PIDATO ILMIAH. HENDRA GUNAWAN, Ph.D

PIDATO ILMIAH

HENDRA GUNAWAN, Ph.D.

Garis Besar Pidato Mengapa perlu rumus sudut antara dua subruang Bagaimana memperoleh rumus tersebut (dari rumus-rumus lain yang telah dikenal sebelumnya)

Bagaimana memaknai rumus tersebut Dalam bidang apa rumus tersebut dapat diaplikasikan

Regresi Linear & Sudut Antara Garis dan Bidang • Regresi linear: Diberikan 𝑛 titik data, (𝑥1 , 𝑦1 ), (𝑥2 , 𝑦2 ), … , (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ), ingin dicari suatu persamaan 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 yang menghampiri data tersebut, dengan galat (error) sekecil-kecilnya. • Persoalan ini lazim diselesaikan dengan Metode Kuadrat Terkecil, yang dipopulerkan oleh Carl-Friedrich Gauss (1777-1855). • Metode Kuadrat Terkecil dicetuskan pertama kali oleh Adrien-Marie Legendre (1752-1833).

Metode Kuadrat Terkecil Galat minimum ketika y = ax + b

𝑎= 𝑏=

𝑛

𝑛 𝑛 𝑛 𝑥 𝑦 − 𝑥 ⋅ 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑦𝑖 𝑛 𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 − ( 𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )2

𝑛 2 𝑖=1 𝑥𝑖

𝑛

𝑛 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑦𝑖 − 𝑖=1 𝑥𝑖 ⋅ 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑛 𝑛 2 2 𝑖=1 𝑥𝑖 − ( 𝑖=1 𝑥𝑖 )

Dengan koefisien 𝑎 dan 𝑏 di atas, 𝑛 garis 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 merupakan 𝜖 ∶= [ 𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 + 𝑏 ]2 . hampiran linear terbaik untuk data yang diberikan. 𝑖=1

Galat total

.

Pendekatan Geometri • Misal 𝒚 ∶= (𝑦1 , … , 𝑦𝑛 ), 𝒙 ∶= (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ), dan 𝒆 ∶= (1, … , 1). • Andai y berada dalam subruang yang direntang oleh x dan e, maka 𝒚 = 𝑎𝒙 + 𝑏𝒆 untuk 𝑎 dan 𝑏 (skalar) tertentu. • Tetapi bagaimana jika y berada di luar subruang tersebut?

Vektor 𝒚 dipilih di antara vektor pada bidang yang direntang oleh x dan e sedemikian sehingga ∥ 𝒚 − 𝒚 ∥ minimum.

Dalam hal ini, vektor 𝒚 membentuk sudut terkecil dengan vektor y.

Koefisien Korelasi • Dalam statistika, terkait dengan data (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ), 𝑖 = 1, … , 𝑛, ada koefisien korelasi r yang mengukur seberapa kuat keterkaitan antara 𝒚 = (𝑦1 , … , 𝑦𝑛 ) dan 𝒙 = 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 : 𝑛

𝑟 ∶= 𝑛

𝑛 2 𝑖=1 𝑥𝑖

𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖

−(

𝑦𝑖 −

𝑛 2 𝑖=1 𝑥𝑖 )

𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖

⋅ 𝑛

⋅

𝑛 𝑖=1 𝑦𝑖

𝑛 2 𝑖=1 𝑦𝑖

−(

. 𝑛 2 𝑖=1 𝑦𝑖 )

• Dalam notasi vektor:

𝒙 − 𝒙, 𝒚 − 𝒚 𝑟 ∶= ∥ 𝒙 − 𝒙 ∥∥ 𝒚 − 𝒚 ∥

1

dengan 𝒙 ∶= 𝑛 𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 = nilai rata-rata dari 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 dan 𝒙, 𝒚 ∶= 𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 = hasil kali dalam dari x dan y. • Koefisien korelasi antara x dan y sama dengan nilai cosinus sudut antara vektor 𝒙 − 𝒙 dan vektor 𝒚 − 𝒚.

Sudut antara Dua Subruang Misalkan kita mempunyai dua himpunan vektor, yaitu {𝑢1 , … , 𝑢𝑝 } dan {𝑣1 , … , 𝑣𝑞 }, di suatu ruang hasil kali dalam 𝑋 berdimensi 𝑛, dengan 1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑞 ≤ 𝑛. (Mulai sekarang, vektor tidak lagi dituliskan dengan huruf tebal; sebagai contoh 𝑢1 = 𝑢11 , … , 𝑢1𝑛 adalah vektor di ruang berdimensi 𝑛.)

Bagaimana caranya menghitung besar sudut antara subruang 𝑈 yang direntang oleh {𝑢1 , … , 𝑢𝑝 } dan subruang 𝑉 yang direntang oleh {𝑣1 , … , 𝑣𝑞 }?

Sudut antara Dua Subruang Besar sudut tersebut merupakan ukuran seberapa mirip himpunan ‘data’ {𝑢1 , … , 𝑢𝑝 } dan himpunan data {𝑣1 , … , 𝑣𝑞 } (bila 𝑝 = 𝑞), atau …

seberapa baik kita dapat menghampiri himpunan data {𝑢1 , … , 𝑢𝑝 } dengan suatu himpunan 𝑝 buah anggota subruang yang direntang oleh {𝑣1 , … , 𝑣𝑞 } (bila 𝑝 ≤ 𝑞).

Seberapa Mirip Aktivitas Mereka?

Di sini, terdapat dua himpunan vektor, 𝑈 ∶= {(4,3,2,1), (3,4,2,1)} dan 𝑉 ∶= {(4,3,1,2), (2,4,2,2)}. Bila kita dapat menghitung sudut antara subruang yang direntang oleh 𝑈 dan subruang yang direntang oleh 𝑉, maka kita mempunyai suatu ukuran kemiripan aktivitas mereka.

Rumus Risteski & Trenčevski* Pada tahun 2001, Risteski and Trenčevski mendefinisikan sudut 𝜃 antara dua subruang 𝑈 ∶= span{𝑢1 , … , 𝑢𝑝 } dan 𝑉 ∶= span{𝑣1 , … , 𝑣𝑞 } via rumus 𝑇 det ( 𝑀𝑀 ) 2 cos 𝜃 ∶= det [ 𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 ] ⋅ det [ 𝑣𝑘 , 𝑣𝑙 ]

(R0)

dengan 𝑀 ∶= [ 𝑢𝑖 , 𝑣𝑘 ] matriks berukuran 𝑝 × 𝑞, 𝑀T matriks transpos dari 𝑀, [ 𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 ] matriks berukuran 𝑝 × 𝑝, dan [ 𝑣𝑘 , 𝑣𝑙 ] matriks berukuran 𝑞 × 𝑞. *Risteski, I.B. & Trenčevski, K.G. “Principal values and principal subspaces of two subspaces of vector spaces with inner product.” Beitr𝑎ge zur Algebra und Geometrie (2001), 289–300.

Rumus Risteski & Trenčevski • Rumus tadi mereka peroleh dengan terlebih dahulu membuktikan ketaksamaan berikut: det ( 𝑀𝑀T ) ≤ det [ 𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 ] ⋅ det [ 𝑣𝑘 , 𝑣𝑙 ]. • Untuk 𝑝 = 𝑞 = 1, ketaksamaan di atas tak lain adalah Ketaksamaan Cauchy-Schwarz: 𝑢, 𝑣

2

≤ ∥ 𝑢 ∥2 ∥ 𝑣 ∥2 .

• Ketaksamaan di atas merupakan perumuman dari Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, yang diperlukan untuk menjamin bahwa nilai

pada interval [0,1].

det (𝑀𝑀𝑇 ) det [ 𝑢𝑖 ,𝑢𝑗 ]⋅det [ 𝑣𝑘 ,𝑣𝑙 ]

berada

Kesalahan pada Rumus Risteski & Trenčevski • Rumus Risteski & Trenčevski mengandung kesalahan serius. • Sebagai contoh, tinjau 𝑋 = ℝ3 , yang dilengkapi dengan hasil kali dalam biasa, 𝑈 ∶= span{𝑢} dengan 𝑢 = (1,0,0), dan 𝑉 ∶ 1 1 1 1 1 = span{𝑣1 , 𝑣2 } dengan 𝑣1 = (2 , 2 , 0) and 𝑣2 = (2 , − 2 , 2). • Menurut ketaksamaan Risteksi & Trenčevski: 𝑢, 𝑣1

2

+ 𝑢, 𝑣2

2

≤ ∥ 𝑢 ∥2 ∥ 𝑣1 , 𝑣2 ∥2 ,

dengan ∥ 𝑣1 , 𝑣2 ∥ ∶= det [ 𝑣𝑘 , 𝑣𝑙 ]; yang setara dengan 1 3 ≤ , 2 8 yang tentu saja mustahil.

Bagaimana Memperbaikinya • Misalkan 𝑋 adalah ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam ∙ , ∙ . • Diberikan dua subruang dari 𝑋, sebutlah 𝑈 dan 𝑉, dengan dimensi 𝑝 dan 𝑞, 1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑞 ≤ dim 𝑋 , kita ingin merumuskan sudut antara 𝑈 dan 𝑉. • Sebelum itu, kita tinjau terlebih dahulu dua kasus khusus, yaitu (a) dim(𝑈) = 1, dim(𝑉) = 𝑞 sembarang; (b) dim(𝑈) = dim(𝑉) = 𝑝 ≥ 2, dim(𝑈 ∩ 𝑉) = 𝑝 − 1.

Kasus (a) • Rumus sudut 𝜃 antara 𝑈 ∶= span{𝑢} dan 𝑉 adalah 2 𝑢, 𝑢 𝑉 cos2 𝜃 = ∥ 𝑢 ∥2 ∥ 𝑢𝑉 ∥2 dengan 𝑢𝑉 vektor proyeksi (ortogonal) dari 𝑢 pada 𝑉, dan ∥ ⋅ ∥ ∶= ∙ , ∙ 1/2 menyatakan norm pada 𝑋.

u

θ uV

• Dengan menuliskan 𝑢 = 𝑢𝑉 + 𝑢𝑉⊥ , dengan 𝑢𝑉⊥ vektor komplemen ortogonal dari 𝑢 pada 𝑉, rumus di atas menjadi 2 ∥ 𝑢 ∥ 𝑉 cos2 𝜃 = ∥ 𝑢 ∥2 yang memperlihatkan bahwa nilai cos 𝜃 sama dengan rasio antara panjang vektor proyeksi 𝑢 pada 𝑉 dan panjang vektor 𝑢.

Kasus (b) • Misalkan 𝑈 ∶= span 𝑢, 𝑤2 , … , 𝑤𝑝 , 𝑉 ∶= span{𝑣, 𝑤2 , … , 𝑤𝑝 }, dan 𝑊 ∶= 𝑈 ∩ 𝑉 = span{𝑤2 , … , 𝑤𝑝 }, dengan 𝑝 ≥ 2. Rumus sudut 𝜃 antara 𝑈 dan 𝑉 adalah ⊥ ⊥ 2 𝑢 , 𝑣 𝑊 𝑊 cos2 𝜃 = ⊥ 2 ⊥ 2 ∥ 𝑢𝑊 ∥ ∥ 𝑣𝑊 ∥ ⊥ ⊥ dengan 𝑢𝑊 dan 𝑣𝑊 vektor komplemen ortogonal dari 𝑢 dan 𝑣 pada 𝑊. • Menggunakan sifat determinan, dapat diperiksa bahwa nilai cos 𝜃 sama dengan rasio antara volume paralelpipedium (berdimensi 𝑝) yang direntang oleh vektor-vektor proyeksi 𝑢, 𝑤2 , … , 𝑤𝑝 pada 𝑉 dan volume paralelpipedium yang direntang oleh vektor-vektor 𝑢, 𝑤2 , … , 𝑤𝑝 .

Rumus Sudut antara Dua Subruang - I Berdasarkan pengamatan tadi, kita definisikan sudut antara subruang 𝑈 ∶= span{𝑢1 , … , 𝑢𝑝 } dan 𝑉 ∶= span{𝑣1 , … , 𝑣𝑞 }, dengan 𝑝 ≤ 𝑞, via rumus 2 ∥ proj 𝑢 , … , proj 𝑢 ∥ 𝑉 1 𝑉 𝑝 cos 2 𝜃 ∶= ∥ 𝑢1 , … , 𝑢𝑝 ∥2

(R1)

dengan proj𝑉 𝑢𝑖 menyatakan vektor proyeksi dari 𝑢𝑖 pada 𝑉. Catatan. ∥ 𝑢1 , … , 𝑢𝑝 ∥ menyatakan volume paralelpipedium berdimensi 𝑝 yang direntang oleh vektor-vektor 𝑢1 , … , 𝑢𝑝 .

Keajekan Rumus Proposisi berikut menyatakan bahwa rumus sudut antara dua subruang yang didefinisikan sebagai rasio tadi merupakan rumus yang ajek. Proposisi. Rasio di ruas kanan rumus (R1) merupakan suatu bilangan di interval [0,1] yang tak tergantung pada basis yang dipilih untuk 𝑈 dan 𝑉.

Rumus Sudut antara Dua Subruang - II Menggunakan konsep hasil kali dalam-p 𝑥0 , 𝑥1 𝑥0 , 𝑥2 𝑥2 , 𝑥1 𝑥2 , 𝑥2 𝑥0 , 𝑥1 𝑥2 , … , 𝑥𝑝 ∶= ⋮ ⋮ 𝑥𝑝 , 𝑥1 𝑥𝑝 , 𝑥2 dan norm-p

… … ⋱ …

∥ 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑝 ∥ ∶= 𝑥1 , 𝑥1 𝑥2 , … , 𝑥𝑝

𝑥0 , 𝑥𝑝 𝑥2 , 𝑥𝑝 ⋮ 𝑥𝑝 , 𝑥𝑝 1/2

pada 𝑋, kita dapat memperoleh rumus sudut antara subruang 𝑈 = span{𝑢1 , … , 𝑢𝑝 } dan 𝑉 = span{𝑣1 , … , 𝑣𝑞 }, dengan 𝑝 ≤ 𝑞, dalam bentuk yang lebih eksplisit.

Rumus Sudut antara Dua Subruang - II Untuk 𝑖 = 1, … , 𝑝, vektor proyeksi dari 𝑢𝑖 pada 𝑉 dapat dituliskan sebagai 𝑞

proj𝑉 𝑢𝑖 =

𝛼𝑖𝑘 𝑣𝑘 𝑘=1

dengan

𝛼𝑖𝑘 =

𝑢𝑖 , 𝑣𝑘 |𝑣𝑖2(𝑘) , … , 𝑣𝑖𝑞 (𝑘)

dengan 𝑖2 𝑘 , … , 𝑖𝑞 𝑘 1, 2, … , 𝑞.

∥ 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑞 ∥2

∶= 1,2, … , 𝑞 ∖ 𝑘 , untuk 𝑘 =

Rumus Sudut antara Dua Subruang - II Karena itu 𝑞

𝑞

𝛼1𝑘 𝑢1 , 𝑣𝑘 ∥ proj𝑉 𝑢1 , … , proj𝑉 𝑢𝑝

∥2

…

𝑘=1

=

𝑞

𝛼𝑝𝑘 𝑢1 , 𝑣𝑘 𝑘=1

⋮

𝛼1𝑘 𝑢𝑝 , 𝑣𝑘

⋱

𝑞

…

𝑘=1

⋮

det ( 𝑀𝑀 𝑇 ) = ∥ 𝑣1 , … , 𝑣𝑞 ∥2𝑝

𝛼𝑝𝑘 𝑢𝑝 , 𝑣𝑘 𝑘=1

dengan 𝑀 ∶= 𝑢𝑖 , 𝑣𝑘

dan 𝑀 ∶= [ 𝑢𝑖 , 𝑣𝑘 |𝑣𝑖2(𝑘) , … , 𝑣𝑖𝑞(𝑘) ]

dan 𝑖2 (𝑘), … , 𝑖𝑞 (𝑘) seperti tadi.

Rumus Sudut antara Dua Subruang - II Rumus (R1) untuk cosinus sudut antara 𝑈 dan 𝑉 sekarang dapat dituliskan sebagai 𝑇 det ( 𝑀 𝑀 ) 2 cos 𝜃 = . 𝑝 det [ 𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 ] ⋅ det [ 𝑣𝑘 , 𝑣𝑙 ]

(R2)

Rumus ini merupakan koreksi terhadap rumus Risteski dan Trenčevski, yang kami publikasikan di BAG (2005).** **Gunawan, H., Neswan, O. & Setya-Budhi, W. “A formula for angles between two subspaces of inner product spaces.” Beiträge zur Algebra und Geometrie (2005).

Rumus Sudut antara Dua Subruang - II Catatan. Jika {𝑢1 , … , 𝑢𝑝 } dan {𝑣1 , … , 𝑣𝑞 } ortonormal, maka cos 2 𝜃 = det ( 𝑀𝑀T ). Lebih jauh, jika p = q, maka

cos 𝜃 = det 𝑀 =

𝑢1 , 𝑣1 𝑢2 , 𝑣1 ⋮ 𝑢𝑝 , 𝑣1

𝑢1 , 𝑣2 𝑢2 , 𝑣2 ⋮ 𝑢𝑝 , 𝑣2

… … ⋱ …

𝑢1 , 𝑣𝑝 𝑢2 , 𝑣𝑝 ⋮ 𝑢𝑝 , 𝑣𝑝

.

Seberapa Mirip Aktivitas Mereka?

Dalam hal ini kita mempunyai dua subruang dari ℝ4 , yaitu 𝑈 = span{(4,3,2,1), (3,4,2,1)} dan 𝑉 = span{(4,3,1,2), (2,4,2,2)}. Dengan rumus (R2), kita dapatkan cos 𝜃 = 0,853, sehingga 𝜃 = 31, 5∘ . Dengan sudut 𝜃 < 45∘ , kita dapat mengatakan bahwa aktivitas anak-anak di kedua keluarga tersebut mirip.

Seberapa Mirip Aktivitas Mereka?

Beda dengan contoh sebelumnya, di sini kita mempunyai 𝑈 = span{(4,3,2,1), (3,4,2,1)} dan 𝑉 = span{(4,3,1,2), (2,4,2,2)}. Dengan rumus (R2), kita dapatkan cos 𝜃 = 0,507, sehingga 𝜃 = 59, 5∘ . Dengan sudut 𝜃 > 45∘ , kita dapat mengatakan bahwa aktivitas anak-anak di kedua keluarga tersebut berbeda.

Potensi Aplikasi dalam Bidang Biokimia • David, C.C. & Jacobs, D.J. “Characterizing protein motions from structure.” Journal of Molecular Graphics and Modelling (2011). • David, C.C. & Jacobs, D.J. “Principal component analysis: A method for determining the essential dynamics of proteins.” Methods in Molecular Biology (2014).

Potensi Aplikasi dalam Bidang Fisika • Bosetti, H., dkk. “Time-reversal symmetry and covariant Lyapunov vectors for simple particle models in and out of thermal equilibrium.” Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics (2010). • Chella, F., dkk. “Calibration of a multichannel MEG system based on the Signal Space Separation method.” Physics in Medicine and Biology (2012).

Potensi Aplikasi dalam Bidang Grafika Komputer • Cao, W.M., dkk. “Content-based image retrieval using highdimensional information geometry.” Science China Information Sciences (2014). • Kaveh, A. Optimal Analysis of Structures by Concepts of Symmetry and Regularity. Springer-Verlag, Wien (2013). • Kaveh, A. & Fazli, H. “Approximate eigensolution of locally modified regular structures using a substructuring technique.” Computers and Structures (2011). • Liwicki, S., dkk. “Euler principal component analysis.” International Journal of Computer Vision (2013). • Liwicki, S., dkk. “Online kernel slow feature analysis for temporal video segmentation and tracking.” IEEE Transactions on Image Processing (2015). • Peikert, R. & Sadlo, F. “Height ridge computation and filtering for visualization.” IEEE Pacific Visualisation Symposium 2008, PacificVis Proceedings (2008).

Potensi Aplikasi dalam Bidang Optimisasi • Haesen, S., dkk. “On the extrinsic principal directions of Riemannian submanifolds.” Note di Matematica (2009).

• Pustylnik, E., dkk. “Convergence of infinite products of nonexpansive operators in Hilbert space.” Journal of Nonlinear and Convex Analysis (2010).

Potensi Aplikasi dalam Bidang Vehicular Technology • Nam, S., dkk. “A PF scheduling with low complexity for downlink multi-user MIMO systems.” IEEE Vehicular Technology Conference (2013).

• Nam, S., dkk. “A user selection algorithm using angle between subspaces for downlink MU-MIMO systems.” IEEE Transactions on Communications (2014). • Yi, X. & Au, E.K.S. “User scheduling for heterogeneous multiuser MIMO systems: A subspace viewpoint.” IEEE Transactions on Vehicular Technology (2011).

Penutup

http://www.homeschoolingresourcecenter.org/

TERIMA KASIH..