Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan <stwn at unsoed.ac.id>

Tahun Ajaran 2013/2014

Ingat proposisi?

Sebuah proposisi mempunyai nilai.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Benar atau salah.


Perlu dibuktikan.


Metode pembuktian yang sahih.


Pembuktian proposisi himpunan.


Pembuktian proposisi bilangan bulat.


Buktikan pernyataan “hasil penjumlahan n buah bilangan bulat positif pertama adalah n(n+1)/2”!

Metode pembuktian untuk proposisi perihal bilangan bulat disebut dengan Induksi Matematika.


Teknik pembuktian yang baku di dalam matematika.


Dalam pembuktian, kita ingin mencari mana teknik yang paling efisien/sangkil. (dan tentu saja efektif/mangkus)


Dengan induksi matematika kita dapat melakukan pengurangan langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran melalui sejumlah langkah terbatas.


Postulat Peano. (aksioma: proposisi yang diasumsikan benar)


Proposisi Perihal Bilangan Bulat

Banyak hal terkait dengan bilangan bulat.


p(n)


fungsi proposisi

p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.


p(n) adalah proposisi yang menyatakan “hasil penjumlahan bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n+1)/2”. Buktikan bahwa p(n) benar!

Coba subtitusikan nilai n!


Apakah cara tersebut dapat membuktikan bahwa p(n) benar?

Subtitusi langsung p(n) dengan n yang “dicoba-coba” tidak dapat disebut sebagai pembuktian bahwa p(n) benar untuk seluruh n.


Temukan rumus hasil penjumlahan dari n buah bilangan ganjil positif pertama!

Coba subtitusikan nilai n dan simpulkan!


Dugaan.


Apakah cara tersebut dapat membuktikan bahwa rumus tersebut benar?

Contoh-contoh lainnya dapat dibaca pada buku referensi.


Prinsip Induksi Sederhana

p(n) adalah proposisi perihal bilangan bulat positif, dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.


Prinsip Induksi Sederhana 1. p(1) benar, basis induksi; 2. Jika p(n) benar, p(n+1) juga benar untuk setiap n ≥ 1, langkah induksi; Hipotesis Induksi

sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.


Basis induksi digunakan untuk memperlihatkan bahwa pernyataan tersebut benar jika n diganti dengan elemen terkecil. (bilangan bulat positif terkecil)


Kita harus memperlihatkan bahwa implikasi p(n) → p(n+1) benar untuk setiap bilangan bulat positif.


Bagaimana cara membuktikan implikasi tersebut?

Tunjukkan bahwa: jika p(n) benar, p(n+1) benar.


Tidak ada asumsi p(n) benar untuk semua bilangan positif.


Kita hanya memperlihatkan bahwa jika diasumsikan p(n) benar, maka p(n+1) benar untuk setiap n positif.


Soham Banerjee, CC BY, http://flic.kr/p/tkDMw

Buktikan dengan induksi matematika bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2, untuk n ≥ 1!

p(n) menyatakan proposisi tersebut. bahwa jumlah n bilangan bulat positif pertama adalah n(n+1)/2, untuk n ≥ 1, yaitu 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2


Gunakan 2 langkah pembuktian prinsip induksi sederhana.


1) basis induksi: p(1) benar, dengan n=1.


2) langkah induksi: jika p(n) benar, p(n+1) juga benar. (hipotesis induksi)


1 + 2 + 3 + … + n + (n + 1) = (n + 1)((n + 1) + 1)/2


Prinsip Induksi yang Dirampatkan

Kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat yang tidak dimulai dari 1 saja.


≥ n0


p(n) adalah proposisi perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0.


Prinsip Induksi yang Dirampatkan 1. p(n0) benar; 2. Jika p(n) benar, p(n+1) juga benar untuk setiap n ≥ n0; sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0. Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Buktikan dengan induksi matematika n bahwa 3 < n!, untuk n bilangan bulat positif yang lebih besar dari 6.

p(n) menyatakan proposisi tersebut.


1) basis induksi: p(7); 37 < 7!.


2) langkah induksi: jika p(n) benar, p(n+1) juga benar.


3(n+1) < (n+1)!


Prinsip Induksi Kuat

Induksi kuat?

p(n) adalah proposisi perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0.


Prinsip Induksi Kuat Hipotesis yang lebih banyak

1. p(n0) benar;

2. Jika p(n0), p(n0+1), …, p(n) benar, p(n+1) juga benar untuk setiap n ≥ n0; sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0. Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ≥ 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu atau lebih bilangan prima! Bilangan bulat positif disebut prima, jika dan hanya jika, bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri.

Bentuk Induksi Secara Umum

Umum.


Generik?

Dapat diterapkan dalam himpunan obyek secara umum. (tidak hanya pada proposisi himpunan bilangan bulat positif)


Syarat: (1) himpunan obyek punya keterurutan, (2) mempunyai elemen terkecil.


Baca Definisi 4.1 pada buku referensi.


X terurut dengan baik oleh “<” dan p(x) adalah pernyataan perihal elemen x dari X. Kita ingin membuktikan bahwa p(x) benar untuk semua x ∈ X.


Prinsip Induksi secara Umum x0 adalah elemen terkecil di dalam X

1. p(x0) benar; 2. Jika p(y) benar untuk y < x, p(x) juga benar untuk setiap x > x0 di dalam X; sehingga p(x) benar untuk semua x ∈ X.


Daftar Bacaan ●

Munir, R. 2010. Matematika Diskrit, Revisi Keempat, Penerbit Informatika.


Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Recommend Documents