2016 Matematika 2 1

Barisan Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat – sifat barisan Barisan Monoton

19/02/2016

Matematika 2

1

Barisan Tak Hingga Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan −bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli. Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam bentuk a1,a2,…,an. a1 menyatakan suku ke–1, a2 menyatakan suku ke–2 dan an menyatakan suku ke–n. Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga adalah

an n1 Matematika 2

2

Barisan Tak Hingga Contoh − contoh barisan Barisan

2, 4, 6, 8, ... Bisa dituliskan dengan rumus Barisan 1 2 3 4 , , , , ... 3 4 5 6

2n

 n1



Bisa dituliskan dengan rumus

 n    2  n  n1

Penentuan an tidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba –coba. 19/02/2016

Matematika 2

3

Kekonvergenan barisan tak hingga Suatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila

lim aL n   n atau





  0  N  0  n  N , a  L  n { untuk setiap epsilon positif terdapat N positif sedemikian hingga untuk n lebih besar atau sama dengan N, selisih antara

an

dan

L akan kurang epsilon}

19/02/2016

Matematika 2

4

Kekonvergenan barisan tak hingga Contoh 1 Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut 

2  n    n1n1

Jawaban Karena

2 n lim  n   n 1



 n   divergen maka  n  1  n1 2

19/02/2016

Matematika 2

5

Kekonvergenan barisan tak hingga Contoh 2 Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut 

n   n  e n1 2

Jawaban Karena

n2  lim  merupakan bentuk tak tentu maka untuk n n  e 

menyelesaikannya digunakan teorema berikut :

f n  L f x Lmaka lim Misal a  ,bila lim fn n n   x   untuk x  R. 19/02/2016

Matematika 2

6

Kekonvergenan barisan tak hingga Jawaban (lanjutan) 2 x Jadi f x dan dengan menggunakan dalil L’hopital maka x e x2 2x 2 lim x  lim limx0 x x e x e x  e

n2 0 . Berdasarkan teorema maka lim n n  e Karena nilai limitnya menuju 0, maka 

n   n  e n1 2

Konvergen menuju 0. 19/02/2016

Matematika 2

7

Kekonvergenan barisan tak hingga Contoh 3 Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut 

1  cos n    n   n 1 Jawaban Bentuk dari suku −suku barisannya merupakan bentuk ganti tanda akibat dari nilai cos n, untuk n ganjil tandanya − , untuk n genap

cos n tidak ada tetapi minimal bernilai –1 dan tandanya +. Nilai lim n   1

maksimal bernilai 1. Sedangkan lim 0akibatnya untuk n nilai n  1 n , .cos n akan mendekati nol. Jadi deret konvergen menuju 0.

n

19/02/2016

Matematika 2

8

Sifat – sifat barisan Misal {an} dan {bn} barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu konstanta, maka

kk 1. lim n   k a  k lim a 2. lim n n   n  n

  a  b  lim a  lim b 3. lim n n n n n n n         a b  lim a lim b 4. lim nn n n  nn n     lim a a n n   n  ,lim b  0 5. lim n   n  n b lim b n n  n 19/02/2016

Matematika 2

9

Barisan Monoton Kemonotonan barisan {an} dapat dikelompokkan menjadi 4 macam :

1. Monoton naik bila 2. Monoton turun bila

an an1 an an1

3. Monoton tidak turun bila 4. Monoton tidak naik bila

19/02/2016

an an1 an an1

Matematika 2

10

Deret Tak Hingga Deret tak hingga merupakan jumlahan dariann1yaitu a1+a2+…+an . 

Notasi deret tak hingga adalah





n1

an .

Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan barisan jumlahan parsial yaitu ,

lim S n

n

,dimana :

S1 a1 S  a  a 2 1 2 S  a  a  a 3 1 2 3  S  a  a  a  ...  a n 1 2 3 n Dan 19/02/2016

  S  S , S , ..., S , .... n 1 2 k n  1 Matematika 2

11

Deret Tak Hingga Contoh 

Selidiki apakah deret

1 1     k k  1   k 1



konvergen ?

Jawaban

1 n S  1   n n  1n  1 n Karena lim S  lim  1 , maka n   n n   n  1



 k1

1 1  k k1

adalah deret

konvergen yaitu konvergen menuju 1. Penentuan Sn dari suatu deret juga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba – coba.

19/02/2016

Matematika 2

12

Deret Suku Positif Sebuah

disebut deret suku positif, bila semua suku-

sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang sering digunakan : 1. Deret geometri 2. Deret harmonis 3. Deret-p

Deret–p akan dibahas secara khusus dalam uji integral

19/02/2016

Matematika 2

13

Deret Suku Positif Deret geometri 

Bentuk umum :

a r a  a r  a r  a r  ...  a r ....  k  1

2 3

n  1

k  1

Proses menentukan rumusan Sn adalah sebagai berikut : 2 3 n  1 S  a  a r  a r  a r  ...  a r n 2 3 n  1 n r S  a r  a r  a r  ...  a r  a r n

Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa

sehingga

a1r untuk r  1. Kekonvergenan dari deret geometri 1r

.S  n

n

bergantung pada nilai r.

19/02/2016

Matematika 2

14

Deret Suku Positif Deret geometri(lanjutan) Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret geometri : –Bila r = 1, maka Sn= na sehingga lim , sehingga deret na   n  

divergen

a , sehingga deret konvergen ke n  1 r –Bila | r | >1, maka lim , sehingga deret divergen rn  n –Bila | r |<1, maka lim r  0

n  

19/02/2016

Matematika 2

15

Deret Suku Positif Deret harmonis Bentuk umum :



1  n 1 n

Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari Sn nya, yaitu

1 1 1 1 1 1 1 1 S  1         ....  n 2 3 4 5 6 7 8 n

1 1 1 1 1 1 1 1 1        1          ....   ....       2 3 4 5 6 7 8 9 16       19/02/2016

Matematika 2

16

Deret Suku Positif Deret harmonis (lanjutan)

1 1 1 1 1 1 1 1 1       S  1          ....   ...       n 2 2 4 4 8 8 8 8 16 16       1111111 1  1         ....  2222222 2 n 1 2 n Karena, maka lim . Sehingga deret harmonis divergen. 1   n   2

19/02/2016

Matematika 2

17

Kedivergenan Deret Tak Hingga 

Bila

deret

 an

n 1

konvergen,

maka lim . a 0 n n  

kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah Bila lim ,maka deret a 0 n n  



 a n akan divergen.

n 1

Bila dalam perhitungan limit an–nya diperoleh nol, maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif.

19/02/2016

Matematika 2

18

Kedivergenan Deret Tak Hingga Contoh Periksa apakah



n  konvergen ? 2 n  1 n1

Jawaban

n 1 1 lim a  lim  lim  0 n 1 2 n  1 n   n   n 2 2 n 

Jadi

19/02/2016

n  n12n1

divergen

Matematika 2

19

Uji Deret Positif 1. Uji integral

2. Uji Banding 3. Uji Banding limit 4. Uji Rasio

5. Uji Akar 19/02/2016

Matematika 2

20

Uji Deret Positif Uji integral 

Misal  a n

merupakan deret suku positif dan monoton turun,

n 1

 , maka integral tak wajar dari f(x) dimana a    f n n  B n

adalah



b

1

1

.    x dx  lim f x dx f  b  

Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau tidak ada, maka deret divergen.

Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada), maka deret konvergen.

19/02/2016

Matematika 2

21

Deret Suku Positif Contoh 1: Uji Integral Deret–p 

Bentuk umum :

1  p n1 n

Kalau diperhatikan maka deret harmonis sebenarnya juga merupakan deret–p dengan p=1. Kekonvergenan deret p akan

bergantung pada nilai p. Untuk menentukan pada nilai p berapa deret konvergen atau divergen, digunakan integral tak wajar yaitu

1 n

Misal a  p fn n

1 . p x

maka f x

Selanjutnya nilai f(x) tersebut di integralkan dengan batas 1 sampai . 19/02/2016

Matematika 2

22

Deret Suku Positif Deret–p (lanjutan) Integral tak wajar dari f(x) adalah  1 b 1

1pb

1  p x b 1 dx  lim dx  lim  lim   p  p  b   1  p 1  p1  p b     1 x 1x 1 b

Kekonvergenan deret–p ini akan tergantung dari nilai integral tak wajar tersebut. Bila integralnya konvergen maka deretnya juga konvergen. Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga akan divergen.

19/02/2016

Matematika 2

23

Deret Suku Positif Deret–p (lanjutan) Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut : – Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen – Bila 0 p<1, maka

divergen

1  p b 1 lim  ,sehingga deret b   1  p1  p

– Bila p>1, maka

,

1  p 1 1 1 b 1   lim  lim  p  1 p 1 p  1 1  p1  p b   b     p  1 b

sehingga deret konvergen.

19/02/2016

Matematika 2

24

Uji Deret Positif Contoh 2



Tentukan kekonvergenan deret

 n2

1 n lnn

Jawaban Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji integral yaitu : 1 Misal a , maka    f n  n n ln n Perhitungan integral tak wajar : 

 2

19/02/2016

1 f(x) xln x

b

1 1 b dx lim dx    lim ln ln x  2 b   xln x xlnx b  

 2

Matematika 2

25

Uji Deret Positif Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka integral 

tak wajarnya divergen. Sehingga deret

n2

divergen.

19/02/2016



Matematika 2

1 n lnn

juga

26

Uji Deret Positif Uji Banding Bila untuk n  N, berlaku bn  an maka 



a. Bila  bn

konvergen, maka  an juga konvergen

b. Bila  an

divergen, maka  bn

n 1 

n 1

n 1 

juga divergen

n 1

Jadi pada uji banding ini, untuk menentukan kekonvergenan suatu

deret,

bila

menggunakan

sifat

a

maka

deret

pembandingnya adalah yang bersifat konvergen. Sedangkan bila menggunakan sifat nomor 2 maka deret pembandingnya adalah yang bersifat divergen. 19/02/2016

Matematika 2

27

Uji Deret Positif Contoh 1 Uji kekonvergenan





Jawaban

n1

1 n2

Dalam uji banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih yang paling mirip dengan deret yang akan diuji. Dapat dipilh 

1  n1 3 n

Karena

sebagai deret pembanding.

1 1 dan  n  2 3n





n1

1 3 n

merupakan deret

p yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga divergen 19/02/2016

Matematika 2

28

Uji Deret Positif Contoh 2



3

Uji kekonvergenan  n2 5 n1 Jawaban 

3 Dengan uji banding, digunakan deret pembanding  2  n1 n 3 3 3  2. Karena  2 merupakan deret dimana 2 n 5 n n1 n 

konvergen, maka  n1

19/02/2016

,

3 juga konvergen. 2 n 5

Matematika 2

29

Uji Deret Positif Contoh 3

tg 1n n2



Uji kekonvergenan

 n 1

Jawaban 1 Karena untuk n  , tg n 





n1

n

digunakan adalah 

2 2



, maka deret pembanding yang 2 1    tg n 2 2 .Karena dan   2 2 2 n



merupakan deret konvergen, maka

 n 1

19/02/2016

Matematika 2

n

n1

n

tg 1n juga konvergen 2 n 30

Uji Deret Positif Uji Banding Limit 



Misal  an dan  bn , merupakan deret suku positif dan n 1 n1 , liman berlaku L n b n – Bila 0 < L <  , maka kedua deret bersama-sama konvergen atau bersama-sama divergen 

– Bila L = 0, dan  bn adalah deret konvergen, maka n 1



 an.

n1

juga konvergen – Bila L =  dan



 bn

n 1



adalah deret divergen maka

 an.

n1

juga divergen 19/02/2016

Matematika 2

31

Uji Deret Positif Contoh 1 

2 n Uji kekonvergenan deret  3 2 n n 3 n  15

Jawaban 

2  1 n  dan Deret pembanding yang digunakan adalah  3 n n n n  15  15  diketahui sebagai deret divergen ( sebagai  bn ). 3

n 1

5 n L  lim  1 dan deret pembandingnya . 3 2 n   5 n  n  3 2  n divergen, maka  . juga divergen. 3 2 n n 3 n  15

Karena

19/02/2016

Matematika 2

32

Uji Deret Positif Contoh 2 Uji kekonvergenan deret





i1

1 n2 5

Jawaban 

Deret pembanding yang digunakan adalah  n  1

1



1  dan 2 n  1 n n

diketahui sebagai deret divergen (deret harmonis). 2 2 n n Karena . L  lim  lim  1 2 2 n   n   n  1 n  5 pembandingnya divergen, maka kedua deret

dan deret bersama-sama

divergen . 19/02/2016

Matematika 2

33

Uji Deret Positif Uji Rasio 

Misal  an

a n  a n

merupakan deret suku positif dan limn1

n1

maka berlaku

– Bila <1, maka deret konvergen – Bila >1, maka deret divergen – Bila =1, maka uji gagal

19/02/2016

Matematika 2

34

Uji Deret Positif Contoh Uji kekonvergenan deret



 i 1

Jawaban

n2 n!



2 2 ( n  1 ) n ! ( n  1 ) lim  lim  0 Dengan uji rasio diperoleh  2 2 n   n   ( n  1 ) ! n ( n  1 ) n 2 n Karena  = 0 < 1 , maka  n konvergen. i 1 n !

19/02/2016

Matematika 2

35

Uji Deret Positif Uji Akar 

Misal  an n1

n lim a merupakan deret suku positif dan r , n n  

maka berlaku 

– Bila r < 1, maka deret  an konvergen n1 

– Bila r > 1, maka deret  an divergen n1

– Bila r = 1, maka uji gagal

19/02/2016

Matematika 2

36

Uji Deret Positif Contoh 

Uji kekonvergenan deret

2n en

 i 1

Jawaban

Dengan uji akar diperoleh

2 r  1 , maka Karena e

19/02/2016

n 2 2 n rlim  n e n   e

n

2n

i 1

n



e

Matematika 2

konvergen.

37

Uji Deret Positif Panduan Pemilihan uji deret Bila deret suku berbentuk rasional (fungsi polinom) maka dapat dipilih uji banding atau uji banding limit Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pangkat n Bila uji – uji diatas tidak dapat digunakan dan suku –

sukunya monoton turun maka dapat dipilih uji integral

19/02/2016

Matematika 2

38

Deret Ganti Tanda Uji-uji kekonvergenan deret positif hanya digunakan untuk menguji deret-deret positif. Sedangkan untuk deret-deret yang suku-sukunya berganti-ganti tanda, yaitu berbentuk .a dengan  a  a  a  ... an> 0 untuk semua n dilakukan uji 1 2 3 4 tersendiri. Notasi deret ganti tanda adalah



(1) an . n1

i1

Deret ganti tanda dikatakan konvergen, bila a. b. 19/02/2016

0  a a n  1 n lim a 0 n



atau .

n (  1 )  an i1

(monoton tak naik)

n  

Matematika 2

39

Deret Ganti Tanda Contoh



Tentukan kekonvergenan deret

 3 n  1 n    1    n n  1 n  1

Jawaban 

 3 n  1 n    1  merupakan deret ganti tanda   n n  1 n  1 n3 a  dengan rumus suku ke–nnya adalah n . nn1

Deret akan konvergen bila memenuhi dua syarat berikut : a.

.n 0  a a n  1

lim a 0 n b. Nilai n  

19/02/2016

Matematika 2

40

Deret Ganti Tanda a.

n  4 n  3 0   n n n n   1  2  1   a n  4n n  1 n  1   1   n a n  1 n  2  3 n

2   a n n  4 n  4 n n  1    1 2     a n  2 n  3 n  5 n  6 n

b.

an1 1 Karena jadi {an} adalah monoton tak naik. an n  3 lim a  lim  0 n n   n     n n  1

Karena kedua syarat dipenuhi maka deretnya konvergen.

19/02/2016

Matematika 2

41

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat 

Deret

a  a  a  a  dikatakan konvergen  n 1 2 3 

n  1

mutlak, bila deret mutlak

 n 1

an  a1  a2  | a3 | konvergen

(suku an bisa berupa suku positif atau tidak). 

Hal tersebut tidak berlaku sebaliknya. Tetapi bila  a n 

divergen, maka  .an juga divergen. n1

n 1





n 1

n1

Kovergen bersyarat terjadi bila  a n konvergen tetapi  an divergen.

19/02/2016

Matematika 2

42

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 1

cos n konvergen mutlak atau bersyarat ? 3 n n1 

Tentukan apakah  Jawaban

cos n  Deret mutlaknya adalah . Dengan menggunakan uji 3  1 n n 1 

banding, dimana deret pembandingnya adalah  3 maka n 1 n cos n  1 diperoleh bahwa  3untuk semua nilai n. 3  cos  1 n n n  Karena  3 merupakan deret konvergen, maka 3 n n 1 n  cos n  1 n konvergen mutlak. juga konvergen. Sehingga  n1

19/02/2016

n3

Matematika 2

43

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 2



2n Tentukan apakah 1 konvergen mutlak atau n! n 1 bersyarat ?

Jawaban

n



2n Deret mutlaknya adalah  . n  1 n ! n1 2 n ! 2   lim  lim  Dengan uji rasio diperoleh .0 n n !2 n  1 n  1 n      2n Karena =0<1, maka  konvergen. n1 n ! 

2n Sehingga 1 n! n 1 19/02/2016

n

konvergen mutlak.

Matematika 2

44

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 3



n    1  Tentukan apakah n 1

Jawaban

1 n konvergen mutlak atau bersyarat ?



1 yang merupakan deret divergen.  n 1 n Pengujian kekonvergenan deret ganti tanda Deret mutlaknya adalah

a.

(monoton tak naik) 0  a a n  1 n Diperoleh bahwa benar 1 1 0  deret  ganti tandanya konvergen. b. Jadi n1 n 1tandanya konvergen sedangkan deret Karena deret ganti lim a  lim  0 n n   n   n mutlaknya divergen maka konvergen bersyarat . 19/02/2016

Matematika 2

45

Uji rasio untuk kekonvergenan mutlak 

an1 Misal  an deret dengan suku tak nol dan rlim , n  a n1 n tiga kondisi yang mungkin terjadi adalah :

• • •



 an konvergen mutlak

Bila r<1, maka

 n1

Bila r>1, maka  an

divergen

n1

Bila r=1, pengujian gagal ( tidak dapat disimpulkan)

Konvergen bersyarat tidak bisa ditentukan oleh uji rasio ini. .

19/02/2016

Matematika 2

46

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 1 

3 nn 1 n

Tentukan apakah  n1 divergen?



konvergen mutlak atau

e

Jawaban

Dengan uji rasio mutlak diperoleh : 3n n   1 e

n13

r limn lim 3  1 3 n   e n n  ne 1 Karena r  1, maka e 19/02/2016



3 nn 1 n

 

n1

Matematika 2

e

1  e

konvergen mutlak.

47

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 2  Tentukan apakah 1nn! konvergen mutlak atau divergen? n 2 n  1 Jawaban Dengan uji rasio mutlak diperoleh :

n n !2  1

n1  rlimn  lim   1 n ! n n  2   2 

! nn   Karena r > 1, maka 1 n divergen . n1

19/02/2016

2

Matematika 2

48

Deret Pangkat Bentuk umum : 



an x n  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n  ...



an x  b   a0  a1 x  b   a2 x  b   ...  an x  b   ...

n 0 

n 0

n

2

n

Contoh deret pangkat 

1.

 n 0 

2.

   1 n 0



3.

 n 0

19/02/2016

x n  1  x  x 2  ...  x n  ... n

x 2n x2 x4 x6  1     ... 2 n ! 2! 4! 6!

 x  1n

1 x  1 x  1     ... n2 2 4 5 2

Matematika 2

49

Deret Pangkat Pada deret pangkat ini, kalau diperhatikan terdapat dua variabel, yaitu n dan x. Untuk n , nilainya dari 0 sampai , sedangkan nilai x dapat dicari dengan uji rasio untuk kekonvergenan mutlak, yaitu pada saat r < 1. 

Interval nilai x yang memenuhi kekonvergenan dari deret  an xn 

 disebut interval kekonvergenan. b maupun a nx n

n0

n  0

Bentuk interval kekonvergenan dari deret pangkat ini memiliki ciri khusus dan hanya memiliki 3 variasi bentuk untuk masing – masing deret. 19/02/2016

Matematika 2

50

Deret Pangkat Tiga kemungkinan untuk interval kekonvergenan deret adalah : 

Selang konvergensi untuk deret • • •

 an xn

n0

Deret konvergen hanya di x = 0 Deret konvergen mutlak di x  R Deret konvergen mutlak pada interval buka (–r,r) atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya. 

Selang konvergensi untuk deret • • •

19/02/2016

anxb

n

n  0

Deret konvergen hanya di x = b Deret konvergen mutlak di x  R Deret konvergen mutlak pada interval buka (b–r,b+r) atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya. Matematika 2

51

Deret Pangkat Contoh 1 

n x Tentukan interval kekonvergenan deret  n 0 n ! Jawaban

Pengujian dengan uji rasio mutlak : n  1 x n ! r lim n n   !x n  1

x lim 0 n n 1

Deret akan konvergen untuk semua nilai x Atau x R

19/02/2016

Matematika 2

52

Deret Pangkat Contoh 2 

Tentukan interval kekonvergenan deret  n! xn n0

Jawaban Pengujian dengan uji rasio mutlak :

n  1  ! limx n1 x n  1 r lim n n  n  n ! x

Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi

adalah x = 0 agar r < 1. Jadi deret konvergen untuk x = 0

19/02/2016

Matematika 2

53

Deret Pangkat Contoh 3 n  x n Tentukan interval kekonvergenan deret    n 1  3 n  1 n  0 Jawaban

Pengujian dengan uji rasio mutlak : n  1 n   x 3 n  1 xn  1 x r  lim lim  .11 n  1 n 3n  2 3 n   n    x 3 n  2

Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi

adalah –3 < x < 3. Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah. 19/02/2016

Matematika 2

54

Deret Pangkat Pengujian deret pada saat x = 3 dan x = 3 adalah sebagai berikut :



1  Deret ini n0 n 1 diketahui sebagai deret harmonis yang divergen .  1 n 1  dengan • Saat x = 3  deretnya menjadi  n 1 n  0 uji deret ganti tanda diketahui bahwa deret ini konvergen. n  x n Jadi interval kekonvergenan deret  adalah   n 1  3 n  1 n  0

•

Saat x = -3  deretnya menjadi 

 3  x  3

19/02/2016

Matematika 2

55

Deret Pangkat Contoh 4 

Tentukan interval kekonvergenan deret

x5n

 n1

n2

Jawaban Pengujian dengan uji rasio mutlak :

n  1 2 2   x  5 n n r  lim 2  lim x  52  x  5 .1  1 n n      n n  1 x  5   n 2 n  1

Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi

adalah 4 < x < 6. Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah. 19/02/2016

Matematika 2

56

Deret Pangkat Pengujian deret pada saat x = 4 dan x = 6 adalah sebagai berikut : •

1n

Saat x = 4  deretnya menjadi 

1 . 2 n0 n

n1

1 n2

 karena

konvergen maka deret ganti tandanya juga

konvergen.

•



.



Saat x = 6  deretnya menjadi



n 1

1 n2

yang merupakan

deret-p yang diketahui konvergen. 

Jadi interval kekonvergenan deret

19/02/2016

 n1

4x 6 Matematika 2

x5n 2

n

adalah

57

Operasi-operasi deret pangkat 1. Operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan, pembagian, dan substitusi 2. Turunan deret :

 n  n  1 D a x  na x  x n  n n  0  1  n 3. Integral deret :    n n n  1 n n n n  0 n  0 n  0

a a x dx  a x dx  x  C     n  1

19/02/2016

Matematika 2

58

Deret Pangkat 

Deret geometri

an = 1 .

x

n 1

n

adalah contoh deret pangkat x dengan

Dengan menggunakan rumus jumlah takhingga deret geometri, maka diperoleh

1 23  1  x  x  x  ... 1  x

x 1

Secara umum x bisa diganti dengan U dimana U adalah fungsi yang memuat x.

1 23  1  u  u  u  ... 1  u 19/02/2016

Matematika 2

u 1 59

Deret Pangkat Contoh 1 Nyatakan Jawaban

1 1 x

dalam deret pangkat

1 1  x 1  x 1 

 x x 1

Dengan menggunakan deret geometri

1 1 23   1  x  x  x  ... x 1 x 1  x 1 

19/02/2016

Matematika 2

60

Deret Pangkat Contoh 2 Nyatakan

x 1 x

dalam deret pangkat

Jawaban Dengan menggunakan jawaban sebelumnya





x x 2 3 2 3 4   x 1  x  x  x  ...  x  x  x  x  ...   1  x 1   x

19/02/2016

Matematika 2

61

Deret Pangkat Contoh 3

1x Nyatakan ln  dalam deret pangkat 1x

Jawaban 1  x       ln  ln 1  x  ln 1  x   1  x   1 1 1 2 3 2 3   ln 1  x   dx   1  x  x  x  ... dx   x  x  x  .   1  x 2 3 1 1 1 2 3 2 3   ln 1  x  dx  1  x  x  x  ... dx  x  x  x  ..   1  x 2 3 Jadi 1  x 2 2   3 5     ln  ln 1  x  ln 1  x  2 x  x  x  ...   1  x 3 5  





19/02/2016

Matematika 2





62

Deret Pangkat Contoh 4 Nyatakan

1

1 x

2

dalam deret pangkat

Jawaban

1

1 x2

adalah turunan dari 

1 1 x

sehingga

1   d  2 3 1  d 1  x  x  x  ... 23 1  x       1  2 x  3 x  4 x  .. 2 dx  1  x dx



19/02/2016

Matematika 2



63

Deret Taylor dan Maclaurin Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n di x = b dapat digambarkan sebagai suatu deret pangkat dari (x–b) yaitu ,

2 3         f x  a  a x  b  a x  b  a x  b  0 1 2 3

dimana nilai-nilai a0,a1,a2,…

diperoleh dari penurunan f(x) di

x = b sampai turunan ke-n, yaitu a0  f b a1  f a2 



b f ''  b  '

2!

 an  19/02/2016

f

n

b 

n!

Matematika 2

64

Deret Taylor dan Maclaurin Atau f(x) bisa dituliskan sebagai ' ' ' ' '    f b 2 f 3 '         b   f x  f b  f b x  b   x  b x  b 2 ! 3 ! n   f b n      x  b n !

Bentuk yang diperoleh di atas dikenal dengan bentuk polinomial taylor. Fungsi yang dapat diperderetkan dalam bentuk polinomial taylor, dinamakan deret taylor.

Bila b = 0, maka fungsi diperderetkan dalam deret maclaurin, yaitu

19/02/2016

' ' ' ' ' n       f 0 f 0 0 2 3 f n       f x  f 0  f 0 x  x  x    x 2 ! 3 ! n ! '

Matematika 2

65

Deret Taylor dan Maclaurin Contoh 1

ex Perderetkan fx Jawaban

ke dalam deret maclaurin

x     f x  e  f 0  1 ' x '     f x  e  f 0  1 

' ' x ' '     f x  e  f 0  1 ' ' ' x ' ' '     f x  e  f 0  1 n x n     f x  e  f 0  1 23 n x x  x  1  x      , x    Sehingga e 2 !3 ! n n !  0 x

19/02/2016

Matematika 2

66

Deret Taylor dan Maclaurin Contoh 2 2 x  1 Perderetkan f ke dalam deret Maclaurin / Taylor x e

Jawaban Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa 23 n  x x x e  1  x      , x    2 !3 ! n n !  0 x



Dengan mengganti x dengan 2x–1 maka diperoleh

perderetannya adalah 2 3     2 x  1 2 x  1   e 1  2 x  1     2 x  1

2 !

19/02/2016

Matematika 2

3 !

67

Deret Taylor dan Maclaurin Berikut adalah fungsi-fungsi yang diperderetkan ke dalam deret Maclaurin

3 5 7 2 n  1  x x x x n   sin x  x        1 , x     3 ! 5 ! 7 ! n 2 n  1 !  0 



2 4 6 2 n  x x x x n   , cos x  1        1 x     2 ! 4 ! 6 ! n 2 n !  0  2 3 4 n  1 x x x x n    , ln 1  x  x        1  1  x  1  2 3 4  1 n  0 n 3 5 7  2 n  1 x x x n  1 x   , tan x  x        1  1  x  1  3 5 7 n  1 n  0 2 



1 234 n  1  x  x  x  x   x ,x  1 1  x n  0 19/02/2016

Matematika 2

68

Deret Taylor dan Maclaurin Untuk memperderetkan suatu fungsi kedalam deret taylor atau maclaurin, dapat digunakan operasi-operasi deret pangkat seperti pada bagian sebelumnya, misal :

7  x3 x5 x dx    2 4 6  3 ! 5 ! 7 !   d Sin x x x x   Cosx   1    dx 2 ! 4 !6 ! dx



1

tan x 

1

2 4 6 dx  1  x  x  x   dx  2 1x

3 5 7 x xx  x    357 19/02/2016

Matematika 2

69

Soal Latihan A. Tentukan barisan-barisan berikut konvergen atau divergen 1.



3.

5.

19/02/2016





 n  2.  2  2n 1n1

 n n  sin   2 n  1 2   n  1

n1 4. ln  2   n n1

  1 n   2    2 n1







  n e cos nn  1 6.

n



2 

n    n ! n1

Matematika 2

70

Soal Latihan A (Lanjutan) 7.





 n   n  2  n1

e2n2en 8.  2n  e  6  n1 



9.

19/02/2016

n   1   1    n     n1



e   n  2 n1 n

11.



n  10.  n   4 n1

n n n  1

12.

Matematika 2

71

Soal Latihan A (Lanjutan) 13.





 n   1 1 14.   1 2   n 1   n  1



100n   2n   e n1

B. Tentukan deret berikut konvergen atau divergen ?

1.



ln n  n1 n 

3. 19/02/2016



2.

n  3 n 5n 4. n 13

1  n1 n n1  3n1



3 n1n 6

Matematika 2

72

Soal Latihan B. (lanjutan)  60n 5.  n1 n!



6.



7.

8.

cos n  3 n1 n

10.

n!2 2n  ! n1 2n2 



9.

19/02/2016

lnn  2n n1 e

n1





5n 2n  n! n1



1 n e

Matematika 2

73

Soal Latihan B. (lanjutan) 2  5sin n 11.  n! n1





13.

n4!  n 

12.

n1 4!n!4

1 tan n  3 n n1 

1

 1814.  n5 n  12

1 n1n1  



15.

19/02/2016

n  5 n1 n 2

16.

n  1

Matematika 2

3 n 2

74

Soal Latihan B. (lanjutan) 17.



1 e

n  n



18.

n 1





19.

3 n 1n 1 n

 

n 1

e



1  2 n1 3n n

20.





21.

19/02/2016

n

1  n  n1 3

2 cos n5  5 22. n n 1

3

n1

Matematika 2

1 6n2n

75

Soal Latihan B. (lanjutan) n  3n2  24. 23.  n1 2n1





n1

1 n5

C. Uji kekonvergenan deret-deret berikut, dan tentukan 

konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen 

1.

2. 19/02/2016

 1

n  1



4n

n1

n5



1 3. 3n

n  1



n  2  3 n  1  

1  n 1  

n  1

n

ncos n  2 n 1 n 1 

4.

Matematika 2

76

Soal Latihan D. Cari interval kekonvergenan deret pangkat berikut

1.

1nxn  

n0

n!



4. n

n

n  1

x3n  n

19/02/2016

n0

2



xn ln n n  1 nx

2

n  0

n1





3.

 n2

 x  1 n  1 5.    1  

2.



6.

n! n  nx n0 2

Matematika 2

77

Soal Latihan D. (Lanjutan)



2 3 4 x x x 7. x 8.   2 34

2 3     x  3 x  3   1  x  3    

2 4 6 x x x 1      9. 10. 2 ! 4 ! 6 !

2 3      1 2 x  3 4 x  3 8 x  3      3 4 5 6

2 !

3 !

E. Perderetkan fungsi berikut dalam deret pangkat 1.

19/02/2016

 fx ln x

2.

e3x fx

Matematika 2

78

Soal Latihan E. (Lanjutan) 3.

xe fx

5.

 1 2 6. fx 1  4x

x

4.

1 fx 1x

  f x  x ln 1  x



7.

2 f x sin x 8.

x2 f x 13x

9.

1  3 x  fx e

  f x x ln 3 x

19/02/2016

10.

Matematika 2

79