w w w . g r a d a . c z
2. vydání
2., upravené a doplněné vydání
Armstrong
Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 170 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 401, fax: +420 234 264 400 e-mail:
[email protected], www.grada.cz
Matematika pro studenty ekonomie
MATEMATIKA PRO STUDENTY EKONOMIE
Dále doporučujeme:
Jiří Moučka Petr Rádl Michael
Publikace srozumitelně vysvětluje základní matematické pojmy a metody, jejichž znalost je nezbytná při studiu ekonomických fakult vysokých škol. Oproti prvnímu vydání kniha nabízí více příkladů na procvičení a některé pasáže jsou upraveny tak, aby lépe navazovaly na současné znalosti středoškolské matematiky studentů. Při studiu učebnice budete postupovat od lineární algebry přes diferenciální počet funkce jedné proměnné, diferenciální počet funkce dvou proměnných, integrální počet funkce jedné proměnné, diferenciální rovnice až po diferenční rovnice. Díky množství řešených příkladů probíraná témata snadněji pochopíte a získané znalosti pak využijete v dalším studiu, např. ve statistice, operačním výzkumu, ekonometrii, ekonomii apod. Řešení příkladů se odkrývá postupně po jednotlivých krocích, což přispívá k rychlému zvládnutí probírané látky. Kniha pokrývá obsah základního kurzu matematiky na vysokých školách ekonomického zaměření.
Jiří Moučka, Petr Rádl
Lineární algebra
Diferenciální rovnice
Diferenciální a integrální počet
Diferenční rovnice Teorie a 237 řešených příkladů
Jiří Moučka, Petr Rádl
Matematika pro studenty ekonomie 2., upravené a doplněné vydání
Grada Publishing
Upozornění pro čtenáře a uživatele této knihy Všechna práva vyhrazena. Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reprodukována a šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu nakladatele. Neoprávněné užití této knihy bude trestně stíháno.
Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl
Matematika pro studenty ekonomie 2., upravené a doplněné vydání Kniha je monografie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 170 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 401, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou 5961. publikaci Odborná recenze: Prof. RNDr. Jan Chvalina, DrSc. Doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Vydání odborné knihy schválila Vědecká redakce nakladatelství Grada Publishing, a.s. Odpovědní redaktoři Petr Somogyi, Kamila Nováková Sazba Petr Somogyi Návrh a zpracování obálky Jan Dvořák Počet stran 272 Druhé vydání, Praha 2015 Vytiskla Tiskárna v Ráji, s.r.o., Pardubice © Grada Publishing, a.s., 2015 Cover Photo © fotobanka allphoto ISBN 978-80-247-9914-8 (pdf) ISBN 978-80-247-5406-2 (print)
Obsah O autorech............................................................................................................. 9 Úvod ..................................................................................................................... 11 1. Lineární algebra .............................................................................................. 13 1.1 Základní pojmy z teorie množin ................................................................. 14 Cvičení .................................................................................................. 16 1.2 Vektorové prostory ..................................................................................... 16 1.2.1 Pojem vektorového prostoru ........................................................ 16 1.2.2 Aritmetický vektorový prostor ....................................................... 18 1.2.3 Podprostor vektorového prostoru................................................. 19 1.2.4 Lineární závislost a nezávislost vektorů....................................... 21 1.2.5 Báze a dimenze vektorového prostoru ........................................ 22 Cvičení .................................................................................................. 24 1.3 Matice......................................................................................................... 26 1.3.1 Pojem matice ............................................................................... 26 1.3.2 Základní operace s maticemi ....................................................... 29 1.3.3 Hodnost matice ............................................................................ 31 1.3.4 Násobení matic ............................................................................ 35 Cvičení .................................................................................................. 38 1.4 Determinanty .............................................................................................. 39 1.4.1 Pojem determinantu ..................................................................... 39 1.4.2 Vlastnosti determinantů................................................................ 42 1.4.3 Kondenzační metoda výpočtu determinantů................................ 47 Cvičení .................................................................................................. 48 1.5 Soustavy lineárních rovnic ......................................................................... 50 1.5.1 Základní pojmy............................................................................. 50 1.5.2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic......................................... 52 1.5.3 Metody řešení soustav lineárních rovnic...................................... 54 Cvičení .................................................................................................. 63 1.6 Maticová algebra ........................................................................................ 65 1.6.1 Inverzní matice............................................................................. 65 1.6.2 Maticové rovnice .......................................................................... 68 Cvičení .................................................................................................. 70 2. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné................................................. 73 2.1 Funkce. Vlastnosti funkcí ........................................................................... 74 2.1.1 Definice funkce............................................................................. 74 2.1.2 Vlastnosti funkcí ........................................................................... 77 2.1.3 Základní elementární funkce........................................................ 82 2.1.4 Operace s funkcemi. Transformace grafu funkce ........................ 89 2.1.5 Polynom. Racionální funkce......................................................... 92 Cvičení .................................................................................................. 97 2.2 Limita funkcí ............................................................................................... 99 2.2.1 Definice limity ............................................................................... 99 2.2.2 Nevlastní limita ........................................................................... 101
6
Matematika pro studenty ekonomie
2.2.3 Výpočet limity ............................................................................. 102 Cvičení................................................................................................. 105 2.3 Spojitost funkcí ......................................................................................... 106 Cvičení................................................................................................. 107 2.4 Derivace funkcí......................................................................................... 108 2.4.1 Definice a geometrický význam derivace................................... 108 2.4.2 Pravidla pro derivování .............................................................. 109 2.4.3 Derivace složených funkcí ......................................................... 112 2.4.4 Derivace implicitních funkcí. Derivace funkcí tvaru fg................ 114 2.4.5 Derivace vyššího řádu................................................................ 115 2.4.6 Diferenciál funkce....................................................................... 116 Cvičení................................................................................................. 116 2.5 Užití derivací. Průběh funkce ................................................................... 118 2.5.1 L’Hospitalovo pravidlo ................................................................ 118 2.5.2 Monotónnost a extrémy funkce .................................................. 121 2.5.3 Konvexnost, konkávnost. Inflexní body...................................... 127 2.5.4 Asymptoty grafu funkce.............................................................. 129 2.5.5 Průběh funkce ............................................................................ 132 Cvičení................................................................................................. 135 3. Diferenciální počet funkcí dvou proměnných ........................................... 139 3.1 Pojem funkce dvou a více proměnných ................................................... 140 3.1.1 Euklidovské prostory .................................................................. 140 3.1.2 Význačné body a množiny bodů v prostoru En.......................... 143 3.1.3 Definice funkce dvou a více proměnných .................................. 145 3.1.4 Grafické znázornění funkce dvou proměnných.......................... 148 Cvičení................................................................................................. 150 3.2 Limita a spojitost funkcí dvou proměnných .............................................. 150 3.2.1 Limita funkcí dvou proměnných ................................................. 150 3.2.2 Spojitost funkcí dvou proměnných ............................................. 154 Cvičení................................................................................................. 154 3.3 Derivace funkcí dvou proměnných........................................................... 155 3.3.1 Parciální derivace....................................................................... 155 3.3.2 Geometrický význam parciální derivace .................................... 156 3.3.3 Tečná rovina a normála plochy .................................................. 157 3.3.4 Parciální derivace vyšších řádů ................................................. 158 Cvičení................................................................................................. 160 3.4 Extrémy funkcí dvou a více proměnných ................................................. 161 3.4.1 Lokální extrémy funkcí dvou proměnných ................................. 161 3.4.2 Lokální extrémy funkcí tří proměnných..................................... 165 3.4.3 Vázané extrémy ......................................................................... 166 3.4.3 Absolutní extrémy....................................................................... 169 Cvičení................................................................................................. 171 4. Integrální počet funkcí jedné proměnné .................................................... 173 4.1 Neurčitý integrál ....................................................................................... 174 4.1.1 Primitivní funkce a neurčitý integrál ........................................... 174 4.1.2 Přímá integrace pomocí vzorců a úprav integrandu .................. 175
Obsah 7
4.1.3 Integrace racionální funkce ........................................................ 180 4.1.4 Substituční metoda .................................................................... 184 4.1.5 Metoda „per partes“.................................................................... 187 4.1.6 Integrace metodou neurčitých koeficientů ................................. 190 Cvičení ................................................................................................ 191 4.2 Určitý integrál ........................................................................................... 193 4.2.1 Definice a vlastnosti určitého integrálu ...................................... 193 4.2.2 Výpočet určitého integrálu.......................................................... 196 4.2.3 Geometrické aplikace určitého integrálu.................................... 198 Cvičení ................................................................................................ 204 4.3 Nevlastní integrál...................................................................................... 205 4.3.1 Integrál nevlastní vzhledem k mezi............................................ 205 4.3.2 Integrál nevlastní vzhledem k funkci .......................................... 207 Cvičení ................................................................................................ 210 5. Diferenciální rovnice .................................................................................... 211 5.1 Základní pojmy ......................................................................................... 212 Cvičení ................................................................................................ 214 5.2 Diferenciální rovnice 1. řádu .................................................................... 215 5.2.1 Diferenciální rovnice typu y´= f(x) .............................................. 215 5.2.2 Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými ............. 216 5.2.3 Lineární diferenciální rovnice 1. řádu......................................... 218 Cvičení ................................................................................................ 221 5.3 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu ....................................................... 222 5.3.1 Diferenciální rovnice typu yʹʹ = f(x) ............................................. 222 5.3.2 Zkrácená lineární diferenciální rovnice 2. řádu .......................... 223 5.3.3 Metoda variace konstant ............................................................ 226 5.3.4 Metoda neurčitých koeficientů.................................................... 228 5.3.5 Skládání hlavních integrálů ........................................................ 232 Cvičení ................................................................................................ 232 6. Diferenční rovnice ........................................................................................ 235 6.1 Posloupnost. Diference posloupnosti....................................................... 236 Cvičení ................................................................................................ 240 6.2 Diferenční rovnice .................................................................................... 240 6.2.1 Základní pojmy........................................................................... 240 6.2.2 Lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty .............. 242 Cvičení ................................................................................................ 249 Výsledky cvičení ............................................................................................... 251 Literatura ........................................................................................................... 269 Shrnutí ............................................................................................................... 270 Rejstřík............................................................................................................... 271
O autorech Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. Vystudoval odbornou matematiku na Přírodovědecké fakultě Univerzity Jana Evangelisty Purkyně (dnes Masarykova univerzita) v Brně (1974). V rámci doktorského postgraduálního studia na Masarykově univerzitě v Brně studoval vlastnosti diskrétních algebraických struktur (1997). Touto problematikou se zabýval i ve své habilitační práci, která byla zaměřena na aplikaci diskrétních matematických struktur pro modelování procesů (2002). Pedagogicky působil na Fakultě ekonomiky obrany státu VVŠ PV ve Vyškově, na Fakultě ekonomiky a managementu Univerzity obrany v Brně a na Provozně ekonomické fakultě Mendelovy univerzity v Brně. Přednášel především matematiku pro studenty ekonomických specializací, operační analýzu a ekonomicko-matematické metody. Zpracoval řadu studijních textů a skript zaměřených na základní kurz vyšší matematiky, teorii her a lineární programování. Je autorem a spoluautorem několika desítek odborných článků v oblasti teorie algebraických hyperstruktur a matematického modelování. V současné době je garantem předmětu Matematika na Fakultě vojenského leadershipu Univerzity obrany v Brně a na Provozně ekonomické fakultě Mendelovy univerzity v Brně.
RNDr. Petr Rádl Vystudoval Přírodovědeckou fakultu Univerzity Jana Evangelisty Purkyně (dnes Masarykova univerzita) v Brně, obor matematika a deskriptivní geometrie (1972). Zde v roce 1981 složil státní rigorózní zkoušku. Po absolvování základní vojenské služby je od roku 1973 zaměstnán na Mendelově univerzitě v Brně. Působil na Ústavu matematiky Lesnické a dřevařské fakulty, v letech 2004–2007 byl vedoucím tohoto ústavu. Přednášel matematiku, konstruktivní geometrii a technické kreslení v různých studijních programech prezenční i kombinované formy studia na všech fakultách univerzity a je spoluautorem skript používaných ke studiu těchto předmětů. Řadu let byl garantem přijímacích zkoušek z matematiky na Mendelovu univerzitu a je vedoucím autorského kolektivu Sbírky příkladů z matematiky pro přijímací řízení. Externě přednášel technické kreslení na Přírodovědecké fakultě Masarykovy univerzity v Brně, kde byl také členem komise pro státní závěrečné zkoušky ve studijním programu Matematika a Aplikovaná matematika. Od roku 2008 působí na Ústavu statistiky a operačního výzkumu Provozně ekonomické fakulty Mendelovy univerzity v Brně a přednáší matematiku studentům této fakulty.
Úvod Znalost exaktních metod ekonomických teorií by měla v současné době patřit k nezbytné výbavě každého pracovníka na jakékoliv úrovni ekonomické praxe. Z toho pro něj jednoznačně vyplývá nutnost seznámit se s jejich matematickými základy. Stěžejním cílem autorů této učebnice, stejně jako cílem výuky matematiky na ekonomických fakultách, je poskytnout studentům základní znalosti vyšší matematiky využitelné při studiu navazujících ekonomicko-matematických předmětů a při studiu kvantitativních metod aplikovaných v odborných ekonomických disciplínách. Učebnice je rozdělena do šesti kapitol, které na sebe logicky navazují. Pro úspěšné studium určité kapitoly je nezbytné zvládnutí látky z předchozích kapitol. Vždy se přitom požaduje znalost středoškolské matematiky v obvyklém rozsahu. V každé kapitole je formou definic a vět bez důkazů shrnuta potřebná teorie. Způsob výkladu je přitom přizpůsoben odbornému zaměření studentů, kteří nestudují matematiku jako takovou, ale potřebují ji umět vhodně využívat. Přímo v základním textu jsou probírané pojmy a metody ilustrovány množstvím řešených příkladů. Další úlohy, označené jako cvičení, jsou určeny k samostatnému řešení. Výsledky těchto cvičení jsou uvedeny na konci knihy. Definice, věty, příklady i obrázky jsou vždy označeny dvojicí číslic, z nichž první značí pořadové číslo kapitoly a druhá jejich pořadí uvnitř kapitoly. Značkou jsou v textu kvůli větší přehlednosti označeny konce definic, vět a příkladů včetně jejich řešení. Učebnice je určena především studentům prezenční i kombinované formy studia Provozně ekonomické fakulty Mendlovy univerzity v Brně a Fakulty vojenského leadershipu Univerzity obrany v Brně. Její obsah jednoznačně koresponduje se stávajícím studijním plánem prvních semestrů studia na zmíněných fakultách, kde oba autoři pedagogicky působí. Byla koncipována na základě skript a učebních textů, které jsou zaměřeny na dílčí části probírané problematiky a které byly používany při výuce základního kurzu matematiky na obou fakultách v posledním desetiletí. Zkušenosti z jejich používání, připomínky a názory jejich autorů i uživatelů byly při tvorbě této knihy využity a autoři za ně touto cestou srdečně děkují. Jedním z důležitých motivů vzniku předkládaného textu bylo shrnout celý obsah základního matematického kurzu do jediné učebnice, jejíž prostudování umožní studentům úspěšné zvládnutí předmětu Matematika. Druhé vydání knihy reflektuje zkušenosti autorů a jejich spolupracovníků získané při jejím pětiletém intenzivním využívání. Vzhledem k tomu, že mnohé další ekonomické fakulty v České republice mají ve svých studijních programech základní kurz vysokoškolské matematiky podobného obsahu i rozsahu, je možné, že po této učebnici sáhnou i studenti jiných vysokých škol, především ekonomického zaměření. Všechny liché kapitoly napsal doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D., autorem sudých kapitol je RNDr. Petr Rádl. Za mnohé cenné rady a připomínky autoři děkují doc. RNDr. Josefu Kalasovi, CSc., RNDr. Ludmile Staré a RNDr. Milanu Vágnerovi. Brno, srpen 2015
Autoři
KAPITOLA 1
Lineární algebra
14
Matematika pro studenty ekonomie
Lineární algebra, jejíž základy se v této kapitole studují, se začala vytvářet jako samostatná matematická disciplína v 18. století, kdy byl zaveden pojem determinantu a ukázána metoda řešení soustavy n lineárních rovnic o n neznámých. V polovině 19. století se poprvé objevuje pojem matice a další metody řešení soustav lineárních rovnic. Lineární algebra však není pouze teoretickou matematickou disciplinou. Typická je její aplikovatelnost a široké použití v praxi. Bezprostředně je využíváno metod lineární algebry v lineárním programování, jež řeší celou řadu úloh ekonomického charakteru.
1.1 Základní pojmy z teorie množin V úvodním odstavci uvádíme přehled základních pojmů teorie množin v míře nezbytně nutné pro pochopení všech dalších úvah. Množinou M rozumíme souhrn určitých objektů chápaný jako samostatný celek. Tyto objekty nazýváme prvky množiny a značíme a, b, x, y. Zápisem a M , resp. a M rozumíme, že a je, resp. a není prvkem množiny M. Pro každý objekt a a množinu M platí právě jedna z možností a M nebo a M . Množinu, která nemá žádný prvek, značíme symbolem Ø a říkáme jí prázdná množina. Množinu, která je souhrnem prvků b1,... ,bn označujeme symbolem {b1,...,bn } . Ze středoškolské matematiky jsou dále známy tyto zápisy a jejich význam: AB AB AB AB AB
– rovnost množin A, B, – množina A je podmnožina množiny B, – průnik množin A, B, – sjednocení množin A, B, – rozdíl množin A, B, tedy množina právě těch prvků x A, pro které platí x B.
Nechť M1, M2 jsou dvě množiny. Množina všech uspořádaných dvojic ( x1,x 2 ) , kde x1 M1, x 2 M 2 , se nazývá kartézský součin množin M1, M 2 a značí se M1 M 2 . Jsou-li M1, M2 libovolné množiny, pak binární relací z množiny M1 do množiny M 2 nazýváme každou podmnožinu kartézského součinu M1 M 2 . Zobrazením f z množiny M1 do množiny M 2 nazýváme každou binární relaci f M1 M 2 takovou, že každému prvku x1 M1 je přiřazen nejvýše jeden prvek x2 M2 s vlastností ( x1,x2 ) f . Někdy se používá značení f: M1 → M2. Je-li při zobrazení f z množiny M1 do množiny M2 každému prvku x1 M1 přiřazen právě jeden prvek x 2 M 2 , mluvíme o zobrazení f množiny M1 do množiny M2. Jestliže při zobrazení f z množiny M1 do množiny M2 existuje ke každému prvku x 2 M 2 alespoň jeden prvek x1 M1 tak, že ( x1,x 2 ) f , mluvíme o zobrazení f z množiny M1 na množinu M 2 . Jestliže je při zobrazení f z množiny M1 do množiny M2 každému prvku x1 M1 přiřazen právě jeden prvek x 2 M 2 a ke každému prvku x 2 M 2 existuje alespoň jeden prvek x1 M1 tak, že ( x1,x 2 ) f , mluvíme o zobrazení f množiny M1 na množinu M2.
1. Lineární algebra 15
Důležitou roli v matematice i v jiných vědách hraje pojem (algebraické) operace. Binární operací v množině M rozumíme každé zobrazení M × M → M, které každé uspořádané dvojici (a,b ) M přiřazuje nejvýše jeden prvek c M. Označíme-li binární operaci (dále jen operace) symbolem □ , můžeme psát a □ b = c. Operaci □ nazýváme komutativní právě tehdy, když pro každé prvky a, b M platí a □ b = b □ a. Operaci □ nazýváme asociativní právě tehdy, když pro každé prvky a, b, c M platí (a □ b) □ c = a □ (b □ c). Operaci ● nazýváme distributivní zleva resp. zprava k operaci □ právě tehdy, když pro každé prvky a, b, c M platí a ● (b □ c) = (a ● b) □ (a ● c) resp. (b □ c) ● a = (b ● a) □ (c ● a). Je-li operace ● komutativní, nemusíme rozlišovat zleva a zprava a používáme pouze jeden vztah a ● (b □ c) = (a ● b) □ (a ● c). Výše uvedené rovnosti bývají také nazývány komutativní, asociativní a distributivní zákon. Existuje-li v množině M takový prvek e, že pro každé x M platí rovnost x □ e = e □ x =x, nazývá se tento prvek neutrální vzhledem k operaci □. Je-li e neutrální prvek vzhledem k operaci □ a existuje-li k prvku a M prvek a M s vlastností a □ a = a □ a = e, nazýváme prvek a inverzní, případně opačný prvek k prvku a na množině M. Nejjednoduššími příklady komutativních a asociativních operací jsou běžné operace sčítání a násobení na množině N0. Při operaci sčítání hraje roli neutrálního prvku číslo 0, při operaci násobení číslo 1. Inverzní prvek k žádnému číslu však v množině přirozených čísel neexistuje ani vzhledem k operaci sčítání, ani vzhledem k násobení. V množině reálných čísel jsou obě operace komutativní i asociativní a vzhledem k oběma operacím má každý prvek a M inverzní prvek 1 a . Při sčítání je a = –a, při násobení a = , neutrální prvky jsou opět 0 a 1. a Ve všech základních číselných množinách je operace násobení distributivní k operaci sčítání, tj. a · (b + c) = ab + ac. S celou řadou jiných operací na různých množinách se budeme setkávat na dalších stranách této učebnice. Operace, v níž se vyskytují pouze prvky množiny M, tj. M × M → M, se nazývá vnitřní. Vyskytují-li se při operaci kromě prvků množiny M i prvky jiné množiny, např. R × M → M, mluvíme o operaci vnější. Neprázdná množina, na níž je definována alespoň jedna (algebraická) operace, se nazývá algebraická struktura. Významnou algebraickou strukturou je vektorový prostor. Jeho studiem se budeme zabývat v následující kapitole. Pro označování základních číselných množin je všude použito pevných symbolů takto: N – množina všech přirozených čísel, N0 – množina všech přirozených čísel včetně nuly,
16
Matematika pro studenty ekonomie
Z – množina všech celých čísel, R – množina všech reálných čísel, R+ – množina všech reálných kladných čísel, C – množina všech komplexních čísel.
Cvičení 1.1 Rozhodněte, která tvrzení jsou pravdivá. a) Z R , b) N Z , c) N R , d) N Z R , e) N Z Z , f) N R R , g) N R N , h) N – R = Ø, i) N – N = Ø, j) N – R = R – N. k) 1 N Z , l) 1 Z – N. 1.2 Pro množiny A = {a,b,c,d}, B = {d,e,f} sestrojte uvedené množiny. a) A B , b) B A , c) A B , d) B A , e) A B , f) B A , g) A B , h) B A . 1.3 Rozhodněte, která tvrzení jsou pravdivá a vyjadřují distributivní zákon. a) A (B C ) ( A B) ( A C ) , b) A (B C ) ( A B) ( A C ) , c) A (B C ) ( A B) C , d) A (B C ) ( A B) ( A C ) , e) A (B C ) ( A B) ( A C ) .
1.2 Vektorové prostory 1.2.1 Pojem vektorového prostoru Vektorový prostor je algebraická struktura (V, +, ·) se dvěma operacemi. V je množina libovolných prvků, které značíme a, b, ... a říkáme jim vektory. Na V jsou zavedeny operace sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem. Operace sčítání je komutativní a asociativní, existuje v ní neutrální prvek, kterým je nulový vektor o a ke každému vektoru a existuje opačný vektor –a. Operace násobení vektoru reálným číslem je asociativní a platí pro ni distributivní zákony vzhledem k operaci sčítání vektorů. Definice 1.1 Množina V libovolných prvků, které značíme a, b, … x, y a říkáme jim vektory, se nazývá vektorový prostor, jestliže: Je dáno zobrazení V V V , jež každé uspořádané dvojici vektorů (a, b) V V přiřazuje vektor a b V tak, že pro každé vektory a,b,c V platí axiomy: (A1) a b b a , (A2) a (b c ) (a b ) c , (A3) existuje vektor o V takový, že pro každý vektor a V platí a o a , (A4) ke každému vektoru a V existuje vektor a V tak, že platí a + (–a) = o.
1. Lineární algebra 17
Toto zobrazení se nazývá sčítání na množině V a vektor a b je součet vektorů a, b. Je dáno zobrazení R × V V, které každé uspořádané dvojici (r, a) R V přiřazuje vektor ra V tak, že pro každá reálná čísla r, s R a každé vektory a,b V platí axiomy: (A5) 1a = a, (A6) r (sa) = rs(a), (A7) (r +s)a = ra + sa, (A8) r (a+b) = ra + rb. Toto zobrazení se nazývá násobení vektoru reálným číslem a vektor ra se nazývá reálný násobek vektoru a.
Místo pojmu vektorový prostor se lze v literatuře setkat také s názvem lineární prostor. Definice vektorového prostoru je značně obecná. Této definici vyhovuje celá řada množin s vhodně definovanými operacemi. Vektorovými prostory jsou například: a) Množina všech reálných posloupností s obvyklým sčítáním a násobením čísel, tedy {an bn } {an } {bn }, {ran } r {an } . b) Množina všech funkcí definovaných na libovolné neprázdné množině spolu s obvyklým sčítáním funkcí a násobením funkce reálným číslem, tedy (f + g)(x) = = f(x) + g(x), (rf)(x) = rf(x). c) Množina všech konvergentních posloupností. d) Množina všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic. e) Množina všech matic stejného typu. Rovněž pojem vektoru jakožto prvku vektorového prostoru je v tomto pojetí velmi obecný. Vektorem může být uspořádaná n-tice reálných čísel, ale také reálná funkce, reálná posloupnost, matice, reálné číslo apod. Příklad 1.1 Uvažujme množinu všech přirozených čísel N, na které definujeme součet přirozených čísel a reálný násobek přirozeného čísla obvyklým způsobem. Rozhodněme, zda množina N spolu s operací reálného násobku je vektorový prostor. Řešení Aby množina N byla vektorovým prostorem, musí podle definice vektorového prostoru platit: a) Pro všechny vektory a, b z množiny N je jejich součet a + b opět vektor z N, tedy množina N je uzavřená vzhledem ke sčítání. b) Pro každé r R je ra N, tedy množina N, je uzavřená vzhledem k násobení reálným číslem. c) V množině N platí axiomy (A1) až (A8). Zatímco podmínka a) je zřejmě splněna, podmínka b) splněna není, neboť např. pro r = –1, a = 2 neplatí ra N a tedy množina N není uzavřená vůči násobení reálným číslem. Množina přirozených čísel N s obvykle definovanými operacemi tedy není vektorový prostor.
* 18
Matematika pro studenty ekonomie
1.2.2 Aritmetický vektorový prostor Definice 1.2 Uspořádanou n-tici reálných čísel a = (a1,...,an), n N, nazýváme nrozměrným aritmetickým vektorem. Reálná čísla a1, a2,...,an nazýváme sou řadnicemi aritmetického vektoru a. Definice 1.3 Součtem aritmetických vektorů a a1,..., an a b b1,..., bn nazýváme aritmetický vektor a + b a1 b1,..., an bn . Příklad 1.2 Pro aritmetické vektory a = (–1,6,14) a b = (1, –17, –13) je jejich součtem aritmetický vektor a + b = (0,–11,1). Definice 1.4 Nechť r R. Reálným r-násobkem aritmetického vektoru a = (a1,...,an) je aritmetický vektor ra = (ra1,...,ran). Příklad 1.3 Pro aritmetické vektory a = (–1,6), b = (2, –4) platí 5a + 3b = (1,18). Definice 1.5 Opačným aritmetickým vektorem k aritmetickému vektoru a a1,..., an nazýváme aritmetický vektor –a a1,...,an . Rozdílem aritmetických vektorů a b rozumíme součet aritmetického vektoru a a1,..., an a aritmetického vektoru opačného k aritmetickému vektoru b b1,..., bn , tedy a – b = a + + (–b) = (a1,...,an) + (–b1,...,–bn) = (a1 – b1,...,an – bn). Definice 1.6 Aritmetický vektor o, jehož všechny souřadnice jsou rovny nule, tedy o 0,...,0 , nazýváme nulovým aritmetickým vektorem. Definice 1.7 Řekneme, že aritmetický vektor a a1,..., an je roven aritmetickému vektoru b b1,..., bn a píšeme a = b, jestliže platí a j b j pro každé j { 1,... , n } . Označme nyní symbolem Vn množinu všech n-rozměrných aritmetických vektorů. Věta 1.1 Jestliže na množině Vn definujeme součet aritmetických vektorů z Vn a reálný násobek aritmetického vektoru z Vn vztahy a + b a1 b1,..., an bn , ra ra1,..., ran , pak Vn je vektorový prostor. Definice 1.8 Množina Vn všech aritmetických vektorů, na které jsou definovány operace sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem vztahy a + b = (a1 + b1,...,an + bn) a ra ra1,..., ran , se nazývá n-rozměrný aritmetický vektorový prostor. Z definice aritmetického vektorového prostoru a předcházející věty je zřejmé, že každý aritmetický vektorový prostor je vektorovým prostorem ve smyslu definice 1.1 a stejně tak každý aritmetický vektor je vektorem. Kromě operace násobení vektoru reálným číslem, zavádíme v aritmetickém vektorovém prostoru ještě jiné násobení, a to tzv. skalární součin vektorů. Definice 1.9 Skalárním součinem aritmetických vektorů a = (a1,...,an) a b = (b1,...,bn) rozumíme číslo ab = a1b1 + a2b2 + … + anbn.
1. Lineární algebra 19
Příklad 1.4 Skalárním součinem aritmetických vektorů a = (6, –3, 0, –9) a b = (2, –1, 5, –3) je číslo ab = 6 · 2 + (–3) · (–1) + 0 · 5 + (–9) · 3 = –12.
1.2.3 Podprostor vektorového prostoru Definice 1.10 Nechť V je vektorový prostor, W neprázdná podmnožina množiny V. Řekneme, že množina W je podprostor vektorového prostoru V a píšeme W V , jestliže platí: (1) Pro každou dvojici vektorů a, b W je a + b W . (2) Pro každé reálné číslo r R a každý vektor a W je ra W .
Podprostor W vektorového prostoru V je vždy vektorovým prostorem. Vyplývá to z toho, že v podprostoru W platí axiomy (A1)–(A8) a podle podmínek (1) a (2) z definice podprostoru je množina W uzavřená vzhledem k operacím sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem. Nechť o je nulový vektor vektorového prostoru V. Jednoprvková množina obsahující pouze nulový vektor, tedy množina {o} je podprostor vektorového prostoru V. Množina {o} se nazývá triviální vektorový prostor. Triviální vektorový prostor je jediný vektorový prostor, který má konečný počet prvků (obsahuje-li vektorový prostor alespoň jeden nenulový vektor, pak obsahuje současně všechny reálné násobky tohoto vektoru a těch je nekonečný počet). Ve smyslu shora uvedené definice je podprostorem libovolného vektorového prostoru V také celý vektorový prostor V. Definice 1.11 Nechť a, a1,…,ak jsou prvky vektorového prostoru V. Řekneme, že vektor a je lineární kombinací vektorů a1,…,ak, jestliže existují reálná čísla c1,..., c k taková, že platí a = c1a1 + …+ ckak. Čísla c1,..., c k se nazývají koeficienty lineární kombinace. Příklad 1.5 Nulový vektor o je lineární kombinací libovolné skupiny vektorů a1,…,ak z vektorového prostoru V, protože platí o = 0a1 + … + 0ak. Lineární kombinace vektorů, ve které jsou všechny koeficienty rovny nule, se nazývá triviální lineární kombinace. Příklad 1.6 Zjistěme, zda vektor a = (2, 1, 6) je lineární kombinací vektorů a1 = (4, 0, –1) a a2 = (2, 0, 5). Řešení Podle definice lineární kombinace je třeba najít reálná čísla c1 ,c2 tak, aby platilo a = c1a1 + c2a2 . Po dosazení souřadnic vektorů a, a1, a2 do této rovnice obdržíme (2, 1, 6) = (4c1 + 2c2, 0c1 + 0c2, –1c1 + 5c2). Podle definice rovnosti aritmetických vektorů to znamená, že platí 2 4c1 2c 2 , 1 0c1 0c 2 , 6 1c1 5c 2 .
20
Matematika pro studenty ekonomie
Zřejmě neexistují žádná reálná čísla c1 ,c2 vyhovující této soustavě rovnic (viz druhá rovnice), proto vektor a není lineární kombinací vektorů a1, a2. Pojem lineární kombinace vektorů nám umožňuje demonstrovat další příklad podprostoru vektorového prostoru V. Uvažujme vektory a1,…,ak z vektorového prostoru V. Označme [a1, …, ak] množinu všech lineárních kombinací vektorů a1, …, ak , tedy [a1, …, ak ] = {a ∈V ; a = c1a1 + …+ ckak , c1,..., ck R}. Definice 1.12 Nechť a1,…,ak jsou vektory z vektorového prostoru V. Množina [a1, …, ak] všech lineárních kombinací vektorů a1,…,ak se nazývá lineární obal množiny vektorů {a1, …, ak}. Věta 1.2 Jsou-li a1, …, ak vektory z vektorového prostoru V, pak je jejich lineární obal [a1, …, ak] podprostor vektorového prostoru V. Lineární obal [a1,…,ak] je podprostor vektorového prostoru a jako takový je sám vektorovým prostorem. Vektorový prostor [a1,…,ak] je zřejmě „nejmenší“ vektorový prostor obsahující všechny vektory a1,…,ak. Definice 1.13 Nechť a1,…,ak jsou vektory z vektorového prostoru V. Jestliže každý vektor a V je lineární kombinací vektorů a1,…,ak, říkáme, že vektorový prostor V je generován vektory a1,…,ak a této množině vektorů říkáme množina generátorů vektorového prostoru V. Z uvedené definice vyplývá, že množina vektorů a1,…,ak je množinou generátorů vektorového prostoru V právě tehdy, když platí V = [a1,…,ak]. Triviální vektorový prostor je generován nulovým vektorem o. Příklad 1.7 Dvojice vektorů j1 = (1, 0), j2 = (0, 1) je množinou generátorů aritmetického vektorového prostoru V2. Snadno ověříme, že libovolný vektor a = (a1,a2) lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů j1 , j2 ve tvaru a = a1j1+ a2 j2. Příklad 1.8 Rozhodněme, zda vektory x = (1, –3), y = (–1, 4) jsou množinou generátorů aritmetického vektorového prostoru V2. Řešení Vektory x, y generují prostor V2, jestliže pro každý vektor a = (a1, a2) existují reálná čísla c1, c2 tak, že platí a = c1x + c2y. Po dosazení souřadnic vektorů a, x, y do předchozího vztahu obdržíme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých c1, c2: a1 = c1 – c2, a2 = –3c1 + 4c2. Vynásobíme-li první rovnici čtyřmi a obě rovnice sečteme, získáme c1 = 4a1 + a2. Obdobně po vynásobení první rovnice třemi a následném sečtení máme c2 = 3a1 + a2. Protože každý vektor a = (a1,a2) z V2 je možné napsat ve tvaru a = c1x + c2y = (4a1 + a2)x + (3a1 + a2)y, je prostor V2 generován vektory x, y .
1. Lineární algebra 21
Příklad 1.9 Množinou generátorů vektorového prostoru V2 jsou také vektory x = (3,0), y = (5,1), z = (0,4), neboť pro každý vektor a = (a1,a2) platí např. 1 1 a a1 x 0 y a2 z . 4 3 Z uvedených příkladů je vidět, že množina generátorů vektorového prostoru V není jediná a že dokonce ani počet generátorů není jednoznačně určen. Bližší představu o množinách generátorů vektorového prostoru V dává následující věta. Věta 1.3 Nechť {a1,…,ak} je množina vektorů z vektorového prostoru V a {b1,…,bq} je množina vektorů, která vznikla z množiny vektorů {a1,…,ak} jedním z následujících způsobů:
a) b) c) d) e)
změnou pořadí vektorů, násobením libovolného vektoru nenulovým reálným číslem, přičtením k libovolnému vektoru lineární kombinace ostatních vektorů, vynecháním vektoru, který je lineární kombinací ostatních, přidáním vektoru, který je lineární kombinací ostatních vektorů.
Jestliže množina vektorů {a1,…,ak} tvoří množinu generátorů vektorového prostoru V, pak také množina vektorů {b1,…,bq} tvoří množinu generátorů vektorového prostoru V. Z uvedené věty vyplývá, že každý netriviální vektorový prostor má nekonečně mnoho množin generátorů. Věta navíc uvádí seznam úprav, kterými můžeme z jedné množiny generátorů vektorového prostoru vytvořit jinou. S podobnými úpravami se v první kapitole knihy setkáme na více místech (hodnost matice, řešení soustav lineárních rovnic).
1.2.4 Lineární závislost a nezávislost vektorů Definice 1.14 Nechť a1,..., ak jsou vektory z vektorového prostoru V. Řekneme, že vektory a1,..., ak jsou lineárně závislé, jestliže existují reálná čísla c1,...,c k , z nichž alespoň jedno je různé od nuly, taková, že platí c1a1 + …+ ckak = o. V opačném případě se vektory a1,..., ak nazývají lineárně nezávislé. Mluvíme také o lineární závislosti, resp. lineární nezávislosti množiny vektorů {a1, …, ak}.
Vektory a1,..., ak jsou podle uvedené definice lineárně nezávislé právě tehdy, když ze všech jejich možných lineárních kombinací je nulovému vektoru o rovna pouze jejich triviální lineární kombinace. Vektory a1 ,..., ak jsou pak lineárně závislé právě tehdy, když existuje současně nějaká jejich netriviální lineární kombinace, která je rovna nulovému vektoru o. Uvědomme si přitom, že pro k = 1, tedy v případě jednoho vektoru a1 , je tento vektor lineárně závislý právě tehdy, když je nulový. Pouze pro nulový vektor o totiž platí rovnice c1 o o , kde c1 je různé od nuly. Nenulový vektor a1 je vždy lineárně nezávislý, neboť rovnice c1 a1 o je splněna jen tehdy, když c1 = 0.
22
Matematika pro studenty ekonomie
Příklad 1.10 Rozhodněme, zda vektory a1 ( 1,3) , a2 (2,6) patřící do aritmetického vektorového prostoru V2 jsou lineárně závislé či nezávislé. Řešení Podle definice 1.14 je třeba zjistit, pro která reálná čísla c1,c 2 je splněna rovnice c1a1 + c2a2 = o.
Po dosazení souřadnic vektorů a1, a2 , o do této rovnice dostáváme soustavu lineárních rovnic – c1 2c 2 0, 3c1 6c 2 0. Snadno se zjistí, že soustava má jediné řešení c1 c2 0 a že nulovému vektoru o je rovna pouze triviální kombinace vektorů a1, a2 . Vektory a1, a2 jsou tedy lineár ně nezávislé. Při rozhodování o lineární závislosti či nezávislosti vektorů je možno někdy výhodně využít následujících dvou vět 1.4 a 1.5. Věta 1.4 Nechť a1,..., ak jsou vektory z vektorového prostoru V, k 2 . Vektory a1,..., ak jsou lineárně závislé právě tehdy, když alespoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních.
Každá skupina vektorů obsahující nulový vektor o je lineárně závislá. Vyplývá to z předchozí věty a z toho, že nulový vektor je triviální kombinací ostatních vektorů. Dva vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když jeden z nich je reálným násobkem druhého. Příklad 1.11 Rozhodněme, zda vektory a1 (3,1,6) , a2 (2,3,1) , a3 (5,4,5) z aritmetického vektorového prostoru V3 jsou lineárně závislé či nezávislé. Řešení Je ihned vidět, že a3 a1 a2 . Vektor a3 je lineární kombinací vektorů a1, a2 , což podle předchozí věty 1.4 znamená, že vektory a1, a2 , a3 jsou lineárně závislé. Věta 1.5 Nechť a1,..., ak jsou lineárně nezávislé vektory z vektorového prostoru V, k 2 . Pak také vektory a1,..., ak 1 jsou lineárně nezávislé.
V podkapitole 1.3 o maticích si ukážeme, že o lineární závislosti či nezávislosti aritmetických vektorů se dá efektivně rozhodnout prostřednictvím pojmu hodnosti matice.
1.2.5 Báze a dimenze vektorového prostoru Z předchozího odstavce víme, že každý vektorový prostor V má nekonečně mnoho množin generátorů, přičemž jednotlivé množiny generátorů se mohou lišit počtem vektorů. Jsou-li vektory množiny generátorů a1,..., ak lineárně závislé, pak alespoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních vektorů a takový vektor lze podle věty 1.3 z množiny generátorů vynechat. Vynecháme-li takto v množině generátorů všechny vektory, které se dají vyjádřit ve tvaru lineární kombinace ostatních vektorů, dostaneme množinu generátorů tvořenou lineárně nezávislými vektory. Takovými množinami generátorů se budeme dále zabývat.
1. Lineární algebra 23
Definice 1.15 Množina generátorů vektorového prostoru V, jejíž vektory jsou li neárně nezávislé, se nazývá báze vektorového prostoru. Příklad 1.12 Ukažme, že vektory j 1 (1, 0, 0) , j 2 (0,1, 0) , j 3 (0, 0,1) , tvoří bázi aritmetického vektorového prostoru V3 . Řešení Každý vektor a = (a1, a2, a3) se dá vyjádřit jako lineární kombinace vektorů j1, j 2 , j 3 ve tvaru a = a1j1 + a2j2 + a3j3 , tedy vektory j1 , j 2 , j 3 generují vektorový prostor V3 . Přitom rovnice c1j1 + c2 j2 + c3 j3 = o vede na soustavu rovnic c1 0, c2 0, c3 0, která má jediné řešení a vektory j1 , j 2 , j 3 jsou tedy lineárně nezávislé. Ukázali jsme, že vektory j1 , j 2 , j 3 generují vektorový prostor V3 a jsou zároveň lineárně nezávislé. Podle definice 1.17 tvoří tedy bázi vektorového prostoru V3 . Věta 1.6 Nechť {a1, …,ak} je množina generátorů vektorového prostoru V, tedy každý vektor a V se dá napsat ve tvaru a = c1a1 + … + ckak. Vektory a1,..., ak tvoří bázi vektorového prostoru právě tehdy, když koeficienty c1,...,c k jsou určeny jednoznačně.
Nechť {a1, …,ak} je báze vektorového prostoru V. Podle předchozí věty lze každý vektor a V jednoznačně zapsat ve tvaru a = c1a1 + …+ ckak. Koeficienty c1,...,c k této lineární kombinace se nazývají souřadnice vektoru a vzhledem k bázi a1,..., ak . Věta 1.7 Nechť V je vektorový prostor s bází {a1,…,ak}. Pak každá množina k lineárně nezávislých vektorů b1,..., bk V tvoří také bázi vektorového prostoru V. Příklad 1.13 Rozhodněme, zda vektory a1 (1,0,0) , a2 (1,0,1) , a3 (0,1,1) tvoří bázi aritmetického vektorového prostoru V3. Řešení Víme, že ve V3 existuje báze o třech vektorech (např. j1 (1,0,0), j 2 (0,1,0), j 3 (0,0,1) ), takže podle předchozí věty stačí ověřit lineární nezávislost vektorů a1, a2 , a3 . Vyjdeme z rovnice c1a1 + … + ckak = o, dosadíme souřadnice vektorů a1, a2 , a3 , o a obdržíme soustavu lineárních rovnic =0 c1 + c2 c3 = 0 c2 + c 3 = 0 Odečteme-li od součtu prvních dvou rovnic třetí rovnici, dostaneme c1 0 a dále c 2 c3 0 . Vektory a1, a2 , a3 jsou lineárně nezávislé a tvoří bázi V3.
Je zřejmé, že báze netriviálního vektorového prostoru není jediná. Vzniká otázka, zda různé báze téhož vektorového prostoru se mohou lišit počtem vektorů. Na tuto otázku odpovídá následující věta a její důsledek.
24
Matematika pro studenty ekonomie
Věta 1.8 Existuje-li ve vektorovém prostoru V báze o k vektorech, pak každá množina vektorů obsahující více než k vektorů je lineárně závislá. Důsledek Jestliže a1 ,..., ak a b1 ,..., bq jsou dvě báze vektorového prostoru V, pak platí k = q.
Zjistili jsme tedy, že počet vektorů v libovolné bázi vektorového prostoru je vždy stejný. Číslo udávající počet vektorů v libovolné bázi je pro každý vektorový prostor charakteristické a nazývá se dimenzí vektorového prostoru. Definice 1.16 Počet vektorů v libovolné bázi vektorového prostoru V se nazývá dimenze vektorového prostoru V a značí se dim V.
Z věty 1.8. vyplývá, že dimenze vektorového prostoru V je rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých vektorů ve V. V triviálním vektorovém prostoru báze neexistuje, protože o není nezávislý vektor, proto je přirozené mu přiřadit dimenzi rovnou 0. Příklad 1.14 Nejčastěji používanou bází aritmetického vektorového prostoru Vn je množina n-rozměrných jednotkových vektorů v počtu n, tedy množina vektorů j1 = (1,0,...,0), j2 = (0,1,...,0), ... jn = (0,0,...,1). Tyto vektory jsou zřejmě lineárně nezávislé a protože pro každý vektor a (a1,...,an ) Vn platí a = a1j1 + … + anjn Vn , tvoří vektory j1,..., j n množinu generátorů prostoru Vn. Můžeme tedy říkat, že Vn je aritmetický vektorový prostor dimenze n nebo n-rozměrný aritmetický vektorový prostor a psát dim Vn = n.
Cvičení 1.4 Rozhodněte, které z následujících číselných množin spolu s uvedenými operacemi tvoří vektorový prostor. a) Množina všech reálných čísel R, kde součet reálných čísel a reálný násobek reálného čísla definujeme obvyklým způsobem. b) Množina všech kladných čísel R+, kde součet kladných čísel a reálný násobek kladného čísla definujeme obvyklým způsobem. c) Množina všech přirozených čísel N, kde součet přirozených čísel a reálný násobek přirozeného čísla definujeme obvyklým způsobem. d) Množina všech sudých čísel, kde součet sudých čísel a reálný násobek sudého čísla definujeme obvyklým způsobem. e) Jednoprvková množina {1}. f) Jednoprvková množina {0}. 1.5 Pro vektory a = (2, –1, 1, –2), b = (4, 2, –3, –1), c = (0, 1, 0, –1) vypočtěte. a) (a + b) + c, b) a + (b + c), c) 2a – 3b + 6c,
1. Lineární algebra 25
d) e) f)
–3a + 4b – c, 4(a + b) – 3c, 5a – 6b + 2c.
1.6
Jsou dány aritmetické vektory a = (4, –2, 2, –1), b = (5, 0, 4, –2), c = (1, –1, 3, –3), d = (5, –2, 4, 0). Zapište všechny platné vztahy dominování mezi těmito vektory.
1.7
Vektor a vyjádřete jako lineární kombinaci ostatních vektorů. a) a 1, 0 , a1 5, 2, a2 3, 3 , b) a 3, 7 , a1 1, 2, a2 2, 4 , c) a 8, 3, 2, a1 4, 1, 1, a2 1, 1,1, a3 2, 0, 3 , d) a 8, 3, 2, a1 0, 0, 1, a2 0, 1, 0 , a3 1, 0, 0 , e) a 4, 9,17 , a1 5, 3,4 , a2 1, 5, 2, a3 2,1, 3 .
1.8
Rozhodněte, zda dané vektory tvoří množinu generátorů vektorového prostoru V2. a) a1 1, 0 , a2 0, 1 , b) a1 0, 0 , a2 1, 0 , c) a1 1, 1, a2 1, 1 , d) a1 4, 8 , a2 2, 4 , e) a1 2, 4 , a2 4, 8 , f) a1 0,1, a2 0, 2, a3 0, 3 , g) a1 1, 0 , a2 0, 2, a3 4, 7 .
1.9
Rozhodněte, zda dané vektory tvoří množinu generátorů vektorového prostoru V3. a) a1 1, 0, 0 , a2 0,1, 0 , a3 0, 0,1 , b) a1 7, 0,1, a2 0, 3, 2 , c) a1 1,1, 0 , a2 1, 0,1, a3 0,1,1 , d) a1 1, 4, 3 , a2 2, 1, 6 , a3 3, 7, 9 , e) a1 2,1, 1, a2 1, 3, 1, a3 1, 1, 5 , f) a1 3, 1, 1, a2 0, 0, 0 , a3 4, 1, 1 , g) a1 1, 1, 1, a2 1, 2, 3 , a3 1, 4, 7 , a4 1, 3, 6 , h) a1 3, 2, 2, a2 5, 2, 2, a3 2, 1, 0 , a4 1, 0, 2 .
1.10 Rozhodněte o lineární závislosti či lineární nezávislosti vektorů. a) a1 1, 4 , a2 2, 3 , b) a1 1, 4 , a2 2, 3 , a3 1, 3 , c) a1 3, 6 , a2 1, 2 , d) a1 5, 4 , a2 0, 0 , e) a1 2, 3, 1, a2 0, 2, 4 ,
26
Matematika pro studenty ekonomie
f) a1 1,2, 0 , a2 3, 0, 1, a3 2,1, 1 , g) a1 3, 5,2, a2 0,1,1, a3 6, 7,1 , h) a1 1, 3, 5 , a2 0, 0, 0 , a3 0, 1, 0 . 1.11 Rozhodněte, zda dané vektory tvoří bázi příslušného vektorového prostoru. a) a 2, 0 , b 0, 1, V2 , b) a 4, 1, b 3, 2, V2 , c) a 3, 0 , b 1, 1, c 0, 1, V2 , d) a 3, 0, 0 , b 1, 1, 1, c 0, 0, 1, V3 , e) a 2, 0, 7 , b 1, 1, 3 , V3 , f) a 1, 1, 0 , b 0, 1, 1, c 1, 0, 1, V3 , g) a 7, 1, 0 , b 6, 3, 2, c 1, 4, 2, V3 , h) a 0, 0, 1, 0 , b 1, 0, 0, 0 , c 0, 0, 0, 1, d 0, 1, 0, 0 , V4 . 1.12 Vektor a vyjádřete v bázi B. a) a 3, 4 , B a1 3, 1, a2 1, 2 , b) a 1, 3 , B a1 3, 1, a2 1, 2 , c) a 4, 2, 3 , B a1 1, 0, 1, a2 1, 1, 0 , a3 0, 1, 1 , d) a 1,2, 5 , B a1 1, 0, 0 , a2 0, 1, 0 , a3 0, 0, 1 , e) a 10, 2, 3 , B a1 1, 1, 0 , a2 1, 0, 1, a3 1, 0, 0 , f) a 3, 1, 2, B a1 1, 1, 0 , a2 0, 1, 0 , a3 0, 1, 1 .
1.3 Matice 1.3.1 Pojem matice Definice 1.17 Uspořádané schéma tvořené m×n reálnými čísly tvaru a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am 2 amn se nazývá matice typu m×n.
(1.1)
Matice značíme velkými písmeny A, B, …, E, přičemž v případě potřeby značíme dolním indexem typ matice. Matici (1.1) značíme Am×n nebo stručně A. Jiný možný způsob zápisu je [aij] nebo [aij]m×n. Vektory z aritmetického vektorového prostoru Vn r1 = (a11,…,a1n),…, rm = = (am1,…,amn) se nazývají řádkové vektory nebo stručně řádky matice A. Vektory z aritmetického vektorového prostoru Vm s1 = (a11,…,am1),…, sn = = (a1n,…,amn) se nazývají sloupcové vektory nebo stručně sloupce matice A.
1. Lineární algebra 27
Reálným číslům aij říkáme prvky matice A. Přitom aij značí prvek, který leží v i-tém řádku a v j-tém sloupci matice A. Index i se nazývá řádkový index prvku aij a index j sloupcový index prvku aij . Prvky matice (1.1) a11,...,amm při m n , případně prvky a11,...,ann při m n tvoří hlavní diagonálu matice A. Analogicky se definuje pojem vedlejší diagonály. Vedlejší diagonálu při m n tvoří prvky a1,n ,a2,n 1,...,am,n m 1 a při m n jsou to prvky a1,n ,a2,n 1,...,an,1 . Příklad 1.15 Matice 2 1 6 4 A 3 5 0 2 4 2 0 8 je příkladem matice typu 3 4. Vektor r2 (3, 5, 0, 2) je druhý řádek matice A, vektor s3 (6, 0, 0) je třetí sloupec matice A. Prvek a13 6 , kdežto prvek a 31 4 . Hlavní diagonálu matice A tvoří prvky a11 2, a 22 5, a 33 0 . Vedlejší diagonálu matice A tvoří prvky a14 4,a23 0,a32 2 .
V následujících definicích se seznámíme s některými důležitými typy matic. Se zavedenými pojmy se budeme v následujících odstavcích a kapitolách často setkávat. Definice 1.18 Nechť A, B jsou matice stejného typu m n. Říkáme, že matice A, B jsou si rovny a píšeme A = B, jestliže pro každé i 1,..., m a každé j 1,..., n platí aij bij . Definice 1.19 Matice typu m n, pro jejíž všechny prvky platí aij 0 , kde i 1,..., m , j 1,..., n , se nazývá nulová matice typu m n. Nulovou matici značíme Om×n. Je-li typ nulové matice ze souvislosti zřejmý, je běžné použití stručnějšího zápisu O. Definice 1.20 Čtvercová matice řádu n je matice A typu m n, pro níž platí m n. Definice 1.21 Jednotková matice En řádu n je čtvercová matice řádu n, která má všechny prvky v hlavní diagonále rovny jedné a všechny prvky ležící mimo hlavní diagonálu jsou rovny nule. Příklad 1.16 Matice 0 0 0 0 O= 0 0 0 0
je nulová matice typu 2 × 4. Matice 1 0 0 E3 = 0 1 0 0 0 1
je jednotková matice řádu 3.
28
Matematika pro studenty ekonomie
Definice 1.22 Diagonální matice je čtvercová matice, pro jejíž prvky platí aij 0 pro všechna i ≠ j.
Je zřejmé, že jednotková matice En je speciálním případem diagonální matice. Definice 1.23 Nechť A je matice typu m×n. Matice, která vznikne z matice A tak, že zaměníme řádky za sloupce, přičemž zachováme jejich pořadí, se nazývá matice transponovaná k matici A a značí se AT.
Transponovaná matice AT k matici A typu m×n je matice typu n×m a její prvek aTji je roven prvku aij matice A. Transponovanou matici AT k matici A tedy dostaneme „překlopením“ matice A podle hlavní diagonály. Z definice transponované matice zřejmě plyne vztah (AT)T = A, tedy transponovaná matice k matici AT je původní matice A. Říkáme, že matice A a AT jsou navzájem transponované. Pro jednotkovou matici En platí vztah E nT = En. Obecněji, je-li A diagonální matice, pak pro ni platí AT = A. Také transponovaná matice k nulové matici O je opět nulová matice, rovnost OT = O však platí pouze pro čtvercové nulové matice. Pro matice, které se rovnají své transponované matici zavádíme speciální název. Definice 1.24 Matice A se nazývá symetrická, platí-li AT = A.
Příklad 1.17 K maticím A, B určeme transponované matice 2 3 2 0 7 2 7 4 3 1 2 6 0 1 . A , B 5 3 2 13 0 5 0 0 6 1 4 2 1 0 Řešení 2 3 2 7 4 5 4 7 2 6 0 1 . 3 2 0 , B T A T 2 3 0 5 0 0 1 13 6 1 2 1 0 Je vidět, že platí B T B , to značí, že matice B je symetrická.
Při řešení soustav lineárních rovnic, případně při určování hodnosti matice v další části textu bude hrát důležitou roli tzv. trojúhelníková matice. Definice 1.25 Matice A typu m × n se nazývá trojúhelníková matice, jestliže platí
a) b) c)
mn, aii 0 pro i 1,...,m , aij 0 pro i j , i 1,...,m ; j 1,...,n .
Pojem trojúhelníková matice je v literatuře definován různým způsobem. Např. v [18] je jako trojúhelníková matice chápána každá matice splňující podmínku c) předchozí
1. Lineární algebra 29
definice. V našem pojetí nemá trojúhelníková matice více řádků než sloupců, v hlavní diagonále nemá žádnou nulu a pod hlavní diagonálou jsou samé nuly. Definice 1.26 Matice, která vznikne z matice A typu m×n vynecháním některých řádků nebo sloupců, se nazývá submatice matice A. Příklad 1.18 Matice 2 2 C 1 1 je submaticí matice B z předchozího příkladu. Vzniká vynecháním druhého a třetího řádku a prvního a třetího sloupce matice B.
1.3.2 Základní operace s maticemi V tomto odstavci se zabýváme operacemi sčítání a odčítání matic, násobení matic reálným číslem a zkoumáme vlastnosti těchto operací. Operace násobení matic bude zavedena v odstavci 1.3.4. Definice 1.27 Nechť A, B jsou matice téhož typu m×n. Matice C typu m×n, pro jejíž prvky platí c ij aij bij , i 1,...,m , j 1,...,n , se nazývá součet matic A, B a značí se A + B. Definice 1.28 Nechť r je reálné číslo, A matice typu m×n. Matice D typu m×n, pro jejíž prvky platí d ij raij , i 1,...,m , j 1,...,n , se nazývá reálný násobek matice A a značí se rA.
Součet matic definujeme pouze pro matice téhož typu. Prvky matice A + B obdržíme jako součet odpovídajících si prvků matice A a matice B. Násobení matice reálným číslem je definováno pro libovolný typ matice. Prvky matice rA dostaneme tak, že každý prvek matice A vynásobíme číslem r. Obdobně jako jsme v odstavci 1.2.2 definovali rozdíl vektorů, je možno zavést rozdíl matic A B . Nechť A , B jsou matice stejného typu m×n. Rozdílem matic A B . rozumíme součet matic A a matice –B opačné k matici B určené vztahem B (1) B . Je tedy A B A ( B ) . Příklad 1.19 Jsou dány matice 6 1 0 A 3 1 4
4 5 3 0 . B 2 1 6 4 2 Vypočtěme matice A B, A B, B A a 5B 3 A . Řešení 6 2 4 5 3 3 1 1 1 0 7 2 1 0 5 1 7 , AB 3 1 4 2 6 4 2 7 0 4 2 7, 2
30
Matematika pro studenty ekonomie
6 2 4 5 3 5 11 5 1 0 7 2 1 0 1 1 7 , AB 3 1 4 2 6 4 2 5 8 0 6 2 5 11 5 4 5 3 1 B A 2 1 0 3 0 7 1 1 7 , 6 4 2 1 4 2 5 8 0 4 5 3 1 5B 3 A 5 2 1 0 3 3 6 1 4 2 20 25 15 3 18 10 5 0 9 0 30 20 10 3 12
2 0 7 = 4 2 6 23 43 21 5 21. 21 1 6 27 32 4 6
Z pravidel pro počítání s reálnými čísly vyplývá platnost následujících zákonů pro operace s maticemi. Nechť A, B, C, O jsou matice téhož typu a r,s R libovolná reálná čísla. Pak platí: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
AB B A komutativní zákon pro sčítání matic, A (B C ) ( A B ) C asociativní zákon pro sčítání matic,
A O A A ( A) O r (sA) = (rs)A (r + s)A = rA + sA r (A + B) = rA + rB
existence nulové matice, existence opačné matice, asociativní zákon pro reálný násobek, první distributivní zákon, druhý distributivní zákon.
Označme dále symbolem Vm×n množinu všech matic typu m×n. Věta 1.9 Množina Vm×n spolu s operacemi sčítání matic a reálného násobku matice tvoří vektorový prostor.
Podle předchozí věty je možno všechny pojmy zavedené v kapitole o vektorových prostorech aplikovat na množiny matic stejného typu. Můžeme tak hovořit o lineárním obalu množiny matic, o lineární závislosti či nezávislosti množiny matic, o bázi prostoru Vm×n, o dimenzi prostoru Vm×n atd. Příklad 1.20 Najděme bázi vektorového prostoru V2×2 všech matic typu 2×2 a určeme dimenzi V2×2. Řešení Máme nalézt množinu generátorů vektorového prostoru V2×2 tak, aby její vektory (tedy matice typu 2×2) byly lineárně nezávislé. Zvolíme matice 1 0 0 1 0 0 0 0 A1 , A2 , A3 , A4 . 0 0 0 0 1 0 0 1 Matice A1, A2 , A3 , A4 tvoří množinu generátorů vektorového prostoru V2×2, neboť pro každou matici
1. Lineární algebra 31
a a A 11 12 a21 a22 typu 2×2 zřejmě platí A = a11A1+ a12A2 + a21A3 + a22A4. Řešením maticové rovnice c1A1 + c2A2 + c3A3 + c4A4 = O dále rozhodneme o lineární závislosti či nezávislosti matic A1, A2 , A3 , A4 . Snadnou úpravou levé strany rovnice získáme maticovou rovnici c1 c 2 0 0 , c3 c 4 0 0
což značí c1 c 2 c3 c 4 0 . Matice A1, A2 , A3 , A4 jsou lineárně nezávislé a tvoří tedy bázi vektorového prostoru V2×2. Dále víme z předchozího výkladu, že dimenze vektorového prostoru je rovna počtu prvků jeho libovolné báze. Odtud dim V2×2 = 4. Analogicky jako v předchozím příkladě je možno nalézt bázi libovolného vektorového prostoru Vm×n. Obecně tedy platí dim Vm×n = m×n. Je důležité si uvědomit souvislosti mezi pojmy vektoru a matice. Ve smyslu předchozích úvah je možno každou matici typu m×n chápat jako prvek vektorového prostoru Vm×n, tedy jako vektor. Naopak každý vektor a (a1,...,an ) je podle definice matice maticí typu 1×n. Také vektor a1 a2 a (a1,a2 ,...,am )T a m je matice typu m×1.
1.3.3 Hodnost matice Vzhledem k tomu, že matici můžeme chápat jako systém řádkových nebo sloupcových aritmetických vektorů, budeme hodnost matice definovat pomocí pojmů zavedených v kapitole 1.2 o vektorových prostorech. Definice 1.29 Dimenze lineárního obalu generovaného řádkovými vektory matice A se nazývá hodnost matice A a značí se h(A).
Tento způsob zavedení jednoho ze stěžejních pojmů lineární algebry je ekvivalentní definici hodnosti matice na základě počtu lineárně nezávislých řádkových vektorů matice (viz věta 1.10) nebo přes počet řádků v trojúhelníkové matici (viz věta 1.13). Z předchozích úvah je nám známo, že lineární obal množiny vektorů je vektorovým prostorem a že dimenze vektorového prostoru V je rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých vektorů ve V. Platí tedy následující věta.
32
Matematika pro studenty ekonomie
Věta 1.10 Hodnost matice A je rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků matice A.
Pro hodnost nulové matice O platí h(O) = 0, což je důsledek skutečnosti, že dimenze triviálního vektorového prostoru je rovna 0. Jestliže A ≠ O, pak h(A) N. Věta 1.11 Pro hodnost matice A typu m×n platí h(A) ≤ min {m,n}. T
T
Věta 1.12 Nechť A, A jsou navzájem transponované matice. Platí h(A) = h(A ).
Před formulací další věty, která je velmi užitečná z hlediska praktického výpočtu hodnosti matice, si připomeňme, že trojúhelníková matice A typu m×n má tvar a11 a12 a1m a1n a22 a2m a2n 0 A , 0 amm amn 0 kde všechny prvky v hlavní diagonále jsou různé od nuly, tedy aii 0 pro i 1,...,m . Věta 1.13 Hodnost trojúhelníkové matice A typu m×n je rovna počtu řádků této matice, tedy h(A) = m.
Stanovení hodnosti matice A typu m×n znamená nalezení přirozeného čísla nejvýše rovného číslu min{m,n}, značícího počet vektorů v libovolné bázi vektorového prostoru [r1,...,rk]. Při určování hodnosti matice A pak prakticky přecházíme od množiny generátorů { r1,..., rm } lineárního obalu [r1,...,rk] k lineárně nezávislé množině generátorů lineárního obalu [r1,...,rk]. Hodnost matice A je pak rovna počtu vektorů této báze. Při výpočtu hodnosti matice A budeme vycházet z věty 1.3 a z věty 1.11. Cílem bude danou matici A, jejíž hodnost máme určit, upravit na odpovídající trojúhelníkovou matici, jejíž hodnost je pak rovna počtu jejích řádků. Podle věty 1.3. přitom můžeme provádět tyto úpravy matice A: (U1) (U2) (U3) (U4)
zaměnit pořadí řádků matice, násobit libovolný řádek matice nenulovým reálným číslem, přičíst k libovolnému řádku lineární kombinaci ostatních řádků, vynechat řádek, který je lineární kombinací ostatních řádků.
V některých speciálních případech, např. u matice 2 6 1 3 A 0 3 – 1 2 0 0 0 1 však nestačí uvedené čtyři uvedené možnosti úpravy matice k převodu na trojúhelníkový tvar (jde o splnění podmínky aii ≠ 0 pro prvky hlavní diagonály matice). Na základě věty 1.12 však můžeme při určování hodnosti matice převodem na trojúhelníkovou matici kromě řádkových úprav (U1) – (U4) používat analogických sloupcových úprav. K úpravám (U1) – (U4) proto přidáme úpravu:
1. Lineární algebra 33
(U5)
záměna pořadí sloupců matice.
Úpravám (U1) – (U5) říkáme ekvivalentní úpravy matice. Skutečnost, že matice B vznikla z matice A ekvivalentní úpravou značíme A ~ B a matice A, B nazýváme ekvivalentní. Příklad 1.21 Určeme hodnost matice 1 2 1 2 4 0 3 2 A . 1 0 7 3 0 1 5 4 Řešení Matici A upravíme užitím úprav (U1) – (U5) na trojúhelníkovou matici, jejíž hodnost a tím i hodnost matice A snadno určíme. V prvním kroku vynulujeme první sloupec pod hlavní diagonálou. První řádek opíšeme, nový druhý řádek obdržíme jako součet trojnásobku prvního řádku a dvojnásobku druhého řádku, nový třetí řádek vzniká odečtením dvojnásobku třetího řádku od prvního a čtvrtý řádek zůstává nezměněn. 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 4 0 0 1 2 3 ~ . 1 0 7 3 0 1 12 5 4 0 1 5 4 0 1 5 Ve druhém kroku upravujeme obdobným způsobem submatici matice A, která vznikne z matice A vynecháním prvního řádku a prvního sloupce. Opíšeme první a druhý řádek, součet druhého a třetího řádku napíšeme jako nový třetí řádek a nový poslední řádek vznikne odečtením čtvrtého řádku od řádku druhého. 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 0 1 2 3 0 1 ~ . 0 1 12 5 0 0 14 2 4 0 0 7 1 0 1 5 K dosažení trojúhelníkové matice zbývá vynulovat prvek a43. Od třetího řádku matice odečteme dvojnásobek čtvrtého řádku. 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 0 1 2 3 0 1 ~ . 0 0 14 2 0 0 14 2 0 7 1 0 0 0 0 0 Nulový čtvrtý řádek je lineární kombinací ostatních, podle (U4) jej můžeme vynechat. Tak obdržíme trojúhelníkovou matici 1 2 1 2 2 3 . 0 1 0 0 14 2
Podle věty 1.13 je h(A) = 3.
34
Matematika pro studenty ekonomie
Postup při řešení předchozího příkladu byl jedním z mnoha možných způsobů řešení úloh tohoto typu. Předcházející úpravy lze zobecnit do následujícího algoritmu, který nazýváme kondenzační metoda. Chceme určit hodnost matice A, typu m×n, kde a11 a12 a1n a a22 a2n A 21 . am1 am 2 amn Předpokládejme, že platí a11 0 . Je-li a11 0 , pak záměnou pořadí řádků nebo sloupců přesuneme na místo a11 nenulový prvek (pokud takový prvek v matici není, pak platí h(A) = 0). V prvním kroku upravíme matici A, na matici A1 takto: Opíšeme první řádek a do prvního sloupce pod hlavní diagonálu doplníme nuly. Ostatní prvky aij1 matice A1 vypočteme ze vztahu aij1 a11aij a1 j ai 1 pro i 2,...,m , j 2,...,n . Ve druhém kroku tento postup opakujeme se submaticí matice A1, který vznikne z matice A1 vynecháním prvního řádku a prvního sloupce. Dostaneme matici A2, která má první dva řádky stejné jako matice A1, v prvních dvou sloupcích matice A2 pod 1 aij1 a21 j ai12 hlavní diagonálou jsou nuly a pro ostatní prvky aij2 matice A2 platí aij2 a22 pro i 3,...,m , j 3,...,n . Dalším opakováním tohoto postupu získáme nejpozději po m – 1 krocích trojúhelníkovou matici Am–1, jejíž hodnost snadno určíme. Stejnou hodnost má i původní matice A. Uvedený algoritmus je modifikací kondenzační metody výpočtu determinantů, se kterou se seznámíme v následující kapitole. Příklad 1.22 Určeme hodnost matice 7 4 2 1 5 3 2 6 1 0 . A 2 7 6 3 0 4 9 1 12 5 Řešení Danou matici upravíme na trojúhelníkovou matici výše popsaným kondenzačním algoritmem 7 4 2 1 5 7 4 2 1 5 7 4 2 1 5 3 2 6 0 2 11 13 17 0 2 11 13 17 1 0 ~ ~ ~ 2 7 6 3 0 0 24 22 2 14 0 0 308 308 380 0 28 48 0 0 308 308 380 4 9 1 12 5 0 28 5 7 1 4 2 0 2 11 13 17 . ~ 0 0 308 308 380 0 0 0 0 0 Je tedy h(A) = 3.
1. Lineární algebra 35
Pomocí výpočtu hodnosti matice můžeme jednodušeji než z definice rozhodnout o lineární závislosti či nezávislosti aritmetických vektorů. Mějme m aritmetických vektorů z vektorového prostoru Vn. Tyto vektory zapíšeme do řádků matice. Tak dostaneme matici A typu m×n. Potom určíme hodnost matice A. Mohou nastat dva případy: a) b)
h(A) = m, vektory jsou lineárně nezávislé, h(A) < m vektory jsou lineárně závislé.
Příklad 1.23 Rozhodněme, zda vektory a1 = (1, 1, 1, a3 = (1, 0, 1, 1), a4 = (0, 1, 1, 1) jsou lineárně nezávislé. Řešení. Vektory a1, a2 , a3 , a4 zapíšeme do řádků matice hodnost vzniklé matice 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 ~ 0 ~ 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 ~ ~ ~ 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0
0), a2 = (1, 1, 0, 1),
A typu m×n a určíme
1 0 1 1 . 1 2 0 3 Obdrželi jsme trojúhelníkovou matici se čtyřmi řádky, takže h(A) = 4 a dané vektory jsou lineárně nezávislé.
Definice 1.30 Nechť A je čtvercová matice řádu n. Řekneme, že matice A je regulární, jestliže platí h(A) = n. Řekneme, že matice A je singulární, jestliže platí h(A) < n.
1.3.4 Násobení matic V odstavci 1.3.2 jsme definovali součet matic A B a reálný násobek matice rA. K těmto dvěma maticovým operacím nyní přidáme součin matic AB . Definice 1.31 Nechť A je matice typu m×n a B matice typu n×p. Matice C typu m×p, pro jejíž prvky platí n
cij
a b ik
kj
,
k 1
i 1,...,m , j 1,...,p , se nazývá součin matic A a B a značí se AB .
Součin AB je definován pouze tehdy, je-li počet sloupců matice A roven počtu řádků matice B . Pokud není tato podmínka splněna, není součet matic definován. Z definice součinu matic vyplývá, že prvek cij ležící v i-tém řádku a j-tém sloupci matice C dostaneme jako skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B .
36
Matematika pro studenty ekonomie
Příklad 1.24 Jsou dány matice 0 4 4 1 2 3 0 3 . A B , 2 3 1 1 6 2 3 1 Vypočtěme součiny AB a BA . Řešení Matice A je typu 2 × 4, matice B je typu 4 × 2. Počet sloupců matice A je roven počtů řádků matice B, proto je možno součin AB vypočítat. Výsledná matice AB je typu 2 × 2. Podle definice je 0 4 4 - 3 1 2 3 0 AB 3 1 1 6 2 2 3 - 1 2.0 3.1 0.3 4 1 11 1 2.4 3 3 0.2 4.3 . 14 1 3 6.2 23 10 1.1 6.3 2 1 1 21
Také součin BA je definován a výsledná matice je typu 4 × 4. 0 16 4 8 12 0 3 1 2 3 0 4 7 8 6 14 BA . 2 3 1 1 6 2 1 9 18 2 8 6 14 3 1 7
Z předchozího příkladu vyplývá, že operace násobení matic není komutativní, tedy existují matice A, B takové, že AB BA . Navíc se může stát, že jeden ze součinů matic A, B je definován a druhý definován není. Je-li např. matice A typu 2×3 a matice B typu 3×3, můžeme určit matici AB typu 2×3, ale součin BA není definován. Je proto nutné rozlišovat násobení matice A maticí B zleva a násobení matice A maticí B zprava. Příklad 1.25 Je dána matice 1 3 A . 4 2 Určeme k matici A matici X tak, aby platilo AX A . Řešení Aby byl součin AX definován, musí mít matice X dva řádky, aby výsledkem násobení byla opět matice A , musí mít matice X také dva sloupce. Hledaná matice X je typu 2×2 a má tvar x12 x X 11 . x 21 x 22
Platí 1 3 x11 4 2 x 21
x12 1 3 . x 22 4 2
1. Lineární algebra 37
Po vynásobení matic na levé straně rovnice dostáváme x12 3 x 22 1 3 x11 3 x 21 . 4 x11 2 x 21 4 x12 2 x 22 4 2 Z definice rovnosti matic vyplývá 3 x 21 1, x11 x12 3 x 22 3, 4 x11 2 x 21 4, 4 x12 2 x 22 2. Tato soustava čtyř lineárních rovnic o čtyřech neznámých je tvořena dvojicí navzájem nezávislých soustav dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x11 3 x 21 1, x12 3 x 22 3, 4 x11 2 x 21 4, 4 x12 2 x 22 2. Řešením těchto soustav rovnic snadno zjistíme, že x11 1, x 21 0, x12 0, x 22 1 , což znamená 1 0 X . 0 1
V úvodu této kapitoly jsme zavedli pro matici X název jednotková matice druhého řádu a značili jsme ji E2. Je možno dokázat, že pro libovolnou čtvercovou matici A řádu n a jednotkovou maticí En platí AE n E n A A . Z odstavce 1.3.2 z věty 1.9 víme, že množina všech matic téhož typu m×n tvoří vektorový prostor. To znamená, mimo jiné, že sčítání matic téhož typu je asociativní a že násobení matic reálným číslem je asociativní. Asociativní zákon, podle následující věty, platí i pro násobení matic. Věta 1.14 Pro každé tři matice A typu m×n, B typu n×p a C typu p×q platí ABC AB C .
Podle definice vektorového prostoru platí pro operace sčítání matic a násobení matice reálným číslem rovněž oba distributivní zákony: Pro každou matici A a libovolná reálná čísla r, s platí (r + s)A = rA + sA. Pro každé matice A , B stejného typu a libovolné reálné číslo r je r(A + B) = = rA + rB. Z následující věty plyne, že distributivní zákon platí i pro operace sčítání a násobení matic. Věta 1.15 Pro každé tři matice A typu m×n, B typu n×p a C typu n×p platí AB C AB AC . Pro každé tři matice A typu n×p, B typu m×n a C typu m×n platí B C A BA CA .
38
Matematika pro studenty ekonomie
Cvičení 1.13 Jsou dány matice 2 1 5 4 A , 0 2 3 7 Určete následující matice.
2 3 B 6 2
1 1
0 . 4
a) A + B, b) B + A, c) 3A, d) –2B, e) 3A – 2B , f) AT + BT , g) (A + B)T. 1.14 Pro matice 4 7 A , 3 0
2 1 B , 4 3
2 8 C 1 3
vypočtěte a) b) c) d) e) f)
A + (B + C), (A +B) + C, 3A – B + 2C, 2A – (B + 3C), AT – B – CT, 5[AT – 2(B + 2C)].
1.15 Určete hodnost matic. 3 a) 6
2 5 e) 1 3 11 2 1 h) 0 2
3 1 3 1 1 4 2 0 1 , c) 3 1 1 , d) 1 0 2 , 8 0 4 1 0 2 2 0 1 3 1 1 5 6 0 1 7 17 3 8 3 3 1 1 2 4 8 18 7 , 1 0 , f) 4 3 0 0 , g) 0 4 10 1 5 2 1 1 6 4 10 18 40 17 2 6 8 16 17 6 1 1 1 5 4 1 1 3 3 3 1 0 3 2 0 1 6 2 7 2 5 4 4 2 , i) , j) . 1 1 4 3 17 3 10 5 19 1 2 0 1 15 3 6 10 3 4 7 3 21 4 12
1 , b) 4 2 2
1. Lineární algebra 39
1.16 Vypočtěte součin matic AB. 3 7 3 1 3 5 a) A = , B = , b) A , B 6 2 1 0 0 1 2 1 1 0 4 1 c) A 5 4 , B , d) A 4 1 4 3 1 0 4 2 3 e) A 1 2 0 , 0 1 3 1 1 1 1 1 2 3 4 g) A , 1 2 4 7 1 3 6 10
7 1 3 , 1 0 2 1 3 6 0 , , B 2 2 5 3
5 0 4 4 2 1 3 B 1 , f) A B , 3 4 3 , 1 6 0 8 2 1 4 1 2 4 1 0 1 0 1 . B 1 1 3 6 1 6 10 2
1.4 Determinanty 1.4.1 Pojem determinantu V této kapitole přiřadíme každé čtvercové matici A určité číslo, které budeme nazývat determinantem matice A . Pomocí determinantů lze řešit soustavy lineárních rovnic, vyjádřit přehledně některé vzorce z lineární algebry, diferenciálních rovnic i jiných partií matematiky. Pojem determinantu je možné zavézt různými způsoby. Zde využijeme pojem permutace známý ze středoškolské matematiky. Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2, …, n}. Z kombinatoriky víme, že každá uspořádaná n-tice (k1,k 2,...,k n ) sestávající ze všech čísel množiny M se nazývá permutace množiny M a že počet všech permutací množiny M je roven číslu n!. V dalším textu budeme libovolnou ze všech n! permutací množiny M = {1, 2, …, n} značit K (k1,k 2,...,k n ) . Definice 1.32 Nechť M = {1, 2, …, n} je neprázdná množina přirozených čísel, K (k1,k 2 ,...,k n ) určitá permutace množiny M. Uspořádaná dvojice (k i ,k j ) se nazývá inverze v permutaci K (k1,k 2 ,...,k n ) , jestliže platí i j a zároveň k i k j . Permutace, která má sudý počet inverzí, se nazývá sudá, permutace, která má li chý počet inverzí se nazývá lichá. Příklad 1.26 Množina M = {1, 2, 3} má celkem 3! 6 permutací. Přitom je (1,2,3) sudá permutace bez inverzí, (1,3,2) lichá permutace s jednou inverzí (3,2), (2,1,3) lichá permutace s jednou inverzí (2,1), (2,3,1) sudá permutace se dvěma inverzemi (2,1), (3,1),
40
Matematika pro studenty ekonomie
(3,2,1) (3,1,2)
lichá permutace se třemi inverzemi (3,2), (3,1), (2,1), sudá permutace se dvěma inverzemi (3,1), (3,2).
Věta 1.16 Jestliže v permutaci K (k1,k 2 ,...,k n ) zaměníme vzájemně dva prvky, změní se lichá permutace na sudou nebo sudá permutace na lichou. Definice 1.33 Nechť A = [aij] je čtvercová matice řádu n. Reálné číslo
det A 1 a1k1a2k 2 ...ank n , α
K
kde značí součet přes všechny možné permutace K (k1,k 2 ,...,k n ) čísel 1,2,..., n K
a α je počet inverzí v permutaci K, se nazývá determinant matice A.
Determinant čtvercové matice A řádu n je podle definice součet n! členů, z nichž každý je součinem n prvků a1k1a2k2 ...ankn a čísla 1 nebo –1 podle toho, zda permutace K (k1,k 2 ,...,k n ) je sudá nebo lichá. V každém součinu je právě jeden činitel z každého řádku i sloupce matice A. Tyto součiny jsou přitom uspořádány tak, že nejprve je uveden činitel z prvního řádku, po něm činitel z druhého řádku atd. Řádkové indexy tvoří proto v každém sčítanci permutaci (1,2,..., n ) , sloupcové indexy postupně probíhají všechny permutace (k1,k 2,...,k n ) . Jedním ze sčítanců je součin prvků z hlavní diagonály matice A tvaru a11a22...ann , který se nazývá vedoucí člen determinantu. Determinant čtvercové matice A řádu n zapisujeme ve tvaru a11 a12 a1n a21 a22 a2n . det A = an1 an 2 ann Tento symbol je nutné odlišovat od zápisu a11 a12 a a22 A = 21 an1 an 2
a1n a2n , ann kterým označujeme matici A. Současně je třeba si uvědomit, že det A je číslo (hodnota) přiřazené matici A předchozí definicí a nezaměňovat tuto hodnotu s hodností matice h(A) zavedenou v definici 1.29 odstavce 1.3.3. U determinantů používáme stejnou terminologii jako u matic. Hovoříme tedy o prvcích determinantu, řádcích a sloupcích determinantu, o hlavní a vedlejší diagonále determinantu apod. Místo pojmu determinant matice A řádu n budeme někdy používat stručnější termín determinant řádu n nebo determinant n-tého řádu.
Příklad 1.27 Podle definice vypočtěme determinant druhého řádu a11 a12 . a21 a22