Diktat KINEMATIKA Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno
Bab III
KECEPATAN RELATIF DAN PERCEP ATAN RE LATIF 3.1
KECEPATAN RELATIF
3.1.1 Kecepatan relatif dua buah titik pada satu penghubung kaku Penghubung berputar terhadap satu titik tetap Perhatikan sebuah penghubung kaku yang berputar terhadap satu titik tetap O. Seperti ditunjukkan dalam gambar 3.1
VB y
y
?
VBy
B
VB x ?
B R
R ?
? x
O
x
O
Gambar 3.1. Kecepatan sebuah titik yang bergerak terhadap satu titik tetap
Jarak antara O dan B adalah R dan garis O-B membuat suatu sudut sebesar θ terhadap sumbu x .
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
21
Diktat KINEMATIKA Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno
Perpindahan titik B dalam arah sumbu x = R cos θ dan perpindahan titik B dalam arah sumbu y = R sin θ Dideferensial terhadap waktu dengan harga R konstan diperoleh :
dx d ( R cos θ ) dθ = = R( − sin θ ) dt dt dt
dy d ( R cos θ ) dθ = = ( R cos θ ) dt dt dt dx dt
Kecepatan titik B dalam arah x adalah =
Kecepatan titik B dalam arah y adalah V B y =
Kecepatan sudut garis O-B adalah : ω =
dy dt
dθ dt
Maka kecepatan pada titik B : 1. Dalam arah x adalah VB x = -R ω sin θ 2. Dalam arah y adalah VB y = R ω cos θ
Kecepatan total titik B diperoleh dengan menjumlahkan secara vector kedua komponen kecepatan tegak lurus.
VB = R ω sin θ
R ω cos θ
VB = [(R ω sin θ ) 2 + ( Rω cos θ ) 2]1/2 = Rω (sin2 θ + cos 2 θ ) = Rω
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
22
Diktat KINEMATIKA Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno
Dari gambar diatas ditunjukkan bahwa kecepatan titik B tegak lurus terhadap garis O-B.
3.1.2 Hubungan kecepatan dua buah titik pada satu penghubung kaku Persamaan kecepatan relatif untuk dua buah titik pada satu penghubung kaku dapat diperoleh dengan mengembangkan prosedur analisa diatas.
R? cos ? y
y B
y
R? sin?
R
B R sin ?
?
B
V Ax
?
?
YA
? ?
A
A x
O XA
R cos ?
R?
VAy
O
x
O
x
Gambar 3.2. Hubungan kecepatan dua buah titik pada satu penghubung kaku
Perhatikan
sebuah
garis A-B, seperti terlihat pada gambar 3.3 yang
mempunyai gerak kombinasi translasi dan rotasi. Koordinat titik A adalah (X A,YA), panjang A-B sebesar R dan sudut yang dibentuk garis A-B dan sumbu x adalah θ . Sehingga koordinat titik B adalah :
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
23
Diktat KINEMATIKA Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno
X B = X A + R cos θ YB = YA + R sin θ Dideferensialkan terhadap waktu t, dan R adalah besaran Konstanta
dxB dX A dθ = − R sin θ dt dt dt dyB dYA dθ = + R cos θ dt dt dt
Dengan
dxB dx dy dy dθ x x y y = VB , A = VA , B = VB , A = VA , dan ω = dt dt dt dt dt
Maka
VBx = VAx − Rω sin θ VBy = V Ay + Rω cos θ
Posisi dari vector-vektor kecepatan ini ditunjukkan pada gambar 3.3. Dengan menjumlahkan kedua persamaan diatas akan diperoleh kecepatan total dari titik B. VB = (V aX Harga (V aX
V ay )
(R ω sin θ
R ω cos θ )
V ay ) adalah kecepatan total titik A , VA dan
Harga (R ω sin θ
R ω cos θ ) = R ω , maka persamaan diatas dapat
dituliskan menjadi : VB = VA
Rω
Dengan R ω adalah vector kecepatan yang tegak lurus ke garis A-B dan dalam arah yang sama dengan kecepatan sudutnya. Kecepatan relatif titik B terhadap titik A adalah VBA = R ω .
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
24
Diktat KINEMATIKA Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno
Sehingga untuk dua buah titik pada satu penghubung kaku, dapat dipakai salah satu dari dua persamaan dibawah ini :
3.2
VB = VA
Rω
VB = VA
VB A
PERCEPATAN RELATIF
3.2.1 Percepatan sebuah titik pada sebuah penghubung yang berputar terhadap satu pusat tetap dengan jari -jari konstan.
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
25
Diktat KINEMATIKA Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
26
Diktat KINEMATIKA Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno
y
R a sin ? B
a R
?
Ra R a cos ? x
O (e)
Gambar 3.3. Percepatan sebuah titik pada sebuah penghubung yang berputar terhadap satu pusat tetap.
Penghubung (Link) O 2 – B (Gambar 3.3 a) berputar terhadap satu pusat tetap O 2, dengan kecepatan sudut ω radian per detik, kearah melawan putaran jam (CCW), dan percepatan sudutnya α . Jarak O 2 – B sama dengan R. link O2 – B membentuk sudut θ dengan sumbu x. Diinginkan percepatan total yang diterima titik B. Kecepatan titik B: 1. Dalam arah x adalah VB x = -R ω sin θ 2. Dalam arah y adalah VB y = R ω cos θ Kedua persamaan diatas dideferensialkan terhadap waktu t, dan R adalah konstanta dihasilkan :
dVBx dθ dω = − R[ω (cos θ ) + (sin θ ) ] dt dt dt
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
27
Diktat KINEMATIKA Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno
dVBy dθ dω = R[ω (− sin θ ) + (cos θ ) ] dt dt dt Percepatan titik B dalam arah sumbu x :
dVbx = ABx dt
Percepatan titik B dalam arah sumbu y :
dVby = AByx dt
Percepatan sudut : α =
dω dt
Sehingga persamaan diatas menjadi : A xB = − Rω 2 cos θ − Rα sin θ A yB = − Rω 2 sin θ + Rα cos θ Gambar 6.1b memperlihatkan vector-vektor dalam posisinya masingmasing, sehingga percepatan total titik B adalah : AB =
( Rω 2 cos θ
Rω 2 sin θ )
( Rα sin θ
Rα cos θ )
Kedua komponen tegak lurus dalam tanda kurung pertama, yang ditunjukkan dalam gambar 3.3c memberikan sebuah resultan R? 2, yang mempunyai arah dari titik B ke pusat perputaran penghubung (link). Dua komponen kedua tegak lurus dalam tanda kurung kedua, yang ditunjukkan dalam gambar 3.3d memberikan sebuah resultan Ra, yang mempunyai arah tegak lurus ke garis B-O2 . Gambar 3.3e menunjukkan pengaruh pembalikan arah percepatan sudutnya. Sehingga percepatan total titik B dapat dinyatakan dengan persamaan : AB = R ω 2
Rα
Dengan : R ω 2 disebut komponen percepatan normal atau radial Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
28
Diktat KINEMATIKA Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno
R α disebut komponen percepatan tangensial
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
29
Diktat KINEMATIKA Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno
3.2.2 Percepatan relatif dua buah titik pada satu penghubung kaku Sebuah gari A-B seperti pada gambar , adalah bagian dari penghubung kaku yang bergerak dalam suatu bidang dengan gerak sebarang, lokasi titik B :
y
?
A
R
a
B
?
YA
O
XA
x
(a)
X B = X A + R cos θ YB = YA + R sin θ Kecepatan titik B : VBx = VAx − Rω sin θ
VBy = V Ay + Rω cos θ Persamaan kecepatan titik B dideferensialkan terhadap waktu t dengan harga R konstan diperoleh :
dVBx dVAx dθ dω = − R[ω (cos θ ) + (sin θ ) ] dt dt dt dt
dVBy dVAy dθ dω = + R[ω ( − sin θ ) + (cos θ ) ] dt dt dt dt Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
30
Diktat KINEMATIKA Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno
Percepatan titik B dalam arah sumbu x :
dVbx = ABx dt
Percepatan titik B dalam arah sumbu y :
dVby = AByx dt
Percepatan titik A dalam arah sumbu x :
dVbAx = AAx dt
Percepatan titik A dalam arah sumbu y :
dVAy = AAyx dt
Kecepatan sudut: ω =
dθ dt
Percepatan sudut : α =
dω dt
Maka persamaan diatas dapat dituliskan menjadi : A xB = AAx − Rω 2 cos θ − Rα sin θ A yB = AAy − Rω 2 sin θ + Rα cos θ
Percepatan total titik B, AB diperoleh dengan menjumlahkan komponen tegak lurus: AB = A xB
A yB
Dengan menjumlahkan vector seperti yang ada digambar dengan urutan sebagai berikut : AB = (A xA
A yA )
( Rω 2 cos θ
Rω 2 sin θ )
( Rα sin θ
Rα cos θ )
Suku dalam kurung pertama adalah percepatan total titik A Suku dalam kurung kedua adalah samadengan Rω 2 yaitu vector yang arahnya dari B ke A. Suku dalam kurung ketiga adalah sama dengan Rα
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
31
Diktat KINEMATIKA Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno
yaitu vector dengan arah tegak lurus B-A dan arahnya sesuai dengan arah percepatan sudutnya. Sehingga percepatan titik B dapat dinyatakan dengan : AB = AA
Rα
Rω 2
y
Ra
AA
B a
R
? A
O
x
(c)
Dari persamaan ini percepatan titik B sama dengan percepatan titik A ditambah denganpercepatan relatif titik B terhadap titik A. Sehingga persamaan percepatan titik B dapat dituliskan : AB = AA
ABA
Dengan mengganti R = BA dan ω =
AB = AA
V 2 BA BA
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
VBA maka didapatkan persamaan : BA
BA α
32
Diktat KINEMATIKA Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno
Soal-soal : I.
Kecepatan Relatif
1.
penghubung
A-B
penghubung
telah
bagian
dari
dianalisa
dan
sebuah
mekanisme
empat
telah
didapatkan
bahwa
kecepatan A adalah 10 m/dt seperti ditunjukkan. Juga diketahui bahwa kecepatan sudut penghubung untuk sesaat pengamatan adalah 60 rat/det kearah putaran jam . jika penghubung A-B panjangnya 10 cm berapa kecepatan total titik B dan bearnya dan arah. Selesaikan dengan memakai VA =VA + V BA ; dan selesaikan dengan memakai VB= V A +VB A.
VA
B 30 0
2 VB
A ?2 2.
Sebuah penghubung A-B panjangnya 20 cm. Komponen-komponen kecepatan titik a dan b seperti ditunjukkan. Berapa besar dan arah kecepatan sudut penghubung ?
6 m/det 3 m/det
1.5 m/det
B 1.5 m/det
A
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
33
Diktat KINEMATIKA Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno
3.
Kecepatan titik a pada penghung 2 diketahui besar dan arahnya. Kecepatan relatif titik B terhadap titik A diketahui besar dan arahnya. Tunjukkan bagaimana kecepatan titik B dan kecepatan titik C dapat ditentukan.
VBA VA 2 B
A C II.
Percepatan Relatif
1.
Sebuah penghubung yang panjangnya 12.5 cm, berputar pada 400 rpm kearah putaran jarum jam, dengan salah satu ujungnya tetap dan 5 detik kemudian berputar pada 1800 rpm, dengan percepatan sudut konstan. Berapa percepatan titik tengah penghubung pada saat penghubung berputar pada 1400 rpm ?
2.
Apabila percepatan titik A seperti yang ditunjukkan, berapa kecepatan sudut dan percepatan sudutpenghubung untuk posisi yang ditunjukkan ? Kemana arah percepatan sudutnya ? Dapatkah arah kecepatan sudut diketahui ?
AA=1000 m/det2 A 30
0
15 cm 200 O2
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
34
Diktat KINEMATIKA Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno
3.
Jika percepatan normal titik B terhadap titik A adalah 125 m/det2 dan percepatan tangensial titik B terhadap titik A adalah 250 m/det2. Berapa kecepatan sudut dan percepatan sudut penghubung ? AtBA=250 m/det2
AB = 15 cm
B A
4.
AnB A=125
2
m/det
Jika percepatan total titik-titik A dan B diketahui dan seperti ditunjukkan, berapa kecepatan sudut dan percepatan sudut penghubung ? Perhatikan dalam dua cara : hubungan percepatan titik B terhadap titik A, dan hubungan percepatan titik a dan titik B. tentukan juga percepatan titik C. AA=200 m/det2 AB =400 m/det2
60 0 A
B
C
Program Semi Que IV Tahun 2003 Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya
35
