MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1

VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s

MATEMATIKA B 2 metodický list č. 1 Název tématického celku:

Integrální počet 1 Cíl: V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet reálných funkcí jedné proměnné. Tématický celek rozdělíme do následujících částí: 1. primitivní funkce a neurčitý integrál, 2. integrování rozkladem, 3. integrování metodou per partes a metodou substituční. 1. dílčí téma: Primitivní funkce a neurčitý integrál K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte strany 341 – 345, ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Dále si přečtěte odstavce 6.10 a 6.11 z článku 6C z jmenovaných skript. Po prostudování textu je třeba • umět vyslovit definici primitivní funkce k funkci f , • umět objasnit pojem neurčitý integrál (str. 343 způsob B), • umět vyslovit všechny věty v uvedeném textu, • znát nazpaměť základní neurčité integrály uvedené v odstavcích 6.10 a 6.11, 1 • objasnit správnost vzorce ∫ dx = ln x . x

2. dílčí téma: Integrování rozkladem Prostudujte si odstavec 6.13 na straně 347 a odstavec 6.14 začínající na téže straně z výše uvedených skript. Po prostudování uvedených statí byste měli: • umět objasnit metodu integrování rozkladem

Matematika B 2 - Metodický list č. 1

1


Dovednosti spojené s integrací rozkladem nacvičte na příkladě 348/1 z uvedených skript. Využijte vzorce uvedené v odstavcích 6.10, 6.11 a 6.12. Dále prostudujte ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I řešené příklady 216/6.4, 6.5 a spočítejte příklady 1159, 1160 z téže sbírky. 3. dílčí téma: Integrování metodou per partes a metodou substituční Teorii k tomuto tématu lze najít na stranách 349 – 356 skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Pečlivě prostudujte řešené příklady uvedené v tomto textu. Poté spočítejte příklady 351/1, 352/2, 356/1, 2, 3a. Po prostudování uvedené literatury byste měli • umět vyslovit větu 6.16 a umět objasnit její použití na příkladě, • znát pravidla o substituci v neurčitém integrálu a umět objasnit jejich užití na příkladech. • Vyřešit tyto příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I: 1173, 1175–1176, 1178, 1181, 1187, 1190, 1192, 1203, 1204, 1207, 1209, 1211, 1213–1214.


2



Integrální počet 2 Cíl: V tomto tématickém celku si posluchači doplní další definice, věty a výpočetní metody užívané v části matematiky známé jako integrální počet reálných funkcí jedné proměnné. Tématický celek rozdělíme do následujících témat: 4. integrování racionálních funkcí, 5. integrování pomocí speciálních substitucí, 6. Riemannův integrál – definice a výpočet pomocí primitivní funkce. 1. dílčí téma: Integrování racionálních funkcí K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte strany 357 – 366 ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Dovednosti v něm objasněné procvičte při řešení příkladů 359/1, 365/1 – 3, 366/1 z téhož skripta. Po prostudování uvedeného textu byste měli: • umět vydělit libovolné dva polynomy, • umět rozložit racionální funkci na součet parciálních zlomků, • integrovat parciální zlomky, • spočítat příklady 1244 – 1247 ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I. 2. dílčí téma: Integrování pomocí speciálních substitucí Druhý dílčí celek je vyložen na stranách 367 – 377 skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Početní postupy v něm naznačené procvičte při výpočtu příkladů z následujících cvičení: 368/1, 372/1, 373/2 – 6, 377/1, 2, 378/3. Dobře si zapamatujte situace, při kterých se uvedené typy substitucí využívají.


3


3. dílčí téma: Riemannův integrál – definice a výpočet pomocí primitivní funkce Teorii k tomuto tématu lze najít na stranách 380 – 392 ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2), příklady naleznete ve cvičení 1 ze strany 394. Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku pojmů: dělení intervalu , dolní resp. horní součet, dolní resp. horní Riemannův integrál, zjemnění dělení. Po prostudování uvedené doporučené literatury byste měli: • Vysvětlit tyto pojmy: norma dělení, funkce riemannovsky integrovatelná na intervalu , Riemannův integrál funkce f na . • Formulovat a objasnit věty: o o souvislosti dělení a zjemnění dělení, o nutnou a postačující podmínku pro existenci Riemannova integrálu funkce f na , o o existenci Riemannova integrálu funkce f na v důsledku spojitosti funkce f na nebo její monotonie na . • Formulovat a na vámi zvoleném příkladu ukázat použití vět o o metodě per partes pro určité integrály, o o substituční metodě pro určité integrály. • Vyřešit tyto příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I: 1351, 1355, 1358, 1379, 1380, 1392, 1417, 1425 a 1427.


4



Integrální počet 3 Cíl: V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými aplikacemi integrálního počtu. Tématický celek rozdělíme do následujících témat: 7. numerický výpočet určitého integrálu, 8. nevlastní určitý integrál, 9. některé aplikace určitého integrálu. 1. dílčí téma: Numerický výpočet určitého integrálu K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte článek 6.P na stranách 395 – 397 ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2) a vypočítejte cvičení 398/1 – 4. Po prostudování uvedeného textu byste měli • umět odpovědět na otázku: Proč se některé určité integrály počítají numerickými metodami? • Znát způsob výpočtů určitých integrálů obdélníkovou, lichoběžníkovou a Simpsonovou metodou a příslušné odhody chyb. • Vyřešit tyto příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I: 1406 – 1411. 2. dílčí téma: Nevlastní určitý integrál Druhý dílčí celek je vyložen v článku 6.Q na stranách 398 – 404 skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Po přečtení textu spočítejte příklady 404/1, 4. Po prostudování uvedené literatury byste měli: • Umět definovat pojmy nevlastní integrál se singulární horní mezí, nevlastní integrál se singulární dolní mezí. • Umět objasnit pojmy nevlastní integrál konverguje, nevlastní integrál diverguje, nevlastní integrál vlivem funkce, nevlastní integrál vlivem meze, integrál konverguje absolutně, integrál konverguje neabsolutně. Matematika B 2 - Metodický list č. 1

5


• • •

Vyslovit srovnávací kritérium pro konvergenci a divergenci nevlastního integrálu. Umět objasnit vztahy konvergence nevlastního integrálu funkce f a f .

Vyřešit tyto příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I: 1417, 1425, 1427.

3. dílčí téma: Některé aplikace určitého integrálu Teorii k tomuto tématu lze najít v kapitole 6.III na stranách 406 – 421 ve skriptech Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Kvůli lepšímu porozumění vyložené látky si spočítejte příklady 421/1, 422/3 – 7. Po prostudování uvedené literatury byste měli: • sami umět navrhnout rovinný obrazec a spočítat jeho obsat, • sami umět navrhnout rovinnou křivku a spočítat její délku, • vyřešit tyto příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I: 1446 – 1452, 1453, 1454, 1459, 1463 – 1465.


6



Číselné řady Cíl: V tomto celku se posluchači seznámí s vlastnostmi číselných řad. Naučí se určovat zda konvergují či divergují, naučí se počítat součty některých s nich. Tématický celek rozdělíme do následujících částí: 10. úvodní pojmy k tématu, 11. kritéria konvergence číselných řad, 12. přerovnávání a násobení řad. 1. dílčí téma: Úvodní pojmy k tématu K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte články 7A – 7C na stranách 423 – 431 ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2) a vypočítejte cvičení 428/1, 429/2. Po prostudování uvedené literatury byste měli: • objasnit pojem číselná řada, • definovat pojmy součet řady, konvergentní řada, divergentní řada, • provést rozbor konvergence / divergence geometrické řady, • dokázat divergenci harmonické řady, • formulovat základní věty o konvergenci řad, tj. o o lim a n = 0 v důsledku konvergence ∑ a n , o o vztahu konvergence řad a zbytku řady po k-tém členu, o o součtu řad ∑ a n , ∑ bn a c-násobku řady ∑ a n ,

•

o o uzávorkování konvergentní řady, o o Bolzano-Cauchyově podmínce, spočítat tyto příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I: 1487, 1490, 1495, 1496, 1498.

2. dílčí téma: Kritéria konvergence číselných řad Druhý dílčí celek je vyložen v článcích 7D, 7E na stranách 431 – 444 skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Po přečtení textu spočítejte příklady 440/1 – 441/7 z téhož skripta.


7


Po prostudování uvedené literatury byste měli: • vyjmenovat a formulovat kritéria konvergence pro řady s nezápornými členy, • popsat metody vyšetřování konvergence řad s libovolnými členy, • pomocí kritéria konvergence odhadnout zbytek po k-tém členu u konkrétní řady podle daného kritéria, • vyřešit tyto příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I: 1509, 1519, 1521–1523, 1529, 1531, 1534, 1537, 1542, 1545, 1551, 1572, 1580. 3. dílčí téma: Přerovnávání a násobení řad Teorii k tomuto tématu lze najít v článku 7.F na stranách 445 – 446 skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Po přečtení tohoto textu vyřešte cvičení 446/1, 447/2 – 4. Po prostudování uvedené literatury byste měli: • definovat pojem řada vzniklá přerovnáním řady • • • •

∑a

n

,

vyslovit věty o absolutní a neabsolutní konvergenci řady v souvislosti s jejím přerovnáním, definovat a na příkladě demonstrovat Cauchyův součin řady, vyslovit větu o absolutní konvergenci součinu řad, vyřešit tyto příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I: 1588 – 1591.


8



Mocninné řady Cíl: V tomto celku se posluchači seznámí s vlastnostmi funkčních (speciálně mocninných) řad. Naučí se určovat zda konvergují či divergují. Budou se zabývat aproximací funkce mocninnou řadou. Tématický celek rozdělíme do následujících částí: 13. mocninné řady a jejich konvergence, 14. integrování a derivování mocninných řad, 15. rozvinutí funkce v mocninnou řadu a další operace s mocninnými řadami. 1. dílčí téma: Mocninné řady a jejich konvergence K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte článek 7.K na stranách 459 – 465 skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2) a vyřešte cvičení 466/1a – h. Po prostudování uvedené literatury byste měli: • definovat pojmy mocninná řada se středem v bodě c , poloměr konvergence mocninné řady, • objasnit pojmy interval konvergence mocninné řady, obor konvergence mocninné řady, absolutní konvergence řady, • rozlišit tři základní druhy konvergence mocninných řad podle poloměru konvergence, • vyslovit věty: o o souvislosti (absolutní) konvergence a poloměru konvergence, o o výpočtu poloměru konvergence, • vyřešit tyto příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I: 1627, 1630, 1634. 2. dílčí téma: Integrování a derivování mocninných řad Druhý dílčí celek je vyložen v článku 7.L na stranách 466 – 471 skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Kvůli hlubšímu porozumění tématu si po přečtení textu spočítejte příklady 471/1.


9


Po prostudování uvedené literatury byste měli: • umět vyslovit větu o integrování mocninné řady člen po členu větu o derivování mocninné řady člen po členu, • znát vztah mezi poloměry konvergence mocninné řady, mocninné řady vzniklé z ní integrováním a mocninné řady vzniklé z ní derivováním, • získané znalosti umět demonstrovat na příkladech řešených v článku 7.L • vyřešit tyto příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I: 1652, 1653, 1657. 3. dílčí téma: Rozvinutí funkce v mocninnou řadu a další operace s mocninnými řadami Teorii k tomuto tématu najdete v článcích 7.M a 7.N na stranách 471 – 480 skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Po přečtení textu vyřešte cvičení 476/1 – 3, 481/1. Po prostudování uvedené doporučené literatury byste měli: • umět definovat pojmy Taylorova řada funkce f se středem v bodě c , Maclaurinova řada funkce f , • umět objasnit pojem funkce analytický v bodě c , • znát vzorce pro stanovení členů Taylorovy řady funkce, • umět formulovat kritéria pro stanovení konvergence Taylorovy řady, • umět nalézt Maclaurinovy řady funkcí uvedené v článku 7.M a umět řešit příklady řešené v tomto článku, • znát a umět používat větu o sčítání a násobení mocninných řad, větu o dosazování mocninné řady do mocninné řady, větu o převrácené hodnotě mocninné řady a větu o dělení mocninných řad, • vyřešit tyto příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I: 1661, 1662, 1665, 1669.


10



Řešení příkladů Cíl: Umět využít nabyté vědomosti při řešení konkrétních příkladů. Příprava: Pokuste se samostatně vyřešit každý řešený příklad, který jsme počítali v rámci předchozí výuky. Pokud se Vám ho vyřešit nezdaří, přečtěte si zapsané řešení, pokuste se mu porozumět a opět se pokuste příklad samostatně vyřešit. Při opětovném neúspěchu vyhledejte pomoc v učebnici. V rámci hromadné konzultace 6. bloku budeme řešit další procvičující a navazující příklady. Způsob zakončení: Předmět je zakončení zápočtem i zkouškou. Udělení zápočtu je v kompetenci cvičícího. K jeho získání je potřeba splnit 2 pomínky: 1. Mít dostatečnou docházku na cvičení, tj. nemít více než 2 absence 2. Úspěšně napsat zápočtové písemné práce Zkouška: Aby se student mohl přihlásit na zkoušku, musí mít v Indexu zapsané zápočty za zimní i letní semestr. Termíny zkoušky budou vypsány v IS VŠFS. Zkouška se skládá z písemné a ústní části, které probíhají v jeden den následně po sobě.


11

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1

Recommend Documents