PENGUKURAN AN FERTILITAS DENGAN MENGGUNAKA KAN METODE E RELE R DAN GUNASEKARAN-PALMORE
IKA SORVIANTI
D DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATE TEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN A ALAM IN INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012
ABSTRAK IKA SORVIANTI. Pengukuran Fertilitas dengan Menggunakan Metode Rele dan GunasekaranPalmore. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan HADI SUMARNO. Fertilitas merupakan faktor yang diperlukan dalam proyeksi jumlah penduduk selain faktor mortalitas dan migrasi. Namun di banyak negara, khususnya negara berkembang, pengukuran fertilitas secara langsung sulit dilakukan karena data sensus hanya memberikan informasi jumlah penduduk pada saat sensus diadakan dan tidak mencatat secara lengkap jumlah bayi lahir hidup yang kemudian meninggal pada waktu sensus. Di negara-negara tersebut, pengukuran fertilitas dilakukan dengan menggunakan metode tak langsung antara lain metode Rele, metode Palmore, metode Gunasekaran-Palmore, metode kelahiran anak terakhir, dan metode anak kandung. GRR (gross reproduction rate) adalah ukuran fertilitas terhadap bayi perempuan yang dilahirkan seorang wanita selama hidupnya, dengan asumsi rasio jenis kelamin bayi perempuan dan bayi lakilaki masing-masing adalah 1.00 dan 1.05. TFR (total fertility rate) adalah ukuran fertilitas yang menunjukkan rata-rata jumlah bayi yang dilahirkan seorang wanita selama hidupnya. Tujuan dari karya ilmiah ini adalah menduga tingkat fertilitas dengan metode Rele dan metode Gunasekaran-Palmore dan membandingkan hasil dugaan TFR untuk masing-masing metode. Metode Rele merupakan salah satu metode pengukuran fertilitas tak langsung untuk menduga GRR berdasarkan pada konsep penduduk stabil. Pada metode Rele, nilai CWR dan angka harapan hidup digunakan untuk menghitung GRR. Pada metode Gunasekaran-Palmore, ukuran fertilitas GRR diduga dengan menggunakan data sebaran penduduk wanita menurut umur dan angka harapan hidup wanita. Metode ini menggunakan data fertilitas dari beberapa negara di dunia tahun 1965-1975 untuk memperoleh model persamaan regresi. Kedua metode tersebut digunakan untuk menduga TFR dengan keperluan datanya sederhana, yaitu data struktur umur penduduk dan angka harapan hidup. Berdasarkan data penduduk Indonesia tahun 2005 dan 2007, diperoleh nilai dugaan TFR menggunakan metode Rele untuk tahun 2005 dan 2007 masing-masing sebesar 2.22 dan 2.644. Hasil dugaan TFR menggunakan metode Gunasekaran-Palmore untuk periode yang sama masingmasing sebesar 2.074 dan 2.071. Sedangkan hasil TFR berdasarkan penghitungan BPS untuk masing-masing periode adalah 2.26 dan 2.6. Hasil tersebut menunjukkan bahwa, hasil penghitungan dengan metode Rele lebih mendekati hasil penghitungan BPS dibandingkan hasil TFR dengan metode Gunasekaran-Palmore. Kata kunci: pengukuran tak langsung, angka reproduksi kasar, angka kelahiran total.
ABSTRACT IKA SORVIANTI. The Measurement of Fertility Using Rele and Gunasekaran-Palmore Methods. Under supervision of RETNO BUDIARTI and HADI SUMARNO. Fertility is an important factor in population projection beside mortality and migration. Unfortunately, in most countries, especially in underdeveloped countries, the direct measurement of fertility is difficult to obtain because census data only provide the number of population at the time the census and there is lack of information about the number of live birth at the time of census. In these countries, measurement of fertility is usually done using indirect methods, such as Rele, Palmore, Gunasekaran-Palmore, last live birth, and own children methods. GRR (gross reproduction rate) is a fertility measure that describes the number of live birth of female child during a women’s life time. The ratio of child’s gender is assumed to be 1.00 male and 1.05 female. TFR (total fertility rate) is the average number of children that would be born to a woman over her life time. The objectives of this paper are to estimate fertility measure using Rele and GunasekaranPalmore methods and to compare the estimated TFR using each method. Rele method is one of indirect measurement of fertility method to find GRR, which is developed by using stable population model. In this method, CWR (child women ratio) and expected life at birth are used to estimate GRR. In Gunasekaran-Palmore method, the fertility measure of GRR is estimated by using age distribution of female and expected life at birth of female. The regression model is developed by using the fertility data from many countries around the world, which have complete fertility data in the period of 1965-1975. Both Rele and Gunasekaran-Palmore methods use only simple data, such as the structure of age distribution and expected life at birth to estimate TFR. Based on Indonesian data for period 2005 and 2007, the estimated TFR using Rele and Gunasekaran-Palmore methods are obtained. The value of TFR using Rele method for 2005 and 2007 are 2.22 and 2.644, respectively. The results of estimation TFR using Gunasekaran-Palmore method for the same period are 2.074 and 2.071, respectively. The value of TFR from Indonesian Central Bureau of Statistics for each period are 2.26 and 2.6, respectively. This result shows that, TFR with Rele method is closer to the value of TFR from Indonesian Central Bureau of Statistics. Keywords: indirect measurement of fertility, gross reproduction rate, total fertility rate.
PENGUKURAN FERTILITAS DENGAN MENGGUNAKAN METODE RELE DAN GUNASEKARAN-PALMORE
IKA SORVIANTI
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012
Judul
:
Nama NRP
: :
Pengukuran Fertilitas dengan Menggunakan Metode Rele dan Gunasekaran-Palmore Ika Sorvianti G54104067
Menyetujui: Pembimbing I,
Pembimbing II,
Ir. Retno Budiarti, MS NIP. 19610729 198903 2 001
Dr.Ir. Hadi Sumarno, MS NIP. 19590926 198501 1 001
Mengetahui: Ketua Departemen,
Dr. Berlian Setiawaty, MS NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang Mahabaik, atas segala rahmat dan karunia-Nya, penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul Pengukuran Fertilitas dengan Menggunakan Metode Rele dan Gunasekaran-Palmore. Penulis mengucapkan terimakasih kepada pihak-pihak yang telah memberikan dorongan terhadap penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini, yaitu : 1.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9.
Kedua dosen pembimbing penulis, ibu Retno Budiarti dan bapak Hadi Sumarno atas ilmu, bantuan, nasehat dan motivasi yang telah diberikan serta bimbingannya sehingga penulis mampu menyelesaikan tugas akhir ini. Ibu Berlian Setiawati dan ibu Farida Hanum atas ilmu, bantuan, nasehat, dan motivasi yang telah diberikan. Ibu Endar H. Nugrahani yang telah menjadi dosen penguji saat sidang. Untuk ibu, terimakasih atas segala sesuatunya. (Ibu adalah untuk saya dan saya ada untuk ibu, mudah-mudahan kita bisa menjadi lebih baik dari sebelumnya, amin). Untuk bapak dan adik, terimakasih atas doanya, dukungan dan segala sesuatunya. (Semoga doa-doa dan cita-cita kita tercapai, amin). Yeni Auliawati terimakasih sudah menjadi teman yang sangat banyak membantu, semoga apa yang kita cita-citakan tercapai, amin. Teman-teman matematika angkatan 41. Seluruh dosen matematika IPB, atas segala ilmu yang telah diberikan, dan kepada staf dan TU Departemen matematika: bu Susi, bu Ade, mas Deni, mas Yono, dan lain-lain, atas bantuan yang telah diberikan kepada penulis. Semua teman matematika yang berbeda angkatan terimakasih atas bantuan yang telah diberikan.
Semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi penulis, dan juga pihak lain umumnya yang membutuhkan.
Bogor, Januari 2012
Ika Sorvianti
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Semarang, 4 April 1986 dari pasangan Sukoco dan Sumiati sebagai anak pertama dari dua bersaudara. Pada tahun 2001 penulis menyelesaikan pendidikan sekolah lanjut tingkat pertama di SMPN 9 Depok, yang dalam tahun yang sama penulis melanjutkan pendidikan ke sekolah menengah umum di SMAN 2 Depok. Pada tahun 2004, penulis lulus dari tingkat SMU dan melanjutkan pendidikan ke tingkat perguruan tinggi di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB) dan mengambil program studi Matematika, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI..... ................................................................................................................................ vii DAFTAR TABEL ............................................................................................................................ viii DAFTAR GAMBAR ....................................................................................................................... viii DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................................................... viii PENDAHULUAN .............................................................................................................................. 1 Latar Belakang ............................................................................................................................. 1 Tujuan .......................................................................................................................................... 1 LANDASAN TEORI .......................................................................................................................... 2 METODE PENGUKURAN FERTILITAS ........................................................................................ 5 Metode Rele ................................................................................................................................. 5 Metode Gunasekaran-Palmore ..................................................................................................... 7 Aplikasi Pada Data Penduduk Indonesia ..................................................................................... 8 KESIMPULAN ................................................................................................................................. 10 DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................................... 11
vii
DAFTAR TABEL Halaman Tabel 1. Koefisien a dan b untuk berbagai level AHH ....................................................................... 7
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1. Proporsi jumlah penduduk.................................................................................................. 9
DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1. Proses penghitungan U dan V ...................................................................................... 13 Lampiran 2. Pembuktian kumulan ke-r.............................................................................................. 15 Lampiran 3. Tabel distribusi penduduk Indonesia menurut umur berdasarkan Survei Penduduk Antar Sensus (SUPAS) tahun 2005 ............................................................................... 20 Lampiran 4. Tabel distribusi penduduk Indonesia menurut umur berdasarkan Survei Demografi dan Kesehatan Indonesia (SDKI) tahun 2007 ............................................................... 22
viii
1
PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Peristiwa kelahiran atau fertilitas merupakan salah satu faktor yang mempengaruhi perubahan jumlah penduduk selain faktor mortalitas dan migrasi. Pengukuran fertilitas diperlukan sebagai salah satu komponen dalam proyeksi jumlah penduduk di waktu mendatang, selain itu pengukuran fertilitas dapat digunakan untuk memetakan daerah-daerah yang memiliki fertilitas tinggi. Namun pada negara berkembang seperti Indonesia, dengan sistem pendataan fertilitas yang kurang akurat, dimana data sensus kependudukan yang diperoleh hanya memberikan informasi jumlah penduduk yang hidup pada saat sensus diadakan dan tidak mencatat secara lengkap jumlah bayi lahir hidup yang kemudian meninggal pada waktu sensus. Hal tersebut menyebabkan penghitungan fertilitas secara langsung sulit dilakukan, sehingga diperlukan metode secara tak langsung untuk mengukur fertilitas. Metode pengukuran fertilitas secara tak langsung yang dapat digunakan untuk menghitung tingkat fertilitas antara lain metode Rele, metode Palmore, metode Gunasekaran-Palmore, metode kelahiran anak terakhir, dan metode anak kandung. Dalam karya ilmiah ini akan dikaji dua metode pengukuran fertilitas tak langsung, yaitu metode Rele dan metode GunasekaranPalmore. Kedua metode tersebut sesuai digunakan untuk menghitung fertilitas pada daerah yang sulit memperoleh data fertilitas yang lengkap, dengan keperluan datanya sederhana, yaitu data struktur umur penduduk dan angka harapan hidup. Metode Rele digunakan untuk menduga GRR, yang berdasarkan pada konsep penduduk stabil untuk menentukan model regresi. Pada metode ini nilai GRR diperoleh dari nilai Child Women Ratio (CWR) dan
angka harapan hidup. Pada metode Gunasekaran-Palmore didasarkan pada hubungan antara ukuran fertilitas yang dipengaruhi oleh distribusi umur penduduk dan faktor mortalitas. Metode ini menduga GRR dengan menggunakan data fertilitas dari beberapa negara di dunia dari tahun 1965 sampai tahun 1975 untuk memperoleh model persamaan regresi. Data yang diperlukan untuk menghitung GRR pada kedua metode tersebut diperoleh dengan menggunakan data sensus. Pada metode Rele, nilai CWR merupakan perbandingan penduduk usia 0-4 tahun dengan penduduk wanita usia 15-49 tahun. Sedangkan metode GunasekaranPalmore menggunakan data sebaran penduduk wanita menurut umur dan angka harapan hidup wanita waktu lahir. Tingkat fertilitas total (TFR) dari seorang wanita dapat dihitung dengan mengalikan GRR dengan faktor 2.05. Dengan asumsi rasio jenis kelamin bayi perempuan dan bayi lakilaki masing-masing adalah 1.00 dan 1.05. Dimana ukuran TFR dari seorang wanita menyatakan rata-rata jumlah anak yang dilahirkan oleh seorang wanita selama masa reproduksinya.
1.2 Tujuan 1.
2.
3.
Mempelajari pengukuran fertilitas tak langsung dengan menggunakan metode Rele dan metode Gunasekaran-Palmore. Menghitung tingkat fertilitas dengan metode Rele dan metode GunasekaranPalmore untuk data penduduk Indonesia. Membandingkan hasil pengukuran fertilitas dengan metode Rele dan Gunasekaran-Palmore.
LANDASAN TEORI Definisi 1 Fertilitas (Fertility) Fertilitas adalah hasil reproduksi yang nyata dari seorang atau sekelompok wanita berdasarkan banyaknya bayi yang dilahirkan hidup. [Lucas 1984]
Definisi 2 Kelahiran Hidup (Life Birth) Kelahiran hidup adalah kelahiran seorang bayi tanpa memperhitungkan lama kehamilan dengan menunjukkan tanda-tanda kehidupan seperti bernafas, detak jantung,
2
denyut nadi atau gerakan nyata yang disengaja. [Lucas 1984] Definisi 3 Masa Reproduksi (Childbearing Age) Masa reproduksi adalah masa dimana wanita mampu melahirkan yaitu usia 15-49 tahun yang disebut juga usia reproduksi. [Lembaga Demografi FE UI 1980] Definisi 4 Angka Kelahiran Kasar (Crude Birth Rate) Angka kelahiran kasar adalah jumlah kelahiran pada suatu tahun tertentu dibagi jumlah penduduk pada pertengahan tahun yang sama. [Brown 1997] Definisi 5 Angka Kelahiran Umum (General Fertility Rate) Angka kelahiran umum adalah jumlah kelahiran pada suatu tahun tertentu dibagi jumlah penduduk wanita usia reproduksi pada pertengahan tahun yang sama. [Brown 1997] Definisi 6 Angka Kelahiran Menurut Umur (Age Specific Fertility Rate) Angka kelahiran menurut umur adalah jumlah kelahiran menurut kelompok umur tertentu dari wanita dibagi jumlah penduduk wanita dalam kelompok umur yang sama. [Brown 1997]
reproduksinya dengan memperhitungkan peluang anak perempuan yang dilahirkan, meninggal sebelum mengakhiri masa reproduksinya. [Brown 1997] Definisi 10 Rasio Anak-Wanita (Child Women Ratio) Rasio anak-wanita adalah jumlah anak usia 0-4 tahun dibagi jumlah wanita usia 15-49 tahun dalam suatu waktu tertentu. [Lembaga Demografi FE UI 1980] Definisi 11 Angka Harapan Hidup (Life Expectancy) Angka harapan hidup waktu lahir didefinisikan sebagai rata-rata tahun hidup yang akan dijalani oleh seseorang sejak lahir dalam situasi kematian yang berlaku dilingkungan masyarakatnya. [Utomo 1985] Definisi 12 Persamaan Regresi Persamaan regresi adalah persamaan matematik yang dapat meramalkan nilai suatu peubah tak bebas dari satu atau lebih peubah bebas, yang secara umum dapat dituliskan dalam bentuk: Y = β 0 + β1 X 1 + β 2 X 2 + ... + β k X k + ε
Y menyatakan variabel tak bebas, X i menyatakan variabel bebas dari model (i = 1, 2, ..., k ) , β n menyatakan koefisien regresi
( n = 0,1, 2, ..., k ) , ε
menyatakan
Definisi 7 Angka Kelahiran Total (Total Fertility Rate) Angka kelahiran total adalah rata-rata jumlah anak yang dilahirkan oleh seorang wanita selama masa reproduksinya. [Brown 1997]
nilai galat dari model.
Definisi 8 Angka Reproduksi Kasar (Gross Reproduction Rate) Angka reproduksi kasar adalah rata-rata jumlah anak perempuan yang dilahirkan oleh seorang wanita selama masa reproduksinya, tanpa memperhitungkan kemungkinan anak perempuan yang dilahirkan meninggal sebelum mengakhiri masa reproduksinya. [Brown 1997]
apabila terdapat n data amatan, maka persamaan (1) menjadi y = β 0 + x1i β1 + x2 i β 2 + ... + xki β k + ε i
Definisi 9 Angka Reproduksi Bersih (Net Reproduction Rate) Angka reproduksi bersih adalah rata-rata jumlah anak perempuan yang dilahirkan oleh seorang wanita selama masa
[Walpole 1995] Definisi 13 Metode Kuadrat Terkecil Model regresi linear berganda: (1) y = β 0 + β1 x1 + β 2 x2 + ... + β k xk
k
= β0 +
∑x
ji β j
+ ε i , i = 1, 2,..., n
(2)
j =1
dengan menjadi
notasi matriks, persamaan
(2)
y = Xβ +ε . (3) dengan y adalah matriks n × 1 , vektor data amatan. X adalah matriks n × p , p = k + 1 vektor dari peubah. β adalah matriks ( k + 1) × 1 vektor dari koefisien regresi dan galat. ε adalah n × 1 vektor dari nilai
3
Jumlah kuadrat galat untuk model regresi linear berganda didefinisikan sebagai berikut: n
S ( β 0 , β1 ,..., β k ) =
∑ε
2 i
= ε 'ε
(4)
i =1
Jumlah kuadrat tersebut merupakan fungsi dari β = ( β 0 , β1 ,..., β k ) ' . Nilai dugaan kuadrat terkecil bagi dengan
βˆ
β
dilambangkan
merupakan nilai
meminimumkan
S (β ) .
Nilai
β
yang dugaan
kuadrat terkecil βˆ dapat diperoleh dengan menurunkan persamaan (4) terhadap β , dari persamaan (4) diperoleh S ( β ) = ε ' ε = ( y − X β ) '( y − X β ) = y' y −β 'X ' y − y'Xβ + β 'X 'Xβ (5) = y ' y − 2β ' X ' y + β ' X ' X β dengan menurunkan persamaan (5) terhadap β diperoleh
−2 X ' y + 2 X ' X βˆ = 0 X ' X βˆ = X ' y −1
βˆ = ( X ' X ) X ' y
3. Jika A1, A2 ,... ∈ F maka
∞
∪A ∈F i
i =1
.
[Grimmett dan Stirzaker 1992] Definisi 17 Ukuran Peluang Misalkan F adalah medan- σ dari ruang contoh Ω . Ukuran peluang adalah suatu fungsi P : F → 0,1 pada ( Ω,F ) yang memenuhi : 1. P ( ∅ ) = 0, P ( Ω ) = 1, 2. Jika A1, A2 ,... ∈ F adalah himpunan yang saling lepas yaitu Ai ∩ A j = ∅ untuk setiap
∞
∞
i =1
pasangan i ≠ j , maka P ∪ Ai = ∑ P ( Ai ) i =1
[Grimmett dan Stirzaker 1992]
Peubah Acak dan Sebarannya Definisi 18 Peubah Acak Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X : Ω → dengan sifat bahwa {ω ∈ Ω : X (ω ) ≤ x} ∈ F untuk setiap x ∈ . [Grimmett dan Stirzaker 1992]
[MontGomery dan Peck 1992]
Ruang contoh, Kejadian dan Peluang
Definisi 14 Percobaan acak Percobaan acak adalah suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diduga dengan tepat, tetapi semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui. [Grimmett dan Stirzaker 1992] Definisi 15 Ruang Contoh dan Kejadian Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω . Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω [Grimmett dan Stirzaker 1992] Definisi 16 Medan- σ Medan- σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari ruang contoh Ω , serta memenuhi kondisi berikut : 1. ∅∈F , 2. Jika A ∈ F maka Ac ∈ F ,
Definisi 19 Peubah Acak Diskret Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari . [Grimmett dan Stirzaker 1992] Catatan : Suatu himpunan terhitung jika C terhingga atau dikorespondensikan bulat positif.
bilangan C disebut terdiri atas bilangan anggota dapat C 1-1 dengan bilangan
Definisi 20 Fungsi Massa Peluang Fungsi massa peluang dari suatu peubah acak diskret X adalah fungsi p : → 0,1 yang diberikan oleh :
pX ( x ) = P ( X = x ) .
[Grimmett dan Stirzaker 1992] Definisi 21 Fungsi Sebaran Fungsi sebaran dari peubah acak dinyatakan sebagai,
X
FX ( x ) = P ( X ≤ x ) .
[Grimmett dan Stirzaker 1992]
4
maka momen ke-k didefinisikan sebagai
Definisi 22 Peubah Acak Kontinu Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebaran FX ( x ) = P ( X ≤ x ) dapat dinyatakan sebagai FX ( x ) =
dari
X ,
( )
E X k = ∑ x k pX ( x ) , x
jika jumlah di atas konvergen mutlak.
x
∫ f ( u ) du , X
−∞
x ∈ R , dengan f : → 0, ∞ ) adalah fungsi
yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang dari X . [Grimmett dan Stirzaker 1992]
2.
Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f X ( x ) , maka momen ke-k dari X , didefinisikan sebagai ∞
( ) ∫x
E Xk =
f X ( x )dx ,
−∞
Nilai Harapan Definisi 23 Nilai Harapan 1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang p X ( x ) , maka nilai harapan dari X , dinotasikan dengan E ( X ) , adalah E ( X ) = ∑ x pX ( x ) , x
jika jumlah di atas konvergen mutlak. 2.
k
Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f X ( x ) , maka nilai harapan dari X adalah E ( X ) =
jika integral di atas konvergen mutlak. [Hogg et al 2005] Momen pertama dari peubah acak X disebut nilai harapan dari X yaitu E ( X ) . Definisi 25 Fungsi Pembangkit Momen Fungsi pembangkit momen dari peubah acak X didefinisikan sebagai, ∞
( ) ∫e
M X ( t ) = E etX =
tx
f X ( x )dx ,
−∞
untuk t ∈ R , jika nilai harapan di atas ada. [Hogg et al 2005]
∞
∫ x f ( x )dx , X
jika integral
−∞
di atas konvergen mutlak. [Hogg et al 2005]
Definisi 24 Momen 1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang p X ( x ) ,
Teorema 26 Deret Taylor Suatu fungsi f disebut memiliki bentuk deret Taylor di a , jika ∞
f n (a ) ( x − a) n n! n =0 f '( a ) f ''(a ) = f (a) + ( x − a) + ( x − a ) 2 + ... 1! 2! f ( x) = ∑
[Stewart 1999]
METODE PENGUKURAN FERTILITAS 1. Metode Rele Metode Rele merupakan salah satu metode pengukuran fertilitas tak langsung untuk menduga Gross Reproduction Rate (GRR) berdasarkan pada konsep penduduk stabil. Nilai GRR dihitung menggunakan nilai Child Women Ratio (CWR) dan nilai angka harapan hidup (e0 ) . Pada model penduduk stabil diasumsikan bahwa tingkat fertilitas penduduk adalah tetap (Rele, 1967).
1.1 Model Penduduk Stabil Misalkan B (t ) menyatakan banyaknya kelahiran hidup pada waktu t dan rb adalah laju kelahiran bayi untuk interval waktu ∆t , maka banyaknya kelahiran pada waktu t + n dapat dituliskan: B(t + ∆t ) = B (t ) + rb B(t ) ∆t rb =
B (t + ∆t ) − B (t ) B(t )∆t
5
rb = lim
∆t → 0
B(t + ∆t ) − B(t ) B(t )∆t
∞
= e nrb ∫ B (t )e − rb x p( x) dx 0
1 dB B (t ) dt
rb = t+n
t+n
∫ r dt = ∫ b
t
t
= P(t )e nrb ,
(5)
persamaan (5) menunjukkan bahwa laju pertumbuhan penduduk rp merupakan laju
1 dB( s ) B( s)
rbt|tt + n = ln B( s )|tt + n
kelahiran bayi
rb (t + n − t ) = ln B(t + n) − ln B(t )
rb = rp = r dan B(t + n) = B(t )enrb .
rb n = ln
B (t + n ) B (t )
B(t + n) = B(t )
e nrb
B(t + n) = B(t )enrb .
(1) [Brown 1997]
Dengan rb ≠ 0 dan n > 0 adalah waktu. Persamaan (1) menunjukkan banyaknya kelahiran per tahun dipengaruhi oleh laju kelahiran bayi rb . Misalkan P (t ) merupakan banyaknya penduduk pada waktu t , dan B (t ) merupakan banyaknya kelahiran hidup pada waktu t , berdasarkan persamaan (1) maka banyaknya kelahiran pada waktu t − x adalah: B(t − x ) = B (t )e − rb x ,
(2)
dan banyaknya penduduk yang lahir pada waktu t − x (bayi umur nol) sampai umur x pada waktu t adalah B (t − x ) p ( x) , dengan p ( x ) adalah peluang bayi hidup sampai umur x . Dengan demikian total penduduk pada waktu t adalah ∞
P(t ) = ∫ B (t − x) p( x)dx 0
∞
Fx (t )dx B (t )e − rx p( x) dx =∞ , P(t ) − rx B ( t ) e p ( x ) dx ∫
= ∫ B (t )e
− rb x
p ( x) dx ⋅
(3)
(4)
p ( x) dx,
(7)
0
∞
B(t ) = ∫ Pxf *ASFR (x) dx,
(8)
0
dengan Px f adalah populasi wanita hidup sampai umur x dan ASFR (x ) adalah angka kelahiran dari wanita berumur x. Banyaknya bayi wanita yang lahir pada waktu t dapat dituliskan: Bf = ∫ 0
∞
0
Dan total penduduk pada waktu t + n adalah: P(t + n) = ∫ B(t + n)e
maka
persamaan (7) menyatakan bahwa proporsi penduduk pada suatu selang umur tertentu bukanlah fungsi dari t , sehingga proporsi penduduk pada umur tersebut tidak berubah. Tingkat kelahiran populasi pada waktu t dapat dituliskan:
=∫ − rb x
x
Fx (t )dx e − rx p( x)dx =∞ P(t ) − rx ∫ e p( x)dx
0
∞
(6)
0
karena B (t ) bukan fungsi persamaan (6) menjadi:
∞
0
itu sendiri, sehingga
Misalkan Fx (t )dx menyatakan banyaknya penduduk umur x sampai x + dx pada waktu t dan banyaknya penduduk pada waktu t adalah P (t ) , maka proporsi penduduk stabil umur x sampai x + dx pada waktu t adalah
= ∫ B(t − x) p( x)dx ∞
rb
1 * Pxf *ASFR(x ) dx 2.05
1 L * Bf *e− r ( x + 0.5) * x * ASFR(x) dx (9) 2.05 l0 p( x) =
dimana
Lx , dengan membagi l0
Bf
diperoleh
0
dari persamaan (1) B(t + n) = B(t )e nr , maka diperoleh b
∞
P(t + n) = ∫ B(t )e e nrb
0
− rb x
p( x) dx
∞
1
∫ 2.05 *e 0
− r ( x + 0.5)
*
Lx * ASFR(x) dx = 1. l0
(10)
6
Jika α dan β adalah batas bawah dan batas atas dari umur wanita reproduktif, sehingga ASFR (x ) = 0 untuk x < α atau x > β , maka persamaan (8) dan (9) masing-masing dapat dituliskan sebagai berikut:
d
X=
c
c
k
∫ Be
Bf = ∫ α
=
d
c
c k
− rx f ∫ e P (x)dx h
1 L * Bf *e− r ( x + 0.5) * x * ASFR(x) dx, . 2.05 l0
e
− rv
=
dan persamaan (10) menjadi
d d m f ∫1,05P (x)dx + ∫ P (x)dx c c , k
β
h
dengan
Bentuk diskrit dari persamaan (10) dapat dituliskan:
k
e
49
− ru
=
1.2 Hubungan GRR dan CWR Pendugaan GRR ini dilakukan dengan menentukan hubungan antara peubah takbebas GRR dengan peubah bebas CWR.
∫e
− rx
P f (x)dx
h
,
k
f ∫ P (x)dx
(11)
L dengan α = 15 dan β = 49 , p( x) = x . l0
h
d d − rx m − rx f 1,05∫ e P (x)dx + ∫ e P (x)dx c c , = d d m f 1,05∫ P (x)dx + ∫ P (x)dx c c
e − rv
dengan menggunakan deret Taylor diperoleh k
U=
∫ xP
f
(x)dx
h k
dan
f ∫ P (x)dx
Berikut notasi yang digunakan
h
d
f
P (x) m
P (x) c, d
h, k
(12)
e − ru ∫ P f (x)dx
1 − r ( x + 0.5) Lx * * ASFR (x) dx = 1 . ∫ *e l0 α 2.05
X r
P (x)dx
d
dan
1 L * e − r ( i + 0.5) * i *ASFR (i )=1, ∑ l0 i =15 2.05
f
1,05∫ e − rx P m (x)dx + ∫ e− rx P f (x)dx
α
β
− rx
h
β
B(t ) = ∫ Pxf *ASFR(x) dx
d
1,05∫ Be− rx P m (x)dx + ∫ Be − rx P f (x)dx
: CWR. : laju pertumbuhan penduduk. : peluang penduduk wanita hidup sampai umur x. : peluang penduduk laki-laki hidup sampai umur x. : batas bawah dan batas atas dari selang umur bayi. : batas bawah dan batas atas dari selang umur wanita reproduktif.
CWR merupakan perbandingan jumlah sebaran penduduk selang umur c, d tahun (bayi wanita dan bayi laki-laki) terhadap jumlah sebaran penduduk wanita selang umur h, k tahun, sehingga rasio CWR ( X ) dapat dituliskan sebagai:
V=
d
1,05∫ xP m (x)dx + ∫ xP f (x)dx c
c d
d
1,05∫ P (x)dx + ∫ P f (x)dx m
c
c
(Lihat Lampiran 1) U dan V adalah rata-rata umur wanita dan anak, sehingga U − V menyatakan rata-rata panjang satu generasi, yaitu U − V =T + ∆t d d e − rv ∫1,05P m (x)dx + ∫ P f (x)dx c c X= k − ru f e ∫ P (x)dx h d d m f ∫1,05P (x)dx + ∫ P (x)dx c e r (U −V ) = c k f ∫ P (x)dx h
7
Tabel 1 Koefisien a dan b untuk berbagai level AHH CWR
Koef
Angka Harapan Hidup 20
30
40
50
60
70
C(0-4)
a
-0.0909
-0.1211
-0.137
-0.1529
-0.1645
-0.1754
W(15-44)
b
4.5907
4.1821
3.9298
3.7375
3.5556
3.3878
C(0-4)
a
0.0547
0.0284
0.0129
-0.0059
-0.0182
-0.0309
W(15-49)
b
4.768
4.3293
4.0617
3.8589
3.6628
3.4829
C(5-9)
a
-0.1162
-0.1311
-0.1436
-0.1574
-0.1675
-0.1779
W(20-49)
b
5.2927
4.4881
4.094
3.8301
3.5967
3.3894
C(5-9)
a
0.0245
0.0106
0.0021
-0.011
-0.0226
-0.0345
W(20-54)
b
5.4711
4.6398
4.2262
3.948
3.7014
3.4821
d
V=
d
1,05∫ xP m (x)dx + ∫ xP f (x)dx c
c d
d
1,05∫ P m (x)dx + ∫ P f (x)dx c
K =
d d m f ∫1,05 P (x)dx + ∫ P (x)dx c c k
c
h
(Lihat Lampiran 1)
dan
U dan V adalah rata-rata umur wanita dan anak, sehingga U − V menyatakan rata-rata panjang satu generasi, yaitu U − V =T + ∆t
R0 = NRR = K ' GRR , sehingga
d d e− rv ∫1,05 P m (x)dx + ∫ P f (x)dx c c X= k − ru f e ∫ P (x)dx
,
f ∫ P (x)dx
X = K K ' GRR e r ∆t = K * GRR e r ∆t ⋅
(13)
Pengukuran fertilitas dengan menggunakan hubungan linier antara CWR dan GRR pada persamaan (13), dapat dituliskan sebagai fungsi linier GRR dari CWR, yaitu
h d d m f ∫1,05P (x)dx + ∫ P (x)dx c er (U −V ) = c k f ∫ P (x)dx h d d m f ∫1,05P (x )dx + ∫ P (x)dx c e r (T +∆t ) = c k f ∫ P (x)dx h
= K R0 e r∆t ,
dengan
GRR = a + b CWR ,
(14)
dengan menggunakan CWR berdasarkan asumsi model penduduk stabil, Rele (1967) menghitung nilai koefisien a dan b , yang dituliskan pada Tabel 1 di atas. Dari Tabel 1 diperoleh nilai koefisien a dan b untuk persamaan (14) memiliki nilai yang berbeda untuk masing-masing kelompok umur CWR dan AHH.
2. Metode Gunasekaran-Palmore Metode Gunasekaran-Palmore merupakan metode untuk mengukur fertilitas dengan menggunakan data struktur umur penduduk wanita dan angka harapan hidup wanita waktu lahir (e0f ) . Dalam metode ini, ukuran fertilitas dipengaruhi oleh sebaran umur penduduk. Data yang digunakan pada metode Gunasekaran-Palmore adalah data
distribusi umur penduduk wanita untuk mendapatkan nilai peubah CVAG, K3 dan β 2 yang mempengaruhi nilai peubah GRR dengan: (i) CVAG (coefficient of variation of female age distribution) yaitu σ / µ . (ii) K3 = kumulan ke-3.
8
(iii) β 2 =
K4
σ4
Survei Demografi dan Kesehatan Indonesia (SDKI) tahun 2007 (BPS, 2007).
+3 .
(iv) K 4 = kumulan ke-4. Dimana kumulan ke-r dari peubah acak didefinisikan sebagai X = K r (X ) = K r tr dalam deret Taylor dari r!
koefisien dari
logaritma asli fungsi pembangkit momen:
( ln M (t ) = ln E(e ) ) tX
dengan, Kumulan ke-1= E ( X ) = µ1 = µ . Kumulan ke-2= E ( X − µ ) 2 = µ 2 = σ 2 . Kumulan ke-3= E ( X − µ )3 = µ3 . Kumulan ke-4= E ( X − µ ) 4 − 3σ 4 = µ 4 − 3σ 4 . (Bukti di Lampiran 2)
=
CWR =
P(0-4) 19095 = = 0.320141 P(15-49) 59646
dan persamaan (14) menjadi GRR = a70.0 + b70.0 CWR(0 − 4 /15 − 49)
dan β2 =
3.1 Penghitungan GRR dengan metode Rele Dengan menggunakan data SUPAS 2005 yang terdapat pada Lampiran 3, dapat dihitung nilai CWR untuk kelompok umur anak dan wanita yang digunakan masingmasing yaitu 0-4 tahun dan 15-49 tahun, sedangkan angka harapan hidup (e0 ) tahun 2005 adalah 70.0 tahun. Dari data diperoleh, jumlah penduduk usia 0-4 tahun, yaitu P(04)= 19095 dan Jumlah penduduk wanita usia 15-49 tahun, yaitu P(15-49)= 59646. Maka,
E(X − µ)
E( X
dengan mensubstitusi nilai a70 , b70 dan nilai CWR pada persamaan (16), diperoleh GRR = 1.084118852 dan TFR = 2.05 * GRR = 2.05 *1.084118852 = 2.222443647 .
σ4 4
(16)
4
) − 4µ E ( X ) + 6µ E ( X ) − 3µ 3
2
2
σ4 dan K 3 = E ( X 3 ) − 3µ E ( X 2 ) + 2µ 3 .
4
,
Model regresi Gunasekaran-Palmore adalah ln GRR = f (e0f , CVAG, K3 , β 2 ) = a + b ln(e0f ) +c ln(CVAG ) + d ln( β 2 ) + e ln( K 3 ) [Palmore, 1978]
Sedangkan untuk data SDKI 2007 yang terdapat pada Lampiran 4, diperoleh jumlah penduduk usia 0-4 tahun, yaitu P(04)=16630 dan jumlah penduduk wanita usia 15-49 tahun, yaitu P(15-49)=43476. Maka, CWR =
Dengan menggunakan data fertilitas dari beberapa negara di dunia dari tahun 1965 sampai tahun 1975 seperti yang digunakan Palmore (1978), maka diperoleh persamaan regresi sebagai berikut
(
ln(GRR ) = 9.65566 − 0.37613045 ln e 0f
)
+6.08957 ( ln CVAG ) − 0.7403 ( ln β 2 ) −0.56680627 ( ln K 3 )
(15)
GRR = exp ( ln(GRR ) )
TFR = 2.05 * GRR
dengan asumsi rasio jenis kelamin bayi lakilaki dan perempuan yang lahir adalah 1.05 dan 1.00. 3. Data Input Pengukuran Fertilitas Data yang digunakan untuk menghitung fertilitas adalah data hasil Survei Penduduk Antar Sensus (SUPAS) tahun 2005 (www.datastatistik-indonesia.com) dan hasil
P(0-4) 16630 = = 0.380149042 P(15-49) 43476
dengan angka harapan hidup (e0 ) tahun 2007 adalah 70.4 tahun. Sehingga persamaan (14) menjadi (17) GRR = a70.4 + b70.4 CWR(0 − 4 /15 − 49) dengan [70.4 − 60] a70.4 = a60 + * ( a70 − a60 ) [70 − 60] = -0.0182 + (1.04)*(-0.0309-(-0.0182)) = -0.031408
dan [70.4 − 60] b70.4 = b60 + * (b70 − b60 ) [70 − 60] = 3.6628 + (1.04)*(3.4829-3.6628 ) = 3.475704
dengan mensubstitusi a70.4 , b70.4 dan nilai CWR pada persamaan (17), diperoleh GRR = -0.031408 + (3.475704)*(0.380149042)
= 1.289877547
9
dan TFR = 2.05 * GRR = 2.05 *1.289877547 TFR = 2.64424897. Hasil penghitungan TFR dengan menggunakan metode Rele untuk data SUPAS 2005 dan data SDKI 2007 masing-masing sebesar 2.22 dan 2.64, sedangkan TFR hasil penghitungan BPS untuk tahun 2005 dan tahun 2007 masingmasing sebesar 2.26 dan 2.6. Hal ini menunjukkan hasil penghitungan TFR dengan metode Rele tidak jauh berbeda
dengan hasil penghitungan TFR yang dilakukan BPS. Pada gambar 1, terlihat proporsi jumlah penduduk Indonesia tahun 2005 dan 2007 tidak jauh berbeda dan memiliki pola yang mirip, hal ini menunjukkan proporsi jumlah penduduk mendekati kondisi stabil sehingga metode Rele cukup sesuai digunakan pada data penduduk Indonesia untuk menghitung fertilitas.
0.025 SDKI 2007 SUPAS 2005
PROPORSI
0.02 0.015 0.01 0.005 0
UMUR Gambar 1 Proporsi jumlah penduduk
3.2 Penghitungan GRR dengan metode Gunasekaran-Palmore Dengan menggunakan data SUPAS 2005 yang terdapat pada Lampiran 3, dan angka harapan hidup wanita tahun 2005 adalah 70.2 tahun, dapat diperoleh nilai µ = E ( X ) = 29.06350956 σ = 19.22594222 , CVAG = 0.6615 , β 2 = 2.856 ,
dan K3 = 4370.33 . Sedangkan untuk data SDKI 2007 dengan angka harapan hidup wanita tahun 2007 adalah 72.4 tahun, diperoleh nilai µ = E ( X ) = 30.1166 σ = 20.691 , CVAG = 0.687 , β 2 = 3.008808516 ,
dan K3 = 6023.305019 . Dengan, 100
E ( X j ) = ∑ xij f ( xij ),
xi = i + 0.5, j = 1,2,3,4
i =0
β2 =
E( X − µ)
σ
4
4
,
dan K 3 = E ( X 3 ) − 3µ E ( X 2 ) + 2µ 3 . Substitusikan nilai e0f , CVAG , K3 , dan β 2 untuk kedua data tersebut pada persamaan (15), diperoleh hasil sebagai berikut
Proses penghitungan TFR untuk data SUPAS 2005
ln(GRR ) = 9.65566 − 0.37613045 ( ln 70.2 ) + 6.08957 ( ln 0.661514817 ) − 0.7403 ( ln 2.856568304 ) −0.56680627 ( ln 4370.330698 ) ln(GRR ) = 9.65566 − 0.37613045 ( 4.251348311) + 6.08957 ( -0.413222896 ) − 0.7403 (1.049621011) −0.56680627 ( 8.38259396 )
ln(GRR ) = 0.011907445
GRR = exp ( 0.011907445 ) = 1.011978621
10
TFR = 2.05 *1.011978621 = 2.074556173
Proses penghitungan TFR untuk data SDKI 2007 ln(GRR ) = 9.65566 − 0.37613045 ( ln 72.4 ) + 6.08957 ( ln 0.687 ) − 0.7403 ( ln 3.008808516 ) −0.56680627 ( ln 6023.305019 ) ln(GRR ) = 9.65566 − 0.37613045 ( 4.282206299 ) + 6.08957 ( -0.37537819 ) − 0.7403 (1.101544159 ) −0.56680627 ( 8.703391394 ) ln(GRR ) = 0.010490101
GRR = exp ( 0.010490101) = 1.010545315
TFR = 2.05 *1.010545315 = 2.071617896
dari hasil penghitungan dengan metode Gunasekaran-Palmore diperoleh nilai TFR untuk data SUPAS 2005 sebesar 2.07455 dan hasil penghitungan TFR untuk data
SDKI 2007 sebesar 2.07162. Hasil tersebut berbeda dengan TFR hasil penghitungan BPS untuk tahun 2005 dan tahun 2007 yaitu masing-masing sebesar 2.26 dan 2.6.
KESIMPULAN Metode Rele dan metode GunasekaranPalmore merupakan metode pengukuran fertilitas tak langsung, yang keperluan datanya sederhana yaitu data struktur umur penduduk dan angka harapan hidup. Kedua metode tersebut sesuai untuk daerah yang sulit memperoleh data fertilitas yang lengkap. Metode Rele digunakan untuk menduga GRR berdasarkan pada konsep penduduk stabil, dari nilai CWR dan angka harapan hidup penduduk waktu lahir (e0 ) . Dengan CWR adalah perbandingan penduduk umur 0-4 tahun dengan penduduk wanita umur 15-49 tahun. Sedangkan metode Gunasekaran-Palmore menduga GRR dengan menggunakan data sebaran penduduk wanita menurut umur dan angka harapan hidup wanita waktu lahir (e0f ) . Pada metode Gunasekaran-Palmore, ukuran fertilitas dipengaruhi faktor mortalitas dan distribusi umur penduduk. Penghitungan fertilitas menggunakan metode Rele lebih sederhana dibandingkan dengan metode Gunasekaran-Palmore yaitu hanya menghitung jumlah penduduk pada kelompok umur tertentu untuk memperoleh
nilai peubah bebas CWR. Sedangkan pada metode Gunasekaran-Palmore nilai dari peubah bebas dihitung masing-masing menggunakan data sebaran penduduk wanita menurut umur. Hasil penghitungan TFR menggunakan metode Rele untuk data SUPAS 2005 dan data SDKI 2007 masing-masing sebesar 2.22 dan 2. 644. Sedangkan pada metode Gunasekaran-Palmore, diperoleh nilai TFR untuk data SUPAS 2005 dan data SDKI 2007 masing-masing sebesar 2.074 dan 2.071, sedangkan penghitungan TFR yang dilakukan BPS untuk tahun 2005 dan 2007 diperoleh masing-masing sebesar 2.26 dan 2.6. Hasil tersebut menunjukkan bahwa hasil penghitungan TFR dengan metode Rele lebih mendekati TFR hasil penghitungan BPS dibandingkan dengan hasil penghitungan TFR menggunakan metode Gunasekaran-Palmore. Hal ini sesuai dengan penghitungan proporsi jumlah penduduk Indonesia yang mendekati kondisi stabil sehingga metode Rele cukup sesuai digunakan untuk menghitung fertilitas.
11
DAFTAR PUSTAKA Badan Pusat Statistik (BPS) dan Macro International. 2007. Survei Demografi dan Kesehatan Indonesia 2007. Calverton, Maryland, USA: BPS dan Macro International.
MontGomery DC dan EA Peck. 1992. Introduction to Linear Regression Analysis. Ed ke-2. New York: John Willey.
Brown RL. 1997. Introduction to the Mathematics of Demography. Ed ke-3. Winsted: Actex Publication.
Palmore JA. 1978. Regression Estimates of Changes in Fertility for Major Nations and Territories. Paper of the East-West Population Institute. no.58.
Hogg RV, JW McKean dan AT Craig. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. New Jersey: Prentice Hall.
Rele JR. 1967. Fertility Analysis Through Extension of Stable Population Concepts. Berkeley: University of California.
Grimmet GR dan DR Stirzaker. 1992. Probability and Random Processes. Oxford : Clarendon Press.
Stewart
J. 1999. Erlangga.
Utomo
B. 1985. Mortalitas: Pengertian dan Contoh Kasus di Indonesia. Jakarta: Proyek Penelitian Morbiditas dan Mortalitas UI.
Lembaga Demografi FE UI. 1980. Buku Pegangan Bidang Kependudukan. Jakarta: Lembaga Demografi FE UI. Lucas D. 1984. Pengantar Kependudukan. Sumanto WB, R Saladi, penerjemah. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.
Kalkulus.
Jakarta:
Walpole R. 1995. Pengantar Statistika. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. www.datastatistik-indonesia.com/compo nent/ supas/task/Itemid,952/ [15 Juli 2011].
12
LAMPIRAN
13
Lampiran 1. Proses penghitungan e− ru dan U dengan menggunakan deret Taylor:
( rx )
e − rx = 1 − rx +
( rx )
2
3
−
+ ... 2! 3! Akan dibuktikan bahwa e− ru memenuhi deret Taylor k
e− ru =
∫e
− rx
P f (x )dx
h
k
∫P
f
(x)dx
h
k
=
∫ (1 − rx + h
( rx ) 2!
( rx )
2
−
3
+ ...)P f (x)dx
3!
k
∫P
f
(x )dx
h k
=
∫P
k
(x)dx − r ∫ xP f (x)dx +
f
h
h
k
k
r2 2 f r3 x P (x )dx − ∫ x 3 P f (x )dx ∫ 2! h 3! h
k
∫P
f
(x)dx
h
k
=1−
∫ xP
k
f
(x)dx
h k
f ∫ P (x)dx
∫x P 2
2
r + hk 2!
2!
(x)dx
f ∫ P (x)dx
h
( rU ) = 1 − rU +
k
f
h
2
( rU ) − 3!
∫x P 3
3
r − 3!
f
(x)dx
h
k
f ∫ P (x)dx h
3
+...
e − ru di atas memenuhi deret Taylor dimana U , k
U=
∫ xP
f
(x)dx
h k
∫P h
f
(x)dx
+...
14
Proses penghitungan e− rv dan V d
e − rv =
d
1,05∫ e − rx P m (x)dx + ∫ e − rx P f (x)dx c
c d
d
1,05∫ P (x)dx + ∫ P f (x)dx m
c
c
d d d d d d d d r2 r3 m f m f 2 m 2 f 3 m 3 f 1,05 ∫ P (x )dx + ∫ P (x)dx − r 1,05∫ xP (x)dx + ∫ xP (x)dx + 2! 1,05∫ x P (x )dx + ∫ x P (x )dx − 3! 1,05∫ x P (x)dx + ∫ x P (x)dx + ... c c c c c c c c = d
d
c
c
1,05 ∫ P m (x )dx + ∫ P f (x)dx
d d d d d d m f 2 m 2 f 3 m 1,05 x P ( x ) dx + x P ( x ) dx 1,05 x P ( x ) dx + x3 P f (x)dx 1,05∫ xP (x)dx + ∫ xP (x)dx ∫ ∫ ∫ ∫ 2 r3 r c c c c c c + − +... =1− r d d d d d d 2! 3! m f m f m f 1,05∫ P (x)dx + ∫ P (x)dx 1,05∫ P (x)dx + ∫ P (x)dx 1,05∫ P (x)dx + ∫ P (x)dx c
= 1 − rV +
( rV ) 2!
c
2
( rV )
c
3
−
3!
+...
e − rv di atas memenuhi deret Taylor dimana V ,
d
V=
d
1,05∫ xP m (x)dx + ∫ xP f (x)dx c
c d
d
1,05∫ P (x)dx + ∫ P f (x)dx m
c
c
c
c
c
15
Lampiran 2. ∞
Deret Taylor dari fungsi ln [ M (t ) ] = ln E (etX ) = ln ∫ etX f ( x)dx yaitu deret Taylor dengan variabel t , 0
dievaluasi untuk a = 0 ∞
∞
ln ∫ etX f ( x)dx = ln ∫ e0 X f ( x)dx + 0
0
t d 2 ∞ tX t 2 d 3 ∞ tX t3 d ∞ tX ln ∫ e f ( x)dx + 2 ln ∫ e f ( x)dx + 3 ln ∫ e f ( x)dx + ... dt 0 1! dt 0 2! dt 0 3!
∞
Misalkan ln ∫ etX f ( x)dx = ln A , maka 0
∞
∞
0
0
ln ∫ etX f ( x )dx = ln ∫ e0 X f ( x)dx +
d t d2 t2 d3 t3 d 4 t4 [ln A] + 2 [ln A] + 3 [ln A] + 4 [ln A] + .. dt 1! dt 2! dt 3! dt 4!
Kumulan ke-1 K1 =
d [ln A] dt ∞
1 = A' = A
∫ Xe
∞ tX
f ( x)dx =
0 ∞
∫e 0
tX
f ( x)dx
∫ Xe
∞ 0X
f ( x)dx =
0 ∞
∫e
0X
f ( x)dx
0
∫ Xe
0X
f ( x)dx =
0 ∞
∫e
0X
f ( x)dx
E( X ) = E ( X ) = µ. 1
0
Kumulan ke-2 K2 =
d2 [ln A] dt 2
∞ 0 X ∞ 2 0 X ∞ 0 X ∫ e f ( x)dx ∫ X e f ( x)dx − ∫ Xe f ( x)dx d A ' AA"− A ' A ' 0 0 0 = = = 2 dt A A2 ∞ 0 X ∫ e f ( x)dx 0 ∞ ∞ 1. ∫ X 2 f ( x)dx − ∫ Xf ( x)dx 0 = 0 12
2
= E ( X 2 ) − [ E ( X )] = E ( X 2 ) − µ 2 = σ 2 . 2
2
16
Kumulan ke-3 d3 d AA"− A ' A ' [ln A] = dt 3 dt A2
K3 =
=
=
[ A ' A"+ AA '''− ( A ' A"+ A ' A '')] − A2 − ( AA"− A ' A ')2 AA ' A4
[ A ' A"+ AA '''− A ' A"− A ' A ''] − A2 − ( AA"− A ' A ')2 AA ' A4 [ AA '''− A ' A ''] − A − ( AA"− A ' A ')2 AA ' 2
=
=
A4
AA ''' A2 − A ' A '' A2 − 2 A2 A ' A ''+ 2 AA ' A ' A ' A4 A ''' A3 − A ' A '' A2 − 2 A2 A ' A ''+ 2 A ( A ' )
3
=
A
4
A ''' A3 − 3 A ' A '' A2 + 2 A ( A ' )
3
=
A
4
3
2
∞ 0 X ∞ 3 0 X ∞ 0 X ∞ 0 X ∞ 2 0 X ∞ 0 X ∞ 0 X ∫ e f ( x)dx ∫ X e f ( x)dx − 3 ∫ e f ( x)dx ∫ Xe f ( x)dx ∫ X e f ( x)dx + 2 ∫ e f ( x)dx ∫ Xe f ( x)dx 0 0 0 0 0 0 0 = 4 ∞ 0 X ∫ e f ( x)dx 0
3
2
∞ ∞ 3 ∞ ∞ ∞ 2 ∞ ∞ ∫ f ( x)dx ∫ X f ( x)dx − 3 ∫ f ( x)dx ∫ Xf ( x)dx ∫ X f ( x)dx + 2 ∫ f ( x)dx ∫ Xf ( x)dx 0 0 0 0 0 0 0 = 4 ∞ ∫ f ( x)dx 0
=
13.E ( X 3 ) − 3.12.E ( X ) E ( X 2 ) + 2.1.E ( X )3 14
= E ( X 3 ) − 3E ( X ) E ( X 2 ) + 2 E ( X )3 = E ( X 3 ) − 3µ E ( X 2 ) + 2µ 3 = E ( X − µ )3 .
3
3
17
Kumulan ke-4 K4 =
3 3 2 d4 d A ''' A − 3 A ' A '' A + 2 A ( A ') ln A = dt dt 4 A4
(
)
3 3 d d d d 3 2 4 3 2 4 dt A ''' A − 3 dt A ' A '' A + 2 dt A ( A ') * A − A ''' A − 3 A ' A '' A + 2 A ( A ' ) * dt A = 2 A4
)
(
3 A2 A ' A '''+ A3 A '''' − 3 2 AA ' ( A ' A '') + A2 ( A '' A ''+ A ' A ''' ) + 2 A ' ( A ')3 + A3 ( A ' )2 A " * A4 3 − A ''' A3 − 3 A ' A '' A2 + 2 A ( A ' ) * ( 4 A3 A ') = 8 A
(
)
)
(
3 A2 A ' A '''+ A3 A '''' − 3 2 A ( A ' )2 A ''+ A2 ( A '' )2 + A2 A ' A ''' + 2 ( A ' )4 + 3 A ( A ')2 A " * A4 3 3 2 3 − A ''' A − 3 A ' A '' A + 2 A ( A ') * ( 4 A A ') = A8
(
)
(
)
3 A2 A ' A '''+ A3 A ''''− 6 A ( A ' )2 A ''− 3 A2 ( A '' )2 − 3 A2 A ' A '''+ 2 ( A ' )4 + 6 A ( A ' )2 A " * A4 3 3 2 3 − A ''' A − 3 A ' A '' A + 2 A ( A ' ) * ( 4 A A ' ) = A8
(
)
(
)
3 A6 A ' A '''+ A7 A ''''− 6 A5 ( A ' )2 A ''− 3 A6 ( A '')2 − 3 A6 A ' A '''+ 2 A4 ( A ')4 + 6 A5 ( A ')2 A " 2 4 6 5 4 − 4 A A ' A '''− 12 ( A ' ) A '' A + 8 A ( A ' ) = A8
(
)
3 A6 A ' A '''+ A7 A ''''− 6 A5 ( A ')2 A ''− 3 A6 ( A '' )2 − 3 A6 A ' A '''+ 2 A4 ( A ') 4 + 6 A5 ( A ' )2 A " −4 A6 A ' A '''+ 12 A5 ( A ')2 A ''− 8 A4 ( A ' )4 = 8 A
A7 A ''''− 3 A6 ( A '') + 2 A4 ( A ' ) − 4 A6 A ' A '''+ 12 A5 ( A ' ) A ''− 8 A4 ( A ' ) 2
=
4
A8 A7 A ''''− 3 A6 ( A '') − 4 A6 A ' A '''+ 12 A5 ( A ') A ''− 6 A4 ( A ') 2
=
2
2
A8
4
4
18
7 6 2 6 ∞ ∞ 4 tX ∞ tX ∞ 2 tX ∞ tX tX ∫ e f ( x )dx ∫ X e f ( x)dx − 3 ∫ e f ( x )dx ∫ X e f ( x)dx − 4 ∫ e f ( x)dx 0 0 0 0 0 5 2 ∞ tX ∞ 3 tX ∞ tX ∞ tX ∞ 2 tX ∫ Xe f ( x)dx ∫ X e f ( x )dx + 12 ∫ e f ( x)dx ∫ Xe f ( x)dx ∫ X e f ( x)dx 0 0 0 0 0 4 4 ∞ ∞ −6 etX f ( x )dx XetX f ( x)dx ∫ ∫ 0 0 = 8 ∞ tX ∫ e f ( x)dx 0
Dievaluasi untuk a = 0 7 6 2 6 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∫ e0 X f ( x)dx ∫ X 4 e0 X f ( x)dx − 3 ∫ e 0 X f ( x)dx ∫ X 2 e0 X f ( x)dx − 4 ∫ e0 X f ( x)dx 0 0 0 0 0 5 ∞ 2 ∞ ∞ ∞ ∞ 0X 0X 3 0X 0X 2 0X ∫ Xe f ( x)dx ∫ X e f ( x)dx + 12 ∫ e f ( x)dx ∫ Xe f ( x)dx ∫ X e f ( x)dx 0 0 0 0 0 4 ∞ 4 ∞ −6 e0 X f ( x)dx Xe0 X f ( x)dx ∫ ∫ 0 0 = 8 ∞ 0X ∫ e f ( x)dx 0 7
=
2
6
6
5
2
4
4
4 2 3 2 1 E ( X ) − 31 E ( X ) − 4 1 E ( X ) E ( X ) + 12 1 E ( X ) E ( X ) − 6 1 E ( X ) 8 1
2
2
4
2
2
4
= E ( X 4 ) − 3 E ( X 2 ) − 4 E ( X ) E ( X 3 ) + 12 E ( X ) E ( X 2 ) − 6 E ( X )
4
= E ( X 4 ) − 3 E ( X 2 ) − 4 E ( X ) E ( X 3 ) + 12 E ( X ) E ( X 2 ) − 3E ( X ) − 3E ( X ) 2
2
4
2
4
)
2
4
= E ( X 4 ) − 4 E ( X ) E ( X 3 ) − 3 E ( X 2 ) + 6 E ( X ) E ( X 2 ) − 3E ( X ) + 6 E ( X ) E ( X 2 ) − 3E ( X )
(
2
2
4
= E ( X 4 ) − 4 E ( X ) E ( X 3 ) − 3 E ( X 2 ) − 2 E ( X ) E ( X 2 ) + E ( X ) + 6 E ( X ) E ( X 2 ) − 3E ( X )
(
2
= E ( X 4 ) − 4 E ( X ) E ( X 3 ) − 3 E ( X 2 ) − E ( X )
(
2
= E ( X 4 ) − 4 E ( X ) E ( X 3 ) − 3 E ( X 2 ) − E ( X )
)( E ( X ) − E ( X ) ) + 6E ( X ) E ( X ) − 3E ( X ) 2
2
2
2
) + 6E( X ) E ( X ) − 3E ( X ) 2
2
2
= E ( X 4 ) − 4 µ E ( X 3 ) − 3 (σ 2 ) + 6 µ 2 E ( X 2 ) − 3µ 4 2
= E ( X 4 ) − 4 µ E ( X 3 ) + 6µ 2 E ( X 2 ) − 3σ 4 − 3µ 4
4
4
19
= E ( X 4 ) − 4 µ E ( X 3 ) + 6µ 2 E ( X 2 ) − 3µ 4 − 3σ 4 = E ( X 4 ) − 4 µ E ( X 3 ) + 6 µ 2 E ( X 2 ) − 4 µ 4 + µ 4 − 3σ 4 = E ( X 4 ) − 4 µ E ( X 3 ) + 6 µ 2 E ( X 2 ) − 4 µ 3 * µ + µ 4 − 3σ 4
(
)
= E ( X 4 ) − 4 µ E ( X 3 ) + 6 µ 2 E ( X 2 ) − 4 µ 3 * E ( X ) + µ 4 − 3σ 4 = E ( X 4 − 4µ X 3 + 6 µ 2 X 2 − 4 µ 3 X + µ 4 ) − 3σ 4 = E ( X 2 − 2 µ X + µ 2 ) − 3σ 4 2
=E
(( X − µ ) )
2 2
− 3σ 4
20
Lampiran 3. Tabel distribusi umur penduduk hasil Survei Penduduk Antar Sensus (SUPAS) tahun 2005
Umur
Laki-laki
Perempuan
Umur
Laki-laki
Perempuan
0
1591963
1534041
32
1829297
1825982
1
1695543
1625477
33
1577035
1691162
2
2088316
2019761
34
1608989
1630993
3
2096120
2022287
35
2126861
1975459
4
2260636
2161007
36
1616249
1659013
5
2318407
2214498
37
1560787
1607015
6
2106665
1949551
38
1383861
1488000
7
2182620
2084155
39
1498302
1536833
8
2192754
2056562
40
1883990
1907016
9
2289032
2169701
41
1405449
1364829
10
2346750
2190752
42
1500549
1484093
11
2118222
1976891
43
1229501
1263563
12
2239075
2099738
44
1254064
1196848
13
2102480
2072123
45
1737492
1637033
14
2150121
2009944
46
1219359
1147026
15
2128031
2041997
47
1247459
1197488
16
1970174
1904734
48
1072169
1080841
17
2090644
1929935
49
1027190
1016761
18
2004683
1909861
50
1292164
1312780
19
1910246
1909016
51
978526
871493
20
2113950
2144139
52
1085529
971192
21
1798294
1864482
53
907153
794770
22
1939701
2006689
54
912424
815033
23
1847479
1983458
55
1028310
911156
24
1834536
1914526
56
706436
691516
25
2096931
2228013
57
692881
659918
26
1714734
1773276
58
633398
580829
27
1855252
1863952
59
694507
663228
28
1701963
1868561
60
666594
755921
29
1709444
1866970
61
433088
458452
30
2009536
2104351
62
620993
631146
31
1518763
1622163
63
540791
542249
21
Lanjutan
Umur
Laki-laki
Perempuan
Umur
Laki-laki
Perempuan
64
486817
475776
82
67052
69216
65
651026
717109
83
63228
65321
66
358859
350862
84
59622
61646
67
364909
407899
85
56222
58177
68
277169
350239
86
53015
54903
69
305074
329019
87
49991
51814
70
467887
512611
88
47140
48898
71
266482
268097
89
44452
46147
72
280728
322042
90
41917
43550
73
222634
227208
91
39526
41100
74
210293
211945
92
37272
38787
75
101143
103817
93
35146
36605
76
95374
97975
94
33142
34545
77
89935
92462
95
31251
32601
78
84806
87260
96
29469
30767
79
79969
82350
97
27788
29036
80
75408
77716
98
26204
27402
81
71107
73343
99
24709
25860
82
67052
69216
100
23300
24405
22
Lampiran 4. Tabel Distribusi umur penduduk hasil Survei Demografi dan Kesehatan Indonesia (SDKI) tahun 2007 Umur 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Laki-laki 1672 1497 1587 1619 1634 1449 1657 1805 1534 1619 1599 1652 1787 1595 1574 1469 1298 1306 1328 1159 1385 1347 1291 1372 1391 1672 1292 1407 1230 1326 1476 1294
Perempuan 1877 1646 1679 1693 1726 1557 1971 1905 1718 1654 1829 1799 1699 1577 1637 1562 1479 1479 1457 1181 1190 1170 1182 1242 1311 1445 1193 1554 1213 1081 1432 1183
Umur 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
Laki-laki 1305 1229 1285 1609 1084 1344 1151 1022 1286 1029 1154 942 895 1260 871 988 843 713 1070 668 843 716 690 804 587 657 403 371 734 266 463 332
Perempuan 1229 1067 1056 1568 1180 1287 1165 1068 1235 1091 1195 1064 1013 1209 838 1173 980 777 1105 765 923 660 635 987 530 580 381 339 949 317 525 411
23
Lanjutan
Umur 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82
Laki-laki 283 681 262 392 237 190 171 164 156 149 143 136 130 124 119 114 108 104 99
Perempuan 219 796 265 424 250 202 193 185 177 170 162 155 149 143 137 131 125 120 115
Umur 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Laki-laki 99 95 90 86 82 79 75 72 69 66 63 60 57 55 52 50 48 46 43
Perempuan 115 110 106 101 97 93 89 85 82 78 75 72 69 66 63 60 58 55 53
