INOVACE MATEMATIKY PRO EKONOMY NA VŠE Anketa v roce 2008 Dne 11.12.2008 se obrátil člen katedry matematiky doc. RNDr. Jiří Henzler, CSc. na všechny učitele Vysoké školy ekonomické v Praze s následující výzvou: ” Vážení kolegové, obracíme se na ty z Vás, kteří používají matematický aparát při výuce odborných předmětů. Rádi bychom přizpůsobili výuku základního kurzu Matematika pro ekonomy 4MM101 potřebám výuky odborných předmětů na VŠE. Prosíme vás proto, abyste byli tak laskavi a uvedli konkrétní matematický aparát (např. derivace, integrály) a matematické postupy (např. řešení soustavy lineárních rovnic, výpočet determinantů, stanovení maxima a minima funkce), které při výuce potřebujete. Uveďte prosím rovněž používaný stupeň abstrakce (např. funkce dvou, tří, n proměnných, matice typu 2x2, n x n, závislost funkcí či matic na parametru či několika parametrech) a šíři aplikace používaných postupů (např. derivování polynomů, odmocnin, logaritmických a exponenciálních funkcí, sinu a kosinu nebo též funkcí cyklometrických, integrování součinů polynomů, odmocnin, logaritmických a exponenciálních funkcí nebo též jejich podílů apod., můžete uvést konkrétní příklady). Uvítáme jakoukoli připomínku, ať už formou emailu či při osobním kontaktu. Přikládáme obsah cvičení základního kurzu 4MM101. Prosíme o uvedení - pojmů a výpočetních postupů ze seznamu, jejichž znalost považujete za důležitou pro studenty VŠE - jakož i pojmů a výpočetních postupů, které v seznamu postrádáte. HARMONOGRAM CVIČENÍ KURZU 4MM101 (konečná redakce doc. Kaňka) 1. Funkce, vytváření složených funkcí, prostá funkce, inverzní funkce, zavedení cyklometrických funkcí, výpočet definičních oborů, výpočet inverzních funkcí. 2. Aritmetické vektory - lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost (výpočet podle definice). Hodnost matice. Lineární závislost a nezávislost vektorů pomocí hodnosti matice. 3. Soustavy lineárních rovnic - Gaussova a Jordanova metoda. Užití věty o počtu řešení soustavy rovnic, příklad na homogenní soustavu. 4. Výpočet součinu matic, výpočet inverzní matice k matici 2x2 a 3x3. Řešení maticových rovnic pro matice 2x2, řešení soustav lineárních rovnic užitím inverzní matice. 5. Výpočet determinantů. Užití determinantů (souvislost determinantu a lineární závislosti a nezávislosti vektorů, regularity matice atd.), Cramerovo pravidlo. 6. Limity posloupností (limita polynomu, racionální lomené funkce, iracionální funkce, typ 1 na nekonečno). Limita funkce (limita racionální funkce v krajních bodech definičního oboru). 7. Užití spojitosti funkce pro výpočet limity složených funkcí. Derivování podle vzorců. Derivace operací, derivace složených funkcí. L’Hospitalovo pravidlo. 8. Užití věty o významu první derivace pro průběh funkce, funkce rostoucí, klesající, lokální extrémy. Užití věty o významu druhé derivace pro průběh funkce, funkce konvexní, konkávní, inflexní body. Extrémy spojité funkce na uzavřeném i neuzavřeném intervalu. Průběh funkce. 1
2
9. Test . Množiny v R x R, omezená, otevřená, uzavřená, kompaktní - procvičit na příkladech def. oborů funkcí dvou proměnných. 10. Parciální derivace 1. a 2. řádu. Lokální extrémy funkcí dvou proměnných. Vázané extrémy funkcí dvou proměnných - dosazovací metoda, metoda jakobiánu. Metoda Lagrangeova multiplikátoru - zmínka na jednoduchém příkladu (kontrolovaná četba). 11. Extrémy spojité funkce na kompaktních množinách s vnitřními body. Neurčitý integrál (metoda per-partes, substituční metoda). 12. Integrace racionální lomené funkce ( se jmenovatelem max. druhého stupně - doplnil Henzler). Určitý a nevlastní integrál. 13. Diferenciální rovnice ( separace proměnných, lineární rovnice prvního a druhého řádu s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou - doplnil Henzler). Nekonečné geometrické řady (kontrolovaná četba). Odpovědi prosím adresujte na email henzler@ vse.cz . Vaše případné reakce na tento dopis nám velmi pomohou a předem za ně upřímně děkujeme. S pozdravem za kolektiv katedry matematiky doc. RNDr. Jiří Henzler, CSc.” Většina odpovědí se týkala témat, která ve výuce matematiky chybí a která jsou při výuce některých odborných předmětů potřeba. V oblasti lineární algebry je nejvíce postrádanou látkou teorie vlastních čísel a vlastních vektorů, dále pak pozitivně definitní matice či kvadratické formy. Z teorie, která je v základním kurzu probírána, je nejpožadovanější Cramerovo pravidlo pro řešení soustav lineárních rovnic, a tudíž maticový počet a determinanty. V matematické analýze je nejpostrádanější pravděpodobně Taylorův polynom, alespoň prvního a druhého stupně. Z probírané látky jsou nejužitečnější optimalizační úlohy jak pro funkce jedné reálné proměnné tak pro funkce více proměnných, speciálně řešení pomocí Lagrangeových multiplikátorů, které mají v ekonomii svůj význam. Za užitečnou je považováno vše, co se týká průběhu funkce, význam první derivace pro průběh funkce, monotonie, lokální extrémy, význam druhé derivace pro průběh funkce, konvexita, konkavita, inflexní body. Objevily se kladné odezvy na výuku integrálů, hlavně pro určení plochy pod grafem funkce. Na druhé straně se objevilo doporučení ”trénovat” matematickou analýzu nejvíce na funkcích mocninných, exponenciálních, logaritmických, méně na ostatních typech funkcí. Také se objevily požadavky na výuku logiky či některých partií středoškolské matematiky, teorie kvazikonkávních či homogenních funkcí, stability řešení lineárních diferenciálních rovnic, teorie parciálních diferenciálních rovnic, inverzní funkce, pseudoinverzní matice, konvergence řady, teorie geometrických řad pro úrokový počet, diferenční rovnice, soustavy diferenciálních rovnic a stabilita jejich řešení. Vzhledem k tomu, že základní kurz matematiky 4MM101 je pouze jednosemestrální, není možné všechny tyto požadavky splnit. Neobjevila se žádná reakce, která by se týkala výuky limit posloupností, limit a spojitosti funkce. Tato teorie je nezbytná jako základ pro vybudování diferenciálního a integrálního počtu. Otázkou je, do jaké hloubky a jak náročné příklady by měly být vyučovány.
3
Anketa v roce 2011 Protože se ankety zúčastnilo malé procento členů akademické obce VŠE, pokusily jsme se 15. listopadu 2011 o něco podobného ještě jednou. Oslovily jsme vedoucí všech kateder s otázkou, které partie vysokoškolské matematiky potřebují studenti ke zvládnutí předmětů, které jsou vyučovány jejich katedrou. Odpovědi se pochopitelně lišily podle fakult, na kterých dané katedry působí. Z fakulty financí a účetnictví jsme zaznamenaly požadavek na výuku nejméně ve čtyřech semestrech. Kromě témat, která katedra matematiky v základním kurzu vyučuje, zazněla potřeba z metod na řešení extremálních úloh funkcí více proměnných hlavně metody Lagrangeových multiplikátorů pro vázané extrémy. Navíc opět potřeba znalosti vlastních čísel matic a Taylorova rozvoje. Katedry z fakulty podnikohospodářské vyjádřily potřebu znalosti kromě středoškolské matematiky hlavně diferenciálního počtu funkcí jedné i více proměnných, který je potřeba pro zvládnutí pojmů jako jsou např. mezní veličiny, elasticita, citlivost, či k řešení extremálních úloh, ojediněle limity či výpočet určitého integrálu. Některé katedry fakulty informatiky a statistiky nám zaslaly obsáhlé požadavky, ve kterých se kromě témat vyučovaných v základním kurzu objevovaly náročné partie vysokoškolské matematiky, např. partie z pravděpodobnosti a statistiky, numerické matematiky. Znovu se objevil požadavek na znalost vlastních čísel matic a Taylorova polynomu. Z elementárních funkcí je třeba zvládnout hlavně polynomy, mocninné, exponenciální a logaritmické funkce. Z národohospodářské fakulty přišly stručné odpovědi. Studenti potřebují derivace, parciální derivace, integrály. Zajímavé bylo doporučení seznamovat studenty se souvislostmi matematiky a ekonomie, aby ”bylo jasné, k čemu znalosti využijí”. Závěry Na základě získaných odpovědí z obou elektronických dotazů jsme došly k následujícím závěrům. Obsah výuky v základním kurzu Matematika pro ekonomy 4MM101 odpovídá ve větší části požadavkům členů akademické obce VŠE, kteří matematické metody a nástroje používají při výuce odborných předmětů, a požadavkům, které vyjádřila vedení odborných kateder jednotlivých fakult. Obsah předmětu nelze koncipovat tak, aby vyhovoval všem fakultám a katedrám. Národohospodářská fakulta by pravděpodobně přivítala více výuky diferenciálního počtu funkcí jedné i více proměnných, stejně tak fakulta financí. Metodu Lagrangeových multiplikátorů by bylo potřeba vzhledem k jejich ekonomickému významu vykládat obecně pro funkce více proměnných. Velké části odpovídajících chybí ve výuce vlastní čísla a vlastní vektory matic a Taylorův polynom. Na fakultě informatiky a statistiky studenti některých oborů absolvují rozšířený kurz Matematika pro informatiky a statistiky 4MM103, ve kterém jsou probírány kvadratické formy, vlastní vektory, Taylorův polynom, diferenční rovnice atd. Zde se nabízí možnost, jak uspokojit požadavky odborných kateder. Rozšířit nabídku výuky matematiky o (rozšířené) kurzy určené pro jednotlivé fakulty, přizpůsobené obsahu návazujících odborných předmětů. Obsahem projektu FRVŠ ”Inovace výuky matematiky pro ekonomy” bylo doplnit výuku matematické teorie aplikačními příklady, na kterých bychom na před-
4
náškách a cvičeních ilustrovali použití matematických modelů a nástrojů v ekonomické praxi. Obsah předmětu zůstal zachován, doplnily jsme Taylorův polynom a vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory. Každou kapitolu jsme doplnily aplikačními příklady. Vybíraly jsme příklady, které nevyžadují výklad hlubší ekonomické teorie a které nejsou numericky náročné (jako např. v numerické matematice, kde jsou výsledky získány některým z matematických softwarů). NÁVRH SYLABU: 4MM101 MATEMATIKA PRO EKONOMY Kód předmětu: 4MM101 Název v jazyce výuky: Matematika pro ekonomy Název česky: Matematika pro ekonomy Název anglicky: Mathematics for Economists Způsob ukončení a počet kreditů: zkouška ECTS (6 kreditů), zkouška (4 kredity). Jeden ECTS kredit odpovídá 26 hodinám studijní zátěže průměrného studenta. Forma výuky: Prezenční studium: 2/2 (počet hodin přednášek týdně / počet hodin cvičení týdně) Jazyk výuky: čeština Doporučený typ a ročník studia: bakalářský a 1 Zaměření předmětu: Seznámit studenty se základními pojmy a postupy lineární algebry, diferenciálního a integrálního počtu a se základními postupy řešení diferenciálních rovnic. Jedná se o pojmy a postupy nezbytné ke studiu ekonomie (např. všechny mezní hodnoty jsou derivace). Matematické pojmy ilustrovat na jednoduchých ekonomických pojmech a příkladech. Výstupy předmětu: Po úspěšném absolvování kurzu bude student schopen: 1) řešit soustavy lineárních rovnic; 2) vypočítat inverzní matici, resp. rozhodnout, zda inverzní matice existuje; 3) pomocí inverzních matic řešit jednoduché maticové rovnice; 4) stanovit determinant matice, užít Cramerovo pravidlo; 5) vypočítat derivace elementárních funkcí, vypočítat limity pomocí L’Hospitalova pravidla a užít věty o významu první a druhé derivace pro průběh funkce, vyšetřit průběh funkce; 6) stanovit lokální a vázané extrémy funkcí dvou proměnných; 7) užít metodu integrace per partes a substituční metodu pro výpočet neurčitých integrálů; 8) užít Newtonovu definici určitého integrálu a definici nevlastního integrálu. Obsah předmětu: 1) Operace s aritmetickými vektory (lineární kombinace, závislost a nezávislost, skalární součin). Příklady na použití vektorů, skalárního součinu v ekonomii. 2) Matice, hodnost matice. Soustavy lineárních rovnic, Frobeniova věta. Soustavy lineárních rovnic v ekonomii, např. stanovení rovnovážných cen, lineární modely v ekonomii. 3) Násobení matic, regulární matice, inverzní matice, maticové rovnice, determinanty a jejich užití. Vlastní čísla a vlastní vektory matic. Užití maticových rovnic
5
a Cramerova pravidla, např. při stanovení rovnovážných cen. 4) Limita posloupnosti, limita funkce jedné proměnné. 5) Spojitost funkce jedné proměnné. Jednoduché příklady spojitých a nespojitých funkcí a jejich limit. 6) Derivace funkce jedné proměnné, derivace vyšších řádů, L’Hospitalovo pravidlo. Pojem mezní veličiny, elasticity funkce, konkrétní ekonomické aplikace. 7) Význam první a druhé derivace pro průběh funkce (monotónní funkce, lokální extrémy, konvexita a konkávita, inflexní body), extrémy funkce jedné proměnné, průběh funkce. Taylorův polynom. Optimalizační úlohy pro funkce jedné proměnné, konkrétní ekonomické aplikace. 8) Funkce dvou proměnných, parciální derivace, parciální derivace druhého řádu, hladké funkce prvního a druhého řádu, lokální extrémy, vázané extrémy, metoda Jacobiho determinantu, metoda Lagrangeových multiplikátorů. Pojem mezní veličiny, elasticity funkce, konkrétní ekonomické aplikace. Ekonomické úlohy vedoucí na optimalizační úlohy pro funkce dvou proměnných, konkrétní ekonomické aplikace. 9) Primitivní funkce, neurčitý integrál (metoda per partes a substituční metoda), integrace racionálních funkcí. Integrace mezní veličiny. 10) Určitý integrál, nevlastní integrál. Určitý a nevlastní integrál a jeho geometrická interpretace v ekonomii a statistice, např. distribuční funkce, diskontování. 11) Diferenciální rovnice, diferenciální rovnice prvního a druhého řádu s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou. Praktické úlohy vedoucí na řešení diferenciálních rovnic. 12) Rezerva. Počet hodin studijní zátěže - prezenční studium: účast na přednáškách: 26 příprava na přednášky: 26 účast na cvičeních/seminářích: 26 příprava na cvičení/semináře: 26 příprava na průběžný test (testy): 13 příprava na závěrečný test: 13 příprava na závěrečnou ústní zkoušku: 26 celkem: 156 Požadavky na ukončení - prezenční studium: Absolvování průběžného testu: 20 procent Absolvování závěrečného testu: 40 procent Absolvování závěrečné ústní zkoušky: 40 procent. Celkem: 100 procent. Literatura: Doporučená: J.Klůfa: Matematika pro studenty VŠE. Ekopress, Praha 2011. ISBN 978-8086929-74-3 B.Batíková, M.Otavová, E.Valentová: Matematika v ekonomii, Oeconomica, Praha 2012, v tisku. Řešitelky projektu: Barbora Batíková, Miroslava Otavová, Eva Valentová.
