BARISAN DAN DERET
05/12/2016
Matematika Teknik 1
1
BARISAN Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat – sifat barisan Barisan Monoton
05/12/2016
Matematika Teknik 1
2
Barisan Tak Hingga Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan −bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli. Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam bentuk a1,a2,…,an. a1 menyatakan suku ke–1, a2 menyatakan suku ke–2 dan an menyatakan suku ke–n.
Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga adalah
an n1 Matematika Teknik 1
3
Barisan Tak Hingga Contoh − contoh barisan Barisan
2, 4, 6, 8, ... Bisa dituliskan dengan rumus
Barisan 1 2 3 4 , , , , ... 3 4 5 6
2n
n1
Bisa dituliskan dengan rumus
n 2 n n1
Penentuan an tidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba–coba. 05/12/2016
Matematika Teknik 1
4
Kekonvergenan barisan tak hingga Suatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila
lim aL n n atau
0 N 0 n N , a L n { untuk setiap epsilon positif terdapat N positif sedemikian hingga untuk n lebih besar atau sama dengan N, selisih antara
an
dan
L akan kurang epsilon}
05/12/2016
Matematika Teknik 1
5
Kekonvergenan barisan tak hingga Contoh 1 Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
2 n n1n1
Jawaban Karena
2 n lim n n 1
n divergen maka n 1 n1 2
05/12/2016
Matematika Teknik 1
6
Kekonvergenan barisan tak hingga Contoh 2 Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
n n e n1 2
Jawaban Karena
n2 lim merupakan bentuk tak tentu maka untuk n n e
menyelesaikannya digunakan teorema berikut :
f n L f x Lmaka lim Misal a ,bila lim fn n n x untuk x R. 05/12/2016
Matematika Teknik 1
7
Kekonvergenan barisan tak hingga Jawaban (lanjutan) 2 x Jadi f x dan dengan menggunakan dalil L’hopital maka x e 2 x 2x 2 lim x lim limx0 x x e x e x e
n2 0 . Berdasarkan teorema maka lim n n e Karena nilai limitnya menuju 0, maka
n n e n1 2
Konvergen menuju 0. 05/12/2016
Matematika Teknik 1
8
Kekonvergenan barisan tak hingga Contoh 3 Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
1 cos n n n 1 Jawaban Bentuk dari suku −suku barisannya merupakan bentuk ganti tanda akibat dari nilai cos n, untuk n ganjil tandanya − , untuk n genap
cos n tidak ada tetapi minimal bernilai –1 dan tandanya +. Nilai lim n 1
maksimal bernilai 1. Sedangkan lim 0akibatnya untuk n nilai n 1 n , .cos n akan mendekati nol. Jadi deret konvergen menuju 0.
n
05/12/2016
Matematika Teknik 1
9
Sifat – sifat barisan Misal {an} dan {bn} barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu konstanta, maka
kk 1. lim n k a k lim a 2. lim n n n n
a b lim a lim b 3. lim n n n n n n n a b lim a lim b 4. lim nn n n nn n lim a a n n n ,lim b 0 5. lim n n n b lim b n n n 05/12/2016
Matematika Teknik 1
10
Barisan Monoton Kemonotonan barisan {an} dapat dikelompokkan menjadi 4 macam : 1. Monoton naik bila 2. Monoton turun bila
an an1 an an1
3. Monoton tidak turun bila
4. Monoton tidak naik bila
05/12/2016
an an1 an an1
Matematika Teknik 1
11
Deret Tak Hingga Deret tak hingga merupakan jumlahan dariann1yaitu a1+a2+…+an .
Notasi deret tak hingga adalah
n1
an .
Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan barisan jumlahan parsial yaitu ,
lim S n
n
,dimana :
S1 a1 S a a 2 1 2 S a a a 3 1 2 3 S a a a ... a n 1 2 3 n Dan 05/12/2016
S S , S , ..., S , .... n 1 2 k n 1 Matematika Teknik 1
12
Deret Tak Hingga Contoh Selidiki apakah deret
1 1 k k 1 k 1
konvergen ?
Jawaban
1 n S 1 n n 1n 1 n Karena lim S lim 1 , maka n n n n 1
1 1 k k1
k1
adalah deret
konvergen yaitu konvergen menuju 1. Penentuan Sn dari suatu
deret juga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba – coba.
05/12/2016
Matematika Teknik 1
13
Deret Suku Positif Sebuah
a disebut deret suku positif, bila semua sukun1
n
sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang sering digunakan : 1. Deret geometri 2. Deret harmonis 3. Deret-p Deret–p akan dibahas secara khusus dalam uji integral
05/12/2016
Matematika Teknik 1
14
Deret Suku Positif Deret geometri Bentuk umum :
a r a a r a r a r ... a r .... k 1
2 3
n 1
k 1
Proses menentukan rumusan Sn adalah sebagai berikut : 2 3 n 1 S a a r a r a r ... a r n 2 3 n 1 n r S a r a r a r ... a r a r n
n Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa S r S a a r n n
sehingga
a1r untuk r 1. Kekonvergenan dari deret geometri 1r
.S n
n
bergantung pada nilai r.
05/12/2016
Matematika Teknik 1
15
Deret Suku Positif Deret geometri(lanjutan) Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret geometri : –Bila r = 1, maka Sn= na sehingga lim , sehingga deret na n
divergen –Bila | r |<1, maka lim , sehingga deret konvergen ke rn 0 n
a 1 r
–Bila | r | >1, maka lim , sehingga deret divergen rn n
05/12/2016
Matematika Teknik 1
16
Deret Suku Positif Deret harmonis Bentuk umum :
1 n 1 n
Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari Sn nya, yaitu
1 1 1 1 1 1 1 1 S 1 .... n 2 3 4 5 6 7 8 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .... .... 2 3 4 5 6 7 8 9 16 05/12/2016
Matematika Teknik 1
17
Deret Suku Positif Deret harmonis (lanjutan)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 1 .... ... n 2 2 4 4 8 8 8 8 16 16 1111111 1 1 .... 2222222 2 n 1 2 n Karena, maka lim . Sehingga deret harmonis divergen. 1 n 2
05/12/2016
Matematika Teknik 1
18
Kedivergenan Deret Tak Hingga Bila
deret
an
n 1
konvergen,
maka lim . a 0 n n
kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah Bila lim ,maka deret a 0 n n
a n akan divergen.
n 1
Bila dalam perhitungan limit an–nya diperoleh nol, maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu
dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif.
05/12/2016
Matematika Teknik 1
19
Kedivergenan Deret Tak Hingga Contoh Periksa apakah
n konvergen ? 2 n 1 n1
Jawaban
n 1 1 lim a lim lim 0 n 1 2 n 1 n n n 2 2 n
n n12n1
Jadi
05/12/2016
divergen
Matematika Teknik 1
20
Uji Deret Positif 1. Uji integral 2. Uji Banding
3. Uji Banding limit 4. Uji Rasio
5. Uji Akar 05/12/2016
Matematika Teknik 1
21
Uji Deret Positif Uji integral Misal
a n merupakan deret suku positif dan monoton turun,
n 1
, maka integral tak wajar dari f(x) dimana a f n n B n
adalah
b
1
1
. x dx lim f x dx f b
Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau tidak ada, maka deret divergen. Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada), maka deret konvergen.
05/12/2016
Matematika Teknik 1
22
Deret Suku Positif Contoh 1: Uji Integral Deret–p Bentuk umum :
1 p n1 n
Kalau diperhatikan maka deret harmonis sebenarnya juga merupakan deret–p dengan p=1. Kekonvergenan deret p akan
bergantung pada nilai p. Untuk menentukan pada nilai p berapa deret konvergen atau divergen, digunakan integral tak wajar yaitu
1 n
Misal a p fn n
1 . p x
maka f x
Selanjutnya nilai f(x) tersebut di integralkan dengan batas 1 sampai . 05/12/2016
Matematika Teknik 1
23
Deret Suku Positif Deret–p (lanjutan) Integral tak wajar dari f(x) adalah 1 b 1
1pb
1 p x b 1 dx lim dx lim lim p p b 1 p 1 p1 p b 1 x 1x 1 b
Kekonvergenan deret–p ini akan tergantung dari nilai integral tak wajar
tersebut. Bila integralnya konvergen maka deretnya juga konvergen. Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga akan divergen.
05/12/2016
Matematika Teknik 1
24
Deret Suku Positif Deret–p (lanjutan) Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut : – Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen – Bila 0 p<1, maka divergen
1 p b 1 lim ,sehingga deret b 1 p1 p
– Bila p>1, maka
,
1 p 1 1 1 b 1 lim lim p 1 p 1 p 1 1 p1 p b b p 1 b
sehingga deret konvergen. 05/12/2016
Matematika Teknik 1
25
Uji Deret Positif Contoh 2
Tentukan kekonvergenan deret
n2
1 n lnn
Jawaban Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji
integral yaitu : 1 Misal a , maka f n n n ln n Perhitungan integral tak wajar :
2
05/12/2016
1 f(x) xln x
b
1 1 b dx lim dx lim ln ln x 2 b xln x xlnx b
2
Matematika Teknik 1
26
Uji Deret Positif Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka integral
tak wajarnya divergen. Sehingga deret divergen.
05/12/2016
Matematika Teknik 1
n2
1 n lnn
juga
27
Uji Deret Positif Uji Banding Bila untuk n N, berlaku bn an maka
a. Bila bn
konvergen, maka an juga konvergen
b. Bila an
divergen, maka bn
n 1
n 1
n 1
juga divergen
n 1
Jadi pada uji banding ini, untuk menentukan kekonvergenan suatu
deret,
bila
menggunakan
sifat
a
maka
deret
pembandingnya adalah yang bersifat konvergen. Sedangkan bila menggunakan sifat nomor 2 maka deret pembandingnya adalah yang bersifat divergen. 05/12/2016
Matematika Teknik 1
28
Uji Deret Positif Contoh 1 Uji kekonvergenan
Jawaban
n1
1 n2
Dalam uji banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih yang paling mirip dengan deret yang akan diuji.
Dapat dipilh
1 n1 3 n
Karena
sebagai deret pembanding.
1 1 dan n 2 3n
n1
1 3 n
merupakan deret
p yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga divergen 05/12/2016
Matematika Teknik 1
29
Uji Deret Positif Contoh 2
3
Uji kekonvergenan n2 5 n1 Jawaban
3 Dengan uji banding, digunakan deret pembanding 2 n1 n 3 3 3 2. Karena 2 merupakan deret dimana 2 n 5 n n1 n konvergen, maka
05/12/2016
,
3 juga konvergen. 2 n1 n 5
Matematika Teknik 1
30
Uji Deret Positif Contoh 3 Uji kekonvergenan
n 1
tg 1n n2
Jawaban 1 Karena untuk n , tg n
, maka deret pembanding yang 2 1 tg n 2 2 digunakan adalah 2 .Karena dan 2 2 n2 n2 n1 n n1 n
merupakan deret konvergen, maka
n 1
05/12/2016
Matematika Teknik 1
tg 1n juga konvergen n2 31
Uji Deret Positif Uji Banding Limit Misal
an
n1
dan
bn
n 1
, merupakan deret suku positif dan
an berlaku , lim L n b n – Bila 0 < L < , maka kedua deret bersama-sama konvergen atau bersama-sama divergen – Bila L = 0, dan
juga konvergen – Bila L = dan juga divergen 05/12/2016
bn adalah deret konvergen, maka
n 1
bn
n 1
adalah deret divergen maka
Matematika Teknik 1
an.
n1
an.
n1
32
Uji Deret Positif Contoh 1 2 n Uji kekonvergenan deret 3 2 n n 3 n 15
Jawaban 2 1 n dan Deret pembanding yang digunakan adalah 3 n n n n 15 15 diketahui sebagai deret divergen ( sebagai bn ).
3
n 1
5 n L lim 1 dan deret pembandingnya . 3 2 n 5 n n 3 2 n divergen, maka . juga divergen. 3 2 n n 3 n 15
Karena
05/12/2016
Matematika Teknik 1
33
Uji Deret Positif Contoh 2
Uji kekonvergenan deret
i1
1 n2 5
Jawaban Deret pembanding yang digunakan adalah
n 1
diketahui sebagai deret divergen (deret harmonis). 2 2 n n Karena . L lim lim 1 2 2 n n n 1 n 5 pembandingnya divergen, maka kedua deret
1
1 dan 2 1 n n n dan deret
bersama-sama
divergen . 05/12/2016
Matematika Teknik 1
34
Uji Deret Positif Uji Rasio Misal
an
a n a n
merupakan deret suku positif dan limn1
n1
maka berlaku
– Bila <1, maka deret konvergen – Bila >1, maka deret divergen – Bila =1, maka uji gagal
05/12/2016
Matematika Teknik 1
35
Uji Deret Positif Contoh Uji kekonvergenan deret
i 1
Jawaban
n2 n!
2 2 ( n 1 ) n ! ( n 1 ) lim lim 0 Dengan uji rasio diperoleh 2 2 n n ( n 1 ) ! n ( n 1 ) n 2 n Karena = 0 < 1 , maka n konvergen. i 1 n !
05/12/2016
Matematika Teknik 1
36
Uji Deret Positif Uji Akar
Misal an n1
n lim a merupakan deret suku positif dan r , n n
maka berlaku
– Bila r < 1, maka deret
an konvergen
n1
– Bila r > 1, maka deret an divergen n1
– Bila r = 1, maka uji gagal
05/12/2016
Matematika Teknik 1
37
Uji Deret Positif Contoh
Uji kekonvergenan deret
2n en
i 1
Jawaban
Dengan uji akar diperoleh
2 r 1 , maka Karena e
05/12/2016
n 2 2 n rlim n e n e
n
i 1
2n e
n
Matematika Teknik 1
konvergen.
38
Uji Deret Positif Panduan Pemilihan uji deret Bila deret suku berbentuk rasional (fungsi polinom) maka dapat dipilih uji banding atau uji banding limit Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pangkat n Bila uji – uji diatas tidak dapat digunakan dan suku –
sukunya monoton turun maka dapat dipilih uji integral
05/12/2016
Matematika Teknik 1
39
Deret Ganti Tanda Uji-uji kekonvergenan deret positif hanya digunakan untuk menguji deret-deret positif. Sedangkan untuk deret-deret yang suku-sukunya berganti-ganti tanda, yaitu berbentuk .a dengan a a a ... an> 0 untuk semua n dilakukan uji 1 2 3 4 tersendiri. Notasi deret ganti tanda adalah
(1) an . n1
i1
Deret ganti tanda dikatakan konvergen, bila a. b. 05/12/2016
0 a a n 1 n lim a 0 n
atau .
n ( 1 ) an i1
(monoton tak naik)
n
Matematika Teknik 1
40
Deret Ganti Tanda Contoh Tentukan kekonvergenan deret
3 n 1 n 1
n 1
n n 1
Jawaban
3 n 1 n 1
merupakan deret ganti tanda n n 1 n 1 n3 a dengan rumus suku ke–nnya adalah n . nn1 Deret akan konvergen bila memenuhi dua syarat berikut : a.
.n 0 a a n 1
lim a 0 n b. Nilai n
05/12/2016
Matematika Teknik 1
41
Deret Ganti Tanda a.
b.
n 4 n 3 0 n n n n 1 2 1 a n 4n n 1 n 1 1 n a n 1 n 2 3 n
2 a n n 4 n 4 n n 1 1 2 a n 2 n 3 n 5 n 6 n an1 1 Karena jadi {an} adalah monoton tak naik. an n 3 lim a lim 0 n n n n n 1
Karena kedua syarat dipenuhi maka deretnya konvergen.
05/12/2016
Matematika Teknik 1
42
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Deret
a a a a dikatakan konvergen n 1 2 3
n 1
mutlak, bila deret mutlak
a a a | a | konvergen n 1 2 3
n 1
(suku an bisa berupa suku positif atau tidak).
Hal tersebut tidak berlaku sebaliknya. Tetapi bila divergen, maka
.an juga divergen.
n1
Kovergen bersyarat terjadi bila divergen.
05/12/2016
an
n 1
n 1
n1
an konvergen tetapi an
Matematika Teknik 1
43
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 1
cos n konvergen mutlak atau bersyarat ? 3 n n1
Tentukan apakah Jawaban
cos n Deret mutlaknya adalah . Dengan menggunakan uji 3 1 n n 1
banding, dimana deret pembandingnya adalah 3 maka n1 n cos n 1 diperoleh bahwa 3untuk semua nilai n. 3 cos 1 n n n Karena 3 merupakan deret konvergen, maka 3 n n1 n cos n 1 n konvergen mutlak. juga konvergen. Sehingga n1
05/12/2016
n3
Matematika Teknik 1
44
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 2
2n Tentukan apakah 1 konvergen mutlak atau n! n 1 bersyarat ?
n
Jawaban Deret mutlaknya adalah
2n . n!
n 1 2 n ! 2 lim lim Dengan uji rasio diperoleh .0 n n !2 n 1 n 1 n n
Karena =0<1, maka
n1
2n Sehingga 1 n! n 1
05/12/2016
n
n1
2 konvergen. n!
konvergen mutlak.
Matematika Teknik 1
45
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 3 Tentukan apakah Jawaban
n 1 1 konvergen mutlak atau bersyarat ?
n
n 1
1 yang merupakan deret divergen. n 1 n Pengujian kekonvergenan deret ganti tanda Deret mutlaknya adalah
a a a. 0 n 1 n(monoton tak naik) 1 1 benar Diperoleh bahwa 0 n1 n b. Jadi deret ganti tandanya konvergen. Karena deret ganti tandanya konvergen sedangkan deret 1 lim a lim 0konvergen bersyarat mutlaknya divergen maka n n n n . 05/12/2016 Matematika Teknik 1 46
Uji rasio untuk kekonvergenan mutlak
an1 a deret dengan suku tak nol dan , n rlim n a n1 n tiga kondisi yang mungkin terjadi adalah :
Misal • • •
an konvergen mutlak
Bila r<1, maka Bila r>1, maka
n1
an
divergen
n1
Bila r=1, pengujian gagal ( tidak dapat disimpulkan)
Konvergen bersyarat tidak bisa ditentukan oleh uji rasio ini. .
05/12/2016
Matematika Teknik 1
47
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 1
Tentukan apakah divergen?
3 nn 1 n
n1
konvergen mutlak atau
e
Jawaban Dengan uji rasio mutlak diperoleh : 3n n 1 e
n13
r limn lim 3 1 3 n e n n ne 1 Karena r 1, maka e 05/12/2016
3 nn 1 n
n1
Matematika Teknik 1
e
1 e
konvergen mutlak. 48
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Contoh 2 Tentukan apakah 1nn! konvergen mutlak atau divergen? n 2 n 1 Jawaban Dengan uji rasio mutlak diperoleh :
n n !2 1
n1 r limn lim 1 n ! n n 2 2
! nn Karena r > 1, maka 1 n divergen . n 1
05/12/2016
2
Matematika Teknik 1
49
Deret Pangkat Bentuk umum :
an x n a0 a1 x a2 x 2 ... an x n ...
an x b a0 a1 x b a2 x b ... an x b ...
n 0
n 0
n
2
n
Contoh deret pangkat
1.
n 0
2. 3.
1 n 0
n 0
05/12/2016
x n 1 x x 2 ... x n ... n
x 2n x2 x4 x6 1 ... 2 n ! 2! 4! 6!
x 1n
1 x 1 x 1 ... n2 2 4 5 2
Matematika Teknik 1
50
Deret Pangkat Pada deret pangkat ini, kalau diperhatikan terdapat dua variabel,
yaitu n dan x. Untuk n , nilainya dari 0 sampai , sedangkan nilai x dapat dicari dengan uji rasio untuk kekonvergenan mutlak, yaitu pada saat r < 1.
Interval nilai x yang memenuhi kekonvergenan dari deret maupun
anxb disebut interval kekonvergenan. n
an xn
n0
n 0
Bentuk interval kekonvergenan dari deret pangkat ini memiliki
ciri khusus dan hanya memiliki 3 variasi bentuk untuk masing – masing deret. 05/12/2016
Matematika Teknik 1
51
Deret Pangkat Tiga kemungkinan untuk interval kekonvergenan deret adalah :
Selang konvergensi untuk deret • • •
an xn
n0
Deret konvergen hanya di x = 0 Deret konvergen mutlak di x R Deret konvergen mutlak pada interval buka (–r,r) atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya.
Selang konvergensi untuk deret • • •
05/12/2016
anxb
n
n 0
Deret konvergen hanya di x = b Deret konvergen mutlak di x R Deret konvergen mutlak pada interval buka (b–r,b+r) atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya. Matematika Teknik 1
52
Deret Pangkat Contoh 1
Tentukan interval kekonvergenan deret
n 0
Jawaban
xn n!
Pengujian dengan uji rasio mutlak : n 1 x n ! r lim n n !x n 1
x lim 0 n n 1
Deret akan konvergen untuk semua nilai x
Atau x R
05/12/2016
Matematika Teknik 1
53
Deret Pangkat Contoh 2
Tentukan interval kekonvergenan deret
n! xn
n0
Jawaban Pengujian dengan uji rasio mutlak :
n 1 x n 1 ! lim x n1 r lim n n n n ! x
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah x = 0 agar r < 1. Jadi deret konvergen untuk x = 0
05/12/2016
Matematika Teknik 1
54
Deret Pangkat Contoh 3 n x n Tentukan interval kekonvergenan deret n 1 3 n 1 n 0 Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak : n 1 n x 3 n 1 xn 1 x r lim lim .11 n 1 n 3n 2 3 n n x 3 n 2
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah –3 < x < 3. Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah. 05/12/2016
Matematika Teknik 1
55
Deret Pangkat Pengujian deret pada saat x = 3 dan x = 3 adalah sebagai berikut :
1 Deret ini n0 n1 diketahui sebagai deret harmonis yang divergen . 1 n 1 dengan • Saat x = 3 deretnya menjadi n 1 n 0 uji deret ganti tanda diketahui bahwa deret ini konvergen. n x n Jadi interval kekonvergenan deret adalah n 1 3 n 1 n 0 •
Saat x = -3 deretnya menjadi
3 x 3
05/12/2016
Matematika Teknik 1
56
Deret Pangkat Contoh 4
Tentukan interval kekonvergenan deret Jawaban
x5n
n1
n2
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
n 1 2 2 x 5 n n r lim 2 lim x 52 x 5 .1 1 n n n n 1 x 5 n 2 n 1
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah 4 < x < 6. Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah. 05/12/2016
Matematika Teknik 1
57
Deret Pangkat Pengujian deret pada saat x = 4 dan x = 6 adalah sebagai berikut : •
Saat x = 4 deretnya menjadi
1 . 2 n0 n
1n n1
.
Saat x = 6 deretnya menjadi
n 1
deret-p yang diketahui konvergen. Jadi interval kekonvergenan deret
4 x 6 05/12/2016
1 n2
karena
konvergen maka deret ganti tandanya juga
konvergen.
•
n2
x5n
n1
Matematika Teknik 1
1
2
n
yang merupakan adalah
58
Operasi-operasi deret pangkat 1. Operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan, pembagian, dan substitusi 2. Turunan deret :
n n 1 D a x na x x n n n 0 1 n 3. Integral deret :
a a x dx a x dx x C n 1 n n n 1 n n n n 0 n 0 n 0
05/12/2016
Matematika Teknik 1
59
Deret Pangkat Deret geometri
an = 1 .
x n adalah contoh deret pangkat x dengan
n 1
Dengan menggunakan rumus jumlah takhingga deret geometri, maka diperoleh
1 23 1 x x x ... 1 x
x 1
Secara umum x bisa diganti dengan U dimana U adalah fungsi
yang memuat x.
1 23 1 u u u ... 1 u 05/12/2016
Matematika Teknik 1
u 1 60
Deret Pangkat Contoh 1 Nyatakan Jawaban
1 1 x
dalam deret pangkat
1 1 x 1 x 1
x x 1
Dengan menggunakan deret geometri
1 1 23 1 x x x ... x 1 x 1 x 1
05/12/2016
Matematika Teknik 1
61
Deret Pangkat Contoh 2 Nyatakan
x 1 x
dalam deret pangkat
Jawaban Dengan menggunakan jawaban sebelumnya
x x 2 3 2 3 4 x 1 x x x ... x x x x ... 1 x 1 x
05/12/2016
Matematika Teknik 1
62
Deret Pangkat Contoh 3
1x Nyatakan ln dalam deret pangkat 1x
Jawaban 1 x ln ln 1 x ln 1 x 1 x 1 1 1 2 3 2 3 ln 1 x dx 1 x x x ... dx x x x . 1 x 2 3 1 1 1 2 3 2 3 ln 1 x dx 1 x x x ... dx x x x .. 1 x 2 3 Jadi 1 x 2 2 3 5 ln ln 1 x ln 1 x 2 x x x ... 1 x 3 5
05/12/2016
Matematika Teknik 1
63
Deret Pangkat Contoh 4 Nyatakan
1 dalam deret pangkat 2 1 x
Jawaban
1 1 x2
adalah turunan dari
1 1 x
sehingga
1 d 2 3 1 d 1 x x x ... 23 1 x 1 2 x 3 x 4 x .. 2 dx dx 1 x
05/12/2016
Matematika Teknik 1
64
Deret Taylor dan Maclaurin Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n di x = b dapat digambarkan sebagai suatu deret pangkat dari (x–b) yaitu ,
2 3 f x a a x b a x b a x b 0 1 2 3
dimana nilai-nilai a0,a1,a2,…
diperoleh dari penurunan f(x) di
x = b sampai turunan ke-n, yaitu a0 f b a1 f a2
b f '' b '
2!
an 05/12/2016
f
n
b
n!
Matematika Teknik 1
65
Deret Taylor dan Maclaurin Atau f(x) bisa dituliskan sebagai ' ' ' ' ' f b 2 f 3 ' b f x f b f b x b x b x b 2 ! 3 ! n f b n x b n !
Bentuk yang diperoleh di atas dikenal dengan bentuk polinomial taylor. Fungsi yang dapat diperderetkan dalam bentuk polinomial taylor, dinamakan deret taylor. Bila b = 0, maka fungsi diperderetkan dalam deret maclaurin, yaitu 05/12/2016
' ' ' ' ' n f 0 f 0 0 2 3 f n f x f 0 f 0 x x x x 2 ! 3 ! n ! '
Matematika Teknik 1
66
Deret Taylor dan Maclaurin Contoh 1
ex ke dalam deret maclaurin Perderetkan fx Jawaban x f x e f 0 1 ' x ' f x e f 0 1
' ' x ' ' f x e f 0 1 ' ' ' x ' ' ' f x e f 0 1 n x n f x e f 0 1 23 n x x x 1 x , x Sehingga e 2 ! 3 ! n n ! 0 x
05/12/2016
Matematika Teknik 1
67
Deret Taylor dan Maclaurin Contoh 2 2 x 1 Perderetkan f ke dalam deret Maclaurin / Taylor x e
Jawaban Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa 23 n x x x e 1 x , x 2 !3 ! n n ! 0 x
Dengan mengganti x dengan 2x–1 maka diperoleh perderetannya adalah 2 3 2 x 1 2 x 1 e 1 2 x 1 2 x 1
2 !
05/12/2016
Matematika Teknik 1
3 !
68
Deret Taylor dan Maclaurin Berikut adalah fungsi-fungsi yang diperderetkan ke dalam deret Maclaurin
3 5 7 2 n 1 x x x x n sin x x 1 , x 3 ! 5 ! 7 ! n 2 n 1 ! 0
2 4 6 2 n x x x x n , cos x 1 1 x 2 ! 4 ! 6 ! n 2 n ! 0 2 3 4 n 1 x x x x n , ln 1 x x 1 1 x 1 2 3 4 1 n 0 n 3 5 7 2 n 1 x x x n 1 x , tan x x 1 1 x 1 3 5 7 n 1 n 0 2
1 234 n 1 x x x x x ,x 1 1 x n 0
05/12/2016
Matematika Teknik 1
69
Deret Taylor dan Maclaurin Untuk memperderetkan suatu fungsi kedalam deret taylor atau maclaurin, dapat digunakan operasi-operasi deret pangkat seperti pada bagian sebelumnya, misal :
7 x3 x5 x dx 2 4 6 3 ! 5 ! 7 ! d Sin x x x x Cosx 1 dx 2 ! 4 !6 ! dx
1
1
2 4 6 dx tan x 1 x x x dx 2 1x 3 57 x xx x 357 05/12/2016
Matematika Teknik 1
70
Soal Latihan A. Tentukan barisan-barisan berikut konvergen atau divergen
1.
n 2. 2 2n 1n1
n n sin 2 n 1 2 n 1
3.
n1 4. ln 2 n n1
1 n 2 2 n1
5.
05/12/2016
n e cos n n 1 6.
n
2
n n ! n1 Matematika Teknik 1
71
Soal Latihan A (Lanjutan) 7.
n n 2 n1
e2n2en 8. 2n e 6 n1
9.
n 10. n 4 n1
11.
e n 2 n1 n
05/12/2016
n 1 1 n n1
12.
n n n 1
Matematika Teknik 1
72
Soal Latihan A (Lanjutan) 13.
n 1 1 14. 1 2 n 1 n 1
100n 2n e n1
B. Tentukan deret berikut konvergen atau divergen ? 1.
ln n n1 n
3. 05/12/2016
2.
n 3 n 5n 4. n 13
1 n1 n n1 3n1
3 n1n 6 Matematika Teknik 1
73
Soal Latihan B. (lanjutan) 60n 5. n1 n!
7.
5n 2n n! n1
6.
n1
8.
cos n 3 n1 n
10.
n!2 2n ! n1 2n2
9.
05/12/2016
lnn 2n n1 e
1 n e
Matematika Teknik 1
74
Soal Latihan B. (lanjutan) 2 5sin n 11. 12. n! n1
13.
1 1814. n5 n 12
n4! n
n1 4!n!4
1 tan n 3 n1 n
15.
05/12/2016
n 5 n1 n 2
1 n1n1
16.
Matematika Teknik 1
n 1
3 n 2
75
Soal Latihan B. (lanjutan) 17.
1 e
n n
18.
n 1
19.
21.
05/12/2016
3 n 1n 1 n
n 1
e
2 cos n5
n 1
5
n
20.
1 n n1 3
1 2 n1 3n n
22.
n
3
n1
Matematika Teknik 1
1
6n2n
76
Soal Latihan B. (lanjutan) n 3n2 24. 23. n1 2n1
n1
1 n5
C. Uji kekonvergenan deret-deret berikut, dan tentukan
konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen
1.
2. 05/12/2016
1
n 1
4n
n1
n5
1 3. 3 n
n 1
n 2 3 n 1
1 n 1
n 1
n
ncos n 2 1 n 1 n
4.
Matematika Teknik 1
77
Soal Latihan D. Cari interval kekonvergenan deret pangkat berikut 1.
1nxn
n0
2.
n!
x 1 n 1 5. 1 n
x3n n
n0
2
xn ln n
n 1 nx
2
n 0
n 1
05/12/2016
n2
4. n
n 1
3.
6.
n! n nx n0 2
Matematika Teknik 1
78
Soal Latihan D. (Lanjutan)
2 3 4 x x x 7. x 8. 234
2 3 x 3 x 3 1 x 3
2 4 6 x x x 1 9. 10. 2 ! 4 ! 6 !
2 3 1 2 x 3 4 x 3 8 x 3 34 5 6
2 !
3 !
E. Perderetkan fungsi berikut dalam deret pangkat
1.
05/12/2016
fx ln x
2.
e3x fx
Matematika Teknik 1
79
Soal Latihan E. (Lanjutan)
1 fx 1x
3.
xe fx
5.
1 2 6. fx 1 4x
f x x ln 1 x
7.
2 f x sin x 8.
x2 f x 13x
9.
1 3 x fx e
f x x ln 3 x
x
4.
05/12/2016
10.
Matematika Teknik 1
80
Deret Laurent
Contoh 1. Tentukan deret Laurent dari fungsi f z untuk 0 z 1 2 Penyelesaian : f z diuraikan menjadi : 1 3 1 f z 2( z 1) 2 z 3 1 1 3 2 z 1 z 3 Daerah yang memenuhi : z 1 z 1 2 0 2
z 1 0 z 1 0
z
z 1z 3
Bentuk Laurent yang memenuhi daerah di atas dari 3 3 3 z 3 z 1 2 2 z 1 n
3 3 z 1 2 n 0 2 z 1 21 2 Jadi deret Laurent di f(n) di atas adalah n 1 3 z 1 1 f z 2 z 1 2 2 n 0
1 3 z 1 2z 1 4 n0 2
n
1 3 3 z 1 2z 1 4 4 n1 2
n
Contoh 2. Tentukan deret Laurent dari
e2z ( z 1) 3
; z=1
Penyelesaian : Misal z – 1 = u maka z = u + 1 e2z e 21u 3 u3 z 1
e 2 2u 3 e u 2 3 e2 2u 2u 3 1 2u ... 2! 3! u e2 2e 2 2e 2 4e 2 ... 3 2 z 1 z 1 z 1 3 Deret konvergen untuk setiap nilai z 1
