Logika Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Logika Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan <stwn at unsoed.ac.id>

Tahun Ajaran 2013/2014

Logika Klasik

Silogisme. (proposisi, penalaran)

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Tetralema. (afirmasi, negasi, konjungsi, disjungsi)


Logika boolean, atau aljabar boolean. (Nilai kebenaran, aplikasi: pensaklaran, rangkaian digital, IC, ...)


Teori formal kebenaran. (benar dan salah)


Logika Modern

Logika fuzzy. (perluasan logika boolean, kebenaran parsial)


Fullofstars, CC BY-SA 3.0, http://en.wikipedia.org/wiki/File:Fuzzy_logic_temperature_en.svg


Logika modal. (modal, kemungkinan, contoh: “biasanya”)


Logika komputabilitas. (masalah komputasi, “selalu dapat dihitung”)


Logika konstruktif. (intuisi, keberadaan bukti, justifikasi)


Logika relevansi. (saya manusia, maka 1+1=2)


Teori logika yang alami?


Logika

Berkaitan dengan argumen. (dan hubungan antar argumen)


Studi penalaran.


Agar kita dapat menentukan apakah sebuah argumen bernilai benar atau salah.


Logika ●

●

●

Logika dapat berbentuk bahasa kita sehari-hari maupun bukti-bukti matematis. Aturan logika bersifat umum dan tidak terikat pada kalimat, atau disiplin ilmu tertentu. Lebih ke sintaks, daripada semantik.


Penalaran

Cara (perihal) menggunakan nalar; pemikiran atau cara berpikir logis; jangkauan pemikiran. – Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI)


Hal mengembangkan atau mengendalikan sesuatu dengan nalar dan bukan dengan perasaan atau pengalaman. – KBBI


Proses mental dalam mengembangkan pikiran dari beberapa fakta atau prinsip. – KBBI


Penalaran membutuhkan logika.


Semua pengendara sepeda motor memakai helm. Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa. Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa.

Apa benar?

Semua manusia akan mati. Setsuna adalah manusia. Jadi, Setsuna akan mati.

Hukum logika menentukan makna dari sebuah pernyataan matematis.


Juga menentukan sebuah argumen valid/tidak valid.


Melakukan pembuktian (teorema).


Proposisi

Kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya.


Nilai kebenaran.


5 adalah bilangan ganjil.

2+1=3

4 adalah bilangan prima.

1200 > 1199

Purwokerto adalah ibukota Kabupaten Banyumas.

Tadi pagi hujan.

Suhu sekarang ini 29° C.

Apa kamu sudah mandi?

Berikan saya nilai A untuk Matematika Diskret!

Proposisi dinyatakan dengan kalimat berita.


Ubai lebih tinggi daripada Dudi.

x + 5 = 23

x < 88

53 mencintai 35.

x+y=y+x

Kalkulus proposisi/logika proposisi.


Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil.


p = saya mempunyai makanan q = 9 adalah bilangan ganjil


Kombinasi Proposisi

Operator logika. (dan, atau, tidak)


Konjungsi.


Disjungsi.


Negasi.


Proposisi majemuk. (terbentuk dari proposisi atomik)


Notasi simbolik.


Metode kombinasi proposisi dibahas pada buku “The Laws of Thought”.


∧ Dan/And/Konjungsi ∨ Atau/Or/Disjungsi ~ Tidak/Not/Negasi


Ekpresi logika. (ekspresi proposisi majemuk dalam bentuk notasi simbolik)


p: Hari ini hujan q: Murid-murid diliburkan dari sekolah Nyatakan dalam ekspresi proposisi untuk p∧q, p∨q, ~p, ~q!

p: Hari ini panas q: Hari ini cerah Nyatakan dalam ekspresi proposisi untuk p∧q, p∨q, ~p, ~q!

p: Saya suka jeruk q: Saya suka salak Nyatakan dalam ekspresi proposisi untuk p∧q, p∨q, ~p, ~q!

Nyatakan dalam Notasi Simbolik (1)

p: Saya itu pintar matematika q: Saya itu bijaksana

Nyatakan dalam Notasi Simbolik (2) 1) Saya itu pintar matematika dan bijaksana 2) Saya itu pintar matematika, tapi tidak bijaksana 3) Saya itu tidak pintar matematika, juga tidak bijaksana 4) Tidak benar bahwa saya pintar dan bijaksana 5) Saya itu tidak pintar, atau pintar dan tidak bijaksana 6) Tidak benar bahwa saya itu tidak pintar atau tidak bijaksana

Tabel Kebenaran

Nilai kebenaran proposisi majemuk ditentukan oleh proposisi atomik. (+cara proposisi tersebut dihubungkan dengan operator logika)


p dan q adalah proposisi.


Konjungsi p∧q bernilai benar jika p dan q keduanya ..., selain itu nilainya … Gambarkan tabel kebenarannya!

Disjungsi p∨q bernilai salah jika p dan q keduanya ..., selain itu nilainya … Gambarkan tabel kebenarannya!

Negasi ~p bernilai benar jika p ..., sebaliknya bernilai salah jika p … Gambarkan tabel kebenarannya!

p: 17 adalah bilangan prima q: Bilangan prima selalu ganjil Apa nilai konjungsi p∧q?

Tabel kebenaran adalah salah satu cara untuk menentukan kebenaran proposisi majemuk.


Jika ada n variabel, tabel kebenaran memuat berapa baris?

Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomik.


Sebuah proposisi majemuk disebut tautologi, jika benar untuk semua kasus.


Sebuah proposisi majemuk disebut kontradiksi, jika salah untuk semua kasus.


Gambarkan tabel kebenaran dari proposisi majemuk: p∨~(p∧q)!

Lihat kolom terakhir.


Dua proposisi majemuk disebut ekivalen jika keduanya mempunyai tabel kebenaran yang identik. (lihat kolom terakhir)


Disjungsi Eksklusif

OR inklusif.


Seorang dosen sedang mencari mahasiswa yang pernah mengambil mata kuliah Sinyal dan Sistem atau Sistem Kontrol.


OR eksklusif.


Engkau bisa memilih, antara aku atau dia.


XOR (  )


Hukum-Hukum Logika Proposisi

Identitas, dominasi, negasi, idempoten, involusi, penyerapan, komutatif, asosiatif, distributif, De Morgan.


Untuk membuktikan keekivalenan dua buah proposisi.


Sederhanakan bentuk berikut. ~(~p∧q)∧(p∨q)

Buktikan ekivalensi ~(p∨~q)∨(~p∧~q) ⇔ ~p

Proposisi Bersyarat (kondisional atau implikasi)

Jika p, maka q.


Jika mahasiswa mendapat nilai 90 untuk Matematika Diskret, Ia akan mendapat nilai A.


Jika aku lulus nanti, aku akan tetap mengingatmu.


Konklusi

p→q

Hipotesis


Bagaimana tabel kebenarannya?

Berbeda antara implikasi bahasa dan matematika. (matematika: valid/tidak valid)


jika p, q p mengakibatkan q q jika p p hanya jika q p syarat cukup agar q q syarat perlu bagi p q bilamana p


Ubahlah proposisi berikut menjadi pernyataan “jika p, q” 1) Banyak minum kopi robusta dapat menyebabkan kita tidak mengantuk. 2) Syarat wajib bagi mahasiswa agar dapat mengikuti mata kuliah Sistem Operasi adalah sudah mengambil mata kuliah Arsitektur Komputer.

Konvers: q → p Invers: ~p → ~q Kontraposisi: ~q → ~p


Gambarkan tabel kebenarannya!

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut. “Jika Badu sudah mandi, Ia tidak bau.”

Bi-implikasi

Proposisi majemuk “p jika dan hanya jika q” disebut bi-implikasi atau bikondisional.


pq


Gambarkan tabel kebenarannya!

Ekivalen secara logika dengan …?

Jika p, q dan jika q, p.


p↔q ⇔ (p→q)∧(q→p)


p adalah syarat perlu dan cukup untuk q jika p, q, dan sebaliknya p iff q


1+1=2 jika dan hanya jika 2+2=4

Ubahlah pernyataan berikut menjadi bentuk “p jika dan hanya jika q”:

Syarat cukup dan perlu agar kita mendapatkan nilai bagus adalah kita belajar yang rajin.

Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa ~(p∧q) ⇔ ~p∨~q!

Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa ~(p∧q)↔~p∨~q!

Bikondisional hanya benar jika kedua proposisi mempunyai nilai kebenaran yang sama.


Inferensi

1 proposisi.


2 proposisi.


Beberapa proposisi.


Kita dapat menarik kesimpulan baru.


Proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi disebut inferensi.


Modus-modus.


Ponen, Tollen, Silogisme Hipotesis, Silogisme Disjungtif, Simplifikasi, Penjumlahan, Konjungsi.


Argumen

Rangkaian kalimat-kalimat. (deret proposisi)


Deret proposisi yang dituliskan p1 p2 ⋮ pn ─ (jadi) q Kesimpulan


Hipotesis

Sahih atau valid.


Palsu atau tidak valid.


Sebuah argumen dikatakan sahih jika semua hipotesisnya benar, dan konklusinya benar.


Jika sebaliknya, berarti argumen dikatakan palsu atau tidak valid.


(p1∧p2∧ … ∧pn) → q


Implikasi bernilai benar.


Argumen palsu menunjukkan penalaran yang tidak benar.


p ∨ (q ∨ r) ~r ... p ∨ q Apakah argumen di atas sahih? Buktikan dengan tabel kebenaran!

1) Tentukan hipotesis dan kesimpulan. 2) Buat tabel kebenaran. 3) Cari baris kritis: semua hipotesis benar. 4) Jika semua kesimpulan benar pada baris kritis, berarti argumen tersebut sahih/valid.


Jika mahasiswa mendapat nilai 90, Ia akan mendapat nilai A. Mahasiswa mendapat nilai 90, karena itu Ia mendapat nilai A. Tunjukkan bahwa argumen di atas adalah sahih!

Di mana kacamata Roni? Pada suatu ketika, Roni pergi ke kampus dan baru menyadari bahwa Ia tidak menggunakan kacamata. Setelah Ia mengingat-ingat, ada beberapa hal/fakta yang muncul. ● Jika kacamataku ada di meja dapur, aku pasti melihatnya ketika sarapan pagi. ● Aku membaca koran di ruang tamu atau aku membacanya di dapur. ● Jika aku membaca koran di ruang tamu, pastilah kacamata kuletakkan di meja tamu. ● Aku tidak melihat kacamataku saat sarapan pagi. ● Jika aku membaca buku di tempat tidur, kacamata kuletakkan di meja samping tempat tidur. ● Jika aku membaca koran di dapur, kacamataku ada di meja dapur.

Daftar Bacaan ●

●

Munir, R. 2010. Matematika Diskrit, Revisi Keempat, Penerbit Informatika. Siang, J.S. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer, Penerbit Andi.


Logika Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Recommend Documents