PANNON EGYETEM DOKTORI ISKOLA

PANNON EGYETEM GAZDÁLKODÁS- ÉS SZERVEZÉSTUDOMÁNYOK DOKTORI ISKOLA

Badics Tamás

ARBITRÁZS ÉS MARTINGÁLMÉRTÉK PhD értekezés

Témavezet½o: Dr. Medvegyev Péter

Veszprém, 2011.

ARBITRÁZS ÉS MARTINGÁLMÉRTÉK Értekezés a PhD fokozat elnyerése érdekében a Pannon Egyetem Gazdálkodás- és Szervezéstudományok Doktori Iskolájához tartozóan Írta: Badics Tamás

A jelölt a doktori szigorlaton 100%-ot ért el,

Az értekezést bírálóként elfogadásra javaslom:

Bíráló neve: .......................................... .............. igen/nem ................................... (aláírás) Bíráló neve: .......................................... .............. igen/nem ................................... (aláírás) Bíráló neve: .......................................... .............. igen/nem ................................... (aláírás) A jelölt az értekezés nyilvános vitáján ........... %-ot ért el. Veszprém

......................................... (a Bíráló Bizottság elnöke)

A doktori oklevél min½osítése ......................................

......................................... (az EDT elnöke)

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 6 1.1. Az alaptétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Az értekezés felépítése és újszer½u eredményei . . . . . . . . . . . . . 16 2. A Delbaen–Schachermayer-tétel el½ozményei 2.1. Az általános egyensúlyelmélett½ol az arbitrázsárazásig 2.1.1. Az Arrow–Debreu-egyensúly . . . . . . . . . . 2.1.2. A Radner-egyensúly . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Arbitrázsmentesség . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Életképesség és a Kreps–Yan-tétel . . . . . . . . . . . 2.3. A sztochasztikus folyamatok általános elmélete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. A pénzpiac modellje több periódus esetén 3.1. Pénzpiac végesen generált valószín½uségi mez½o 3.1.1. Ön…nanszírozó kereskedési stratégiák 3.1.2. Ármérce-invariancia . . . . . . . . . . 3.1.3. Az arbitrázs fogalma . . . . . . . . . 3.2. A Dallang–Morton–Willinger-tétel . . . . . . 3.3. Folytonos idej½u pénzpiacok . . . . . . . . . . 3.3.1. Ön…nanszírozó portfóliók . . . . . . . 3.3.2. Ármérce invariancia . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

20 21 21 25 29 31

. . . . . . . . 39

. . . . . . . .

47 48 48 50 52 54 55 55 57

4. Alaptétel szemimartingál modellben 4.1. Néhány el½ozetes eredmény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. A kompaktsági lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Az L0 korlátos és zárt részhalmazainak van maximális eleme

61 68 68 73

i

esetén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték 4.1.3. Gyenge* topológia és a sztochasztikus konvergencia . . . . 4.2. Mémin tételére való visszavezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. A sztochasztikus integrálok értékének kiterjesztése a végtelenbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. A lehetséges „kaszálások”terének korlátossága . . . . . . . 4.2.3. A C0 Fatou-zártsága és a C gyenge* zártsága . . . . . . . 4.2.4. A maximális elem és a Fatou-zártság . . . . . . . . . . . . 4.2.5. A közelít½o sorozatok egyenletes konvergenciája . . . . . . . 4.3. A szemimartingál topológiában konvergens sorozat létezése . . . . 4.3.1. Új mértékre való áttérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Néhány egyszer½u becslés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Néhány szörny½u becslés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4. A szemimartingál topológiában konvergens sorozat meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Az alaptétel többdimenziós szemimartingál modellek esetén . . . .

. 77 . 80 . . . . . . . . .

81 83 85 85 86 91 91 93 96

. 113 . 121

5. Martingálmérték és optimális portfóliók 5.1. A portfolió választás duális megközelítése véges dimenzió esetén . 5.1.1. A haszonmaximalizációs probléma . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2. A minimaxmérték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. Lagrange-dualitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. A portfolióválasztás duális megközelítése végtelen dimenzió esetén 5.2.1. A C kúp és a martingálmértékek halmaza közti duális kapcsolat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. A haszonmaximalizálási probléma és a duálisa . . . . . . . 5.2.3. A minimaxmérték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128 . 129 . 129 . 131 . 132 . 137

6. A Frittelli-féle alaptétel 6.1. Arbitrázs és preferenciák . . . . . . . . . 6.1.1. A sztochasztikus dominancia . . . 6.1.2. A „no market free lunch”fogalma 6.2. Az alaptétel . . . . . . . . . . . . . . . .

145 . 145 . 145 . 147 . 149

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. 137 . 140 . 142

7. Arbitrázsfogalmak karakterizációja 153 7.1. Az arbitrázsmentesség és NFLVR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.2. Az Orlicz-terek elmélete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 ii

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték 7.3. A "nincs ingyenebéd" feltétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 7.4. Az életképesség egy újabb megközelítése . . . . . . . . . . . . . . . 158 8. Az állapotár de‡átor és az egy ár törvénye 8.1. Az egy ár törvénye kétperiódusos modellben . . . . . . . . . . . . 8.2. Állapotár de‡átor és kockázati prémium . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Az egy ár törvényének karakterizációja . . . . . . . . . . . . . . .

159 . 159 . 160 . 163

9. Összegzés

165

10.További kutatási lehet½oségek

168

A szerz½onek az értekezés témájához kapcsolódó publikációi

170

Irodalom

171

iii

Ábrák jegyzéke 1.1. A martingálmérték geometriai interpretációja . . . . . . . . . . . . 13 5.1. Konkáv függvény duális leírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

iv

Abstract This dissertation deals with the foundation of the theory of asset pricing in a frictionless market under the most general assumptions. At this level of abstraction, the pricing techniques, treated in the known monographs on mathematical …nance (e.g. [80], [33], [60] and [9]) do not work, so the semimartingale theory consists mainly of existence statements. One of the most important problem of asset pricing is the mathematical characterization of the economically consistent models of …nancial markets. From the economic point of view the assumption of no-arbitrage –i.e. the assumption that one cannot do business in which one can only gain with strictly positive probability but without exposure to risk –seems a fairly mild condition and it is astonishing what far-reaching consequences it has. Under the Fundamental Theorem of Asset Pricing we mean such types of statements which assert an equivalence between the above-mentioned consistency condition and some mathematical properties of the stochastic process describing asset prices. The fundamental theorem of asset pricing, loosely speaking, asserts that the absence of arbitrage is equivalent to the existence of an equivalent probability measure, under which the discounted price process is a "martingale", which means that there is a new …ctive probability – the martingale measure – under which one can’t systematically gain on average. It will be showed, the martingale measure play important role both in the theory of complete and incomplete markets. The aim of the dissertation is to survey the literature and the mathematical and economic antecedents of the fundamental theorem of asset pricing for semimartingale models, to present a didactic uni…ed treatment of the semimartingale approach of asset pricing and to simplify some of the original proofs. A new feature of the dissertation is that it does not focus on questions of pricing but on the relations of the arbitrage theory and the classical theory of economics.

Estratto Questa tesi si occupa della fondazione della teoria della valutazione mezzi …nanziari in un mercato privo di attrito sotto l’ipotesi più generale. A questo livello di astrazione, le tecniche di valutazione, trattati nelle monogra…e noti sulla …nanza matematica ([80], [33], [60] e [9]) non funzionano, quindi la teoria semimartingala consiste principalmente di dichiarazioni esistenzali. Uno dei problemi più importanti della valutazione è la caratterizzazione matematica dei modelli economicamente coerenti dei mercati …nanziari. Dal punto di vista economico l’assunzione di non-arbitraggio - cioè l’ipotesi che non si puµn fare business in cui si può solo guadagnare con probabilità strettamente positiva, ma senza esposizione al rischio - sembra una condizione abbastanza mite, ed è sorprendente quanto sono lontane le conseguenze di vasta portata che ha. Sotto il teorema fondamentale di valutazione si intende che questi tipi di dichiarazioni che a¤ermano un’equivalenza tra la condizione di coerenza di cui sopra e alcune proprietà matematiche del processo stocastico che descrivono i prezzi dei mezzi. Il teorema fondamentale di valutazione, in un senso non troppo preciso, a¤erma che l’assenza di arbitraggio è equivalente alla esistenza di una misura di probabilità equivalente, sotto il quale il processo di prezzo scontato è una "martingala", che signi…ca che c’è una probabilità nuova …ttizia - la martingala misura - in cui non si può sistematicamente guadagnare in media. Sarà mostrato che la misura martingala ha un ruolo molto importante sia nella teoria dei mercati completi che in quelle incompleti. Lo scopo della tesi è quello di una rassegna della letteratura e degli antecedenti matematici ed economici del teorema fondamentale di valutazione per i modelli semimartingale, e presentare un trattamento didattico uni…cato dei semimartingale approccio della valutazione e di sempli…care alcune delle prove originali. Una nuova caratteristica del lavoro di tesi è che non si concentra su una questione

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték della valutazione, ma sulle relazioni tra la teoria arbitraggio e la teoria classica dell’economia.

3

Kivonat Jelen értekezés a súrlódásmentes pénzpiacon történ½o árazás elméletének alapjaival foglalkozik, a lehet½o legáltalánosabb, szemimartingál árfolyamatokon alapuló megközelítésben. Az absztrakciónak ezen a szintjén az ismert pénzügyi matematikáról szóló monográ…ák (ld. pl.: [80], [33], [60] és [9]) által tárgyalt speciális árazási eljárások legtöbbje már nem m½uködik, így a szemimartingálokra vonatkozó elmélet els½osorban egzisztencia bizonyításokból áll. Az eszközárazás elméletének egyik legalapvet½obb kérdése, hogy egy pénzpiaci modellt mikor tekintünk közgazdasági szempontból konzisztensnek és milyen matematikai tulajdonságokkal karakterizálható egy ilyen modell. Közgazdasági szempontból az arbitrázsmentesség feltevése, vagyis az a feltevés, hogy a pénzpiacon nem köthetünk olyan üzletet amin pozitív valószín½uséggel nyerünk, anélkül hogy bármit is kockáztatnánk, nem t½unik túlságosan megszorítónak, és egészen megdöbbent½o, hogy milyen szerteágazó következtetéseket lehet levonni ebb½ol az ártalmatlannak t½un½o feltevésb½ol. A pénzügyi eszközök árazásának alaptételén általában olyan típusú állításokat értünk, amelyek a konzisztencia fenti közgazdasági követelményének és a pénzpiacot – pontosabban az eszközök árait – leíró sztochasztikus folyamat valamely matematikai tulajdonságának ekvivalenciájáról szólnak. A legtöbb modellben bizonyítható annak az általános elvnek valamilyen formája, miszerint az arbitrázsmentesség feltevése ekvivalens azzal az állítással, miszerint a létezik egy olyan valószín½uség, amiszerint az értékpapírok diszkontált árfolyamata egy bizonyos értelemben martingál. Mint látni fogjuk, az ún. martingálmérték mind a teljes, mind a nemteljes piacok elméletében fontos szerepet játszik. Jelen értekezés célja részben az alaptétel szemimartingálokra vonatkozó irodalmának, valamint közgazdaságtani és matematikai el½ozményeinek áttekintése, részben pedig a szemimartingálokra vonatkozó elmélet didaktikus egységes keretben való tárgyalása, helyenként pedig az eredeti cikkekben található bizonyítások egy-

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték szer½usítése. Az értekezés egy újszer½u vonása, hogy nem az árazás kérdésére öszpontosít, hanem az arbitrázselmélet és a klasszikus közgazdaságtan kapcsolódási pontjait kívánja hangsúlyozni.

5

1. fejezet Bevezetés 1.1.

Az alaptétel

A közgazdasági elmélet központi eleme a hatékony piacok elmélete, vagy ahogyan az elméletet vitatók nevezni szokták a piaci fundamentalizmus. Ez a széles körben használt gondolatrendszer képezi a pénzügyi eszközök árazásának, illetve a rá épül½o piaci kockázatkezelés gyakorlatának hátterét. A gondolatrendszer három alapvet½o feltételre épül. Az egyik a teljesség feltételezése, a másik az arbitrázs hiányának megkövetelése, a harmadik pedig a tranzakciós költségek elhanyagolhatósága. Mind a három inkább egy elv mint egy konkrétan megfogható matematikai állítás. A teljesség feltétele némiképpen elnagyoltan azt mondja ki, hogy a piacokon lev½o nagyszámú eszköz között jelent½os redundancia van. Éppen ezért elegend½o a termékek egy sz½uk csoportjának, az alaptermékeknek meg…gyelni az árát, a többi termék ára már ezekb½ol matematikai úton leszármaztatható. A leszármaztathatóság oka az arbitrázsmentesség és a tranzakciós költségek hiánya. A matematikai, úgymond képletszer½u kapcsolat esetén az elhanyagolható tranzakciós költségek miatt a teljesség által garantált matematikai összefüggés alapján az alaptermékekb½ol létrehozható, kikeverhet½o egy kompozit termék, amely úgymond replikálja az eredeti terméket és így a két termék ára meg kell hogy egyezzen. Két azonos méret½u és korú tojás ára azonos kell, hogy legyen, függetlenül attól, hogy melyik tyúk tojta. Ellenkez½o esetben úgymond arbitrálni lehetne, vagyis az olcsóbb terméket meg lehetne venni, és a vele azonos tulajdonságú de drágább terméket el lehetne adni és így biztos pro…tra lehetne szert tenni. Közgazdasági szempontból természetesen mind a három feltétel vitatható, különösen a korlát-

6

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték lan és kontrolálatlan használatuk problémás. Ugyanakkor ezek az elvek mélyen és alapvet½oen meghatározzák a pénzügyi világ gondolatrendszerét, ahogyan a piaci szerepl½ok a piacot látják, vagy látni vélik. A pénzügyi szektor legf½obb tevékenysége éppen a redundancia feltárásában van1 . A redundanciára épül½o fedezéssel a kockázat csökkenthet½o, illetve a termékekben lev½o kockázatok elvileg átcsomagolhatóak és az egyes piaci szerepl½ok számára diverzi…káltan kínálhatók. Még a naiv intuició alapján is érezhet½o, hogy a három feltétel közül a teljesség feltétele a leginkább vitatható. Természetesen a kulcskérdés az, hogy milyen eszközök állnak rendelkezésünkre a kompozit termék kialakításakor. Matematikailag milyen transzformációk használhatók amikor a redundanciát ki akarjuk aknázni? Modellezési oldalról ez úgy fogalmazható meg, hogy milyen operációk engedhet½ok meg a kompozit termékek el½oállításakor? Természetesen minél b½ovebb és minél „vadabb” matematikai eszközöket engedünk meg, annál szélesebb lesz az el½oállítható termékek köre. Így tehát adott modellen belül beszélhetünk csak a teljességr½ol. Nyilvánvaló módon a matematikai modellekben szerepl½o el½oállíthatóság és a tényleges el½oállíthatóság nem fedi egymást. Már az egyszer½u lineáris kombináció is olyan kompozit termékeket enged meg, amelyek a valóságban nem realizálhatóak. Például hogyan állítjuk el½o két termék irracionális súlyokkal vett lineáris kombinációját? És akkor még nem is említettük a sztochasztikus integrálok különböz½o osztályait és egyéb, a területen alapvet½o m½uveleteket, amikor az el½oállíthatóságot egy id½oben folytonosan változó súlyrendszerrel valósítjuk meg2 . Nyilván a közgazdasági elmélet azon aspektusai kerülnek be a matematikai modellekbe, amelyek a matematika eszköztárával jól kezelhet½ok. Érdekes módon az alapvet½o teljesség feltétele matematikailag nehezebben tárgyalható, így a vezet½o matematikusok inkább az arbitrázsmentesség feltételére koncentráltak. Ennek oka, hogy az arbitrázsmentesség gondolata jól beilleszthet½o a modern matematika egyik központi elméletébe, a dualitáselméletbe. Jelen értekezésben kizárólag az arbitrázsmentesség feltételére fogunk koncentrálni, és a teljesség feltételével nem kívánunk élni. Az arbitrázsmentesség végs½o soron azt állítja, hogy a lehetséges kompozit termékek között csak egy olyan van, amely nem negatív, nevezetesen az azonosan 1

A fel nem tárt redundancia mögött általában a piac nem kell½o hatékonysága áll, amit ki lehet használni és így közvetett módon a hatékonyságot növelni lehet. Legalábbis ez az ideológia. 2 Úgymond dinamikusan fedezünk, vagyis folyamatosan minden id½opontban más és más, nyilván irracionális súlyokkal replikáljuk az adott pénzügyi eszközt. Vagyis már maga a redundancia fogalma is az alkalmazott matematikai fogalomrendszer keretében értelmezhet½o.

7

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték nulla3 . Vagyis az arbitrázsmentesség azt állítja, hogy két halmaz csak egy közös pontban metszi egymást4 . A közgazdasági matematikában triviálisan ismert észrevétel, hogy ez a helyzet jól jellemezhet½o a szeparáló hipersíkokról szóló tétellel5 . A tétel használatához két dolgot kell tenni: biztosítani kell, hogy a halmazok konvexek és hogy zártak legyenek. A konvexitás feltétele általában viszonylag egyszer½uen garantálható, elég feltenni, hogy a lehetséges stratégiák konvex módon kombinálhatók legyenek. A dolog emlékeztet a játékelmélet kevert stratégiáinak bevezetésére. A stratégiai halmazok konvexitása egy olyan bevett és rutinszer½uen használt feltétel a közgazdasági elméletben, amelynek használata jószerével már fel sem t½unik. Míg a stratégiai halmazok konvexitása például az általános egyensúlyelméletben széles körben használt, de azért vitatott feltétel, a pénzügyi elméletben minden további nélkül elfogadott6 . A pénzügyi elméletben a konvexitás eléréséhez egyedül azt kell feltenni, hogy a pénzügyi termékekb½ol szabadon portfoliót lehet csinálni, vagyis szabadon vehetjük a termékek lineáris kombinációit. Az egyedüli újszer½unek mondható probléma, hogy vehetjük-e a termékek negatív együtthatóval vett kombinációit vagy sem7 . Miként látni fogjuk a probléma az elválasztandó halmazok zártságával van, amely zártság biztosítása az alább ismertetett tételek bizonyításának legf½obb nehézsége. Ennek oka, hogy természetes módon a pénzügyi elmélet valószín½uségi változókkal foglalkozik, és valószín½uségi változók esetén már magának a konvergenciának a fogalma sem egyértelm½u. Másképpen fogalmazva a pénzügyi elmélet megalapozását adó arbitrázstételek matematikai szempontból lényegében megegyeznek a közgazdasági elmélet területén használt szokásos dualitási eszköztárral. 3

Vagyis nem lehet olyan portfoliót összeállítani, amely egy valószín½uséggel nem negatív miközben pozitív valószín½uséggel pozitív. 4 Egészen pontosan arról van szó, hogy a lehetséges portfoliók halmaza és a nem negatív valószín½uségi változók halmaza csak egy pontban –a nulla pontban –metszik egymást. 5 Ezt az elvet számtalan tételben használjuk. Jószerével ez az els½o olyan gondolat, amivel egy matematikus közgazdász tanulmányai során megismerkedik. A lineáris programozás dualitási tétele, a jóléti közgazdaságtan második tétele, a Kuhn–Tucker tételek, a játékelmélet nyeregponttételei stb. Dualitáselmélet alatt azokat a matematikai eredményeket értjük, amelyek a konvex halmazok hipersíkkal való elválaszthatóságára épülnek. 6 Valójában a konvexitás a pénzügyi eszközök területén jóval természetesebb mint az általános egyensúlyelméletben. Az oszthatatlanság megkövetelése mindig is az általános egyensúlyelmélet kritikájának egyik eleme volt. Az oszthatatlanság kérdése a pénzügyekben nem játszik szerepet. 7 Érdekes módon a matematikai elméletben az egyik legfontosabb közgazdaságilag inspirált áttörés a feltételes optimalizációban a nem negatív változók bevezetése és az ebb½ol ered½o komplikációk kezelése volt. Ez nagyban hozzájárult a konvex analízis kidolgozásához. Mivel a pénzügyekben az egyes változók lehetnek negatívak is, a stratégia halmazok általában alterek, ami a tárgyalást egyszer½usíti.

8

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték A matematikai eszköztár elvi szintjén az eltérés egyedül abból származik, hogy mivel a modellek dinamikusak és sztochasztikusak is, ezért a matematikai objektumok, amelyek körében a konvex analízis szokásos gondolatait alkalmazni kell, matematikailag nagyon bonyolultak. A szeparáló sík közgazdasági interpretációja mindig is a közgazdasági elmélet központi kérdése volt8 . Az általános és rutinszer½uen használt válasz az, hogy a szeparáló sík az egyensúlyi árakat, vagy valamilyen szempontból az optimális árakat írja le. Az arbitrázselméletben a szeparáló hipersík mint martingálmérték jelenik meg. A martingálmérték a Lagrange-szorzók dinamikus, sztochasztikus környezetbeli párja. Jelen értekezés, az eszközárazás egyik központi problémájára, a martingálmérték létezésére vonatkozó irodalom áttekintésével, az arbitrázselmélet egyik matematikailag legmélyebb területének és a klasszikus közgazdaságtannak a kapcsolódási pontjait igyekszik feltárni. Az arbitrázselmélet egyik központi fogalma a martingál, ami a sztochasztikus folyamatok egy igen speciális osztályát jelöli. A martingál tulajdonság lényege legegyszer½ubben a számegyenesen vett véletlen bolyongás fogalmából kiindulva érthet½o meg. Képzeljük el, hogy az origóból kiindulva, minden periódusban egyenl½o valószín½uséggel vagy jobbra vagy balra lépünk egyet. Ekkor minden t-re, a tedik id½opontbeli helyzetünk egy valószín½uségi változó. Ha történetesen a t-edik id½opillanatban a számegyenes a pontjában vagyunk, akkor a következ½o pillanatban a helyzetünk várható értéke éppen a lesz, és ez természetesen független attól, hogy hogyan jutottunk az a helyzetbe. A martingál tulajdonság a véletlen bolyongás ezen tulajdonságának egy általánosítása. Kissé leegyszer½usítve a dolgot, a valószín½uségi változók egy X(1), X(2),... sorozata martingál, ha minden t-re igaz, hogy X(t) = a esetén az X(t + 1) várható értéke is éppen a. Kissé formálisabb jelölést használva E [X(t + 1) j Ft ] = X(t), ahol Ft -algebra jelöli a befektet½ok információs struktúráját a t-edik id½opontban.9 A pénzügyi eszközök árazásának alaptétele10 kissé pongyolán megfogalmazva azt állítja, hogy egy értékpapírpiacon akkor nincs „arbitrázs”, ha létezik egy az eredetivel ekvivalens valószín½uségi mérték11 , amelyre vonatkozóan az értékpapírok 8

Gondoljunk csak a lineáris programozás duális megoldásának interpretációjára, vagy a Lagrange szorzók közgazdasági tartalmára. 9 Ld.: 10. de…níció. 10 A ”fundamental theorem of asset pricing„ elnevezést a fentihez hasonló értelemben el½oször P. H. Dybvig és R. A. Ross [31] használta. 11 Két mérték ekvivalenciája azt jelenti, hogy mindkét mérték szerint ugyanazok a nullmérték½u halmazok.

9

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték diszkontált árait leíró folyamat egy bizonyos értelemben „martingál”(ld. 24., 26. és 31. tétel), vagyis létezik olyan új valószín½uségi mérték, amely alatt pénzügyi eszközök segítségével nem lehet szisztematikusan átlagban nyerni. Hogy egészen pontosak legyünk, az állítás ebben a formában inkább csak egy alapelv, ami akkor válik ténylegesen igazolható állítássá, ha pontosan de…niáljuk az „arbitrázsmentesség” és „martingál" fogalmakat. Mint látni fogjuk, ezek pontos tartalma modellosztályonként eltér½o lehet. Ezen a ponton érdemes egy nyilvánvaló, de azért igen fontos megjegyzést tenni. A tétel nem azt állítja, hogy a pénzügyi eszközök az arbitrázs hiánya esetén martingált alkotnak, vagyis hogy hosszú id½o átlagában nem lehet rajtuk pénzügyi eszközökkel nyerni12 . A martingál tulajdonság kikényszerítéséhez két dolgot kell tenni. Egyrészt a folyamatokat diszkontálni kell, másrészt az egyes kimenetelekhez tartozó valószín½uségeket ki kell cserélni egy mesterséges valószín½uségre. Vagyis az egyes kimenetelek esetén elérhet½o nyereségeket és veszteségeket nem azok bekövetkezésének tényleges valószín½usége szerint kell súlyozni, hanem egy mesterségesen vett súlyrendszer szerint. A két mérték ekvivalenciája azt jelenti, hogy a pozitív valószín½uség½u halmazok súlya nem lesz nulla és fordítva. A szeparáló sík az új és a régi valószín½uségek arányát adja meg. Mit jelent az, ha egy halmaz valószín½usége a kétszeresére n½ott és mit jelent az, ha a felére csökkent? Az elmélet a maga tiszta voltában erre nem ad választ, pusztán annyit mond, hogy az alkalmas súlyok megadhatóak13 . Másképpen a nincsen arbitrázs feltétel, vagyis hogy két alkalmas konvex halmaznak nincsen közös pontja, a modell megfelel½oen speci…kált feltételei miatt pontosan azt jelenti, hogy van elválasztó sík, amely normálisának segítségével az egyes valószín½uségeket ténylegesen átskálázva az eredeti folyamat az átskálázott valószín½uségek esetén hosszú id½o átlagában pusztán pénzügyi eszközökkel nem lesz manipulálható. A matematikai alapprobléma szemléltetéséhez tekintsünk egy olyan kétperiódusos pénzpiaci modellt, ahol az állapottér az = f! 1 ; ! 2 g kételem½u halmaz. A P valószín½uségi mértéket a p = (p1 ; p2 ) vektor reprezentálja, ahol p1 = P(f! 1 g) > 0, 12

Nyilván lehet. A martingál tulajdonságot sok esetben félreértik. Hosszú id½o átlagában a valós valószín½uségekhez tartozó valós világban lehet pozitív nyereséget biztosítani. Ezt a matematikai fantáziavilágban létez½o martingálmérték alatt nem lehet megcsinálni. De senki sem állítja, hogy a két valószín½uség azonos. A martingálmérték a nyer½o esetek valószín½uségét csökkenti, a veszteségekét növeli, így az esélyeket átlagban kiegyenlíti. Az arbitrázs hiánya csak bizonyos igen enyhe konzisztencia feltételt ír el½o, de a konzisztencia feltételek közé nem tartozik az, hogy hosszú id½o átlagában nem lehet nyerni. 13 Ezek a súlyok kulcsszerepet játszanak a származtatott termékek árazásában, de erre most nem térünk ki. Az ekvivalencia azt jelenti, hogy a súlyok, arányok kiszámolásakor nem lép fel semmilyen nullával való osztásból származó probléma.

10

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték p2 = P(f! 2 g) > 0, P(;) = 0 és P(f! 1 ; ! 2 g) = 1. Ekkor az feletti valószín½uségi változók halmaza éppen az R2 , és a fentiek alapján az x 2 R2 valószín½uségi változó várható értéke a px skaláris szorzat. Tegyük fel, hogy a pénzpiacon egy nulla kamatozású kockázatmentes kötvénnyel és egy kockázatos értékpapírral lehet kereskedni, és a kockázatos értékpapír hozama a fenti halmazon értelmezett R valószín½uségi változóval írható le. Ekkor rendre H1 és H2 -vel jelölve az els½o periódusban kötvénybe illetve kockázatos értékpapírba fektetett pénzmennyiséget, a H = (H1 ; H2 ) kereskedési stratégia ki…zetése nyilván a H1 +H2 (1+R) valószín½uségi változó. A fenti modellben feltételes követelésnek nevezzük az R2 beli elemekkel reprezentálható f = (f1 ; f2 ) ki…zetéseket, melyek p1 valószín½uséggel f1 és p2 valószín½uséggel f2 ki…zetést biztosítanak a követelés birtokosának. Jelöljük A-val a zérusvektortól különböz½o nemnegatív koordinátájú R2 -beli elemek halmazát, valamint K-val a nulla induló vagyonnal megvalósítható összes lehetséges kereskedési stratégiák ki…zetéseinek halmazát, vagyis azon H1 +H2 (1+R) ki…zetéseket melyekre H1 +H2 = 0. Ekkor azt mondjuk hogy nincs arbitrázs, ha K \ A = ;, vagyis ha nulla induló vagyon segítségével nem juthatunk olyan második periódusbeli véletlen ki…zetéshez, mely minden kimenetel esetén nemnegatív, és legalább egy kimenetel esetén pozitív érték½u. Például az (1; 1) vagy az (1; 0) ; illetve az (0; 1) ki…zetés vektorok – vagyis feltételes követelések – arbitrázst tartalmaznak, ugyanis pozitív valószín½uséggel nyereséget biztosítanak, miközben a veszteség valószín½usége nulla. Vegyük észre, hogy ez nem függ a valószín½uségi mérték megválasztásától, mindaddig, amíg egyik kimenetel valószín½usége sem nulla, vagyis amíg a szóban forgó valószín½uség az eredetivel ekvivalens. Következésképpen a piac arbitrázsmentességének tulajdonsága invariáns az ekvivalens valószín½uségi mérték megválasztására vonatkozóan. Ez a meg…gyelés motiválja a következ½o jelölés bevezetését. Jelöljük P -vel az x1 > 0; x2 > 0 és x1 + x2 = 1 feltételeknek elegettev½o R2 -beli (x1 ; x2 ) elemek halmazát. Ez utóbbi halmaz geometriailag egy olyan nyílt szakasszal reprezentálható, melynek végpontjai (0; 1) és (1; 0) (ld.: 1.1. ábra). A P halmaz elemeihez, csakúgy mint a (p1 ; p2 ) vektor esetében láttuk egyértelm½uen hozzá tudunk rendelni egy valószín½uségi mértéket14 . Minden ilyen mérték ekvivalens lesz a P valószín½uségi mértékkel, hiszen mindkét mérték szerint csak az üres halmaz nulla valószín½uség½u, s½ot könnyen belátható, hogy minden P-vel ekvi14

Minden (x1 ; x2 ) 2 P vektort azonosítsunk azzal a valószín½uségi mértékkel, mely szerint az ! 1 kimenetel valószín½usége x1 és az ! 2 valószín½usége x2 .

11

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték valens valószín½uségi mérték P -beli elemmel reprezentálható.15 Érdemes hangsúlyozni, hogy ha nincs arbitrázs, akkor a ( 1; 1) szintén nem lehet eleme a K-nak ugyanis a pénzügyekben ha valamely változó megengedett, akkor általában a negatívja is megengedett, mivel az egyik vektor a termék vételét, a másik az eladását reprezentálja, és a vétel, illetve az eladás eredménye egymás ellentettje. Ugyancsak pénzügyi feltételek miatt feltehetjük, hogy a termékek negatív súlyok felhasználásával is kombinálhatóak, így a K egy lineáris altere R2 nek. Következésképpen a K egy origón áthaladó egyenessel reprezentálható, amely egyenes a nincsen arbitrázs feltétel miatt nem metszi a pozitív síknegyedet (ld.: 1.1. ábra). A geometriai interpretáció alapján nyilvánvaló, hogy a nincs arbitrázs feltétel ekvivalens azzal, hogy a K-ra mer½oleges vektorok K ? halmazára K ? \ P 6= ;. Ez azt jelenti, hogy van olyan q 2 P valószín½uségi mérték, amely mer½oleges minden x 2 K-ra. Mivel két vektor pontosan akkor mer½oleges egymásra ha a skaláris szorzatuk zérus, ezért ez azt jelenti, hogy van olyan q 2 P valószín½uségi mérték, hogy minden K-beli x-re qx = 0, vagyis amely mellett a K minden elemének várható értéke nulla. Mivel ez speciálisan a (H1 ; H2 ) = ( 1; 1) kereskedési stratégia 1 + (1 + R) ki…zetésvektorára is teljesül, ez azt jelenti, hogy R várható értéke zérus, vagyis a kockázatos értékpapír ára q szerint martingál. Összefoglalva az eddigieket, a fenti geometriai okoskodásból világosan látszik, hogy az itt tárgyalt kétdimenziós pénzpiacon pontosan akkor nincs arbitrázs, ha létezik egy az eredetivel ekvivalens martingálmérték. A továbbiakban fontos szerepet fog játszani a C = K R2+ halmaz16 , és annak C 0 polárisa17 . Mivel a C halmaz konvex kúp, vagyis az összeadás mellett zárt a nemnegatív konstanssal való szorzásra, ezért C 0 = fy 2 Rn j (8x 2 C) : yx 15

0g :

A félreértések elkerülése végett megjegyezzük, hogy bár mind a K mind a P halmaz elemeit ugyanaban a koordináta rendszerben ábrázoltuk, ezen halmazok pontjai egymással még csak köszön½o viszonyban sem állnak. Általános egyensúlyelméleti analógiával élve azt mondhatjuk, hogy míg a K halmaz a jószágtér egy részhalmza, a P halmaz minden eleme egy árrendszert határoz meg, és valójában a jószágtér duálisában fekszik. Mivel véges dimenzióban mind a primál térnek mind a duálisának pontjai ugyanazon Rn -beli pontokkal reprezentálhatóak, ezért a K és a P közös koordinátarendszerben ábrázolható. 16 Kreps nevéhez f½uz½odik az a felismerés, hogy általánosabb modellek esetén szükség van az ún. díjmentes lomtalanítási feltevésre (ld.: [64]). Ezen feltevés mellett a zérus indulóvagyon révén elérhet½o ki…zetések halmaza nem K lesz, hanem K R2+ . 17 A konvex analízis szóhasználatával egy B 2 Rn halmaz polárisának nevezzük, és B 0 -lal jelöljük az fy 2 Rn j (8x 2 B) : yx 1g halmazt.

12

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték

K

A

a

1

K

P

q

1

1.1. ábra. A martingálmérték geometriai interpretációja Fenti geometriai interpretációból világosan látszik, hogy egyrészt az ekvivalens martingálmértékek pontosan a C és A halmazokat elválasztó szeparáló hipersíkok egységnyi l1 normájú normálvektorai, másrészt a C 0 egységnyi normájú elemeinek halmaza éppen az ekvivalens martingálmértékek halmazával egyezik meg. Minthogy az arbitrázselméletben nem beszélhetünk egyensúlyról, ígyhát egyensúlyi árról sem, ezért meg kell mondanunk, hogy ebben az esetben milyen értelemben beszélhetünk egy feltételes követelés áráról. A fenti modellben azt mondjuk, hogy egy f = (f1 ; f2 ) feltételes követelés arbitrázsmentes ára s, ha a modellt de…niáló értékpapírpiacot kiegészítve az (fi s) =s, i = 1; 2 hozamú feletételes követeléssel mint értékpapírral, az így kapott kib½ovített piac arbitrázsmentes marad. Modellünkben egy f követelést replikálhatónak nevezünk, ha valamely H = (H1 ; H2 ) kereskedési stratégia ki…zetése, vagyis H1 + H2 (1 + R) éppen f . 13

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Megmutatjuk, hogy érvényes az ún. kockázatsemleges értékelés elve, miszerint tetsz½oleges replikálható f követelés arbitrázsmentes ára éppen az f követelésnek a q martingálmérték szerinti várható értéke. Mivel f el½oállítható a ( H2 ; H2 ) és a (H1 + H2 ; 0) stratégiák összegeként is, és ( H2 ; H2 ) ki…zetése K-beli, ezért a fentiek alapján, és a várhatóérték képzésének linearitásából következik, hogy az f q szerinti várható értéke éppen H1 + H2 , ami éppen a H kereskedési stratégiához szükséges kezd½o vagyon. Ha az f követelés s ára nagyobb volna mint H1 + H2 , akkor az f követelést eladva, e-mellett a H kereskedési stratégiát követve, továbbá s (H1 + H2 ) összeget a kockázatmentes kötvénybe fektetve, a kib½ovített piac egy olyan kereskedési stratégiáját kapjuk, amely s (H1 + H2 ) biztos ki…zetést biztosít, ugyanakkor zérus kezd½ovagyon segítségével megvalósítható, vagyis arbitrázs. Ezzel beláttuk hogy az s nem lehet nagyobb mint az f q szerinti várható értéke. Hasonló arbitrázs megfontolásokkal belátható, hogy s nem lehet kisebb sem mint az f q szerinti várható értéke. Ahogy arra már korábban utaltunk, általános esetben nem az értékpapírok árfolyamata, hanem azok diszkontált árfolyamata lesz a martingálmérték szerint martingál. Ebben az esetben a kockázatsemleges értékelés elve azt mondja, hogy tetsz½oleges replikálható követelés arbitrázsmentes ára éppen a követelés diszkontált értékének valamely martingálmérték szerinti várható értéke. Természetesen el½ofordulhat, hogy bizonyos ki…zetések az adott modellben nem replikálhatóak, vagyis a modell nem teljes. Ebben az esetben a feltételes követelések árazása nem oldható meg a befektet½ok preferenciáinak explicit szerepeltetése nélkül. Látni fogjuk, hogy az ekvivalens martingálmérték ebben az esetben is fontos szerepet játszik bizonyos portfolióválasztási döntések vizsgálatában. A bemutatott gondolatmenet minden különösebb bonyodalom nélkül kiterjeszthet½o a többdimenziós modellekre, mindaddig, amíg a probléma véges dimenziós marad, hiszen ezekben az esetekben a K halmaz triviálisan zárt, mivel tetsz½oleges topologikus vektortér véges dimenziós altere zárt. A releváns dinamikus sztochasztikus modellekben azonban –pl. amikor az id½ohorizont végtelen, vagy az id½oparaméter folytonos, vagy csak egyszer½uen nem végesen generált a valószín½uségi mez½o – a feltételes követelések tere tipikusan végtelen dimenziós, és – ahogy funkcionálanalízisb½ol tudjuk –ilyenkor a matematikai problémák zöme topológiai természet½u, így többek között a K zártsága sem fog automatikusan teljesülni, s½ot ennek biztosítása teszi ki a bizonyítások túlnyomó részét. A bemutatott kétdimenziós példa jól mutatja az arbitrázsárazás lényegét, ám több szempontból félrevezet½o. A modell egy speciális vonása a véges számú perió14

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték dus feltételezése. Látni fogjuk, hogy végtelen számú kereskedési periódus esetén, korlátlan er½oforrásra támaszkodva, egy valószín½uséggel biztos pozitív ki…zetéshez juthatunk, ezért ezeket a stratégiákat ki kell zárnunk a lehetséges stratégiák közül. Ennek eredményeképpen a K halmaz általános esetben már nem altér, hanem csak kúp lesz. A fenti modell egy másik kellemes tulajdonsága, hogy a primer tér –általános egyensúlyelméleti terminológiát használva a jószágtér, vagyis esetünkben a feltételes követelések tere –és a duális tér –vagyis az árrendszert, speciálisan a martingálmértéket tartalmazó tér –ugyanabban a koordinátarendszerben ábrázolható. Általánosabb, és egy kicsit precízebb megfogalmazásban, tetsz½oleges n-dimenziós szeparált topológikus vektortér topológikusan izomorf18 az Rn térrel, így ebben az esetben nincs értelme sem egy absztrakt topológia fogalom bevezetésének, sem a primer- és duális terek megkülönböztetésének. Végtelen dimenziós topológikus vektortérben azonban a topológia megválasztása már nem egyértelm½u, ezért jóval nehezebb biztosítani hogy mind a primer tér, mind annak topológikus duálisa19 illeszkedjen a közgazdasági problémához. Ez legtöbbször sem a végtelen dimenziós általános egyensúlyelméletben, sem az arbitrázselméletben nem teljesül. Ilyenkor a célnak megfelel½o árrendszer létezését többek között a szerepl½ok preferenciáira vonatkozó megkötésekkel lehet biztosítani. A martingálmérték létezésér½ol szóló els½o állítást M. Harrison és S. R. Pliska [44] bizonyítják arra az esetre, amikor a valószín½uségi mez½o végesen generált. Azóta a tételnek számos általánosítása született. Ezek közül az egyik legismertebb a Dalang–Morton–Willinger-tétel (ld.:[19]), ami már teljesen általános valószín½uségi mez½ob½ol indul ki, de felteszi, hogy az id½oparaméter diszkrét és az id½ohorizont véges. Szintén úttör½o jelent½oség½u Krepsnek az az eredménye (ld. [64]), miszerint az ún. „nincs ingyenebéd”feltétel egyenérték½u az ekvivalens martingálmérték létezésével. Bár Kreps ezen eredménye már szemimartingál modellekre is alkalmazható, az ebben szerepl½o „nincs ingyenebéd” fogalom sajnos közgazdaságtanilag nehezen interpretálható. Szemimartingál modellekre a probléma kielégít½onek tekinthet½o megoldását végülis F. Delbaen és W. Schachermayer adják meg ([21] és [23]). Ez utóbbi eredmény a pénzügyi matematika egyik csúcsteljesítménye20 . Bizonyítása igen hosszadalmas, és a funkcionálanalízis valamint a sztochasztikus folyamatok 18

Vagyis algebrailag izomorf és homeomorf. Vagyis a primer téren értelmezett folytonos, lineáris funkcionálok tere. 20 A Bichteler–Dellacherie-tételb½ol tudjuk, hogy a szemimartingál a legáltalánosabb sztochasztikus folyamat, amely szerint egy viszonylag jó tulajdonságú sztochasztikus integrál de…niálható, ezért a Delbaen–Schachermayer-tétel a maga nemében egy igen általános állítás. 19

15

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték – P. A. Meyer és a strassbourgi-iskola matematikusai által a 60-as évek végét½ol kezdve kidolgozott – általános elméletének mély eredményeit használja. Bár a Delbaen–Schachermayer-tétel bizonyítását Kabanov [57] némileg egyszer½usítette, meggy½oz½odésünk szerint annak bizonyítása továbbra is csak kevesek által hozzáférhet½o. Kevésbé ismert, hogy az alaptételnek létezik egy közgazdaságtanilag a Delbaen–Schachermayer-tétellel azonos tartalmú és mélység½u, Frittelli nevéhez f½uz½od½o változata (ld.:[38] és [39]), amely az arbitrázsmentesség preferenciák segítségével történ½o karakterizációján alapul, és melynek bizonyítása jóval egyszer½ubb matematikai eszközöket igényel. Jelen értekezés célja részben az alaptétel szemimartingálokra vonatkozó irodalmának, valamint közgazdaságtani és matematikai el½ozményeinek áttekintése, részben pedig a szemimartingálokra vonatkozó elmélet didaktikus egységes keretben való tárgyalása, helyenként pedig az eredeti cikkekben található bizonyítások egyszer½usítése. Az értekezés egy újszer½u vonása, hogy nem az árazás kérdésére öszpontosít, hanem az arbitrázselmélet és a klasszikus közgazdaságtan kapcsolódási pontjait kivánja hangsúlyozni.

1.2.

Az értekezés felépítése és újszer½u eredményei

Az értekezés második fejezete bemutatja azokat a fontosabb közgazdaságtani és matematikai el½ozményeket, amelyek a Delbaen–Schachermayer-tétel bizonyításához elvezettek. Ebben a fejezetben megmutatjuk, hogy a martingálmérték fogalma szorosan kapcsolódik a bizonytalanság melletti általános egyensúlyelmélet Arrow– Debreu-féle modelljéhez, valamint a Radner-egyensúly fogalma segítségével megadjuk a martingálmérték egy lehetséges közgazdasági interpretációját. Látni fogjuk, hogy a martingálmérték valójában egy a replikálható portfoliók alterér½ol az összes feltételes követelések terére kiterjesztett árazó funkcionált reprezentál, ennek megfelel½oen ebben a fejezetben az alaptétel –a 60-as és 70-es évek pénzügyi irodalmával összhangban – mint az árazó funkcionál kiterjeszthet½oségének problémája jelenik meg. Ebben a fejezetben megadjuk az arbitrázs pontos de…nícióját kétperiódusos modellre, majd rámutatunk hogy általános21 valószín½uségi mez½o, vagyis –általános egyensúlyelméleti analógiával élve –végtelen dimenziós jószágtér esetén az arbitrázsmentesség már nem elégséges feltétele a kiterjesztett árazó funkcionál létezé21

Vagyis nem végesen generált.

16

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték sének, ezért szükséges az arbitrázsmentességnél er½osebb fogalmak, az életképesség és nincs ingyenebéd fogalmak bevezetése. Látni fogjuk, hogy az alaptétel végtelen dimenzióra való kiterjesztése nem zökken½omentes, a fellép½o topológiai problémák miatt a funkcionálanalízis klasszikus szeparációs tételei nem alkalmazhatóak. A fejezet utolsó alpontjában, egy tömör történeti áttekintést követ½oen, megadjuk többek között a …ltráció, az el½orejelezhet½o folyamat, a martingál, a lokális martingál és szemimartingál pontos de…nícióját, és ismertetjük a sztochasztikus folyamatok általános elméletének néhány kevésbé ismert, kés½obb felhasználásra kerül½o eredményét, továbbá a lognormális modellen keresztül megmutatjuk, hogy a Girsanov-transzformáció segítségével az ekvivalens martingálmérték igen egyszer½uen meghatározható. A harmadik fejezetben az arbitrázsmentesség fogalmát kiterjesztjük több periódusos modellekre és kimondjuk az alaptétel diszkrét, véges id½ohorizontra vonatkozó alakját. Ez a fejezet tárgyalja az ön…nanszírozó portfólió fogalmát és az ehhez szorosan kapcsolódó ármérce invariancia tételt, amit [53] alapján általános szemimartingál modellekre is bizonyítunk. Ezt követ½oen a negyedik fejezetben [21] alapján teljes bizonyítását közöljük a Delbaen és Schachermayer nevéhez f½uz½od½o alaptételnek. A disszertáció ezen fejezete a legkidolgozottabb és ebben találhatóak a disszertáció újszer½unek mondható technikai jelleg½u eredményei.22 Bár valóban újnak mondható bizonyítást nem sikerült adnunk a tételre, ennek ellenére az eredeti bizonyítást számos ponton egyszer½usítettük és összességében érthet½obbé tettük. Többek között sikerült lényegesen leegyszer½usíteni a 4.1.1. alpontban található 36. lemma bizonyítását, valamint az alaptétel bizonyításában kulcsszerepet játszó 4.1.3. alpontbeli 40. tételre az irodalomban található Mackey–Arens-tételen alapuló bizonyítás helyett egy valamivel elemibb bizonyítást közlünk.23 Ezenkívül a 4.1.2. alpontbeli 37. lemma [21]beli transz…nit indukciós bizonyítása helyett el½oször bemutatunk egy transz…nit rekurzión alapuló bizonyítást, majd egy teljesen elemi bizonyítást. Végül érdemes kiemelni, hogy az 4.1.1. alpontban sikerült pontosan tisztázni a bizonyításban többször is felhasznált 35. lemma szerepét, és sikerült olyan alakban megadni, amely némileg jobban illeszkedik az itteni alkalmazásokhoz. Az ötödik fejezetben megmutatjuk, hogy az alaptételhez szorosan kapcsolódik 22

Megjelent: Badics T. – Medvegyev P.: Pénzügyi eszközök árazásának alaptétele lokálisan korlátos szemimartingál árfolyamok esetén, Szigma, 2009/3.4. 23 Az eredmény publikálását követ½oen Rásonyi Miklós szóbeli közléséb½ol megtudtuk, hogy Kabanovnak létezik egy az ittenihez hasonló, feltehet½oleg publikálatlan bizonyítása.

17

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték a portfólió optimalizálás dualitáselmélete, ugyanis az eredeti haszonmaximalizációs probléma ekvivalens egy a martingálmértékek halmazán való minimalizálással, ami a gyakorlati alkalmazásokban dualitási technikák felhasználásával oldható meg. Ebben a fejezetben el½oször röviden ismertetjük a pénzügyi eszközök árazásának duális megközelítését, a Bellini–Frittelli-féle dualitási tételt és annak egy érdekes, szemimartingál modellekre történ½o alkalmazását (ld. [7]), majd a hatodik fejezetben bemutatjuk az alaptétel Frittelli-féle alakját melynek szintén teljes bizonyítását közöljük, végül, miután áttekintettük az Orlicz-terekre vonatkozó szükséges el½oismereteket, [38], [39] és [62] alapján megmutatjuk hogy a legfontosabb arbitrázs fogalmak a befektet½ok preferenciái segítségével is karakterizálhatóak. Ennek a fejezetnek egyik fontos üzenete az a felismerés, hogy Frittelli és Klein fent említett eredményei közgazdasági szempontból új megvilágításba helyezik a Delbaen–Schachermayer-féle elméletet. A hetedik fejezetben részletesen tárgyaljuk az egy ár törvényének fogalmát, annak az állapotár de‡átor segítségével történ½o matematikai karakterizációját, valamint az egy ár törvényének és az arbitrázsmentesség fogalmának viszonyát. Mivel tárgyalásunkban a f½o hangsúly egyértelm½uen a szemimartingálokra vonatkozó elmélet áttekintése, ezért a bemutatott – többnyire jóval egyszer½ubben interpretálható – véges dimenziós esetek els½osorban az egyes témák és fogalmak intuitív felvezetését szolgálják, ennek megfelel½oen ezen speciális esetek tárgyalása többnyire kevésbé precíz, helyenként pedig vázlatos, annál is inkább, mert ezen eredmények nagy részének igényes tárgyalása megtalálható az idézett monográ…ákban és tankönyvekben. Ez alól kivételt képez a portfolió dualitáselméletér½ol szóló 5.1. alfejezet, ami a konvex analízis dualitási módszereinek, így például a Lagrange-dualitás, az er½os- és gyenge dualitási tételek alkalmazására hívja fel a …gyelmet, ezért kissé eltér az eredeti – és valamivel elemibb – [24]-beli tárgyalástól. A szemimartingálokra vonatkozó fejezetekben azonban minden esetben törekedtünk a lehet½o legprecízebb kifejtésre, valamint részletes bizonyítások és hivatkozások közlésére. Az ezen fejezetekben felhasznált matematikai apparátus magában foglalja a topológiát, a mértékelméletet, a funkcionálanalízis dualitáselméletét, a Hilbert-terek elméletét, a halmazelméletet, a sztochasztikus folyamatok általános elméletének viszonylag új fejezeteit, valamint a konvex analízis és az Orlicz-terek elméletének néhány eredményét. Végezetül hangsúlyozzuk, hogy az értekezés szándékosan nem foglalkozik sem az eszközárazás konkrét problémáival, így a Black–Scholes- és Cox–Ross–Rubinstein18

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték modellel, vagy ezek különféle változataival (ld.: [10] és [16]), sem az ún. súrlódásos modellekkel, vagyis azokkal a modellekkel, melyekben a kereskedésnek tranzakciós költségei vannak.24 Bár a terület az értekezés témájával igen szoros kapcsolatban van, terjedelmi okokból szintén nem foglalkozunk sem a pénzügyi eszközök árazásának második alaptételével25 , sem általánosságban a pénzpiacok teljességének problémájával.

24

Az alaptétel súrlódásos modellekre való kiterjesztéseir½ol [58], [90] és [42] cikkekben olvashatunk. 25 A pénzügyi eszközök árazásának alaptétele azt mondja ki, hogy egy pénzpiac pontosan akkor teljes, ha az ekvivalens martingálmérték egyértelm½u.

19

2. fejezet A Delbaen–Schachermayer-tétel el½ozményei Ebben a fejezetben áttekintjük a Delbaen–Schachermayer-tétel közgazdaságtani és matematikai el½ozményeit. El½oször megmutatjuk, hogy a kétperiódusos Arrow– Debreu egyensúlyi modellben a martingálmérték létezése az egyensúly triviális következménye. Ebben a modellben a martingálmérték nem más mint az Arrow– Debreu-féle állapotárak egy alternatív reprezentációja. A 2.1.2. alpontban az Arrow–Debreu-egyensúly egy olyan általánosításával foglalkozunk, amelyben a fogyasztók már nem feltételes jószágokkal, csak értékpapírok egy sz½ukebb családjával kereskednek, így jutunk az ún. Radner-egyensúly fogalmához. Megmutatjuk, hogy a martingálmérték létezése ebben az esetben a Radner-egyensúly els½orend½u feltételének következménye. A martingálmérték ebben a modellben azt mutatja meg, hogy adott ! kimenetel esetére egy pótlólagos egységnyi ! kimenetelhez tartozó Arrow–Debreu értékpapír hányszoros haszonnövekményt eredményez az egy pótlólagos egységnyi els½o periódusbeli biztos vagyonnövekedés haszonnövekményéhez képest. A 2.1.3. alpontban az általános egyensúlyelméleti megközelítésr½ol áttérünk egy olyan parciális egyensúlyi modellre, melyben a pénzügyi eszközök árai adottak. Ekkor az árazási probléma megoldásához természetesen semmiféle egyensúlyi feltételre nincs szükség, hiszen a martingálmérték – ami egy a replikálható követelések terén értelmezett árazó funkcionált reprezentál –a pénzügyi eszközök áraiból már meghatározható. Ezzel elérkeztünk az értekezés alapproblémájához. Ha az árazó funkcionál meghatározásához sem az egyensúly feltételére sem a fogyasztók preferenciáira nincs szükség, akkor mi az a konzisztencia feltétel, ami 20

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték lehet½oleg az egyensúlynál enyhébb megkötést jelent, és egyúttal biztosítja az árazó funkcionál létezését. Ebben az összefüggésben kerülnek bevezetésre az életképesség, az arbitrázsmentesség és a nincs ingyenebéd fogalmak. Rámutatunk hogy általános valószín½uségi mez½o esetén az arbitrázsmentesség már nem elégséges feltétele az árazó funkcionál létezésének, ezért szükséges az arbitrázsmentességnél er½osebb fogalmak, az életképesség és nincs ingyenebéd fogalmak bevezetése. A 2.2. alfejezetben részletesen tárgyaljuk a szeparáló hipersík és a martingálmérték kapcsolatát és a végtelen dimenzióban történ½o szeparációval kapcsolatos matematikai problémákat. A bevezetésben láttuk, hogy abban az esetben, amikor a lehetséges ki…zetések tere véges dimenziós, az alaptétel egy egyszer½u szeparációs tétellel könnyen bizonyítható. A bizonyítás végtelen dimenzióra történ½o átvitelekor azonban – csakúgy mint az általános egyensúlyelmélet eredményeinek általánosításakor – több nehézséggel kell megküzdenünk. A mi szempontunkból a legnagyobb nehézséget az okozza, hogy bár az L1 tér duálisa az L1 tér1 , az L1 tér duálisa nem az L1 tér. A probléma megoldását a Kreps–Yan-féle szeparációs tétel jelenti. Végül a 2.3. alfejezetben röviden ismertetjük azokat a matematikai el½ozményeket, amelyek a sztochasztikus folyamatok Markov-folyamatoktól független általános elméletének megszületésében szerepet játszottak, és áttekintjük az elmélet néhány, a kés½obbiekben nélkülözhetetlen újabb eredményét. Mivel ebben a fejezetben csak az irodalmi el½ozményeket tekintjük át, ezért az itt ismertetett állításokat kevésbé formálisan tárgyaljuk és minden esetben bizonyítás nélkül közöljük.

2.1.

Az általános egyensúlyelmélett½ol az arbitrázsárazásig

2.1.1.

Az Arrow–Debreu-egyensúly

A martingálmérték közgazdasági tartalmának megértése végett induljunk ki a bizonytalanság melletti választás Arrow–Debreu-féle általános egyensúlyi modelljéb½ol. Mint ismeretes, az eredetileg determinisztikus általános egyensúlyelméletet a feltételes jószág fogalmának bevezetésével el½oször Arrow [2] alkalmazta olyan 1

Valójában általánosan teljesül, hogy tetsz½oleges p < 1-re az Lp tér duálisa Lq , ahol p1 + 1q = 1.

21

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték szituáció leírására, ahol a szerepl½ok indulókészletei bizonytalanok, vagyis függenek a megvalósuló világállapottól. Az ötletet kés½obb Debreu [17] általánosította. (Ld. még: [18], modernebb feldolgozásban pl. [71] vagy [68].) Vegyünk egy M számú szerepl½ob½ol álló cseregazdaságot. Tegyük fel, hogy a gazdaság szerepl½oi K számú jószágot fogyasztanak, és ezekb½ol a jószágokból az egyes egyének rendelkezésére álló mennyiségek a bekövetkez½o világállapot függvényei, és az állapottér, vagyis a lehetséges világállapotok halmaza az = f1; 2; :::; Sg véges halmaz. Tegyük fel, hogy a gazdaság szerepl½oi kereskedhetnek ún. feltételes jószágokkal, és alkalmazzuk a determinisztikus általános egyensúlyelméletet a feltételes jószágok piacára. Az k-adik jószághoz és az ! 2 kimenetelhez tartozó egységnyi feltételes jószág egy olyan jog, amely az ! kimenetel esetén egységnyi, minden más kimenetel esetén zérus mennyiség½u – feltétel nélküli –k-adik jószágot biztosít a jog birtokosának. Úgy is mondhatnánk, hogy a feltételes jószágok valójában a …zikai jószágokra szóló feltételes követelések. Feltesszük hogy a gazdaság szerepl½oi, az els½o periódusban, még miel½ott tisztában lennének azzal, hogy ténylegesen melyik világállapot következett be, kereskedhetnek a feltételes jószágok piacán2 . Ilyen módon tehát az eredetileg K dimenziós S RK jószágteret egy KS dimenziós RK jószágtérré b½ovítettük ki, melynek eleS meit ck! -val jelöljük, és valamely c = (c1 ; :::cS ) 2 RK feltételes jószágvektor birtokosa egy olyan joggal rendelkezik, amely révén az ! 2 f1; 2; :::; Sg kimenetel esetén a c! = (c1! ; :::; cK! ) 2 RK jószágkombinációhoz jut. A negatív koordináták természetesen a jószág második periódusban való szállításának kötelezettségeiként értelmezend½oek. Tegyük fel, hogy a szerepl½ok mindegyike rendelkezik egy az ezen a jószágtéren értelmezett preferenciarendezéssel, és jelöljük -m -vel az m-edik fogyasztó preferenciarendezését. Tegyük fel továbbá, hogy a második periódusban az egyes szerepl½ok által a tényleges …zikai – vagyis nem feltételes – jószágokból S birtokolt mennyiség függ a kimenetelt½ol, és jelöljük em 2 RK -el az m-edik szerepl½o által birtokolt – feltételes – indulókészletet. Ekkor a – determinisztikus – Walrasi egyensúly fogalmát a most bevezetett feltételes jószágokra alkalmazva az ún. Arrow–Debreu-egyensúly fogalmához jutunk. 1. De…níció. Egy a c11 ; :::cS1 ; :::; c1M ; :::; cSM 2 RK 2

SM

Hangsúlyozzuk, ebben a periódusban nem jószágok, csupán a fenti értelemben vett „jogok” cseréje történik.

22

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték S

vektor által meghatározott allokáció és egy p = (p11 ; :::; pKS ) 2 RK árrendszer együttesét Arrow–Debreu egyensúlynak nevezünk, ha minden m-re teljesül, hogy a c m = (c1m ; :::cSm ) vektor (más néven feltételes fogyasztási terv) az m-edik fogyasztó optimális választása a n cm 2 RK

S

j p cm

p em

o

költségvetési halmazra és a -m preferencia relációra vonatkozóan, és M X

c

m

=

m=1

M X

em .

m=1

Az els½o jóléti tétel következményeként, a lokális telhetetlenségi feltétel teljesülése esetén, az egyensúlyban a kockázat elosztása Pareto-hatékony lesz3 . Ha a jószágok közül egyet pénznek tekintünk, akkor az ennek egységére vonatkozó, a ténylegesen realizált világállapottól függ½o feltételes követeléseket Arrow–Debreu értékpapíroknak szokás nevezni. Az ! kimenetelhez tartozó Arrow–Debreu értékpapír tehát egy olyan feltételes követelés, amely az ! kimenetel esetén egységnyi, minden más kimenetel esetén zérus ki…zetést biztosít a követelés birtokosának. Az Arrow–Debreu értékpapírok egyensúlyi árai tulajdonképpen a kimenetelekhez rendelnek számértékeket, amely számértékek egy korlátos mértéket de…niálnak. Ennek a mértéknek a normálásával a kimenetelek árai egy valószín½uségi mértéket határoznak meg. Ha a valószín½uségi mez½o végesen generált, akkor minden feltételes követelés el½oállítható az Arrow–Debreu értékpapírok lineáris kombinációjaként. Ebb½ol következ½oen többek között létezik kockázatmentes értékpapír. Ezek után már könnyen levezethet½o, hogy tetsz½oleges értékpapír els½o periódusbeli egyensúlyi ára éppen a kockázatmentes értékpapír hozama szerint diszkontált második periódusbeli lehetséges árainak imént megkonstruált mérték szerinti várható értéke lesz. Vagyis a mi terminológiánk szerint a diszkontált árfolyam az ily módon de…niált „…ktív” valószín½uség szerint martingál4 . Ezt a mértéket Arrow [3] kockázatsem3

Ezen a ponton a kockázat fogalmát nem szokás pontosan de…niálni, a szóhasználat itt arra utal, hogy a fogyasztók (kockázatkerül½o befekte½ok esetén) nemcsak intertemporálisan, de az állapotok között is igyekeznek a fogyasztásukat „simítani”, vagyis a kockázatukat csökkenteni, illetve egymás között megosztani. Egészen pontosan a feltételes jószágok elosztása lesz Paretohatékony. 4 Két id½operiódus esetén, ha az els½o id½opontban nincsenek valódi valószín½uségi változók, akkor a martingál tulajdonság pontosan azt jelenti, hogy a második periódusban realizálódó valószín½uségi változó várható értéke éppen az els½o periódusban felvett érték.

23

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték leges valószín½uségnek nevezi. Az Arrow–Debreu értékpapírokkal való kereskedés modellje valójában nem túlságosan életszer½u, de a modellnek van egy –empirikus kezelhet½oség szempontjából – nem elhanyagolható következménye. Ha az általános egyensúlyi megközelítés helyett egy parciális egyensúlyi megközelítést alkalmazva feltételezzük, hogy a kereskedett értékpapíroknak nem csak a második periódusbeli ki…zetései, de az els½o periódusbeli árai is adottak, akkor az említett összefüggésb½ol a martingálmérték már meghatározható. Ha eltekintünk az Arrow–Debreu értékpapírokkal való kereskedést½ol, de feltesszük, hogy a létez½o értékpapírokkal való kereskedés révén minden lehetséges jöv½obeli pénzügyi ki…zetés el½oállítható5 , vagyis elég sokféle értékpapír van a piacon ahhoz, hogy kifeszítsék a logikailag lehetséges ki…zetések halmazát, akkor a jöv½obeli ki…zetések a preferenciáktól –speciálisan a kockázattal szembeni attit½udt½ol – függetlenül6 beárazhatóak. Ebben az értelemben az Arrow–Debreu árak egyfajta árazási szabályt, pontosabban egy árazó funkcionált reprezentálnak, amely az összes elképzelhet½o feltételes követelések terén is értelmezve van. Eddig feltételeztük, hogy a szerepl½ok csak az els½o periódusban kereskednek a feltételes jószágokkal, tehát a csere még azel½ott megtörténik, miel½ott a szerepl½ok tudomást szereznének a ténylegesen megvalósuló világállapotról. Els½o lépésként vizsgáljuk meg mi történne, ha megengednénk, hogy a szerepl½ok a tényleges világállapot megismerését követ½oen kereskedjenek a feltétel nélküli, vagyis a …zikai jószágokkal7 . Megmutatjuk, hogy a fogyasztók ez utóbbi piacon már nem fognak kereskedni. Tegyük fel, hogy az els½o periódusban kereskedtek a feltételes jószágok piacán, SM Arrow–Debreu-egyensúly. és megvalósult a c11 ; :::cS1 ; :::c1M ; :::; cSM 2 RK Tegyük fel, hogy az ! állapot következett be. Ekkor a kötelezettségek teljesítése m után az m-edik fogyasztó a c!m = (c1!m ; :::cK! ) 2 RK kosárhoz jut. Tegyük fel, K M allokációja, hogy hogy létezik a …zikai jószágoknak egy olyan (c1! ; :::; cM ! ) 2 R minden m esetén m (c1m ; :::; c!m ; :::; cSm ) -m (c1m ; :::; cm ! ; :::; cS ) ; 5

Vagyis feltételezzük, hogy a piac teljes. Egészen pontosan arról van szó, hogy nincs szükség a hasznossági függvények explicit szerepeltetésére, de valójában az arbitrázsmentesség feltétele implicit módon feltételezi a preferenciák monotonitását. 7 Ebben az összefüggésben szokás a feltételes jószágok piacát „forward”piacnak a …zikai jószágok piacát „spot” piacnak is nevezni. 6

24

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték és legalább egy m-re a preferencia reláció szigorú értelemben teljesül, valamint P PM m m fennáll a M m=1 c! m=1 e! reláció. Ez azonban lehetetlen hiszen ez ellentmondana a c11 ; :::cS1 ; :::c1M ; :::; cSM Arrow–Debreu egyensúlyi allokáció Paretooptimalitásának.

2.1.2.

A Radner-egyensúly

Arrow [2]-ben megjegyzi, hogy a fenti Arrow–Debreu egyensúlyi elosztás megkapható olyan módon, hogy feltesszük, hogy a szerepl½ok az els½o periódusban csak Arrow–Debreu értékpapírokkal kereskedhetnek, a második periódusban pedig kereskedhetnek a jószágok piacán. A magyarázat egyszer½u. Ha a szerepl½ok kereskedhetnek a második periódusban a …zikai jószágokkal, akkor az els½o periódusbeli kereskedés egyetlen célja az, hogy a szerepl½ok megosszák a vásárlóerejüket az egyes világállapotok között. Ezzel az eljárással az eredetileg SK számú jószágot tartalmazó határid½os piac már csak egy S számú jószágból álló piaccá zsugorodott. Ahhoz azonban hogy a szerepl½ok ne csak a pénzben mért vásárlóerejüket tudják simítani hanem a tényleges fogyasztásukat is, el½ore kell látniuk a második periódusbeli spot árakat8 , és csak akkor beszélhetünk egyensúlyról, ha a szerepl½ok várakozásai konzisztensek a modellel, vagyis egyensúlyban, minden egyes kimenetelre vonatkozóan a spot árakra vonatkozó várakozások megegyeznek a tényleges egyensúlyi spot árakkal. A fenti gondolatot kés½obb R. Radner [83] formalizálta és általánosította több periódus esetére. Az ún. Radner-egyensúly abban az esetben is értelmezhet½o, ha Arrow–Debreu értékpapírok helyett csak néhány kockázatos értékpapírral kereskedhetnek a gazdaság szerepl½oi, ezáltal a Radner-egyensúly fogalma fontos kiindulópontjává vált mind a pénzpiacok egyensúlyi elméletének mind a nemteljes piacok elméletének. Az alábbiakban [71] és [20] alapján ismertetjük a Radner-egyensúly fogalmát két periódus esetére. Használjuk továbbra is a fenti modell jelöléseit, és tegyük fel, hogy a gazdaság szerepl½oi ezúttal N + 1 számú pénzügyi eszközzel is kereskedhetnek, melyek közül az els½o –a továbbiakban 0 indexel jelölt –egy rögzített kamatozású kockázatmentes kötvény, és a j-edik eszközb½ol az els½o id½operiódusban vásárolt mennyiséget j jelöli. A kimenetelek száma S, a fogyasztó az els½o periódusban zérus indulóvagyonnal, és a második periódusban ! kimenetel esetén e! 2 RK készlettel rendelkezik és 8

Mely árakat természetesen nem tekintünk a modell által adottnak.

25

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték S

legyen e = (e1 ; :::; eS ) 2 RK . Tegyük fel hogy a szerepl½ok hasznossága csak a második periódusbeli fogyasztásuktól függ. A második periódusbeli fogyasztást ! kimenetel esetén jelölje c! 2 RK ; a j-edik pénzügyi eszköz els½o periódusbeli árát jelölje Xj (0), a második periódusbeli árát Xj (1). Ez utóbbi egy valószín½uségi változó, melynek értékét ! kimenetel esetén X!j (1)-el jelöljük. 2. De…níció. Egy a c11 ; :::cS1 ; :::c1M ; :::; cSM 2 RK

SM

vektor által meghatározott allokáció, egy a spot árakra vonatkozó várakozásokat S kifejez½o p = (p11 ; :::; pKS ) 2 RK vektorból, és az értékpapírok els½o periódusbeli árait meghatározó X(0) = (X0 (0); :::; XN (0)) vektorból álló árrendszer, valamint m a m = ( m 0 ; :::; N ), m 2 f1; :::; M g kereskedési stratégiák együttesét Radnerm egyensúlynak nevezünk, ha minden m-re teljesül, hogy a c m = (c11m ; :::cKS ) 2 S RK feltételes fogyasztási terv, valamint a m portfólió megoldása a max U m (cm ) S (RK )

cm 2 m

2RK+1

m

(X0 (0); : : : ; XN (0)) K X k=1

pk! cm k!

K X

pk! em k! +

N X

0 X!j (1)

m j

j=0

k=1

feltételes széls½oérték problémának, továbbá teljesül minden j-re.

PM

m=1

c

m

=

PM

m=1

em és

PM

m=1

m j

=0

Itt a feltételben szerepl½o els½o egyenl½otlenség azt fejezi ki, hogy a befektet½o egy olyan portfoliót választ, amely zérus indulóvagyon segítségével megvásárolható az els½o periódusban, a második egyenl½oség pedig azt állítja, hogy az optimumban szükségképpen teljesül, hogy minden ! kimenetel esetén a második periódusbeli m (cm 1! ; :::; cK! ) fogyasztói kosár megvásárolható a befektetés második periódusban reP m alizált N j=0 X!j (1) j ki…zetése és az indulókészlet spot egyensúlyi árakon történ½o eladása révén. Jelöljük X-szel azt az S (N + 1)-es mátrixot, melynek !-adik sorában és j-edik oszlopában álló eleme X!j (1). A fenti modellben a pénzpiac minden fontos

26

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték tulajdonságát egyértelm½uen meghatározta az X mátrix, ilyen összefüggésben tehát beszélhetünk az X mátrix által meghatározott pénzpiacról. 3. De…níció. Az X mátrix által meghatározott pénzpiac teljes, ha az X mátrix rangja S, vagyis megegyezik a világállapotok számával. Ha az X mátrix rangja S, akkor nyilván minden x 2 RS esetén létezik megoldása az x = X T mátrixegyenletnek, vagyis a pénzpiac teljessége pontosan azt jelenti, hogy minden elképzelhet½o feltételes követelés, vagyis második periódusbeli véletlen ki…zetés el½oállítható valamely portfolió második periódusbeli ki…zetéseként. Belátható, hogy teljes pénzpiac esetén a Radner-egyensúlyi c11 ; :::cS1 ; :::c1M ; :::; cSM allokáció el½oáll Arrow–Debreu egyensúlyi allokációként. Egészen pontosan a következ½o állítás teljesül. 4. Tétel. Tegyük fel, hogy a pénzpiac teljes. Ekkor: a.) Ha a c = c11 ; :::cS1 ; :::c1M ; :::; cSM 2 RK

SM

S

allokáció, a p = (p11 ; :::; pKS ) 2 RK , és a szigorúan pozitív árakból álló X(0) = m (X0 (0); :::; XN (0)) árrendszer, valamint a m = ( m 0 ; :::; N ), m 2 f1; :::; M g kereskedési stratégiák rendszere együttesen egy Radner-egyensúlyt alkotnak, akkor létezik olyan, szintén szigorúan pozitív elemekb½ol álló, (q1 ; :::; qS ) vektor, melyre a c alS lokáció, és a (q1 p11 ; :::; q! pk! ; :::; qS pKS ) 2 RK árrendszer együttese egy Arrow– Debreu-egyensúlyt képez. b.) Ha a SM c = c11 ; :::cS1 ; :::c1M ; :::; cSM 2 RK S

allokáció, és a p = (p11 ; :::; pKS ) 2 RK árrendszer egy Arrow–Debreu-egyensúly, m akkor létezik az X(0) = (X0 (0); :::; XN (0)) árrendszer, valamint a m = ( m 0 ; :::; N ), m 2 f1; :::; M g kereskedési stratégiák rendszere, hogy a c fogyasztási terv, a X(0) els½o periódusbeli értékpapír árak, a m stratégiák valamint a spot árak p rendszere együttesen Radner-egyensúlyt képeznek. A szakasz hátralév½o részében megmutatjuk, hogy a Radner-egyensúly els½orend½u feltételeib½ol következik, hogy létezik egy a kimenetelek terén értelmezhet½o funkcionál, ami csakúgy mint az Arrow–Debreu értékpapírok árvektora, egy martingálmértékként interpretálható, ám ez a martingálmérték nem feltétlenül egyértelm½u. Ekkor tehát a követelések árazása nem oldható meg a preferenciák felhasználása 27

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték nélkül. Ennek megvilágítása céljából, írjuk fel a fogyasztó optimumfeltételét a Radner-egyensúlyban arra a speciális esetre, amikor a szerepl½ok csak egyetlen jószággal kereskednek. A közgazdasági interpretáció kedvéért egyúttal tegyük fel, hogy a szerepl½onk W indulóvagyonnal rendelkezik az els½o periódusban, és a hasznossága az els½o periódusbeli c0 fogyasztásától is függ. Mivel csak egy fogyasztóra írjuk fel az optimumfeltételt, ezért a fogyasztóra vonatkozó m indexet elhagyjuk. A fogyasztó haszonmaximalizálási problémája a következ½o: max U (c0 ; c1 ; :::; cS ) ahol T

(c1 ; :::; cS )T = (e1 ; :::; eS )T + X és T

c0 + (X0 (0); : : : ; XN (0))

= W:

Szavakkal megfogalmazva, a fogyasztó a fogyasztásának hasznosságát maximalizálja, a második id½operiódus fogyasztása függ a második id½operiódusban realizálódott világállapottól. Az els½o egyenl½oség azt állítja, hogy minden ! kimenetel esetén a második periódusbeli c! fogyasztás megegyezik az adott kimenetelhez tartozó e! második periódusbeli készlet és a befektetés adott kimenetelhez tartozó értékének összegével. A második egyenl½oség szerint a c0 els½o periódusban való fogyasztás és a j beszerzésének összértéke éppen a fogyasztó W induló vagyona, vagyis az els½o id½opontban teljesül a költségfedezeti feltétel. A probléma Lagrange-függvénye a következ½o: L(c0 ; c1 ; :::; cS ; U (c0 ; c1 ; :::; cS )

(c0 +

N X

Xj (0)

0 ; ::: N ;

j

W)

;

1; S X

;

S)

! (c!

!=1

j=0

Az els½orend½u feltételekb½ol minden j-re Xj (0) = q! = ! jelölést ez az S X Xj (0) = q! X!j (1)

= e!

N X

X!j (1) j ):

j=0

PS

!=1

! X!j (1).

Bevezetve a

(2.1)

!=1

alakba írható. Ez speciálisan j = 0-ra is teljesül. Ekkor tehát X!0 (1) = X0 (0) 28

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték PS PS miatt az utóbbi egyenl½oség X0 (0) = !=1 q! X0 (0) alakú, ezért !=1 q! = 1; vagyis a q! nemnegatív számok egy valószín½uségi mértéket de…niálnak. Ekkor tehát (2.1) egyenl½oség pontosan azt állítja, hogy az értékpapírok a q = (q1 ; :::qS ) mérték szerint martingálok9 . Próbáljuk meg közgazdaságtanilag interpretálni az imént kapott martingálmértéket. Jelöljük a probléma értékfüggvényét U -gal. A burkolótétel alapján: @U (W; e1 ; :::e ) = @e!

!

és

@U (W; e1 ; :::e ) = : @W

Ezek alapján a martingálmérték egy q! komponense azt mutatja meg, hogy egy pótlólagos egységnyi ! kimenetelhez tartozó Arrow–Debreu értékpapír hányszoros haszonnövekményt eredményez az egy pótlólagos egységnyi els½o periódusbeli biztos vagyonnövekedés haszonnövekményéhez képest.

2.1.3.

Arbitrázsmentesség

Az a tény, hogy teljes piacon a martingálmérték meghatározásában a fogyasztói preferenciák nem játszanak szerepet, felveti azt a kérdést, hogy nem lehetne-e az árazási szabály létezését az egyensúlyra és a hasznossági függvényekre való hivatkozás nélkül levezetni. Az alaptétel felé vezet½o út egyik fontos lépése volt, amikor S. A. Ross az árazó funkcionál kiterjeszthet½oségének bizonyításában már nem az egyensúlyt, hanem az annál gyengébb arbitrázsmentességet tételezte fel. Jelöljük Xj -vel a j-edik termék árváltozását megadó Xj (1) Xj (0) valószín½uségi változót. Jelöljük ismét K-val azt a halmazt, amely a nulla induló vagyonnal rendelkez½o befektet½o kereskedés révén elérhet½o lehetséges nettó árfolyamnyereségeit tartalmazza. Mivel minden olyan ( 0 ; : : : ; N ) 2 RN +1 kereskedési stratégia megP valósítható melyre ( 1 ; : : : ; N ) 2 RN és N j=0 j Xj (0) = 0, és feltevésünk szerint X0 = 0, ezért ( N ) X N . K= j Xj j ( 1 ; : : : ; N ) 2 R j=1

Mivel az feletti valószín½uségi változók vagyis a lehetséges feltételes követelések halmaza ebben az esetben RS , így K lineáris altere RS -nek. Ebben a modellkörnyezetben azt mondjuk, hogy nincs arbitrázs, ha nem létezik olyan nemnegatív 9

Ezen a ponton szeretnénk felhívni a …gyelmet a konvex halmazok szeparációs tételének szerepére. A Kuhn–Tucker-tétel bizonyításából tudjuk, hogy a fenti ! multiplikátorok és így maga a martingálmérték is egy szeparáló hipersík együtthatóiból származtathatóak.

29

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték K-beli elem, amely legalább egy kimenetel esetén szigorúan pozitív, vagyis ha K \ RS+ = f0g. Valamely H véletlen ki…zetést, más néven feltételes követelést replikálhatónak P nevezünk, ha valamely = ( 0 ; ::: N ) kereskedési stratégia esetén N j=0 j Xj (1) = H. Jelöljük a replikálható követelések halmazát M -mel. Mivel a fenti H kiP …zetés a N j=0 j Xj (0) indulóvagyon segítségével el½oállítható, ezért kézenfekv½o ezt az értéket tekinteni a H ki…zetés árának. Az arbitrázsmentesség egy triviális következménye az úgynevezett egy ár törvénye10 , vagyis hogy tetsz½oleges H 2 M eszköz P PN esetén melyre a N j=0 j Xj (1) = H egyenl½oség teljesül, a j=0 j Xj (0) érték nem függ a kereskedési stratégia megválasztásától. Ilyen módon tehát egyértelm½uen de…niálható egy az M -en értelmezett folytonos lineáris leképezés, ami minden M -beli feltételes követeléshez annak arbitrázsmentes árát rendeli. Ross [86]-ben belátja, hogy az arbitrázsmentesség feltételének teljesülése ekvivalens azzal az állítással, hogy a lineáris funkcionálnak létezik egy RS -re való kiterjesztése, amely szigorúan pozitív, vagyis minden Arrow–Debreu-értékpapírhoz pozitív számot rendel. Nem teljes esetben ez a kiterjesztett funkcionál közgazdaságtanilag nehezen interpretálható, ugyanakkor a replikálható portfoliók alterén egy ilyen lineáris funkcionál létezése természetes és semmitmondó követelménynek t½unik. Ennek ellenére érdemes egy kicsit elgondolkodnunk az említett linearitás pontos tartalmán. Tegyük fel, hogy az adott pénzpiacon nincs arbitrázs, és létezik két értékpapír, melyek árfolyama negatív korrelációban áll egymással, de a várható árfolyamnyereség a két papíron azonos. Tudjuk hogy ekkor a két értékpapír valamilyen kombinációjának kockázata alacsonyabb mint az egyes értékpapíroké külön-külön, ezért úgy t½unhet, hogy egy ilyen portfolió értéke magasabb, mint az értékpapírok értékének összege. Ez azonban nem lehetséges, hiszen kizártuk az arbitrázs lehet½oségét. Az arbitrázsmentesség egy triviális következménye tehát, hogy a replikálható portfoliók halmazán az árazási szabálynak lineárisnak kell lennie.11 Az arbitrázsmentes ár már tükrözi a tetszés szerinti portfoliók képzésének a lehet½oségét, és így az értékpapírok arbitrázsmentes árait nem csak a jöv½obeni árfolyam eloszlása befolyásolja, hanem a többi értékpapírral való kombinálásból származó el½onyök is. 10

Az 8.1 alfejezetben látni fogjuk, hogy az egy ár törvénye az arbitrázsmentességnél jóval enyhébb feltétel. 11 Erre a tényre értékadditivitási-tételként szokás hivatkozni (ld. pl.: [97]).

30

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték

2.2.

Életképesség és a Kreps–Yan-tétel

A fenti véges dimenziós példa alapján világos, hogy az arbitrázs lehet½oség létezése kizárja az egyensúly létezését, hiszen ha létezik arbitrázs, akkor nem létezik olyan kereskedési stratégia amely révén valamely monoton preferencia rendezéssel rendelkez½o befektet½o elérné a haszonmaximumot. Vegyük észre, hogy a fenti gondolatmenetben valójában nem az egyensúly létezését, csupán a befektet½oi haszonmaximum els½orend½u feltételét használtuk fel. Ez a meg…gyelés motiválja az ún. életképesség (viability) fogalmát (ld. [45], [64], [7] és [80]). Ennek de…niálásához tekintsük ismét a fenti két periódusos modellt az alábbi módosításokkal. Legyen ( ; F; P ) egy általános valószín½uségi mez½o, jelöljük F -fel az L2 ( ; F; P ) teret, ami az összes feltételes követelések terét reprezentálja. A véges valószín½uségi mez½os esettel analóg módon de…niáljuk a replikálható követelések M terét, és tegyük fel, hogy teljesül az egy ár törvénye. Mint már említettük, az F tér M alterén egyértelm½uen de…niálható egy folytonos és lineáris árazó funkcionál. Mivel az M alteret és a árazó funkcionált az Xj (0) és X!j (1) árak egyértelm½uen meghatározzák, ezért a továbbiakban, egy kissé általánosabb megfogalmazásban, azt mondjuk hogy az F -nek egy M altere és egy azon értelmezett folytonos és lineáris funkcionál, röviden egy (M; ) árrendszer, egy pénzpiaci modellt határoz meg. Tegyük fel, hogy a fogyasztók preferenciarendezése az R F halmazon van értelmezve, ahol tetsz½oleges (c0 ; c) 2 R F elemre továbbra is c0 jelöli az els½o periódusbeli fogyasztást, c a második periódusbeli feltételes fogyasztást. Feltesszük hogy a fogyasztók preferenciarendezését valamely % tranzitív és teljes bináris reláció határozza meg. Jelöljük -val az R-en vett szokásos topológia és az F tér normája által generált topológiának szorzatát az R F -en. A továbbiakban jelöljük R-el azon R F -en értelmezett teljes és tranzitív % bináris relációk halmazát, melyek konvexek, szigorúan monotonok és -folytonosak. Ezen tulajdonságokat egészen pontosan a következ½oképpen értelmezzük. Az R F -en értelmezett % reláció konvex, ha tetsz½oleges (c0 ; c) 2 R F esetén az f(c00 ; c0 ) 2 R

F j (c00 ; c0 ) % (c0 ; c)g

fels½o nívóhalmaz konvex. A % reláció -folytonos, ha tetsz½oleges (r; x) 2 R esetén az f(c00 ; c0 ) 2 R F j (c00 ; c0 ) % (c0 ; c)g 31

F

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték és az f(c00 ; c0 ) 2 R

F j (c0 ; c) % (c00 ; c0 )g

alsó és fels½o nívóhalmazok -zártak. Végül valamely reláció szigorú monotonitását a következ½oképpen értelmezzük. Legyen F++ = fc 2 F j P(c

0) = 1 és P(c > 0) > 0g :

(2.2)

Azt mondjuk, hogy a % reláció szigorúan monoton, ha tetsz½oleges (c0 ; c) 2 R F; c00 2 (0; 1) és c0 2 F++ esetén teljesül hogy (c0 + c00 ; c) (c0 ; c) valamint 0 hogy (c0 ; c + c ) (c0 ; c). A fenti fogalmak felhasználásával már de…niálhatjuk az életképesség fogalmát. 5. De…níció. Azt mondjuk hogy egy M F altér és egy azon értelmezett folytonos és lineáris funkcionál által meghatározott piac életképes, ha létezik egy R-beli % preferenciarendezés R F -en, és egy (c0 ; c ) 2 R M ki…zetés, melyre teljesül egyrészt hogy c0 + (c ) 0, másrészt hogy minden olyan (c0 ; c) 2 R M ki…zetésvektorra, melyre c0 + (c) 0, teljesül a (c0 ; c ) % (c0 ; c) reláció. Ekkor teljesül az alábbi állítás (ld. [45]). 6. Tétel (Harrison–Kreps). Egy (M; ) árrendszer által meghatározott modellben pontosan akkor teljesül az életképesség, ha a funkcionálnak létezik egy olyan F -re való kiterjesztése, amely szigorúan pozitív12 és folytonos. A tételt összevetve Ross korábbi eredményével kapjuk, hogy véges állapottér esetén az életképesség és az arbitrázsmentesség ekvivalens fogalmak. Már említettük, hogy az arbitrázsmentesség szükséges feltétele az egyensúlynak, hiszen ha volna arbitrázs, akkor egyetlen az iménti értelemben szigorúan monoton preferenciarendezéssel rendelkez½o befektet½o sem érhetné el a haszonmaximumot. Az egyensúly és az arbitrázsmentesség közötti kapcsolat azonban szorosabb mint gondolnánk. Tegyük fel ugyanis, hogy a (M; ) modell életképes, és az (c0 ; c ) ki…zetés valamint a % reláció eleget tesz az életképesség de…níciójában szerepl½o feltételnek. De…niáljuk a %0 relációt úgy, hogy (c0 ; c) %0 (c00 ; c0 ) pontosan akkor teljesül, ha (c0 + c0 ; c + c ) % (c00 + c0 ; c0 + c ). Ekkor %0 2 R és egy %0 preferenciarendezéssel rendelkez½o befektet½o a (0; 0) kosarat preferálja minden olyan (c0 ; c) 2 R M beli ki…zetéssel szemben melyre c0 + (c) 0. Ez pontosan azt jelenti, hogy egy 12

Vagyis minden nemzérus L2+ ( ; A; P )-beli elemhez pozitív számot rendel.

32

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték olyan gazdaságban ahol minden szerepl½o preferencia rendezése a %0 relációval van megadva, egyik befektet½o sem akar elmozdulni az eredeti indulókészlete által adott pontból. A Harrison–Kreps tétel bizonyítása El½osz½or tegyük fel, hogy létezik a , F -en értelmezett folytonos és szigorúan pozitív lineáris funkcionál, melynek M -re való megszorítása a funkcionál. De…niáljuk az R F -en egy % preferenciarendezést a következ½oképpen. Legyen (c0 ; c) % (c00 ; c0 ) pontosan akkor, ha c0 + (c) c00 + (c0 ). A % reláció konvexitása a konvexitás de…níciója alapján nyilvánvaló. Mivel a topológia az a legdurvább topológia ami szerint az R F -b½ol R-be és F -be képez½o projekciók folytonosak, és mivel folytonos F -en, ezért az R F ! F : (c0 ; c) 7! (c) és az R F ! R : (c0 ; c) 7! c0 leképezések és így az (c0 ; c) 7! c0 + (c) leképezés is -folytonos, tehát egy R-beli zárt halmaz ezen leképezés szerinti inverzképe -zárt, vagyis a % preferenciarendezés -folytonos. Mivel a funkcionál szigorúan pozitív, ezért a % reláció szigorúan monoton is, vagyis az így de…niált preferenciareláció R-beli. Ekkor (c0 ; c ) = (0; 0) választás esetén a c0 + (c) relációk 0 és a (c0 ; c ) % (c0 ; c) vagyis a c0 + (c ) c0 + (c ) teljesülnek minden olyan (c0 ; c) 2 R M ki…zetésvektorra, melyre c0 + (c) 0, vagyis a (M; ) modell életképes. Most tegyük fel, hogy a (M; ) modell életképes, és legyen a %2 R reláció és az (c0 ; c ) ki…zetés olyan hogy teljesül rá a c0 + (c ) 0 valamint a (c0 ; c ) % (c0 ; c) reláció minden olyan (c0 ; c) 2 R M vektorra melyre c0 + (c) 0: Feltehet½o, hogy (c0 ; c ) = (0; 0), ellenkez½o esetben ugyanis áttérhetnénk a bizonyítás el½otti megjegyzésben említett R-beli %0 relációra. Legyen G = f(c0 ; c) 2 R

F j (c0 ; c)

H = f(c0 ; c) 2 R

M j c0 + (c)

(0; 0)g

és 0g :

A G és a H halmazok diszjunktak hiszen a (0; 0) pont megfelel az életképesség feltételeinek. A preferenciák konvexitása valamint folytonossága miatt G konvex valamint nyílt, és a konvexitás de…níciójából triviálisan következik, hogy a H halmaz is konvex. A preferencia reláció szigorú monotonitása miatt a G nem üres, hiszen (1; 1) eleme a halmaznak, és H sem üres hiszen (0; 0) 2 H. Alkalmazva a Hahn–Banach szeparációs tételt, kapjuk, hogy létezik egy szám és egy nem azonosan nulla folytonos lineáris funkcionál R F -en melyre teljesül, hogy 33

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték (c0 ; c) minden (c0 ; c) 2 G és (c0 ; c) minden (c0 ; c) 2 H-re. Itt a nem lehet pozitív. Ezt a következ½oképpen láthatjuk be. Mivel (1; 1) 2 G ezért (1; 1) és mivel tetsz½oleges pozitív szám esetén ( ; ) 2 G ezért tetsz½oleges számra (1; 1) = ( ; ) is teljesülne, ami ellentmondás. Mivel minden lineáris funkcionál a nullában nullát vesz fel, és (0; 0) 2 H; ezért 0 = (0; 0) , vagyis nem lehet negatív sem. Vagyis csak a = 0 lehetséges. Lássuk be, hogy (1; 0) > 0. Mivel nem azonosan nulla, létezik egy (c00 ; c0 ) vektor, melyre (c00 ; c0 ) > 0. A % reláció szigorú monotonitása miatt (1; 0) (0; 0), ugyanakkor a % folytonossága miatt a (0; 0) vektorhoz képest szigorúan preferált ki…zetésvektorok halmaza nyílt, ezért létezik a zérus vektornak egy B környezete, hogy az (1; 0) vektor (1; 0) + B környezetének elemei szintén szigorúan preferáltak (0; 0)-hoz képest. A skalárral való szorzás folytonosságából következik, hogy létezik c0 ) 2 B, ezért (1 c00 ; c0 ) (0; 0) vagyis egy pozitív szám, hogy ( c00 ; (1 c00 ; c0 ) 2 G. Ekkor viszont (1 c00 ; c0 ) 2 G miatt (1

c00 ;

c0 ) = (1; 0)

(c00 ; c0 )

0;

vagyis (1; 0) (c00 ; c0 ) > 0. Feltehet½o, hogy (1; 0) = 1; mert ha ez nem teljesül, akkor alkalmas konstansszorosára térünk át. Jelöljük -vel az F -en értelmezett (c) = (0; c) folytonos, lineáris funkcionált. Ezzel a jelöléssel, felhasználva hogy (1; 0) = 1; kapjuk, hogy tetsz½oleges (c0 ; c) 2 R F vektorra (2.3)

(c0 ; c) = c0 + (c)

Lássuk be, hogy az így de…niált szigorúan pozitív. Legyen c 2 F++ (ld.: (2.2) sor) tetsz½oleges. Ekkor, mivel a % reláció szigorú monoton (0; c) 2 G, és ismét felhasználva % reláció folytonosságát, az el½oz½ohöz hasonló gondolatmenettel belátható, hogy létezik egy > 0 szám, melyre ( ; c) 2 G. Ekkor viszont a de…níciója és (2.3) azonosság alapján (c) 0, vagyis (c) > 0, vagyis a funkcionál szigorúan monoton. Végül lássuk be, hogy a funkcionál M -re való megszorítása azonos -vel. Vegyük észre, hogy tetsz½oleges c 2 M esetén ( (c); c) 2 H és ( (c); c) 2 H, amib½ol defníciója és (2.3) azonosság alapján (

(c); c) =

(c) + (c)

34

0

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték és ( (c); c) = (c)

(c)

0:

Ez utóbbi két egyenl½otlenség csak akkor teljesülhet egyszerre, ha (c) = (c); vagyis a funkcionál az M halmazon azonos -vel. Harrison és Kreps [45] az életképesség fogalmát kiterjesztik folytonos id½oparaméteres modellekre is, és rámutatnak hogy megfelel½o megszorító feltételek esetén a Q(A) = (1A ) és (x) = EQ (x) (2.4) egyenl½oségek13 , kölcsönösen egyértelm½u megfeleltetést de…niálnak a kiterjesztett, folytonos és szigorúan monoton árazó funkcionálok és az olyan, az eredetivel ekvivalens Q valószín½uségi mértékek között, amelyekre vonatkozóan az értékpapírok diszkontált árfolyamai martingálok. Harison és Kreps eredményeit Kreps [64] valamint Harrison és Pliska [44] általánosítják. Harrison és Pliska több periódus esetére bebizonyítják a pénzügyi eszközök árazásának alaptételét annak legelemibb formájában, vagyis hogy véges állapottér esetén az ekvivalens martingálmérték létezése ekvivalens az arbitrázsmentesség feltételével, Kreps [64] pedig kiterjeszti az életképesség és kiterjeszthet½oség ekvivalenciájáról szóló tételt arra az esetre, amikor X tetsz½oleges lokálisan konvex topológikus vektortér, továbbá rámutat, hogy általános valószín½uségi mez½o esetén az életképesség az arbitrázsmentességnél szigorúbb megkötést jelent. Mindezt …gyelembe véve az el½ottünk álló kérdés annak megválaszolása, hogy vajon lehetséges-e az arbitrázs fogalmát olyan módon általánosítani, hogy az arbitrázs kizárása már kikényszerítse a kiterjesztett árazófunkcionál létezését. Mint hamarosan látni fogjuk, ez lehetséges, és pontosan ez motiválta a Kreps [64] által bevezetett ingyenebéd fogalmat. Ennek bemutatásához kénytelenek vagyunk egy kis funkcionálanalízisbeli kitér½ot tenni. A bevezetés kétdimenziós példáján megmutattuk, hogy a martingálmérték egy szeparáló hipersík normálvektorával egyezik meg. A véges dimenziós esett½ol eltér½oen, a végtelen dimenziós esetben explicit módon meg kell különböztetni a primer teret a duálisától. Ebben az esetben a szeparáló hipersíkoknak a duális tér elemei felelnek meg. Kézenfekv½o, hogy a feltételes követelések terének valamilyen Lp teret 13

Itt 1A -val azt a feltételes követelést jelöljük amely az A esemény bekövetkezése esetén egységnyit …zet, egyéb esetben pedig zérust.

35

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték válasszunk. Ekkor azonban ugyanazzal a matematikai problémával találjuk szemben magunkat, amivel az általános egyensúlyelmélet is sokáig küzdött az 1950-es 60-as és 70-es években. Az általános egyensúlyelméletben a jószágtér általában valamely Lp tér, az egyensúlyi árrendszer pedig egy a jószágtéren értelmezett folytonos lineáris funkcionál, vagyis az Lp duálisának eleme. Bárhogy is választjuk meg a p-t a klasszikus Hahn–Banach típusú tételek alkalmazása nem problémamentes. Ha p < 1 (ld. pl. [28], [45] és [19]), akkor problémát okoz hogy az Lp tér pozitív ortánsának nincs bels½o pontja, ezért a Hahn–Banach-tétel nem alkalmazható. Ha viszont p = 1; akkor, mivel az L1 térnek a duálisa egy az L1 térnél b½ovebb halmaz, az árrendszer nem feltétlenül reprezentálható skalárszorzatként, vagyis esetünkben integrálként (ld.:[93] 15.3, [56]). Legtöbb közgazdasági alkalmazásban a jószágtér az L1 tér. Az általános egyensúlyelméletben az árrendszer L1 -beliségét ilyenkor a preferenciákra vonatkozó megkötésekkel lehet biztosítani (ld. pl. [8] és [81]). Nem nyilvánvaló azonban, hogy az arbitrázselméletben alkalmazott szokásos feltételnek ( ld.:[21]) mi köze van a befektet½ok preferenciáihoz. A dolgozat egyik célja ennek a kapcsolatnak a tisztázása. A további részletek kifejtéséhez vezessünk be néhány jelölést. Legyen 1 p 1 és 1 q 1; ahol 1=p + 1=q = 1; és legyen Lp $ Lp ( ; F; P) valamint Lq $ Lq ( ; F; P). Jelölje Lp+ az ff 2 Lp j f 0 m.m.g és Lp pedig az ff 2 Lp j f 0 m.m.g halmazt. Tudjuk, hogy tetsz½oleges 1 p < 1 esetén az Lp -n értelmezett lineáris funkcionálok megadhatók az (f ) =

Z

f gdP

alakban, ahol g 2 Lq . Ekkor (Lp ; Lq )-vel jelöljük azt a legdurvább topológiát Lq -n, melyre nézve az Lp -en értelmezett g7 !

Z

f gdP

lineáris funkcionál minden f 2 Lp esetén folytonos14 . Legyen továbbra is K=

( N X j=1

14

j

Xj j ( 1 ; : : : ;

N)

N

2R

)

;

Ezt a topológiát p = 1 esetben szokás gyenge-csillag (weak-star) topológiának is nevezni.

36

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték és jelöljük C0 -lal a K-beli elemekkel dominálható függvények kúpját, azaz legyen e C0 = K L0+ , továbbá legyen C = C0 \ L1 . Jelöljük C-al a C kúp (L1 ; L1 ) topológia szerinti lezártját. Ezekkel a jelölésekkel módosítsuk kissé az arbitrázsmentesség fogalmat: 7. De…níció. Valamely pénzpiacról azt mondjuk hogy eleget tesz a nincs ingyenebéd e \ L1 = f0g : feltételének, ha C + Kreps [64] bebizonyítja, hogy az életképesség bizonyos „szeparabilitási”feltételek esetén ekvivalens a nincs ingyenebéd feltétellel, ezért a nincs ingyenebéd feltétel ekvivalens a kiterjesztett árazófunkcionál – és így az ekvivalens martingálmérték – létezésével. Stricker [94] kés½obb bebizonyította hogy az említett szeparabilitási feltételek elhagyhatók. Az eredmény általános alakja Kreps–Yan-féle szeparációs tétel néven ismert.

8. Tétel (Kreps–Yan). Legyen G Lp egy (Lp ; Lq )-zárt konvex kúp ami tartalmazza Lp -t, és tegyük fel, hogy G\Lp+ = f0g : Ekkor létezik egy az Lp ( ; F; P) téren értelmezett szigorúan monoton lineáris funkcionál, és egy g 2 Lq , melyre R teljesül hogy minden f 2 Lp ( ; F; P) elemre (f ) = f gdP és minden f 2 G esetén (f ) 0. Mivel szigorúan monoton, ezért minden f 2 Lp+ esetén (f ) 0, ugyanakkor minden G-beli elemre (f ) 0 valamint 0 2 G \ Lp ; ezért az ff 2 Lp j (f ) = 0g hipersík mind a G, mind az Lp+ konvex halmaznak támaszhipersíkja, amely szeparálja a G és Lp+ halmazokat. Vegyük észre, hogy a (2.4) azonosság egyértelm½uen meghatároz egy az eredeR tivel ekvivalens Q valószín½uségi mértéket melyre (f ) = f dQ és a g függvény Radon–Nikodym deriválttal, vagyis az állítás úgy is megéppen megegyezik a dQ dP fogalmazható, hogy a megadott feltételek mellett létezik egy olyan ekvivalens Q valószín½uségi mérték, melyre minden f 2 G esetén EQ (f ) 0 teljesül, továbbá dQ 2 Lq . Az a tény, hogy a Radon–Nikodym derivált még p = 1 esetén is Lq beli, dP azt jelzi, hogy a Kreps–Yan-tétel a klasszikus Hahn–Banach szeparációs tételeknél némileg er½osebb állítás, hiszen a klasszikus szeparációs tételek csak azt biztosítják, hogy a szeparáló funkcionál az Lp duálisának eleme. Ez azért lényeges számunkra, mert az L1 tér L1 duálisa az L1 -nél b½ovebb halmaz, és egy L1 beli funkcionált R nem feltétlenül lehet a (f ) = f gdP alakban reprezentálni. Ha ugyanis valamely 37

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték R 2 L1 n L1 funkcionálra (f ) = f gdP teljesülne, akkor például f = 1 esetben az integrál értéke véges, amib½ol g 2 L1 következne, ami ellentmondás. Mivel p < 1 esetén a G kúp G0 polárisa de…níció szerint a 8 Z < q g 2 L j f gdP :

9 = 0 8f 2 G ;

halmaz, a Kreps–Yan-tétel azt állítja, hogy létezik egy g 2 G0 , amely majdnem biztosan szigorúan pozitív. Látni fogjuk, hogy ez p = 1 esetén is teljesül, ekkor azonban a G0 halmaz az L1 részhalmaza. A Kreps–Yan-tétel egy érdekes következménye, hogy a nincs ingyenebéd feltételb½ol következik az ekvivalens martingálmérték létezése. Ezt kétperiódusos modellre a következ½oképpen látható be. Tegyük fel, hogy a kétperiódusos pénzpiac eleget e tesz a nincs ingyenebéd feltételének. Ekkor a Kreps–Yan tételt G = C-re és p = 1-re alkalmazva kapjuk, hogy létezik egy P-vel ekvivalens Q valószín½uségi e esetén, EQ [f ] 0. Ekkor Xj (1) Xj (0) 2 C, mérték, hogy minden f 2 C C vagyis EQ [Xj (1) Xj (0)] 0. Mivel ez (Xj (1) Xj (0))-ra is teljesül, ezért csak EQ [Xj (1) Xj (0)] = 0 lehetséges, ami azt jelenti, hogy az Xj folyamat a Q valószín½uségi mérték szerint martingál15 . A C kúp természetesen tetsz½oleges szemimartingál modellre is analóg móe don de…niálható. Ebben az esetben a Kreps–Yan tételt szintén G = C-ra alkalmazva egyszer½uen következik, hogy ha valamely lokálisan korlátos szemimartingálra „nincsen ingyenebéd”akkor a szemimartingálhoz létezik ekvivalens lokális martingálmérték. Ennek a tetszet½os állításnak az a hátulüt½oje, hogy közgazdaságtanilag nehezen interpretálható, ugyanis, mivel p = 1 esetén az (Lp ; (Lp ; Lq ))tér nem metrizálható, ezért ekkor a (Lp ; Lq )-zártság csak általánosított sorozatokkal karakterizálható. A problémát itt is az okozza, hogy bár 1 > p > 1 esetén az Lp térnek az Lq a duálisa, az L1 térnek az L1 tér nem duálisa. Ennek megvilágítása céljából gondoljuk meg a következ½oket. A Hahn–Banach-tétel egyik következménye szerint a konvex halmazoknak minden dualitással kompatibilis topológia szerint ugyanaz a lezártja, vagyis 1 > p > 1 esetén a G konvex kúp pontosan akkor (Lp ; Lq )-zárt, ha Lp -ben zárt. Ezekben az esetekben tehát a gyenge topológiák alkalmazását elkerülhetjük, ld. pl. Harrison–Kreps [45], Du¢ e 15

A gondolatmenetb½ol az a következtetés is levonható a kétperiódusos esetre, hogy a C 0 halmaz majdnem biztosan pozitív elemei normálás után martingálmértéket reprezentálnak. Látni fogjuk, hogy ez az észrevétel kulcsszerepet játszik a portfolióválasztás duális megközelítésében.

38

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték [28], és Dallang–Morton–Willinger [19]. Vegyük itt példának a Dallang–Morton– Willinger-tétel esetét, ami szerint diszkrét id½oparaméter és véges id½ohorizont esetén a K \ L0+ = f0g feltétel már biztosítja az ekvivalens martingálmérték létezését. Belátható, hogy ekkor C0 \ L1 zárt L1 -ben, és ezért zárt a (L1 ; L1 ) topológia szerint, tehát a Kreps–Yan-tétel alkalmazható. A p = 1 esetet, és így a fenti gyenge topológia alkalmazását sajnos számos gyakorlati alkalmazásban nem úszhatjuk meg. Ennek több oka van. Egyrészt el½ofordul, hogy az ekvivalens martingálmértékre való áttérés Radon–Nikodym-féle deriváltja semmilyen p > 1 esetén sem Lp -beli. Másodszor csak q = 1 esetén 2 Lq (P)-ból következik teljesül az az állítás, hogy ha P ekvivalens P1 -el, akkor dQ dP dQ 2 Lq (P1 ). Ez utóbbit a következ½oképpen láthatjuk be. Egyrészt a láncszabály dP1 dQ dP = dQ , másrészt dQ 2 L1 (P) miatt (ld.: [88]: 1.29 Theorem) alapján dP dP dP1 dP 1 Z

dQ dP1 = dP1

Z

dQ dP dP1 = dP dP1

Z

dQ dP < 1: dP

Vagyis ha az árazó funkcionál –vagyis a Q-szerinti várható érték –reprezentálható P szerinti integrálként akkor P1 szerinti integrálként is. Ez utóbbi jelent½oségét az adja, hogy a mértékek cseréje a pénzügyi matematikusok egy kedvenc trükkje, ezért hasznos ha az árazófunkcionál integrálként való reprezentálhatósága az ekvivalens mértékcserére nézve invariáns. Végül, de nem utolsó sorban a feltételes követelések L1 -beli elemekkel való reprezentálását az is indokolja, hogy az L1 topológia – ahogy azt a Delbaen–Schachermayer-tétel esetében is látni fogjuk – közgazdaságtanilag is könnyen interpretálható.

2.3.

A sztochasztikus folyamatok általános elmélete

Mint már említettük, M. Harrison, D. M. Kreps és S. R. Pliska bebizonyították, hogy a martingálmérték igen általános körülmények mellett létezik, és a fent elmondottak nagy része ún. di¤úziós folyamatokra is alkalmazható (ld. [45], [64] és [44]). Az említett szerz½ok legfontosabb hozzájárulása azonban az volt, hogy felismerték a martingáltechnika jelent½oségét, ezáltal nagy mértékben járultak hozzá, hogy a Black–Scholes képlet nyomán öntudatára ébredt opcióelmélet a martingálelmélet igen gyümölcsöz½o alkalmazási területévé váljon. Harrison és 39

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Kreps rámutatnak, hogy az akkor már meglehet½osen túlérett tudományterültnek számító martingálelmélet egészen megdöbbent½o módon illeszkedik a derivatív eszközök árazásának problémáihoz. A két tudományterület közti kapcsolódási pontok közül az egyik legérdekesebbet az ún. Girsanov-transzformáció (ld.: [41]) szolgáltatja, aminek lényegét az alábbiakban Wiener-folyamatok esetére mutatjuk be. Ha a P mérték szerinti Wt Wiener-folyamatra a 0

(t) = exp @

Zt

1 2

(s)dWs

Zt 0

0

2

1

(s)dsA

folyamat martingál a [0; T ] intervallumon, akkor a

Wt0

= Wt +

Zt

(s)ds

0

folyamat Wiener-folyamat a [0; T ]-n a Z

Q(A) =

(T )dP

A

módon de…niált mérték szerint. Lássuk, hogyan alkalmazható ez az elv az ekvivalens martingálmérték meghatározására. Az egyszer½uség kedvéért tegyük fel, hogy a piacon egy fajta kötvénnyel és egyetlen kockázatos részvénnyel kereskednek, és az Xt diszkontált árfolyamatot az ún. lognormális folyamat írja le, vagyis az X kielégíti az

Xt

X0 =

Zt

bXu du +

0

Zt

Xu dWu

0

sztochasztikus di¤erenciálegyenletet, ahol W az eredeti P mérték szerint Wienerfolyamat. Bevezetve a = b és Wt0 = Wt + t jelölést, nyilván

Xt

X0 =

Zt 0

40

Xu dWu0 :

(2.5)

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték A Girsanov-formula alapján a Wt0 folyamat a [0; T ] intervallumon a Q(A) =

Z

exp(

WT

1 2 T )dP 2

A

módon de…niált mérték szerint Wiener-folyamat. Ekkor azonban (2.5) sor alapján X lokális martingál Q-szerint, hiszen X folytonos, és minden folytonos folyamat lokális martingál szerinti integrálja lokális martingál16 , és könnyen megmutatható, hogy egyben valódi martingál is Q-szerint. A szemimartingál fogalmának, és így a sztochasztikus folyamatok – Markovfolyamatoktól független –általános elméletének pénzügyi jelent½oségére el½oször Harrison és Pliska [44] mutatott rá. Köztudott, hogy Doob nyomán (Ld.:[27]) a martingálelmélet – bár nem játszott fontos szerepet – már az ötvenes években elvált a Markov-folyamatok elméletét½ol, a sztochasztikus integrál elmélete azonban, egészen Meyer és C. Doléans–Dade mérföldk½onek nevezhet½o [26] cikkének megjelenéséig nem vált attól teljesen függetlenné. Ez utóbbi eredmény, az elmélet robbanásszer½u fejl½odéséhez vezetett a hetvenes és nyolcvanas években, így kulcsfontosságúnak bizonyult a sztochasztikus analízis pénzügyi matematikai alkalmazhatósága szempontjából, és matematikatörténeti oldalról tekintve ez vezetett el – az itt bemutatott elmélet közvetlen el½ozményeinek tekinthet½o – Harrison–Kreps [45], és Harrison–Pliska [44] nevezetes eredményeihez17 . A Markov-folyamatoktól független általános elmélet kés½obb nagyrészt Dellacherie és Meyer [25] monográ…ájában vált kidolgozottá18 . Az alfejezet további részében pontosan de…niáljuk a szemimartingál, és az el½orejelezhet½o folyamat fogalmát. Ugyanakkor terjedelmi okokból nem kívánjuk áttekinteni a szemimartingálokra vonatkozó sztochasztikus analízis általunk felhasznált standard eredményeit, ezekkel kapcsolatban a legtöbb esetben [75] monográ…ára fogunk hivatkozni. Hangsúlyozzuk azonban, hogy a sztochasztikus folyamatok általános elméletének ezen eredményeire els½osorban a 3.3 alfejezetben, és a 4. – mellesleg a dolgozat egyharmadát kitev½o – fejezetben fogunk támaszkodni. A dolgozat többi részében már csak arra a tényre fogunk hivatkozni, hogy szemimartingálok szerint tudunk integrálni, ezért a fent bevezetett C kúp ebben az 16

Valójában minden lokálisan korlátos el½orejelezhet½o folyamat lokális martingál szerinti integrálja lokális martingál. 17 Érdekessége még Meyer és Doléans–Dade említett cikkének, hogy ebben találkozhatunk el½oször a szemimartingál fogalmával. 18 A téma egy modernebb feldolgozása megtalálható [75]-ben.

41

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték esetben is értelmezhet½o, továbbá az 5. fejezetben felhasználjuk, hogy ez a C kúp (L1 ; L1 )-zárt. A szemimartingál pontos de…níciójához vezessünk be néhány jelölést. Rögzítsünk egy ( ; F; P) valószín½uségi mez½ot, és egy (Ft )t2[0;1) ún. …ltrációt. A …ltrációt képez½o Ft F -algebrák azokat az eseményeket tartalmazzák, melyek bekövetkezése, avagy be nem következése a t id½opontban rendelkezésre álló információk alapján eldönthet½o. A …ltrációra teljesül, hogy minden s < t esetén Fs Ft , ami azt fejezi ki, hogy amit a meg…gyel½ok az s id½opontban tudnak, azt a t id½opontban is tudják, vagyis nem felejtenek. Rögzített (Ft )t …ltráció esetén valamely X(t; !) folyamatról azt mondjuk hogy adaptált, ha X(t; !) minden t 2 R esetén Ft -mérhet½o. Adott ! esetén az t ! X(t; !) függvényt a folyamat adott kimenetelhez tartozó trajektóriájának nevezzük. A folytonos idej½u folyamatoknál a folyamat trajektóriáira id½onként bizonyos megkötéseket kell tennünk. Egy folyamatról azt mondjuk hogy jobbról reguláris, ha minden ! esetén az t ! X(t; !) függvény minden t id½opillanatban jobbról folytonos és létezik véges baloldali határértéke. A martingál tulajdonság de…niálásához szükségünk lesz a feltételes várható érték de…níciójára. 9. De…níció. Legyen ( ; F; P) egy valószín½uségi mez½o, A F egy szigmaalgebra és : ! R egy valószín½uségi változó. Ekkor az változó A-ra vonatkozó feltételes várható értékének nevezzük azt az E [ j A]-vel jelölt kiterjesztett valós szám érték½u A-mérhet½o függvényt, melyre minden A 2 A halmazra teljesül, hogy Z

A

dP =

Z

A

E [ j A] dP

Ezek után már megadható a martingál pontos matematikai de…níciója. 10. De…níció. Egy X(t; !) adaptált jobbról reguláris folyamat martingál, ha minden t-re az X(t; !) várható értéke véges, és minden s < t esetén majdnem biztosan, vagyis nullmérték½u halmaztól eltekintve teljesül, hogy E [X(t) j Fs ] = X(s). A sztochasztikus folyamatok elméletének egyik legfontosabb fogalma a megállási id½o. A megállási id½o általában egy olyan esemény bekövetkezésének idejét írja le, melynek bekövetkezése vagy be nem következése minden id½opontban egyértelm½uen eldönthet½o. Ennek megfelel½oen megállási id½o alatt a következ½ot értjük. 42

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték 11. De…níció. Egy : ! R[f1g függvényt az (Ft )t2[0;1) …ltrációra vonatkozó megállási id½onek nevezünk, ha minden t 2 R esetén f tg 2 Ft . Legyen egy megállási id½o. A továbbiakban X (t; !)-val jelöljük, és megállított folyamatnak nevezzük az X(min f ; tg ; !) folyamatot. Ez tehát egy olyan sztochasztikus folyamat, amelynek egy rögzített ! érték esetén az X! (t) trajektóriái azzal a tulajdonsággal rendelkeznek, hogy X! (t) értéke t esetén megegyezik X(t; !)-vel, t > esetén pedig X( (!); !)-val. A pénzügytanban fontos szerepet játszanak a martingál fogalmának különféle általánosításai. Ezek közül a legfontosabb a lokális martingál fogalma. 12. De…níció. Egy X folyamatot lokális martingálnak nevezünk, ha létezik egy megállási id½okb½ol álló monoton növekv½o ( n ) sorozat, melyre majdnem biztosan X (0) folyamat martingál. n ! 1, és amelyre teljesül hogy az X (t) Most már de…niálhatjuk a szemimartingál fogalmát. 13. De…níció. Egy X folyamat szemimartingál, ha el½oállítható egy lokális martingál és egy jobbról reguláris, adaptált és minden korlátos intervallumon korlátos változású folyamat összegeként. Fontos azonban tudnuk, hogy a de…nícióban szerepl½o felbontás általános esetben nem egyértelm½u. A sztochasztikus folyamatok általános elméletének egyik legfontosabb fogalma, az el½orejelezhet½oség. Jelöljük P-vel azt az [0; 1) részhalmazaiból álló -algebrát, melyet az adaptált és folytonos trajektóriájú folyamatok generálnak. Ekkor P elemeit el½orejelezhet½o halmazoknak, az [0; 1) halmazon értelmezett és P-mérhet½o X(t; !) sztochasztikus folyamatokat pedig el½orejelezhet½o folyamatoknak nevezzük. A szemimartingáloknak egy fontos osztályát alkotják az ún. speciális szemimartingálok. Egy szemimartingált speciális szemimartingálnak nevezünk, ha annak valamely 13. de…nícióbeli felbontásában a korlátos változású rész el½orejelezhet½o. A speciális szemimartingálok egy igen …gyelemre méltó –és a továbbiakban fontos szerepet játszó –tulajdonsága, hogy a szemimartingál de…níciójában szerepl½o felbontásai között egyértelm½uen létezik egy olyan felbontás, melyben a korlátos változású rész el½orejelezhet½o. Ezt a felbontást kanonikus felbontásnak nevezzük. A továbbiakban fel fogjuk használni, hogy minden lokálisan korlátos szemimartingál speciális szemimartingál. Ugyanakkor érdekes tény, hogy egy lokális martingál pontosan akkor el½orejelezhet½o, ha folytonos is. 43

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Ha X egy Rd -beli értékeket felvev½o szemimartingál, valamely H folyamat X szerinti sztochasztikus integrálját H X módon, az integrálfolyamat értékét a t id½opontban (H X)(t), vagy (H X)t módon fogjuk jelölni. A sztochasztikus integrál de…níciója abban az esetben amikor az integrátos folyamat szemimartingál, és az integrandus nem feltétlenül lokálisan korlátos meglehet½osen bonyolult, és számos matematikai fogalom bevezetését igényelné, ezért ennek részleteire terjedelmi okok miatt nem térünk ki19 , (ld.: [75]), a továbbiakban csupán a sztochasztikus folyamatok általános elméletének néhány kevésbé klasszikus eredményét ismertetjük (ld.: [1], [34], [78], továbbá ezen eredmények egy újabb feldolgozását ld.:[77]-ben). Mint látni fogjuk, a C kúp zártsága általános esetben a szemimartingálok terének topológiai tulajdonságaira vezethet½o vissza. A szemimartingálok terének topológizálása távolról sem egyszer½u feladat. Ennek oka, hogy még a trajektóriák egyenletes konvergenciája sem biztosítja, hogy szemimartingálok határértéke szemimartingál maradjon. Példaként érdemes a következ½ore gondolni: egy determinisztikus folyamat pontosan akkor szemimartingál, ha korlátos változású. Emlékeztetünk, hogy a mindenhol folytonos, de sehol sem deriválható függvény konstrukciója során egy nem korlátos változású függvényt korlátos változású függvények20 egyenletesen konvergens határértékeként állítunk el½o. A korlátos változású függvények azonosíthatók a mértékekkel21 . A véges mértékek körében a természetes norma a teljes megváltozás. Ha egy véges mérték, akkor k k $ sup (Ai )

X i

j (Ai )j = sup

jKj 1

Z

Kd

;

ahol az els½o szuprémumot az alaphalmaz összes legfeljebb megszámlálható elemb½ol álló mérhet½o partícióján kell venni. A második egyenl½oség világos, és természetesen a szuprémumot az egynél nem nagyobb abszolút értékkel rendelkez½o mérhet½o függvények szerint kell venni. Ebb½ol következ½oen az R+ félegyenesen értelmezett 19

Arra az esetre ha az olvasó netán nem ismerné a sztochasztikus folyamatok általános elméletét, megjegyezzük, hogy a dolgozat nagy részének olvasásához elegend½o ha az olvasó elfogadja, hogy az H X sztochasztikus integrál létezik. A sztochasztikus folyamatok általános elméletének mélyebb ismeretére csak a 3.3 alfejezetben és a dolgozat mintegy egyharmadát kitev½o 4. fejezetben fogunk támaszkodni. 20 Valójában lineáris törtfüggvények! 21 Pontosabban csak egy konstans értékt½ol eltekintve azonosíthatók a mértékekkel. Az R+ félegyenesen a nulla pontban nulla értéket felvev½o korlátos változású függvények azonosíthatók a véges mértékekkel. Ezért szükséges a szemimartingál topológia de…níciójában az S (0) K (0) szerepeltetése.

44

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték véges megváltozású függvények22 körében a természetes topológiát a kV kn $ jV (0)j + sup

jKj 1

Z

0

n

KdV $ jV (0)j + sup j(K jKj 1

V )n j

félnormákkal érdemes de…niálni. Ha V véges megváltozású trajektóriákkal rendelkez½o folyamat, akkor a topológiát érdemes a trajektóriák által de…niált mértékekhez rendelt félnormák által alkotott valószín½uségi változók sztochasztikus konvergenciájával de…niálni. Emlékeztetünk, hogy valószín½uségi változók egy ( n ) sorozata pontosan akkor tart sztochasztikusan nullához, ha E (j n j ^ 1) ! 0: A szemimartingál topológia a teljes megváltozás által de…niált topológiát általánosítja: 14. De…níció. A szemimartingálok terén az kSkS $

1 X n=1

2

n

sup E (jK (0) S (0) + (K jKj 1

S)n j ^ 1)

kvázinorma által generált topológiát szemimartingál topológiának nevezzük. 15. Tétel (A szemimartingál topológia jellemzése). Szemimartingálok egy S k sorozata pontosan akkor konvergál a 0-hoz a szemimartingál topológia szerint, P P ha minden t-re S k (0) ! S (0) és K S k t ! 0 a K-ban egyenletesen, ahol a K befutja az összes jKj 1 el½orejelezhet½o folyamatot. Az alaptétel igazolása során kiemelked½oen fontos szerepet fog játszani a következ½o tétel (ld.: [78] és [77]): 16. Tétel (Mémin). Ha S jelöli a szemimartingálok halmazát, akkor egy rögzített szemimartingál szerinti sztochasztikus integrálként felírható szemimartingálok az (S; k kS ) kvázi-normált tér zárt alterét alkotják. Miként már jeleztük, sztochasztikus integrálon mindig szemimartingál értelemben vett integrált értünk. Éppen ezért a lokális martingálok szerint vett sztochasztikus integrálok nem lesznek automatikusan lokális martingálok. Ezen segít a következ½o állítás: 17. Tétel (Ansel–Stricker). Legyen M egy lokális martingál, és tegyük fel, hogy a H el½orejelezhet½o sztochasztikus folyamat szemimartingál értelemben integrálható 22

Vagyis az olyan függvények, amelyek megváltozása minden kompakt intervallumon véges.

45

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték az M szerint. Ha a H stratégia megengedett, vagyis egy u valós számra, minden t 0-ra (H M )t u; akkor a H M lokális martingál23 . Továbbá szükségünk lesz a következ½o két állításra. 18. Tétel (Korlátos változású folyamat Hahn-felbontása). Legyen A egy véges változású el½orejelezhet½o folyamat, amelyre A0 = 0. Ekkor léteznek a diszjunkt és el½orejelezhet½o B+ és B halmazok, amelyek uniója az R+ halmaz, és ameA folyamatok növekv½oek, és24 lyekre teljesül, hogy a B+ A és a B Var(A) =

B+

B

A:

19. Tétel (Speciális szemimartingálok sztochasztikus integrálása). Legyen X egy speciális szemimartingál, amelynek kanonikus felbontása legyen X = X (0)+ M + A. Ha a H folyamat X-integrálható, akkor a H X szemimartingál pontosan akkor speciális szemimartingál, ha a H lokális martingál értelemben M integrálható, és a H Lebesgue–Stieltjes értelemben A-integrálható. Ebben az esetben a H X kanonikus felbontása H X = H M + H A.

23 24

A tétel különféle alakjai megtalálhatók: [34] valamint [1]-ben, ld. még: [77]: Ld.: [77]: Theorem 26 bizonyításának 2. pontja

46

3. fejezet A pénzpiac modellje több periódus esetén Az el½oz½o fejezet kétperiódusos modelljével szemben ebben a fejezetben feltételezzük, hogy a befektet½ok meghatározott id½oközönként –folytonos kereskedés esetén akár minden id½opillanatban –átrendezhetik a portfóliójukat, más szóval dinamikusan kereskedhetnek az értékpapírpiacon. Az ily módon létrejöv½o ún. kereskedési stratégiáknak egy fontos osztályát alkotják az ön…nanszírozó kereskedési stratégiák. Ön…nanszírozó stratégiáról akkor beszélünk, ha feltételezzük, hogy a kereskedés kezd½o id½opontjában, vagyis a 0-dik id½opontban megvásárolt portfólióból sem nem vonunk ki, sem nem adunk hozzá pótlólagos t½okét. Az ön…nanszírozó kereskedési stratégiák fogalmát felhasználva azt mondhatjuk, hogy akkor létezik arbitrázs, ha nempozitív induló t½okét felhasználva, ön…nanszírozó kereskedési stratégia révén valamely T id½opontban olyan portfolióhoz jutunk, amit eladva nemnegatív, és egy pozitív mérték½u halmazon pozitív ki…zetéshez juthatunk. Természetesen a jöv½obeli ki…zetések jelenbeli árának meghatározásához diszkontálást kell végeznünk. A dolgozat hátralev½o részében szeretnénk feltételezni, hogy a diszkontálást már elvégeztük, vagyis hogy a pénzpiacot leíró sztochasztikus folyamat már maga a diszkontált árfolyamat, ezért meg kell mutatnunk, hogy egy ön…nanszírozó kereskedési stratégia a diszkontálás elvégzése után is ön…nanszírozó marad. A legtöbb alkalmazásban a diszkontálást valamilyen kockázatmentes kamatláb, pl. a bankszámlapénz kamata szerint végzik el. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a bankszámlapénzt tekintjük ármércének. Az alábbiakban el½oször diszkrét id½oparaméter esetére, majd –[53] alapján –az Itô-formula felhasználásával általános szemimartingálokra is megmutatjuk, hogy a diszkontálás tetsz½oleges 47

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték pozitív szemimartingál esetére elvégezhet½o, vagyis érvényes az ún. ármérce invariancia.

3.1.

Pénzpiac végesen generált valószín½uségi mez½o esetén

Eddigi tárgyalásunkban az arbitrázsmentesség fogalmát csak két periódus esetére de…niáltuk. Ebben a fejezetben a fogalmat kiterjesztjük a több periódusos pénzpiacra, ezért de…niálnunk kell a replikálható portfóliók K kúpját több periódus esetére is. Ehhez szükségünk van az ön…nanszírozó kereskedési stratégia fogalmára.

3.1.1.

Ön…nanszírozó kereskedési stratégiák

Tegyük fel, hogy a befektet½ok a t = 0; 1; :::; T diszkrét id½opillanatokban N + 1 darab értékpapírral kereskedhetnek. Tekintsük az ( ; F; P) valószín½uségi mez½ot, ahol = f! 1 ; ! 2 ; :::; ! S g ; és minden nemüres esemény P szerinti valószín½usége pozitív. Rögzítsünk egy (Ft )t2f0;1;:::;T g ún. …ltrációt. A …ltrációt képez½o Ft F -algebrák azokat az eseményeket tartalmazzák, melyek bekövetkezése avagy be nem következése a t id½opontban rendelkezésre álló információk alapján eldönthet½o. A …ltrációra teljesül hogy minden s < t esetén Fs Ft , ami azt fejezi ki hogy amit a meg…gyel½ok az s id½opontban tudnak, azt a t id½opontban is tudják, vagyis nem felejtenek. Legyen X = (X0 ; :::; XN ) és jelölje Xj (t) a j-edik értékpapír t-edik id½opontbeli árát, feltesszük hogy Xj (t) a rögzített …ltrációra nézve adaptált, vagyis hogy minden t id½opontban Xj (t) valószín½uségi változó Ft mérhet½o, valamint minden t-re Xj (t) > 0. Jelölje H(t) = fH0 (t); :::; HN (t)g a befektet½o kereskedési stratégiáját, vagyis azt a sztochasztikus folyamatot, melynek j-edik koordinátája azt mutatja meg, hogy a befektet½o hány egység értékpapírral rendelkezik a [t 1; t) id½ointervallumban. Mivel a befektet½o a H(t) portfolió összetételér½ol a t 1 id½opontban dönt ezért H(t) nyilván Ft 1 -mérhet½o, amit úgy mondunk, hogy a H(t) folyamat el½orejelezhet½o. Feltételezzük, hogy a Hn folyamatok felvehetnek negatív értéket is,

48

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték ami az n-edik értékpapír rövidre való eladásaként értelmezhet½o.1 A továbbiakban értékfolyamatnak nevezzük a

V H (t) =

8 N P > > Hj (t + 1)Xj (t) t = 0 < > > :

j=0 N P

Hj (t)Xj (t) t = 1; :::; T

j=0

folyamatot. Mivel kereskedés csak a t = 1; :::; T diszkrét id½opontokban folyhat, ezért a V H (t) értéke éppen azt mutatja meg, hogy mekkora a befektet½o kereskedés el½ott tartott portfoliójának piaci értéke a t-edik id½opontban. Vegyük észre, hogy a t = 0-ban azért kell eltér½oen de…niálnunk, az értékfolyamatot, mert a t = 0-ban nem beszélhetünk kereskedés el½otti portfoliórol. Ennek megfelel½oen V H (0) a befektet½o induló vagyonaként interpretálható. Eddig nem zártuk ki annak lehet½oségét, hogy a befektet½o menet közben a portfoliójából pénzt vonjon ki avagy ahhoz pénzt adjon hozzá, ezért V H (t) értéke elvileg különbözhet a közvetlenül a t-edik id½opontP 2 beli kereskedés utáni N j=0 Hj (t+1)Xj (t) értékt½ol . Ha ennek lehet½oségét kizárjuk, vagyis érvényes a N X

Hj (t)Xj (t) =

j=0

N X

Hj (t + 1)Xj (t) t = 1; :::; T

1

j=0

vagyis a N X

(Hj (t + 1)

Hj (t))Xj (t) =

j=0

N X

Hj (t)Xj (t) = 0

(3.1)

j=0

1 Mivel általában a 0-dik értékpapír a kockázatmentes befektetés, vagy bankszámlapénz, ezért pl. H0 = 3 azt jelenti, hogy a kiindulási periódusban a befektet½o 3 egységnyi hitelt vesz fel. Ha n > 0, akkor a Hn = 3 az n-edik értékpapír 3 egységének rövidre való eladását jelenti. A rövidre való eladás lényegének megértéséhez vegyük a következ½o szituációt. Tegyük fel, hogy egy befektet½o valamely részvény árfolyamának csökkenésére számít. Ebben az esetben valamilyen díjazás ellenében, valamely piaci szerepl½ot½ol – pl. brókert½ol – kölcsönveszi az adott részvény egy bizonyos mennyiségét, amit azonnal elad az értékpapír piacon. Amennyiben a befektet½o sejtése beigazolódik, a visszaszolgáltatandó részvényeket egy kés½obbi id½opontban olcsóbban visszavásárolva majd visszaszolgáltatva a befektet½o hasznot húzhat az árfolyam csökkenéséb½ol. A várt árfolyamcsökkenés elmaradása esetén természetesen a befektet½o veszteséget könyvel el. PN 2 Ezért nem de…niálhattuk az értékfolyamatot egységesen minden t-re a j=0 Hj (t + 1)Xj (t) folyamatként.

49

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték egyenl½oség, akkor ön…nanszírozó portfólióról beszélünk. A továbbiakban nyereményfolyamatnak nevezzük a H

G (t) =

t X N X

Hj (s)(Xj (s)

Xj (s

1)) t = 1; :::; T

(3.2)

s=1 j=0

folyamatot, ami a H kereskedési stratégiát követ½o befektet½o 0 és t id½opontok közötti kumulált nyereségét mutatja. Egyszer½u algebrai átalakításokkal belátható, hogy egy portfolió pontosan akkor ön…nanszírozó ha V H (t) = V H (0) + GH (t) t = 1; :::; T:

(3.3)

Ennek bizonyításához csak fel kell bontanunk (3.2)-beli kifejezésben a zárójeleket, és alkalmaznunk (3.1) feltételt.

3.1.2.

Ármérce-invariancia

Feltesszük, hogy a 0-adik értékpapír a kockázatmentes bankszámlapénz, és a továbbiakban ezt az értékpapírt tekintsük ármércének. Vezessük tehát be az Xj = Xj =X0 jelölést. Ekkor diszkontált értékfolyamatnak nevezzük a

V H (t) =

8 N P > > Hj (t + 1)Xj (t) t = 0 < j=0

N P > > : Hj (t)Xj (t) t = 1; :::; T j=0

folyamatot, valamint diszkontált nyereményfolyamatnak nevezzük a H

G

(t) =

t X N X

Hj (s)(Xj (s)

Xj (s

1))

s=1 j=0

folyamatot. Ekkor egyszer½u algebrai átalakítással belátható, hogy V H (t) = V H (t)=X0 (t), t = 0; 1; 2; :::; T:

50

(3.4)

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Vegyük észre, hogy itt X0 (s) a konstans 1 folyamat, ezért a fenti összegzésnél a j = 0-hoz tartozó tag elhagyható, vagyis H

G

(t) =

t X N X

Hj (s)(Xj (s)

Xj (s

1));

(3.5)

s=1 j=1

más szóval, a diszkontált nyereményfolyamat kiszámításához a bankszámlapénz mennyiségének ismeretére nincs szükség. S½ot, tetsz½oleges W indulóvagyon és tetsz½oleges el½orejelezhet½o H 0 = fH1 (t); :::; HN (t)g sztochasztikus folyamat az (3.1) egyenl½oség révén már egyértelm½uen meghatároz egy olyan H = fH0 (t); :::; HN (t)g ön…nanszírozó kereskedési stratégiát melyre V H (0) = W . A H 0 stratégiának ez a reprezentációja nagyban leegyszer½usíti a modell kezelhet½oségét, hiszen a H 0 stratégiával kapcsolatban az ön…nanszírozóság feltételét nem kell alkalmaznunk. A továbbiakban szükségünk lesz arra a tényre, hogy egy ön…nanszírozó kereskedési stratégia, a diszkontált folyamatra vonatkozóan is ön…nanszírozó marad. Mivel ön…nanszírozó portfóliók esetén (3.4) alapján nyilván érvényes a N X

Hj (t)Xj (t) = 0

(3.6)

j=0

feltétel, ezért a korábbihoz hasonló egyszer½u algebrai átalakításokkal belátható, hogy a H stratégia pontosan akkor ön…nanszírozó, ha V H (t) = V H (0) + GH (t) t = 1; :::; T;

(3.7)

vagyis ha fH0 (t); :::; HN (t)g az eredeti X folyamatra vonatkozóan ön…nanszírozó volt, akkor fH1 (t); :::; HN (t)g az X diszkontált folyamatra vonatkozóan is ön…nanszírozó marad, vagyis teljesül az ún. ármérce-invariancia. Az ön…nanszírozóság ezen feltételének megértéséhez végezzük el a következ½o gondolatkísérletet. Tegyük fel, hogy a fenti sztochasztikus folyamataink folytonos paraméter½u folyamatok, amelyek diszkrét id½opillanatokban ugranak, és két ugrás között értékük konstans. Tegyük fel, hogy speciálisan a kereskedés a t = 0; 1; :::; T diszkrét id½opillanatokban folyik, vagyis a Hj folyamatok ezekben az id½opontokban ugranak, de az Xj folyamatok ugrásai mindig a (t; t + 1) nyílt intervallumba esnek. Ekkor a (3.5) formula alapján a GH (t) folyamat éppen a V H folyamat t id½opont el½otti (s; s + 1) nyílt intervallumokba es½o ugrásainak összegét mu-

51

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték tatja, ugyanakkor ön…nanszírozó portfoliók esetén a V H folyamat t = 0; 1; :::; T id½opontokba es½o ugrásai (3.6) feltétel miatt nullák. Mondandónkat tehát úgy összegezhetjük, hogy bár a Hj folyamatok nem feltétlenül folytonosak, ön…nanszírozó portfóliók esetén a V H értékfolyamat ugrásai teljes mértékben X ugrásaiból származnak3 . Kés½obb látni fogjuk, hogy bár az ön…nanszírozóság (3.1)beli de…níciója folytonos kereskedés esetén nehezen értelmezhet½o, az ön…nanszírózó portfoliók értékfolyamatának ez a tulajdonsága folytonos kereskedés esetén is megmarad (ld.: (3.16) sor), ami fontos szerepet fog játszani a szemimartingál modellekre vonatkozó ármérce-invariancia bizonyításában.

3.1.3.

Az arbitrázs fogalma

20. De…níció. Egy ön…nanszírozó H kereskedési stratégiát arbitrázsnak nevezünk, ha V H (0) = 0, V H (T ) 0 és E(V H (T )) > 0.

A V H (t) = V H (t)=X0 (t) azonosság nyilvánvaló következménye a következ½o állítás. 21. Tétel. Egy ön…nanszírozó H kereskedési stratégiára az alábbi állítások ekvivalensek: 1. H arbitrázs, 2. V H (0) = 0, V H (T ) 0 és E(V H (T )) > 0, 3. GH (T ) 0 és E(GH (T )) > 0. Bizonyítás Az 1. és 2. ekvivalenciája a (3.4) azonosság következménye, 2. és 3. ekvivalenciája pedig az ármérce invariancia, valamint az ön…nanszírozóság (3.7)beli ekvivalens megfogalmazásának következménye. Tetsz½oleges -n értelmezett valószín½uségi változóra a 0, és E( ) > 0 feltétel úgy is megfogalmazható, hogy 2 RS+ n f0g, ezért felhasználva az ön…nanszírozó kereskedési stratégiák fenti reprezentációját, a fenti tétel következménye az alábbi állítás. 3

Vegyük észre, hogy a gondolatmenet valójában független az X és a H folyamat ugráshelyeire vonatkozó feltevésünkt½ol, ezen feltevés csak azt a célt szolgálta, hogy a két fajta ugrást egyszer½ubben el tudjuk egymástól különíteni.

52

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték 22. Tétel. Egy ( ; F; (Ft )t2f0;1;:::;T g ; P;X) által meghatározott pénzpiacon akkor létezik arbitrázs, ha létezik egy el½orejelezhet½o fH1 (t); :::; HN (t)g folyamat, melyre teljesül, hogy T X N X Hj (s)(Xj (s) Xj (s 1)) 2 RS+ n f0g . s=1 j=1

Bevezetve a ( T N XX K= Hj (s)(Xj (s) s=1 j=1

Xj (s

)

1)) j H el½orejelezhet½o stratégia

(3.8)

jelölést a fenti tétel pontosan azt mondja, hogy véges dimenzió esetén az arbitrázsmentesség ekvivalens a K \ RS+ n f0g = ;; vagyis a K \ RS+ = f0g feltétellel. A fentieket összefoglalva azt mondhatjuk, hogy a diszkontálás elvégzésének valódi oka az, hogy szeretnénk megszabadulni az ön…nanszírozóság feltételének explicit szerepeltetését½ol. Mivel az ármérce szerepét betölt½o – megállapodásunk szerint a 0-dik – értékpapírból tartott mennyiség a többi értékpapírból tartott mennyiségb½ol az ön…nanszírozóság feltételének felhasználásával meghatározható, ezért természetesen a kereskedési stratégia megadásához az ármérce értékpapír mennységének megadására nincs szükség. Ekkor az ön…nanszírozóság feltételét csak a portfolió ki…zetésének meghatározásakor kell felhasználnunk. A diszkontálás elvégzése esetén azonban a kereskedés során az ármérce értékpapíron nem képz½odik nyereség, hiszen annak éréke diszkontálás után konstans 1, ezért a nyeremény diszkontált értéke az ön…nanszírozóság felhasználása nélkül kiszámítható, így az arbitrázs fogalma a diszkontált árfolyamatokból kiindulva az ön…nanszírozóságra való hivatkozás nélkül de…niálható. A továbbiakban szeretnénk kimondani a pénzügyi eszközök árazásának alaptételét több periódus esetére. Ehhez szükségünk van az alábbi fogalomra. 23. De…níció. Legyen ( ; F) egy végesen generált mértéktér, ahol F = P ( ). A P1 és P2 F-en értelmezett valószín½uségi mértékekr½ol azt mondjuk hogy ekvivalensek, ha bármely ! 2 esetén P1 > 0 pontosan akkor teljesül ha P2 > 0. 53

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Ezek után már kimondhatjuk az alaptételt diszkrét id½oparaméter és végesen generált valószín½uségi mez½ok esetére. 24. Tétel (A pénzügyi eszközök árazásának alaptétele). A ( ; F; (Ft )t2f0;1;:::;T g ; P) …ltrált térrel, és az adaptált X(t) folyamattal jellemezhet½o pénzpiacon pontosan akkor nincs arbitrázs, ha létezik egy a P-vel ekvivalens Q valószín½uségi mérték melyre vonatkozóan a diszkontált X folyamat martingál. Az állítást mint már említettük el½oször Harrison és Pliska [44] bizonyították, de a bizonyítás megtalálható a legtöbb bevezet½o matematikai pénzügyekr½ol szóló tankönyvben (ld. pl.: [33] és [79] ill. ld. még: [72]).

3.2.

A Dallang–Morton–Willinger-tétel

Ebben a szakaszban kimondjuk az alaptételt általános -algebrára, de még mindig diszkrét id½oparaméter és véges id½ohorizont esetére. Jelöljük ismét X-szel az értékpapírok árfolyamatát. Rögzítsük a ( ; F; (Ft )t2f0;1;:::;T g ; P) …ltrált teret, ahol tehát F már nem feltétlenül végesen generált, F = F T , és legyen X egy erre nézve adaptált N + 1 dimenziós sztochasztikus folyamat, valamint legyen az X0 folyamat minden pillanatban pozitív érték½u, és jelölje X az X0 szerint diszkontált árfolyamatot. Ebben az esetben az ármérce-invariancia a véges esettel szinte szó szerint megegyez½o módon bizonyítható, ezért az arbitrázsmentesség de…nícióját ezúttal a diszkontált árfolyamatból kiindulva adjuk meg. A véges esetben a (3.8) sorban de…niált K halmaz teljesen azonos módon de…niálható általános -algebrák esetére is, vagyis legyen K=

( T N XX

Hj (s)(Xj (s)

Xj (s

s=1 j=1

)

1)) j H el½orejelezhet½o stratégia :

Jelöljük L0 -lal a majdnem biztosan véges érték½u valószín½uségi változók halmazát. 25. De…níció. Az X eszközár-folyamattal megadott pénzpiacon nemlétezik arbitrázs, ha K \ L0+ = f0g. 54

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték A 22. tételt …gyelembe véve ez a de…níció a véges esetre megadott de…níció kiterjesztése. Ebben az esetben tehát az alaptétel a következ½o alakú. 26. Tétel (Dalang–Morton–Willinger). A ( ; F; (Ft )t2f0;1;:::;T g ; P) …ltrált térrel és az adaptált X eszközár-folyamattal megadott pénzpiaci modellben pontosan akkor nem létezik arbitrázs, ha létezik egy az eredeti P valószín½uségi mértékkel ekvivalens Q valószín½uségi mérték melyre teljesül, hogy 2 L1 ( ; FT ; P) és a) dQ dP b) az X diszkontált árfolyamat Q szerint martingál. A tételt eredetileg R. C. Dalang, A. Morton és W. Willinger bizonyították [19], a tételre jóval egyszer½ubb és elemibb bizonyításokat adtak pl.: W. Schachermayer [89] valamint Yu. Kabanov és Ch. Stricker [58].

3.3.

Folytonos idej½u pénzpiacok

Az alfejezet célja az ármérce invariancia szemimartingál modellekre való kiterjesztése. Mint látni fogjuk, ebben az esetben már az ön…nanszírozóság de…niálása sem triviális.

3.3.1.

Ön…nanszírozó portfóliók

A továbbiakban legyen X egy rögzített Rd -beli értékeket felvev½o (Ft )t2[0;T ] …ltráció szerinti szemimartingál. Tekintsük a ( ; F; (Ft )t 0 ; P) …ltrált térrel és egy X = (X0 ; :::; Xd ) d-dimenziós szemimartingállal jellemezhet½o pénzpiacot. Jelölje a H = (H0 ; :::; Hd ) el½orejelezhet½o X szerint integrálható folyamat a befektet½o kereskedési stratégiáját. Folytonos id½oparaméter esetén az ön…nanszírozóságot legegyszer½ubb a (3.3) azonosság folytonos idej½u analógiájából kiindulva de…niálni. Legyen V

H

=

d X

Hj Xj

(3.9)

j=0

a H kereskedési stratégiához tartozó értékfolyamat. Azt mondjuk hogy a H stratégia ön…nanszírozó, ha H

H

V (t) = V (0) +

d Z X j=0

55

0

t

Hj (s)dXj (s),

(3.10)

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Z

ahol

t

Hj (s)dXj (s)-el a Hj folyamat Xj -szerinti sztochasztikus integrálját jelöljük.

0

Vizsgáljuk meg, hogy vajon tudjuk-e folytonos id½oparaméter esetén a (3.1) egyenl½oséggel analóg módon de…niálni az ön…nanszírozóságot. Tételezzük fel, hogy a H stratégia egy el½orejelezhet½o szemimartingál. Ekkor a szemimartingálokra vonatkozó Itô-formula alapján (ld.: [75] 6.46) Hj (t)Xj (t) = +

P

Z

t

Hj (s )dXj (s) +

0

Z

Hj (0)Xj (0) =

t

Xj (s )dHj (s) + Hjc ; Xjc (t)+

0

(Hj (s)Xj (s)

Hj (s )Xj (s )

Hj (s ) Xj (s)

Xj (s ) Hj (s)) =

0<s t

Z

t

Hj (s )dXj (s) +

0

Z

t

Xj (s )dHj (s) + Hjc ; Xjc (t) +

0

X

Hj (s) Xj (s):

0<s t

Ebb½ol, felhasználva hogy Z

t

Hj (s)dXj (s) =

0

X

Hj (s) Xj (s);

0<s t

kapjuk, hogy Hj (t)Xj (t)

Hj (0)Xj (0) =

Z

t

Hj (s)dXj (s) +

0

Z

t

Xj (s )dHj (s) + Hjc ; Xjc (t);

0

amib½ol már következik, hogy az ön…nanszírozóság feltevése ekvivalens a Z d X j=0

t

Xj (s )dHj (s) + Hjc ; Xjc (t)

=0

0

egyenl½oséggel. Tudjuk, hogy ha Hjc 2 V, akkor Hjc ; Xjc = 0, ezért ekkor a fenti egyenl½oség a d Z t X Xj (s )dHj (s) = 0 j=0

0

alakba írható, ami valóban emlékeztet a diszkrét esetben kapott N P

Hj (t)Xj (t) = 0

j=0

56

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték egyenl½oségre.

3.3.2.

Ármérce invariancia

Csakúgy mint a diszkrét modellben, a folytonos id½ohorizont esetén is szeretnénk elvégezni a diszkontálást, aminek a mi szempontunkból a legfontosabb oka, hogy a diszkrét esethez hasonló módon szeretnénk megszabadulni az ön…nanszírozóság feltételének explicit szerepeltetését½ol. Ennek érdekében a folytonos esetben is be kell látnunk, hogy egy az eredeti árfolyamokra nézve ön…nanszírozó stratégia a diszkontálás elvégzése után is ön…nanszírozó marad, vagyis teljesül az ármérce invariancia. A diszkrét esetben a kockázatmentes bankszámlapénzt tekintettük ármércének. Szeretnénk azonban hangsúlyozni, hogy a diszkontálást tetsz½oleges portfolió vagy nem kereskedett értékpapír hozama szerint is el lehet végezni. Az ármérce invarianciának ez az általános megfogalmazása és bizonyítása tudomásunk szerint Du¢ e [29] nevéhez köthet½o, aki az állítást Itô-folyamatokra bizonyítja. Folytonos szemimartingálokra N. El Karoui, H. Geman és J. C. Rochet [32] bizonyítják, a tétel nem feltétlenül folytonos szemimartingál modellekre vonatkozó alakja megtalálható Shiryaev [92]-ban arra az esetre, amikor az ármérce folyamat korlátos változású és el½orejelezhet½o, végül általános szemimartingál ármérce esetére ld.: F. Jamshidian [53]. Az ekvivalens martingálmérték természetesen tetsz½oleges pozitív szemimartingál ármérce esetén létezik, de az függ a választott ármérce folyamattól, s½ot, Conze és Viswanathan [13] bebizonyítják hogy tetsz½oleges P-vel ekvivalens Q valószín½uségi mérték esetén létezik egy kereskedési stratégia, hogy a hozzá tartozó értékfolyamat szerint diszkontált árfolyamat a Q mérték szerint martingál. Sztochasztikus kamatlábmodelleknél az ármérce portfolió, ezáltal az ekvivalens martingálmérték megválasztása, már nem egyértelm½u, ilyenkor az ármérce megválasztása függhet a konkrét beárazandó követelést½ol. Ezen az elven alapul az eszközárazás ún. ármérce-csere módszere. Az ármérce-csere módszer egy áttekintésér½ol [4]-ben olvashatunk, az ármérce invariancia alábbi, általános szemimartingálokra vonatkozó kifejtése F. Jamshidian [53] írásán alapul. El½oször tegyük fel, hogy X pozitív N +1 dimenziós szemimartingál, és képezzük az X = (X0 ; :::; XN ) diszkontált folyamatot, ahol Xj = Xj X0 1 . Az Itô-formula

57

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték egy következménye hogy X0 1 folyamat szintén szemimartingál. Legyen VH =

d X

Hj Xj = V H X0 1

(3.11)

j=0

a diszkontált értékfolyamat. Azt akarjuk belátni, hogy ha valamely H stratégia Xre nézve ön…nanszírozó, akkor a H stratégia X -ra nézve is ön…nanszírozó marad, vagyis teljesül a d X H H V (t) = V (0) + Hj Xj (t) (3.12) j=0

egyenl½oség. A parciális integrálás formulája szerint tetsz½oleges j-re Xj (t) Z

t 1

X0 (s )dXj (s) +

0

Z

Xj (0) =

t

Xj (s )dX0 1 (s) + Xj ; X0 1 (t)

(3.13)

0

valamint V H (t) V H (0) = Z t Z t 1 H X0 (s )dV (s) + V H (s )dX0 1 (s) + V H ; X0 1 (t). 0

(3.14)

0

H

A (3.11) és (3.10) sorok, a V de…níciója, valamint a W asszociativitási szabály felhasználásával ez utóbbi a V H (t) d Z X j=0

(Z

Y ) = WZ

V H (0) =

t 1

X0 (s )Hj (s)dXj (s) +

0

Z

Y ún.

(3.15)

t

V H (s )dX0 1 (s)+

0

+

d Z X j=0

t

Hj (s)d Xj ; X0 1 (s)

0

alakba írható. A fenti egyenl½oség jobb oldalának középs½o tagjában használjuk fel, P hogy V H (s ) = dj=0 Hj (s)Xj (s ). Vegyük észre, hogy itt is ki kell használnunk az ön…nanszírozóságot, ugyanis V H (3.9)-beli de…níciójából nem következik, hogy P V H = dj=0 Hj Xj , ugyanis a Hj folyamatoknak is lehetnek ugrásai, azonban az ön…nanszírozóság feltétele miatt a V H ugrásai teljes mértékben az árfolyam ugrásaiból származnak. Az ön…nanszírozóság (3.10)-beli de…níciója alapján ugya58

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték nis V

H

d X

=

Hj

Xj =

j=0

vagyis valóban V H (s ) = a

Pd

j=0

d X

Hj Xj ;

(3.16)

j=0

Hj (s)Xj (s ). Ez utóbbit felhasználva tehát (3.15)

V H (0) = Z t Z t d X 1 Hj (s)Xj (s )dX0 1 (s)+ X0 (s )Hj (s)dXj (s) + j=0

V H (t)

0

0

+

Z

t

Hj (s)d Xj ; X0 1 (s)

0

alakba írható. Vegyük észre, hogy it a zárójelen belül éppen a Hj folyamat Xj szerinti integrálja áll (ld. (3.13) sor), vagyis teljesül, hogy V

H

(t)

V

H

(0) =

d Z X j=0

t

Hj dXj ;

(3.17)

0

és ezzel bizonyítottuk hogy a valóban teljesül a (3.12) azonosság, tehát a H stratégia a diszkontált értékfolyamat szerint is ön…nanszírozó marad. Természetesen itt is igaz, hogy az X0 folyamat a konstans 1 folyamat, ezért (3.17) kifejezésben az összegzést elegend½o j = 1-t½ol kezdve elvégezni. Els½o megközelítésben megpróbálhatnánk a diszkrét eset analógiájára úgy de…niálni az arbitrázslehet½oséget, hogy az egy olyan H = (H0 ; :::; Hd ) zérus kezd½ovagyonnal megvalósítható, el½orejelezhet½o X szerint integrálható ön…nanszírozó stratégia, melyre V H (T ) 0, és E(V H (T )) > 0. Utóbbi két egyenl½otlenség (3.11) sor alapján pontosan akkor teljesül, ha a (H0 ; :::; Hd )-ból a H0 koordináta elhagyásával kapott (H1 ; :::; Hd ) stratégiára V H (T ) 0, és E(V H (T )) > 0, ez pedig (3.17) alapján pontosan azt jelenti, hogy létezik egy olyan el½orejelezhet½o (H1 ; :::; Hd ) stratégia, Pd R t Pd R t melyre 0, és amelyre E > 0: Vagyis azt j=0 0 Hj dXj j=0 0 Hj dXj kaptuk, hogy az ármérceinvariancia segítségével az arbitrázslehet½oség az ön…nanszírozóságra való hivatkozás nélkül is de…niálható, hiszen mint láttuk, a diszkontált nyereményfolyamat nem függ a H0 folyamattól, de a H0 folyamatot (H1 ; :::; Hd ) és az ön…nanszírozóság feltétele egyértelm½uen meghatározza. Sajnos látni fogjuk, hogy a folytonos idej½u pénzpiacok esetén ez az arbitrázsde…níció nem kielégít½o, mert az ún. duplázási stratégiák léte miatt (ld.: 4. fejezet.) a legtöbb közgaz59

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték daságtanilag releváns folytonosidej½u modellben a fenti értelemben létezik arbitrázs, ezért csak azokat a stratégiákat engedjük meg, amelyek korlátos er½oforrásokra támaszkodnak. Tovább bonyolítja a problémát, hogy az íly módon szóbajöv½o arbitrázslehet½oségek kizárása általános esetben nem biztosítja martingálmérték létezését, ezért a fenti arbitrázsde…níciónk további …nomításra szorul.

60

4. fejezet Alaptétel szemimartingál modellben Ebben a fejezetben [21] alapján teljes bizonyítását közöljük az alaptétel lokálisan korlátos szemimartingálokra vonatkozó alakjának. Az alaptétel véges számú id½opontból álló, illetve folytonos id½ohorizonton való igazolása nagyon különböz½o. A folytonos id½ohorizontra való igazolás, miként látni fogjuk, igen hosszadalmas és igen „technikás”. A bizonyítás a funkcionálanalízis valamint a sztochasztikus folyamatok –P. A. Meyer és a strassbourgi-iskola matematikusai által a 60-as évek végét½ol kezdve kidolgozott – általános elméletének mély eredményeit használja. A két id½ohorizont tárgyalása közötti eltérés els½osorban abból adódik, hogy véges számú id½opontból álló id½ohorizonton a sztochasztikus integrál egy közönséges véges összeg, folytonos id½ohorizonton azonban egy igen bonyolult és nem túlzottan könynyen kezelhet½o matematikai konstrukció. Az el½oz½o fejezetben beláttuk hogy a tetsz½oleges szemimartingál modellben elvégezhet½o bármely pozitív ármérce-folyamat szerint a diszkontálás, és teljesül az ármérce invariancia. Ennek megfelel½oen a továbbiakban már csak a diszkontált eszközár-folyamatra fogunk hivatkozni, amit az egyszer½uség kedvéért S-sel fogunk jelölni. A továbbiakban S legyen egy rögzített szemimartingál. Miként ismert, a sztochasztikus integrálhatóság „minimál feltétele”, hogy az integrandus el½orejelezhet½o legyen. Az alábbiakban ezt minden további említés nélkül automatikusan feltételezzük. A véges számú id½opontból álló id½ohorizont és a végtelen számú id½opontból álló id½ohorizont közötti eltérés egyik oka, hogy végtelen számú lehetséges id½opont esetén általában lehet „duplázni”. A duplázási stratégia azt a közismert eljárást jelenti, hogy fej-vagy írás játékot játszva veszteség esetén minden 61

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték lépésben megduplázzuk a feltett összeget. Mivel egy valószín½uséggel el½obb vagy utóbb nyerünk, a nyeremény nettó összege egy valószín½uséggel egy egység lesz. A példa lényege, hogy bizonyos esetekben egy játékot végtelenszer játszva és korlátlan er½oforrásokra támaszkodva biztos nyereményhez lehet jutni. Mivel az alkalmazásokban erre valójában nincsen mód, ezt ki kell a modellb½ol zárni. (A problémára els½okén Harrison és Pliska [44] hívta fel a …gyelmet.) Ezt a végtelen számú megengedett id½opontból származó nyilvánvaló arbitrázs lehet½oséget a lehetséges portfóliók alulról való korlátosságával zárhatjuk ki: 27. De…níció. Valamely S-integrálható H folyamatot u-megengedettnek nevezünk, ha minden t 0-ra (H S)t u. Valamely H folyamatot megengedettnek mondunk, ha létezik egy u valós szám, amelyre a H folyamat u-megengedett. Hangsúlyozni kell hogy az alulról való korlátosságból nem következik a felülr½ol való korlátosság, így az alulról való korlátosság feltételezésének fontos következménye, hogy a lehetséges portfóliók nem feltétlenül alkotnak lineáris teret, csak konvex kúpot. De…niáljuk a K0 konvex kúpot a következ½oképpen1 : K0 $ f(H

S)1 : H megengedett folyamat és a határérték létezik és végesg :

A kés½obbiek során be fogjuk látni, hogy amennyiben az alább ismertetett „arbitrázsmentesség” feltétele teljesül, akkor a (H S)1 változó minden megengedett stratégia esetén értelmes és véges2 . Ezt tudva K0 = f(H

S)1 : H megengedett folyamatg :

Most, a tárgyalás kezdetén, azonban evvel a feltételezéssel még nem élhetünk. A véges id½ohorizonton való arbitrázs elméletb½ol ismert, hogy a lehetséges származtatott termékek halmazáról fel kell tenni, hogy az teljesíti a díjtalan lomtalanítás megkötését. Ez így van a folytonos id½oparaméter esetében is. Jelöljük C0 -al a K0 -beli elemekkel dominálható függvények kúpját, azaz legyen C0 $ K0 L0+ : Folytonos id½oparaméter esetén az ekvivalens mértéket megadó Radon–Nikodym deriváltról, már a legegyszer½ubb esetben is3 csak annyi tudható, hogy eleme az L1 1

A nulla alsó index arra utal, hogy a K0 halmaz az L0 térben van. Az L0 tér a valószín½uségi változók tere a sztochasztikus konvergenciával mint metrikával. Amennyiben valamely halmaznak nincsen alsó indexe, akkor a halmaz általában az L1 térben van. 2 V.ö.: 43. állítás. 3 Vagyis a klasszikus Black–Scholes modellben is.

62

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték térnek. Ez a folytonos és a véges számosságú id½oparaméter közötti eltérés egyik fontos eleme4 . Mivel az ekvivalens mértékcserét biztosító Radon–Nikodym deriváltat ismét szeparációval akarjuk meghatározni, és a szeparáló hipersík normálisát az L1 térben keressük, ezért a „primál teret”, ezért a „lehetséges” származtatott termékek halmazát le kell sz½ukíteni az L1 térre, vagyis legyen C $ C0 \ L1 : Vegyük észre, hogy eddigi de…nícióink alapján a diszkrét és a folytonos idej½u modellek közötti alapvet½o különbség nem abban van, hogy az árfolyamatot egy folytonos id½oparaméter½u avagy diszkrét folyamat írja le, hanem az, hogy a folytonos modellekben megengedjük hogy a befektet½ok minden id½opillanatban kereskedjenek. A sztochasztikus integrál esetében ugyanis, csakúgy mint a közönséges Stieltjesintegrál esetében, egy intervallumon konstans folyamat integrálja nem függ az integrátor intervallumon belüli értékeit½ol, ezért egy olyan folytonos árfolyamattal megadott modell, melyben csak a diszkrét id½opillanatokban való kereskedést engedjük meg, egy diszkrét idej½u modellre redukálódik. A folytonos kereskedés megengedése ezek szerint kib½ovíti a replikálható követelések körét. Ahogy már korábban utaltunk rá, ebben az általános esetben a szeparációhoz biztosítanunk kell az elválasztandó halmazok zártságát, ezért az arbitrázsmentesség korábbi algebrai fogalmát egy – a nincs ingyenebédhez hasonló – er½osebb, topológiai fogalommal kell helyettesítenünk, ami kikényszeríti a szeparációhoz szükséges zártságot. Ezúttal azonban a gyenge topológia helyett az L1 norma által meghatározott topológiát fogjuk használni. Jelöljük tehát C-sal a C kúp L1 normája szerinti lezártját. Ezekkel a jelölésekkel de…niáljuk a Delbaen–Schachermayer-féle „arbitrázsmentesség”fogalmat. 28. De…níció (NFLVR). Azt mondjuk, hogy az S szemimartingál eleget tesz a NFLVR feltételnek5 , ha C \ L1 + = f0g : A fogalom közgazdasági interpretációja a következ½o. Ha f0 6= 0 függvény eleme 1 a C \ L1 normája + halmaznak, akkor létezik egy ( fn )n 1 C-beli sorozat, amely L szerint konvergál f0 -hoz. Mivel f0 2 L1 + , ez azt jelenti, hogy minden k 2 N 1 re létezik egy nk index, hogy fnk > k . Az fn -ek által reprezentált ki…zetések 4

Ugyanis véges számosságú lehetséges id½opont esetén a szeparációval kapott derivált L1 -be esett, így ott a duális tér volt az L1 ; következésképpen a „primális” tér volt az L1 tér. Most azonban a „duális” tér, vagyis az a tér ahol a szeparáló hipersíkok „normálisai” vannak lesz az L1 tér. Mivel az L1 nem természetes duálisa semmilyen térnek, ezért az alábbiakban egy sor technikai nehézség fog fellépni. 5 A „no free lunch with vanishing risk” kifejezés rövidítése.

63

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték elérhet½oek olyan módon, hogy valamely H kereskedési stratégiát követünk, és az ehhez tartozó (H S)1 ki…zetésb½ol kivonunk egy L0+ -beli változót –ezen a ponton egyfajta "díjmentes lomtalanítási" feltevéssel élünk –továbbá lim fn = f0 miatt az f0 által reprezentált pozitív mérték½u halmazon való pozitív nyereség tetsz½olegesen pontossággal megközelíthet½o, miközben a kockázat mértéke – vagyis a különböz½o kimenetelekhez tartozó lehetséges veszteségek maximuma – tetsz½olegesen kicsivé tehet½o. A „no free lunch with vanishing risk”kifejezés egy lehetséges magyar fordítása a következ½o: elhalványuló kockázat nélkül nincsen ingyen ebéd6 . Természetesen ebben az általános esetben is de…niálható az arbitrázsmentesség fogalma is, ami alatt a C0 \ L0+ = f0g reláció teljesülését szokás érteni. Az els½o fejezetben említett nincsen ingyen ebéd megkötés fogalma annyiban különbözik az elhalványuló kockázat nélküli ingyenebédt½ol, hogy a fenti lezárást az L1 tér gyenge* topológiájában és nem a norma szerinti topológiában kell venni. Hangsúlyozni kell, hogy a Delbaen– Schachermayer elmélet lényege éppen az, hogy a jóval kisebb, norma szerinti lezártat veszik a szerz½ok. Így a megkötés jóval enyhébb, ugyanis egy sz½ukebb halmaztól 7 követelik meg, hogy csak a nullában metszheti az L1 + térnegyedet . A dolgozatban a következ½o állítás igazolását fogjuk bemutatni: 29. Tétel (Pénzügyi eszközök árazásának alaptétele). Legyen S egy korlátos valós érték½u, valamely P valószín½uségi mérték szerinti szemimartingál. Pontosan akkor létezik a P-vel ekvivalens Q valószín½uségi mérték, amelyre nézve az S martingál, ha az S eleget tesz a NFLVR feltételnek. Az alaptétel elégségességének bizonyítása: Tegyük fel, hogy az S folyamat a Q ekvivalens valószín½uségi mérték szerint lokális martingál. Legyen H egy tetsz½oleges, a P valószín½uségi mérték szerint megengedett integrandus. Ekkor a H S integrál a Q szerint is létezik, és a két integrál megkülönböztethetetlen8 . 6

Vagy esetleg elhalványuló kockázat nélkül nincsen üzlet. Hogy miért halványul el a kockázat, az kés½obb ki fog derülni. V.ö.: 36. lemma. 7 Az alaptétel érdemi része a martingálmérték létezését garantáló irány igazolása. Ennek megfelel½oen minél enyhébb feltételek között létezik a martingálmérték, annál er½osebb a tétel. Mint korábban láttuk, a Kreps–Yan tételb½ol egyszer½uen következik, hogy ha valamely lokálisan korlátos szemimartingálra „nincsen ingyenebéd” akkor a szemimartingálhoz létezik ekvivalens lokális martingál mérték. A f½o nehézség, illetve ennek következtében az igazoláshoz szükséges matematikai bravúr, tehát abban van, hogy egy igen enyhe kritérium teljesülése esetén akarjuk a lokális martingálmérték létezését indokolni. 8 Lásd.: [75]: Proposition 4.59. A két mérték ekvivalens, így mind a két mérték szerint megkülönböztethetetlenek.

64

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Érdemes hangsúlyozni, hogy az integrál a Q alatt is csak szemimartingál értelemben létezik, bár az S a Q alatt lokális martingál. Természetesen a H folyamat a Q szerint is megengedett. Az alább ismertetett Ansel–Stricker tétel9 alapján a H S az alulról való korlátosság miatt szupermartingál10 . Ezért tetsz½oleges t-re EQ ((H S)t ) EQ ((H S)0 ) = 0: A nem negatív szupermartingálok11 konvergencia tétele miatt a (H S)1 érték létezik. Ugyancsak az alulról való korlátosság miatt alkalmazható a Fatou-lemma, ami alapján EQ ((H

S)1 ) = EQ lim (H t

S)t

lim inf EQ ((H t

S)t )

0:

Mivel ez minden megengedett H integrandusra igaz, ezért minden f 2 C0 esetén EQ (f ) 0. Vagyis C0 \ L0+ = f0g : Meg kell még nézni, hogy mi történik a lezárással. Legyen most g 2 C \ L1 + . Ekkor létezik C-beli (gn ) sorozat, amelyre L1 1 gn ! g: Az L konvergenciából következik a várható értékek konvergenciája12 , így EQ (g) 0. Ebb½ol a g 0 miatt majdnem mindenhol értelemben g = 0; 1 vagyis C \ L+ = f0g a Q mérték esetén. Mivel a két mérték szerinti nullhalmazok megegyeznek, ezért a N F LV R az eredeti P mérték szerint is teljesül.

A nehézség az állítás megfordításának igazolásban rejlik. A technikai problémákat a következ½o állításban foglaljuk össze: 30. Tétel. Az alaptétel feltételeinek teljesülése esetén a C kúp része az L1 térnek.

(L1 ; L1 )-zárt

Az alaptétel szükségességének bizonyítása: Tegyük fel, hogy az S folyamat eleget tesz a N F LV R feltételnek. Ekkor még inkább a C \ L1 + = f0g is teljesül és 13 1 C: Tegyük fel, hogy beláttuk az el½orehozott állítást. Ekkor a C de…níciója L miatt teljesülnek a Kreps–Yan tétel feltételei (ld.: 8 tétel), Így létezik egy a Pvel ekvivalens Q valószín½uségi mérték, hogy minden f 2 C esetén, EQ (f ) 0: 9

V.ö.: 17. tétel. Az Ansel–Stricker tétel azt állítja, hogy az alulról való korlátosság miatt a sztochasztikus integrál lokális martingál. Erre azért kell hivatkozni, mert H S integrál csak szemimartingál értelemben létezik, így nem lesz automatikusan lokális martingál. 10 Ld.: [75]: Proposition 1.141. 11 Emlékeztetünk, hogy egy H stratégia de…níció szerint akkor megengedett, ha a sztochasztikus integrál alulról korlátos. 12 Ugyanis a mérték véges. 13 Természetesen miként látni fogjuk éppen ez a bizonyítás érdemi része!!!!

65

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Legyenek s < t tetsz½oleges id½opontok. Mivel az S korlátos14 , ezért tetsz½oleges valós számra és B 2 Fs halmazra B

vagyis EQ ( (St

Ss )

B)

((s; t)) S =

(St

Ss )

B

2 C;

0. Mivel ez minden -ra teljesül, ezért EQ ((St

Ss )

B)

= 0:

(4.1)

Az S feltételezett korlátossága miatt integrálható. Ezért az (4.1) feltétel pontosan azt jelenti, hogy az S folyamat a Q valószín½uségi mérték szerint martingál. A bemutatott gondolatmenetb½ol evidens, hogy a C kúp (L1 ; L1 ) zártságának igazolása jelenti a f½o problémát. A fejezet hátralev½o részét ennek igazolásának fogjuk szentelni. Az el½oz½o állítás egyszer½u következménye a következ½o: 31. Következmény. Legyen S egy lokálisan korlátos, valós érték½u szemimartingál a P valószín½uségi mérték szerint. Pontosan akkor létezik a P-vel ekvivalens Q valószín½uségi mérték, amelyre nézve az S lokális martingál, ha az S eleget tesz a N F LV R fenti feltételének. Bizonyítás: Az egyszer½uség kedvéért tegyük fel, hogy S (0) = 0: Tegyük fel, hogy az S eleget tesz a N F LV R feltételnek. Mivel az S lokálisan korlátos, léteznek an 1, valós számok és n % 1 megállási id½ok, hogy jS n j < an . A (( k ; k+1 ]) folyamatok adaptáltak és balról folytonosak, így el½orejelezhet½oek. Legyen 0 $ 0: Az Yk $ (( k ; k+1 ]) S = S k+1 S k kifejezés egy korlátos szemimartingál, ugyanis kisebb mint ak + ak+1 : Ha ck $

2 k ; ak + ak+1

P1 e akkor az Se $ k=0 ck Yk módon de…niált folyamat korlátos, ugyanis S 14

2:

Vegyük észre, hogy a korlátosságra szükség van, ugyanis a szeparácónál a „primál” tér az L : 1

66

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Tetsz½oleges n-re az Se

n

=

n 1 X

ck Y k

k=0

egy szemimartingál, vagyis az Se megállításai mind szemimartingálok, így az Se is e e0 kúp része az S-hez egy szemimartingál. Megmutatjuk, hogy az S-hoz tartozó C e e 0 része tartozó C0 kúpnak. Ehhez elegend½o megmutatni, hogy az S-hoz tartozó K e a K0 -nak. Legyen H megengedett az S-ra nézve és tegyük fel, hogy a H Se 1 létezik. !! n 1 X n = H H Se ( n ) = H Se = H Se n ck Y k = 1

1

=

n 1 X

ck H ([ k ;

!

k+1 ))

k=0

k=0

S

!

(

1

n) :

Mivel ha egy folyamat minden lokalizáltja integrálható, akkor a folyamat integrál1 X ható, ezért könnyen belátható, hogy a Z $ ck H ([ k ; k+1 )) integrálható az k=0

S-re nézve. Az egyenl½oségb½ol az is következik, hogy a Z megengedett az S-re nézve. Ha n ! 1; akkor a jobb oldalon álló kifejezésnek létezik határértéke. Mivel a H Se alulról korlátos, ezért a Z S is alulról korlátos, így a határérték eleme e0 a K0 halmaznak, vagyis K K0 : Mivel a feltételek szerint az S eleget tesz a N F LV R feltételnek, ezért az Se is eleget tesz a N F LV R feltételnek. Az el½oz½o tétel alapján létezik tehát a P-vel ekvivalens Q valószín½uségi mérték, melyre nézve az Se martingál. Ekkor a Se 1 = c0 S 1 ; és ezért az S

1

is, martingál, amib½ol következik, hogy az Se

c0 S

1

is martingál. A gondolatmenetet megismételve kapjuk, hogy az S lokális martingál. A fordított irány bizonyítása a korlátos eset bizonyításával azonos.

67

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték

4.1.

Néhány el½ozetes eredmény

4.1.1.

A kompaktsági lemma

Miként láttuk, az alaptétel bizonyítása lényegében egy kúp alkalmas topológiában való zártságának igazolását jelenti. A konvex analízist ismer½o olvasó számára nem túl meglep½o, hogy ehhez kompaktsági megfontolásokat fogunk használni. Igen gyakran fogunk hivatkozni a következ½o egyszer½u észrevételre: 32. Lemma. Ha (fn ) valószín½uségi változók15 egy alulról korlátos sorozata, akkor létezik gn 2 conv ffn ; fn+1; :::g sorozat, hogy a (gn ) sorozat majdnem biztosan konvergál egy g függvényhez. A g függvény felveheti a +1 értéket is. Bizonyítás: Az alulról való korlátosság miatt feltehet½o, hogy minden n-re fn 0: Elegend½o belátni, hogy van olyan (gn ) amely sztochasztikusan konvergál egy g-hez. (A majdnem mindenhol való konvergenciához elegend½o egy részsorozatra áttérni.) Legyen u (x) $ 1 exp ( x) : Az u szigorúan konkáv és korlátos. Legyen sn $ sup (E (u (g)) j g 2 conv (fn ; fn+1 ; : : :)) ; és legyen gn 2 conv (fn ; fn+1 ; : : :) olyan, hogy E (gn )

sn

1 : n

Az R+ $ [0; 1] halmaz a d (x; y) $ jarctan x

arctan yj

metrikával nyilvánvalóan teljes metrikus tér. Az (xn ) pontosan akkor Cauchy> 0 számhoz létezik n0 ; hogy minden sorozat az R+ ; d térben, ha minden m; n n0 esetén vagy jxn

xm j

vagy

15

min (xn ; xm )

1

:

Emlékeztetünk, hogy a valószín½uség változók de…níció szerint nem vehetik fel a végtelen értéket.

68

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Az u tulajdonságai alapján tetsz½oleges u

> 0 számhoz található olyan ; hogy

1 1 > u (x) + u (y) + 2 2

x+y 2

valahányszor az (x; y) eleme a V $ (x; y) j jx 1

halmaznak. (A min (x; y) u

1

és min (x; y)

yj

feltétel miatt a V kompakt és a folytonos

x+y 2

1 u (x) 2

1 u (y) 2

0

függvény felveszi a minimumát. Mivel az u szigorúan konkáv, ezért ha x 6= y, akkor a fenti egyenl½otlenség szigorú, így a minimum is pozitív. A számnak vehetjük a minimum felét.) A sztochasztikus konvergencia igazolásához elegend½o belátni, hogy a (gn ) Cauchy-sorozat a sztochasztikus konvergenciában, vagyis elegend½o belátni, hogy tetsz½oleges > 0 esetén lim P jgn

gm j

n;m!1

Tetsz½oleges

és hozzá tartozó E u

ugyanis triviálisan a u

1 1 E (u (gn )) + E (u (gm )) + 2 2 gm j

1

; min (x; y)

;

de…níciója miatt

gn + gm 2

De…níció szerint, ha n

= 0:

esetén

gn + gm 2

+ P jgn

1

; min (x; y)

1 1 u (gn ) + u (gm ) + 2 2

V

(gn ; gm ) :

m; akkor E u

gn + gm 2

sn ;

69

sm

sn :

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Így a konstrukció szerint P jgn E u

gm j

1 E (u (gn )) 2

gn + gm 2 sn

1 2

1 n

sn

1 (sn 2

1

; min (x; y)

1 2

sm ) +

1 2

sm 1 1 + n m

1 E (u (gm )) 2 1 m

=

:

Az (sn ) alulról korlátos és csökken½o, így Cauchy-sorozat. Így ha n; m ! 1, akkor mivel > 0 1 P jgn gm j ; min (x; y) ! 0: Természetesen a g felvehet végtelen értéket is!!! A kompaktsági elv érdemi része ennek a kizárása: 33. Lemma. Ha az el½oz½o lemmában a conv ((fn )) korlátos az L0 térben, akkor a g majdnem mindenhol véges. Bizonyítás: Ha conv ((fn )) korlátos az L0 térben, akkor minden " > 0 esetén van olyan N; hogy P (jgn j N ) ": m:m:

Mivel gn ! g; a Fatou-lemma miatt P (jgj

N)

";

így majdnem mindenhol g < 1. Miel½ott tovább mennénk a lemma tartalmának jobb megvilágítása céljából érdemes megemlíteni a következ½o példát: 34. Példa. Ha p

1 és az (fn )

Lp egy korlátos sorozat, akkor létezik

gn 2 conv (fn ; fn+1 ; : : :) 70

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték amely majdnem mindenhol konvergál egy g 2 Lp függvényhez. Ha p > 1; akkor a konvergencia az L1 térben is teljesül. Az Lp korlátosságból a Csebisev-egyenl½otlenség miatt következik az L0 korlátosság, így a g határérték létezik. Egyedül azt kell megmutatni, hogy a határérték is eleme az Lp térnek. Tegyük fel, hogy minden n-re kfn kp k. Nyilván a kgn kp k is teljesül. A Fatou-lemma miatt E (jgjp ) = E lim jgjpn

lim inf E (jgn jp )

n

n

kp:

Az állítás második része következik abból, hogy ha p > 1; akkor a korlátos sorozatok egyenletesen integrálhatóak. Miként a kompaktsági lemma használata során gondot jelenthet, hogy a (gn ) bizonyos pontokban végtelenhez tarthat ugyancsak gondot jelenthet az is, hogy a „pozitív” pontok határértéke esetleg nulla lesz. Ezt zárja ki a következ½o észrevétel: 35. Lemma. Ha a lemmában fn 0 és létezik > 0 és P (fn > ) > , akkor van olyan ; amely csak a és az

> 0 hogy minden n-re számoktól függ, hogy

P (g > ) > 0; pontosabban P g > (1

e

) > 0:

Bizonyítás: P (fn > ) > ; minden n-re, ezért az u monoton növeked½o volta és az fn 0 miatt E (u (fn )) u ( ) : Mivel a gn az fn függvények konvex kombinációja, ezért az u konkavitása miatt E (u (gn )) = E u

X

i fi

i

X

i

!!

X

i E (u (fi ))

i

u( ) = u( ):

i

A majorált konvergencia tétel miatt E (u (g))

u( ) = 71

1

e

:

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Mivel ha x > 0; akkor u (x) < x, ezért ha az egyenl½otlenség nem teljesül, akkor E (u (g))

u

1

e

<

1

e

lenne, ami lehetetlen.

A kompaktsági megfontolások számtalan alkalmazása közül példaként tekintsük a következ½ot: Tegyük fel, hogy már beláttuk, hogy a N F LV R teljesülése esetén a megengedett folyamatok integráljának létezik a végtelenben vett határértéke16 . A következ½o lemma valójában azt magyarázza, hogy miért „halványul el”a kockázat. 36. Lemma. Egy S szemimartingál pontosan akkor elégíti ki a N F LV R feltételét, ha minden K0 -beli (gk ) sorozatra a lim

gk

k !1

1

=0

feltételb½ol következik, hogy P

gk ! 0: Bizonyítás: Legyen (gk ) egy K0 -beli sorozat, amelyre limk P

!1

gk

1

= 0.

Tegyük fel, hogy az állításunkkal ellentétben a gk ! 0 nem teljesül. Ekkor létezik > 0 és 1 > > 0, valamint egy (gkn ) részsorozat, hogy minden n-re P (gkn > ) > . A díjtalan lomtalanítás feltétele miatt az fn $ min fgkn ; 1g függvények C-ben vannak, és P (fn > ) > . Mivel az (fn ) sorozat nyilván alulról korlátos, ezért a kompaktsági lemma alapján, létezik egy (ln ) sorozat, ahol ln 2 conv ffn ; fn+1; :::g, amely majdnem biztosan konvergál egy l függvényhez. A limn !1 kfn k1 = 0 feltétel miatt a sorozat alsó korlátjának választható tetsz½oleges 1=m konstans, így P l>

(1

e 2

)

1 m

> 0:

Mivel ez minden m-re igaz, ezért a P (l > 0) > 0 is igaz, valamint abból hogy az l 1 minden m-re ; 1 -beli értékeket vesz fel, következik hogy l 0. Legyen $ m P (l > 0). Ekkor Jegorov tétele miatt17 ln ! l egy legalább 1 2 valószin½uség½u 0 16 17

V.ö.: 43. állítás. Ld.: [73]: 3.3 Állítás

72

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték halmazon egyenletesen. A díjtalan lomtalanítás feltétele miatt a hn $ min fln ; 0 g függvények C-ben vannak, és hn ! l 0 az L1 normája szerint, vagyis l 0 2 > 0 miatt ellentmondásban áll a N F LV R C. Ez pedig az P (l 0 > 0) 2 feltevésével. Megfordítva, tegyük fel, hogy a feltétel teljesül. Legyen fn $ gn ln 2 (gn ln ) ! 0; így gn ! 0 C és az L1 térben fn ! f 0: Ekkor a gn sztochasztikusan. De nyilván fn = gn ln gn ; tehát f = 0; így a N F LV R feltétele teljesül.

A lemma alapján a N F LV R közgazdasági interpretációja teljesen evidens. A N F LV R feltétele pontosan azt jelenti, hogy ha a kockázat egyenletesen nullához tart18 , akkor annak a valószín½usége, hogy tetsz½oleges " > 0 számnál többet tudunk keresni nullához tart.

4.1.2.

Az L0 korlátos és zárt részhalmazainak van maximális eleme

37. Lemma. Ha az alaptér mértéke véges, akkor L0 minden korlátos és zárt részhalmaza tartalmaz maximális elemet. Erre az állításra két bizonyítást is adunk A 37. lemma els½o bizonyítása: Legyen D egy L0 -ban korlátos és zárt halmaz. Adjunk meg a rendszámokon értelmezett F operációt így: F( ) = h (fy 2 D : 8 <

és 8! 2

-ra F ( )(!)

y(!) és P(y > F ( )) > 0g) ;

ahol a h függvény a D részhalmazaihoz tartozó kiválasztási függvény. Feltehet½o hogy ez az üres halmazon is értelmezve van, és itt legyen az értéke a valamely a 2 L0 nD-re. Ennek létezése a transz…nit rekurzió tételének következménye. Ehhez de…niáljuk a G; függvényeken értelmezett L0 -ba képez½o operációt a következ½oképpen: G(g) = h (fy 2 D : 8f 2 R(g) és 8! 2 18

Ezért „halványodik” el a kockázat.

73

-ra f (!)

y(!) és P(y > f ) > 0g) :

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Ha a g függvény értékkészlete nem -n értelmezett függvényekb½ol áll, akkor ahhoz rendeljen a G operáció egy tetsz½oleges értéket. Ekkor a transz…nit rekurzió tétele szerint létezik a rendszámokon értelmezett olyan F operáció, hogy minden rendszámra F ( ) = G(F j ): Írjuk be g helyére F j -t: G(F j ) = h (fy 2 D : 8f 2 R(F j ) és 8! 2 Ekkor mivel R(F j ) = fF ( ) :

-ra f (!)

y(!) és P(y > f ) > 0g) :

< g;

G(F j ) = h (fy 2 D : 8 <

és 8! 2

-ra F ( )(!)

y(!) és P(y > F ( )) > 0g) ;

vagyis G(F j ) éppen a keresett rendszámokon értelmezett operáció. Mivel a rendszámok jó halmazok, és a < reláció a rendszámok egy jólrendezése19 , létezik a = min f : F ( ) = ag rendszám. Lássuk be hogy ezzel az < eljárással csak megszámlálható rendszámra lesz F ( ) értéke a-tól különböz½o, vagyis j j = !. Mivel < < esetén E (F ( )) < E (F ( )), ezért minden < rendszámhoz hozzárendelhetünk egy E (F ( )) nál nem nagyobb r racionális számot úgy hogy 1 < 2 esetén r 1 < r 2 : Ezzel a -nál kisseb rendszámokat injektíven képeztük a racionális számok halmazába. : Ha = +1, akkor f0 = F ( ) a maximális elem. Ha limesz rendszám, akkor lássuk be hogy létezik rendszámok olyan monoton növeked½o k sorozata, melyre igaz, hogy minden < esetén létezik k 2 N, hogy < k < : Mivel a -nál kiebb rendszámok halmaza megszámlálható, legyen k ezeknek egy felsorolása. Err½ol alkalmas részsorozatra való áttéréssel feltehet½o hogy monoton növ½o. Ugyanis minden sorozatból kiválasztható monoton részsorozat, de ebben az : esetben mivel limesz rendszám < ból következik hogy + 1 < , ezért a k sorozatnak nincs csúcseleme tehát részsorozatról az is feltehet½o, hogy növekv½o. Továbbá igaz, hogy minden < esetén létezik k 2 N, hogy < k < : : Ugyanis + 1 < miatt belátható, hogy tetsz½oleges < és rendszámok között van rendszám, melyre < < ; és mivel az eredeti k sorozat a -nál kisebb rendszámok egy felsorolása ezért ezen sorozat tagjai között is van ilyen, és mivel hasonló okokból < és között végtelen sok különböz½o rend19

Ld.: [43]: 8.7 Tétel

74

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték szám van ezért a részsorozatra való áttérés után szintén teljesül, hogy minden < esetén létezik k 2 N, hogy < k < : Legyen f0 = limk !1 F ( k ). Ez a határérték minden ! 2 -ra létezik, mert minden ! 2 -ra F ( k )(!) monoton növekv½o. Tegyük fel hogy f0 (!) < 1 teljesül minden ! 2 -ra. P Ekkor mivel a mérték véges így F ( k ) ! f0 is teljesül, ezért D zártsága miatt f0 2 D: Ekkor f0 valóban maximális, hiszen ha ez nem így volna, akkor létezne f1 2 D melyre F ( k ) f1 és P(F ( k ) < f1 8k) > 0; ekkor azonban a fy 2 D : 8 < és 8! 2 -ra F ( )(!) y(!) és P(y > F ( )) > 0g halmaz sem üres, hiszen minden < esetén létezik egy k 2 N hogy < k , továbbá teljesülnek az alábbi tartalmazások fy 2 D : 8 < fy 2 D : 8 <

és 8! 2 és 8! 2

F ( )(!)

F(

k

fy 2 D : 8k 2 N és 8! 2

-ra F ( )(!)

y(!) és P(y > F ( )) > 0g

-ra )(!)

y(!) és P(y > F (

-ra F ( k )(!)

k

)

o F ( )) > 0

y(!) és P(y > F ( k )) > 0g :

Ez utóbbi nem üres, hiszen az f1 eleme, így F ( ) 6= a, ez tehát ellentmond megválasztásának. Elég tehát belátni hogy f0 (!) < 1: Tegyük fel, hogy P(f0 (!) = 1) = " > 0: Mivel D L0 -ban korlátos, ezért létezik K hogy P(jF ( k )j > K) < 2" minden k 2 Nre. Legyen Bk = f! : jF ( k )j > Kg, ekkor a sztochasztikus korlátosság azt jelenti, hogy P(Bk ) < 2" minden k 2 N-re. Ez Bk Bk+1 miatt azt jelenti, hogy P

" [ Bk < : k=1 2 1

Ez azonban f! : f0 (!) = 1g

1

[ Bk ;

k=1

és " választása miatt ellentmondás. Az állítás a kiválasztási axióma egy másik ekvivalens állítása, a Zorn-lemma segítségével is igazolható. Ennek lényege röviden a következ½o: Ha (f ) egy lánc, vagyis egy lineárisan rendezett részhalmaz, akkor az (f ) halmaznak az alaptér végessége miatt létezik lényeges szuprémuma. A lényeges szuprémum egy fels½o 75

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték korlát, amely a halmaz korlátossága miatt majdnem mindenhol véges és a zártság miatt eleme a halmaznak. Így a Zorn-lemma miatt van maximális elem. A 37. lemma második bizonyítása a következ½o lemma elemi következménye. A gondolatmenet lényege, hogy nem kell hivatkozni a kiválasztási axióma semelyik ekvivalens állítására. 38. Lemma. Legyen X egy teljes metrikus tér és legyen egy folytonos, re‡exív és tranzitív parciális rendezés az X téren. Ha minden az szerint monoton növeked½o (xk ) sorozatra d (xk ; xk+1 ) ! 0; akkor az (X; ) rendezett térben van maximális elem. Az 37. lemma második bizonyítása: Az L0 tér teljes metrikus tér, így ha K zárt, akkor a K is teljes metrikus tér. Ha n és n ! ; a K n és n ! térben, vagyis sztochasztikusan, akkor van olyan részsorozatuk, ahol a konvergencia majdnem mindenhol teljesül, így nyilván ; vagyis a rendezés folytonos. Meg kell mutatni, hogy ha n n+1 ; akkor d n ; n+1 ! 0: Mivel a ( n (!)) sorozatok monoton n½onek, ezért alkalmas -re a n % kimenetelenként. Mivel a feltételek szerint a mértéktér véges, ezért a majdnem mindenhol való konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia, így n ! az L0 tér konvergenciájában, feltéve ha 2 L0 ; vagyis ha a majdnem mindenhol véges. Tegyük fel, hogy " $ ( = 1) > 0: A K feltételezett korlátossága miatt van olyan N; hogy minden n-re " N : j nj 2 2 A Fatou-lemma miatt (j j

" =

Z

X

fjxj N g

lim inf n

Z

X

n

Z

lim j n j d n

fjxj N=2g

lim j n j

N) =

X

lim n

fjxj N=2g

(j n j) d = lim inf n

ami lehetelen. A 38. lemma bizonyítása: De…niáljuk a (x) $ fy j y < xg 76

N =

j nj

(j n j) d N 2

" ; 2

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték halmazérték½u leképezést. A 1.

következ½o tulajdonságai triviálisan teljesülnek:

(x) minden x-re zárt ugyanis a rendezés folytonos,

2. x 2

(x) ; ugyanis a rendezés re‡exív,

3. x2 2 (x1 ) implikálja a tranzitív, 4. ha xk+1 2

(x1 ) tartalmazást, ugyanis a rendezés

(x2 )

(xk ), akkor d (xk ; xk+1 ) ! 0:

A maximális elem létezéséhez elég megmutatni, hogy van olyan x pont, hogy (x) = fxg : Nyilván a d metrika helyett vehetjük a d= (1 + d) metrikát is, így feltehet½o, hogy a d metrika korlátos. Valamely A halmaz esetén jelölje (A) az A átmér½ojét. A metrika feltételezett korlátossága miatt (A) < 1: A 2. miatt a (x) soha sem üres, így egy tetsz½oleges x0 -ból kiindulva megkonstruálhatjuk az xk+1 2 d (xk+1 ; xk )

(xk )

( (xk )) =2

1=2k

1

iterációt. A 3. miatt (xk+1 ) (xk ) és a 4. miatt ( (xk )) ! 0: Az X feltételezett teljessége miatt az ( (xk )) halmazok egyetlen x pontra húzódnak össze. Nyilván x 2 (xn ) és ezért (x)

\n (xn ) = fxg

amib½ol a lemma már triviális.

4.1.3.

Gyenge* topológia és a sztochasztikus konvergencia

Az alábbiakban tekintsük a (L1 ; L1 ) duális párt a h ; i $ E ( ) kanonikus dualitással, és a továbbiakban jelöljük B1 -nel az L1 tér zárt egységgömbjét. El½oször emlékeztetünk a következ½o nevezetes tételre20 : 20

Ld.: [30]: 429 oldal.

77

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték 39. Tétel (Krein–Šmulian). Legyen E egy Banach-tér, és jelöljük E 0 -vel az E duálisát, valamint B 0 -vel a duális tér egységgömbjét. Ekkor egy C E 0 konvex halmaz pontosan akkor (E 0 ; E)-zárt, ha minden pozitív számra a B 0 \C halmaz (E 0 ; E)-zárt. A tétel egyszer½u következménye, hogy egy E 0 -beli C konvex kúp pontosan akkor (E 0 ; E)-zárt, ha a B 0 \ C halmaz (E 0 ; E)-zárt. A (L1 ; L1 ) gyenge* zártság egy nehezen ellen½orizhet½o feltétel. Ezért rendkívül fontos a következ½o: 40. Tétel. Az L1 ( ; F; P) tér C konvex kúpja pontosan akkor (L1 ; L1 )-zárt, ha a C \ B1 metszet zárt a sztochasztikus konvergenciára nézve. A tétel bizonyításához szükségünk van a halmazrendszer elemein vett egyenletes konvergencia topológiának a fogalmára (ld pl.: [66] vagy [91]). Legyen T topológikus tér F top. vektortér f 0-körüli környezetsz½ur½ovel, és legyen S P(T ) tartalmazásra nézve felfelé irányított. Legyen W(S; U ) = f 2 F T j f (S)

U ;

és legyen L olyan altér F T -ben, hogy minden f 2 L és minden S 2 S esetén f (S) korlátos F ben. Ekkor L-en értelmes az a S topológia, melynek 0 körüli környezetbázisa a fW(S; U ) \ L j (S 2 S) ^ (U 2 f)g halmaz. 41. Lemma. Legyen f egy általánosított sorozat L-ben. Ekkor f

S ! 0 () f

! 0 minden S 2 S halmazon egyenletesen.

(4.2)

A 40 tétel bizonyítása: A Krein–Šmulian-tétel kúpokra kimondott fenti alakja alapján elég annyit bizonyítani, hogy C \ B1 pontosan akkor (L1 ; L1 )-zárt, ha a C \ B1 zárt a sztochasztikus konvergenciára nézve. 1. Lássuk be hogy ha a C \ B1 halmaz (L1 ; L1 )-zárt, akkor a C \ B1 zárt a sztochasztikus konvergenciára nézve. Tegyük fel, hogy az (fn ) sorozat, ahol fn 2 C \ B1 , sztochasztikusan konvergál egy f0 2 L1 -hez. Az általánosság

78

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték megszorítása nélkül feltehet½o, hogy fn ! f0 m.m., amib½ol a domináns konvergencia tétel alapján lim E (fn g) = E (f0 g) ; n !1

vagyis minden g 2 L1 esetén lim E ((fn

n !1

f0 ) g) = 0:

Emlékeztetünk, hogy a (L1 ; L1 ) topológia azonos az L1 véges részhalmazainak S rendszerén vett egyenleteskonvergencia topológiával, ezért a (L1 ; L1 ) topológia 0 körüli környezetbázisát az U (S; ") $ fx 2 L1 j 8y 2 S : jE (xy)j alakú halmazok alkotják, ahol (S; ") befutja az S lim E ((fn

n !1

"g

R+ halmazt. Mivel

f0 ) g) = 0;

minden g 2 L1 -re, ezért ha S $ fgg valamely g 2 L1 -re, akkor tetsz½oleges " esetén elég nagy n-re, fn f0 2 U (S; "), és hasonlóképpen ugyanez minden S $ fgi gi k véges elemszámú halmaz esetén, vagyis az S minden elemére is teljesül. Mivel az U (S; ") alakú halmazok a (L1 ; L1 ) topológia szerint a 0-nak környezetbázisát alkotják, ezzel beláttuk, hogy fn ! f0 a (L1 ; L1 ) topológia szerint. Mivel a feltevés szerint a C \ B1 halmaz (L1 ; L1 )-zárt, ezért f0 2 C \ B1 , vagyis a C \ B1 zárt a sztochasztikus konvergenciára nézve. 2. Most lássuk be, hogy ha a C konvex kúpra a C\B1 halmaz zárt a sztochasztikus konvergenciára nézve, akkor a C \ B1 egyúttal (L1 ; L1 )-zárt. Legyen g0 2 L1 eleme C \ B1 halmaz L1 -beli lezártjának az L1 -norma topológia szerint. Ekkor létezik (gn ) sorozat C\B1 -b½ol, melyre gn ! g0 a norma topológia szerint, amib½ol P gn ! g0 , ez viszont a sztochasztikus zártság miatt azt jelenti hogy g0 2 C \ B1 , vagyis C \ B1 zárt L1 -ben a norma topológia szerint. Tekintsük a (L1 ; L1 ) duális párt az h ; i = E ( ) kanonikus dualitással. Mivel az (L1 ; k k1 ) lokálisan konvex Hausdor¤-topológikus vektortér, és a C \ B1 konvex, ezért a norma zártságból következik a (L1 ; L1 ) zártság21 . A lesz½ukített topológia de…níciója alapján a 21

Ld.: [87] Theorem 3.12 , vagy …gyelembe véve hogy az L1 tér lokálisan konvex Hausdor¤-tér, felhasználhatjuk a Hahn–Banach-tételnek azt az – el½obbinél általánosabb – következményét, hogy egy konvex halmaz dualitással kompatibilis topológiák szerinti lezártja ugyanaz a halmaz.

79

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték C \ B1 halmaz zárt (L1 ; L1 ) topológia L1 -re vonatkozó lesz½ukítésére nézve22 . Most lássuk be a következ½o lemmát: 42. Lemma. A (L1 ; L1 ) j L1 topológia az L1 -téren durvább mint (L1 ; L1 ): Bizonyítás: Tekintsük L1 -t mint az L1 tér egy lineáris alterét. Ekkor az L1 tér polárisa23 : (L1 ) = y 2 L1 j 8x 2 L1 : E (xy) = 0 = f0g ; ezért24 (L1 ; L1 ) j L1 = (L1 ; L1

(L1 ) ) = (L1 ; L1 );

ahol a jobboldali gyenge topológiát az h ; iL1 bilineáris leképezés szerint kell venni, melyre (x; y) 2 L1 L1 esetén x;

L1

(L1 )

(y)

L1

= hx; yiL1 = hx; yi ;

ahol L1 (L1 ) jelöli az L1 ! L1 (L1 ) kanonikus sz½urjekciót. Ekkor tehát az (L1 ; L1 ) topológia az (R; h ; yi)y2L1 rendszer által projektíven el½oállított L1 feletti topológia, ami durvább mint az (R; h ; yi)y2L1 rendszer által projektíven el½oállított L1 feletti topológia, vagyis (L1 ; L1 ): A fentiek alapján tehát, mivel C \ B1 halmaz zárt (L1 ; L1 ) j L1 -re vonatkozólag és a fenti lemma alapján (L1 ; L1 ) egy ennél …nomabb topológia, ezért C \B1 halmaz (L1 ; L1 ) zárt. Így tehát, mivel a C \B1 halmaz zárt az L1 -ben az (L1 ; L1 ) lesz½ukítésére vonatkozólag, a (L1 ; L1 ) egy a (L1 ; L1 ) lesz½ukítésénél …nomabb topológia, ezért a C \ B1 halmaz (L1 ; L1 )-zárt.

4.2.

Mémin tételére való visszavezetés

Most térjünk rá az alaptétel bizonyítására. A bizonyítás els½o lépéseként az alaptétel bizonyítását visszavezetjük Mémin-tételére. Ld.: [66]: 112. o. 22 Ha valamely z 2 L1 elem nincsen benne a halmazban, akkor mivel egyúttal z 2 L1 ; van olyan környezete a L1 ; L1 -ben, amely nem metsz bele a halmazba. Nyilván ennek a környezetnek a lesz½ukítése az L1 sem metsz bele, vagyis a halmaz komplementere nyilt. 23 Ld.: [66]: 108. oldal 24 Ld.: [66], 108. oldal, vagy [91], 135. oldal.

80

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték

4.2.1.

A sztochasztikus integrálok értékének kiterjesztése a végtelenbe

El½oször lássuk be a következ½o, már többször hivatkozott állítást: 43. Állítás. Ha az S kielégíti a N F LV R feltételét, és ha a H egy megengedett stratégia, akkor a (H S)1 létezik és véges. Bizonyítás: Természetesen az állítás nyilvánvaló lenne, ha már tudnánk az alaptételt, ugyanis akkor a H S egy alulról korlátos lokális martingál lenne a Q alatt, és így egyúttal egy alulról korlátos szupermartingál is lenne a Q alatt, és a nem negatív szupermartingálok konvergencia tételéb½ol már következne az állítás. Ennek fényében nem túl meglep½o, hogy a bizonyítás emlékeztet a nem negatív szupermartingálok konvergenciájának igazolására. Vegyünk tehát tetsz½oleges < számokat. Megmutatjuk, hogy az olyan kimenetelek halmaza, amelyre a H S végtelen sokszor alulról átmetszi a [ ; ] szakaszt nulla valószín½uség½u. De…niáljuk a 0 $ 0 $ 0 megállási id½okb½ol kiindulva a n

$ inf ft

n

n 1

$ inf ft

n

: (H

: (H

g

S)t

g

S)t

megállási id½oket. A szokásos módon, ha az in…mum mögötti halmaz üres, akkor de…niáljuk az in…mum értékét +1-nek. A ( n ; n ] intervallumokon a H S alulról átmetszi a [ ; ] szakaszt. Legyen K $ H ([n (

n;

n ]) :

A ([n ( n ; n ]) folyamat balról folytonos és adaptált, tehát el½orejelezhet½o, így a K is el½orejelezhet½o. A H S megengedett, így alulról korlátos egy u számmal. Világos, hogy ez a tulajdonsága a K S-nek is megmarad. Ugyanakkor nyilvánvalóan, ha valamely kimenetelre n < n < 1; akkor erre a kimenetelre H ((

n;

n ])

S

81

> 0;

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték következésképpen ha valamely kimenetelre n < 1 minden n-re, vagyis ha valamely kimenetelre végtelen sok átmetszés van, akkor lim (K

S) (

n!1

n)

= 1:

Tegyük fel, hogy ez egy pozitív valószín½uség½u C halmazon teljesül. A C komplementerén nem tudjuk miként viselkedik a K S; így be kell vezetnünk egy (tn ) id½opontsorozatot és a n megállási id½o helyett a n ^ tn korlátos megállási id½oket kell tekinteni. De…niáljuk a Kn $ K

1 ([0; n

n

^ tn ])

integrandusokat. Világos, hogy mindegyik K n megengedett, (K n S)1 értelmes, ugyanis a n ^ tn < 1 id½opont után az integrálfolyamat már nem változik. Az is világos, hogy a K n S negatív része egyenletesen nullához tart. Az is világos, hogy ahol az átmetszések száma végtelen, vagyis a C halmazon, az integrálok növekedése a [0; n ] szakaszon legalább . A C halmazon a n minden n-re véges, így ha t % 1; akkor C \ f n > tg & ;: Válasszuk a tn számokat, úgy hogy P (C \ f

n

P (C) : 2n+1

> tn g)

Ha B $ C \ (\n f

tn g) ;

n

akkor P (B) = P (CnB c ) = P (C) = P (C) = P (C) P (C)

P (C \ ([n f P ([n C \ f X P (C \ f n

P (C)

X P (C) n

2n+1

82

P (C \ B c ) = n

tn gc )) =

n

> tg)

n

> tn g)

P (C) > 0: 2

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Ha szükséges akkor a B halmazon a feletti felesleges növekményeket, illetve a B c halmazon a nem negatív értékeket a díjmentes lomtalanítás feltétele segítségével elhagyhatjuk. Ezért alkalmas ln 0 sorozat segítségével az L1 térben (K n Sn )1

ln ! (

)

B;

amely ellentmond a a N F LV R feltételnek. Így az átmetszések száma majdnem mindenhol véges. Ebb½ol következ½oen egy nulla mérték½u halmaztól eltekintve a határérték létezik. Mivel a H S alulról korlátos, a határérték vagy véges vagy +1; de ez utóbbit a már bemutatott módon ki tudjuk zárni25 .

4.2.2.

A lehetséges „kaszálások” terének korlátossága

El½oször vizsgáljuk meg a lehetséges „kaszálások”terét, vagyis azt a halmazt, amely elemei megengedett befektetések szerinti sztochasztikus integrálként állíthatók el½o. Kezdjük néhány viszonylag egyszer½u lemmával. 44. Lemma. Rögzítsünk egy u számot. Ha az S szemimartingál eleget tesz a N F LV R feltételnek, akkor a f(H

S)1 : H u-megengedettg

(4.3)

korlátos az L0 -ban26 . A N F LV R feltételének teljesülésekor a (4.3) halmaz L0 térben való lezártja is korlátos az L0 térben. Bizonyítás: Az alulról való u-korlátosság elemi következménye, hogy ha (Hn ) egy u-megengedett sorozat és n & 0 tetsz½oleges, akkor az fn n $ (Hn n S)1 sorozat negatív része egyenletesen nullához tart. Ebb½ol következ½oen miként láttuk, az (fn n ) sztochasztikusan nullához tart. Ha most az (fn ) nem lenne korlátos, akkor létezne olyan " > 0; hogy egy részsorozatra P (fnk > k) > ": De ez lehetetlen, 25

Legyen n az els½o olyan id½opont, ahol a H S átmetszi az n értéket. Jelölje C azon kimenetelek halmazát, ahol végtelen sok n véges, vagyis ahol az integrál végtelenhez tart. Világos, hogy n % 1; ugyanis a sztochasztikus integrálok trajektóriái véges szakaszon korlátosak. De…niáljuk a K n integrálokat, majde ezt követ½oen ismételjük meg a már bemutatott gondolatmenetet. 26 Emlékeztetünk, hogy az L0 térben a korlátosság, vagyis a sztochasztikus konvergenciában a korlátosság de…níciója a következ½o: Egy A halmaz akkor korlátos a sztochasztikus konvergenciában, ha minden " > 0 számhoz van olyan N; hogy P (jf j > N ) < "; minden f 2 A esetén.

83

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték mert az (fnk =k) sztochasztikusan nullához tart és ezért P (fnk > k) = P (fnk =k > 1)

P (jfnk =kj > 1)

":

Az állítás második fele egy általános észrevétel: ha egy halmaz korlátos az L0 térben, akkor a lezártja is korlátos27 . Legyen ugyanis az (fn ) a lezárásból vett olyan sorozat, amelyre P (jfn j > n + 1) > " > 0: Minden n-re legyen gn olyan függvény, amelyek közel vannak az fn -hez, vagyis amelyre P (jfn gn j > 1) < "=4. A (gn ) korlátossága miatt van olyan N; hogy P (jgn j > N ) < "=4. Ekkor ha n N; akkor P (jfn j > n + 1) P (jfn gn j > 1) + P (jgn j > n) "=2; ami lehetetlen. 45. De…níció. Tetsz½oleges X sztochasztikus folyamat esetén X $ supt

0

jXjt :

46. Lemma. Ha az S szemimartingál eleget tesz a N F LV R feltételnek, akkor tetsz½oleges u esetén a f(H

S) : H u-megengedettg

halmaz korlátos L0 -ban. Speciálisan a (H folyamatra majdnem mindenhol véges.

S) függvény minden megengedett H

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy van olyan u; amelyre a halmaz nem korlátos. Ekkor valamely " > 0-ra létezne egy (Hn ) u-megengedett sorozat, amelyre P ((Hn S) > n) > ": Ekkor a n

$ inf ft : jHn Sj > ng

megállási id½okre P ( n < 1) > " és a f n < 1g halmazon (Hn S) n n. Ekkor a Kn $ Hn ([0; n ]) u-megengedett folyamatokra P ((Kn S)1 > n) > " > 0. Következésképpen a ((Kn S)1 ) halmaz nem korlátos a sztochasztikus konvergenciában, ami viszont ellentmond az el½oz½o lemmának. 27

Ez általában topológikus vektorterekben is igaz.

84

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték

4.2.3.

A C0 Fatou-zártsága és a C gyenge* zártsága

Térjünk rá a C gyenge* zártságának igazolására. 47. De…níció. Az L0 tér egy D részhalmazát Fatou-zártnak nevezzük, ha minden (fn ) alulról egyenletesen korlátos D-beli sorozat esetén, ha fn ! f majdnem biztosan, akkor f 2 D: Ha a D halmaz kúp, akkor a D Fatou-zártsága ekvivalens a következ½ovel: Ha (fn ) egy olyan D-beli sorozat amelyre fn 1 és fn ! f majdnem biztosan, akkor f 2 D: 48. Állítás. Ha a C0 Fatou-zárt, akkor a C kúp (L1 ; L1 )-zárt. Bizonyítás: Legyen (fn ) egy C \ B1 C0 -beli sorozat, amely sztochasztikusan tart valamely f 2 L0 elemhez. Ekkor valamely (fnk ) részsorozatra feltehet½o, hogy fnk ! f majdnem biztosan. Mivel (fnk ) B1 , ezért a sorozat elemei 1-nél nem kisebbek. A C0 feltételezett Fatou-zártságából következik, hogy f 2 C0 : Nyilván az f 2 B1 is teljesül, vagyis a C \B1 halmaz zárt a sztochasztikus konvergenciára nézve, amib½ol az állítás az el½oz½o állításunk alapján már következik. Összefoglalva: Az alaptétel bizonyítását a következ½o állításra vezettük vissza: 49. Állítás. Ha S egy korlátos szemimartingál ami kielégíti a N F LV R feltételt, akkor a C0 kúp Fatou-zárt.

4.2.4.

A maximális elem és a Fatou-zártság

Térjünk rá a C0 kúp Fatou-zártságának bizonyítására. Az egyszer½uség kedvéért m:m: (hn ) jelöljön egy olyan C0 -beli sorozatot, amelyre hn 1 és amelyre hn ! h. A Fatou-zártság de…níciójának értelmében nyilván elegend½o belátni, hogy h 2 C0 . A továbbiakban rögzítsük a h elemet és legyen n D$ f

n

n

h j 9 (K ) : K 1-megengedett és (K

n

m:m:

o

S)1 ! f :

Ha K0 (1) jelöli az 1-megengedett „kaszálásokat”akkor a D = cl (K0 (1)) \ h + L0+ ; ahol a lezárás az L0 térben, vagyis a sztochasztikus konvergenciában értend½o. 85

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték 50. Lemma. A D halmaz nem üres, és tartalmaz maximális elemet. Bizonyítás: Mivel hn 2 C0 , ezért minden n-re létezik egy gn 2 K0 melyre gn hn . Ekkor az 32 kompaktsági lemma miatt létezik a gn0 2 conv fgn ; gn+1 ; gn+2 :::g majdnem mindenhol konvergens sorozat, amelyre gn0 ! g. Könnyen látható, hogy a (hn )-b½ol a megfelel½o súlyokkal analóg módon képzett (h0n ) sorozat is konvergens h és ezért g 2 D vagyis a h0n : Következésképpen g és h0n ! h; valamint gn0 D halmaz nem üres. Vegyük észre, hogy a D az L0 térben korlátos, hiszen benne van a K0 (1) halmaz L0 -beli lezártjában. A cl (K0 (1)) halmaz viszont a 44 lemma miatt az L0 térben korlátos. A D halmaz nyilván L0 -ban zárt, ezért a 37 lemma értelmében a D halmaz tartalmaz maximális elemet. A továbbiakban jelölje f0 a D halmaz egyik maximális elemét. A következ½o lemmából látni fogjuk, mi köze van az f0 2 cl (K0 ) függvénynek az alaptételhez. 51. Lemma. Ha f0 2 K0 akkor C0 kúp Fatou-zárt28 . Bizonyítás: Az 50 lemmát megel½oz½oen bevezetett jelöléseket alkalmazva, a C0 Fatou-zártságához elegend½o belátni, hogy h 2 C0 , ami a C0 de…níciója szerint azzal ekvivalens, hogy létezik egy f 2 K0 amelyre f h. Ha f0 2 K0 ; akkor ez nyilván teljesül, hiszen minden f 2 D-re de…níció szerint f h: Ebb½ol következ½oen tehát azt kell igazolni, hogy a D halmaz bármely f0 maximális eleme el½oállítható valamely 1-megengedett integrandus szerinti integrálként.

4.2.5.

A közelít½o sorozatok egyenletes konvergenciája

Az f0 -ról csak azt tudjuk, hogy eleme a cl (K0 (1)) térnek, vagyis csak azt tudjuk, hogy az f0 1-megengedett integrandusok által de…niált „kaszálások”sztochasztikus konvergenciában vett határértéke29 . A probléma abból ered, hogy nem tudjuk, hogy az integrálként el½oállítható változók határértéke mikor állítható el½o integrálként. A helyzet hasonlít a következ½ore: Tegyük fel, hogy lineáris funkcionálok valamely (gn ) sorozatára a n $ hgn ; f i számsorozat konvergens. Mit tudunk mondani a (gn ) sorozat, vagy legalább valamilyen részsorozatának konvergenciájára? El½oször azt mutatjuk meg, hogy a közelít½o sorozathoz tartozó integrálfolyamatok egy alkalmas részsorozatának trajektóriái egyenletesen konvergensek. 28

És így a C kúp (L1 ; L1 )-zárt. Ugyanis mivel csak azt tudjuk, hogy az L0 korlátos és zárt részhalmazaiban van maximális elem, ezért a K0 (1) halmazt le kell zárni a sztochasztikus konvergenciában. 29

86

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték 52. Lemma. Ha (H n ) olyan 1-megengedett kereskedési stratégiákból álló sorozat, amelyre m:m: (H n S)1 ! f0 ; akkor az Fn;m $ ((H n

H m ) S) $ sup j(H n S)t t

(H m S)t j

(4.4)

valószín½uségi változó sztochasztikusan tart a nullához, valahányszor n; m ! 1. Szükség esetén részsorozatra áttérve feltehet½o, hogy a (H n S) sorozat trajektóriái majdnem minden kimenetelre az egyenletes konvergencia topológiában Cauchy sorozatot alkotnak. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a lemma nem teljesül, vagyis létezik egy 1 és egy (nk ; mk ) végtelenhez tartó sorozat, amelyre P sup j(H nk t

S)t

(H mk

S)t j > 2

>0

2 :

Ilyenkor P sup ((H nk t

H mk ) S)t >

;

és a P sup ((H mk t

H nk ) S)t >

egyenl½otlenség közül az egyik végtelen sokszor fordul el½o. Ezért, szükség esetén az (nk ; mk ) helyett az (mk ; nk ) sorozatra áttérve már feltehet½o, hogy minden k-ra P sup ((H nk t

H mk ) S)t >

:

Legyen k

$ inf ft j ((H nk

Ekkor nyilván teljesül a P ( matot a következ½oképpen:

k

H mk ) S)t

. De…niáljuk az el½orejelezhet½o Lk folya-

< 1)

Lk $ H nk ([0;

g:

k ])

+ H mk (( k ; 1)) :

87

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Lássuk be, hogy az Lk folyamat 1-megengedett. Egyszer½u számolással az Lk de…nícióját felhasználva Lk

S

t

= (H nk ([0;

= (H nk ([0;

S)t + (H mk

S)t

(H mk ([0;

S)t k + (H mk

S)t

(H mk

k ])

= (H nk

S)t + (H mk (( k ; 1)) S)t =

k ])

Ha valamely kimenetelre t

k,

Lk

S)t =

S)t k =

H mk ) S)t k + (H mk

= ((H nk

k ])

S)t :

akkor

S

t

= (H nk

S)t

1;

mivel a feltevés szerint H nk 1-megengedett. Ha viszont k < t, akkor a k de…níciójából, valamint az integrálfolyamat trajektóriáinak jobbról való folytonosságából következ½oen H mk ) S)t k = ((H nk

((H nk

H mk ) S)

0;

k

így mivel a H mk is 1-megengedett, az Lk valóban 1-megengedett. Ebb½ol következ½oen az Lk S 1 értelmes. Legyen k

$ Lk

S

1

= ((H nk

H mk ) S)1k + (H mk

S)1 :

Ekkor k

=

+ 'k

k

ahol 'k $ (H nk = ((H nk

S)1 (

k

= 1) + (H mk

H mk ) S)1 ( + (H mk

= ((H nk = ((H nk

k

S)1 (

= 1) + (H mk

S)1 (

H mk ) S)1 ( H mk ) S)1k

k

(

88

k

< 1) =

S)1 (

k

< 1) +

= 1) =

= 1) + (H mk k

k

= 1) + (H mk

S)1 = S)1

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték és k

$

k

'k = ((H nk

H mk ) S)1k

(

k

< 1) :

A 32 kompaktsági lemma alapján, felhasználva, hogy a k de…níciója miatt a 30 k alulról korlátos , a megfelel½o konvex kombinációkra áttérve feltehet½o, hogy m:m: valamely 0 változóra k ! 0 . A feltétel szerint majdnem mindenhol lim (H mk

k !1

S)1 = lim (H nk

S)1 = f0 :

k !1

A 'k változó de…níciója miatt minden kimenetelre a 'k vagy a (H mk vagy a (H nk S)1 ; így triviálisan

S)1 változó,

m:m:

lim 'k = f0 :

k!1

Ugyanakkor a f k < 1g halmazon a k de…níciója és a sztochasztikus integrál jobbról való folytonossága miatt az említett f k < 1g halmazon k

= ((H nk

H mk ) S)1k = ((H nk

H mk ) S) ( k )

:

A fenti P ( k < 1) egyenl½otlenségb½ol következik, hogy P ( k ) : Ekkor a 35 kompaktsági lemma alapján a konvex kombináció 0 határértékére P ( 0 > 0) > 0. Tehát a k sorozat valamely konvex kombinációiból álló sorozat az f0 + 0 változóhoz konvergál, ami ellentmond az f0 maximalitásának. Végül térjünk rá a megfelel½o részsorozat kiválasztására. A lemma már belátott része alapján létezik olyan (nk ) index sorozat, hogy P ((H nk

H nl ) S) > 2

k

<2

k

valahányszor l k. A Borel–Cantelli-lemma miatt majdnem minden kimenetelre véges sok indext½ol eltekintve ((H nk minden l

H nl ) S) < 2

k

k esetén, amib½ol az állítás már evidens.

A lemma alapján egy részsorozatra áttérve majdnem minden kimenetelre a (H n S) sorozat trajektóriái Cauchy-sorozatot alkotnak az egyenletes konvergencia topoló30

A kifejezés minden kimenetelre vagy

> 0; vagy

89

0; így a 0 egy alsó korlát.

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték giában. A jobbról reguláris függvények teljessége31 miatt érvényes a következ½o: 53. Lemma. Az el½oz½o lemma feltételei mellett létezik olyan X jobbról reguláris, adaptált folyamat, hogy X $ lim H nk S; k!1

ahol a konvergencia trajektóriánként egyenletesen értend½o, vagyis H nk

sup j(X t

m:m:

S)t j ! 0:

(4.5)

Miel½ott az alábbi hosszú számolásokra rátérünk, érdemes röviden vázolni a hátralev½o számolások célját. Az egyenletes konvergencia miatt: f0 = lim (H nk k!1

S)1 = lim lim (H nk

= lim lim (H nk t!1 k!1

k!1 t!1

S)t =

S)t = lim Xt = X1 : t!1

Az X folyamatról azonban nem tudjuk, hogy szemimartingál, ugyanis a m:m:

(H n S)1 ! f0

(4.6)

konvergenciából belátott H nk S ! X trajektóriánként való egyenletes konvergencia túl gyenge ahhoz, hogy garantálja, hogy az X szemimartingál legyen. Azt meg pláne nem tudjuk, hogy az X az S szerint sztochasztikus integrál lenne. Tegyük fel, hogy léteznek olyan Ln 2 conv fH nk ; k ng (4.7) stratégiák, amelyekre a Lk S sztochasztikus integrálok a szemimartingál topológia szerint konvergálnak. Nyilván a (4.6) miatt továbbra is m:m:

(Ln S)1 ! f0 ; így a már belátottak miatt az Ln S trajektóriái egyenletesen konvergálnak. Mémin-tétele32 szerint az S szerinti sztochasztikus integrálok halmaza zárt a szemi31

Emlékeztetünk, hogy jobbról reguláris függvényeken az olyan függvények halmazát értjük, amelyek jobbról folytonosak és rendelkeznek bal oldali határértékkel. Az egyenletes konvergencia felcserélhet½o a határértékkel, így a jobbról reguláris függvények az egyenletes konvergencia szerint vett topológiában zárt halmazt alkotnak, így teljes metrikus teret alkotnak. 32 Ld.: [78] vagy [77].

90

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték martingál topológiára nézve, következésképpen létezik egy el½orejelezhet½o L folyamat, hogy Lk S ! L S a szemimartingál topológia szerint. A (4.7) miatt az összes Lk stratégia 1-megengedett, így az L is 1-megengedett. De ekkor, felhasználva, hogy a szemimartingál topológiában való konvergenciából következik a minden id½opontban való sztochasztikus konvergencia, (L S)1 $ lim (L S)t = lim lim (Ln S)t = t!1

t!1 n!1

= lim lim (Ln S)t = lim (Ln S)1 = f0 ; n!1 t!1

n!1

ahol a két határérték az imént látott egyenletes konvergencia miatt cserélhet½o fel33 . Következésképpen f0 2 K0 ; amib½ol a 51. lemma miatt a C0 kúp Fatou-zárt, következésképpen a 49. állítást, így az alaptételt is igazoltuk. Hátra van azonban még a szemimartingál topológiában konvergens (Ln ) sorozat megkonstruálása!!

4.3.

A szemimartingál topológiában konvergens sorozat létezése

Most térjünk rá a bizonyítás legnehezebb részére, a szemimartingál topológiában konvergens sorozat meghatározására.

4.3.1.

Új mértékre való áttérés

Továbbra is f0 jelölje a D halmaz maximális elemét és (H n ) legyen egy olyan m:m: 1-megengedett sorozat, amelyre (H n S)1 ! f0 : Miként láttuk34 , a (H n S) halmaz korlátos az L0 térben, így egy nullmérték½u halmaztól eltekintve q $ sup sup j(H n S)t j = sup (H n S) < 1: n

t

n

33

Önmagában a szemimartingál topológiában való konvergencia nem garantálja a trajektóriák teljes id½otengelyen való egyenletes konvergenciáját. 34 V.ö.: 46. lemma.

91

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Összefoglalva egy alkalmas résszsorozatra áttérve igaz a következ½o35 : 54. Lemma. A (H n S) sorozat majdnem biztosan t-ben egyenletesen konvergál valamely X folyamathoz és a q $ sup sup j(H n S)t j = sup (H n S) n

t

n

változó majdnem biztosan véges. 55. Lemma. Létezik olyan, P-vel ekvivalens R valószín½uségi mérték, hogy lim

n;m !1

sup j(H n S)t t

(H m S)t j

= 0: L2 (R)

A Radon–Nikodym derivált korlátos.

Bizonyítás: Legyen exp ( q) dR $ ; dP EP [exp ( q)] ahol q az el½oz½o lemmában de…niált változó. Az R valószín½uségi mérték ugyanis a kifejezés integrálja éppen egy. Ekkor nyilván q 2 L2 (R), ezért a sztochasztikus konvergenciára vonatkozó majorált konvergencia tétel szerint a fenti határérték létezik, és 0-val egyenl½o. A továbbiakban a fent de…niált R valószín½uségi mértékkel fogunk dolgozni. Vegyük észre, hogy ha egymás után két mértékcserét hajtunk végre, akkor a Radon– Nikodym deriváltak összeszorzódnak. A P-r½ol az R-re való áttérés Radon–Nikodym deriváltja korlátos. Mivel a mérték véges, egy integrálható függvényt tetsz½oleges korlátos, mérhet½o függvénnyel szorozva integrálható függvényt kapunk. Ha a mértékcserét két lépésben hajtjuk végre, el½oször áttérünk a P-r½ol az R-re, majd az R-r½ol a Q-ra, akkor a dQ=dP pontosan akkor integrálható, ha integrálható a dQ=dR: Mivel a kockázatmentes mértékre való áttérés Radon–Nikodym deriváltjának integrálhatóságát a korlátos dR=dP nem érinti, ezért az egyszer½uség kedvéért az R-re való hivatkozást elhagyjuk és az alapul vett mértéket továbbra is P-vel fogjuk jelölni. A szemimartingálok halmaza nem módosul a mértékcsere 35

A továbbiakban az egyszer½ubb indexelés kedvéért mindig evvel a részsorozattal fogunk dolgozni.

92

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték során36 , és mivel S-r½ol feltesszük hogy korlátos, ezért az S speciális szemimartingál. Tekinthetjük tehát az S = M + A kanonikus dekompozícióját, ahol M lokális martingál, A pedig el½orejelezhet½o, véges változású folyamat. Vegyük észre, hogy a mértékcserét követ½oen a sup j(H n S)t j

q 2 L2 ( )

t

egyenl½otlenség miatt a H n S egy speciális szemimartingál37 . Ebb½ol következ½oen38 a H n S kanonikus felbontása H n S = H n M + H n A; ahol az els½o integrál lokális martingál, a második pedig egy korlátos változású folyamat. A (H n S) szemimartingál topológiában való konvergenciájához elegend½o belátni, hogy a (H n M ) és a (H n A) konvergensek a szemimartingál topológiában.

4.3.2.

Néhány egyszer½u becslés

El½oször egy önmagában is érdekes becslést mutatunk be: 56. Lemma. Legyen S egy szemimartingál, amelynek ugrásaira teljesül a k( S) kp < 1 egyenl½otlenség, ahol 1 < p 1. Ekkor az S speciális szemimartingál, valamint az S = S (0) + M + A kanonikus felbontás esetén teljesülnek a k( A) kp és az k( M ) kp

p p

1

k( S) kp

2p 1 k( S) kp p 1

egyenl½otlenségek. 36

Ld: [75]: Corollary 4.58 Ld.: [75]: Theorem 4.44, 257. oldal. 38 V.ö.: 19. tétel. 37

93

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Bizonyítás: A jelölés egyszer½usítése céljából tegyük fel, hogy S (0) = 0. Ha n

$ inf ft : jS (t)j > ng ;

akkor az ugrásokra tett feltétel miatt jS n j

S

+j S(

n

n )j

n+j S(

n + sup j Sj 2 Lp ( )

n )j

L1 ( ) :

t>0

Így sup jS n j (t) 2 L1 ( ) ; t

tehát a sups t jS (s)j lokálisan integrálható, így az S egy speciális szemimartingál39 . De…níció szerint a speciális szemimartingálok kanonikus felbontásában az A el½orejelezhet½o, így a A is el½orejelezhet½o. Következésképpen A = p ( A). A ( S) a feltétel szerint integrálható, következésképpen az L (t) $ E (( S) j Ft ) egyenletesen integrálható martingál. Természetesen j S (t)j = E (j S (t)j j Ft ) így p (j Sj)

p

E (( S) j Ft )

L (t) ;

L = L . Mivel p ( M ) = 0; ezért

j Aj = jp ( A)j = jp ( S

M )j = jp ( S)

= jp ( S)j

p

(j Sj)

p

( M )j =

L :

Ha 1 > p > 1; akkor a Doob-egyenl½otlenség szerint k( A) kp

sup jL (t)j t

p p

p

1

kL (1)kp $

p p

1

k( S) kp :

Ha p = 1; akkor minden t-re j A (t)j 39

L (t) = E (( S) j Ft )

Ld: [75]: Theorem 4.44.

94

E (k( S) k1 j Ft ) = k( S) k1 :

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték így k( A) k1 $ sup j A (t)j t

k( S) k1 :

1

Ebb½ol mind a két esetben sup j M j t

sup j Sj t

p

k( S) kp +

p

p p

+ sup j Aj t

p

k( S) kp ;

1

ami éppen a kívánt második egyenl½otlenség. Gyakran hasznos a következ½o egyszer½u észrevétel: 57. Lemma. Legyenek (gk )1 k n nem negatív, az ( ; F; P) valószín½uségi mez½on értelmezett mérhet½o függvények. Tegyük fel, hogy léteznek a (ak )1 k n és pozitív számok, amelyekre teljesül, hogy minden k-ra P (gk ak ) . Ekkor minden 0 < < 1 esetén ! n n X X (1 ) : ak P gk 1 k=1 k=1 P Bizonyítás: Legyen g $ nk=1 gk , és jelöljük A-val az egyenl½otlenségben szerepl½o Pn fg k=1 ak g halmazt. Nyilván n X

c

E (g (A ))

c

ak

P(A ) =

k=1

n X

ak

(1

P(A)) :

k=1

Másfel½ol c

E (g (A )) =

n X

c

E (gk (A ))

k=1

ak P (Ac \ fgk

E (gk (Ac ) (fgk

k=1

k=1

n X

n X

ak g) n X

ak

k=1

n X

ak (P (fgk

k=1

n X

ak g)

ak g))

P (A))

ak P (A) :

k=1

A két egyenl½otlenség egybevetéséb½ol következik, hogy n X k=1

ak P (A)

n X

ak

P(A)

k=1

n X k=1

95

ak

n X k=1

ak

;

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték amib½ol

Pn ak Pk=1 n k=1 ak

P(A) amib½ol a

Pn

k=1

Pn a Pnk=1 k k=1 ak

;

;

ak 6= 0, felhasználásával következik a lemma.

A következ½o becslés az el½oz½o becslés közvetlen következménye: 58. Lemma. Legyenek (gk )1 k n nem negatív, az ( ; F; P) valószín½uségi mez½on értelmezett mérhet½o függvények. Tegyük fel, hogy léteznek a és b pozitív számok, melyekre teljesül, hogy minden k-ra P (gk a) b. Ekkor P

n X

gk

k=1

4.3.3.

nab 2

!

b : 2

Néhány szörny½u becslés

59. Lemma. Ha H jelöli azon 1-megengedett H integrandusokat, amelyekre k(H akkor minden

S) k2

;

> 0 esetén a f(H

M) j H 2 H g

halmaz korlátos L0 -ban. Bizonyítás: Rögzített > 0 esetén, a H halmaz de…níciója szerint, minden H 2 H folyamatra k(H S) k2 teljesül, ezért a H S szemimartingál, a speciális szemimartingálok karakterizációs tétele40 miatt speciális szemimartingál. Ekkor H M sztochasztikus integrál lokális martingál szerinti integrál értelemben létezik, ezért de…níció szerint lokális martingál41 , valamint H S kanonikus dekompozíciója H M + H A alakú42 . Tegyük fel hogy a f(H S) j H 2 H g halmaz nem korlátos az L0 -ban. Létezik tehát egy > 0 és egy H -beli (K n ) sorozat, hogy minden n 1 esetén P (K n M ) > n3 > 8 : 40

Ld: [75]: Theorem 4.44. Ld.: [75]: De…nition 4.38 42 Ld.: [75]: Theorem 4.49 41

96

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Tudjuk, hogy E ((K n S) )

2

2

;

2

ezért a ((K n S) ) változóra alkalmazva a Markov-egyenl½otlenséget: P ((K n S)

Legyen N olyan, hogy ha n N , akkor max megállási id½oket a következ½oképpen: n

Ekkor az Ln $

$ inf t j j(K n M )t j

1 K n [0; n2

n]

2

2

n) = P ((K n S) ) n

2

n2

;

n2

1 n2

o

<

n2 6

:

, és de…niáljuk a

n3 vagy j(K n S)t j

n

n :

integrandusra teljesülnek a következ½ok:

1. Ln M lokális martingál, hiszen a bizonyítás elején elmondottak szerint K n M , és így Ln M is lokális martingál. 2. Ha n

N , akkor P ((Ln M )

n)

P (K n M )

n3

P ((K n S)

n)

2

7 . n2 Ezt a következ½oképpen láthatjuk be. Azokra az ! kimenetelekre, melyekre 8

(K n M ) (!)

n3

és (K n S) (!) < n nyilván (K n M )

n

n3 , vagyis

1 Kn n2

M

(Ln M )

n

n. Következésképpen

n:

Ezen kimenetelek halmazának valószín½usége nyilván nem kisebb mint P (K n M )

P ((K n S)

n3

97

n) :

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték 3. Ln S ugrásai nem kisebbek mint (n + 1) =n2 . Valóban, a n megállási id½o de…níciója miatt a (K n S) n folyamat fels½o korlátja a [0; n ) intervallumon n, és mivel 1-megengedett folyamatról van szó az értéke [0; n ]-on nem kisebb mint 1, ezért (K n S) n = K n [0; n ] S ugrásai nem kisebbek mint (n + 1). 4. k(Ln M ) k2 n+ (Ln M ) n 2 n + n6 2 . Itt az egyenl½otlenség els½o fele abból következik, hogy a n megállási id½o de…níciója miatt a (K n M ) n = K n [0;Tn ] M folyamat értéke a [0; n ) intervallumon legfeljebb n3 . Az egyenl½otlenség második részének igazolásához vegyük …gyelembe, hogy ( (Ln S)) és mivel a K n 2 H miatt

2 (Ln S) ;

k(Ln S) k2

n2

(4.8)

;

ezért az imént belátott 56 lemma alapján (Ln M )

2

n

6 : n2

A 4. pont alapján Ln M 2 H2 , így egyenletesen integrálható. Minden n-re de…niáljuk a ( n;i ) megállási id½okb½ol álló sorozatot a következ½oképpen: Legyen n;0 $ 0, valamint n;i

n $ inf t j t

Ekkor minden n

n;i 1

és (Ln M )t

(Ln M )

o 1 :

n;i 1

N -re érvényes a következ½o becslés:

(Ln M )

n;i

(Ln M )

n;i 1

1+ 2

(Ln M )

n;i

2

6 < 1 + < 2: (4.9) n2 Jelöljük kn -el n =4 egészrészét. Lássuk be, hogy minden i = 1; : : : ; kn és tetsz½oleges n N esetén P ( n;i < 1) > 6 . Mivel ( n;i )i 0 megállási id½ok monoton növ½o sorozata, nyilván elegend½o az egyenl½otlenséget i = kn -re bizonyítani. Legyen B $ f n;kn < 1g, és becsüljük (Ln M ) B c kifejezés L2 -normáját: 1+

98

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték

n

k(L

M)

kn X

B c k2

(

M

n;i 1 ; n;i ]

Bc

i=1

kn X

Ln

i=1

Ahogy megállapítottuk, Ln

Ln

2

(

n;i 1 ; n;i

M

]

(4.10)

: 2

M , és ezért az Ln

M is egyenletesen ( n;i 1 ; n;i ] M folyamat a [0; 1] intervallumon

integrálható martingál, ezért az Ln

( n;i 1 ; n;i ] is martingál , így alkalmazhatjuk a Doob-egyenl½otlenséget44 : 43

Ln

(

n;i 1 ; n;i

M

]

Ln

2 2

(

n;i 1 ; n;i

]

M

; 1 2

amib½ol tehát, felhasználva (4.10)-t, (4.9)-t, majd a kn de…nícióját: k(L

n

M)

B c k2

2

kn X

Ln

i=1

(

n;i 1 ; n;i

]

4kn

M

n :

1 2

Ebb½ol a Markov-egyenl½otlenség felhasználásával kapjuk, hogy P ((Ln M )

Bc

n)

2

;

vagyis P (B c \ f(Ln M )

ng)

2

< ;

amib½ol: P (B)

P ((Ln M )

n)

P (B c \ f(Ln M )

ng) > 7

= 6 : (4.11)

Tehát valóban P(

n ;i

< 1) > 6 :

Vezessük be az fn;i = (Ln M )Tn;i (Ln M )Tn;i 1 , és a Bn;i = fn;i jelöléseket. 2 n Megmutatjuk, hogy P (Bn;i ) > . Mivel az L M folyamat egyenletesen integ43 44

Ld: [75]: Corollary 1.67 Ld: [75]: Corollary 1.53

99

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték rálható martingál, a megállási opciókról szóló tételb½ol45 következik, hogy + E (fn;i ) = E fn;i

E fn;i = 0,

amib½ol + = E fn;i = E fn;i

E (jfn;i j) : 2

(4.12)

Ebb½ol, a n ! j (Ln M )

(Ln M )

n;i

o 1

n;i 1

f! j

< 1g

n;kn

tartalmazás, a (4.11) becslés, valamint a Markov-egyenl½otlenség felhasználásával c halmazon fn;i kisebb -nál, ezért kapjuk, hogy E fn;i > 3 . Mivel Bn;i E fn;i

Bn;i

E fn;i

(4.13)

>2 :

A Cauchy-Schwarz egyenl½otlenség, majd a (4.9) becslés felhasználásával: 1

E fn;i

1

kfn;i k2 P (Bn;i ) 2

Bn;i

2P (Bn;i ) 2 .

(4.14)

Végül (4.13) és (4.14) sorok egybevetésével pedig kapjuk hogy P (Bn;i ) >

2

.

Most térjünk rá Ln A vizsgálatára. Felhasználva (4.8) sort, minden i-re kapjuk: (Ln S)

n;i

(Ln S)

n;i 1

2 : n2

2

Ebb½ol a Markov-egyenl½otlenség felhasználásával: P

(Ln S)

n;i

(Ln S)

2 n

n;i 1

2 n2

2

n2 = n 2: 4 2

Vegyük észre, hogy n ! j (Ln S)

! j fn;i

! j (Ln A) 45

n;i

n;i

(Ln S)

(Ln A)

Ld: [75]: Theorem 1.86

100

n;i 1

n;i 1

2 n

2 n ;

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték ugyanis (Ln A)

(Ln A)

n;i

n;i 1

2 n

<

esetén az fn;i és az (Ln S)

(Ln S)

n;i

n;i 1

<

2 n

együtt nem teljesülhet. 2

A fenti tartalmazásból és a P fn;i i kn , és n N -re teljesül, hogy P (Ln A)

(Ln A)

n;i

becslésb½ol következik, hogy minden

2 n

n;i 1

2

>

n 2:

(4.15)

Az Ln A nyilván korlátos változású, és a bizonyítás elején elmondottak szerint megegyezik Ln S folyamat kanonikus felbontásának korlátos változású részével, ezért el½orejelezhet½o is. Alkalmazhatjuk tehát rá a 18 Hahn felbontási tételt. Legyen n B+ és B n olyan el½orejelezhet½o halmazokból álló partíciója az R+ halmaznak, amelyekre teljesül, hogy Ln B+n A és Ln B n A folyamatok pozitív értékeket vesznek fel, és trajektóriái növekv½oek. Jelöljük Rn -el az Ln B n \[0; n;k ] folyamatot. n + Ekkor az Rn A folyamat kielégíti az alábbi egyenl½otlenséget: (Rn A) hiszen a baloldal i Ln

n;i

(Rn A)

n B+

[0;

(Ln A)

(Ln A)

n;i

n;i 1

;

kn esetén n \ 0; B+ [

n;kn

= Ln = Ln

n;i 1

n;i 1 ]

+

Ln

] A

n B+

(

Ln

A n;i

n B+

n B+

n;kn

n;i 1 ; n;i ]

101

= n;i 1

= n;i 1

n;i

(

] A

A Ln

A

n;i 1 ; n;i ]

= Ln

n \ 0; B+ [

n;i

A

n B+

: n;i

[0;

n;i 1 ]

A

= n;i 1

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték A jobboldal pedig hasonló átalakításokkal Ln

n B+

+

Bn

A

n;i 1 ; n;i ]

(

; n;i

ahol Ln B n ( n;i 1 ; n;i ] A = B n Ln ( n;i 1 ; n;i ] A negatív értékeket felvev½o folyamat. Ezt (4.15) sorral egybevetve kapjuk, hogy i kn , és n N esetén: P (Rn A)

(Rn A)

n;i

2 n

n;i 1

>

2

n 2:

(4.16)

Mivel Rn S ugrásai részét képezik Ln S ugrásainak, ezért ( (Rn S))

n+1 n2

( (Ln S))

Lássuk be a (Rn M )

kn X

2 n;kn

2

i=1

2 : n

(4.17)

kfn;i k22

(4.18)

egyenl½otlenséget. Nyilván teljesülnek a következ½o egyenl½oségek: (Rn M ) Ln = Ln

n \ 0; B+ [

n;kn

n;kn

= (Rn M )

n;kn

n;kn

[0; n;kn ] M

(1) =

n\ B+

] M (1) =

(1) =

n \ 0; B+ [

n;kn

n ] (L M ) (1) :

Figyelembe véve hogy Ln M 2 H02 , így46 n \ 0; B+ [

(Ln M ) (1) n;kn ]

2

=

n \ 0; B+ [

2

(Ln M ) n;kn ]

2 H2

,

amib½ol az Itô-izometria47 felhasználásával, n\ B+

E

Z

0

46 47

n [0; n;kn ] (L M ) (1)

1

2 n \ 0; B+ [

n;kn

]

n

d [L

M]

2

2

= 2

E

Z

0

Ld: [75]: Theorem 2.85 Ld: [75]: Theorem 2.88/5.

102

[0;

n;kn

]

[0;

n;kn

] d [L

n\ B+

1

Ln M

n

=

M]

=

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték 2

[0;

n;kn

]

Ln M

=

[0;

2

(Ln M ) (1) n;kn ]

(Ln M )

= 2

2

;

n;kn

2

a fentieket egybevetve tehát kapjuk, hogy 2

(Rn M )

n;kn

(Ln M )

2

2

:

n;kn

2

Mivel Ln M 2 H2 , így Ln M egyenletesen integrálható, ezért a megállási opciókról szóló tétel alapján E (Ln M )

jF

n;i

amib½ol:

kn X i=1

=

kn X

= (Ln M )

n;i 1

n;i 1

;

kfn;i k22 =

E E (Ln M )2 n;i + (Ln M )2 n;i

1

i=1

2 (Ln M )

=

kn X

n;i

(Ln M )

n;i 1

jF

(Ln M )2 n;i

E E (Ln M )2 n;i

i=1

kn X

E (Ln M )2 n;i

(Ln M )2 n;i

1

n;i 1

1

jF

=

= (Ln M )

i=1

=

n;i 1

2 n;kn

, 2

amib½ol (4.18) egyenl½otlenség már következik. A korábbi (4.9) becslés, és (4.18) alapján, n (Rn M )

N esetén: 2

n;kn

2

< 4kn .

(4.19)

Mivel Ln M 2 H2 , ezért nyilván Rn M 2 H2 , vagyis Rn M egyenletesen integrálható martingál, ezért alkalmazható a Doob-egyenl½otlenség48 az Rn M n;kn = 48

Ld: [75]: Corollary 1.53, (1.18) sor

103

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Rn M , [0; 1]-en értelmezett martingálra, vagyis 2

sup j(R

n

t 0

M )t j

4 k(Rn M )1 k22 =

2

= 4 (Rn M )

2 n;kn

2

< 16kn .

(4.20)

Bár az Rn S megengedettségér½ol nem tudunk semmit, a fentiek segítségével megmutatjuk, hogy a folyamat, csak kis valószín½uséggel vesz fel kis értékeket. Mivel Rn A folyamat növekv½o, ezért nemnegatív, így Rn S = Rn M + Rn A

Rn M .

Ezt felhasználva, majd alkalmazva a Markov-egyenl½otlenséget, majd a (4.20) sort: P inf (Rn S)t

kn n

t 0

E

supt

Legyen n n (!)

P sup j(Rn M )t j

kn n

1 4

t 0

0

j(Rn M )t j

kn2 n

Mivel

1 4

<

1 2

n $ inf t j (Rn S)t <

< 1 esetén (Rn S)

kn n

n (!)

p 16 n : = kn

2

inf f(Rn S) (!; t)g

16kn kn2 n kn n 1 4

1 4

, ezért kn n

t 0

1 2

1 4

o

:

;

amib½ol a fenti egyenl½otlenség alapján P(

n

< 1)

p 16 n : kn

Most de…niáljuk a következ½o integrandust: Vn $ k1n Rn [0; n ] . Ekkor a (4.17) becslés alapján a Vn S ugrásai nem kisebbek mint nk2n ; ezért a Vn S nem kisebb 1 mint n 4 nk2n , vagyis lim

n !1

(Vn S)1

104

1

= 0:

(4.21)

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Tehát Vn olyan megengedett integrandus, melynek egyenletes alsó korlátja 0-hoz tart. Az alábbiakban belátjuk, hogy (Vn S)1 pozitív valószín½uséggel pozitív. Mivel a (4.16) becslés, és a 58. lemma alapján P (Rn A)

kn 2

n;kn

2

2 n

2

2

n

n

>

2

2

;

ezért P (V n A)

1 2

n;kn

2

2 n

2

2

n

n

>

2

P(

2

n

< 1) ;

amib½ol P (V

n

A)

1 2

n;kn

2

2 n

2

2

n

>

p 16 n : kn

2

n 2

Ekkor, mivel a V n A trajektóriái növekv½oek, P (V továbbá az n-re

n

1 2

A)1 2 n

1 2

2

(

2

2 n

2

n 2) !

3

2

n

2

2

, és az

> n 2

3

P (V n A)1

n

p 16 n ; kn

2

2 p 16 n kn

2

!

2

2

miatt, elég nagy

2

>

4

4

(4.22)

:

Most próbáljuk meg a (V n S)1 = (V n A)1 + (V n M )1 felbontásban a második tagot, vagyis a (V n M )1 változót becsülni. Belátjuk, hogy (V n M )1 tart 0-hoz L2 -ben. A V n folyamat de…níciója alapján: k(V n M )1 k2) = =

1 kn

[0;

1 kn n]

Rn

[0;

M (1)

n]

(Rn M ) (1)

2

2

=

:

Tudjuk, hogy Rn M 2 H2 , ezért alkalmazható az Itô-izometria49 , amib½ol [0; 49

n]

(R

n

M ) (1)

2)

=

s

Ld.: [75]: Theorem 2.88

105

E

Z

0

1

2 [0;

n]

d [Rn M ]

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték s

E

Z

1

1d [Rn M ] :

0

Ismét az Itô-izometria, valamint az Rn = Rn [0; s

E

Z

1

0

Rn [0;

= k(Rn M )

n;kn

] felhasználásával,

= k(1 (Rn M )) (1)k2 =

1d [Rn M ]

=

n;kn

n;kn

M (1)

]

= 2

(1)k2 = (Rn M )

n;kn

: 2

A fentieket egybevetve a (4.19) segítségével 1 (Rn M ) kn

k(V n M )1 k2)

n;kn

2 p kn

2

! 0.

A Markov-egyenl½otlenség alapján, E (V n M )21

3

P j(V n M )1 j >

! 0.

6

8

64

Az

3

! j (V n A)1 >

4

3

! j (V n S)1 >

8

3

[ ! j j(V n M )1 j >

8

tartalmazás, és a (4.22) egyenl½otlenség miatt: 3

P (V n S)1 >

8

3

+ P j(V n M )1 j >

8

2

>

4

,

amib½ol a fenti konvergencia miatt, elég nagy n-re: 3

P (V n S)1 >

8

2

>

8

:

Ekkor tehát a gn $ (V n S)1 olyan K0 -beli sorozat, melyre a (4.21) sor miatt P limn !1 kgn k1 = 0, de a fenti egyenl½otlenség alapján a gn ! 0 nem teljesül, ami ellentmond az 36. lemmának.

106

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték

60. Lemma. Legyen $ inf ft j j(H n M )t j

n c

cg

és legyen Kcn $ H n ((

n c ; 1)) :

Ekkor minden " > 0-hoz létezik egy c0 > 0, hogy minden n esetén, tetsz½oleges ( 1 ; :::; n ) konvex súlyokra és minden c c0 számra n X

P

i i Kc

M

i=1

!

!

>"

< ".

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben létezik egy > 0 szám, hogy minden c0 esetén léteznek a ( 1 ; :::; n ) konvex súlyok és a c c0 szám, hogy n X

P

i i Kc

M

i=1

!

>

!

> .

Mivel a 54. lemma alapján a q = supn supt j(H n S)t j valószín½uségi változó majdnem biztosan véges, ezért létezik olyan N természetes szám, hogy P (q > N ) < 4 . De…niáljuk a következ½o megállási id½ot: = inf ft j 9n

1 : j(H n S)t j > N g .

Ha valamely !-ra (!) < 1, akkor létezik egy n 2 N, melyre supt j(H n S)t j > N , ezért q > N , tehát P ( < 1) < 4 . Legyen $ supn ksupt j(H n S)t jk2 . Ekkor a véges, hiszen minden n-re ksupt j(H n S)t jk2) kqk2 , és a 55. lemma bizonyításában láttuk, hogy kqk2 < 1. Mivel minden n-re a H n 1-megengedett integrandus, és k(H n S) k2 , ezért a el½oz½o 59. lemma alapján a f(H n M ) gn 1 halmaz korlátos az L0 -ban, vagyis lim sup P ((H n M )

c!1

Ebb½ol viszont a f

n c

< 1g

c) = 0:

n

f(H n M ) lim sup P (

c!1

n

cg tartalmazás miatt n c

107

< 1) = 0;

(4.23)

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték ezért tetsz½oleges 0 < < 4 esetén létezik a c1 szám, melyre minden c minden n 2 N esetén P ( nc < 1) < 2 . Nyilván minden n-re k(Kcn S) k2

2 (H n S)

f

valamint a Hölder-egyen½otlenségb½ol és (H n S) (H n S)

f

n <1g c

2

;

q felhasználásával:

kqk4 P (

2

n <1g c

c1 és

n c

1

< 1) 4 :

Szintén a 55. lemma bizonyítása alapján kqk4 < 1 is teljesül, ezért a fentiek alapján, létezik egy c2 szám, hogy c c2 esetén minden n-re k(Kcn S) k2

n c

2 kqk4 P (

1

< 1) 4

:

(4.24)

Rögzítsünk egy c max fc1 ; c2 g számot. Az indirekt feltevés szerint léteznek a ( 1 ; :::; n ) konvex súlyok, melyekre n X

P

i i Kc

M

i=1

!

!

>

> ,

P . $ inf t j ( ni=1 i Kci M )t P Legyen K $ ( ni=1 i Kci ) [0;minf ; g] . Ekkor teljesül a és legyen

(

n X

i i Kc

i=1

M

!

>

)

f(K

M)

g [ f < 1g

tartalmazás, hiszen ha ! eleme a bal oldalnak, akkor erre a kimenetelre teljesül, hogy < 1, ezért ha < akkor (K M ) , ha pedig , akkor a < 1 miatt < 1. Ebb½ol pedig következik a P ((K

M)

egyenl½otlenség, másrészt a (K b½ol, következik, hogy

P ( < 1) >

)> S) k(K

Pn

i=1

S) k2

108

i

3 ; 4

(4.25)

(Kci S) és (4.24) egyenl½otlenség:

(4.26)

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Most vizsgáljuk meg hogy a K megengedett-e. A K és Kci de…níciója alapján: (K

n X

S)t =

iH

i (

i ;1] c

i=1

=

n X

i

Hi

S

i ;1] c

(

=

Hi S

i

Hi

= t

[0;

minf ; g

S

i] c

=

Hi S

i

i c

Hi S

=

Hi S

i

= minft; ; g

i=1

n X

= t

i=1

n X

=

t

minf ; g

i=1

n X

S

[0;minf ; g]

!

i=1

Hi S

minft; ; g

minft; ; ;

ig c

:

i i Ha t c akkor min ft; ; g = min ft; ; ; c g ezért az utóbbi kifejezés ezen kimenetelekre nulla, másrészt t > ic esetén min ft; ; ; ic g = min f ; ; ic g : Tehát az utóbbi kifejezés a n X i=1

i ft>

Hi S

ig c

Hi S

minft; ; g

minf ; ;

ig c

vagy < , akkor – mivel H i 1-megengedett – a alakba írható. Ha ic < (K S)t -re kapott kifejezés és megállási id½o de…níciója alapján érvényes a (K

S)t

n X i=1

egyenl½otlenség. Ha

i c

és

i ft>

ig c

, akkor t >

min ft; ; g = min

( 1 i c

; ;

N)

esetén i c

= ;

ezért az egyenl½otlenség ezen kimenetelekre is teljesül. Azt kaptuk tehát, hogy (K

S)t

(N + 1) Ft ,

P ahol Ft = ni=1 i ( ic ;1] , egy növekv½o adaptált és balról folytonos, és így el½orejelezhet½o folyamat. Mivel c c1 ;ezért c1 megválasztása miatt P (Tcn < 1) < 2 109

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték 2 ezért E (F1 ) , amib½ol a Markov-egyenl½otlenség felhasználásával kapjuk hogy P (F1 > ) , amib½ol következik, hogy a $ inf ft j Ft > g módon de…niált megállási id½ore teljesül, hogy P ( < 1) < 4 . Legyen K 0 = K [0; ] . Erre (4.26) becslés miatt teljesül, hogy

(K 0 S)

;

2

valamint (4.25) becslés és a f(K

(K 0 M )

g

M)

[ f < 1g

tartalmazásból kapjuk, hogy P (K 0 M )

3 4

>

>

2

.

Az Ft balról folytonosságából következik hogy K 0 S (N + 1) , ezért L = K0 egy 1-megengedett folyamat. Ekkor fenti egyenl½otlenségek alapján egyrészt (N +1) L

1 ; N +1

S 2

vagyis minden

< =4 esetén L P

vagyis az L lemmának.

M

<4

L

2H

M

M

1 N +1

, másrészt >

(N + 1)

2

;

halmaz nem korlátos L0 -ban, ami ellentmond a (59)

61. Lemma. Az el½oz½o lemmában használt jelöléseket alkalmazva, minden " > 0hoz létezik egy c0 > 0, hogy minden c c0 számra tetsz½oleges jhj 1 el½orejelezhet½o folyamatra és tetsz½oleges ( 1 ; :::; n ) konvex súlyokra P

h

n X i=1

i i Kc

!

M

110

!

>

p

"

!

< 5".

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Speciálisan ha c

c0 ; akkor n X

i i Kc

p < 6 ":

M

i=1

S

Bizonyítás: Rögzítsünk egy " > 0 számot, és c0 legyen olyan, hogy teljesüljön rá, hogy minden n esetén, tetsz½oleges ( 1 ; :::; n ) konvex súlyokra és minden c c0 számra ! ! n X i P > " < ": i Kc M i=1

Az el½oz½o lemma értelmében ilyen c0 létezik. Az el½oz½o lemma bizonyításának (4.23) és (4.24) sorait …gyelembevéve, a c0 -t válasszuk meg úgy, hogy minden c c0 számra a " sup k(Kcn S) k2 6 n egyenl½otlenség is teljesüljön. Továbbá ( (Kcn S)) 2 (Kcn S) , ezért az el½oz½o lemma bizonyításának (4.24) sorát felhasználva k( (Kcn S)) k2 2 , ekkor tehát alkalmazható a 56. lemma, miszerint a Kcn S speciális szemimartingál, és így 19. tétel szerint, ha M az S kanonikus felbontásának lokális martingál része, akkor Kcn S kanonikus felbontásának lokális martingál része éppen Kcn M . Ekkor viszont a 56. lemma alapján minden n-re tetsz½oleges megállási id½ore és c > c0 ra: k( (Kcn M )) k2 ". Vegyünk egy tetsz½oleges 1-nél nem nagyobb abszolutérték½u el½orejelezhet½o folyamatot, egy c c0 számot, és a ( 1 ; :::; n ) konvex súlyokat, és de…niáljuk a $ inf

(

tj

n X

i

Kci M

i=1

t

)

>"

megállási id½ot. Ekkor nyilván sup t

n X i=1

i i Kc

!

M

"+

n X i=1

t

111

i

Kci M ( ) ;

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték amit a fenti becsléssel egybevetve n X

sup t

ami azt jelenti, hogy a

i i Kc

i=1

Pn

i i Kc [0; ]

i=1

sup t 0

!

n X

M

2", t 2

M lokális martingálra teljesül, hogy

i i Kc [0; ]

i=1

!

M

!

2": t

2

Ebb½ol viszont a Burkholder-egyenl½otlenségb½ol50 következik, hogy n X

E

i i Kc [0; ]

i=1

!

M

!

!

(1)

< 1,

Pn i ezért a H2 martingálok karakterizációs tétele51 alapján, i=1 i Kc P H02 , ezért h ni=1 i Kci [0; ] M 2 H02 : Az Itô-izometria alapján h

n X

i i Kc [0; ]

i=1

!

v " n u X u tE

M H2

= khk(Pn

i i Kc [0; ]

i=1

n X

=

i i Kc [0; ]

i=1

n X

= sup t 0

!

i i Kc [0; ]

i=1

!

!

i=1

i i Kc [0; ]

#

!

M (1)

M

)

M

=

= H2

M

!

2":

t

2

p

!

Ebb½ol pedig a Markov-egyenl½otlenség alapján P

h

n X i=1

50 51

i i Kc [0; ]

!

Ld.: [75]: Theorem 4.68. Ld.: [75]: Proposition 2.84.

112

M

!

>

"

< 4";

[0; ]

M 2

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték másrészt a

megállási id½o de…níciója miatt P ( < 1) < ", ezért h

P

n X

i i Kc

i=1

n X

h

P

i i Kc [0; ]

i=1

!

!

M

!

>

p

!

M

!

>

"

p

"

!

+ P ( < 1) < 5":

P p Térjünk rá a második állításra. Jelöljük A-val a ((h ni=1 i Kci ) M ) > " halmazt. Feltehet½o, hogy " egynél kisebb, ezért minden fenti tulajdonságú h-ra E

n X

h

i i Kc

M

i=1

E

A

+

Ac

p

!!

!

^1

m

" = E(

A)

+E

Ac

p

p

",

< 5" +

p

" < 5" +

amib½ol 1 X n=1

4.3.4.

2

n

sup jhj 1

(

E

n X

h

i i Kc

M

i=1

!!

n

!)

^1

" < 6":

A szemimartingál topológiában konvergens sorozat meghatározása

Most már rátérhetünk a szemimartingál topológiában konvergens sorozatok meghatározására. 62. Lemma. Létezik olyan Ln 2 conv H k ; k konvergál a szemimartingál topológiában.

n sorozat, amelyre az (Ln M )

Bizonyítás: Az el½oz½o lemma szerint minden n-hez létezik olyan cn szám, hogy tetsz½oleges ( 1 ; :::; m ) konvex súlyokra m X

i i Kcn

M

i=1

< S

Emlékeztetünk, hogy Kcnn $ H n 113

n cn ; 1

1 : n

(4.27)

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték és n cn

1. A

k cn

$ inf ft j j(H n M )t j

cn g :

megállási id½o de…níciója miatt Hk

0;

k cn

M

Hk

cn +

M

k cn

:

Mivel a H n S speciális szemimartingál, ezért a H n S kanonikus felbontása H n S = H n M + H n A: Mivel a 54. lemma szerint supn (H n S) = q < 1, ezért a ( (H n S))

2 (H n S)

egyenl½otlenség és a 56. lemma feltételei teljesülnek, így Hk

M

k cn

Hk

3

S

6

2

Hk

2

S 2

6 kqk2 ;

amit összevetve a fenti egyenl½otlenséggel, kapjuk, hogy Hk

0;

k cn

M

H2

cn + 6 kqk2 :

2. Legyen H $ b Hi2 , ahol b jelöli a (Hi2 ) Hilbert-terek küls½o Hilbert-összegét, i2N

amelyqmaga is Hilbert-tér52 . Tudjuk, hogy tetsz½oleges (Xi ) 2 H sorozat norP 2 k H sorozatot, amelynek n-edik komája i kXi kHi2 . Tekintsük azt az X ordinátája 1 Xnk $ n Hk 0; kcn M: 2 (cn + 6 kqk2 ) Az X k sorozat korlátos H-ban a H normája szerint. Mivel egy Hilbert-térben minden korlátos sorozatnak van gyengén konvergens részsorzata53 , ezért az általánosság megszorítása nélkül feltehet½o, hogy az X k sorozat a H szorzatban gyengén konvergál valamely X-hez. Mazur-tétele alapján létezik54 olyan Y k 2 conv X k ; X k+1 ; ::: sorozat, amelyik a H szorzat normájában konvergens. Ezért az Y k koordinátái H2 -ben konvergálnak, vagyis minden k esetén léteznek a k0 , 52

Ld.: [65]: 221. oldal. Ld.: [95]: 8.15 Tétel 54 Ld.: [87]: 3.13 Theorem 53

114

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték k 1,

...

k Nk

konvex súlyok, hogy az Ynk

Nk X

=

k k+j jH

k cn

0;

M

j=0

sorozat, minden n esetén konvergál H2 -ben. P k k k+j , akkor az Lk M sorozat Cauchy3. Lássuk be, hogy ha Lk $ N j=0 j H sorozat a szemimartingál-topológia szerint. Legyen adott egy " > 0 és legyen 1=N < " legyen. Ekkor tetsz½oleges k; l indexekre Lk

Ll M

M

YNk

YNl

$

S

k k+j jH

Nl X

M

Nk X

l l+j jH

M

j=0

j=0

+

S

Nk X

k k+j j KcN

M

Nl X

+

j=0

S l l+j j KcN

M

j=0

S

: S

A cN de…níciója és (4.27) miatt, az utóbbi két tag mindegyike kisebb mint ". Másrészt, felhasználva, hogy a sztochasztikus integrálok a nullában nulla értéket vesznek fel YNk YNl S $ $

1 X n=1

2

n

sup E K (0) YNk

YNl (0) + K

YNk

YNl

jKj 1

=

1 X

n

2

K

YNk

YNl

2

n

sup E

K

YNk

YNl

= sup E

K

YNk

YNl

K

YNk

YNl

^1

jKj 1

sup E

$

jKj 1

= sup K

^1 =

jKj 1

n=1

YNk

YNl

jKj 1

= sup K

sup 1

YNk

K

jKj 1

YNk

jKj 1

115

^1

n

jKj 1

n=1

1 X

sup E

^1 =

n

YNl

H2

:

YNl

= 2

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Ez utolsó kifejezés az Itô-izometriával sup jKj 1

s

E(

Z

1

K 2d

YNk

YNl

q E( YNk

)

0

YNk

=

YNl (1)) =

YNl

;

H2

vagyis YNk

YNl

2 YNk

S

YNl

H2

:

Az Ynk minden n-re, így N -re is konvergál a H2 -ben, ezért elég nagy k-ra és l-re az YNk YNl S is kisebb mint ": Ezzel a lemmát beláttuk. 63. Lemma. Az el½oz½o lemmában de…niált Lk sorozatra teljesül, hogy az Lk sorozat konvergens a szemimartingál topológiában.

A

Bizonyítás: A szemimartingál topológiát jellemz½o 15. tétel miatt elegend½o megmutatni, hogy minden t-re a sztochasztikus konvergenciában Lk

K egyenletesen a jKj

Lm

A

t

!0

1 folyamatokon.

1. A K

Lk

Lm

jKj Var

Lk

A

Var K

Lm

A

Lk

Var

Lk

Lm

A

Lm

=

A

egyenl½otlenségek miatt elegend½o belátni, hogy Var Lk Lm A (1) ! 0 sztochasztikusan, amint k; m ! 1. Tegyük fel hogy ez nem teljesül, vagyis léteznek az (ik ; jk ) növekv½o, egész érték½u sorozatok, és egy > 0 szám, hogy P Var

L ik

Ljk

A (1) >

> :

A korlátos változású folyamatok Hahn-felbontása alapján létezik egy hk , f+1; 1gbeli értékeket felvev½o el½orejelezhet½o folyamat, amelyre Var

Lik

Ljk

A = hk

116

L ik

Ljk

A :

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték De…niáljuk az Rk integrandust a következ½oképpen: 1 1 + hk 2

Rk $ Ljk +

L ik

Ljk =

1 ik L + Ljk + hk Lik 2

L jk

:

A hk konstrukciója miatt az Rk

Lik

A=

1 2

hk

1

Lik

Ljk

A

Rk

Ljk

A=

1 2

hk + 1

Lik

L jk

A

(4.28)

folyamatok növekv½oek, és Var

L ik

Ljk

A (1) =

Rk

L ik

L ik

A (1) >

Rk

A (1) +

Ljk

A (1) :

Feltehet½o, hogy minden k-ra Rk

P

2

>

2

(4.29)

;

ugyanis a relációnak vagy az ik -val vagy a jk -val végtelen sokszor teljesülni kell, így ha szükséges az ik és a jk indexeket felcseréljük. 2. Lássuk be, hogy Rk Lik M sztochasztikusan 0-hoz tart. Tegyük fel hogy az állításunkkal ellentétben, valamely -ra végtelen sok k indexre P

Rk

Lik

M

>

> :

Legyen $ inf t j

Rk

L ik

M (t) >

:

Az indirekt feltevés miatt P ( < 1) > , ezért létezik egy s szám, hogy P ( < s) > =2: Ekkor felhasználva az (4.28) els½o sorát azt kapjuk, hogy egy =2-nél nagyobb valószín½uség½u halmazon végtelen sok k-ra Rk =

1 2

L ik

M ( ^ s) =

([0; ]) hk

1

117

Lik

Rk L jk

L ik

M

(s) =

M (s) :

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Ez azonban ellentmondás, hiszen a 1 ([0; ]) hk 2

K$

1

el½orejelezhet½o folyamatra jKj 1, és el½oz½o lemmánk alapján (Lik Ljk ) M ! 0 a szemimartingál topológiában, ezért a 15. tétel alapján a sztochasztikus konvergenciában K Lik Ljk M (s) ! 0: Rk

Nyilván hasonló állítás teljesül

L jk

M -ra is.

3. Legyen ( k ) egy pozitív számokból álló nullához konvergáló sorozat. Az általánosság megszorítása nélkül feltehet½o, hogy minden k-ra P

Rk

L ik

Rk

M

>

k

vagy

$ inf t j Rk

M

t

< max

Ljk

M

>

<

k

(4.30)

k:

Legyen k

Af

k

Lik

M

; Ljk

t

M

t

k

:

< 1g halmazon létezik t, amelyre Rk

M

t

Lik

< max

M

t

; Ljk

vagyis vagy Rk M t < (Lik M )t k ; vagy Rk Kicsit másképpen: vagy Rk Lik M t < Rk Lik M > k , vagy k , amib½ol vagy viszont a (4.30) sor miatt P ( k < 1) < k :

M

k;

t

M t < (Ljk M )t R k L jk k ; vagy Rk Ljk M >

teljesül. M t < k : Ebb½ol

k

ek $ Rk ([0; k ]). Lássuk be hogy az R ek integrandus (1 + k )-megen4. Legyen R gedett. El½oször tegyük fel, hogy t < k . Az Rk Lik A és az Rk Ljk A folyamatok növekv½oek és a 0-ban 0 értéket vesznek fel, így mindkét folyamat nem negatív, ezért ek R

= Rk

S t

max

Lik

S

t

= Rk

A t ; Ljk

118

A

A t + Rk t

+ Rk

M M

t

t

:

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték A

k

de…níciója miatt Rk

M

Lik

max

t

M

t

; Ljk

M

k:

t

Ezt a fenti egyenl½otlenséggel összevetve, kihasználva hogy az Lik és az Ljk 1-megengedett: ek S R t

max

L

ik

A t; L

max

jk

A

+ max

t

S t ; Ljk

Lik

S

L ik

M

t

k

t

; L jk 1

M

k

t

k:

Másodszor tegyük fel hogy t = k . Az Rk konstrukciója miatt a Rk S vagy a (Lik S), vagy a (Ljk S) ugrással egyezik meg. Az általánosság megszorítása nélkül feltehet½o, hogy = ( (Lik S)) k : Elemi számolással Rk S k

ek R

max

ek S ( k) = R

L ik

S ; Ljk

Lik

S (

S

=

1 1+

k

ek R

k

Lik

ek R

S

( k) =

S ( k)

Lik

S

S

( k)

k:

ek = (1 + így az R

k

+

L ik

1

változó (Lik

S

ek R

Lik k

k)

folyamat 1-megenge-

S)1 -t½ol való eltérését. Ehhez

!

=

1

k

S 1

1

+

1

Lik

A

k

+

k )-megengedett,

ek R 1+ 1 1+

)

k

k

)+

k

S ( k)

ek = (1 + k ) S 5. Becsüljük az R tekintsük a következ½o felbontást:

=

(

)

k

= L ik ek valóban (1 + Vagyis R dett.

S (

ek R

119

1+ L ik

Lik k

S

1

=

k

M 1

1+

L ik k

S

1

:

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Az utolsó tag nyilván nullához tart. Figyelembe véve (4.29) sort, és a P ( k egyenl½otlenséget, az els½o tagra, elég nagy k-ra ek R

P

L ik

A

>

2

1

Továbbá tudjuk, hogy az Rk Lik hogy ek lim inf R k!1

>

4

k

< 1) <

:

A nem negatív érték½u, amib½ol következik Lik

A

(4.31)

0: 1

Ha ugyanis egy pozitív mérték½u halmazon a határérték negatív lenne, akkor elég nagy k-ra a P ( k < 1) < k < miatt ellentmondást kapnánk, hiszen csak egy legfeljebb k valószín½uség½u halmazon teljesülhet, hogy a határérték negatív. Végezetül becsüljük meg a második tagot. Triviálisan a f k = 1g halmazon Rk = ek . Miként láttuk az Rk Lik M sztochasztikusan tart 0-hoz, következésR képpen a P ( k < 1) < k ! 0 miatt, ek R

L ik

ek R

Lik

P

! 0:

M

Az általánosság megszorítása nélkül feltehet½o, hogy ez a konvergencia majdnem mindenhol értelemben is teljesül, ezért m:m:

! 0:

M 1

(4.32)

6. A 32. kompaktsági lemma alapján létezik a n ek V k 2 conv R

o Lik+1 ; :::

ek+1 Lik ; R

m:m:

sorozat, hogy a V k S 1 ! g, és (4.31) valamint (4.32) miatt g használva (4.30) sort, elég nagy k-ra: P P

ek R

L ik

A

ek R

Lik

S

>

2

k

ek R

L ik

1

>

1

>

2 4

P k

120

>

8

:

M

< 1

0: Fel-

k

> (4.33)

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Ismét (4.31) és (4.32) sorokból következik, hogy ek R

L ik

ek R

Lik

lim inf k!1

amib½ol lim sup k!1

vagyis lim

k!1

ek R

S

0; 1

S

0; 1

Lik

S

= 0: 1

Jegorov-tétele miatt alkalmas C 2 F halmazon C V k S 1 tart egyenletesen C g-hez a C halmazon, ahol P ( n C) < 16 . Ekkor a 32. kompaktsági lemek Lik mát a C R S sorozatra alkalmazva a V k -ban szerepl½o súlyok nyil1 ván most is megfelel½oek lesznek, és az egyenletes konvergencia miatt a lemmában a-értékét tetsz½olegesen kicsire választhatjuk, ezért (4.33) sort is …gyelembe véve m:m: kapjuk, hogy P (g > 0) > 0. Ekkor viszont, mivel (Lik S)1 ! f0 , és mivel az 1+1 k -sorozattal való szorzás nem változtatja meg a határértéket, ezért a fenti súlyok egyúttal egy olyan U k 2 conv

(

) ek ek+1 R R ; ; ::: 1 + k 1 + k+1

1-megengedett integrandust adnak, melyre az lim U k

k!1

S

1

= g + f0

f0

is teljesül, és az egyenl½otlenség egy pozitív mérték½u halmazon pozitív, ami ellentmond az f0 maximalitásának.

4.4.

Az alaptétel többdimenziós szemimartingál modellek esetén

Delbaen és Schachermayer [23]-ben – lényegesen eltér½o megközelítést alkalmazva –bebizonyították, hogy az alaptétel kiterjeszthet½o a nem feltétlenül lokálisan korlátos esetre is. Ebben az esetben azonban a NFLVR az ekvivalens -martingál-

121

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték mérték létezésével ekvivalens. Egy X folyamat -martingál, ha létezik egy M lokális martingál, és egy M -integrálható H folyamat, hogy X = X0 + H M . Az eredeti 94-es cikk gondolatmenetét használva, Kabanov [57] új bizonyítást adott az alaptétel nem feltétlenül korlátos esetére, megmutatva, hogy a gyenge-csillag zártság ekkor is teljesül. Ez a tény mint látni fogjuk, a portfolióválasztás duális megközelítésében is fontos szerepet játszik. Delbaen és Schachermayer itt tárgyalt bizonyításában, az eredeti cikkel összhangban, csak egydimenziós részvényár folyamatokkal foglalkoztunk. A szerz½ok megjegyzik, hogy az általuk adott bizonyítás minden nehézség nélkül általánosítható több dimenziós folyamatokra. Nem világos azonban, hogy ebben az esetben mit értünk több dimenziós sztochasztikus integrál alatt. Vajon a kereskedési stratégia nyereményét de…niálhatjuk-e úgy, hogy komponensenként (eszközönként) vesszük az integrált, és aztán az így kapott sztochasztikus integrálokat összeadjuk? A legtöbb Wiener-folyamatokra épül½o alkalmazásban ez megtehet½o, és nem jelent megszorítást. Azonban Cherny [11]-ben megmutatta, hogy általánosságban ez az út nem járható, és az alaptétel bizonyítása ilyen módon nem vihet½o át több dimenziós folyamatokra. Általános esetben szükség van az ún. sztochasztikus vektorintegrál fogalmára. Annak érdekében tehát, hogy megértsük mit is jelent az arbitrázsmentesség megkötése többdimenziós folyamatok esetén érdemes tisztázni, mit is értünk sztochasztikus vektorintegrál alatt. A vektor sztochasztikus integrál els½o de…níciója J. Jacod-tól származik ([51]). Az általunk alább vázlatosan ismertetett konstrukciót [12]-ból vettük. Induljunk ki abból, hogy már de…niáltuk a valós érték½u (nem feltétlenül lokálisan korlátos) szemimartingálok kvadratikus kovariációját (ld. [75]). Tetsz½oleges M d-dimenziós lokális martingál esetén az i-edik és a j-edik koordináta [M i ; M j ] kvadratikus kovariációja egy korlátos változású folyamat, ezért létezik egy adaptált növekv½o korlátos változású C folyamat, és minden i; j-re létezik egy kockázatos ij folyamat, hogy i

j

[M ; M ]t =

Z

ij

dC

[0;t]

(ld.: [51] Proposition 3.13.). Könnyen megmutatható, hogy ij megválasztható úgy, hogy minden (!; t) esetén ij (!; t) szimmetrikus pozitív de…nit mátrix. Jelöljük

122

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték L1 (M )-el azon el½orejelezhet½o d-dimenziós H folyamatokat, melyekre a 20 Z X 6B 6 E 4@ ( Hi [0;t]

i;j d

11=2 3 C 7 ij j H )dC A 7 5

kifejezéssel de…niált norma véges. Ekvivalenciaosztályokra áttérve a fenti függvény norma L1 (M )-en, nem függ C és ij megválasztásától, és belátható hogy az L1 (M )beli egyszer½u integrandusok halmaza s½ur½u L1 (M )-ben, vagyis teljesül az alábbi állítás. 64. Állítás. Az L1 (M )-téren értelmezett 00

B kHkL1 (M ) = E @@

Z1 X 0

i;j d

1 21 1 C H i ij H j dC A A

függvény egy normát de…niál, és az L1 (M )-beli egyszer½u integrandusok halmaza s½ur½u L1 (M )-ben. Bizonyítás: A norma axiómák közül elegend½o a háromszög egyenl½otlenséget igazolni. Ehhez lássuk be a következ½o egyenl½otlenséget: X

i

+

i

ij

j

+

j

i;j d

0 @

X

i ij

i;j d

j

! 21

+

X

i ij j

i;j d

! 21 12

A :

(4.34)

Ezt a következ½o képpen láthatjuk be. Emeljük négyzetre az egyenl½otlenség mindkét oldalát, majd használjuk fel, hogy egy A(a; b) szimmetrikus bilineáris alak pontosan akkor szemide…nit, ha minden a, és b vektorra (A(a; b))2 A(a; a)A(b; b); (ld.: [37]) Ekkor tehát minden L1 (M )-beli H és K integrandusra, 00

B E @@

Z1 X 0

Hi + Ki

ij

i;j d

123

Hj + Kj

1 21 1 C dC A A

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték 0

0 Z1 X B @ @ EB Hi @ 0

ij

i;j d

0

H

j

! 21

+

Z1 X 0

Ki

ij

Kj

i;j d

! 12 12

1 12

1

C A dC A C A

Ez utóbbi kifejezés a Hölder egyenl½otlenség segítségével felülr½ol becsülhet½o a következ½o kifejezéssel. 00

B E @@

Z1 X 0

i;j d

00 1 12 1 Z1 X C B i ij j Ki H H dC A A + E @@ 0

1 21 1 C ij j K dC A A :

i;j d

Lássuk be hogy a szóbanforgó halmaz valóban s½ur½u L1 (M )-ben. Legyen olyan lokalizációs sorozat, hogy minden i-re 00 Zn B@ E@ 0

1 21 1 C ii dC A A 2 A+ : 1

Mivel M i lokális martingál, ezért [M i ] 2 2 A+ loc ezért ilyen Jelöljük M-el a következ½o halmazt: n]

:

Lássuk be, hogy M halmaz -rendszer55 . 1. Ahhoz hogy [0; n ] 2 M, elegend½o belátni, hogy randus L1 (M )-beli. Nyilván Z1 X 0

i

([0;

n ])

ij j

([0;

n ])dC

i;j d

=

([0;

Zn X 0

sorozat létezik.

n

(D) közelíthet½o L1 (M )-beli, [0; o tartójú egyszer½u integrandusokkal kkL1 (M ) -szerint D 2 P\ [0;

n

n ] -beli

n ])

egyszer½u integ-

i ij j

dC

0

1 21 1 C ii dC A A < 1

i;j d

, ezért 4.34egyenl½otlenség felhasználásával,

k 55

([0;

n ])kL1 (M )

00

B E @@

Ld.: [73]: 2.33 De…níció

Z nX d 0

i=1

1 21 1 C ii dC A A

124

0

B E@

d X i=1

@

Zn 0

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték 2. Legyenek A és B M-beli halmazok, melyekre A B teljesül. Legyenek L1 (M ) L1 (M ) Hn ! (A) és Kn ! (B) [0; n ]-beli tartójú egyszer½u integrandussorozatok. Ekkor k

(BnA)

(Kn k

Hn )kL1 (M ) = k

(B)

(A)

Kn kL1 (M ) + kHn

(B)

ezért elegend½o belátni hogy Kn Hn is [0; Elegend½o annyit belátni, hogy ha I = s0 (t = 0) +

m X

Hn )kL1 (M )

(A)kL1 (M ) ;

n ]-beli

si (

(Kn

i

tartójú egyszer½u integrandus.


i+1 )

k=1

egy tetsz½oleges egyszer½u integrandus, és J egy h ( < t) alakú egyszer½u integrandus, ahol egy tetsz½oleges megállási id½o, akkor I + J is egyszer½u integrandus. Az egyszer½u integrandusokban szerepl½o megállási id½ok számának növelésével hozzuk olyan alakra a két integrandust, hogy pontosan ugyanazok a megállási id½ok szerepeljenek bennük. Egy alkalmas növekv½o megállási id½o sorozat a következ½o: ( 2^ )_ 1 ( 3^ )_ 2 ::: Jelöljük ezt a megállási 1 ^ 1 2 id½o sorozatot i -vel. Pl. J esetében az alkalmas F i -mérhet½o fi függvénysorozat a legyen fi = limn !1 J i + 1 . Mivel minden egyszer½u integrandus progresszíven n mérhet½o, ezért J i + 1 megállított változó F i + 1 -mérhet½o56 , amib½ol következik, hogy n n T T fi F i + 1 mérhet½o. Ekkor mivel F i + 1 = F i + ,57 a …ltráció jobbról való n

n

n

n

58

folytonosságából következik , hogy fi F i -mérhet½o. Az I integrandust is hasonló alakra hozva, a két integrandus összege nyílván egyszer½u integrandus lesz. 3.Legyenek Ak % A ahol minden k-ra Ak 2 M. Lássuk be, hogy A 2 M. Legyen Ck = A n Ak . Nyilván elegend½o belátni, hogy minden 2 Rd esetén k (Ck )kL1 (M ) ! 0. Felhasználva hogy Ck halmaz [0; n ]-beli. k 56

0

(Ck )kL1 (M ) = E @

Z

0

1

X

i;j d

Ld.: [73]: 1.35 proposition Ld.: [74]: 21.oldal 58 Ld.: [74]: 21.oldal 57

125

i

(Ck )

ij j

(Ck )dC

! 21 1 A

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték 0

Z

E@

n

0

X

i

(Ck )

ij j

(Ck )dC

i;j d

! 21 1 A

Ismét felhasználva 4.34 egyenl½otlenséget, kapjuk, hogy

k

(Ck )kL1 (M )

0

E@

ezért a

Z

n

0

Z

0

1

d X i=1

X

! 21 1 ii dC A i

(Ck )

ij j

E

Z d X i=1

0

1 2

n

ii

dC

!

< 1;

(Ck )dC

i;j d

kifejezés majdnem biztosan véges, így a Lebesgue-féle domináns konvergencia-tétel alapján k (Ck )kL1 (M ) ! 0. Nyilván M tartalmazza a B ((s; t] \ [0; n ]) és F f0g halmazokat, ahol B 2 Fs , és F 2 F0 . Ekkor tehát Dynkin tételéb½ol59 következik, hogy M =P\ [0; n ]. Egyszer½u integrandusra a szokásosan de…niált és komponensenként vett sztochasztikus integrálról a Davis-egyenl½otlenség segítségével könnyen belátható hogy H1 -beli, és adott L1 (M )-beli integrandus esetén az azt L1 (M )-ben a fenti norma szerint közelít½o egyszer½u integrandus sorozat sztochasztikus integrál sorozata H1 ben konvergál, és így egyértelm½uen meghatároz egy sztochasztikus folyamatot. Az ily módon d-dimenziós lokális martingál szerinti integrálra adott de…níció nyílván független a választott egyszer½u integrandus sorozattól, és könnyedén kiterjeszthet½o szemimartingálra is. Vegyük észre, hogy abban az esetben, amikor a többdimenziós W integrátorfolyamat független Wiener-folyamatokból áll, akkor az L1 (W ) de…niálásához használt kvadratikus kovariáció-folyamatok azonosan nullák, ezért fent de…niált vektorintegrál fogalom nem lesz általánosabb, mint a közönséges komponensenként vett integrál, így természetesen ebben az esetben a Mémin-tétel a komponensenkénti integrálra is teljesül. Az általános esetben a vektorintegrál fogalma a komponensenkénti integrál fogalmának kiterjesztése az integrandusok egy b½ovebb osztályára. Ennélfogva komponensenkénti integrál helyett vektorintegrált alkalmazva az arbitrázsmentességnek egy er½osebb fogalmához jutunk. Cherny ugyancsak [11]-ben bemutat egy olyan többdimenziós lokálisan korlátos szemimartingált, amire teljesül a „komponensenkénti”N F LV R feltétel, mégsem létezik hozzá ekvivalens -martingál-mérték, bizonyítva ezzel, hogy a sztochasztikus vek59

Ld.: [73]: 2.34 Állítás

126

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték torintegrál fogalma a pénzügyi matematikában valóban fontos szerepet játszik.

127

5. fejezet Martingálmérték és optimális portfóliók A martingálmérték fogalma nem csak a derivatív eszközök árazásában, de a nemteljes piacokon való portfolió optimalizálásban is fontos szerepet játszik. Ismert, hogy a nem Markov-típusú di¤úziós folyamatok esetén a portfolió optimalizálás dinamikus programozási módszerei nem m½uködnek, ezért a 80-as évek közepét½ol, többek között Pliska [79], Karatzas et al. [61] valamint Cox és Huang [15] kidolgozták a portfolió optimalizálás ún. dualitási módszerét. A módszer lényege röviden a következ½oképpen írható le. A dinamikus portfolió választási problémát két részre bontjuk. Els½o lépésben a dinamikus optimalizálási problémát átalakítjuk egy statikus variációs problémává, ami egy martingálmértékekb½ol álló halmazon való minimalizálást jelent. Ez utóbbit dualitási technikák segítségével megoldva megkapjuk az utolsó periódusbeli optimális vagyont, majd ebb½ol a martingál reprezentációs tétel segítségével meghatározzuk a kereskedési stratégiát. Ezen dualitási technikákat vizsgálja F. Bellini és M. Frittelli [7] cikke, melyben a szerz½ok egy általános dualitási tételt bizonyítanak. A továbbiakban Bellini és Frittelli eredményéb½ol kiindulva [38], [40] és [62] alapján teljes bizonyítását közöljük az alaptétel Frittelli féle alakjának, valamint bemutatjuk az arbitrázsmentességi fogalmak preferenciákkal történ½o karakterizációját.

128

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték

5.1.

A portfolió választás duális megközelítése véges dimenzió esetén

5.1.1.

A haszonmaximalizációs probléma

A matematikai optimalizálás és a közgazdaságtan dualitási tételei általában azon az elven alapulnak, hogy egy zárt konvex halmaz kétféleképpen írható le. Vagy magával a konvex halmaz pontjaival, vagy a támaszhipersíkjai segítségével. Egy konkáv f függvény gráfja alatti terület konvex halmaz, ezért ennek egy duális leírásához jutunk oly módon, hogy minden egyes x meredekség½u egyenesre meghatározzuk azt az m paramétert, melyre a gm (x) = xx m függvény gráfja, vagyis az y = xx m egyenlet½u egyenes éppen „érinti” a konkáv f függvény gráfját. Ez az m érték nyilván megegyezik azzal a minimális m számmal, melyre az y = xx m f (x) függvény nem pozitív értéket is felvesz, vagyis melyre inf fxx

x2R

m

f (x)g = inf fxx x2R

f (x)g

m

0:

Ez az m érték nyilván az inf x2R fxx f (x)g értékkel egyezik meg. Jelöljük a továbbiakban u -gal, azt az R [ f 1g halmazba képez½o függvényt, melyre u (x ) = inf fxx x2R

u(x)g ; x 2 R:

A fenti megfontolások alapján tehát ez az u függvény az u konkáv függvény egyfajta duális leírásának felel meg. Ezt az u függvényt szokás az u függvény konkáv konjugáltjának is nevezni. Egyenl½ore tegyük fel, hogy az id½oparaméter diszkrét és a -algebra végesen generált. Ebben az esetben az el½orejelezhet½o H kereskedési stratégiákról nem kell feltételeznünk hogy azok megengedettek, ez automatikusan teljesülni fog. Tegyük fel hogy az u hasznossági függvényre teljesül, hogy u0 (1) = 0 és u0 ( 1) = 1: A befektet½o haszonmaximalizációs problémája a következ½o: UP;K (w0 ) $ max EP [u(f )] : f 2w0 +K

129

(5.1)

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték

y gm

f

m

x

5.1. ábra. Konkáv függvény duális leírása Tegyük fel, hogy a maximumproblémának létezik megoldása. Könnyen belátható, hogy a fenti maximumprobléma ekvivalens a (5.2)

max EP [u(f )] EQ [f ]

w0 ; Q 2 M

problémával1 , ahol M-mel a P-re nézve abszolút folytonos martingálmértékek halmazát jelöljük, és így UP;K (w0 ) = max fEP [u(f )] j EQ [f ]

w0 ; Q 2 Mg

(5.3)

A véges dimenziós eszközárazásban járatos olvasó könnyen beláthatja, hogy az 1

Ld.: pl. [24].

130

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték M halmaz zárt, korlátos, poliedrikus halmaz, ezért azonos a fQ1 ; Q2 ; :::QM g extrémális pontjainak konvex burkával, ezért a fenti probléma korlátjai között elegend½o ezen extrémális pontokhoz tartozó korlátokat szerepeltetni, ily módon egy véges számú korlátot tartalmazó optimumproblémához jutunk. Jelöljük R(w0 )-al az ff j EQm [f ] w0 ; Qm 2 fQ1 ; Q2 ; :::QM gg halmazt. Ekkor tehát az eredeti (5.1) maximumprobléma és a (5.4)

max EP [u(f )] :

f 2R(w0 )

maximumprobléma megoldása ugyanaz az fb vektor és

UP;K (w0 ) $ max EP [u(f )] = max EP [u(f )] : f 2w0 +K

f 2R(w0 )

(5.5)

Az eredeti portfolióválasztási problémára a fenti eljárás akkor is alkalmazható, ha a befektet½o hasznossága nem csak a periódus végi vagyontól, hanem az egyes periódusbeli fogyasztásaitól is függ. Ekkor az eredeti portfolióválasztási probléma egy dinamikus optimalizálási feladat megoldását jelenti, ami a fenti eljárással egy statikus feltételes optimalizálási feladattá alakítható, ami sok esetben az eredeti problémánál egyszer½ubben megoldható. (ld.: He - Pearson [46]). Általános algebra esetén azonban a fenti eljárás nem m½uködik, ekkor a statikussá alakított széls½oértékprobléma korlátainak száma végtelen marad.

5.1.2.

A minimaxmérték

Felmerül tehát a kérdés, hogy általános körülmények között esetleg létezik-e egy b 2 M; amely ahhoz hasonló módon helyettesíti a többi martingálmérkitüntetett Q téket, ahogy a véges dimenziós esetben az M extrémális pontjai helyettesítik az M halmazt. Ez motiválja az ún. minimaxmérték fogalmát. b 2 M mértékre teljesül, hogy 65. De…níció. Ha valamely Q n b P) $ max EP [u(f )] j E b [f ] U (w0 ; Q; Q 131

w0

o

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték probléma megoldása megegyezik a max EP [u(f )]

f 2w0 +K

maximumprobléma megoldásával, akkor ezt a mértéket minimaxmértéknek nevezzük. A minimax mértékre nyilván teljesül hogy n

max EP [u(f )] = max EP [u(f )] j EQ b [f ]

f 2w0 +K

o

w0 :

(5.6)

Ha a feltételekb½ol néhányat elhagyunk, akkor a maximum értéke n½o, ezért (5.3) alapján minden Q 2 M esetén UP;K (w0 ) U (w0 ; Q; P), következésképpen UP;K (w0 )

inf U (w0 ; Q; P);

Q2M

b 2 M létezik, akkor így ha a kitüntetett Q

UP;K (w0 ) $ max EP [u(f )] = min U (w0 ; Q; P); Q2M

f 2w0 +K

ami megmagyarázza a minimaxmérték elnevezést (ld.: [47]). Kés½obb jóval általánosabb körülmények között megmutatjuk, hogy a minimax mérték valóban létezik, el½oször azonban megmutatjuk, hogy véges dimenziós esetben a minimax mérték hogyan használható fel az eredeti probléma megoldására. Hangsúlyozzuk azonban, véges dimenziós esetben a minimax mértékre nincs szükség, az alábbi számítások célja az, hogy minél egyszer½ubb példán illusztráljuk a minimax mérték fogalmát és bemutassuk azokat a dualitási technikákat, amelyek általános esetben a martingál módszer alkalmazását lehet½ové teszik.

5.1.3.

Lagrange-dualitás

Legyen f egy n-változós valós érték½u, és g = (g1 ; :::gm ) n-változós Rm -beli érték½u függvények. Ismeretes, hogy a sup f (x) (5.7) gj (x) 0 j=1;::;m

feltételes maximumprobléma Lagrange-duálisa az 132

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték

inf

u 0

probléma, ahol

(u)

(

m X

(u) $ sup f (x) x

)

uj gj (x) ;

j=1

valamint –(5.7)-ben vektor jelölés rendszert alkalmazva teljesül az alábbi állítás. (ld.:[6]) 66. Tétel (Gyenge dualitási tétel). Ha f egy n-változós valós érték½u, és g = (g1 ; :::gm ) n-változós Rm -beli érték½u függvények, akkor sup f (x)

inf

(u):

u 0

g(x) 0

Továbbá alkalmas konvexitási feltételek esetén a fenti reláció egyenl½oségre teljesül, vagyis igaz az alábbi állítás. b-re gj (b 67. Tétel (Er½os dualitási tétel). Ha f konkáv, g konvex és valamely x x) < 0, j = 1; ::; m, akkor nincs dualitási rés, vagyis sup f (x) = inf g(x) 0

u 0

(

(u) $ inf sup f (x) u 0

x

m X j=1

)

uj gj (x) ;

valamint ha a baloldalon szerepl½o szuprémum véges, akkor a jobboldali in…mum b 0 helyen. Ha továbbá a szuprémum felvétetik egy x b helyen, felvétetik valamely u T b g(b akkor u x) = 0. Legyen

(x) $ inf

u 0

(

m X

f (x)

)

uj gj (x) :

j=1

Érdemes megjegyezni, hogy általánosan teljesül a sup f (x) = sup (x) $ sup inf

g(x) 0

x

x

u 0

(

f (x)

m X j=1

)

uj gj (x) ;

(5.8)

azonosság. Ugyanis ha valamely j-re gj (x) > 0, akkor a bels½o in…mum 1, különben pedig ez az in…mum éppen f (x), vagyis az f (x) feltételes maximuma 133

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték megegyezik a megengedett halmazon kívül 1 értéket felvev½o függvény feltétel nélküli maximumával. Mindebb½ol következik, hogy az er½os dualitási tétel valójában a fenti szuprémum és in…mum felcserélhet½oségének a feltételeit adja meg. A felcserélhet½oség egy új kritériumához juthatunk a nyeregpont fogalmának felhasználásával. b ) párt az 68. De…níció. Valamely (b x; u

L(x; u) = f (x)

m X

uj gj (x)

j=1

Lagrange-függvény nyeregpontjának nevezünk, ha minden x 2 Rn és u 2Rm + esetén b) L(x; u

b) L(b x; u

L(b x; u).

A továbbiakban szükségünk lesz az alábbi állításra. b ) pár pontosan akkor nyeregpontja a Lagrange-függvénynek, 69. Tétel. Az (b x; u b optimális megoldása a primál problémának, u b pedig a Lagrange-duálisnak, és ha x nincs dualitási rés. Most alkalmazzuk a Lagrange-dualitásra vonatkozó eredményeinket az eredeti maximumproblémára. Jelöljük az egyes kimenetelek P szerinti valószín½uségeit pn nel, a fenti fQ1 ; :::QM g

halmaz egy Qm vektorának elemeit pedig qnm -nel. Ekkor a befektet½o maximumproblémája a következ½o: N X max pn u(fn ) (f1 ;:::f2 )

ahol

N X

qnm fn

w0

n=1

n=1

0; Qm 2 fQ1 ; Q2 ; :::QM g :

A fenti maximumprobléma Lagrange-függvénye L(f1 ; :::f2 ;

1 ; ::: M )

= =

N X n=1 N X

pn u(fn )

M P

m

m=1

pn u(fn )

M P

m=1

n=1

134

N X

qnm fn

w0

n=1

m m qn f n

pn

+

M X

m=1

! m w0 ;

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték ahol m 2 R+ , és legyen (fb1 ; :::fbN ) vektor az eredeti maximumprobléma megoldása. Vezessük be a következ½o jelöléseket. Legyen y = 1 + ::: + M és m = ym , = ( 1 ; ::: M ) valamint M X Q= (5.9) m Qm : m=1

Vegyük észre, hogy ezáltal a RM M-re történ½o ráképezését + halmaznak R+ de…niáltuk. Ezekkel a jelölésekkel a fenti Lagrange-függvény az alábbi alakba írható: L(f1 ; :::fN ; y; Q) = =

N X

n=1 N X

yqn fn pn

pn u(fn ) pn u(fn )

y

N P

+ yw0

qn f n

(5.10)

w0 :

n=1

n=1

b történetesen egy rögzített minimax-mérték, Vegyük észre, hogy amennyiben a Q b függvény éppen (5.6) jobboldalán álló maximumprobléma akkor a L(f1 ; :::fN ; y; Q) Lagrange függvénye. Mindebb½ol az következik, hogy amennyiben a minimaxmérték létezik, akkor az el½obb említett leképezés miatt az éppen a fQ1 ; :::QM g elemeinek, az (5.4) maximumprobléma Kuhn–Tucker-együtthatóival képzett súlyozott átlaga. De…niáljuk a és függvényeket a következ½oképpen: (y; Q) $ sup L(f1 ; :::fN ; y; Q): f1 ;:::fN

és (f1 ; :::fN ) $

inf

y 0; Q2M

L(f1 ; :::fN ; y; Q):

Ekkor, mivel közömbös hogy a R+ M avagy RM + halmazon maximalizálunk, ezért az (5.4) maximumprobléma Lagrange-duálisa az inf

(5.11)

(y; Q)

y 0; Q2M

probléma. Megjegyezzük, hogy a gyenge dualitási tétel alapján sup f1 ;:::fN

(f1 ; :::fN )

inf

y 0; Q2M

135

(y; Q):

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Az (5.8) sor alapján nyilván UP;K (w0 ) = sup

(f1 ; :::fN ):

f1 ;:::fN

Az er½os dualitási tételb½ol következik, hogy nincs dualitási rés, vagyis UP;K (w0 ) =

inf

y 0; Q2M

(y; Q);

b Megjegyezzük, hogy ekkor, fb-el jelölve és létezik a (y; Q)-t minimalizáló yb és Q. b nyeregpontja az az eredeti probléma megoldását, (fb; yb; Q) L(f1 ; :::fN ; y; Q)

Lagrange-függvénynek, és egyúttal (fb; yb) nyeregpontja a

(5.12)

max EP [u(f )]

EQ b [f ] w0

maximumprobléma b L(f1 ; :::fN ; y; Q)

Lagrange-függvénynek. Ebb½ol pedig következik, hogy fb optimális megoldása (5.12)b minimaxmérték. nek, vagyis Q Jelöljük u -gal az u függvény konjugáltját, ekkor u ( ) = sup [u( ) Ekkor (y; Q) =

N X n=1

pn u (

yqn ) + yw0 ; pn

]:

y

0; Q 2 M:

A konjugált függvények elemi tulajdonságai alapján u szigorúan konvex. Rögzített y esetén az N X yqn ) inf pn u ( Q2M pn n=1 minimum problémának a u szigorú konkavitása és M kompakt volta miatt egyérb telm½uen létezik megoldása, ezt jelöljük Q(y)-nal. Az u hasznossági függvényre b tett megkötésekb½ol könnyen levezethet½o, hogy Q(y) 2 M \ P. Ezzel beláttuk hogy 136

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték b Q(y) olyan minimax-mérték, amely egyúttal martingál mérték is.

5.2.

A portfolióválasztás duális megközelítése végtelen dimenzió esetén

5.2.1.

A C kúp és a martingálmértékek halmaza közti duális kapcsolat

Korábban már láttuk, hogy a funkcionálanalízis dualitási tételei hatékonyan alkalmazhatóak a martingálmérték létezésének bizonyításában. Ebben a szakaszban az eddigieknél világosabban rámutatunk, milyen duális kapcsolat van a C kúp és az abszolút folytonos martingálmértékek halmaza között. A továbbiakban a feltételes követelések terének az L1 teret választjuk, ezért az árazófunkcionál az L1 tér L1 duálisának2 lesz eleme, vagyis szembe kell néznünk azzal a kellemetlenséggel, hogy az L1 térnek az L1 tér nem a duálisa. A dualitási technika alkalmazásához tehát be kell vezetnünk az L1 tér L1 duálisát. Jelölje P a P-vel ekvivalens valószín½uségi mértékek halmazát, és jelöljük a továbbiakban ba( ; F; P)-vel a P-re nézve abszolút folytonos3 F-en értelmezett korlátos additív halmazfüggvények halmazát. Vegyük észre, hogy a ba tér fenti de…níciója független a P 2 P megválasztásától. Tetsz½oleges 2 ba( ; F; P) esetén jelölje k k a mérték totális variációját, vagyis legyen k k = sup

n X i=1

j (Ei )j ;

ahol az fEi g halmazrendszer végigfutja F valamennyi diszjunkt véges sok elemb½ol álló részhalmazát. Ismert, hogy a ba( ; F; P) tér a fenti normával Banach-tér, és tetsz½oleges 2 ba( ; F; P) esetén az L1 ( ; F; P) halmazon értelmezett w!

Z

wd

leképezés az L1 egy folytonos lineáris funkcionálját de…niálja, valamint hogy a ba( ; F; P) tér a fenti leképezés révén izometrikusan izomorf módon azonosul 2

Duális tér alatt minden esetben topológiai duálist értünk. Egy adott Q mértékr½ol akkor mondjuk hogy P-re nézve abszolút folytonos, ha minden P szerint nullmérték½u halmaz Q szerint is nullmérték½u. Jelölése: Q P. 3

137

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték a L1 ( ; F; P) tér duálisával (ld. [30]: IV. 8.16.). Ezek szerint a tekinthetünk úgy, mint a L1 duális tér egy elemére, ezt fejezi ki az (w) =

Z

mértékre

wd

jelölés. A továbbiakban tekintsük az (L1 ; ba) duális párt, valamint jelöljük C 0 -al a C kúp ezen dualitásra vonatkozó poláris kúpját, vagyis legyen C 0 = f 2 ba j (w)

0 8w 2 Cg :

Jelöljük M -mel a C 0 kúp megszámlálhatóan additív elemeit. A Radon–Nikodymtételb½ol következik, hogy M tetsz½oleges eleméhez létezik egy z 2 L1 (P) függvény hogy tetsz½oleges A halmaz -szerinti mértéke a (A) =

Z

zdP

(5.13)

A

formulával adható meg, vagyis az M elemei L1 (P)-beli függvényekkel reprezentálhatóak ezért minden 2 M funkcionál a (w) =

Z

wzdP

alakban adható meg, ahol z 2 L1 (P). Nyilván a z = d =dP Radon–Nikodymderivált L1 (P)-beliségének tulajdonsága független a P 2 P megválasztásától4 . Ezt fejezi ki az M = C 0 \ L1 (P); P 2 P azonosság. Valójában L1 C miatt a M = z 2 L1+ (P) j EP [wz]

0 8w 2 C ; P 2 P

azonosság is teljesül, hiszen ha valamely mérték z Radon–Nikodym deriváltja 1 egy A nem nulla mérték½u halmazon negatív lenne, akkor C miatt A 2 L 0 2 = C . Mivel a mértékekb½ol álló M halmaznak csak azokra az elemeire van szükségünk amelyek valószín½uségi mértékek, ezért legyen M1 = fz 2 M j EP [z] = 1g, és miután a P-re nézve abszolút folytonos mértékeket azonosíthatjuk a Radon– 4

Az M fenti de…níciójában az (L1 ; ba) dualitást nem helyettesíthetjük bármely (Lp ; Lq ) dualitással. Utóbbi esetben az árazó mértéket Lq (P)-beli függvényekkel kellene reprezentálnunk (ld. pl. [28]), de q 6= 1 esetben a d =dP Radon–Nikodym-derivált Lq (P)-beliségének tulajdonsága és így maga az arbitrázsmentesség tulajdonság nem lenne független a P 2 P megválasztásától.

138

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Nikodym-deriváltjukkal, ez az alábbi alakba írható: M1 = fQ

P j Q valószín½uségi mérték és EQ [w]

0 8w 2 Cg :

70. De…níció. Egy Q valószín½uségi mértéket szeparálómértéknek nevezünk, ha Q P, K L1 (Q) és EQ [k] 0 8k 2 K. Ha Q 2 P, akkor ekvivalens szeparálómértékr½ol beszélünk. A továbbiakban jelöljük M-mel (Mloc -kal) azon P-re nézve abszolút folytonos valószín½uségi mértékek halmazát, melyekre nézve X martingál (lokális martingál). Könnyen igazolható az alábbi lemma (ld. [7]). 71. Lemma. A Q mérték pontosan akkor szeparáló mérték, ha Q 2 M1 , továbbá ha X korlátos (lokálisan korlátos) akkor M1 = M (M1 = Mloc ). Bizonyítás. Legyen Q szeparáló mérték. Ekkor, mivel EQ [k] 0 8k 2 K, ezért EQ [w] 0 8w 2 C vagyis Q 2M1 . Legyen most Q 2M1 , és k egy tetsz½oleges K-beli elem. Ekkor a kn = min fk; ng egy C-beli sorozat, és kn % k Q m.m., ezért a monoton konvergencia tétel alapján EQ [k] =

Z

k<0

kdQ+

Z

k 0

kdQ =

Z

k<0

kn dQ + lim

n!1

Z

kn dQ

0,

k 0

vagyis Q szeparáló mérték. Legyen X korlátos, 0 s t T tetsz½oleges és A 2 Fs . Legyen f = 1A (Xt Xs ) és Q 2M1 . Mivel f 2 K, f 2 K és Q szeparáló mérték, ezért Q martingálmérték. A bizonyítás triviálisan módosítható a lokálisan korlátos X esetére is, ekkor rögzített – megállási id½okb½ol álló – lokalizációs sorozat esetén a gondolatmenetet a megállított folyamatokra alkalmazzuk.

A fenti jelölésekkel tehát Delbaen és Schachermayer [21]-beli eredménye az alábbi alakban írható. 72. Tétel. Valamely X lokálisan korlátos, P valószín½uségi mérték szerinti szemimartingál pontosan akkor tesz eleget a NFLVR feltételének, ha M1 \ P 6= ;. Továbbá [23]-ból tudjuk, hogy a fenti tételben a lokális korlátosság feltétele elhagyható. 139

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték

5.2.2.

A haszonmaximalizálási probléma és a duálisa

Legyen az U2 halmaz az u : R ! R nemcsökken½o, konkáv függvények halmaza és legyen u 2 U2 . Legyen w0 2 L1 , és legyen G 2 L0 egy nemüres konvex kúp. Ha w0 konstans, akkor a döntéshozó kezdeti vagyonaként interpretálható. Legyen UP;G (w0 ) = sup EP [u(w0 + w)] ; w2G

ahol a szuprémumot azon változók körében kell venni, amelyekre EP [u (w0 + w)] < 1: Ekkor a w0 2 L1 -b½ol elérhet½o haszonmaximumot a következ½oképpen értelmezzük: UP;C (w0 ) = sup EP [u(w0 + w)] : (5.14) w2C

A szakasz hátra lev½o részében a portfolióválasztás duális megközelítésébe szeretnénk egy rövid bepillantást nyújtani. Miel½ott azonban a Frittelli-féle alaptétel szempontjából fontos Bellini–Fritteli-tételre rátérnénk, ismerkedjünk meg az ún. Lagrangedualitáson alapuló megközelítéssel. Ha az olvasó netán nem ismerné a Lagrangedualitás fogalmát, akkor a következ½o lemmát és az azt követ½o bekezdést nyugodtan átugorhatja, mert a Bellini-Frittelli-féle duális megközelítés nem a Lagrangedualitásra, hanem a Fenchel-féle dualitási tételre támaszkodik. (Ld.: [69]) Mivel M1 6= ;, ezért az M kúp polárisa a következ½o alakú: M 0 = fw 2 L1 j EQ [w]

0 8Q 2 M1 g :

(5.15)

Ekkor igaz a következ½o állítás. 73. Lemma. Ha M1 \ P 6= ;, akkor C = M 0 : Bizonyítás Tekintsük az (L1 ; ba) dualitás (L1 ; L1 (P))-re való lesz½ukítését. A C kúp erre vonatkozó polárisa éppen M . Korábban láttuk, hogy a NFLVR feltétel esetén a C kúp gyenge-csillag-zárt, ezért a bipoláris tétel alapján C = C 00 vagyis valóban C = M 0 . A továbbiakban tegyük fel, hogy x 2 R egy tetsz½oleges konstans. Ekkor az M 0 (5.15) megadása miatt UP;M 0 (x) = sup fEP [u(x + w)] j w 2 L1 : EQ [w] sup fEP [u(w)] j w 2 L1 : EQ [w] 140

0 8Q 2 M1 g =

x 8Q 2 M1 g :

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Ekkor tehát a fenti lemma feltételei mellett az (5.14)-beli dinamikus optimalizálási feladat a sup fEP [u(w)] j w 2 L1 : EQ [w] x8Q 2 M1 g statikus optimalizálási feladattá alakítható. A probléma, csakúgy mint a véges eset tárgyalásánál láttuk, hogy ez az optimalizálási feladat általános esetben még végesen generált valószín½uségi mez½o esetén is végtelen számú korlátot tartalmaz. Ez végesen generált valószín½uségi mez½o esetén nem jelentett valódi problémát, hiszen mint azt korábban láttuk, ekkor az M1 halmaz zárt, korlátos, polihedrális halmaz, ezért azonos a véges számú extrémális pontjának konvex burkával, ezért a fenti probléma korlátjai között elegend½o ezen extrémális pontokhoz tartozó korlátokat szerepeltetni. Ily módon egy véges számú korlátot tartalmazó statikus optimum problémához jutunk, ami az eredeti dinamikus optimalizálási feladatnál numerikusan egyszer½ubben kezelhet½o. Ez a módszer viszonylag könnyen általánosítható végtelen dimenziós esetre is teljes piacok esetén (ld. pl.: [79]). Tudjuk, hogy teljes piacok esetén az M1 halmaz egy elemb½ol áll, ekkor a fenti probléma Lagrangeduálisa (ld.: [84]) a következ½o: inf sup fEP [u(k)] >0 k2L1 (Q)

(EQ [k]

x)g = inf x + EP u ( >0

dQ ) dP

:

Az eredményül kapott minimumprobléma bizonyos esetekben az eredetinél egyszer½ubben megoldható. Nemteljes piacok esetén azonban nehézséget okoz, hogy a statikus optimumprobléma végtelen számú korlátot tartalmaz. Ezt a nehézséget megkerülend½o, [7]-ben Bellini és Frittelli egy új általános dualitási tételt dolgoztak ki, amely mint látni fogjuk, kulcsszerepet játszik az alaptétel Frittelli-féle alakjának bizonyításában. Vegyük észre, hogy a fenti duális megközelítés felhasználta a C kúp speciális szerkezetén – ezért egyúttal a sztochasztikus folyamatok általános elméletén – alapuló gyenge-csillag-zártságot. A Bellini–Frittelli-féle duális megközelítés újszer½usége éppen abban rejlik, hogy nem használja a C kúp zártságát és így csak annyiban épít a sztochasztikus folyamatok általános elméletére, hogy a C kúp értelmezhet½o. Igaz tehát az alábbi állítás. Ld.: Bellini–Frittelli [7]. 74. Tétel (Bellini–Frittelli). Legyen u 2 U2 , valamint L1

141

G

L1 egy

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték konvex kúp és legyen N1 =

Q:Q

P valószín½uségi mérték és

dQ 2 G0 \ L1 (P) : dP

Ha valamely P 2 P és w0 2 L1 -re teljesül hogy UP;G (w0 ) < u(+1), akkor UP;G (w0 ) = min min EP Q2N1

>0

dQ w0 dP

u(

dQ ) : dP

(5.16)

Mint említettük, a tétel bizonyítása a Fenchel-féle dualitási tételen alapul, ami viszont a Hahn–Banach szeparációs tétel viszonylag egyszer½u következménye.

5.2.3.

A minimaxmérték

A továbbiakban jelöljük D-vel az u függvény e¤ektív értelmezési tartományát. Tetsz½oleges x 2 int(D) és Q P-re legyen U (x; Q; P)= sup fEP [u(x + w)] j w 2 L1 : EQ [w] = sup fEP [u(w)] j w 2 L1 : EQ [w]

0g

xg

Jelöljük L -al a fw 2 L0 j kw k1 < 1g halmazt. Ekkor könnyen belátható az alábbi lemma. 75. Lemma. Ha u felülr½ol félig folytonos konkáv függvény, melynek D e¤ektív értelmezési tartománya egy intervallum és u nemcsökken½o D-n, akkor U (x; Q; P) = sup EP [u(x + w)] j w 2 L : EQ [w] Vegyük észre, hogy minden Q 2 M1 esetén UP;M 0 (x) UP;M 0 (x)

0 :

U (x; Q; P), és így

inf U (x; Q; P):

Q2M1

Ez az észrevétel motiválja a következ½o de…níciót. b x 2 M1 valószín½uségi mértéket minimaxmértéknek nevezünk, 76. De…níció. Egy Q ha b x ; P): UP;M 0 (x) = min U (x; Q; P) =U (x; Q Q2M1

142

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték A minimax mérték els½o alkalmazása He és Pearson nevéhez f½uz½odik. He–Pearson [47]-ben a szerz½ok egy olyan di¤úziós folyamatokon alapuló modellt vizsgálnak, ahol a szerepl½ok hasznossága nem csak periódus végi vagyontól, hanem az egyes periódusokbeli fogyasztástól is függ. Egy alkalmas dualitási tétel segítségével a szerz½ok az eredeti sztochasztikus dinamikus optimalizálási problémát a véges dimenziós esethez hasonlóan egy statikus variációs problémává alakítják, amelyben a szerepl½ok a várható hasznosságukat maximalizálják, egy a minimax mérték segítségével képzett költségvetési korlát mellett. A probléma ily módon egy kvázilineáris parciális di¤erenciálegyenletre vezet, ami egyszer½ubben megoldható, mint a Bellman-egyenlet. A következ½o állítás a minimax mérték létezésének egy elégséges feltételét adja meg. A minimax mérték létezésének bizonyításához ezek szerint két dolgot kell belátnunk. Egyrészt be kell látnunk hogy a sup EP [u(x + w)] és az inf U (x; Q; P) optimumproblémák között nincs „dualitási rés”, másrészt be kell látni, hogy a minimum létezik. Mivel a primál optimum probléma esetében az L1 téren optimalizálunk, ezért a duális probléma megoldását „alap esetben” a ba és nem az L1 tér elemei között kell keresnünk, ezért általános esetben nem várhatjuk, hogy a megoldás a martingálmértékek halmazába fog esni. A tétel bizonyítása a 74. tételen alapul. 77. Tétel. Tegyük fel, hogy M1 \ P 6= ;. Ha továbbá u : R ! R konkáv, nem csökken½o függvény, valamint x 2 R és P 2 P kielégítik az UP;M 0 (x) < supy2R u(y) feltételt, akkor UP;M 0 (x) = min U (x; Q; P): Q2M1

Ha ráadásul supy2R u(y) = +1; akkor UP;M 0 (x) = min U (x; Q; P): Q2M1 \P

Ha X korlátos (lokálisan korlátos), akkor a fenti állítás abban az esetben is igaz, ha M1 helyébe M-et (Mloc -ot) írunk. A 73. tétel alapján tehát M1 \ P 6= ; és D = R esetén az eredeti dinamikus portfolióválasztási probléma átalakítható egy statikus maximalizálási problémává, b x minimax-mérték ismeretében –a minimax mérték de…níciója alapján másrészt a Q –az ezen statikus maximumproblémában szerepl½o korlátok száma egyre csökkenthet½o. Vegyük észre, hogy mivel teljes piacok esetén az ekvivalens martingálmér143

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték ték egyértelm½u, ezért a fenti tétel alapján supy2R u(y) = +1 esetben a minimax mérték azonos lesz az ekvivalens martingálmértékkel, ezért ebben az esetben a statikus problémában automatikusan egyetlen korlát szerepel.

144

6. fejezet A Frittelli-féle alaptétel 6.1.

Arbitrázs és preferenciák

6.1.1.

A sztochasztikus dominancia

Azt szokás mondani, hogy az arbitrázsmentesség feltevése implicit módon annyit feltételez a befektet½ok preferenciáiról, hogy azok preferenciarendezése monoton, hiszen egy arbitrázslehet½oség minden monoton preferenciákkal rendelkez½o befektet½o számára kívánatos. Azt is láttuk, hogy az életképesség ekvivalens a nincs ingyenebéd feltétellel, amit úgy is interpretálhatnánk, hogy a nincs ingyenebéd feltétel a preferenciák konvexitását feltételezi. Felmerül tehát a kérdés, hogy létezik-e egy egységes fogalmi keret, aminek segítségével az arbitrázsfogalmak közötti eltérések a preferenciák eltér½o voltára vezethet½oek vissza. Kézenfekv½o megoldásnak t½unhet a sztochasztikus dominancia mint fogalmi keret használata. Azt mondjuk, hogy egy kockázatos A ki…zetés els½orendben sztochasztikusan dominálja a B ki…zetést, ha minden növekv½o és folytonos hasznossági függvénnyel rendelkez½o befektet½o gyengén preferálja A-t B-vel szemben. Jelöljük FX -el az X ki…zetés eloszlásfüggvényét. Ismert (ld.: [48]) hogy A pontosan akkor dominálja els½orendben B-t, ha minden z 2 R esetén FA (z) FB (z). A sztochasztikus dominancia és az arbitrázs kapcsolatát vizsgálja R. Jarrow [54]. Megmutatja, hogy egy teljes piacon pontosan akkor létezik arbitrázs, ha létezik két speciális tulajdonsággal rendelkez½o eszköz, melyek közül az egyik egy bizonyos értelemben sztochasztikusan dominálja a másikat. A pontos eredmény ismertetéséhez tételezzük fel, hogy a befektet½ok vélekedései különböznek az egyes kimenetelek valószín½uségeit illet½oen. Legyenek A és B 145

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték valószín½uségi változók, melyek mindegyike egy-egy ki…zetést reprezentál. Jelöljük az A ki…zetés i 2 I befektet½o Pi szubjektív valószín½usége szerinti eloszlásfüggvényét FAi (z)-vel, és módosítsuk kissé a sztochasztikus dominancia fogalmát. Azt mondjuk, hogy egy i 2 I befektet½o számára A els½orendben sztochasztikusan dominálja a B-t, ha minden z 2 R esetén FAi (z) FBi (z) és valamely z-re FAi (z) < FBi (z). Jarrow a következ½o állítást bizonyítja: 78. Tétel. Egy véges dimenziós teljes piacon pontosan akkor létezik arbitrázs, ha létezik olyan A és B feltételes követelés és egy Pi szubjektív valószín½uséggel reprezentálható i 2 I befektet½o, hogy az i 2 I befektet½o számára A els½orendben sztochasztikusan dominálja a B-t, és az FAi (B) FBi (B) feltételes követelés nempozitív induló vagyon révén replikálható. A sztochasztikus dominancia alapgondolatát fejleszti tovább Frittelli „no market free lunch” fogalma. Látni fogjuk, hogy a „no market free lunch” fogalom az arbitrázsfogalmak lezárás operátorait meghatározó topológiafogalmaknak a lehetséges befektet½ok hasznosságfüggvényeinek analitikus tulajdonságait felelteti meg. A befektet½o preferenciarendezését alapul véve azt mondhatjuk, hogy az arbitrázslehet½oség azt jelenti, hogy nulla kiinduló vagyonnal, kereskedés révén egy olyan véletlen f ki…zetéshez juthatunk, mely felbontható egy w nemnegatív és egyúttal pozitív valószín½uséggel pozitív értéket felvev½o ki…zetés és egy olyan q véletlen ki…zetés összegére, amelynek a hasznossága –bármely monoton hasznosságfügvényt alapul véve – legalább akkora mint az azonosan nulla ki…zetésé1 . Ezt a gondolatmenetet általánosítja Frittelli „no market free lunch” fogalma. Ahogy azt korábban láttuk, az arbitrázsmentesség feltétele általános esetben nem garantálja az ekvivalens martingálmérték létezését, ezért egy er½osebb feltételre volt szükségünk, ehhez viszont b½ovítenünk kellett a kizárandó arbitrázs lehet½oségek halmazát. A fenti megközelítést …gyelembe véve, ez megtehet½o oly módon, hogy a fenti f véletlen ki…zetések esetében csak bizonyos monoton hasznossági függvényekre követeljük meg a fenti tulajdonságot. Ezen a ponton válik el a Delbaen–Schachermayer-féle és a Fritteli-féle megközelítés. Az el½obbi ugyanis – mint azt látni fogjuk – a befektet½ok hasznossági függvényét½ol csupán a folytonosságot követeli meg, míg az utóbbi a konkavitást is. Mivel mind a Delbaen–Schachermayer-tétel, mind a Frittelli alaptétel az ekvivalens lokális martingálmérték létezésének az ekvivalenciájáról 1

Ez a de…níció triviálisan megegyezik az arbitrázs korábbi de…níciójával, ugyanis a hasznosságfüggvény megválasztható úgy, hogy a negatív számokon 1 értéket vegyen fel, ezért q nyilván nemnegatív.

146

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték szól, ezért a két arbitrázsmentességi fogalom ekvivalens. Ezért ha feltételezzük, hogy valamely pénzügyi piacon az árrendszer konkáv hasznossági függvénnyel rendelkez½o befektet½oket feltételezve konzisztens2 , akkor ez a piac a nem feltétlenül konkáv de folytonos hasznosságfüggvény½u befektet½ok számára már nem tartogat új arbitrázs lehet½oségeket. A Delbaen-Schachermayer-féle elmélet egy érdekes mondanivalója tehát az, hogy ebben az esetben a piac konzisztenciájának vizsgálatakor a befektet½ok hasznosságfüggvényére vonatkozó konkavitási megkötés nem jelent megszorítást3 .

6.1.2.

A „no market free lunch” fogalma

Az alábbiakban az arbitrázs fogalmának egy preferenciákon alapuló megközelítésével fogunk foglalkozni. Ahhoz, hogy a két megközelítés közötti párhuzamot világosan lássuk, érdemes az arbitrázs közgazdasági fogalmából kiindulni. Egy rövid gondolatmenet erejéig tegyük fel, hogy a valószín½uségi mez½o végesen generált. Legyen 1 L1 j P(w 0) = 1 és P(w > 0) > 0g ; ++ = fw 2 L és interpretáljuk az L1 ++ -beli elemeket mint a T -edik id½opontbeli feltételes követeléseket. Ezen feltételes követelést jelenben eladva nyilván pozitív els½o periódusbeli bevételhez jutnánk. Felmerül a kérdés, hogy vajon egy alkalmas kereskedési stratégia segítségével „fedezhet½o”-e a bizonytalan T -edik periódusbeli w kötelezettség? Vagyis létezik-e egy alkalmas nempozitív kiinduló költség½u stratégia, melynek f 2 C eredménye4 , valamilyen értelemben dominálja, fedezi w-t. Ebben az esetben egyfajta arbitrázsjövedelemhez jutnánk. Ha a befektet½okr½ol csak annyit teszünk fel, hogy számukra a több jobb, akkor ez a dominancia egyszer½uen az f w, vagyis a min (f w) 0 (6.1) 2

Vagyis nem létezik „market free lunch” a Fritteli-féle értelemben. Vegyük észre a párhuzamot a mikroökonómia dualitási elméletének egy ismert következményével. A termeléselmélet dualitáselve szerint a költséggörbéb½ol a technológia minden közgazdaságtanilag fontos tulajdonsága kiolvasható, ugyanakkor a költségfüggvényhez mindig található egy konvex inputkövetelmény halmaz, amib½ol az származtatható. Ezek szerint a technológia konvexitása nem túlságosan megszorító feltételezés. 4 Végtelen dimenzió esetén pedig ezen eredmények fn sorozatának – alkalmasan választott topológia szerinti –határértékeként adódó lim fn 3

147

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték relációval formalizálható. A kérdéses fedezeti stratégia létezése tehát ekvivalens egy olyan w 2 L1 ++ elem létezésével melyre teljesül, hogy n max min (f f 2C

o w)

0:

(6.2)

Ez az arbitrázs-fogalom tehát konzisztens minden olyan befektet½o preferenciarendezésével, aki monoton preferenciákkal rendelkezik. Vajon hogyan módosul ez az arbitrázsfogalom, ha azt akarjuk, hogy konzisztens legyen minden kockázatkerül½o befektet½o preferenciarendezésével? Ennek vizsgálatához további jelöléseket vezetünk be. Tegyük fel, hogy a piaci befektet½ok a Q 2 P vélekedésükkel és a biztos kimeneteleken értelmezett u hasznosságfüggvényükkel jellemezhet½oek, valamint hogy hasznosságérzetük kizárólag a periódus végén rendelkezésükre álló vagyonuktól függ. Tegyük fel, hogy a befektet½ok preferenciái várható hasznosságfüggvénnyel reprezentálhatóak, vagyis f1 < f2 () EQ [u(f1 )]

EQ [u(f2 )] :

Ha azt akarjuk, hogy valamely w feltételes követelést minden kockázatkerül½o fogyasztó arbitrázslehet½oségnek tekintsen, akkor a fenti (6.2) reláció helyett célszer½u azt megkövetelni, hogy valamely f 2 C-re, minden véges érték½u, nemcsökken½o és konkáv u hasznosságfüggvény esetén teljesüljön, hogy EP [u(f

w)]

u(0):

Ez a meg…gyelés motiválja a következ½o általános fogalmakat. Legyen az U halmaz valamely u : R ! R [ f 1g függvények halmaza. Az u függvények e¤ektív értelmezési tartományát, vagyis a fx 2 R j u(x) > 1g halmazt jelöljük D(u)-val. Azt mondjuk, hogy egy adott piacon létezik U szerinti ingyen ebéd, ha létezik egy olyan w 2 L1 ++ függvény, hogy minden P 2 P és minden u 2 U esetén supf 2C EP [u(f w)] u(0). Ez pontosan azt jelenti, hogy a piacon az összes befektet½o ugyanazt a feltételes követelést tekinti U szerinti ingyen ebédnek, hiszen minden befektet½o –a saját preferenciáit és vélekedését …gyelembe véve – fedezheti a T -id½opontban esedékes w kötelezettséget. Ezek alapján már de…niálhatjuk az U szerinti nincs ingyenebéd fogalmát. 79. De…níció. Azt mondjuk, hogy az X szemimartingál eleget tesz az U szerinti 148

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték nincs ingyenebéd feltételének, ha 8w 2 L1 ++ 9P 2 P 9u 2 U : sup EP [u(f

w)] < u(0).

f 2C

6.2.

Az alaptétel

A dolgozat hátralev½o részében a Bellini–Frittelli-féle dualitási tétel egy igen érdekes következményeként bemutatjuk az eszközárazás alaptételének Frittelli-féle alakját. Látni fogjuk, hogy a tétel bizonyítása nem a sztochasztikus folyamatok általános elméletén, csupán viszonylag egyszer½u funkcionálanalízisbeli és konvex analízisbeli eszközökön alapul. Az alaptétel bizonyításához felhasználjuk a Halmos–Savagetétel egy következményét. Ehhez el½oször vezessünk be néhány fogalmat. 80. De…níció. A mértékekb½ol álló 1 és 2 családról azt mondjuk hogy ekvivalensek, ha (A) = 0 8 2 1 pontosan akkor teljesül, ha (A) = 0 8 2 2 . 81. De…níció. Véges mértékek egy családjáról azt mondjuk hogy dominált, ha létezik egy Q mérték, hogy Q minden 2 esetén. 82. Tétel (Halmos–Savage). (Halmos-Savage) Véges mértékek egy családja pontosan akkor dominált, ha tartalmaz egy megszámlálható elemb½ol álló, az eredeti családdal ekvivalens részcsaládot. A tétel bizonyítását ld.: [59]: A Halmos–Savage-tétel alábbi következménye [40]ból származik, azonban ott martingálmértékre bizonyítják. M1 -beli mértékekre a bizonyítás némileg egyszer½ubb. 83. Következmény. Legyen a fQn gn2N mértékek egy megszámlálható M1 -beli halmaza. Ekkor létezik egy Q 2 M1 valószín½uségi mérték melyre az egyetlen mértékb½ol álló fQg halmaz ekvivalens fQn gn2N -nel. Bizonyítás Legyen fzn gn2N a megfelel½o Radon–Nikodym deriváltakból álló sorozat. Tudjuk, hogy M1 = z 2 L1+ (P) j EP [wz]

0, EP [z] = 1 8w 2 C ; P 2 P: 149

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték P Ekkor a bk = kn=1 2 n zn Cauchy-sorozat L1 (P)-ben. Jelöljük b-vel az L1 (P)-beli határértékét és legyen z = kbkb . Belátjuk, hogy a dQ = zdP módon de…niált 1 Q mérték megfelel a feltételeknek. Ehhez elegend½o belátni, hogy minden w 2 C esetén EP [wz] 0. Legyen w 2 C L1 tetsz½oleges. Mivel jbk wj bk kwk1 2 L1

L1 (P); ezért fbk wg egyenletesen integrálható és bk w ! bw, így hát EP [lim bk w] = lim EP [bk w], vagyis EP

"

1 X

2

n

#

zn w =

n=1

1 X

2

n

EP [zn w] :

n=1

Ez utóbbi alapján EP [zw] =

1 X n=1

kbk1 1 2

n

EP [zn w]

0:

A fenti tétel és a Halmos–Savage-tétel nyilvánvaló következménye az alábbi. 84. Következmény. Ha M1 6= ?; akkor létezik egy Q 2 M1 , hogy fQg ekvivalens M1 -gyel. A fentiek következményeként most lássuk be az alábbi állítást. 85. Tétel. Az M1 \ P 6= ? feltétel pontosan akkor teljesül, ha minden A 2 F halmazhoz melyre P(A) > 0 teljesül, létezik egy QA 2 M1 mérték, melyre QA (A) > 0. Bizonyítás Ha M1 \ P 6= ? teljesül és valamely A 2 F és P(A) > 0 esetén Q(A) = 0 lenne minden Q 2 M1 -re, speciálisan valamely M1 \ P-beli mértékre is, akkor nyilván nem lehetne P(A) > 0: Ezzel az egyik irányt beláttuk. Most tegyük fel, hogy minden P(A) > 0 tulajdonságú A-hoz létezik a szóbanforgó QA 2 M1 és legyen Q 2 M1 az el½oz½o következmény alapján létez½o valószín½uségi mérték, melyre tehát teljesül, hogy fQg ekvivalens M1 -gyel. Legyen A 2 F olyan, hogy Q(A) = 0. Ekkor P(A) = 0, mert különben a feltevésünk szerint valamely QA 2 M1 -re QA (A) > 0 teljesülne, ami lehetetlen, hiszen Q(A) = 0 és fQg ekvivalens M1 -gyel. Ezzel beláttuk hogy P Q, amib½ol Q 2 P. Most már kimondhatjuk az alaptétel Frittelli-féle alakját. 150

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték 86. Tétel (Frittelli). Valamely P valószín½uségi mérték szerinti X szemimartingál pontosan akkor tesz eleget az U2 szerinti nincs ingyenebéd feltételnek, ha M1 \ P 6= ; Bizonyítás Csak a nemtriviális irány bizonyítására szorítkozunk. Tegyük fel, hogy az X szemimartingál eleget tesz az U2 szerinti nincs ingyenebéd feltételnek, vagyis minden w 2 L1 ++ esetén valamely P 2 P-re és u 2 U2 -re sup EP [u(f

(6.3)

w)] < u(0):

f 2C

Rögzítsünk egy w 2 L1 ++ elemet. Alkalmazva a 74. tételt és az (5.16) sort G = C és N1 = M1 -re, kapjuk, hogy létezik a Qw 2 M1 és w > 0, melyre sup EP [u(f

w)] =

f 2C

=

min min EP

dQ w dP

[w]

EP u (

Q2M1

>0

w EQ w

u( w

dQ ) = dP

dQw ) : dP

(6.4)

Mivel u (x ) = inf fxx x2R

u(x)g =

sup fu(x) x2R

xx g

u(0),

ezért (6.4) egyenl½oség jobb oldala alulról a w EQw [w] + u(0) kifejezéssel becsülhet½o, amib½ol (6.3) felhasználásával kapjuk, hogy 0 > w EQw [w]. Ebb½ol w = A helyettesítéssel kapjuk, hogy tetsz½oleges A 2 F halmazra, melyre P(A) > 0 teljesül, igaz, hogy 0 > Q A (A). Ez azt jelenti, hogy tetsz½oleges A 2 F halA mazra, melyre P(A) > 0 teljesül, létezik egy Q A 2 M1 melyre Q A (A) > 0, amib½ol 85. tétel alapján következik, hogy M1 \ P 6= ;. Ezen a ponton a tétel egy érdekes következményére szeretnénk felhívni a …gyelmet. Látni fogjuk, hogy tetsz½oleges szemimartingál modell esetén az M1 \ P 6= ; feltétel a Delbaen–Schachermayer-tétel alapján az U1 szerinti nincs ingyenebéddel (ld.: 88. tétel), ugyanakkor ugyanezen feltétel, a Frittelli-féle alaptétel alapján az U2 szerinti nincs ingyenebéd feltétellel ekvivalens. Ezért az U1 szerinti nincs ingyenebéd valamint az U2 szerinti nincs ingyenebéd feltételek, vagyis a N F LV R és a „no free lunch”fogalmak ekvivalensek. Ismert, hogy nem feltétlenül lokálisan korlátos szemimartingál esetén az M1 \P halmaz nem a -martingál-mértékek halmazával azonos, hanem azon P-abszolút 151

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték folytonos valószín½uségek halmazával, melyekre nézve az 1-megengedett integrandusok sztochasztikus integráljai szupermartingált alkotnak. Ezek szerint a Delbaen– Schachermayer és a Frittelli alaptétel közti párhuzam nem feltétlenül lokálisan korlátos szemimartingálok esetén látszólag kevésbé szoros, azonban Frittelli [39]ben bebizonyította, hogy a megengedett stratégiák halmaza és a P halmaz úgy módosítható, hogy az eredményül kapott NMFL(U2 ) feltétel ekvivalens lesz az ekvivalens -martingálmérték létezésével.

152

7. fejezet Arbitrázsfogalmak karakterizációja Láttuk, hogy az U szerinti ingyenebéd feltétele formálisan hasonlít a dolgozat els½o felében említett arbitrázs fogalmakhoz. Felmerül a kérdés, vajon milyen kapcsolat van az U szerinti ingyenebéd és az említett klasszikus arbitrázsfogalmak között. Megmutatjuk, hogy valamennyi klasszikus arbitrázsmentességi fogalom leírható az U szerinti ingyenebéd fogalma segítségével, ezáltal összevethet½ové válnak a Frittelli-féle és a Delbaen–Schachermayer-féle alaptételek. A bemutatott állítások közül a legérdekesebb I. Klein azon eredménye, miszerint a Frittelli-féle alaptételben szerepl½o U2 szerinti nincs ingyenebéd feltétel ekvivalens a C \ L1 + = f0g Kreps-féle nincs ingyenebéd feltétellel. Az állítás révén tehát egyrészt közgazdaságtanilag interpretálhatóvá vált, másrészt a Frittelli-tétel révén új bizonyítást is nyert az a –korábban a Kreps–Yan-tétel egyszer½u következményeként említett – állítás, miszerint egy lokálisan korlátos szemimartingálra a nincs ingyenebéd feltételb½ol következik az ekvivalens lokális martingálmérték létezése. Ezen a ponton nyilván felmerül a kíváncsi olvasóban a kérdés, hogy vajon mi köze van az U2 szerinti ingyenebéd feltételben szerepl½o konkavitásnak az ingyenebéd fogalom gyenge topológiájához. Mint látni fogjuk, erre a kérdésre az Orlitz-terek elmélete adja meg a választ.

153

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték

7.1.

Az arbitrázsmentesség és NFLVR

Tudjuk, hogy véges dimenzió esetén az arbitrázslehet½oség létezése ekvivalens egy olyan w 2 L1 w. ++ létezésével, melyre teljesül, hogy valamely f 2 C-re f Ekkor azonban minden monoton növekv½o u hasznossági függvényre és P 2 P-re EP [u(f w)] u(0), vagyis max fEP [u(f f 2C

w)]g

u(0):

Megfordítva, ha valamely w 2 L1 ++ esetén minden monoton növ½o hasznossági függvényre max fEP [u(f w)]g u(0); f 2C

akkor egy olyan u-t választva, melyre u(x) = 1 ha x < 0 és u(x) = 0 ha x 0, adódik, hogy f w, vagyis w egy arbitrázs. Legyen tehát az U0 halmaz az u : R ! R [ f 1g nemcsökken½o függvények halmaza. Általános szigma-algebra esetére a gondolatmenet értelemszer½u módosításával adódik a következ½o állítás. 87. Tétel. Valamely P valószín½uségi mérték szerinti X szemimartingál pontosan akkor tesz eleget a C \ L1 + = f0g feltételnek, ha eleget tesz az U0 szerinti nincs ingyenebéd feltételének. Legyen az U1 halmaz azon u : R ! R [ f 1g nemcsökken½o függvények halmaza, melyekre teljesül, hogy minden u 2 U balról folytonos 0 2 int(D)-ben. Ekkor igaz a következ½o állítás. 88. Tétel (Frittelli). Valamely P valószín½uségi mérték szerinti X szemimartingál pontosan akkor tesz eleget a NFLVR feltételének, ha eleget tesz az U1 szerinti nincs ingyenebéd feltételének. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy X nem tesz eleget az N F LV R feltételének. Ez azt jelenti, hogy létezik egy olyan w 2 L1 ++ függvény, melyre teljesül, hogy valamely fn 2 C sorozatra kfn wkL1 ! 0. Ez ekvivalens egy olyan w 2 L1 ++ függvény létezésével, melyre n o sup ess inf (f w) 0. (7.1) f 2C

Mivel tetsz½oleges u 2 U1 balról folytonos 0-ban, ezért létezik a n > 0 sorozat, melyre teljesül, hogy 0 esetén u(x) > u(0) n1 . Ekkor w de…níciója n < x 154

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték miatt létezik az fn 2 C sorozat melyre ess inf (fn

w) >

n:

Nyilván n

< fn

w

w)+

(fn

0 P m.m.,

amib½ol u(fn

w

(fn

w)+ ) > u(0)

1 : n

Mivel fn (fn w)+ 2 C, ezért a fenti egyenl½otlenség azt jelenti, hogy létezik U1 szerinti ingyenebéd. Most tegyük fel, hogy létezik U1 szerinti ingyenebéd. Tekintsünk egy tetsz½oleges P 2 P valószín½uségi mértéket, és minden n 1-re de…niáljuk a következ½o 1 és un (x) = 0 ha x > n1 . Ekkor függvényt. Legyen un (x) = 1 ha x n nyilván un 2 U1 , és az U1 szerinti ingyenebéd de…níciója alapján minden n 1 1 esetén valamely w 2 L++ -re sup EP [un (f

w)]

un (0) = 0:

f 2C

Ebb½ol következik, hogy minden n 1 ) = 0, vagyis ess inf(fn w) n

1 esetén létezik egy fn 2 C melyre P(fn w 1 , amib½ol n

sup fess inf(fn

w)g

0;

f 2C

vagyis létezik arbitrázs.

7.2.

Az Orlicz-terek elmélete

A továbbiakban [62] alapján meg kívánjuk mutatni, hogy az U2 szerinti nincs ingyenebéd feltétele ekvivalens a [64]-b½ol ismert C \ L1 + = f0g „no free lunch” feltétellel, ahol a C a C-kúp gyenge-csillag topológia szerinti lezártját jelöli. Ehhez azonban fel kell használnunk néhány, az ún. Orlicz-terekkel kapcsolatos eredményt. Mivel úgy gondoljuk, hogy ezen elmélet viszonylag kevéssé ismert, ezért az alábbiakban megadjuk az Orlicz-tér de…nícióját. Az Orlicz-terekkel kapcsolatos további eredményekr½ol a [63], [82] és [98] monográ…ákban tájékozódhat az olvasó. 155

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték El½oször vezessünk be néhány fogalmat. Egy F : [0; 1) ! [0; 1) függvényt Young-függvénynek nevezünk, ha F folytonosan di¤erenciálható, F 0 (0) = F (0) = 0, F 0 szigorúan monoton növekv½o és limt"1 F 0 (t) = 1. Az összes Young-függvények halmazát Y-nal jelöljük. Minden F 2 Y-ra legyen LF = f 2 L0 ( ; F; P) j E [F (a jf j)] < 1 valamely a > 0-ra : Az kf kF = inf a > 0 j E F (a

1

jf j)

1

normával ellátott LF teret1 szokás Orlicz-térnek nevezni, amir½ol belátható, hogy F Banach-tér. Jelöljük egy A halmaz kkF -szerinti lezártját A -fel. Szükségünk lesz az alábbi két lemmára. (ld.: [67]) 89. Lemma. Legyen A egy konvex L1 -beli halmaz. Ekkor a \

F 2Y

F

A

!

\ L1

halmaz megegyezik az A halmaz (L1 ; L1 ) topológia szerinti lezártjával. 90. Lemma. Legyen f k 2 LF olyan sorozat melyre f k lim E F ( f k

k!1

7.3.

f

F

! 0: Ekkor

f ) = 0:

A "nincs ingyenebéd" feltétel

Ebben a szakaszban az Orlicz-terek elméletének segítségével megadjuk a nincs ingyenebéd feltétel preferenciákkal történ½o karakterizációját. Jelöljük C -gal a Ckúp gyenge-csillag topológia szerinti lezártját. A következ½o állítást fogjuk igazolni. 91. Tétel (Klein). Az U2 szerinti nincs ingyenebéd feltétele ekvivalens a C \ L1 + = f0g feltétellel. 1

Pontosabban az ekvivalenciaosztályokból álló teret.

156

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Bizonyítás El½oször lássuk be, hogy ha egy w követelés ingyenebéd, akkor U2 szerinti ingyenebéd is. Legyen tehát w 2 C \ L1 ++ , és legyen u 2 U2 és P 2 P tetsz½oleges. Feltehet½o, hogy u(0) = 0, ugyanis a gondolatmenet eltolásával az általános eset bizonyítása magától értet½od½o. Kezdetben azt is tegyük fel, hogy az u gráfjának negatív síknegyedbe es½o részét az origó körül 180 fokkal elforgatva Youngfüggvény-t kapunk. Azaz létezik olyan Fu Young-függvény, melyre u (x) = Fu ( x), ha x 0, és u (x) = 0 ha x > 0. Ekkor felhasználva, hogy egy konvex halmaz gyenge-csillag lezártja minden P 2 P esetén ugyanaz, az els½o lemma alapján létezik egy f k sorozat, melyre f k w Fu ! 0, ezért a második lemma alapján EP

u (f k

w) =

h EP Fu ( f k

w

i )

EP F u ( f k

f ) ! 0: (7.2)

Ekkor, mivel f k C-beli, kapjuk hogy sup EP [u(f

w)]

f 2C

sup EP

u (f

w)

0 = u(0);

f 2C

vagyis w valóban U2 szerinti ingyenebéd. Az általános eset bizonyítása annak a ténynek a triviális következménye, hogy minden u 2 U2 -beli függvényhez és " > 0 u (x) + " ha x 0 számhoz létezik egy Fu" Young-függvény, hogy Fu" ( x) (lásd [62]). Most tegyük fel, hogy a w 2 L1 ++ követelés U2 szerinti ingyenebéd és lássuk be, hogy ekkor w ingyenebéd is. Tetsz½oleges F Young-függvényre és k pozitív egész számra legyen uFk (x) = F ( kx) ha x nempozitív, és uFk (x) = 0 ha x pozitív. Mivel uFk 2 U2 és w U2 szerinti ingyenebéd, létezik az f F;k 2 C sorozat, melyre minden P 2 P esetén EP uFk (f F;k w) 2 k . Legyen D = conv (f w) j f 2 C . Ekkor g F;k = (f F;k w) egy D-beli sorozat. Ekkor nyilván EP F (kg F;k ) 2 k , ezért g F;k F 1=k, amib½ol következik, hogy g F;k k F sorozat LF -ben konvergál 0-hoz. Ez azt jelenti, hogy minden F 2 Y esetén 0 2 D , ezért az els½o lemmánk alapján 0 2 D , így hát létezik egy D-beli h általánosított sorozat, amely a gyenge csillag topológia szerint tart 0-hoz. Rögzítsünk egy P indexet. Mivel h D-beli, ezért felírható a h = ni=1 i (fi w) konvex kombinációként, ahol fi 2 C. Mivel C konvex, n X

i

(fi

w) = f

i=1

157

w

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték valamely f 2 C-re. Mivel az id függvény konvex, ezért (f

w)

n X

i

(fi

w) = h :

i=1

Ugyanakkor a w

h =f

(f

w)+

(h

(f

w) ) 2 C

általánosított sorozatnak nyilván a w torlódási pontja, vagyis w egy ingyenebéd.

7.4.

Az életképesség egy újabb megközelítése

A második fejezetben említettük, hogy általános valószín½uségi mez½o esetén a Krepsféle életképesség ekvivalens a kiterjesztett árazó funkcionál létezésével. Ebben az alpontban ennek az állításnak egy variánsát mutatjuk be. A Bellini–Frittelli-féle dualitási tételnek egy következménye az alábbi állítás. 92. Tétel. Tetsz½oleges szemimartingál modellben pontosan akkor létezik ekvivalens szeparáló mérték, ha létezik egy P 2 P, egy x 2 R és egy u : R ! R konkáv, monoton növekv½o, felülr½ol nem korlátos hasznossági függvény, melyre teljesül hogy UP;K (x) = sup EP [u(x + w)] < 1; w2K

Az ekvivalens szeparálómérték létezésének fenti feltételét Bellini és Frittelli "életképességnek" ("viability") nevezik. Ez a fogalom nem ekvivalens a Kreps [64]-b½ol ismert életképesség fogalommal, viszont érvényes az alábbi ekvivalencia. (Ld.: [7]) 93. Tétel. Tetsz½oleges szemimartingál modellben az alábbi állítások ekvivalensek: 1.) létezik ekvivalens szeparáló mérték, 2.) a piac életképes, 3.) teljesül a NFLVR feltétel.

158

8. fejezet Az állapotár de‡átor és az egy ár törvénye A 2.1 alfejezetben megmutatuk, hogy ha teljesül az egy ár törvénye, akkor egyértelm½uen de…niálható egy a replikálható portfoliók terén értelmezett árazó funkcionál. Felmerül tehát a kérdés, hogy az egy ár törvénye vajon mennyire megszorító feltételezés, és hogy hogyan viszonyul az arbitrázsmentesség feltételéhez. Ebben a fejezetben el½oször egy konkrét véges dimenziós példa segítségével megmutatjuk, hogy az egy ár törvénye az arbitrázsmentességnél jóval enyhébb feltétel, majd bevezetjük a martingálmértékkel szoros kapcsolatban lév½o (pozitív érték½u) ún. állapotár de‡átor (másnéven: árazó mag) fogalmát, és megadjuk ez utóbbi fogalomnak, egy a CAPM modellre emlékeztet½o közgazdasági interpretációját. Látni fogjuk, hogy az egy ár törvénye, egy nem feltétlenül pozitív „állapotár de‡átor” létezésével karakterizálható.

8.1.

Az egy ár törvénye kétperiódusos modellben

Tekintsük ismét a bevezet½o véges dimenziós modelljét. Az értékpapírok második periódusbeli árait tartalmazó mátrixot jelöljük ismét X-szel, az értékpapírok els½o periódusbeli árainak vektorát pedig X(0)-lal, a második periódusbeli árakét X(1)el, az (X(0); X(1)) sztochasztikus folyamatot pedig X-szel. 94. De…níció. Azt mondjuk, hogy az X mátrix és az X(0) vektor által meghatározott pénzpiacon teljesül az egy ár törvénye, ha bármely két és b kereskedési stratéT T gia esetén melyekre X T = Xb , teljesül, hogy X(0) T = X(0)b . 159

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Tekintsünk egy olyan kétperiódusos pénzpiacot, ahol a kimenetelek száma három. Tegyük fel, hogy három értékpapír létezik, egy zérus kamatozású kockázatmentes kötvény és két kockázatos értékpapír. Legyen az els½o értékpapír els½o periódusbeli ára X1 (0) = 4, a másik értékpapíré X2 (0) = 7 , a kockázatmentes kötvényé pedig X0 (0) = 1. Az értékpapírok második periódusbeli árait tartalmazó mátrix (ld.:2.1 alfejezet) pedig legyen 0 1 1 8 10 B C X = @1 6 8 A ; 1 3 4 ahol korábbi de…níciónk alapján tehát az egyes oszlopok jelölik az egyes értékpapírok különféle kimeneteleknek megfelel½o második periódusbeli árait. Mivel tetsz½oleges H második periódusbeli véletlen ki…zetés esetén az 0

10 1 0 1 1 8 10 H0 0 B CB C B C @1 6 8 A @ 1 A = @H1 A 1 3 4 H2 2 egyenletrendszer megoldása egyértelm½u, vagyis minden feltételes követeléshez egyértelm½uen létezik egy kereskedési stratégia ami el½oállítja a követelést, ezért az egy ár törvénye automatikusan teljesül. Ugyanakkor vegyük észre, hogy a 0

1 1 8 10 B C (1; 4; 7) = (q1 ; q2 ; q3 ) @1 6 8 A 1 3 4

(8.1)

egyenletrendszernek nincs olyan megoldása melyre q1 , q2 és q3 nemnegatív számok. Ez pontosan azt jelenti, hogy ebben a modellben nemhogy ekvivalens, de semmilyen martingálmérték nem létezik, vagyis az egy ár törvénye valóban lényegesen enyhébb megkötést jelent, mint az arbitrázsmentesség feltétele.

8.2.

Állapotár de‡átor és kockázati prémium

Térjünk most rá a második kérdés megválaszolására, vagyis hogy matematikailag hogyan karakterizálhatóak azok a modellek, amelyekben teljesül az egy ár törvénye. Ehhez szükségünk lesz az ún. állapotár de‡átor fogalmára. 160

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték Az egyszer½uség kedvéért térjünk vissza az el½oz½o alfejezet számpéldájához, és tekintsük az (8.1) egyenletrendszert. A (q1 ; q2 ; q3 ) = ( 5=2; 9=2; 1) vektor megoldása az egyeletrendszernek, ami de…niál egy Q mértéket. Jelöljük az egyes kimenetelek valószín½uségeit p1 -gyel, p2 -vel és p3 -mal, és tekintsük a 51 91 1 ; ; 2 p1 2 p2 p3

Z=

valószín½uségi változót. Mivel a (q1 ; q2 ; q3 ) vektor megoldása a (8.1) egyenletrendszernek, ezért 0

5 1 2 p1

B (1; 4; 7) = (p1 ; p2 ; p3 ) @ 0 0

0 9 1 2 p2

0

1 1 8 10 CB C 0 A @1 6 8 A ; 1 1 3 4 p3 0

10

ami pontosan azt jelenti, hogy a ZX folyamat martingál az eredeti (p1 ; p2 ; p3 ) valószín½uségi mérték szerint. Fogalmazzuk meg a kapott eredményt kissé általánosabban is. Használjuk ismét a 2.1 alfejezet jelöléseit. El½oször tételezzünk fel, hogy a valószín½uségi mez½o végesen generált, az id½ohorizont véges és csak diszkrét id½opontokban lehet kereskedni, továbbá tegyük fel, hogy nem létezik arbitrázs, és legyen Q egy tetsz½oleges martingálmérték, vagyis tételezzük fel, hogy az X diszkontált árfolyamat martingál Q szerint. Ekkor a Q mértékhez tartozó s½ur½uség-folyamatnak, vagy állapotár j Ft sztochasztikus folyamatot, ahol dQ jelöli s½ur½uségnek nevezzük a Zt = EP dQ dP dP a Q mérték P-re vonatkozó Radon–Nikodym-féle deriváltját. A Z folyamat nyilvánvalóan egy martingál P szerint. Megmutatjuk, hogy ekkor EP [Xt Zt j Ft 1 ] = Xt 1 Zt 1 ;

(8.2)

vagyis az Xt Zt folyamat martingál P szerint. El½oször is a Zt de…níciója és az ún. torony-szabály alapján (8.2) sor bal oldala az EP [Xt Zt j Ft 1 ] = EP Xt EP E P E P Xt

dQ j Ft j Ft dP

1

= EP X t

161

dQ j Ft j Ft dP

dQ j Ft dP

1

1

=

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték alakba írható. A jobboldal pedig szintén Zt de…níciója alapján X t 1 Zt

1

= E P Xt

1

dQ j Ft dP

1

alakú. Elegend½o tehát azt belátni, hogy EP X t

dQ j Ft dP

Vegyünk egy tetsz½oleges A 2 Ft Z

1

1

= E P Xt

Z

dQ j Ft dP

1

:

(8.3)

halmazt. Mivel X martingál Q szerint, ezért

Xt dQ =

A

vagyis

1

Z

Xt 1 dQ;

Z

Xt

A

dQ Xt dP = dP A

A

1

dQ dP: dP

Mivel ez minden A 2 Ft 1 halmazra teljesül, ezért a feltételes várhatóérték de…níciójából következik (8.3), és ezzel beláttuk, hogy az XZ folyamat valóban martingál P szerint. Az állítás kiterjeszthet½o tetsz½oleges lokálisan korlátos szemimartingál modellekre is. El½oször azonban vezessük be az állapotár de‡átor fogalmát. 95. De…níció. Legyen X valamely pénzpiac diszkontált árfolyamatát leíró, lokálisan korlátos szemimartingál. Ekkor egy Z pozitív szemimartingált állapotár de‡átornak nevezünk, ha az XZ folyamat P-martingál. Belátható, hogy lokálisan korlátos szemimartingál modellekre teljesül az alábbi állítás (ld.: [49] vagy [35]). 96. Tétel. Legyen X, valamely pénzpiac diszkontált árfolyamatát leíró lokálisan korlátos szemimartingál. Ekkor az X folyamathoz pontosan akkor létezik ekvivalens martingálmérték, ha létezik hozzá állapotár de‡átor. A fentek alapján megállapíthatjuk, hogy az állapotár de‡átor valójában nem más, mint az árazófunkcionál egy újabb reprezentációja, ezért az állapotár de‡átort szokás árazó magnak („pricing kernel”) is nevezni. Az állapotár de‡átor fogalmának közgazdasági interpretációjához térjünk viszsza ismét a véges dimenziós kétperiódusos modellhez. Jelöljük az n-edik értékpapír 162

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték hozamát Rn -nel, vagyis legyen Rn =

Xn (1) Xn (0) ; Xn (0)

és legyen R0 = r determinisztikus. Megmutatható hogy ekkor az n-edik értékpapír EP [Rn ] r kockázati prémiuma és a Z állapotár de‡átor között fennáll az EP [Rn ]

r=

cov(Rn ; Z(1))

összefüggés (ld.: pl. [80], 1.6.). A következ½o alfejezetben megmutatjuk, hogy az állapotár de‡átor fogalmának megfelel½o általánosítása alkalmas az egy ár törvényének matematikai karakterizációjára.

8.3.

Az egy ár törvényének karakterizációja

Ebben az alfejezetben kimondjuk az egy ár törvényét karakterizáló állítást. Tegyük fel, hogy a valószín½uségi mez½o általános, az id½ohorizont véges és az id½oparaméter diszkrét. El½oször is de…niáljuk az egy ár törvényét erre az általános modellre. Tegyük fel, tehát hogy a diszkontált árfolyamatot ezúttal egy (Xt )t T diszkrét, d-dimenziós folyamat írja le. 97. De…níció. Azt mondjuk hogy az X diszkontált árfolyamat által meghatározott pénzpiacon teljesül az egy ár törvénye, ha tetsz½oleges H és H 0 el½orejelezhet½o kereskedési stratégiák valamint és 0 valós számok esetén, melyekre +

T X N X

Hj (s)(Xj (s)

Xj (s

1)) =

0

+

s=1 j=1

teljesül, hogy

T X N X

Hj0 (s)(Xj (s)

Xj (s

1))

s=1 j=1

= 0.

Ekkor teljesül a következ½o állítás (ld.:[14]): 98. Tétel. A fenti pénzpiacon pontosan akkor teljesül az egy ár törvénye, ha létezik egy Zt folyamat, melyre a) Zt korlátos martingál, b) E [Zt ] = 1, 163

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték c) Z0 > 0, d) az XZ folyamat martingál. Vegyük tehát észre, hogy míg az arbitrázsmentesség teljesülése esetén az állapotár de‡átor szigorúan pozitív volt, abban az esetben ha csak az egy ár törvényét követeljük meg, nemhogy pozitív de egy nemnegatív „állapotár de‡átor” sem létezik. Az egyetlen amit biztosít, hogy létezik egyfajta „általánosított állapotár de‡átor”, mely felvehet negatív és pozitív értékeket is.

164

9. fejezet Összegzés

Az értekezés els½o felében áttekintettük az arbitrázs fogalmának és az eszközárazás alaptételének legfontosabb alakjait, a modern arbitrázselmélet közgazdasági és matematikai el½ozményeit, és megpróbáltuk feltárni az arbitrázselméletnek a sztenderd közgazdasági elméletekkel való kapcsolódási pontjait, valamint a konvex halmazok szeparációs tételeinek szerepét. A Radner-egyensúly fogalmának felhasználásával megmutattuk, hogy véges dimenziós esetben a martingálmérték pontosan azt mutatja meg, hogy egy pótlólagos egységnyi Arrow–Debreu értékpapír hányszoros haszonnövekményt eredményez az egy pótlólagos egységnyi els½o periódusbeli biztos vagyonnövekedés haszonnövekményéhez képest. Megtapasztalhattuk, hogy a végtelen dimenziós jószágtér feltételezése egyrészt megsokszorozza a felhasznált matematikai apparátust, valamint hogy a funkcionálanalízis klasszikus szeparációs tételei ebben az esetben nem alkalmazhatóak. Láttuk, hogy csakúgy mint a végtelen dimenziós általános egyensúlyelmélet legfontosabb alkalmazásaiban a jószágtér, az arbitrázselmélet releváns modelljeiben a feltételes követelések tere az L1 tér, ugyanakkor mindkét elméletben elengedhetetlen, hogy az árrendszer –esetünkben a martingálmérték – az L1 topológiai duálisánál sz½ukebb L1 halmazba essen. Miután a Frittelli-féle U szerinti nincs ingyenebéd fogalma segítségével a klasszikus arbitrázsmentességi fogalmak a preferenciák segítségével karakterizálhatóak, ezért megállapíthatjuk, hogy mind az általános egyensúlyelméletben, mind pedig az arbitrázselméletben az árfunkcionál L1 -belisége a preferenciákra vonatkozó megkötésekkel biztosítható. Ezután részletesen ismertettük a szemimartingálokra vonatkozó elméletet. Megmutattuk, hogy a pénzügyi eszközök árazásának alaptétele, igen magas szint½u 165

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték matematikai apparátus felhasználásával, kiterjeszthet½o szemimartingál modellekre is. Megmutattuk, hogy az alaptételhez szorosan kapcsolódik a portfólió optimalizálás dualitáselmélete, ugyanis az eredeti haszonmaximalizációs probléma ekvivalens egy a martingálmértékek halmazán való minimalizálással, ami a gyakorlati alkalmazásokban a matematikai optimalizálás dualitási technikáinak felhasználásával oldható meg. Ugyanakkor, az említett dualitási technikák lehet½ové teszik az alaptétel egy igen érdekes variánsának bizonyítását, vagyis áttérve a Frittelli-féle Uszerinti nincs ingyenebéd fogalomra, az alaptétel jóval egyszer½ubben bizonyítható. Az alábbiakban az arbitrázsmentességi fogalmak karakterizációjának segítségével összevetjük a Delbaen–Schachermayer-féle és a Frittelli-féle alaptételt, valamint egy érdekes interpretációját adjuk a Delbaen–Schachermayer-féle alaptételnek. Tudjuk, hogy a Kreps–Yan-tétel alapján egy lokálisan korlátos szemimartingálra a NFL feltétel biztosítja az ekvivalens lokális martingálmérték létezését. Mivel az L1 tér topológiája …nomabb mint a NFL fogalomban szerepl½o gyenge csillag topológia, vagyis a C halmaz sz½ukebb mint a C halmaz ezért a NFLVR feltétel jóval enyhébb mint a NFL feltétel. Ennélfogva az említett könny½u interpretálhatóság mellett a Delbaen–Schachermayer-féle bizonyítás egy fontos érdeme az, hogy az ekvivalens lokális martingálmérték létezését egy igen enyhe feltétel mellett biztosítja. Az arbitrázsfogalmak karakterizációja alapján ez úgy is fogalmazható, hogy a Delbaen–Schachermayer-tétel esetében az implicit módon feltételezett hasznosságfüggvény-osztály b½ovebb mint a Frittelli-tételben feltételezett függvényosztály, vagyis U1 U2 , ezért az U1 szerinti ingyenebédek halmaza sz½ukebb, mint az U2 szerinti ingyenebédek halmaza, ennélfogva az el½obbi állítás matematikailag mélyebb. A NFL fogalmának Klein-féle karakterizációja alapján továbbá megállapítható, hogy a Frittelli alaptétel tulajdonképpen a Kreps–Yantételhez hasonló mélység½u állítás, és a két állítás ekvivalenciája Orlicz-tér módszerekkel egyszer½uen bizonyítható. Mivel a NFLVR feltétel teljesülése esetén, a C kúp gyenge csillag zárt1 , és így a NFL is automatikusan teljesül, vagyis az U1 szerinti nincs ingyenebéd feltevésb½ol következik az U2 szerinti nincs ingyenebéd feltevése, ezért a martingálmérték létezésének Frittelli-féle bizonyításában a hasznosságfüggvények konkavitásának feltevése valójában semmilyen megszorítást nem jelent. Ennek az igen érdekes közgazdasági tartalmú állításnak a bizonyítása azonban –mivel a C-kúp speciális 1

Ez a Delbaen–Schachermayer-féle bizonyítás érdemi lépése.

166

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték szerkezetén alapul –úgy t½unik, a sztochasztikus folyamatok általános elméletének felhasználása nélkül nem lehetséges.

167

10. fejezet További kutatási lehet½oségek Mint már korábban említettük, az értekezés témájával szoros kapcsolatban van a pénzügyi eszközök árazásának második alaptétele, vagyis a teljesség problémája, melynek kiterjedt irodalma létezik (ld. pl. [21], [11] és [12]). Ennek tanulmányozása egy lehetséges jöv½obeli kutatási feladat. A szemimartingáloknak egy az alkalmazások szempontjából igenfontos osztályát alkotják az ún. Lévy-folyamatok. Mint azt a bevezetésben már említettük, az eszközárazás elmélete a Wiener-folyamatokon alapuló modellekre meglehet½osen kidolgozott, és a témával mára már számos tankönyv foglalkozik, ugyanakkor mindezidáig kevésbé feldolgozott terület a pénzpiacok Lévy-folyamatokon alapuló megközelítése. Empírikus kutatások alátámasztják, hogy a Lévy-folyamatok a pénzpiacoknak egy jóval valóságh½ubb leírását adják mint a Wiener-folyamaton alapuló megközelítés, ezért gyakorlati szempontból igen nagy jelent½oség½u ezen modellek vizsgálata. Tárgyalásunkban mindvégig feltételeztük, hogy a piacok súrlódásmentesek, vagyis a kereskedésnek nincsenek tranzakciós költségei. Az utóbbi évtized kutatásainak egy igen fontos eredménye, hogy bizonyos modellek esetén ezen feltétel feloldható, és az alaptétel kiterjeszthet½o a súrlódásos modellek bizonyos osztályaira (diszkrét modellekre ld.: [58] és [90], folytonos folyamatokra ld.: [42]). Egy további lehetséges jöv½obeni kutatási feladat ezen súrlódásos modellek vizsgálata, és a meglév½o eredmények szemimartingál modellekre való kiterjesztése. Végül, de nem utolsó sorban egy igen érdekes és sokatígér½o kapcsolódó kutatási terület a pénzpiacok gauge-elméleti megközelítése, ami azon alapul, hogy az arbitrázsmentességnek létezik egy di¤erenciálgeometriai eszközöket használó karakterizációja. Ezen megközelítés, bár nem új (ld.: [50]), igen kevéssé kutatott, 168

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték aminek oka többek között a megközelítés újszer½uségében és a közgazdaságtanban még szokatlan matematikai apparátusban keresend½o. A gauge-elméletet a kvantummechanikában és a kozmológiában már a nyolcvanas évek óta használják. A terület felhasználja a di¤erenciálgeometriának, az algebrai topológia homotópiaelméletének és az absztrakt algebra, ezen belül a Lie csoportok és Lie-algebrák elméletének egyes fejezeteit. Ennek az elméletnek a tanulmányozása nem csak az eszközárazás szempontjából lenne érdekes, de a közgazdaságtan más területein való alkalmazhatósága szempontjából is. Annak ellenére, hogy számos kutató a közgazdaságtan megújulását várja a gauge-elmélett½ol, jelenleg a közgazdaságtanban tudomásunk szerint csak az arbitrázselméletben (ld.: [50], [96], [36] és [35]) és az indexszámítás preferenciákon alapuló megközelítésében (ld.: [70]) használják, így igen ígéretes kutatási területnek tekintem az arbitrázselmélet gauge-elméleti megközelítését.

169

A szerz½onek az értekezés témájához kapcsolódó publikációi 1. Szemimartingálok elmélete és a pénzügyi eszközök árazásának alaptétele, I. Országos Gazdaság és Pénzügyi Matematikai PhD Konferencia kiadványa, 2008, Budapest 2. On the General Mathematical Theory of Asset Pricing: Duality in Finance and the Fundamental Theorem of Asset Pricing, (coauthor: Medvegyev Péter), 16th International Conference on Mathematical Methods in Economy and Industry, 2009, (Joint Czech-German-Slovak Conference, Ceské Budejovice) 3. A pénzügyi eszközök árazásának alaptétele lokálisan korlátos szemimartingál árfolyamok esetén, Szigma, 2009/ 3–4., (társszerz½o: Medvegyev Péter) 4. Topológikus vektorterek az arbitrázselméletben, Szemináriumi el½oadás, A Pannon Egyetem Matematika Tanszékének és a VEAB Matematikai és Fizikai Szakbizottsága Matematikai Analízis és Alkalmazási Munkabizottságának szervezésében, 2010 március

170

Irodalomjegyzék [1] Ansel, J.P. –Stricker,C.: Converture des actifs contingents et prix maximum, Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist., 30 (1994), 303–315. [2] Arrow, K.: The role of securities in the optimal allocation of risk Rev. Econom. Stud. 31 (1964), 91–96. [3] Arrow, K.: Essays in The Theory of Risk Bearing. London: Nort-Holland, 1970. [4] Bajeux-Besnainou, I. – Portrait, R.: The Numeraire Porfolio: A New Perspective on Financial Theory, The European Journal of Finance, 3 (1997), 291–309. [5] Badics T. – Medvegyev P.: A Pénzügyi eszközök árazásának alaptétele lokálisan korlátos szemimartingál árfolyamok esetén, Szigma, 2009/3.4. [6] Bazara, M. S.–Sherali, H. D.–Shetty, C. M.: Nonlinear Programming: Theory and Algorithms, John Wiley and Sons, New York, 1993 [7] Bellini, F. –Frittelli, M.: On the Existence of Minimax Martingale Measures, Math. Finance, 12/1 (2002), 1–21. [8] Bewley, T.: Existence of Equilibria in Economies with In…nitely Many Commodities, Journal of Economic Theory, 4 (1972), 514–540. [9] Bingham, N. H. –Kiesel, R.: Risk-Neutral Valuation, Springer-Verlag, London, 1998 [10] Black, F. – Scholes, M.: The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economics, 81 (1973), 637–654.

172

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték [11] Cherny, A.S.: Vector Stochastic Integral in the First Fundamental Theorem of Asset Pricing, Proceedings of the Workshop on Mathematical Finance, INRIA, (1998), 149–163. [12] Cherny, A.S. – Shiryaev, A. N.: Vector Stochastic Integral and the First Fundamental Theorem of Asset Pricing, Proceedings of Steklov Mathematical Institute Seminar, 237 (2002), 12–56. [13] Conze, A. –Vishwanathan, R.: Probability Measues and Numeraire, CEREMADE, Université de Paris, 1991 [14] Courtault, J-M. –Delbaen, F. –Kabanov, Yu. M. –Stricker, C.: On the Law of One Price, Finance and Stochastic 8 (2004), 4, 525–530. [15] Cox, J. C. –Huang, C. F.: Optimal Consumption and Portfolio Policies when Asset Prices Follow Di¤usion Processes, J. Econ. Th. 49 (1989), 33–83. [16] Cox, J. C. – Ross, S. – Rubinstein, M.: Option Pricing: A Simpli…ed Approach, Journal of Financial Economics, 3 (1979), 145-166. [17] Debreu, G.: Uné Économie de l’Incertain. Working paper, Electricité de France, 1953 [18] Debreu, G.: Theory of Value, Wiley, New York, 1959 [19] Dalang, R. C. –Morton, A. –Willinger, W.: Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market model. Stochastics Stochastics Rep., 29 (1990), 185–201. [20] Dana, R. A. – Jeanblanc, M.: Financial Markets in Continuous Time, Springer-Verlag, Berlin, 2007 [21] Delbaen, F. – Schachermayer, W.: A General Version of the Fundamental Theorem of Asset Pricing, Math. Ann., 300 (1994), 463–520. [22] Delbaen, F. – Schachermayer, W.: The No-Arbitrage Property under a Change of Numéraire, Stochastic and Stochastic Reports, 53 (1995) 213–226. [23] Delbaen, F. –Schachermayer, W.: The Fundamental Theorem of Asset Pricing, for Unbounded Stochastic Processes, Math. Ann., 312 (1998), 215–260.

173

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték [24] Delbaen, F. –Schachermayer, W.: The Mathematics of Arbitrage, SpringerVerlag, Berlin, 2006 [25] Dellacherie, C. –Meyer, P. A.: Probabilités et potentiel, Hermann, Paris, vol I, Vol II, 1976, 1980 [26] Doléans-Dade C. –Meyer, P.A.: Intégrales stochastiques par rapport aux martingales locales, Séminaire de Probabiliés IV, Lecture Notes in Mathematics, 124 (1970), 77–107. [27] Doob, J. L.: Stochastic Processes, Wiley and Sons, New York, 1954 [28] Du¢ e, D. – Huang, C-f.: Multiperiod Security Markets With Di¤erential Information, Journal of Mathematical Economics, 15 (1986), 283–303. [29] Du¢ e, D.: Dynamic Asset Pricing Theory, Princeton University Press, 1992 [30] Dunford, N. – Schwartz, J. T.: Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience Publishers, New York, 1958 [31] Dybvig, P. H. – Ross, S. A.: Arbitrage, in: Eatwell, J. – Millgate, M. – Neumann, P., eds., The New Pelgrave: A Dictionary of Economics, London, Macmillan (1987), 100–106. [32] El Karoui, N. –Geman, H. –Rochet, J. C.: Changes of numéraire, changes of probability measure and option pricing, Journal of Applied Probability 32 (1995), 443–458. [33] Elliott, R. J.– Kopp, P. E.: Mathematics of Financial Market, SpringerVerlag, Berlin, 2005 [34] Émery, H.: Une topologie sur l’espace dessemimartingales. In Dellacherie et al. (eds.) Séminaire de Probabilités XIII, Springer Lecture Notes in Mathematics 721 (1979), 260-280. [35] Farinelli, S.: Geometric Arbitrage and Market Dynamics, preprint, elérhet½o: www.ssrn.com, 2009 [36] Farinelli, S.– Vazquez, S.: Gauge invariance, Geometry and Arbitrage, preprint, elérhet½o: www.ssrn.com, 2009

174

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték [37] Fried Ervin: Klasszikus és Lineáris algegra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1977 [38] Frittelli, M.: Some Remarks on Arbitrage and Preferences in Securities Market Models, Math. Finance, 14/3 (2004), 351–357. [39] Frittelli, M.: No arbitrage and Preferences, Instituto Lombardo –Accademia di Scienze e Lettere, (2007), 179–199. [40] Frittelli, M. – Lakner, P.: Almost Sure Characterisation of Martingals, Stochastics and Stochastics Report, 49 (1994) [41] Girsanov, I. I.: On Transforming a Certain Class of Stochastic Processes by Absolutely Continuous Substitution of Measures, Theory of Probability and Applications, Vol. 5 (1960), 285–301. [42] Guasoni, P. –Rásonyi, M. –Schachermayer, W.: The Fundamental Theorem of Asset Pricing for Continuous Processes under Small Transaction Costs, online: Anals of Finance, 2008 [43] Hajnal András – Hamburger Péter: Halmazelmélet, Tankönyvkiadó, Budapest, 1989 [44] Harrison, J. M. – Pliska, S. R.: Martingales and Stochastic integrals in the Theory of Continous Trading. Stochastic Process. Appl., 11 (1981), 215–260. [45] Harrison, J. M. – Kreps, D. M.: Martingales and Arbitrage in Multiperiod Securities Market. J. Econom. Theory, 20 (1979), 381–408. [46] He H. –Pearson, N. D. : Consumption and Portfolio Policies with Incomplete Markets and Short-Sale Constraints: The Finite-Dimensional Case, Mathemathical Finance, 1 (1991), 1–10. [47] He H. –Pearson, N. D.: Consumption and Portfolio Policies with Incomplete Markets and Short-Sale Constraints: The In…nite-Dimensional Case, Journal of Economic Theory, 54 (1991), 259–304. [48] Huang, C. F. –Litzenberger, R. H.: Foundation of Financial Economics, New York: Nort Holland, 1988 [49] Hunt, P. J. –Kennedy, J. E.: Financial Derivatives in Theory and Practice, Wiley Series in Probability and Statistics, New York, 2004 175

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték [50] Ilinski, K.: Physics of Finance, Wiley, New York, 2001 [51] Jacod, J.: Calcul Stochastique et Problèmes de Martingales. Springer Lecture Notes in Mathematics, 714 (1979), 1–539. [52] Jacod, J. – Shiryaev, A. N.: Limit Theorems for Stochastic Processes, Grundlehren der Math. Wissenschaften 288., Springer-Verlag, New York, 2003 [53] Jamshidian, F: Numeraire Invariance and Application to Option Pricing and Hedging, MPRA Paper, No. 7167, February 2008 [54] Jarrow, R.: The Relationship between Arbitrage and First Order Stochastic Dominance, The Journal of Finance, vol. XLI, no. 4, (1986), 915-921. [55] Jarrow, R. –Protter, P.: A Short History of stochastic integration and mathematical …nance: The Early Years, 1880-1970. The Herman Rubin Festschrift, IMS Lecture Notes 45 (2004), 75–91. [56] Jones, L. E.: Special Problems Arising in the Study of Economies with In…nitely Commodities, In:Models of Economic Dynamics, ed.: Hugo, F., Springer-Verlag, Sonnenscheim, Berlin, 1986 [57] Kabanov, Yu. M.: On the FTAP of Kreps–Delbaen–Schachermayer, Statistics and Control of Random Processes, The Liptser Festschrift, Proceedings of Steklov Mathematical Institute Seminar, (1997), 191–203. [58] Kabanov, Yu. M. – Rásonyi, M. – Stricker, C.: No-arbitrage Criteria for Financial Markets with E¢ cient Frictions, Finance Stoch., Vol. 6 (2002), pp. 371–382. [59] Kabanov, Yu. M. –Stricker, C.: A Teachers’Note on No-arbitrage Criteria, Séminaire de probabilités (Strasbourg), 35 (1997), 149–152. [60] Karatzas, I. –Shreve, S.: Methods of Mathematical …nance, Springer-Verlag, New-York, 1998 [61] Karatzas I. – Lehoczki, J. – Shreve, S. – Xu, G.:Martingale and Duality Methods For Utility Maximization in an Incomplete Market, SIAM J. Control Optim., 29 (1991), 702–730.

176

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték [62] Klein, I: A comment on market free lunch and free lunch, Math. Finance 16 (2006), 583–588 [63] Krasnosel’skii, M. A. –Rutickii, Y. B.: Convex Functions and Orlicz Spaces, New York: Gordon and Breach, 1961 [64] Kreps, D. M.: Arbitrage and Equilibrium in Economies with In…nitely Many Commodities, J. Math. Econom., 8 (1981), 15–35. [65] Kristóf J.: Az Analízis Elemei III, ELTE, Budapest, 1997 [66] Kristóf János: Az Analízis Elemei IV, lel½ohely: http://www.cs.elte.hu/~krja, 2004 [67] Kusuoka, S.: A Remark on Arbitrage and Martingale Measure, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 29 (1993), 833–840. [68] La¤ont, J. J.: The economics of Uncertainty and Information, The MIT Press, Cambridge, 1989 [69] Luenberger, D. G.:Optimization by Vector Space Methods, New-York, Wiley Sons Inc. (1969) [70] Malaney, P. N.: The Index Number Problem: A Di¤erential Geometric Approach, PhD Thesis, Harvard University Economics Department, 1996 [71] Mas-Colell, A. –Whinston, M. D.: Microeconomic Theory, Oxford University Press, New York, 1995 [72] Medvegyev Péter: A pénzügyi eszközök árazásának alaptétele diszkrét idej½u modellekben. Közgazdasági Szemle, XLIX, 2002, 574–597 [73] Medvegyev Péter: Valószín½uségszámítás, Aula, Budapest, 2002 [74] Medvegyev P: Sztochasztikus Analízis, Typotex, Budapest, 2004 [75] Medvegyev P.: Stochastic Integration Theory, Oxford University Press, New York, 2007 [76] Medvegyev Péter: A Dalang-Morton-Willinger tétel, Szigma, 2006, 1-2, 73–85.

177

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték [77] Péter Medvegyev: Technical results for no-arbitrage theorems in continuous time, Kézirat, 2007 [78] Mémin, J: Espace de semimartingales et changement de probabilité. Z.W. Verw. Geb, 52 (1980), 9–39. [79] Pliska, S. R.: A stochastic calculus model of continuos trading: optimal portfolios, Math. Oper. Res., 11, (1986), 371–382. [80] Pliska, S. R.:Introduction to mathematical …nance, discrete time models, Blackwell Publishers Inc, 1997 [81] Prescott, E. C. –Lucas, R. E.: Price systems in In…nite Dimensional Space, International Economic Review, 13 (1972), 416–422. [82] Rao, M. M. –Ren, Z. D.: Theory of Orlicz Spaces, New York: Dekker, 1991 [83] Radner, R.: Existence of Equilibrium of Plans, Prices and Price Expectations in a Sequence of Markets, Econometrica, 40 (1972), 289–303. [84] Rockafellar, R. T.: Conjugate duality and optimization, SIAM Publications, No. 16, 1974 [85] Ross, S. A.: Return, risk and arbitrage, In I. Friend and J. Bicksler(eds), Risk and Return in Finance. Cambridge, Mass.: Ballinger, 1976 [86] Ross, S. A.: A Simple Approach to the Valuation of Risky Streams, J. Business, 51 (1978), 453–475. [87] Rudin, W.: Functional Analysis, McGraw-Hill, New York,1991 [88] Rudin, W.: Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, 1987 [89] Schachermayer, W.: A Hilbert Space Proof of the Fundamental Theorem of Asset Pricing in Finite Discrete Time, Insurance Math. Econ. 11 (1992), 249–257. [90] Schachermayer, W.: The Fundamental Theorem of Asset Pricing Under Proportional Transaction Costs in Finite Discrete Time, Math. Finance, Vol. 14 (2004), 19–48.

178

Badics Tamás: Arbitrázs és martingálmérték [91] Schaefer, H. H.: Topological Vector Spaces, 2nd Edition, Springer-Verlag, New York, 1999 [92] A. N. Shiryaev: Essentials of Stochastic Finance: Facts, Models, Theory, World Scienti…c, Singapore, 2001 [93] Lucas, R. E. – Stokey, N. L.: Recursive Methods in Economic Dynamics, Harvard Ubiversity Press, Cambridge, 1989 [94] Stricker, C.: Arbitrage et Lois de Martingale, Annales de l’Institut Henry Poincaré –Probabilités et Statistiques, vol. 26 (1990), 451–460. [95] Tallos Péter: Dinamikai rendszerek alapjai, Aula, Budapest, 1999 [96] Young, K.: Foreign Exchange Market as a Latice Gauge Theory, Am. J. Phys. 67, 1999 [97] Varian. H.R.: The Arbitrage Principle in Financial Economics, The Journal of Economic Perspectives, Vol. 1 (1987), No. 2, 55-72. [98] Zaanen, A. C.: Riesz Spaces II, North-Holland, Amsterdam, 1983

179