4
maka momen ke-k didefinisikan sebagai
Definisi 22 Peubah Acak Kontinu Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebaran FX ( x ) = P ( X ≤ x ) dapat dinyatakan sebagai FX ( x ) =
dari
X ,
( )
E X k = ∑ x k pX ( x ) , x
jika jumlah di atas konvergen mutlak.
x
∫ f ( u ) du , X
−∞
x ∈ R , dengan f : → 0, ∞ ) adalah fungsi
yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang dari X . [Grimmett dan Stirzaker 1992]
2.
Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f X ( x ) , maka momen ke-k dari X , didefinisikan sebagai ∞
( ) ∫x
E Xk =
f X ( x )dx ,
−∞
Nilai Harapan Definisi 23 Nilai Harapan 1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang p X ( x ) , maka nilai harapan dari X , dinotasikan dengan E ( X ) , adalah E ( X ) = ∑ x pX ( x ) , x
jika jumlah di atas konvergen mutlak. 2.
k
Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f X ( x ) , maka nilai harapan dari X adalah E ( X ) =
jika integral di atas konvergen mutlak. [Hogg et al 2005] Momen pertama dari peubah acak X disebut nilai harapan dari X yaitu E ( X ) . Definisi 25 Fungsi Pembangkit Momen Fungsi pembangkit momen dari peubah acak X didefinisikan sebagai, ∞
( ) ∫e
M X ( t ) = E etX =
tx
f X ( x )dx ,
−∞
untuk t ∈ R , jika nilai harapan di atas ada. [Hogg et al 2005]
∞
∫ x f ( x )dx , X
jika integral
−∞
di atas konvergen mutlak. [Hogg et al 2005]
Definisi 24 Momen 1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang p X ( x ) ,
Teorema 26 Deret Taylor Suatu fungsi f disebut memiliki bentuk deret Taylor di a , jika ∞
f n (a ) ( x − a) n n! n =0 f '( a ) f ''(a ) = f (a) + ( x − a) + ( x − a ) 2 + ... 1! 2! f ( x) = ∑
[Stewart 1999]
METODE PENGUKURAN FERTILITAS 1. Metode Rele Metode Rele merupakan salah satu metode pengukuran fertilitas tak langsung untuk menduga Gross Reproduction Rate (GRR) berdasarkan pada konsep penduduk stabil. Nilai GRR dihitung menggunakan nilai Child Women Ratio (CWR) dan nilai angka harapan hidup (e0 ) . Pada model penduduk stabil diasumsikan bahwa tingkat fertilitas penduduk adalah tetap (Rele, 1967).
1.1 Model Penduduk Stabil Misalkan B (t ) menyatakan banyaknya kelahiran hidup pada waktu t dan rb adalah laju kelahiran bayi untuk interval waktu ∆t , maka banyaknya kelahiran pada waktu t + n dapat dituliskan: B(t + ∆t ) = B (t ) + rb B(t ) ∆t rb =
B (t + ∆t ) − B (t ) B(t )∆t
5
rb = lim
∆t → 0
B(t + ∆t ) − B(t ) B(t )∆t
∞
= e nrb ∫ B (t )e − rb x p( x) dx 0
1 dB B (t ) dt
rb = t+n
t+n
∫ r dt = ∫ b
t
t
= P(t )e nrb ,
(5)
persamaan (5) menunjukkan bahwa laju pertumbuhan penduduk rp merupakan laju
1 dB( s ) B( s)
rbt|tt + n = ln B( s )|tt + n
kelahiran bayi
rb (t + n − t ) = ln B(t + n) − ln B(t )
rb = rp = r dan B(t + n) = B(t )enrb .
rb n = ln
B (t + n ) B (t )
B(t + n) = B(t )
e nrb
B(t + n) = B(t )enrb .
(1) [Brown 1997]
Dengan rb ≠ 0 dan n > 0 adalah waktu. Persamaan (1) menunjukkan banyaknya kelahiran per tahun dipengaruhi oleh laju kelahiran bayi rb . Misalkan P (t ) merupakan banyaknya penduduk pada waktu t , dan B (t ) merupakan banyaknya kelahiran hidup pada waktu t , berdasarkan persamaan (1) maka banyaknya kelahiran pada waktu t − x adalah: B(t − x ) = B (t )e − rb x ,
(2)
dan banyaknya penduduk yang lahir pada waktu t − x (bayi umur nol) sampai umur x pada waktu t adalah B (t − x ) p ( x) , dengan p ( x ) adalah peluang bayi hidup sampai umur x . Dengan demikian total penduduk pada waktu t adalah ∞
P(t ) = ∫ B (t − x) p( x)dx 0
∞
Fx (t )dx B (t )e − rx p( x) dx =∞ , P(t ) − rx B ( t ) e p ( x ) dx ∫
= ∫ B (t )e
− rb x
p ( x) dx ⋅
(3)
(4)
p ( x) dx,
(7)
0
∞
B(t ) = ∫ Pxf *ASFR (x) dx,
(8)
0
dengan Px f adalah populasi wanita hidup sampai umur x dan ASFR (x ) adalah angka kelahiran dari wanita berumur x. Banyaknya bayi wanita yang lahir pada waktu t dapat dituliskan: Bf = ∫ 0
∞
0
Dan total penduduk pada waktu t + n adalah: P(t + n) = ∫ B(t + n)e
maka
persamaan (7) menyatakan bahwa proporsi penduduk pada suatu selang umur tertentu bukanlah fungsi dari t , sehingga proporsi penduduk pada umur tersebut tidak berubah. Tingkat kelahiran populasi pada waktu t dapat dituliskan:
=∫ − rb x
x
Fx (t )dx e − rx p( x)dx =∞ P(t ) − rx ∫ e p( x)dx
0
∞
(6)
0
karena B (t ) bukan fungsi persamaan (6) menjadi:
∞
0
itu sendiri, sehingga
Misalkan Fx (t )dx menyatakan banyaknya penduduk umur x sampai x + dx pada waktu t dan banyaknya penduduk pada waktu t adalah P (t ) , maka proporsi penduduk stabil umur x sampai x + dx pada waktu t adalah
= ∫ B(t − x) p( x)dx ∞
rb
1 * Pxf *ASFR(x ) dx 2.05
1 L * Bf *e− r ( x + 0.5) * x * ASFR(x) dx (9) 2.05 l0 p( x) =
dimana
Lx , dengan membagi l0
Bf
diperoleh
0
dari persamaan (1) B(t + n) = B(t )e nr , maka diperoleh b
∞
P(t + n) = ∫ B(t )e e nrb
0
− rb x
p( x) dx
∞
1
∫ 2.05 *e 0
− r ( x + 0.5)
*
Lx * ASFR(x) dx = 1. l0
(10)
6
Jika α dan β adalah batas bawah dan batas atas dari umur wanita reproduktif, sehingga ASFR (x ) = 0 untuk x < α atau x > β , maka persamaan (8) dan (9) masing-masing dapat dituliskan sebagai berikut:
d
X=
c
c
k
∫ Be
Bf = ∫ α
=
d
c
c k
− rx f ∫ e P (x)dx h
1 L * Bf *e− r ( x + 0.5) * x * ASFR(x) dx, . 2.05 l0
e
− rv
=
dan persamaan (10) menjadi
d d m f ∫1,05P (x)dx + ∫ P (x)dx c c , k
β
h
dengan
Bentuk diskrit dari persamaan (10) dapat dituliskan:
k
e
49
− ru
=
1.2 Hubungan GRR dan CWR Pendugaan GRR ini dilakukan dengan menentukan hubungan antara peubah takbebas GRR dengan peubah bebas CWR.
∫e
− rx
P f (x)dx
h
,
k
f ∫ P (x)dx
(11)
L dengan α = 15 dan β = 49 , p( x) = x . l0
h
d d − rx m − rx f 1,05∫ e P (x)dx + ∫ e P (x)dx c c , = d d m f 1,05∫ P (x)dx + ∫ P (x)dx c c
e − rv
dengan menggunakan deret Taylor diperoleh k
U=
∫ xP
f
(x)dx
h k
dan
f ∫ P (x)dx
Berikut notasi yang digunakan
h
d
f
P (x) m
P (x) c, d
h, k
(12)
e − ru ∫ P f (x)dx
1 − r ( x + 0.5) Lx * * ASFR (x) dx = 1 . ∫ *e l0 α 2.05
X r
P (x)dx
d
dan
1 L * e − r ( i + 0.5) * i *ASFR (i )=1, ∑ l0 i =15 2.05
f
1,05∫ e − rx P m (x)dx + ∫ e− rx P f (x)dx
α
β
− rx
h
β
B(t ) = ∫ Pxf *ASFR(x) dx
d
1,05∫ Be− rx P m (x)dx + ∫ Be − rx P f (x)dx
: CWR. : laju pertumbuhan penduduk. : peluang penduduk wanita hidup sampai umur x. : peluang penduduk laki-laki hidup sampai umur x. : batas bawah dan batas atas dari selang umur bayi. : batas bawah dan batas atas dari selang umur wanita reproduktif.
CWR merupakan perbandingan jumlah sebaran penduduk selang umur c, d tahun (bayi wanita dan bayi laki-laki) terhadap jumlah sebaran penduduk wanita selang umur h, k tahun, sehingga rasio CWR ( X ) dapat dituliskan sebagai:
V=
d
1,05∫ xP m (x)dx + ∫ xP f (x)dx c
c d
d
1,05∫ P (x)dx + ∫ P f (x)dx m
c
c
(Lihat Lampiran 1) U dan V adalah rata-rata umur wanita dan anak, sehingga U − V menyatakan rata-rata panjang satu generasi, yaitu U − V =T + ∆t d d e − rv ∫1,05P m (x)dx + ∫ P f (x)dx c c X= k − ru f e ∫ P (x)dx h d d m f ∫1,05P (x)dx + ∫ P (x)dx c e r (U −V ) = c k f ∫ P (x)dx h
7
Tabel 1 Koefisien a dan b untuk berbagai level AHH CWR
Koef
Angka Harapan Hidup 20
30
40
50
60
70
C(0-4)
a
-0.0909
-0.1211
-0.137
-0.1529
-0.1645
-0.1754
W(15-44)
b
4.5907
4.1821
3.9298
3.7375
3.5556
3.3878
C(0-4)
a
0.0547
0.0284
0.0129
-0.0059
-0.0182
-0.0309
W(15-49)
b
4.768
4.3293
4.0617
3.8589
3.6628
3.4829
C(5-9)
a
-0.1162
-0.1311
-0.1436
-0.1574
-0.1675
-0.1779
W(20-49)
b
5.2927
4.4881
4.094
3.8301
3.5967
3.3894
C(5-9)
a
0.0245
0.0106
0.0021
-0.011
-0.0226
-0.0345
W(20-54)
b
5.4711
4.6398
4.2262
3.948
3.7014
3.4821
d
V=
d
1,05∫ xP m (x)dx + ∫ xP f (x)dx c
c d
d
1,05∫ P m (x)dx + ∫ P f (x)dx c
K =
d d m f ∫1,05 P (x)dx + ∫ P (x)dx c c k
c
h
(Lihat Lampiran 1)
dan
U dan V adalah rata-rata umur wanita dan anak, sehingga U − V menyatakan rata-rata panjang satu generasi, yaitu U − V =T + ∆t
R0 = NRR = K ' GRR , sehingga
d d e− rv ∫1,05 P m (x)dx + ∫ P f (x)dx c c X= k − ru f e ∫ P (x)dx
,
f ∫ P (x)dx
X = K K ' GRR e r ∆t = K * GRR e r ∆t ⋅
(13)
Pengukuran fertilitas dengan menggunakan hubungan linier antara CWR dan GRR pada persamaan (13), dapat dituliskan sebagai fungsi linier GRR dari CWR, yaitu
h d d m f ∫1,05P (x)dx + ∫ P (x)dx c er (U −V ) = c k f ∫ P (x)dx h d d m f ∫1,05P (x )dx + ∫ P (x)dx c e r (T +∆t ) = c k f ∫ P (x)dx h
= K R0 e r∆t ,
dengan
GRR = a + b CWR ,
(14)
dengan menggunakan CWR berdasarkan asumsi model penduduk stabil, Rele (1967) menghitung nilai koefisien a dan b , yang dituliskan pada Tabel 1 di atas. Dari Tabel 1 diperoleh nilai koefisien a dan b untuk persamaan (14) memiliki nilai yang berbeda untuk masing-masing kelompok umur CWR dan AHH.
2. Metode Gunasekaran-Palmore Metode Gunasekaran-Palmore merupakan metode untuk mengukur fertilitas dengan menggunakan data struktur umur penduduk wanita dan angka harapan hidup wanita waktu lahir (e0f ) . Dalam metode ini, ukuran fertilitas dipengaruhi oleh sebaran umur penduduk. Data yang digunakan pada metode Gunasekaran-Palmore adalah data
distribusi umur penduduk wanita untuk mendapatkan nilai peubah CVAG, K3 dan β 2 yang mempengaruhi nilai peubah GRR dengan: (i) CVAG (coefficient of variation of female age distribution) yaitu σ / µ . (ii) K3 = kumulan ke-3.
8
(iii) β 2 =
K4
σ4
Survei Demografi dan Kesehatan Indonesia (SDKI) tahun 2007 (BPS, 2007).
+3 .
(iv) K 4 = kumulan ke-4. Dimana kumulan ke-r dari peubah acak didefinisikan sebagai X = K r (X ) = K r tr dalam deret Taylor dari r!
koefisien dari
logaritma asli fungsi pembangkit momen:
( ln M (t ) = ln E(e ) ) tX
dengan, Kumulan ke-1= E ( X ) = µ1 = µ . Kumulan ke-2= E ( X − µ ) 2 = µ 2 = σ 2 . Kumulan ke-3= E ( X − µ )3 = µ3 . Kumulan ke-4= E ( X − µ ) 4 − 3σ 4 = µ 4 − 3σ 4 . (Bukti di Lampiran 2)
=
CWR =
P(0-4) 19095 = = 0.320141 P(15-49) 59646
dan persamaan (14) menjadi GRR = a70.0 + b70.0 CWR(0 − 4 /15 − 49)
dan β2 =
3.1 Penghitungan GRR dengan metode Rele Dengan menggunakan data SUPAS 2005 yang terdapat pada Lampiran 3, dapat dihitung nilai CWR untuk kelompok umur anak dan wanita yang digunakan masingmasing yaitu 0-4 tahun dan 15-49 tahun, sedangkan angka harapan hidup (e0 ) tahun 2005 adalah 70.0 tahun. Dari data diperoleh, jumlah penduduk usia 0-4 tahun, yaitu P(04)= 19095 dan Jumlah penduduk wanita usia 15-49 tahun, yaitu P(15-49)= 59646. Maka,
E(X − µ)
E( X
dengan mensubstitusi nilai a70 , b70 dan nilai CWR pada persamaan (16), diperoleh GRR = 1.084118852 dan TFR = 2.05 * GRR = 2.05 *1.084118852 = 2.222443647 .
σ4 4
(16)
4
) − 4µ E ( X ) + 6µ E ( X ) − 3µ 3
2
2
σ4 dan K 3 = E ( X 3 ) − 3µ E ( X 2 ) + 2µ 3 .
4
,
Model regresi Gunasekaran-Palmore adalah ln GRR = f (e0f , CVAG, K3 , β 2 ) = a + b ln(e0f ) +c ln(CVAG ) + d ln( β 2 ) + e ln( K 3 ) [Palmore, 1978]
Sedangkan untuk data SDKI 2007 yang terdapat pada Lampiran 4, diperoleh jumlah penduduk usia 0-4 tahun, yaitu P(04)=16630 dan jumlah penduduk wanita usia 15-49 tahun, yaitu P(15-49)=43476. Maka, CWR =
Dengan menggunakan data fertilitas dari beberapa negara di dunia dari tahun 1965 sampai tahun 1975 seperti yang digunakan Palmore (1978), maka diperoleh persamaan regresi sebagai berikut
(
ln(GRR ) = 9.65566 − 0.37613045 ln e 0f
)
+6.08957 ( ln CVAG ) − 0.7403 ( ln β 2 ) −0.56680627 ( ln K 3 )
(15)
GRR = exp ( ln(GRR ) )
TFR = 2.05 * GRR
dengan asumsi rasio jenis kelamin bayi lakilaki dan perempuan yang lahir adalah 1.05 dan 1.00. 3. Data Input Pengukuran Fertilitas Data yang digunakan untuk menghitung fertilitas adalah data hasil Survei Penduduk Antar Sensus (SUPAS) tahun 2005 (www.datastatistik-indonesia.com) dan hasil
P(0-4) 16630 = = 0.380149042 P(15-49) 43476
dengan angka harapan hidup (e0 ) tahun 2007 adalah 70.4 tahun. Sehingga persamaan (14) menjadi (17) GRR = a70.4 + b70.4 CWR(0 − 4 /15 − 49) dengan [70.4 − 60] a70.4 = a60 + * ( a70 − a60 ) [70 − 60] = -0.0182 + (1.04)*(-0.0309-(-0.0182)) = -0.031408
dan [70.4 − 60] b70.4 = b60 + * (b70 − b60 ) [70 − 60] = 3.6628 + (1.04)*(3.4829-3.6628 ) = 3.475704
dengan mensubstitusi a70.4 , b70.4 dan nilai CWR pada persamaan (17), diperoleh GRR = -0.031408 + (3.475704)*(0.380149042)
= 1.289877547
9
dan TFR = 2.05 * GRR = 2.05 *1.289877547 TFR = 2.64424897. Hasil penghitungan TFR dengan menggunakan metode Rele untuk data SUPAS 2005 dan data SDKI 2007 masing-masing sebesar 2.22 dan 2.64, sedangkan TFR hasil penghitungan BPS untuk tahun 2005 dan tahun 2007 masingmasing sebesar 2.26 dan 2.6. Hal ini menunjukkan hasil penghitungan TFR dengan metode Rele tidak jauh berbeda
dengan hasil penghitungan TFR yang dilakukan BPS. Pada gambar 1, terlihat proporsi jumlah penduduk Indonesia tahun 2005 dan 2007 tidak jauh berbeda dan memiliki pola yang mirip, hal ini menunjukkan proporsi jumlah penduduk mendekati kondisi stabil sehingga metode Rele cukup sesuai digunakan pada data penduduk Indonesia untuk menghitung fertilitas.
0.025 SDKI 2007 SUPAS 2005
PROPORSI
0.02 0.015 0.01 0.005 0
UMUR Gambar 1 Proporsi jumlah penduduk
3.2 Penghitungan GRR dengan metode Gunasekaran-Palmore Dengan menggunakan data SUPAS 2005 yang terdapat pada Lampiran 3, dan angka harapan hidup wanita tahun 2005 adalah 70.2 tahun, dapat diperoleh nilai µ = E ( X ) = 29.06350956 σ = 19.22594222 , CVAG = 0.6615 , β 2 = 2.856 ,
dan K3 = 4370.33 . Sedangkan untuk data SDKI 2007 dengan angka harapan hidup wanita tahun 2007 adalah 72.4 tahun, diperoleh nilai µ = E ( X ) = 30.1166 σ = 20.691 , CVAG = 0.687 , β 2 = 3.008808516 ,
dan K3 = 6023.305019 . Dengan, 100
E ( X j ) = ∑ xij f ( xij ),
xi = i + 0.5, j = 1,2,3,4
i =0
β2 =
E( X − µ)
σ
4
4
,
dan K 3 = E ( X 3 ) − 3µ E ( X 2 ) + 2µ 3 . Substitusikan nilai e0f , CVAG , K3 , dan β 2 untuk kedua data tersebut pada persamaan (15), diperoleh hasil sebagai berikut
Proses penghitungan TFR untuk data SUPAS 2005
ln(GRR ) = 9.65566 − 0.37613045 ( ln 70.2 ) + 6.08957 ( ln 0.661514817 ) − 0.7403 ( ln 2.856568304 ) −0.56680627 ( ln 4370.330698 ) ln(GRR ) = 9.65566 − 0.37613045 ( 4.251348311) + 6.08957 ( -0.413222896 ) − 0.7403 (1.049621011) −0.56680627 ( 8.38259396 )
ln(GRR ) = 0.011907445
GRR = exp ( 0.011907445 ) = 1.011978621
