Algoritma dan Bilangan Bulat Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Algoritma dan Bilangan Bulat Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan <stwn at unsoed.ac.id>

Tahun Ajaran 2013/2014

Algoritma

Masalah.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Kemiripan substansi masalah.


Pengurutan, pencarian, perutean, ...


Masalah memiliki parameter.


Instance of a problem. (pemberian nilai untuk semua parameter masalah)


Ide.


Solusi. (pemecahan masalah)


Urutan langkah-langkah untuk memecahkan masalah. (dengan metode tertentu)


Proses: menjalankan sepeda motor. Algoritma: panduan menjalankan sepeda motor. Langkah-langkah: 1. siapkan sepeda motor, 2. naiklah ke tempat duduknya, 3. kembalikan penyangga, 4. masukkan kunci kontak, 5. putar kunci kontak ke posisi on, 6. tekan tombol starter, 7. ... Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Berikan 1 contoh algoritma!

Membuat kue, menanak nasi, percobaan kimia, ...


Algoritma Program Penjumlahan 1. Deklarasikan variabel a, b, dan c. 2. Baca variabel a dan b dari masukan. 3. Jumlahkan variabel a dan b, kemudian simpan hasilnya ke variabel c. 4. Tampilkan isi variabel c ke layar. Ada sebagian orang yang memulai algoritma dengan kata “mulai” dan diakhiri dengan “selesai” untuk menandai bahwa langkah-langkah dalam sebuah algoritma dimulai atau telah selesai. Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Setiap langkah algoritma harus diikuti.


Bagaimana jika tidak?

Notasi Algoritma

Kalimat deskriptif.


PROGRAM Penjumlahan Diberikan dua buah bilangan positif a dan b. Algoritma penjumlahan akan menjumlahkan kedua bilangan tersebut dan menyimpan hasilnya ke dalam sebuah variabel. ALGORITMA 1. Deklarasikan variabel a, b, dan c. 2. Baca variabel a dan b dari masukan. 3. Jumlahkan variabel a dan b, kemudian simpan hasilnya ke variabel c. 4. Tampilkan isi variabel c ke layar. Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Apa yang dapat kita simpulkan dari konsep algoritma yang sudah dibahas?

Menggunakan kata kerja, aktif.


Bagaimana dengan pernyataan bersyarat?

Jika …, (maka) ...


Diagram alir?

Algoritma dalam bentuk diagram, dengan simbol-simbol standar.


Mulai atau Selesai

Pengambilan Keputusan

Masukan atau Keluaran

Proses Terdefinisi

Penghubung Proses Aliran Langkah


Mulai

Deklarasi a, b, c

Baca a dan b

c=a+b

Tampilkan c

Selesai


? ?

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Euclid_flowchart_1.png

?

? Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Relatif susah digunakan untuk program dengan algoritma yang panjang dan rumit.


Pseudocode?

Semu.


Kode informal sebuah (algoritma) program.


Lebih dekat ke kode pemrograman, tapi tidak spesifik ke bahasa pemrograman tertentu.


Tidak ada standar baku.


Gunakan kata kunci pemrograman.


set, read, get, print, write, compute, run, if-then, else-if, while, do-while, for, goto, ...


declare variabel a, b get a, b if (b tidak sama dengan nol) then compute c = a / b print c else print “Nilai b tidak boleh nol.” return status sukses


PROGRAM FahrenheitCelcius { Program untuk mencetak tabel konversi Fahrenheit ke Celcius dari x sampai y dengan kenaikan sebesar step. Masukan: suhu awal, suhu akhir, step. Keluaran: tabel konversi suhu dalam Celcius (C) dan Fahrenheit (F). } DEKLARASI fahr, celc: real x, y, step: integer ALGORITMA read (x, y, step) fahr ← x while fahr ≤ y do celc = 5/9 * (fahr – 32) write(fahr,celc) fahr ← fahr + step endwhile Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Buatlah algoritma dengan kalimat deskriptif untuk mencari elemen terbesar dari sebuah himpunan yang berisi n buah elemen bilangan bulat!

a1, a2, a3, a4, …, an


Algoritma dengan Kalimat Deskriptif maks

a1, a2, a3, a4, …, an

maks = a1

1) Asumsikan a1 sebagai elemen terbesar sementara. Simpan a1 ke dalam variabel maks. 2) Bandingkan maks dengan elemen a 2. Jika a2 lebih besar dari maks, maka nilai maks diganti dengan a 2. 3) Ulangi langkah kedua untuk elemen-elemen berikutnya (a3, a4, a5, ..., an) . 4) Berhenti jika sudah tidak ada lagi elemen yang dibandingkan. Jadi, variabel maks berisi nilai dari elemen terbesar. Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Algoritma dengan Kalimat Deskriptif a2 > maks?

a1, a2, a3, a4, …, an

maks = a1


Algoritma dengan Kalimat Deskriptif a2 > maks? Jika ya

a1, a2, a3, a4, …, an

maks maks = a = a21


Algoritma dengan Kalimat Deskriptif a2 > maks? Jika ya

a1, a2, a3, a4, …, an

maks maks = a = a21


PROGRAM CariElemenTerbesar { Program untuk mencari elemen terbesar dari sebuah himpunan bilangan bulat a1, a2, …, an. Elemen terbesar akan disimpan di dalam variabel maks. Masukan: a1, a2, …, an. Keluaran: maks. } DEKLARASI i: integer maks: integer ALGORITMA maks ← a for i ← 2 to n do if ai > maks then maks ← ai endif endfor Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

procedure CariElemenTerbesar (input: a1, a2, …, an: integer, output maks: integer) { Prosedur mencari elemen terbesar dari sebuah himpunan bilangan bulat a1, a2, …, an. Elemen terbesar akan disimpan di dalam variabel maks. Masukan: a1, a2, …, an. Keluaran: maks. } Deklarasi i: integer Algoritma maks ← a for i ← 2 to n do if ai > maks then maks ← ai endif endfor Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Tajuk, deklarasi, algoritma.


Intinya adalah memudahkan deskripsi algoritma dalam bentuk terstruktur, dan memudahkan pula saat melakukan penulisan kode yang spesifik ke bahasa pemrograman.


Beberapa Contoh Algoritma

Buatlah algoritma dalam kalimat deskriptif dan pseudocode untuk algoritma berikut. 1) Algoritma mempertukarkan nilai dari 2 buah variabel. 2) Algoritma mencari nilai tertentu di dalam himpunan elemen.

Algoritma pengurutan.


Bilangan Bulat (Integer)

Bilangan yang bulat :-) (bukan pecahan, positif dan negatif)


Diskret atau kontinyu?

Bilangan bulat banyak dibahas pada Teori Bilangan.


Sifat pembagian bilangan bulat melahirkan konsep bilangan prima, aritmatika modulo, dan algoritma Euclidean.


Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat

Salah satu konsep yang berguna.


Bilangan prima. (bilangan yang hanya habis dibagi oleh 1 dan dirinya sendiri)


Sembarang bilangan bulat positif dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian satu atau lebih bilangan prima?

Definisi sifat pembagian: misal a dan b adalah 2 buah bilangan bulat dengan syarat a ≠ 0. Kita dapat menyatakan bahwa a habis membagi b jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.


Notasi: a|b jika b = ac, c ∈ Z dan a ≠ 0.


Jika b dibagi dengan a, maka hasil pembagiannya berupa bilangan bulat.


Pernyataan “a habis membagi b” dapat ditulis dengan “b kelipatan a”.


4|12 karena 12/4 = 3 Bulat, tak bersisa.


12 = 4x3


Apakah 4|13?

Hasil Pembagian Bilangan Bulat Jika hasil pembagian bilangan bulat dinyatakan sebagai bilangan bulat pula, maka sembarang bilangan bulat bila dibagi dengan sebuah bilangan bulat positif akan selalu terdapat: 1) hasil bagi, 2) sisa pembagian. Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

13 dibagi dengan 4, akan memberikan hasil bagi 3, dan sisa (hasil bagi) 1.


Pada kasus 4|12, sisa hasil baginya adalah 0.


Sisa hasil pembagian selalu lebih besar atau sama dengan nol, tetapi lebih kecil dari pembaginya. 0≤r

Teorema Euclidean Misal m dan n adalah 2 buah bilangan bulat dengan syarat n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat 2 buah bilangan bulat unik q (quotinent) dan r (remainder), sedemikian sehingga: pembagi/divisor

m = nq + r

q disebut hasil bagi/quotinent r disebut sisa/remainder

yang dibagi/divident

dengan 0 ≤ r < n. Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Notasi yang digunakan untuk mengekspresikan hasil bagi dan sisa adalah dengan menggunakan operator div dan mod. q = m div n, r = m mod n


Berapa hasil bagi dan sisa jika 1987 dibagi dengan 97?

Hasil bagi 20, sisa 47.


Tuliskan dalam ekspresi Teorema Euclidean!

1987 = 97 . 20 + 47


Tulis dengan operator div dan mod!

1987 div 97 = 20


1987 mod 97 = 47


Sisa pembagian tak boleh negatif.


Pembagi Bersama terBesar (PBB)

Dua buah bilangan bulat dapat memiliki faktor pembagi yang sama.


Faktor pembagi bersama yang penting adalah faktor Pembagi Bersama terBesar (PBB). (greatest common divisor, gcd atau faktor persekutuan terbesar, FPB)


Bilangan 45 dan 36 memiliki faktor pembagi berapa saja?

Faktor pembagi 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45 Faktor pembagi 36: 1, 2, 3, 4, 9, 12, 18, 36 Faktor pembagi bersama: 1, 3, 9 Jadi, PBB(45,36) = 9


terbesar: 9

Definisi Pembagi Bersama Terbesar

Misal a dan b adalah 2 buah bilangan bulat tidak nol. Pembagi bersama terbesar (PBB) dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d, sedemikian sehingga d|a dan d|b. Jadi, dapat kita nyatakan bahwa PBB(a,b) = d.


Sifat-sifat PBB dapat dinyatakan dengan Teorema 5.2. Baca pada buku referensi.


Teorema PBB(m,n) = PBB(n,r)

Misal m dan n adalah 2 buah bilangan bulat dengan syarat n > 0 sedemikian sehingga: m = nq + r, 0 ≤ r < n maka PBB(m,n) = PBB(n,r).


Algoritma Euclidean

Mencari PBB dari 2 Buah Bilangan Untuk mencari PBB dari 2 buah bilangan bulat m dan n adalah dengan: 1) mendaftar semua pembagi dari masing-masing bilangan m dan n, 2) memilih pembagi persekutuan yang mempunyai nilai terbesar.


Terdapat algoritma yang mangkus/efektif untuk mencari PBB, yaitu dengan Algoritma Euclidean.


Didasarkan pada “Teorema PBB(m,n) = PBB(n,r)” yang dilakukan berturut-turut. (sampai kita temukan sisa nol)


Algoritma Euclidean 1) Jika n = 0, m adalah PBB(m,n); selesai.

Catatan: jika m < n, maka tukar dulu nilai m dan n.

tetapi jika n ≠ 0, lanjutkan ke langkah 2. 2) Bagilah m dengan n dengan sisa r. 3) Ganti nilai m dengan nilai n, dan nilai n dengan nilai r, lalu ulang kembali langkah 1. Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

? ?

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Euclid_flowchart_1.png

?

? Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

PBB(80,12)?

Algoritma Euclidean (1) 1) Jika n = 0, m adalah PBB(m,n);

m = 80, n = 12

selesai. tetapi jika n ≠ 0, lanjutkan ke langkah 2. 2) Bagilah m dengan n dengan sisa r.

80 dibagi 12, sisa 8 (r)

3) Ganti nilai m dengan nilai n, dan nilai n dengan nilai r, lalu ulang kembali langkah 1. Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

m = 12, n = 8


m = 12, n = 8




m = 8, n = 4


m = 8, n = 4




m = 4, n = 0

Algoritma Euclidean (4) 1) Jika n = 0, m adalah PBB(m,n); selesai.

m = 4, n = 0 Selesai!

tetapi jika n ≠ 0, lanjutkan ke langkah 2.

PBB(80,12)=4

2) Bagilah m dengan n dengan sisa r. 3) Ganti nilai m dengan nilai n, dan nilai n dengan nilai r, lalu ulang kembali langkah 1. Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Notasi pseudocode untuk Algoritma Euclidean dapat dilihat pada buku referensi, halaman 189.


Teorema Kombinasi Lanjar

Misal a dan b adalah 2 buah bilangan bulat positif, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga PBB(a,b) = ma + nb.


PBB(80,12) = 4 m.80 + n.12 = 4 (-1).80 + 7.12 = 4 m = -1 dan n = 7


Untuk menemukan kombinasi lanjar a dan b pada PBB(a,b) adalah dengan melakukan pembagian secara mundur pada Algoritma Euclidean.


Definisi Relatif Prima

Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika PBB(a,b) = 1.


Apakah bilangan 7 dan 11 relatif prima?

Jika a dan b relatif prima maka dengan teorema kombinasi lanjar dapat dinyatakan: PBB(a,b) = ma + nb 1 = ma + nb ma + nb = 1


Aritmatika Modulo

Operator yang digunakan adalah mod.


Hasil bagi dan sisa.


Definisi Operator mod

Misal a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m memberikan sisa jika a dibagi dengan m. Dengan kata lain, a mod m = r, sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 ≤ r < m.


modulus atau modulo

Notasi: a mod m = r, sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 ≤ r < m. Hasil aritmatika modulo m terletak di dalam himpunan {0, 1, 2, ..., m-1}.


Bilangan a dan b kongruen dalam modulo m jika kedua bilangan tersebut mempunyai sisa (r) yang sama jika dibagi dengan bilangan bulat positif m. a mod m = r b mod m = r


a ≡ b (mod m)


a ≡/ b (mod m)


Definisi Kekongruenan

Misal a dan b adalah bilangan bulat, dan m adalah bilangan > 0, maka a ≡ b (mod m) jika m habis membagi a – b.


Apakah 17 dan 2 kongruen dalam modulo 3?

Dengan definisi operator mod, maka a mod m = r dapat ditulis a ≡ r (mod m).


Terdapat sifat-sifat pengerjaan hitung pada aritmatika modulo, baca Teorema 5.5 pada buku referensi, halaman 193.


Inversi Modulo.


Kekongruenan lanjar, ax ≡ b (mod m).


Chinese remainder problem.


Bilangan Prima

Bilangan bulat positif p (p > 1) disebut bilangan prima jika pembaginya 1 dan p.


2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...


Bilangan selain prima disebut komposit (composite).


Teori fundamental aritmatik: Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar atau sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.


Bilangan prima dan komposit dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu atau lebih faktor prima.


Faktor prima dari sebuah bilangan selalu lebih kecil atau sama dengan akar kuadrat dari bilangan tersebut.


Misal a adalah faktor prima dari n, dengan 1 < a < n, maka a habis membagi n dengan hasil bagi b sedemikian sehingga n = ab. Nilai a dan b harus ≤ n agar ab > √n . √n = n


Faktor prima dari n selalu lebih kecil atau sama dengan √n.


Teorema bilangan komposit: jika n adalah bilangan komposit, maka n mempunyai faktor prima yang lebih kecil atau sama dengan √n.


Apakah 199 merupakan bilangan prima atau komposit?

Teorema bilangan komposit: jika n adalah bilangan komposit, maka n mempunyai faktor prima yang lebih kecil atau sama dengan √n.


√199 = … ?

Bilangan prima yang ≤ √199?

Karena 199 tidak habis dibagi 2, 3, 5, 7, 11, dan 13, maka 199 adalah bilangan prima.


Kriptografi

Aritmatika modulo dan bilangan prima.


“secret writing”

Onkel Tuca, CC BY-SA, http://en.wikipedia.org/wiki/File:Parthenon.JPG

Ilmu dan seni untuk menjaga keamanan pesan. – Bruce Schneier


Untuk menjaga kerahasiaan.


plainteks versus chiperteks


plainteks: ambil hatinya, jangan dompetnya chiperteks: e|}{!%@$#87)+32ihkdsf+_)+-12


practicalowl, CC BY-NC-SA, https://secure.flickr.com/photos/practicalowl/256628505/

Munir, 2011.


1) Pengiriman data melalui jalur komunikasi 2) Penyimpanan data di media penyimpan


Plainteks (plain.txt): Ketika saya berjalan-jalan di pantai, saya menemukan banyak sekali kepiting yang merangkak menuju laut. Mereka adalah anak-anak kepiting yang baru menetas dari dalam pasir. Naluri mereka mengatakan bahwa laut adalah tempat kehidupan mereka.

Ztâxzp/épêp/qtüyp{p}
Munir, 2011.

Cipherteks (cipher.txt):

Nomor PIN, siaran televisi melalui parabola, ...


Sparta, 400 SM

Onkel Tuca, CC BY-SA, http://en.wikipedia.org/wiki/File:Parthenon.JPG

in Lur


, gen

B CC

A, Y-S

wi en. / / : s http

kip

rg a.o edi

ki / wi

a ky t e :S l i F /

scytale

ng le.p

E(P) = C


D(C) = P


D(E(P)) = P


Algoritma tertutup/restricted dan terbuka.


practicalowl, CC BY-NC-SA, https://secure.flickr.com/photos/practicalowl/256628505/

otorisasi versus enkripsi-dekripsi


Caesar Chiper ●

●

Algoritma enkripsi sederhana pada masa raja Julius Caesar Tiap huruf alfabet digeser 3 huruf ke kanan secara wrapping

Munir, 2011.


Misalkan setiap huruf dikodekan dengan angka: A = 0, B = 1, C = 2, …, Z = 25

maka secara matematis enkripsi dan dekripsi pada Caesar Cipher dirumuskan sebagai berikut: Enkripsi: ci = E(pi) = (pi + 3) mod 26 Dekripsi: pi = D(ci) = (ci – 3) mod 26


Contoh: Plainteks: AWASI ASTERIX DAN TEMANNYA OBELIX Cipherteks: DZDVL DVWHULA GDQ WHPDQQBA REHOLA p1 = ‘A’ = 0 p2 = ‘W’ = 22 p3 = ‘A’ = 0 p4 = ‘S’ = 18 dst…

 c1 = E(0) = (0 + 3) mod 26 = 3 = ‘D’  c2 = E(22) = (22 + 3) mod 26 = 25 = ‘Z’  c3 = E(0) = (0 + 3) mod 26 = 3 = ‘D’  c4 = E(18) = (18 + 3) mod 26 = 21 = ‘V’


Jika pergeseran huruf sejauh k, maka: Enkripsi: ci = E(pi) = (pi + k) mod 26 Dekripsi: pi = D(ci) = (ci – k) mod 26 k = kunci rahasia Pada Caesar Cipher, k = 3, untuk alfabet ASCII 256 karakter, Enkripsi: ci = E(pi) = (pi + k) mod 256 Dekripsi: pi = D(ci) = (ci – k) mod 256



Munir, 2011.

Sistem Kriptografi

Munir, 2011.


✔ K1 = K2, sistem kriptografi kunci simetri, contoh: Data Encryption Standard (DES) ✔ K1 ≠ K2, sistem kriptografi kunci asimetri, contoh: RSA. Melibatkan kunci pribadi dan kunci publik.


Rivest-Shamir-Adleman (RSA) ●

● ●

Dibuat oleh tiga peneliti dari Massachussets Institute of Technology (MIT), yaitu Ron Rivest, Adi Shamir, dan Len Adleman, pada tahun 1976. Termasuk algoritma kriptografi asimetri. Asimetri: kunci untuk proses enkripsi berbeda dengan kunci untuk proses dekripsi.


RSA ●

Setiap pengguna memiliki sepasang kunci: 1. Kunci publik, e: untuk enkripsi pesan 2. Kunci privat, d: untuk dekripsi pesan

●

Kunci publik tidak rahasia, kunci privat rahasia Kunci publik, e

Plainteks, m

Enkripsi Ee (m) = c

Kunci privat, d

Cipherteks, c

Dekripsi Dd (c) = m Munir, 2011.


Plainteks, m

Pembangkitan Pasangan Kunci ●

Pilih 2 bilangan prima sembarang, a dan b yang bersifat rahasia

●

Hitung n = a b. Nilai n tidak perlu dirahasiakan

●

Hitung m = (a – 1)(b – 1); Hapus kunci a dan b

●

●

Pilih sebuah bilangan bulat untuk kunci publik, e, yang relatif prima terhadap m Hitung kunci dekripsi, d, melalui kekongruenan ed ≡ 1 (mod m)


Contoh. Misalkan a = 47 dan b = 71 (keduanya prima), maka dapat dihitung n = a . b = 3337 m = (a – 1) (b – 1) = 3220. Pilih kunci publik e = 79 (yang relatif prima dengan 3220.) Nilai e dan n dapat dipublikasikan. Catatan: Dalam praktik, nilai a dan b adalah bilangan yang sangat besar, disarankan masing-masing 100 digit.


Selanjutnya dihitung kunci dekripsi d dengan kekongruenan: e × d ≡ 1 (mod m)

1 + ( k × 3220) d= 79 Diperoleh nilai d = 1019. Ini adalah kunci dekripsi.


Algoritma enkripsi-dekripsi: Enkripsi: ci = pie mod n Dekripsi: pi = cid mod n,


Misalkan plainteks: ‘HARI INI’ atau dalam desimal ASCII: 7265827332737873 Pecah pesan menjadi blok yang lebih kecil (misal 3 digit): p1 = 726 p2 = 582 p3 = 733


p4 = 273 p5 = 787 p6 = 003

Enkripsi setiap blok: c1 = 72679 mod 3337 = 215 c2 = 58279 mod 3337 = 776 dst. untuk sisa blok lainnya Keluaran: chiperteks C = 215 776 1743 933 1731 158. Dekripsi (menggunakan kunci privat d = 1019) p1 = 2151019 mod 3337 = 726 p2 = 7761019 mod 3337 = 582 dst. untuk sisi blok lainnya Keluaran: plainteks = 7265827332737873 atau dalam kode ASCII karakternya adalah HARI INI.


Daftar Bacaan ●

●

●

●

●

Daviduck, B. 2000. Introduction to Programming in C++: Algorithms, Flowcharts and Pseudocode. Kusuma, E.D. 2009. Pemrograman Dasar: Pendahuluan, Presentasi. Munir, R. 2009. Algoritma dan Pemrograman dalam Bahasa Pascal dan C, Penerbit Informatika. Munir, R. 2010. Matematika Diskrit, Revisi Keempat, Penerbit Informatika. Munir, R. 2011. Teori Bilangan, presentasi.


Algoritma dan Bilangan Bulat Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Recommend Documents