Opbouw van het boek: overzicht
Opbouw van het boek: overzicht Deel I:
Deel II:
intuïtief
rigoureus
Hoofdstuk 8: Limieten en continuïteit • • • •
omschrijving en definities limieten berekenen asymptoten continuïteit onderzoeken
Hoofdstuk 6:
Hoofdstuk 9:
Afgeleiden I
Afgeleiden II
• grafische definitie • afgeleiden van veeltermfuncties
• limietdefinitie • afleidbaarheid • afgeleide van een product, quotiënt en macht
Hoofdstuk 10: Hoofdstuk 7:
Verloop II
Verloop I verloop van veeltermfuncties: • stijgen, dalen, extrema • hol, bol, buigpunten
4
• lokaal en globaal verloop • hol en bol verloop en buigpunten • verloop van rationale en irrationale functies
Hoofdstuk 6 Afgeleiden van veeltermfuncties 6.1
Afgeleide in een punt
6.1.1 Gemiddelde verandering en gemiddelde helling 6.1.2 Ogenblikkelijke verandering en helling in een punt - afgeleide 6.1.3 De afgeleide in een punt algebraïsch berekenen 6.1.4 Stijgen en dalen in een punt 6.2
Afgeleide functie
6.2.1 Afgeleide functie en hellinggrafiek 6.2.2 Afgeleide functie van enkele basisfuncties 6.3
Afgeleiden van veeltermfuncties
6.3.1 Rekenen met functies 6.3.2 Afgeleide van veeltermfuncties 6.3.3 Hogere afgeleiden 6.4
Enkele toepassingen op afgeleiden
6.4.1 Hoek tussen twee snijdende krommen 6.4.2 Rakende krommen 6.4.3 Snelheid en versnelling
Copyright
6.1 Afgeleide in een punt
6.1 Afgeleide in een punt Hoofdstuk
6
6.1.1 Gemiddelde verandering en gemiddelde helling
Instap 1
De familie Janssens rijdt naar de kust. De trip duurt 2 uur en in die tijd leggen ze 120 km af. De grafiek geeft de afstand d (in kilometer) tot hun vertrekpunt in functie van de tijd t (in uren). 1 Wat is hun gemiddelde snelheid voor de hele reis?
120 100 80 60 40 20
2 Hoe had de grafiek eruit gezien indien ze de hele reis aan die snelheid hadden gereden?
0
d(km)
t(h) 0,5
1
1,5
2
3 Leid uit de grafiek de gemiddelde snelheid af in de tijdsintervallen [0; 0,5], [0,5; 1], [1; 1,5] en [1,5; 2]. 4 Hoe zie je op de grafiek, zonder berekeningen te maken, dat de gemiddelde snelheid het grootst is in het interval [0,5; 1]? 5 Bereken nu ook de gemiddelde snelheid in de intervallen [1; 1,25] en [1,25; 1,5].
Gemiddelde verandering en gemiddelde helling • De helling van een functiegrafiek in een bepaald punt geeft aan hoe sterk de functie daar toeneemt of afneemt. Een intuïtieve voorstelling vind je hieronder. y sterke positieve helling
helling nul
zwakke negatieve helling
constante positieve helling
sterke negatieve helling zwakke positieve helling
helling nul
0
8
Copyright
x
– Een eerstegraadsfunctie heeft als grafiek een rechte. De helling van een eerstegraadsfunctie is constant. Ze is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van die rechte. – Bij andere functies kan de helling van punt tot punt veranderen. De doelstelling van dit hoofdstuk is een methode ontwikkelen om deze variabele helling uit het functievoorschrift te berekenen.
Hoofdstuk
Afgeleiden van veeltermfuncties
6
• Voor een willekeurige functie kunnen we de gemiddelde helling of de gemiddelde verandering over een interval bepalen. Voorbeeld Beschouw de functie met voorschrift 1 5 f(x) = - x3 + x + 4. 4 2 – Over het interval [-4, -2] nemen de beeldwaarden met 9 eenheden af, van f(-4) = 10 tot f(-2) = 1, terwijl de x-waarden met 2 eenheden toenemen.
A
+2
10
y
1 5 f( x ) = - x3 + x + 4 4 2 8
C
-9 6
4
+6
De gemiddelde verandering van de 2 functiewaarden over dit interval is dus +4 gelijk aan B x –4 –2 0 2 4 f( -2) - f( - 4) 1 - 10 -9 = = . -2 + 4 2 -2 - ( - 4) 9 Grafisch geïnterpreteerd is – de gemiddelde helling van de grafiek van f over 2 het interval [-4, -2]. Op de grafiek zie je dat dit ook de richtingscoëfficiënt is van de rechte AB met A(-4, f(-4)) en B(-2, f(-2)). – Over [-2, 2] nemen de x-waarden met 4 eenheden toe en de beeldwaarden met 6 eenheden. De gemiddelde verandering van de functiewaarden over het beschouwde f(2) - f( - 2) 7 − 1 6 3 interval is bijgevolg gelijk aan = = = . 2 - (- 2) 2+2 4 2 3 Grafisch is de gemiddelde helling van de grafiek van f over [-2, 2]. 2 Het is ook de richtingscoëfficiënt van de rechte BC met B(-2, f(-2)) en C(2, f(2)).
Copyright
9
6.1 Afgeleide in een punt
Algemeen Hoofdstuk
6
– De toename of afname, of kortweg de verandering, van de beeldwaarden van een functie f over het interval [a, b] is f(b) - f(a). We noteren deze verandering ook als D f en lezen “delta f”. Analoog is de verandering van x over het interval [a, b] gelijk aan D x = b - a. Een ander woord voor verandering is differentie. We noemen D x en D f bijgevolg
ook de differenties van respectievelijk x en f. y
Q(b, f(b))
f(b)
D f = f(b) - f(a)
P(a, f(a))
f(a)
Dx=b-a
f
a
x
b
– De gemiddelde verandering van een functie f over het interval [a, b] definiëren we als f( b) - f(a) b-a Dx Df Een andere benaming voor is differentiequotiënt van f over [a, b]. Dx Deze gemiddelde verandering komt overeen met de gemiddelde helling van de functiegrafiek van f over het interval [a, b]. Df
=
Ze kan geïnterpreteerd worden als de richtingscoëfficiënt van de rechte door de punten P(a, f(a)) en Q(b, f(b)). y
Q(b, f(b))
f(b)
f(a)
P(a, f(a)) +1
Df = rico PQ Dx
f
10
x
Copyright a
b
Afgeleiden van veeltermfuncties
2
Een van de lastigste beklimmingen uit de Tour de France is ongetwijfeld deze van
de Mont Ventoux. In de tabel vind je een schema van deze beklimming wanneer je vertrekt vanuit Bédoin.
Hoofdstuk
Verwerking
6
Le Chalet top Ventoux Reynard
plaats
Bédoin
Saint-Estève
horizontale afgelegde weg (in km)
0
5,5
15
21
hoogte (in m)
275
500
1419
1909
1 Bereken de gemiddelde verandering van de hoogte over de drie opeenvolgende trajecten in %. 2 Welk traject is gemiddeld het meest steile? 3 Bepaal de gemiddelde verandering van de hoogte over de totale beklimming in %.
Copyright
11
6.1 Afgeleide in een punt
6.1.2 Ogenblikkelijke verandering en helling in een punt - afgeleide Hoofdstuk
6
Instap 3
De doorsnede van het hellende deel van een skate ramp is parabolisch. In het getekende assenstelsel is de parabool de grafiek van de functie met voorschrift 1 f( x ) = x2 (met x en f(x) in meter). 5 y 1 f( x ) = x2 5
3 2
Q P
1
x –5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
b3
4
5
⎛ 4⎞ Om de helling te vinden in het punt P ⎜ 2, ⎟ , onderzoeken we de gemiddelde ⎝ 5⎠ helling van de grafiek tussen P en Q, waarbij we Q steeds dichter bij P kiezen. ⎛ 9⎞ 1 Kies b = 3. Dan is de coördinaat van Q gelijk aan ⎜ 3, ⎟ . ⎝ 5⎠ Bereken de gemiddelde helling over het interval [2, 3]. 2 Herhaal deze berekening voor de waarden van b in de tabel. Je rekentoestel kan al het rekenwerk uitvoeren. b
Df Dx
=
f( b) - f(2) b-2
2,5 2,1 2,01 2,001 3 Naar welke waarde zal de gemiddelde helling volgens jou naderen, wanneer we b steeds dichter bij 2 kiezen?
12
Copyright
Afgeleiden van veeltermfuncties
Hoofdstuk
Ogenblikkelijke verandering en helling in een punt - afgeleide • Voorbeeld Een voorwerp wordt de lucht in geschoten. De hoogte h (in m) kan benaderend beschreven worden als h(t) = -5t2 + 20t + 2 met t de tijd in seconden.
6
We willen de snelheid van het voorwerp berekenen 1 seconde nadat het werd afgeschoten. h
– Een ruwe benadering hiervoor vinden we
door de hoogteverandering te berekenen over het tijdsinterval [1, 2].
20
We vinden als gemiddelde snelheid over dat interval: D h h(2) − h(1) 5 = = = 5 (m/s) Dt 1 2 −1 Deze gemiddelde snelheid komt meetkundig overeen met de richtingscoëfficiënt van de rechte PQ1 met P(1, h(1)) en Q1(2, h(2)).
15
– We vinden een betere benadering door de hoogteverandering te beschouwen over het tijdsinterval [1; 1,5]. De gemiddelde snelheid over dat interval is: D h h(1,5) − h(1) 3,75 = = = 7,5 (m/s) Dt 0,5 1,5 − 1 Het punt Q2(1,5; h(1,5)) ligt dichter bij P en de rechte PQ2 is steiler.
Q1(2,22) Dh=5
P(1,17) Dt=1
10 h(t) = -5t2 + 20t + 2
5
t 0
1
2
3
4
h
20 15
Q2(1,5;20,75) D h = 3,75
P(1,17)
D t = 0,5
10 5
h(t) = -5t2 + 20t + 2
t 0
1
2
Copyright
3
4
13
6.1 Afgeleide in een punt
Hoofdstuk
6
– Blijven we het tijdsinterval [1, 1 + Dt] steeds kleiner maken, dan zal de Dh gemiddelde snelheid steeds beter de ogenblikkelijke snelheid voor t = 1 Dt benaderen. Uit de tabel hieronder blijkt die gemiddelde snelheid steeds dichter tot 10 m/s te naderen. We noemen dit de ogenblikkelijke snelheid voor t = 1. Dt
Qi Q1(2;22)
h
Dh Dt
Dh
20
1
5
5
Q2(1,5;20,75)
0,5
3,75
7,5
Q3(1,1;17,95)
0,1
0,95
9,5
10
Q4(1,01;17,0995)
0,01
0,0995
9,95
5
...
0,001
0,009995
9,995
...
0,0001 0,00099995 9,9995
15
Q2 Q Q4 3 P
Q1
h(t) = -5t2 + 20t + 2
t 0
1
2
3
4
– Meetkundig komen de opeenvolgende gemiddelde snelheden overeen met de richtingscoëfficiënt van de opeenvolgende rechten PQi (i = 1, 2, …) waarbij Qi steeds dichter bij P wordt gekozen. Deze rechten naderen steeds dichter tot een bepaalde limietstand, die overeenkomt met de raaklijn aan de grafiek van h in het punt P. De richtingscoëfficiënt van die raaklijn is 10. • Ogenblikkelijke verandering Om de ogenblikkelijke verandering van een functie f in a te bepalen, gaan we als volgt te werk. – We kiezen op de grafiek van f vlakbij het vaste punt P(a, f(a)) een veranderlijk tweede punt Q, dat we steeds dichter tot P laten naderen, langs links of langs rechts, zonder dat het ooit met P samenvalt. Omdat de x-coördinaat van Q variabel is, noemen we die x. y
Q
f(x)
D f = f(x) - f(a)
P
f(a)
Dx=x-a
f
14
a
x
x
Copyright
Df
f ( x ) - f ( a) en x-a Dx onderzoeken tot welke waarde dit nadert wanneer x steeds dichter bij a komt (zonder ooit gelijk te zijn aan a).
– We berekenen voor elke x het differentiequotiënt
=
Deze waarde noemen we de ogenblikkelijke verandering van f in a.
Hoofdstuk
Afgeleiden van veeltermfuncties
6
• Ogenblikkelijke verandering en helling in een punt – Wanneer x → a, zal D f → 0 en D x → 0. Toch zal
Df Dx
(meestal) tot een
welbepaald reëel getal naderen. Hieronder tonen we aan hoe je dit kunt inzien op basis van de meetkundige interpretatie van het differentiequotiënt. In de afbeelding zijn enkele posities van het punt Q getekend, terwijl het steeds dichter bij P komt te liggen: Q1 → Q2 → Q3 → ... → P y
t Q3
Q2 Q 1 Df
P
f(a)
Dx
f
a
x
Daarbij naderen de snijlijnen PQ1, PQ2, PQ3 ... steeds beter een zekere limietstand, die we de raaklijn t aan de grafiek van f in P noemen: PQ1 → PQ2 → PQ3 → ... → t Voor elke keuze van het punt Q komt het differentiequotiënt
Df Dx
overeen met de
richtingscoëfficiënt van de bijbehorende snijlijn PQ. Hoe dichter Q bij P komt, hoe meer deze richtingscoëfficiënten zullen naderen tot de richtingscoëfficiënt van de raaklijn: rico PQ1 → rico PQ2 → rico PQ3 → ... → rico t op voorwaarde dat de raaklijn niet verticaal is. Df Met andere woorden: → rico t wanneer x → a, als t niet verticaal is. Dx
Copyright
15
6.1 Afgeleide in een punt
Hoofdstuk
6
De ogenblikkelijke verandering in a is dus gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn t aan de grafiek van f in P(a, f(a)). Die richtingscoëfficiënt is tevens de helling van de grafiek van f in P(a, f(a)). – Opdat Q zowel langs links als langs rechts tot P zou kunnen naderen, mag a niet op de rand van het domein van f liggen: a moet een inwendig punt van het domein zijn. • Afgeleide van een functie in een punt Definitie
y
t
De afgeleide van f in a, een inwendig punt van het domein, is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn t aan de grafiek van f in P(a, f(a)).
f’(a) P
We noteren de afgeleide van f in a als f’(a).
+1
In symbolen: f’(a) = rico t f
Merk op dat een functie enkel een afgeleide heeft in een punt wanneer de grafiek daar een niet-verticale raaklijn heeft.
x
a
• Ogenblikkelijke verandering, helling en afgeleide Uit het voorgaande volgt: f'(a) = ogenblikkelijke verandering van f in a = helling van de grafiek van f in a y
t
f’(a) = helling van f in a P
+1
f
16
x
Copyright a
Afgeleiden van veeltermfuncties
4
Hoofdstuk
Verwerking Aan de grafieken van de functies zijn een aantal raaklijnen getekend. Bepaal telkens de gevraagde afgeleiden. y
1 a f’(-4)
y = f(x)
8
b f’(2)
6
6
t2
4 2
t1
–4
2 a g’(2)
x
–2
0
y = g(x)
b g’(3)
2
4
6
y 8 6 t1
4 2
x –4
–2
0
2
4
6
t2
6.1.3 De afgeleide in een punt algebraïsch berekenen
Instap 5
Beschouw de functie f: x |→ x2 + 1. We willen f’(2) berekenen, m.a.w. de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in P(2, 5). Beschouw daartoe een variabel punt Q(x, x2 + 1) op de grafiek van f, met x π 2. f 1 Toon aan dat , de richtingscoëfficiënt van x PQ, altijd gelijk is aan x + 2. f 2 Wanneer Q → P, zal x → 2 en → f’(2). x Wat is de waarde van f’(2)?
5
y
P
4 3
Q
x2 + 1
2
f
1
Copyright –1
0
1
x
x 2 17
6.1 Afgeleide in een punt
De afgeleide in een punt algebraïsch berekenen Hoofdstuk
6
Voorbeeld Om f’(-1) te berekenen met f(x) = x3 - x + 1, gaan we als volgt te werk. We berekenen het differentiequotiënt: f f ( x ) - f (-1) = x x - (-1) =
2 rico PQ = x2 - x
( x3 - x + 1) - 1 x +1
Q
P
x3 - x x +1 x( x - 1)( x + 1) = x +1 = x( x - 1) = x2 - x
y
x3 - x + 1
f
1
=
x –1
x
0
1
x π –1 t
Nu laten we x naderen tot -1: rico t = 2
wanneer x → -1, zal
2
y
x2 - x → (-1)2 - (-1) = 2.
f P
We vinden: f’(-1) = 2.
1
x –1
0
Verwerking 6
Bereken algebraïsch de afgeleide van de gegeven functies in de aangegeven x-waarden: 1 f(x) = -x2 + 8x 3
2 f(x) = x + 4x 4
3 f(x) = x
18
in 4 in -2
in -1
Copyright
1
Afgeleiden van veeltermfuncties
Een bol rolt van een hellend vlak. Het verband tussen de tijd t (in s) en de afgelegde weg x (in m) wordt gegeven door het voorschrift x(t) = 0,2t2.
Hoofdstuk
7
1 Bereken de gemiddelde snelheid (in m/s) over het tijdsinterval [1;1,5]. 2 Bereken de gemiddelde snelheid (in m/s) over het tijdsinterval [1;1,1]. 3 Bereken de ogenblikkelijke snelheid (in m/s) voor t = 1.
6
6.1.4 Stijgen en dalen in een punt Stijgen en dalen in een punt • Vergelijking van de raaklijn y
Beschouw een punt P(a,f(a)) op de grafiek van een functie f.
rico t = f’(a)
De raaklijn t in P aan die grafiek heeft richtingscoëfficiënt f’(a) en bijgevolg geldt:
f(a)
P
t ´ y - f(a) = f’(a) (x - a) t
x
a
f
Voorbeeld Voor de functie f: x |→ x3 - x + 1 is f’(-1) = 2. De raaklijn t aan de grafiek van f in P(-1, 1) is
t 3
f
2 P
t ´ y - f(-1) = f’(-1) (x - (-1)) t ´ y - 1 = 2(x + 1)
y
1 x
–1
0
1
t ´ y = 2x + 3 3,5
Met een grafisch rekentoestel kun je de raaklijn in een bepaald punt laten berekenen en tekenen. De berekening is echter benaderend, zoals je op de schermafdruk kunt zien.
-1,75
1,5 -1,5
Copyright
19
6.1 Afgeleide in een punt
Hoofdstuk
6
• In de vorige voorbeelden kon je zien dat een raaklijn t aan de grafiek van een functie f in een punt P nagenoeg samenviel met die grafiek in de buurt van dat punt. Was de raaklijn stijgend (dalend), dan steeg (daalde) de grafiek daar ook. Deze vaststelling verantwoordt de volgende definities voor het stijgen en dalen van een functie in een punt: f is stijgend in a ¤ f’(a) > 0 f is dalend in a ¤ f’(a) < 0 f is stijgend noch dalend in a ¤ f’(a) = 0 y f’(a2) = 0 f’(a1) < 0
f a1
f’(a3) > 0
a2
x
a3
Verwerking 8
Bepaal een vergelijking van de raaklijn t aan de grafiek van f in de aangegeven punten. 1 f: x |→ -4x3 in P(-1, f(-1)) 2 f: x |→
9
1 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ in P ⎜ 2, ⎟ en Q⎜ −2, – ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ x 2⎠ y
Gegeven is de grafiek van een functie f. Duid het juiste antwoord aan (slechts één antwoord is correct!) en motiveer.
4 3
1 a f’(-4) > 0
2
b f’(-4) = 0
1 x
c f’(-4) < 0 2 a f’(-1) = 0 en f’(1) = 0 b f’( - 3 ) = 0 en f’( 3 ) = 0 c f’(a) = 0 ¤ a = 0
–4
–3
–2
–1
0 –1
2
3
4
–2 –3 –4
20
1
Copyright
y = f(x)
Afgeleiden van veeltermfuncties
We kennen – de begrippen differentiequotiënt, gemiddelde en ogenblikkelijke verandering, helling
Hoofdstuk
Studiewijzer: afgeleide in een punt
6
– de definitie van afgeleide in een punt en het verband met de ogenblikkelijke verandering en helling in dat punt – de definities voor stijgen en dalen van een functie in een gegeven punt We kunnen
instap
– de gemiddelde verandering of het differentiequotiënt van een functie over een interval berekenen en interpreteren
1
– de ogenblikkelijke verandering of de afgeleide in een punt grafisch bepalen, algebraïsch berekenen en interpreteren
3
1e reeks 2
2e reeks 3e reeks
30
31
4
6
7
9
33
34
35
36
37
32
5
39
38 – een vergelijking van de raaklijn aan een functiegrafiek opstellen
8
Copyright
21
6.2 Afgeleide functie
6.2 Afgeleide functie Hoofdstuk
6
6.2.1 Afgeleide functie en hellinggrafiek
Instap 10
Beschouw de functie f: x |→ x2 + x - 2. Voor een aantal x-waarden werd de afgeleide berekend, m.a.w. de richtingscoëfficiënt van de raaklijn voor die x-waarde. Je vindt die waarden in de tabel onder de grafiek. De grafiek toont de raaklijn voor x = -1. 1 Bepaal op basis van de eerste twee kolommen van de tabel een algemene formule voor f’(a) in functie van a.
y y=x +x- 2 2
1 x –3
Controleer vervolgens je antwoord met de formule voor de x-coördinaat van de top van een parabool die je kent uit het vierde jaar. 3 Controleer je uitdrukking voor f’(a) door de afgeleide algebraïsch te berekenen.
–2
–1
0
1
–1
2 Wat zal de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in de top van de parabool zijn? Gebruik je formule voor f’(a) uit de vorige vraag om de bijbehorende waarde van a te vinden.
2
y = -x - 3
–2
a
f’(a)
vergelijking raaklijn in P(a, f(a))
-3
-5
y = -5x - 11
-2
-3
y = -3x - 6
-1
-1
y = -x - 3
0
1
y=x-2
1
3
y = 3x - 3
2
5
y = 5x - 6
3
7
y = 7x - 11
Afgeleide functie en hellinggrafiek • In de vorige paragraaf hebben we de afgeleide f’(a) altijd voor concrete waarden van a berekend. Het is echter efficiënter om een algemene formule voor de afgeleide van een gegeven functie op te stellen, voor een willekeurige waarde van a.
22
Copyright
Afgeleiden van veeltermfuncties
Stel f(x) = x3 - x + 1 en a een willekeurig reëel getal.
3
We berekenen eerst het differentiequotiënt: D f f( x ) - f(a) = Dx x-a ( x3 - x + 1) - (a3 - a + 1) = x-a ( x3 - a3 ) - ( x - a) = x-a ( x - a)( x2 + ax + a2 ) - ( x - a) = x-a 2 2 = x + ax + a - 1
Q
y = f(x)
2 x -x+1 3
1
P
y
a3 - a + 1
a –1
x
0
Hoofdstuk
Voorbeeld
6
x 1
xπa
Wanneer x Æ a zal x2 + ax + a2 - 1 Æ a2 + aa + a2 - 1 = 3a2 - 1. Bijgevolg is f’(a) = 3a2 - 1. Vervangen we in deze formule a door x, dan verkrijgen we een functie, die we de afgeleide functie van f noemen. Voor de functie met voorschrift f(x) = x3 - x + 1 heeft de afgeleide functie als voorschrift f’(x) = 3x2 - 1. Hiermee kunnen we nu gemakkelijker afgeleiden berekenen voor verschillende waarden van x: f’(-1) = 3 (-1)2 - 1 = 2
2
f’(0) = 3 0 - 1 = -1 2
⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ f’ ⎜ ⎟ = 3 ⎜ ⎟ - 1 = 0 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
y y = f(x)
1 rico = 2 –1
0
1 rico = 0
–1
De grafiek van f’ noemen we de hellinggrafiek van f. Voor elke x geeft die grafiek de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het overeenkomstige punt.
f’(-1) = 2
x
rico = -1
2
y y = f’(x)
1
x –1
0 –1 f’(0) = -1
1 ⎛ 3⎞ f’⎜ ⎟ = 0 ⎝ 3 ⎠
Copyright
23
6.2 Afgeleide functie
Hoofdstuk
6
• De Leibniz-notatie1 is een andere notatie voor afgeleiden, die in de wiskunde en zeker in de wetenschappen het vaakst wordt gebruikt. df Het voorschrift van de afgeleide van f wordt in die notatie geschreven als . dx df Men noemt een differentiaalquotiënt. dx Varianten dy – Voor het verband y = x3 - x + 1 noteert men: = 3x2 - 1. dx df d – Voor f(x) = x3 - x + 1 noteert men zowel = 3x2 - 1 als [f(x)] = 3x2 - 1. dx dx d – Zonder functienaam of afhankelijke variabele: (x3 - x + 1) = 3x2 - 1. dx De afgeleide in een bepaald punt wordt in de Leibniz-notatie genoteerd met een verticale streep, die je kunt lezen als “waarbij”. Voorbeeld Verwijzend naar de drie voorbeelden hierboven, krijg je voor de afgeleide in 2: dy df d d = = [f( x )] = ( x3 − x + 1) = 11. dx x = 2 dx x = 2 dx dx x =2 x =2 Deze notatie vind je ook terug op sommige grafische rekentoestellen, die afgeleiden benaderend kunnen berekenen.
Verwerking 11
De hellinggrafiek van een functie f is gegeven. Welke van de volgende besluiten kun je maken op basis van deze grafiek? 1 De grafiek van f is dalend voor x = 2. 2 De grafiek van f heeft een horizontale raaklijn voor x = -1. 3 De grafiek van f heeft juist twee punten met een horizontale raaklijn. 4 De grafiek van f is stijgend voor x = -2.
4
y
2 x –4
–2
0 –2
2
4 y = f’(x)
–4
Copyright
1. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716): Duits wiskundige en filosoof, een van de grondleggers van de analyse.
24
Afgeleiden van veeltermfuncties
De grafiek van een functie f is gegeven.
6
1 Is grafiek A of grafiek B de hellinggrafiek van f ? Verklaar je antwoord.
4
2 Voor welke waarden van x is de helling van de grafiek van f kleiner dan 1?
2
y
y = f(x) Hoofdstuk
12
6
x
3 Voor welke waarden van x neemt de helling van de grafiek van f toe?
–2
0
2
–2 –4
A
y
y = f’(x)
B
y
y = f’(x)
6
6
4
4
2
2 x
–2
0
2
x –2
0
2
6.2.2 Afgeleide functie van enkele basisfuncties
Instap 13
De veelterm v(x) = x3 - a3 is deelbaar door x - a, aangezien v(a) = 0. Het quotiënt bepaal je met een Hornerschema, dat je hiernaast afgebeeld ziet. Je vindt: v(x) = (x - a)(x2 + ax + a2).
1 a 1
0 a a
0 a2 a2
-a3
a3 0
1 Toon op dezelfde manier aan dat x4 - a4 = (x - a)(x3 + ax2 + a2x + a3). 2 Maak gebruik van een Hornerschema om q(x) te bepalen in xn - an = (x - a) q(x), met n een natuurlijk getal groter dan 1.
Copyright
25
6.2 Afgeleide functie
Afgeleide functie van enkele basisfuncties Hoofdstuk
6
•
d (c)= 0 met c een constante dx
y
Bewijs In elk punt is de raaklijn aan de grafiek van de constante functie f: x |→ c horizontaal en is de richtingscoëfficiënt ervan dus nul. ■
•
P
f(x) = c
0
d ( x )=1 dx
a
x
x
f(x) = x
Q
Ook voor de functie f: x |→ x volstaat de f(x) = x grafiek om de formule voor de afgeleide aan te tonen. In elk punt van de grafiek van f valt de raaklijn samen met de grafiek, die een rechte is met richtingscoëfficiënt 1.
Df = Dx
P
■ f(a) = a
1 0
Q
Dx
y
Bewijs
•
Df = 0
1
Dx
a
x
x
d n ( x ) = n x n - 1 met n Œ N \ {0, 1} dx Voor machtsfuncties met macht groter dan of gelijk aan twee is de helling niet langer constant. Het is niet meer mogelijk om op de grafiek de richtingscoëfficiënt van de raaklijn voor elke x af te lezen. Daarom gebruiken we voor deze rekenregel een algebraïsch bewijs.
26
Copyright
Afgeleiden van veeltermfuncties
Bewijs Hoofdstuk
Stel f: x |→ xn. We berekenen eerst het differentiequotiënt: Df x n - an = Dx x-a
(
( x - a) x n - 1 + ax n - 2 + a2 x n - 3 + ... + an - 1 = x-a
)
6
n ΠN \ {0, 1} (zie opdracht 13)
= x n - 1 + ax n - 2 + a2 x n - 3 + ... + an - 1
xπa
Wanneer x Æ a zal xn - 1 + axn - 2 + ... + an - 1 Æ an - 1 + an - 1 + ... + an - 1 = n an - 1. n termen
Hieruit volgt: d n ( x ) = n x n - 1 dx ■
Verwerking 14
Bepaal een vergelijking van de raaklijn t aan de grafiek van f: x |→ x4 in het punt P(2, f(2)).
15
Bepaal de coördinaat van de punten op de grafiek van de functie f: x |→ x3 waar de raaklijn evenwijdig is met de rechte a ´ 3x - 4y + 1 = 0.
Studiewijzer: afgeleide functie We kennen het voorschrift van de afgeleide functie van f: x |→ xn We kunnen
instap
– de afgeleide functie van f: x |→ xn berekenen en gebruiken in toepassingen
10
– de hellinggrafiek van een functie bepalen en interpreteren
1e reeks
2e reeks 3e reeks
14
15
42
48
43
46
47
51
11
12
40
50
Copyright 41
44
49
45
27
6.3 Afgeleiden van veeltermfuncties
6.3 Afgeleiden van veeltermfuncties Hoofdstuk
6
6.3.1 Rekenen met functies Rekenen met functies • Definities Gegeven twee functies f1: x |→ f1(x) en f2: x |→ f2(x). De somfunctie f1 + f2 van f1 en f2 definiëren we als f1 + f2 : x |→ (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) Met andere woorden: het voorschrift van de somfunctie is de som van de voorschriften van de deelfuncties. Op dezelfde manier definiëren we – de veelvoudfunctie:
r f1 : x |→ (r f1)(x) = r f1(x)
– de productfunctie:
f1 f2 : x |→ (f1 f2)(x) = f1(x) f2(x)
– de quotiëntfunctie:
f1 f ( x) ⎛f ⎞ : x |→ ⎜ 1 ⎟ ( x ) = 1 f2 f2 ( x ) ⎝ f2 ⎠
met r ΠR
met f2(x) π 0
• Voorbeeld Als f1(x) = x + 2 en f2(x) = x2 + 3, dan is (f1 + f2)(x) = x2 + x + 5 (2 f1)(x) = 2x + 4 x2 + 3 ⎛ f2 ⎞ ⎜⎝ f ⎟⎠ ( x )= x + 2 1
6.3.2 Afgeleide van veeltermfuncties Afgeleide van veeltermfuncties • Somregel Beschouw twee functies f en g. Dan geldt: In de Leibniz-notatie:
d df dg (f + g ) = + dx dx dx
Copyright
In woorden: 28
(f + g)’ = f’ + g’
de afgeleide van een som is de som van de afgeleiden
Afgeleiden van veeltermfuncties
Gegeven twee functies f en g en hun afgeleiden f’(a) en g’(a) in een inwendig punt a van zowel het domein van f als het domein van g. Dan geldt: D ( f + g ) ( f + g )( x ) − ( f + g )(a) = Dx x−a f( x ) + g( x ) − f(a) − g(a) = x−a ( f( x ) − f(a)) + ( g( x ) − g(a)) = x−a
Hoofdstuk
Bewijs
6
definitie somfunctie
f( x ) − f(a) g( x ) − g(a) + x−a x−a f( x ) − f(a) g( x ) − g(a) Wanneer x Æ a zal Æ f’(a) en Æ g’(a), zodat x−a x−a D (f + g ) Æ f’(a) + g’(a). Dx Hieruit volgt dat (f + g)’(a) = f’(a) + g’(a). =
■
Uitbreidingen Deze rekenregel kan uitgebreid worden (zie opdracht 60) voor een som van drie of meer termen: (f + g + h)’ = f’ + g’ + h’ (f + g + h + i)’ = f’ + g’ + h’ + i’ Bovendien kan gemakkelijk aangetoond worden dat (f - g)’ = f’ - g’ (zie opdracht 60). • Veelvoudregel Beschouw een functie f en een reëel getal r. Dan geldt: In de Leibniz-notatie: In woorden:
(r f)’ = r f’ d df (r f ) = r dx dx de afgeleide van een veelvoud is het veelvoud van de afgeleide
Copyright
Voor een bewijs verwijzen we naar opdracht 60.
29
6.3 Afgeleiden van veeltermfuncties
• Afgeleide van veeltermfuncties Hoofdstuk
6
Met de vorige twee rekenregels en de formules voor de afgeleiden van basisfuncties kunnen we vanaf nu, zonder nog langer gebruik te maken van differentiequotiënten, de afgeleide van een veeltermfunctie meteen berekenen. Voorbeeld d d d d 2 (3 x − 5 x + 3) = (3 x2 ) − (5 x ) + (3) dx dx dx dx d d d = 3 ( x2 ) − 5 ( x ) + (3) dx dx dx
somregel veelvoudregel
= 32 x − 51 + 0
basisfuncties
= 6x − 5
Verwerking 16
17
Bereken. d 3 ( x + 5 x2 – 6) 1 dx 2
d ⎛1 4 ⎞ ⎜⎝ x − 4 x2 + 5 x ⎟⎠ dx 2
3
d −3 x 6 + 2 x 4 − 12 x3 + 23 x2 − 145 x + 2103 dx
4
d ⎛ −6 x3 + 3 x − 2 ⎞ ⎟⎠ ⎜ dx ⎝ 3
(
)
Gegeven is de functie met voorschrift f(x) = x2 + 4. 1 Bepaal het punt P waar de raaklijn t aan de grafiek van f evenwijdig is met de rechte met vergelijking y = x. 2 Bepaal een vergelijking van t.
18
De raaklijn t aan de grafiek van de functie f : x |→ -x3 + 2x2 - 36 gaat door de oorsprong. Bepaal de coördinaat van het raakpunt P.
30
Copyright
Afgeleiden van veeltermfuncties
Instap 19
Gegeven is de functie met voorschrift f(x) = x4 - 2x3 + 5x2 - x + 3. d 1 Bereken [f( x )]. dx d⎛ d ⎞ 2 Bereken ⎜ [f( x )]⎟ . ⎝ ⎠ dx dx
Hoofdstuk
6.3.3 Hogere afgeleiden
6
Hogere afgeleiden • Definitie De n-de afgeleide van een functie f is de functie die ontstaat door f n keer af te leiden. n df (n) We noteren deze functie als f of n . dx n
In symbolen:
df dx
= n
d ⎛ d ⎛ d ⎛ ⎛ df ⎞ ⎞ ⎞ ⎞ ⎜ ...⎜ ⎟ ⎟ dx ⎜⎝ dx ⎜⎝ dx ⎝ ⎝ dx ⎠ ⎠ ⎟⎠ ⎟⎠ n keer afleiden
Voor de eerste en tweede afgeleide wordt ook de notatie f’ en f’’ gebruikt. • Voorbeelden d 3 d2 4 2 x x ( − 3 + 5 ) = (4 x − 6 x ) = 12 x2 − 6 2 dx dx 3 2 Is f(x) = x - 5x + x - 7, dan zijn de voorschriften van de opeenvolgende afgeleiden: f’(x) = 3x2 - 10x + 1 f’’(x) = 6x - 10 f(3)(x) = 6 f(4)(x) = 0 f(5)(x) = 0 ...
Copyright
31
6.3 Afgeleiden van veeltermfuncties
Verwerking Hoofdstuk
6
20
Bereken. 1 2
d3 3
dx dn
dx n
( x 6 − x5 + x − 1) (xn )
Studiewijzer: afgeleiden van veeltermfuncties We kennen – de formules voor de afgeleide van een som en van een veelvoud – de betekenis en notatie van hogere afgeleiden We kunnen – de afgeleide van veeltermfuncties berekenen en gebruiken in toepassingen
– hogere afgeleiden berekenen
32
1e reeks
instap
19
2e reeks 3e reeks
16
17
52
18
61
53
54
55
62
63
56
57
58
64
59
60
20
Copyright
Afgeleiden van veeltermfuncties
Hoofdstuk
6.4 E nkele toepassingen op afgeleiden 6.4.1 Hoek tussen twee snijdende krommen
Instap 21
6
1 1 Gegeven is de functie f : x |→ x2 − . 2 2 Bepaal de scherpe hoek, in zestigdelige graden, tussen de x-as en de raaklijn aan de grafiek van f in het punt P(1, 0).
Hoek tussen twee snijdende krommen y
• We definiëren de hoek tussen twee krommen in een snijpunt P als de scherpe of rechte hoek tussen de raaklijnen aan beide krommen in dat punt.
a
y = f(x)
y = g(x)
1
P x
0
• In een orthonormaal assenstelsel geldt voor de hoek a (positief of negatief) tussen een rechte r met richtingscoëfficiënt m en een horizontale rechte:
1
y y = mx + q
1 a +1
tan a = m a
0
m = tan a
x
1
Copyright
33
6.4 Enkele toepassingen op afgeleiden
• Voorbeeld Hoofdstuk
6
Bepaal de hoek tussen de grafieken van de functies met voorschrift f(x) = x3 - 2x2 + 2x en g(x) = 2 - x2 in hun snijpunten. Oplossing – We zoeken eerst de snijpunten van de grafieken. f( x ) = g( x )
¤
x3 − x2 + 2x − 2 = 0
¤
x2 ( x − 1) + 2( x − 1) = 0
¤
( x − 1)( x2 + 2) = 0
¤
x =1
Het punt P(1, 1) is het enige snijpunt. – De afgeleide functies zijn: f ’(x) = 3x2 - 4x + 2 en g’(x) = -2x. – In P is f’(1) = 1. Dit is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in P. Stel a1 de hoek die deze raaklijn maakt met een horizontale, dan geldt: tan a1 = 1.
y y = g(x) 2 a1
1
a2
Bijgevolg is a1 = 45°. Uit g’(1) = -2 volgt dat de raaklijn in P aan de grafiek van g met een horizontale een hoek a2 maakt waarvoor geldt: tan a2 = -2. Daaruit volgt dat a2 = -63°26'6''.
–1
0
1
x 2
–1 y = f(x)
– We vinden als hoek tussen beide raaklijnen: a1 - a2 = 108°26'6''. Dit is een stompe hoek. Beide grafieken snijden elkaar bijgevolg onder een scherpe hoek van 180° - 108°26’6’’ = 71°33’54’’.
Verwerking 22
34
Bepaal de hoek, in zestigdelige graden, tussen de grafieken van f en g in hun snijpunten. 1 1 f(x) = x2 - 2 en g(x) = x + 2 2 2 f(x) = x3 - 9x en g(x) = -x2 + 9
Copyright
3
23
Toon aan dat de parabool met vergelijking y = x2 en de rechte met vergelijking 1 9 y = x + elkaar loodrecht snijden. 4 2
24
Bepaal k zodat de parabolen met vergelijking y = x2 - 4 en y = kx2 + loodrecht snijden.
Hoofdstuk
Afgeleiden van veeltermfuncties
21 elkaar 4
6
6.4.2 Rakende krommen Rakende krommen • Definitie Twee krommen raken elkaar in een punt P als en slechts als ze in dat punt dezelfde raaklijn hebben. y
De grafieken van twee functies f en g raken elkaar in P(x0, y0) als in x0 geldt: ⎧f( x0 ) = g( x0 ) ⎨ ⎩f ’( x0 ) = g ’( x0 ) Merk op dat de voorwaarde f’(x0) = g’(x0) enkel bruikbaar is in het geval er een nietverticale raaklijn is.
t
y = f(x)
rico t = f’(x0) = g’(x0)
f(x0) = g(x0) y = g(x)
x0
Copyright
x
35
6.4 Enkele toepassingen op afgeleiden
• Toepassing Hoofdstuk
6
Bepaal de parameters b en c opdat de parabool p ´ y = x2 + bx + c zou raken aan de rechte r ´ y = x in P(1, 1). Oplossing – Het punt P(1, 1) ligt op de rechte en moet ook op de parabool liggen: 1=1+b+c ¤ b+c=0
(1)
– De rechte heeft als richtingscoëfficiënt 1, dus moet in P(1, 1) ook voor de dy vergelijking van de parabool gelden dat = 1: dx x = 1 d 2 (2) ( x + bx + c) = 1 ¤ 2 + b = 1 ¤ b = -1 dx x =1 p
– Uit (1) en (2) volgt: b = -1 en c = 1.
3
De parabool heeft als vergelijking y = x2 - x + 1.
y r
2 1
P
x –2
–1
0
1
2
3
Verwerking
36
25
Toon aan dat de grafieken van de functies f : x |→ x2 - 5x en g : x |→ x3 - 4x2 - 5x elkaar raken in de oorsprong.
26
Onderzoek of de krommen met vergelijking y = x3 en y = x2 + 3x - 2 elkaar raken.
Copyright
Afgeleiden van veeltermfuncties
6.4.3 Snelheid en versnelling
27
x(m)
Een voorwerp beweegt op een rechte lijn.
De positie x (in meter) in functie van de tijd t (in seconden) wordt gegeven door de formule 1 5 x(t) = − t3 + t2 3 2 De beweging duurt van t = 0 s tot t = 5 s. 1 Bereken de gemiddelde snelheid in het tijdsinterval [1, 2]. 2 Bereken de ogenblikkelijke snelheid voor t = 1.
Hoofdstuk
Instap 20
6
10 t(s) 0
2
4
6
3 Op welk(e) tijdstip(pen) is de snelheid gelijk aan 6 m/s?
28
De snelheid v (in m/s) van een kanonskogel, die op het tijdstip t = 0 s is afgeschoten, evolueert volgens de formule v(t) = 3t2 - 24t + 48. In het begin neemt de snelheid heel snel af, na een seconde of twee gebeurt dit trager.
v(m/s) 40 20
1 Wat is de gemiddelde verandering van de 0 2 4 snelheid in het tijdsinterval [0, 2]? En in het interval [2, 4]? 2 Bereken de ogenblikkelijke verandering van de snelheid voor t = 1 s. We noemen dit ook de ogenblikkelijke versnelling. De eenheid is m/s².
t(s) 6
3 Op welk(e) tijdstip(pen) is de versnelling gelijk aan -6 m/s²?
Snelheid en versnelling • Snelheid Een rechtlijnige beweging kan beschreven worden m.b.v. een plaatsfunctie of
positiefunctie x(t). Deze geeft de positie x t.o.v. een bepaald referentiepunt in functie van de tijd t.
Copyright
37
6.4 Enkele toepassingen op afgeleiden
Beschouw een willekeurig tijdstip t0. Hoofdstuk
6
– De gemiddelde snelheid vgem over een interval [t0, t] is gelijk aan de gemiddelde verandering van de positiefunctie over dit tijdsinterval: Dx vgem = Dt – De ogenblikkelijke snelheid op het tijdstip t0 is de ogenblikkelijke verandering, dus de afgeleide van de positiefunctie op t0: v(t0) =
dx dt t = t0
– De ogenblikkelijke snelheid op elk tijdstip is de afgeleide functie van de positiefunctie: dx v(t) = of v(t) = x’(t) dt We noemen v(t) de snelheidsfunctie. • Versnelling Heeft een voorwerp, dat een rechtlijnige beweging uitvoert, een veranderlijke snelheid, gegeven door de snelheidsfunctie v(t), dan kan hieruit de versnelling op elk ogenblik berekend worden. Beschouw een willekeurig tijdstip t0. – De gemiddelde versnelling agem over een tijdsinterval [t0, t] is gelijk aan de gemiddelde verandering van de snelheid over dit tijdsinterval: Dv agem = Dt – De ogenblikkelijke versnelling op het tijdstip t0 is de ogenblikkelijke verandering van de snelheid, m.a.w. de afgeleide van de snelheidsfunctie op het tijdstip t0: a(t0) =
dv dt
t = t0
– De versnellingsfunctie a(t) is de afgeleide van de snelheidsfunctie en geeft op elk ogenblik t de ogenblikkelijke versnelling van het voorwerp: dv a(t) = of a(t) = v’(t) dt Is van een voorwerp dat een rechtlijnige beweging uitvoert de positiefunctie x(t) gegeven, dan is de versnellingsfunctie de tweede afgeleide van die positiefunctie: 2 dx a(t) = 2 of a(t) = x’’(t) dt 38
Copyright
Afgeleiden van veeltermfuncties
De positie van een voorwerp wordt gegeven door x(t) = t3 - 9t2 + 24t met x in meter en t in seconden. Gevraagd: 1 Wat is de snelheid na 3 seconden? 2 Wanneer staat het voorwerp stil?
Hoofdstuk
• Voorbeeld
6
3 Wanneer beweegt het voorwerp vooruit? 4 Wat is de versnelling na 2 seconden? Oplossing 1 We berekenen eerst de snelheidsdx = 3t2 - 18t + 24. functie: v(t) = dt Hieruit volgt: dx v(3) = = 3 32 - 18 3 + 24 = -3. dt t = 3 De snelheid na 3 seconden is –3 m/s. Het voorwerp beweegt in de negatieve zin, m.a.w. achteruit. 2 Het voorwerp staat stil wanneer v(t) = 0:
20
x x(t)
15 10 5 t 0 20
1
15
¤ t = 2 of t = 4
10
Na 2 en 4 seconden staat het voorwerp stil. 3 Het voorwerp beweegt vooruit wanneer v(t) > 0. Op de grafiek zien we dat dit het geval is voor t < 2 of t > 4. 4 De versnellingsfunctie is dv d 2 a(t) = = (3t - 18t + 24) dt dt
3
4
5
v v(t)
v(t) = 0 ¤ 3t2 - 18t + 24 = 0 ¤ t2 - 6t + 8 = 0
2
5 t 0
1
2
3
4
5
a 10 5 t
= 6t - 18
Hieruit berekenen we dat a(2) = 6 2 - 18 = -6. De versnelling na 2 seconden is -6 m/s².
0
1
2
3
4
5
–5 –10
a(t)
Copyright
39
6.4 Enkele toepassingen op afgeleiden
Verwerking Hoofdstuk
6
29
Een vuurwerkpijl wordt verticaal afgeschoten.
De hoogte h (in m) in functie van de tijd t (in s) wordt beschreven met het voorschrift h(t) = 60t - 5t2. 1 Bepaal het voorschrift van de snelheid v in functie van t. 2 Bepaal de snelheid bij het afschieten van de pijl. 3 Bepaal de snelheid na 2 seconden. 4 De vuurwerkpijl ontploft op een hoogte van 120 meter. a Na hoeveel seconden is dat? b Wat is de snelheid op dat moment?
Studiewijzer: enkele toepassingen op afgeleiden We kunnen
instap
– de hoek tussen twee snijdende krommen berekenen en gebruiken in toepassingen
21
22
– afgeleiden gebruiken in de economie
40
23
2e reeks 3e reeks 24
65
– nagaan of krommen elkaar raken en problemen met rakende krommen oplossen – de ogenblikkelijke snelheid en versnelling van een voorwerp berekenen, evenals de snelheids- en versnellingsfunctie.
1e reeks
27
28
69
70
72
74
25
26
66
73
29
67
68
71
75
Copyright
Afgeleiden van veeltermfuncties
Hoofdstuk
Samenvatting Gemiddelde verandering, differentiequotiënt en gemiddelde helling
verandering van f over [a, b] D f f( b) - f(a) = = b-a verandering van x over [a, b] D x Een andere benaming voor
Df Dx
is differentiequotiënt van f over [a, b].
• De gemiddelde verandering of het differentiequotiënt van f over [a, b] kan grafisch geïnterpreteerd worden als de richtingscoëfficiënt van de rechte door de punten P(a, f(a)) en Q(b, f(b)): Df Dx
=
f( b) - f(a) = rico PQ b-a
y
y
Q(b, f(b))
f(b)
Q(b, f(b))
f(b)
Df
f(a)
samenvatting
• De gemiddelde verandering van een functie f over het interval [a, b] definiëren we als
6
P(a, f(a))
f(a)
Dx
f a
b
x
P(a, f(a))
+1
Df = rico PQ Dx
f a
b
x
Deze richtingscoëfficiënt is de gemiddelde helling van de grafiek van f over [a, b].
Copyright
41
Samenvatting
Ogenblikkelijke verandering en helling in een punt – afgeleide
samenvatting
Hoofdstuk
6
• Om de ogenblikkelijke verandering van een functie f in een inwendig punt a van het domein te berekenen, wordt vlakbij het vaste punt P(a, f(a)) een variabel punt Q(x, f(x)) gekozen, dat we steeds dichter tot P laten naderen zonder dat het ooit met P samenvalt.
y
t Q3
Q2 Q 1 Df
P
f(a)
Dx
De rechte PQ nadert daarbij steeds dichter tot een limietstand t, die we de raaklijn f x aan de grafiek van f in P a noemen. Df Als Q Æ P zal = rico PQ Æ rico t (op voorwaarde dat t niet verticaal is). Dx De ogenblikkelijke verandering van f in a is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in P(a, f(a)). Deze waarde is ook te beschouwen als de helling van de grafiek van f in P. • De afgeleide van f in a, een inwendig punt van het domein, is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn t aan de grafiek van f in P(a, f(a)), op voorwaarde dat deze niet verticaal is. We noteren de afgeleide van f in a als f’(a). In symbolen:
y rico t = f’(a)
P
f(a)
f’(a) = rico t t
f
a
x
• De raaklijn t in P aan de grafiek van f heeft richtingscoëfficiënt f’(a) en bijgevolg geldt: t ´ y - f(a) = f’(a) (x - a)
42
Copyright
Afgeleiden van veeltermfuncties
Hoofdstuk
Stijgen en dalen in een punt We definiëren het stijgen en dalen in een punt als volgt: f is stijgend in a ¤ f’(a) > 0 f is dalend in a ¤ f’(a) < 0
y f’(a2) = 0 f’(a1) < 0
f a1
f’(a3) > 0
a2
a3
x
samenvatting
f is stijgend noch dalend in a ¤ f’(a) = 0
6
Afgeleiden van veeltermfuncties • Afgeleiden van enkele basisfuncties –
d (c)= 0 met c een constante dx
–
d ( x )=1 dx
–
d n ( x ) = n x n - 1 met n ΠN \ {0, 1} dx
• Rekenregels – Somregel: (f + g)’ = f’ + g’ – Veelvoudregel: (r f)’ = r f’ met r Œ R • Afgeleide van een veeltermfunctie Voorbeeld d (-2x3 + 5x2 + 4x - 6) = -2 3x2 + 5 2x + 4 1 - 0 = -6x2 + 10x + 4 dx
Copyright
43
Samenvatting
Toepassingen
samenvatting
Hoofdstuk
6
y
• De hoek tussen twee krommen in een snijpunt is gelijk aan de scherpe of rechte hoek tussen de raaklijnen aan beide krommen in dat punt.
a
y = f(x)
In een orthonormaal assenstelsel geldt voor de hoek a tussen een rechte r met richtingscoëfficiënt m en een horizontale rechte:
y = g(x)
1
P x
0
tan a = m
1
• Twee krommen raken elkaar in een punt P als en slechts als ze in dat punt dezelfde raaklijn hebben. y
De grafieken van twee functies f en g raken elkaar in P(x0, y0) als in x0 geldt: ⎧f( x0 ) = g( x0 ) ⎨ ⎩f ’( x0 ) = g ’( x0 ) Merk op dat de voorwaarde f’(x0) = g’(x0) enkel bruikbaar is in het geval er een nietverticale raaklijn is.
t
y = f(x)
rico t = f’(x0) = g’(x0)
f(x0) = g(x0) y = g(x)
x0
• Voert een voorwerp een rechtlijnige beweging uit, dan geldt voor de plaats- of positiefunctie x(t), de snelheidsfunctie v(t) en de versnellingsfunctie a(t): dx v(t) = = x’(t) dt dv a(t) = = v’(t) dt 2 dx a(t) = 2 = x’’(t) dt
44
Copyright
x
Afgeleiden van veeltermfuncties
Hoofdstuk
Opdrachten 6.1 Afgeleide in een punt EERSTE REEKS
opdrachten
30
De evolutie van de huizenprijzen (in euro) is weergegeven in de grafiek. EVOLUTIE VAN DE VASTGOEDPRIJZEN 1986 - 2011 200 000 180 000 160 000 gemiddelde prijs (€)
6
140 000 120 000 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000 0 1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
2006
2008
2010
Gewone huizenprijs ex. Villas
Bron: FOD Economie - Kerncijfers vastgoed 2011
Kies het juiste antwoord en verklaar met een berekening. 1 De gemiddelde prijsstijging van een gewoon huis tussen 2001 en 2011 was ongeveer A 10 000 euro per jaar C 50 000 euro per jaar B 20 000 euro per jaar D 100 000 euro per jaar 2 De gemiddelde prijsstijging van een gewoon huis tussen 1986 en 2011 was ongeveer A 5000 euro per jaar C 7000 euro per jaar B 6000 euro per jaar D 8000 euro per jaar
31
Gegeven zijn de functies met voorschrift f(x) = x2 + 2 en g(x) = x2 - 3. 1 Bereken voor elk van deze functies de gemiddelde verandering over het interval [-1, 5]. 2 Wat stel je vast? Is dit ook zo voor andere intervallen? Verklaar.
Copyright
45
Opdrachten
32 Hoofdstuk
jaar bevolking in miljoenen
-400
0
200 700 1000 1100 1200 1300 1400 1500
23
37
67
27
42
48
61
73
45
69
De bevolking nam geleidelijk toe, behalve tijdens twee periodes:
opdrachten
6
De tabel geeft een schatting van de bevolking in Europa tussen 400 v.C. en 1500 n.C.
– tussen 200 en 700: ondergang van het Romeinse Rijk, volksverhuizingen, oorlogen ten tijde van de Merovingers … – tussen 1300 en 1400: in de zogenaamde waanzinnige 14de eeuw: pest, 100-jarige oorlog … 1 Toon met een berekening aan dat de bevolking gemiddeld toenam met 50 000 mensen per jaar tussen 700 en 1000. 2 Wat is de gemiddelde bevolkingstoename per jaar tussen 400 v.C. en 1500 n.C.? 3 In welke periode daalde de bevolking het snelst?
33
Gegeven de grafieken van de functies met voorschrift f(x) = x3 + 2x2 - 4 en g(x) = x2 + 4x. 1 Toon aan dat de differentiequotiënten van f en g over het interval [-1, 2] gelijk zijn.
y 12 10
2 Geef nog een interval waarover f en g gelijke differentiequotiënten hebben.
y = g(x)
8
3 Bereken de helling van de grafiek van f in het punt P(2,12).
6
4 Bereken de helling van de grafiek van g in het punt P(2,12).
4 2 –2
–1
0 –2 –4
46
Copyright
y = f(x)
1
2
x
Afgeleiden van veeltermfuncties
Aan de grafieken van de functies zijn een aantal raaklijnen getekend. Bepaal telkens de gevraagde afgeleiden.
4
y
y = f(x)
Hoofdstuk
34
1 a f’(-1) t1
b f’(2)
2 0
2
x
4
t2
–2 –4 y
2 a g’(-2) b g’(2) t1
c g’(4)
4 2
y = g(x)
0
2
opdrachten
–2
6
x –2
–2
35
f’(-1)
f’(2)
f’(0)
f’(4)
t3
4
Rangschik van klein naar groot: f’(1)
t2
y
De grafiek van een functie f is getekend.
f’(-4)
4
y = f(x)
2 x –4
–2
0
2
4
6
–2 –4
Copyright
47
Opdrachten
36
y
6
Hoofdstuk
y = g(x)
4
y = f(x)
2
opdrachten
6
De grafieken van de functies f en g zijn gegeven. Kies telkens het juiste antwoord.
x –4
–2
0
2
4
6
8
10
–2
37
1 f’(-2) < g’(-2)
f’(-2) = g’(-2)
f’(-2) > g’(-2)
2 f’(0) < g’(0)
f’(0) = g’(0)
f’(0) > g’(0)
3 f’(6) < g’(6)
f’(6) = g’(6)
f’(6) > g’(6)
4 f’(8) < g’(8)
f’(8) = g’(8)
f’(8) > g’(8)
1 1 Is de functie met voorschrift f(x) = x3 + x2 stijgend, dalend of stijgend noch 5 3 dalend in het punt P(-1, y)? Verklaar met een berekening.
38
48
De grafiek toont de valweg x (in meter) van een parachutist als functie van de tijd t (in seconden). De parachutist is uit de helikopter gesprongen op een hoogte van 3200 meter. Gedurende 20 seconden is de beweging versneld, maar dan wordt de snelheid constant omwille van de luchtweerstand. Bij het openen van de parachute neemt de luchtweerstand plots toe, zodat de snelheid ineens afneemt. De parachutist valt nu terug met een constante snelheid, waarmee hij ook zal landen.
Copyright
Afgeleiden van veeltermfuncties
x (m) Hoofdstuk
3000
2000
t (s) 0
40
80
120
160
200
opdrachten
1000
6
1 Na hoeveel tijd opent de parachutist zijn valscherm? 2 Op welke hoogte bevindt de parachutist zich als hij zijn valscherm opent? 3 Welke constante snelheid (in m/s en in km/h) heeft de parachutist tijdens de vrije val? 4 Met welke snelheid (in km/h) komt de parachutist op de grond terecht?
TWEEDE REEKS 39
1 Als f(x) =
x , bepaal dan algebraïsch x +1 2
a f’(0) b f’(-2) 2 Als f(x) = x − x, bepaal dan algebraïsch a f’(1) b f’(4)
Copyright
49
Opdrachten
6.2 Afgeleide functie 40
Hiernaast zie je de grafiek van een functie f en daaronder de grafiek van haar afgeleide functie f’.
y y = f(x)
2
1 Bepaal
opdrachten
Hoofdstuk
6
EERSTE REEKS
x
a f’(-2) –2
b f’(0)
0
2
4
–2
c f’(4) 2 In het interval ]- •, 1[ is de afgeleide functie f’ strikt positief.
–4
Wat betekent dit voor de grafiek van f ?
y
3 a In welk punt van de grafiek van f is de helling gelijk aan 2?
2 x
b In welk punt van de grafiek van f is de helling gelijk aan -2?
–2
0
2
4
y = f’(x)
–2 –4
41
Welke grafieken horen bij welke hellingfuncties? 1
2 y
y
4
4
2
2
y = f(x)
x –4
–2
0 –2 –4
50
2
4 y = f(x)
6
x –4
–2
0
2
–2 –4
Copyright
4
6
Afgeleiden van veeltermfuncties
4 4
y
y = f(x)
4
2
y
2
Hoofdstuk
3
y = f(x)
x –2
0
2
4
6
–4
–2
0
–2
–2
–4
–4
y
A
D
2
y = f’(x)
y = f’(x)
2
4
6
y 2
x –4
–2
0
2
4
x
6
–4
–2
–2
0
2
4
6
–2
y
B
y
E
y = f’(x)
2
y = f’(x)
2 x
–4
–2
0
2
4
x
6
–4
–2
–2
0
2
4
6
–2
y
C
y
F 2
2
y = f’(x)
x
x –4
–2
0 –2
opdrachten
–4
x
6
2
4
y = f’(x)
6
–4
–2
0
2
4
6
–2
Copyright
51
Opdrachten
42 Hoofdstuk
6 f(x) = x
2 Is t2 de raaklijn aan de grafiek van de functie met voorschrift f(x) = x2 in het punt Q(2,4)?
opdrachten
6
y
1 Is t1 de raaklijn aan de grafiek van de functie met voorschrift f(x) = x2 in het punt P(-1,1)?
2
4 P
Verklaar telkens met een berekening. –2
–1
Q
2 x 0
1
2
3
–2 t2
43
Bepaal 1 2 3
44
t1
–4
d 10 (x ) dx
4
d 7 (t ) dt
5
d n−5 (a ) da
6
d 5 (x ) dx d 2 (r ) dr
x = −1
r=8
d b (a ) dx
x =10
Welke grafiek hoort bij de gegeven voorwaarden voor de afgeleide functie? 1 f’(0) = 0, f’(1) < 0 en f’(-1) > 0
A y
2 f’(0) = 0, f’(1) < 0 en f’(-1) < 0 1
3 f’(0) > 0, f’(1) > 0 en f’(-1) = 0
x –1
0
1
–1 y = f(x)
C
B y
D y
y = f(x)
1
1
y x
x –1
0 –1
52
1
1
y = f(x)
–1
0 –1
1
y = f(x)
x
–1
0 –1
Copyright
1
Afgeleiden van veeltermfuncties
De hellinggrafiek van een functie f is gegeven.
4
Welke van de onderstaande grafieken kan die van f zijn?
2
y y = f’(x)
x –4
–2
0
2
4
A
4
y = f(x)
y
C
4
y y = f(x)
2
2
x
x –4
–2
0
2
–4
4
–2
y = f(x)
4
2
4
–2
–2
B
0
y
D
4
2
y y = f(x)
2 x
–4
–2
0 –2
46
47
6 opdrachten
–2
Hoofdstuk
45
2
4
x –4
–2
0
2
4
–2
In welke punten heeft de grafiek van de functie f : x |→ x3 1 als helling 12?
3 als helling -4?
1 2 als helling ? 3
4 als helling a?
Bepaal de coördinaat van het punt P op de grafiek van de functie f : x |→ x2 waar de raaklijn evenwijdig is met de rechte die de grafiek van f snijdt in de punten met x-coördinaat -3 en 2.
TWEEDE REEKS 48
De rechte met vergelijking y = 6x + b is een raaklijn aan de grafiek van de functie f : x |→ x2. Bepaal b.
Copyright
53
Opdrachten
49 Hoofdstuk
Bepaal a.
50
De grafiek van een functie f is gegeven. Welk is de grafiek van haar hellingfunctie?
opdrachten
6
De rechte t ´ y = ax - 6 is een raaklijn aan de grafiek van de functie met voorschrift f(x) = x4.
y
4
y = f(x)
2 x –6
–4
–2
0
2
4
6
8
–2
A
C 4
y
4 y = f’(x)
2
y y = f’(x)
2 x
–4
–2
0
2
x
4
–4
–2
–2
2
4
–2
B
D 4
y
4
2 –4
–2
0 –2
y y = f’(x)
2 y = f’(x)
51
0
2
x 4
x –4
–2
0
2
4
–2
1 Bepaal een vergelijking van de raaklijn t aan de grafiek van de functie met voorschrift f(x) = x2 in het punt P(a, a2). 2 Bepaal de coördinaat van het snijpunt S van t met de x-as. 3 Bepaal de coördinaat van het snijpunt T van t met de y-as. 4 Leid uit de vorige resultaten een constructie af van de raaklijn aan de parabool met vergelijking y = x2 in een willekeurig punt.
54
Copyright
Afgeleiden van veeltermfuncties
Hoofdstuk
6.3 Afgeleiden van veeltermfuncties EERSTE REEKS 52
Bereken d⎛ 1 ⎞ ⎜⎝ − x + 1⎟⎠ dx 2
6
d 2 (ax + bx + c) dx
2
d⎛ 1 2 ⎞ ⎜⎝ − x + 3 x ⎟⎠ dx 9
7
d (2ax2 + 3ax + b) dx
d 4 ( x − 3 x3 + 8) 3 dx
53
4
d ⎛1 6 ⎞ ⎜ x − x ⎟⎠ dx ⎝ 2
5
d ⎛ 3 4 2 3⎞ ⎜ − x + x ⎟⎠ 3 dx ⎝ 4
d ⎛ x3 x2 ⎞ 8 ⎜ + ⎟ dx ⎝ 3a 4a ⎠ d ( −2 x3 y + x2 y 2 − xy 3 ) 9 dx 10
opdrachten
1
6
d ⎛ x 4 2tx3 u2 ⎞ + ⎟ ⎜− + dx ⎝ 4 3 2⎠
Gegeven de functie met voorschrift f(x) = x3 - 3x2 - x - 10. Bereken 1 f’(1) 2 f’(-2) 3 f’(0)
54
Gegeven de functie met voorschrift f(x) = -2x2 + 3x - 1. Bepaal a als 1 f’(a) = -5 2 f’(a) = 7 3 f’(a) = 0
Copyright
55
Opdrachten
55 Hoofdstuk
4
1 Bepaal het voorschrift van f’.
2
2 Voor welke waarden van x heeft de grafiek van f een horizontale raaklijn?
opdrachten
6
y
De grafieken van de functie met voorschrift f(x) = -x3 + 6x2 - 9x + 3 en haar afgeleide functie f’ zijn getekend.
x 0
3 Voor welke waarden van x heeft de grafiek van f een strikt positieve helling? 4 Voor welke waarde van x heeft de grafiek van f de grootste helling?
f(x) = -x3 + 6x2 - 9x + 3
2
4
y 4 y = f’(x)
2
x 0
56
Bepaal een vergelijking van de raaklijn t aan de grafiek van f in het punt P. 1 f : x |→ 4x2 + 5x + 2 1 − x2 | 2 f: x → 5
57
2
in P(1, f(1)) in P(-4, f(-4))
Gegeven de functie met voorschrift f(x) = x2 - 4x. 1 In welk punt van de grafiek van f is de raaklijn evenwijdig met de x-as? 2 In welk punt van de grafiek van f is de raaklijn evenwijdig met de rechte y = 4x? 3 In welk punt van de grafiek van f is de raaklijn evenwijdig met de rechte y = -2x + 3?
58
Van de functie met voorschrift f(x) = ax2 + bx + 1 is gegeven dat f(2) = 1 en f’(2) = -3. Bepaal a en b.
56
Copyright
4
Afgeleiden van veeltermfuncties
t1 en t2 zijn de raaklijnen aan de grafiek van de functie met voorschrift 1 1 1 f(x) = − x3 + x2 + x − in de punten 6 4 3 P(a, f(a)) en Q(b, f(b)).
y
t2 Hoofdstuk
59
P(a, f(a)) y = f(x) b
a
x
Q(b, f(b))
t1
60
y = -5x
opdrachten
Bepaal a en b als je weet dat t1 en t2 evenwijdig zijn met de rechte met vergelijking y = -5x.
6
Toon aan dat 1 ( f + g + h + ...)’ = f ’ + g ’ + h’ + ... n termen
n termen
2 (f - g)’ = f ’ - g ’ 3 (r f)’ = r f ’
TWEEDE REEKS 61
De rechte met vergelijking y = 2x + b is een raaklijn aan de grafiek van de functie met voorschrift f(x) = 2x2 - 3. Bepaal b.
62
De rechte met vergelijking y = ax - 1 is een raaklijn aan de grafiek van de functie f : x |→ x2 + 2. Bepaal a.
63
Gegeven is de parabool p ´ y = ax2 + bx + c. Toon aan dat de rechte AB, met A(m, f(m)) en B(n, f(n)), evenwijdig is met de ⎛ m + n ⎛ m + n⎞ ⎞ raaklijn t in het punt C ⎜ van p. , f⎜ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎝ 2
64
Wat is de kleinste helling van de grafiek van de functie met voorschrift f(x) = 2x3 + x2 + 3x - 1?
Copyright
57
Opdrachten
6.4 E nkele toepassingen op afgeleiden
opdrachten
Hoofdstuk
6
EERSTE REEKS 65
Bepaal de hoek tussen de grafieken van f en g in hun snijpunten. 1 g : x |→ − x + 2 1 f : x |→ 2x - 1 3 1 2 3 1 3 g : x |→ − x2 + x - 7 2 f : x |→ x - x - 10 4 2 2 4
66
De rechte met vergelijking y = x en de parabool met vergelijking y = -x2 + k raken elkaar. Bepaal k.
67
Pallieter staat boven op de IJzertoren, die 84 m hoog is, en gooit een steen net over de rand van de muur verticaal naar boven, zodat deze rakelings langs die muur tot helemaal beneden valt, zoals op de figuur aangegeven. Stellen we t = 0 op het ogenblik dat hij de steen loslaat, dan kan de hoogte h (in m) goed benaderd worden door h(t) = 84 + 13t - 5t2 met t in seconden. 1 Bereken de snelheid van de steen na 2 seconden. 2 Met welke snelheid raakt de steen de grond?
68
Je laat een steen van een toren vallen. De hoogte h van de steen (in m) na t seconden wordt beschreven door het voorschrift h(t) = -4,9t2 + 95. 1 Hoe hoog is de toren? 2 Bepaal de snelheid na 2 seconden. 3 Met welke snelheid komt de steen op de grond terecht? 4 Verklaar met een berekening waarom de versnelling op elk moment dezelfde is.
58
Copyright
Afgeleiden van veeltermfuncties
69
De normaal in een punt van een kromme is de rechte die loodrecht staat op de raaklijn in dat punt aan de kromme.
70
1 Gegeven de rechte r ´ y = -4x - 3 en de functie f : x |→ x2 - 2x. 3 1 Toon aan dat r een raaklijn is aan de grafiek van f en bepaal de coördinaat van het raakpunt T. 2 Bepaal een vergelijking van de normaal n in T.
71
6 opdrachten
Bepaal een vergelijking van de normaal n in het punt P(-1, f(-1)) van de grafiek 1 van f : x |→ − x2 + x. 2
Hoofdstuk
TWEEDE REEKS
Omdat de maan een kleinere massa heeft dan de aarde, val je op de maan ‘zachter’ dan op aarde. De functie met voorschrift x = 0,85t2 geeft bij benadering het verband tussen de valweg x (in m) en de valtijd t (in s) op de maan. Op aarde is dat verband bij benadering x = 4,9t2. 1 Een ruimtevaarder laat van 100 meter hoogte een maansteen vallen. a Na hoeveel seconden ploft die neer op de maan? b Met welke snelheid gebeurt dit? 2 Met welke snelheid valt een steen, die van een 20 meter hoge toren op aarde valt, op de grond? 3 Hoe hoog moet een toren op de maan zijn opdat een steen, die van deze toren valt, met dezelfde snelheid zou neerkomen als die steen die van de 20 meter hoge toren op aarde neervalt?
72
Bepaal k zodat de grafiek van de functie met voorschrift f(x) = x2 + k de x-as onder een hoek van 45° snijdt.
73
De grafieken van de functies f en g raken elkaar. Bepaal m. 1 f : x |→ x2 + mx + 4 en g : x |→ -2x2 + 4x + m 2 f : x |→ x3 - 2x2 + m en g : x |→ x2 + 9x + 1
Copyright
59
Opdrachten
74
opdrachten
Hoofdstuk
6
75
1 Bepaal k zodanig dat de grafieken van de functies f : x |→ kx2 - 3 en 2 1 2 g : x |→ − x + 2 elkaar loodrecht snijden. 18 Een firma produceert potloden. De totale kosten (in €) om x keer 1000 potloden te produceren, zijn gelijk aan K(x) = 5x3 - 45x2 + 150x + 80. De potloden worden verkocht aan € 125 per 1000 stuks zodat O(x) = 125x de omzetfunctie is.
In deze opdracht vergelijken we de verandering van de kosten, van de omzet en van de winst bij een productie van 4000 en van 7000 eenheden. 1 De verandering van de kosten bij een bepaalde productie is gelijk aan de afgeleide van de kostenfunctie. We noemen deze verandering de marginale kosten. Bepaal de marginale kostenfunctie K’(x).
y
y = K(x)
1500
1000 y = O(x)
500
2 Bereken K’(4) en K’(7).
y = W(x)
Wat betekent dit voor de toename van de kosten bij een 0 2 4 6 8 10 productie van 4000 t.o.v. die bij een productie van 7000 eenheden? 3 De verandering van de omzet bij een bepaalde productie is gelijk aan de afgeleide van de omzetfunctie. We noemen deze verandering de marginale omzet. Bepaal de marginale omzetfunctie O’(x). 4 De verandering van de winst bij een bepaalde productie is gelijk aan de afgeleide van de winstfunctie. We noemen deze verandering de marginale winst. Bepaal de winstfunctie W(x) en de marginale winstfunctie W’(x). 5 Bereken W(4) en W’(4). Hoe kun je deze aflezen op de grafiek? 6 Bereken W(7) en W’(7). Hoe kun je deze aflezen op de grafiek?
60
Copyright
x
Afgeleiden van veeltermfuncties
Hoofdstuk
Herhalingsopdrachten Studiewijzer 1e reeks
2e reeks
3e reeks
77
78
82
83
79
80
81
84
85
76
De hellinggrafiek van een functie f is gegeven.
4
Kies het juiste antwoord.
2
1 De grafiek van f heeft een horizontale raaklijn A voor x = -1 B voor x = 0 C voor x = 2 2 Voor x = 3 is de grafiek van f
y
x –2
0
2
4
6
–2 –4
y = f’(x)
A stijgend
herhalingsopdrachten
76
6
B dalend C stijgend noch dalend 3 Voor x = 5 is de grafiek van f A stijgend B dalend C stijgend noch dalend
77
Het volume water V (in l) in een tank, t minuten vanaf het moment dat het leeglopen start, wordt beschreven door de formule V(t) = 40 000 - 4000t + 100t2. 1 Bepaal de gemiddelde snelheid waarmee het water uit de tank stroomt tijdens de eerste 10 minuten. 2 Wat is de ogenblikkelijke snelheid waarmee het water uit de tank stroomt na 10 minuten? 3 Na hoeveel minuten is de tank leeg?
78
Bepaal de hoek tussen de grafieken van f : x |→ x3 - 2x en g : x |→ x3 in hun snijpunten.
Copyright
61
Herhalingsopdrachten
79 Hoofdstuk
y
–4
–2 0 –2
A
y
y = f(x)
2
herhalingsopdrachten
6
Welke grafieken horen bij welke hellingfuncties? 1 2
2
4
2
x
–4
y = f’(x)
2 –2 0 –2
B
2
y = f’(x)
4
x
2 –4
2
4
x
–4
4
x
2
4
x
–4
y
2
2
–2 0 –2
2
4
x
–4
F
y
–4
–2 0 –2
4
x
y = f’(x)
2
y 2
2
y = f’(x)
–2 0 –2
–4
–2 0 –2
4
x
y = f’(x)
2
4
x
80
Bepaal de x-coördinaten van de punten van de grafiek van de functie met 3 1 voorschrift f(x) = x4 + x3 - 6x2 waar de helling gelijk is aan 4. 4 3
81
1 Voor welke waarde(n) van x heeft de functie met voorschrift x3 2 f(x) = + x - 3x + c een horizontale raaklijn? 3 2 Bepaal c als de x-as een raaklijn is van de grafiek van f.
82
Bepaal vergelijkingen van de raaklijnen t1 en t2 aan de grafiek van de functie met voorschrift f(x) = x2 - x + 2 die door het punt P(3, -1) gaan.
83
De grafieken van de functies f : x |→ x2 + 2ax + b en g : x |→ x3 + c raken elkaar in het punt P(-1, 1). Bepaal a, b en c.
62
y = f(x)
–2 0 –2
2
y = f’(x)
–2 0 –2
2
2
y
D
y
y
y = f(x)
E
C
y
–4
–2 0 –2
3
Copyright
84
De afgelegde weg x (in km) van een auto op de snelweg kan beschreven worden door het voorschrift x(t) = -10t3 + 60t2. Hierbij is de tijd t uitgedrukt in uur. De rit duurt 4 uur zodat 0 £ t £ 4. 1 Wat is de gemiddelde snelheid van de auto gedurende deze rit?
3 Hoe groot is de ogenblikkelijke snelheid na 1 uur? 4 Toon aan dat de auto de maximumsnelheid van 120 km/h nooit overschrijdt.
85
Een niet horizontale rechte gaat door het punt P(2, 1) en heeft een raakpunt met
3 de parabool met vergelijking y = 2x2 + 2x + . 2 Hoeveel bedraagt de helling van deze raaklijn? A 20
B 12
C 8
D 4 (bron © toelatingsproef geneeskunde)
Copyright
6 herhalingsopdrachten
2 Bepaal het voorschrift van de snelheid v in functie van de tijd (in km/h).
Hoofdstuk
Afgeleiden van veeltermfuncties
63
Hersenbrekers
Hersenbrekers
hersenbrekers
Hoofdstuk
6
1
Drie kubussen worden gevormd op basis van de ontvouwing hiernaast. Vervolgens worden ze op een tafel de ene bovenop de andere geschikt, zodanig dat de 13 zichtbare getallen de grootst mogelijke som hebben.
4 1
2
8
Wat is deze som? A 159
2
B 161
C 164
32 16
D 167
E 189
Meneer Jansen vertrekt elke ochtend om 8u stipt naar zijn werk met de auto. Als hij (constant) 40 km/h rijdt, is hij drie minuten te laat op zijn werk. Als hij 60 km/h rijdt, is hij drie minuten te vroeg op zijn werk. Hoe snel moet hij rijden om precies op tijd te komen? (bron © Nederlandse Wiskunde Olympiade 2009)
3
De grafiek van de functie f zie je hieronder. (–2, 6)
6
y
(1, 6)
4 2 x
O(0, 0)
–6
–4
–2
0
2
4
6
–2 –4
(–7, –4)
–6
(5, –6)
Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking f(f(x)) = 6? A 2
64
B 4
C 5
D 6
E 7
Copyright
