BAB II TINJAUAN PUSTAKA. beberapa titik ke satu titik atau beberapa titik lainnya. Sistem perpipaan (piping

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1

Sistem Perpipaan Pipa digunakan untuk mengalirkan fluida (zat cair atau gas) dari satu atau

beberapa titik ke satu titik atau beberapa titik lainnya. Sistem perpipaan (piping system) terdiri dari gabungan pipa-pipa yang memiliki panjang total relatif pendek dan digunakan untuk mengalirkan fluida dari suatu peralatan ke peralatan lainnya yang beroperasi pada suatu plant. Sistem perpipaan dilengkapi dengan komponenkomponen seperti katup, flens, belokan, percabangan, nozzle, reducer, tumpuan, isolasi, dan lain-lain. Pada dasarnya bila kita analogikan seperti tubuh kita, sistem perpipaan kurang lebih sama seperti pembuluh darah yang mengantarkan darah ke organorgan tubuh dengan sistem tertentu. oleh karena itu sistem perpipaan bagaikan urat nadi dalam dunia industri baik migas ataupun industri proses.Dalam dunia industri, biasa dikenal beberapa istilah mengenai sistem perpipaan seperti piping dan pipeline.Piping adalah sistem perpipaan di suatu plant, sebagai fasilitas untuk mengantarkan fluida (cairan atau gas) antara satu komponen ke komponen lainnya untuk melewati proses-proses tertentu. Piping ini tidak akan keluar dari satu wilayah plant.Sedangkan pipeline adalah sistem perpipaan untuk mengantarkan fluida antara satu plant ke plant lainnya yang biasanya melewati beberapa daerah.Ukuran panjang pipa biasanya memiliki panjang lebih dari 1 km bergantung jarak antar plant.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Sistem perpipaan dapat ditemukan hampir pada semua jenis industri, dari sistem pipa tunggal yang sederhana sampai sistem pipa bercabang yang sangat kompleks. Contoh sistem perpipaan adalah, sistem distribusi air minum pada gedung atau kota, sistem pengangkutan minyak dari sumur bor ke tandon atau tangki penyimpan, sistem distribusi udara pendingin pada suatu gedung, sistem distribusi uap pada proses pengeringan dan lain sebagainya. Sistem perpipaan meliputi semua komponen dari lokasi awal sampai dengan lokasi tujuan antara lain, saringan (strainer), katup atau kran, sambungan, nosel dan sebagainya. Untuk sistem perpipaan yang fluidanya liquid, umumnya dari lokasi awal fluida, dipasang saringan untuk menyaring kotoran agar tidak menyumbat aliran fuida. Saringan dilengkapi dengan katup searah ( foot valve) yang fungsinya mencegah aliran kembali ke lokasi awal atau tandon. Sedangkan sambungan dapat berupa sambungan penampang tetap, sambungan penampang berubah, belokan (elbow) atau sambungan bentuk T (Tee).

2.2

Teori Tegangan Pengetahuan mengenai sifat-sifat mekanik material sangat penting.Melalui

pengetahuan ini dapat diperkirakan tegangan-tegangan yang terjadi pada sistem perpipaan.Dalam kode ditetapkan aturan-aturan agar pada sistem perpipaan tidak terjadi tegangan yang berlebih sehingga dapat terhindar dari kegagalan.Secara umum teori tegangan pada sistem perpipaan merupakan pengembangan dari teori tegangan dalam mekanika.Oleh sebab itu, dapat digunakan dalam perhitungan dan analisis tegangan pada sistem perpipaan.


2.2.1. Tegangan Satu Arah (Uniaxial) Tegangan uniaxial adalah tegangan yang bekerja pada suatu benda dimana gaya yang berkerja hanya terjadi dalam satu arah. Tegangan yang dialami oleh benda merupakan tegangan tarik untuk keadaan normal ( tanpa terbentuk sudut ). Untuk tegangan yang terdapat pada benda dengan sudut tertentu,maka akan dihasilkan tagangan geser dan tegangan tarik dalam arah 𝜃𝜃. Keadaan tegangan ini

pada aplikasi suatu batang lurus berpenampang A dengan gaya dan arah yang ditunjukkan seperti gambar 2.1. Dianggap bahwa tegangan terbagi rata diseluruh penampang yang tegak lurus dengan luasan pada benda, dimana gaya yang bekerja terdapat pada koordinat sumbu x. A F

F

Gambar 2.1 Distribusi Tegangan Uniaxial Akibat dari gaya-gaya yang bekerja pada benda, maka akan terbentuk sudut potong pada benda sebesar 𝜃𝜃. Dimana dengan sudut tersebut akan diproyeksikan nilai tegangan – tegangan yang terjadi pada benda tersebut seperti

tegangan geser dan tarik dalam arah 𝜃𝜃. Kesetimbangan gaya dan tegangan dapat

dilihat pada gambar 2.2.

F

𝜃𝜃

𝜎𝜎 =

𝐹𝐹 𝐴𝐴

Gambar 2.2 Distribusi Tegangan Uniaxial


Persamaan untuk distribusi tegangan pada gambar 2.2 dapat dilihat pada persamaan 2.1 dibawah ini. 𝜎𝜎 = dimana:

𝐹𝐹 𝐴𝐴

σ= tegangan (N/𝑚𝑚2 ) F = gaya (N) A = luas penampang (𝑚𝑚2 ) 𝜃𝜃

𝜎𝜎𝑥𝑥

𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥

𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝜃𝜃

𝜃𝜃

𝜎𝜎𝑥𝑥

𝐴𝐴𝜃𝜃

𝜎𝜎𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 𝜏𝜏𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃

Gambar 2.3 Distribusi Tegangan Uniaxialpada sudut 𝜃𝜃

Pada gambar 2.3 terlihat beberapa tegangan yang terdapat pada benda yang membentuk sudut 𝜃𝜃. Dengan menuliskan bentuk persamaan dari gambar tersebut kedalam kesetimbangan gaya maka akan diperoleh nilai tegangan tarik dan tegangan geser. Untuk persamaan tegangan tarik pada gambar 2.3 diperoleh dengan menjumlahkan tegangan pada garis sumbu yang sama, dimana tegangan terhadap


sudut 𝜃𝜃 bekerja pada arah yang samadengan tegangan 𝜎𝜎 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐, dengan

menggunakan kesetimbangan gaya akan diperoleh persamaan 2.1.

𝜎𝜎𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 - 𝜎𝜎 𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0

(2.1)

Untuk menentukan nilai 𝐴𝐴𝑥𝑥 dapat diubah ke dalam bentuk A𝜃𝜃 dengan

menggunakan persamaan 2.2 :

𝐴𝐴𝑥𝑥

𝐵𝐵

A

𝜃𝜃

𝐴𝐴𝜃𝜃

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =

𝐴𝐴𝑥𝑥

𝐴𝐴𝜃𝜃

𝐶𝐶 (𝐴𝐴 − 𝐵𝐵) = 𝐴𝐴𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝐴𝐴 − 𝐶𝐶) = 𝐴𝐴𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

(2.2)

Dengan demikian nilai 𝐴𝐴𝑥𝑥 pada persamaan 2.2, dapat disubstitusikan

kedalam persamaan 2.1 sehingga akan diperoleh persamaan tegangan tarik 𝜎𝜎𝜃𝜃 yang bekerja terhadap sumbu 𝜃𝜃,dapat dilihat pada persamaan 2.3: 𝜎𝜎𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 - 𝜎𝜎 𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐= 0 𝜎𝜎𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝜎𝜎𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 (𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝝈𝝈𝜽𝜽 = 𝝈𝝈𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 𝜽𝜽

(2.3)

Pada saat kondisi 𝜃𝜃 = 0 , maka persamaan 2.3 akan berubah menjadi persamaan 2.4 :

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 (12 ) 𝝈𝝈𝜽𝜽 = 𝝈𝝈𝒙𝒙

(2.4)


Untuk persamaan tegangan geser pada gambar 2.3 diperoleh dengan menjumlahkan semua tegangan pada garis sumbu yang sama, dimana tegangan geser terhadap sudut 𝜃𝜃 bekerja pada arah yang sama dengan tegangan 𝜎𝜎 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠, dengan menggunakan kesetimbangan gaya akan diperoleh persamaan 2.5 : 𝜏𝜏𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠= 0 𝜏𝜏𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝜏𝜏𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝝉𝝉𝜽𝜽

(2.5)

= 𝝈𝝈𝒙𝒙 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔

Melalui persamaan trigonometri diketahui bahwa : 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 = 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 =

1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 2

Dengan merubah persamaan trigonometri diatas kedalam persamaan trigonometri pada persamaan tegangan geser maka akan dihasilkan persamaan akhir untuk tegangan geser, yaitu pada persamaan 2.6 : 𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝟏𝟏

(2.6)

𝝉𝝉𝜽𝜽 = 𝝈𝝈𝒙𝒙 𝟐𝟐 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔

Pada saat kondisi 𝜃𝜃 = 0 dan 𝜃𝜃 = 45𝑜𝑜 , akan diperoleh tegangan geser: 𝜃𝜃 = 0

1

𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2(0) 𝝉𝝉𝜽𝜽 =0

𝜃𝜃 = 45𝑜𝑜

1

𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2(45° ) 𝝉𝝉𝜽𝜽 =

𝝈𝝈𝒙𝒙 𝟐𝟐

Tegangan tarik maksimum adalah nilai tegangan pada batas tertinggi yang dapat diterima oleh benda yang mengalami gaya tarik pada luasannya.Tegangan


tarik maksimum merupakan batas pada benda untuk berubah bentuk ketika diberikan pembebanan secara terus menerus sehingga melewati batas nilai tegangan maksimum.Nilai dari tegangan ini dapat dihitung melalui perhitungan secara matimatik pada lingkaran mohr pada gambar 2.4.

Syarat untuk memperoleh tegangan tarik maksimum adalah : Syarat

𝜕𝜕𝜎𝜎 𝜃𝜃

𝜎𝜎

𝜎𝜎𝑥𝑥

𝑑𝑑( 2𝑥𝑥 +

=0

𝜕𝜕𝜕𝜕

2

𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃)

𝜎𝜎𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃� = 0 2

0 + −2 � −2 �

=0

𝜎𝜎𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃� = 0 2 0

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 = −𝜎𝜎 = 0 𝑥𝑥

2𝜃𝜃 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠−1 0 𝜃𝜃 =

1 (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠−1 0) 2

𝜃𝜃 = 0, 90, 180 𝜋𝜋 𝜃𝜃 = 0, , 𝜋𝜋 2

Sehingga 𝜎𝜎𝜃𝜃 maximum pada 𝜃𝜃 = 0𝑜𝑜 dapat diperoleh dengan memasukkan

nilai sudut yang mengakibatkan terbentuknya tegangan tarik maksimum. 𝜎𝜎𝜃𝜃 =

𝜎𝜎𝜃𝜃 =

𝜎𝜎𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 2 2 𝜎𝜎𝑥𝑥 2

+

𝜎𝜎𝑥𝑥

𝜎𝜎𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥

2

(1) = 𝜎𝜎𝑥𝑥

( 2.7)


Tegangan geser maksimum adalah tegangan yang paling besar diterima benda ketika diberikan gaya F pada arah 𝜃𝜃. Dengan demikian tegangan geser

maksimum merupakan batas dari tegangan yang dapat diterima oleh benda yang jika diberikan gaya yang lebih besar maka akan terjadi perubahan bentuk pada benda. Syarat untuk terjadinya tegangan geser maksimum adalah : 𝜕𝜕𝜏𝜏𝜃𝜃 =0 𝜕𝜕𝜕𝜕 σ

𝜕𝜕 � x � sin2θ 2 𝜕𝜕𝜕𝜕

=0

σx � cos2θ = 0 2

2�

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 = 0 𝜃𝜃 =

𝜋𝜋 3𝜋𝜋 , 4 4

Sehingga dengan memasukkan besaran sudut yang menghasilkan tegangan geser maksimum akan diperoleh nilai maksimum dari tegangan geser yaitu pada persamaan 2.8 :

𝜏𝜏𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 ′ = 𝑚𝑚𝑚𝑚 sin 2𝜃𝜃 =

𝜏𝜏𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃 =

𝜎𝜎𝑥𝑥 𝜋𝜋 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 = 2 4 2 𝜎𝜎𝑥𝑥 2

( 2.8 )


2.2.1.1 Lingkaran Mohruntuk Tegangan Uniaxial Persamaan lingkaran mohr untuk tegangan uniaxial diperoleh dengan menjumlahkan kuadrat dari tiap –tiap tegangan geser dan tegangan tarik pada arah 𝜃𝜃 yang merupakan bentuk dari persamaan dasar lingkaran. Persamaan yang

dibentuk akan menjadi persamaan lingkaran mohr untuk tegangan uniaxial, merupakan bentuk perwakilan dari besaran besaran nilai tegangan kedalam bentuk gambar. Penyederhanaan persamaan untuk lingkaran mohr dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan trigonometri dalam aturan kosinus sebagai berikut. cos 2𝜃𝜃 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜃𝜃

Cos 2𝜃𝜃 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃 − (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃) cos 2𝜃𝜃 = 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃 − 1 2cos 2𝜃𝜃 = 1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝜃𝜃 cos2 𝜃𝜃 =

1 1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝜃𝜃 2 2

Persamaan untuk tegangan tarik pada arah 𝜃𝜃 dengan menggunakan

penyederhanaan aturan kosinus. 𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃

1 1 𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 ( + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃) 2 2 𝜎𝜎𝜃𝜃 =

𝜎𝜎𝜃𝜃 −

𝜎𝜎𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 2 2

𝜎𝜎𝑥𝑥 2

=

𝜎𝜎𝑥𝑥 2

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃

( 2.9 )


Persamaan untuk tegangan geser pada permukaan 𝜃𝜃 yaitu : 𝜏𝜏𝜃𝜃 =

𝜎𝜎𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 2

(𝜎𝜎𝜃𝜃 − (𝜎𝜎𝜃𝜃 − (𝜏𝜏𝜃𝜃

𝜎𝜎𝑥𝑥 2

𝜎𝜎𝑥𝑥 2

=

𝜎𝜎

) 2 = ( 2𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃)2 𝜎𝜎

) 2 = ( 2𝑥𝑥 )2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 2𝜃𝜃

𝜎𝜎

( 2.10 )

𝜎𝜎𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃)2 2

𝜏𝜏𝜃𝜃 2 = ( 2𝑥𝑥 )2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 2𝜃𝜃

( 2.11 )

Pada penjumlahan eliminasi yang sama

sehingga akan menghasilkan

persamaan lingkaran mohr sebagai berikut: (𝜎𝜎𝜃𝜃 −

𝜎𝜎𝑥𝑥 2

𝜎𝜎

) 2 = ( 2𝑥𝑥 ) 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 2𝜃𝜃 𝜎𝜎

𝜏𝜏𝜃𝜃 2 = ( 2𝑥𝑥 )2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 2𝜃𝜃

(𝜎𝜎𝜃𝜃 − (𝜎𝜎𝜃𝜃 −

𝜎𝜎𝑥𝑥 2

𝜎𝜎𝑥𝑥 2

𝜎𝜎

+

𝜎𝜎

) 2 + 𝜏𝜏𝜃𝜃 2 = ( 2𝑥𝑥 ) 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 2𝜃𝜃 + ( 2𝑥𝑥 )2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 2𝜃𝜃 𝜎𝜎

) 2 + 𝜏𝜏𝜃𝜃 2 = ( 2𝑥𝑥 ) 2 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 2𝜃𝜃 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 2𝜃𝜃)

Dengan demikian persamaan lingkaran mohr diperoleh pada persamaan 2.12:

(𝜎𝜎𝜃𝜃 −

𝜎𝜎𝑥𝑥 2

𝜎𝜎

) 2 + 𝜏𝜏𝜃𝜃 2 = = ( 2𝑥𝑥 ) 2

( 2.12 )


𝜏𝜏

𝜏𝜏𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

𝜎𝜎𝜃𝜃

O

M

𝜎𝜎𝑥𝑥 2

𝜎𝜎𝑥𝑥

B 𝜎𝜎𝑥𝑥 2

2𝜃𝜃


𝜏𝜏𝜃𝜃

𝐵𝐵′

A 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

𝜎𝜎

𝜎𝜎𝑥𝑥 2

Gambar 2.4 Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Uniaxial

Gambar pada lingkaran mohr merupakan bentuk perhitungan tegangan secarah menyeluruh, dimana dengan gambar tersebut akan dapat lebih mudah untuk menentukan tegangan maksimum dan minimum yang dialami oleh benda yang dapat dilihat melalui ilustrasi gambar. Pada lingkaran mohr untuk tegangan uniaxial dapat dilihat bahwa nilai dari tegangan minimum adalah nol untuk tegangan tarik.

2.2.2. Tegangan Dua Arah (Biaxial) Tegangan Biaxial adalah tegangan yang bekerja pada suatu benda dimana gaya yang berkerja terjadidalam dua arah. Tegangan dalam dua arah meliputi tegangan terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y.Tegangan yang dialami oleh benda merupakan tegangan tarik untuk keadaan normal ( tanpa terbentuk sudut ). Untuk tegangan yang terdapat pada benda dengan sudut tertentu,maka akan dihasilkan tagangan geser dan tegangan tarik dalam arah 𝜃𝜃. sehingga dengan menggunakan kesetimbangan energi akan diperoleh persamaan persamaan untuk


tegangan geser dan tegangan tarik. Pada tegangan biaxial terdapat tiga tegangan yang bekerja pada tiap garis yang sama yaitu tegangan pada sudut 𝜃𝜃, tegangan pada luasan sumbu y dan tegangan pada sumbu x yang diproyeksikan terhadap satu garis yang sama.

y 𝜎𝜎𝑦𝑦

n

𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃

θ 𝜎𝜎𝑥𝑥

x

𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥

𝜎𝜎𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃

θ

x

𝜃𝜃

𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝜎𝜎𝑦𝑦 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃

𝜃𝜃

𝜎𝜎𝑦𝑦 𝐴𝐴𝑦𝑦

𝜏𝜏𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

Gambar.2.5Tegangan pada Sebuah Batang

Dari gambar 2.5 akan diperoleh persamaan untuk tegangan tarik dan geser dengan menggunakan kesetimbangan gaya pada satu sumbu garis yang sama.Untuk persamaan tegangan tarik pada gambar 2.5 diperoleh dengan menjumlahkan tegangan pada garis sumbu yang sama, dimana tegangan terhadap sudut 𝜃𝜃 bekerja pada arah yang samadengan tegangan 𝜎𝜎 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 dan 𝜎𝜎 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃

pada dua luasan yang berbeda dengan menggunakan kesetimbangan gaya akan diperoleh persamaan 2.13. 𝜎𝜎𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 cos θ − 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝐴𝐴𝑦𝑦 sin θ =0 𝜎𝜎𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 cos θ + 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝐴𝐴𝑦𝑦 sin θ

𝜎𝜎𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 (𝐴𝐴𝜃𝜃 cos θ) cos θ + 𝜎𝜎𝑦𝑦 (𝐴𝐴𝜃𝜃 sin θ) sin θ 𝜎𝜎𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 cos 2 θ + 𝜎𝜎𝑦𝑦 sin2 θ


1

𝜎𝜎𝜃𝜃 = 2 (𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦 ) +

1 2

(𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 ) cos 2θ

( 2.13 )

Jadi persamaan untuk menentukan tegangan maksimal pada tegangan dua arah adalah :

𝟏𝟏

𝝈𝝈𝜽𝜽 = 𝟐𝟐 (𝝈𝝈𝒙𝒙 + 𝝈𝝈𝒚𝒚 ) +

𝟏𝟏 𝟐𝟐

(𝝈𝝈𝒙𝒙 − 𝝈𝝈𝒚𝒚 ) cos 2θ

(2.14)

Untuk persamaan tegangan geser pada gambar 2.5 diperoleh dengan menjumlahkan semua tegangan pada garis sumbu yang sama, dimana tegangan geser terhadap sudut 𝜃𝜃 bekerja pada arah yang sama dengan tegangan 𝜎𝜎 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

dan 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐pada dua gaya yang bekerja pada permukaan 𝜃𝜃 dengan menggunakan kesetimbangan gaya akan diperoleh persamaan 2.15 (Lit. Timosenko, hal 47).

𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝜏𝜏𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0

𝜏𝜏𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝜏𝜏𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 (𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 (𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝟏𝟏

𝝉𝝉𝜽𝜽 = 𝟐𝟐 (𝝈𝝈𝒙𝒙 − 𝝈𝝈𝒚𝒚 )sin2θ

(2.15)

Tegangan tarik maksimum adalah nilai tegangan pada batas tertinggi yang dapat diterima oleh benda yang mengalami gaya tarik pada luasannya.Tegangan tarik maksimum merupakan batas pada benda untuk berubah bentuk ketika diberikan pembebanan secara terus menerus sehingga melewati batas nilai


tegangan maksimum.Nilai dari tegangan ini dapat dihitung melalui perhitungan secara matimatik pada lingkaran mohr pada gambar 2.6. Syarat untuk mendapatkan tegangan tarik maksimum adalah : 𝜕𝜕𝜎𝜎𝜃𝜃 =0 𝜕𝜕𝜕𝜕

σx + σy

𝜕𝜕[�

2

σ x −σ y

�+ �

𝜕𝜕𝜕𝜕

2

� cos2θ

=0

σx − σy � sin2θ = 0 2

0 + −2 �

− (σx − σy ) sin2θ = 0

sin2θ = 0 θ = 0,

π ,π 2

Tegangan tarik maksimum diperoleh dengan mensubsitusikan nilai sudut yang mengakibatkan terbentuknya tegangan tarik maksimum untuk tegangan biaxial.

σθ =

(σ x + σ y ) 2

+

(σ x −σ y ) 2

cos 2θ

σx + σy σx − σy �+� � cos0o 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = � 2 2 σθ =

(σ x + σ y ) 2

+

σx + σy

𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = �

2

(σ x −σ y ) 2

(1)

σ x −σ y

�+�

2

�

( 2.16)

Tegangan geser maksimum adalah tegangan yang paling besar diterima benda ketika diberikan gaya F pada arah 𝜃𝜃. Dengan demikian tegangan geser maksimum


merupakan batas dari tegangan yang dapat diterima oleh benda yang jika diberikan gaya yang lebih besar maka akan terjadi perubahan bentuk pada benda.

Syarat untuk terjadinya tegangan geser maksimum adalah : 𝜕𝜕τθ =0 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕 �

σ x −σ y 2

� sin2θ

𝜕𝜕𝜕𝜕

=0

σx − σy � cos2θ = 0 2

2�

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 = 0

𝜃𝜃 =

𝜋𝜋 3𝜋𝜋 , 4 4

Dengan demikian akan diperoleh nilai dari tegangan geser maksimum dengan memasukkan besaran dari nilai sudut yang menghasilkan tegangan maksimum. Sehingga akan diperoleh tegangan geser maksimum untuk biaxial ditunjukkan pada persamaan 2.17 :

σ x −σ y

τθ = �

2

σ x −σ y

τθ = �

2

𝜋𝜋

�sin2 (4 )

�sin 2 (45o )

σ x −σ y

τmax = �

2

�

( 2.17 )


2.2.2.1 Lingkaran Mohr untuk Tegangan Biaxial Persamaan lingkaran mohr untuk tegangan biaxial diperoleh dengan menjumlahkan kuadrat dari tiap –tiap tegangan geser dan tegangan tarik pada arah 𝜃𝜃 yang merupakan bentuk dari persamaan dasar lingkaran. Persamaan yang

dibentuk akan menjadi persamaan lingkaran mohr untuk tegangan biaxial, merupakan bentuk perwakilan dari besaran besaran nilai tegangan kedalam bentuk gambar. σθ =

(σ x + σ y )

σθ −

2

+

(σ x + σ y )

τθ = �

2

σ x −σ y 2

(σ x −σ y )

=

2

cos 2θ

(σ x −σ y )

�sin2θ

2

cos 2θ

Sehingga dengan menjumlahkan kuadrat dari tiap persamaan tegangan akan terbentuk persamaan lingkaran dasar dalam bentuk tegangan umum yang dapat menentukan nilai maksimum dan nilai minimum tegangan geser dan tegangan tarik.

[σθ − (

[σθ − (

σx + σy 2

)]2 = (

τθ

σx + σy 2

σ x −σ y 2 ) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 2𝜃𝜃 2 σ x −σ y 2

=�

2

� sin2 2θ

)]2 + (τθ )2 = (

(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)2 + (𝑦𝑦 − 𝑏𝑏)2 = 𝑟𝑟 2

+

σ x −σ y 2 ) 2

(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)2 + (𝑦𝑦)2 = 𝑟𝑟 2


𝜏𝜏

𝜎𝜎𝜃𝜃


O

𝜎𝜎𝑦𝑦

B

σx − σy 2

𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

σx + σy 2

M

𝜎𝜎𝑥𝑥


C

2𝜃𝜃

𝜏𝜏𝜃𝜃

𝐶𝐶 ′ A


𝜎𝜎

σx + σy 2

Gambar 2.6 Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Biaxial

Gambar pada lingkaran mohr merupakan bentuk perhitungan tegangan secarah menyeluruh, dimana dengan gambar tersebut akan dapat lebih mudah untuk menentukan tegangan maksimum dan minimum yang dialami oleh benda yang dapat dilihat melalui ilustrasi gambar. Pada lingkaran mohr untuk tegangan uniaxial dapat dilihat bahwa nilai dari tegangan minimum adalah nol untuk tegangan tarik.

2.2.3

Tegangan Utama (Principal Stress) Tegangan

maksimum

atau

minimum

pada

suatu

batang

dapat

digambarkan pada sebuah elemen yang mendapat beban. Dimana penjabaran tegangan yang terjadi dapat diuraikan, sehingga nantinya mendapatkan persamaan minimum dan maksimum untuk mencari nilai suatu tegangan. Titik centroid pada benda akan menjabarkan tegangan-tegangan yang terjadi, sehingga untuk mendapatkan persamaan akan lebih mudah.


𝜏𝜏𝑦𝑦𝑦𝑦

𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥

y 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃

x

𝜎𝜎𝑥𝑥 a

𝜎𝜎𝑦𝑦b


𝜏𝜏𝑦𝑦𝑦𝑦

y

𝜎𝜎𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃

𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥

𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃

𝜎𝜎𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃

θ

𝜎𝜎𝑦𝑦 𝐴𝐴𝑦𝑦

𝜃𝜃

θ

𝜎𝜎𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐θ 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 x 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜏𝜏𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃

𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑦𝑦

𝜎𝜎𝑦𝑦 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃

𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑦𝑦

𝜎𝜎𝑦𝑦 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃

Gambar.2.7 tegangan umum yang terjadi

Dari gambar 2.7 tersebut dimana : A x = Aθ cos θ

A y = Aθ sin θ

Tegangan tarik utama adalah tegangan yang dibentuk dari gaya tarik utama pada tiap – tiap sumbu yaitu tegangan tarik pada sumbu x dan tegangan tarik terhadap sumbu y, dimana persamaan untuk tegangan tarik utama diperoleh dengan menjumlahkan tiap tegangan pada satu sumbu yang sama dan segaris. Tegangan tarik pada luasan θ terletak pada satu garis dengan tegangan 𝜎𝜎𝑥𝑥 cos θ

dan σ y sin θ. Dengan penjumlahan secara vektor maka akan diperoleh persamaan untuk tegangan tarik utama yang terlihat pada persamaan 2.18 berikut :

σθ Aθ = σ x A x cos θ + σ y A y sin θ- 2 τ xy Aθ cos θ sin θ

σθ Aθ = σ x (Aθ cos θ) cos θ+ σ y (Aθ sin θ)sin θ - 2 τ xy Aθ cos θ sin θ σθ = σ x cos2 θ+ σ y sin2 θ- 2 τ xy cos θ sin θ


𝛔𝛔𝛉𝛉 = (

𝛔𝛔𝐱𝐱 + 𝛔𝛔𝐲𝐲 𝟐𝟐

)+(

𝛔𝛔𝐱𝐱 − 𝛔𝛔𝐲𝐲 𝟐𝟐

) cos 2θ - 2 τ xy sin 2θ

( 2.18)

Tegangan geser utama adalah tegangan yang dibentuk dari gaya geser utama pada tiap – tiap sumbu yaitu tegangan geser pada sumbu x dan tegangan geser terhadap sumbu y, dimana persamaan untuk tegangan geser utama diperoleh dengan menjumlahkan tiap tegangan pada satu sumbu yang sama dan segaris. Tegangan geser θ yang terletak pada satu garis dengan tegangan 𝜎𝜎𝑥𝑥 sin θ dan σ y cos

θ. Dengan penjumlahan secara vektor maka akan diperoleh persamaan untuk tegangan geser utama yang terlihat pada persamaan 2.19 (Lit.Timosenko hal 75). 𝜏𝜏𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 + 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0

𝜏𝜏𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝜏𝜏𝑦𝑦 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝜏𝜏𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝜏𝜏𝑦𝑦 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝜏𝜏𝜃𝜃 𝐴𝐴𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 (𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 (𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 −

𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝐴𝐴𝜃𝜃 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝜏𝜏𝜃𝜃 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃 − 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜃𝜃 𝜏𝜏𝜃𝜃 =

𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑥𝑥 1 1 1 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 � + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃� − 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 � + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃� 2 2 2 2 2 2

𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 1 𝜏𝜏𝜃𝜃 = �𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 + + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 − + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 2 2 2 2 2 1

𝜏𝜏𝜃𝜃 = 2 �𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 𝟏𝟏

𝝉𝝉𝜽𝜽 = 𝟐𝟐 �𝝈𝝈𝒙𝒙 − 𝝈𝝈𝒚𝒚 �𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 + 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄

(2.19)


Tegangan tarik maksimum adalah nilai tegangan pada batas tertinggi yang mampu diterima oleh beban. Tegangan tarik maksimum merupakan batas yang diizinkan dalam pemberian gaya berupa pembebanan. Tagangan tarik maksimum pada tegangan utama memiliki syarat dalam penentuan nilai sudut yang dibentuk. Syarat untuk memperoleh tegangan tarik utama maksimum adalah : 𝜕𝜕𝜎𝜎𝜃𝜃 =0 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜎𝜎𝑥𝑥 +𝜎𝜎𝑦𝑦

𝜕𝜕 ��

2

𝜎𝜎𝑥𝑥 −𝜎𝜎𝑦𝑦

�+�

2

� 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 − 2𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃�

𝜕𝜕𝜕𝜕

=0

𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 − 2𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 (2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃) = 0 2

0 + −2 �

−�𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 − 4𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 = 0 �𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 = −4𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 −4𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 �𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 �

𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 = −4 � � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 �𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 � 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2𝜃𝜃 =


�𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 �

Sehingga Tegangan Tarik Utama Maximum adalah : 𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = � �+� � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 − 2𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 2 2

𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 =� �+� � − 2𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 2 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃


𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 =� �+� � − 2𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 2 2

𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 =� �+� � − 2𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 � � 2 2 𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 2 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = � � + �� + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 2 2 2 Tegangan geser utama maksimumadalah batas nilai tegangan tertinggi yang mampu diterima oleh benda pada pembentukan sudut tertentu, dimana nilai sudut yang dibentuk dapat ditentukan dengan menentukan titik maksimum dari tegangan geser utama.Syaratuntuk menentukan tegangan geser utama maksimum mempengaruhi besarnya pembebanan yang mampu diterima oleh benda. Syarat untuk memperoleh tegangan geser utama maksimum adalah : 𝜕𝜕𝜏𝜏𝜃𝜃 =0 𝜕𝜕𝜕𝜕


𝜕𝜕 ��

2

� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃� 𝜕𝜕𝜕𝜕

=0

𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 (−2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃) = 0 2

𝜕𝜕 �

�𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 − 2𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 = 0

�𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 = 2𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 �𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 � = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 2𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2𝜃𝜃 =

�𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 � 2𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

1 �𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 � � � 2 2𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2𝜃𝜃 =

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡2𝜃𝜃 = �

�𝜎𝜎𝑥𝑥 −𝜎𝜎𝑦𝑦 � 2

2𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥

�

Sehingga Tegangan Geser Maximum Utama adalah (Lit. Timosenko hal 68): 𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃 2

𝜏𝜏𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = �


=�

2


=�


2

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝜃𝜃

� 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝜃𝜃 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 ��

�

𝜎𝜎 𝑥𝑥 −𝜎𝜎 𝑦𝑦 2

𝜏𝜏 𝑥𝑥𝑥𝑥

�

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝜃𝜃

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝜃𝜃

� + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥

2

𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 = �� + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 2 2

2.2.3.1. LingkaranMohr Tegangan Utama Lingkaran mohr untuk tegangan utama dibentuk dari persamaan dasar dari lingkaran dengan menjumlahkan persamaan pada tegangan tarik utama dan tegangan geser utama.Persamaan yang diperoleh merupakan dasar untuk membentuk lingkaran.Tegangan maksimum dan minimum dapat dihitung melalui perhitungan untuk titik terjauh pada lingkaran sepanjang sumbu x dan tegangan tarik utama minimum dapat dihitung melalui penentuan titik terdekat pada sumbu x. Persamaan – persamaan tersebut dapat dilihat pada lingkaran mohr pada gambar 2.8.


𝜏𝜏


𝜎𝜎𝑥𝑥

𝜎𝜎𝑦𝑦

y

𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 2

�𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 � F

𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 2

H

B �𝜎𝜎𝑦𝑦 . 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 �

𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 O

E 𝜎𝜎2


2𝜃𝜃

C

𝜎𝜎𝑦𝑦

��

𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦 2

𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 2 � + 𝜏𝜏𝑋𝑋𝑋𝑋 2 2

D 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝜎𝜎1 A �𝜎𝜎𝑥𝑥 . 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 �

2𝜃𝜃


x

G 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

Gambar 2.8Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Utama

Dengan demikian nilai – nilai tegangan yang dapat diperhitungkan pada pembebanan yang diberikan dapat dilihat berdasarkan gambar yang dilukis berdasarkan perhitungan dari nilai – nilai tegangan tarik dan geser pada sudut pembentuk.Diagram mohr merupakan bentuk dari semua tegangan yang mempengaruhi benda yang dapat dilihat melalui gambar.


2.3. Sistem Penumpu Pipe support adalah salah satu bagian yang penting dalam sistem perpipaan atau

di

suatu

plant.Sistem

penumpu

berfungsi

untuk

menahan

dan

mengkondisikan suatu sistem perpipaan sehingga aman sampai waktu yang telah ditentukan, bahkan diharapkan berfungsi selama pipa masih digunakan. 2.3.1. Momen Lentur (Bending Momen) Momen lentur merupakan kebalikan (arah) dari tahanan momen dengan besaran yang sama. Momen lentur juga dinotasikan dengan M. Momen lentur lebih lazim digunakan daripada tahanan momen dalam perhitungan karena momen ini dapat dinyatakan secara langsung dari beban atau gaya-gaya eksternalnya. 2.3.2. Gaya geser Gaya geser adalah berlawanan arah dengan tahanan geser tetapi besarnya sama. Biasanya dinyatakan dengan V. Dalam perhitungan, gaya geser lebih sering digunakan daripada tahanan geser. 2.3.3. Gaya dan Momen pada tumpuan Ketika pipa dibebani dengan gaya atau momen, tegangan internal terjadi pada batang. Secara umum, terjadi tegangan normal dan tegangan geser.Untuk menentukan besarnya tegangan-tegangan ini pada suatu bagian atau titik tersebut.Untuk menentukan besarnya resultan pada tumpuan dapat menggunakan persamaan-persamaan kesetimbangan. Berikut ini adalah contoh analisa 1 dimensi arah x untuk menentukan arah gaya dan momen pada sebuah pipa yang ditumpu.


Diagram benda bebas:

P A

B a

RAx

b L

RAy

RBy

Gambar 2.9Diagram Benda Bebaskesetimbangan gaya dan momen

Dari diagram benda bebas diatas akan didapatgaya–gaya reaksi yang bekerja pada tiap tumpuan yangterlihat pada persamaan dari gambar 2.9 : ∑𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0

𝑃𝑃𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐵𝐵𝐵𝐵 (𝐿𝐿) = 0 𝑅𝑅𝐵𝐵𝐵𝐵 (𝐿𝐿) = 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑃𝑃

𝑅𝑅𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐿𝐿 ∑𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0

𝑅𝑅𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑅𝑅𝐵𝐵𝐵𝐵 − 𝑃𝑃 = 0 𝑅𝑅𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑅𝑅𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐿𝐿


Persamaan momen untuk batasan0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑎𝑎


Mx 𝑅𝑅𝐴𝐴𝐴𝐴

Nx

x

v

𝑅𝑅𝐴𝐴𝐴𝐴

∑𝑀𝑀 = 0

𝑀𝑀𝑥𝑥 − 𝑅𝑅𝐴𝐴𝐴𝐴 (𝑥𝑥) = 0 𝑀𝑀𝑥𝑥 = 𝑅𝑅𝐴𝐴𝐴𝐴 (𝑥𝑥)

𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝑥𝑥) 𝐿𝐿

𝑀𝑀𝑥𝑥 =

Untuk nilai x = 0

𝑀𝑀0 = 0

Untuk nilai x = a 𝑀𝑀𝑎𝑎 =

𝑃𝑃𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝐿𝐿

Dan untuk persamaan gaya geser diperoleh : ∑𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0

𝑅𝑅𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑉𝑉𝑥𝑥 = 0 𝑉𝑉𝑥𝑥 = 𝑅𝑅𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑃𝑃𝑃𝑃

𝑉𝑉𝑥𝑥 = 𝐿𝐿

Untuk nilai x = 0 𝑉𝑉0 =

𝑃𝑃𝑏𝑏 𝐿𝐿

𝑉𝑉𝑎𝑎 =

𝑃𝑃𝑏𝑏 𝐿𝐿

Untuk nilai x = a


Sedangkan persamaan momen untuk batasan 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝐿𝐿 P


a x

M

x-a

Nx v


∑𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0

𝑀𝑀𝑥𝑥 + 𝑃𝑃(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) − 𝑅𝑅𝐴𝐴𝐴𝐴 (𝑥𝑥) = 0 𝑀𝑀𝑥𝑥 = 𝑅𝑅𝐴𝐴𝐴𝐴 (𝑥𝑥) − 𝑃𝑃(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) 𝑀𝑀𝑥𝑥 =

𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝑥𝑥) − 𝑃𝑃(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) 𝐿𝐿

Untuk nilai x = a 𝑀𝑀𝑎𝑎 =

𝑃𝑃𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝐿𝐿

Untuk nilai x = l 𝑀𝑀𝑙𝑙 = 0

Dan untuk persamaan gaya geser diperoleh : ∑𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0

𝑅𝑅𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑃𝑃 − 𝑉𝑉𝑥𝑥 = 0 𝑉𝑉𝑥𝑥 = 𝑅𝑅𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝑃𝑃 𝑉𝑉𝑥𝑥 =

𝑃𝑃𝑃𝑃 − 𝑃𝑃 𝐿𝐿

𝑉𝑉𝑥𝑥 = −



Untuk nilai x = a 𝑉𝑉𝑎𝑎 =


Untuk nilai x = l 𝑉𝑉𝑙𝑙 =


𝑉𝑉𝑙𝑙 = −


Dari hasil penurunan persamaan diatas untuk momen dan gaya geser akan didapat bentuk diagram untuk masing-masing persamaan momen dan gaya geser dimana gambar yang dihasilkan berdasarkan bentuk dari diagram benda bebas pada gambar 2.10 :

P A


B a L

𝑅𝑅𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐿𝐿

b

+

𝑅𝑅𝐵𝐵𝐵𝐵

−


𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝑎𝑎) 𝐿𝐿

Gambar 2.10 Diagram gaya geser dan momen lentur


2.4

Klasifikasi Tegangan Tegangan yang tejadi dalam sistem perpipaan dapat dikelompokkan ke

dalam dua kategori, yakni Tegangan Normal (Normal Stress) dan Tegangan Geser (Shear Stress). Tegangan normal terdiri dari tiga komponen tegangan, yang masing-masing adalah: 1. Tegangan Longitudinal (Longitudinal Stress), yaitu tegangan yang searah panjang pipa. 2. Tegangan Tangensial atau Tegangan Keliling (Circumferential Stressatau Hoop Stress), yaitu tegangan yang searah garis singgung penampang pipa. 3. Tegangan Radial (Radial Stress), yaitu tegangan searah jari-jari penampang pipa.

Tegangan Geser terdiri dari dua komponen tegangan, yang masing-masing adalah: 1. Tegangan Geser (Shear Stress), yaitu tegangan akibat adanya gaya yang berimpit atau terletak pada luas permukaan pipa. 2. Tegangan Puntir atau Tegangan Torsi (Torsional Stress), yaitu tegangan yang terjadi akibat momen puntir pada pipa.

2.4.1

Tegangan Longitudinal ( Longitudinal Stress) Tegangan Longitudinal merupakan jumlah dari Tegangan Aksial (Axial

Stress), Tegangan Lentur (Bending Stress) dan Tegangan Tekanan Dalam (Internal Pressure Stress). Mengenai ketiga tegangan ini dapat diuraikan berikut ini.


2.4.1.1 Tegangan Aksial Tegangan aksial adalah tegangan yang ditimbulkan oleh gayaF ax yang bekerjasearah dengan sumbu pipa, dan dapat diperlihatkan seperti gambar 2.11:

Gambar 2.11 Tegangan Aksial

σ ax = 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹

(2.20)

𝐴𝐴𝐴𝐴

Dimana :

σ ax

=Tegangan aksial

Am

= Luas penampang pipa =

𝜋𝜋

4

(do2 – di2 )

do

= diameter luar

di

= diameter dalam

Fax

= gaya normal (N)

2.4.1.2 Tegangan Lentur (Bending Stress) Tegangan yang ditimbulkan oleh momen M yang bekerja diujung-ujung benda.Dalam

hal

ini

tegangan

yang

terjadi

dapat

berupa

Tensile


Bending.Tegangan lentur maksimum terletak pada permukaan pipa dan nol pada sumbu pipa, dapat ditunjukkan pada gambar 2.12 :

Gambar 2.12.Bending Momen

𝜎𝜎𝑏𝑏 =

𝑀𝑀 𝑥𝑥 𝑐𝑐

(2.21)

𝐼𝐼

Tegangan maksimum terjadi pada dinding terluar dari pipa

𝜎𝜎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 =

𝑀𝑀 𝑥𝑥 𝑅𝑅𝑅𝑅

Dimana :

𝐼𝐼

=

𝑀𝑀 𝑍𝑍

M

= Momen bending

c

= Jari-jari terluar pipa

I

= Momen inersia penampang

I

= 64 ( do4 – di4 )

Z

(2.22)

𝜋𝜋

= Section modulus 𝐼𝐼

= 𝑅𝑅𝑅𝑅


2.4.2 Tegangan Geser Berbeda dengan tegangan normal akibat gaya aksial, Tegangan geser terjadi pada permukaan pipa dimana gaya yang bekerja terletak pada permukaan pipa atau bekerja sejajar terhadap permukaan pipa. Tegangan geser terjadi diakibatkan oleh gaya yang bekerja sejajar dengan permukaan pipa dan karena adanya momen torsi yang terdapat pada pipa, momen torsi ini dapat berupa dua gaya yang bekerja sejajar dengan arah yang berlawanan (momen kopel).

2.4.2.1 Tegangan geser akibat gaya geser (V) Tegangan geser akibat gaya geser (V) dapat dihitung dengan menggunakan persamaan 2.23:

τ max=

𝑉𝑉

𝐴𝐴

(2.23)

Dimana : V

= Gaya Geser

A

= Luas penampang Tegangan ini mempunyai nilai minimum di sumbu netral (di sumbu

simetri pipa) dan bernilai nol pada titik dimana tegangan lendut maksimum( yaitu pada permukaan luar dinding pipa). Karena hal ini dan juga karena besarnya tegangan ini biasanya sangat kecil, maka tegangan ini dapat diabaikan.


2.4.2.2 Tegangan geser akibat momen puntir Tegangan geser akibat momen puntir (Mt) dapat dihitung dengan menggunakan persamaan 2.24(Lit. Hibeller, Hal 143) :

τ max=

𝑴𝑴𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑟𝑟

𝐽𝐽

(2.24)

Dimana :

Mt = Momen Puntir J

= Momen Inersia Polar Tegangan ini terjadi akibat adanya momen yang bekerja pada pipa yang

mengakibatkan adanya pergeseran sudut terhadap sumbu pipa, momen yang bekerja dapat berupa momen ataupun gaya yang mengakibatkan terjadinya puntiran.

2.4.3

Tegangan Torsi Suatu bentangan bahan dengan luas permukaan tetapdikenai suatu puntiran

( twisting ) pada setiap ujungnya danpuntiran ini disebut juga dengan torsional, dan bentangan bendatersebut dikatakan sebagai poros ( shaft ).Distribusi tegangan bervariasi dari nol pada pusat poros sampai dengan maksimum pada sisi luar poros, seperti diilustrasikan pada gambar 2.13:


Gambar 2.13. Distribusi Tegangan Geser

2.4.3.1 Momen Inersia( Polar ) Untuk suatu batang bulat berlubang (pipa) dengan diameter luar D o dan diameter dalam D i , momen kutub inersia (polar momen of inertia) penampang melintang luasnya, biasanya dinotasikan dengan J(Lit.Hibbeler, hal 72). Dimana :

J=

𝜋𝜋

32

(D 0 4 – D i 4)

(2.25)

Momen kutub inersia untuk batang bulat tanpa lubang (batang pejal) dapat diperoleh dengan memberi nilai D i = 0. Kuantitas dari J merupakan sifat matematis dari geometri penampang yang melintang yang muncul dalam kajian tegangan pada batang atau poros bulat yang dikenai torsi.

2.4.3.2 Regangan Geser Suatu garis membujur a-b digambarkan pada permukaan poros tanpa beban.Setelah suatu momen punter T dikenakan pada poros, garis a-b bergerak menjadi a-b’ seperti ditunjukkan pada gambar berikut.Sudut γ, yang diukur dalam radian, diantara posisi garis akhir dengan garis awal didefinisikan sebagai


regangan geser pada permukaan poros. Definisi yang sama berlaku untuk setiap titik pada batang poros tersebut, dapat ditunjukkan pada gambar 2.14 :

Gambar 2.14. Regangan Geser

2.5

Persamaan Tegangan Pada Sistem Perpipaan Persamaan tegangan pada sistem perpipaan merupakan persamaan yang

dapat diturunkan dari persamaan untuk tegangan 𝜎𝜎1,2 yang sesuai dengan aplikasi

tersebut. Pada dasarnya persamaan tegangan yang dihasilkan pada tiap kondisi yang berbeda diperoleh dari persamaan untuk tegangan utama, yang membedakan persamaan tegangan pada tiap-tiap kondisi itu adalah tegangan terhadap sumbu x dan tegangan terhadap sumbu y. Pada kondisi bending tegangan terhadap sumbu x tidak berlaku atau diabaikan dengan sudut pembentuk 𝜃𝜃 dengan nilai 90 derajat. Secara umum akan terlihat pada gambar 2.15

Gambar 2.15 Sistem Perpipaan Sederhana

Maka akan berlaku persamaan Tegangan Utama dengan ketentuan dimana pada gambar diatas menunjukkan bahwa, arah tegangan terhadap sumbu x adalah


0, dan hanya ada tegangan yang bekerja terhadap sumbu y. Tegangan geser yang terjadi pada gambar diatas adalah tegangan geser akibat gaya geser yang bekerja searah dengan luas penampang pipa, secara umum dapat dilihat pada persamaan dibawah ini (Lit. Timosenko hal 43).

𝜎𝜎1,2

𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 2 � =� �± � � + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 2 2 2

Dimana 𝜎𝜎𝑦𝑦 dan 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 pada kondisi lentur pada sistem penumpu akan berubah

menjadi persamaan yang sesuai dengan keadaan dari bentuk beam yang dalam hal ini berbentuk pipa dimana tidak terjadi tegangan dalam arah sumbu x (𝜎𝜎𝑥𝑥 =0). 𝜎𝜎𝑥𝑥 = 0 ( tidak ada tegangan terhadap sumbu x ) 𝜎𝜎𝑦𝑦 =

𝑀𝑀 𝑥𝑥 𝑐𝑐

𝑉𝑉 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐴𝐴

𝐼𝐼

Dimana : M= momen bending C= jari-jari terluar pipa I= Momen inersia penampang V = Gaya Geser A = Luas penampang


Sehingga akan diperoleh persamaan untuk tegangan lentur pada sistem penumpu yaitu :

𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 2 𝜎𝜎1,2 = � � ± �� + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 2 2 2

0 + 𝜎𝜎𝑦𝑦 0 − 𝜎𝜎𝑦𝑦 2 𝜎𝜎1,2 = � � ± �� + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 2 2 2 𝜎𝜎1,2

𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑦𝑦 2 � = ± � � + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 2 2 2

𝜎𝜎1 = 𝜎𝜎2 =

𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑦𝑦 2 + �� + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 2 2 2

𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑦𝑦 2 − �� + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 2 2 2


BAB II TINJAUAN PUSTAKA. beberapa titik ke satu titik atau beberapa titik lainnya. Sistem perpipaan (piping

Recommend Documents