Pada gambar 2 merupakan luasan bidang dua dimensi telah mengalami regangan. Salah satu titik yang menjadi titik acuan adalah titik P

Penurunan Kecepatan Gelombang dan Gelombang S Gelombang  seismik  merupakan  getaran  yang  merambat  pada  medium  batuan  dan  menembus  lapisan  bumi.  Penjalaran  menyebabkan  deformasi  batuan.Stress  atau  tekanan  didefinisikan  gaya  persatuan  luas.  Jika  arah  gayanya  tegak  lurus  terhadap  luasan maka disebut normal stress.   

  Gambar 1.Gaya stress yang bekerja pada bidang  Jika  ditinjau  sebuah  elemen  kecil  volume  di  mana  tegangannya  berada  pada  dua  permukaan  yang  tegak  lurus  terhadap  sumbu  x,  maka  komponen-komponen  tegangannya ditunjukan oleh gambar nomor 1. Tegangan normal ditunjukan oleh  Pxx ,Pyy dan  Pzz  .  Jika  arahnya  tangensial  terhadap  luasan  maka  disebut  gaya  shear.  Komponen  stress  pada  kubus  tiga  dimensi  seperti  pada  gambar  1  dapat  dituliskan  dalam bentuk matrik sebagai berikut : 

 

 Pxx Pij    Pxy  Pxz 

Pxy Pyy Pyz

Pxz   Pyz     Pzz 

 

 

 

 

 

 

             1a 

  

  

Karena  elemen  volume  dalam  kondisi  seimbang  maka  jumlah  momen  putarnya  adalah nol maka   

Pxy  Pxz  Pyz  0   

 

Pada  gambar  2  merupakan  luasan  bidang  dua  dimensi  telah  mengalami  regangan.  Salah  satu  titik  yang  menjadi  titik  acuan  adalah  titik  P.  Komponen  pada  M Defi Aryanto

[email protected]

titik P mengalami pergeseran dari P menjadi P' dan besarnya pergesaran adalah u dan  v. Bila setiap titik mengalami perpindahan dengan nilai pergeseran yang sama, maka  pergeseran tersebut dinamakan dengan dilatasi. Namun, jika pergeseran nilai u dan v  berbeda untuk masing-masing titik, maka persegi tersebut akan mengalami perubahan  bentuk dan ukuran dinamakan dengan deformasi.  Regangan  didefinisikan  sebagai  gaya  yang  bekerja  pada  suatu  benda  untuk  meregangkan  benda  tersebut.  Perubahan  fraksional  suatu  benda  elastik  baik  bentuk  maupun  dimensinya  dinamakan  dengan  regangan.  Analisis  kuantitatif  dua  dimensi  regangan  dapat  diilustrasikan  seperti  pada  gambar  2.  Pada  gambar  dibawah  terlihat  perubahan  posisi  koordinat  PQRS  menjadi  P',  Q’,  R’,  S’.  Pada  saat  titik  P  berubah  menjadi P’ akan mempunyai komponen u dan v, misalkan u = u (x,y) danv = v (x,y),  maka         

  Gambar 2. Strain pada dua dimensi   

 

  

 

P ( x , y ); Q ( x  dx , y ); S(x, y  dy); R (x  dx , y  dy ); u v P '( x  u , y  v ); Q '( x  dx  u  dx , y  v  dx )   x x      u v S '( x  u  dy , y  dy  v  dy )   y y u v u v R '( x  dx  u  dx  dy , y  dy  v  dx  dy ) x y x y

M Defi Aryanto

[email protected]

Strain adalah  perubahan  bentuk  pada  material  atau  ukuran.  Normal  strain  pada  volume adalah :  exx 

u    x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a 

eyy 

v    y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2b 

ezz 

w z  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  2c

Pada saat terjadi pergeseran deformasi maka nilai strainya adalah:  exz 

w u   ezx   x z

 

 

 

 

 

 

 

 

3a 

exy 

v u   exy   x y

 

 

 

 

 

 

 

 

3b 

ezy 

w v   exy   y z

 

 

 

 

 

 

 

 

3c 

Dalam bentuk matrik komponen strain dapat ditulis sebagai berikut : 

 exx eij    exy  exz 

exy eyy eyz

exz   eyz  ezz   

   

 

 

 

 

 

 

4

Komponen regangan pada benda yang mengalami perpindahan secara rotasi :   w

u 

 v

u 

 w

v 

 xz       z y     x z 

 xy       yx     x y   yz       zy     y z 

 

 

 

 

 

 

 

5a 

 

 

 

 

 

 

 

5b 

 

 

 

 

 

 

 

5c 

      M Defi Aryanto

[email protected]

Hukum Hooke Dalam hal ini,  Hooke merumuskan hubungan antara tegangan dan regangan. Hooke  mengemukakan  bahwa  jika  tegangan  bekerja  pada  sebuah  benda  dan  menimbulkan  regangan  cukup  kecil,  maka  terdapat  hubungan  secara  linier  antara  tegangan  dan  regangan. Tanpa memperhitungkan komponen arah atas kedua variabel tersebut, pada  medium  yang  bersifat  homogen  isotropik.  Dalam  seismologi,  medium  elastik  yang  bersifat homogen isotropik didefinisikan sebagai sifat medium di mana tidak terdapat  variasi  densitas  di  dalam  medium  sehingga  gelombang  menjalar  dengan  kecepatan  yang sama dalam medium. Hooke mendefinisikan:   

Pxx  Eexx   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6a 

 Pxx  Ee yy    

 

 

 

 

 

 

 

 

6b 

Pxx  Eezz   

 

 

 

 

 

 

 

 

6c 

 

Dimana  E  merupakan  konstanta  modulus  young  dan     merupakan  poisson  rasio.  Dari  persamaan  6a  dapat  diketahui  bahwa  modulus  young  merupakan  rasio  antara  tegangan normal dan regangan normal. Poison rasio adalah sebuah konstanta elastik  yang  merepresentasikan  sifat  fisis  batuan.  Sama  seperti  persamaan  6a,b,c  maka  hubungan antara stress dan strain pada sumbu y dan z sebagai berikut :  Pyy  Ee yy  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7a 

 Pyy  Eexx    

 

 

 

 

 

 

 

 

7b 

 Pyy  Eezz    

 

 

 

 

 

 

 

 

7c 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8a 

 Pz z  Eexx    

 

 

 

 

 

 

 

 

8b 

 Pzz  Eeyy    

 

 

 

 

 

 

 

 

8c 

Dan  

Pzz  Eezz  

Dengan  mengkombinasikan  persamaan  6,7  dan  8  maka  hubungan  antara  stress  dan  strain dapat ditulis kembali sebagai berikut :  M Defi Aryanto

[email protected]

Pxx   Pyy   Pzz  3 Eexx   

 

 

 

 

 

 

 

9a 

 Pxx  Pyy   Pzz  3Ee yy  

 

 

 

 

 

 

 

9b 

 Pxx   Pyy  Pzz  3Eezz  

 

 

 

 

 

 

 

9c 

1    Pxx   ( Pxx  Pyy  Pzz )  Eexx     

 

 

 

 

 

10a 

1    Pyy   ( Pxx  Pyy  Pzz )  Ee yy    

 

 

 

 

           10b 

1    Pzz   ( Pxx  Pyy  Pzz )  Eezz     

 

 

 

 

 

10c 

 

 

 

11 

Persamaan 9 dapat ditulis kembali menjadi : 

Persamaan 10a,b dan c dapat disederhanakan menjadi : 

1  2   Pxx  Pyy  Pzz   E(exx  eyy  ezz )   

 

 

Benda  yang  telah  terkena  gaya  stress  akan  mengalami  perubahan  yang  sangat  kecil  atau dinamakan dengan deformasi yang besarnya dituliskan pada persamaan berikut :    exx  e yy  ezz   

 

 

 

 

 

 

 

 

12 

 

13 

Dengan mensubtitusikan persamaan 12 ke persamaan 11 maka diperoleh : 

P

xx

 Pyy  Pzz  

E   1  2

 

 

 

 

 

 

Dengan menggunakan hubungan antara persamaan 12 dan 13. Disubtitusikan kembali  ke  persamaan  9  maka  hubungan  antara  komponen  stress  dan  komponen  strain  sebagai berikut : 

Pxx    2 exx   

 

 

 

 

 

 

 

 

Pyy    2  e yy  

 

 

 

 

 

 

 

           14b 

Pzz    2ezz  

 

 

 

 

 

 

 

 

14a 

14c 

Dimana     merupakan  inkompresibilitas  dan     adalah  rigiditas  besarnya  sebagai  berikut : 



E

1    (1  2 )

    

 

 

 

 

 

 

 

15 

Dan   M Defi Aryanto

[email protected]



E    2(1   )

Persamaan  14  merupakan  hubungan  antara  stress  normal  dengan  strain  normal.  Hubungan antara stress geser dan strain geser sebagai berikut :  Pxy  2  exy     

 

 

 

 

 

 

 

 

Pxz  2exz  

 

 

 

 

 

 

 

 

           16b 

Pyz  2  e yz  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16a 

16c 

Dengan  mengkombinasikan  persamaan  14a,b,c  dan  persamaan  16a,b,c  hubungan  antara stress dan strain untuk bidang padat adalah : 

 Pxx   Pxy  Pxz 

Pxy Pyy Pyz

 exx Pxz  1 0 0     Pyz     0 1 0   2  exy 0 0 1  exz Pzz    

exy eyy eyz

exz   eyz     ezz 

 

 

 

17 

Menurut hukum Newton kedua adanya ketidak seimbangan gaya menimbulkan gerak  yang besarnya sama dengan massa dikali percepatan : 

 2u Pxx Pxy Pxz  2         t x y z

 

 

 

 

 

 

18 

   merupakan  densitas  sedangkan  u  merupakan  strain  dalam  arah  sumbu  x.  Persamaan  18  menghubungkan  besaran  strain  yang  dinyatakan  dalam  bentuk  percepatan dimana besarnya dinyatakan dalam  

 2u P dan besarnya stress  xx .  2 x t

Hukum Hooke menjelaskan hubungan antara stress dan strain pada medium homogn  isotropis sebagai berikut : 

Pxx    2 exx   

 

 

 

 

 

 

 

 

Pxy  2  exy     

 

 

 

 

 

 

 

           19b 

Pxz  2exz  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19a 

19c 

Dengan mensubtitusikan persamaan 19a,b,c kedalam persamaan 18 dan diassumsikan  parameter elastis    dan    konstan maka diperoleh :  M Defi Aryanto

[email protected]



exy e e  2u   xx  2  2 xz     2 t x y z

 

 

 

 

 

20 

Prinsip dari strain dituliskan dalam persamaan (2a,b,c) dan dilatasi seperti persamaan  12 maka komponen perubahan dapat dituliskan sebagai berikut : 



u v w      x y z

 

 

 

 

 

 

 

 

21 

Kemudian  subtitusikan  persamaan  21  dan  hubungan  antara  komponen  strain  dan  komponen  perubahan  pada  persamaan  (2a,b,c)  dan  (3a,b,c)  kedalam  persamaan  20  maka diperoleh : 

  2 v  2u    2 w  2u   2u   u v w   2u  2        2 2     2   2     t x  x y z  x  yx y   zx z 

22a 

Persamaan 28a dapat disederhanakan sebagai berikut : 



 2u   u v w    2u  2v  2 w   (    )         t 2 x  x y z   x 2 y 2 z 2 

 

 

           22b 

Dengan  mensubtitusikan  persamaan  21  dan  menggunakan  operator  laplace 

 2 2 2     2  2  2   kedalam persamaan 22b maka diperoleh :   x y z  2



 2u   (   )   2u     2 t x

 

 

 

 

 

 

23a 

Dengan cara  yang sama maka dapat menghitung komponen perubahan untuk  v  dan 

w     2v   (   )   2 v     2 t y

 

 

 

 

 

           23b 

2w   2  (   )   2 w     t z

 

 

 

 

 

 



23c 

Perpindahan  didefinikasn  dengan  vektor  u  (  u , v , w    dan  mengkombinasikan  persamaan (23a,b,c) maka diperoleh : 

M Defi Aryanto

[email protected]



 2u  (   )  2u 2 t

24

Persamaan 24 merupakan persamaan untuk gelombang yang merambat pada medium  isotropis  Untuk  memperoleh  persamaan  gerak  gelombang,  dapat  dilakukan  pen-deferensialan  ketiga  persamaan  (23a,b,c)  terhadap  masing-masing  arah.Persamaan  23a  diturunkan  terhadap x sehingga menjadi : 



   2u  2    2u  2u  2u   (    )            x  t 2  x 2 x  x 2 y 2 z 2 

 

 

 

25a 

 

 

           25b 

 

 

 

Persamaan 23b diturunkan terhadap y 



   2u  2    2v  2 v  2v   (    )            y  t 2  y 2 x  x 2 y 2 z 2 

Persamaan 23c ditutunkan terhadap z 



  2w  2   2w 2w 2w   (    )          z  t 2  x 2 z  x 2 y 2 z 2 

25c 

Penjumlahan dari hasil deferensial pada persamaan (25a,b,c) sebagai berikut : 



  2 2  2   2  u v w   2  u u u     (    )        2      t 2  x y z  y 2 z 2  x 2  x y z   x

 2  u u u   2  u u u   2      2     y  x y z  z  x y z 

  

26 

 2 2 2  Subtitusikan  persamaan  21  dan  operator  laplace     2  2  2  kedalam   x y z  2

persamaan 26 maka diperoleh : 



 2     2   2     t 2

 

 

 

 

 

 

 

27 

 

 

 

 

 

 

 

28 

Atau  

1 2   2     2  t M Defi Aryanto

 

[email protected]

     



Penurunan gelombang S



 2u   (   )   2u     2 t x

 

 

 

 

 

 

23a 

Dengan cara  yang sama maka dapat menghitung komponen perubahan untuk  v  dan 

w   



 2v   (   )   2 v     2 t y



2w   (   )   2 w 2 t z  

 

 

 

 

 

           23b 

 

 

    

           29a 

 

 

 

 

          29b 

 

 

 

                        30 

 

Persamaan 23b diturunkan terhadap z maka :  

   2v   2   (    )    2v       2 z  t  zy z

Persamaan 23c diturunkan terhadap y 

  2w  2    2   (   )    2 w   y  t  yz y Persamaan 29b-29a : 



 w v    w v      2       2  t  y z   y z 

Subtitusikan persamaan 5c kedalam persamaan 30 sehingga : 



 2 yz t 2

  2 yz   

 

 

 

 

 

 

 

 

31 

 

32a 

Dengan melakukan hal yang sama persamaan 23a diturunkan terhadap z 



   2u   2   (    )     2u     2 z  t  zx z

 

 

 

 

Persamaan 23c diturunkan terhadap x 

M Defi Aryanto

[email protected]



  2 w   2   (    )    2 w    2  x  t  xz x

 

 

 

 

           32b 

 

 

 

 

             33 

Persamaan 32b dikurangi persamaan 32 a :    w u   w u      2       2  t  x z   x z 



Subtitusikan persamaan 5a kedalam persamaan 33 : 



 2 xz   2 xz   t 2

Terakhir  persamaan  23a  diturunkan  terhadap  y  dan  persamaan  23b  diturunkan  terhadap x sehingga : 

   2u   2    2   (   )     2u    y  t  yx y

 

 

 

 

 

   2v  2   (    )    2v     2 x  t  xy x

 

 

 

 

           34b 

 

 

 



34a 

Persamaan 34b dikurangi dengan persamaan 34a menjadi :   v u    v u      2      2  t  x y   x y 



 

 

 

35 

Subtitusikan persamaan 5b kepersamaan 35 :   2 xy



t

2

  2 xy

 

Vektor rotasi didefinisika sebagai    ( xy ,  xz ,  yz ) perambatan gelombang s adalah  

 2  2  2   t 1



2



 

 

 

 

 

 

 

 

36 

 2   2     t

       M Defi Aryanto

[email protected]