předmětu MATEMATIKA B 1

VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s.

Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Vektorový prostor Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to vektory a jak se tyto vektory mezi sebou sčítají a jak se násobí reálným číslem, a dále, co je to lineární kombinace vektorů. Porozumět lineární závislosti a nezávislosti vektorů a umět pracovat s pojmy báze a dimenze vektorového prostoru, najít lineární obal skupiny vektorů. Tématický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. Lineární závislost a nezávislost vektorů 2. Báze a dimenze vektorového prostoru 3. Lineární obal skupiny vektorů 1. dílčí téma: Lineární závislost a nezávislost vektorů K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: • Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 1. kapitola, odst. 1.1., 1.2. • Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 1. kapitola Při studiu věnujte pozornost zejména těmto problémům: • Vektorový prostor a jeho definice • Lineární kombinace vektorů rovná nulovému vektoru • Vektorová rovnice pro určení lineární nezávislosti/závislosti Po prostudování uvedené doporučené literatury byste měli:

Vysvětlit tyto pojmy • Vektorový prostor, sčítání vektorů, násobení vektoru reálným číslem, nulový vektor, lineární kombinace vektorů Zodpovědět tyto otázky • Jak se definuje lineární kombinace vektorů? • Kdy jsou vektory lineárně závislé (nezávislé)? • Jaký tvar má vektorová rovnice pro určení lineární závislosti (nezávislosti) vektorů? 2. dílčí téma: Báze a dimenze vektorového prostoru K druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: • Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 1. kapitola, odst. 1.3. • Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 1. kapitola 1


Při studiu věnujte pozornost zejména těmto problémům: • Definice báze vektorového prostoru • Vyjádření libovolného vektoru jako lineární kombinace vektorů báze • Určení dimenze vektorového prostoru Po prostudování uvedené doporučené literatury byste měli:

Vysvětlit tyto pojmy • Báze vektorového prostoru, kanonická báze, dimenze vektorového prostoru Zodpovědět tyto otázky • Jak se definuje báze vektorového prostoru? • Jak lze vyjádřit libovolný vektor pomocí vektorů báze? • Co je to dimenze vektorového prostoru? 3. dílčí téma: Lineární obal vektorů K třetímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: • Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 1. kapitola, odst. 1.4. • Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 1. kapitola Při studiu věnujte pozornost zejména těmto problémům: • Lineární obal a jeho definice • Lineární obal jako podprostor vektorového prostoru • Dimenze lineárního obalu skupiny vektorů

Po prostudování uvedené doporučené literatury byste měli:

Vysvětlit tyto pojmy • Lineární obal skupiny vektorů, podprostor vektorového prostoru Zodpovědět tyto otázky • Co je to lineární obal skupiny vektorů? • Jak se vypočte dimenze lineárního obalu skupiny vektorů? • Co je lineárním obalem báze vektorového prostoru?

2


Metodický list pro druhé soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Matice a determinanty Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to matice a jak se s nimi pracuje, dále pak základní operace s maticemi, především sčítání a násobení matic. Porozumět pojmu hodnost matice a naučit se vypočítat inverzní matici k regulární matici. Umět vypočítat determinant pomocí Sarussova pravidla i rozvojem podle řádku nebo sloupce. Tématický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. Matice a její hodnost 2. Operace s maticemi 3. Determinanty a jejich výpočet 1. dílčí téma: Matice a její hodnost K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: • Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 2. kapitola, odst. 2.1. • Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 2. kapitola Při studiu věnujte pozornost zejména těmto problémům: • Definice hodnosti matice • Úpravy, které nemění hodnost matice • Čtvercové regulární a singulární matice


Vysvětlit tyto pojmy • Matice, hlavní diagonála matice, horní a dolní lichoběžníková (trojúhelníková) matice, hodnost matice, Gaussova eliminační metoda, čtvercová matice, regulární matice, singulární matice Zodpovědět tyto otázky • Co je to hodnost matice a jak se vypočte? • Co je to Gaussova eliminační metoda? • Co je to regulární (singulární) matice? 2. dílčí téma: Operace s maticemi K druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: • Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 2. kapitola, odst. 2.4. • Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 2. kapitola 3


Při studiu věnujte pozornost zejména těmto problémům: • Sčítání a násobení matic • Existence inverzní matice • Výpočet inverzní matice Po prostudování uvedené doporučené literatury byste měli:

Vysvětlit tyto pojmy • Součet matic, součin matic, jednotková matice, inverzní matice Zodpovědět tyto otázky • Jak se sčítají a násobí matice? • Za jakých podmínek existuje ke čtvercové matici inverzní matice? • Jak se vypočítá čtvercová matice? 3. dílčí téma: Determinanty a jejich výpočet K třetímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: • Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 3. kapitola, odst. 3.1., 3.2., 3.3. • Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 3. kapitola Při studiu věnujte pozornost zejména těmto problémům: • Výpočet determinantu rozvojem podle řádku (sloupce) • Výpočet determinantu pomocí dovolených úprav • Výpočet inverzní matice pomocí determinantů


Vysvětlit tyto pojmy • Permutace, determinant, subdeterminant, doplněk prvku v matici, Sarussovo pravidlo, rozvoj determinantu podle řádku (sloupce), algebraický doplněk prvku v matici, adjungovaná matice Zodpovědět tyto otázky • Co je to determinant? • Jaké jsou metody pro výpočet determinantu? • Jak se vypočte inverzní matice ke čtvercové regulární matici pomocí determinantů?

4


Metodický list pro třetí soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Řešení soustavy lineárních rovnic

Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to homogenní a nehomogenní soustavy lineárních rovnic a jak se tyto soustavy řeší. Ukázat řešení pomocí Gaussovy eliminační metody a v případě, že je matice soustavy čtvercová regulární matice, najít řešení soustavy lineárních rovnic též pomocí inverzní matice a Cramerova pravidla. Tématický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. Homogenní a nehomogenní soustavy lineárních rovnic 2. Řešení soustavy lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou 3. Řešení soustavy lineárních rovnic pomocí inverzní matice a Cramerovým pravidlem 1. dílčí téma: Homogenní a nehomogenní soustavy lineárních rovnic

K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: • Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 2. kapitola, odst. 2.2. • Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 2. kapitola Při studiu věnujte pozornost zejména těmto problémům: • Existence řešení homogenní soustavy lineárních rovnic • Existence řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic • Porovnání hodnosti matice soustavy a rozšířené matice soustavy Po prostudování uvedené doporučené literatury byste měli:

Vysvětlit tyto pojmy • Homogenní soustava lineárních rovnic, vektor pravých stran, triviální řešení, nehomogenní soustava lineárních rovnic, Frobeniova věta Zodpovědět tyto otázky • Existuje vždy alespoň jedno řešení homogenní soustavy lineárních rovnic? • Kdy má nehomogenní soustava lineárních rovnic právě jedno řešení? • Kdy má nehomogenní soustava lineárních rovnic nekonečně mnoho řešení? 2. dílčí téma: Řešení soustavy lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou K druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: • Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 2. kapitola, odst. 2.3 • Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 2. kapitola

5


Při studiu věnujte pozornost zejména těmto problémům: • Použití Gaussovy eliminační metody na rozšířenou matici soustavy • Tvar řešení homogenní soustavy lineárních rovnic • Tvar řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic Po prostudování uvedené doporučené literatury byste měli:

Vysvětlit tyto pojmy • Gaussova eliminační metoda, přidružená homogenní soustava lineárních rovnic, řešní závislé na zvolených parametrech Zodpovědět tyto otázky • Jak se řeší soustavy lineárních rovnic pomocí Gaussovy eliminační metody? • Jaký je tvar řešení homogenní soustavy lineárních rovnic? • Jak spolu souvisí řešení nehomogenní soustavy a přidružené homogenní soustavy lineárních rovnic? 3. dílčí téma: Řešení soustavy lineárních rovnic pomocí inverzní matice a Cramerovým pravidlem K třetímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: • Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 2.,3. kapitola, odst. 2.4., 3.4. • Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 2.,3. kapitola Při studiu věnujte pozornost zejména těmto problémům: • Soustavy lineárních rovnic se čtvercovou regulární maticí • Výpočet řešení soustavy lineárních rovnic pomocí inverzní matice • Výpočet řešení soustavy lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla Po prostudování uvedené doporučené literatury byste měli: Vysvětlit tyto pojmy • Cramerovo pravidlo

Zodpovědět tyto otázky • Jak vyřešíte soustavu lineárních rovnic s regulární maticí, znáte-li inverzní matici? • Co je to Cramerovo pravidlo? • Jak se řeší soustavy lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla?

6


Metodický list pro čtvrté soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Posloupnosti a funkce

Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co je to posloupnost a jak se definuje limita posloupnosti. Dále umět pracovat s pojmem funkce a zvládnout vybrané funkce včetně jejich definičního oboru, oboru hodnot a nakreslení grafu. Umět vyšetřit, zda je funkce sudá, lichá, periodická a najít inverzní funkci k zadané funkci. Tématický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. Posloupnost a její limita 2. Funkce a její vlastnosti 3. Elementární funkce a jejich grafy 1. dílčí téma: Posloupnost a její limita K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: • Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 4. kapitola, odst. 4.1. • Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 4. kapitola Při studiu věnujte pozornost zejména těmto problémům: • Definice posloupnosti • Existence limity posloupnosti • Výpočet limity posloupnosti


Vysvětlit tyto pojmy • Posloupnost, monotónní posloupnost, vybraná posloupnost, aritmetická a geometrická posloupnost, limita posloupnosti, konvergentní a divergentní posloupnost, omezená posloupnost Zodpovědět tyto otázky • Jakým způsobem lze zadat posloupnost? • Co je to konvergentní posloupnost a jak se definuje její limita? • Limitou jaké posloupnosti je Eulerovo číslo e ? 2. dílčí téma: Funkce a její vlastnosti K druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: • Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 4. kapitola, odst. 4.2. • Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 4. kapitola 7


Při studiu věnujte pozornost zejména těmto problémům: • Nalezení definičního oboru a oboru hodnot funkce, nakreslení grafu funkce • Vyšetření, zda je funkce sudá, lichá, periodická • Nalezení inverzní funkce k dané funkci Po prostudování uvedené doporučené literatury byste měli:

Vysvětlit tyto pojmy • Definiční obor funkce, obor hodnot funkce, graf funkce, lichá a sudá funkce, periodická funkce, prostá funkce, inverzní funkce, složená funkce Zodpovědět tyto otázky • Co je to definiční obor a obor hodnot dané funkce? • Co je to funkce lichá, sudá, periodická? • Co je to inverzní funkce k dané funkci a jak se vypočte? 3. dílčí téma: Elementární funkce a jejich grafy K třetímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: • Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 4. kapitola, odst. 4.2. • Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 4. kapitola Při studiu věnujte pozornost zejména těmto problémům: • Grafy mocninných funkcí, exponenciela a přirozený logaritmus • Vlastnosti a grafy goniometrických funkcí • Vlastnosti a grafy cyklometrických funkcí Po prostudování uvedené doporučené literatury byste měli:

Vysvětlit tyto pojmy • Elementární funkce, konstantní funkce, přímka a její graf, směrnice přímky, mocninná funkce, goniometrické funkce - sinus, kosinus, tangens, kotangens, cyklometrické funkce - arkussinus, arkuskosinus, arkustangens, arkuskotangens, exponenciela, přirozený logaritmus Zodpovědět tyto otázky a nakreslit grafy všech níže uvedených funkcí • Můžete uvést vlastnosti mocninných funkcí y = xn v závislosti na n ? • Můžete uvést vlastnosti goniometrických a k nim inverzních funkcí? • Můžete uvést vlastnosti funkcí exponenciela a přirozený logaritmus?

8


Metodický list pro páté soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Spojitost, limita a derivace funkce

Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit vztah mezi spojitostí a limitou funkce a následně se naučit vypočítat limitu funkce v bodě nespojitosti funkce. Dále porozumět pojmu derivace a seznámit se s pojmy derivace v bodě a derivace funkce. Umět vypočítat derivaci funkce podle definice a znát derivace vybraných elementárních funkcí. Tématický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. Spojitost a limita funkce 2. Výpočet limity funkce 3. Derivace funkce a její výpočet 1. dílčí téma: Spojitost a limita funkce

K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: • Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 4. kapitola, odst. 4.3. • Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 4. kapitola Při studiu věnujte pozornost zejména těmto problémům: • Definice spojitosti funkce • Definice limity funkce ve vlastním i v nevlastním bodě • Vztah mezi spojitostí a limitou funkce


Vysvětlit tyto pojmy • Okolí bodu, spojitost funkce, spojitost funkce zleva (zprava), limita funkce, jednostranná limita funkce Zodpovědět tyto otázky • Jak se definuje spojitost funkce v bodě? • Jak se definuje limita funkce v bodě? • Vyplývá z existence limity v bodě též spojitost funkce v bodě či nikoliv? 2. dílčí téma: Výpočet limity funkce K druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: • Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 4. kapitola, odst. 4.4. • Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 4. kapitola

9


Při studiu věnujte pozornost zejména těmto problémům: • Limita funkce v bodě, v němž je funkce spojitá • Výpočet limit ve vlastním i v nevlastním bodě • Výpočet limit typu „0/0“


Vysvětlit tyto pojmy • Limita funkce ve vlastním a v nevlastním bodě, limita typu „0/0“ Zodpovědět tyto otázky • Jak se vypočte limita funkce v bodě, v němž je funkce spojitá? • Jak se vypočtou limity ve vlastním i v nevlastním bodě? • Jak se vypočtou limity typu „0/0“ ? 3. dílčí téma: Derivace funkce a její výpočet K třetímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: • Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 5. kapitola, odst. 5.1. • Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 5. kapitola Při studiu věnujte pozornost zejména těmto problémům: • Definice a interpretace derivace v bodě • Výpočet derivace funkce podle definice • Derivace elementárních funkcí


Vysvětlit tyto pojmy • Derivace funkce v bodě, diferencovatelná funkce, derivace jako směrnice tečny grafu, derivace jako rychlost změny funkce, derivace funkce, derivace vyššího řádu Zodpovědět tyto otázky • Jak se definuje derivace pomocí limity? • Jak se vypočte derivace podle definice v případě lineární či kvadratické funkce? • Můžete uvést derivace elementárních funkcí?

10


Metodický list pro šesté soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Výpočet a použití derivací

Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit a aplikovat pravidla pro výpočet derivací, hlavně pro výpočet derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí, a dále derivace složené a inverzní funkce. Umět vypočítat některé limity pomocí l´Hospitalova pravidla. Tématický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. Základní vlastnosti derivace funkce 2. Výpočet derivace funkce 3. L´Hospitalovo pravidlo 1. dílčí téma: Základní vlastnosti derivace K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: • Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 5. kapitola, odst. 5.2. • Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 5. kapitola Při studiu věnujte pozornost zejména těmto problémům: • Derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí • Derivace složené funkce • Derivace inverzní funkce

Po prostudování uvedené doporučené literatury byste měli: Vysvětlit tyto pojmy • Derivace složené funkce, derivace inverzní funkce

Zodpovědět tyto otázky • Jak se derivuje součet, rozdíl, součin a podíl funkcí? • Jak se derivuje složená funkce? • Jak se derivuje inverzní funkce? 2. dílčí téma: Výpočet derivace funkce K druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: • Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 5. kapitola, odst. 5.3. • Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 5. kapitola Při studiu věnujte pozornost zejména těmto problémům: • Výpočet derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí • Výpočet derivace složené funkce

11


•

Výpočet derivace inverzní funkce

Po prostudování uvedené doporučené literatury byste měli: Vysvětlit tyto pojmy • Derivace složené funkce, derivace inverzní funkce

Zodpovědět tyto otázky • Jak se derivuje součet, rozdíl, součin a podíl funkcí? • Jak se derivuje složená funkce? • Jak se derivuje inverzní funkce? 3. dílčí téma: L´Hospitalovo pravidlo K třetímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: • Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 5. kapitola, odst. 5.4. • Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 5. kapitola Při studiu věnujte pozornost zejména těmto problémům: • Princip l´Hospitalova pravidla • Aplikovatelnost l´Hospitalova pravidla • Výpočet limit pomocí l´Hospitalova pravidla

Po prostudování uvedené doporučené literatury byste měli: Vysvětlit tyto pojmy • l´Hospitalovo pravidlo,

Zodpovědět tyto otázky • Kdy lze aplikovat l´Hospitalovo pravidlo? • Jak se používá l´Hospitalovo pravidlo? • Můžete ukázat použití l´Hospitalova pravidla na příkladě?

12

předmětu MATEMATIKA B 1

Recommend Documents