovnic o pěti neznámých x1, x2, x3, x4 a x5. Tato soustava na rozdíl od předcházejícího příkladu má určitě řešení, protože všechny pravé strany jsou 0, tedy nulový vektor je řešením. Nám jde o to, nalézt všechna řešení. Zapíšeme rozšířenou matici soustavy, kterou upravíme na matici v Gaussově tvaru.

R S3, S0, S S2, S0, T

-1, -1, -2, -3,

V R V R 2, -2, -4 0 W S3, 0, 0, -3, -6 0 W S3, 0, 0, 2, 1, 2 0 W (1) S0, -1, 2, 1, 2 0 W (2) S0, -1, 2, W+ S W+ S 6, 1, 2 0 W S2, 0, 0, -2, -4 0 W S2, 0, 0, 4, 3, 6 0 W S0, 0, 0, 1, 2 0 W S0, 0, 0, X T X T

0, 0, 0, 1,

0 0 0 2

V 0W 0 W (3) W+ 0W 0W X

R S 1, 0, 0, (3) S 0, -1, 2, +S S 1, 0, 0, S0, 0, 0, T 86

0, 0, 0, 1,

0 0 0 2

V V 0W R 1, 0, 0, 0, 0 0 W 0 W (4) SS W + 0, -1, 2, 0, 0 0 W . 0 W SS W 0, 0, 0, 1, 2 0 W 0W T X X

Kapitola 4


Úpravy: (1)

k prvnímu řádku přičteme (–1)násobek druhého, ke třetímu (–3)násobek druhého a ke čtvrtému (–2)násobek druhého,

(2)

k prvnímu řádku přičteme 3násobek čtvrtého, ke druhému (–1)násobek čtvrtého a ke třetímu 2násobek čtvrtého, první řádek vynásobíme číslem 1 a třetí 1 , 3 2 vynecháme třetí řádek (je shodný s prvním).

(3) (4)

Zcela evidentně je h = hr = 3 a s = 5. Soustava ekvivalentní původní má tvar:

x1

= 0, - x 2 + 2x 3 = 0, x4 + 2x5 = 0,

V této soustavě je neznámá x1 určena jednoznačně. Pro neznámé x2 a x3 platí: zvolíme-li za jednu z nich jakékoli reálné číslo, je druhá neznámá určena jednoznačně. Analogický vztah je mezi neznámými x4 a x5. Z toho vyplývá, že tato soustava má nekonečně mnoho řešení. Vezmeme parametry t1 a t2 tak, že x3 = t, x5 = t2 a t1 i t2 probíhají všechna reálná čísla. Dostáváme x1 = 0, x2 = 2t1, x3 = t1, x4 = –2t2 a x5 = t2, kde t1  R a t2  R. Řešení vyjádříme vektorově – řešením jsou všechny vektory x = (x1, x2, x3, x4, x5) = (0, 2 . t1 , t1 , –2 . t2, t2 ), kde t1 a t2 jsou libovolná reálná čísla.

Tyto příklady charakterizují jediné tři situace, které při řešení soustavy mohou nastat. Buď soustava nemá řešení (příklad 4.27), nebo má právě jedno řešení (příklad 4.26), nebo má nekonečně mnoho řešení (příklad 4.28). Řešitelnost a neřešitelnost soustavy lineárních rovnic souvisí s hodností matice soustavy a s hodností rozšířené matice soustavy. Prvním základním tvrzením je Frobeniova věta o řešitelnosti soustavy.

VĚTA (Frobeniova) Jestliže h hodnost matice soustavy lineárních rovnic a hr hodnost rozšířené matice této soustavy, potom tato soustava lineárních rovnic je řešitelná právě tehdy, jestliže h = hr .

Vrátíme-li se k příkladům 4.26, 4.27 a 4.28, tak v příkladech 4.26 a 4.28 byly hodnosti matice soustavy i rozšířené matice soustavy stejné a soustava měla řešení, v příkladu 4.27 platilo h + 1 = hr (tj. h ≠ hr ) a soustava neměla řešení. Další otázka se týká počtu řešení soustavy lineárních rovnic.

87

Kapitola 4



VĚTA (o počtu řešení soustavy lineárních rovnic) Jestliže h hodnost matice soustavy lineárních rovnic o s neznámých a hr hodnost rozšířené matice této soustavy,

a)

jestliže h ≠ hr (tj. h + 1 = hr ), potom soustava není řešitelná,

b)

jestliže h = hr = s , potom soustava má právě jedno řešení,

c)

jestliže h = hr < s , potom soustava má nekonečně mnoho řešení, přičemž platí: zvolíme-li za s – h vhodně zvolených neznámých reálná čísla, jsou zbývající neznámé jednoznačně určeny (číslo s – h je počet volitelných neznámých).

Tvrzení a) předcházející věty odpovídá příklad 4.27, tvrzení b) příklad 4.26 a tvrzení c) příklad 4.28. Proč je uvedeno ve tvrzení c) vhodně zvolených neznámých? V příkladu 4.28 platilo h = hr = 3 a s = 5, proto počet volitelných neznámých s – h = 5 – 3 = 2, ale x1 nemohlo být volitelnou neznámou, protože x1 je jednoznačně určenou. Dále x2 a x3 nemohou být současně volitelnými neznámými, buď x2 , nebo x3. Podobný vztah je mezi neznámými x4 a x5. Pro výběr volitelných neznámých jsme měli čtyři možnosti: buď x2 a x4 , nebo x2 a x5 , nebo x3 a x4 , nebo x3 a x5 . Pro řešení úlohy je jedno, kterou z těchto čtyř možností vybereme.

PŘÍKLAD 4.29 x1 - x 3 = 2, -2x1 + x2 + 4x3 = -4, Určíme všechna řešení soustavy rovnic x1 + 3x2 - 2x3 = 9, 4x1 + 2x2 = 8. Řešení Jde o soustavu čtyř lineárních rovnic o třech neznámých x1, x2 a x3 . Zapíšeme rozšířenou matici soustavy, kterou upravíme. I když nevíme, zda soustava má právě jedno řešení, budeme matici upravovat pro Jordanovu eliminační metodu.

R S 1, S-2, S S 1, S 4, T

V R 0, -1 2 W S 1, 1, 4 -4 W (1) S0, W+ S 3, -2 9 W S0, 2, 0 8 W S0, X T

0, 1, 3, 2,

-1 2 -1 4

V 2W R 1, 0, -1 0 W (2) SS W + 0, 1, 2 7 W SS 0, 3, -1 0W T X

V R 2 W (3) S 1, 0, -1 0 W + S0, 1, 2 W S 7 W S0, 0, -7 X T

V R V R V 2 W (4) S 1, 0, -1 2 W (5) S 1, 0, 0 1W 0 W + S0, 1, 2 0 W + S0, 1, 0 2 W . W S W S W 7 W S0, 0, 1 -1W S0, 0, 1 -1W X T X T X

Úpravy: (1)

ke druhému řádku přičteme 2násobek prvního, ke třetímu (–1)násobek prvního a ke čtvrtému (–4)násobek prvního,

(2)

vynecháme čtvrtý řádek (je 2násobek druhého),

(3)

ke třetímu řádku přičteme (–3)násobek druhého, třetí řádek vynásobíme - 1 , 7 k prvnímu řádku přičteme třetí a ke druhému (–2)násobek třetího.

(4) (5)

Zcela jistě h = hr = s = 3, soustava má právě jedno řešení x1 = 1, x2 = 2 a x3 = –1, tj. řešením je vektor x = (x1, x2, x3) = (1, 2, –1).

88

Kapitola 4


PŘÍKLAD 4.30 x1 + x2 - x3 = 1, Určíme všechna řešení soustavy rovnic -2x1 - x2 + 3x3 = 0, 5x1 + 3x2 - 7x3 = 1. Řešení Zapíšeme rozšířenou matici soustavy a upravíme ji na matici v Gaussově tvaru.

R S 1, 1, -1 S-2, -1, 3 SS 5, 3, -7 T

V R V 1 W (1) S 1, 1, -1 1W (2) 1, 1, -1 1 0 W + S0, 1, 1 2 W + = G. WW SS WW 0, 1, 1 2 1 0, -2, -2 -4 X T X

Úpravy: (1)

k druhému řádku jsme přičetli 2násobek prvního řádku a ke třetímu řádku (–5)násobek prvního řádku,

(2)

třetí řádek jsme vynechali (jde o (–2)násobek druhého řádku).

Protože h = hr = 2 a s = 3, soustava má nekonečně mnoho řešení, počet volitelných neznámých je s – h = 3 – 2 = 1. Soustava má tedy 1 volitelnou neznámou. V tomto příkladu je jedno, kterou neznámou vybereme jako volitelnou neznámou. Uveďme všechny tři možnosti:

a)

jako volitelnou neznámou vybereme x3, kterou položíme rovnu parametru t  R. Dostáváme x1 = 2t – 1, x2 = 2 – t, x3 = t, tj. řešením je vektor x = (x1, x2, x3) = (2t – 1, 2 – t, t), kde t  R,

b)

jako volitelnou neznámou vybereme x2, kterou položíme rovnu parametru t  R. Dostáváme x1 = 3 – 2t, x2 = t, x3 = 2 – t, tj. řešením je vektor

x = (x1, x2, x3) = (3 – 2t, t, 2 – t), kde t  R, c)

jako volitelnou neznámou vybereme x1, kterou položíme rovnu parametru t  R. Dostáváme x1 = t, x2 = 3 - 1 . t, x3 = 1 - 1 . t, tj. řešením je vektor 2 2 2 2 3 1 1 1 . . t, t , kde t  R. x = (x1, x2, x3) = t, 2 2 2 2

(

)

Je jedno, kterou možnost vybereme, všechna tři řešení jsou správná.

PŘÍKLAD 4.31 x1 + x2 - x3 = 1, Určíme všechna řešení soustavy rovnic 3x1 - x2 + 2x3 = 5, 2x1 - 2x2 + 3x3 = 4. Řešení Jde o soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých x1, x2 a x3. Zapíšeme rozšířenou matici soustavy, kterou upravíme na matici v Gaussově tvaru. Dostáváme:

R V R V S 1, 1, -1 1 W (1) S 1, 1, -1 1W (2) 1, 1, -1 1 S3, -1, 2 5 W + S0, -4, 5 2 W + > H. SS W S W 0, -4, 5 2 2, -2, 3 4 W S0, -4, 5 2 W T X T X

89

Kapitola 4



Úpravy: (1)

k druhému řádku jsme přičetli (–3)násobek prvního řádku a ke třetímu řádku (–2) násobek prvního řádku,

(2)

třetí řádek jsme vynechali (je shodný s druhým řádkem).

Protože h = hr = 2 a s = 3, soustava má nekonečně mnoho řešení, počet volitelných neznámých je s – h = 3 – 2 = 1. Soustava má tedy 1 volitelnou neznámou. V tomto příkladu je jedno, kterou neznámou vybereme jako volitelnou neznámou. Vybereme např. x3, kterou položíme rovnu parametru t  R. Dostáváme x1 = 3 - 1 . t, x2 = - 1 + 5 . t, x3 = t, tj. řešením je každý 2 4 2 4 3 1 1 5 vektor x = (x1, x2, x3) = - . t, - + . t , t pro libovolné t  R. 2 4 2 4

(

)

PŘÍKLAD 4.32

Určíme všechna řešení soustavy rovnic

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 6, x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 2.

Řešení Zapíšeme rozšířenou matici soustavy:

1, 2, 3, 4, 5 6 (1) 1, 1, 1, 1, 1 2 (2) 1, 1, 1, 1, 1 2 (1) 1, 0, -1, -2, -3 -2 G+= G+= G+= G. = 1, 1, 1, 1, 1 2 1, 2, 3, 4, 5 6 0, 1, 2, 3, 4 4 0, 1, 2, 3, 4 4 Úpravy: (1)

záměna řádků,

(2)

ke druhému řádku přičteme (–1)násobek prvního (v tomto okamžiku víme, že h = hr = 2, přesto matici ještě zjednodušíme),

(3)

k prvnímu řádku přičteme (–1)násobek druhého.

Protože h = hr = 2 a s = 5, soustava má nekonečně mnoho řešení, počet volitelných neznámých je s – h = 5 – 2 = 3. Jako volitelné neznámé vybereme x3, x4 a x5 , které po řadě vyjádříme parametry t 1, t 2 a t 3 probíhajícími všechna reálná čísla. Řešením jsou všechny vektory x = (x1, x2, x3, x4, x5 ) = (–2 + t1 + t2 + t3, 4 – 2t 1 – 2t 2 – 2t 3, t 1, t 2, t 3), kde t1  R, t2  R a t3  R.

90

Kapitola 4


4.5

Neřešené příklady s výsledky Příklad 1: Určete hodnost matice A, jestliže:

a)

R V S2, 3, 1 W A = S1, 5, 0 W , SS W 7, 1, 2 W T X

b)

R V S2, 4, 0, 6 W A = S3, 5, 2, 7 W , SS W 2, 3, 2, 4 W T X

c)

R S 1, S4, A=S S2, S 1, T

d)

e)

f)

g)

h)

R S 1, S2, A=S S 1, S 1, T R S0, S4, S A = S2, S0, S2, T R S 1, S0, S A = S2, S3, S 1, T R S3, S 1, S A = S0, S0, S3, T R S 1, S2, A=S S2, S 1, T

3, 0, 3, 2,

0, 2, 1, 3,

V 5W 7W W, 4W 0W X

2, 3, 1, 3,

3, 7, 4, 2,

3, 5, 2, 4,

1, 3, 0, 2, 5,

2, 2, 1, 1, 0,

4, 3, 2, 1, 5,

1, 2, 0, 1, 0,

3, 2, 1, 0, 3,

2, 3, 1, 2, 0,

0, 1, 0, 1,

2, 0, 1, 1,

V 2W 4W W, 2W 2W X

V 5W 1W W 4W , 1W 1W X V 2, 3 W 0, 0 W W 1, 2 W , 2, 1W 0, 7 W X V 1, 9 W 2, 4 W W 1, 1W , 1, 0 W 0, 9 W X V 3W 5W W, 7W 1W X

i)

R V S2, 1, 0, 1, 3 W A = S1, 0, 2, 3, 5W , SS W 4, 7, 1, 0, 1 W T X

j)

R S 1, S2, A=S S2, S3, T

3, 5, 2, 1,

7, 1, 2, 0,

V 2W 5W W, 0W 0W X

k)

R S0, S3, A=S S2, S 5, T

1, 1, 4, 1,

1, 4, 6, 6,

V 4W 0W W, 8W 1W X

l)

R S2, S0, A=S S3, S 6, T

0, 1, 2, 0,

3, 1, 7, 1,

V 3W 0W W, 1W 1W X

m)

R S 1, S2, A=S S2, S3, T

6, 5, 2, 1,

3, 1, 2, 0,

V 5W 5W W, 0W 0W X

n)

R S2, S0, A=S S 8, S4, T

1, 1, 4, 1,

1, 7, 8, 5,

V 4W 0W W, 8W 1W X

o)

R S3, S0, A=S S3, S3, T

1, 0, 0, 1,

9, 1, 7, 2,

V 5W 0W W, 2W 5W X

p)

3, 4 A => H, -1, -2

91

Kapitola 4



q)

A ==

r)

R V S 3, 6, -3, -6 W A = S -1, -2, 1, 2 W , SS W -2, -4, 2, 4 W T X

2, 2, 2 G, 3, 5, 2

s)

R S0, S 1, A=S S2, S3, T

t)

R S 1, 3, 2, S-2, -5, 2, A=S S 2, 6, 9, S 1, 4, 8, T

V 0, 5W 4, 5W W. 7, 12 W 4, 20 W X

1, 2, 3, 0,

4, 5, 1, 1,

V 1W 0W W, 2W 1W X

Výsledky

a)

h(A) = 3 ,

f)

h(A) = 5 ,

k)

h(A) = 3 ,

p)

h(A) = 2 ,

b)

h(A) = 2 ,

g)

h(A) = 3 ,

l)

h(A) = 4 ,

q)

h(A) = 2 ,

c)

h(A) = 4 ,

h)

h(A) = 3 ,

m)

h(A) = 3 ,

r)

h(A) = 1 ,

d)

h(A) = 2 ,

i)

h(A) = 3 ,

n)

h(A) = 4 ,

s)

h(A) = 4 ,

e)

h(A) = 4 ,

j)

h(A) = 4 ,

o)

h(A) = 3 ,

t)

h(A) = 3 .

Příklad 2: Rozhodněte o lineární závislosti či nezávislosti vektorů:

a)

(2, –1, 1, 8, 2), (2, –1, 3, –2, 4), (6, –3, 8, –1, 11),

b)

(2, –3, 5), (1, 0, –2), (1, –7, 9), (–1, 3, 7), (1, 2, –3), (2, –1, 0),

c)

(2, 4, 9, 9), (1, 4, 7, 6), (2, 3, 7, 1),

d)

(–1, –2, –1, –4), (1, 5, 4, 3), (–1, –3, –2, –1), (–2, –1, –3, –2),

e)

(–1, –1, 0, 1), (–2, 0, –1, –2), (–1, 2, 2, 1), (–3, –1, –1, –3),

f)

(–2, –5, –7, –3), (1, –1, 0, 0), (–1, 0, –2, –3),

g)

(1, 1, 0, –1), (2, 0, 1, 2), (–1, 2, 2, 1), (5, 1, 2, 5),

h)

(1, 5, 4, 3), (1, 2, 1, 4), (1, 3, 2, 1), (3, 3, 4, 6),

i)

(2, 3, –1), (–4, 1, 2), (3, –2, 4),

j)

(1, 2, –1), (0, 1, 4), (3, 8, 5), (1, 2, 3), (–1, 0, 1 ), (–1, 2, 4), 2 (3, 0, 1, 2), (–2, 1, 5, 0), (–2, 4, 4, 4), (2, 0, 3, 0).

k) l) Výsledky

Vektory jsou:

92

a)

lineárně závislé,

g)

b)


h)

c)

lineárně nezávislé,

i)


d)


j)


e)


k)


f)


l)

lineárně nezávislé, lineárně nezávislé,

lineárně nezávislé.

Kapitola 4


Příklad 3: V závislosti na reálném parametru k určete hodnost matice A, jestliže:

a)

R V S 3, 2, 4 W A = S-1, 0, -3 W , SS W 5, 1, k W T X

b)

R V S 3, 2, 4 W A = S-1, 1, -3 W , SS W 5, 1, k W T X

c)

R V S 1, -1, 2 W A = S3, 4, -1W , SS W 4, 11, k W T X

d)

R V S1, -2, 1, 1W A = S1, -1, 3, 0 W , SS W 1, -4, 3, k W T X

e)

R V S 1, -1, 1, -1W S 2, 1, -2, 2 W A=S W, S 2, 2, 4, -6 W S-1, 2, 1, k W T X

f)

R V S-1, -1, 3, -5W S 1, 2, -1, 3 W A=S W, S 2, 4, -1, 5W S 2, 3, -3, k W T X

g)

R V S 1, -1, 3, 2 W S2, -1, 6, 4 W A=S W, S 1, 1, 5, -4 W S0, -1, -1, k W T X

h)

R V S k, 1, 1W A = S0, 3, 4 W , SS W 1, 4, 5W T X

i)

R S4, S 1, A=S S0, S2, T

j)

R V S 1, 1, 1, 4 W S 1, -1, -1, -2 W A=S W, S2, 0, 1, 3 W S 1, 3, 3, k W T X

k)

R S 1, S 1, A=S S2, S 1, T

l)

m)

3, 2, 1, -1

2, 3, 1, 5,

V 0W 1W W, kW 2W X

1, 2, 3, 4,

V 4W 1W W, 2W kW X

R V S 1, -1, 1, 1W S2, -3, 0, 2 W A=S W, S3, 1, 1, 1W S2, 3, 2, k W T X V R S 1, -6, 1, 8 W S2, -2, 6, 4 W A=S W. S 1, 2, 5, -4 W S0, -2, -1, k W T X

Výsledky

b)

je-li k = 25 , je h(A) = 2, je-li k ≠ 25 , je h(A) = 3, 2 2 je-li k = 9, je h(A) = 2, je-li k ≠ 9, je h(A) = 3,

c)

je-li k = –7, je h(A) = 2, je-li k ≠ –7, je h(A) = 3,

d) f)

je-li k = 3, je h(A) = 2, je-li k ≠ 3, je h(A) = 3, je-li k = - 21 , je h(A) = 3, je-li k ≠ - 21 , je h(A) = 4, 11 11 je-li k = 7, je h(A) = 3, je-li k ≠ 7, je h(A) = 4,

g)

je-li k = 3, je h(A) = 3, je-li k ≠ 3, je h(A) = 4,

a)

e)

93

Kapitola 4


h)



i)

h(A) = 3 pro libovolné k  R,

j)


k)

je-li k = –5, je h(A) = 3, je-li k ≠ –5, je h(A) = 4,

l)


m)

je-li k = 3, je h(A) = 3, je-li k ≠ 3, je h(A) = 4.

Příklad 4: V závislosti na reálném parametru k rozhodněte o lineární závislosti a nezávislosti vektorů:

a)

(1, –2, 1, 4), (0, 1, 3, 2), (–1, 4, –2, 0), (2, –4, 9, k),

b)

(1, 3, –1, 2), (3, 9, –2, 6), (1, 4, 0, –1), (0, –1, –1, k),

c)

(–1, –1, 3, –5), (2, 1, –1, 3), (4, 2, –1, 5), (3, 2, –3, k),

d)

(1, 2, 1, 0), (–1, –1, 1, –1), (3, 6, 5, –1), (2, 4, –4, k),

e)

(–1, 1, 2, 2), (–1, 2, 4, 3), (3, –1, –1, –3), (–5, 3, 5, k),

f)

(2, 4, 6, 8), (1, –6, –5, –4), (–1, –1, 1, –3), (3, 1, 0, k).

Výsledky

a)

je-li k = 8, jsou vektory lineárně závislé, je-li k ≠ 8, jsou vektory lineárně nezávislé,

b)


c)


d)


e)


f)

je-li k = 7, jsou vektory lineárně závislé, je-li k ≠ 7, jsou vektory lineárně nezávislé.

Příklad 5: Určete všechna řešení soustavy lineárních rovnic:

94

a)

Z ] 2x1 + 3x2 + 2x3 = 2, ]] x + x + 2x = -1, 1 2 3 [ 2 x 4 x + = 6, 2 ] 1 ]-x1 - 3x2 + 2x3 = -7. \

b)

Z ]] x1 + 2x2 + 2x3 = 7, [ 3x1 + x2 + x3 = 0, ]-x + 2x + 5x = 21, 1 2 3 \

c)

Z ]]2x1 + 3x2 - x3 = 5, [ x1 - x2 + x3 = 2, ] x + x = 3, 1 2 \

d)

Z ]] 3x1 - x2 - x3 = 0, [2x1 + 3x2 - 2x3 = -1, ] 4x - 5x = 2, 1 2 \

e)

Z ]] 3x1 + x2 - x3 = 0, [ x1 - 3x2 + x3 = 0, ]-x + x + x = 0, 1 2 3 \

f)

Z ]] 6x1 + 5x2 + 4x3 = 3, [2x1 + x2 - x3 = -2, ]2x + 3x + 6x = 1, 1 2 3 \

Kapitola 4


g)

Z ]]2x1 + x2 + 3x3 = 2, [ x1 + 4x2 + 2x3 = 8, ] 3x + 2x + x = 4, 1 2 3 \

h)

Z ]] 3x1 + x2 + 3x3 = 1, [2x1 + 3x2 + x3 = 0, ] x + 2x + 2x = 2, 1 2 3 \

i)

Z ]] 2x1 + x2 - 3x3 + x4 = 2, + 2x3 - 3x4 = 1, [-x1 ] x + 2x - 7x4 = 5, 1 2 \

j)

Z ]]-x1 + 3x2 + x3 - x4 = -4, + x 4 = 2, [ x1 - x2 ] x + 3x + 2x + x = -2, 1 2 3 4 \

k)

Z + 3x3 = -2, ]]-x1 2 x 2 x x x 2, + + [ 1 2 3 4 =] x - 2x + 4x + x = -4, 1 2 3 4 \

l)

Z ]] x1 - x2 + 2x3 + x4 = 0, [ x1 - 2x2 + 2x3 + 4x4 = 0, ]2x - 2x + 5x + 9x = 0, 1 2 3 4 \

m)

Z ]]-x1 - 5x2 - 2x3 + 4x4 = 0, [ 5x1 + 4x2 + 10x3 + x4 = 0, ]-x - 2x - 2x + x = 0, 1 2 3 4 \

n)

Z ]] x1 + 6x2 + 7x3 + 14x4 = 0, [ x1 + x2 + 2x3 + 4x4 = 0, ]-x + 4x + 3x + 6x = 0, 1 2 3 4 \

o)

Z - x4 = -3, ] x1 - x2 ]]-2x + 3x + x + 2x = 10, 1 2 3 4 [ 3 x x x 3, + 1 3 4 = ] ] 7x1 - 3x2 - 3x4 = -17, \

p)

Z ]] 2x1 + 3x2 + 6x3 - x4 = 0, [-x1 + 2x2 + 2x3 - 3x4 = 0, ] 2x - 2x - x + 3x = 0, 1 2 3 4 \

q)

Z ] x1 + x2 + x3 + x4 = 4, ]] x - x - x - x = 2, 1 2 3 4 [ 2 x x 3, + 4 = ] 1 ] x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 10, \

r)

Z ] x1 - 2x2 + 2x3 - 5x4 = -1, ]]-x + 3x + 2x - 3x = 3, 1 2 3 4 [ 2 x 3 x x 4 x 0, + + 2 3 4 = ] 1 ] 2x1 - 2x2 + 5x3 + 12x4 = 2, \

s)

Z = 2, ] x1 + 2x2 - x3 ]]-x - x + 3x - x = 6, 1 2 3 4 [ 2 x 3 x 3 x x 1, + + 1 2 3 4 =] ] 2x1 + 4x2 - x3 = 7, \

t)

Z + 2x3 - 2x4 = 1, ]-x1 ]] x + x - 2x + 4x = 0, 1 2 3 4 [ 2 x 2 x 3 x x 13, + + 2 3 4 = ] 1 ] 2x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 14. \

Výsledky

c)

x = (x1, x2, x3) = (–5 – 4t, 4 + 2t, t), kde t  R, x = (x1, x2, x3) = - 9 , - 1 , 4 , 7 7 x = (x1, x2, x3) = (1, 2, 3),

d)

nemá řešení,

e)

x = (x1, x2, x3) = (0, 0, 0),

f)

nemá řešení,

g)

x = (x1, x2, x3) = (0, 2, 0), x = (x1, x2, x3) = –1, 1 , 5 , 4 4 nemá řešení,

a) b)

h) i)

(

(

)

)

95

Kapitola 4


j) k) l)

96


x = (x1, x2, x3, x4) = 1 – t1 – 1 t2, –1 – 1 t2, t2, t1 , kde t1  R a t2  R, 2 2

( x = (x , x , x , x ) = (2 + 3t , 3 + 1 t 2 1

2

3

4

2

)

1

+ 7 t2, t2, t1 , kde t1  R a t2  R, 2

)

x = (x1, x2, x3, x4) = (–2t, 0, –t, t), kde t  R,

m)

x = (x1, x2, x3, x4) = (–2t1 –t2, t2, t1, t2), kde t1  R a t2  R,

n)

x = (x1, x2, x3, x4) = (–t1 – 2t2, –t1 – 2t2, t1, t2), kde t1  R a t2  R,

o)

x = (x1, x2, x3, x4) = (–2, 1 – t, 3 + t, t), kde t  R,

p)

x = (x1, x2, x3, x4) = (–7t, –9t, 7t, t), kde t  R,

q)

x = (x1, x2, x3, x4) = (1, 2 – t, t, 1), kde t  R,

r)

x = (x1, x2, x3, x4) = (3 + t, 2, 2t, t), kde t  R,

s)

x = (x1, x2, x3, x4) = (1 – 2t, 2 + t, 3, t), kde t  R,

t)

x = (x1, x2, x3, x4) = (3, 1 – 2t, 2 + t, t), kde t  R.

Kapitola 4



V této kapitole jsme se věnovali nejprve aritmetickým vektorům, jejich reálnému násobku a součtu (obě operace realizujeme po souřadnicích). Dále jsme zavedli lineární kombinaci aritmetických vektorů a zjišťovali lineární závislost a nezávislost skupiny aritmetických vektorů. V závěru této části jsme studovali skalární součin vektorů (jak název napovídá, výsledkem musí být reálné číslo).

•

Důležitý je pojem matice, která je schématem reálných čísel zapsaných do řádků a sloupců. Matici jsme přiřadili její hodnost, kterou určujeme převodem matice užitím elementárních úprav na matici v Gaussově tvaru, pro kterou je triviální určit hodnost jako počet řádků. Navíc jsme k matici sestrojili matici transponovanou.

•

Poslední část jsme věnovali řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou, která spočívá v převodu rozšířené matice soustavy elementárními úpravami na matici v Gaussově tvaru. Zdůrazňujeme, že soustava lineárních rovnic buď nemá řešení, nebo má právě jedno řešení, nebo má nekonečně mnoho řešení, žádná další možnost neexistuje.

Klíčová slova aritmetický vektor

reálný násobek aritmetického vektoru

součet aritmetických vektorů

lineární kombinace vektorů

lineární závislost vektorů

lineární nezávislost vektorů

skalární součin vektorů, matice

hodnost matice

matice v Gaussově tvaru

elementární úpravy matice

ekvivalentní matice

transponovaná matice

soustava lineárních rovnic

Gaussova eliminační metoda

Jordanova eliminační metoda

Frobeniova věta

matice soustavy (lineárních rovnic)

ekvivalentní soustavy lineárních rovnic

rozšířená matice soustavy (lineárních rovnic)

věta o počtu řešení soustavy lineárních rovnic

řešení soustavy lineárních rovnic

97

kapitola

5

Maticová algebra a determinanty


Kapitola 5

5. kapitola Maticová algebra a determinanty Úvod V této části učebního textu uvedeme reálný násobek matice, součet a součin matic. Dále se budeme věnovat čtvercovým maticím, které rozdělíme na dva typy (matice regulární a singulární). K regulárním maticím existuje inverzní matice, kterou vypočteme Jordanovým algoritmem. Budeme řešit maticové rovnice (tj. rovnice, kde neznámou je matice) i soustavy rovnic inverzní maticí. Dále zavedeme determinanty čtvercových matic, jejich výpočet a užití pro klasifikaci čtvercových matic i řešení soustav rovnic užitím determinantů (Cramerovo pravidlo).

101

Kapitola 5



5.1

Reálný násobek matice, součet a součin matic R S a11, Sa21, Značení. Místo zápisu A = SSa31, S h SS a , r1 T typu r × s.

a12, a22, a32, h a r2,

a13, a23, a33, h a r3,

g, g, g, j g,

V a1s W a2s W a3s WW budeme používat vyjádření: A = [aij] je matice hW a rs WW X

DEFINICE

Rovnost matic Jestliže A = [aij] je matice typu r  s a B = [bij] je matice typu t  u, potom A = B, jestliže r = t, s = u a pro všechna i = 1, 2, . . ., r a j = 1, 2, . . ., s je aij = bij .

Dvě matice si jsou rovny právě tehdy, jestliže jsou stejného typu a mají stejné prvky na stejnolehlých místech.

DEFINICE

Součet matic a reálný násobek matice Jestliže A = [aij] a B = [bij] jsou matice typu r  s a k je reálné číslo, potom a)

součet matic A a B je matice A + B = [aij + bij ],

b)

k násobek matice A je matice k . A = [k . aij].

Lze sečíst pouze matice stejného typu a sčítáme je tak, že sečteme stejnolehlé prvky. Reálným číslem násobíme matici tak, že tímto číslem vynásobíme všechny prvky matice.

PŘÍKLAD 5.1 Mějme matice A = =

1, 2, 2 -1, 3, -2 G a B == G . Určíme matice A + B, 3 . A a (–2) . B. 4, -1, 2 -4, 1, -2

Řešení Použijeme definice součtu matic a reálného násobku matice. Dostáváme:

A + B ==

1 - 1, 2 + 3, 2 - 2 1, 2, 2 0, 5, 0 -1, 3, -2 G== G+= G== G, 4 - 3, -1 + 1, 2 - 4 4, -1, 2 1, 0, -2 -3, 1, -4

3 $ A =3 $ =

1, 2, 2 3 $ 1, 3 $ 2, 3 $ 2 3, 6, 6 G== G== Ga 4, -1, 2 3 $ 4, 3 $ (-1), 3 $ 2 12, -3, 6

(-2) $ (-1), (-2) $ 3, (-2) $ (-2) 2, -6, 4 -1, 3, -2 (-2) $ B = (-2) $ = G== G== G. (-2) $ (-3), (-2) $ 1, (-2) $ (-4) 6, -2, 8 -3, 1, -4

102


Kapitola 5

PŘÍKLAD 5.2 R V R V S-2, 2, 1, -2 W S 1, -1, 2, 3 W Mějme matice A = S2, 3, 2, -2 W a B = S 1, 4, 3, 1W . Určíme matice A + B a 2 . A – 3 . B. SS W SS W 3, 2, 2, -4 W 3, 2, 5, 5W T X T X Řešení Použijeme definice součtu matic a reálného násobku matice. Dostáváme:

V R V V R V R R S 1, -1, 2, 3 W S-2, 2, 1, - 2 W S1 - 2, -1 + 2, 2 + 1, 3 - 2 W S-1, 1, 3, 1W A + B = S2, 3, 2, -2 W+ S 1, 4, 3, 1W= S2 + 1, 3 + 4, 2 + 3, -2 + 1W= S 3, 7, 5, -1W a W S W W S W S SS 3, 2, 2, -4 W S 3, 2, 5, 5W S3 + 3, 2 + 2, 2 + 5, -4 + 4 W S 6, 4, 7, 1W X T X X T X T T R V R V S-2, 2, 1, -2 W S 1, -1, 2, 3 W 2 $ A - 3 $ B = 2 $ S2, 3, 2, -2 W- 3 $ S 1, 4, 3, 1W= SS W SS W 3, 2, 2, -4 W 3, 2, 5, 5W T X T X R V R V 1, 12 W S2 $ 1 - 3 $ (-2), 2 $ (-1) - 3 $ 2, 2 $ 2 - 3 $ 1, 2 $ 3 - 3 $ (-2) W S-4, -8, 2 $ 3 - 3 $ 4, 2 $ 2 - 3 $ 3, 2 $ (-2) - 3 $ 1W= S 1, -6, -5, -7 W . = S 2 $ 2 - 3 $ 1, SS W S W 2 $ 3 - 3 $ 3, 2 $ 2 - 3 $ 2, 2 $ 2 - 3 $ 5, 2 $ (-4) - 3 $ 6 W S-3, -2, -11, -26 W T X T X

DEFINICE

Součin matic Jestliže A = [aij] je matice typu r × s a B = [bij] je matice typu s × t, potom součin matic A a B je matice C = [cij] typu r × t taková, že pro všechna i = 1, 2, . . ., r a j = 1, 2, . . ., t je cij skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B.

Je důležité uvědomit si, že počet sloupců první matice v součinu musí být roven počtu řádků druhé matice v součinu, výsledná matice má stejný počet řádků jako první matice v součinu a stejný počet sloupců jako druhá matice v součinu. Součin matic A a B značíme standardně A . B.

PŘÍKLAD 5.3 Mějme matice A = =

2, -1 2, 0, 1 G a B == G . Určíme součiny A . B a B . A. 3, 3 1, 3, 2

Řešení Pro výpočet obou součinů použijeme definici součinu matic. Nejprve se věnujme součinu A . B. Počet sloupců matice A je 2, tudíž je stejný jako počet řádků matice B, proto je tento součin definován. Platí:

A$ B ==

2 $ 2 + (-1) $ 1, 2 $ 0 + (-1) $ 3, 2 $ 1 + (-1) $ 2 2, -1 2, 0, 1 3, -3, 0 G$= G=> G. H== 3 $ 2 + 3 $ 1, 3 $ 0 + 3 $ 3, 3 $ 1+ 3 $ 2 3, 3 1, 3, 2 9, 9, 9

Vezmeme-li součin B . A, potom počet sloupců matice B je 3 a počet řádků matice A je 2, tzn. počet sloupců první matice v součinu je různý od počtu řádků druhé matice v součinu, proto součin B . A není definován.

103

Kapitola 5



PŘÍKLAD 5.4 3, 2 2, -2 Pro matice A = = G a B == G opět určíme součiny A . B a B . A. 1, 0 3, 1 Řešení Pro výpočet součinů použijeme definici součinu matic. Oba součiny jsou definovány, protože počet řádků i sloupců obou matic je 2. Platí:

12, -4 3, 2 2, -2 2, -2 3, 2 4, 4 A $ B == G$= G= = G$= G== G. G a B $ A == 2, -2 1, 0 3, 1 3, 1 1, 0 10, 6 Všimněme si, že A . B ≠ B pořadí matic při součinu.

. A, tj. součin matic obecně není komutativní, tedy záleží na

PŘÍKLAD 5.5 Mějme matici A = =

1, 3 G . Hledáme všechny matice X, pro které platí A . X = X . A. 2, 4

Řešení Protože matice A je typu 2 × 2, musí být hledaná matice X také typu 2 2, aby byly oba součiny definovány. Matice X má tvar X = > X určíme z rovnice A . X = X . A, tj. =

x11, x12 . Neznámé prvky x11, x12, x21 a x22 matice x21, x22 H

x , x 1, 3 x11, x12 1, 3 G$> G . Vynásobíme-li matice = > 11 12 H $ = H x21, x22 2, 4 2, 4 x21, x22

na obou stranách rovnice, dostáváme:

>2x11 + 4x21, 2x12 + 4x22 H = > x 11 + 2x 12, 3x 11 + 4x 12 H . 11 21 12 22 21 22 21 22 x + 3x ,

x + 3x

x + 2x , 3x + 4x

Dvě matice se rovnají, jestliže mají stejné prvky na stejnolehlých místech. Tak dostáváme soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých x11, x12, x21 a x22:

x11 + 3x21 = x11 + 2x12, x12 + 3x22 = 3x11 + 4x12, 2x11 + 4x21 = x21 + 2x22, 2x12 + 4x22 = 3x21 + 4x22 . Tato soustava ještě není soustava lineárních rovnic, ale můžeme ji na soustavu rovnic převést s tím, že pořadí neznámých bude x11, x12, x21 a x22. Dostáváme soustavu lineárních rovnic:

- 2x12 + 3x21 = 0, -3x11 - 3x12 + 3x22 = 0, 2x11 + 3x21 - 2x22 = 0, 2x12 - 3x21 = 0.

104

Kapitola 5


Soustavu vyřešíme Gaussovou eliminační metodou. Platí:

R V S 0, -2, 3, 0 0 W R1, 1, 0, 1 S-3, -3, 0, 3 0 W (1) S S W + S0, -2, 3, 0 S 2, 0, 3, -2 0 W SS2, 0, 3, -2 S 0, 2, -3, 0 0 W T T X

V V R 0 W (2) S 1, 1, 0, -1 0 W (3) 1, 1, 0, -1 0 0 W + S0, -2, 3, 0 0 W + > H. WW SS WW 0, -2, 3, 0 0 0 0, -2, 3, 0 0 X T X

Úpravy: (1)

(2)

čtvrtý řádek jsme vynechali (jde o (–1)násobek prvního řádku), druhý řádek jsme vynásobili číslem - 1 a zaměnili s řádkem prvním, 3 k třetímu řádku jsme přičetli (–1)násobek prvního řádku,

(3)

třetí řádek jsme vynechali (je shodný s druhým řádkem).

( )

Protože h = hr = 2 a s = 4, soustava má nekonečně mnoho řešení, počet volitelných neznámých je s – h = 4 – 2 = 2. Jako volitelné neznámé vybereme x12 a x22 , které po řadě vyjádříme parametry t1 a t2 probíhajícími všechna reálná čísla. Dostáváme x11 = –t1 + t2, x12 = t1, x21 = 2 . t1 3 a x22 = t2, kde t1  R a t2  R. Tzn. všechny matice X, které řeší rovnici A . X = X . A musí

-t + t , t mít tvar X = > 1 2 2 1H , kde t1  R a t2  R. 3 t1, t2

Je důležité si uvědomit, že součin matic obecně není komutativní, tedy záleží na pořadí matic při součinu. Musíme si dávat pozor na to, z které strany se matice násobí.

DEFINICE

Jednotková matice R S1, S 0, S Jednotková matice je matice J r = S h S 0, S 0, T

0, 1, h 0, 0,

g g j g g

0, 0, h 1, 0,

V 0W 0W W h W typu r r. 0W 1W X

105

Kapitola 5



PŘÍKLAD 5.6 Mějme matici A = =

1, 2, 2 G . Vypočteme součiny J2 . A a A . J3. 4, -1, 2

Řešení Podle definice součinu matic je:

J2 $ A = =

1 $ 1 + 0 $ 4, 1 $ 2 + 0 $ (-1), 1 $ 2 + 0 $ 2 1, 2, 2 1, 0 1, 2, 2 G$> H=> H=> H= A a 0 $ 1 + 1 $ 4, 0 $ 2 + 1 $ (-1), 0 $ 2 + 1 $ 2 4, -1, 2 0, 1 4, -1, 2

V R 1, 0, 0 W 1 $ 1 + 2 $ 0 + 2 $ 0, 1 $ 0 + 2 $ 1 + 2 $ 0, 1 $ 0 + 2 $ 0 + 2 $ 1 1, 2, 2 SS A $ J3 = > H= H $ 0, 1, 0 W= > 4, -1, 2 SS W 4 $ 1 - 1 $ 0 + 2 $ 0, 4 $ 0 - 1 $ 1 + 2 $ 0, 4 $ 0 - 1 $ 0 + 2 $ 1 0, 0, 1W X T =>

1, 2, 2 H= A , 4, -1, 2

tedy A . J3 = J2 . A = A.

VĚTA (o vlastnostech jednotkové matice) a) Jestliže A je matice typu r  s , potom A . Js = Jr . A = A, b) Jr . Jr = Jr , c)

h( Jr ) = r.

Podle části a) předcházející věty je zřejmé, že jednotková matice vzhledem k součinu matic hraje podobnou roli jako reálné číslo 1 vzhledem k součinu reálných čísel (jen je třeba vybrat vhodnou jednotkovou matici, aby součin byl definován).

106


Kapitola 5

5.2

Regulární, singulární a inverzní matice Pro naše další úvahy budou důležité čtvercové matice (tj. matice, které mají stejný počet řádků a sloupců). Řešíme-li v množině všech reálných čísel rovnici a . x = b s neznámou x, potom tato rovnice má právě jedno řešení pouze v případě, když je a ≠ 0. Půjde nám o to, aby maticová rovnice A . X = B, kde A je čtvercová matice, s neznámou maticí X také měla právě jedno řešení. Bude-li matice A nenulová (tzn. alespoň jeden její prvek bude nenulový), potom taková rovnice mj. nemusí mít řešení, nebo může mít nekonečně mnoho řešení. Abychom zaručili jednoznačnost řešení této rovnice, rozdělíme čtvercové matice na dva typy.

DEFINICE

Regulární a singulární matice Jestliže A je matice typu r r, potom: a)

matice A je regulární, jestliže h(A) = r,

b)

matice A je singulární, jestliže h(A) < r.

Každá jednotková matice je regulární, protože je čtvercová a její hodnost je rovna počtu řádků.

PŘÍKLAD 5.7 R V S 1, 2, 3 W O matici A = S0, 4, 5W rozhodneme, je-li regulární nebo singulární. SS W 0, 0, 6 W T X Řešení Matice A je čtvercová a je v Gaussově tvaru, tudíž h(A) = 3 (tedy hodnost matice je rovna počtu řádků), proto matice A je regulární.

PŘÍKLAD 5.8 R V S 1, 2, 3 W O matici A = S0, 4, 5W rozhodneme, je-li regulární nebo singulární. SS W 2, 4, 6 W T X Řešení Matice A je čtvercová, její hodnost je 2, protože třetí řádek je 2násobek prvního řádku. Hodnost matice A je menší než počet řádků, proto matice A je singulární.

107

Kapitola 5



PŘÍKLAD 5.9 R V S 1, 2, 2, 3 W O matici A = S0, -4, 7, 5W rozhodneme, je-li regulární nebo singulární. SS W 0, 0, 0, 6 W T X Řešení Matice A není ani regulární, ani singulární, protože není čtvercová.

DEFINICE

Inverzní matice Jestliže A je matice typu r r, potom inverzní matice k matici A je matice A–1 taková, že A . A–1 = Jr .

Potřebujeme odpověď na dvě otázky:

a)

Existuje inverzní matice ke každé čtvercové matici?

b)

Jak sestrojíme inverzní matici?

Odpověď na otázku a) nám dává následující věta.

VĚTA (o existenci inverzní matice) Jestliže A je matice typu r r, potom:

a)

matice A je regulární právě tehdy, jestliže k matici A existuje právě jedna inverzní matice,

b)

matice A je singulární právě tehdy, jestliže k matici A neexistuje žádná inverzní matice.

Existence inverzní matice je také důvodem rozdělení čtvercových matic na regulární a singulární matice. Jestliže A je regulární matice typu r r, jak k ní určíme inverzní matici. Používáme Jordanův algoritmus pro výpočet inverzní matice. Za matici A zapíšeme jednotkovou matici Jr (tj. jednotkovou matici stejného typu, jako je matice A), použijeme standardní elementární úpravy, až dospějeme k tomu, že vlevo je jednotková matice a vpravo bude inverzní matice A–1. Schematicky to můžeme zapsat: [A| Jr ]  … [ Jr | A–1] .

PŘÍKLAD 5.10 Určíme inverzní matici k matici A = =

1, 4 G a provedeme zkoušku. 2, 3

Řešení Použijeme Jordanův algoritmus, tj.:

=

108

1, 4 1, 0 (1) 1, 4 1, 0 (2) 1, 4 1, 0 (3) 1, 0 - 35 , 45 G+> H+> H+> H. 2, 3 0, 1 0, -5 -2, 1 0, 1 25 , - 51 0, 1 25 , - 51

Kapitola 5


Použili jsme tyto úpravy: (1) (2) (3)

ke druhému řádku jsme přičetli (–2)násobek řádku prvního, druhý řádek jsme vynásobili číslem - 1 , 5 k prvnímu řádku jsme přičetli (–4)násobek řádku druhého.

( )

- 3 , 45 Podle Jordanova algoritmu je inverzní matice k matici A matice A-1 = > 25 1 H . Máme-li 5, - 5 ověřit, že A–1 je inverzní matice k matici A, stačí:

A $ A-1 = =

1, 4 - 35 , 45 1, 0 G$> 2 G = J2 . 1 H== , 2, 3 0, 1 5 5

PŘÍKLAD 5.11 R V S 2, 1, -1W Určíme inverzní matici k matici A = S-3, 3, -1W . SS W 1, -2, 1W T X Řešení Opět použijeme Jordanův algoritmus, tj.:

R V R V R V R V S 2, 1, -1 1, 0, 0 W (1) S 1, -2, 1 0, 0, 1W (2) S 1, -2, 1 0, 0, 1W (3) S 1, -2, 1 0, 0, 1W (4) S-3, 3, -1 0, 1, 0 W + S 2, 1, -1 1, 0, 0 W + S0, 5, -3 1, 0, -2 W + S0, -1, 1 1, 2, 4 W + SS W S W S W S W 1, -2, 1 0, 0, 1W S-3, 3, -1 0, 1, 0 W S0, -3, 2 0, 1, 3 W S0, -3, 2 0, 1, 3 W T X T X T X T X V R V R V R S 1, 0, -1 -2, -4, -7 W (5) S 1, 0, 0 1, 1, 2 W (6) S 1, 0, 0 1, 1, 2 W + S0, -1, 1 1, 2, 4 W + S0, -1, 0 -2, -3, -5W + S0, 1, 0 2, 3, 5W . W SS W S W S 0, 0, -1 -3, -5, -9 W S0, 0, -1 -3, -5, -9 W S0, 0, 1 3, 5, 9 W X T X T X T

(4)



(2)

k druhému řádku přičteme (–2)násobek řádku prvního a ke třetímu řádku 3násobek řádku prvního,

(3)

k druhému řádku přičteme 2násobek řádku třetího,

( 4)

k prvnímu řádku přičteme (–2)násobek druhého řádku a ke třetímu řádku (–3)násobek řádku druhého,

(5)

k prvnímu řádku přičteme (–1)násobek řádku třetího a ke druhému řádku řádek druhý,

(6)

druhý a třetí řádek vynásobíme číslem (–1).

R V S 1, 1, 2 W Inverzní matice k matici A je tedy matice A = S2, 3, 5W . SS W 3, 5, 9 W T X -1

109

Kapitola 5



PŘÍKLAD 5.12 R V S1, 2, 3 W Určíme inverzní matici k matici A = S5, 4, 3 W . SS W 1, 1, 1W T X Řešení Opět použijeme Jordanův algoritmus, tj.:

R V R V R V R V 3 1, 0, 0 W (2) S 1, 2, 3 1, 0, 0 W (3) S 1, 2, 3 1, 0, 0 W S1, 2, 3 1, 0, 0 W (1) S 1, 2, S5, 4, 3 0, 1, 0 W + S0, -6, -12 -5, 1, 0 W + S0, -1, -2 -1, 0, 1W + S0, -1, -2 -1, 0, 1W SS W S W S W S W 1, 1, 1 0, 0, 1W S0, -1, -2 -1, 0, 1W S0, -6, -12 -5, 1, 0 W S0, 0, 0 1, 1, -6 W T X T X T X T X Použité úpravy: ( 1)

k druhému řádku přičteme (–5)násobek řádku prvního a ke třetímu řádku (–1)násobek řádku prvního,

(2)

záměna druhého a třetího řádku,

(3)

ke třetímu řádku přičteme (–6)násobek řádku druhého.

Po úpravě (3) naše cesta končí, protože zjišťujeme, že h(A) = 2, tzn. hodnost matice A je menší než počet řádků. Matice A je singulární, proto inverzní matice k matici A neexistuje.

PŘÍKLAD 5.13 R V S 1, 0 W 1, 0, 3 Mějme matice A = = G a B = S0, 2 W . Určíme inverzní matici k matici A 2, 1, 0 SS W 1, 1W T X (A . B)–1.

. B, tj. matici

Řešení

R V 1, 0 W 1, 0, 3 SS 4, 3 Nejprve určíme součin A $ B = = G $ 0, 2 W= = G. 2, 1, 0 SS WW 2, 2 1, 1 T X Dále použijeme Jordanův algoritmus pro výpočet inverzní matice k matici A . B, tj.:

=

4, 3 1, 0 (1) 2, 2 0, 1 (2) 2, 2 0, 1 (3) 2, 0 2, -3 (4) 1, 0 1, - 23 G+= G+> H+> H+> H. 2, 2 0, 1 4, 3 1, 0 0, -1 1, - 2 0, -1 1, -2 0, 1 -1, 2

Úpravy: (1)


(2)

k druhému řádku přičteme (–2)násobek řádku prvního,

(3)

k prvnímu řádku přičteme 2násobek řádku druhého, první řádek vynásobíme číslem 1 a druhý řádek číslem (–1). 2

(4)

1, - 23 Dostáváme (A $ B) -1 = > H. -1, 2

110

Kapitola 5


VĚTA (o vlastnostech regulární matice) Jestliže A je regulární matice typu r  r,

a)

potom matice A–1 je regulární matice typu r  r a platí (A–1)–1 = A, tj. A–1 . A = Jr ,

b)

jestliže B je regulární matice typu r  r, potom A (A . B)–1 = B–1 . A–1,

c)

jestliže B je matice typu r  s, potom maticová rovnice A . X = B s neznámou maticí X má právě jedno řešení X = A–1 . B,

d)

jestliže C je matice typu s  r, potom maticová rovnice X . A = C s neznámou maticí X má právě jedno řešení X = C . A–1.

. B je regulární matice typu r  r a platí

Podle části a) předcházející věty pro regulární matici A je inverzní maticí matice A–1 a pro matici A–1 je inverzní maticí matice A, tzn. matice A a A–1 jsou matice navzájem inverzní. Část b) umožňuje pro dvě regulární matice A a B stejného typu vypočítat inverzní matici k matici A . B dvěma způsoby: 1.

nejprve určíme součin A . B a Jordanovým algoritmem spočteme inverzní matici,

2.

k maticím A a B Jordanovým algoritmem spočteme inverzní matici a matici (A . B)–1 určíme jako součin B–1 . A–1 (tento postup lze použít pouze pro regulární matice).

PŘÍKLAD 5.14 1, 2 -2, 5 Mějme matice A = = G a B => H . Určíme inverzní matici k matici A 3, -8 3, 7

. B, tj. matici

(A . B)–1. Řešení Pro výpočet matice (A . B)–1 použijeme obě cesty. 1.

4, -11 1, 2 -2, 5 Spočteme A $ B = = G$> H=> H . Pro výpočet inverzní matice opět po3, -8 15, -41 3, 7 užijeme Jordanův algoritmus, tj.:

>

4, -11 1, 0 4, -11 1, 0 -1, 3 - 4, 1 -1, 3 -4, 1 H+> H+> H+> H+ 15, -41 0, 1 4, -11 1, 0 0, 1 -15, 4 -1, 3 -4, 1 1, 0 -41, 11 -41, 11 -1, 0 41, -11 +> H+> H . Tj. (A $ B) -1 = > H. 0, 1 -15, 4 0, 1 -15, 4 -15, 4

111

Kapitola 5


2.


Užitím Jordanova algoritmu spočteme inverzní matice k maticím A a B, tj.:

7, -2 1, 2 1, 0 1, 2 1, 0 1, 2 7, -2 G+> = H+> H , tj. A-1 = > H, 3, 7 0, 1 0, 1 -3, 1 0, 1 -3, 1 -3, 1

>

1, -3 1, 0 -2, 5 1, 0 -2, 5 1, 0 H+> H+> H+ 8 3 2 3, - 0, 1 1, - 1, 1 - , 5 1, 1 1, -3 1, 1 1, 0 -8, -5 1, 0 -8, -5 -8, -5 +> H+> H+> H , tj. B-1 = > H. 0, -1 3, 2 0, -1 3, 2 0, 1 -3, -2 -3, -2

7, -2 -8, -5 -41, 11 Nyní vypočteme (A . B)–1, platí (A $ B) -1 = B-1 $ A-1 = > H$> H=> H. -3, -2 -3, 1 -15, 4 Oba výsledky jsou pochopitelně stejné.

Části c) a d) věty o vlastnostech regulární matice používáme pro řešení maticových rovnic. Vzhledem k tomu, že násobení matic není obecně komutativní, musíme rozlišovat, zda násobíme neznámou matici X zleva nebo zprava.

PŘÍKLAD 5.15 Vyřešíme maticovou rovnici 3 . X – 2 . A = B . X – A, kde A = =

5, 4 4, -2 G a B == G. 7, 9 1, 0

Řešení Při řešení rovnice budeme v první fázi postupovat analogicky jako u rovnic s reálnými čísly, tj. všechny členy rovnice, ve kterých se vyskytuje neznámá matice X přesuneme na levou stranu rovnice, zbývající členy na pravou stranu rovnice. Dostáváme 3 . X – B . X = A. Pokud matici X chceme vytknout, musíme ji vytknout vpravo. Objevuje se problém, v závorce by zůstalo 3 – B, čísla nelze sčítat s maticemi. Musíme rovnici upravit s použitím jednotkové matice, tj. 3 . X = 3 . J2 . X nebo 3 . X = X . 3 . J2 . Vzhledem k tomu, že maticí B násobíme matici X zleva, použijeme první vyjádření, tzn. 3 . J2 . X – B . X = A. Teď lze vytknout matici X, dostáváme (3 . J2 – B) . X = A. Celou maticovou rovnici vynásobíme zleva maticí (3 . J2 – B)–1, tzn.:

(3 $ J2 - B) -1 $ (3 $ J2 - B) $ X = (3 $ J2 - B) -1 $ A , tedy J2 . X = (3 . J2 – B)–1 . A . 1 444444 2 444444 3 J2

Z vlastností jednotkové matice dostáváme řešení X = (3 . J2 – B)–1 . A.

112

Kapitola 5


Abychom vypočetli neznámou matici X, musíme nejdříve určit matici 3 . J2 – B, dále užitím Jordanova algoritmu inverzní matici (3 . J2 – B)–1 a samotnou matici X jako součin (3 . J2 – B)–1 . A. Tedy:

3 $ J2 - B = 3 $ =

1, 0 4, - 2 -1, 2 G-= G=> H, 0, 1 1, 0 -1, 3

1, 0 -3, 2 -3, 2 -2, 2 1, 0 -1, 2 1, 0 -1, 0 3, -2 H+> H+> H , tj. (3 $ J2 - B) -1 = > H+> H, 0, 1 -1, 1 0, 1 -1, 1 0, 1 -1, 1 -1, 1 -1, 3 0, 1

>

-3, 2 5, 4 -1, 6 tj., tzn. řešení rovnice je X = (3 $ J2 - B) -1 $ A = > G== G. H$= 2, 5 -1, 1 7, 9

PŘÍKLAD 5.16 6, -7 -1, 1 Vyřešíme maticovou rovnici 4 . X – B = X . A + B, kde A = = G a B == G. 1, 0 -1, 8 Řešení Při řešení této rovnice budeme postupovat analogicky, tj. 4 . X – X . A = 2 . B. Vzhledem k tomu, že maticí A násobíme matici X zprava, použijeme vyjádření 4 . X = X . 4 . J2 . X . 4 . J2 – X . A = 2 . B, vytkneme X . (4 . J2 – A) = 2 . B,

X $ (4 $ J2 - A) $ (4 $ J2 - A) -1 = 2 $ B $ (4 $ J2 - A) -1 , tj. X . J2 = 2 . B . (4 . J2 – A)–1 . 1 444444 2 444444 3 J2

Řešení je X = 2 . B . (4 . J2 – A)–1. Určíme:

6, -7 1, 0 -2, 7 -1, 1 -2, 2 2 $ B =2 $ = G$= G , 4 $ J2 - A = 4 $ = G$> H=> H, 1, -4 1, 0 2, 0 0, 1 -1, 8 použijeme Jordanův algoritmus, tzn.:

>

1, -4 0, 1 1, -4 0, 1 1, 0 -4, -7 1, 0 -4, -7 -2, 7 1, 0 H+> H+> H+> H, H+> 1, -4 0, 1 0, -1 1, 2 0, -1 1, 2 0, 1 -1, -2 -2, 7 1, 0

-4, -7 tedy (4 $ J2 - A) -1 = > H. -1, -2 6, 10 -2, 2 -4, -7 Řešení je X = 2 $ B $ (4 $ J2 - A) -1 = = G$> H=> H. 2, 0 -1, -2 -8, -14

113

Kapitola 5



Maticové rovnice používáme i pro řešení soustavy lineárních rovnic, jde o řešení soustavy lineárních rovnic užitím inverzní matice: Jestliže:

a11 $ x1 a21 $ x1 a31 $ x1 h a r1 $ x1

+ a12 $ x2 + a22 $ x2 + a32 $ x2 h + a r2 $ x2

+ a13 $ x3 + a23 $ x3 + a33 $ x3 h + a r3 $ x3

+ g + a1r $ x r + g + a2r $ x r + g + a3r $ x r j h + g + a rr $ x r

= b1, = b 2, = b3, h = br,

je soustava r lineárních rovnic o r neznámých taková, že matice A této soustavy je regulární (v tomto případě hodnost matice soustavy, hodnost rozšířené matice soustavy i počet neznámých je r, tzn. soustava má právě jedno řešení), potom tuto soustavu lze zapsat maticovou rovnicí:

R V R V S x1 W S b1 W S x2 W Sb2 W S W S W A $ S x3 W= Sb3 W , tuto rovnici zleva vynásobíme inverzní maticí k matici soustavy, Sh W ShW SS x WW SSb WW r r T X T X R V R V R V R V S x1 W S b1 W S x1 W S b1 W S x2 W Sb2 W S x2 W Sb2 W S W S W S W S W dostáváme S A-1 $ A $ S x3 W= A-1 $ Sb3 W , tj. S x3 W= A-1 $ Sb3 W . J ShW ShW ShW ShW SS x WW SSb WW SS x WW SSb WW r r r r T X T X T X T X r

Z této maticové rovnice snadno přečteme řešení celé soustavy. Je-li matice soustavy singulární, potom tuto metodu použít nemůžeme a musíme soustavu lineárních rovnic řešit Gaussovou eliminační metodou.

PŘÍKLAD 5.17 Užitím inverzní matice vyřešíme soustavu

x1 + 2x2 = 3, 3x1 + 5x2 = 7.

Řešení

x 1, 2 3 Označíme-li matici této soustavy A = = G , potom soustavu lze zapsat A $ > 1 H = = G . Vynáx2 3, 5 7 sobíme-li tuto maticovou rovnici zleva maticí A–1, dostáváme:

x x 3 3 A-1 $ A $ > 1 H = A-1 $ = G , tj. > 1 H = A-1 $ = G . Jordanovým algoritmem spočteme A–1, tzn.: S x x 7 7 2 2 J r

1, 2 1, 0 1, 2 1, 0 1, 0 -5, 2 1, 0 -5, 2 -5, 2 G+> = H+> H+> H. H , tj. A-1 = > 3, -1 3, 5 0, 1 0, -1 -3, 1 0, -1 -3, 1 0, 1 3, -1 x 3 -5, 2 3 -1 Vrátíme-li se k řešení soustavy, máme > 1 H = A-1 $ = G = > H $ = G = = G , tj. řešením soustavy x2 3 , 1 7 7 2 je vektor x = (x1, x2 ) = (–1, 2).

114


Kapitola 5

PŘÍKLAD 5.18 2x1 + 3x2 - x3 = 4, Užitím inverzní matice vyřešíme soustavu x1 - x2 + x3 = 1, x1 + x2 = 2. Řešení

R V R V S x1W S4 W 1 - S W W S Je-li A matice této soustavy, potom řešení lze maticově vyjádřit x2 = A $ 1 . S W SS WW 2 S x3 W T X T X Inverzní matici k matici soustavy určíme opět Jordanovým algoritmem:

R V R V R V R V S2, 3, -1 1, 0, 0 W S 1, 1, 0 0, 0, 1 W S 1, 1, 0 0, 0, 1W S 1, 0, 0 -1, 0, 3 W S 1, -1, 1 0, 1, 0 W + S2, 3, -1 1, 0, 0 W + S0, 1, -1 1, 0, -2 W + S0, 1, -1 1, 0, -2 W + SS W S W S W S W 1, 1, 0 0, 0, 1 W S 1, -1, 1 0, 1, 0 W S0, -2, 1 0, 1, -1W S0, 0, -1 2, 1, -5W T X T X T X T X R V R V R V S 1, 0, 1 1, 1, -2 W S 1, 0, 1 1, 1, -2 W S 1, 1, -2 W + S0, 1, 0 -1, -1, 3 W + S0, 1, 0 -1, -1, 3 W , tedy A-1 = S -1, -1, 3 W . SS W S W SS W 0, 0, -1 2, 1, -5W S0, 0, 1 -2, -1, 5W -2, -1, 5W T X T X T X R V R V R V R V R V S x1W S4 W S 1, 1, -2 W S4 W S 1 W Řešení užitím inverzní matice je S x2 W= A-1 $ S 1 W= S -1, -1, 3 W $ S 1 W= S 1 W , tj. řešením soustavy S W SS WW SS W S W S W 2 -8, -1, 5W S2 W S 1 W S x3 W T X T X T X T X T X je vektor x = (x1, x2 , x3) = (1, 1, 1).

Je-li matice soustavy lineárních rovnic regulární, potom soustava má právě jedno řešení. Takovou soustavu lze řešit třemi způsoby:

a)

Gaussovou eliminační metodou,

b)

Jordanovou eliminační metodou a

c)

užitím inverzní matice.

Každá z těchto metod má své výhody a nevýhody. Užití inverzní matice je daleko pracnější, ale na straně druhé použijeme-li matematický software, tak určitě bude mít program pro výpočet inverzní matice. Jestliže máme několik soustav lineárních rovnic se stejnými levými stranami, potom stačí spočítat inverzní matici pouze jednou a pracnost se výrazně sníží.

115

Kapitola 5



PŘÍKLAD 5.19 2x1 + 3x2 - x3 = 4, Užitím inverzní matice vyřešíme soustavu x1 - x2 + x3 = 1, x1 + x2 = 2. Řešení Tato soustava má se soustavou z příkladu 5.18 stejnou matici soustavy, tudíž její řešení užitím inverzní matice je:

R V R V R V R V R V S x1W S 5 W S 1, 1, -2 W S 5 W S 1 W S x W= A-1 $ S2 W= S -1, -1, 3 W $ S2 W= S2 W , S 2W SS WW SS W S W S W 3 -2, -1, 5W S 3 W S 3 W S x3 W T X T X T X T X T X tj. řešením soustavy je vektor x = (x1, x2 , x3) = (1, 2, 3).

5.3

Determinant matice Budeme se věnovat determinantům matic. Determinanty počítáme ze čtvercových matic a determinant čtvercové matice je vždy reálné číslo.

R S a11, Sa21, Značení. Jestliže A = SSa31, S h SS a , r1 T

a12, a22, a32, h a r2,

a13, a23, a33, h a r3,

g, g, g, j g,

V a1r W a2r W a3r WW je matice, potom determinant matice A značíme h W a rr WW X

Ja , K 11 K a21, buď det(A), nebo det K a31, K K h Ka , L r1

a12, a22, a32, h a r2,

a13, a23, a33, h a r3,

g, g, g, j g,

a1r N O a2r O a3r O , nebo O hO a rr O P

a11, a21, a31, h a r1,

a12, a22, a32, h a r2,

a13, a23, a33, h a r3,

g, g, g, j g,

a1r a2r a3r . První dvě značení buh a rr

deme používat při popisu vlastností determinantů matic, třetí značení při řešení příkladů (kromě jedné výjimky determinantů matic typu 1  1, kde by došlo k záměně s absolutní hodnotou).

116

Kapitola 5


DEFINICE

Determinant matice Jestliže A = [aij ] je matice typu r × r, potom determinant matice A je reálné číslo takové, že: a)

buď r = 1 a det(A) = det(a11) = a11,

b)

nebo r > 1 a pro i = 1, 2, . . ., r je

det(A) = ai1 . (–1)i + 1 . det(A i1) + ai2 . (–1)i + 2 . det(A i2) + . . . + air . (–1)i + r . det(A ir ), kde pro j = 1, 2, . . ., r matice A ij vznikne vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce v matici A .

Uvedeme nejprve determinanty nejjednodušších matic, tj. matic typů 1 × 1, 2 × 2 a 3 × 3. Determinant matice typu 1  1 je přímo v definici, tedy je roven prvku matice. Determinant matice typu 2  2 odvodíme z části b) definice s tím že zvolíme i = 1, tzn.:

a11, a12 = a11 . (–1)1 + 1 . det(a22) + a12 . (–1)1 + 2 . det(a21) = a11 . a22 – a12 . a21. Tento výsledek a21, a22 a11,

a12 j

lze zapsat: vytvoříme součin ze schématu

a21, a11,

a12 i

matu

a21,

, od kterého odečteme součin ze sché-

a22

. Vytvoříme součin prvků na hlavní diagonále, od kterých odečteme součin

a22

prvků na diagonále vedlejší. Determinant matice typu 3 × 3 také odvodíme z části b) definice s tím že zvolíme i = 1,

a11, a12, a13 tzn. a21, a22, a23 = a11 a31, a32, a33

. (–1)1 + 1 . a22, a23 + a12 . (–1)1 + 2 . a21, a23 a13 . (–1)1 + 3 . a21, a22 = a32, a33 a31, a33 a31, a32

= a11 . (a22 . a33 – a23 . a32) – a12 . (a21 . a33 – a23 . a31) – a13 . (a21 . a32 – a22 . a31) = = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 – (a11 . a23 . a32 + a12 . a21 . a33 + a13 . a22 . a31). Tento výsledek lze zapsat: při výpočtu determinantu matice 3 × 3 zapíšeme za determinant

a11, a12, a13 a11, a12 první dva sloupce, tj. a21, a22, a23 a21, a22 , a31, a32, a33 a31, a32 a11,

a12, j

vytvoříme součiny ze schématu a21,

a13 j

a22,

a23 j

a31,

a32,

a11,

a12

j a21, j a33

a22 a sečteme je, j

a31,

a32

117

Kapitola 5



a11,

a12,

a13 i

potom odečteme součiny ze schématu a21,

a22, i

a31,

a23 i

a32,

a11, i

a12 i

a21,

a22 .

a31,

a32

i a33

Vytvoříme tři součiny na hlavních diagonálách, od kterých odečteme tři součiny na diagonálách vedlejších.

PŘÍKLAD 5.20 Spočteme determinanty

a)

det(–11) ,

b)

-1, -2 , 3, 4

c)

5, -2 , -7, -3

d)

1, 2, 3 5, 4, 3 . 1, 1, 1

Řešení

a)

det(–11) = –11 ,

b)

-1, -2 = (–1) . 4 – (–2) . 3 = 2 , 3, 4

c)

5, -2 = 5 . (–3) – (–2) . (–7) = –29 , -7, -3

d)

1, 2, 3 1, 2, 3 1, 2 5, 4, 3 = 5, 4, 3 5, 4 = 1 . 4 . 1 + 2 . 3 . 1 + 3 . 5 . 1 – (3 . 4 . 1 + 1 . 3 . 1 + 2 . 5 . 1) = 0. 1, 1, 1 1, 1, 1 1, 1

Pro výpočet determinantů matic typů 1  1, 2  2 a 3  3 platí relativně jednoduchá pravidla. Počítáme-li determinanty matic typu r  r, kde r ≥ 4, tak zde žádná taková pravidla nemáme. Musíme vystačit s vlastnostmi determinantů matic.

118

Kapitola 5


VĚTA (o vlastnostech determinantu matice) Jestliže A je matice typu r  r,

a)

potom det(A) = det(AT),

b)

jestliže matice B vznikla z matice A záměnou dvou řádků (příp. dvou sloupců), potom det(B) = –det(A),

c)

jestliže matice A obsahuje dva stejné řádky (příp. dva stejné sloupce), potom det(A) = 0,

d)

jestliže matice B vznikla z matice A vynásobením jednoho řádku (příp. jednoho sloupce) reálným číslem k, potom det(B) = k . det(A),

e)

jestliže matice B vznikla z matice A přičtením násobku jednoho řádku k jinému řádku (příp. násobku jednoho sloupce k jinému sloupci), potom det(B) = det(A),

f)

R Sa11, S 0, jestliže SS 0, S h SS 0, T

a12, a22, 0, h 0,

a13, a23, a33, h 0,

g, a1r - 1, g, a2r - 1, g, a3r - 1, j h g, 0,

V a1r W a2r W a3r WW , potom det(A) = a11 . a22 . a33 . . ., ar – 1r – 1 . arr . h W a rr WW X

Budeme-li počítat determinanty matic typu r  r, kde r ≥ 4, budeme upravovat matici tak, abychom mohli použít část f) předcházející věty (tj. chceme, aby pod hlavní diagonálou byly 0). Použijeme analogické úpravy, které jsme používaly při zjištění hodnosti matice s tím, že můžeme (vzhledem k části a)) použít kromě řádkových úprav i úpravy sloupcové.

PŘÍKLAD 5.21 3, 1, Spočteme determinant -5, 8,

1, 2, 3, 1,

1, 2, 3, 1,

4 5 . 17 19

Řešení Prohlédneme-li si podrobně matici, ze které počítáme determinant, zjistíme, že druhý a třetí

3, 1, sloupec jsou shodné, podle části c) předcházející věty platí -5, 8,

1, 2, 3, 1,

1, 2, 3, 1,

4 5 = 0. 17 19

119

Kapitola 5



PŘÍKLAD 5.22 3, 5, 8, 1, -3, 2, Spočteme determinant 2, -6, 4, -8, 2, -3,

4 5 . 10 9

Řešení Prohlédneme-li si podrobněji matici, ze které počítáme determinant, zjistíme, že třetí řádek je 2násobek druhého řádku, podle části d) předcházející věty lze číslo 2 vytknout z druhého

3, 5, 8, 1, -3, 2, řádku před determinant, tzn. 2, -6, 4, -8, 2, -3,

4 3, 5, 8, 5 1, -3, 2, =2 $ 10 1, -3, 2, 9 -8, 2, -3,

4 5 = 0 , protože matice obsa5 9

huje dva stejné řádky.

PŘÍKLAD 5.23 3, 1, Spočteme determinant - 1, 2,

1, 0, 0, 1,

0, 2, 3, 1,

2 3 . 4 3

Řešení U této matice i po velice podrobném prozkoumání není ani žádný řádek násobkem jiného řádku, ani žádný sloupec násobkem jiného sloupce. Matici upravíme na diagonální tvar při aplikacích předcházející věty. Dostáváme:

3, 1, -1, 2,

1, 0, 0, 1,

0, 2, 3, 1,

2 3 (1) =4 3

1, 3, 0, 1, 0, -1, 1, 2,

0, 2, 3, 1,

2 3 (2) =4 3

1, 3, 0, 1, 0, -1, 0, -1,

3, 0, =0, 0, (4)

0, 2, 3, 1,

2 3 (3) =4 1

1, 0, 0, 0,

3, 1, 0, 0,

3, 0, 2 1, 2, 3 (5) =0, -1, -1 0, 3, 4

0, 2, 5, 3, 1, 0, 0, 0,

2 3 (4) = 4 4

3, 0, 2 1, 2, 3 (6) = (-1) $ 1 $ 1 $ (-1) $ 1 = 1 . 0, -1, -1 0, 0, 1


záměna prvního a druhého sloupce, determinant mění znamení,

(2)

ke čtvrtému řádku přičítáme (–1)násobek prvního řádku,

(3)

ke třetímu a čtvrtému řádku jsme přičetli řádek druhý,

(4)

ke třetímu řádku přičítáme (–1)násobek čtvrtého řádku,

(5)

ke čtvrtému řádku jsme přičetli 3násobek třetího řádku,

(6)

v matici jsou pod diagonálou nuly, tudíž determinant je roven součinu prvků na hlavní diagonále.

Determinanty počítáme pouze ze čtvercových matic. Čtvercové matice dělíme na regulární a singulární. Souvisí druh čtvercové matice s jejím determinantem? Ano, odpověď nám dá následující věta.

120

Kapitola 5


VĚTA (o determinantu regulární a singulární matice) Jestliže A je matice typu r  r, potom:

a)

matice A je regulární právě tehdy, jestliže det(A) ≠ 0,

b)

matice A je singulární právě tehdy, jestliže det(A) = 0.

PŘÍKLAD 5.24 3, 5, 2, 0 0, 0, -3, 1 Užitím determinantu matice rozhodneme, je-li matice A regulární nebo sin1, 2, 2, 1 3, -1, 0, -3 gulární. Řešení Použijeme předcházející větu. Musíme vypočítat determinant matice A, tzn.

3, 5, 2, 0 3, 5, 2, 0 1, 2, 2, 1 1, 2, 2, 1 0, 0, -3, 1 (1) 1, 2, 2, 1 (2) 3, 5, 2, 0 (3) 0, -1, -4, -3 (4) det (A) = = = = = 1, 2, 2, 1 0, 0, -3, 1 0, 0, -3, 1 0, 0, -3, 1 3, -1, 0, -3 3, -1, 0, -3 3, -1, 0, -3 0, -7, -6, -6 1, 2, 2, 1 1, 2, 5, 1 0, -1, -4, -3 (5) 0, -1, -13, -3 (6) = = =0, 0, -3, 1 0, 0, 0, 1 0, 0, 22, 15 0, 0, 67, 15 (4)

1, 2, 5, 1 0, -1, -13, -3 (7) = (-1) $ 1 $ (-1) $ 1 $ 67 $ 1 = 67 ! 0 . 0, 0, 67, 15 0, 0, 0, 1

Úpravy: (1)

záměna druhého a třetího řádku, změna znamení determinantu,

(2)

záměna prvního a druhého řádku, opět změna znamení determinantu,

(3)

ke druhému a čtvrtému řádku přičteme (–3)násobek prvního řádku,

(4)

ke čtvrtému řádku přičteme 7násobek druhého řádku,

(5)

ke třetímu sloupci přičteme 3násobek čtvrtého sloupce,

(6)

záměna třetího a čtvrtého řádku, další změna znamení determinantu,

(7)

v matici jsou pod diagonálou nuly, tudíž determinant je roven součinu prvků na hlavní diagonále.

Závěr: det(A) ≠ 0, proto je matice A je regulární.

Pro řešení soustav lineárních rovnic, které mají právě jedno řešení, lze také použít determinanty.

121

Kapitola 5



VĚTA (Cramerovo pravidlo) Jestliže

a11 $ x1 a21 $ x1 a31 $ x1 h a r1 $ x1

+ a12 $ x2 + a22 $ x2 + a32 $ x2 h + a r2 $ x2

+ a13 $ x3 + a23 $ x3 + a33 $ x3 h + a r3 $ x3

+ g + a1r $ x r + g + a2r $ x r + g + a3r $ x r j h + g + a rr $ x r

= b1, = b 2, = b3, h = br,

je soustava r lineárních rovnic o r neznámých taková, že matice A této soustavy je regulární,30) potom det (A i) pro i = 1, 2, ..., r je xi = , kde matice Ai vznikne z matice A nahrazením i-tého sloupce sloupcem det (A) pravých stran.

Je-li matice soustavy singulární, nelze Cramerovo pravidlo použít, lze použít pouze Gaussovu eliminační metodu.

PŘÍKLAD 5.25

Cramerovým pravidlem vyřešíme soustavu rovnic

4x1 - 2x2 = 10, 3x1 + 7x2 = -18.

Řešení Pro použití Cramerova pravidla musí být matice soustavy regulární. Vzhledem k tomu, že pro výpočet obou neznámých potřebujeme determinant matice soustavy, ověříme tento předpoklad výpočtem determinantu matice soustavy, tj.

4, -2 =4 3, 7

. 7 – (–2) . 3 = 34 ≠ 0 . Matice

soustavy je regulární. Přistoupíme k výpočtu neznámých. Neznámá x1 je rovna zlomku, ve kterém jmenovatel je determinant matice soustavy a čitatel je determinant matice vzniklé z matice soustavy nahrazením prvního sloupce sloupcem pravých

10, -2 -18, 7 10 $ 7 - (-2) $ (-18) 34 stran. Dostáváme x1 = = = =1 . 34 34 34 Neznámá x2 je rovna zlomku, ve kterém jmenovatel je determinant matice soustavy a čitatel je determinant matice vzniklé z matice soustavy nahrazením druhého sloupce sloupcem pravých

4, 10 3, -18 4 $ (-18) - 10 $ 3 -102 stran. Dostáváme x2 = = = = -3 . 34 34 34 Řešením soustavy je vektor x = (x1, x2 ) = (1, –3).

30) V tomto případě hodnost matice soustavy, hodnost rozšířené matice soustavy i počet neznámých je r, tzn. soustava má právě jedno řešení.

122


Kapitola 5

PŘÍKLAD 5.26 2x1 + x2 + 3x3 = 2, Cramerovým pravidlem vyřešíme soustavu rovnic x1 + 4x2 + 2x3 = 1, 3x1 + 2x2 + x3 = 3. Řešení Vypočteme determinant matice soustavy:

2, 1, 3 2, 1, 3 2, 1 1, 4, 2 = 1, 4, 2 1, 4 = 2 $ 4 $ 1 + 1 $ 2 $ 3 + 3 $ 1 $ 2 - (3 $ 4 $ 3 + 2 $ 2 $ 2 + 1 $ 1 $ 1) =-25 ! 0 , 3, 2, 1 3, 2, 1 3, 2 matice soustavy je regulární. Určíme jednotlivé neznámé:

2, 1, 3 1, 4, 2 3, 2, 1 x1 = = -25 = 1 , protože v čitateli je determinant stejné matice jako matice soustavy, -25 -25 2, 2, 3 1, 1, 2 3, 3, 1 x2 = = 0 = 0 , protože matice v čitateli má dva stejné sloupce, -25 -25 2, 1, 2 1, 4, 1 3, 2, 3 x3 = = 0 = 0 , protože matice v čitateli má dva stejné sloupce. -25 -25 Řešením soustavy je vektor x = (x1, x2 , x3) = (1, 0, 0).

K řešení soustavy lineárních rovnic, které mají regulární matici soustavy, máme čtyři metody: Gaussovu a Jordanovu eliminační metody, použití inverzní matice a Cramerovo pravidlo. Z hlediska pracnosti je nejpracnější Cramerovo pravidlo. Výhodou Cramerova pravidla je (na rozdíl od zbývajících metod) možnost spočítat izolovaně jednu neznámou, aniž bychom znali zbývající neznámé.

123

Kapitola 5



PŘÍKLAD 5.27 x1 - x2 + x3 = 3, Cramerovým pravidlem vypočtěme neznámou x3 v soustavě rovnic 2x1 + x2 - x3 = 0, 3x1 - 2x2 = -1. Řešení

1, -1, 1 Vypočteme determinant matice soustavy 2, 1, -1 = 0 + 3 - 4 - 3 - 2 - 0 = -6 ! 0 , matice 3, -2, 0 soustavy je regulární, můžeme použít Cramerovo pravidlo.

1, -1, 3 2, 1, 0 3, -2, -1 Neznámá x3 = = -1 + 0 - 12 - 9 - 0 - 2 = -24 = 4 . -6 -6 -6

124

Kapitola 5


5.4

Neřešené příklady s výsledky Příklad 1: Vypočtěte součiny A . B a B . A, jestliže:

a)

b)

R S 1, S2, A=S S 1, S2, T

V R 2W S 1, 1W W a B = S0, 2W SS 2, 1W T X R R V S 1, S2, 1, 3 W S2, A = S0, 1, 2 W a B = S SS W S3, 1, 2, 1W S0, T X T 0, 2, 1, 3,

V 0, 1, 0 W 2, 0, 1W , W 1, 1, 0 W X 2, 1, 1, 1,

V 1W 0W W, 2W 1W X

c)

R V R V S2, 1, 1W S2, -1, 1, 2 W A = S0, -3, 4 W a B = S 1, 0, -3, 2 W , SS W SS W 1, 4, 2 W 1, 4, 3, -2 W T X T X

d)

R V S2, -1, 2 W S 1, 0, -3 W 5, 2, 1, -1 A => W, H a B=S 1, 2, -3, -1 S 1, 3, -2 W S0, 7, -2 W T X

Výsledky

a)

R S 5, S4, A $ B=S S 5, S4, T

b)

R S3, S4, součin A . B není definován a B $ A = S S 8, S 1, T

c)

R V 4W S 6, 2, 2, A $ B = S1, 16, 21, -14 W a součin B . A není definován, SS W 8, 7, - 5, 6W T X

d)

13, -12, 4 A $ B => H a součin B . A není definován. 1, -17, 4

2, 5, 4, 7,

3, 3, 3, 3,

V R V 0W 2, 1, 4 W S W 2 W a B $ A = S6, 7, 3 W , 1W SS W 5, 3, 7 W 3W T X X 5, 3, 8, 3,

V 8W 8W W, 13 W 3W X

125

Kapitola 5



Příklad 2: Vypočtěte součiny (A + B) . C a (A . B) . C, Jestliže:

a)

A ==

5, 1 1, 7 0, 3 G , B == G a C == G, 1, 3 5, 2 1, 0

b)

A ==

5, 1 1, 1 1, 3 G , B == G a C == G. 0, 2 2, 1 0, 1

Výsledky

a)

(A + B) $ C = =

4, 18 37, 30 G , (A $ B) $ C = = G, 5, 18 13, 48

b)

(A + B) $ C = =

6, 20 7, 27 G , (A $ B) $ C = = G. 2, 9 4, 14

Příklad 3: Rozhodněte, je-li matice A regulární nebo singulární, jestliže:

a)

b)

c)

d)

e)

R V S4, 2, 1W A = S 1, 3, 5W , SS W 2, 4, 1W T X R V S 1, 0, 1, 0 W A = S0, 2, 0, 1W , SS W 2, 1, 1, 0 W T X R V S2, 1, 1, 0 W S 1, 2, 1, 3 W A=S W, S3, 4, 4, 4 W S0, 1, 2, 1W T X R V S2, 1, 1W A = S0, -3, 4 W , SS W 1, 4, 2 W T X R V S 3, 3, 2, 3 W S-1, 2, 1, 1W A=S W. S 1, 0, -3, 4 W S 3, 1, 4, -2 W T X

Výsledky

126

a)

A je regulární,

b)

A není ani regulární, ani singulární (protože není čtvercová),

c)

A je singulární,

d)

A je regulární,

e)

A je singulární.

Kapitola 5


Příklad 4: Vypočtěte inverzní matici A–1 k matici A, jestliže:

a)

1, 3 A == G, -3, 2

k)

b)

3, 5 A == G, -1, -2

l)

c)

A ==

d)

R V S4, 0, 5W A = S0, 1, -6 W , SS W 3, 0, 4 W T X

e)

R V S-1, 2, 0 W A = S-1, 0, 2 W , SS W 0, 6, 0 W T X

f)

R V S 1, 0, 0 W A = S-5, -4, -1W , SS W 3, 5, 1W T X

g)

R V S 1, 2, 4 W A = S2, 1, 0 W , SS W 5, 4, 4 W T X

h)

R V S 1, 1, 2 W A = S5, 4, 1W , SS W 4, 3, 0 W T X

i)

R V S 1, 0, 1W A = S0, 1, 2 W , SS W 2, 1, 0 W T X

j)

R V S0, 1, 1W A = S 1, -1, -1W , SS W 0, 0, 1W T X

5, -3 G, 3, -2

R S 3, S-1, A=S S 1, S 3, T R S-1, S-1, A=S S-1, S 2, T

V 2, 2, 3 W 2, 1, 1W W, 0, -3, 4 W -1, 4, - 2 W X V 0, 1, 0 W 0, 1, 1W W, -1, 1, 1W 1, -1, -1W X

m)

R V S 1, 1, 1W A = S 1, 2, 3 W , SS W 2, 3, 5W T X

n)

R V S 1, 1, 1W A = S 1, 2, 3 W , SS W 2, 4, 7 W T X

o)

R V S 1, -2, 1W A = S 1, 3, -2 W , SS W -1, -1, 1W T X

p)

R V S 2, -3, 1W A = S-1, 5, -2 W , SS W 0, -2, 1W T X

q)

R V S 2, 1, -1W A = S-3, 3, -1W , SS W 1, -2, 1W T X

r)

R V S 1, 2, 3 W A = S 1, 3, 5W , SS W 2 , 5, 9 W T X

s)

R V S 1, 1, 2 W A = S2, 3, 5W . SS W 3, 5, 9 W T X

127

Kapitola 5



Výsledky

a)

A-1 = > 113

, - 113 1 H , 11 11 ,

k)

b)

2, 5 A-1 = = G, -1, -3

l)

c)

2, -3 A-1 = = G, 3, -5

d)

R V S 4, 0, -5W -1 A = S-18, 1, 24 W , SS W -3, 0, 4 W T X

e)

R S -1, 0, A-1 = S 0, 0, S 1 1 S- 2 , 2 , T

f)

R V S 1, 0, 0 W A-1 = S 3, 1, 1W , SS W -13, -5, -4 W T X

2

g)

128

1 3 1 6 1 6

V W W, W W X

A–1 neexistuje (matice A je singulární),

h)

R V S 3, -6, 7 W A = S-4, 8, -9 W , SS W 1, -1, 1W T X

i)

R 1 V S 2 , - 41 , 41 W A-1 = S-1, 21 , 21 W , S 1 W S 2 , 41 , - 41 W T X

j)

R V S 1, 1, 0 W A-1 = S 1, 0, -1W , SS W 0, 0, 1W T X

-1

R S 1, S 0, A-1 = S S-1, S 2, T R S 0, S 0, A-1 = S S 1, S-1, T

V 1, -2, -4 W 1, 0, -1W W, 6W -1, 3, 1, -6, -10 W X V 0, 1, 1W 1, -1, 0 W W, 0, 1, 1W 1, 0, 0 W X

m)

R V S 1, -2, 1W A = S 1, 3, -2 W , SS W -1, -1, 1W T X

n)

R V S 2, -3, 1W A-1 = S 1, 3, -2 W , SS W -1, -1, 1W T X

o)

R V S 1, 1, 1W A-1 = S 1, 2, 3 W , SS W 2, 3, 5W T X

p)

R V S 1, 1, 1W A-1 = S 1, 2, 3 W , SS W 2, 4, 7 W T X

q)

R V S 1, 1, 2 W A-1 = S2, 3, 5W , SS W 3, 5, 9 W T X

r)

R V S 2, -3, 1W A = S-1, 5, -2 W , SS W 0, -2, 1W T X

s)

R V S 2, 1, -1W A-1 = S-3, 3, -1W . SS W 1, -2, 1W T X

-1

-1

Kapitola 5


Příklad 5: Vypočtěte neznámou matici X v maticové rovnici A . X = X . A, jestliže:

a)

A ==

b)

1, -1 A == G, 1, 0

0, 1 G, 2, 3

c)

A ==

0, 1 G, 1, -2

d)

A ==

1, 0 G. 0, 1

Výsledky

a)

t - 3t, X => 1 2 2 t2,

b)

t + t , - t2 , kde t1  R a t2  R , X => 1 2 t2, t1H

c)

t + 2t2, t2 , kde t1  R a t2  R , X => 1 t2, t1H

d)

maticové rovnici vyhovuje každá matice X typu 2 × 2 (matice A je jednotková).

t H , kde t1  R a t2  R , t1

1 2 2

Příklad 6: Vypočtěte neznámou matici X v maticové rovnici:

a)

X . B = 3 . X + 2 . A, kde A = =

1, 2 5, 7 G a B == G, 0, 1 1, 6

b)

-1, -2 -1, 9 3 . X – B = B – X . A, kde A = = G, G a B == 1, 2 -1, 0

c)

X . A + 3 . B = 2 . X + 5 . B, kde A = =

d)

-1, 5 - 4, - 3 X + 2 . B = A . X + 3 . B, kde A = = G a B == G, 1, -2 1, 2

e)

2 . B + X . A = 4 . X + 3 . B, kde A = =

f)

1, 7 - 2, - 3 B . X + A = 2 . X + 2 . A, kde A = = G, G a B == 1, -6 1, 4

g)

1, 6 1, -7 2 . X + A = 2 . A + X . B, kde A = = G a B == G, -1, -2 -1, -6

h)

3 . X – 2 . A = B . X – A, kde A = =

1, 2 -1, 2 G a B == G, 2, -1 -3, 3

2, 7 - 2, 4 G, G a B == 1, 1 - 1, 5

5, 4 4, -2 G a B == G. 7, 9 1, 0

129

Kapitola 5



Výsledky

a)

-2, 6 X = 2 . A . (B – 3 . J2 )–1 = = G, 2, -4

b)

-6, 10 X = 2 . B . (3 . J2 + A)–1 = = G, -10, 18

c)

2, 0 X = 2 . B . (A – 2 . J2 )–1 = = G, -6, -6

d)

-7, 1 X = ( J2 – A)–1 . B = = G, -2, 1

e)

-2, -6 X = B . (A – 4 . J2 )–1 = = G, 2, 3

f)

X = (B – 2 . J2 )–1 . A = =

g)

2, -1 X = A . (2 . J2 – B)–1 = = G, -6, 5

h)

-1, 6 X = (3 . J2 – B)–1 . A = = G. 2, 5

9, -4 G, 1, -1

Příklad 7: Vypočtěte determinanty:

130

a)

5, -12 , 1 -3 2,

f)

-1, 4, 2 1, 1, -3 , 2, -2, -1

b)

15, -1 , -2, -3

g)

5, 4, 1 4, 3, 5 , 1, 1, 5

c)

7, 5 , 6, 8

h)

4, 2, 1 1, 3, 5 , 2, 4, 1

d)

3, - 1 , 1, 1

i)

3, 1, 6 4, 9, 7 , 6, 1, 4

e)

1, 2, 3 -1, 5, -2 , 0, 7, 1

j)

2, 1, 1 1, 2, 1 , 3, 4, 4

Kapitola 5


k)

1, 5, 0 2, 1, 2 , 3, 1, 1

l)

3, 2, 1 5, 3, 2 , 7, 3, 4

m)

3, 9, 6 2, 9, 8 , 0, 9, 3

n)

5, 4, 1 4, 3, 0 , 1, 1, 5

o)

1, 1, 1 2, 2, 1 , 1, 1, 2

p)

9, 2, 7 1, 0, 0 , 3, 0, 4

q)

0, 0, 1, 0, -1, 3, 1, 3, -5, 3, 5, 0,

r)

1, 2, 2, 3,

3, 5, 2, 1,

7, 1, 2, 0,

3 5 , 0 0

2 5 , 0 0

s)

0, 3, 2, 5,

1, 1, 4, 1,

1, 7, 1, 4,

4 0 , 8 1

t)

3, 0, 4, 7,

0, 1, 3, 0,

1, 1, 5, 1,

2 0 , 2 1

u)

2, 0, 3, 6,

0, 1, 3, 0,

3, 1, 7, 1,

3 0 , 1 1

v)

1, 2, 4, 5,

6, 5, 7, 6,

3, 1, 3, 1,

5 5 , 5 5

w)

0, 0, 3, 5,

0, 3, 5, 7,

3, 5, 7, 0,

5 7 , 0 0

x)

3, -5, 0, 0 2 - , 3, 5, 0 , 0, 2, 3, -5 0, 0, -2, 3

y)

3, -1, 0, 0,

z)

2, 1, 0, 0,

5, 0, 0 3, -5, 0 , 1, 3, 5 0, -1, 3

3, 2, 1, 0,

0, 3, 2, 1,

0 0 . 3 2

Výsledky

a)

–9 ,

h)

–52 ,

o)

0,

v)

0,

b)

–47 ,

i)

–187 ,

p)

–8 ,

w)

–509 ,

c)

26 ,

j)

5,

q)

–29 ,

x)

–89 ,

d)

4,

k)

19 ,

r)

–104 ,

y)

241 ,

e)

0,

l)

0,

s)

189 ,

z)

–11 .

f)

–21 ,

m)

–81 ,

t)

–10 ,

g)

–9 ,

n)

–4 ,

u)

–48 ,

131

Kapitola 5



Příklad 7: Určete užitím jak Gaussovy eliminační metody, tak i Jordanovy eliminační metody, tak i inverzní matice k matici soustavy, tak i Cramerova pravidla všechna řešení soustavy lineárních rovnic:

a)

2x1 - 3x2 = 6, * 3x1 + 4x2 = 0,

b)

x1 + 3x2 = -2, * 4x1 + 5x2 = -2,

c)

2x1 + 8x2 = 5, * 4x1 - 5x2 = -1,

d)

-x1 + 4x2 = 9, * 4x1 + 6x2 = 8,

e)

Z = 0, ]] x1 - x2 - x 3 = 2, [5x1 ] - 2x2 + x3 = 0, \

f)

Z ]] 3x1 + x2 + 3x3 = 1, [2x1 + 3x2 + x3 = 0, ] x + 2x + 2x = 2, 1 2 3 \

g)

Z ]] x1 - 2x2 + x3 = 2, [2x1 - x2 + x3 = 0, ] x + x - 2x = 1, 1 2 3 \

h)

Z ]] 4x1 + 2x2 + x3 = 0, [ x1 + x2 + 2x3 = 3, ]-x + 3x + x = 0, 1 2 3 \

i)

Z ]] 3x1 - 3x2 - 2x3 = 0, [ 7x1 - 8x2 - 5x3 = -1, ] 6x - 7x - 4x = 0, 1 2 3 \

j)

Z ]] x1 - 2x2 + 2x3 = 7, [ 3x1 + x2 + x3 = 0, ]-x + 2x + 5x = 21, 1 2 3 \

k)

Z ]] x1 + 4x2 + x3 = 3, [ 3x1 - x2 - x3 = 1, ] 2x + x + 2x = 6, 1 2 3 \

l)

Z ]]2x1 + 3x2 - 5x3 = 5, [ 3x1 - 4x2 + 2x3 = -1, ] 5x + 4x - 3x = 9. 1 2 3 \

Výsledky

a) b) c)

( ( (

)

g)

) )

h)

d)

x = (x1, x2 ) = (–1, 2) ,

e)

x = (x1, x2 , x3) = 2 , 2 , 4 , 3 3 3 x = (x1, x2 , x3) = –1, 1 , 5 , 4 4

f)

132

x = (x1, x2 ) = 24 , – 18 , 17 17 4 6 ,- , x = (x1, x2 ) = 7 7 x = (x1, x2 ) = 17 , 11 , 42 21

( (

) )

x = (x1, x2 , x3) = – 1 , – 11 , – 3 , 6 6 2 3 15 ,– , 21 , x = (x1, x2 , x3) = – 22 22 11

( (

)

)

i)

x = (x1, x2 , x3) = (3, –1, 6) ,

j)

x = (x1, x2 , x3) = – 9 , – 1 , 4 , 7 7

k)

x = (x1, x2 , x3) = (1, 0, 2) ,

l)

x = (x1, x2 , x3) = (1, 1, 0) .

(

)

Kapitola 5



V této kapitole jsme zavedli maticové operace reálný násobek matice, součet matic a součin matic (operace součin na rozdíl od reálných čísel není obecně komutativní). Dále jsme zavedli jednotkovou matici, která vzhledem k součinu matic hraje podobnou roli jako číslo 1 vůči součinu reálných čísel.

•

Čtvercové matice jsme rozdělili na matice regulární a singulární. K regulárním maticím existuje (na rozdíl od singulárních matic) matice inverzní, kterou používáme pro řešení maticových rovnic i soustav lineárních rovnic, které mají právě jedno řešení.

•

Dále jsme zavedli determinant čtvercové matice, který je reálné číslo a slouží k tomu, abychom zjistili z jeho nenulovosti nebo nulovosti, zda matice je regulární nebo singulární. Dále se užitím determinantů dá řešit soustava lineárních rovnic, která má právě jedno řešení (Cramerovo pravidlo).

Klíčová slova reálný násobek matice

součet matic

součin matic

jednotková matice

regulární matice

singulární matice

inverzní matice

Cramerovo pravidlo

maticová rovnice

determinant matice

determinant regulární matice

determinant singulární matice

Jordanův algoritmus pro výpočet inverzní matice

133

kapitola

6

Množinové operace a funkce jedné proměnné


Kapitola 6

6. kapitola Množinové operace a funkce jedné proměnné Úvod Nejprve se budeme zabývat množinovými operacemi a číselnými množinami. Dále zavedeme funkci jedné proměnné, její definiční obor, obor hodnot, graf a monotónii. Budeme se věnovat základním elementárním funkcím, jejich definičním oborům, oborům hodnot, grafům i intervalům, kde jsou tyto funkce rostoucí i klesající. Pro elementární funkce budeme určovat jejich definiční obor. Závěr kapitoly je věnován limitě a spojitosti funkcí jedné proměnné.

137

Kapitola 6



6.1

Množinové operace DEFINICE

Podmnožina Množina A je podmnožina množiny B (a označíme A  B nebo B  A ), jestliže pro každé x  A platí x  B.

Tzn. množina A je podmnožina množiny B právě tehdy, jestliže množina B obsahuje všechny prvky množiny A. Uveďme dvě evidentní pravdy:

a)

pro každou množinu A je4 A ,

b)

jsou-li A a B množiny, potom A = B právě tehdy, jestliže A  B a současně B  A.

Na obr. 6.1 (a) množina A je podmnožina množiny B a množina B není podmnožina množiny A. Na obr. 6.1 (b) ani množina A není podmnožina množiny B, ani množina B není podmnožina množiny A.

OBRÁZEK 6.1 (a)

AB

A

B

(b)

A

B

DEFINICE

Sjednocení, průnik a rozdíl množin Jsou-li A a B množiny, potom a)

sjednocení množin A a B je množina A  B = {x; x A x B},

b)

průnik množin A a B je množina A  B = {x; x A x B},

c)

rozdíl množin A a B je množina A – B = {x; x A x B},

d)

množiny A a B jsou disjunktní, jestliže A  B =4.

Množiny A a B jsou disjunktní, jestliže nemají žádný společný prvek (viz obr. 6.2 (a)).

138

Kapitola 6


OBRÁZEK 6.2 (a)

Disjunktní množiny A a B

B

A

Množiny A a B

(b)

B

A

Mějme množiny A a B (viz obr. 6.2 (b)). Na obr. 6.3 (a) je A  B, na obr. 6.3 (b) je A  B, na obr. 6.4 (a) je A – B a na obr. 6.4 (b) je B – A.

OBRÁZEK 6.3 AB

(a)

B

A

AB

(b)

B

A

Do sjednocení množin A a B patří všechny prvky, které patří do množiny A nebo do množiny B, určitě A  B = B  A (viz obr. 6.3 (a)). Do průniku množin A a B patří všechny prvky, které patří současně do množiny A a do množiny B, určitě A  B = B  A (viz obr. 6.3 (b)).

OBRÁZEK 6.4 A–B

(a)

A

B–A

(b)

B

A

B

Do rozdílu množin A a B patří všechny prvky, které patří do množiny A a současně nepatří do množiny B. Tato operace závisí na pořadí množin A a B, tzn. obecně neplatí A – B = B – A. Poznamenejme, zapíšeme-li x  A – {a}, potom tento zápis znamená x  A a současně x ≠ a.

139

Kapitola 6



PŘÍKLAD 6.1 Pro množiny A = (–3, 5) a B = 0, 6) určíme A  B, A  B, A – B a B – A. Řešení A  B = (–3, 6), A  B = 0, 5), A – B = (–3, 0) a B – A = 5, 6).

PŘÍKLAD 6.2 Pro množiny A = –1, 5 a B = 5, 7 určíme A  B, A  B, A – B a B – A. Řešení A  B = –1, 7, A  B = {5}, A – B = –1, 5) a B – A = (5, 7.

PŘÍKLAD 6.3 Pro množiny A = (–5, –3) a B = (–1, 3) určíme A  B, A  B, A – B a B – A. Řešení A  B = (–5, –3)  (–1, 3), A  B =4, A – B = (–5, –3) a B – A = (–1, 3).

PŘÍKLAD 6.4 Pro množiny A = (–, ) a B = {–2, 4} určíme A  B, A  B, A – B a B – A. Řešení A  B = (–, ), A  B = {–2, 4}, A – B = (–, –2)  (–2, 4)  (4, ) a B – A =4.

V úvodní kapitole jsme množinu {a, b} nazvali neuspořádanou dvojicí prvků a a b. V mnoha úvahách potřebujeme zapsat prvky a a b tak, aby bylo důležité jejich pořadí. Uspořádaná dvojice prvků a a b, kterou zapisujeme buď [a, b], nebo (a, b), je seznam prvků a a b. Tzn. pro libovolné prvky a, b, c a d, platí [a, b] = [c, d ] právě tehdy, jestliže a = c a současně b = d. Který zápis pro uspořádanou dvojici prvků použijeme, závisí na interpretaci. Jsou-li a a b reálná čísla, potom [a, b] je bod v rovině a (a, b) představuje dvojrozměrný vektor.

DEFINICE

Kartézský součinu množin Jsou-li A a B množiny, potom kartézský 31) součin množin A a B je množina

A  B = {[x, y]; x  A  y  B}.

Kartézský součin množin A a B je množina všech uspořádaných dvojic prvků takových, že první prvek v uspořádané dvojici patří do množiny A a druhý prvek do množiny B.

31) Termín kartézský součin byl vytvořen na počest francouzského matematika a filosofa René Descarta (1596-1650), který latinsky podepisoval své práce Renatus Cartesius. V dodatku ke své práci Discours de la méthode (Rozprava o metodě, 1637) věnovanému geometrii poprvé naznačil použití uspořádaných dvojic reálných čísel k popisu bodů v rovině.

140

Kapitola 6


PŘÍKLAD 6.5 Pro konečné množiny A = {1, 2, 3} a B = {4, 5} určíme A  B a B  A. Řešení Kartézský součin množin A a B je množina A  B = {[1, 4], [2, 4], [3, 4], [1, 5], [2, 5], [3, 5]} a kartézský součin množin B a A je množina B  A = {[4, 1], [5, 1], [4, 2], [4, 3], [5, 3]}, zcela evidentně A  B  B  A.

PŘÍKLAD 6.6 Pro množiny A = 2, 3 a B = 1, 3 graficky znázorníme v rovině A  B a B  A. Řešení Na obr. 6.5 (a) je kartézský součin A  B a na obr. 6.5 (b) je kartézský součin B  A. Opět zcela evidentně A  B  B  A.

PŘÍKLAD 6.7 Pro množiny A = 2, 6 a B = 1, 7 graficky znázorníme v rovině A  B a B  A. Řešení Na obr. 6.6 (a) je kartézský součin A  B a na obr. 6.6 (b) je kartézský součin B  A. Opět zcela evidentně A  B  B  A.

OBRÁZEK 6.5 A  B = 2, 3  1, 3

(a)

3

B  A = 1, 3  2, 3

(b)

3 A

B 2 1

2

A

3

1

B

3

141

Kapitola 6



OBRÁZEK 6.6 A  B = 2, 6  1, 7

(a)

B  A = 1, 7  2, 6

(b)

7 6 A

B

2 1 2

A

6

1

B

7

Operace kartézský součin množin A a B je závislá na pořadí množin. Z příkladů 6.5, 6.6 a 6.7 vyplývá, že obecně neplatí A  B = B  A. Máme-li zavedenu uspořádanou dvojici prvků a a b, lze analogicky pro kladné přirozené číslo n zavést uspořádanou n-tici prvků a1, a2, . . ., an , kterou budeme zapisovat [a1, a2, . . ., an ] nebo (a1, a2, . . ., an ). Označení vybereme podle interpretace.

6.2

Číselné množiny Budeme se věnovat pojmu číslo, různým druhům čísel (přirozeným, celým a reálným) a zákonům, které platí při rozmanitých operacích s čísly. V každodenním životě se člověk setkával s jistými skupinami předmětů, mezi kterými existovaly kvantitativní vztahy. Jejich odraz se projevil v lidské mysli formováním pojmu číslo. Pojem číslo podléhal vývoji a v bohatství tohoto pojmu se odrážela složitost společenského života. Tuto skutečnost potvrzuje i studium života primitivních kmenů, u kterých je pojem číslo slabě vyvinut. Existují primitivní kmeny, kterým jsou známy jen pojmy čísel „jeden“ a „dva“. Číslo vyjadřuje vlastnost společnou rozličným skupinám předmětů, totiž počet předmětů ve skupině (pět stromů, pět jablek atd.). V první fázi svého vývoje však není pojem číslo plně odtržený od konkrétních objektů. To dosvědčují i názvy čísel (tj. číslovky) u starých národů, u kterých např. název čísla „pět“ byl totožný s názvem ruky (pět prstů na ruce), číslo „dvacet“ s názvem celého člověka (celkem dvacet prstů) atd. Vytvoření samostatného pojmu číslo bez úzké a bezprostřední představy jisté skupiny předmětů byl již další kvalitativní stupeň v jeho vývoji. V důsledku tohoto procesu se vytvořily pojmy přirozené, celé, racionální, reálné a komplexní číslo, vybudoval se systém operací s těmito čísly.

142


Kapitola 6

V současnosti se vychází z pojmu množina – základního matematického pojmu – při budování pojmu číslo, rozličných druhů čísel a operací s nimi v plné souvislosti s rozvojem a potřebami matematických disciplín i jejich aplikací. Matematické metody ekonomických věd vycházejí z operací s čísly a veličinami, jako jsou např. cena, poptávka, nabídka. Čísla tvoří také základ matematické analýzy i jiných matematických disciplín. Není naší úlohou vysvětlovat způsoby vytvoření číselných pojmů. Množinu všech přirozených čísel značíme symbolem N0, symbolem N označíme všech kladných přirozených čísel; musí platit N = N0 – {0}. Zapíšeme-li obě množiny jejich prvky, dostáváme N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} a N = {1, 2, 3, 4, . . .}. Množinu všech celých čísel značíme Z, tj. Z = {. . ., –2, –1, 0, 1, 2, . . .}, a množinu všech reálných čísel R. Množinu všech reálných čísel také zapisujeme jako interval, tj. R = (–, ). V našich úvahách budeme příležitostně používat geometrické názvosloví, které je všem čtenářům známé ze střední školy, např. místo „množina všech reálných čísel“ použijeme termín „reálná osa“ nebo „číselná osa“, místo „reálné číslo x“ termín „bod x“, místo „číslo x je větší (resp. menší) než číslo y“ uvedeme „bod x leží vpravo (resp. vlevo) od bodu y“ atd. Poznamenejme, že zrakový názor na přímku nelze použít jako důkazový prostředek, protože používáme-li geometrickou terminologii jako „číselná osa“, „bod na číselné ose“, není to nic jiného než pojmenování pro „množinu všech reálných čísel“, „reálné číslo“. Často je však geometrické názvosloví užitečné – mnohdy má heuristickou cenu, tj. napovídá nám, jakou cestou se máme dát při řešení matematických problémů. Je účelné rozšířit množinu všech reálných čísel R o další prvky tak, abychom zjednodušili některé budoucí úvahy. Snad každý někdy v životě narazí na pojem nekonečno a přemýšlí o něm, třebaže na leckoho to působí i trochu hrůzostrašně. Tím spíše se pak snaží vyrovnat se s tímto pojmem. Ale většinou bývá pojem nekonečno lidem nejasný. Při studiu je nejdůležitější věcí ujasnit si především pojmy, se kterými pracujeme. V matematice to platí dvojnásob. A pojem nekonečno je čistě matematický.

DEFINICE

Rozšířená číselná osa Rozšířená číselná osa je množina R* = R  {–, }, kde pro všechna reálná čísla a platí

–< a < . Místo symbolu  používáme také symbol +, prvky  a – souhrnně značíme ±. Prvky množiny R* nazýváme zobecněná reálná čísla, prvky  a – nevlastní reálná čísla. Na rozšířenou číselnou osu R* lze rozšířit některé operace definované na množině všech reálných čísel R. Pro libovolné reálné číslo a (tj. a  R) platí: a +  =  + a =  +  = , a –  = – + a = – –  = –,

a = a = a = 0, 3 -3 !3 je-li a > 0, potom a .  =  . a =  .  =  a a . (–) = (–) . a =  . (–) = –, je-li a < 0, potom a .  =  . a = (–) .  = – a a . (–) = (–) . a = (–) . (–) = , –(–) =  a |–| = || = |±| = , je-li a > 0, potom a = , je-li a < 0, potom a = 0, je-li a > 1, potom a =  a a– = 0, je-li 0 < a < 1, potom a = 0 a a– = .

143

Kapitola 6



Toto rozšíření operací je účelné zejména pro výpočet limit. Poznamenejme, že některé operace nejsou definovány – např.  – ,  . ,  . (–, !3 , 0 , A (kde A  0), , 1±, … !3 0 0 V takových případech hovoříme o neurčitých limitních typech nebo neurčitých výrazech, které budeme při výpočtech limit funkcí odstraňovat.

6.3

Funkce jedné proměnné Samotné slovo funkce je odvozeno z latinského slova functio, které znamená působení či výkon. Pojem funkce první zavedl německý matematik a filosof Gottfried Wilhelm Leibniz v 17. století, i když první úvahy o závislosti se objevují již u scholastických křesťanských myslitelů ve 14. století.

DEFINICE

Funkce jedné proměnné Je-li množina M  R, potom f (x) je funkce jedné proměnné (nebo zkráceně funkce), jestliže f je přesný předpis, který každému reálnému číslu x z množiny M přiřazuje právě jedno reálné číslo y = f (x), které nazýváme funkční hodnotou funkce f v bodě x. Množina M je definiční obor funkce f (x), který značíme D( f ). Obor hodnot funkce f (x) je množina { f (x); x  D( f )}, kterou značíme H( f ), tj. H( f ) = { f (x); x  D( f )}.

U funkcí jedné proměnné se zpravidla uvádí jejich graf (jak každý ví ze střední školy). Co rozumíme grafem funkce jedné proměnné?

DEFINICE

Graf funkce Je-li f (x) funkce jedné proměnné, potom graf funkce f (x) je množina všech bodů [x, f (x)] v rovině pro x  D( f ), tj. jde o množinu {[x, f (x)]; x  D( f )}.

144

Kapitola 6


PŘÍKLAD 6.8 Uvažujme funkci f takovou, že libovolnému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu f (x) = x2 – 2x. Určíme její definiční obor, obor hodnot i graf. Řešení Určitě D( f ) = (– ), H( f ) = –1, ) a graf je na obr. 6.7 (a).

OBRÁZEK 6.7 Graf funkce f (x) = x2 – 2x

(a)

Graf funkce g(x) = |x|

(b)

3

4

2

3

1

2 1 1

–1

2

3

–1 –4

–2

2

4

PŘÍKLAD 6.9 Uvažujme funkci g takovou, že libovolnému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu g(x) = | x|. Opět určíme její definiční obor, obor hodnot i graf. Řešení Zcela jistě D( g) = (– ), H( g) = 0, ) a graf je na obr. 6.7 (b).

DEFINICE

Rostoucí, klesající a ryze monotónní funkce Jsou-li f (x) funkce a I interval takové, že I  D( f ), potom: a)

funkce f (x) je rostoucí v intervalu I, jestliže pro libovolná x1 a x2 z intervalu I taková, že x1 < x2, platí f (x1) < f (x2),

b)

funkce f (x) je klesající v intervalu I, jestliže pro libovolná x1 a x2 z intervalu I taková, že x1 < x2, platí f (x1) > f (x2),

c)

funkce f (x) je ryze monotónní v intervalu I, jestliže f (x) je rostoucí v intervalu I nebo f (x) je klesající v intervalu I.

145

Kapitola 6



PŘÍKLAD 6.10 Mějme funkci h definovanou předpisem, který každému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu h(x) = x2 + 2x. Uvedeme maximální intervaly, ve kterých je funkce h rostoucí, klesající a ryze monotónní. Řešení Funkce h je klesající v intervalu (––1 a je rostoucí v intervalu –1 ) (viz obr. 6.8 (a)), tudíž je ryze monotónní v intervalu (––1 a je ryze monotónní v intervalu –1 ). Nelze uvést, že funkce h je ryze monotónní v intervalu (– ), protože v celém tomto intervalu není ani rostoucí, ani klesající. Graf funkce h je na obr. 6.8 (a).

PŘÍKLAD 6.11 Uvažujme funkci signum32), která se značí sgn(x) a je definována předpisem: je-li x  (–), potom sgn(x) = –1, je-li x = 0, potom sgn(x) = 0, je-li x  (0, ), potom sgn(x) = 1. Určíme její definiční obor, obor hodnot, graf i maximální intervaly, kde je funkce sgn(x) rostoucí, klesající i ryze monotónní. Řešení Zcela jistě D(sgn) = (– ), H(sgn) = {–1, 0, 1} a graf je na obr. 6.8 (b). Funkce sgn(x) není ani rostoucí, ani klesající, ani ryze monotónní v žádném intervalu.

OBRÁZEK 6.8 Graf funkce h(x) = x2 + 2x

(a)

(b)

Graf funkce sgn(x)

3 2 1

–3

–2

1

–1 –1

32) Slovo signum znamená v latině znamení. Tato funkce vyjadřuje znamení reálného čísla.

146

Kapitola 6


6.4

Základní elementární funkce Nejvíce používanými funkcemi jedné proměnné jsou tzv. elementární funkce. Uvedeme některé základní elementární funkce. Konstantní funkce je funkce f, která každému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu f (x) = a, kde a je reálné číslo. Pro konstantní funkci platí: D( f ) = (– ), H( f ) = {a} a na obr. 6.9 (a) je graf funkce f (x) = 4.

OBRÁZEK 6.9 (a)

(b)

Graf konstantní funkce

Graf identické funkce

f (x) = 4

g (x) = x

8

3 2

6

1

4 –4 2

–2

–1

2

4

–2 –3

–4

–2

2

4

Identická funkce je funkce g, která každému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu g(x) = x. Pro identickou funkci platí: D( g ) = (– ), H( g ) = (– ) a funkce g je rostoucí v intervalu (– ), graf je na obr. 6.9 (b). Funkce n-tá mocnina je funkce h, která každému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu h(x) = xn, kde n je kladné přirozené číslo. Zcela jistě D(h) = (– ). Pro další vlastnosti funkce h musíme rozlišit dva případy.

a)

Je-li n liché, potom H(h) = (– ), h je rostoucí v intervalu (– ), na obr. 6.10 (a) je graf funkce h(x) = x 3.

b)

Je-li n sudé, potom H(h) = 0 ), h je klesající v intervalu (–  a je rostoucí v intervalu 0 ), na obr. 6.10 (b) je graf funkce h(x) = x 2.

147

Kapitola 6



OBRÁZEK 6.10 Graf funkce h(x) = x3

(a)

Graf funkce h(x) = x2

(b)

8

8

6 4

6

2 –2

–1

2

1

4

2

4

2

6 8

–3

–2

–1

1

2

3

Polynom n-tého stupně (kde n je přirozené číslo) je funkce f, která každému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn, kde a0, a1, a2 . . ., an jsou reálná čísla taková, že an  0. Pro tuto funkci platí D( f ) = (– ). Obor hodnot i intervaly monotónie lze pro každý polynom pouze určit individuálně (viz funkce f (x) = x2 – 2x z příkladu 6.8 a funkce h(x) = x2 + 2x z příkladu 6.10). Poznamenejme, že konstantní funkce je polynom stupně nultého a identická funkce je polynom stupně prvního. Polynom stupně prvního se zpravidla nazývá lineární funkce, polynom stupně druhého se nazývá také kvadratická funkce, polynom stupně třetího kubická funkce, …. Racionální funkce je funkce definovaná jako podíl dvou polynomů. Zde nemůžeme uvést ani definiční obor, ani obor hodnot, ani intervaly monotónie, protože je lze určit pouze individuálně pro jednotlivé funkce.

Exponenciální funkce 1.

Základní exponenciální funkce je funkce f, která každému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu f (x) = e x, kde e  2,718281828459045235360287471352662497757... je iracionální číslo a nazývá se Eulerovo číslo33). Pro základní exponenciální funkci platí: D( f ) = (– ), H( f ) = (0 ), f je rostoucí v intervalu (– ), graf je na obr. 6.11 (a). Protože H( f ) = (0 ), platí: pro všechna reálná čísla x je e x > 0, tj. exponenciální funkce nabývá pouze kladné hodnoty. Tuto skutečnost budeme využívat při řešení nerovnic a rovnic.

33) Eulerovo číslo vzniklo tak, že se hledal základ exponenciální funkce, tak aby tečnou této exponenciály v bodě [0, 1] byla přímka s rovnicí y = x + 1. Byl nalezen základ, který byl označen e a nazván Eulerovo číslo (podle Leonharda Eulera, který se podílel na objevu tohoto čísla).

148

Kapitola 6


OBRÁZEK 6.11 Graf funkce f (x) = e x

(a)

Graf funkce g (x) =

(b)

7

1 2

x

( )

4

6 3

5 4

2

3 2

1

1 –3

–2

–1

1

2

3

–3

–2

–1

1

2

3

Exponenciální funkce je důležitá pro modelování přírodních jevů, protože vyjadřuje zákon přirozeného růstu, tedy něco (v organické či neorganické přírodě) se samo sebou rozmnožuje, tj. další rozmnožení vzniká ze starého základu i nového přírůstku. Sem patří organický růst (např. množství dřeva v lese, počet obyvatelstva), vyrovnávání rozdílů (např. ochlazování, rozpouštění, vybíjení kondensátoru), chemické reakce (např. inverze cukru) apod. Typickým příkladem přirozeného růstu je tzv. nepřetržité či spojité úrokování. 2.

Obecná exponenciální funkce je funkce g , která každému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu g(x) = ax , kde a je kladné reálné číslo. Určitě D( g ) = (– ). Pro vlastnosti funkce g musíme rozlišit tři případy.

a) Jestliže a  (0, 1), potom H( g ) = (0, ), g je klesající v intervalu (– ) (na obr. x 6.11 (b) je graf funkce g(x) = 1 ), 2 b) jestliže a = 1, potom H( g ) = {1}, g je konstantní funkce v intervalu (– ) (na obr. 6.12 (a) je graf funkce g(x) = 1x ),

( )

c) jestliže a  (1, ), potom H( g ) = (0, ), g je rostoucí v intervalu (– ) (na obr. 6.12 (b) je graf funkce g(x) = 2x ). Z exponenciálních funkcí je pro nás nejdůležitější základní exponenciální funkce e x.

149

Kapitola 6



OBRÁZEK 6.12 Graf funkce g (x) = 1x

(a)

(b)

Graf funkce g (x) = 2x

2

4

1,5

3

1

2 1

0,5

–2

–1

1

2

–5

–4

–3

–2 –1

1

2

Funkce n-tá odmocnina je funkce h, která každému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu h(x) = n x , kde n je kladné přirozené číslo. Pro vlastnosti funkce h musíme rozlišit dva případy.

a)

Je-li n liché, potom D(h) = (– ), H(h) = (– ), h je rostoucí v intervalu (– ), na obr. 6.13 (a) je graf funkce h(x) = 3 x .

b)

Je-li n sudé, potom D(h) = 0 ), H(h) = 0 ), h je rostoucí v intervalu 0 ), na obr. 6.13 (b) je graf funkce h(x) = x (pro úplnost je na obr. 6.14 (a) také graf funkce g(x) = - x ).

OBRÁZEK 6.13 (a)

Graf funkce h(x) =

3

x

(b)

2

2

1

1,5

Graf funkce h(x) =

x

1 –7,5

–5

2,5

–2,5 –1

5

7,5 0,5

–2 1

150

2

3

4

Kapitola 6


OBRÁZEK 6.14 (a)

Graf funkce g (x) = -

x

(b)

Graf funkce f (x) = ln x

1 1

2

3

–0,5

4

0,5

–1

0,5

–1,5

–0,5

–2

–1

1,5

1

2,5

2

3

Logaritmické funkce 1.

Přirozený logaritmus34) je funkce f taková, že každému kladnému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu f (x) = ln x. Platí: D( f ) = (0 ), H( f ) = (– ), f je rostoucí v intervalu (0 ), graf je na obr. 6.14 (b). Dále pro libovolné reálné číslo x platí ln(e x) = x a pro libovolné kladné reálné číslo x je e lnx = x.

PŘÍKLAD 6.12 Užitím předcházejícího vztahu určíme některé funkční hodnoty funkce přirozený logaritmus:

ln ` e2j = 2 , ln ` e7j = 7 , ln e 13 o = ln ` e-3j =-3 , ln e 15 o = ln ` e-5j =-5 , ln ` e j = ln ` e j = 1 , 2 e e 1 2

ln `5 e j = ln ` e j = 1 , ln ` 7 e3 j = ln ` e j = 3 , ln e 7 1 5 o = ln e 1 o = ln ` e- j =- 5 . 7 5 7 e e 1 5

3 7

5 7

5 7

PŘÍKLAD 6.13 Vyřešíme rovnici ln(x) = 2. Řešení Vyjdeme opět ze vztahu mezi přirozeným logaritmem a základní exponenciální funkcí, tj.: ln(x) = 2 = ln(e 2), „odlogaritmujeme“ a dostáváme x = e 2.

PŘÍKLAD 6.14 Vyřešíme rovnici ln(x) = –3. Řešení Analogicky je ln(x) = –3 = ln(e –3), „odlogaritmujeme“ a dostáváme x = e-3 = 13 . e

34) Logaritmus o základu e se označuje jako přirozený logaritmus (latinsky logaritmus naturalis, někdy se také nazývá Napierův logaritmus podle Johna Napiera).

151

Kapitola 6



PŘÍKLAD 6.15 Vyřešíme rovnici ln(x) = 1 . 2 Řešení 1 1 Analogicky je ln (x) = 1 = ln ` e 2 j , „odlogaritmujeme“ a dostáváme x = e 2 = e . 2

PŘÍKLAD 6.16 Vyřešíme rovnici ln(x) = - 1 . 3 Řešení 1 1 Analogicky je ln (x) = - 1 = ln ` e- 3 j , „odlogaritmujeme“ a dostáváme x = e- 3 = 3 1 . 3 e

PŘÍKLAD 6.17 Vyřešíme rovnici ln(x) = 3 . 4 Řešení 3 3 Analogicky je ln (x) = 3 = ln ` e 4 j , „odlogaritmujeme“ a dostáváme x = e 4 = 4 e3 . 4

Funkce přirozený logaritmus také umožňuje převést obecnou exponenciální na základní exponenciální funkci. Jestliže a je kladné reálné číslo, potom pro libovolné reálné číslo x platí ax = e x 2.

. lna

.

Logaritmus o základu a je funkce g taková, že každému kladnému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu g(x) = loga x, kde a  (0, 1)  (1, ). Určitě platí: D( g ) = (0 ) a H( g ) = (– ). Pro monotónii funkce g musíme rozlišit dva případy.

a) Jestliže a  (0, 1), potom g je klesající v intervalu (0 ) (na obr. 6.15 (a) je graf funkce g(x) = log (x)), 1 2

b) jestliže a  (1, ), potom g je rostoucí v intervalu (0 ) (na obr. 6.15 (b) je graf funkce g(x) = log2(x)). Poznamenejme, že pro všechna kladná reálná čísla x platí: ln x = loge x (tj. funkce přirozený logaritmus je o logaritmus o základu e) a log x = log10 x (tj. použijeme-li označení log x, jde o logaritmus o základu 10, tedy dekadický35) logaritmus).

35) Nazývá se také desítkový logaritmus, příp. Briggsův podle Henryho Briggse.

152

Kapitola 6


OBRÁZEK 6.15 Graf funkce g (x) =

(a)

log (x)

(b)

1 2

3

4

2

3

1

2 2

–1

4

6

8

10

12

Graf funkce g (x) = log2(x)

1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

2

4

6

8

10

12

Goniometrické funkce je skupina čtyři funkcí velikosti úhlu používaných například při zkoumání trojúhelníků a periodických jevů. Goniometrické funkce jsou základem goniometrie. Obvykle se definují jako poměr dvou stran pravoúhlého trojúhelníka nebo délky určitých částí úseček v jednotkové kružnici. Jde o funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. U těchto funkcí uvedeme jejich definiční obory, obory hodnot, grafy a některé vzorce. Definiční obory jsou D(sin) = D(cos) = (– ), D(tg) = R – r + k . ; k  Z a D(cotg) = R – k . ; k  Z , 2 obory hodnot H(sin) = H(cos) = –1 1 a H(tg) = H(cotg) = (– ).

{

}

{

}

Graf funkce sin(x) je na obr. 6.16, graf funkce cos(x) je na obr. 6.17, graf funkce tg(x) je na obr. 6.18 (a) a graf funkce cotg(x) je na obr. 6.18 (b).

OBRÁZEK 6.16 Graf funkce sin(x) 1

0 0

/2



3/2

2

–1

Uveďme některé vzorce, které budeme potřebovat:

a)

pro všechna reálná čísla x platí sin2(x) + cos2(x) = 1,

b)

sin (x) pro všechna reálná čísla x ≠ r + k . , kde k  Z, je tg(x) = , cos (x) 2

c)

pro všechna reálná čísla x ≠ k . , kde k  Z, je cotg(x) =

cos (x) . sin (x)

153

Kapitola 6



OBRÁZEK 6.17 Graf funkce cos(x) 1

0 0



/2

3/2

2

–1

Mezi základní elementární funkce ještě patří funkce cyklometrické (inverzní funkce k funkcím goniometrickým), které při našich úvahách nebudeme potřebovat, proto je neuvádíme.

OBRÁZEK 6.18 (a)

Graf funkce tg(x)

(b)

Graf funkce cotg(x)

y

y

x –r

154

-r 2

0

r 2

r

x –r

-r 2

0

r 2

r

Kapitola 6


6.5

Elementární funkce DEFINICE

Elementární funkce Elementární funkce jsou funkce, které vzniknou ze základních elementárních funkcí užitím operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání funkcí.

Předpis pro elementární funkci je sestaven ze základních elementárních funkcí a funkčních operací.

PŘÍKLAD 6.18 Uváděli jsme funkci g takovou, že libovolnému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu g(x) = |x|. Tato funkce je elementární, protože pro všechna reálná čísla x platí: g(x) = |x| =

x2 .

Dále uvedeme některé funkce používané v ekonomii.

PŘÍKLAD 6.19 Funkce S(q), která modeluje cenu zboží v závislosti na jeho množství q, které je na trh dodáváno výrobci a je nabízeno spotřebiteli, se nazývá nabídková funkce nebo také funkce nabídky. Pro modelování nabídkové funkce lze použít nejrůznější druhy funkcí jedné proměnné s tím, že jde zpravidla o funkce rostoucí. Nejčastěji se uvažují funkce definované tak, že pro kladné reálné číslo q je: S(q) = aq + b , S(q) = aq2 + bq + c , kde a, b a c jsou reálná čísla taková, že funkce S(q) je rostoucí a kladná v intervalu (0, ). Poznamenejme, že od doby Alfreda Marshalla36) se při grafickém znázornění vynáší množství zboží (označované q) na první („x-ovou“) osu a cena (označovaná p) na druhou („y-ovou“) osu.

36) Alfred MARSHALL (26. 7. 1842–18. 7. 1927) – anglický ekonom; profesor univerzit v Bristolu, Oxfordu a Cambridgi. Zakladatel cambridgeské národohospodářské školy a nejvlivnější osobnost neoklasické ekonomické školy. Spojil teorii mezního užitku s nákladovou teorií, kde se zaměřil převážně na problém tvorby tržních cen na dílčích, vzájemně izolovaných trzích a na teorii dokonalé konkurence. Při výkladu tvorby cen vycházel z nabídkové a poptávkové funkce, kde tržní cena je dána průsečíkem grafů těchto funkcí, přičemž nabídkovou a poptávkovou funkci objevil francouzský matematik, ekonom a filosof Antoine Augustin COURNOT (28. 8. 1801–31. 3. 1877), který byl zakladatelem matematické školy v politické ekonomii (vysvětloval cenu jako funkci nabídky a poptávky).

155

Kapitola 6



PŘÍKLAD 6.20 Dalším příkladem je nákladová funkce C(q), která vyjadřuje náklady v závislosti na velikosti produkce q. V teoretické ekonomické literatuře se předpokládá, že nákladová funkce vyjadřuje náklady v závislosti na objemu produkce. Pro nákladovou funkci C(q) (někdy se používá pro tuto funkci označení TC(q)) jsou vyhovujícími modely např. funkce typů: C(q) = a . q + b , C(q) = a . q2 + b . q + c , C(q) =

a $ q +b + c,

C(q) = a . q3 + b . q2 + c . q + d , C(q) = a . q

q+b q+c

+ d,

C(q) = a . q2 . q + b + c + d , q

(

)

C(q) = a . e bq , C(q) = qa . e bq + c + d , přičemž pro reálné parametry a, b, c a d požadujeme, aby pro kladná q bylo C(q) také kladné. V praxi se nejčastěji používá vyjádření C(q) = a . q3 + b . q2 + c . q + d, neboť vyhovuje průběhu nákladů při zvyšování produkce. Dále se velmi často setkáváme s funkcí AC(q) vyjadřující C (q) . Nákladová funkce C(q) se průměrné náklady, která je definována předpisem AC (q) = q zpravidla vyjadřuje jako součet funkcí FC(q) a VC(q), kde FC(q) je funkce fixních nákladů (jde vždy o konstantní funkci) a VC(q) funkce variabilních nákladů. Např. ve funkci C(q) = a . q + b, je VC(q) = aq a FC(q) = b, nebo ve funkci C(q) = a . q2 + b . q + c je VC(q) = a . q2 + b . q a FC(q) = c.

C (q) VC (q) FC (q) FC (q) je = + = AVC (q) + AFC (q) , kde AFC (q) = q q q q VC (q) funkce průměrných fixních nákladů a AVC (q) = je funkce průměrných variabilních q

Samozřejmě je AC (q) =

nákladů. Např. FC(q) = 72 a VC(q) = 2 . q + 16 . q, tudíž funkce C(q) = VC(q) + FC(q) = 2 . q2 + 16 . q + 72. Z toho AFC (q) = 72 a q AVC(q) = 2 . q + 16, tedy AC (q) = 2 $ q + 16 + 72 . q

156

Kapitola 6


PŘÍKLAD 6.21 Dalším příkladem užití funkcí jedné proměnné v ekonomii je poptávková funkce nebo funkce poptávky. Jde o funkci jedné proměnné D(q), kde D(q) vyjadřuje cenu zboží na trhu a q je množství zboží, o které projevují spotřebitelé zájem (tj. jde o spotřebitelskou poptávku). Poptávková funkce D(q) je zpravidla funkce klesající (roste-li cena, kupní zájem o zboží zpravidla klesá). Pro modelování poptávkové funkce se zpravidla používá těchto typů funkcí: D(q) = a – bq , D(q) =

a – c, q+b

D(q) = a - qb , D(q) = (a – bq)2 , D(q) = a – bq 2 , přičemž charakter reálných parametrů a a b je dán požadavkem, aby pro kladná q bylo D(q) také kladné. Také se používá funkce celkových výnosů TR(q) definovaná předpisem TR(q) = q . D(q), která vyjadřuje celkový výnos z prodeje zboží. Uvažujeme-li průměrný výnos, což je funkce TR (q) AR(q) definovaná předpisem AR (q) = , potom podle definice funkce TR(q) dostáváq me AR(q) = D(q), funkce průměrného výnosu a poptávková funkce jsou totožné. Jestliže D(q) = a – bq, což je nejjednodušší aproximace poptávkové funkce, potom jejím grafem je přímka, která protíná cenovou osu v bodě [0, a] a má směrnici (–b). Mění-li se v tomto vyjádření parametry a a b, pak poptávková funkce vyjadřuje změny v poptávce. V tomto případě je funkce TR(q) definována předpisem TR(q) = q . D(q) = a . q – b . q 2, jejímž grafem je parabola 2 s vrcholem v bodě = a , a G , tzn. maximum funkce TR(q) vzhledem k jejímu definičnímu 2b 4b 2 a . Je-li C(q) nákladová funkce, potom funkce g (q) = TR(q) – C(q), vyjadřuje zisk. oboru je 4b Na obr. 6.19 je poptávková funkce definovaná předpisem D(q) = 100 – 4q a funkce celkových výnosů TR(q) = 100q – 4q 2. Vrchol grafu takto definované funkce TR(q) je v bodě

(100) 2 G = : 25 , 625D , tj. maximum této funkce TR(q) vzhledem k jejímu definičnímu oboru = 100 , 2$4 4$4 2 je 625.

OBRÁZEK 6.19 Grafy funkcí D(q) = 100 – 4q a TR(q) = 100q – 4q 2 p 600 500 400 300 200 100

1

10

15

20

25

q

157

Kapitola 6



Pokud se podíváme na funkce uvedené v předcházejících třech příkladech, jde vždy o elementární funkce. Dále se budeme věnovat definičním oborům elementárních funkcí: Je-li f (x) elementární funkce, potom její definiční obor D( f ) zpravidla ztotožňujeme s maximální množinou existence jejího početního předpisu. Při našich úvahách budeme potřebovat zejména následující podmínky: a) podíl A existuje právě tehdy, jestliže B ≠ 0, B b) je-li n sudé kladné přirozené číslo, potom n A existuje právě tehdy, jestliže A ≥ 0,

c)

ln(A) existuje právě tehdy, jestliže A > 0,

d)

pro a  (0, 1)(1, ) loga A existuje právě tehdy, jestliže A > 0, tg(A) existuje právě tehdy, jestliže A ≠ r + k . r, kde k  Z, 2 cotg(A) existuje právě tehdy, jestliže A ≠ k . r, kde k  Z.

e) f)

PŘÍKLAD 6.22 Určíme definiční obor funkce f (x) = x3 + 5x2 – 6x + 3. Řešení Zde nelze použít žádnou z uvedených podmínek, tudíž D( f ) = (–, ).

PŘÍKLAD 6.23 Stanovíme definiční obor funkce f (x) =

ex + 2 .

Řešení V předpisu pro funkci f je sudá odmocnina, proto musí být splněno ex + 2 ≥ 0. Z vlastností základní exponenciální funkce víme, že vždy platí ex > 0, tzn. vždy platí ex + 2 > 2 > 0, tedy D( f ) = (–, ).

PŘÍKLAD 6.24 Určíme definiční obor funkce f (x) = 7 . x5 + 1 – 9. x Řešení Tato funkce obsahuje podíl, musí být splněno x ≠ 0, tedy D( f ) = (–, ) (0, ).

PŘÍKLAD 6.25 3 Určíme definiční obor funkce f (x) = x2 - 1 . x +5

Řešení V předpisu pro funkci f je podíl, požadujeme x2 + 5  0. Protože pro libovolné reálné číslo x je vždy x2 ≥ 0, tj. x2 + 5 ≥ 5 > 0. Výraz x2 + 5 je vždy kladný, tím je zaručeno, že je také vždy platí x2 + 5  0, proto D( f ) = (–, ).

158


Kapitola 6

PŘÍKLAD 6.26 Určíme definiční obor funkce f (x) = x +5 5 . x Řešení Tato funkce obsahuje podíl, musí být splněno x5  0  x  0, tedy: D( f ) = (–, ) (0, ) .

PŘÍKLAD 6.27 Určíme definiční obor funkce f (x) = x - 3 . x +7 Řešení Tato funkce obsahuje podíl, musí být splněno x + 7  0  x  –7, tedy: D( f ) = (–, –7) (–7, ) .

PŘÍKLAD 6.28 Určíme definiční obor funkce f (x) = 2x2 + 7 . x -4 Řešení Tato funkce obsahuje podíl, musí být splněno x2 – 4  0  x2  4  x  ±2, tedy: D( f ) = (–, –2) (–2, 2) (2, ) .

PŘÍKLAD 6.29 Určíme definiční obor funkce f (x) = ln(x + 2). Řešení Tato funkce obsahuje funkci přirozený logaritmus, tudíž musí platit: x + 2 > 0  x > –2, tzn. D( f ) = (–, ) .

PŘÍKLAD 6.30 Určíme definiční obor funkce f (x) = ln x . x -4 Řešení Tato funkce obsahuje podíl a funkci přirozený logaritmus, musí být splněno: (x – 4  0  x > 0)  (x  4  x > 0)  ( x  (0, 4)  (4, )), tj. D( f ) = (0, 4) (4, ) .

159

Kapitola 6



PŘÍKLAD 6.31 Určíme definiční obor funkce f (x) = x + 5 . ln x Řešení Tato funkce obsahuje podíl a funkci přirozený logaritmus, musí být splněno: (ln x  0  x > 0)  (x  1  x > 0)  (x  (0, 1)  (1, )), tj. D( f ) = (0, 1) (1, ) .

PŘÍKLAD 6.32 Určíme definiční obor funkce f (x) = 1 . x Řešení Tato funkce obsahuje podíl a sudou odmocninu, musí být splněno:

(

x  0  x ≥ 0)  x > 0, tj. D( f ) = (0, ) .

PŘÍKLAD 6.33 3 Určíme definiční obor funkce f (x) = xx . e

Řešení Tato funkce obsahuje podíl, musí být splněno ex  0, ale z vlastností základní exponenciální funkce víme, že vždy platí ex > 0, tzn. D( f ) = (–, ).

PŘÍKLAD 6.34 3 Určíme definiční obor funkce f (x) = x -x 3x + 5 . e -1

Řešení Tato funkce obsahuje podíl, musí být splněno ex – 1  0, tj. e x  1 = e0, proto x  0, tedy: D( f ) = (–, 0) (0, ) .

PŘÍKLAD 6.35 Určíme definiční obor funkce f (x) = x + 3x2 . 1- e Řešení Tato funkce obsahuje podíl, musí být splněno 1 – e x  0, tj. e x  1 = e0, tzn. x2  0, proto x  0, tedy: 2

D( f ) = (–, 0) (0, ) .

160

2

Kapitola 6


PŘÍKLAD 6.36 Určíme definiční obor funkce f (x) = 2x + 7 . 1 - ln x Řešení Tato funkce obsahuje funkci přirozený logaritmus a podíl, tj. musí být splněno x > 0 a současně 1 – lnx  0. První podmínka je evidentní, vyřešíme druhou. Dostáváme: 1 – lnx  0  lnx  1 = ln(e1) = lne x  e, tedy D( f ) = (0, e) (e, ) .

PŘÍKLAD 6.37 Určíme definiční obor funkce f (x) =

x -4 . x +3

Řešení Tato funkce obsahuje podíl a sudou odmocninu, musí být splněno x - 4 $ 0 a x + 3 ≠ 0 x +3 (tj. x  –3). Určíme nulový bod čitatele, tj. x – 4 =0  x = 4. Body (–3) a 4 dělí reálnou osu na tři intervaly (–, –3), (–3, 4) a (4, ), v každém z těchto intervalů je zlomek x - 4 stále x +3 kladný nebo stále záporný. Stačí v každém z těchto intervalů vybrat jedno reálné číslo (vybíráme takové, aby se hodnota zlomku snadno určila), zjistit pro něj znamení zlomku, potom takové znamení má celý zlomek: –4 (–, –3), potom -4 - 4 = -8 = 8 2 0 , tudíž zlomek je kladný v intervalu (–, –3), -4 + 3 -1 0 (–3, 4), potom 0 - 4 = -4 1 0 , tudíž zlomek je záporný v intervalu (–3, 4), 0+3 3 5 (4, ), potom 5 - 4 = 1 2 0 , tudíž zlomek je kladný v intervalu (4, ). 5+3 8 Z těchto výsledků vyplývá, že do definičního oboru funkce f patří intervaly (–, –3), (4, ) a nulový bod čitatele 4, tj. D( f ) = (––3) 4, ).

PŘÍKLAD 6.38 Určíme definiční obor funkce f (x) = ln b 2x + 1 l . x -2 Řešení Tato funkce obsahuje podíl a funkci přirozený logaritmus, musí být splněno 2x + 1 2 0 x -2 a x – 2 ≠ 0 (tj. x  2). Určíme nulový bod čitatele, tj. 2x + 1 =0  x = - 1 . Body - 1 2 2 a 2 dělí reálnou osu na tři intervaly –, - 1 , - 1 , 2 a (2, ), v každém z těchto intervalů 2 2 je zlomek 2x + 1 stále kladný nebo stále záporný. Stačí v každém z těchto intervalů vybrat x -2

( )

(

)(

)

jedno reálné číslo, zjistit pro něj znamení zlomku, potom takové znamení má v celém intervalu: –1 –, - 1 , potom 2

(

)

2 $ (-1) + 1 1 = 2 0 , tudíž zlomek je kladný v intervalu –, - 1 , 2 3 -1 - 2

(

)

0 - 1 , 2 , potom 2 $ 0 + 1 = - 1 1 0 , tudíž zlomek je záporný v intervalu - 1 , 2 , 0-2 2 2 2

(

)

(

)

3 (2, ), potom 2 $ 3 + 1 = 7 = 7 2 0 , tudíž zlomek je kladný v intervalu (2, ). 3-2 1

161

Kapitola 6



Požadavkům na definiční obor vyhovují intervaly –, - 1 a (2, ). V tomto případě vyšet2 řujeme ostrou nerovnici, tudíž žádný nulový bod nemůže být zařazen do definičního oboru,

(

)

tzn. D( f ) = –, - 1 (2, ). 2

(

)

PŘÍKLAD 6.39 Určíme definiční obor funkce f (x) =

4

x2 - 4 .

Řešení Tato funkce obsahuje sudou odmocninu, proto x2 – 4 ≥ 0. Řešíme rovnici x2 – 4 = 0, nulové body jsou čísla (–2) a 2. Tyto body dělí reálnou osu na tři intervaly (–, –2), (–2, 2) a (2, ), v každém z těchto intervalů je výraz x2 – 4 stále kladný nebo stále záporný. Stačí v každém z těchto intervalů vybrat jedno reálné číslo, zjistit pro něj znamení výrazu, potom takové znamení má celý výraz: –3 (–, –2), potom (–3)2 – 4 = 5 > 0, tudíž výraz je kladný v intervalu (–, –2), 0 (–2, 2), potom 02 – 4 = –4 < 0, tudíž výraz je záporný v intervalu (–2, 2), 3 (2, ), potom 32 – 4 = 5 > 0, tudíž výraz je kladný v intervalu (2, ). Požadavkům na definiční obor vyhovují intervaly (–, –2) a (2, ), vzhledem k neostré nerovnici do definičního oboru patří nulové body (–2) a 2. Dostáváme D( f ) = (–, –2 2, ).

PŘÍKLAD 6.39 Určíme definiční obor funkce f (x) = ln(ln x). Řešení Tato funkce obsahuje funkci přirozený logaritmus, proto x > 0 a současně ln x > 0. První podmínka je triviální, řešme druhou podmínku, tj. ln x > 0 = ln 1  x > 1. Průnikem obou podmínek je D( f ) = (1, ).

162


Kapitola 6

6.6

Limita funkce Budeme se věnovat dvěma fundamentální pojmům matematické analýzy, kterými jsou limita a spojitost funkce. Termín limita funkce nám pomáhá pochopit chování funkce v určitých neobvyklých situ-

sin (x) , potom tato funkce není definována v bodě x = 0. x Tento bod má jakési výjimečné postavení. Můžeme se zajímat, jaké funkční hodnoty nabývá funkce f (x) v „blízkém“ okolí bodu x = 0. Pokud vypočteme (např. na kalkulačce) několik funkčních hodnot v bodech „blízkých“ bodu x = 0, zjistíme (nepřesně řečeno): čím více se blížíme k bodu 0, tím více se funkční hodnoty funkce f (x) blíží k číslu 1. Tato formulace je příliš neurčitá pro přesné matematické úvahy, proto musíme přesně specifikovat nepřesná tvrzení „blízké okolí bodu“ a „blíží se“. acích. Uvažujeme-li funkci f (x) =

Podobně termín spojitost funkce lze nepřesně charakterizovat tím, že graf funkce je tvořen „nepřerušovanou čarou“, tj. jde o to, aby funkce zobrazovala „blízké“ body v definičním oboru na „blízké“ body v oboru hodnot. I zde jde o příliš neurčitá tvrzení. Dříve než přistoupíme k definici limity funkce, vyjdeme z metody krok stranou použité legendárním Járou Cimrmanem ve filosofii a budeme se věnovat pojmu okolí bodu v R*. Abychom mohli zkoumat chování nekonečně malých a nekonečně velkých veličin, je vhodný pojem okolí bodu pro prvky rozšířené číselné osy. Ukazuje, jaká musí být struktura množiny R*, abychom mohli hovořit o „přibližování“ k nějaké hodnotě či o „blízkosti“ prvků v této množině.

DEFINICE

Okolí bodu v R* a)

Je-li a reálné číslo a  kladné reálné číslo, potom -okolí bodu a je množina U(a) = (a – ,a + ),

b)

je-li  reálné číslo, potom - okolí bodu  je množina U() = (, ),

c)

je-li  reálné číslo, potom - okolí bodu (–) je množina U(–) = (–,).

Pro reálné číslo a je okolím libovolný otevřený interval, pro který platí, že krajní body jsou reálná čísla a bod a je středem tohoto intervalu. Okolí nevlastních reálných čísel  a –, jsou všechny otevřené intervaly, jejichž jedním krajním bodem je reálné číslo a druhým krajním bodem nevlastní reálné číslo, jehož je to okolí. Samotná definice napovídá, že libovolný prvek má nekonečně mnoho okolí. Následující příklady uvedou některá okolí.

163

Kapitola 6



PŘÍKLAD 6.41 Pro reálné číslo 3 určíme –okolí, jestliže =, = 1 , = 1 a = 1 7 . 2 100 10 Řešení

Je-li  = , potom U1(3) = (2, 4), je-li  = 1 , potom U 21 (3) = b 5 , 7 l , je-li  = 1 , potom 2 2 2 100 299 301 1 29999999 30000001 , U 1 (3) = b , l , je-li = 7 , potom U 17 (3) = e o. 100 100 100 10 10 107 107

PŘÍKLAD 6.42 Pro zobecněné reálné číslo  určíme –okolí, jestliže =–5, =23, =97 a =107. Řešení Je-li =–5, potom U–5() = (–5, ), je-li =23, potom U23() = (23, ), je-li =97, potom U97() = (97, ), je-li =107, potom U107() = (107, ).

Jak jsme již uvedli a příklady nám ukázaly, kaž prvek rozšířené číselné osy má nekonečně mnoho okolí, která mohou být „veliká“ a také „neuvěřitelně malá“, velmi nepřesně řečeno. Samozřejmě z hlediska limity funkce nás budou zajímat „menší a ještě menší okolí“. Nyní přistoupíme k samotné limitě funkce.

DEFINICE

Limita funkce v bodě Jestliže f (x) je funkce, A  R* a a  R* takové, že existuje okolí U bodu a, pro které platí U – {a} D( f ), potom funkce f (x) má v bodě a limitu A a označíme lim f (x) = A, jestliže ke každému  – okolí bodu A U (A) existuje alespoň jedno x"a

 – okolí bodu a U (a) tak, že pro všechna reálná čísla x  U (a) taková, že x  a, platí f (x)  U (A). Ve starších českých učebnicích se limita A funkce f (x) v bodě a charakterizovala slovy: jestliže se x neomezeně blíží k a, potom se f (x) neomezeně blíží k A. Abychom použili slov významného českého matematika akademika Vojtěcha Jarníka, který pravil: „Když nám nepřítel zadá jakkoli malé okolí bodu A, my umíme nalézt okolí bodu a takové, že pro všechny body z tohoto okolí kromě bodu a patří funkční hodnoty do nepřítelem zadaného okolí bodu A, potom má funkce f (x) v bodě a limitu A.“ Na obr. 6.20 je jedna taková situace zakreslena.

164

Kapitola 6


OBRÁZEK 6.20 f (x) = A lim x"a y 



 A  y = f (x)

a

x

Jestliže lim f (x) = A, potom: x"a

a)

tato limita je nevlastní, jestliže A = – nebo A = ,

b)

tato limita je vlastní, jestliže A  R,

c)

tato limita je v nevlastním bodě, jestliže a = – nebo a = ,

d)

tato limita je ve vlastním bodě, jestliže a  R.

Nejprve vypočteme limity některých základních elementárních funkcí v krajních bodech intervalů, ve kterých jsou definovány. Využijeme aritmetické operace, které jsou definovány na rozšířené číselné ose. Ve vnitřních bodech těchto intervalů nemá smysl určovat limity, protože jsou rovny funkčním hodnotám.

PŘÍKLAD 6.43 Vypočteme limity v krajních bodech definičního oboru konstantní funkce f (x) = a, kde a je reálné číslo. Řešení Krajní body definičního oboru funkce f (x) jsou zobecněná reálná čísla – a , proto lim f (x) = lim a = a a lim f (x) = lim a = a, což můžeme zapsat dohromady vyjádřením x " -3

x " -3

x"3

x"3

lim f (x) = lim a = a, tudíž jde o vlastní limitu v nevlastních bodech. Např. lim 2 = 2,

x "!3

x "!3

x "!3

lim (–3) = –3, lim r = r.

x "!3

x "!3

PŘÍKLAD 6.44 Vypočteme limity v krajních bodech definičního oboru identické funkce g (x) = x. Řešení Krajní body definičního oboru funkce g (x) jsou zobecněná reálná čísla – a , proto lim g (x) = lim x = – a lim g (x) = lim x = , jde tedy o nevlastní limity v nevlastním bodě. x " -3

x " -3

x"3

x"3

165

Kapitola 6



PŘÍKLAD 6.45 Vypočteme limity v krajních bodech definičního oboru funkce h(x) = xn, kde n je kladné přirozené číslo. Řešení Krajní body definičního oboru funkce h(x) jsou zobecněná reálná čísla – a , ve kterých budeme určovat limity. V bodě  je situace jednoduchá, zde dostáváme lim h(x) = lim xn = n = . x"3 x"3 Pro limitu v bodě – musíme rozlišit dva případy:

a)

jestliže n je sudé, potom lim h(x) = lim xn = (–)n = ,

b)

jestliže n je liché, potom lim h(x) = lim xn = (–)n = –.

x " -3

x " -3

x " -3

x " -3

Např. lim x = , lim x =  a lim x = –. 4

7

7

x"3

x "!3

x " -3

PŘÍKLAD 6.46 Vypočteme limity v krajních bodech definičního oboru základní exponenciální funkce f (x) = e x. Řešení Krajní body definičního oboru funkce f (x) jsou zobecněná reálná čísla – a , proto dostáváme lim f (x) = lim e x = e  =  a lim f (x) = lim e x = e – = . x"3

x"3

x " -3

x " -3

PŘÍKLAD 6.47 Vypočteme limity v krajních bodech definičního oboru obecné exponenciální funkce g(x) = ax, kde a je kladné reálné číslo. Řešení Krajní body definičního oboru funkce g(x) jsou zobecněná reálná čísla – a , zde rozlišíme tři případy v závislosti na a:

a)

jestliže a  (0, 1), potom lim g(x) = lim ax = a =  a lim g(x) = lim ax = a– = ,

b)

jestliže a = 1, potom lim g(x) = lim 1x = lim 1 = 1,

c)

jestliže a  (1, ), potom lim g(x) = lim ax = a =  a lim g(x) = lim ax = a– = .

x"3

x "!3

x"3

x "!3

x"3

x " -3

x " -3

x "!3

x"3

x " -3

x " -3

Např. lim b 1 l = 0 a lim b 1 l = 3 , lim 2x =  a lim 2x = 0. x"3 x " -3 x"3 2 x " -3 2 x

x

PŘÍKLAD 6.48 Vypočteme limity v krajních bodech definičního oboru funkce h(x) = přirozené číslo.

n

x , kde n je liché

Řešení Krajní body definičního oboru funkce h(x) jsou zobecněná reálná čísla – a , dostáváme

lim h (x) = lim n x = n -3 = -3 a lim h (x) = lim n x = n 3 = 3 . x" 3 x"3 x"3

x " -3

166

-

Kapitola 6


PŘÍKLAD 6.49 Rozhodneme o limitách v krajních bodech definičního oboru goniometrické funkce f (x) = sin(x). Řešení Krajní body definičního oboru funkce f (x) jsou zobecněná reálná čísla – a . Vezmeme-li libovolné okolí bodu – (příp. ), pak v tomto okolí funkce sinus nabývá všech hodnot z –1, 1, proto lim f (x) = lim sin(x) (příp. lim f (x) = lim sin(x)) neexistuje. x " -3

x " -3

x"3

x"3

Analogicky neexistují limity v nevlastních bodech pro funkce kosinus, tangens a kotangens. Vezmeme-li předcházející příklady a prohlédneme-li si grafy těchto základních elementárních funkcí, potom na grafech jsou tyto limity zřejmé. Situace může být složitější, protože v některých případech ve vlastním reálném čísle a se funkce jinak chová vpravo od bodu a než vlevo od tohoto bodu.

DEFINICE

Jednostranné limity funkce v bodě Jestliže f (x) je funkce, A  R* a a  R takové, že existuje interval (c, a) (příp. (a, c)), pro který platí (c, a)  D( f ) (příp. (a, c)  D( f )), potom funkce f (x) má v bodě a limitu A zleva (příp. zprava) a označíme lim f (x) = A (příp. lim f (x) = A), x " a-

x " a+

jestliže ke každému  – okolí bodu A U (A) existuje alespoň jeden interval (a – , a) (příp. (a, a + )), kde  je kladné reálné číslo, tak, že pro všechna reálná čísla x  (a – , a) (příp. x  (a, a + )) platí f (x)  U (A).

Limity v bodě zleva a zprava dohromady nazýváme jednostrannými limitami a limitu ve vlastním bodě nazýváme oboustrannou limitou. Nejprve uvedeme další limity základních elementárních funkcí.

PŘÍKLAD 6.50 Vypočteme limity v krajních bodech definičního oboru funkce h(x) = kladné přirozené číslo.

n

x , kde n je sudé

Řešení Krajní body definičního oboru funkce h(x) jsou body 0 a , v tomto případě dostáváme

lim h (x) = lim n x = n 0 = 0 a lim h (x) = lim n x = n 3 = 3, lim h (x) = lim n x neexistuje, protože x"0 x"3 x"3 x"0 x"0

x " 0+

+

-

-

funkce h(x) není vlevo od bodu 0 definována.

PŘÍKLAD 6.51 Vypočteme limity v krajních bodech definičního oboru funkce f (x) = lnx. Řešení Krajní body definičního oboru funkce f (x) jsou body 0 a , v tomto případě dostáváme lim f (x) = lim ln x =-3 a lim f (x) = lim ln x = 3, lim f (x) = lim ln x = 3 neexistuje, protože funx " 0+

x " 0+

x"3

x"3

x " 0-

x " 0-

kce f (x) není vlevo od bodu 0 definována.

167

Kapitola 6



PŘÍKLAD 6.52 Vypočteme limity v krajních bodech definičního oboru funkce g (x) = loga x, kde platí a  (0, 1) (1, ). Řešení Krajní body definičního oboru funkce g (x) jsou body 0 a , při výpočtu limit rozlišíme dva případy v závislosti na a: jestliže a  (0, 1), potom lim g (x) = lim log a x = 3 a lim g (x) = lim log a x =-3 , dále

a)

x " 0+

x"3

x " 0+

x"3

lim g (x) = lim log a x neexistuje, protože funkce g(x) není vlevo od bodu 0 definována,

x " 0-

x " 0-

jestliže a  (1, ), potom lim g (x) = lim log a x =-3 a lim g (x) = lim log a x = 3 , dále

b)

x " 0+

x"3

x " 0+

x"3

lim g (x) = lim log a x neexistuje, protože funkce g(x) není vlevo od bodu 0 definována.

x " 0-

x " 0-

Např. lim log 21 x =-3 a lim log 21 x =-3 , lim log 3 x =-3 a lim log 3 x = 3 . x"3

x"3

x " 0+

x"3

Jaký je vztah mezi jednostrannými limitami a limitou oboustrannou?

VĚTA (o vztahu mezi jednostrannými limitami a limitou oboustrannou) Jestliže f (x) je funkce a a  R*, potom existuje lim f (x) = A právě tehdy, jestliže existují jak lim f (x) , x"a

x " a-

tak i lim f (x) a platí lim f (x) = lim f (x) = A . x " a+

x " a-

x " a+

PŘÍKLAD 6.53 Vypočteme limity lim sgn(x) a lim sgn(x). x " 0-

x " 0+

Řešení Začneme s výpočtem lim sgn(x). Vlevo od bodu 0 je funkce sgn(x) konstantní funkce (–1), x " 0-

proto lim sgn(x) = –1. Podobně vpravo od bodu 0 je funkce sgn(x) konstantní funkce 1, x " 0-

proto lim sgn(x) = 1. Jednostranné limity v bodě 0 existují, ale jsou různé, proto lim sgn(x) x " 0+

neexistuje.

168

x"0

Kapitola 6


VĚTA (o limitě operací) Jsou-li f (x) a g(x) funkce. Potom:

lim` f (x) + g (x)j = lim f (x) + lim g (x) , x"a

x"a

x"a

lim` f (x) - g (x)j = lim f (x) - lim g (x) , x"a

x"a

x"a

lim` f (x) $ g (x)j = lim f (x) $ lim g (x) , x"a

x"a

lim x"a

x"a

f (x) f (x) lim , = x"a g (x) lim g (x) x"a

pokud existují pravé strany.

Shrneme-li, tak limita součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí je rovna součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí, pokud existují limity na pravé straně a je definována příslušná operace se zobecněnými reálnými čísly. Obdobná věta platí i pro jednostranné limity.

PŘÍKLAD 6.54 Vypočteme limity lim 13 , lim 13 , lim 5 x a lim e x2 + 3x - 54 o . x"3 x"3 x x " -3 x x"3 4 $ e x Řešení Postupně lim 13 = 13 = 1 = 0 , lim 13 = 1 3 = 1 = 0 , lim 5 x = 5 = 5 = 0 x"3 x x " -3 x x"3 4 $ e 3 4$3 3 -3 3 (-3) a lim e x2 + 3x - 54 o = 32 + 3 $ 3 - 54 = 3 + 3 - 0 = 3 . x"3 x 3

PŘÍKLAD 6.55 Vypočteme limity lim (4x3 – 5x + 10) a lim (4x3 – 5x + 10). x"3

x " -3

Řešení Pokud bychom použili větu o limitě operací, dostaneme neurčitý výraz  – . Tudy cesta nevede. Co provedeme s limitou? Vytkneme nejvyšší mocninu x a tím odstraníme neurčitý limitní typ. Dostáváme:

lim (4x3 - 5x + 10) = lim x3 $ e4 - 52 + 103 o = 33 $ e4 - 52 + 103 o = 3 $ (4 - 0 + 0) = 3 , x"3 x x 3 3

x"3

lim (4x3 - 5x +10) = lim x3 $ e4 - 52 + 103 o = (-3) 3 $ e4 - 5 2 + 10 3 o =-3 $ (4 - 0 + 0) =-3 . x " -3 x x (-3) (-3)

x " -3

169

Kapitola 6



Uvedeme univerzální postup odstraňování neurčitých limitních typů při výpočtech limit racionálních funkcí v nevlastních i vlastních bodech. Limita racionální funkce v nevlastním bodě (tj. pro x ±) vede na neurčitý limitní

1.

typ ! 3 . V tomto případě vytkneme nejvyšší mocninu x v čitateli i ve jmenovateli !3 a zkrátíme.

PŘÍKLAD 6.56 2 2 Spočteme limity lim 3x 3 + 5x - 7 a lim 3x 3 + 5x - 7 . x " 3 2x - 3x + 4 x " -3 2x - 3x + 4

Řešení Postupujeme podle návodu, tj.:

2 lim 3x 3 + 5x - 7 = lim x " 3 2x - 3x + 4 x"3

x2 e3 + 5 - 72 o 3 + 5 - 72 x x x x = xlim = 3+0- 0 = 3 =0 a "3 3 $ (2 - 0 + 0) 3 3 3 4 3 4 x e2 - 2 + 3 o x e2 - 2 + 3 o x x x x

2 lim 3x 3 + 5x - 7 = lim x " -3 2x - 3x + 4 x " -3

x2 e3 + 5 - 72 o 3 + 5 - 72 x x x x 3+0- 0 = xlim = = 3 =0 . " -3 ( 2 0 0 ) 3 $ -3 + x3 e2 - 32 + 43 o x e2 - 32 + 43 o x x x x

PŘÍKLAD 6.57 2 2 Spočteme limity lim 5x 2- 7x + 2 a lim 5x 2- 7x + 2 . x " 3 -2x + 3x + 9 x " -3 -2x + 3x + 9

Řešení Postupujeme analogicky, tj.:

2 lim 5x 2- 7x + 2 = lim x " 3 -2x + 3x + 9 x"3

x2 e5 - 7 + 22 o 5 - 7 + 22 x x x x lim = x"3 = 5 - 0 + 0 =- 5 a 3 9 2 -2 + + 2 -2 + 0 + 0 x2 e-2 + 3 + 92 o x x x x

x2 e5 - 7 + 22 o 5 - 7 + 22 x x x x 5 x 7 x 2 + lim = xlim = xlim = 5 - 0 + 0 =- 5 . x " -3 -2x2 + 3x + 9 " -3 " -3 3+ 9 2 -2 + 0 + 0 2 3 9 2 + x e-2 + + 2 o x x2 x x 2

170

Kapitola 6


PŘÍKLAD 6.58 3 2x2 + 3 a lim 7x3 - 2x2 + 3 . Určíme limity lim 7x 2 x " 3 -3x + 5x - 1 x " -3 -3x2 + 5x - 1

Řešení Opět použijeme stejný postup, tzn.:

x3 e7 - 2 + 33 o x e7 - 2 + x x x lim 7x - 2x + 3 = lim = xlim x " 3 -3x2 + 5x - 1 x"3 "3 5 -3 + x2 e-3 + 5 - 12 o x x x 3

2

3o x3 3 $ (7 - 0 + 0) = = 3 = -3 a 1 -3 + 0 - 0 -3 x2

x3 e7 - 2 + 33 o x e7 - 2 + x x x 7 x 2 x 3 + lim = lim = lim x " -3 -3x2 + 5x - 1 x " -3 x " -3 5 -3 + x2 e-3 + 5 - 12 o x x x 3

2

3o x3 -3 $ (7 - 0 + 0) -3 3 . = = = 1 -3 + 0 - 0 -3 2 x

Shrneme-li, dostáváme pravidlo pro limitu racionální funkce v nevlastních bodech: jestliže je stupeň čitatele menší než stupeň jmenovatele, potom limita je vždy 0, jestliže je stupeň čitatele roven stupni jmenovatele, potom limita je rovna podílu koeficientů u nejvyšších mocnin x v čitateli a ve jmenovateli, jestliže je stupeň čitatele větší než stupeň jmenovatele, potom limita je buď –, nebo . 2.

Limita racionální funkce ve vlastním bodě (tj. pro x  a  R) a) vede na neurčitý limitní typ 0 . V tomto případě zkrátíme výrazem (x – a). 0

PŘÍKLAD 6.59 2 Spočteme limitu lim x2 - x - 6 . x " 3 x - 5x + 6

Řešení Ověříme předpoklady a budeme postupovat podle návodu, tj.: 0 0

2 (x 3) (x + 2) x +2 = 3+2 =5 . lim x2 - x - 6 = lim = lim x " 3 x - 5x + 6 x " 3 (x - 3) (x - 2) x"3 x - 2 3-2

PŘÍKLAD 6.60 Určíme limitu lim

x "-2

x 2 + 2x . x + 6x + 8 2

Řešení Analogicky: 0 0

2 (x + 2) x x = -2 = -1 . lim x + 2x = lim = xlim x " -2 x2 + 6x + 8 x " -2 (x + 2) (x + 4) " -2 x + 4 -2 + 4

171

Kapitola 6



b) vede na neurčitý limitní typ A , kde A  0. V tomto případě určíme jednostran0 né limity, které jsou buď –, nebo  podle znamení funkce v příslušné části okolí.

PŘÍKLAD 6.61 Vypočteme limitu lim 1 . x"0 x Řešení Ověříme předpoklady, pokud za x dosadíme číslo 0, dostáváme neurčitý limitní typ 1 , podle 0 návodu určíme jednostranné limity. Platí:

lim 1 =-3 , protože čitatel je kladný, ve jmenovateli za x dosazujeme záporná čísla, tzn. x zlomek je vlevo od nuly záporný, x " 0-

lim 1 = 3 , protože čitatel je kladný, ve jmenovateli za x dosazujeme kladná čísla, tzn. zlomek x je vpravo od nuly kladný, x " 0+

tudíž lim 1 neexistuje, protože jednostranné limity jsou různé. x"0 x

PŘÍKLAD 6.62 Spočteme limitu lim 12 . x"0 x Řešení Ověříme předpoklady, pokud za x dosadíme číslo 0, opět dostáváme neurčitý limitní typ 1 , 0 podle návodu určíme jednostranné limity. Platí:

lim 12 = 3 , protože čitatel je kladný, ve jmenovateli za x dosazujeme záporná čísla, ale x2 je x kladné, podíl kladných čísel je číslo kladné, tzn. zlomek vlevo od nuly je kladný, x " 0-

lim 12 = 3, protože čitatel je kladný, ve jmenovateli za x dosazujeme kladná čísla, tzn. zlomek x je vpravo od nuly kladný, x " 0+

tudíž lim 12 = 3 , protože jednostranné limity existují a jsou si rovny. x"0 x

U elementárních funkcí nemá smysl počítat limity ve vnitřních bodech definičního oboru, protože v těchto bodech je limita rovna funkční hodnotě v příslušném bodě. Úlohy jsou formulovány tak, abychom určili limity v krajních bodech definičního oboru, jde o to, určit limity v krajních bodech jednotlivých intervalů, ze kterých se skládá definiční obor.

172

Kapitola 6


PŘÍKLAD 6.63 Vypočteme limity v krajních bodech definičního oboru funkce f (x) = –x 4 + 3x 2 + 12. Řešení Nejprve určíme definiční obor funkce f (x). U této funkce nejsou žádné omezující podmínky, proto D( f ) = (–, ), tzn. budeme určovat pouze limity v nevlastních bodech – a . Postupujeme standardně, tj.:

lim (-x4 + 3x2 + 12) = lim x4 $ e-1 + 32 + 124 o = 34 $ (-1 + 0 + 0) = -3 a x"3 x x

x"3

lim (-x4 + 3x2 + 12) = lim x4 $ e-1 + 32 + 124 o = (-3) 4 $ (-1 + 0 + 0) = -3 . x " -3 x x

x " -3

Na obr. 6.20 (a) je pro ilustraci graf funkce f (x).

OBRÁZEK 6.20 (a)

Graf funkce f (x) = x + 2

(b)

Graf funkce

x -1

f (x) = –x 4 + 3x 2 + 12 15

10

10

7,5

5

5 2,5

–3

–2

–1

–5

–10

1

2

3 –10

5

–5

10

–2,5

–15

–5

–20

–7,5

PŘÍKLAD 6.64 Vypočteme limity v krajních bodech definičního oboru funkce f (x) = x + 2 . x -1 Řešení Nejprve určíme definiční obor funkce f (x). Tato funkce obsahuje podíl, proto musí být x – 1 x , tzn. D( f ) = (–, 1)  (1, ). Vypočteme čtyři limity lim x + 2 , lim x + 2 , x " -3 x - 1 x " 1- x - 1 x 2 x 2 + + a lim . lim x " 1+ x - 1 x " 3 x -1 Limity v bodech – a  budeme počítat dohromady. Jde o limity racionální funkce se stupněm čitatele rovným stupni jmenovatele, tj. lim x + 2 = lim x " !3 x - 1 x " !3

x $ d1 + 2 n 1+ 2 x x =1 . lim = x " !3 1 1 1x $ d1 - n x x

173

Kapitola 6



Jednostranné limity v bodě 1 budeme určovat podle znamení zlomku x + 2 , protože jde x -1 o neurčitý limitní typ 3 . Začneme s lim x + 2 . Vlevo od bodu 1 je nulový bod čitatele (–2), x " 1- x - 1 0 x 2 + v intervalu (–2, ) je zlomek stále kladný nebo stále záporný, stačí vybrat jeden bod x -1 v tomto intervalu, abychom zjistili znamení zlomku. Určitě 0  (–2, ), dosadíme a dostáváme

0 + 2 = -2 1 0 , tedy zlomek x + 2 je záporný v intervalu (–2, ), proto musí být lim x + 2 =-3 . x " 1 x -1 2 -1 x -1 Vpravo od bodu 1 není žádný nulový bod čitatele i jmenovatele, v intervalu (1, ) je zlomek -

x + 2 stále kladný nebo stále záporný, stačí vybrat jeden bod v tomto intervalu, abychom x -1 zjistili znamení zlomku. Určitě 2  (1, ), dosadíme a dostáváme 2 + 2 = 4 2 0 , tedy zlomek 2 -1 x + 2 je kladný v intervalu (1, ), proto je lim x + 2 = 3 . Pro ilustraci je na obr. 6.20 (b) graf x " 1 x -1 x -1 funkce f (x). +

V diferenciálním počtu uvedeme účinnou metodu (l’Hospitalovo pravidlo), která slouží k výpočtům limit neurčitých limitních typů 0 a !3 . 0 !3

174

Kapitola 6


6.7

Spojitost funkce Pro řešení některých úloh je vhodné, aby funkce zobrazovala „blízké“ body v definičním oboru na „blízké“ body v oboru hodnot. Tj. jde o to, aby grafem funkce byla „nepřerušovaná“ čára. Formalizujme tyto intuitivní představy.

DEFINICE

Spojitost funkce Jestliže f (x) je funkce, bod c  D( f ) a I  D( f ) je interval s krajními body a a b, potom: a)

funkce f (x) je spojitá v bodě c, jestliže lim f (x) = f (c),

b)

funkce f (x) je spojitá v bodě c zleva, jestliže lim f (x) = f (c),

c)

funkce f (x) je spojitá v bodě c zprava, jestliže lim f (x) = f (c),

d)

funkce f (x) je spojitá v intervalu I, jestliže je spojitá v každém vnitřním bodu intervalu I,

x"c

x " c-

x " c+

platí-li pro levý krajní bod a  I, potom funkce f (x) je spojitá v bodě a zprava, platí-li pro pravý krajní bod b  I, potom funkce f (x) je spojitá v bodě b zleva.

Spojitosti v bodě zleva a zprava dohromady nazýváme jednostrannými spojitostmi a spojitost v bodě nazýváme oboustrannou spojitostí. Zcela evidentně platí: funkce f (x) je spojitá v bodě c právě tehdy, jestliže f (x) je spojitá v bodě c současně zprava i zleva. Uvedeme dva ilustrační příklady.

PŘÍKLAD 6.65 Ukážeme, že funkce f (x) = 4x – 3 je spojitá v bodě c = 2. Řešení Určíme lim f (x) = lim f (4x – 3) = 4 x"2

x"2

. 2 – 3 = f (2) , tedy funkce f (x) je podle definice spojitá

v bodě c = 2.

PŘÍKLAD 6.66 Ukážeme, že funkce sgn(x) není ani spojitá, ani spojitá zleva, ani spojitá zprava v bodě c = 0. Řešení Začneme jednostrannými spojitostmi. Určíme lim sgn(x) = –1  0 = sgn(0), tzn. funkce sgn(x) x " 0-

není spojitá v bodě 0 zleva. Dále lim sgn(x) = 1  0 = sgn(0), tzn. funkce sgn(x) není spojitá x " 0+

v bodě 0 zprava. Funkce sgn(x) není spojitá v bodě 0, protože v tomto bodě není spojitá ani zleva, ani zprava.

175

Kapitola 6



VĚTA (o spojitosti operací) 1.

Jsou-li funkce f (x) a g(x) spojité v bodě c,

a) potom funkce f (x) + g(x), f (x) – g(x) a f (x) . g(x) jsou spojité v bodě c, f (x) b) je-li navíc g(c)  0, potom funkce je spojitá v bodě c. g (x) 2.

Je-li funkce f ( y) spojitá v bodě g(c) a g(x) spojitá v bodě c, potom funkce f (g(x)) je spojitá v bodě c.

Spojitost se zachovává při aritmetických operacích funkcí i při skládání funkcí. Budeme pracovat s elementárními funkcemi. Jak to vypadá s jejich spojitostí?

VĚTA (o spojitosti elementárních funkcí) Každá elementární funkce je spojitá v libovolném intervalu, ve kterém je definována.

Z této věty vyplývají mj. dvě skutečnosti:

a)

funkce sgn(x) není elementární, kdyby byla elementární, musela by být spojitá v bodě 0, ale to podle příkladu 6.66 není,

b)

napíšeme-li „funkce f (x) je elementární a interval I  D( f )“, automaticky z toho vyplývá „funkce f (x) je spojitá v intervalu I “.

V ekonomických úvahách je důležitá role extrémů (tj. maxima i minima) pro optimalizace, neboť v takových úvahách jde např. o minimalizaci nákladů, maximalizaci zisku apod.

DEFINICE

Extrémy funkce vzhledem k intervalu Jestliže f (x) je funkce, interval I  D( f ) a bod c  I, potom: a)

funkce f (x) nabývá v bodě c minimum (příp. maximum) vzhledem k intervalu I, jestliže pro všechna x  I je f (x) ≥ f (c) (příp. f (x) ≤ f (c)),

b)

funkce f (x) nabývá v bodě c extrém vzhledem k intervalu I, jestliže funkce f (x) nabývá v bodě c maximum nebo minimum vzhledem k intervalu I .

Pro některé funkce máme zaručenu existenci extrémů vzhledem k uzavřenému intervalu.

VĚTA (Weierstrassova) Jestliže funkce f (x) je spojitá v uzavřeném intervalu a, b, potom funkce f (x) nabývá v tomto intervalu jak svého maxima, tak i svého minima vzhledem k tomuto intervalu.

176

Kapitola 6


Weierstrassova věta zaručuje existenci maxima i minima spojité funkce v uzavřeném intervalu, ale nedává žádný návod, jak takové maximum nebo minimum určit. V diferenciálním počtu funkcí jedné proměnné uvedeme metodu, jak určujeme extrémy elementární funkce vzhledem k uzavřenému intervalu. Uvedeme ilustrační příklad.

PŘÍKLAD 6.67 Dokážeme, že funkce f (x) = x2 + 2x nabývá jak v intervalu –2, 1, tak i v intervalu –3, 0 svého maxima i svého minima vzhledem k těmto intervalům a naznačíme tyto extrémy. Řešení Zcela evidentně D( f ) = (–, ) a funkce f (x) je elementární.

a)

–2, 1D( f ) = (–, ), podle věty o spojitosti elementárních funkcí funkce f (x) je spojitá v –2, 1, jsou splněny předpoklady Weierstrassovy věty, proto funkce f (x) nabývá v –2, 1 svého maxima i svého minima vzhledem k intervalu –2, 1. Jak jsme již uvedli Weierstrassova věta zaručuje existenci extrémů, ale neuvádí, jak máme tyto extrémy určit. Podle obr. 6.21 (a) lze odhadnout, že funkce f (x) nabývá v bodě (–1) minima a v bodě 1 maxima vzhledem k intervalu –2, 1.

b)

–3, 0D( f ) = (–, ), podle věty o spojitosti elementárních funkcí funkce f (x) je spojitá v–3, 0, jsou splněny předpoklady Weierstrassovy věty, proto funkce f (x) nabývá v –3, 0 svého maxima i svého minima vzhledem k intervalu –3, 0. Podle obr. 6.21 (b) lze odhadnout, že funkce f (x) nabývá v bodě (–1) minima a v bodě (–3) maxima vzhledem k intervalu –3, 0.

OBRÁZEK 6.21 (a)

(b)

f (x) = x2 + 2x v intervalu –2, 1

–2

–1,5

f (x) = x2 + 2x v intervalu –3, 0

3

3

2

2

1

1

–1 –0,5

0,5 –1

1

–3

–2,5

–2

–1,5

–1

–0,5 –1

Jak je vidět na předcházejícím příkladu, tak při vyšetřování extrému spojité funkce vzhledem k uzavřenému intervalu velmi záleží na tom, vzhledem k jakému intervalu se extrémy určují.

177

Kapitola 6



6.8

Neřešené příklady s výsledky Příklad 1: Určete definiční obor funkce f (x), jestliže:

a)

f (x) = x 5 – 3x3 + 2x – 1 ,

m)

f (x) = 7x + 12 , 4- x

b)

f (x) = –2x 4 + 5x3 – 11 ,

n)

f (x) = ln(3x – 1) ,

c)

f (x) =

3

5x - 11 + 3x ,

o)

f (x) = ln(3 – 2x) ,

d)

f (x) =

4

2x 2 + 5 ,

p)

f (x) =

e)

2 f (x) = 2xx - 9 , e +3

q)

f (x) = 44x - 1 , x +1

f)

ln (1 - x) , x2

4 f (x) = 3x 2- 9x , 2x + 3

r)

2 3x + 5 , f (x) = x 2e x -1 - 1

2e x + 7 ,

s)

f (x) =

4+ x , x -3

g)

f (x) =

h)

f (x) = 3x - 9 , 2x + 3

t)

f (x) = ln d 3x + 1 n , x -5

i)

2 f (x) = 2x - 5 , 3x - 1

u)

f (x) =

j)

2, f (x) = 5x x7

v)

f (x) = e x + 3 ,

k)

f (x) = 1 - 42x , x

w)

f (x) = 3 + ln(4 – x 2) ,

l)

3x , f (x) = 5 x2 - 1

9 - x2 + ln(–x) , 1

Výsledky

178

a)

D( f ) = (–, ) ,

i)

D( f ) = –, 1  1 ,  , 3 3

b)

D( f ) = (–, ) ,

j)

D( f ) = (–, )  (, ) ,

c)

D( f ) = (–, ) ,

k)

D( f ) = (–, )  (, ) ,

d)

D( f ) = (–, ) ,

l)

D( f ) = (–, –1)  (–1, )  (1, ) ,

e)

D( f ) = (–, ) ,

m)

D( f ) = (–, –2)  (–2, )  (2, ) ,

f)

D( f ) = (–, ) ,

n)

D( f ) = 1 ,  , 3

g)

D( f ) = (–, ) ,

o)

h)

D( f ) = –, - 3  - 3 ,  , 2 2

(

) (

)

p)

(

) (

( ) D( f ) = (–, 3 ) , 2 D( f ) = (–, )  (, ) ,

)

Kapitola 6


q)

D( f ) = (–, ) ,

u)

D( f ) = –, ) ,

r)

D( f ) = –, 1  1 ,  , 2 2

)

v)

D( f ) = (–, )  (, ) ,

s)

D( f ) = (–, –4  (, )

w)

D( f ) = (–2, 2) ,

t)

D( f ) = – - 1  (, ) , 3

( (

) ( )

Příklad 2: Vypočtěte limity funkce f (x) v krajních bodech jejího definičního oboru, jestliže:

a)

f (x) = –3x 4 + 5x2 – 11 ,

b)

f (x) = 2x 3 – 2x2 + 5x ,

c)

f (x) = 14 + 2 , x f (x) = 15 – 3 , x f (x) = x - 1 , x +1

d) e) f)

f (x) = x + 5 , x -3

Výsledky

a)

D( f ) = (–, ) , lim (–3x 4 + 5x2 – 11) = –,

b)

D( f ) = (–, ) , lim (2x 3 – 2x2 + 5x) = , lim (2x 3 – 2x2 + 5x) = –,

c)

D( f ) = (–, 0)  (0, ) , lim e 14 + 2o = 2 , lim e 14 + 2o = 3 , x "!3 x x"0 x

d)

D( f ) = (–, 0)  (0, ) , lim e 15 - 3o = -3 , lim e 15 - 3o = -3 , lim e 15 - 3o = 3 , x "!3 x x " 0- x x " 0+ x

e)

D( f ) = (–, –1)  (–1, ) , lim x - 1 = 1 , lim x - 1 = 3 , lim x - 1 = -3 , x "!3 x + 1 x "-1 - x + 1 x "-1 + x + 1

f)

D( f ) = (–, 3)  (3, ) , lim x + 5 = 1 , lim x + 5 = -3 , lim x + 5 = 3 . x "!3 x - 3 x " 3- x - 3 x " 3+ x - 3

x "!3

x"3

x " -3

179

Kapitola 6




V této kapitole jsme se věnovali opakování pojmu podmnožina a množinových operací (sjednocení, průnik, rozdíl a kartézský součin množin). Uvedli jsme číselné množiny a rozšířili jsme číselnou osu o nevlastní body nekonečno a minus nekonečno.

•

Definovali jsme funkci jedné proměnné, její definiční obor, obor hodnot a také její graf. Věnovali jsme se intervalům monotónie, zavedli jsme základní elementární funkce včetně jejich charakteristik. U elementárních funkcí jsme uvedli i některé funkce používané v ekonomii. Určovali jsme definiční obory elementárních funkcí. Formalizovali jsme představu o přibližování se pojmy limita a spojitost. Pro nás je důležité, že každá elementární funkce je spojitá v libovolném intervalu, ve kterém je definována. Definovali jsme extrémy funkce na intervalu a uvedli Weierstrassovu větu, která zajišťuje existenci extrémů spojité funkce vzhledem k uzavřenému intervalu.

Klíčová slova

180

podmnožina

sjednocení množin

průnik množin

rozdíl množin

uspořádaná dvojice prvků

kartézský součin množin

funkce jedné proměnné (funkce)

definiční obor funkce

graf funkce

funkce rostoucí v intervalu

funkce klesající v intervalu

funkce ryze monotónní v intervalu

elementární funkce

poptávková funkce

nabídková funkce

nákladová funkce

definiční obor elementární funkce

okolí bodu na rozšířené číselné ose

limita funkce v bodě

limita funkce v bodě zprava

limita funkce v bodě zleva

spojitost funkce v bodě

spojitost funkce v bodě zprava

spojitost funkce v bodě zleva

spojitost funkce v intervalu

extrém funkce vzhledem k intervalu

maximum funkce vzhledem k intervalu

minimum funkce vzhledem k intervalu

Weierstrassova věta

obor hodnot funkce

kapitola

7

Diferenciální počet


Kapitola 7

7. kapitola Diferenciální počet Při zkoumání reálného světa se zpravidla snažíme o dvojí hledisko – chceme jevy obsáhnout v jejich celku (tj. jde o jakýsi pohled na makrosvět) a naopak sledujeme-li průběh úkazu, chceme proniknout do jeho nejnepatrnějších částeček (tj. jde o jakýsi pohled na mikrosvět). Obojí, tj. celkový průběh a okamžitý stav jevu, je navzájem spjato toutéž zákonitostí. Někdy se podaří souvislost veličin určujících příslušný jev přímo zapsat (např. rovnicí platnou pro tyto veličiny). Mnohdy nás zajímá i vyjádření okamžitého stavu. Mnohem častěji umíme matematickými prostředky vyjádřit pouze okamžitý stav jevu, z něj se pokoušíme nalézt celkový obraz jevu. Vyskytují se, jak vidíme, v různých naučných oblastech dvě skupiny otázek:

a)

z celkového průběhu jevů se snažíme určit okamžitý stav a

b)

z okamžitého stavu určit celkový obraz.

Obě uvedené skupiny úloh se řeší v matematice metodami infinitezimálního počtu – odpověď na první ze dvou uvedených otázek lze nalézt v diferenciálním počtu, na otázku druhou odpovídají metody integrálního počtu. Infinitezimální počet se věnuje – řečeno co nejstručněji – proměnným veličinám, jejichž velikost se bez omezení („do nekonečna“) zmenšuje. V diferenciálním počtu určujeme ze známé závislosti vyjádřené funkcí na závislost „nekonečně malé“ změny funkčních hodnot na „nekonečně malé“ změně proměnné. V integrálním počtu hledáme zákonitost, která ze závislosti „nekonečně malé“ změny funkčních hodnot na „nekonečně malé“ změně proměnné odvodí obecnou funkční závislost. Základní myšlenka takového počtu je v souhlase s naší představou malých intervalů v jevech, u kterých se domníváme, že jejich průběh je „rovnoměrný“, ale infinitezimální počet tuto myšlenku předstihuje tím, že zmenšování intervalů (a zvětšování jejich množství) lze provést neomezeně. V mnoha ekonomických teoriích (např. v pojmech mezní užitek, mezní náklady, mezní cena) hraje podstatnou roli pojem derivace.

Úvod V této kapitole zavedeme pojem derivace funkce, uvedeme derivace základních elementárních funkcí, derivace operací i derivaci složené funkce, tudíž budeme mít k dispozici aparát umožňující určit derivaci každé elementární funkce. Protože z geometrického hlediska derivace funkce v bodě představuje směrnici tečny ke grafu funkce, použijeme derivaci k výpočtu rovnice tečny ke grafu funkce a také k výpočtům limit neurčitých limitních typů 0 a !3 . 0 !3 Dále použijeme první (příp. druhou) derivaci k určení maximálních intervalů monotónie (příp. konvexnosti a konkávnosti) a lokálních extrémů (příp. inflexních bodů) funkce jedné proměnné. Dále s použitím první derivace budeme hledat extrémy funkce vzhledem k uzavřenému intervalu. V závěru kapitoly uvedeme některé ekonomické aplikace derivace funkce.

185

Kapitola 7


Logika a ekonomika pro ekonomy

7.1

Derivace funkce DEFINICE

Derivace funkce Jestliže funkce f (x) je definována v nějakém okolí bodu c a existuje-li vlastní

f (c + h) - f (c) , potom tato limita je derivace funkce f (x) v bodě c a značí se f '(c) h f (c + h) - f (c) (tj. f '(c) = lim ). h"0 h lim

h"0

Mějme funkci f (x) a na jejím grafu vyznačme bod [c, f (c)] (viz obr. 7.1 (a)). Na grafu této funkce vyznačme bod [c + h, f (c + h)] a zakresleme přímku určenou body [c, f (c)] a [c + h, f (c + h)] (viz obr. 7.1 (b)), jde o sečnu grafu funkce f (x). Směrnice této přímky je

f (c + h) - f (c) f (c + h) - f (c) . = c +h-c h

OBRÁZEK 7.1 (a)

Graf funkce f (x)

(b)

Jestliže se h postupně přibližuje k číslu 0, bod [c + h, f (c + h)] se postupně přibližuje k bodu f (c + h) - f (c) [c, f (c)] (viz obr. 7.2 (a)). Pokud určíme lim , ze sečny grafu funkce f (x) se stane h"0 h tečna ke grafu funkce f (x) v bodě [c, f (c)] (viz obr. 7.2 (b)), tzn. derivace funkce f (x) v bodě c z geometrického hlediska představuje směrnici tečny ke grafu funkce f (x) v bodě [c, f (c)]. V ekonomické literatuře se místo termínu směrnice tečny ke grafu funkce f (x) používá termín sklon křivky y = f (x) v bodě [c, f (c)].

186

Kapitola 7


OBRÁZEK 7.2 (a)

(b)

PŘÍKLAD 7.1 Pro funkci f (x) = x 2 + 3 určíme f '(2). Řešení

f (2 + h) - f (2) . Nejprve určíme funkční h hodnoty, tj. f (2) = 22 + 3 a f (2 + h) = (2 + h)2 + 3 = 22 + 2 . 2h + h 2 + 3 = 22 + 4h + h 2 + 3. Podle definice derivace funkce musí být f '(2) = lim

h"0

Dosadíme a dostáváme:

f (2 + h) - f (2) 22 4h h2 3 (22 + 3) 4h + h2 = lim (4 + h) = 4 , lim + + + = = lim h"0 h"0 h"0 h"0 h h h tedy f '(2) je reálné číslo 4. f '(2) = lim

Vidíme, že i u jednoduché funkce v předcházejícím příkladu je dosti pracné vypočítat derivaci v jednom bodě. Jestliže f (x) je funkce, interval I  D( f ) a v každém bodě x  I existuje f '(x), potom podle definice funkce jedné proměnné je také f '(x) funkce. V dalším budeme uvažovat derivaci funkce f (x) jako funkci f '(x). Uvedeme přehled derivací některých základních elementárních funkcí: Je-li a reálné číslo, potom (a)' = 0 (tj. derivace funkce je konstatnta 0) , pro x  (–, ) je (x)' = 1 (tj. derivace identické funkce je konstanta 1) , (x n)' = n . x n – 1 buď pro n  N  x  (–, ), nebo n  R – {0}  x  (0, ) , pro x  (–, ) je (e x)' = e x , pro x  (–, ) je (ax)' = ax . ln a, kde a je kladné reálné číslo , pro x  (0, ) je (ln x)' = 1 , x

1 , kde a  (0, 1)  (1, ) , x $ ln a 1 ' pro x  (0, ) je ` x j = , 2$ x

pro x  (0, ) je (loga x)' =

pro x  (–, ) je (sin(x))' = cos(x) , pro x  (–, ) je (cos(x))' = –sin(x) ,

187

Kapitola 7



1 , pro x ≠ r + k . , kde k  Z, je (tg(x))' = 2 cos2 (x) . pro x ≠ k . , kde k  Z, je (cotg(x))‘ = - 12 sin (x)

PŘÍKLAD 7.2 Určíme derivaci funkce f (x) = –7. Řešení Použijeme vzorec pro derivaci konstantní funkce, tudíž f '(x) = (7)' = 0.

PŘÍKLAD 7.3 Spočteme derivaci funkce f (x) = ln 2. Řešení Použijeme vzorec pro derivaci konstantní funkce (ln 2 je reálné číslo, tudíž jde o konstantní funkci), tudíž f (x) = (ln 2)' = 0.

PŘÍKLAD 7.4 Spočteme derivaci funkce f (x) = e 3. Řešení Použijeme vzorec pro derivaci konstantní funkce (e 3 je reálné číslo, tedy jde o konstantní funkci), tudíž f '(x) = (e 3)' = 0.

PŘÍKLAD 7.5 Spočteme derivaci funkce f (x) =

3

5.

Řešení Použijeme vzorec pro derivaci konstantní funkce ( 3 5 je reálné číslo, tedy jde o konstantní funkci), tudíž f '(x) = ( 3 5 )' = 0.

PŘÍKLAD 7.6 Určíme derivaci funkce f (x) = x3. Řešení Použijeme vzorec pro derivaci xn (v našem případě n = 3) a dostáváme; f '(x) = (x3)' = 3 . x3 – 1 = 3 . x2.

188

Kapitola 7


PŘÍKLAD 7.7 Určíme derivaci funkce f (x) = 14 . x Řešení Protože 14 =x–4, použijeme opět vzorec pro derivaci x n (v našem případě n = –4), dostáváme: x

f '(x) = e 14 o = (x-4)' = -4 $ x-4 - 1 = -4 $ x-5 = -45 . x x

PŘÍKLAD 7.8 Určíme derivaci funkce f (x) =

5

x.

Řešení Protože

5

x = x , použijeme vzorec pro derivaci x n (v našem případě n = 1 ), tudíž: 5 1 5

' 1 f '(x) = `5 x j' = ` x j = 5 $ x 1 5

1 5

-1

= 1 $ x- = 51 4 . 5 5$ x 4 5


3

x2 .

Řešení Protože

3

x2 = x , použijeme vzorec pro derivaci x n (v našem případě n = 2 ), tudíž: 3 2 3

' 2 f '(x) = `3 x2 j' = ` x j = 3 $ x 2 3

2 3

-1

= 2 $ x- = 2 . 3 3$3 x 1 3


1 . x

Řešení Protože

1 = x- 21 , použijeme opět vzorec pro derivaci x n (v našem případě n = - 1 ), tedy: 2 x 1 ' f '(x) = e x o = ` x- j' =- 1 $ x2 1 2

1 2

-1

=- 1 $ x- = -1 3 . 2 2$ x 3 2

189

Kapitola 7




x $3 x.

Řešení Protože

1 2

1 3

x $3 x =x $ x =x

1 1 + 2 3

5 6

= x , použijeme opět vzorec pro derivaci x n (v našem případě

n = 5 ), tedy: 6

5 f '(x) = ` x $ 3 x j' = ` x j' = 6 $ x 5 6

5 6

-1

= 5 $ x- = 5 . 6 6$6 x 1 6

PŘÍKLAD 7.12 Určíme derivaci funkce f (x) = x $ 3 x . x Řešení 1

3 1 2 Protože x $ 3 x = x $ 3x = x1 + 2 - 3 = x- 2 , použijeme opět vzorec pro derivaci x n (v našem případě x x

n = - 3 ), dostáváme: 2

f '(x) = e

x$

x o' = ` - j' = - 3 x 2$x x 3 2

3

3 2

-1

= - 3 $ x- = -3 5 = 2-3 . 2 2x $ x 2$ x 5 2

PŘÍKLAD 7.13 3 Určíme derivaci funkce f (x) = x $ x . x

Řešení 1

3 5 3 1 1 Protože x $ x = x $ x1 = x1 + 3 - 2 = x 6 , použijeme opět vzorec pro derivaci x n (v našem případě x x2 n = 5 ), dostáváme: 6

f '(x) = f

x$3 x ' p = a x k' = 5 $ x 6 x 5 6

5 6

-1

= 5 $ x- = 5 . 6 6$6 x 1 6

PŘÍKLAD 7.14 Určíme derivaci funkce f (x) = 2x. Řešení Použijeme vzorec pro derivaci a x (v našem případě a = 2) a dostáváme: f '(x) = (2x)' = 2x . ln 2 .

190

Kapitola 7


PŘÍKLAD 7.15 1 x Určíme derivaci funkce f (x) = b l . 4 Řešení Použijeme vzorec pro derivaci a x (v našem případě a = 1 ) a dostáváme: 4 x x 1 ' 1 1 f '(x) = fc 4 m p = c 4 m $ ln c 4 m .

PŘÍKLAD 7.16 Určíme derivaci funkce f (x) = log2(x). Řešení Použijeme vzorec pro derivaci loga x (v našem případě a = 2) a dostáváme: f '(x) = (log2(x)) =

1 x $ ln 2

7.2

Derivace operací Protože elementární funkce vznikají ze základních funkcí užitím operací sčítání, odčítání, násobení a dělení, postupně uvedeme, jak lze určit derivace funkcí, které vzniknou užitím těchto operací.

VĚTA (o derivaci součtu a rozdílu funkce a konstanty) Je-li f (x) funkce a k reálné číslo, potom ( f (x) + k)' = f '(x) a ( f (x) – k)' = f ‘(x) , pokud existují pravé strany.

191

Kapitola 7



PŘÍKLAD 7.17 Určíme derivaci funkce f (x) = e x + 7. Řešení Použijeme předchozí tvrzení a vzorec pro derivaci e x, tedy: f '(x) = (e x + 7)' = (e x)' = e x .

PŘÍKLAD 7.18 Určíme derivaci funkce f (x) = x – 1. Řešení Použijeme vzorec pro derivaci identické funkce a předchozí tvrzení, tj.: f '(x) = (x – 1)' = (x)' = 1 .

PŘÍKLAD 7.19 Určíme derivaci funkce f (x) = x7 + 5. Řešení Použijeme předchozí tvrzení a vzorec pro derivaci xn, tedy: f '(x) = (x7 + 5)' = (x7)' = 7x6 .


x + 3.

Řešení Použijeme předchozí tvrzení ( 3 je konstanta) a vzorec pro derivaci

f '(x) = ` x + 3 j' = ` x j' =

1 . 2$ x

PŘÍKLAD 7.21 Určíme derivaci funkce f (x) = ln x – 11. Řešení Použijeme předchozí tvrzení a vzorec pro derivaci ln x, tedy:

f '(x) = (ln x - 11)' = (ln x)' = 1 . x

192

x , tedy:

Kapitola 7


PŘÍKLAD 7.22 Určíme derivaci funkce f (x) = e x + e 3. Řešení Použijeme předchozí tvrzení a vzorec pro derivaci e x (e 3 je konstanta), tedy: f '(x) = (e x + e 3)' = (e x)' = e x .

PŘÍKLAD 7.23 Určíme derivaci funkce f (x) = ln x + ln 4. Řešení Použijeme předchozí tvrzení a vzorec pro derivaci ln x (ln 4 je konstanta), tedy: f '(x) = (ln x + ln 4)' = (ln x)' = 1 . x

PŘÍKLAD 7.24 Vypočteme derivaci funkce f (x) = sin(x) + 5. Řešení Použijeme předchozí tvrzení a vzorec pro derivaci sin(x), tedy: f '(x) = (sin(x) + 5)' = (sin(x))' = cos(x) .

VĚTA (o derivaci součtu a rozdílu funkcí) Jsou-li f (x) a g (x) funkce, potom: ( f (x) + g (x))' = f '(x) + g '(x) a ( f (x) – g (x))' = f '(x) – g '(x), pokud existují pravé strany.

PŘÍKLAD 7.25 Určíme derivaci funkce f (x) = x2 + ln x. Řešení Použijeme vzorce pro derivaci ln x, xn a derivaci součtu funkcí, tedy: 2 f '(x) = (x2 + ln x)' = (x2)' + (ln x)' = 2x + 1 = 2x + 1 . x x

193

Kapitola 7



PŘÍKLAD 7.26 Určíme derivaci funkce f (x) = x5 – x2. Řešení Použijeme vzorce pro derivaci xn a derivaci rozdílu funkcí, tedy: f '(x) = (x5 – x2)' = (x5)' – (x2)' = 5x4 – 2x = x

. (5x3 – 2) .

PŘÍKLAD 7.27 Určíme derivaci funkce f (x) = x6 + x4 – x2 + 5. Řešení Analogicky f '(x) = (x6 + x4 – x2 + 5)' = (x6 + x4 – x2)' = (x6)' + (x4)' – (x2)' = = 6x5 + 4x3 – 2x = 2x . (3x4 + 2x2 – 1) .

VĚTA (o derivaci reálného násobku a reálného podílu funkce) Je-li f (x) funkce a k reálné číslo, potom (k

. f (x))' = k . f '(x) a e

f (x) ' f '(x) , o= k k


PŘÍKLAD 7.28 Určíme derivaci funkce f (x) = –7x8. Řešení Použijeme vzorec pro derivaci funkce xn a předchozí tvrzení, tj.: f '(x) = (–7x8)' = –7(x8)' = –7 . 8 . x7 = –56 . x7 .

PŘÍKLAD 7.29 5 Určíme derivaci funkce f (x) = x . 5

Řešení Použijeme vzorec pro derivaci funkce xn a předchozí tvrzení, tj.: 5 ' (x5)' 5 $ x4 f '(x) = e x o = = = x4 . 5 5 5

194

Kapitola 7


PŘÍKLAD 7.30 Určíme derivaci funkce f (x) = 2 $

x + 7.

Řešení Použijeme vzorec pro derivaci funkce

x a předchozí tvrzení, tj.:

f '(x) = `2 $ x + 7j' = `2 $ x j' = 2 $ ` x j' =

2 = 1 . 2$ x x

PŘÍKLAD 7.31 Určíme derivaci funkce f (x) = 3x2 + 5. Řešení Použijeme vzorec pro derivaci funkce xn a předchozí tvrzení, tj.: f '(x) = (3x2 + 5)' = (3x2)' = 3 . (x2)' = 3 . 2 . x = 6 . x .

PŘÍKLAD 7.32 Určíme derivaci funkce f (x) = x3 – 2x2 + 3x – 1. Řešení Použijeme vzorec pro derivaci funkce xn a předchozí tvrzení, tj.: f '(x) = (x3 – 2x2 + 3x – 1)' = (x3 – 2x2 + 3x)' = (x3)' –2 . (x2)' + 3 . (x)' = = 3 . x2 – 2 . 2 . x + 3 . 1 = 3x2 – 4x + 3 .

VĚTA (o derivaci součinu a podílu funkcí) Jsou-li f (x) a g (x) funkce, potom: ( f (x) . g (x))' = f '(x) . g (x) + f (x) . g '(x) a

e

f (x) ' f '(x) $ g (x) - f (x) $ g'(x) , o g (x) = g2(x)


195

Kapitola 7



PŘÍKLAD 7.33 Určíme derivaci funkce f (x) = x3 . ln x. Řešení Použijeme vzorce pro derivaci funkcí xn a ln x i součinu funkcí, tj.:

f '(x) = (x3)' ln x + x3(ln x)' = 3x2 ln x + x3

. 1 = 3x2 ln x + x2 = x2 . (3 . ln x + 1) . x

PŘÍKLAD 7.34 Určíme derivaci funkce f (x) = x5 . e x. Řešení Použijeme vzorce pro derivaci funkcí x5 a e x i součinu funkcí, tzn.: f '(x) = (x5 . e x)' = (x5)' . e x + x5 . (e x)' = 5x4 . e x + x5 . e x = (5x 4 + x5) . e x = (x + 5) . x 4 e x.


x

. (2x2 + 3x + 5).

Řešení Použijeme vzorec pro derivaci součinu funkcí, tzn.:

f '(x) = _

2 ' x i $ (2x + 3x + 5) + _

=

1 2$

x i $ (2x

2

+ 3x + 5)' =

$ (2x2 + 3x + 5) + _ x i $ (4x + 3) = 10x + 9x + 5 . 2$ x x 2

PŘÍKLAD 7.36 Určíme derivaci funkce f (x) = x - 1 . x +1 Řešení Použijeme vzorec pro derivaci podílu funkcí, dostáváme:

' (x 1)' (x + 1) - (x - 1) (x + 1)' 1 $ (x + 1) - (x - 1) $ 1 2 . f '(x) = e x - 1 o = = = x +1 (x + 1) 2 (x + 1) 2 (x + 1) 2

196

Kapitola 7


PŘÍKLAD 7.37 Určíme derivaci funkce f (x) = 2x + 1 . 3x - 1 Řešení Použijeme vzorec pro derivaci podílu funkcí, dostáváme:

' (2x + 1)' (3x - 1) - (2x + 1) (3x - 1)' 2 $ (3x - 1) - (2x + 1) $ 3 f '(x) = c 2x + 1 m = = = -5 2 . 3x - 1 (3x - 1) 2 (3x - 1) 2 (3x - 1)

PŘÍKLAD 7.38 2 Určíme derivaci funkce f (x) = x2 - 1 . x +1

Řešení Použijeme vzorec pro derivaci podílu funkcí, dostáváme: 2 ' (x2 - 1)' (x2 + 1) - (x2 - 1) (x2 + 1)' 2x $ (x2 + 1) - (x2 - 1) $ 2x f '(x) = e x2 - 1 o = = = (x2 + 1) 2 (x2 + 1) 2 x +1

3 3 = 2x + 2x2 - 2x2 + 2x = 2 4x 2 . (x + 1) (x + 1)


x3 . x +5

Řešení Použijeme vzorec pro derivaci podílu funkcí, dostáváme: 3 ' 3x2 $ (x + 5) - x3 $ 1 2x3 + 15x2 x2 $ (2x + 15) . f '(x) = e x o = = = x +5 (x + 5) 2 (x + 5) 2 (x + 5) 2

PŘÍKLAD 7.40 Určíme derivaci funkce f (x) = x2

. (x + 1)–1.

Řešení Nejprve upravíme funkci f (x) = x2

2 . (x + 1)–1 = x , potom použijeme vzorec pro derivaci

x +1

podílu funkcí, dostáváme: 2 ' 2x $ (x + 1) - x2 $ 1 x2 + 2x x $ (x + 2) . f '(x) = e x o = = = x +1 (x + 1) 2 (x + 1) 2 (x + 1) 2

197

Kapitola 7



PŘÍKLAD 7.41 Určíme derivaci funkce f (x) = ln x . x Řešení Použijeme vzorce pro derivaci identické funkce, funkce ln x a podílu funkcí, tj.:

1 $ x - ln x $ 1 (ln x)' $ x - ln x $ (x)' ' x. ln x f '(x) = c = x = 1 - ln m= x x2 x2 x2

PŘÍKLAD 7.42 3 Určíme derivaci funkce f (x) = xx . e

Řešení Použijeme vzorce pro derivaci funkcí x n a e x i podílu funkcí, tzn.: 3 ' (x3)' $ e x - x3 $ (e x)' 3x2 $ e x - x3 $ e x (3x2 - x3) $ e x 3x2 - x3 x2 $ (3 - x) . f '(x) = e xx o = = = = = (e x) 2 (e x) 2 (e x) 2 ex ex e

PŘÍKLAD 7.43 Určíme derivaci funkce f (x) = e –x. Řešení Použijeme vzorce pro derivaci základní exponenciální funkce e x, vlastností základní exponenciální a derivace podílu funkcí, tzn.: x ' (1)' $ e x - 1 $ (e x)' 0 $ e x - 1 $ e x f '(x) = (e-x)' = e 1x o = = = -xe 2 = -x1 = -e-x . x 2 x 2 (e ) (e ) (e ) e e

PŘÍKLAD 7.44 Určíme derivaci funkce f (x) = (x + 2) . e –x. Řešení Použijeme vlastnosti základní exponenciální funkce a vzorec pro derivaci podílu funkcí, tzn.:

' ' (x 2)' $ e x - (x + 2) $ (e x)' f '(x) = ((x + 2) $ e-x)' = e(x + 2) $ 1x o = e x +x 2 o = + = (e x) 2 e e =

198

1 $ e x - (x + 2) $ e x (-x - 1) $ e x -x - 1 = = = (-x - 1) $ e-x . (e x) 2 (e x) 2 ex

Kapitola 7



x -1 . x +1

Řešení Použijeme vzorec pro derivaci podílu funkcí, dostáváme:

1 1 ' 2 $ x $ ` x + 1j - ` x - 1j $ 2 $ x x 1 f '(x) = e o= = 2 x +1 ` x + 1j 1+ 1 -1+ 1 1 2 2$ x 2 2$ x x = = 2 2 = ` x + 1j ` x + 1j

1

x $ ` x + 1j

2

.

PŘÍKLAD 7.46 Určíme derivaci funkce f (x) = 17 . x Řešení Derivaci funkce f (x) lze určit dvěma způsoby. 1. způsob – použijeme vzorec pro derivaci x n a dostáváme:

' f '(x) = e 17 o = (x-7)' =-7 $ x-8 = -78 . x x 2. způsob – použijeme vzorce pro derivaci x n a podílu, dostáváme:

' (1)' $ x7 - 1 $ (x7)' 0 $ x7 - 7 $ x6 -7 $ x6 -7 f '(x) = e 17 o = = = = 8 . (x7) 2 x14 x14 x x

PŘÍKLAD 7.47 Určíme derivaci funkce f (x) = x +4 6 . x Řešení Zde lze použít dokonce tři způsoby. 1. způsob – použijeme vzorce pro derivaci x n a podílu, dostáváme:

' (x 6)' $ x4 - (x + 6) $ (x4)' 1 $ x4 - (x + 6) $ 4 $ x3 f '(x) = e x +4 6 o = + = = (x4) 2 x8 x 4 3 x3 $ (-3 $ x - 24) -3 $ x - 24 . = -3 $ x -8 24 $ x = = x x8 x5

199

Kapitola 7



2. způsob – použijeme vzorce pro derivaci x n a součtu, dostáváme:

' ' f '(x) = e x +4 6 o = e x4 + 64 o = (x-3)' + 6 $ (x-4)' = -3 $ x-4 + 6 $ (-4) $ x-5 = -34 - 245 = - 3 $ x5- 24 . x x x x x x 3. způsob – použijeme vzorce pro derivaci x n a součinu, dostáváme:

' f '(x) = e x +4 6 o = ((x + 6)$ x-4)' = (x + 6)' $ x-4 + (x + 6) $ (x-4)' = x 4 $ (x + 6) -3 $ x - 24 . = 1 $ x-4 + (x + 6) $ (-4) $ x-5 = 14 = x x5 x5

VĚTA (o derivaci složené funkce) Jestliže h( y) a g (x) jsou funkce, potom: (h( g (x)))' = h'( y) . g'(x) = h'( g (x)) . g'(x) , pokud existuje pravá strana.

Použití této věty budeme v první fázi zapisovat:

(h ( g (x)))' =

y = g (x) = f g'(x) = f = h'( y) $ g'(x) = h'( g (x)) $ g'(x) . h ( y) = f h'( y) = f

PŘÍKLAD 7.48 Vypočteme derivaci funkce f (x) = e 3x – 1. Řešení Použijeme větu o derivaci složené funkce, tj.:

f '(x) = (e3x - 1)' =

y = g (x) = 3x - 1 g'(x) = 3 = e y $ 3 = 3 $ e y = 3 $ e3x - 1 . h ( y) = e y h'( y) = e y

PŘÍKLAD 7.49 Vypočteme derivaci funkce f (x) = cos3(x). Řešení Opět použijeme větu o derivaci složené funkce, tzn.:

f '(x) = (cos3 (x))' =

y = g (x) = cos (x) g'(x) = -sin (x) = h ( y) = y 3 h'( y) = 3 $ y2 = 3 $ y2 $ (-sin (x)) = 3 $ cos2 (x) $ (-sin (x)) = -3 $ sin (x) $ cos2 (x) .

200

Kapitola 7


PŘÍKLAD 7.50 Vypočteme derivaci funkce f (x) = cos(x3). Řešení Opět použijeme větu o derivaci složené funkce, tzn.:

f '(x) = (cos (x3))' =

y = g (x) = x3 g'(x) = 3 $ x2 = -sin ( y) $ 3 $ x2 = -3 $ x2 $ sin (x3) . h ( y) = cos ( y) h'( y) = -sin ( y)

PŘÍKLAD 7.51 Určíme derivaci funkce f (x) = e–x. Řešení Tuto derivaci jsme již počítali v příkladu 7.43. Teď pro změnu použijeme větu o derivaci složené funkce, tj.:

f '(x) = (e-x)' =

y = g (x) = -x g'(x) = -1 = e y $ (-1) = -e-x . h ( y) = e y h'( y) = e y

PŘÍKLAD 7.52 x4

Vypočteme derivaci funkce f (x) = e- 4 . Řešení Opět použijeme větu o derivaci složené funkce, tzn.:

y = g (x) = - x4 g'(x) = -x3 f '(x) = ` e- j' = = e y $ (-x3) = -x3 $ e- . h ( y) = e y h'( y) = e y 4

x4 4

x4 4

PŘÍKLAD 7.53 Vypočteme derivaci funkce f (x) =

x2 + 1 .

Řešení Opět použijeme větu o derivace složené funkce, tzn.:

f '(x) = ` x2 + 1j' =

y = g (x) = x2 + 1 g'(x) = 2x 1 $ 2x = h ( y) = y h'( y) = 2 $ 1 y = 2 $ y

x . x2 + 1

201

Kapitola 7



DŮSLEDEK (věty o derivaci složené funkce) a)

Jestliže f (x) je funkce, a a b jsou reálná čísla, potom ( f (ax + b))' = a existuje pravá strana.

b)

Jestliže f (x) je funkce taková, že f (x) > 0, potom (ln( f (x)))' = strana.

PŘÍKLAD 7.54 Vypočteme derivaci funkce f (x) = e7x – 2. Řešení Použijeme předcházející důsledek a) a dostáváme: f '(x) = (e7x – 2)' = 7 . e7x – 2 .

PŘÍKLAD 7.55 Vypočteme derivaci funkce f (x) = sin(3x). Řešení Použijeme předcházející důsledek a) a dostáváme: f '(x) = (sin(3x))' = 3 . cos(3x) .

PŘÍKLAD 7.56 Vypočteme derivaci funkce f (x) = sin(1 + 5x). Řešení Použijeme předcházející důsledek a) a dostáváme: f '(x) = (sin(1 + 5x))' = 5 . cos(1 + 5x) .

PŘÍKLAD 7.57 Vypočteme derivaci funkce f (x) = cos(3 – 4x). Řešení Použijeme předcházející důsledek a) a dostáváme: f '(x) = (cos(3 – 4x))' = 4 . sin(3 – 4x) .

202

. f '(ax + b), pokud

f '(x) , pokud existuje pravá f (x)

Kapitola 7


PŘÍKLAD 7.58 Vypočteme derivaci funkce f (x) = ln(3x). Řešení Použijeme předcházející důsledek b) a dostáváme:

f '(x) = (ln (3x))' =

(3x)' = 3 =1. 3x 3x x

PŘÍKLAD 7.59 Vypočteme derivaci funkce f (x) = ln(x2 + 4). Řešení Použijeme předcházející důsledek b) a dostáváme:

f '(x) = (ln (x2 + 4))' =

(x2 + 4)' = 22x . x2 + 4 x +4

PŘÍKLAD 7.60 Vypočteme derivaci funkce f (x) = ln(sin(x)). Řešení Použijeme předcházející důsledek b) a dostáváme:

f '(x) = (ln (sin (x)))' =

(sin (x))' cos (x) = = cotg (x) . sin (x) sin (x)

PŘÍKLAD 7.61 Vypočteme derivaci funkce f (x) = ln c x - 1 m . x +1 Řešení Použijeme předcházející důsledek b) a dostáváme:

x 1 ' 1 $ (x + 1) - (x - 1) $ 1 d x -1 n + ' (x + 1) 2 2 $ (x + 1) 2 f '(x) = fln d x - 1 np = = = = = 2 . x +1 x -1 x -1 (x -1) $ (x +1) 2 (x -1) $ (x +1) x2 -1 x +1 x +1

VĚTA (o vztahu mezi derivací a spojitostí funkce) Jestliže f (x) je funkce taková, že existuje f '(c ) , potom funkce f (x) je spojitá v bodě c.

Předcházející věta má tvar implikace, nikoli ekvivalence, tzn. existují funkce f (x) takové, že f (x) je spojitá v bodě c a neexistuje f '(c ). Např. f (x) = 3 x2 je spojitá v bodě 0 (jde o elementární funkci definovanou v tomto bodě), ale f ‘(0) neexistuje.

203

Kapitola 7



7.3

Užití derivace funkce Na začátku této kapitoly jsme uvedli, že z geometrického hlediska představuje derivace funkce jedné proměnné v bodě směrnici tečny ke grafu této funkce, proto derivaci lze použít k určení rovnice tečny ke grafu funkce.

VĚTA (o tečně ke grafu funkce) Jestliže f (x) je funkce taková, že existuje f '(c ), potom rovnice tečny ke grafu funkce f (x) v bodě [c, f (c )] má tvar y – f (c ) = f '(c ) . (x – c ).

PŘÍKLAD 7.62 Určíme rovnici tečny ke grafu funkce f (x) = x2 . ln x v bodě [1, f (1)]. Řešení Rovnice tečny v bodě [1, f (1)] má tvar y – f (1) = f '(1)

. (x – 1).

Jestliže f (x) = x2 . ln x, potom f (1) = 12 . S ln1 = 0. 0 Určitě f '(x) = 2x . ln x + x2 1 = x + 2x . ln x, tj. f '(1) = 1 + 2 x Rovnice tečny je y – 0 = 1

. 1 . ln 1 = 1.

. (x – 1), tedy x – y = 1.

PŘÍKLAD 7.63 Určíme rovnici tečny ke grafu funkce f (x) = 3x2 – 2x3 v bodě [1, f (1)]. Řešení Rovnice tečny v bodě [1, f (1)] má tvar y – f (1) = f '(1) Protože f (x) = 3x2 – 2x3, je f (1) = 3

. 12 – 2 . 13 = 1.

Zcela jistě f '(x) = 6x – 6x2, proto f '(1) = 6 Rovnice tečny je y – 1 = 0

204

. (x – 1).

. 1 – 6 . 12 = 0.

. (x – 1), tedy y = 1.

Kapitola 7


PŘÍKLAD 7.64 Určíme rovnici tečny ke grafu funkce f (x) = x - 1 v bodě [–3, f (–3)]. x +1 Řešení Rovnice tečny v bodě [–3, f (–3)] má tvar y – f (–3) = f '(–3)

. (x + 3).

Jestliže f (x) = x - 1 , potom f (–3) = -3 - 1 = -4 = 2. x +1 -3 + 1 -2 Určitě f '(x) =

x + 1 - (x - 1) 2 2 , tudíž f '(–3) = = = 2 = 1. 4 2 (-3 + 1) 2 (x + 1) 2 (x + 1) 2

Proto dostáváme y – 2 = 1 (x + 3), tj. rovnice tečny má tvar x – 2y = –7. 2

Jak jsme uvedli v předcházející kapitole, lze použít derivaci funkce pro výpočet limit funkcí.

VĚTA (l’Hospitalovo pravidlo) Jestliže f (x) a g(x) jsou funkce, pro které je buď lim f (x) = lim g(x) = 0, nebo lim| f (x)| = lim| g(x)| = , x"a

x"a

x"a

x"a

f '(x) f (x) f (x) f '(x) jestliže existuje lim , potom také existuje lim a platí lim . = lim x " a g'(x) x " a g (x) x " a g (x) x " a g'(x)

Tato věta platí pro a R* i pro jednostranné limity a výsledek limity může být jakýkoli prvek množiny R*. První předpoklad l’Hospitalova pravidla uvádí, že tuto větu lze použít pouze pro neurčité limitní typy 0 nebo ! 3 . 0 !3

PŘÍKLAD 7.65 Vypočteme lim x"0

sin (x) . x

Řešení Dosadíme-li za x reálné číslo 0, dostáváme neurčitý limitní typ 0 , proto můžeme použít 0 l’Hospitalovo pravidlo, tj.:

sin (x) ? (sin (x))' cos (x) lim cos (x) = cos (0) = 1 . = lim = lim = lim x"0 x"0 x"0 x"0 x (x)' 1 0 0

205

Kapitola 7



PŘÍKLAD 7.66 Vypočteme lim ln2x . x"3 x Řešení V tomto příkladu jde o neurčitý limitní typ 3 , proto lze použít l’Hospitalovo pravidlo, tj.: 3

1 ? ln x lim = lim x = lim 1 2 = 1 2 = 1 = 0 . x " 3 x2 x " 3 2x x"32 $ x 3 2$3 3 3

PŘÍKLAD 7.67 Vypočteme lim

x"3

ex . x +1 3

Řešení V tomto příkladu jde o neurčitý limitní typ 3 , proto použijeme l’Hospitalovo pravidlo, ale 3 budeme je aplikovat několikrát za sebou, tj.: x x x ? x ? ? lim e = lim e 2 = lim e = lim e = 3 = 3 . x " 3 x3 + 1 x"33 $ x x"3 6 $ x x"3 6 6 3 3

3 3

3 3

PŘÍKLAD 7.68 5x Vypočteme lim e - 1 . x " 0 sin (2x)

Řešení V tomto příkladu jde o neurčitý limitní typ 0 , proto použijeme l’Hospitalovo pravidlo, 0 tudíž: 5x 5x ? 5 $ e0 = 5 . lim e - 1 = lim 5 $ e = x " 0 sin (2x) x " 0 2 $ cos (2x) 2 $ cos (0) 2 0 0

Pro použití l’Hospitalova pravidla lze upravit i jiné neurčité limitní typy. Uvedeme pouze převod neurčitého limitního typu 0 . (±). Aplikaci takového převodu uvedeme na příkladech.

206

Kapitola 7


PŘÍKLAD 7.69 Vypočteme lim x $ ln x . x " 0+

Řešení V tomto případě jde o neurčitý limitní typ 0

. (–). Máme dvě možnosti pro úpravu na ne-

Z ] x1 ] ln x určité limitní typy, ve kterých lze použít l’Hospitalovo pravidlo. Tzn. x $ ln x = [ . ]] ln1 x x \ V prvním případě jde o neurčitý limitní typ 0 , ale museli bychom derivovat funkci 1 , 0 ln x 3 1 v druhém případě jde o neurčitý limitní typ a funkce se derivuje výrazně snadněji 3 x než 1 , proto použijeme druhou možnost, tzn.: ln x

? lim x $ ln x = x"0

0 $ (-3)

+

1 ? ln x x = lim -x2 = lim (-x) = 0 . lim = xlim x"0 "0 x"0 x"0 x 1 - 12 x x -3 3

+

+

+

+

PŘÍKLAD 7.70 Vypočteme lim x9 $ ln x . x " 0+

Řešení I v tomto případě jde o neurčitý limitní typ 0 . (–). Postupujeme analogicky:

? lim x $ ln x = x"0

0 $ (-3)

9

+

1 10 9 ? lim ln x = lim x = lim -x = lim -x = 0 . x"0 x"0 x"0 9 $ x x"0 1 9 - 910 x9 x -3 3

+

+

+

+

207

Kapitola 7



7.4

Druhá derivace funkce Derivace funkce f (x) je sama o sobě také funkcí a můžeme určit její derivaci.

DEFINICE

Druhá derivace funkce Jestliže f (x) je funkce, potom druhá derivace funkce f (x) v bodě x je f ''(x) = ( f '(x))'.

Abychom odlišili více derivaci funkce a druhou derivaci funkce, zpravidla nazýváme funkci f '(x) první derivací funkce f (x).

PŘÍKLAD 7.71 Vypočteme druhou derivaci funkce f (x) = x - 3 . x +5 Řešení Pro výpočet druhé derivace je nutné určit první derivaci, tj.:

' (x 3)' (x + 5) - (x - 3) $ (x + 5)' 1 $ (x + 5) - (x - 3) $ 1 8 . f '(x) = d x - 3 n = = = x +5 (x + 5) 2 (x + 5) 2 (x + 5) 2 Druhá derivace funkce je derivace první derivace funkce, proto:

f ''(x) = d

' (8)' $ (x + 5) 2 - 8 $ (x2 + 10x + 25)' 0 $ (x + 5) 2 - 8 $ (2x + 10) 8 = = 2n = 2 (x + 5) (x + 5) 4 _(x + 5) 2i =

-16 $ (x + 5) = -16 3 . (x + 5) 4 (x + 5)

PŘÍKLAD 7.72 Spočteme druhou derivaci funkce f (x) = x3 – 2x2 + 3x – 1. Řešení Poněkud rychleji určíme druhou derivaci, tzn.: f ''(x) = ((x3 – 2x2 + 3x – 1)')' = (3x2 – 4x + 3)' = 6x – 4 .

208

Kapitola 7


PŘÍKLAD 7.73 Spočteme druhou derivaci funkce f (x) =

3

x2 .

Řešení Podobně jako v předcházejícím příkladu:

' ' 2 ' 2 1 -2 -2 . f ''(x) = `3 x2 j'' = b`3 x2 j'l = b` x j'l = b 3 $ x- l = 3 $ b- 3 l x- = 3 4 = 9$ x$3 x 9$ x 2 3

1 3

4 3

Podobně jako druhou derivaci bychom mohli definovat třetí, čtvrtou, … derivaci, ale derivace vyšších řádů než druhého nebudeme při našich úvahách potřebovat, proto není nutné je zavádět.

7.5

Význam první a druhé derivace pro průběh funkce První a druhá derivace slouží ke zkoumání chování funkce. Nejprve uvedeme tvrzení o významu první derivace pro průběh funkce.

VĚTA (o významu první derivace pro průběh funkce) Jestliže f (x) je elementární funkce, interval I  D( f ) a

a)

ve všech vnitřních bodech intervalu I je první derivace funkce f (x) kladná, potom je funkce f (x) v intervalu I rostoucí,

b)

ve všech vnitřních bodech intervalu I je první derivace funkce f (x) záporná, potom je funkce f (x) v intervalu I klesající,

c)

ve všech vnitřních bodech intervalu I je první derivace funkce f (x) nulová, potom je funkce f (x) v intervalu I konstantní.

209

Kapitola 7



PŘÍKLAD 7.74 Určíme maximální intervaly monotónie pro funkci f (x) = x - 2 . x +3 Řešení Nejprve určíme definiční obor funkce f (x), určitě musí být x + 3  0, tj. x  –3; tudíž D( f ) = (–, –3)  (–3, ). Pro stanovení maximálních intervalů monotónie určíme první derivaci funkce f (x), tj.:

' 1 $ (x + 3) - (x - 2) $ 1 5 . f '(x) = d x - 2 n = = x +3 (x + 3) 2 (x + 3) 2 Derivace je kladná jak v intervalu (–, –3), tak i v intervalu (–3, ), tudíž funkce f (x) = x - 2 x +3 je rostoucí jak v intervalu (–, –3), tak i v intervalu (–3, ).

PŘÍKLAD 7.75 Určíme maximální intervaly monotónie pro funkci f (x) = x3 – 3x + 2. Řešení Nejprve určíme definiční obor, u této funkce nejsou žádné omezující podmínky pro definiční obor; proto D( f ) = (–, ). Pro stanovení maximálních intervalů monotónie určíme první derivaci funkce f (x), tj.: f '(x) = (x3 – 3x + 1)' = 3x2 – 3 . Nejprve určíme nulové body první derivace funkce, tj. řešíme rovnici f '(x) = 0, tzn.: 3x2 – 3 = 0 , x2 = 1 , x = ±1 . Tyto nulové body dělí D( f ) na tři intervaly (–, 1), (–, 1) a (, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty první derivace v tomto bodě určíme znamení první derivace v celém intervalu. V intervalu (–, –) vezmeme reálné číslo (–), dostáváme f '(–2) = (–2)2 – 3 = 9 > 0, proto f '(x) je kladná v intervalu (–, –). Z toho vyplývá: funkce f je rostoucí v intervalu (–, –. V intervalu (–, 1) vezmeme reálné číslo 0, dostáváme f '(0) = 3 . 02 – 3 = –3 < 0, proto f '(x) je záporná v intervalu (–, 1). Z toho vyplývá: funkce f je klesající v intervalu –, 1. V intervalu (, ) vezmeme reálné číslo 2, dostáváme f '(2) = 3 . 22 – 3 = 9 > 0, proto f '(x) je kladná v intervalu (, ). Z toho vyplývá: funkce f je rostoucí v intervalu , ).

Jak jsme již uvedli, pro ekonomické aplikace jsou důležité extrémy funkce, tj. body, ve kterých funkce nabývá maximální nebo minimální funkční hodnoty.

210

Kapitola 7


DEFINICE

Lokální extrém funkce Jestliže f (x) je elementární funkce a c  D( f ), potom: a)

funkce f (x) nabývá v bodě c lokální minimum (příp. lokální maximum), existuje otevřený interval (a, b) takový, že c  (a, b)  D( f ) a funkce f (x) nabývá v bodě c minimum (příp. maximum) vzhledem k intervalu (a, b),

b)

funkce f (x) nabývá v bodě c lokální extrém, jestliže v bodě c nabývá lokální minimum nebo lokální maximum.

VĚTA (nutná a postačující podmínka pro lokální extrém) Jestliže f (x) je elementární funkce, interval (a, b)  D( f ) a bod c  (a, b), potom:

a)

funkce f (x) nabývá v bodě c lokální maximum právě tehdy, jestliže je funkce f (x) rostoucí v intervalu (a, c a klesající v intervalu c, b),

b)

funkce f (x) nabývá v bodě c lokální minimum právě tehdy, jestliže je funkce f (x) klesající v intervalu (a, c a rostoucí v intervalu c, b).

Funkce na obr. 7.9 nabývá v bodech x2 a x5 lokální maximum a v bodě x3 lokální minimum, tj. funkce nabývá v bodech x2, x3 a x5 lokální extrémy.

PŘÍKLAD 7.76 Určíme maximální intervaly monotónie a lokální extrémy pro funkci f (x) = x3 – 3x. Řešení Nejprve určíme definiční obor, u této funkce nejsou žádné omezující podmínky pro definiční obor; proto D( f ) = (–, ). Pro stanovení maximálních intervalů monotónie určíme první derivaci funkce f (x), tj.: f '(x) = (x3 – 3x)' = 3x2 – 3 . První derivace existuje v celém definičním oboru funkce f (x). Nejprve určíme nulové body první derivace funkce f (x), tj. řešíme rovnici f '(x) = 0, tzn. 3x2 – 3 = 0  x2 = 1  x = ±1. Nulové body (–) a 1 dělí D( f ) na tři intervaly (–, –), (–, ) a (, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty první derivace v tomto bodě určíme znamení první derivace v celém intervalu. V intervalu (–, –) vezmeme reálné číslo (–), dostáváme f '(–2) = 3 . (–2)2 – 3 = 9 > 0, proto f '(x) je kladná v intervalu (–, –). Z toho vyplývá, že funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–, –. V intervalu (–, ) vybereme reálné číslo 0, potom f '(0) = 3 . 02 – 3 = –3 < 0, proto f '(x) je záporná v intervalu (–, ). Dostáváme, že funkce f (x) je klesající v intervalu –, . V intervalu (, ) použijeme reálné číslo 2, určitě platí f '(2) = 3 . 22 – 3 = 9 > 0, proto f '(x) je kladná v intervalu (, ). Tedy funkce f (x) je rostoucí v intervalu , ). Na obr. 7.3 (a) je graf první derivace funkce f (x) a na obr. 7.3 (b) jsou grafy funkce f (x) a její derivace f '(x) s vyznačením nulových bodů první derivace. Souvislost je zřejmá.

211

Kapitola 7



OBRÁZEK 7.3 Graf f '(x) = 3x2 – 3

(a)

–2

–1

Grafy f (x) a f '(x)

(b)

3

3

2

2

1

1 1

–1

–1

–2

2

–2

–2

–3

–3

2

1

–1

V bodě (–) přechází funkce rostoucí ve funkci klesající, tudíž funkce f (x) nabývá v bodě 0 lokální maximum, v bodě 1 přechází funkce klesající ve funkci rostoucí, proto funkce f (x) nabývá v bodě 1 lokální minimum. Na obr. 7.4 (a) je pro ilustraci graf funkce f (x).

OBRÁZEK 7.4 Graf funkce

(a)

Graf funkce

(b)

f (x) = x 3 – 3x

f (x) = x 4 – 8x 2 + 1

3

10

2

5

1 –3 –2

–1

–1

1

–2

–1

2

1

2

3

–5

–2

–10

–3

–15

PŘÍKLAD 7.76 Určíme maximální intervaly monotonie a lokální extrémy pro funkci f (x) = x4 – 8x2 + 1. Řešení Nejprve určíme definiční obor, u této funkce nejsou žádné omezující podmínky pro definiční obor; proto D( f ) = (–, ). Pro stanovení maximálních intervalů monotonie určíme první derivaci funkce f (x), tj.: f '(x) = (x4 – 8x2 + 1)' = 4x3 – 16x . První derivace existuje v celém definičním oboru funkce f (x).

212

Kapitola 7


Nejprve určíme nulové body první derivace funkce f (x), tj. řešíme rovnici f '(x) = 0, tzn.: 4x3 – 16x = 0 , 4x(x2 – 4) = 0 , x = 0 a x2 = 4, tj. nulové body jsou x = 0 a x = ±2. Tyto nulové body dělí D( f ) na čtyři intervaly (–, –), (–, ), (0, ) a (2, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty první derivace v tomto bodě určíme znamení první derivace v celém intervalu. V intervalu (–, –) vezmeme reálné číslo (–), dostáváme f '(–3) = 4 . (–3)3 – 16 . (–3) = –60 < 0, proto f '(x) je záporná v intervalu (–, –). Z toho vyplývá, že funkce f (x) je klesající v intervalu (–, –. V intervalu (–, ) vezmeme reálné číslo (–), dostáváme f '(–1) = 4 . (–1)3 – 16 . (–1) = 12 > 0, proto f '(x) je kladná v intervalu (–, ). Z toho vyplývá: funkce f (x) je rostoucí v intervalu –, . V intervalu (0, ) vezmeme reálné číslo 1, dostáváme f '(1) = 4 . 13 – 16 . 1 = –12 < 0, proto f '(x) je záporná v intervalu (0, ). Z toho vyplývá: funkce f (x) je klesající v intervalu 0, . V intervalu (2, ) vezmeme reálné číslo 3, dostáváme f '(3) = 4 . 33 – 16 . 3 = 60 > 0, proto f '(x) je kladná v intervalu (2, ). Z toho vyplývá: funkce f (x) je rostoucí v intervalu 2, ). V bodech (–) a 2 přechází funkce klesající ve funkci rostoucí, proto v těchto bodech funkce f (x) v bodech (–) a 2 nabývá lokální minima; v bodě 0 přechází funkce rostoucí ve funkci klesající, tudíž funkce f (x) nabývá v bodě 0 lokální maximum. Na obr. 7.4 (b) je pro ilustraci graf funkce f (x).

PŘÍKLAD 7.78 Určíme opět maximální intervaly monotónie a lokální extrémy pro funkci f (x) = (1 – x) . e x. Řešení Nejprve určíme definiční obor, zde není žádné omezení, tudíž D( f ) = (–, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f , tj.: f '(x) = ((1 – x) . e x)' = (1 – x)' . e x + (1 – x) . (e x)' = –1 . e x + (1 – x) . e x = = (–1 + 1 – x) . e x = –x . e x . První derivace funkce f existuje v celém definičním oboru. Určíme nulové body první derivace, tj. řešíme rovnici f '(x) = 0. Platí: –x . e x = 0  –x = 0  x = 0 (z vlastností základní exponenciální funkce víme, že e x je vždy kladné, proto je také nenulové). Bod 0 dělí D( f ) na dva intervaly (–, ) a (0, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení první derivace, potom první derivace v celém intervalu má stejné znamení. V intervalu (–, ) vybereme bod (–), platí f '(–1) = –(–1) . e –1 = e –1 > 0, první derivace funkce f je kladná v intervalu (–, ), tedy funkce f je rostoucí v intervalu (–, . V intervalu (0, ) vybereme bod 1, platí f '(1) = –1 . e 1 = –e < 0, první derivace funkce f je záporná v intervalu (0, ), tudíž funkce f je klesající v intervalu 0, ). V bodě 0 je funkce f definována a přechází v něm rostoucí funkce v klesající, proto funkce f nabývá v bodě 0 lokální maximum.

213

Kapitola 7



PŘÍKLAD 7.79 Určíme maximální intervaly monotónie a lokální extrémy pro funkci f (x) = x

.

5

x3 .

Řešení Nejprve určíme definiční obor, u této funkce nejsou žádné omezující podmínky pro definiční obor; proto D( f ) = (–, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f , tj.: 5 3 f '(x) = ` x $ 5 x3 j' = `5 x8 j' = ` x j' = 8 $ x = 8 $ x . 5 5 8 5

3 5

První derivace funkce f existuje v celém definičním oboru funkce f . Určíme nulové body první 5 3 derivace, tj. řešíme rovnici f '(x) = 0. Platí: 8 $ x = 0 + 5 x3 = 0 + x = 0 . Bod 0 dělí D( f ) 5 na dva intervaly (–, ) a (0, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení první derivace, potom první derivace v celém intervalu má stejné znamení.

8 $ 5 (-1) 3 8 $ (-1) 1 0 , první derivace = 5 5 funkce f je záporná v intervalu (–, ), tedy funkce f je klesající v intervalu (–, .

V intervalu (–, ) vybereme bod (–1), platí f '(-1) =

5 3 V intervalu (0, ) vybereme bod 1, platí f '(1) = 8 $ 1 = 8 $ 1 2 0 , první derivace funkce f je 5 5 kladná v intervalu (0, ), tudíž funkce f je rostoucí v intervalu 0, ).

V bodě 0 je funkce f definována a přechází v něm klesající funkce v rostoucí, proto funkce f nabývá v bodě 0 lokální minimum. Na obr. 7.5 (a) je pro ilustraci uvádíme graf funkce f .

OBRÁZEK 7.5 Graf funkce f (x) = x .

(a)

5

x3

Graf funkce f (x) =

(b)

1

1

0,8

0,8

0,6

0,6

5

x2

0,4 0,2 –1

214

–0,5

0,2 0,5

1

–1

–0,5

0,5

1

Kapitola 7


PŘÍKLAD 7.80 Určíme maximální intervaly monotónie a lokální extrémy pro funkci f (x) =

5

x2 .

Řešení Nejprve určíme definiční obor, u této funkce nejsou žádné omezující podmínky pro definiční obor; proto D( f ) = (–, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f , tj.:

f '(x) = `5 x2 j' = ` x j' = 2 $ x- = 52 3 . 5 5$ x 3 5

2 5

První derivace neexistuje v bodě 0, první derivace nemá nulové body (proměnná není v čitateli zlomku). Bod 0 dělí D( f ) na dva intervaly (–0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení první derivace, potom první derivace v celém intervalu má stejné znamení.

2 = 2 1 0 , první derivace 5 $ 5 (-1) 3 5 $ (-1) funkce f je záporná v intervalu (–0), tedy funkce f je klesající v intervalu (–0.

V intervalu (–0) vybereme bod (–1), platí f '(-1) =

= 2 2 0 , první derivace funkce f je 5 $1 5$ 1 kladná v intervalu (0, ), tudíž funkce f je rostoucí v intervalu 0, ). V intervalu (0, ) vybereme bod 1, platí f '(1) =

2

5

3

V bodě 0 je funkce f definována a přechází v něm klesající funkce v rostoucí, proto funkce f nabývá v bodě 0 lokální minimum. Na obr. 7.5 (b) uvádíme pro ilustraci graf funkce f .

PŘÍKLAD 7.81 Určíme maximální intervaly monotónie a lokální extrémy pro funkci f (x) = 3x4 – 8x3 – 48x2. Řešení Nejprve určíme definiční obor, u této funkce nejsou žádné omezující podmínky pro definiční obor; proto D( f ) = (–, ). Pro stanovení maximálních intervalů monotónie určíme první derivaci funkce f (x), tj.: f '(x) = (3x4 – 8x3 – 48x2)' = 3 . 4x3 – 8 . 3x2 – 48 . 2x = 12x3 – 24x2 – 96x = 12x . (x2 – 2x – 8) . První derivace funkce f (x) existuje v celém definičním oboru funkce f (x). Nejprve určíme nulové body první derivace funkce, tj. řešíme rovnici f '(x) = 0, tzn.: 12x . (x2 – 2x – 8) = 0 , 12x . (x – 4) . (x + 2) = 0 , tj. nulové body jsou x = 0, x = –2 a x = 4. Tyto nulové body dělí D( f ) na čtyři intervaly (–, –), (–, ), (0, ) a (4, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty první derivace v tomto bodě určíme znamení první derivace v celém intervalu.

215

Kapitola 7



V intervalu (–, –) vezmeme reálné číslo (–), dostáváme: f '(–3) = 12 . (–3)(–3 – 4)(–3 + 2) = 12 . (–3) . (–7) . (–1) < 0 , proto f ‘(x) je záporná v intervalu (–, –). Z toho vyplývá: funkce f je klesající v intervalu (–, –. V intervalu (–, ) vezmeme reálné číslo (–), dostáváme: f '(–1) = 12 . (–1) . (–1 – 4) . (–1 + 2) = 12 . (–1) . (–5) . 1 > 0 , proto f '(x) je kladná v intervalu(–, ). Z toho vyplývá: funkce f je rostoucí v intervalu –2, . V intervalu (0, ) vezmeme reálné číslo 1, dostáváme: f '(1) = 12 . 1 . (1 – 4) . (1 + 2) = 12 . 1 . (–3) . 3 < 0 , proto f '(x) je záporná v intervalu (0, ). Z toho vyplývá: funkce f je klesající v intervalu 0, . V intervalu (4, ) vezmeme reálné číslo 5, dostáváme: f '(5) = 12 . 5 . (5 – 4) . (5 + 2) = 12 . 5 . 1 . 7 > 0 , proto f '(x) je kladná v intervalu (4, ). Z toho vyplývá: funkce f je rostoucí v intervalu 4, ). V bodech (–) a 4 přechází funkce klesající ve funkci rostoucí, proto v těchto bodech funkce f (x) v bodech (–) a 4 nabývá lokální minimum; v bodě 0 přechází funkce rostoucí ve funkci klesající, tudíž funkce f (x) nabývá v bodě 0 lokální maximum.

Další důležitou charakterizací funkcí jedné proměnné je konvexnost a konkávnost funkce.

DEFINICE

Konvexní a konkávní funkce Jestliže f (x) je elementární funkce, interval I  D( f ), potom:

216

a)

funkce f (x) je konvexní v intervalu I, jestliže platí: sestrojíme-li v každém vnitřním bodě intervalu I tečnu ke grafu funkce f (x), potom graf funkce f (x) leží nad touto tečnou (na obr. 7.6 (a) je graf funkce konvexní v intervalu 0, ),

b)

funkce f (x) je konkávní v intervalu I, jestliže platí: sestrojíme-li v každém vnitřním bodě intervalu I tečnu ke grafu funkce f (x), potom graf funkce f (x) leží pod touto tečnou (na obr. 7.6 (b) je graf funkce konkávní v intervalu 0, ).

Kapitola 7


OBRÁZEK 7.6 Graf funkce konvexní v intervalu 0, 2

(a)

(b)

0,6

0,6

0,4

0,4

0,2

0,2

–0,2

1,5

1

0,5

2

–0,4

Graf funkce konkávní v intervalu 0, 2

0,5

–0,2

1,5

1

2

–0,4

Konvexnost a konkávnost je označení pro změny rychlosti růstu funkce, tzn. zakřivení jejího grafu: je-li funkce v intervalu současně rostoucí a konvexní, potom se její růst v intervalu zvětšuje (na obr. 7.7 (a) je graf funkce rostoucí a konvexní v intervalu (–, )), je-li funkce v intervalu současně rostoucí a konkávní, potom se její růst v intervalu zmenšuje (na obr. 7.7 (b) je graf funkce rostoucí a konkávní v intervalu (0, )),

OBRÁZEK 7.7 (a)

Funkce rostoucí a konvexní v (–, )

(b)

7

1

Funkce rostoucí a konkávní v (0, )

6 0,5

5 4 3

0,5

2

1

1,5

2

2,5

3

–0,5

1 –1 –2

–1

1

2

je-li funkce v intervalu současně klesající a konkávní, potom se její pokles v intervalu zvětšuje (na obr. 7.8 (b) je graf funkce klesající a konkávní v intervalu (–, )), je-li funkce v intervalu současně klesající a konvexní, potom se její pokles v intervalu zmenšuje (na obr. 7.8 (a) je graf funkce klesající a konvexní v intervalu 0, )).

217

Kapitola 7



OBRÁZEK 7.8 Funkce klesající a konvexní v 0, )

(a)

1

2

Funkce klesající a konkávní v (–, )

(b)

3

4

–5

–4

–3

1

–0,5

–1

–1

–2

–1,5

–3

–2

–4

2

Tj. pokud funkce na některém intervalu svůj růst zrychluje (případně zpomaluje svůj pokles), tzn. graf je zakřivený směrem nahoru, označuje se zde funkce jako konvexní, naopak, pokud je graf zakřiven směrem dolů (a funkce zpomaluje růst nebo zvyšuje pokles), je zde funkce konkávní. Abychom určili maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce, používáme druhou derivaci funkce analogicky jako první derivaci funkce při stanovení maximálních intervalů monotónie funkce. Platí tvrzení o významu druhé derivace pro průběh funkce.

VĚTA (o významu druhé derivace pro průběh funkce) Jestliže f (x) je elementární funkce, interval I  D( f ) a

a)

ve všech vnitřních bodech intervalu I je druhá derivace funkce f (x) kladná, potom je funkce f (x) v intervalu I konvexní,

b)

ve všech vnitřních bodech intervalu I je druhá derivace funkce f (x) záporná, potom je funkce f (x) v intervalu I konkávní,

c)

ve všech vnitřních bodech intervalu I je druhá derivace funkce f (x) nulová, potom je funkce f (x) v intervalu I buď konstantní, nebo polynom prvního stupně.

OBRÁZEK 7.9 y

A

218

x1

x2

x3

x4

x5

B

x

Kapitola 7


PŘÍKLAD 7.82 Určíme maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti pro funkci f (x) = x4 – 6x2. Řešení Nejprve určíme definiční obor, zde není žádné omezení, tudíž D( f ) = (–, ). Použijeme tvrzení o významu druhé derivace, proto nejprve spočteme druhou derivaci funkce f (x), tj.: f ''(x) = (x4 – 6x2)'' = ((x4 – 6x2)')' = (4x3 – 12x)' = 12x2 – 12 . Druhá derivace funkce f (x) existuje v celém definičním oboru. Nejprve určíme nulové body druhé derivace funkce f (x), tj. řešíme rovnici f ''(x) = 0, tzn.: 12x2 – 12 = 0 , x2 = 1 , tj. nulové body jsou x = ±1. Tyto nulové body dělí D( f ) na tři intervaly (–, –), (–1, 1) a (1, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty druhé derivace v tomto bodě určíme znamení druhé derivace v celém intervalu. V intervalu (–, –) vezmeme reálné číslo (–2), dostáváme f ''(–2) = 12(–2)2 – 12 = 36 > 0, proto f ''(x) je kladná v intervalu (–, –). Z toho vyplývá – funkce f (x) je konvexní v intervalu (–, –. V intervalu (–1, 1) vezmeme reálné číslo 0, dostáváme f ''(0) = 12 . 02 – 12 = –12 < 0, proto f ''(x) je záporná v intervalu (–1, 1). Z toho vyplývá – funkce f (x) je konkávní v intervalu –1, 1. V intervalu (1, ) vezmeme reálné číslo 2, dostáváme f ''(2) = 12 . 22 – 12 = 36 > 0, proto f ''(x) je kladná v intervalu (1, ). Z toho vyplývá – funkce f (x) je konvexní v intervalu 1, ).

Přechod mezi konvexní a konkávní částí grafu se označuje jako inflexní bod. V inflexním bodě se mění zakřivení grafu funkce a tečna ke grafu funkce v tomto bodě graf protíná. Na obr. 7.9 je funkce konkávní např. v intervalu x1, x2, inflexním bodem je např. x4. Uveďme přesněji pojem inflexní bod.

DEFINICE

Inflexní bod funkce Jestliže f (x) je elementární funkce, interval (a, b)  D( f ) a bod c (a, b), potom:

c je bod inflexe (nebo inflexní bod) funkce f (x), jestliže existuje f '(c), buď funkce f (x) je konvexní v intervalu (a, c a konkávní v intervalu c, b), nebo funkce f (x) je konkávní v intervalu (a, c a konvexní v intervalu c, b).

219

Kapitola 7



PŘÍKLAD 7.83 Určíme maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = x3 – 3x2. Řešení Nejprve určíme definiční obor, zde není žádné omezení, tudíž D( f ) = (–, ). Použijeme tvrzení o významu druhé derivace, proto nejprve spočteme druhou derivaci funkce f (x), tj.: f ''(x) = (x3 – 3x2)'' = ((x3 – 3x2)')' = (3x3 – 6x)' = 6x – 6. Nejprve určíme nulové body druhé derivace funkce, tj. řešíme rovnici f ''(x) = 0, tzn.: 6x – 6 = 0 , tj. x = 1 . Nulový bod dělí D( f ) na dva intervaly (–, 1) a (1, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty druhé derivace v tomto bodě určíme znamení druhé derivace v celém intervalu. V intervalu (–, 1) vezmeme reálné číslo 0, dostáváme f ''(0) = 6 . 0 – 6 = –6 < 0, proto f ''(x) je záporná v intervalu (–, 1). Z toho vyplývá – funkce f (x) je konkávní v intervalu (–, 1. V intervalu (1, ) vezmeme reálné číslo 2, dostáváme f ''(2) = 6 . 2 – 6 = 6 > 0, proto f ''(x) je kladná v intervalu (1, ). Z toho vyplývá – funkce f (x) je konvexní v intervalu 1, ). V bodě 1 je funkce f (x) definována, existuje v něm první derivace, přechází zde konkávní funkce ve funkci konvexní, tudíž 1 je bod inflexe funkce f (x).

PŘÍKLAD 7.84 Určíme maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = x2 .

3

x2 .

Řešení Nejprve určíme definiční obor, zde není žádné omezení, tudíž D( f ) = (–, ). Použijeme tvrzení o významu druhé derivace. Nejprve spočteme první derivaci funkce f (x), tj.: 3 5 f '(x) = ` x2 $ 3 x2 j' = `3 x8 j' = ` x j' = 8 x = 8 $ x . 3 3 8 3

5 3

První derivace funkce f (x) existuje v celém definičním oboru této funkce. Dále určíme druhou 3 2 5 ' 5 2 derivaci funkce f (x), tj. f ''(x) = c 8 $ x 3 m = 8 ` x 3 j' = 8 $ 5 x 3 = 40 $ x . Druhá derivace funkce 3 3 3 3 9 f (x) existuje v celém definičním oboru této funkce. Určíme nulové body druhé derivace, tj. 3 2 řešíme rovnici f ''(x) = 0. Platí: 40 $ x = 0 + 3 x2 = 0 + x = 0 . Bod 0 dělí D( f ) na dva intervaly 9 (–, 0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení druhé derivace, potom druhá derivace v celém intervalu má stejné znamení.

220

Kapitola 7


40 $ 3 (-1) 2 40 $ 1 2 0 , druhá derivace = 9 9 funkce f (x) je kladná v intervalu (–, 0), tedy funkce f (x) je konvexní v intervalu (–, 0. V intervalu (–, 0) vybereme bod (–1), platí f ''(-1) =

3

2

V intervalu (0, ) vybereme bod 1, platí f ''(1) = 40 $ 1 = 40 $ 1 2 0 , druhá derivace funkce 9 9 f (x) je kladná v intervalu (0, ), tudíž funkce f (x) je konvexní v intervalu 0, ). Body inflexe funkce f (x) nemá.

PŘÍKLAD 7.85 Určíme maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) =

7

x2 .

Řešení Nejprve určíme definiční obor, zde není žádné omezení, tudíž D( f ) = (–, ). Spočteme první derivaci funkce f (x), tj.:

f '(x) = ` 7 x2 j' = ` x j' = 2 x- = 72 5 . 7 7$ x 2 7

5 7

První derivace funkce f (x) neexistuje v bodě 0. Použijeme tvrzení o významu druhé derivace a vypočteme druhou derivaci funkce f (x), tj.:

f ''(x) = `7 x2 j'' = c 2 x- m' = 2 $ c- 5 m'x- = -710 12 . 7 7 7 49 $ x 5 7

12 7

Druhá derivace funkce f (x) neexistuje v bodě 0, druhá derivace nemá nulové body (proměnná není v čitateli zlomku). Bod 0 dělí D( f ) na dva intervaly (–, 0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení druhá derivace, potom druhá derivace v celém intervalu má stejné znamení.

-10 = -10 1 0 , druhá derivace 49 $ 7 (-1) 12 49 $ 1 funkce f (x) je záporná v intervalu (–, 0), tedy funkce f (x) je konkávní v intervalu (–, 0.

V intervalu (–, 0) vybereme bod (–1), platí f ''(-1) =

-10 = -10 1 0 , druhá derivace funkce 49 $ 7 112 49 $ 1 f (x) je záporná v intervalu (0, ), tudíž funkce f (x) je konkávní v intervalu 0, ). V intervalu (0, ) vybereme bod 1, platí f ''(1) =

Body inflexe funkce f (x) nemá.

Vidíme, že hledání maximálních intervalů konvexnosti i konkávnosti a bodů inflexe je velice podobné vyšetření maximálních intervalů monotónie a lokálních extrémů, jen se mění použití derivací, v prvním případu používáme druhou derivaci funkce, v druhém případu první derivaci funkce. Abychom mohli použít druhou derivaci, musíme vypočítat první derivaci. Z těchto důvodů budou další řešené příklady věnovány jak určení maximálních intervalů monotónie a lokálních extrémů funkce, tak i stanovení maximálních intervalů konvexnosti a konkávnosti i bodů inflexe funkce.

221

Kapitola 7



PŘÍKLAD 7.86 Určíme jak maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, tak také maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body inflexe funkce f (x) = 1 . x 3 – 2x 2 + 3x. 3 Řešení Nejprve určíme definiční obor, pro tuto funkci nemáme žádné omezující podmínky pro definiční obor; proto D( f ) = (–, ). Určíme první derivaci funkce f , tj.: ' f '(x) = 1 x3 – 2x2 + 3x = x2 – 4x + 3 . 3

(

)

První derivace existuje v celém definičním oboru. Její nulové body jsou 1 a 3, které dělí D( f ) na tři intervaly (–1), (1, 3) a (3, ). Opět v každém intervalu vezmeme jeden bod, abychom zjistili znamení první derivace v celém intervalu, tzn.: 0  (–1), potom f '(0) = 02 – 4 . 0 + 3 = 3 > 0, tudížf '(x) je kladná v intervalu (–1), proto funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–1, 2  (1, 3), potom f '(2) = 22 – 4 . 2 + 3 = –1 < 0, protof '(x) je záporná v intervalu (1, 3), tedy funkce f (x) je klesající v intervalu 1, 3, 4  (3, ), potom f '(4) = 42 – 4 . 4 + 3 = 3 > 0, tedyf '(x) je kladná v intervalu (3, ), proto funkce f (x) je rostoucí v intervalu 3, ). Na obr. 7.10 (a) je graf první derivace funkce f (x).

OBRÁZEK 7.10 (a)

Graf f '(x) = x 2– 4x + 3

Graf f ''(x) = 2x – 4

(b)

2,5 2 1,5 1 0,5 –1 –0,5 –1 –1,5

2,5 2 1,5 1 0,5 1

2

3

4

–1 –0,5 –1 –1,5

1

2

3

4

V bodě 0 nabývá funkce f (x) lokální maximum (je zde definována a přechází v něm funkce rostoucí ve funkci klesající) a v bodě 3 nabývá funkce f (x) lokální minimum (je zde definována a přechází v něm funkce klesající ve funkci rostoucí). Určíme druhou derivaci funkce f , tj. f ''(x) = (x2 – 4x + 3)' = 2x – 4. Druhá derivace existuje v celém definičním oboru, má jediný nulový bod 2, který dělí D( f ) na dva intervaly (–2) a (2, ). Opět v každém intervalu vezmeme jeden bod, abychom zjistili znamení druhé derivace v celém intervalu, tzn.: 0  (–2), potom f ''(0) = 2 . 0 – 4 = –4 < 0, tj. f ''(x) je záporná v intervalu (–2), tzn. funkce f (x) je konkávní v intervalu (–2, 3  (2), potom f ''(3) = 2 . 3 – 4 = 2 > 0, tj. f ''(x) je kladná v intervalu (2, ), tzn. funkce f (x) je konvexní v intervalu 2, ). Na obr. 7.10 (b) je graf druhé derivace funkce f (x).

222

Kapitola 7


V bodě 2 má funkce f (x) první derivaci, přechází v něm funkce konkávní ve funkci konvexní, tudíž bod 2 je inflexní bod funkce f (x). Pro ilustraci je na obr. 7.11 (a) graf funkce f (x) a na obr. 7.11 (b) jsou dohromady grafy f (x), f '(x) a f ''(x), které ilustrují věty o významu první i druhé derivace pro průběh funkce.

OBRÁZEK 7.11 Graf 1 . f (x) = x 3 – 2x 2 + 3x

(a)

Grafy

(b)

f (x), f '(x) a f ''(x),

3

2,5 2 1,5 1 0,5 –1 –0,5

2,5 2 1,5 1 0,5 1

3

2

–1,5

4

–1 –0,5

1

2

3

4

–1,5

PŘÍKLAD 7.87 Určíme jak maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, tak také maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body inflexe funkce f (x) = 1 . (x 3 – 3x 2 – 9x + 27). 4 Řešení Nejprve určíme definiční obor, u této funkce nejsou žádné omezující podmínky pro definiční obor; proto D( f ) = (–, ). Určíme první derivaci funkce f , tj.: ' f '(x) = 1 . (x 3 – 3x 2 – 9x + 27) = 1 . (3x 2 – 6x – 9) = 3 . (x 2 – 2x – 3) = 3 . (x – 3) . (x + 1) . 4 4 4 4

(

)

První derivace existuje v celém definičním oboru. Její nulové body jsou (–1) a 3, které dělí D( f ) na tři intervaly (–, –1), (–1, 3) a (3, ). Opět v každém intervalu vezmeme jeden bod, abychom zjistili znamení první derivace v celém intervalu, tzn.: –2  (–, –1), potom f '(–2) = 3 4 (–, –1,

. (–2 – 3) . (–2 + 1) > 0, funkce f (x) je rostoucí v intervalu

0  (–1, 3), potom f '(0) = 3 . (0 – 3) . (0 + 1) < 0, funkce f (x) je klesající v intervalu –1, 3, 4 4  (3, ), potom f '(4) = 3 . (4 – 3) . (4 + 1) > 0, funkce f (x) je rostoucí v intervalu 3, ). 4 V bodě 0 nabývá funkce f (x) lokální maximum (je zde definována a přechází v něm funkce rostoucí ve funkci klesající) a v bodě 3 nabývá funkce f (x) lokální minimum (je zde definována a přechází v něm funkce klesající ve funkci rostoucí).

223

Kapitola 7



(

Určíme druhou derivaci funkce f , tj. f ''(x) = 3 4

. (x 2 – 2x – 3) ' = 3 . (2x – 2) = 3 . (x – 1).

)

4

2

Druhá derivace existuje v celém definičním oboru, má jediný nulový bod 1, který dělí D( f ) na dva intervaly (–, 1) a (1, ). Opět v každém intervalu vezmeme jeden bod, abychom zjistili znamení druhé derivace v celém intervalu, tzn.: 0  (–, 1), potom f ''(0) = 3 2 2  (1, ), potom f ''(0) = 3 2

. (0 – 1) < 0, tzn. funkce f (x) je konkávní v intervalu (–, 1,

. (2 – 1) > 0, tzn. funkce f (x) je konvexní v intervalu 1, ).

V bodě 1 má funkce f (x) první derivaci, přechází v něm funkce konkávní ve funkci konvexní, tudíž bod 1 je inflexní bod funkce f (x). Pro ilustraci je na obr. 7.12 (a) graf funkce f (x).

OBRÁZEK 7.12 Graf

(a)

Graf

(b)

f (x) = 1 . (x 3 – 3x 2 – 9x + 27) 3

f (x) = x 3 – 27x + 2 60

6

40

4 2 –4

–2 –2

2

4

–4

–2

–4

–20

–6

–40

–8

–60

2

4

PŘÍKLAD 7.88 Určíme opět jak maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, tak i maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = x3 – 27x + 2. Řešení Nejprve určíme definiční obor, zde není žádné omezení, tudíž D( f ) = (–, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f (x), tj.: f '(x) = (x3 – 27x + 2)' = 3 . x2 – 27 . První derivace funkce f existuje v celém definičním oboru funkce f . Určíme nulové body první derivace, tj. řešíme rovnici f '(x) = 0. Platí: 3x2 – 27 = 0  x2 – 9 = 0  x2 = 9 x = ±3. Tyto nulové body dělí D( f ) na tři intervaly (–, –3), (–3, 3) a (3, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty první derivace v tomto bodě určíme znamení první derivace v celém intervalu. V intervalu (–, –3) vezmeme reálné číslo (–4), dostáváme f '(–4) = 3 . (–4)2 – 27 = 21 > 0, proto f '(x) je kladná v intervalu (–, –3). Z toho vyplývá – funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–, –3. V intervalu (–3, 3) vezmeme reálné číslo 0, dostáváme f '(0) = 3 . 02 – 27 = –27 < 0, proto f '(x) je záporná v intervalu (–3, 3). Z toho vyplývá – funkce f (x) je klesající v intervalu –3, 3.

224

Kapitola 7


V intervalu (3, ) vezmeme reálné číslo 4, dostáváme f '(4) = 3 . 42 – 27 = 21 > 0, proto f '(x) je kladná v intervalu (3, ). Z toho vyplývá – funkce f (x) je rostoucí v intervalu 3, ). V bodě (–3) je funkce f (x) definována a přechází v něm funkce rostoucí ve funkci klesající, tudíž funkce f (x) nabývá v bodě (–3) lokální maximum. V bodě 3 je funkce f (x) definována a přechází v něm funkce klesající ve funkci rostoucí, tudíž funkce f (x) nabývá v bodě (–3) lokální minimum. Použijeme tvrzení o významu druhé derivace, proto vypočteme druhou derivaci funkce f (x), tj. f ''(x) = (3x2 – 27)' = 6x. Druhá derivace funkce f existuje v celém definičním oboru funkce f . Nejprve určíme nulové body druhé derivace funkce f , tj. řešíme rovnici f ''(x) = 0, tzn. 6x = 0, tj. x = 0. Nulový bod dělí D( f ) na dva intervaly (–, 0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty druhé derivace v tomto bodě určíme znamení druhé derivace v celém intervalu. V intervalu (–, 0) vezmeme reálné číslo (–1), dostáváme f ''(–1) = 6 . (–1)' = –6 < 0, proto f ''(x) je záporná v intervalu (–, 0). Z toho vyplývá – funkce f (x) je konkávní v intervalu (–, 0. V intervalu (0, ) vezmeme reálné číslo 1, dostáváme f ''(1) = 6 . 1 = 6 > 0, proto f ''(x) je kladná v intervalu (0, ). Z toho vyplývá – funkce f (x) je konvexní v intervalu 0, ). V bodě 0 je funkce f (x) definována, existuje v něm první derivace, přechází zde konkávní funkce ve funkci konvexní, tudíž 0 je bod inflexe funkce f (x). Pro ilustraci je na obr. 7.12 (b) graf funkce f (x).

PŘÍKLAD 7.89 Určíme nejen maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, ale i maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = 1 . x Řešení Nejprve určíme definiční obor, určitě musí být x  0, tudíž D( f ) = (–, )  (0, ). Pro určení maximálních intervalů monotonie vypočteme: ' f '(x) = 1 = (x –1)' = (–1) . x –2 = - 12 . x x

( )

První derivace funkce f existuje v celém definičním oboru funkce f . První derivace funkce f nemá nulové body. První derivace je záporná jak v intervalu (–, 0), tak i v intervalu (0, ), tudíž funkce f (x) = 1 je klesající jak v intervalu (–, 0), tak i v intervalu (0, ). Lokální x extrémy funkce f nenabývá. Pro stanovení maximálních intervalů konvexnosti a konkávnosti určíme: ' f ''(x) = - 12 = ((–1) . x –2)' = (–1) . (–2)x –3 = 23 . x x

( )

Druhá derivace funkce f existuje v celém definičním oboru funkce f . Druhá derivace nemá nulové body. Druhá derivace je záporná v intervalu (–, 0), tudíž funkce f (x) = 1 je konkávní x v intervalu (–, 0), druhá derivace je kladná v intervalu (0, ), tedy funkce f (x) je konvexní v intervalu (0, ). Body inflexe funkce f (x) nemá. Na obr. 7.13 (a) je graf této funkce.

225

Kapitola 7



OBRÁZEK 7.13 Graf funkce f (x) =

(a)

1 x

Graf funkce f (x) =

(b)

3

6

2

5

1

4

1 x2

3 –4

–2

–1

2

4

2 1

–2 –3 –4

–2

2

4

PŘÍKLAD 7.90 Určíme opět jak maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, tak i maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = 12 . x Řešení Nejprve určíme definiční obor, určitě musí být x  0, tudíž D( f ) = (–, )  (0, ). Pro určení maximálních intervalů monotónie spočteme: ' f '(x) = 12 = (x –2)' = (–2) . x –3 = - 23 . x x

( )

První derivace funkce f existuje v celém definičním oboru funkce f . První derivace nemá nulové body. První derivace je kladná v intervalu (–, 0) a záporná v intervalu (0, ), tudíž funkce f (x) = 12 je rostoucí v intervalu (–, 0) a je klesající v intervalu (0, ). Lokální extrémy x funkce f nenabývá. Pro určení maximálních intervalů konvexnosti a konkávnosti vypočteme: ' f ''(x) = - 23 = ((–2) . x –3)' = (–2) . (–3) . x –4 = 64 . x x

( )

Druhá derivace funkce f existuje v celém definičním oboru funkce f . Druhá derivace nemá nulové body. Druhá derivace je kladná jak v intervalu (–, 0), tak i v intervalu (0, ), tudíž funkce f (x) = 12 je konvexní jak v intervalu (–, 0), tak i v intervalu (0, ). Body inflexe x funkce f (x) nemá. Na obr. 7.13 (b) je graf této funkce.

226

Kapitola 7


PŘÍKLAD 7.91 Určíme nejen maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, ale i maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = x + 4 . x -5 Řešení Nejprve určíme definiční obor, určitě musí platit x – 5 0, tj. x  5, tedy D( f ) = (–, 5)  (5, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f (x), tj.:

1 $ (x - 5) - (x + 4) $ 1 f '(x) = b x + 4 l' = = -9 2 . x -5 (x - 5) 2 (x - 5) První derivace funkce f existuje v celém definičním oboru funkce f . První derivace nemá nulové body (proměnná není v čitateli zlomku), je záporná jak v intervalu (–, 5), tak i v intervalu (5, ), tudíž funkce f (x) je klesající jak v intervalu (–, 5), tak i v intervalu (5, ). Lokální extrémy funkce f (x) nemá. Použijeme tvrzení o významu druhé derivace, proto vypočteme druhou derivaci funkce f (x), tj.:

f ''(x) = e

2 2 -9 ' = (-9)' $ (x - 5) + 9 $ (x - 10x + 25)' = 0 $ (x - 5) + 9 $ (2x - 10) = o 2 (x - 5) 2 (x - 5) 4 `(x - 5) 2j

=

18 $ (x - 5) = 18 3 . (x - 5) 4 (x - 5)

Druhá derivace funkce f existuje v celém definičním oboru funkce f . Druhá derivace nemá nulové body (proměnná není v čitateli zlomku), definiční obor funkce f je rozdělen na dva intervaly (–, 5) a (5, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení druhá derivace, potom druhá derivace v celém intervalu má stejné znamení. V intervalu (–, 5) vybereme bod 0, platí f '(0) = 18 3 1 0, druhá derivace funkce f je záporná (-5) v intervalu (–, 5), tedy funkce f (x) je konkávní v intervalu (–, 5).

18 2 0 , druhá derivace funkce f (x) je (6 - 5) 3 kladná v intervalu (5, ), tedy funkce f (x) je konvexní v intervalu (5, ). Body inflexe funkce f (x) nemá.

V intervalu (5, ) vybereme bod 6, platí f ''(6) =

PŘÍKLAD 7.92 Určíme opět jak maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, tak i maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = x . e x + e 2. Řešení Nejprve určíme definiční obor, zde není žádné omezení, tudíž D( f ) = (–, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f (x), tj.: f '(x) = (x . e x + e 2 )' = (x)' . e x + x . (e x)' = 1 . e x + x . e x = (1 + x) . e x . První derivace funkce f existuje v celém definičním oboru funkce f .

227

Kapitola 7



Určíme nulové body první derivace, tj. řešíme rovnici f '(x) = 0. Platí: (1 + x) . e x = 0 1 + x = 0  x = –1 (z vlastností základní exponenciální funkce víme, že e x je vždy kladné, proto je také nenulové). Bod (–1) dělí D( f ) na dva intervaly (–, –1) a (–1, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení první derivace, potom první derivace v celém intervalu má stejné znamení. V intervalu (–, –1) vybereme bod (–2), platí f '(–2) = (1 – 2) . e –2 = –e –2 < 0, první derivace funkce f (x) je záporná v intervalu (–, –1), tedy funkce f (x) je klesající v intervalu (–, –1. V intervalu (–1, ) vybereme bod 0, platí f '(0) = 1 . e 0 = 1 > 0, první derivace funkce f (x) je kladná v intervalu (–1, ), tudíž funkce f (x) je rostoucí v intervalu –1, ). V bodě (–1) je funkce f definována a přechází v něm klesající funkce v rostoucí, proto funkce f nabývá v bodě 0 lokální minimum. Dále použijeme tvrzení o významu druhé derivace pro průběh funkce, proto vypočteme: f ''(x) = ((1 + x) . e x)' = (1 + x)' . e x + (1 + x) . (e x)' = 1 . e x + (1 + x) . e x = (2 + x) . e x . Druhá derivace funkce f existuje v celém definičním oboru funkce f . Určíme nulové body druhé derivace, tj. řešíme rovnici f ''(x) = 0. Platí: (2 + x) . e x = 0 2 + x = 0  x = –2 (z vlastností základní exponenciální funkce víme, že e x je vždy kladné, proto je také nenulové). Bod (–2) dělí D( f ) na dva intervaly (–, –2) a (–2, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení druhé derivace, potom druhá derivace v celém intervalu má stejné znamení. V intervalu (–, –2) vybereme bod (–3), platí f ''(–3) = (2 – 3) . e –3 = –e –3 < 0, druhá derivace funkce f (x) je záporná v intervalu (–, –2), tedy funkce f (x) je konkávní v intervalu (–, –2. V intervalu (–2, ) vybereme bod 0, platí f ''(0) = 2 . e 0 = 2 > 0, druhá derivace funkce f je kladná v intervalu (–2, ), tudíž funkce f (x) je konvexní v intervalu –2, ). V bodě (–2) existuje první derivace funkce f (x) a přechází v něm konkávní funkce v funkci konvexní, proto bod (–2) je inflexní bod funkce f (x).

PŘÍKLAD 7.93 Znovu určíme jak maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, tak i maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = (x2 + 1) . e x. Řešení Nejprve určíme definiční obor, zde není žádné omezení, tudíž D( f ) = (–, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f (x), tj.: f '(x) = ((x2 + 1) . e x)' = (x2 + 1)' . e x + (x2 + 1) . (e x)' = 2x . e x + (x2 + 1) . e x = (x2 + 2x + 1) . e x . První derivace funkce f existuje v celém definičním oboru funkce f . Určíme nulové body první derivace, tj. řešíme rovnici f '(x) = 0. Platí: (x2 + 2x + 1) . e x = 0 (x + 1)2 . e x = 0 (x + 1)2 = 0  x + 1 = 0  x = –1 (víme, že vyplývá z vlastností základní exponenciální funkce, e x je vždy kladná, proto je také nenulová). Bod (–1) dělí D( f ) na dva intervaly (–, –1) a (–1, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení první derivace, potom první derivace v celém intervalu má stejné znamení.

228

Kapitola 7


V intervalu (–, –1) vybereme bod (–2), platí f '(–2) = ((–2)2 + 2 . (–2) + 1) . e –2 = 1 . e –2 > 0, první derivace funkce f (x) je kladná v intervalu (–, –1), tedy funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–, –1. V intervalu (–, –1) vybereme bod 0, platí f '(0) = 1 . e 0 = 1 > 0, první derivace funkce f (x) je kladná v intervalu (–, –1), tudíž funkce f (x) je rostoucí v intervalu –1, ). Lokální extrémy funkce f (x) nemá. Dále použijeme tvrzení o významu druhé derivace pro průběh funkce, proto vypočteme: f ''(x) = ((x 2 + 2x + 1) . e x)' = (x 2 + 2x + 1)' . e x + (x 2 + 2x + 1) . (e x)' = = (2x + 2) . e x + (x 2 + 2x + 1) . e x = (x 2 + 4x + 3) . e x . Druhá derivace funkce f existuje v celém definičním oboru funkce f . Určíme nulové body druhé derivace, tj. řešíme rovnici f ''(x) = 0. Platí: (x 2 + 4x + 3) . e x = 0  x 2 + 4x + 3 = 0 (z vlastností základní exponenciální funkce víme, že e x je vždy kladné, proto je také nenulové). Kořeny kvadratické rovnice x 2 + 4x + 3 = 0 jsou reálná čísla (–3) a (–1). Body (–3) a (–1) dělí D( f ) na tři intervaly (–, –3), (–3, –1) a (–1, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení druhé derivace, potom druhá derivace v celém intervalu má stejné znamení. V intervalu (–, –3) pro bod (–4) platí f ''(–4) = ((–4)2 + 4 . (–4) + 3) . e –4 = 3 . e –4 > 0, druhá derivace funkce f (x) je kladná v intervalu (–, –3), tedy funkce f (x) je konvexní v intervalu (–, –3. V intervalu (–3, –1) vybereme bod (–2), platí f ''(–2) = ((–2)2 + 4 . (–2) + 3) . e –2 = –e –2 < 0, druhá derivace funkce f (x) je záporná v intervalu (–3, –1), tedy funkce f (x) je konkávní v intervalu –3, –1. V intervalu (–1, ) vybereme bod 0, platí f ''(0) = 3 . e 0 = 3 > 0, druhá derivace funkce f je kladná v intervalu (–1, ), tudíž funkce f (x) je konvexní v intervalu –1, ). V bodě (–3) existuje první derivace a přechází v něm funkce konvexní ve funkci konkávní, proto bod (–3) je bod inflexe funkce f (x), v bodě (–1) existuje první derivace a přechází v něm funkce konkávní ve funkci konvexní, proto bod (–1) je také bod inflexe funkce f .

PŘÍKLAD 7.94 Určíme nejen maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, ale i maximální intervaly 2 konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = x . x +2 Řešení Nejprve určíme definiční obor, určitě musí platit x + 2  0, tj. x  –2, tedy dostáváme D( f ) = (–, –2)  (–2, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f (x), tj.: 2 ' (x2)' (x + 2) - x2 (x + 2)' 2x (x + 2) - x2 $ 1 x2 + 4x , f '(x) = e x o = = = x +2 (x + 2) 2 (x + 2) 2 (x + 2) 2

první derivace funkce f existuje v celém definičním oboru funkce f .

229

Kapitola 7



2 Určíme nulové body f '(x). Určitě platí f '(x) = 0 + x - 4x2 = 0 + x2 + 4x = 0 + x $ (x - 4) = 0 , (x + 2) tj. nulové body první derivace jsou (–4) a 0. Definiční obor se rozpadá na čtyři intervaly (–, –4), (–4, –2), (–2, 0) a (0, ). V každém intervalu vybereme jeden bod, abychom v příslušném intervalu zjistili znamení první derivace:

( 5) 2 4 $ (-5) 25 - 20 5 –5  (–, –4), potom f '(-5) = - + = = 2 0 , tj. f '(x) je kladná v intervalu 9 9 (-5 + 2) 2 (–, –4), proto funkce f je rostoucí v intervalu (–, –4; ( 3) 2 4 $ (-3) 9 + 12 –3  (–4, –2), potom f '(-3) = - + = = -3 1 0 , tj. f '(x) je záporná v intervalu 1 (-3 + 2) 2 (–4, –2), proto funkce f je klesající v intervalu –4, –2); ( 1) 2 4 $ (-1) 1 - 4 –1  (–2, 0), potom f '(- 1) = - + = = -3 1 0 , tj. f '(x) je záporná v intervalu 1 (-1 + 2) 2 (–2, 0), proto funkce f je klesající v intervalu (–2, 0; 2

1  (0, ), potom f '(1) = 1 + 4 $ 1 = 1 + 4 = 5 2 0 , tj. f '(x) je kladná v intervalu (4, ), proto 9 9 (1 + 2) 2 funkce f je rostoucí v intervalu 0, ); funkce f nabývá v bodě (–4) lokální maximum a v bodě 0 lokální minimum. Určíme druhou derivaci, tj.: 2 ' (x2 + 4x)' (x + 2) 2 - (x2 + 4x)`(x + 2) 2j' f ''(x) = e x + 4x2 o = = 2 (x + 2) `(x + 2) 2j

=

=

(2x + 4) (x + 2) 2 - (x2 + 4x) (x2 + 4x + 4)' (2x + 4) (x + 2) 2 - (x2 + 4x) $ (2x + 4) = = (x + 2) 4 (x + 2) 4

(x + 2)`(2x + 4) (x + 2) - (x2 + 4x) $ 2j 2x2 + 4x + 4x + 8 - 2x2 - 8x 8 . = = (x + 2) 4 (x + 2) 3 (x + 2) 3

Druhá derivace existuje v celém definičním oboru funkce f . Určíme nulové body f ''(x). Urči-tě platí, že druhá derivace nemá nulové body, proto definiční obor se rozpadá na dva intervaly (–, –2) a (–2, ). V každém intervalu vybereme jeden bod, abychom v příslušném intervalu zjistili znamení druhé derivace:

8 = 8 = -8 1 0 , tj. f ''(x) je záporná v intervalu (-3 + 2) 3 (-1) 3 (–, –2), proto funkce f je konkávní v intervalu (–, –2);

–3  (–, –2), potom f ''(-3) =

8 = 8 = 1 2 0 , tj. f ''(x) je kladná v intervalu (–2, ), proto (0 + 2) 3 8 funkce f je konvexní v intervalu (–2, ); body inflexe funkce f nemá.

0  (–2, ), potom f ''(0) =

230

Kapitola 7


PŘÍKLAD 7.95 Určíme nejen maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, ale i maximální intervaly x konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = e . x +1 Řešení Nejprve určíme definiční obor, určitě musí platit x + 1  0, tj. x  –1, tedy dostáváme D( f ) = (–, –1)  (–1, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f (x), tj.: x x ' e x $ (x + 1) - e x $ 1 f '(x) = e e o = = x$e 2 . 2 x +1 (x + 1) (x + 1)

První derivace funkce f (x) existuje v celém definičním oboru. Určíme nulové body první de-

x $ e x = 0 + x $ e x = 0 + x = 0 (protože zlomek se rovná nule právě tehdy, když (x + 1) 2 čitatel je nula, dále základní exponenciální funkce je vždy kladná, tudíž se nemůže rovnat nule). Body (–1) a 0 dělí definiční obor funkce f (x) na tři intervaly (–, –1), (–1, 0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení první derivace, potom první derivace v celém intervalu má stejné znamení. Platí: rivace, tzn.

( 2) $ e-2 –2  (–, –1), potom f '(-2) = = -2 1 0 , tzn. funkce f (x) je klesající v intervalu (-2 + 1) 2 1 $ e2 (–, –1), - 1  (–1, 0) potom f 'b- 1 l = 2 2

1 b- 2 l $ e-

1 3

1 b- 2 + 1l

2

1 0 , tzn. funkce f (x) je klesající v intervalu (–1, 0,

-2 1  (0, ), potom f '(1) = 1 $ e 2 2 0 , tzn. funkce f (x) je rostoucí v intervalu 0, ), (1 + 1)

v bodě 0 nabývá funkce f (x) lokální minimum. Dále určíme druhou derivaci, tj.: x ' (x $ e x)' $ (x + 1) 2 - x $ e x $ `(x + 1) 2j' f ''(x) = e x $ e 2 o = = (x + 1) (x + 1) 4

=

(1 $ e x + x $ e x) $ (x + 1) 2 - x $ e x $ 2 $ (x + 1) e x $ (x + 1) 2 - e x $ 2 $ x e x $ (x2 + 1) . = = (x + 1) 4 (x + 1) 3 (x + 1) 3

Druhá derivace existuje v celém definičním oboru funkce f (x). Určíme nulové body druhé

e x $ (x2 + 1) = 0 + e x $ (x2 + 1) = 0 , ale jak e x, tak i (x 2 + 1) jsou vždy kladné, tudíž (x + 1) 3 rovnice nemá řešení. Reálná osa se dělí na dva intervaly (–, –1) a (–1, ), určíme opět podle jednoho bodu z intervalu znamení druhé derivace. Platí: derivace, tzn.

–2  (–, –1), potom f ''(-2) =

e-2 $ `(-2) 2 + 1j 1 0 , tzn. funkce f (x) je konkávní v intervalu (-2 + 1) 3

(–, –1),

231

Kapitola 7



e0 $ (02 + 1) 2 0 , tzn. funkce f (x) je konvexní v intervalu (–1, ), (0 + 1) 3 body inflexe funkce f (x) nemá. 0  (–1, ), potom f ''(0) =

PŘÍKLAD 7.96 Určíme nejen maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, ale i maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = x +x 3 . e Řešení Nejprve určíme definiční obor, funkce obsahuje podíl, ale základní exponenciální funkce je vždy kladná, tudíž i nenulová, proto D( f ) = (–, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f (x), tj.:

' (x 3)'e x - (x + 3) $ (e x)' 1 $ e x - (x + 3) $ e x (-x - 2) $ e x -x - 2 f '(x) = e x +x 3 o = + = = = e (e x) 2 (e x) 2 (e x) 2 ex První derivace existuje v celém definičním oboru funkce f . Určíme nulové body první derivace,

2 = 0 + -x - 2 = 0 + x =-2 . Bod (–2) dělí D( f ) na dva tj. řešíme rovnici f '(x) = 0, tzn. -x ex intervaly (–, –2) a (–2, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení první derivace, potom první derivace v celém intervalu má stejné znamení: ( 3) 2 –3  (–, –2), potom f '(-3) = - - -3 - = 1-3 2 0 , proto funkce f je rostoucí v intervalu e e (–, –2, 2 = -2 =-2 1 0 , proto funkce f je klesající v intervalu –2, ). 0  (–2, ), potom f '(0) = -0 1 e0 V bodě (–2) je funkce f (x) definována a přechází v něm funkce rostoucí ve funkci klesající, proto funkce f (x) nabývá v bodě (–2) lokální maximum. Vypočteme druhou derivaci funkce f (x), tj.: x x x x x 2 ' = (-x - 2)'e - (-x - 2) $ (e )' = (-1) $ e + (x + 2) $ e = (x + 1) $ e = x + 1 . f ''(x) = e -x o x x 2 x 2 x 2 e (e ) (e ) (e ) ex

Druhá derivace existuje v celém definičním oboru funkce f . Určíme nulové body druhé derivace, tj. řešíme rovnici f ''(x) = 0, tzn. x +x 1 = 0 + x + 1 = 0 + x = -1. Bod (–1) dělí D( f ) na dva e intervaly (–, –1) a (–1, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení druhá derivace, potom druhá derivace v celém intervalu má stejné znamení:

1 = -1 1 0 , proto funkce f (x) je konkávní v intervalu (–, –1, –2  (–, –1)  f ''(-2) = -2-+ e2 e-2 0  (–1, )  f ''(0) = 0 +0 1 = 1 2 0 , tudíž funkce f (x) je konvexní v intervalu –1, ). e V bodě (–1) existuje první derivace funkce f (x) a přechází v něm funkce konkávní ve funkci konvexní, tudíž (–1) je bod inflexe funkce f (x).

232

Kapitola 7


PŘÍKLAD 7.97 Určíme opět jak maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, tak i maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = x .

5

x2 .

Řešení Nejprve určíme definiční obor, u této funkce nejsou žádné omezující podmínky pro definiční obor; proto D( f ) = (–, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f , tj.: 5 2 f '(x) = ` x $ 5 x2 j' = ` x1 + j' = ` x j' = 7 $ x = 7 $ x . 5 5 7 5

2 5

2 5

První derivace funkce f existuje v celém definičním oboru funkce f . 5 2 Určíme nulové body první derivace, tj. řešíme rovnici f '(x) = 0, tzn. 7 $ x = 0 + x = 0 . Bod 0 5 dělí D( f ) na dva intervaly (–, 0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení první derivace, potom první derivace v celém intervalu má stejné znamení.

7 $ 5 (-1) 2 7 $ 1 2 0 , první derivace = 5 5 funkce f (x) je kladná v intervalu (–, 0), tedy funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–, 0. V intervalu (–, 0) vybereme bod (–1), platí f '(-1) =

5 2 V intervalu (0, ) vybereme bod 1, platí f '(1) = 7 $ 1 = 7 $ 1 2 0 , první derivace funkce f (x) 5 5 je kladná v intervalu (0, ), tudíž funkce f (x) je rostoucí v intervalu 0, ). Lokální extrémy funkce f (x) nemá.

Použijeme tvrzení o významu druhé derivace, proto vypočteme druhou derivaci funkce f , tj.: . f ''(x) = ` x $ 5 x2 j'' = b 7 x l' = 7 $ 2 $ x- = 14 5 5 5 25 $ 5 x3 3 5

2 5


14 1 0 , druhá derivace = 14 25 $ 5 (-1) 3 25 $ (-1) funkce f (x) je záporná v intervalu (–, 0), tedy funkce f (x) je konkávní v intervalu (–, 0. V intervalu (–, 0) vybereme bod (–1), platí f ''(-1) =


14 = 14 2 0 , druhá derivace funkce 25 $ 5 13 25 $ 1

f (x) je kladná v intervalu (0, ), tudíž funkce f (x) je konvexní v intervalu 0, ). V bodě 0 existuje první derivace funkce f (x) a přechází v něm funkce konkávní ve funkci konvexní, tudíž 0 je bod inflexe funkce f (x).

233

Kapitola 7



PŘÍKLAD 7.98 Určíme opět jak maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, tak i maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = 5 x4 . Řešení Nejprve určíme definiční obor, u této funkce nejsou žádné omezující podmínky pro definiční obor; proto D( f ) = (–, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f (x), tj.: . f '(x) = `5 x4 j' = ` x j' = 4 $ x- = 45 5 5$ x 4 5

1 5

První derivace neexistuje v bodě 0, první derivace nemá nulové body (proměnná není v čitateli zlomku). Bod 0 dělí D( f ) na dva intervaly (–, 0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení první derivace, potom první derivace v celém intervalu má stejné znamení. V intervalu (–, 0) vybereme bod (–1), platí f '(-1) =

4 5

=

4 1 0 , první derivace 5 $ (-1)

5 $ -1 funkce f (x) je záporná v intervalu (–, 0), tedy funkce f (x) je klesající v intervalu (–, 0. V intervalu (0, ) vybereme bod 1, platí f '(1) =

4 = 4 2 0 , první derivace funkce f (x) 5 $ 5 1 5 $1

je kladná v intervalu (0, ), tudíž funkce f (x) je rostoucí v intervalu 0, ). V bodě 0 je funkce f (x) definována a přechází v něm klesající funkce v rostoucí, proto funkce f (x) nabývá v bodě 0 lokální minimum. Použijeme tvrzení o významu druhé derivace, nejprve vypočteme druhou derivaci funkce f (x), tj.:

f ''(x) = `5 x4 j'' = b 4 x- l' = 4 $ b- 1 l x- = -54 6 . 5 5 5 25 $ x 6 5

1 5


-4 = -4 1 0 , druhá derivace 25 $ 5 (-1) 6 25 $ 1 funkce f (x) je záporná v intervalu (–, 0), tedy funkce f (x) je konkávní v intervalu (–, 0. V intervalu (–, 0) vybereme bod (–1), platí f ''(-1) =


-4 = -4 1 0 , druhá derivace funkce 25 $ 5 16 25 $ 1

f (x) je záporná v intervalu (0, ), tudíž funkce f (x) je konkávní v intervalu 0, ). Body inflexe funkce f (x) nemá.

234

Kapitola 7


PŘÍKLAD 7.99 Určíme nejen maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, ale i maximální intervaly 1. konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = 2x x4 Řešení Opět nejprve určíme definiční obor, funkce f (x) obsahuje podíl, proto x 4  0  x  0, tzn. D( f ) = (–, 0)  (0, ). Vypočteme první derivaci, tj.: 4 3 3 1 ' = 2 $ x - (2x - 1) $ 4x = x $ (2x - 4 $ (2x - 1)) = -6x + 4 , f '(x) = e 2x o 4 4 2 x (x ) x8 x5

první derivace existuje v celém definičním oboru. Určíme nulové body první derivace, tzn. -6x 5+ 4 = 0 + -6x + 4 = 0 + x = 2 . Bod 2 dělí definiční obor na tři intervaly (–, 0), 3 3 x

(0, 23 ) a ( 23 , ). Znamení první derivace v jednotlivých intervalech určíme analogicky jako v předcházejících příkladech:

6 $ ( 1) 4 –1  (–, 0)  f '(-1) = - - 5+ = 10 =-10 1 0 , tudíž funkce f (x) je klesající v intervalu -1 (-1) (–, 0), 1  0, 2  f ' 1 = c m 3 3 3

( )

(

-6 $ 1 + 4 3 = 2 5 2 0 , proto funkce f (x) je rostoucí v intervalu 0, 2 , 3 1 5 1 c m c m 3 3



(

 )

)

1  2 ,   f '(1) = -6 $ 15+ 4 =-2 1 0 , proto funkce f (x) je klesající v intervalu 2 ,  . 3 3 1 V bodě 2 je funkce f (x) definována a přechází v něm funkce rostoucí ve funkci klesající, 3 proto funkce f (x) nabývá v bodě 2 lokální maximum. 3 Dále vypočteme druhou derivaci funkce f (x), tj.:

' 6 $ x5 - (-6x + 4) $ 5x4 x4 $ (-6x - 5 $ (-6x + 4)) 24x - 20 , f ''(x) = e -6x 5+ 4 o = = = x (x5) 2 x10 x6 druhá derivace existuje v celém definičním oboru. Určíme nulové body druhé derivace,

20 = 0 + 24x - 20 = 0 + x = 5 . Bod 5 dělí definiční obor na tři intervaly (–, 0), tj. 24x 6 6 x6

(0, 56 ) a ( 56 , ). Znamení druhé derivace v jednotlivých intervalech určíme analogicky jako v předcházejících příkladech: –1  (–, 0)  f ''(-1) =

24 $ (-1) - 20 -44 = = -44 1 0 , tedy funkce f (x) je konkávní v inter1 (-1) 6

valu (–, 0),

2  0, 5  f '' 2 = c m 3 3 6

( )

24 $ 2 - 20 3 = -4 6 1 0, tedy funkce f (x) je konkávní v intervalu 0, 5 , 6 2 6 2 c m c m 3 3

( 

235

Kapitola 7


(




)

)

1  5 ,   f ''(1) = 24 $ 1 6- 20 = 4 2 0 , tedy funkce f (x) je konvexní v intervalu 5 ,  . 6 6 1 V bodě 5 existuje první derivace funkce f (x) a přechází v něm funkce konkávní ve funkci 6 konvexní, tudíž bod 5 je inflexní bod funkce f (x). 6

PŘÍKLAD 7.100 Určíme nejen maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, ale i maximální intervaly 2 konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = x2 - 1 . x +3 Řešení Nejprve určíme definiční obor. V předpisu pro funkci f (x) je podíl, požadujeme x2 + 3  0. Protože pro libovolné reálné číslo x je x2 ≥ 3, tj. x2 + 3 ≥ 3 > 0. Výraz x2 + 3 je vždy kladný, tím je zaručeno, že je také platí x2 + 3  0, proto D( f ) = (–, ). Určíme první derivaci, tzn.: 2 ' 2x $ (x2 + 3) - (x2 - 1) $ 2x 2x3 + 6x - 2x3 + 2x f ''(x) = e x2 - 1 o = = = 2 8x 2 , x +3 (x2 + 3) 2 (x2 + 3) 2 (x + 3)

První derivace funkce f existuje v celém definičním oboru funkce f .

8x = 0, (x2 + 3) 2 zlomek se rovná 0 právě tehdy, jestliže se 0 rovná čitatel, tj. 8x = 0. Bod 0 je nulový bod první derivace funkce f (x) a dělí D( f ) na dva intervaly (–, 0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty první derivace v tomto bodě určíme znamení první derivace v celém intervalu. Nejprve určíme nulové body první derivace funkce, tj. řešíme rovnici f '(x) = 0, tzn.

V intervalu (–, 0) vezmeme reálné číslo (–1), dostáváme f '(-1) =

8 $ (-1) 1 0 , proto f (x) 2 _(-1) 2 + 3i

je záporná v intervalu (–, 0). Z toho vyplývá: funkce f (x) je klesající v intervalu (–, 0. V intervalu (0, ) vezmeme reálné číslo 1, dostáváme f '(1) =

8 $ 1 2 0, proto f '(x) je kladná (12 + 3) 3

v intervalu (0, ). Z toho vyplývá: funkce f (x) je rostoucí v intervalu 0, ). V bodě 0 přechází funkce klesající ve funkci rostoucí, proto funkce f (x) nabývá v bodě 0 lokální minimum. Dále spočteme druhou derivaci, tj.:

f ''(x) = d

2 2 2 ' 8 $ _ x + 3i - 8x $ _(x + 3) i' 8x = = n 2 (x2 + 3) 2 _(x2 + 3) 2i 2

= 8 $ _ x2 + 3i - 32x2 $ (x2 + 3) 2

=

236

_ x2 + 3i

4

=

2 8 $ _ x2 + 3i - 8x $ _ x4 + 6x2 + 9i'

_ x2 + 3i

4

8 $ (x2 + 3) - 32x2 24 - 24x2 . = 3 3 _ x2 + 3i _ x2 + 3i

8 $ _ x2 + 3i - 8x $ (4x3 + 12x) 2

=

_ x2 + 3i

4

=

Kapitola 7


Druhá derivace funkce f existuje v celém definičním oboru funkce f . Dále určíme nulové 2 body druhé derivace funkce f , tj. řešíme rovnici f ''(x) = 0, tzn. 242- 24x3 = 0 , zlomek se rov(x + 3) ná 0 právě tehdy, jestliže se 0 rovná čitatel, tj.: 24 – 24x 2 = 0  x 2 = 1  x = ±1. Body (–1) a 1 jsou nulové body druhé derivace funkce f (x) a dělí D( f ) na tři intervaly (–, –1), (–1, 1) a (1, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty druhé derivace v tomto bodě určíme znamení druhé derivace v celém intervalu.

V intervalu (–, –1) vezmeme reálné číslo (–2), dostáváme f ''(-2) =

24 - 24 $ (-2) 2 1 0 , pro((-2) 2 + 3) 3

to f ''(x) je záporná v intervalu (–, –1). Z toho vyplývá: funkce f (x) je konkávní v intervalu (–, –1. 2

24 $ 0 2 0 , proto f ''(x) je V intervalu (–1, 1) vezmeme reálné číslo 0, dostáváme f ''(0) = 24 (02 + 3) 3 kladná v intervalu (–1, 1). Z toho vyplývá: funkce f (x) je konvexní v intervalu –1, 1. 2

24 $ 2 1 0 , proto f ''(x) je V intervalu (1, ) vezmeme reálné číslo 2, dostáváme f ''(2) = 24 (22 + 3) 3 záporná v intervalu (1, ). Z toho vyplývá: funkce f (x) je konkávní v intervalu 1, ). V bodě (–1) existuje první derivace a přechází v něm funkce konkávní ve funkci konvexní, proto bod (–1) je bod inflexe funkce f (x), v bodě 1 existuje první derivace a přechází v něm funkce konvexní ve funkci konkávní, proto bod 1 je také bod inflexe funkce f (x).

PŘÍKLAD 7.101 Určíme opět nejen maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, ale i maximální intervaly 2 konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = 2x . x -4 Řešení Nejprve určíme definiční obor, určitě musí být x2  4, tj. x  ±2, tudíž dostáváme D( f ) = (–, –2)  (–2, 2)  (–2, ). Nejprve vypočteme první derivaci, tj.:

f ''(x) = e

2 2 x2 o' = 2x $ (x - 4) - x $ 2x = 2x3 - 8x + 2x3 = -8x . 2 2 x -4 (x - 4) (x2 - 4) 2 (x2 - 4) 2 2


-8x = 0 , (x2 - 4) 2 zlomek se rovná 0 právě tehdy, jestliže se 0 rovná čitatel, tj. –8x = 0. Bod 0 je nulový bod první derivace funkce f (x) a dělí D( f ) na čtyři intervaly (–, –2), (–2, 0), (0, 2) a (2, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty první derivace v tomto bodě určíme znamení první derivace v celém intervalu. Nejprve určíme nulové body první derivace funkce, tj. řešíme rovnici f '(x) = 0, tzn.

8 $ ( 3) V intervalu (–, –2) vezmeme reálné číslo (–3), dostáváme f '(-3) = - 2 - 2 2 0 , proto f '(x) _(-3) - 4i je kladná v intervalu (–, –2). Z toho vyplývá: funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–, –2).

237

Kapitola 7



8 $ ( 1) V intervalu (–2, 0) vezmeme reálné číslo (–1), dostáváme f '(-1) = - 2 - 2 2 0 , proto f '(x) _(-1) - 4i je kladná v intervalu (–2, 0). Z toho vyplývá: funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–2, 0. 8 $ 1 1 0, proto f '(x) je záporná V intervalu (0, 2) vezmeme reálné číslo 1, dostáváme f '(1) = 2 _12 - 4i v intervalu (0, 2). Z toho vyplývá: funkce f (x) je klesající v intervalu 0, 2). V intervalu (2, ) vezmeme reálné číslo 3, dostáváme f '(3) = -2 8 $ 3 2 1 0 , proto f '(x) je zá_3 - 4i porná v intervalu (2, ). Z toho vyplývá: funkce f (x) je klesající v intervalu (2, ). V bodě 0 přechází funkce rostoucí ve funkci klesající, proto funkce f (x) nabývá v bodě 0 lokální maximum. Dále spočteme druhou derivaci, tj.:

f ''(x) = d

2 2 2 2 ' -8x ' = -8 $ (x - 4) + 8x $ _(x - 4) i = n 2 (x2 - 4) 2 _(x2 - 4) 2i

=

=

-8 $ (x2 - 4) 2 + 8x $ (x4 - 8x2 + 16)' -8 $ (x2 - 4) 2 + 8x $ (4x3 - 16x) = = (x2 - 4) 4 (x2 - 4) 4

-8 $ (x2 - 4) 2 + 32x2 $ (x2 - 4) -8 $ (x2 - 4) + 32x2 24x2 + 32 . = = 2 (x2 - 4) 4 (x2 - 4) 3 (x - 4) 3

Druhá derivace funkce f (x) existuje v celém definičním oboru funkce f . Dále určíme nulové 2 body druhé derivace funkce, tj. řešíme rovnici f ''(x) = 0, tzn. 24x2 + 32 = 0 , zlomek se rovná (x - 4) 3 0 právě tehdy, jestliže se 0 rovná čitatel, tj. 24x2 + 32 = 0, ale tato rovnice nemá řešení protože vždy platí 24x2 + 32 > 0. Tudíž D( f ) se dělí na tři intervaly (–, –2), (–2, 2) a (2, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty druhé derivace v tomto bodě určíme znamení druhé derivace v celém intervalu.

V intervalu (–, –2) vezmeme reálné číslo (–3), dostáváme f ''(-3) =

24 $ (-3) 2 + 32 2 0 , proto 3 _(-3) 2 - 4i

f ''(x) je kladná v intervalu (–, –2). Z toho vyplývá: funkce f (x) je konvexní v intervalu (–, –2).

2 32 1 0 , proto V intervalu (–2, 2) vezmeme reálné číslo 0, dostáváme f ''(0) = 24 $ 20 + 32 3 = 3 _0 - 4i _-4i f ''(x) je záporná v intervalu (–2, 2). Z toho vyplývá: funkce f (x) je konkávní v intervalu (–2, 2). 2

V intervalu (2, ) vezmeme reálné číslo 3, dostáváme f ''(3) = 24 $23 + 32 2 0 , proto f ''(x) je 2 _3 - 4i kladná v intervalu (2, ). Z toho vyplývá: funkce f (x) je konvexní v intervalu (2, ). Body inflexe funkce f (x) nemá.

238

Kapitola 7


PŘÍKLAD 7.102 Najdeme nejen maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, ale i maximální intervaly x konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = x e . e +1 Řešení Nejprve určíme definiční obor. Tato funkce obsahuje podíl, proto e x + 1  0. Z vlastností základní exponenciální funkce víme, že e x je vždy kladná, tudíž musí vždy platit také e x + 1 > 0, tedy D( f ) = (–, ). Určíme první derivaci, tzn.: x x ' e x $ (e x + 1) - e x $ e x f '(x) = e x e o = = xe 2 . x 2 e +1 (e + 1) (e + 1)


ex = 0, (e +1) 2 zlomek se rovná 0 právě tehdy, jestliže se 0 rovná čitatel, tj. e x = 0, ale tato rovnice nemá řešení. Tzn. f '(x) nemá nulové body a v intervalu (–, ) je stále kladná nebo stále záporná. Z vlastností základní exponenciální funkce víme, že f '(x) > 0 v celém intervalu (–, ), proto funkce f je rostoucí v intervalu (–, ). Nejprve určíme nulové body první derivace funkce f , tj. řešíme rovnici f '(x) = 0, tzn.

x

Vypočteme druhou derivaci, tj.:

f ''(x) = e

e x o' e x $ (e x + 1) 2 - e x $ 2 $ (e x + 1) $ e x e x $ (1 - e x) . = = (e + 1) (e x + 1) 4 (e x + 1) 3 x

Druhá derivace funkce f existuje v celém definičním oboru funkce f . Nejprve určíme nulové body druhé derivace funkce f , tj. řešíme rovnici f ''(x) = 0, tzn.

e x $ (1 - e x) = 0 , zlomek se rovná 0 právě tehdy, jestliže se 0 rovná čitatel, tj. (s použitím vlast(e x +1) 3 ností základní exponenciální funkce) e x . (1 – e x) = 0  1 – e x = 0  e x = 1 = e 0. Tedy nulový bod druhé derivace je bod 0, který dělí definiční obor funkce f na dva intervaly (–, 0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty druhé derivace v tomto bodě určíme znamení druhé derivace v celém intervalu. Tedy dostáváme: 1 $ 1- 1 b l e e e-1 $ (1 - e-1) –1  (–, 0), potom f ''(-1) = 2 0 , proto funkce f je konvexní v in3 = -1 1 (e + 1) b e + 1l tervalu (–, 0, 1  (0, ), potom f ''(1) =

e1 $ (1 - e1) e $ (1 - e) 1 0 , proto funkce f je konkávní v intervalu = (e1 + 1) 3 (e + 1) 3

0, ). V bodě 0 existuje první derivace a přechází v něm funkce konvexní ve funkci konkávní, proto 0 je inflexní bod funkce f . Na obr. 7.14 (a) je graf funkce f .

239

Kapitola 7



OBRÁZEK 7.14 (a)

(b)

Graf funkce

Graf funkce

x

f (x) = x e (sigmoida) e +1

f (x) = e-

1

1

0,8

0,8

0,6

0,6

0,4

0,4

0,2

–4

–2

x2 2

0,2

2

4

–3

–2

–1

1

2

3

Ve statistice, demografii, ekonomii, biologii, chemii a dalších empirických vědách (pro modelování růstu populací, koncentrací apod.) se používají logistické funkce (a jejich grafy se nazývají logistickými křivkami). Jde o funkce nabývající kladné hodnoty takové, že v počáteční fázi je růst přibližně exponenciální (tj. jsou rostoucí podobně jako základní exponenciální funkce), později s rostoucím nasycením se jejich růst velmi výrazně zpomaluje. Speciální 1 , jejíž graf se nazývá sigmoida. Podívejme se na tuto funkci případ je funkce f (x) = 1 + e-x podrobněji:

1 = 1 = 1 = e x , tzn. jde o funkci z předcházejícího příkladu a sigmoi1 + e-x 1 + 1 ex +1 ex +1 ex ex da je na obr. 7.14 (a). Poznamenejme, že u logistických funkcí se zpravidla proměnná označuje t místo x, protože jde většinou o vyjádření v závislosti na čase. f (x) =

PŘÍKLAD 7.103 Najdeme nejen maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, ale i maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = x . ln x. Nejprve určíme definiční obor. Tato funkce obsahuje funkci přirozený logaritmus, proto musí být x > 0, tedy D( f ) = (0, ). Určíme první derivaci funkce f , tj.: f '(x) = (x . ln x)' = x . 1 + 1 . ln x = 1 + ln x . x První derivace existuje v celém definičním oboru funkce f . Určíme nulové body první derivace, tj. řešíme rovnici f '(x) = 0  1 + ln x = 0  x ln x = –1 = ln (e–1)  x = e–1 = 1 . Nulový bod e 1 dělí definiční obor na dva intervaly 0, 1 a 1 ,  . Postupujeme standardně: e e e

( ) (

240

)

Kapitola 7


(

)

( ) ( 

1  0, 1  f ' 1 = f '(e–2) = 1 + ln (e–2) = 1 – 2 = –1 < 0, proto nutně musí být funkce f e e2 e2 klesající v intervalu 0, 1 , e

(



)

)

1  1 ,   f '(1) = 1 + ln (1) = 1 – 0 = 1 > 0, tudíž funkce f je rostoucí v intervalu 1 ,  . e e V bodě 1 přechází funkce klesající ve funkci rostoucí, proto v bodě 1 nabývá funkce f lokální e e minimum. Dále vypočteme druhou derivaci funkce f , tj. f ''(x) = (1 + ln x)' = 1 . Druhá derivace existuje x v celém definičním oboru funkce f . Druhá derivace funkce f nemá nulové body (zlomek se rovná nule právě tehdy, jestliže se nule rovná čitatel zlomku), tzn. v celém intervalu (0, ) je druhá derivace stále kladná nebo stále záporná. 1  (0, )  f ''(1) = 1 = 1 > 0, tudíž funkce f je konvexní v intervalu (0, ). 1 Inflexní body funkce f nemá.

PŘÍKLAD 7.104 Najdeme nejen maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, ale i maximální intervaly x2

konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = e- 2 . Řešení Nejprve určíme definiční obor. Zde nejsou žádné omezující podmínky pro definiční obor, proto D( f ) = (–, ). Nejprve určíme první derivaci, tj.:

f '(x) = ` e- j' = e- $ b- 2x l = -x $ e- . 2 x2 2

x2 2

x2 2

První derivace existuje v celém definiční oboru funkce f . Vypočteme nulové body první derivace x2

funkce f , tzn. f '(x) = 0  –x . e- 2 = 0  –x = 0  x = 0. Tedy nulový bod první derivace je bod 0, který dělí definiční obor funkce f na dva intervaly (–, 0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty první derivace v tomto bodě určíme znamení první derivace v celém intervalu. Dostáváme: –1  (–, 0), potom f '(-1) = -(-1) $ e-

(-1)2 2

= e- = 1 2 0 , tudíž funkce f (x) je rostoucí v ine 1 2

tervalu (–, 0, 1 1 1  (0, ), potom f '(1) = -1 $ e- 2 = -e- 2 = - 1 1 0 , proto funkce f (x) je klesající v intervalu e 0, ). 2

V bodě 0 je funkce f (x) definována a přechází v něm funkce rostoucí ve funkci klesající, tedy funkce f (x) nabývá v bodě 0 lokální maximum.

241

Kapitola 7



Určíme druhou derivaci, tj.:

f ''(x) = a-x $ e- k' = (-1) $ e- - x $ (-x) $ e- = (-1 + x2) $ e- . x2 2

x2 2

x2 2

x2 2

Druhá derivace existuje v celém definičním oboru funkce f . Vypočteme nulové body druhé x2

derivace, tzn. f ''(x) = 0  (–1 + x 2) . e- 2 = 0  –1 + x 2 = 0  x 2 = 1  x = ±1. Body (–1) a 1 jsou nulové body druhé derivace funkce f (x) a dělí D( f ) na tři intervaly (–, –1), (–1, 1) a (1, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty druhé derivace v tomto bodě určíme znamení druhé derivace v celém intervalu: –2  (–, –1)  f ''(-2) = _-1 + (-2) 2i $ e-

(-2)2

2

= 3 $ e-2 = 32 2 0 , proto f (x) je konvexní v intervalu e

(–, –1, 02

0  (–1, 1)  f ''(0) = (-1 + 02) $ e- 2 = (-1) $ e0 = -1 1 0, proto funkce f (x) je konkávní v intervalu –1, 1, 2  (1, )  f ''(2) = (-1 + 22) $ e- 2 = 3 $ e-2 = 32 2 0 , proto f (x) je konvexní v intervalu 1, ). e 22

V bodě (–1) existuje první derivace a přechází v něm funkce konvexní ve funkci konkávní, proto bod (–1) je bod inflexe funkce f (x), v bodě 1 existuje první derivace a přechází v něm funkce konkávní ve funkci konvexní, proto bod 1 je také bod inflexe funkce f (x). Na obr. 7.14 (b) je graf funkce f (x).

Ve statistice se setkáte s funkcí g (x) = pouze o vynásobení konstantou

1 $ e- , což je funkce, která se od předcházející liší 2r x2

2

1 . Funkce g(x) je hustota normovaného normálního 2r

rozdělení a její graf se nazývá Gaussova křivka. Na obr. 7.14 (b) je téměř Gaussova křivka.

242


Kapitola 7

7.6

Extrémy spojité funkce v uzavřeném intervalu Pro vyšetřování extrémů potřebuje ještě jednu větu.

VĚTA (nutná podmínka pro lokální extrém) Jestliže funkce f (x) nabývá v bodě c lokální extrém, potom f '(c ) = 0, pokud derivace existuje.

Standardní postup při vyšetřování extrémů spojité funkce f (x) v uzavřeném intervalu a, b:

a)

ověříme předpoklady Weierstrassovy věty,

b)

mezi body, ve kterých může nastat extrém, zahrneme krajní body intervalu a, b, tj. body a a b,

c)

mezi body, ve kterých může nastat extrém, zahrneme vnitřní body intervalu a, b (tj. body intervalu (a, b)), ve kterých buď derivace je 0, nebo derivace neexistuje,

d)

spočteme funkční hodnoty funkce f (x) v bodech získaných v částech b) a c), v bodě, ve kterém je funkční hodnota největší (příp. nejmenší), nastává maximum (příp. minimum) funkce f (x) vzhledem k intervalu a, b.

PŘÍKLAD 7.105 Vyšetříme extrémy funkce f (x) = x 2 + 2x vzhledem k intervalu –2, 1. Řešení

a)

D( f ) = (–, ), funkce f (x) je elementární a –2, 1 D( f ), podle věty o spojitosti elementárních funkcí je funkce f (x) spojitá v –2, 1, tzn. jsou splněny předpoklady Weierstrassovy věty.

b)

Mezi body, ve kterých může nastat extrém zahrneme body (–2) a 1.

c)

Spočteme f '(x) = 2x + 2. První derivace existuje ve všech vnitřních bodech intervalu –2, 1, tudíž extrém může nastat v nulových bodech první derivace, tj. f '(x) = 0 2x + 2 = 0 x = –1  (–2, 1), tudíž mezi body, ve kterých může nastat extrém, zahrneme bod (–1).

d)

V bodech (–2), 1 a (–1) spočteme funkční hodnoty funkce f (x), tzn.: f (–2) = (–2)2 + 2 . (–2) = 0, f (1) = 12 + 2 . 1 = 3 a f (–1) = (–1)2 + 2 . (–1) = –1. Číslo 3 je největší a číslo (–1) je nejmenší, proto funkce f (x) nabývá v bodě 1 maxima a v bodě (–1) minima vzhledem k –2, 1.

Pro ilustraci je na obr. 7.15 (a) graf funkce f (x) v –2, 1.

243

Kapitola 7



PŘÍKLAD 7.106 Vyšetříme extrémy funkce f (x) = x 3 – 3x vzhledem k intervalu –2, 0. Řešení

a)

D( f ) = (–, ), funkce f (x) je elementární a –2, 0 D( f ), podle věty o spojitosti elementárních funkcí je funkce f (x) spojitá v –2, 0, tzn. jsou splněny předpoklady Weierstrassovy věty.

b)

Mezi body, ve kterých může nastat extrém zahrneme body (–2) a 0.

c)

Spočteme f '(x) = 3x 2 – 3. První derivace existuje ve všech vnitřních bodech intervalu –2, 0, tudíž extrém může nastat v nulových bodech první derivace, tj. f '(x) = 0  3x 2 – 3 = 0  x 2 = 1, tato rovnice má dva kořeny x = 1  (–2, 0) a x = –1  (–2, 0), tudíž mezi body, ve kterých může nastat extrém, zahrneme pouze bod (–1).

d)

V bodech (–2), 0 a (–1) spočteme funkční hodnoty funkce f (x), tzn.: f (–2) = (–2)3 – 3 . (–2) = –2, f (0) = 03 – 3 . 0 = 0 a f (–1) = (–1)3 – 3 . (–1) = 2. Z funkčních hodnot je největší číslo 2 a nejmenší číslo (–2), proto funkce f (x) nabývá v bodě (–2) minima a v bodě (–1) maxima vzhledem k –2, 0.

Na obr. 7.15 (b) je graf funkce f (x) v –2, 0.

OBRÁZEK 7.15 (a)

(b)

f (x) = x2 + 2x

f (x) = x3 + 3x

v intervalu –2, 1

v intervalu –2, 0

3

2

2

1

1 –2

–1,5

–1

–0,5 1

–2

–1,5

–1

–0,5

0,5

1

–1

–2

PŘÍKLAD 7.107 Vypočteme extrémy funkce f (x) =

3

x2 vzhledem k intervalu –1, 8.

Řešení

244

a)

D( f ) = (–, ), funkce f (x) je elementární a –1, 8 D( f ), podle věty o spojitosti elementárních funkcí je funkce f (x) spojitá v –1, 8, tzn. jsou splněny předpoklady Weierstrassovy věty.

b)

Mezi body, ve kterých může nastat extrém, zahrneme body (–1) a 8.

Kapitola 7


c)

1 2 Spočteme f '(x) = `3 x2 j' = ` x 3 j' = 2 $ x- 3 = 32 2 , první derivace neexistuje v bodě 3 3$ x

0  (–1, 8), tzn. bod 0 zahrneme mezi body, ve kterých může nastat extrém. Rovnice f '(x) = 0 nemá řešení (čitatel se nemůže rovnat 0).

d)

Vypočteme funkční hodnoty funkce f (x) v bodech (–1), 8 a 0, tj.:

f (-1) = 3 (-1) 2 = 3 1 = 1, f (8) = 3 82 = 3 64 = 4 a f (0) = 3 02 = 3 0 = 0 . Z těchto funkčních hodnot je největší číslo 4 a nejmenší číslo 0. Funkce f (x) nabývá v bodě 8 maxima a v bodě 0 minima vzhledem k –1, 8.

7.7

Některé ekonomické aplikace V příkladu 6.20 jsme uvedli nákladovou funkci C(q) (někdy se používá pro tuto funkci označení TC(q)). Mezní náklady je funkce MC(q) definovaná předpisem MC(q) = C'(q), tedy jde o použití derivace funkce. V příkladu 6.21 jsme hovořili o funkci celkových výnosů TR(q), mezní výnosy je funkce MR(q), která je definována analogicky předpisem MR(q) = TR'(q). Podobně bychom mohli pokračovat s dalšími funkcemi v ekonomických modelech.

PŘÍKLAD 7.108 Nákladová funkce je dána předpisem C(q) =

q2 + 40q + 500, určíme mezní náklady MC(q). 100

Řešení Protože MC(q) = C'(q), dostáváme MC (q) = e

' 2q q2 q + 40q + 500o = + 40 = + 40 . 100 100 50

DEFINICE

Elasticita funkce Jestliže funkce f (x) je definovaná, kladná v (a, b) (0, ) a existuje f '(c ), kde c  (a, b), potom elasticita funkce f (x) v bodě c je E f (c) = c $

f '(c) . f (c)

245

Kapitola 7



PŘÍKLAD 7.109 Vypočteme elasticitu poptávkové funkce D (q) = 100 pro q  (0, ). q Řešení

' . Elasticita funkce D(q) pro libovolné Určíme derivaci funkce D(q), tj. D'(q) = e 100 o =- 100 q q2 - 100 D'(q) q2 q  (0, ) je E D (q) = q $ =q$ = -1. D (q) 100 q

PŘÍKLAD 7.110 Vypočteme elasticitu poptávkové funkce D(q) = 800 – q pro q  (0,800). Řešení Určitě D'(q) = (800 – q)' = –1, tzn. elasticita funkce D(q) pro q  (0,800) je

E D (q) = q $

D'(q) -q . = q $ -1 = D (q) 800 - q 800 - q

Elasticita funkce f (x) se zpravidla používá v případě, že f '(x) < 0 v intervalu (a, b) (0, ), tj. funkce f (x) je klesající v intervalu (a, b) a Ef (x) < 0 pro x  (a, b). Je-li Ef (x) = –1, potom funkce f (x) je v bodě x jednotkově elastická, je-li Ef (x) < –1, potom funkce f (x) je v bodě x elastická, je-li Ef (x) > –1, potom funkce f (x) je v bodě x neelastická. Funkce D(q) z příkladu 7.109 je jednotkově elastická pro všechna q  (0, ).

246

Kapitola 7


7.8

Neřešené příklady s výsledky Příklad 1: Spočtěte derivaci funkce f (x), jestliže:

a)

f (x) = 3 ,

n)

f (x) = –12x 7 ,

b)

f (x) = –11 ,

o)

f (x) = x 3 + 2x 2 – 5x + 7 ,

c)

f (x) = x 6 ,

p)

f (x) = x - 3 , x +2

d)

f (x) = x 11 ,

q)

f (x) =

x2 , 1 - x2

e)

f (x) = 15 , x

r)

f (x) =

x3 , x -4

f)

f (x) = 18 , x

s)

f (x) =

x3 , x -2

g)

f (x) =

3

x,

t)

f (x) =

x3 , x -4

h)

f (x) =

7

x,

u)

f (x) =

x2 , 1 - x3

i)

f (x) =

4

x3 + 5 32 ,

v)

f (x) = ln3x + ln 2 , x

j)

f (x) =

1 + 3 , x 5

w)

k)

f (x) =

3

3

x , x

3

2 f (x) = x + x , ln x

x)

f (x) = x 4 . e x + e5 ,

l)

f (x) = 2x ,

y)

f (x) = (x 3 + 4x 2 + 2x) . ln x ,

m)

f (x) = 5x 3 ,

z)

3 2 f (x) = x + 2xx + x . e

a)

f '(x) = 0 ,

g)

f '(x) =

1 , 3 $ 3 x2

b)

f '(x) = 0 ,

h)

f '(x) =

1 , 7 $ 7 x6

c)

f '(x) = 6 . x 5 ,

i)

f '(x) =

3 , 4$4 x

d)

f '(x) = 11 . x 10 ,

j)

f '(x) = -

e)

f '(x) = -56 , x

k)

f)

f '(x) = -89 , x

l)

Výsledky

f '(x) =

1 , = - 13 3x $ x 3 $ 3 x4

1 , 6 $ 6 x5

f '(x) = 2 . 1 = 2 ,

247

Kapitola 7


m)

f '(x) = 15x 2 ,

n)

f '(x) = –84x 6 ,

o)

f '(x) = 3x 2 + 2x – 5 ,

p)

f '(x) =

5 , (x + 2) 2

q)

f '(x) =

2x , (1 - x2) 2

r)

3 2 f '(x) = 2x - 122x , (x - 4)

s)

3 2 f '(x) = 2x - 6x2 , (x - 2)

t)

f '(x) =


-12x2 , (x3 - 4) 2

u)

4 f '(x) = x + 23x2 , (1 - x )

v)

f '(x) = 1 - 3 4$ ln x , x

(2x + 1) $ ln x - x - 1 , ln2 x

w)

f '(x) =

x)

f '(x) = (4x 3 + x 4) . e x ,

y)

f '(x) = (3x 2 + 8x + 2) . ln x + x 2 + 4x + 2 ,

z)

3 2 f '(x) = -x + x x+ 3x + 1 . e

Příklad 2: Vypočtěte první a druhou derivaci funkce f (x), jestliže:

e)

f (x) = x 3 + ln x ,

b)

f (x) =

x2 , x -2

f)

3 f (x) = x - 1 , x

c)

f (x) =

x2 , x -1

g)

f (x) = x +3 5 , x

d)

f (x) =

x2 , 1- x

h)

f (x) = 2 -3 x . x

Výsledky

248

x , ln x

a)

a)

3 f '(x) = 3x + 1 , x

3 1, f ''(x) = 6x x2

b)

2 f '(x) = x - 4x2 , (x - 2)

f ''(x) =

8 , (x - 2) 2

f (x) =

Kapitola 7


c)

2 f '(x) = x - 2x2 , (x - 1)

f ''(x) =

2 , (x - 1) 3

d)

2 f '(x) = 2x - x 2 , (1 - x)

f ''(x) =

2 , (1 - x) 3

e)

f '(x) = ln x2- 1 , ln x

x , f ''(x) = 2 - ln x ln3 x

f)

3 1, f '(x) = 2x + x2

3 2, f ''(x) = 2x x3

g)

15 , f '(x) = -2x x4

f ''(x) = 6x +5 60 , x

h)

6, f '(x) = 2x x4

24 . f ''(x) = -6x + x5

Příklad 3: Určete maximální intervaly monotónie, lokální extrémy, maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x), jestliže:

a)

f (x) = 23 , x

g)

f (x) = x +5 2 , x

b)

f (x) = 34 , x

h)

f (x) = 3x 4 – 8x 3 – 48x2 ,

c)

f (x) = x 3 – 12x ,

i)

f (x) =

d)

f (x) = 2x 3 – 3x 2 – 12x + 5 ,

j)

f (x) = xx , e

e)

f (x) = x 4 – 18x 2 ,

f)

f (x) = x + 2 , x +3

k)

f (x) =

x2 , x -1

x . x2 + 1

Výsledky

a)

D( f ) = (–, 0)  (0, ), funkce f (x) je klesající jak v intervalu (–, 0), tak i v intervalu (0, ), lokální extrémy funkce f (x) nenabývá, je konkávní v intervalu (–, 0), je konvexní v intervalu (0, ), body inflexe funkce f (x) nemá,

b)

D( f ) = (–, 0)  (0, ), funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–, 0) a je klesající v intervalu (0, ), lokální extrémy funkce f (x) nenabývá, je konvexní jak v intervalu (–, 0), tak i v intervalu (0, ), body inflexe funkce f (x) nemá,

c)

D( f ) = (–, ), funkce f (x) je rostoucí v intervalech (–, –2 a 2, ), je klesající v intervalu –2, 2, v bodě (–2) nabývá lokální maximum, v bodě 2 lokální minimum, je konkávní v intervalu (–, 0 a je konvexní v intervalu 0, ), 0 je inflexní bod,

d)

D( f ) = (–, ), funkce f (x) je rostoucí v intervalech (–, –1 a 2, ), je klesající v intervalu –1, 2, v bodě (–1) nabývá lokální maximum, v bodě 2 lokální minimum, je konkávní v intervalu –, 1 a je konvexní v intervalu 1 , – , 1 je inflexní 2 2 2 bod,

(

e)





)

D( f ) = (–, ), funkce f (x) je klesající v intervalu (–, –3, je rostoucí v intervalu –3, 0, je klesající v intervalu 0, 3, je rostoucí v intervalu 3, ), v bodech (–3) a 3 nabývá lokální minimum, v bodě 0 lokální maximum, je konvexní v intervalu

249

Kapitola 7



(-3, -2 3 , je konkávní v intervalu -2 (-2 3 ) a 2 3 jsou inflexní body, f)

D( f ) = (–, 0)  (0, ), funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–, –3), je rostoucí v intervalu (–3, ), lokální extrémy nenabývá, je konvexní v intervalu (–, –3), je konkávní v intervalu (–3, ), inflexní body nemá,

g)

D( f ) = (–, 0)  (0, ), funkce f (x) je rostoucí v intervalu –, - 5 , je klesající 2 5 5 nabývá lokální mav intervalu - , 0 a je klesající v intervalu (0, ), v bodě 2 2 ximum, je konvexní v intervalu (–, –3, je konkávní v intervalu –3, 0), je konkávní v intervalu (0, ), (–3) je inflexní bod,

h)



(



)

( )

D( f ) = (–, ), funkce f (x) je klesající v intervalu (–, –2, je rostoucí v intervalu –2, 0, je klesající v intervalu 0, 4, je rostoucí v intervalu 4, ), v bodech (–2) a 4 nabývá lokální minimum, v bodě 0 lokální maximum, je konvexní v intervalu –, 2 - 2 $ 7 , je konkávní v intervalu 2 - 2 $ 7 , 2 + 2 $ 7 , a je konvexní v in3 3 3 tervalu 2 + 2 $ 7 ,  , 2 - 2 $ 7 a 2 + 2 $ 7 jsou inflexní body, 3 3 3

(









)

i)

D( f ) = (–, 1)  (1, ), funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–, 0, je klesající v intervalu 0, 1)a je klesající v intervalu (1, 2, je rostoucí v intervalu 2, ), v bodě 0 nabývá lokální maximum, v bodě 2 lokální minimum, je konkávní v intervalu (–, 1) a je konvexní v intervalu (1, ), inflexní body funkce f (x) nemá,

j)

D( f ) = (–, ), funkce f (x) je rostoucí v intervalech (–, 1, je klesající v intervalu 1, ), v bodě 1 nabývá lokální maximum, je konkávní v intervalu (–, 2 a je konvexní v intervalu 2, ), 2 je inflexní bod,

k)

D( f ) = (–, ), funkce f (x) je klesající v intervalu (–, –1, je rostoucí v intervalu –1, 1, je klesající v intervalu 1, ), v bodu (–1) nabývá lokální minimum, v bodu 1 lokální maximum, je konkávní v intervalu (–, –3, je konvexní v intervalu –3, 0, je konkávní v intervalu 0, 3 a je konvexní v intervalu 3, ), (–3), 0 a 3 jsou inflexní body.

Příklad 4: Určete rovnici tečny ke grafu funkce:

250

3 , 2 3 a je konvexní v intervalu  2 3 , 3 ),

a)

f (x) = x 2 v bodech [2, f (2)] a [–1, f (–1)] ,

b)

2 f (x) = x + 4 v bodě [2, f (2)] , x -1

c)

f (x) = ln x v bodě [1, f (1)] ,

d)

f (x) = x . ln x v bodě [1, f (1)] ,

e)

f (x) = ln (x + 1) v bodě [0, f (0)] ,

f)

f (x) = 2x - 1 v bodě [2, f (2)] , 3x - 5

g)

f (x) = 2 . cos(x) + 3 v bodě [0, f (0)] .

Kapitola 7


Výsledky

a)

4x – y = 4 a 2x + y = –1,

e)

x – y = 0,

b)

4x + y = 16,

f)

7x + y = 17,

c)

x – y = 1,

g)

2x – y = –3.

d)

x – y = 1,

Příklad 5: Vyšetřete extrémy funkce f (x) vzhledem k intervalu I, jestliže:

a)

f (x) = x 3 + 3x 2 a I = –3, 1 ,

g)

f (x) = x 2 – 4x a I = –3, 1 ,

b)

f (x) = x 3 – 6x 2 a I = 1, 5 ,

h)

f (x) = x 2 – 4x a I = 0, 3 ,

c)

f (x) = x 3 – 6x 2 a I = –1, 1 ,

i)

f (x) =

3

x2 a I = –8, 1 ,

d)

f (x) = x 3 – 6x 2 a I = –1, 5 ,

j)

f (x) =

5

x2 a I = –1, 1 ,

e)

f (x) = x 2 – 1 a I = –1, 3 ,

f)

f (x) = 2x 3 – 12x 2 a I = –1, 2 ,

k)

f (x) = e1 – x a I = –1, 2 . 2

Výsledky

a)

f (x) nabývá v bodech (–2) a 1 maxima a v bodech (–3) a 0 minima vzhledem k intervalu I = –3, 1,

b)

f (x) nabývá v bodě 1 maxima a v bodě 4 minima vzhledem k intervalu I = 1, 5.

c)

f (x) nabývá v bodě 0 maxima a v bodě (–1) minima vzhledem k intervalu I = –1, 1,

d)

f (x) nabývá v bodě 0 maxima a v bodě 4 minima vzhledem k intervalu I = –1, 5,

e)


f)


g)

f (x) nabývá v bodě (–3) maxima a v bodě 1 minima vzhledem k intervalu I = –3, 1,

h)

f (x) nabývá v bodě 0 maxima a v bodě 2 minima vzhledem k intervalu I = 0, 3,

i)

f (x) nabývá v bodě (–8) maxima a v bodě 0 minima vzhledem k intervalu I = –8, 1,

j)

f (x) nabývá v bodech (–1) a 1 maxima a v bodě 0 minima vzhledem k intervalu I = –1, 1,

k)

f (x) nabývá v bodě 0 maxima a v bodě 2 minima vzhledem k intervalu I = –1, 2.

251

Kapitola 7




V této kapitole jsme se věnovali derivacím funkcí jedné proměnné. Při derivování je nutné dobře analyzovat předpis, abychom vhodně použili věty o derivování operací, zvláště větu o derivaci funkce složené.

•

Derivací funkce v bodě známe směrnici tečny ke grafu funkce a můžeme určit rovnici tečny.

• •

Derivaci lze použít pro výpočet limit užitím l’Hospitalova pravidla.

•

Derivace nám umožňuje nalézt extrémy spojité funkce na uzavřeném intervalu.

Z kladnosti nebo zápornosti první (příp. druhé) derivace funkce v intervalu určíme intervaly, ve kterých je funkce rostoucí nebo klesající (příp. konvexní nebo konkávní), rovněž stanovíme lokální extrémy (příp. inflexní body).

Klíčová slova derivace funkce

252

směrnice tečny

sklon křivky

l’Hospitalovo pravidlo

lokální extrémy funkce

konvexnost funkce

konkávnost funkce

inflexní bod funkce

elasticita funkce

lokální maximum funkce

lokální minimum funkce

význam 1. derivace pro průběh funkce

nutná a postačující podmínka pro lokální extrém funkce

nutná podmínka pro lokální extrém funkce

extrémy spojité funkce vzhledem k uzavřenému intervalu

význam 2. derivace pro průběh funkce

kapitola

Integrály

8

Integrály

Kapitola 8

8. kapitola Integrály Jak jsme již uvedli, v integrálním počtu hledáme zákonitost, která ze závislosti „nekonečně malé“ změny funkčních hodnot na „nekonečně malé“ změně proměnné odvodí obecnou funkční závislost. Operace integrování je opačná operace vzhledem k operaci derivování. U derivace funkce máme k dispozici derivace všech základních elementárních funkcí, umíme derivovat operace sčítání, odčítání, násobení i dělení funkcí, jakož i derivovat funkci složenou. Není žádný problém určit derivaci jakékoli elementární funkce. U integrace elementárních funkcí budeme mít integrály jenom některých základních elementárních funkcí a uvedeme pouze dvě operace pro výpočet integrálů, přičemž výpočet integrálů spočívá v rafinovaném střídání těchto dvou metod.

Úvod Zavedeme pojem primitivní funkce, kterým definujeme neurčitý integrál. Pro neurčitý integrál zavedeme integrály některých základních elementárních funkcí a uvedeme dvě metody pro výpočet (integrace per partes a integrace substitucí). Závěr této kapitoly věnujeme určitému integrálu, který z geometrického hlediska představuje plochu, jejíž velikost může být i záporná, což je závislé na to, zda graf funkce je nad osou x nebo pod ní.

257

Kapitola 8



8.1

Primitivní funkce Abychom mohli pracovat s integrály, je pro nás podstatný pojem primitivní funkce, protože užitím tohoto termínu definujeme jak neurčitý, tak i určitý integrál.

DEFINICE

Primitivní funkce Funkce F(x) je primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu I, jestliže pro všechna x z intervalu I platí F'(x) = f (x).

PŘÍKLAD 8.1 2 2 2 Rozhodneme, zda funkce F 1(x) = sin x , F 2(x) = - cos x a F 3(x) = sin x + 106 jsou primitivní 2 2 2 funkce k funkci f (x) = sin x . cos x v intervalu (–, ).

Řešení Nejprve určíme definiční obor funkce f (x). Zde není žádná omezující podmínka, tudíž D( f ) = (–, ). Pro libovolné x z intervalu (–, ) platí: 2 ' F1'(x) = e sin x o = 2 $ sin x $ cos x = sin x $ cos x = f (x) , 2 2

tudíž funkce F 1(x) je primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu (–, ). Analogicky pro libovolné x z intervalu (–, ) platí: 2 ' 2 $ cos x $ (-sin x) F2'(x) = e- cos x o = = sin x $ cos x = f (x) , 2 2

tudíž funkce F 2(x) je rovněž primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu (–, ). Podobně pro libovolné x z intervalu (–, ) platí: 2 2 ' ' F3'(x) = e sin x + 106 o = e sin x o = 2 $ sin x $ cos x = sin x $ cos x = f (x) , 2 2 2

tudíž funkce F 3(x) je také primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu (–, ). Shrneme-li, potom funkce F 1(x), F 2(x) a F 3(x) jsou primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu (–, ). Funkce F 1(x) a F 3(x) ukazují, najdeme-li jednu primitivní funkci F(x) k funkci f (x) v intervalu I, potom máme ihned nekonečně mnoho primitivních funkcí k funkci f (x) v intervalu I, protože stačí k funkci F(x) přičítat libovolné reálné konstanty.

258

Kapitola 8

Integrály

VĚTA (o vlastnostech primitivní funkce) a)

Je-li funkce f (x) spojitá v intervalu I, potom v intervalu I existuje primitivní funkce k funkci f (x).

b)

Jestliže F(x) je primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu I a C je reálné číslo, potom funkce G(x), definovaná předpisem G(x) = F(x) + C, je rovněž primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu I.

c)

Jsou-li F(x) a G(x) primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu I, potom existuje reálné číslo C takové, že pro všechna x z intervalu I platí G(x) = F(x) + C.

V této větě je zrádná část a), protože zaručuje existenci primitivní funkce ke každé spojité funkci v intervalu, ale nedává návod na vypočítání primitivní funkce. Lze nalézt mnoho elementárních funkcí, ke kterým musí existovat primitivní funkce, ale primitivní funkce není elementární, tudíž jednoduchou cestou se k ní nedostaneme.

PŘÍKLAD 8.2 Rozhodneme, že funkce F(x) = –2 . e–x –1 je primitivní funkce k funkci f (x) = 2 . e–x v intervalu (–, ), dále určíme všechny primitivní funkce k funkci f (x) = 2 . e–x v intervalu (–, ). Řešení Pro x  (–, ) určitě platí F'(x) = (–2 . e–x –1)' = (–2) . e–x . (–1) = 2 . e–x = f (x), proto funkce F(x) je primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu (–, ). Podle věty o vlastnostech primitivní funkce všechny primitivní funkce k funkci f (x) = 2 . e–x v intervalu (–, ) jsou všechny funkce G(x) = F(x) + C = –2 . e–x –1 + C, kde C probíhá všechna reálná čísla. Na obr. 8.1 jsou grafy některých primitivních funkcí k funkci f (x) = 2 . e–x v intervalu (–, ) a graf funkce F(x) je vyznačen tučnější čarou.

OBRÁZEK 8.1 Grafy některých primitivních funkcí k funkci f (x) = 2 . e –x

–2

–1,5

–1

–0,5

–2,5

0,5

1

–5 –7,5 –10 –12,5 –15

259

Kapitola 8



PŘÍKLAD 8.3 Rozhodneme, že funkce F(x) = sin (x) je primitivní funkce k funkci f (x) = cos (x) v intervalu (–, ), určíme všechny primitivní funkce k funkci f (x) = cos (x) v intervalu (–, ). Řešení Pro x z intervalu (–, ) určitě platí F'(x) = (sin (x))' = cos (x) = f (x), proto funkce F(x) je primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu (–, ). Podle předcházející věty všechny primitivní funkce k funkci f (x) = cos (x) v intervalu (–, ) jsou všechny funkce G(x) = F(x) + C = sin (x) + C, kde C probíhá všechna reálná čísla. Na obr. 8.2 jsou grafy některých primitivních funkcí k funkci f (x) = cos (x) v intervalu (–, ).

OBRÁZEK 8.2 Grafy některých primitivních funkcí k funkci f (x) = cos (x) –3 –2 –1

–4

–2

2 –1 –2 –3

260

4

Kapitola 8

Integrály

8.2

Neurčitý integrál DEFINICE

Neurčitý integrál funkce Neurčitý integrál funkce f (x) v intervalu I je

y f (x) dx = F(x) + C, kde F(x) je jedna

z primitivních funkcí k funkci f (x) v intervalu I a C je reálná konstanta procházející všechna reálná čísla.

Neurčitý integrál funkce f (x) je vlastně množina všech primitivních funkcí k funkci f (x), což vyjadřuje konstanta C, která probíhá všechna reálná čísla a kterou nazýváme integrační konstantou. Integrál se značí stylizovaným protaženým písmenem S (z latinského summa), tedy symbolem

y

se značí integrování a nazývá se integrační znak. Toto značení vytvořil Gottfried Wilhelm Leibniz. Symbol dx označuje proměnnou, podle které se integruje (původně označovalo infinitezimální hodnotu37), dnes však slouží jen jako ryze symbolické označení bez dalšího významu). Uvedeme přehled základních integrálů: je-li a reálné číslo, potom y a d x = a $ x + C v každém intervalu I  (–, ), n+1

y xnd x = nx+ 1 + C

buď n  N a v každém intervalu I  (–, ), nebo n  R – {–1} a v každém

intervalu I  (0, ),

y 1x d x = ln

x + C v každém intervalu I  (–, )  (0, ),

y e xd x = e x + C

v každém intervalu I  (–, ),

x je-li a  (0, )  (1, ), potom y a xd x = a + C v každém intervalu I  (–, ), ln a

y sin (x) d x = cos (x) + C


y cos (x) d x = sin (x) + C


y sin12 (x) d x = cotg (x) + C

v každém intervalu, který neobsahuje reálná čísla tvaru k

. , kde

k  Z,

y cos12 (x) d x = tg (x) + C

v každém intervalu, který neobsahuje reálná čísla tvaru  + k . , kde 2

k  Z, 37) Infinitezimální nebo nekonečně malé číslo je číslo, jehož absolutní hodnota je menší, než jakékoliv kladné reálné číslo.

261

Kapitola 8



y

1 d x = 2 $ x + C v každém intervalu I  (0, ), x

y

x dx = 2 $

y

3

x3 + C v každém intervalu I  0, ),

f '(x) d x = ln f (x) + C v každém intervalu, ve kterém je f (x)  0. f (x)

Poslední integrál se většinou mezi základními vzorci neuvádí, považujeme jej za velmi důležitý pro aplikace. Budeme-li mít za integrálem zlomek, v první fázi testujeme, zda čitatel není derivací jmenovatele. Porovnáme-li tento přehled s derivacemi základních elementárních funkcí, vidíme, že chybí integrály funkcí tangens, kotangens, přirozený logaritmus i logaritmus o základu a. I když si jsou některé funkce za integrálem graficky hodně podobné, mnohdy se takové integrály počítají velice rozdílnými způsoby.

PŘÍKLAD 8.4 Vypočteme y 2dx . Řešení Jde o konstantní funkci, proto y 2dx = 2 $ x + C .

PŘÍKLAD 8.5 Vypočteme

y3

5 dx .

Řešení Opět jde o konstantní funkci, proto

y3

5 dx = 3 5 $ x + C .

PŘÍKLAD 8.6 Vypočteme y x3d x . Řešení Použijeme vzorec pro integrál xn (v našem případě n = 3), tj.: 3+1

4

y x3d x = 3x+ 1 + C = x4

262

+C .

Kapitola 8

Integrály


y x14 d x .

Řešení Použijeme vzorec pro integrál xn, tj.: -4 + 1

-3

y x14 d x = y x-4d x = -x4 + 1 + C = -x 3 + C = - 3 $1x3 + C . PŘÍKLAD 8.8 Vypočteme

y5

x dx .

Řešení Opět použijeme vzorec pro integrál xn, tj.:

y5

6 5

1 5

5 6 +1 x dx = y x dx = x +C = 5 $ x +C = 5 $ x +C . 1 +1 6 6 5 1 5


y

x $ 3 x dx .


y

x $ 3 x dx = y x

1 + 31 2

5 6

11 6

6 11 +1 dx = y x dx = x +C = 6 $ x +C = 6 $ x +C . 5 +1 11 11 6 5 6


3

y x$

x

x dx .


y x$

3

x

x d x = y x1+

1 - 21 3

5 6

11 6

6 11 +1 dx = y x dx = x +C = 6 $ x +C = 6 $ x +C . 5 +1 11 11 6 5 6

263

Kapitola 8



PŘÍKLAD 8.11 x

y e xe+ 1 d x .

Vypočteme Řešení

Za integrálem je zlomek, určitě (e x + 1)' = e x, čitatel je derivací jmenovatele. Lze použít poslední vzorec

x

x

y e xe+ 1 d x = y (ee x ++11)' d x = ln e x + 1 + C = ln (e x + 1) + C , protože základní exponenciál-

ní funkce nabývá pouze kladných hodnot, proto vždy platí e x + 1 > 0.

PŘÍKLAD 8.12 Vypočteme y cotg (x) d x . Řešení Integrál funkce cotg (x) není mezi základními vzorci, využijeme definici této funkce, derivaci (sin(x))' = cos(x) a poslední vzorec pro výpočet neurčitých integrálů, tj.:

(x) (sin (x))' dx = y d x = ln sin (x) + C . y cotg (x) d x = y cos sin (x) sin (x)

VĚTA (o linearitě neurčitého integrálu) Jsou-li f (x) a g (x) funkce a k reálné číslo, potom při vhodné volbě integračních konstant platí v intervalu I:

y _ f (x) + g (x)i d x = y f (x) d x + y g (x) d x , y _ f (x) - g (x)i d x = y f (x) d x - y g (x) d x , y_k $

f (x)i d x = k $

y f (x) d x ,

pokud existuje pravá strana.

PŘÍKLAD 8.13 Vypočteme y tg (x) d x . Řešení Tento integrál budeme zřejmě počítat analogicky jako integrál funkce kotangens s tím, že zde je drobný problém v derivaci funkce kosinus, pro kterou platí (cos(x))' = –sin(x). Zlomek za integrálem rozšíříme číslem (–1) a číslo (–1) ze jmenovatele vytkneme před integrál, tj.:

sin (x) ( 1) $ sin (x) sin (x) (cos (x))' dx = y dx =-y dx =-y d x = -ln cos (x) + C . y tg (x) d x = y cos (x) (-1) $ cos (x) cos (x) cos (x)

264

Kapitola 8

Integrály

PŘÍKLAD 8.14 Vypočteme y tg2 (x) d x . Řešení V tomto případě čitatel není derivací jmenovatele, použijeme vztah mezi druhými mocninami funkcí sinus a kosinus, tzn. sin2(x) + cos2(x) = 1. Dostáváme: 2

2

2

sin (x) 1 cos (x) cos (x) dx = y - 2 d x = y 12 d x - y d x = tg (x) - x + C . y tg2 (x) d x = y cos 2 (x) cos (x) cos (x) cos2 (x) S 1

PŘÍKLAD 8.15 Vypočteme y cotg2 (x) d x . Řešení Budeme postupovat analogicky jako v předcházejícím příkladu, tj.: 2

2

2

(x) 1 sin (x) sin (x) dx = y - 2 d x = y 12 d x - y 2 d x = -cotg (x) - x + C . y cotg2 (x) d x = y cos sin2 (x) sin (x) sin (x) sin (x) S 1


y 1 +sincos(x)(x) d x .

Řešení Protože je (1 + cos(x))' = –sin(x), je čitatel až na znamení derivací jmenovatele. Zlomek za integrálem rozšíříme číslem (–1) a číslo (–1) ze jmenovatele vytkneme před integrál, tj.:

$ sin (x) (1 cos (x))' dx =-y + d x = -ln 1 + cos (x) + C . y 1 +sincos(x)(x) d x = - y (1-+1)cos (x) 1 + cos (x)


y 1 +1e-x d x .

Řešení Při výpočtu využijeme vztahu e-x = 1x a výsledku příkladu 8.11. Tj.: e

y 1 +1e-x d x = y

1

1 + 1x e

dx =

x

y e x 1+ 1 d x = y e xe+ 1 d x = ln (e x + 1) + C . ex

265

Kapitola 8



PŘÍKLAD 8.18 4 x 5 3 Určíme y b5 $ x + 7 + x + l d x . x

Řešení Použijeme větu o linearitě neurčitého integrálu a rozdělíme na několik integrálů:

y b5 $ x4 + 7 x + 5

x + 3 l d x = 5 $ y x4 d x + y 7 x d x + y x d x + 3 $ y 1 d x = x x 1 5

6 5

5 5 x x 6 = 5 $ x + 7 + x + 3 $ ln x + C = x5 + 7 + 5 $ x + 3 $ ln x + C . 5 ln 7 6 ln 7 6 5


y 3x -21 d x . x

Řešení Integrál podle čitatele roztrhneme na dva integrály, dostáváme:

x1- d x - y xy 3x -21 d x = y 3 x 2 d x - y 3 1 2 d x = yS 2 3

x

x

x

2 3

1

x3

4 3

1 3

3 4 dx = x - x + C = 3 $ x - 3 $ 3 x + C . 4 1 4 3 3

PŘÍKLAD 8.20 Vypočteme y (3 x + 5 x) 2 dx . Řešení Použijeme vzorec pro druhou mocninu, vlastnosti obecných exponenciálních funkcí a větu o linearitě neurčitého integrálu, tj.:

y (3 x + 5 x) 2 d x = y (3 x) 2 d x + 2 $ y 3 x $ 5 x d x + y (5 x) 2 d x = x x x = y 9 x d x + 2 $ y15 x d x + y 25 x d x = 9 + 2 $ 15 + 25 + C . ln 9 ln 15 ln 25

266

Kapitola 8

Integrály


y 2x1+ 1 d x .

Řešení Protože (2x + 1)' = 2, rozšíříme celý zlomek číslem 2 a 2 ze jmenovatele jako konstantu vytkneme před integrál, tj.:

d x = 1 $ ln 2x + 1 + C . y 2x1+ 1 d x = 21 $ y 2x2+ 1 d x = 21 $ y (22xx ++1)' 1 2


x dx . y x2 + 4

Řešení Protože (x2 + 4)' = 2 . x, rozšíříme celý zlomek číslem 2 a 2 ze jmenovatele jako konstantu vytkneme před integrál, tj.: 2

x d x = 1 $ y 2 $ x d x = 1 $ y (x + 4)' d x = 1 $ ln y x2 + 2 2 2 4 x2 + 4 x2 + 4

x2 + 4 + C = 1 $ ln (x2 + 4) + C , 2

absolutní hodnotu lze vynechat, protože pro všechna reálná čísla x platí x2 + 4 > 0.


2 dx . y x2 +x + 4x - 3

Řešení Protože (x2 + 4x – 3)' = 2 . x + 4 = 2 . (x + 2), rozšíříme celý zlomek číslem 2 a 2 ze jmenovatele jako konstantu vytkneme před integrál, tj.: 2

2 d x = 1 $ y 2 $ (x + 2) d x = 1 $ y (x + 4x - 3)' d x = 1 $ ln y x2 +x + 2 2 2 4x - 3 x2 + 4x - 3 x2 + 4x - 3

x2 + 4x - 3 + C .


3x +5

y e3xe+5 + 4 d x .

Řešení Za integrálem je zlomek, určitě (e3x + 5 + 4)' = e3x + 5 . 3 = 3 . e3x + 5, rozšíříme celý zlomek číslem 3 a 3 ze jmenovatele jako konstantu vytkneme před integrál, tj.: 3x +5

3x +5

3x +5

d x = 1 $ ln e3x +5 + 4 + C = 1 $ ln (e3x +5 + 4) + C , y e3xe+5 + 4 d x = 31 $ y e33x$+e5 + 4 d x = 31 $ y (ee3x+5 ++ 4)' 3 3 4 absolutní hodnotu lze vynechat, protože základní exponenciální funkce nabývá pouze kladných hodnot, tudíž vždy platí e3x + 5 + 4 > 0.

267

Kapitola 8



VĚTA (o integraci per partes) Jsou-li f (x) a g (x) funkce, potom při vhodné volbě integračních konstant platí v intervalu I:

y f '(x) $ g (x) d x = f (x) $ g (x) - y f (x) $ g'(x) d x , pokud existuje pravá strana.

Název této metody je z latinského jazyka a slova per partes znamenají v jazyce českém po částech. Použijeme-li integraci per partes, budeme její aplikaci zapisovat:

y f '(x) $ g (x) d x =

f '=f f =f = f (x) $ g (x) - y f (x) $ g'(x) d x . g = f g' = f

Používáme-li větu o integraci per partes, jde o to, abychom v součinu dvou funkcí jednu z funkcí uměli derivovat a druhou integrovat a aby nově vzniklý integrál byl výrazně jednodušší.

PŘÍKLAD 8.25 Vypočteme y x $ e x d x . Řešení Abychom zjednodušili funkci za integrálem budeme integrovat exponenciální funkci e x, tj.:

y x $ ex dx =

f ' = ex f = ex = x $ e x - y1 $ e x d x = x $ e x - y e x d x = x $ e x - e x + C = (x - 1) $ e x + C . g = x g' = 1

PŘÍKLAD 8.26 Spočteme y (2x + 3) $ sin (x) d x . Řešení Abychom zjednodušili funkci za integrálem budeme integrovat funkci sin(x). Dostáváme:

y (2x + 3) $ sin (x) d x =

f ' = sin (x) f = -cos (x) = -(2x + 3) $ cos (x) + 2 $ y cos (x) d x = g = 2x + 3 g ' = 2 = -(2x + 3) $ cos (x) + 2 $ sin (x) + C .

Příklady naznačují, že větu o integraci per partes standardně používáme v případech integrálů

y P1(x) $ e x d x , y P1(x) $ sin (x) d x a y P1(x) $ cos (x) d x , kde P (x) je polynom prvního stupně. Základní 1

exponenciální funkci, funkce sinus a kosinus integrujeme, funkci P1(x) derivujeme. Integraci per partes můžeme použít několikrát za sebou.

268

Kapitola 8

Integrály

PŘÍKLAD 8.27 Vypočteme y x3 $ cos (x) d x . Řešení I v tomto případě budeme funkci kosinus integrovat a funkci x3 derivovat. Dostáváme:

y x3 $ cos (x) d x =

f ' = cos (x) f = sin (x) = x3 $ sin (x) - 3 $ y x2 $ sin (x) d x = g = x3 g' = 3 $ x2

=

=

f ' = sin (x) f = -cos (x) = x3 $ sin (x) - 3 $ a-x2 $ cos (x) + 2 $ y x $ cos (x) d x k = g = x2 g' = 2 $ x

f ' = cos (x) f = sin (x) = x3 $ sin (x) + 3 $ x2 $ cos (x) - 6 $ a x $ sin (x) - y sin (x) d x k = g=x g' = 1 = x3 $ sin (x) + 3 $ x2 $ cos (x) - 6 $ x $ sin (x) - 6 $ cos (x) + C .

PŘÍKLAD 8.28 Vypočteme y (2x2 + 3x - 1) $ e x d x . Řešení I v tomto případě budeme základní exponenciální funkci integrovat a polynom druhého stupně derivovat. Dostáváme:

y (2x2 + 3x - 1) $ e x d x =

f ' = ex f = ex = (2x2 + 3x - 1) $ e x - y (4x + 3) $ e x d x = 2 g = 2x + 3x - 1 g' = 4x + 3

=

f ' = ex f = ex = (2x2 + 3x - 1) $ e x - a(4x + 3) $ e x - 4 $ y e x d x k = g = 4x + 3 g' = 4

= (2x2 + 3x - 1) $ e x - _(4x + 3) $ e x - 4 $ e xi + C = (2x2 - x) $ e x + C .

Standardní použití integrace per partes je pro integrály

y Pn (x) $ e x d x , y Pn (x) $ sin (x) d x

a

y Pn (x) $ cos (x) d x , kde P (x) je polynom n–tého stupně. Základní exponenciální funkci, funkn

ce sinus a kosinus integrujeme, funkci Pn(x) derivujeme s tím, že větu o integraci per partes musíme použít n–krát za sebou. První nestandardní použití integrace per partes je pro integrály

y Pn (x) $ ln x d x , kde P (x) je n

polynom n–tého stupně. Zde funkci Pn(x) integrujeme a funkci ln x derivujeme.

269

Kapitola 8



PŘÍKLAD 8.29 Vypočteme y x $ ln x d x . Řešení Půjde o první nestandardní použití integrace per partes, tj.: 2 f =x 2 2 = x $ ln x - 1 $ y x2 $ 1 d x = y x $ ln x d x = 1 2 2 S x g = ln x g' = x x

f '= x

2 2 2 2 = x $ ln x - 1 $ x + C = x $ ln x - x + C . 2 2 2 2 4

PŘÍKLAD 8.30 Vypočteme y ln x d x . Řešení Pro integraci per partes by měl být za integrálem součin dvou funkcí, ale to je jednoduché, protože ln x = 1 . ln x. Z toho vyplývá, že jde o první nestandardní použití integrace per partes. Dostáváme:

y ln x d x = y1 $ ln x d x =

f ' =1

f =x = x $ ln x - y x $ 1 d x = x $ ln x - x + C . x g = ln x g' = 1 S x 1

PŘÍKLAD 8.31 Vyřešíme y (9x2 - 8x + 3) $ ln x d x . Řešení Půjde o první nestandardní použití integrace per partes, tj.:

f ' = 9x2 - 8x + 3 f = 3x3 - 4x2 + 3x = y (9x - 8x + 3) $ ln x d x = g' = 1 g = ln x x 2

= (3x3 - 4x2 + 3x) $ ln x - y (3x3 - 4x2 + 3x) $ 1 d x = x 1 4444 2 4444 3 3x2 - 4x + 3

= (3x3 - 4x2 + 3x) $ ln x - (x3 - 2x2 + 3x) + C = (3x3 - 4x2 + 3x) $ ln x - x3 + 2x2 - 3x + C .

270

Kapitola 8

Integrály


y lnx3x d x .

Řešení I v tomto případě jde o první nestandardní použití integrace per partes, i když funkce za integrálem neobsahuje polynom, ale funkci 13 . Dostáváme: x

y

-2 f ' = 13 = x-3 f = x = - 1 2 -2 x 2$ x ln x d x = = - 1 2 $ ln x + 1 $ y 12 $ 1 d x = 2 x3 2$ x x x 1 S g = ln x g' = x 1

x3

= - 1 2 $ ln x + 1 $ e- 1 2 o + C =- 1 2 $ ln x - 1 2 + C . 2 2$ x 2$ x 2$ x 4$ x


y3

x $ ln x d x .

Řešení I zde půjde o první nestandardní použití integrace per partes, i když funkce za integrálem neobsahuje polynom, ale funkci 3 x . Získáváme:

f '= 3 x = x

y3

x $ ln x d x = g = ln x

1 3

4 3

3 f = x = 3$ x $ x 4 4 3 = 3 $ x $ x $ ln x - 3 $ y x $ 3 x $ 1 d x = 3 4 4 x 1 44 2 44 3 x g' = 1 x 3

3 3 3 3 = 3 $ x $ x $ ln x - 3 $ 3 $ x $ x + C = 3 $ x $ x $ ln x - 9 $ x $ x + C . 4 4 4 4 16

Druhé nestandardní použití integrace per partes je převod výpočtu integrálu na rovnici, ve které je neznámou počítaný integrál.

271

Kapitola 8



PŘÍKLAD 8.34 Vypočteme y sin2 (x) d x . Řešení Protože sin2(x) = sin(x) . sin(x) budeme funkci sin(x) jak integrovat, tak i derivovat. Tedy:

y sin2 (x) d x =

f ' = sin (x) f = -cos (x) = -sin (x) $ cos (x) + y cos2 (x) d x = S g = sin (x) g' = cos (x) 1 - sin2 (x)

= -sin (x) $ cos (x) + y 1d x - y sin2 (x) d x . Podíváme-li se na celkové vyjádření y sin2 (x) d x = -sin (x) $ cos (x) + y 1d x - y sin2 (x) d x , je možné na ně pohlédnout jako na rovnici, ve které je neznámou y sin2 (x) d x . Tento integrál z pravé strany převedeme na levou a dostáváme:

2 $ y sin2 (x) d x =-sin (x) $ cos (x) + y 1d x , celou rovnici vydělíme číslem 2 a výsledek je:

y sin2 (x) d x = - 21 $ sin (x) $ cos (x) + 2x + C , PŘÍKLAD 8.35 Určíme y sin (x) $ e x d x . Řešení I tento integrál vypočteme druhým nestandardním použitím integrace per partes. Obě funkce jdou snadno derivovat i integrovat, je jedno, kterou budeme integrovat a kterou derivovat. Větu o integraci per partes použijeme dvakrát za sebou. Dostáváme:

y sin (x) $ e x d x =

f ' = ex f = ex = sin (x) $ e x - y cos (x) $ e x d x = g = sin (x) g' = cos (x)

=

f ' = ex f = ex = sin (x) $ e x - cos (x) $ e x - y sin (x) $ e x d x . g = cos (x) g' = -sin (x)

Máme rovnici y sin (x) $ e x d x = sin (x) $ e x - cos (x) $ e x - y sin (x) $ e x d x , ve které je neznámou

y sin (x) $ e x d x , převedeme jej na levou stranu a dořešíme rovnici, tj.: 2 $ y sin (x) $ e x d x = sin (x) $ e x - cos (x) $ e x , tedy: x

y sin (x) $ e x d x = 21 $ sin (x) $ e x - 21 $ cos (x) $ e x + C = e2

272

$ (sin (x) - cos (x)) + C .

Kapitola 8

Integrály

Při prvním použití integrace per partes jsme integrovali základní exponenciální funkci a při druhé aplikaci taktéž, pokud bychom derivovali tuto funkci, museli bychom ji derivovat při obou užitích.

Integrál z příkladu 8.34 lze určit i jinými způsoby, ale integrál z příkladu 8.35 nelze vypočítat jiným způsobem. Je zřejmé, že obdobným způsobem jako integrál z příkladu 8.35 bychom vypočítali i y cos (x) $ e x d x .

VĚTA (o integraci substitucí) Jsou-li f (x) a g (x) funkce takové, že f ( y) je spojitá ve všech bodech y = g (x) pro všechna x z intervalu I a v intervalu I existuje g '(x), potom při vhodné volbě integračních konstant platí v intervalu I:

y f ( g (x)) $ g'(x) d x = y f ( y) d y , kde do primitivní funkce na pravé straně za y dosadíme g (x).

Použijeme-li větu o integraci substitucí, ve formuli pro substituci g (x) nahradíme y a místo g '(x) dx zapíšeme dy, tj.

( g (x)) $ g'(x) d x = y f ( y) d y. Z tohoto důvodu při aplikaci věty y fSS y

dy

o integraci substitucí zapisujeme obě substituční formule při výpočtu integrálu takto

y f ( g (x)) $ g'(x) d x =

y = g (x) = y f ( y) d y . d y = g'(x) d x

Jak vidíme ve znění věty o integraci substitucí, musíme dobře vybrat funkci g (x), aby ve vyjádření funkce za integrálem byla derivace funkce g (x).

PŘÍKLAD 8.36 Vypočteme y 2 $ sin (2x + 1) d x . Řešení Protože (2x + 1)' = 2, nabízí se nám substituce y = 2x + 1. Použijeme ji a dostáváme:

? y 2 $ sin (2x + 1) d x = dyy= 22x +d x1 = y sin ( y) dy = -cos ( y) + C = -cos (2x + 1) + C , = S g'(x) g (x)

na závěr jsme za y dosadili g (x) = 2x + 1.

273

Kapitola 8



PŘÍKLAD 8.37 Určíme y esin (x) $ cos (x) d x . Řešení Protože (sin(x))' = cos(x), použijeme substituci y = sin(x), tedy:

y esin(x) $ cos (x) d x =

y = sin (x) = y e y d y = e y + C = esin (x) + C . d y = cos (x) d x

PŘÍKLAD 8.38 Určíme

3

y lnx x d x .

Řešení Protože (ln x)' = 1 , použijeme substituci y = ln x, tedy: x

y

y = ln x 4 y4 ln3 x d x = = y y3 d y = + C = ln x + C . 1 x 4 4 dy = d x x

PŘÍKLAD 8.39 2

Vypočteme

tg (x) dx . y cos 2 (x)

Řešení Protože (tg (x))' =

1 , použijeme substituci y = tg (x), tedy: cos2 (x)

y

y = tg (x) y3 tg2 (x) tg3 (x) d x = = y y2 d y = + C = +C . 1 2 3 3 dy = dx cos (x) 2 cos x

PŘÍKLAD 8.40 2

Vypočteme

(x) dx . y cotg 2 sin (x)

Řešení

1 , ale za integrálem máme pouze 1 . Druhou substituční sin2 (x) sin2 (x) rovnici vynásobíme číslem (–1), dostáváme:

Určitě platí (cotg (x))' =-

y

274

cotg2 (x) dx = sin2 (x)

y = cotg (x)

y3 cotg3 (x) 2 2 +C . d y = - 12 d x = y y $ (-1) d y = - y y d y = - 3 + C = 3 sin x 1 dx (-1) d y = sin2 x

Kapitola 8

Integrály

PŘÍKLAD 8.41 Vypočteme y (3x - 7) 25 $ x d x . Řešení Určitě platí (3x – 7)' = 3. Za integrálem nemáme číslo 3, ale pouze x, proto druhou substituční rovnici vynásobíme číslem 1 . Tedy dostáváme: 3

y = 3x - 7

y (3x - 7)

25

$ x dx =

3 d x = y y25 $ 1 d y = 1 $ y y25 d y = 3 3 dx

dy = 1 dy = 3

y26 y26 (3x - 7) 26 =1$ +C = +C = +C . 3 26 78 78

PŘÍKLAD 8.42 Vypočteme y (2x2 + 3) 30 $ x d x . Řešení Určitě platí (2x 2 + 3)' = 4

. x. Za integrálem nemáme 4 . x, ale pouze x, proto druhou sub-

stituční rovnici vynásobíme číslem 1 . Tedy dostáváme: 4

y = 2x 2 + 3

y (2x2 + 3) 30 $ x d x =

d y = 4 $ x d x = y y30 $ 1 d y = 1 $ y y30 d y = 4 4 1 dy = x d x 4 y31 y31 (2x2 + 3) 31 =1$ +C = +C = +C . 4 31 124 124

275

Kapitola 8




y (2x -1 3) 4 d x .

Řešení Určitě platí (2x – 3)' = 2. Za integrálem nemáme číslo 2, proto druhou substituční rovnici vynásobíme číslem 1 . Tedy dostáváme: 2

y

1 dx = (2x - 3) 4

y = 2x - 3 dy =

2 dx =

1 dy = 2

y y14 $ 21 dy = 21 $ y y-4 dy =

dx

y-3 1 =1$ +C =- 1 3 +C =+C . 2 (-3) 6$ y 6 $ (2x - 3) 3


y (4x +3 5) 6 d x .

Řešení Určitě platí (4x + 5)' = 4. Za integrálem nemáme číslo 4, proto druhou substituční rovnici vynásobíme číslem 1 . Tedy dostáváme: 4

y

3 dx = (4x + 5) 6

y = 4x + 5 dy = 1 dy = 4

4 dx =

y y36 $ 41 dy = 43 $ y y-6 dy =

dx

y-5 3 =3$ +C =- 3 5 +C =+C . 4 (-5) 20 $ y 20 $ (4x + 5) 5

276

Kapitola 8

Integrály


y4

5x - 3 d x .

Řešení Určitě je (5x – 3)' = 5, zvolíme substituci y = 5x – 3, dostáváme:

y = 5x - 3

y

4

5x - 3 d x =

dy = 1 dy = 5

5 dx = 1 $ 5 dx

y4

y dy = 1 $ y y dy = 5 1 4

5 4

y 4 $ 4 y5 4 $ 4 (5x - 3) 5 =1$ +C = +C = +C . 5 5 25 25 4


cos (x) dx . y sin 3 (x)

Řešení Uvedeme dvě možnosti výpočtu tohoto integrálu.

a)

Protože (sin(x))' = cos(x), použijeme substituci y = sin(x), tj.:

cos (x) dx = y sin 3 (x)

y = sin (x) d y = cos (x) d x

=

y y13 dy = y y-3 dy = =

b)

y-2 1 +C =- 1 2 +C =+C . -2 2$ y 2 $ sin2 (x)

Využijeme definici funkce kotangens a dostáváme:

y = cotg (x)

y

cos (x) cos (x) dx = y $ 1 d x = y cotg (x) $ 12 d x = 3 sin (x) sin2 (x) sin (x) sin (x)

d y = - 12 d x = sin x 1 dx (-1) d y = sin2 x

= y y $ (-1) d y = - y y d y = -

y2 cotg2 (x) +C =+C . 2 2

Obě cesty výpočtu je možné použít (obě primitivní funkce se liší o konstantu), vždy jsme museli aplikovat větu o integraci substitucí.

277

Kapitola 8




x) $ cos (x) dx . y sin (cos 5 (x)

Řešení Protože platí (cos(x))' = –sin(x), volíme substituci y = cos(x). Dostáváme:

y

sin (x) $ cos (x) sin (x) dx = y dx = cos5 (x) cos4 (x)

y = cos (x)

d y =-sin (x) d x = - y 14 d y = - y y-4 d y = y (-1) d y = sin (x) d x

=-

y-3 1 +C = 1 3 +C = +C . -3 3$ y 3 $ cos3 (x)


y (1 -sincos(x()x)) 3 d x .

Řešení Protože platí (1 – cos(x))' = sin(x), volíme substituci y = 1 – cos(x). Dostáváme:

y (1 -sincos(x()x)) 3 d x =

y = 1 - cos (x) dy =

sin (x) d x

=

y y13 dy = y y-3 dy = =

y-2 1 +C =- 1 2 +C =+C . -2 2$ y 2 $ (1 - cos (x)) 2


y

e

x

x

dx .

Řešení Protože ` x j' =

1 , použijeme substituci y = 2$ x

x , tedy:

y= x

y

278

e

x

x

dx = y e

x

$ 1 dx = x

1 d x = 2 $ y e y dy = 2 $ e y + C = 2 $ e 2$ x 2 $ d y = 1 dx x dy =

x

+C .

Kapitola 8

Integrály


y

sin `3 x2 j 3

x

dx .

Řešení 2 1 Určitě platí `3 x2 j' = ` x 3 j' = 2 $ x- 3 = 2 , proto použijeme substituci y = 3 3$3 x

sin ` x j 3

y

3

2

x

d x = y sin `3 x2 j $ 3 1 d x = x

3

x2 , tj.:

y = 3 x2 2 d x = 3 $ y sin ( y) d y = 2 3$3 x 3 $ d y = 1 dx 3 2 x dy =

= - 3 $ cos ( y) + C = - 3 $ cos `3 x2 j + C . 2 2


y3

x2 + 6x - 5 $ (x + 3) d x .

Řešení Určitě je (x 2 + 6x – 5)' = 2x + 6 = 2 tzn.:

. (x + 3), proto zvolíme substituci y = x 2 + 6x – 5,

y = x 2 + 6x - 5

y3

x2 + 6x - 5 $ (x + 3) d x =

dy = 1 dy = 2

(2x + 6) d x = 1 $ 2 (x + 3) d x

y3

y dy = 1 $ y y dy = 2 1 3

4 3

y 3 $ 3 y4 3 $ 3 (x2 + 6x - 5) 4 =1$ +C = +C = +C . 2 4 8 8 3

279

Kapitola 8



PŘÍKLAD 8.52 Vypočteme y 6x $ sin (x2 + 3) d x . Řešení Určitě (x 2 + 3)' = 2x, proto volíme substituci y = x 2 + 3, tj.:

y = x2 + 3

y 6x $ sin (x2 + 3) d x =

d y = 2x d x = 6 $ y sin ( y) d y = 3 $ y sin ( y) d y = 2 1 dy = x dx 2 = -3 $ cos ( y) + C = -3 $ cos (x2 + 3) + C .

8.3

Určitý integrál DEFINICE

Určitý integrál Jestliže funkce f (x) je definována v uzavřeném intervalu a, b, potom určitý integrál b

funkce f (x) od a do b je reálné číslo

y f (x) d x = F (b) - F (a) , kde F(x) je jedna z pria

mitivních funkcí k funkci f (x) v intervalu a, b. Reálné číslo a je dolní mez a reálné číslo b je horní mez tohoto určitého integrálu.

Abychom mohli určit určitý integrál, je nutné nalézt primitivní funkci, tzn. vypočítat neurčitý integrál. Výpočet určitého integrálu budeme zapisovat: b

y f (x) d x = 6 F (x)@ba = F (b) - F (a) ,

a

kde F(x) je jedna z primitivních funkcí k funkci f (x) v intervalu a, b (po výpočtu neurčitého integrálu zpravidla volíme primitivní funkci tak, že položíme C = 0). Derivace funkce f (x) v bodě c představuje z geometrického hlediska směrnici tečny ke grafu funkce f (x) v bodě [c, f (c)]. Určitý integrál funkce f (x) od a do b roven ploše obrazce omezeného přímkami x = a, x = b, osou x a grafem funkce f (x) s tím, že plocha nad osou x je se znamením + a plocha pod osou x je se znamením –. Na obr. 8.3 (a) představuje graficky plocha S hodnotu určitého integrálu z nezáporné funkce f (x) od a do b.

280

Kapitola 8

Integrály

OBRÁZEK 8.3 e2

b

(a)

Geometrický význam

y f (x) d x

(b)

Geometrický význam

y 1x d x

a

a

1

y

0,8 f (x)

0,6 0,4

S

0,2

a

b

x

1

2

3

4

5

6

7

PŘÍKLAD 8.53 e2

Vypočteme

y 1x d x .

1

Řešení Neurčitý integrál y 1 d x je základní vzorec, tj. y 1 d x = ln x + C . Neurčitý integrál představuje x x množinu všech primitivních funkcí, budeme vždy vybírat primitivní funkci pro konstantu C = 0. Nyní dopočítáme určitý integrál, tj.: e2

y 1x d x = 6ln

1

x @1 = ln (e2) - ln1 = 2 - 0 = 2 . e2

Při závěrečném výpočtu jsme použili vlastnosti funkce přirozený logaritmus (přesněji její vztah se základní exponenciální funkcí), tj. ln (e2) = 2 a ln 1 = 0. Pro ilustraci na obr. 8.3 (b) uvádíme plochu, jejíž velikost je rovna tomuto integrálu.

PŘÍKLAD 8.54 e

Vypočteme

4

y lnx x d x .

1

Řešení Nejprve vypočteme

4

y lnx x d x . Protože (ln x)' =

1 , použijeme podobně jako v příkladu 8.38 x

substituci y = ln x, tedy: 4

y lnx x d x =

y = ln x 5 y5 y 4 d y = + C = ln x + C . = y 1 dy = d x 5 5 x

281

Kapitola 8



Nyní dopočítáme určitý integrál podle definice, tj.: e

y lnx x d x = = ln5 x G 4

5

1

e

5 5 5 5 = ln e - ln 1 = 1 - 0 = 1 , 5 5 5 5 5 1

užili jsme opět vlastnosti přirozeného logaritmu, tzn. ln e = 1 a ln 1 = 0. Pro ilustraci na obr. 8.4 (a) uvádíme plochu, jejíž velikost je rovna tomuto integrálu.

PŘÍKLAD 8.55 2

Vypočteme

y (-x4 + 3x2 + 12) dx . -1

Řešení Nejprve vypočteme neurčitý integrál, tzn.:

y (-x4 + 3x2 + 12) d x = - y x4 d x + 3 $ y x2 d x + y12 d x = 5 3 5 = - x + 3 $ x + 12 $ x + C = - x + x3 + 12 $ x + C . 5 3 5

Podle definice určitého integrálu dostáváme: 2

y (-x4 + 3x2 + 12) d x = =- x5

5

-1

+ x3 + 12 $ x G = 2

-1

5 (-1) 5 = - 2 + 23 + 12 $ 2 - e+ (-1) 3 + 12 $ (-1)o = 192 . 5 5 5

Na obr. 8.4 (b) je graficky znázorněna plocha odpovídající tomuto určitému integrálu.

OBRÁZEK 8.4 2

e

4 y ln x(x) d x 1

(a)

y (-x4 + 3x2 + 12) d x

(b)

-1

0,35

14

0,3

12

0,25

10

0,2

8

0,15

6

0,1

4

0,05

2 0,5

282

1

1,5

2

2,5

–1

–0,5

0,5

1

1,5

2

Kapitola 8

Integrály

PŘÍKLAD 8.56

y _ x2 -

x i dx .

1

Vypočteme

0

Řešení Nejprve vypočteme neurčitý integrál, tzn.:

y _ x2 -

x i d x = y x2 d x -

y

3 3 x dx = x - 2 $ x + C . 3 3

Podle definice určitého integrálu je:

y _ x2 1

0

3 3 3 3 x i dx = 1 - 2 $ 1 - d 0 - 2 $ 0 n = 1 - 2 =- 1 . 3 3 3 3 3 3 3

Pro ilustraci na obr. 8.5 (a) uvádíme plochu, jejíž velikost je rovna tomuto integrálu. Pro úplnost uveďme, že celá plocha je pod osou x, proto je určitý integrál záporný.

OBRÁZEK 8.5 1

y_x

(a)

2

0

0,2

r 2

- x id x

0,4

0,6

y sin (x) d x

(b)

- r2

0,8

1

1

–0,1

0,5

–0,2 –1

–1,5

–0,3 –0,4

0,5

–0,5 –0,5

1

1,5

–1

PŘÍKLAD 8.57 r 2

Vypočteme

y sin (x) d x . - r2

Řešení Nejprve vypočteme neurčitý integrál (v tomto případě jde o základní vzorec), tzn.: r 2

y sin (x) d x = cos (x) + C , proto y sin (x) d x = 8cos (x)B- r2

r 2 r 2

= cos b  l - cos b-  l = 0 - 0 = 0 . 2 2 S 1 44 2 44 3 0 0

Na obr. 8.5 (b) je plocha, jejíž velikost představuje tento určitý integrál. Vidíme, že velikosti plochy nad osou x a plochy pod osou x jsou stejné, proto je určitý integrál 0.

283

Kapitola 8



8.4

Neřešené příklady s výsledky Příklad 1: Určete integrály:

a)

y x15 d x ,

j)

y x +x1 d x ,

b)

y 2 $1 x dx ,

k)

y ^1 + x2h2 dx ,

c)

y_

x + 1i $ _ x - x + 1i d x ,

d)

y

x - x3 $ e x + x2 d x , x3

e)

y b 1 -x x l d x ,

f)

y (1 - x3 )

g)

y x -32 d x ,

h)

ye 3 1 2 -

i)

y 3x -21 d x ,

2

l)

y x+

x + 3 x dx , x2

m)

yb

x + 1 ld x , x

n)

y e3

x - 1 od x , x

o)

y

p)

ye

_ x - 1i dx , x 2

2

dx ,

x

x

x

1 dx , o x3

1 - 1 dx , o 4 x x3

q)

y ^ x x-3 1h

g)

2 $ x + 4 +C , x

h)

3 $ 3 x + 2 +C , x

2

2

dx .

x

Výsledky

a)

- 1 4 +C , 4$ x

b)

284

x +C , x5 + x + C ,

i)

3 $ 3 x -3 $ 3 x +C , 4

2

j)

2 $ (x + 3) $ x +C , 3

k)

3 5 x + 2 $ x + x +C , 3 5

c)

2$

d)

-

e)

x - 2 $ ln x - 1 + C , x

f)

2x2 - 12x - 6 + C , 3$ x

5

3$

x

3

- e x + ln x + C ,

l)

ln x - 2 - 33 2 + C , x 2$ x

Kapitola 8

Integrály

x3 + ln x + C ,

m)

2$

n)

3 $ 3 x4 - 2 $ x + C , 4

o)

x - 4 $ x + ln x + C ,

3

p)

2 $ x - 4 $ 4 x +C ,

q)

x2 - 2 $ ln x - 1 + C . 2 2 $ x2

Příklad 2: Vypočtěte integrály:

a)

y x +1 5 d x ,

b)

x) $ cos (x) dx , y sin (cos 2 (x)

c)

y 5 -e e-x d x ,

d)

l)

y 3 -2xx2 d x ,

m)

y 3x52 x+ 1 d x

n)

y 5 +e3 $ e2x d x ,

y 3 -e2 $ e x d x ,

o)

y x33-x 2-x +2 4 d x ,

e)

y 3x 1- 4 d x ,

p)

(x) dx , y -1 sin + cos (x)

f)

y x33-x x--114 d x ,

q)

y 1-cossin(x()x) d x ,

g)

1 dx , y x22-x x +5

r)

(x) dx , y sin1 +(x)sin$ cos 2 (x)

h)

y x22-x 7 d x ,

s)

) $ cos (x) dx , y sin1 +(xcos 2 (x)

i)

y 2 -14x d x ,

t)

y tg (2x) d x ,

j)

y 2x 1+ 7 d x ,

u)

y cotg (3x) d x ,

k)

y 7 -3x3x3 d x ,

-x

x

2

2x

2

2

Výsledky

a)

ln x + 5 + C ,

d)

- 1 $ ln 3 - 2 $ e x + C , 2

b)

-ln cos (x) + C ,

e)

1 $ ln 3x - 4 + C , 3

c)

-ln 3 - 2 $ e x + C ,

f)

ln x3 - x - 14 + C ,

285

Kapitola 8



g)

ln x2 - x + 5 + C ,

o)

ln x3 - 2x + 4 + C ,

h)

ln x2 - 7 + C ,

p)

-ln -1 + cos (x) + C ,

i)

- 1 $ ln 2 - 4x + C , 4

q)

-ln 1 - sin (x) + C ,

j)

1 $ ln 2x + 7 + C , 2

r)

1 $ ln _1 + sin2 (x)i + C , 2

k)

- 1 $ ln 7 - 3x3 + C , 3

s)

- 1 $ ln _1 + cos2 (x)i + C , 2

-ln 3 - x2 + C ,

t)

- 1 $ ln cos (2x) + C , 2

m)

5 $ ln ^3x2 + 1h + C , 6

u)

1 $ ln sin (3x) + C . 3

n)

1 $ ln ^5 + 3 $ e2xh + C , 6

l)

Příklad 3: Spočtěte integrály:

286

a)

y x $ cos (x) d x ,

j)

y x3 $ ln x d x ,

b)

y (5x - 3) $ cos (x) d x ,

k)

y (x2 + x - 2) $ ln x d x ,

c)

y x2 $ sin (x) d x ,

d)

y x2 $ e x d x ,

m)

y x7 $ ln x d x ,

e)

y x3 $ sin (x) d x ,

n)

y lnx7x d x ,

f)

y x3 $ e x d x ,

o)

y lnxx d x ,

g)

y x2 $ cos (x) d x ,

p)

y (1 + ln x) d x ,

h)

y (x3 + x2) $ e x d x ,

q)

y cos (x) $ e x d x ,

i)

y (x2 + 2x) $ e x d x ,

r)

y cos2 (x) d x .

l)

y (6x2 + 5) $ ln x d x ,

Kapitola 8

Integrály

Výsledky

a)

x $ sin (x) + cos (x) + C ,

b)

(5x - 3) $ sin (x) + 5 $ cos (x) + C ,

c)

-x2 $ cos (x) + 2 $ x $ sin (x) + 2 $ cos (x) + C ,

d)

x2 $ e x - 2 $ x $ e x + 2 $ e x + C = (x2 - 2x + 2) $ e x + C ,

e)

-x3 $ cos (x) + 3 $ x2 $ sin (x) + 6 $ x $ cos (x) - 6 $ sin (x) + C ,

f)

x3 $ e x - 3 $ x2 $ e x + 6 $ x $ e x - 6 $ e x + C = (x3 - 3x2 + 6x - 6) $ e x + C ,

g)

x2 $ sin (x) + 2 $ x $ cos (x) - 2 $ sin (x) + C ,

h)

x3 $ e x - 2 $ x2 $ e x + 4 $ x $ e x - 4 $ e x + C = (x3 - 2x2 + 4x - 4) $ e x + C ,

i)

x2 $ e x + C ,

j)

x4 $ ln x - x4 + C , 4 16

k) l)

3 2 3 2 e x + x - 2x o $ ln x - x - x + 2x + C , 3 2 9 4 3

(2x3 - 5x) $ ln x - 2x - 5x + C , 3

m)

x8 $ ln x - x8 + C , 8 64

n)

- 1 6 $ ln x - 1 6 + C , 6$ x 36 $ x

o)

2 $ x $ ln x - 4 $ x + C ,

p)

x $ ln x + C ,

q)

e x $ (sin (x) + cos (x)) + C , 2

r)

1 $ sin (x) $ cos (x) + x + C . 2 2

287

Kapitola 8



Příklad 4: Určete integrály:

a)

y cos b 2x 5+ 7 l dx ,

k)

b)

y cos (1 - 2x) d x ,

l)

c)

y (x -1 2) 3 d x ,

m)

y sin (2x - 7) d x ,

d)

y (2x -1 5) 3 d x ,

n)

tg (x) dx , y cos 2 (x)

e)

y e3x+5 d x ,

o)

y cosintg2 ((xx)) d x ,

f)

(x) dx , y (1 -sin cos (x)) 2

p)

y sin3 (x) $ cos (x) d x ,

g)

y sin (x) $

q)

y sin (x) $ cos4 (x) d x ,

h)

y (1 - x) 5 d x ,

r)

y

i)

y (2x - 3) $

s)

y (x + 1) $ 1ln (x + 1) d x .

j)

y e1-3x d x ,

1 - cos (x) d x ,

x2 - 3x d x ,

2

y x $ ex dx , y e x $ sin (e x) d x ,

3

5

ln x d x , x

Výsledky

288

a)

5 $ sin b 2x + 7 l + C , 2 5

i)

2 $ (x2 - 3x) 3 +C , 3

b)

- 1 $ sin (1 - 2x) + C , 2

j)

- 1 $ e1-3x + C , 3

c)

-

1 +C , 2 $ (x - 2) 3

k)

1 $ ex + C , 2

d)

-

1 +C , 4 $ (2x - 5) 2

l)

e)

1 $ e3x+5 + C , 3

f)

-

g)

2 $ (1 - cos (x)) 3 +C , 3

h)

-

1 +C , 1 - cos (x)

(1 - x) 6 +C , 6

2

-cos (e x) + C ,

m)

- 1 $ cos (2x - 7) + C , 2

n)

tg4 (x) +C , 4

o)

-

p)

sin4 (x) +C , 4

cotg6 (x) +C , 6

Kapitola 8

Integrály

cos5 (x) +C , 5

q)

-

r)

2 $ ln3 x + C , 3

s)

ln ln (x + 1) + C .

j)

y x3 $ ln x d x ,

Příklad 5: Vypočtěte integrály: 1

a)

e

y x $ ex dx , 0

1 e

b)

6

y lnx x d x ,

3

y (4x3 - x2 + 2x - 5) d x ,

k)

1

-3

3

c)

y x $ (1 - x) 2 d x ,

2

y (x2 - x + 5) d x ,

l)

1

-1 r

d)

y 2 $ sin (x) d x ,

2

0

-1 r

e)

y 3 $ cos (x) d x ,

1

n)

0

y 4 $ e x dx ,

8

o)

0

y 3 1 4 dx ,

y (3x2 - 4 $ e x) d x ,

27

p)

0

y 8

e

h)

x

1 1

g)

y (x2 +x 1) 2 d x ,

0 1

f)

y (3x2 - 4x + 1) d x ,

m)

y b2 - 3x l d x ,

x $ 3 x dx , x$6 x

3

q)

1

y (6x - 2x2) d x . 0

e

i)

y ln x d x , 1

Výsledky

a)

1,

g)

5 - 4e ,

b)

1, 7

h)

2e - 5 ,

c)

20 , 3

i)

1,

d)

4,

j)

3e4 + 1 , 16

e)

0,

k)

–48 ,

f)

4 $ (e - 1) ,

l)

33 , 2

289

Kapitola 8

290



m)

34 ,

p)

15 , 2

n)

1, 4

q)

9.

o)

3, 2

Kapitola 8

Integrály


V této kapitole jsme zavedli pojem primitivní funkce, který ukazuje, že operace integrování je opačná vůči operaci derivování.

•

Primitivní funkcí jsme definovali neurčitý integrál. Při používání integrace per partes i integrace substitucí je nutné odhadnout, která metoda povede k výpočtu výrazně jednoduššího integrálu.

•

Definovali jsme určitý integrál také primitivní funkcí, proto pro výpočet určitého integrálu musíme nejdříve vypočítat integrál neurčitý. Je-li celý graf funkce pod osou x, potom určitý integrál musí být záporné číslo.

Klíčová slova primitivní funkce

integrace substitucí

neurčitý integrál

určitý integrál

integrace per partes

291

kapitola

Funkce dvou proměnných

9


Kapitola 9

9. kapitola Funkce dvou proměnných Úvod Funkce dvou proměnných jsou zobecněním funkcí jedné proměnné. Při používání matematických modelů v ekonomii je potřebná závislost na více měřených hodnotách, aby byl model věrnější. K vyjádření této závislosti se používají funkce dvou nebo více než dvou proměnných. Zavedeme pojem funkce dvou proměnných, definujeme derivaci a parciální derivace funkce dvou proměnných podle obou proměnných, jakož i druhou derivaci a parciální derivace druhého řádu (zde uvedeme i záměnu parciálních derivací druhého řádu). V závěru kapitoly budeme určovat lokální extrémy (tj. lokální maximum i lokální minimum) funkcí dvou proměnných.

295

Kapitola 9



9.1

Funkce dvou proměnných a její graf DEFINICE

Funkce dvou proměnných Řekneme, že f (x, y) je funkce dvou proměnných, jestliže f (x, y) je přesný předpis, který každému bodu [x, y]  M  R  R přiřazuje právě jednu funkční hodnotu z = f (x, y). Množina M je definiční obor funkce f (x, y), který značíme D( f ). Obor hodnot funkce f (x, y) je množina

H( f ), tj. H( f ) =

{ f (x, y); [x, y]  D( f )}.

{ f (x, y); [x, y]  D( f )}, kterou značíme

Mohli bychom analogicky zavést funkce více než dvou proměnných. Při ekonomických aplikacích se pro ekonomickou analýzu zpravidla omezujeme na nejvýznačnější vstupy. Příkladem takové funkce je produkční funkce, která popisuje technický vztah mezi vstupy a výstupy při výrobě. Obecně jde o přiřazení více výstupů více vstupům. Pro ekonomickou analýzu je důležité omezit se na nejvýznamnější vstupy (jejichž efekt je nejvýznamnější) za předpokladu, že ostatní vstupy jsou konstantní. Uvažujeme funkci q, které vyjadřuje celkový objem produkce v určitém výrobním procesu pouze v závislosti na výrobních faktorech x a y spotřebovaných při této produkci (např. x je kapitál a y je práce). Potom q (x, y) je taková funkce, pro kterou je D(q)  R  R a H(q)  R. Je zřejmé, že při absenci dalších vstupů jde o přibližné vyjádření. Jednou z nejčastěji popisovaných aproximací této produkční funkce je Cobbova-Douglasova produkční funkce38) definovaná předpisem q(x, y) = A . x . y, kde A,  a  jsou reálné konstanty takové, že A > 0, 0 < <a 0 < < (nejčastější případ je  + ).39)

DEFINICE

Graf funkce dvou proměnných Jestliže f (x, y) je funkce dvou proměnných, potom graf funkce f (x, y) je množina všech bodů [x, y, f (x, y)]  R  R  R pro všechny body [x, y]  D( f ), tj. graf f (x, y) je množina {[x, y, f (x, y)]; [x, y]  D( f )}.

Graf funkce jedné proměnné (speciálně pro elementární funkce) je křivka v rovině, tj. křivka ve dvojrozměrném prostoru. Graf funkce dvou proměnných (opět hlavně pro elementární funkce dvou proměnných) je plocha v trojrozměrném prostoru. Konstrukce grafu funkce dvou proměnných je poměrně náročná, uvádí se konstrukce grafu taková, že v rovině jsou uvedeny křivky spojující body, ve kterých je funkční hodnota stejná, vlastně konstruujeme „vrstevnice“ grafu, které se nazývají isočáry.

38) Jde o nejznámější produkční funkci neoklasického typu sestavenou matematikem Ch. W. Cobbem a ekonomem P. H. Douglasem. 39) Jestliže  +  = 1, nezávisí efektivnost výrobního procesu na rozsahu výroby, jestliže  +  < 1, pak průměrné náklady na jednotku produkce při zvětšení rozsahu výroby rostou, pro  +  > 1 průměrné náklady na jednotku produkce při zvětšení rozsahu výroby klesají.

296

Kapitola 9


PŘÍKLAD 9.1 Pro funkci f (x, y) = x2 + y2 pro ilustraci uvedeme oba typy jejích grafů. Řešení Na obr. 9.1 (a) je uveden graf této funkce jako plocha v trojrozměrném prostoru, na obr. 9.1 (b) je graf vytvořený „vrstevnicemi“.

Limita a spojitost pro funkce dvou proměnných se definují analogicky jako pro funkce jedné proměnné. Elementární funkce dvou proměnných jsou opět zobecněním elementárních funkcí jedné proměnné. I zde platí:

a)

definiční obor elementární funkce dvou proměnných je maximální množina existence jejího početního předpisu (tzn. pro funkce dvou proměnných používáme stejné omezující podmínky pro definiční obor),

b)

každá elementární funkce dvou proměnných je spojitá v celém svém definičním oboru.

OBRÁZEK 9.1 (a)

Trojrozměrný graf funkce

„Vrstevnicový“ graf funkce

(b)

f (x, y)

f (x, y) 3 2 1 0 –1 –2 –3 –3

–2

–1

0

1

2

3

PŘÍKLAD 9.2 Pro funkci f (x, y) = x . e xy – 5 stanovíme její definiční obor a spočteme funkční hodnotu f (–5, –1). Řešení U této funkce nemáme žádnou omezující podmínku pro definiční obor, tudíž D( f )  R  R. Funkční hodnota f (–5, –1) = (–5) . e (–5) . (–1) – 5 = (–5) . e 0 = –5.

297

Kapitola 9



PŘÍKLAD 9.3 Pro funkci f (x, y) = 9 - x2 - y2 určíme její definiční obor, vypočteme funkční hodnoty f (–2, –1) a f (0, 3). Řešení Abychom stanovili definiční obor funkce f (x, y), použijeme stejné podmínky jako pro elementárních funkcí jedné proměnné, tj. v předpisu funkce je sudá odmocnina, výraz v sudé odmocnině musí být nezáporný. Dostáváme D( f ) = {[x, y]; 9 – x2 – y2 ≥ 0}. Na obr. 9.2 (a) je pro ilustraci znázorněn definiční obor funkce f (x, y) v R  R. Dále f (-2, -1) = 9 - (-2) 2 - (-1) 2 = 4 = 2 a f (0, 3) = 9 - 02 - 32 = 0 = 0 .

OBRÁZEK 9.2 Definiční obor

(a)

Definiční obor

(b)

2

f (x, y) = 9 - x - y

f (x, y) = x $ ln e 1 - x o y+2

2

3

3

–3

–2

2

2

1

1

1

–1

2

3

–3

–1 –2 –3

–2

1

–1

2

3

–1

–2 –3

PŘÍKLAD 9.4 Pro funkci f (x, y) = x . ln e 1 - x o stanovíme její definiční obor a vypočteme funkční hodnotu y +2 f (2, –3). Řešení Analogicky jako v předcházejícím příkladu v předpisu funkce je funkce přirozený logaritmus. Tato logaritmická funkce je definována pouze pro kladná reálná čísla. Dále v předpisu funkce je podíl, proto ve jmenovateli musí být nenulové reálné číslo. Musí být D( f ) = {[x, y]; 1 - x > 0  y + 2 ≠ 0}. Na obr. 9.2 (b) je pro ilustraci znázorněn definiční y +2 obor funkce f (x, y) v R  R. Funkční hodnota f (2, -3) = 2 $ ln e 1 - 2 o = 2 $ S ln1 = 0 . -3 + 2 0

298

Kapitola 9


PŘÍKLAD 9.5 Pro funkci f (x, y) = ln(3 + x) + 4 2 - y určíme její definiční obor, vypočteme funkční hodnoty f (–2, 1) a f (–2, –14). Řešení Použijeme podmínky pro definovanost přirozeného logaritmu a sudé odmocniny, tj.: D( f ) = {[x, y]; 3 + x > 0  2 – y ≥ 0} = {[x, y]; x > –3  2 ≥ y} = (–3, ) (–,  4

Dále f (–2, 1) = ln(3 – 2) +

2 - 1 =S ln 1 + 4 1 = 1 0

a f (–2, –14) = ln(3 – 2) +

2 - (-14) = S ln 1 + 4 16 = 2 .

4

0

PŘÍKLAD 9.6 Pro funkci g (x, y) = 1 $ 2 jejích grafů.

x$

y určíme její definiční obor a pro ilustraci uvedeme oba typy

Řešení Použijeme podmínky pro definovanost sudé odmocniny, tj. x ≥ 0 a y ≥ 0, proto musí být D( g) = 0, )  0, ). Trojrozměrný graf funkce g(x, y) je na obr. 9.3 (a) a „vrstevnicový“ graf je na obr. 9.3 (b).

OBRÁZEK 9.3 (a)

Trojrozměrný graf funkce

„Vrstevnicový“ graf funkce

(b)

g(x, y)

g(x, y) 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Funkce g(x, y) z předcházejícího příkladu je Cobbova-Douglasova funkce, protože nutně je

g (x, y) = 1 $ x $ 2 A =  = = 1 . 2

y = 1 $ x $ y , jde o předpis Cobbovy-Douglasovy funkce, ve které platí 2 1 2

1 2

299

Kapitola 9



9.2

Derivace a parciální derivace funkcí dvou proměnných DEFINICE

Parciální derivace a derivace funkce dvou proměnných Jestliže f (x, y) je funkce dvou proměnných, potom: parciální derivace funkce f (x, y) podle proměnné x v bodě [x, y], kte-

a)

2f (x, y), je obyčejná derivace40) této funkce, při které na proměnnou y 2x pohlížíme jako na konstantu a na proměnnou x pohlížíme jako na proměnnou, rou označíme

parciální derivace funkce f (x, y) podle proměnné y v bodě [x, y], kte-

b)

2f (x, y), je obyčejná derivace40) této funkce, při které na proměnnou x 2y pohlížíme jako na konstantu a na proměnnou y pohlížíme jako na proměnnou, rou označíme

derivace funkce f (x, y) v bodě [x, y] je vektor f '(x, y) = e

c)

2f 2f (x, y), (x, y)o . 2x 2y

Derivaci funkce dvou proměnných f (x, y) se také nazývá gradient funkce f (x, y).

OBRÁZEK 9.4 Geometrická interpretace parciálních derivací funkce f (x, y) v bodě [x0 , y0]

z x = x0

y = y0

z = f (x, y)

[x0, y0, z0] z0

y  

x

[x0, y0]

t1

40) Obyčejnou derivací míníme derivaci funkce jedné proměnné.

300

t2

Kapitola 9


Geometrický význam parciálních derivací lze demonstrovat na funkci dvou proměnných z = f (x, y). Graf je plocha ve trojrozměrném prostoru. Parciální derivace v bodě [x0 , y0], v němž má funkce hodnotu z0 = f (x0 , y0 ), odpovídají směrnicím tečen ve směru jednotlivých souřadnicových os. Směrnici tečny t1 tedy získáme jako parciální derivaci podle x v bodě [x0 , y0], 2f tzn. tg  (x0, y0) a podobně pro směrnici tečny t2 dostaneme jako parciální derivaci podle 2x 2f y v bodě [x0 , y0], tj. tg () = (x , y ) (viz obr. 9.4). 2y 0 0

PŘÍKLAD 9.7 Vypočteme parciální derivace i derivaci funkce f (x, y) = x2 . y – 3 . x + 2 . x . y + 5. Řešení

2f (x, y), tak podle definice parciální derivace podle proměnné x pohlížíme na 2x první člen v předpisu jako na součin konstanty a x2, druhý člen je součin konstanty a x, třetí člen 2f je součin konstanty a x, poslední člen je konstanta. Dostáváme (x, y) = 2 $ x $ y - 3 + 2 $ y . 2x Abychom určili

Podobně

2f (x, y) = x2 + 2 $ x . 2y

Tudíž platí f '(x, y) = (2 . x . y – 3 + 2 . y, x2 + 2 . x).

PŘÍKLAD 9.8 Určíme parciální derivace i derivaci funkce f (x, y) = x . e xy + y. Řešení Podobně jako v předcházejícím příkladu dostáváme:

2f (x, y) = 2 (x) $ e xy + x $ 2 (e xy) + 2 ( y) = 1 $ e xy + x $ e xy $ y = (1 + x $ y) $ e xy , 2x 2x 2x 2x S 0

2f (x, y) = x $ 2 (e xy) + 1 = x $ e xy $ x + 1 = x2 $ e xy + 1 a 2y 2y f '(x, y) = ((1 + x . y) . e xy, x2 . e xy + 1).

301

Kapitola 9



PŘÍKLAD 9.9 Vypočteme parciální derivace i derivaci funkce f (x, y) = 2 $ 2x . y Řešení Analogicky

2f (x, y) = 2 (x) $ 22 = 1 $ 22 = 22 , 2x 2x y y y

2f (x, y) = 2 $ x $ 2 e 12 o = 2 $ x $ (-2) $ y-3 =- 4 $ 3x a 2y 2y y y S y-2

f '(x, y) = e 22 , - 4 $ 3x o . y y

2f 2f (x, y) i (x, y) jsou rovněž funkce dvou 2x 2y proměnných, proto lze určit jejich parciální derivace, které nazveme parciálními derivacemi druhého řádu.

Je-li f (x, y) funkce dvou proměnných, potom

DEFINICE

Druhá derivace a parciální derivace druhého řádu funkce dvou proměnných Jestliže f (x, y) je funkce dvou proměnných, potom: a)

parciální derivace druhého řádu funkce f (x, y) podle proměnné

x a opět podle proměnné x v bodě [x, y], kterou označíme

22 f (x, y), 2x2

2 f 2f 2f je 2 e (x, y) = 2 e (x, y)o , (x, y)o , tj. 2 2

2x 2x

b)

2x

2x 2x

parciální derivace druhého řádu funkce f (x, y) podle proměnné x a podle proměnné y v bodě [x, y], kterou označíme

22 f (x, y), 2x2y

2f 2 f 2f je 2 e (x, y) = 2 e (x, y)o , (x, y)o , tj. 2

2y 2x

c)

2x2y

2y 2x

parciální derivace druhého řádu funkce f (x, y) podle proměnné y a podle proměnné x v bodě [x, y], kterou označíme

22 f (x, y), 2y2x

2f 2 f 2f je 2 e (x, y) = 2 e (x, y)o , (x, y)o , tj. 2

2x 2y

d)

2y2x

2x 2y

parciální derivace druhého řádu funkce f (x, y) podle proměnné

y a opět podle proměnné y v bodě [x, y], kterou označíme

2 f 2f 2f je 2 e (x, y) = 2 e (x, y)o , (x, y)o , tj. 2 2

2y 2y

302

2y

2y 2y

22 f (x, y), 2y2

Kapitola 9


e)

druhá derivace funkce f (x, y) v bodě [x, y] je matice

R 2 S2 f S 2x2 (x, y), f ''(x, y) = S 2 S2 f (x, y), S S 2y2x T

V 22 f W (x, y) W 2x2y W. W 22 f (x, y) W 2 W 2y X

Druhá derivace funkce f ''(x, y) se v ekonomických aplikacích nazývá také Hessova matice funkce f (x, y) v bodě [x, y]. Pro výpočet lokálních extrémů funkce dvou proměnných f (x, y) potřebujeme determinant druhé derivace41), který označujeme det( f ''(x, y)).

PŘÍKLAD 9.10 Vypočteme druhou derivaci i parciální derivace druhého řádu funkce f (x, y) = x 2 . y3 – 3 . y + 2 . x. Řešení Abychom určili parciální derivace druhého řádu, musíme vypočítat parciální derivace, tj.:

2f 2f (x, y) = 2 $ x $ y3 + 2 a (x, y) = 3 $ x2 $ y2 - 3 . 2x 2y Nyní přistoupíme k výpočtu parciálních derivací druhého řádu, tzn.:

22 f (x, y) = 2 (2 $ x $ y3 + 2) = 2 $ y3 , 2x 2x2 22 f (x, y) = 2 (2 $ x $ y3 + 2) = 2 $ x $ 3 $ y2 = 6 $ x $ y2 , 2x2y 2y 22 f (x, y) = 2 (3 $ x2 $ y2 - 3) = 3 $ 2 $ x $ y2 = 6 $ x $ y2 , 2y2x 2x 22 f (x, y) = 2 (3 $ x2 $ y2 - 3) = 3 $ x2 $ 2 $ y = 6 $ x2 $ y ; 2y 2y2 R 2 S2 f S 2x2 (x, y), tudíž f ''(x, y) = S 2 S2 f (x, y), S S 2y2x T

V 22 f W (x, y) W 2 $ y3, 6 $ x $ y2 2x2y W= > H. W 6 $ x $ y2, 6 $ x2 $ y 22 f (x, y) W W 2y2 X

41) Determinant druhé derivace funkce f(x, y) se také v ekonomických aplikacích nazývá Hessův determinant (nebo zkráceně hessián) funkce f(x, y) v bodě [x, y].

303

Kapitola 9



PŘÍKLAD 9.11 Určíme druhou derivaci i parciální derivace druhého řádu funkce f (x, y) = x . y – ln(x . y) + 2x. Řešení Pro výpočet parciálních derivací druhého řádu musíme určit parciální derivace, tj.:

2f 2f (x, y) = y - 1 + 2 a (x, y) = x - 1 . 2x x 2y y Nyní vypočteme parciální derivace druhého řádu, tzn.:

22 f (x, y) = 2 b y - 1 + 2l = (-1) $ (-1) $ x-2 = 12 , 2x x 2x2 x 22 f (x, y) = 2 b y - 1 + 2l = 1, 2x2y 2y x 22 f (x, y) = 2 d x - 1 n = 1 a 2y2x 2x y 22 f (x, y) = 2 d x - 1 n = (-1) $ (-1) $ y-2 = 12 . 2y y 2y2 y R 2 S2 f S 2x2 (x, y), Tedy f ''(x, y) = S 2 S2 f (x, y), S S 2y2x T

V R V 22 f W (x, y) W S 12 , 1 W S W 2x2y W= S x W. 2 1 W 2 f S 1, W 2 ( x , y ) W S y W W 2y2 X X T

V předcházejících příkladech vyšlo

22 f 22 f (x, y) = (x, y), tzn. nezáleželo, zda dříve derivuje2x2y 2y2x

me podle proměnné x, pak podle proměnné y nebo opačně. Jde o náhodu? Ukazuje se, že nejde.

VĚTA (o záměně parciálních derivací druhého řádu) Jestliže f (x, y) je elementární funkce, potom nosti.

304

22 f 22 f (x, y) = (x, y), pokud existuje jedna strana rov2x2y 2y2x

Kapitola 9


PŘÍKLAD 9.12 Vypočteme druhou derivaci funkce i parciální derivace druhého řádu funkce f (x, y) = 2 . x 2 – 3 . x . y2 + 2. Řešení Určíme nejdříve parciální derivace, tj.:

2f 2f (x, y) = 2 $ x - 3 $ y2 a (x, y) =-6 $ x $ y . 2x 2y Pro výpočet parciálních derivací druhého řádu použijeme i předcházející větu, tj.:

22 f (x, y) = 2 (2 $ x - 3 $ y2) = 2 , 2x 2x2 22 f 22 f (x, y) = 2 (2 $ x - 3 $ y2) = -6 $ y = (x, y) a 2x2y 2y 2y2x 22 f (x, y) = 2 (-6 $ x $ y) = -6 $ x . 2x 2y2 R 2 S2 f S 2x2 (x, y), Druhá derivace je f ''(x, y) = S 2 S2 f (x, y), S S 2y2x T

V 22 f W (x, y) W 2, -6 $ y 2x2y W= > H. 2 W -6 $ y, -6 $ x 2 f (x, y) W W 2y2 X

DEFINICE

Lokální extrém funkce dvou proměnných Jestliže f (x, y) je funkce dvou proměnných a bod [a, b] D( f ), potom: a)

funkce f (x, y) nabývá v bodě [a, b] lokální minimum, jestliže existují otevřené intervaly (x1, x2) a ( y1, y2) takové, že [a, b]  (x1, x2)  (x1, x2) D( f ) a pro všechny body [x, y]  (x1, x2)  (x1, x2) platí f (x, y) ≥ f (a, b),

b)

funkce f (x, y) nabývá v bodě [a, b] lokální maximum, jestliže existují otevřené intervaly (x1, x2) a ( y1, y2) takové, že [a, b]  (x1, x2)  ( y1, y2) D( f ) a pro všechny body [x, y]  (x1, x2)  ( y1, y2) platí f (x, y) ≤ f (a, b),

c)

funkce f (x, y) nabývá v bodě [a, b] lokální extrém, jestliže funkce f (x, y) nabývá v bodě [a, b] buď lokální minimum, nebo lokální maximum.

VĚTA (nutná podmínka pro lokální extrém) Jestliže elementární funkce f (x, y) nabývá v bodě [a, b] lokální extrém (tj. lokální maximum nebo lokální 2f 2f minimum), potom (a, b) = 0 a (a, b) = 0, pokud tyto parciální derivace existují. 2x 2y

305

Kapitola 9



Předcházející věta má tvar implikace, nikoli ekvivalence, tzn. existují funkce dvou proměn2f 2f ných f (x, y) takové, že (a, b) = 0, přičemž funkce f (x, y) nenabývá v bodě [a, b] (a, b) = 0 a 2y 2x žádný lokální extrém (viz příklad 9.13).

VĚTA (postačující podmínka pro lokální extrém) Jestliže f (x, y) je elementární funkce taková, že

2f 2f (a, b) = (a, b) = 0 a v okolí bodu [a, b] existují 2x 2y

parciální derivace druhého řádu,

a)

jestliže det( f ''(x, y)) < 0, potom funkce f (x, y) nenabývá v bodě [a, b] žádný lokální extrém,

b)

jestliže det( f ''(x, y)) > 0 a současně

2f (a, b) 2 0 , potom funkce f (x, y) nabývá v bodě 2x2

[a, b] lokální minimum,

c)

jestliže det( f ''(x, y)) > 0 a současně

2f (a, b) 1 0 , potom funkce f (x, y) nabývá v bodě 2x2

[a, b] lokální maximum.

Jak budeme standardně postupovat při hledání lokálních extrémů elementární funkce f (x, y)? (i)

Určíme D( f ), protože lokální extrém může nastat jen ve vnitřních bodech D( f ) (tj. v bodech, ve kterých platí ostré nerovnice).

(ii)

Použijeme nutnou podmínku pro lokální extrém, tj. lokální extrém může nastat v bodech, ve kterých buď jsou parciální derivace rovny nule, nebo neexistují, nebo jedna parciální derivace je nula a druhá neexistuje.

(iii)

Použijeme postačující podmínku pro lokální extrém, tzn. spočteme parciální derivace v bodech získaných v části (ii) a ověříme, zda nastává jedna z možností v postačující podmínce, pokud nastane, tak rozhodneme o extrému.

PŘÍKLAD 9.13 Určíme lokální extrémy funkce f (x, y) = e xy + 1. Řešení (i)

Definiční obor funkce f (x, y) je množina D( f ) = R  R, protože pro definiční obor této funkce nejsou žádné omezující podmínky.

(ii)

Určíme parciální derivace, tj.

2f 2f (x, y) = e xy+1 $ y = y $ e xy+1 , (x, y) = e xy+1 $ x = x $ e xy+1 . 2x 2y

Obě parciální derivace existují v množině R  R, tzn. jedině v bodech, ve kterých jsou parciální derivace nulové, může nastat lokální extrém. Dostáváme a podobně

2f (x, y) = y $ e xy+1 = 0 + y = 0 2x

2f (x, y) = x $ e xy+1 = 0 + x = 0 , protože z vlastností základní exponenciální 2y

funkce víme, že vždy platí e xy + 1 > 0. Jediný bod, ve kterém může nastat lokální extrém, je bod [0, 0].

306

Kapitola 9


(iii)

Určíme parciální derivace druhého řádu, tzn.:

22 f 22 f 2 xy+1 a ( x , y ) y e (0, 0) = 02 $ e0$0+1 = 0 $ = 2x2 2x2 22 f 22 f (x, y) = 1 $ e xy+1 + x $ y $ e xy+1 = e xy+1 + x $ y $ e xy+1 = (x, y) a 2x2y 2y2x 22 f 22 f (0, 0) = (0, 0) = e0$0+1 + 0 $ 0 $ e0$0+1 = e , 2x2y 2y2x 22 f 22 f (x, y) = x2 $ e xy+1 a 2 (0, 0) = 02 $ e0$0+1 = 0 , 2 2y 2y tedy f ''(0, 0) = >

0, e 0, e H , proto det` f ''(0, 0)j = = 0 $ 0 - e $ e = -e2 1 0 . Podle části a) e, 0 e, 0

postačující podmínky pro lokální extrém dostáváme, že funkce f (x, y) nenabývá v bodě [0, 0] žádný lokální extrém. Funkce f (x, y) nenabývá žádné lokální extrémy.

PŘÍKLAD 9.14 Určíme lokální extrémy funkce f (x, y) = e x

2

+ y2 + 3

.

Řešení (i)


(ii)


2f (x, y) = e x + y +3 $ 2x = 2x $ e x + y +3 , 2x 2

2

2

2

2f (x, y) = e x + y +3 $ 2y = 2y $ e x + y +3 . Obě parciální derivace existují v množině 2y 2

2

2

2

R  R, tzn. jedině v bodech, ve kterých jsou parciální derivace nulové, může nastat lokální extrém. Dostáváme

2f (x, y) = 2x $ e x + y +3 = 0 + 2x = 0 + x = 0 a podobně 2x 2

2

2f (x, y) = 2y $ e x + y +3 = 0 + 2y = 0 + y = 0 , protože z vlastností základní exponen2y 2

2

ciální funkce víme, že vždy platí e x lokální extrém, je bod [0, 0]. (iii)

2

+ y2 + 3

> 0. Jediný bod, ve kterém může nastat


22 f 22 f (x, y) = 2 $ e x + y +3 + (2x) 2 $ e x + y +3 a (0, 0) = 2 $ e0 +0 +3 + (2 $ 0) 2 $ e0 +0 +3 = 2 $ e3 , 2 2x 2x2 2

2

2

2

2

2

2

2

22 f 22 f (x, y) = 2x $ 2y $ e x + y +3 = (x, y) a 2x2y 2y2x 2

2

22 f 22 f (0, 0) = (0, 0) = 2 $ 0 $ 2 $ 0 $ e0 +0 +3 = 0 , 2x2y 2y2x 2

2

307

Kapitola 9



22 f 22 f x + y +3 x + y +3 a ( x , y ) 2 e (2 y ) e (0, 0) = 2 $ e0 +0 +3 + (2 $ 0) 2 $ e0 +0 +3 = 2 $ e3 , $ $ = + 2x2 2y2 2

tedy f ''(0, 0) = >

2

2

2

2

2

2

2

2 $ e3, 0 H. 0, 2 $ e3

Protože det` f ''(0, 0)j =

22 f 2 $ e3, 0 (0, 0) = 2 $ e3 2 0 , 2 $ e3 $ 2 $ e3 - 0 $ 0 = 4 $ e 6 2 0 a 3 = 0, 2 $ e 2x2

podle části b) postačující podmínky pro lokální extrém funkce f (x, y) nabývá v bodě [0, 0] lokální minimum.

PŘÍKLAD 9.15 Určíme lokální extrémy funkce f (x, y) = e x

2

+ 2x + y

.

Řešení (i)


(ii)


2f (x, y) = e x +2x+ y $ (2x + 2) = (2x + 2) $ e x +2x+ y , 2x 2

2

2f (x, y) = e x +2x+ y $ 1 = e x +2x+ y . Obě parciální derivace existují v množině R  R, 2y 2

2

tzn. jedině v bodech, ve kterých jsou parciální derivace nulové, může nastat lokální extrém. Ale

2f (x, y) = e x +2x+ y 2 0 vždy, proto neexistuje žádný bod v R  R, ve kte2y 2

rém by byly obě parciální derivace nulové. Funkce f (x, y) nenabývá žádné lokální extrémy.

PŘÍKLAD 9.16 Určíme lokální extrémy funkce f (x, y) = x3 + y3 – 6xy. Řešení (i)


(ii)


2f 2f (x, y) = 3x2 - 6,y (x, y) = 3y2 - 6x. Obě parciální derivace 2x 2y

existují v množině R  R, tzn. jedině v bodech, ve kterých jsou parciální derivace nulové, může nastat lokální extrém. Dostáváme

2f 2f (x, y) = 3x2 - 6y = 0 a (x, y) = 3y2 - 6x = 0. 2x 2y

2 4 Z první rovnice dostáváme y = x , dosadíme do druhé rovnice x – 2x = 0, tj. x . (x3 – 8) = 0. 2 4

Řešení jsou x = 0 a x = 2. Dostáváme dva body [0, 0] a [2, 2], ve kterých může nastat lokální extrém.

308

Kapitola 9


(iii)


22 f 22 f 22 f , a ( x , y ) 6 x ( 0 , 0 ) 6 0 0 (2, 2) = 6 $ 2 = 12 , $ = = = 2x2 2x2 2x2 22 f 22 f 22 f 22 f (x, y) = -6 = (x, y) , (0, 0) = (0, 0) =-6 a 2x2y 2y2x 2x2y 2y2x 22 f 22 f (2, 2) = (2, 2) =-6 , 2x2y 2y2x 22 f 22 f 22 f (x, y) = 6y , (0, 0) = 6 $ 0 = 0 a (2, 2) = 6 $ 2 = 12 , 2 2 2y 2y 2y2 0, -6 12, -6 tedy f ''(0, 0) = > H a f ''(2, 2) = > H. 6, 0 -6, 12 Protože det` f ''(0, 0)j =

0, -6 = -(-6) $ (-6) =-36 1 0, podle části a) postačující pod-6, 0

mínky pro lokální extrém dostáváme, že funkce f (x, y) nenabývá v bodě [0, 0] žádný lokální extrém. Dále det` f ''(2, 2)j =

22 f 12, -6 = 12 $ 12 - (-6) $ (-6) =108 2 0 a 2 (2, 2) =12 2 0 , podle -6, 12 2x

části b) postačující podmínky pro lokální extrém funkce f (x, y) nabývá v bodě [2, 2] lokální minimum.

PŘÍKLAD 9.17 Určíme lokální extrémy funkce f (x, y) = x3 – 3x + y3 – 27y + 3. Řešení (i)


(ii)


2f 2f (x, y) = 3x2 - 3 , (x, y) = 3y2 - 27 . Obě parciální 2x 2y

derivace existují v množině R  R, tzn. jedině v bodech, ve kterých jsou parciální derivace nulové. Dostáváme

2f 2f (x, y) = 3x2 - 3 = 0 a (x, y) = 3y2 - 27 = 0 . Z první 2x 2y

rovnice dostáváme x = ±1 a dosazením z druhé rovnice je y = ±3. Dostáváme čtyři body [1, 3], [1, –3], [–1, 3] a[–1, –3], ve kterých může nastat lokální extrém. (iii)


22 f 22 f 22 f 22 f , tj. , , ( x , y ) 6 x ( 1 , 3 ) 6 $ 1 6 ( 1 , 3 ) 6 $ 1 6 (-1, 3) = 6 $ (-1) = -6 = = = = = 2x2 2x2 2x2 2x2 a

22 f (-1, -3) = 6 $ (-1) =-6 , 2x2

309

Kapitola 9



22 f 22 f 22 f 22 f 22 f 22 f (x, y) = 0 = (x, y) , tj. (1, 3) = (1, 3) = (1, -3) = (1, -3) = 2x2y 2y2x 2x2y 2y2x 2x2y 2y2x =

22 f 22 f 22 f 22 f (-1, 3) = (-1, 3) = (-1, -3) = (-1, -3) = 0 , 2x2y 2y2x 2x2y 2y2x

22 f 22 f 22 f (x, y) = 6y , tj. (1, 3) = 6 $ 3 = 18 , (1, -3) = 6 $ (-3) = -18 , 2 2 2y 2y 2y2 22 f 22 f a ( 1, 3) 6 3 18 (-1, -3) = 6 $ (-3) = -18 , $ = = 2y2 2y2 tedy: f ''(1, 3) = =

6, 0 6, 0 -6, 0 G, G , f ''(1, -3) = = G , f ''(-1, 3) = = 0, -18 0, 18 0, 18

0 -6, f ''(-1, -3) = = G. 0, -18 Platí det` f ''(1, 3)j =

22 f 6, 0 (1, 3) = 6 2 0 . podle části b) posta= 6 $ 18 =126 2 0 a 0, 18 2x2

čující podmínky pro lokální extrém funkce f (x, y) nabývá v bodě [1, 3] lokální minimum. Protože det` f ''(1, -3)j =

6, 0 = 6 $ (-18) =-126 1 0 , podle části a) postačující pod0, -18

mínky pro lokální extrém dostáváme, že funkce f (x, y) nenabývá v bodě [1, –3] žádný lokální extrém. Protože det` f ''(-1, 3)j =

-6, 0 = (-6) $ 18 =-126 1 0 , podle části a) postačující pod0, 18

mínky pro lokální extrém dostáváme, že funkce f (x, y) nenabývá v bodě [–1, 3] žádný lokální extrém. Platí det` f ''(-1, -3)j =

22 f 0 -6, (-1, -3) = -6 1 0 . pod= (-6) $ (-18) =126 2 0 a 0, -18 2x2

le části c) postačující podmínky pro lokální extrém funkce f (x, y) nabývá v bodě [–1, –3] lokální maximum.

310

Kapitola 9


9.3

Neřešené příklady s výsledky Příklad 1: Spočtěte parciální derivace a derivaci funkce f (x, y), jestliže:

h)

f (x, y) = x . ln(x . y),

a)

f (x, y) = x2 – y3,

b)

f (x, y) = 3x2y + y2,

i)

f (x, y) = x . ln(x + y2),

c)

f (x, y) = x4 + y2 . ln x,

j)

f (x, y) = e x

d)

f (x, y) =

x - y2 ,

k)

e)

f (x, y) = ln(x – y),

l)

f)

f (x, y) = ln(3x + 2y),

g)

f (x, y) = ln(x2 + y2 + 5),

m)

2

– 4x

,

f (x, y) = x . e x y, 2.

f (x, y) = sin(x) . cos(y), f (x, y) = x . sin(x2).

Výsledky

a)

2f 2f (x, y) = 2x , (x, y) =-3y2 , f '(x, y) = (2x, –3y2), 2x 2y

b)

2f 2f (x, y) = 6xy , (x, y) = 3x2 + 2y , f '(x, y) = (6xy, 3x2 + 2y), 2x 2y

c)

2f y2 y2 2f (x, y) = 4x3 + , (x, y) = 2y $ ln x , f '(x, y) = e4x3 + , 2y $ ln x o , x 2x x 2y

d)

2f (x, y) = 2x 2$

e)

2f 2f (x, y) = 1 , (x, y) = -1 = 1 , f '(x, y) = e 1 , 1 o , 2x x - y 2y x- y y- x x- y y- x

f)

2f 3 2 3 , 2f (x, y) = 2 , f '(x, y) = (x, y) = e 3x - 2y , 3x - 2y o , 2x 3x + 2y 2y 3x + 2y

g)

2f 2f 2y 2y , , f '(x, y) = f 2 2x2 (x, y) = 2 2x2 (x, y) = 2 , p, 2x x + y + 5 x2 + y2 + 5 x + y + 5 2y x + y2 + 5

h)

2f 2f (x, y) = 1 + ln (x $ y) , (x, y) = x , f '(x, y) = c1 + ln (x $ y), x m , 2x 2y y y

i)

2f 1 , (x, y) = x - y2 2y

-y , f '(x, y) = e x - y2 2$

1 , x - y2

-y o, x - y2

2f 2f 2xy , (x, y) = ln (x + y2) + x 2 , (x, y) = 2x 2 y x+ y x + y2 f '(x, y) = fln (x + y2) +

x , 2xy , p x + y2 x + y2 311

Kapitola 9



j)

2f 2f x 4y x 4y (x, y) = 2x $ e x -4y , (x, y) =-4 $ e x -4y , f '(x, y) = `2x $ e - , -4 $ e - j , 2x 2y

k)

2f 2f (x, y) = (1 + 2x2 y) $ e x $ y , (x, y) = x3 $ e x $ y , f '(x, y) = `(1 + 2x2 y) $ e x $ y, x3 $ e x $ yj , 2x 2y

l)

2

2

2

2

2

2

2

2

2f 2f (x, y) = cos (x) $ cos ( y) , (x, y) =-sin (x) $ sin ( y) , 2x 2y f '(x, y) = `cos (x) $ cos ( y), -sin (x) $ sin ( y)j ,

m)

2f 2f (x, y) = sin (x2) + 2x2 cos (x2) , (x, y) = 0 , f '(x, y) = `sin (x2) + 2x2 cos (x2), 0j . 2x 2y

Příklad 2: Vypočtěte f ''(x, y), jestliže:

a)

f (x, y) = x2 – y3,

f)

f (x, y) = ln(x – y),

b)

f (x, y) = x4 + 12xy + 2y2,

g)

f (x, y) = x . ln(x . y),

c)

f (x, y) = x3 – 3x2 + y2 + 4y + 2,

h)

f (x, y) = cos(x – y),

d)

f (x, y) = x2 + 13y2 + 12x – 2y + 5,

e)

f (x, y) = x7 . y3,

i)

f (x, y) = e x

2

+y

.

Výsledky

312

2, -0 H, 0, -6y

a)

f ''(x, y) = >

b)

12x2, 12 f ''(x, y) = > H, 12, 4

g)

c)

f ''(x, y) = =

6x - 6, 0 G, 0, 2

h)

d)

f ''(x, y) = =

2, 0 G, 0, 26

e)

f ''(x, y) =

>

42x5 y3, 21x6 y2

21x6 y2, 6x7 y

f)

i)

H,

R V 1 S -1 2 , W 2 S (x - y) (x - y) W f ''(x, y) = S W, -1 W S 1 2, S (x - y) (x - y) 2 W T X R V S1, 1 W y W Sx f ''(x, y) = S W, 1 S , -2x W Sy y W T X -cos (x - y), cos (x - y) f ''(x, y) = > H, cos (x - y), -cos (x - y)

f ''(x, y) =

>

2

2

2

e x +y

(2 + 4x2) $ e x + y, 2x $ e x + y 2x $ e x + y,

2

H.

Kapitola 9


Příklad 3: Určete lokální extrémy funkce f (x, y), jestliže:

h)

a)

f (x, y) = –x2 + xy – y2 + 6y,

b)

f (x, y) = x3 – 3x + y2,

i)

f (x, y) = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2,

c)

f (x, y) = ln(x2 + y2 + 1),

j)

f (x, y) = x4 + 8y2 + 2xy,

d)

f (x, y) = x2 – y2 + 2xy – 3y,

e)

f (x, y) = e –x

f (x, y) = 2x2 – 2x – 3x 2y + y3 – 1,

k)

f (x, y) = x3 – 3x + y3 – 3y + 5,

,

l)

f (x, y) = x3 – 27x + y3 – 3y + 7,

f)

f (x, y) = x3 – 3x + y3 + 3y2,

m)

f (x, y) = x3 – 3x + y3 – 12y – 7,

g)

f (x, y) = –x3 – 3y2 + 6xy,

n)

f (x, y) = x3 – 3x – y3 + 3y – 5.

2

– y2

Výsledky

a)

lokální maximum v bodě [4, –2],

b)

lokální minimum v bodě [1, 0],

c)

lokální minimum v bodě [0, 0],

d)

f (x, y) lokální extrémy nemá,

e)

lokální maximum v bodě [0, 0],

f)

lokální maximum v bodě [–1, –2] a lokální minimum v bodě [1, 0],

g)

lokální maximum v bodě [2, 2],

h)

f (x, y) lokální extrémy nemá,

i)

lokální maximum v bodě :- 5 , 0D a lokální minimum v bodě [0, 0], 3

j)

lokální minimum v bodech : 1 , - 1 D a :- 1 , 1 D , 4 32 4 32

k)


l)


m)


n)

lokální maximum v bodě [–1, 1] a lokální minimum v bodě [1, –1].

313

Kapitola 9




V této kapitole jsme zavedli funkci dvou proměnných jako zobecnění funkcí jedné proměnné. Pro tyto funkce je výrazně náročnější znázornit jejich graf i v rovině zakreslit jejich definiční obor. Parciální derivace podle jedné proměnné funkce dvou proměnných je vlastně obyčejná derivace této funkce, kdy se na tuto proměnnou díváme jako na proměnnou a na druhou proměnnou se díváme jako na konstantu. Podobně s parciálními derivacemi druhého řádu, které potřebujeme spolu s parciálními derivacemi pro vyšetřování lokálních extrémů.

Klíčová slova funkce dvou proměnných

graf funkce dvou proměnných

lokální extrém funkce dvou proměnných

derivace funkce dvou proměnných

parciální derivace druhého řádu funkce dvou proměnných

druhá derivace funkce dvou proměnných

parciální derivace funkce dvou proměnných

lokální maximum funkce dvou proměnných

lokální minimum funkce dvou proměnných

Hessova matice funkce dvou proměnných

Hessův determinant funkce dvou proměnných

nutná podmínka pro lokální extrém funkce dvou proměnných

postačující podmínka pro lokální extrém funkcí dvou proměnných

314

Závěr



Předmět Logika a matematické metody

Přehled základních vzorců

J J





0

1

1

0













0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1







 

 

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

6 ( (x)) + x !7MJ ( (x))

x!M

7 ( (x)) + x6 J ( (x)) !M

x!M

Je-li a reálné číslo, potom (a)' = 0 (tj. derivace konstantní funkce je konstanta 0); pro x  (–, ) je (x)' = 1 (tj. derivace identické funkce je konstanta 1); (x n)' = n . x n – 1 buď pro n N  x  (–, ), nebo n R – {0}  x  (0, ); pro x  (–, ) je (e x)' = e x; pro x  (–, ) je (ax)' = ax . ln a, kde a je kladné reálné číslo; pro x  (0, ) je (ln x)' = 1 ; x pro x  (0, ) je (loga x)' = pro x  (0, ) je _ x i' =

1 , kde a  (0, ) (1, ); x $ ln a

1 ; 2$ x

pro x  (–, ) je (sin(x))' = cos(x);

318


pro x  (–, ) je (cos(x))' = –sin(x);

1 ; pro x ! r + k $ r , kde k  Z, je (tg(x))' = 2 cos2 (x) pro x  k . r, kde k  Z, je (cotg(x))' = -

1 . sin2 (x)

Jsou-li f (x) a g (x) funkce a k reálné číslo, potom ( f (x) + g (x))' = f '(x) + g '(x), ( f (x) – g (x))' = f '(x) – g '(x), ( f (x) + k)' = f '(x), ( f (x) – k)' = f '(x), ( f (x) . g (x))' = f ‘(x) . g (x) + f (x) . g '(x), (k . f (x))' = k . f '(x),

f (x) ' f '(x) $ g (x) - f (x) $ g'(x) , f g (x) p = g2 (x) e

f (x) ' f '(x) o= , k k


319



Šest vzorových zkouškových testů pro prezenční i kombinované studium Každý test obsahuje pět příkladů. Každý příklad je hodnocen 0 bodů v případě nesprávné odpovědi a 20 bodů v případě uvedení všech správných odpovědí Test A 1.

Formule výrokového počtu ( & J) + (J & )

a) je tautologie, b) je splnitelná formule, c) je kontradikce, d) není tautologie, e) není kontradikce. 2.

Formule výrokového počtu ( & J) & ( & (J & ))

a) je tautologie, b) je splnitelná formule, c) je kontradikce, d) není tautologie, e) není splnitelná formule. 3.

Formuli predikátového počtu  = 6 7 (2x 1 3y - 2) negujte, potom maximální zjednodušení negace formule  je

x!C y!D

a) J + 7 6 (2x $ 3y - 2) , x!C y!D

b) J + 7 6 (2x 2 3y - 2) , x!C y!D

c) J + 6 7 (2x $ 3y - 2) , y!D x!C

d) J + 6 7 (2x 2 3y - 2) , y!D x!C

e) J + 7 6 (2x $ 3y - 2) . y!C x!D

4.

3 + 2 , potom derivace funJestliže funkce f (x) je definována předpisem f (x) = 2x + 6 x kce f (x) je a) b) c) d)

f '(x) = 2 5 = 1 5 , 6$ x 3$ x 10 x 18 , f '(x) = x7 f '(x) = 2 5 + 1 = 1 5 + 1 , 6$ x 2$ 2 3$ x 2$ 2 10 x 18 1 , f '(x) = - 7- + x 2$ 2

e) žádná z uvedených možností není správná. 5.

1 jsou Maximální intervaly monotonie a lokální extrémy pro funkci f (x) = 2x ex a) f (x) je rostoucí v (–, 2, je klesající v 2, ), nabývá v bodě 2 lokální maximum, b) f (x) je rostoucí v (–, 2), je klesající v (2, ), nabývá v bodě 2 lokální maximum, c) f (x) je klesající v (–, 2), je rostoucí v (2, ), nabývá v bodě 2 lokální minimum,

320


d) f (x) je klesající v (–, 2, je rostoucí v 2, ), nabývá v bodě 2 lokální minimum, e) f (x) žádná z uvedených možností není správná. Test B 1.

Formule výrokového počtu  & (J & )

a) je tautologie, b) je splnitelná formule, c) není splnitelná formule, d) není tautologie, e) je kontradikce. 2.

Formule výrokového počtu (J & J) / ( & ( 0 ))


Formuli predikátového počtu  = 7 6 (2x # 3y - 2) negujte, potom maximální zjednodušení negace formule  je

y!D x!C

a) J + 7 6 (2x $ 3y - 2) , x!C y!D

b) J + 7 6 (2x 2 3y - 2) , x!C y!D

c) J + 6 7 (2x $ 3y - 2) , y!D x!C

d) J + 6 7 (2x 2 3y - 2) , y!D x!C

e) J + 7 6 (2x 2 3y - 2) . y!C x!D

4.

Jestliže funkce f (x) je definována předpisem f (x) = ln5x + ln 7 , potom derivace funkce x f (x) je

a) b) c) d)

f '(x) = 1 - 56ln x , x f '(x) = 1 - 56ln x + 1 , 7 x f '(x) = 1 5 , 5$ x f '(x) = 1 5 + 1 , 7 5$ x


Funkce f (x) =-x3 + 48x - 5 ve svém definičním oboru

a) nenabývá žádný lokální extrém, b) nabývá právě ve dvou různých bodech lokální minimum a právě v jednom bodě lokální maximum, c) nabývá právě v jednom bodě lokální minimum a právě v jednom bodě lokální maximum,

321



d) nabývá právě v jednom bodě lokální minimum a právě ve dvou různých bodech lokální maximum, e) žádná z uvedených možností není správná. Test C 1.

Formule výrokového počtu (J & ) & J (uveďte všechny pravdivé možnosti)


Formule výrokového počtu ((J / J) & ) + (J & (J & ))

a) je tautologie, b) není kontradikce, c) je kontradikce, d) není tautologie, e) není splnitelná formule. 3.

Formuli predikátového počtu  = 7 6 (5x - 11 $ 4xz) negujte, potom maximální zjednodušení negace formule  je

x!U z!V

a) J + 6 7 (5x - 11 1 4xz) , x!U z!V

b) J + 6 7 (5x - 11 # 4xz) , x!U z!V

c) J + 7 6 (5x - 11 1 4xz) , z!V x!U

d) J + 7 6 (5x - 11 # 4xz) , z!V x!U

e) J + 6 7 (5x - 11 1 4xz) , x!V z!U

4.

Jestliže derivace funkce f (x) je definována předpisem f '(x) = x $ e x + e x , potom funkce f (x) je definována předpisem

a)

f (x) = x $ e x + 5 ,

b)

2 f (x) = x $ e x + e x + 3 , 2

c)

2 f (x) = x $ e x + e x , 2

d)

f (x) = (x + 2) $ e x + 4 ,


Maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = 4x3 + 17x - 3 jsou

a) f (x) je konkávní v (–, 0, je konvexní v 0, ), 0 je bod inflexe f (x), b) f (x) je konvexní v (–, 0, je konkávní v 0, ), 0 je bod inflexe f (x), c) f (x) je konkávní v (–, 0), je konvexní v (0, ), 0 je bod inflexe f (x),

322


d) f (x) je konvexní v (–, 0), je konkávní v (0, ), 0 je bod inflexe f (x), e) žádná z uvedených možností není správná. Test D 1.

Formule výrokového počtu (J & ( & J)) & (J & )


Formule výrokového počtu ( & (J & J)) + (( & ) & ( & ))

a) je tautologie, b) není kontradikce, c) není splnitelná formule, d) není tautologie, e) je kontradikce. 3.

Formuli predikátového počtu  = 7 6 (5x - 11 2 4xz) negujte, potom maximální zjednodušení negace formule  je

x!U z!V

a) J + 6 7 (5x - 11 1 4xz) , x!U z!V

b) J + 6 7 (5x - 11 # 4xz) , x!U z!V

c) J + 7 6 (5x - 11 1 4xz) , z!V x!U

d) J + 7 6 (5x - 11 # 4xz) , z!V x!U

e) J + 7 6 (5x - 11 # 4xz) . x!V z!U

4.

Rovnice tečny ke grafu funkce f (x) = 1 + x2 $ ln x v bodě 81, f (1)B má tvar

a) x – y = 2,

b) x + y = 2, c) x – y = 0, d) x + y = 0, e) x – y = 1. 5.

Funkce f (x) = x4 - 3x3 + 48x + 2

a) nemá ve svém definičním oboru žádný inflexní bod, b) má ve svém definičním oboru právě 1 inflexní bod, c) má ve svém definičním oboru právě 2 různé inflexní body, d) má ve svém definičním oboru právě 3 různé inflexní body, e) žádná z uvedených možností není správná.

323



Test E 1.

Formule výrokového počtu ( & J) & 

a) je tautologie, b) je splnitelná formule, c) není splnitelná formule, d) není tautologie, e) není kontradikce. 2.

Formule výrokového počtu ( & ( & )) + (( & J) & ( & J))

a) je tautologie, b) je kontradikce, c) je splnitelná formule, d) není tautologie, e) není kontradikce. 3.

Formuli predikátového počtu  = 7 6 (5x - 1 $ 7xy) negujte, potom maximální zjednodušení negace formule  je

x!U y!W

a) J + 6 7 (5x - 1 1 7xy) , x!U y!W

b) J + 6 7 (5x - 1 # 7xy) , x!U y!W

c) J + 7 6 (5x - 1 1 7xy) , y!W x!U

d) J + 7 6 (5x - 1 # 7xy) , y!W x!U

e) J + 6 7 (5x - 1 1 7xy) . y!U x!W

4.

ln (x) Jestliže funkce f (x) je definována předpisem f (x) = 6 + ln (4) , potom derivace x funkce f (x) je a)

1 6 $ ln (x) , f '(x) = - 7 x

b)

1 6 $ ln (x) 1 f '(x) = - 7 + , 4 x

c)

f '(x) =

1 , 6 $ x6

d)

f '(x) =

1 +1, 6 $ x6 4


Maximální intervaly monotonie a lokální extrémy pro funkci f (x) =-7 x4 jsou

a) f (x) je rostoucí v (–, 0 a je klesající v 0, ), nabývá v bodě 0 lokální maximum, b) f (x) je rostoucí v (–, 0) a je klesající v (0, ), nabývá v bodě 0 lokální maximum, c) f (x) je klesající v (–, 0) a je rostoucí v (0, ), lokální extrémy nenabývá, d) f (x) je klesající v (–, 0 a je rostoucí v 0, ), nabývá v bodě 0 lokální minimum, e) žádná z uvedených možností není správná.

324


Test F 1.

Formule výrokového počtu ( & J) & J


Formule výrokového počtu ((J 0 J) & ) + (J & ( / ))


Formuli predikátového počtu  = 6 7 (3x - 2xy ! A , B) negujte, potom maximální y!B x!A

zjednodušení negace formule  je

a) J + 7 6 (3x - 2xy g A , B) , y!B x!A

b) J + 6 7 (3x - 2xy g A , B) , x!A y!B

c) J + 7 6 (3x - 2xy g A + B) , y!B x!A

d) J + 6 7 (3x - 2xy g A + B) , y!B x!A

e) J + 7 6 (3x - 2xy g A , B) . x!B y!A

4.

Rovnice tečny ke grafu funkce f (x) = 4x + 2 $ x3 v bodě 81, f (1)B má tvar

a) 6x + y = 2, b) x + 6y = 2, c) 6x – y = 2, d) x – 6y = 2,

e) 6x + y = –2. 5.

Funkce f (x) =- x4 + 8x2 - 15 ve svém definičním oboru

a) nenabývá žádný lokální extrém, b) nabývá právě ve dvou různých bodech lokální minimum a právě v jednom bodě lokální maximum, c) nabývá právě v jednom bodě lokální minimum a právě v jednom bodě lokální maximum, d) nabývá právě v jednom bodě lokální minimum a právě ve dvou různých bodech lokální maximum, e) žádná z uvedených možností není správná.

325


Výsledky Test A – 11. c) a d); 2. a) a b); 3. a); 4. b); 5. a). Test B – 11. a) a b); 2. b) a d); 3. d); 4. a); 5. c). Test C – 11. b) a d); 2. a) a b); 3. a); 4. a); 5. a). Test D – 11. b) a d); 2. a) a b); 3. b); 4 c); 5. c). Test E – 11. b), d) a e); 2. a), c) a e); 3. a); 4 a); 5. a). Test F – 11. a), b) a e); 2. a), b) a e); 3. a); 4. c); 5. d).

326



Předmět Matematika pro ekonomy

Přehled základních vzorců Je-li a reálné číslo, potom (a)' = 0 (tj. derivace konstantní funkce je konstanta 0); pro x  (–, ) je (x)' = 1 (tj. derivace identické funkce je konstanta 1); (x n)' = n . x n – 1 buď pro n N  x  (–, ), nebo n R – {0}  x  (0, ); pro x  (–, ) je (e x)' = e x; pro x  (–, ) je (ax)' = ax . ln a, kde a je kladné reálné číslo; pro x  (0, ) je (ln x)' = 1 ; x pro x  (0, ) je (loga x)' = pro x  (0, ) je _ x i' =

1 , kde a  (0, ) (1, ); x $ ln a

1 ; 2$ x

pro x  (–, ) je (sin(x))' = cos(x); pro x  (–, ) je (cos(x))' = –sin(x);

1 ; pro x ! r + k $ r , kde k  Z, je (tg(x))' = 2 cos2 (x) pro x  k . r, kde k  Z, je (cotg(x))' = -

1 . sin2 (x)

Jsou-li f (x) a g (x) funkce a k reálné číslo, potom ( f (x) + g (x))' = f '(x) + g '(x), ( f (x) – g (x))' = f '(x) – g '(x), ( f (x) + k)' = f '(x), ( f (x) – k)' = f '(x), ( f (x) . g (x))' = f '(x) . g (x) + f (x) . g '(x), (k . f (x))' = k . f '(x),

327



f (x) ' f '(x) $ g (x) - f (x) $ g'(x) , f g (x) p = g2 (x) e

f (x) ' f '(x) o= , k k


Jestliže h( y) a g (x) jsou funkce, potom (h( g (x)))' = h'( y) . g '(x) = h'( g (x)) . g '(x), pokud existuje pravá strana. Je-li a reálné číslo, potom y a d x = a $ x + C v každém intervalu I  (–, ), n+1

y xnd x = nx+ 1 + C buď n  N a v každém intervalu I  (–, ), nebo n  R – {–1} a v každém intervalu I  (0, ),

y 1x d x = ln

x + C v každém intervalu I  (–, )  (0, ),

y e x dx = e x + C


n je-li a  (0, )  (1, ), potom y a xd x = a + C v každém intervalu I  (–, ), ln a

y sin (x) d x = -cos (x) + C y cos (x) d x = sin (x) + C



y sin12 (x) d x = -cotg (x) + C

v každém intervalu, který neobsahuje reálná čísla tvaru k

. r, kde

k  Z,

y cos12 (x) d x = tg (x) + C

v každém intervalu, který neobsahuje reálná čísla tvaru  + k . r, kde 2

k  Z,

y

1 d x = 2 $ x + C v každém intervalu I  (0, ), x

y

x dx = 2 $

y

3

x3 + C v každém intervalu I  0, ),

f '(x) d x = ln f (x) + C v každém intervalu, ve kterém je f (x)  0. f (x)

Integrace per partes

y f '(x) $ g (x) d x = f (x) $ g (x) - y f (x) $ g'(x) d x .

Integrace substitucí

( g (x)) $ g'(x) d x = y f ( y) d y . y fSS y

328

dy


Šest vzorových zkouškových testů pro prezenční i kombinované studium Test sestává z pěti příkladů. Každý příklad je hodnocen 0 bodů v případě nesprávné odpovědi a 20 bodů v případě uvedení všech správných odpovědí Test A 1.

R S5, S3, Je dána matice A = S S1, S3, T a) h( A) = 1,

8, 8, 4, 4,

5, 7, 4, 2,

- 7, - 5, - 2, - 4,

V 2, - 3 W 2, - 1W W, určete její hodnost, potom 1, 0 W 1, - 2 W X

b) h( A) = 2, c) h( A) = 3, d) h( A) = 4, e) žádná z uvedených možností není správná. 2.

Vypočtěte neznámou matici X v maticové rovnici X . A + 3 . B = 2 . X + 4 . B, kde

7, 3 -1, 3 A= = G aB= > H , potom 3, 4 -2, 2 4, 0 a) tato rovnice má právě jedno řešení X = > H, -7, -1 -11, 18 b) tato rovnice má právě jedno řešení X = > H, -10, 16 - 1, 3 c) tato rovnice má právě jedno řešení X = > 5 H , -2, 1

2, 4 d) tato rovnice má právě jedno řešení X = > H, -1, -5 e) žádná z uvedených možností není správná. 3.

Jestliže derivace funkce f (x) je definována předpisem f '(x) = 2 + lnx, potom funkce f (x) je definována předpisem

a) f (x) = x . lnx – x + 3, b) f (x) = 2x + x . lnx + 1, c) f (x) = 5 + (x – 1) . lnx, d) f (x) = x . lnx + x + 4, e) žádná z uvedených možností není správná. 4.

Maximální intervaly monotonie a lokální extrémy pro funkci f (x) = x3 – 3x3 + 5 jsou

a) f (x) je rostoucí v (–, 0, je klesající v 0, 2, je rostoucí v 2, ), f (x) nabývá v bodě 0 lokální maximum a v bodě 2 lokální minimum, b) f (x) je rostoucí v (–, 0), je klesající v (0, 2), je rostoucí v (2, ), f (x) nabývá v bodě 0 lokální maximum a v bodě 2 lokální minimum, c) f (x) je rostoucí v (–, 0 2, ), je klesající v 0, 2, f (x) nabývá v bodě 0 lokální maximum a v bodě 2 lokální minimum, d) f (x) je rostoucí v (–, 0)  (2, ), je klesající v (0, 2), f (x) nabývá v bodě 0 lokální maximum a v bodě 2 lokální minimum, e) žádná z uvedených možností není správná. 329


5.


Vypočtěte y (2 x2 + 5) $ e x d x . Potom

a)

y (2x2 + 5) $ e x d x = ( 23x

b)

y (2x2 + 5) $ e x d x = (2x2 + 5) $ e x + C ,

c)

y (2x2 + 5) $ e x d x = (2x2 + 4x + 5) $ e x + C ,

d)

y (2x2 + 5) $ e x d x = (2x2 - 4x + 9) $ e x + C ,

3

+ 5x) $ e x + C ,

e) žádná z uvedených možností není správná. Test B 1.

R V S- 1, - 1, 6, 2, - 5W S 1, 2, - 2, 1, 3 W Je dána matice A = S W, v závislosti na reálném parametru k určete její S 3, 6, - 4, 4, 10 W S 2, 3, - 6, 0, k W T X hodnost. Potom všechny hodnoty reálného parametru k, pro které je h( A) = 4, jsou a) k  (–, 7)  (7, ), b) k  (–, 3)  (3, ), c) k = 7, d) k  (–, 9)  (9, ), e) žádná z uvedených možností není správná.

2.

Vypočtěte neznámou matici X v maticové rovnici A . X + 3 . B = 2 . X + 4 . B, kde

7, 3 -1, 3 A= = Ga B = > H , potom 3, 4 -2, 2 4, 0 a) tato rovnice má právě jedno řešení X = > H, -7, -1 -11, 18 b) tato rovnice má právě jedno řešení X = > H, -10, 16 - 1, 3 c) tato rovnice má právě jedno řešení X = > 5 H , -2, 1

2, 4 d) tato rovnice má právě jedno řešení X = > H, -1, -5 e) žádná z uvedených možností není správná. 3.

4 Jestliže funkce f (x) je definována předpisem f (x) = xx + e7 , potom derivace funkce e f (x) je 3 x4 + e7 , a) f '(x) = 4x x e 3 b) f '(x) = 4xx , e 3 4 x4 , c) f '(x) = x x e 3 d) f '(x) = 4xx-1 + e7 , e

e) žádná z uvedených možností není správná.

330


4.

Maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = jsou

9

x2

a) f (x) je konkávní v (–, 0, je konkávní v 0, ), body inflexe funkce f (x) nemá, b) f (x) je konkávní v (–, ), body inflexe funkce f (x) nemá, c) f (x) je konkávní v (–, 0), je konkávní v (0, ), body inflexe funkce f (x) nemá, d) f (x) je konkávní v (–, 0)  (0, ), body inflexe funkce f (x) nemá, e) žádná z uvedených možností není správná. 5.

Vypočtěte

y 3x5- 4 . Potom 5x + C , x2 - 4x

a)

y 3x5- 4 dx =

b)

y 3x5- 4 dx = 53 $ ln 3x - 4 + C ,

c)

y 3x5- 4 dx = ln 3x - 4 + C ,

d)

15 + C , y 3x5- 4 dx = (3x - 4) 2

3 2

e) žádná z uvedených možností není správná. Test C 1.

Jsou dány vektory (–1, –2, 6, –5), (1, 4, –2, 3), (3, 12, –4, 8), (2, 6, –6, k), v závislosti na reálném parametru k rozhodněte o lineární závislosti a nezávislosti těchto vektorů. Potom všechny hodnoty reálného parametru k, pro které jsou tyto vektory lineárně nezávislé, jsou

a) k  (–, 7)  (7, ), b) k  (–, 8)  (8, ), c) k = 7, d) k  (–, –7)  (–7, ), e) žádná z uvedených možností není správná.

2.

0, 0, - 1, - 3 0, - 1, 3, 5 Vypočtěte determinant , potom - 1, 3, 5, 0 - 3, 5, 0, 0

a)

0, 0, - 1, - 3 0, - 1, 3, 5 = 54 , - 1, 3, 5, 0 - 3, 5, 0, 0

b)

0, 0, - 1, - 3 0, - 1, 3, 5 = 45, - 1, 3, 5, 0 - 3, 5, 0, 0

c)

0, 0, - 1, - 3 0, - 1, 3, 5 = -45, - 1, 3, 5, 0 - 3, 5, 0, 0

331


d)


0, 0, - 1, - 3 0, - 1, 3, 5 = -54 , - 1, 3, 5, 0 - 3, 5, 0, 0


Rovnice tečny ke grafu funkce f (x) = x - 2 v bodě 8-3, f (-3)B má tvar x +4 a) 6x – y – 13 = 0,

b) 6x – y = – 13, c) x + 6y = – 13, d) x – 6y = 13, e) x – 6y = – 13. 4.

Funkce f (x) = x 4 – 4x 3 + 7 ve svém definičním oboru

a) nenabývá žádný lokální extrém, b) nabývá právě ve dvou různých bodech lokální minimum a právě v jednom bodě lokální maximum, c) nabývá právě v jednom bodě lokální minimum a právě v jednom bodě lokální maximum, d) nabývá právě v jednom bodě lokální minimum a právě ve dvou různých bodech lokální maximum, e) žádná z uvedených možností není správná. 5.

Vypočtěte

y lnx4x d x . Potom

a)

y lnx4x d x = - 3 $1x3 $ ln x - 9 $1x3 + C ,

b)

y lnx4x d x = 4 $1x4 + C ,

c)

y lnx4x d x = 1- 4x$5 ln x + C ,

d)

y lnx4x d x = - 4 $1x3 + C ,

e) žádná z uvedených možností není správná. Test D 1.

Z ] 2x1 + x2 - 6x3 ]- x + 4x3 Řešte soustavu lineárních rovnic [ 1 x1 - 2x2 ] soustava ]- x1 - x2 + 2x3 \

+ + +

x4 3x4 7x4 2x 4

= 2, = 1, potom tato = -5, = -1,

a) má právě jedno řešení x = (x1, x2, x3, x4 ) = (–2, 0, –1, 3), b) má nekonečně mnoho řešení a právě jedna neznámá je volitelná, c) má nekonečně mnoho řešení a právě dvě neznámé jsou volitelné, d) nemá řešení, e) žádná z uvedených možností není správná.

332


2.

Vypočtěte neznámou matici X v maticové rovnici B

. X – 2 . A = 3 . X – A, kde

0, 4 -1, -3 A= = G aB= > H , potom 4 , 2 1, 2 a) tato rovnice má právě jedno řešení X = >

- 31 ,

-3

1,

- 25

H,

19, 17 b) tato rovnice má právě jedno řešení X = > H, -12, -11 -1, -7 c) tato rovnice má právě jedno řešení X = > H, -1, -6 -17, -13 d) tato rovnice má právě jedno řešení X = = G, 13, 10 e) žádná z uvedených možností není správná. 3.

Vypočtěte lim

x"3

e x . Potom x + 2x 4

ex = 3, x " 3 x + 2x

a) lim

4

ex = 0, x " 3 x + 2x

b) lim c)

4

e x = 1, x " 3 x + 2x lim

d) lim

x"3

4

ex = 2, x + 2x 4


Funkce f (x) = x 4 + 2x 3 – 8x + 2

a) nemá ve svém definičním oboru žádný inflexní bod, b) má ve svém definičním oboru právě 1 inflexní bod, c) má ve svém definičním oboru právě 2 různé inflexní body, d) má ve svém definičním oboru právě 3 různé inflexní body, e) žádná z uvedených možností není správná. 5.

Vypočtěte 5

5

y lnx x d x . Potom 6

a)

y lnx x d x = ln6 x + C ,

b)

y lnx x d x = 5 $ ln xx2- ln x + C ,

c)

y lnx x d x = ln6 x + C ,

d)

y lnx x d x = -ln6 x + C ,

5

4

5

5

5


333


Test E 1.


Z ] 2x1 + 6x2 + 7x3 ] 2x1 + x2 + 2x3 Řešte soustavu lineárních rovnic [ 2x 4x 3x ]- 1 + 2 + 3 soustava ] x2 + x3 \

+ + + +

8x 4 3x4 2x 4 x4

= = = =

9, 4, potom tato 1, 1,

a) má právě jedno řešení x = ` x1, x2, x3, x4j = ` 23 ,1, 0, 0j ,

b) má nekonečně mnoho řešení a právě jedna neznámá je volitelná, c) má nekonečně mnoho řešení a právě dvě neznámé jsou volitelné, d) nemá řešení, e) žádná z uvedených možností není správná. 2.

Vypočtěte neznámou matici X v maticové rovnici X . B – 3 . A = 3 . X – 2 . A, kde

0, 4 -1, -3 A= = G aB= > H , potom 4, -2 1, 2 a) tato rovnice má právě jedno řešení X = >

- 31 ,

-3

1,

- 25

H,


Vypočtěte lim

x"0

sin (7x) . Potom e4x - 1

a) lim

sin (7x) 7 = , e4x - 1 4

b) lim

sin (7x) = 1, e4x - 1

c)

sin (7x) = 0, e4x - 1

x"0

x"0

lim

x"0

d) lim

x"0

sin (7x) = 3, e4x - 1


Vyšetřete extrémy funkce f (x) =

5

x4 vzhledem k intervalu –1, 1. Potom

a) f (x) nabývá v bodech (–1) a 1 maxima a v bodě 0 minima vzhledem k –1, 1, b) f (x) nabývá v bodě 1 maxima a v bodě (–1) minima vzhledem k –1, 1, c) f (x) nabývá v bodě 0 maxima a v bodech (–1) a 1 minima vzhledem k –1, 1, d) f (x) nabývá v bodě (–1) maxima a v bodě 1 minima vzhledem k –1, 1, e) žádná z uvedených možností není správná.

334


1

5.

Vypočtěte

y (4x3 - 2x + 1) dx . Potom -1

1

a)

y (4x3 - 2x + 1) dx = 2 + C , -1 1

b)

y (4x3 - 2x + 1) dx = 4 , -1 1

c)

y (4x3 - 2x + 1) dx = 2 , -1 1

d)

y (4x3 - 2x + 1) dx = 4 + C , -1

e) žádná z uvedených možností není správná. Test F 1.

Z ] 2x1 - 3x2 + ] 3x Řešte soustavu lineárních rovnic [ 1 x1 + x2 ] soustava ] x1 + 2x2 + \

x3 5x 3 - 2 x 4 3x3 - 3x4 4x3 + 8x4

= -5, = 8, potom tato = 4, = 1,

a) má právě jedno řešení x = (x1, x2, x3, x4) = (1, 2, -1, 0) , b) má nekonečně mnoho řešení a právě jedna neznámá je volitelná, c) má nekonečně mnoho řešení a právě dvě neznámé jsou volitelné, d) nemá řešení, e) žádná z uvedených možností není správná. 2.

Vypočtěte neznámou matici X v maticové rovnici 3

. X + B = X . A + 2 . B, kde

5, -7 -1, 1 A= > H aB= > H , potom 1, 7 1, -2 a) tato rovnice má právě jedno řešení X = >

- 31 ,

-3

1,

- 25

H,


Jestliže funkce f (x) je definována předpisem f (x) = funkce f (x) je

a) f '(x) =

1 - 4 $ ln (x) , x5

b) f '(x) =

1 - 4 $ ln (x) 1 + , 5 x5

c) f '(x) =

1 , 4 $ x4

ln (x) + ln (5) , potom derivace x5

335


d) f '(x) =


1 +1, 4 $ x4 5


Maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body inflexe pro funkci f (x) = x 3 – 3x 2 – 10x + 12 jsou

a) f (x) je konvexní v (–, 1, je konkávní v 1, ), bod 1 je bod inflexe funkce f (x), b) f (x) je konkávní v (–, 1), je konvexní v (1, ), bod 1 je bod inflexe funkce f (x), c) f (x) je konkávní v (–, 1, je konvexní v 1, ), bod 1 je bod inflexe funkce f (x), d) f (x) je konvexní v (–, 1), je konkávní v (1, ), bod 1 je bod inflexe funkce f (x), e) žádná z uvedených možností není správná. 4

5.

Vypočtěte

tg (x) d x . Potom y cos 2 (x)

4

5

a)

tg (x) tg (x) dx =+C, y cos 2 5 (x)

b)

tg (x) tg (x) dx = +C, y cos 2 5 (x)

c)

tg (x) d x = tg5 (x) + C , y cos 2 (x)

d)

tg (x) d x = -tg5 (x) + C , y cos 2 (x)

4

5

4

4


336


Výsledky Test A – 1. b); 2. b); 3. d); 4 a); 5. d). Test B – 1. d); 2. a); 3. c); 4 a); 5. b). Test C – 1. b); 2. e); 3. b); 4 c); 5. a). Test D – 1. d); 2. c); 3. a); 4 c); 5. a). Test E – 1. c); 2. d); 3. a); 4 c); 5. c). Test F – 1. a); 2. b); 3. a); 4 c); 5. b).

Co říci závěrem. Použijeme slov Bernarda Fontenellea: Naši otcové tím, že se mýlili, ušetřili nás svých omylů.

337

Logika a matematika pro ekonomy

Recommend Documents