MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS

MATEMATIKA TEKNIK 1

3 SKS

TEKNIK ELEKTRO

UDINUS

1

BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real ℝ saja kita tidak dapat menyelesaikan persamaan x2 +1=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru. Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan kompleks.

2

BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA Definisi 1 Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk: a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 = –1. Notasi Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z). 3

OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS DEFINISI 2

Bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan bilangan kompleks z2=x2+iy2 dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika x1=x2 dan y1=y2. DEFINISI 3 Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2 jumlah dan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb: z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2) z1 • z2 = (x1x2 –y1y2) + i(x1y2+x2y1) 4

Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂ

Jadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }. Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ⊂ℂ . Jika Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dan dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner murni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuan

imajiner.

5

Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks

Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian (ℂ ,+,•) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3 adalah sebagai berikut: 1. z1+z2∈ℂ dan z1•z2∈ℂ . (sifat tertutup) 2. z1+z2= z2+z1 dan z1•z2= z2•z1 (sifat komutatif) 3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3) (sifat assosiatif) 4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distribtif) 5. Ada 0=0+i0∈ℂ , sehingga z+0=z (0 elemen netral penjumlahan)

6

6. Ada 1=1+i0∈ℂ , sehingga z•1=z (1elemen netral perkalian 7. Untuk setiap z=x+iyℂ, ada –z=–x–iy) sehingga z+(–z)=0 8. Untuk setiap z=x+iyℂ, ada z-1=sehingga z•z-1=1. Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 – 8 menggunakan definsi yang telah diberikan.

7

Contoh soal: 1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2, buktikan bahwa: z1 – z2= (x1 – x2)+i(y1 – y2) 2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.

z1 tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2, dan z 2

8

Kompleks Sekawan Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis z, didefinisikan sebagai = (x,–y) = x – iy. Contoh: sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawan dari 5i adalah –5i. Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut : 9

Teorema 1 : a. Jika z bilangan kompleks, maka : 1.

zz

2.

z  z  2 Re(z)

3.

z  z  2 Im(z)

4.

z  z  Re(z)2  Im(z)2

10

b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka : 1. z1  z2  z1  z2 z1  z2  z1  z2 2. z1  z2  z1  z2 3.  z1   z1 z  z 4.  2  2 , dengan z2≠0.

11

Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.

12

Im

 z(x, y) z

O

Bidang Argan

Re

13

Im

z1  z2

z1

z2

O

Re

14

Im z2

z1 Re

O  z2

z1  z2

15

Tugas :



Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i. Gambarkan pada bidang kompleks (bidang argand), z1, z2, z1+ z2, z1- z2,

z1, z2, z1  z2, z1  z2

16

Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks Definisi 4 :

Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus dari z, ditulis z = x+iy = x 2  y2 Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak

dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2 adalah

(x1  x2 )2  (y1  y2 )2

17

Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif, maka z – z1 = r merupakan lingkaran yang berpusat di titik z1 dengan jari-jari r.

Bagaimanakah dengan z – z1 < r dan z – z1 > r Gambarkanlah pada bidang z.

18

Teorema 2 : A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :

1.

z 2  Re(z)2  Im(z)2

2.

zz

3.

z2  zz

4. 5.

z  Re(z)  Re(z) z  Im(z)  Im(z)

19

B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :

1.

z1  z2  z1  z2

2.

z1 z1  z2 z2

3.

z1  z2  z1  z2

4.

z1  z2  z1  z2

5.

z1  z2  z1  z2

Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z = x+iy, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B !

20

1. Bukti:

z1  z2  z1  z2

z1  z2  (x1  iy1)  (x2  iy2)

 (x1x2  y1y2)  i(x1y2  x2y1)  (x1x2  y1y2 )2  (x1y2  x2y1)2  x12x22  y12y22  2x1x2y1y2  x12y22  x22y12  2x1x2y1y2  (x12  y12 )  (x22  y22 )  (x12  y12 )  (x22  y22 )

 z1  z2  z1  z2  z1  z2 21

2. Bukti: z1 x1  iy1 x2  iy2   z2 x2  iy2 x2  iy2



x1x 2  y1y 2 x 2y1  x1y 2 i 2 2 2 x2  y2 x 2  y 22 2

2

 x1x 2  y1y 2   x 2y1  x1y 2     2    2 2  2   x2  y2   x2  y2 

x12x22  y12y22  2x1x2y1y2  x22y12  x12y22  2x1x2y1y2  (x22  y22 )2 (x12  y12 )  (x22  y22 )  (x22  y22 )  (x22  y22 )

x12  y12

z1   terbukti. 2 2 z 2 x2  y2 22

3. Bukti:

z1  z2  z1  z2

0  (x1y2  x2y1)2 0  x12y22  x22y12  2x1x2y1y2 2x1x2y1y2  x12y22  x22y12 x12x22  y12y22  2x1x2y1y2  x12x22  y12y22  x12y22  x22y12 (x1x2  y1y2 )2  (x12  y12 )(x22  y22 )

2(x1x2  y1y2 )  2 (x12  y12 )(x22  y22 ) x12  2x1x2  x22  y12  2y1y2  y22 

x12  y12  2 (x12  y12 )(x22  y22 )  x22  y22 (x1  x2 )  (y1  y2 )  2

2



 y12  x12  y12 

x12

(x1  x2 )2  (y1  y2 )2  z1  z2  z1  z2



2 2 2 x2  y2 x22  y22

terbukti 23

4. Bukti:

z1  z2  z1  z2 z1  z1  z2  z2  z1  z2  z2 z1  z2  z1  z2  z1  z2  z1  z2

24

Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan

Kompleks Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y), bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,).

Im

z  (x, y)  (r, ) z r

 O

Re 25

Adapun hubungan antara keduanya, (x, y)dan (r, ) adalah : x = r cos , y = r sin,

y  sehingga  = arc tan   x  adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz 2 2 r  x  y z didapat juga

Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah z = (r, ) = r(cos  + i sin ) = r cis . dan sekawan dari z adalah = (r, -) = r(cos  - i sin ). 26

Definisi 5 : Pada bilangan kompleks z = (r, ) = r(cos  + i sin ), sudut  disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut  dengan 0  < 2 atau - <    disebut argument utama dari z, ditulis  = Arg z. Pembatasan untuk sudut  tersebut dipakai salah satu saja. Definisi 6 : Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos 1 + i sin 1) dan z2 = r2(cos 2 + i sin 2) dikatakan sama, jika r1 = r2, dan 1 = 2.

27

Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) = r(cos  + i sin ) = r cis , maka anda dapat menuliskan z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei, dan sekawannya adalah re-i. Tugas: Buktikan bahwa ei = cos  + i sin , dengan menggunakan deret MacLaurin untuk cos  , sin  dan et dengan mengganti t = i.

28

Contoh : Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen !

29

Contoh : Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen ! 1 4

Jawab :

z = 1 + i, r = 2 , tan 41 = 1, sehingga 41 = 45⁰= 41 Jadi z =

2 (cos  + i sin ) =

2 cos  =

2

 i 4 e

30

Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks Perkalian dan Pemangkatan

Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z = r(cos  + i sin ). Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut : z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)] z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) + i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)] z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)] 31

Dari hasil perkalian tersebut diperoleh: arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2 Pertanyaan : Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan z z z z … z = zn ?

32

Jika diketahui: z1 = r1(cos 1 + i sin 1) z2 = r2(cos 2 + i sin 2)



zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli, maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian z1 z2 … zn = r1 r2 …rn[cos (1 + 2+…+n) + i sin (1 + 2+…+n)] . Akibatnya jika, z = r(cos  + i sin ) maka zn = rn (cos n + i sin n). . . . . . . . . . .1 Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre (cos  + i sin )n = cos n + i sin n, n asli. 33

Pembagian: Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai z1 r1(cos 1  i sin 1)  berikut: z2 r2(cos 2  i sin 2 ) Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan

sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka z1 r1  z diperoleh : 2 r2 [cos ( -  ) + i sin ( -  )] 1

2

1

2

Dari rumus di atas z1diperoleh:  z2 arg 1-2 = arg z1 – arg z2. 34

Akibat lain jika z = r(cos  + i sin ), maka: Untuk:

1  1cos()  i sin() z r 1  1 zn rncos n  i sin n .

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan penyebut, maka didapat : 1  1 cos(n)  i sin(n) zn rn

.......2

35

Dari 1 dan 2 diperoleh:

zn  rn cos(n)  i sin(n,)

Dalil De-Moivre

berlaku untuk semua n bilangan bulat.

36

Contoh: Hitunglah :

Jawab : Misalkan



3  i

6

z  3  i,

maka r  z  3 1 2

tan    1 3



o o 3  i  2 cos  30  i sin  30 karena z di kuadran IV, maka dipilih

jadi



3  i

6





  30o

 26 cos 180o  i sin 180o



 26(1  0)  26 37

Akar Bilangan Kompleks Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis

z

1 .n w

Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn = w diperoleh: n(cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n = r dan

n= +2k , k bulat. Akibatnya



1  dan rn

    2k n

Jadi . . .

38

Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin) adalah: z=

1   2k n ) r [cos(

n

+ i sin (

  2k )], n

k bulat dan n bilangan asli. Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu. Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1); 0    2k < 2, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn n sebagai akar ke-n dari z.

39

Contoh : Hitunglah (-81)1/4 Jawab : Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian persamaan z4 = -81. Tulis z = (cos +i sin) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800), sehingga 4(cos4 +i sin4) = 81(cos1800+i sin1800),

  2k   diperoleh = 81, atau  = 3 dan 4.  Jadi z = 3[cos(   2k)+i sin(   2k)] 4 4 4

Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan

mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir. 40

Latihan Soal Bab I

1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan z = (x,y) = x + iy. 2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i.

Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2 3. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0. 4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi sifat: a. z-1 = z

dan

b. z  z

5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks berlaku : z1. z 2+ z1.z2 = 2Re(z1. z 2) 6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.

41

7.Gambarkan pada diagram argand dan sebutkan nama kurva yang terjadi : a. z – 5 = 6 dan z – 5 > 6

b. z + i = z – i c. 1 < z – i < 3 8.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam bentuk polar dan eksponen ! 9. Hitunglah (-2+2i)15

10.Tentukan himpunan penyelesaian dari : z3- i = 0 42