ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE – FAKULTA STAVEBNÍ Doktorský studijní program: STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ Studijní obor: POZEMNÍ STAVBY ___________________________________________________________________________
PRŮMYSLOVÉ BETONOVÉ PODLAHY INDUSTRIAL CONCRETE FLOORS
Ing. Petr Žalský Školitel: Prof. Ing. Jaroslav Procházka, CSc.
PÍSEMNÁ PRÁCE KE STÁTNÍ DOKTORSKÉ ZKOUŠCE Praha, leden 2003
Obsah: TITULNÍ LIST
1
OBSAH
2
POUŽITÉ ZNAČKY
4
ÚVOD
6
1.
PODLOŽÍ
7
2.
ZATÍŽENÍ PODLAH A JEHO ÚČINKY
8
2.1.
Rovnoměrná plošná zatížení
9
2.2.
Rovnoměrná liniová zatížení
11
2.3.
Osamělá břemena
12
2.3.1. Vnitřní břemena
13
2.3.2. Okrajová břemena
15
2.3.3. Rohová břemena
16
2.4.
17
2.4.1. Smršťování od vysýchání
17
2.4.2. Zatížení změnou teploty
21
2.4.3. Určení účinků smršťování
21
2.5. 3.
Nepřímá zatížení
Přenos zatížení spárou
23
ZÁSADY DIMENZOVÁNÍ
25
Metoda lomových čar
26
3.1.
3.1.1. Mechanismus porušení podlahy z prostého betonu
26
3.1.2. Mechanismus porušení drátkobetonové podlahy
28
3.2.
Dílčí součinitele spolehlivosti pro zatížení
29
3.3.
Podlahy z prostého betonu
30
3.3.1. Dílčí součinitel spolehlivosti materiálu
31
3.3.2. Mezní stavy
31
3.4.
Podlahy ze slabě vyztuženého betonu
33
3.5.
Podlahy železobetonové
33
3.5.1. Dílčí součinitelé spolehlivosti materiálu
34
3.5.2. Mezní stav únosnosti
34
3.5.3. Mezní stav použitelnosti
35
3.6.
Betonové podlahy vyztužené vlákny
36
3.6.1. Betonové podlahy vyztužené polypropylénovými vlákny 3.7.
Drátkobetonové podlahy
36 37
3.7.1. Dílčí součinitelé spolehlivosti drátkobetonu
38
3.7.2. Ekvivalentní pevnost drátkobetonu v tahu
38
3.7.3. Posouzení ohybové únosnosti v souladu s TR34 [4]
41
3.7.4. Posouzení protlačení
42
3.7.5. Posouzení ohybové únosnosti v souladu s českou směrnicí pro drátkobetonové konstrukce
43
3.8.
Rozměrové tolerance
44
2
4.
5.
6.
SPÁRY
45
4.1.
Konstrukční (dilatační) spáry
45
4.2.
Smršťovací (kontrakční) spáry
47
4.3.
Oddělovací (izolační) spáry
47
4.4.
Těsnění spár
48
POVRCH PODLAHY
52
5.1.
Kritéria rovinnosti povrchu podlah dle ČSN 74 4505
52
5.2.
Kritéria rovinnosti povrchu podlah ve světě
53
ZÁVĚR
56
POUŽITÉ INFORMAČNÍ ZDROJE
57
Příloha 1 - Podrobnější pohled na smršťování podlahových desek od vysýchání
3
60
Použité značky a
součinitel teplotní délkové roztažnosti
[ K-1 ]
součinitel závislý na účinnosti přenosu zatížení
[-]
d
dynamický součinitel
[-]
ecs
smrštění betonu
[-]
ecT
přetvoření způsobené změnou teploty
[-]
f
úhel vnitřního tření
[ rad, ° ]
g
dílčí součinitelé bezpečnosti
[-]
m
součinitel tření
[-]
l
součinitel únavy, štíhlost drátků
[ -, - ]
s
napětí v betonu
[ MPa ]
sz
svislá složka napětí v zemině
[ MPa ]
sor
původní geostatické napětí
[ MPa ]
sol
průměrné svislé zatížení základové spáry
[ MPa ]
n
Poissonovo číslo
[-]
t
smykové napětí
[ MPa ]
xt, xt4 součinitel přenosu zatížení
[-]
Ac
plocha betonového průřezu
[ m2 ]
A s1
plocha výztuže
[ m2 ]
Ec
modul pružnosti betonu
[ MPa ]
H
relativní vlhkost
[%]
L
vzdálenost
[m]
N
celkový počet zatěžovacích cyklů
[-]
P, P1 osamělé břemeno
[ kN ]
T, T0 počet zatížení za den, teplota
[ -, K ]
W
[ m3 ]
elastický průřezový modul desky
a,b,x,s rozměry
[m]
de
ekvivalentní průměr
[m]
ffte
ekvivalentní pevnost drátkobetonu v tahu
[ MPa ]
fyk
charakteristická hodnota meze kluzu výztuže
[ MPa ]
g
stálé zatížení
[ kN/m2 ]
h
tloušťka desky
[m]
k
modul reakce podloží (modul stlačitelnosti podloží)
[ MPa/m ~ MN/m3 ]
l
poloměr relativní tuhosti desky
[m]
m
ohybový moment , součinitel strukturní pevnosti zeminy
[ kNm/m, - ]
4
mf
hmotnostní koncentrace drátků
[ kg/m3 ]
p
liniové zatížení
[ kN/m ]
q
plošné zatížení, nahodilé zatížení
[ kN/m2 ]
r
poloměr ekvivalentní kruhové zatěžovací plochy
[m]
s
sedání, procento z celkového smrštění
[ m, % ]
t
počet dnů
[-]
u
obvod betonového průřezu
[m]
ucr
kritický odvod
[m]
vsd , vrd smyková síla a únosnost vztažená na metr kritického obvodu
[ kN/m ]
w
[m]
průhyb
5
Úvod
Nedílnou součástí většiny pozemních průmyslových staveb jsou podlahy. Materiálová základna je u těchto stavebních prvků poměrně široká; velmi často jsou používány podlahy betonové, a to z betonu prostého, železového, předpjatého a i drátkobetonu, případně vláknobetonu. Podlahy mohou být konstruovány jako prosté desky se spárami, nebo jako podlahy bezespáré. Při extrémních zatíženích nebo při špatných základových poměrech je možné podlahové desky uložit na základové rošty nebo i na piloty. Problematika návrhu podlah byla často považována ze vedlejší, avšak výskyt mnoha závad ukazuje na důležitost správného projekčního řešení a pečlivého provedení, neboť následné sanace jsou velmi nákladné a z provozního hlediska často i obtížně proveditelné (nutnost dočasného omezení využití podlahy). Návrh správně fungující a ekonomicky přijatelné podlahy je poměrně složitou inženýrskou činností, která vyžaduje znalosti z několika oborů, zejména z mechaniky zemin a betonového stavitelství. Konečný vzhled a kvalita průmyslové podlahy závisí na mnoha činitelích, z nichž většinu lze příznivě či nepříznivě ovlivnit návrhem a následným provedením podlahy. Aby vůbec bylo možné k navrhování přistoupit, je třeba pro podlahu vytýčit vstupní požadavky. Čím obsáhlejší a kompletnější bude seznam požadavků, tím efektivněji a v požadované kvalitě za přijatelných finančních podmínek lze podlahu navrhnout a provést. Vytyčování požadavků musí začínat u budoucího uživatele (investora) a pravděpodobně si vyžádá konzultaci s architektem, stavebním inženýrem a geotechnikem. Seznam vstupních požadavků pro průmyslové podlahy slouží k přesnému vymezení rozsahu a kvality budoucího díla a měl by být přílohou smlouvy o dílo. V budoucnu lze na jeho základě rozhodnout o oprávněnosti případných reklamačních nároků. Betonové podlahy se používají ve výrobních, prodejních a skladovacích halách, v objektech zemědělských, v pozemních garážích, ale i v objektech občanských. Tato práce se týká návrhu a provádění průmyslových betonových podlah uložených přímo na podloží. Typickou skladbu takové průmyslové betonové podlahy znázorňuje následující obrázek.
Obr. 1 Skladba průmyslové podlahy s typickými tloušťkami jednotlivých vrstev
Rostlá zemina, podkladní vrstva a nosná deska jsou vrstvy nutné pro splnění základní funkce průmyslové podlahy, zatímco vrstva stabilizované zeminy, kluzná spára a povrchová úprava nutné nejsou. Dosahuje-li původní zemina v místě staveniště dostatečných kvalit, není vrstva stabilizované zeminy nutná. V opačném případě bude tuto vrstvu tvořit původní zemina s vylepšenými vlastnostmi, nebo jiná navezená zemina.
6
1. Podloží
Podložím (podklad, stabilizovaná zemina a zemina) se nazývá zhutněná zemina pod betonovou podlahou, která se nalézá v dosahu účinku zatížení podlahy. Míní se tím hloubka odpovídající deformační zóně zeminy zz , která ovlivňuje přetvoření (sedání a úhlová pootočení) betonové podlahy. Hloubka deformační zóny zz se určí z rovnosti svislé složky napětí sz od přitížení podlahou a původního geostatického napětí sor násobeného opravným součinitelem strukturní pevnosti zeminy m [31].
σ z = mσ or
[ kPa ]
(1.1)
Původní geostatické napětí sor závisí na objemové tíze zeminy, hladině podzemní vody a uvažované hloubce vztažené k původnímu povrchu. Svislá složka napětí sz od přitížení podlahou závisí při vyčíslení v hloubce z na půdorysných rozměrech podlahy a samozřejmě na velikosti přitížení zeminy podlahou sol. Pro různé typy zatížení proto bude hloubka deformační zóny různá. Například při zatížení podlahy vysokozdvižným vozíkem bude ve styku podlahové desky s podložím vznikat menší kontaktní napětí nežli při zatížení podlahy rovnoměrným plošným zatížením. Aktivní deformační zóna pod vozíkem nebude tak hluboká a zasáhne převážně podkladní vrstvu a částečně vrstvu stabilizované zeminy, pro plošné zatížení však bude podstatně hlubší a kromě podkladní vrstvy a vrstvy stabilizované zeminy možná zasáhne i do původní neupravené, méně kvalitní zeminy. Interakce podloží a horní stavby se v běžných případech určí buď na základě jednoduchého Winklerova jednoparametrického modelu podloží bez smykového přenosu do sousedních nezatížených oblastí, nebo na základě víceparametrických modelů podloží se smykovým přenosem do okolí a tudíž spojitou křivkou sedání. Chování skutečných zemin leží někde mezi těmito modely, pro jednoduchost a praktičnost se však pro stanovení kontaktního napětí pod podlahovou deskou značně rozšířil tzv. Winklerův model, který vychází z předpokladu, že průhyb desky a od průhybu vznikající napětí v základové spáře jsou úměrné. Použití tohoto modelu je konzervativnější a tudíž bezpečnější především při zatěžování rohů a hran navzájem nepropojených desek, kdy dochází k průhybu pouze zatížené desky a sousední nezatížená zůstává v původní poloze, zatímco při použití modelu se smykovým přenosem by se prohnula i sousedící deska. Jako charakteristika základové půdy se zavádí modul reakce podloží k. Hodnota modulu reakce podloží nezávisí jen na vlastnostech zeminy, ale také na tvaru a velikosti zatěžovací plochy. Jeho hodnota klesá s rostoucím rovnoměrným zatížením. Není proto pro danou zeminu konstantní a shoda výpočtu se skutečností do značné míry závisí na výběru jeho velikosti. Velikost průměrné hodnoty modulu reakce podloží se určí jako
k=
σ ol s
[ MPa/m ]
(1.2)
[ MPa/m ]
(1.3)
a jeho průběh po délce (šířce) základu pomocí vztahu 3 x k ( x) = 0,81k 1 + 0,94 d
kde sol je velikost průměrného svislého přitížení základové spáry, s je příslušné sedání pod charakteristickým bodem podlahy, x je vzdálenost počítaného bodu od středu základu a d je poloviční délka (šířka) základu [32]. V tabulce 1.0 jsou uvedeny orientační hodnoty průměrných modulů reakce podloží pro některé typy zemin.
7
Tab 1.0 Typické hodnoty modulu reakce podloží 3
Typ zeminy
k [MN/m ] min.
max.
humózní zemina rašelina
5,0
15,0
navážky
10,0
20,0
neulehlý písek
10,0
30,0
ulehlý písek
30,0
100,0
velmi dobře zhutněný písek
100,0
150,0
vlhká hlína a jíl
30,0
60,0
suchá hlína a jíl
80,0
100,0
jíl s příměsí písku
80,0
100,0
ulehlý štěrkopísek
80,0
150,0
hrubý štěrk
200,0
250,0
ulehlý štěrk
200,0
300,0
Rozsah inženýrskogeologického průzkumu má být přiměřený významu a půdorysné rozloze podlah, úrovni znalostí místních základových poměrů a musí se průzkumem stanovit požadované vlastnosti podloží. U průmyslových podlah má odpovídat intenzitě zatížení a zjištěné homogenitě podloží. Spodní hranici požadavků na průzkum představuje zatřídění zemin a ověření deformačních vlastností zemin in situ. Mezi nejběžnější zkušební metody deformačních vlastností zemin patří zatěžování deskou průměru 750mm, presiometrické a penetrační zkoušky. Základní požadavky kladené na podloží průmyslových podlah jsou homogenita, dostatečná míra zhutnění kontrolovaná například poměrem Edef,2/E def,1 a modul pružnosti od 30 MPa výše, to vše v rozsahu celé deformační zóny podlahy. Modul reakce podloží by pro běžné podlahy neměl být menší nežli 30 MN/m3 .
Zkoušení a ověřování podloží Zatěžovací zkouška deskou patří mezi nejstarší polní zkoušky a je v současná době velmi používaná. Provádí se pomocí tuhé kruhové desky obvykle o průměru 750mm, která se prostřednictvím hydraulického lisu s protizávažím vtlačuje do zeminy. Při zkoušce jsou obvykle sledovány hodnoty modulu přetvárnosti Edef,1 a E def,2 obdržené při prvním a druhém zatěžovacím cyklu. Obvykle poměr E def,2 /Edef,1<2,0 znamená dobře zhutněné podloží, naopak poměr E def,2 /Edef,1>2,5 indikuje nevhodné podloží. Tato metoda byla původně používána výhradně v dopravním stavitelství pro ověření podloží silnic a z toho plynou i jistá omezení metody pro použití u podlah. Podlahy zatížené převážně dopravou bez plošných zatížení větší intenzity mají relativně malou aktivní deformační zónu, tj. jsou svým charakterem silnicím velmi podobné a zkouška je u nich dostatečná. Avšak podlahy zatížené mnohapatrovými regály mají hloubku deformační zóny mnohem větší v řádu několika metrů a touto zkouškou u nich nelze přetvárný vliv hlouběji položených vrstev postihnout. Potom je třeba dát přednost jiné zkoušce podloží a nebo výpočtu s uvážením celé ovlivněné zóny. Při penetrační zkoušce dochází k zarážení případně vtlačování obvykle kuželovitého hrotu upevněného na tyči nebo soutyčí do zeminy konstantní velikostí dynamické síly nebo statického tlaku. Přitom se sleduje
8
penetrační odpor zeminy proti pronikání hrotu. Parametrem zhutnění je měrný penetrační odpor, zahrnující podmínky zkoušky.
Zlepšování základové půdy pod podlahami Existuje celá řada způsobů, jak vylepšit základovou půdu, avšak běžně se používají následující postupy:
● nahrazování původní zeminy jinou zeminou (pohozy, plomby, polštáře, štěrkopískové piloty) ● zhutňování zeminy dynamickou konsolidací, tj. spouštění desky stanovené hmotnosti z určité výšky ● stabilizace zemin injektáží (cementem) ● vyztužování pomocí geotextílií a dalších přídavných materiálů ● zatlačování kameniva do podloží Nejčastější závady podloží podlah
● z úsporných důvodů nebyl proveden průzkum ● nevhodné skladování dočasně vytěžené zeminy ● nerespektování klimatických podmínek při těžbě, ukládání, rozhrnování a hutnění zeminy ● chybná technologie provádění, případně nedodržení předepsané technologie ● při těžbě zemin s následným použitím není respektována hladina podzemní vody ● projektová dokumentace není na potřebné technické úrovni ● vedoucí pracovníci nemají potřebné znalosti a zkušenosti
9
2. Zatížení podlah a jeho účinky
Na průmyslové podlahy působí několik specifických druhů zatížení, které můžeme rozdělit do následujících skupin:
1.
Rovnoměrná plošná zatížení [kN/m2] … Jedná se o rovnoměrně rozdělená zatížení působící na relativně velkých plochách. Pokud by plošná zatížení byla stejná v celé ploše podlahy (vlastní tíha desky a podlahové úpravy), žádné větší namáhání by nebylo vyvozeno. Zatížení jsou ale většinou uspořádána v plochách či pruzích (skladovací haly), mezi nimiž jsou nezatížené uličky umožňující dopravu. A právě uprostřed uliček dochází ke vzniku záporných ohybových momentů.
2.
Rovnoměrná liniová zatížení [kN/m] … Mohou to být zatížení od stěn a příček, nebo od mobilních regálů.
3.
Osamělá břemena [kN] … Tato zatížení jsou tvořena dvěma skupinami – tlaky kol, která mohou vyvozovat i dynamické účinky a statickými tlaky noh skladovacích regálů. Účinky těchto zatížení je nutné vyšetřit nejen pro jednotlivá břemena, ale i pro možné kombinace břemen. Kromě ohybových momentů se u velkých sil působících na malé roznášecí ploše musí ověřit i protlačení podlahou. Již předem je třeba upozornit, že nejhorší účinky z hlediska namáhání podlahy vyvozuje břemeno umístěné v rohu desky. Pokud to tedy jde, je třeba se těchto zatížení vyvarovat.
4.
Nesilová zatížení … Především se jedná o účinky smršťování a dotvarování betonu a o zatížení teplotními změnami.
5.
Kontaktní napětí [kPa] … Povrchové napětí vznikající pod lokálním zatížením.
6.
Horizontální zatížení [kN] … Zatížení vzniklá např. bržděním a rozjížděním vozidel.
Trendem v požadavcích na
průmyslové podlahy se stává stále větší zatížení a používání těžších
vysokozdvižných vozíků s malými tvrdými koly při současném přísnějším požadavku na rovinnost povrchu podlahy. Tyto požadavky zvyšují nákladnost podlahy. Aby podlaha skutečně všechny požadavky splňovala, je nutné, aby se projektant nejprve podrobně seznámil s budoucím provozem a veškerým zařízením, které se na budoucí podlaze bude vyskytovat. Je nutné získat přesné specifikace a technické parametry dopravních prostředků a skladovacích regálů, jejich rozměry a umístění atd. Jedině tak lze navrhnout kvalitní podlahovou konstrukci. Některé orientační hodnoty různých typů zatížení uvádí následující tabulka:
Tab 2.0 Některé orientační hodnoty různých typů zatížení Kategorie zatížení
Typické kritické hodnoty zatížení
pozn: plocha palety cca 1 m2
lehké
palety ukládané do regálů nebo na sebe
4 vrstvy palet o hmotnosti 750kg (1 vrstva přímo 2 na podlaze); tomu odpovídá plošné zat. 30kN/m
případné mezipatro max. zatížení od nohy regálů
3,5 kN/m 40 kN
vysokozvižné vozíky
nosnost 2000kg; odpovídající síly na přední kola jsou 25,5kN, na zadní kola 4,0kN, při rozvoru 0,8m, rozchodu 1,15m a kontaktní ploše 0,1x0,1m.
10
2
střední
palety ukládané do regálů nebo na sebe
4 vrstvy palet o hmotnosti 1000kg (1 vrstva přímo na podlaze); tomu odpovídá plošné zat. 2 40kN/m
případné mezipatro 5 kN/m2 max. zatížení od nohy regálů 54 kN vysokozvižné vozíky nosnost 3000kg; odpovídající síly na přední kola jsou 36,0kN, na zadní kola 5,0kN, při rozvoru 0,9m, rozchodu 1,4m a kontaktní ploše 0,2x0,2m. těžké
palety ukládané do regálů nebo na sebe
velmi těžké
4 vrstvy palet o hmotnosti 1500kg nebo 6 vrstev o hmot. 1000kg (vždy 1 vrstva přímo na 2 podlaze); tomu odpovídá plošné zat. 60kN/m
případné mezipatro 7,25 kN/m2 max. zatížení od nohy regálů 80 kN palety ukládané do regálů 5 vrstev palet o hmotnosti 1500kg nebo 7 vrstev nebo na sebe o hmot. 1000kg (vždy 1 vrstva přímo na 2 podlaze); tomu odpovídá plošné zat. 75kN/m 2
případné mezipatro 9,5 kN/m max. zatížení od nohy regálů 100 kN Pozn. Tabulka převzata z [4], hodnoty pro vysokozdvižné vozíky z [11]. Údaje jsou pouze orientační a lze je použít pouze v případech, kdy zatížení není specifikováno přesněji.
2.1. Rovnoměrná plošná zatížení S tímto druhem zatížení se lze setkat ve výrobních, skladových a prodejních halách a je způsobeno výrobními linkami, skladovacími regály a skladovaným materiálem a zbožím. Charakteristické je pro toto zatížení půdorysně pásové uspořádání, kde se zatížené pásy střídají s pásy nezatíženými (dopravními uličkami). Výsek takto zatížené podlahy je schematicky znázorněn na následujícím obrázku 2.1.
Obr. 2.1 Schéma uspořádání plošného zatížení
Při zachování předpokladů teorie lineární pružnosti lze výpočtem namáhání takto zatížené podlahy odvodit průběh ohybových momentů též vyznačený v obrázku 2.1. Největší záporné ohybové momenty mvznikají uprostřed nezatížených pásů a největší kladné ohybové momenty m+ uprostřed pásů zatížených. Velikost těchto momentů se určí pomocí následujících vztahů (viz. [5], [9]).
m− = −
[
]
q −λa e sin (λa ) − e −λb sin (λb ) 2 2λ
q − 2 λb 1 e sin λb 2λ2 2
[ kNm/m ]
(2.1)
[ kNm/m ]
(2.2)
1
m+ = kde:
11
q
je velikost plošného zatížení podlahy
[ kN/m2 ]
λ=4
3k Ec h 3
[ m-1 ]
k
modul reakce podloží
[ MPa/m ]
Ec
modul pružnosti betonu
[ MPa ]
h
tloušťka podlahové desky
[m]
a
šířka nezatížených pásů
[m]
b
šířka zatížených pásů
[ m ].
(2.3)
Uvažujeme-li
a = a crit = 2,209l
b = bcrit = (2 ÷ 3)a crit kde l je poloměr relativní tuhosti desky
Ec h 3 1 1 l= = ≅ 2 2 4 12k (1 −ν ) λ 2 1 − ν λ 2
[m]
n
[-]
4
Poissonovo číslo
(2.4)
vychází největší namáhání uprostřed nezatíženého pásu a hodnotu maximálního záporného ohybového momentu mmax- určíme jako − mmax = −0,168
q λ2
[ kNm/m ]
(2.5)
[ kPa ]
(2.6)
čemuž při uvažování pružného působení materiálu odpovídá napětí v desce
σ=
− − 6 mmax E 1,008q = 2 2 = 0,582q c 2 h λh kh
Pro rychlý odhad velikosti dovoleného pásového zatížení na podlahovou desku (případně i pro odhad napětí desky v tahu za ohybu vyvolaného určitým plošným zatížením) je v literatuře [3] uvedena pomocná tabulka Tab. 2.1, která je zde uvedena po některých formálních úpravách a po převodu z americké soustavy jednotek do soustavy jednotek SI. Je zkonstruována pro modul reakce podloží k=13,6 MPa/m, modul pružnosti betonu Ec=27,5 MPa a pro napětí betonu v tahu za ohybu 2,4MPa, ale vzhledem k tomu, že mezi zatížením a odpovídajícím napětím v desce platí přímá úměrnost, je možné stanovit libovolné dovolené zatížení pro určité napětí v desce a obráceně, tedy pro jakékoliv zatížení lze určit napětí desky v tahu za ohybu. Budeme-li například chtít zjistit napětí v desce tloušťky 200 mm při plošném pásovém zatížení 20 kN/m2, modulu reakce podloží k=13,6 MPa/m a při šířce nezatíženého pásu a=3,7 m z Tab. 2.1, stanovíme nejprve přípustné zatížení desky tloušťky 200mm pro napětí 2,4 MPa, což je 49,1 kN/m2. Hledané napětí desky v tahu za ohybu je potom rovno 2,4.(20,0/49,1)=0,98 MPa.
12
Tab. 2.1 Mezní plošná zatížení bezespárých podlahových desek 2
Tloušťka
Napětí desky
Kritická šířka
Mezní plošná zatížení v [kN/m ] při různých
desky
v tahu za ohybu
uličky acrit
šířkách a nezatížených pásů (uliček)
[m]
[MPa]
[m]
a=acrit
1,80 m
2,40 m
3,10 m
3,70 m
4,30 m
0,125
1,70
34,0
34,2
37,6
45,5
58,7
68,0
0,150
1,95
37,6
37,6
38,8
43,6
52,7
65,6
2,45
43,1
44,8
43,1
44,7
49,1
56,5
0,250
2,85
47,2
52,0
47,9
47,4
49,6
53,6
0,300
3,30
51,0
59,4
53,4
51,2
51,7
53,9
0,350
3,70
54,8
68,5
59,6
56,0
54,8
55,5
0,200
2,4
Šířka zatížených pásů b byla uvažována 7,6 m. Napětí s při jiném modulu reakce podloží k než při již známém modulu k0 a napětí s0 lze dle literatury [5] i dle vztahu (2.6) určit jako
σ =σ0
k0 k
[ kPa ]
(2.7)
2.2. Rovnoměrná liniová zatížení Je-li na povrchu podlahy stěna nebo jiné liniové zatížení, závisí hodnota maximálního ohybového momentu pod tímto zatížením na umístění zatížení v rámci půdorysu desky (u okraje nebo rohu desky, a nebo uprostřed podlahové desky), jak je znázorněno na obrázku 2.2. Za vnitřní lze považovat zatížení umístěné na desce ve vzdálenosti rovné minimálně trojnásobku poloměru relativní tuhosti desky od okraje.
Obr. 2.2 Schéma uspořádání liniového zatížení Maximální hodnota kladného ohybového momentu m max+ pod liniovým zatížením p umístěným uvnitř plochy podlahové desky se určí dle teorie lineární pružnosti vztahem (2.8), maximální hodnotu záporného ohybového momentu mmax- vztahem (2.9) [10]. Tento extrém záporného ohybového momentu je ve vzdálenosti (p/2l) od linie zatížení. + mmax =
p p = 0,25 4λ λ
[ kNm/m ]
13
(2.8)
m
− max
π
p −2 p = e = 0,052 4λ λ
l viz vztah (2.3)
[ kNm/m ]
(2.9)
Maximální hodnota záporného ohybového momentu mmax- pod liniovým zatížením umístěným na okraji podlahové desky se určí vztahem (2.10). Tato maximální hodnota se vyskytuje ve vzdálenosti (p/4l) od hrany a tedy i od linie zatížení.
m
− max
π
− p p π = − χ t e 4 sin = −0,322 χ t λ λ 4
[ kNm/m ]
(2.10)
kde xt je součinitel přenosu zatížení (více viz. kapitola 2.5). Využije-li se při výpočtu namáhání plastická teorie lomových čar, lze celkový maximální moment mtot vyvozený kritickým zatížením umístěným uvnitř plochy podlahové desky určit dle literatury [7] jako
0,184 mtot = χ t p − 0,087b λ
[ kNm/m ]
(2.11)
kde b je šířka liniového zatížení v [m] a xt je součinitel přenosu zatížení. Výpočtem celkového momentu od kritického liniového zatížení na hraně a rohu desky lze dle teorie lomových čar odvodit vztah ekvivalentní vztahu 2.10. V tomto případě tedy plastický výpočet namáhání nedává proti pružnému výpočtu žádnou rezervu. Pokud je liniové zatížení stěnou rozhodující nebo alespoň významné z hlediska návrhu podlahy, je možné podlahovou desku pod stěnou zesílit [3]. Šířka tohoto zesílení by měla být alespoň patnáctinásobkem tloušťky zesílení zvětšeným o šířku stěny (obr. 2.3).
Obr. 2.3 Zesílení podlahové desky pod stěnou
2.3. Osamělá břemena
Obr. 2.4 Způsoby umístění osamělých břemen na desce
14
Při zatížení podlahy osamělými břemeny P je pro výsledné namáhání velmi důležité jejich umístění (vnitřní, okrajová a rohová břemena) a plocha, na které toto zatížení působí. Ve výpočtech je velikost styčné plochy většinou charakterizována poloměrem ekvivalentní kruhové zatěžovací plochy r. Pro jiné než kruhové zatěžovací plochy se ekvivalentní poloměr stanoví z předpokladu rovnosti ploch, například pro obdélníkovou zatěžovací plochu o rozměrech a, b vychází
r=
ab π
[m]
(2.12)
2.3.1. Vnitřní břemena Vychází-li se z předpokladů teorie lineární pružnosti, lze určit maximální napětí smax pod osamělým břemenem P1 jako součet napětí s1 od tohoto břemene a napětí si stanovených v místě působení břemene P1 od dalších břemen Pi. Pro napětí vyvozené břemenem P1 platí
σ 1 = 0,275(1 + ν )
Ec h 3 P1 log 0 , 36 h2 kr *4
[ MPa ]
(2.13)
[m]
(2.14)
kde r* = (1,6r2 + h2)1/2 – 0,675h
pro r < 1,724h
r* = r
pro r > 1,724h
k , E c, h, n
viz. vztah 2.3 a 2.4
Zvětšení napětí v působišti břemene P1 od dalšího břemene Pi , které je ve vzdálenosti si, se určí vztahem 2.15. Pokud jsou břemena ve vzdálenosti si < (2r + h), sloučí se obě břemena v jedno a velikost ekvivalentního poloměru se určí z rovnosti plochy ekvivalentního kruhu se součtem zatěžovacích ploch jednotlivých břemen.
M 6P σ i = t 2i P h
[ MPa ]
(2.15)
Poměr tangenciálního momentu Mt k síle P se určí pomocí grafu (obr. 2.5) v závislosti na poměru vzájemné vzdálenosti břemen si k poloměru relativní tuhosti l. Maximální napětí s max pod osamělým břemenem P1 bude tedy součtem napětí od všech břemen.
σ max = σ 1 + ∑ σ i
[ MPa ]
15
(2.16)
Obr. 2.5 Poměr tangenciálního momentu Mt k síle P
Původní Westergaardův vzorec pro výpočet napětí pod osamělým břemenem byl uveden ve tvaru
σ1 =
3(1 + ν )P1 l log + 0,6159 2 2π .h r*
[ MPa ]
(2.17)
kde mají jednotlivé značky stejný význam jako ve vztahu 2.13 případně 2.4. Průhyb podlahové desky w pod osamělým břemenem P lze za předpokladu pružného rozdělení napětí po výšce průřezu stanovit jako
w=
P 8kl 2
1 1 + 2π
2 r r ln − 0 , 673 2l l
[m]
(2.18)
kde k je modul reakce podloží, l poloměr relativní tuhosti desky (2.4) a r je ekvivalentní poloměr zatěžovací plochy. Při použití plastické teorie lomových čar lze pro výpočet celkového maximálního momentu mtot od osamělého břemene P1 použít dle literatury [4] Meyerhofův vztah
mtot =
P1
[ kNm/m ]
2r 61 + l
(2.19)
Je-li podlaha zatížena kombinací dvou stejných břemen P, která jsou vzájemně umístěna ve vzdálenosti x a průměr jejich kontaktní plochy je d=2×r, lze maximální moment určit tak, že se určí ekvivalentní průměr kontaktní plochy de a jemu příslušný moment se stanoví vztahem 2.19 pro r=de/2 a P1=2×P. Pak je ještě nutné ověřit, zda nevychází větší moment pro pouze jedno břemeno P bez příspěvku druhého břemene. Ekvivalentní průměr kontaktní plochy de se určí pomocí grafu znázorněného na obrázku 2.6 v závislosti na vzájemné vzdálenosti břemen a průměru kontaktní plochy d. Další informace o výpočtu namáhání dle plastické teorie lomových čar při kombinacích několika zatížení jsou uvedeny v literatuře, např. v [7], [8], [12] a [13].
16
Obr. 2.6 Ekvivalentní průměr kontaktní plochy pro dvě břemena
2.3.2. Okrajová břemena Při řešení napjatosti desky vycházejícím z teorie pružnosti lze předpokládat, že kontaktní plocha pod osamělým okrajovým břemenem P1 je kruhová o poloměru r. Napětí s1 vznikající pod tímto břemenem se pak stanoví ze vztahu
σ 1 = 0,529 χ t (1 + 0,54ν )
P1 Ec h 3 log 0 , 2 h2 kr *4
[ MPa ]
(2.20)
kde x t je součinitel přenosu zatížení, který se uplatní při spolupůsobení sousedních desek, význam ostatních značek je stejný jako ve vztahu 2.13. Již v první polovině 20. století odvodil Westergaard vztahy pro výpočet napětí s1 a průhybů w vyvozených okrajovým břemenem P1 s kontaktní kruhovou plochou (2.21 a 2.22) i kontaktní polokruhovou plochou s rovnou stranou na okraji desky (2.23 a 2.24).
σ1 = w=
3(1 + ν )P1 π (3 + ν )h 2
2 + 1,2νP1 (0,76 + 0,4ν ) r 1 − l Ec h 3 k
3(1 + ν )P1 σ1 = π (3 + ν )h 2 w=
Ec h 3 4ν (1 + 2ν )r + 3 , 84 − + ln 4 3 2l 100kr
Ec h 3 ln 4 100kr
4ν 1 − ν 1,18(1 + 2ν )r + 1,84 − + + 3 2 2l
2 + 1,2νP1 (0,323 + 0,17ν ) r 1 − l Ec h 3 k 17
[ MPa ]
(2.21)
[m]
(2.22)
[ MPa ]
(2.23)
[m]
(2.24)
kde význam jednotlivých značek je stejný jako ve vztahu 2.13. Při spolupůsobení jednotlivých sousedních desek lze samozřejmě tyto Westergaardovy vztahy také upravit pomocí součinitele přenosu zatížení xt. Při zatížení okraje více osamělými břemeny se maximální napětí pod určitým břemenem určí jako součet napětí od tohoto břemene a příspěvků napětí od jiných břemen vyčíslených v tomto místě. Při použití plastické teorie lomových čar lze celkový maximální moment mtot vznikající od působení osamělého okrajového břemene P1 stanovit ze vztahu
mtot =
χ t P1 7 3r 1 + l 2
[ kNm/m ]
(2.25)
kde je význam jednotlivých značek stejný jako ve vztazích 2.13 a 2.20.
2.3.3. Rohová břemena Za předpokladu platnosti teorie pružnosti lze napětí s1 pod osamělým rohovým břemenem P1 s kruhovou kontaktní zatěžovací plochou stanovit ze vztahu
σ 1 = 3χ t 4
P1 r * 1− 2 2 h l
[ MPa ]
(2.26)
podle plastické teorie lomových čar lze celkový maximální ohybový moment mtot stanovit ze vztahu
mtot =
χ t 4 P1 4r 21 + l
[ kNm/m ]
(2.27)
kde xt4 je součinitel přenosu zatížení na styku čtyř desek, význam ostatních značek je stejný jako ve vztazích 2.13 a 2.20. Vztah pro výpočet namáhání rohu při zatížení osamělým rohovým břemenem prošel poměrně dlouhým vývojem [16]. Již v roce 1919 uvedl Goldbeck [14] první jednoduchý vztah vycházející z teorie pružnosti a předpokladu, že roh desky působí jako nepodepřená konzola (obr. 2.7). Průřezový modul desky W ve vzdálenosti x od rohu desky (měřeno po diagonále) má velikost 2.x.h2 /6, pro napětí pak platí vztah
σ1 =
Px 3P m = 1 = 21 , 1 W h 2 xh 2 6
[ MPa ]
příslušný záporný ohybový moment má pak velikost mmax- = P1/2.
Obr. 2.7 Roh desky zatížený osamělým břemenem
18
[ kNm/m ]
(2.28)
O několik let později uvážil Westergaard kontaktní plochu zatížení o poloměru r a pro napětí s1 působící ve vzdálenosti x = 2 rl 2 od rohu desky a průhyb w rohu desky odvodil za předpokladu podepření tohoto rohu pružně stlačitelným podložím vztahy 0,6 3P1 r 2 σ 1 = 2 1− , h l
w=
P1 kl 2
r 2 1,1 − 0,88 l
[ MPa ]
(2.29)
[m]
(2.30)
kde je význam značek stejný jako ve vztazích 2.13 a 2.20. V důsledku nerovnoměrného vysýchání, popřípadě nerovnoměrné teploty po výšce desky podlahy dochází často k nadzvedávání okrajů a hlavně rohů desek. Ve skutečnosti tedy roh při jeho nadzvednutí působí jako konzola, naopak při malém zvednutí jsou ve velké části půdorysu splněny předpoklady plného podepření. Skutečné působení bude většinou někde mezi těmito případy. Bradbury se s tímto problémem vypořádal tak, že použil vztah Westergaardův, ale modul reakce podloží k uvážil pouze jako čtvrtinu modulu skutečného. Další úpravu Westergaardova vztahu (2.29) navrhl Kelley, který uvažoval exponent 1,2 místo 0,6. Vypočtené výsledky tak lépe vystihovaly skutečné působení rohu desky. TR 550 [13] doporučuje pro výpočet maximálního napětí poloempirický Pickettův vztah (2.31). Tento vztah přihlíží k nedostatečnému podepření rohu a také ke skutečnosti, že rozdělení momentu v kritickém průřezu (v místě lomové čáry) není rovnoměrné.
r P l σ 1 = α 12 1 − r h 0,925 + 0,22 l
[ MPa ]
(2.31)
Součinitel a závisí na účinnosti přenosu zatížení do sousedních desek. Pro desku s volným okrajem se doporučuje hodnota 4,2 a pro desku s možností přenosu zatížení 3,36. V literatuře [15] jsou tyto hodnoty uvedeny i nižší, a to a = 3,5 pro desku s volným okrajem a 2,3 s možností přenosu zatížení.
2.4. Nepřímá zatížení Existují v podstatě dva hlavní druhy těchto zatížení, smršťování betonu od vysýchání a zatížení teplotou. Pokud není smršťování desky bráněno, není příliš nebezpečné, neboť při něm nevznikají výrazná napětí. Podlahová deska ovšem leží na podkladní vrstvě, která tomuto smršťování brání a následkem toho vznikají v horizontální rovině desky tahové síly. Předpoklad vzniku pouhé tahové síly je značně zjednodušený a nepřesný. Ve skutečnosti je totiž jak smršťování od vysýchání, tak i smršťování od zatížení teplotou po výšce podlahové desky značně nerovnoměrné a v důsledku toho dochází i k ohybu desky. Výsledné namáhání podlahy je tedy kombinací stěnové a deskové napjatosti desky uložené na pružném podloží.
2.4.1. Smršťování od vysýchání
19
Tahová napětí způsobená smršťováním cementového tmele lze snížit vhodným postupem betonáže, návrhem betonové směsi (vodní součinitel do 0,5), snížením tření v kontaktní spáře mezi podkladní vrstvou a betonovou deskou apod. Smrštění je také závislé na vyztužení prvku. Výztuž totiž brání volnému smršťování v důsledku čehož je výsledné smrštění menší. V betonu ale vznikají napětí (tahová i tlaková v závislosti na rozmístění výztuže v prvku) a často mohou v důsledku těchto napětí vzniknout i trhliny. Smršťování betonu od vysýchání, zjednodušeně řečeno, je objemová změna způsobená ztrátou vody a chemickými reakcemi, které v betonu probíhají (více v Příloze 1 – Podrobnější pohled na smršťování podlahových desek od vysýchání). Ztráta vody je výsledkem fyzikálních a chemických procesů, které v betonu probíhají před, během a po zatvrdnutí. Pro většinu betonů je typická hodnota celkového smrštění (0,5-0,7), výsledná hodnota je ovšem velice závislá na mnoha činitelích. Přibližně 20% až 50% z celkového smrštění proběhne během prvních dnů při tuhnutí a tvrdnutí betonu. Dlouhodobé studie ukazují, že přibližně 75% z celkového smrštění proběhne do jednoho až dvou let, přibližně 90% do šesti až osmi let. Je-li nutné stanovit (např. při návrhu druhu těsnění do spár), kolik procent z celkového smrštění podlahy v daném okamžiku již proběhlo, lze použít následující vztahy uvedené v literatuře [1]. Předpokládá se nižší tekutost směsi a tloušťka podlahové desky do 150mm.
s = 100t / (35 + t )
pro H=40%
s = (1,4 − 0,01H )[100t / (35 + t )]
pro 40%
s = (3,0 − 0,3H )[100t / (35 + t )]
pro 80%
(2.32)
kde s značí procento z celkového smrštění, t je počet dnů od ukončení ošetřování povrchu a H je relativní vlhkost okolního vzduchu v procentech. V souvislosti se smršťováním je také třeba upozornit na to, že velikost smrštění je výsledkem kumulativního efektu mnoha činitelů (Tab. 2.2) [3].
Tab. 2.2 Kumulativní efekt smršťování Nevhodné praktiky, které mohou způsobit větší
Přírustek smrštění
smršťování
Kumulativní efekt
[%]
Teplota betonu při ukládání směsi je 27 °C, zatímco mohla
8
1.00 x 1.08 = 1.08
10
1.08 x 1.10 = 1.19
10
1.19 x 1.10 = 1.31
25
1.31 x 1.25 = 1.64
Použit cement, který se relativně hodně smršťuje
25
1.64 x 1.25 = 2.05
Kamenivo obsahuje příliš prachových částic, které nebyly
25
2.05 x 1.25 = 2.56
50
2.56 x 1.50 = 3.84
být pouhých 16°C Použit vyšší vodní součinitel tak, že sednutí kužele je 180 mm místo 100 mm Velká dopravní vzdálenost směsi, dlouhé čekací doby na stavbě, vysoká rychlost autodomíchávače Použito kamenivo max. frakce 16mm, zatímco mělo být kamenivo max. frakce 32mm
odstraněny při čištění, nebo se do směsi dostaly při ukládání směsi Užití kameniva špatných vlastností z hlediska smršťování
20
Užití přísady, která zvyšuje smrštění
30
Celkový přírůstek smrštění:
3.84 x 1.30 = 5.00
Suma = 183%
Kumulace = (5.001.00) x 100 = 400%
Velikost smrštění betonu e cs lze nalézt v mnoha publikacích, doporučeních a normách. Například evropská norma pro navrhování betonových konstrukcí [17] udává velikost základního smrštění v závislosti na náhradní tloušťce průřezu a relativní vlhkosti vzduchu. Uvážíme-li, že pro desku vysychající při obou površích je náhradní tloušťka 2×Ac/u rovna skutečné tloušťce, lze si pro základní hodnoty celkového smrštění uvést následující tabulku (Tab. 2.3). Pro desku vysýchající pouze při horním povrchu bude velikost náhradní tloušťky rovna polovině skutečné tloušťky desky.
Tab. 2.3 Hodnoty základního smrštění betonu Základní hodnoty smrštění ecs
Umístění prvku Relativní vlhkost
[ °/oo ]
[%]
2×Ac/u < 150mm 2×Ac/u > 600mm
uvnitř
50
-0,6
-0,5
venku
80
-0,33
-0,28
V tabulce lze lineárně interpolovat
Doporučení zpracované firmou BEKAERT [12] doporučuje používat pro drátkobetonové konstrukce umístěné na volném prostranství hodnotu ecs=-0,2 a pro vnitřní konstrukce ecs=-0,4. Eurokódy tedy doporučují hodnoty přibližně o 50% vyšší (tj. konzervativnější, ovšem platné pro nevyztužený beton). Při relativní vlhkosti vzduchu 50% lze velikost celkového smrštění betonu určit přesněji v závislosti na obsahu cementu ve směsi a na vodním součiniteli betonu pomocí grafu znázorněného na obrázku 2.8 [12]. Korekci smrštění na jinou relativní vlhkost vzduchu nežli je 50% lze provést pomocí grafu znázorněného na obrázku 2.9.
21
Obr. 2.8 Celkové smrštění betonu v závislosti na množství cementu ve směsi a na vodním součiniteli směsi
Obr. 2.9 Korekce celkového smrštění betonu na jinou relativní vlhkost vzduchu nežli 50%
Poměrně přesný odhad celkového smrštění desky lze provést pomocí internetové stránky www.fsv.cvut.cz/~kristek, odkud se po vyplnění vstupního formuláře dozvíme jak koeficient dotvarování, tak i velikost celkového smrštění prvku. Výpočet vychází z Bažantova modelu B3, který je v současnosti asi
22
nejvýstižnějším modelem pro vyšetřování dotvarování a smršťování betonu. Způsob použití této internetové stránky je popsán například ve sborníku z Betonářských dnů 2000 [23].
2.4.2. Zatížení změnou teploty Poměrně velký rozdíl lze očekávat v teplotách podlah umístěných ve venkovních a vnitřních prostorách. U podlah umístěných venku jsou běžné denní změny teploty povrchu podlahy kolem 25-35 °C (může být však až 80°C). U podlah umístěných uvnitř objektů běžně tyto změny dosahují pouhých 5-10 °C, je však třeba uvážit i možné nárazové změny (přerušení vytápění či klimatizování, přerušení provozu), které mohou být podstatně vyšší (20-25 °C); při výpočtu je ovšem nutné s nimi počítat. Známe-li změnu povrchové teploty podlahy, neznamená to, že i celá podlaha bude namáhána právě touto teplotní diferencí. Díky setrvačnosti materiálu se budou nižší vrstvy betonové desky ohřívat a ochlazovat mnohem pomaleji a z krátkodobého hlediska tam teplotní změny nedosáhnou zdaleka tak vysokých hodnot jako při povrchu. Přetvoření ecT od průměrné změny teploty podlahové desky lze určit jako
ε cT = α (T − T0 )
[-]
(2.33)
kde a je koeficient teplotní roztažnosti betonu (12x10-6), T referenční teplota (např. teplota při betonáži) a T0 je okamžitá hodnota teploty. Zatím se v praxi většinou přihlíží pouze k účinku průměrné změny teploty podlahové desky, i když účinek nerovnoměrného oteplení může být v některých případech též významný. Uvážíme-li teplotní rozdíl mezi horním a dolním povrchem desky (Tu-Tb), lze pro maximální napětí vznikající v krajních vláknech desky odvodit jednoduchý vztah σ ∆T = E cα (Tu − Tb ) .
2.4.3. Určení účinků smršťování
Obr. 2.10 Smykové namáhání desky v kontaktní spáře při smršťování Nepočítá-li se přesněji, lze pro přibližný výpočet tahových napětí vnitřní části podlahové desky od tření v kontaktní spáře podlahy použít vztah
σ=
µ (g + k t q ) L h
kt =
δL1 + δL2 L = (ε cs + ε cT ) δL δL
[ MPa ]
23
(2.34)
kde m je součinitel tření, g je stálé zatížení podlahy, q je dlouhodobé nahodilé zatížení, L vzdálenost posuzovaného místa od okraje smršťovacího celku podlahy (vzdálenost rohu a středu smršť. celku), h je tloušťka podlahy, dL je vodorovný posun nutný k mobilizaci plného tření v kontaktní spáře (např. dL=1,5mm), dL1 je vodorovný posun od smršťování a dL2 vodorovný posun od změny teploty. Tento vztah vychází z předpokladu, že od středu smršťovacího celku podlahy nejprve rostou lineárně smyková napětí t x v kontaktní spáře a teprve po překonání smykové pevnosti tu vzniká prokluz s fyzikálním třením (obr. 2.10). Překonání smykové pevnosti se předpokládá při posunutí větším nežli je dL. V případě, že dochází k prokluzu po zemině, rozhoduje o mezním smykovém napětí v zemině vztah tu=(g+q)×tgf+c, kde f je úhel vnitřního tření a c soudržnost jemnozrnné zeminy. Součinitel tření lze vyjádřit vztahem m= tgf. Dochází-li k prokluzu po podkladním betonu nebo po separační vrstvě (kluzné spáře), rozhoduje o smykovém napětí součinitel tření m. Výsledná tahová síla se získá integrací (součtem) smykových napětí tx (před dosažením smykové pevnosti) nebo tu (po dosažení tahové pevnosti) od okraje ke středu smršťovacího úseku. Zanedbá-li se postupný nárůst smykových napětí tx v kontaktní spáře a v celé délce L se uváží tření se součinitelem tření m, lze pro výslednou tahovou sílu Nt v desce odvodit zjednodušený vztah
N t = µ (g + q )
L 2
[ kN ]
(2.35)
kde je význam jednotlivých značek stejný jako v předešlém vztahu 2.34. Nahodilé zatížení však většinou nebude působit od samotného vybetonování podlahy a tudíž je možné výpočet tahové síly rozdělit na dvě období tak, že v prvním období působí pouze stálé zatížení (vlastní tíha podlahy) a teprve po určité době, kdy již část smršťování proběhla (tuto část lze určit například ze vztahů 2.32), bude působit i zatížení nahodilé. Výsledná síla a tedy i napětí od smršťování jsou přímo úměrné a závisí na součiniteli tření. Výstižný odhad tohoto součinitele je však problematický, neboť kromě materiálu styčných ploch závisí i na kvalitě (drsnosti) těchto ploch. Obecně je tedy nutné požadovat, aby styčná plocha podlahové desky a vrstvy pod deskou byla co nejhladší a nevyskytovaly se na ní nepředpokládané zarážky a nerovnosti. Hodnoty součinitele tření m uvádí například literatura [4], [12], [18] a jsou porovnány v následující tabulce 2.4. Tab. 2.4 Součinitel tření Součinitel tření m mezi betonovou deskou a podkladem Literatura: materiál podkladu
[4] m0 k překonání
další
[12]
[18]
průměrně
m0 k překonání
počáteční adheze pohyby
další
počáteční adheze pohyby
mastixový kryt
3,2
-
3,2
-
-
drsný podklad
-
-
-
1,0 - 2,0
0,6 - 1,0
asfaltová emulze
2,5
1,3
2,0
-
-
plastická zemina
2,1
1,3
1,7
-
-
směs písku a štěrku
1,9
1,4
1,6
-
-
24
zrnitý podklad
1,7
0,9
1,3
-
-
písková vrstva
1
0,7
0,9
-
-
0,9
0,5
0,7
-
-
0,5
-
-
-
0,4 - 0,5
-
polyetylénová vrstva polyetylénová vrstva - dvojitá
-
fólie na zarovnaném pískovém loži
-
-
Zvláštní chování desek lze sledovat při použití natavitelných asfaltových izolačních pásů NAIP (IPA 400H, IPA 500H, Sklobit, Bitagit S, Foalbit aj.) uložených mezi deskou podlahy a podložím [20]. Při pomalých vodorovných posunech ve spáře (cca 10-8 m.s-1 a nižších) působí asfaltová vrstva na konstrukci podlahy viskózním odporem, který závisí především na teplotě a rychlosti posunu. Při vyšší rychlosti posunu viskózní odpor vzrůstá, až posuv přechází v prokluz a dále se již jedná o obyčejné tření. Při smršťování od vysýchání, které probíhá poměrně pomalu, můžeme kluznou spáru považovat za viskózní. Naopak při tepelných deformacích se ve spáře mezi deskou a podložím uplatní obyčejné tření.
2.5. Přenos zatížení spárou Některé spáry musí být schopné přenášet svislé zatížení mezi sousedními deskami. Bez přenosu zatížení by totiž okolí spáry bylo velmi náchylné na porušení. Nejčastějším případem, kde je přenos zatížení vyžadován, jsou spáry vystavené dopravě. Spáry pod fixním zatížením, jako jsou nohy regálů nebo provozní zařízení, nemusí přenos zatížení zajišťovat, pokud se s tím ovšem neuvažovalo v návrhu podlahy. Oddělovací spáry by žádné zatížení přenášet neměly, neboť by to bylo proti jejich podstatě. Přenos zatížení lze zajistit různými způsoby, například procházející výztuží, ocelovými hmoždinkami a lištami, ocelovými propojovacími pruty, perem a drážkou nebo zámkem z kameniva. Výběr způsobu závisí na typu spáry a na velikosti zatížení, které je nutné přenášet. Míru přeneseného zatížení lze vyjádřit několika způsoby. Firma BEKAERT [2] používá součinitel přenosu zatížení xt, který pro spáry propojené hmoždinkami uvažuje hodnotou 0,6. Pro smršťovací spáry (zde míněny spáry řezané), které fungují na principu zámku z kameniva, firma BEKAERT určuje hodnotu součinitele xt podle velikosti rozevření spáry. Účinnost přenosu zatížení označená LTE, je pro případ zámku z kameniva znázorněna grafem na obrázku 2.11. Tento graf vychází z podkladů PCA a platí pro prostý beton. Lze předpokládat, že pro vláknobeton bude účinnost přenosu zatížení ještě vyšší. Známeli účinnost přenosu zatížení LTE, lze součinitel přenosu zatížení xt pro spáru určit ze vztahu (2.36) a pro průsečík dvou stejných spár xt4 ze vztahu (2.37)
χt = 1−
LTE 200
χ t 4 = 1 − 2 (1 − χ t )
[-]
(2.36)
[-]
(2.37)
Je zřejmé, že hodnota xt se bude pohybovat v intervalu od 0,5 do 1,0. To je celkem logické, neboť spára se 100% účinností přenosu rozdělí toto zatížení rovnoměrně na obě sousedící desky. Toto ovšem platí pouze za předpokladu, že zatížení leží přímo na okraji jedné z desek. Ve skutečnosti je zatížení rozloženo na určité roznášecí ploše, takže působiště zatížení není na okraji desky a větší část z tohoto zatížení tedy zůstane v první desce.
25
Velikost součinitele xt4 bude v rozmezí od 0,293 do 1,0. Teoreticky se zatížení na průsečíku dvou spár může rovnoměrně rozdělit do čtyř desek, čemuž by odpovídala minimální hodnota součinitele xt4=0,25. Vztah (2.37) je proto o něco bezpečnější nežli vztah (2.36).
Obr. 2.11 Účinnost přenosu zatížení spárou fungující na principu zámku z kameniva
Dle starších podkladů firmy BEKAERT [12] lze pro spáru s hmoždinkami uvažovat, že se přenese 40% zatížení (~xt=0,6), pro smršťovací spáru přenos 20% zatížení (~xt=0,8) a pro průsečík dvou smršťovacích spár přenos 60% zatížení (~xt4 =0,4). Dle příručky J. W. E. Chandlera [21] lze při dostatečném přenosu zatížení napětí v rohu desky redukovat o 30% (~xt4=0,7) a napětí na hraně desky o 15% (~x t=0,85). Příručka bohužel neurčuje, kdy je přenos zatížení dostatečný. Trochu odlišný způsob výpočtu namáhání doporučuje The Concrete Society v TR34 [4]. Nejprve se určí napětí, které v desce vznikne od zatížení umístěného ve vzdálenosti do 300mm od spáry při 100% účinnosti přenosu (~xt=0,5) a následně se toto napětí procentuelně zvýší v závislosti na typu spáry. Pro těsné spáry propojené výztuží nebo propojovacími pruty se napětí nezvyšuje. Pro spáry široké 1mm až 6mm s hmoždinkami se napětí zvýší o 33% (pro přímý výpočet možno použít ~xt=0,67). Pro spáry s hmoždinkami rozevřené více jak 6mm a indukované smršťovací spáry rozevřené více jak 1mm se napětí zvýší o 85% (pro přímý výpočet možno použít ~xt=0,93).
26
3.
Zásady dimenzování
Ve světě v podstatě existují dva základní přístupy k dimenzování betonových podlah. Je to metoda stupně bezpečnosti SF a metoda dílčích součinitelů spolehlivosti g. Stupeň bezpečnosti je používán nejen v amerických a anglických příručkách, ale i v doporučení The Concrete Society TR34 [4]. Původně na základě stupně bezpečnosti prováděla návrhy podlah i firma BEKAERT [12]. Princip spočívá v tom, že se buď zatížení vynásobí, nebo materiálové charakteristiky vydělí stupněm bezpečnosti. Velikost stupně bezpečnosti se pro podlahy pohybuje od 1,5 do 2,0 a závisí především na přesnosti vstupních údajů pro výpočet, počtu zatěžovacích cyklů, použitém materiálu a důležitosti konstrukce. Jeho velikost může ovlivnit i sám projektant. Metoda dílčích součinitelů spolehlivosti spočívá v tom, že se zatížení vynásobí součinitelem spolehlivosti zatížení a materiálové charakteristiky se podělí součinitelem spolehlivosti materiálu. Stejný přístup používají stávající české normy i eurokódy a lze pro další výpočty doporučit právě tuto metodu, neboť odděluje náhodné vlastnosti zatížení od náhodných vlastností materiálů.
Způsob dimenzování průmyslové betonové podlahy závisí především na použitém druhu betonu pro konstrukci podlahy (prostý, slabě vyztužený, železový, předpjatý beton nebo drátkobeton) a na tom, zda lze v podlaze připustit vznik trhlin. Chování všech druhů betonu lze do vzniku trhlin považovat za zcela pružné, proto i veškeré výpočty namáhání do vzniku trhlin je třeba provádět na základě tohoto předpokladu. Pro podlahové konstrukce z prostého betonu je mez vzniku trhlin zároveň mezním stavem únosnosti (MSÚ), který ovšem nevede ke zřícení konstrukce, nýbrž pouze k porušení, které znemožní další užívání podlahy. Z těchto důvodů je třeba u desek z prostého betonu uvažovat na mezi vzniku trhlin návrhové hodnoty zatížení i pevnosti betonu. Za jistých podmínek lze pro výpočet namáhání podlahy z prostého betonu namáhané osamělými břemeny použít i metodu lomových čar. Bližší vysvětlení je uvedeno v kapitole 3.1.1. Rozdíly v chování jednotlivých druhů betonu nastávají až po vzniku trhlin. Zatímco deska z prostého betonu ztratí v místě trhliny prakticky ihned svou únosnost, je možné u drátkobetonu případně slabě vyztuženého betonu využít reziduální únosnosti desky v místě trhliny. U drátkobetonu je reziduální únosnost charakterizována tzv. ekvivalentní pevností drátkobetonu v tahu ffte, u slabě vyztuženého betonu únosností průřezu při využití meze kluzu použité výztuže. Obě tyto reziduální únosnosti bývají zpravidla menší než únosnost průřezu při vzniku trhlin; u drátkobetonu s větší hmotnostní koncentrací vhodných drátků může však reziduální únosnost průřezu dokonce převýšit únosnost průřezu při vzniku trhlin. Významné je, že drátkobeton i slabě vyztužený beton umožňují po vzniku trhliny plastické chování vedoucí k redistribuci namáhání v podlahové desce. Lze tedy na mezi únosnosti použít plastický výpočet např. podle teorie lomových čar a využít tak houževnatost drátkobetonu, popř. slabě vyztuženého betonu. U podlahových desek ze železového a předpjatého betonu rozhoduje o mezním stavu únosnosti bezpečně únosnost průřezu po vzniku a rozvoji trhlin, tj. po vyloučení tažené části betonového průřezu a využití tahové výztuže na mez kluzu. Při výpočtu mezního stavu únosnosti lze proto uvažovat plastické chování betonu v tlaku a výztuže v tahu. Mez vzniku trhlin je zde mezním stavem použitelnosti (MSP), v řadě případů však rozhoduje o provozních podmínkách průmyslového objektu. Proto je nutné podlahu posoudit i na tento mezní stav použitelnosti, a to za předpokladu pružného chování betonové podlahové desky.
27
3.1. Metoda lomových čar V mezním stavu únosnosti podlahové betonové desky lze stejně jako u běžných železobetonových stropních desek uvažovat vznik plastických kloubů. Místa s plastickými klouby se také nazývají lomovými čárami. V deskách s plastickými klouby dochází k výrazné redistribuci ohybových momentů a kritické zatížení tak může být výrazně vyšší nežli při uvážení pružného chování konstrukce. Chování desek z prostého betonu je poněkud odlišné od chování desek železobetonových a drátkobetonových. Mechanismus porušení jednotlivých materiálových typů desek lze názorně vysvětlit na modelu desky, která je postupně přitěžována osamělým břemenem umístěným uprostřed této desky.
3.1.1. Mechanismus porušení podlahy z prostého betonu Podlahová deska z prostého betonu umístěná na pružném podloží, která je uprostřed zatížena osamělým břemenem, se až do vzniku první trhliny chová zcela pružně (obr. 3.1a). Maximální velikost ohybových momentů, které lze za tohoto stavu dosáhnout, je rovna momentu únosnosti při vzniku trhlin mR,cr. První trhlinka se pod osamělým břemenem objeví při zatížení Pcr,1 (obr. 3.1b). Například u nosníku z prostého betonu by v tuto chvíli již došlo ke kolapsu a zřícení, u desky na pružném podloží však dojde pouze k přerozdělení radiálních mr a tangenciálních mt momentů do méně namáhaných míst. Deska tedy v místě trhliny rázem ztrácí svoji únosnost, jako celek se stává poddajnější, je ale schopna přenášet ještě další přitížení. Při zvětšování velikosti osamělého břemena nad hodnotu Pcr,1 dochází v místě lomových čar k rozvoji trhlin u spodního okraje desky a současné redistribuci radiálních momentů k hornímu povrchu a tangenciálních momentů k okrajům desky (obr. 3.1c). Při zatížení osamělým břemenem o velikosti Pcr,2 dochází při spodním okraji desky ke vzniku průběžných trhlin a tím i k dosažení meze únosnosti. Po celé délce trhlin je velikost tangenciálních momentů samozřejmě nulová, radiální momenty však ani ve svých kladných ani záporných hodnotách nedosahují hodnoty mR,cr.
28
Obr. 3.1. Průběh redistribuce ohybových momentů v poli desky z prostého betonu zatížené osamělým břemenem uprostřed
Technical Report 34 [4], který je jakýmsi standardem v navrhování podlah v Evropě, připouští i pro podlahové desky z prostého betonu použít při návrhu metodu lomových čar. A nejen že to připouští pro osamělá břemena umístěná uprostřed desek, kdy trhliny vznikají při spodním povrchu, ale i pro osamělá břemena působící na hranách a v rozích desek, kdy se trhlina lomové čáry rozevírá při horním povrchu. Za tohoto předpokladu lze ještě dále rozvést myšlenku o tom, co nastane, když i po vzniku průběžných trhlin u spodního povrchu desky zatížené uprostřed osamělým břemenem budeme dále zvyšovat zatížení nad hodnotu Pcr,2 . Deska se v tom případě rozdělí na čtyři jednotlivé díly a v místech lomových čar se budou přenášet pouze posouvající síly. Každý díl bude možné považovat za desku na pružném podloží zatíženou osamělým břemenem o velikosti P/4 umístěným v rohu této desky. Zatížení pak bude možné zvyšovat až do té doby, než vznikne sekundární
29
lomová čára (trhlina při horním povrchu) v jisté vzdálenosti od osamělého břemene. Velikost kritického břemene by pak vycházela ze vztahu odvozeného pro desku zatíženou osamělým břemenem umístěným v rohu desky a moment únosnosti mRd by se rovnal momentu únosnosti při vzniku trhlin mR,cr. Je třeba ještě jednou připomenout, že všechny tyto úvahy o lomových čárách v deskách z prostého betonu lze použít pouze pro mezní stav únosnosti, v mezním stavu použitelnosti musí být veškeré namáhání stanoveno na konstrukci lineárně pružné.
3.1.2. Mechanismus porušení drátkobetonové podlahy I drátkobetonová podlaha umístěná na pružném podloží, která je uprostřed zatížena osamělým břemenem, se až do vzniku první trhlinky chová pružně (obr. 3.2a) a ohybové momenty dosahují maximálně hodnoty mR,cr. Po vzniku prvních trhlinek pod osamělým břemenem Pcr,1 se deska v místě trhlinek zplastizuje a díky ekvivalentní pevnosti drátkobetonu v tahu je schopna přenášet ekvivalentní ohybový moment únosnosti mRe. Tento moment může být v závislosti na hmotnostní koncentraci a druhu drátků menší, nebo i větší nežli moment únosnosti na vzniku trhlin mR,cr. Ve valné většině případů však bude menší (obr. 3.2b). Při dalším zvyšování zatížení nad hodnotu Pcr,1 dochází v místě lomových čar k dalšímu rozvoji trhlin a redistribuci radiálních momentů k hornímu povrchu desky a tangenciálních momentů k okrajům desky. Velikost tangenciálních momentů se v místě trhlin ustálí na hodnotě mRe (obr. 3.2c). Celková tuhost desky bude nižší nežli před vznikem trhlin. Při zatížení Pcr,2 vzniknou v rozsahu celé desky primární lomové čáry a v nich bude velikost tangenciálních momentů rovna hodnotě mRe. Od tohoto okamžiku začnou výrazně růst záporné hodnoty radiálních momentů mr (obr. 3.2d) a dojde k dalšímu snížení tuhosti desky. Meze únosnosti se dosáhne při vytvoření sekundárních lomových čar (trhliny při horním povrchu) v určité vzdálenosti od osamělého břemene (obr. 3.2e). V těchto lomových čárách dosáhne velikost záporných ohybových momentů hodnoty mR,cr . Velikost celkového momentu únosnosti mRd,tot při zatížení kritickým břemenem PRd se tedy rovná součtu momentu únosnosti na mezi vzniku trhlin mR,cr a ekvivalentního momentu únosnosti mRe. Aby se pro výpočet drátkobetonové podlahy mohl celkový moment únosnosti uvažovat jako součet momentu únosnosti na vzniku trhlin a ekvivalentního momentu únosnosti, musí ekvivalentní pevnost v tahu dosahovala alespoň 30% z pevnosti drátkobetonu v tahu za ohybu. V opačném případě se jedná o příliš křehký drátkobeton, který neumožňuje vytváření plastických kloubů. Výpočty je pak nutné provádět stejně jako u podlah z prostého betonu. Velmi podobné chování, jaké při postupném zatěžování vykazují podlahy drátkobetonové, lze očekávat i u podlah železobetonových vyztužených při obou površích.
30
Obr. 3.2. Průběh redistribuce ohybových momentů v poli drátkobetonové desky zatížené osamělým břemenem uprostřed
3.2. Dílčí součinitele spolehlivosti pro zatížení V mezním stavu únosnosti lze pro podlahy uložené na podloží uvažovat snížené součinitele spolehlivosti zatížení i materiálu, neboť podlahy se při porušení nemohou zřítit ani ohrozit lidské životy. Evropská norma ENV 1992-1-1 [6] všeobecně uvažuje součinitele stálého g G a nahodilého g Q zatížení hodnotami 1,35 a 1,5; v příloze návrhu normy ENV 1992-1-6 [19] jsou pro betonové základy doporučeny hodnoty 1,3 a 1,3, tedy hodnoty snížené. The British Standard 8110 a stejně tak i firma BEKAERT doporučuje pro zatížení podlah používat dílčí součinitel g f =1,2.
31
Kromě těchto standardních (statických) součinitelů zatížení je třeba uvážit i dynamické a cyklické projevy zatížení, které vznikají především při zatížení dopravou (dynamický součinitel a součinitel únavy), ale i při opakovaném zatěžování a odtěžování regálů. Příloha 5 návrhu normy [19] doporučovala uvažovat pro součinitel únavy l a dynamický součinitel d vztahy
T λ = log10 + 16 δ = 1+
0,3.v 2 v 2 + 200
[-]
(3.1)
[-]
(3.2)
[-]
(3.3)
kde T značí počet přejezdů přes spáru za den a v rychlost přejezdu v km/h. Firma BEKAERT používá pro výpočet dynamického součinitele drátkobetonu gd vztah
log (N ) γ d = 1 + 0,2. 6 log (2.10 ) kde N znamená celkový počet opakování zatížení.
Stávající česká norma ČSN 73 0035 [11] používá pro zatížení vyvozené vysokozdvižnými vozíky dynamický součinitel 1,3. S ohledem na vyšší houževnatost je možné pro vláknobetony používat nižší hodnotu dynamického součinitele nežli pro prostý beton nebo železobeton. Pro mezní stavy použitelnosti doporučuje ČSN P ENV 1992-1-1 [6] volit dílčí součinitele spolehlivosti stálého i nahodilého zatížení hodnotou 1,0.
3.3. Podlahy z prostého betonu Nové evropské normy sice nedoporučují navrhovat takové konstrukce z prostého betonu, kde rozhoduje o únosnosti prvků pevnost betonu v tahu, ale jelikož již podlah z prostého betonu, a to i velmi kvalitních podlah, bylo v minulosti realizováno velké množství, nelze je rozhodně zcela zavrhnout. Minimální tloušťka podlahové desky z prostého betonu uložené přímo na podloží by měla být 150mm. Minimální pevnostní třída betonu by měla být C12/15 a vyšší. Poznamenejme, že kvalitnější betony se více smršťují, a proto je často lépe navrhnout podlahu tlustší z obyčejnějšího betonu, nežli podlahu tenkou z kvalitního betonu. Z důvodu omezení účinků smršťování se v podlahách navrhují spáry, jež jsou půdorysně rozmístěny v určitém rastru protínajícím podlahu ve dvou směrech. Protože v podlaze není žádná výztuž, musí být spáry umístěny v poměrně malých vzdálenostech tak, aby nedocházelo ke vzniku náhodných trhlin. Jaká že je tedy maximální bezpečná vzdálenost mezi spárami? Různí odborníci doporučují různé hodnoty, nikdo si však asi nedovolí doporučit vzdálenost větší než 6m. Portland Cement Association doporučuje vzdálenosti spár na základě tekutosti směsi a maximální velikosti zrn kameniva . Pro jemnější kamenivo a vyšší tekutost by vzdálenost spár neměla překročit 24 násobek tloušťky desky, pro beton s malým smršťováním (nízká tekutost a hrubší kamenivo) lze připustit až 36 násobek tloušťky desky. Stejně by ale vzdálenost spár neměla překročit 6m a v případě výrazněji tepelně namáhané (venkovní) podlahy 5m. Menší vzdálenost spár (max. 5m) by měla být navržena také u podlah bez povrchové krycí vrstvy.
32
Někteří projektanti navrhují vzdálenost spár maximálně do 4m, což jim s vysokou pravděpodobností zaručuje, že v podlaze trhliny nevzniknou. Je to ovšem na úkor zvýšeného množství a tedy i ceny spár. Jednotlivé smršťovací celky by měly být nejlépe čtvercového popř. obdélníkového tvaru s maximálním poměrem stran 3:2. Pokud v některých místech podlahu nelze takto rozdělit a vzniknou celky tvaru L nebo T, pak je třeba vyduté rohy vyztužit. Pokud je někde úhel sevřený dvěma spárami menší než 60° a vznikne tak „štíhlý“ roh, potom by nejkratší délka strany pole v tomto místě měla být 600mm, jinak dojde ke vzniku trhliny u tohoto „štíhlého“ rohu. Mezi výhody podlah z prostého betonu patří nízké náklady, jednoduchost konstrukce, minimální riziko plastického sesedání a následného vzniku trhlinek nad výztužnými pruty. V případě, že bude provoz vozidel řízen pomocí vodících drátů, tak nemůže docházet k jejich interferenci s výztuží. Nevýhodou těchto podlah je, že velikost náhodných trhlin je zcela nekontrolována, případné těsnění spár je nákladné, je-li nutné zajistit přenos zatížení spárou, pak je to také relativně dosti nákladné a z dlouhodobého hlediska je nákladná i údržba početného množství spár. Všeobecně lze říci, že podlahy z prostého betonu často vycházejí jako nejlevnější a to zejména v případech, kdy není nutné zajistit přenos svislého zatížení spárou a kdy není nutné spáru utěsňovat. Jsou tedy dobrou variantou tam, kde je nízké zatížení dopravou a kde nejsou kladeny vysoké požadavky na čistotu spár.
3.3.1. Dílčí součinitel spolehlivosti materiálu ČSN P ENV 1992-1-6 doporučuje pro základní kombinaci zatížení dílčí součinitel spolehlivosti prostého betonu v tahu g C =1,2.1,5=1,8. V případě, že se charakteristická pevnost betonu v tahu zjišťuje přímo zkouškami, je možné uvážit hodnotu součinitele g C =1,8/1,2=1,5 [22]. Návrh normy ENV1992-3 [19] doporučoval pro podlahy z prostého betonu volit sníženou hodnotu součinitele spolehlivosti g C =1,5, a to i v případech, kdy se návrhová pevnost betonu v tahu odvodí od pevnosti tlakové. S ohledem na předchozí odstavec by zřejmě při hodnocení betonu na základě zkoušek pevnosti v tahu bylo možné hodnotu stupně bezpečnosti ještě snížit na g C =1,5/1,2≈1,3. Poznamenejme, že součinem dílčího součinitele spolehlivosti zatížení a materiálu získáme hodnotu stupně bezpečnosti SF=1,2.1,5=1,8. Tato hodnota odpovídá stupňům bezpečnosti používaným v Anglii [4] i ve Spojených státech [3], a lze proto pro výpočty sníženou hodnotu součinitele g C doporučit.
3.3.2. Mezní stavy Dle návrhu části 3 normy ENV1992-1-6 [19] se při posuzování podlahové desky musí prokázat splnění podmínek spolehlivosti
σ cbd ≤ f cbd σ cg + σ cq f cbk
+
σ ct ≤ 1,0 f ctk
[ MPa ]
(3.4)
[-]
(3.5)
kde scbd je výsledné návrhové napětí betonu v tahu za ohybu vyvozené zatížením a určí se ze vztahu
σ cbd = γ G .σ cg + γ Q .σ cq
[ MPa ]
33
(3.6)
a scg je napětí v tahu za ohybu od účinku charakteristického stálého zatížení (včetně případných osamělých břemen od regálových stojanů), scq napětí v tahu za ohybu od účinku charakteristického užitného zatížení a sct je charakteristická hodnota napětí v dostředném tahu od účinku smršťování (smršťování od vysýchání a tepelné smršťování). Návrhová pevnost betonu v tahu za ohybu se určí jako fcbd=fcbk/gC, kde fcbk odpovídá 1,3 násobku střední hodnoty pevnosti betonu v tahu, tedy fcbk≈ fctk0,95=1,3.fctm. K obdobné hodnotě lze dospět i při uvážení vztahů uvedených v normě pro betonové konstrukce ČSN 73 1201. Ta pro posouzení ohybu používá součinitel gradientu průřezu gg, jehož velikost je pro prostý ohyb rovna hodnotě 1,75. Aplikací tohoto součinitele získáme totiž rovnost fcbk≈ g g .fctk0,05=1,75.fctk0,05=1,75.0,7.fctm≈1,3.fctm. Nový návrh normy ENV 1992-1-1 zapracoval do vztahu pro pevnost betonu v tahu za ohybu fctm,fl, i vliv tzv. rozměrového efektu, takže má tvar
f ctm , fl = [1,6 − h]. f ctm > f ctm
[ MPa ]
(3.7)
kde h je výška prvku v metrech. Návrhová pevnost betonu v prostém tahu fctd=fctk/g C vychází z dolní charakteristické pevnosti betonu v tahu fctk= fctk0,05=0,7.fctm. Střední hodnotu charakteristické pevnosti betonu v tahu fctm lze určit na základě charakteristické hodnoty válcové pevnosti betonu v tlaku fck jako 2
f ctm = 0,3. f ck3
[ MPa ]
(3.8)
Velikost pevnosti betonu v tahu za ohybu, která je pro návrh rozhodující, lze stanovit několika způsoby. Hodnota fctk0,95 , kterou používají eurokódy, se určí jako 2
2
f ctk 0,95 = 1,3. f ctm = 1,3.0,3. f ck3 = 0,39. f ck3
[ MPa ]
(3.9)
[ MPa ]
(3.10)
The Concrete Society v TR34 [4] používá pro určení této hodnoty vztah 2
f ct = 0,393. f cu3
který vychází z charakteristické hodnoty krychelné pevnosti betonu v tlaku fcu. Stejný vztah přejala i firma BEKAERT. V USA se pro výpočet pevnosti betonu v tahu za ohybu MOR používá po převodu na jednotky SI vztah (3.11), který je odvozen z válcové pevnosti betonu v tlaku fck.
MOR = 0,623. f ck
[ MPa ]
(3.11)
Tyto vztahy (3.8), (3.9), (3.10) a (3.11) bohužel vycházejí z nepřesného předpokladu, že pevnost betonu v tahu závisí na jeho pevnosti v tlaku. Pokud je proto při návrhu tahová pevnost betonu rozhodující, jako tomu u podlah je, měl by projektant stanovit přímo její požadovanou velikost. Pevnost betonu v tahu za ohybu by pak měla být prokazována na zkušebních trámcích tzv. trojbodovým nebo čtyřbodovým ohybem. Návrh podlahové desky tak bude efektivnější a ekonomičtější. Výpočet namáhání by měl být proveden na základě lineární pružnosti, pro bodová zatížení lze ovšem dle TR34 [4] připustit i výpočet na základě lomových čar, což vede k výrazným úsporám oproti klasickému Westergaardovu pružnému řešení. Možnost použít vztahy odvozené na základě teorie lomových čar byla ověřena jak množstvím pokusů na reálných konstrukcích, tak i praxí.
34
Velmi důležité z hlediska použitelnosti podlahy je dodržení dostatečné rovinnosti a vodorovnosti povrchu podlahy. Je tedy nutné vypočítat hodnoty sedání a natočení a porovnat je s hodnotami mezními. Požadavky na rovinnost povrchu jsou specifikovány v kapitole o povrchu podlahové konstrukce. 3.4. Podlahy ze slabě vyztuženého betonu Podlahy ze slabě (nominálně) vyztuženého betonu upřednostňují někteří zákazníci i dodavatelé před podlahami z prostého betonu a to většinou v případech, kdy se podlaha betonuje ve velkých celcích najednou (pásy s plochou až 2000m2 – 7500m2). Používá se jedna vrstva svařovaných sítí, které se umísťují přibližně 50mm nad spodní povrch desky (nebo až do středu desky) a procházejí i budoucími indukovanými smršťovacími spárami. Plocha výztuže by měla být od 50 do 140 mm2/m. Těžší síť by mohla zabránit vzniku indukovaných spár a zapříčinit tak vznik nechtěných trhlin mimo spáry. Návrh podlahy ze slabě vyztuženého betonu se provádí stejně jako u podlahy z prostého betonu, obdobně se postupuje i u rozvržení a vzdálenosti spár. Vzhledem k použité výztuži se proti podlaze z prostého betonu vzdálenosti spár připouští zvýšit o 20-25%. Lze pochybovat, že takto malé množství výztuže má na vznik trhlin v podlaze významnější vliv. Někteří zákazníci (a není jich málo) se ovšem domnívají, že správná betonová podlaha prostě nějakou výztuž obsahovat musí. A pro ty jsou právě podlahy ze slabě vyztuženého betonu ideálním řešením. Výztuž v tomto případě však nezastává funkci statickou, nýbrž psychologickou. Proto tento typ podlah nelze příliš doporučovat, respektive nelze od nich očekávat víc než od podlah z prostého betonu.
3.5. Podlahy železobetonové Tento typ podlahových desek se od předchozích liší tím, že návrh záměrně při určité hladině zatížení předpokládá vznik trhlin. Šířka trhlin je omezena výztuží, která se provádí v jedné nebo dvou vrstvách, a to jako vázaná nebo ze svařovaných sítí. Pro únosnost podlahy je důležité správné umístění výztuže v desce. Problematika vzdálenosti spár není tak důležitá jako u předchozích typů a většinou se provádějí pouze spáry nutné z hlediska realizace podlahy (dilatační spáry) a spáry oddělovací. Lze takto také provádět i podlahy bezespáré. Minimální pevnostní třída betonu by měla být C16/20, pro vyztužení lze doporučit žebírkové výztuže s vysokou tažností 10 505(R) a 10 425(V) případně i 10 245(K) nebo KARI sítě. Pokud se výztuž navrhuje především pro omezení smršťování (a následného vzniku trhlin) a nikoliv pro únosnost od svislého zatížení, pak ji stačí umístit jen v jedné vrstvě přibližně do středu výšky desky nebo až 50mm pod povrchem desky. Tato výztuž musí přenést tahové síly vzniklé od tření desky o podloží. Pro podlahy, které jsou extrémně hodně zatíženy, je železobetonová konstrukce s výztuží při obou površích často jediným rozumným řešením. Jiné typy podlah totiž zdaleka nemohou dosahovat tak vysokých únosností. Mezi výhody železobetonových podlahových desek patří kromě již zmíněné vysoké únosnosti také malé množství spár a z toho plynoucí nízké dlouhodobé náklady na údržbu. Také se lze často vyhnout hranovým a rohovým zatížením, což vede k dalším úsporám materiálu. Provádění železobetonových podlah je ovšem poměrně náročné v porovnání s nevyztuženými nebo drátkobetonovými podlahami. Použitá výztuž zvyšuje cenu této podlahy a navíc trhlinky mohou v některých případech působit neesteticky. Pracnost provádění a přítomnost trhlinek jsou asi hlavními důvody, proč
35
železobetonové podlahy nejsou příliš populární. Přitom z hlediska pravděpodobnosti porušení a následných oprav je přítomnost malých předpokládaných trhlinek výhodnější, nežli velké množství spár. Toto však uživatelé často neakceptují a domnívají se, že dobře provedená spára vypadá úhledně, zatímco trhlinky jim připadají jako nedbalé a náhodné poruchy. Projektant a provádějící firma potom mohou očekávat stížnosti. Je proto lepší o přítomnosti trhlinek informovat již předem. Přítomnost trhlin lze omezit dilatováním na jednotlivé smršťovací celky, jejichž maximální velikost by neměla přesahovat 10m. Poměrně běžným způsobem provádění železobetonových podlah je betonáž v pásech dlouhých 60m a více a širokých kolem 4,5m. V tomto případě je nejekonomičtější výztuž umístit pouze v podélném směru a v příčném směru buď použít pouze výztuž konstrukční nebo žádnou. Podélné spáry mezi sousedními pásy by měly být propojeny. Dimenzování železobetonových podlah se provádí dle ČSN P ENV 1992-1-2 nebo dle ČSN 73 1201.
3.5.1. Dílčí součinitelé spolehlivosti materiálu Norma ČSN P ENV 1992-1-2 doporučuje pro základní kombinaci zatížení dílčí součinitel spolehlivosti betonu pro železobetonové konstrukce g C =1,5 a pro výztuž g S=1,15. Dle návrhu normy ENV1992 [19] lze pro beton i ocel železobetonových podlah volit snížené hodnoty g C =1,25 a g S=1,0. Toto snížení opět souvisí s nižší pravděpodobností ohrožení života.
3.5.2. Mezní stav únosnosti V mezním stavu únosnosti železobetonové podlahy lze předpokládat plastické chování jak tlačeného betonu, tak i tažené oceli. Minimální A s1, min a maximální A s1, max plocha tahové výztuže by měla splňovat podmínky
0,6 As1,min = max ; 0,0015bd f [MPa ] yk
[ m2 ]
(3.12)
As1,max = 0,04bd
[ m2 ]
(3.13)
kde fyk je charakteristická hodnota meze kluzu výztuže, b je posuzovaná šířka (obvykle 1m) a d je účinná výška průřezu. Únosnost průřezu se posoudí některým z běžných početních postupů pro kombinaci normálové síly a momentu, nebo pouze pro momenty. Při výpočtu ohybového namáhání lze pro všechny typy zatížení uvažovat možnost plastického chování podlahové desky a výpočty lze tedy provést na základě teorie lomových čar. Pro velká bodová zatížení na malých roznášecích plochách by mělo být ověřeno protlačení podlahovou deskou. To lze provést stejně jako pro běžnou základovou desku. V případě, že protlačení nevychází, je nutné zvýšit tloušťku podlahy nebo použít kvalitnější beton. The Concrete Society [4] doporučuje délku kritického obvodu ucr určit ze vztahu (3.14), kde se předpokládá jeho vzdálenost 1,5.h od zatěžovací plochy a jeho tvar čtvercový nebo obdélníkový bez zaoblení rohů. Návrhovou smykovou sílu vSd vztaženou na metr kritického obvodu lze určit ze vztahu (3.15) a smykovou únosnost vRd ze vztahu (3.16).
u cr = u + 12h
[m]
36
(3.14)
v Sd =
P ×γ f u cr
v Rd = τ Rd k (1,2 + 40 ρ l )d
[ kN/m ]
(3.15)
[ kN/m ]
(3.16)
kde u je obvod zatěžovací plochy, P je charakteristická hodnota velikosti bodového zatížení, tRd návrhová hodnota smykové pevnosti betonu, k=1,6-d součinitel výšky průřezu a r l je stupeň vyztužení podélnou výztuží. Pro splnění smykové únosnosti musí platit následující podmínka.
v Sd ≤ v Rd
[ kN/m ]
(3.17)
[ MPa ]
(3.18)
Návrhovou hodnotu smykové pevnosti betonu tRd lze určit ze vztahu
τ Rd =
f ctk 0, 05 4γ C
pro g C =1,25, nebo jeho tabelovanou hodnotu převzít z ČSN P ENV 1992-1-2, kde je vyčíslena pro g C =1,3. Při návrhu výztuže na zachycení tahových sil vzniklých třením podlahy o podloží se předpokládá, že celou sílu vyjádřenou vztahem (2.35) musí přenést výztuž. Nutná plocha výztuže Ast,min se pak určí ze vztahu
Ast ,min =
µ (g + q )Lγ
f
[ m2 ]
2 f yd
(3.19)
kde fyd je návrhová hodnota meze kluzu výztuže.
3.5.3. Mezní stav použitelnosti Při posuzování mezních stavů použitelnosti musí být veškeré výpočty prováděny za předpokladu pružného chování materiálu. Pro omezení trhlin bez přímého výpočtu je třeba dodržet minimální množství výztuže As, min vykazující soudržnost s betonem (3.20), a to ve všech tahem namáhaných průřezech. Přitom se kontroluje i vzdálenost a průměr použitých vložek.
As ,min =
k c kf ct ,eff Act
[ m2 ]
σs
(3.20)
kde Act je tažená plocha průřezu těsně před vznikem trhliny; ss je největší napětí ve výztuži po vzniku trhliny (možno až fyk); fct,eff je účinná pevnost betonu v tahu při vzniku trhliny a zjednodušeně ji lze uvažovat hodnotou 3,0 MPa; kc je součinitel rozdělení napětí před vznikem trhlin a je roven 1,0 pro prostý tah a 0,4 pro ohyb bez normálové síly; k je součinitel nerovnoměrných vlastních napětí od vynucených přetvoření a pro jejich vznik z vnějších příčin ho lze uvažovat hodnotou 1,0. Při přímém výpočtu šířky trhlin je nejprve potřeba ověřit, zda trhliny skutečně vznikají. Pro výpočet se použijí veličiny ideálního obdélníkového průřezu. Pokud trhliny vznikají, tak potom vypočtená šířka trhlin wk musí být menší nežli mezní šířka wlim. Nejsou-li na podlahu kladeny zvláštní požadavky, pak stačí šířku trhlin omezit na 0,3 mm. Někdy lze v podlahách připustit i trhliny širší. Je-li požadována nepropustnost podlahy, pak trhliny nesmějí za provozu vznikat nebo musí být omezeny na šířku přibližně 0,1 mm.
37
Velmi důležitým z hlediska použitelnosti podlahy je dodržení dostatečné rovinnosti a vodorovnosti povrchu podlahy. Je tedy nutné vypočítat provozní hodnoty sedání a natočení a porovnat je s hodnotami mezními. Požadavky na rovinnost povrchu budou specifikovány v kapitole o povrchu podlahové konstrukce.
3.6. Betonové podlahy vyztužené vlákny Pro zlepšení vlastností prostého betonu je při míchání možné do směsi přidat rozptýlenou vláknovou výztuž. Nejběžněji se používají vlákna ocelová (drátkobeton), polypropylénová a skleněná. Vlákna jsou v betonu rozptýlena náhodně, všesměrně a musí být v rozsahu celé konstrukce rozptýlena stejnoměrně. Pokud jsou vlákna dávkována v určitých minimálních hmotnostních koncentracích, účinně omezují plastické smršťování a sedání a následný vznik trhlin v ranném stádiu tuhnutí. Dále rozptýlená vlákna zvyšují houževnatost a odolnost proti rázovému a únavovému zatížení a odolnost proti tepelným šokům a povrchové abrazi. Ocelová vlákna také částečně zvyšují tahovou i tlakovou pevnost betonu a po vzniku trhliny především umožňují i tzv. ekvivalentní tahovou pevnost, díky níž se výrazně zvyšuje ohybová únosnost drátkobetonu proti betonu prostému. Mezi základní vlastnosti ( závisí na nich výsledné vlastnosti vláknobetonu) jednotlivých typů vláken patří jejich objemová hmotnost, tahová pevnost, modul pružnosti, mezní protažení, délka L a průměr D, tvar vláken a struktura jejich povrchu. Štíhlostní poměr vlákna l se definuje jako poměr L/D, kde D je buď skutečný průměr pro kruhové profily vláken nebo ekvivalentní kruhový průměr pro ostatní profily. Na štíhlosti vlákna závisí míra jeho zakotvení do okolního betonu. Platí, že čím vyšší je štíhlostní poměr vlákna, tím lepší je zakotvení vlákna ale horší zpracovatelnost směsi. Složení betonové směsi i pevnostní třídy betonu pro vláknobetony jsou podobné jako pro betony bez vláken. Obsah cementu nezávisí na typu vláken a pohybuje se od 325kg/m3 do 400kg/m3. Díky mnoha nesporným výhodám se vláknobetony pro průmyslové podlahy hojně používají a zhruba 8595% podlah prováděných v současné době obsahuje některý z typů rozptýlených vláken.
3.6.1. Betonové podlahy vyztužené polypropylénovými vlákny Polypropylénová vlákna se v betonových podlahách používají poměrně často a to především pro omezení povrchových trhlin od plastického smršťování, pro omezení plastického sedání betonu v okolí výztuže, pro vyšší odolnost na rázové zatížení a tepelné šoky a také pro zlepšení povrchových vlastností (redukce povrchových diskontinuit vzniklých únikem vody, zvýšení odolnosti proti abrazi). Dále polypropylénová vlákna zpomalují rychlost vysýchání (tzv. „pocení“) a omezují tak následnou segregaci směsi a odlučování povrchových zrn. Podlahy s polypropylénovými vlákny budou trvanlivější než podlahy z prostého betonu stejného složení. Polypropylénová vlákna lze dělit dle způsobu výroby na monofilamentní a fibrilovaná. Monofilamentní vlákna jsou vyráběna dělením jednotlivých vláken s hladkým kruhovým průřezem na požadovanou délku a následnou aviváží. Díky vyšší hladkosti a ohebnosti nevystupují z povrhu a je tak docíleno hladkého povrchu podlahy. Fibrilovaná vlákna se vyrábějí rozvlákněním (rozřezáním) folie, následným dělením na požadované délky vláken s drsnějším hranatým průřezem a avivážováním. Avivážování zajišťuje, že při styku vláken s vlhkostí dojde k rozdělení jednotlivých pastilek a rozmíšení jednotlivých vláken v celém objemu betonu.
38
Obecně platí, že soudržnost polypropylénových vláken s betonem je řádově nižší než je tomu u ocelových vláken, a proto prakticky nedochází k vyčerpání únosnosti přetržením, nýbrž jejich vytržením z betonové matrice. Standardně se polypropylénová vlákna dávkují v množství 0,9-1,0 kg/m3 betonu, někteří výrobci však v současné době připouštějí i nižší dávky. Jejich pevnost v tahu se pohybuje v rozmezí 200-750 MPa, modul pružnosti 4-8 GPa, mezní protažení 8-20%, průměr vláken od 0,01mm do 0,5mm, délka 10-60 mm a objemová hmotnost je přibližně 900-910 kg/m3. Vzdálenosti dilatačních spár v podlahách z betonu s polypropylénovými vlákny (bez další výztuže) by měly být zhruba stejné jako v podlahách z prostého betonu. Někteří projektanti tuto vzdálenost lehce zvyšují, maximálně však o 20-25%. Někteří výrobci tvrdí, že jejich polypropylénovými vlákny lze nahradit rozptýlená ocelová vlákna či klasickou výztuž a to i se zvýšením pevnosti betonu v tahu a dosažením určité ekvivalentní pevnosti po vzniku trhlin. Obecně toto ovšem neplatí a pokud by se s tím mělo uvažovat, bylo by nutné takovéto vlastnosti prokázat zkouškami. Polypropylénová vlákna mají oproti ocelovým vláknům i klasické výztuži některé výhody a některé nevýhody, nelze však tyto způsoby vyztužení vzájemně nahradit, lze je však účinně kombinovat.
3.7. Drátkobetonové podlahy Drátkobetonové podlahy se v současné době těší veliké oblibě a provádí se u nás takto asi 70-80% ze všech průmyslových podlah. Tento trend plyne z velmi dobrých vlastností za přijatelnou cenu. Je ovšem třeba říci, že ačkoliv se drátkobetony takto intenzivně rozvíjejí, nejsou ještě příliš sjednoceny normy a předpisy pro navrhování a zkoušení. A výsledky jednotlivých předpisů není radno zaměňovat. Při návrhu i zkoušení je lépe se držet pouze předpisu jednoho. Vlákna pro drátkobeton se definují jako krátké ocelové drátky se štíhlostním poměrem zhruba od 30 do 100, tvarem zvlněným, přímým nebo přímým se zploštělými či ohnutými konci a které jsou tak velké, aby mohly být náhodně rozptýleny v čerstvém betonu při standardních metodách míchání. Drátky kruhového průřezu se vyrábějí stříháním nebo sekáním drátů, které mají typické průměry od 0,25mm do 1,0mm. Ploché drátky o tloušťce od 0,15-0,41mm a šířce 0,25-1,14mm se vyrábějí stříháním plechů nebo zplošťováním drátů. Typické délky drátků se pohybují mezi 20mm až 80mm. Jejich pevnost v tahu se pohybuje v rozmezí 500-1700 MPa, modul pružnosti je kolem 210 GPa. Výsledné vlastnosti drátkobetonu jsou ovlivněny především jakostí betonu, typem drátků a jejich hmotnostní koncentrací. Štíhlostní poměr drátků pro podlahy bývá od 40 do 80, hmotnostní koncentrace od 20 kg/m3 do 40 kg/m3 betonu. Všeobecně se právě 20 kg/m3 považuje za absolutně minimální možnou hmotnostní koncentraci drátků. Je zřejmé, že účinnost zakotvení štíhlých drátků se zahnutými konci do okolního betonu bude při stejné hmotnostní koncentraci vyšší než tomu bude u rovných drátků s nižší štíhlostí. Tato závislost je vyjádřena v publikaci Výkonové třídy železového vláknobetonu [24] a pro minimální hmotnostní koncentraci drátků mf,min je zde odvozen následující vztah (3.21).
m f ,min =
68950 ≥ 20,0 λ2
[ kg/m3 ]
(3.21)
Uvedené hodnoty používaných štíhlostních poměrů a hmotnostních koncentrací jsou pro podlahy vhodné proto, že zaručují dostatečnou míru únosnosti při relativně snadné zpracovatelnosti směsi.
39
Na rozdíl od polypropylénových vláken mají ocelová vlákna výrazný vliv na pevnost betonu, především pak na tahovou pevnost, která je pro návrh podlah nejdůležitější. Maximální hodnota tahové pevnosti se zvýší pouze nepatrně, rozdíl je však v chování po vzniku trhliny. Zatímco pevnost prostého betonu po vzniku trhliny rapidně klesá, pevnost drátkobetonu se ustálí na tzv. ekvivalentní pevnosti drátkobetonu v tahu ffte a k celkovému kolapsu dojde až při mnohem větším přetvoření. Díky tomu, že po vzniku trhliny dokáže drátkobeton přenášet ještě určité namáhání (které je většinou menší něž při vzniku trhliny), lze připustit vznik plastických kloubů v podlaze a následnou redistribuci momentů do jiných částí desky. V drátkobetonových podlahách lze proti podlahám z prostého betonu výrazně redukovat množství spár. Typické vzdálenosti smršťovacích spár se pohybují od 8m do 12m, lze ovšem provádět i bezespáré drátkobetonové podlahy. Mezi hlavní výhody drátkobetonových podlah bezesporu patří jejich houževnatost, nižší smršťování a únosnost po vzniku trhlin, která přináší v porovnání s prostým betonem výrazné materiálové úspory. Lepší je také odolnost proti opakovanému a dynamickému zatížení. Odolnost proti abrazi vzrůstá proti prostému betonu přibližně o 15%. Drátkobeton vyrobený ze stejné betonové směsi jako prostý beton je trvanlivější. V porovnání s železobetonovými podlahami jsou drátkobetonové podlahy méně náročné na pracnost provádění a odpadají problémy se špatně umístěnou výztuží. Je ovšem třeba si také uvědomit, že drátkobetonovou podlahu by měla provádět firma, které je pro to dostatečně kvalifikována. Proti podlahám železobetonovým i podlahám z prostého betonu je třeba u práce s drátkobetonem mít některé zvláštní znalosti a dovednosti („know-how“), které běžné betonářské firmy nevlastní. Při míchání a ukládání směsi se musí zamezit vzniku shluků drátků (tzv. ježků), drátky musí být ve směsi i ve výsledné konstrukci rozmístěny rovnoměrně a při zarovnávání by neměly trčet z povrchu ven.
3.7.1. Dílčí součinitelé spolehlivosti drátkobetonu Úprava české směrnice [28] doporučuje pro drátkobeton v tahu a ekvivalentním tahu používat součinitel spolehlivosti g f1 (3.22) a pro drátkobeton v tlaku g f2 (3.23). Tyto hodnoty jsou závislé na hmotnostní koncentraci drátků mf1 [kg/m3] ve směsi.
γ f 1 = 1,5 − 0,1κ f 1 ≥ 1,3
[-]
(3.22)
γ
[-]
(3.23)
≥0
[-]
(3.24)
≥0
[-]
(3.25)
f2
= 1,8 − 0,5κ f 2 ≥ 1,3
κ f1 = κ f2 =
m f 1 − 20 25 m f 1 − 20 40
Firma BEKAERT používá pro součinitel spolehlivosti drátkobetonu v tahu hodnotu g c =1,5 a pro součinitel spolehlivosti ekvivalentní tahové pevnosti hodnotu g SF =1,2. Technical Report 34 [4] i americký průvodce navrhováním podlah [3] používají při výpočtu podlah stupeň bezpečnosti SF. Jeho základní hodnotu (bez dynamického a únavového příspěvku) doporučují o velikosti 1,4 až 1,6, čemuž odpovídá (při velikosti dílčího součinitele zatížení 1,2-1,3) velikost dílčího součinitele drátkobetonu 1,2-1,3.
40
3.7.2. Ekvivalentní pevnost drátkobetonu v tahu Pro vyjádření chování betonových a drátkobetonových prvků je nejcharakterističtější pracovní diagram vztahu napětí a deformace. Zatímco v tlaku se u prostého betonu i drátkobetonu projevuje plastické chování, je při tahovém namáhání chování betonu prakticky pružné až do vzniku trhliny, kdy nastane křehké porušení. Výztuž rozptýlená v drátkobetonu nejen že zvyšuje mezní poměrné přetvoření v tlaku, ale hlavně umožňuje po vzniku trhlin přenášet ekvivalentní tahová napětí při kvaziplastickém chování až do přípustného poměrného protažení. Hodnocení prostého betonu a jeho zatřídění se zpravidla provádí na základě ověření pevnosti v tlaku a zřídka i na základě ověření pevnosti v tahu (ač by to pro podlahy bylo velice vhodné). Hodnocení jakosti drátkobetonu a jeho zatřídění se provádí vždy na základě ověření pevnosti v tlaku ff, pevnosti v tahu fft a někdy i ekvivalentní pevnosti v tahu ffte. Označení drátkobetonu pevnostní třídou má proto být širší oproti zatřídění prostého betonu. Např. označení FC16/20–2,60/1,60 značí, že se jedná o drátkobeton s vlastnostmi běžného betonu třídy C16/20, který má ovšem navíc zaručenu pevnost v příčném tahu při vzniku trhlin fftg =2,60 MPa a ekvivalentní pevnost po vzniku trhlin ffteg= fftek =1,60 MPa. Charakteristickou hodnotu pevnosti drátkobetonu v dostředném tahu lze určit jako fftk0,05 =0,85. fftg a v tahu za ohybu jako fftk0,95 =1,6. fftg. Požadavek na ověření tahové pevnosti drátkobetonu plyne ze skutečnosti, že na rozdíl od obyčejného betonu je drátkobeton konstrukčním materiálem, u kterého může být jeho schopnost odolávat účinkům tahového napětí zaručena a tudíž lépe využívána. Při tahovém namáhání tedy zůstává drátkobetonu i po vzniku trhliny jistá residuální únosnost, která se označuje jako ekvivalentní pevnost v tahu za ohybu ffte. Velikost této pevnosti lze stanovit kontrolními zkouškami na drátkobetonových trámcích tzv. trojbodovým či čtyřbodovým ohybem (obr. 3.3). Dle české směrnice [25] i podle japonské normy, která je ve světě hojně užívána, se zkoušky provádějí na drátkobetonových trámcích o rozměrech 150x150x600mm. Velikost trámků se ale musí přizpůsobit délce drátků tak, aby nejmenší rozměr trámku byl alespoň dvojnásobkem a lépe trojnásobkem délky drátku. Zajistí se tak, že drátky budou v trámku uspořádány všesměrně a nikoliv převážně v podélném směru.
Obr. 3.3. Schéma uspořádání zkoušky drátkobetonového trámku čtyřbodovým ohybem
Doporučuje se, aby zkouška byla provedena na zkušebním zařízení, které umožňuje zkoušení v režimu konstantního nárůstu deformace zkušebního trámce. Maximální přípustná hodnota průhybu flim zkoušeného trámce obvykle bývá 1/150 teoretického rozpětí, což u nejběžnějšího typu zkušebních trámků jsou 3mm. Proto se také ekvivalentní pevnost v tahu často v zahraniční literatuře značí jako fe,3 .
41
Z uspořádání zkoušky vyplývá, že při zatížení silou Pe,3, což je průměrná hodnota zatěžovací síly zaznamenaná zkušebním zařízením od počátku zkoušky do dosažení hodnoty přípustného přetvoření (3mm), lze za předpokladu pružného chování velikost tahového napětí v dolních vláknech trámce určit ze vztahu 3.26. Tento vztah používá jak japonská norma JSCE-SF4 pro drátkobetonové konstrukce, tak The Concrete Society v TR34 [4] i firma BEKAERT [12].
Pe.3 L bh 2
f e ,3 =
[ MPa ]
(3.26)
Grafické znázornění pracovního diagramu drátkobetonu v tahu za ohybu s vyznačením důležitých bodů je na následujícím obrázku 3.4.
Obr. 3.4. Charakteristický pracovní diagram drátkobetonu v tahu za ohybu
Hodnota Pft značí velikost zatěžovací síly na mezi vzniku trhlin, Pfte=Pe,3 je hodnota ekvivalentní síly určená jako poměr houževnatosti Tb a mezního přetvoření flim vztahem (3.28). Houževnatost Tb je v podstatě suma celkové energie potřebné k dosažení mezního průhybu flim a definuje se jako plocha omezená zatěžovací křivkou od počátku do místa mezního průhybu (3.27). Houževnatost je vhodná veličina pro porovnání kvality různých drátkobetonů.
Tb =
f lim
∫ P ⋅ dx
[ kN.mm ]
(3.27)
[ kN ]
(3.28)
0
Pfte = Pe ,3 =
Tb f lim
42
Pevnost drátkobetonu v tahu za ohybu fft se určí pomocí vztahu 3.26 obdobně jako ekvivalentní pevnost, na místo ekvivalentní síly Pe,3 se ale dosadí velikost zatěžovací síly na mezi vzniku trhlin Pft. Česká směrnice pro drátkobetonové konstrukce [25] předpokládá pro stanovení ekvivalentní pevnosti plastické rozdělení napětí po průřezu dle obrázku 3.5.
Obr. 3.5. Plastické rozdělení napětí v drátkobetonovém průřezu
Z momentové výminky lze potom ekvivalentní pevnost v prostém tahu stanovit vztahem 3.32, kde Me je hodnota ekvivalentního ohybového momentu určená vztahem 3.29, x značí polohu neutrální osy určené dle vztahu 3.30 a z je rameno vnitřních sil určené vztahem 3.31. Velikost ekvivalentní síly Pfte se opět určí ze vztahu 3.28.
Me = x=
Pfte L 6
Me 0,32bhf f
z = 0,5h + 0,1x f fte =
Me zb(h − x )
[ kNm ]
(3.29)
[m]
(3.30)
[m]
(3.31)
[ MPa ]
(3.32)
Další zásady a doporučení, případně i jiné konfigurace kontrolních zkoušek pro určení tahových i tlakových vlastností drátkobetonů lze nalézt především v již zmíněných směrnicích.
3.7.3. Posouzení ohybové únosnosti v souladu s TR34 [4] Pro návrh podlah používá The Concrete Society v Technical Reportu 34 metodu stupně bezpečnosti, která ale již neodpovídá současným zvyklostem. Proto jsou zde vztahy uvedeny v pozměněné formě tak, aby výpočty bylo možné provést na základě metody dílčích součinitelů. Úprava vztahů spočívá v tom, že na místo jednoho stupně bezpečnosti SF budou použity dílčí součinitelé materiálu g m a zatížení g f, stejně jako je tomu v eurokódech. V současnosti i firma BEKAERT přechází ve svých propočtech z metody stupně bezpečnosti na metodu dílčích součinitelů. Posouzení ohybového namáhání desky vychází z Meyerhofovy teorie, jejíž podstata je vysvětlena v kapitole 3.1.2. Návrhové hodnoty celkových ohybových momentů mSd,tot od jednotlivých typů zatížení musí být menší nežli součet návrhových hodnot momentu únosnosti při vzniku trhlin mRd,cr a ekvivalentního momentu únosnosti po vzniku trhlin mRd,e (3.33).
43
mSd ,tot ≤ mRd ,tot = m Rd ,cr + mRd ,e = ( f ftd + f e ,3d )
bh 2 6
[ kNm ]
(3.33)
kde b je jednotková šířka desky a h její tlušťka. Charakteristickou hodnotu pevnosti drátkobetonu v tahu za ohybu fftk lze přibližně určit stejně jako u prostého betonu vztahem (3.10), lépe však je určit její velikost kontrolními zkouškami. Charakteristická hodnota ekvivalentní pevnosti drátkobetonu v tahu fe,3k se určí pomocí koeficientu houževnatosti Re,3, který v procentech vyjadřuje poměr mezi ekvivalentní pevností v tahu fe,3 a pevností v tahu za ohybu fft. Někteří výrobci dodávají drátkobetony, u kterých je právě tato tzv. „Re hodnota“ zaručena. Vztah (3.33) je potom výhodné upravit na tvar (3.34), ztrácí se tak ale možnost použít pro pevnost v tahu za ohybu a ekvivalentní pevnost v tahu různé součinitele spolehlivosti materiálu.
R bh 2 mSd ,tot ≤ 1 + e,3 f ftd 6 100
[ kNm ]
(3.34)
Bezpečnější, než použít „Re hodnotu“, je samozřejmě ověřit ekvivalentní pevnost kontrolními zkouškami a její velikost určit ze vztahu (3.26). Je-li drátkobeton dodáván již v zatřídění se zaručenými pevnostmi v tlaku a tahu, lze hledané tahové pevnosti odvodit přímo ze třídy drátkobetonu. Návrhové hodnoty jednotlivých pevností se určí podělením charakteristických hodnot součiniteli spolehlivosti drátkobetonu. Pokud se v mezním stavu únosnosti připouští plastické chování drátkobetonového průřezu a tedy i vznik trhlin, lze obvykle zanedbat vliv objemových změn (smrštování). Na druhou stranu je však třeba uvážit, že využití tažené oblasti průřezu na ekvivalentní pevnost v tahu po vzniku trhlin vychází z předpokladu, že nedojde v trhlinách ke korozi a následnému porušení ocelových vláken. Proto je předpoklad o využití ekvivalentní pevnosti podmíněn u prostého drátkobetonu požadavkem, aby při provozní kombinaci zatížení nedocházelo ke vzniku trhlin, nebo aby se trhliny objevily pouze krátkodobě. Dlouhodobé výzkumy drátkobetonů ukazují, že v suchém prostředí dochází ke korozi drátků velmi zřídka, a proto se často i za provozu vznik trhlin připouští. Ve vlhkém prostředí navíc existuje možnost použít drátky s antikorozní povrchovou úpravou.
3.7.4. Posouzení protlačení Protlačení břemene drátkobetonovou podlahou lze posoudit obdobně jako protlačení u železobetonové podlahy, je ovšem nutné uvážit absenci průběžné betonářské výztuže, ale také přítomnost ocelových vláken. Smyková únosnost běžného metru drátkobetonového průřezu vRd3 lze dle doporučení firmy BEKAERT [29] určit následujícím vztahem (3.35).
v Rd 3 = v Rd 1 + v fd + v wd
[ kN/m ]
(3.35)
Hodnota vRd1 je únosnost samotného betonu a určí se vztahem (3.16). Při vyčíslení vztahu (3.16) musí být součinitel výšky průřezu pro prostý drátkobeton k=1,0, neboť u desky není žádná průběžná výztuž a z téhož důvodu musí být i stupeň vyztužení r l=0. Hodnota vwd
vyjadřuje příspěvek smykové výztuže k celkové
únosnosti. Příspěvek ocelových vláken vfd k celkové únosnosti se určí vztahem (3.36), kde d je účinná výška průřezu a tfd návrhová hodnota přírůstku smykové pevnosti od ocelových vláken.
v fd = τ fd × d
[ kN/m ]
44
(3.36)
Pro ocelová vlákna se zahnutými konci, která vyrábí firma BEKAERT, lze přírůstek smykové pevnosti určit ze vztahu
τ fd = 0,54 f fctk 0 ,05 Rt / γ c
[ MPa ]
(3.37)
[-]
(3.38)
kde lze součinitel materiálu g c uvážit hodnotou 1,5 a hodnotu Rt určit pomocí vztahu
Rt =
1,1 × W f × λ 180 × C + W f × λ
kde lze velikost koeficientu C pro vlákna se zahnutými konci uvážit hodnotou 20, l je štíhlostní poměr vláken a Wf je hmotnostní koncentrace drátků v [kg/m3]. Návrhová hodnota posouvající síly vsd vztažená na běžný metr kritického obvodu se určí pomocí vztahu (3.15) a musí pro ni platit podmínka únosnosti
v Sd ≤ v Rd 3
[ kN/m ]
(3.39)
Od posouzení drátkobetonových podlah na protlačení se často upouští, neboť zpravidla vychází příznivěji nežli posouzení jejich ohybového namáhání. 3.7.5. Posouzení ohybové únosnosti v souladu s českou směrnicí pro drátkobetonové konstrukce Ekvivalentní ohybový moment únosnosti mRd,e desky z prostého drátkobetonu lze dle české směrnice pro drátkobetonové konstrukce [25] určit na základě plastického rozdělení napětí v průřezu (obr. 3.5). Při určení polohy neutrální osy se vychází z rovnosti tlakové nfc a tahové nft síly v průřezu. Platí potom
0,8 x0,8 f fd = (h − x ) f fted x=
f fted 0,64 f fd + f fted
h
.
[m]
(3.40)
[m]
(3.41)
[ kNm/m ]
(3.42)
Rameno vnitřních sil z se podle obr. 3.5 stanoví jako
z = 0,6 x + 0,5(h − x ) = 0,5h + 0,1x a ekvivalentní moment na mezi únosnosti je
mRd ,e = n fc z = n ft z = (h − x )zf fted
kde ffd a ffted jsou návrhové hodnoty únosnosti drátkobetonu v tlaku a ekvivalentním tahu, h je výška desky a x je vzdálenost neutrální osy od tlačeného okraje průřezu. Moment únosnosti mRd,cr desky při vzniku trhlin se určí na základě pružného rozdělení napětí v průřezu a lze jej stanovit ze vztahu
mRd ,cr = γ g f ftd W =
γ g f ftd h 2
[ kNm/m ]
6
(3.43)
kde g g je součinitel gradientu přetvoření a lze jej pro prostý ohyb uvažovat hodnotou 1,75, fftd je návrhová hodnota pevnosti drátkobetonu v tahu a h je výška desky. Protože ekvivalentní moment únosnosti mRd,e je většinou menší nežli moment únosnosti při vzniku trhlin mRd,cr, rozhoduje při pružném výpočtu desky podmínka
mSd ,e ≤ m Rd ,cr
[ kNm/m ]
45
(3.44)
kde mSd,e je největší hodnota návrhového ohybového momentu určená pružným výpočtem namáhání desky. Použije-li se pro výpočet namáhání desky plastická teorie lomových čar, kdy se v primárních lomových čárách předpokládá působení ekvivalentního momentu únosnosti mRd,e a v sekundárních lomových čárách působení momentu únosnosti při vzniku trhlin mRd,cr, platí pro celkový moment únosnosti mRd,tot
mRd ,tot = m Rd ,cr + mRd ,e
[ kNm/m ]
(3.45)
[ kNm/m ]
(3.46)
a musí být splněna podmínka
mSd ,tot ≤ m Rd ,tot
kde mSd,tot je součet absolutních hodnot kladného a záporného momentu v podlahové desce určených pro danou zatěžovací situaci. Pokud vychází ekvivalentní moment únosnosti mRd,e větší než moment únosnosti při vzniku trhlin mRd,cr , je možné pro celkový moment únosnosti mRd,tot místo vztahu 3.45 použít vztah
mRd ,tot = 2 × mRd ,e
[ kNm/m ]
(3.47)
Při využití plastického chování průřezu na mezi únosnosti se kontroluje, zda při provozním (charakteristickém) zatížení není překročena mez vzniku trhlin. Pokud se vznik trhlin připouští, je výpočtem třeba ověřit jejich šířku [25].
3.8. Rozměrové tolerance Definuje-li se výpočtem určitá staticky nutná tloušťka betonové desky, je třeba ještě zvážit možné rozměrové tolerance povrchu podloží a tloušťky samotné desky. Bude-li například podloží srovnáno s přesností ±20mm a betonová desky betonována s přesností ±10mm, což jsou poměrně běžné hodnoty, bude poměr tuhosti nejtlustší a nejslabší části 150mm tlusté desky (150+20+10)3/(150-20-10)3=3,375. Takto velké rozdíly v tuhosti a potažmo i únosnosti mohou vést ke vzniku lokálních trhlin a je nutné se jim vyvarovat. Různé předpisy doporučují jiné hodnoty rozměrových tolerancí. Poměrně logický se zdá přístup firmy BEKAERT [3], která pro podlahy tloušťky 150mm požaduje podloží srovnané s tolerancí ±10mm, pro podlahy tloušťky 450mm požaduje podloží srovnané s tolerancí ±30mm a pro mezilehlé tloušťky podlah lze tolerance interpolovat. Rozměrová tolerance pro nosnou podlahovou desku obvykle bývá –5 až +10mm, popř. ±10mm nebo i ±15mm. Hodnoty tolerancí jsou často udány v normách (např. ČSN ENV 13670-1).
46
4.
Spáry
Spára je místem plánovaného přerušení spojitosti betonové podlahy, neplánované přerušení spojitosti se nazývá trhlina. Spárou se míní především spára svislá protínající podlahu od povrchu dolů, nikoliv spára vodorovná umístěná mezi jednotlivými vrstvami podlahy. Provádění velkoplošné podlahy lze usnadnit jejím rozdělením do několika částí, které se provádějí v různých dnech. Spáry mezi jednotlivými částmi podlahy se nazývají konstrukční, nebo též dilatační. Pro omezení napětí od smršťování je navíc většina podlah opatřena spárami smršťovacími (kontrakční) a spárami oddělovacími (izolační). Typický způsob půdorysného rozmístění jednotlivých spár je vyznačen na obrázku 4.1.
Obr. 4.1 Typické rozmístění konstrukčních, smršťovacích a oddělovacích spár
4.1 Konstrukční (dilatační) spáry Konstrukční spáry dělí podlahu na jednotlivé části, ve kterých provádějící firma stihne betonovou směs uložit během jednoho dne. Tvar a rozměry jednotlivých částí závisí na způsobu provádění podlahy a v podstatě existují tři základní způsoby: v úzkých pásech, širokých pásech a ukládání plošné. Pokládá-li se beton v úzkých dlouhých pásech, kde šířka pásů bývá od 4m do 6m a probíhají většinou přes celou délku podlahy (jen u velmi rozlehlých podlah je třeba vložit i příčné spáry), lze poměrně snadno kontrolovat rovinnost povrchu podlahy. Nevýhodou je poměrně velké množství konstrukčních spár a tedy i spotřeba postranního bednění a pracnost při jeho instalaci. Jelikož jsou jednotlivé pásy úzké, nehrozí vznik podélných smršťovacích trhlinek a často není nutná ani příčná výztuž pásu. Naopak v podélném směru se musí vzniku trhlinek zamezit a to buď příčnými smršťovacími spárami, podélnou výztuží nebo předpětím. Pokládá-li se beton v širokých pásech s šířkou do 25m, je třeba počítat i s příčnými konstrukčními spárami. Tyto mohou být vytvořeny pomocí bednění, anebo je lze provést jako klasické technologické spáry
47
používané v betonovém stavitelství při přerušení betonáže. Při provádění technologických spár je nutné přísně dodržovat technologickou a pracovní kázeň, neboť jinak se stanou potenciálním místem budoucích poruch. Plošná pokládka betonu se provádí buď pomocí vodících lišt a nebo pomocí laserového zarovnávacího zařízení – lejzrovače. Vodící lišty se používají dřevěné, ocelové a betonové a pokládka s jejich pomocí probíhá obdobně jako v úzkých i širokých pásech, ovšem po obou stranách lišt. Většinou se lišty používají pouze dočasně za účelem zarovnání povrchu betonu a brzy po tom se vyjmou a drážka se vyplní čerstvým betonem. Používají se ovšem i vodící lišty, které v podlaze zůstávají. Mohou to být tzv. ocelové „omega“ profily vytvářející propojení desek na pero a drážku a nebo prefabrikované betonové kolejničky s otvory pro propojovací pruty nebo hmoždinky. Propojení na pero a drážku není pro podlahy zatížené dopravou vhodné, neboť při rozevření spáry již díky náběhům není dostatečně zajištěn přenos zatížení z jedné desky do druhé, naopak betonové kolejničky s propojovacími pruty nebo hmoždinkami vhodné jsou a lze s nimi dosáhnout i vysoké rovinnosti podlahy, jsou ovšem nákladnější. Ač jsou velmi drahé, uplatňují se v posledních letech výrazněji i lejzrovače (obr. 4.2). Zarovnávání lze s nimi provádět víceméně automaticky, dosahuje se vysokých denních výkonů a rovinnost povrchu je srovnatelná s pokládkou v úzkých pásech. Obecně lze říci, že konstrukční spáry jsou nákladné a jsou zdrojem mnoha poruch. Především při zatížení podlah dopravou je tedy vhodné jejich množství co nejvíce omezit. Aby se poruchám spár co nejvíce zamezilo, musí se provádět s maximální pečlivostí při dodržení konstrukčních doporučení. Postranní bednění má mít ostré hrany a jeho vnitřní horní hrana (blíže betonu) nemá být níž nežli hrana vnější. Při ukládání betonu sousední desky se musí dbát, aby na povrchu desky již hotové nezůstaly zbytky betonu. Hrany spár by měly být ostré, pravoúhlé. Pouze u podlah, které nejsou zatíženy dopravou a u nichž je vzhled důležitější nežli trvanlivost, lze hrany zaoblit nebo zkosit. Tvar a velikost spáry je třeba navrhnou s ohledem na její budoucí výplň. Kde výplň není nutná, je výhodné provést spáru co nejtenčí.
Obr. 4.2 Laserové zarovnávací zařízení – lejzrovač (laserscreed)
48
4.2 Smršťovací (kontrakční) spáry Pomocí smršťovacích spár se v podlahové desce omezují tahová napětí od tepelného smršťování a smršťování betonu od vysýchání a řídí se tak vznik trhlinek v podlaze. Nejsou-li konstrukční spáry propojeny výztuží nebo propojovacími pruty plní zároveň, stejně jako oddělovací spáry, i funkci spár smršťovacích. Obvykle však bývají nutné ještě další smršťovací spáry. Tyto se většinou provádějí jako dodatečné jejich indukcí a jsou to v podstatě plánované trhliny. Průřez podlahové desky se ve vybraných místech oslabí a při vzniku tahových napětí v desce dojde v oslabených místech ke vzniku trhliny. Průřez desky lze oslabit drážkou provedenou v čerstvé betonové směsi, zatlačením dřevěných, plastových či kovových profilů do čerstvé směsi, a nebo řezáním drážek v částečně zatvrdlé směsi. Drážky v čerstvé směsi se provádějí ručně a je obtížné takto vytvořit drážku hlubokou a s ostrými hranami. Proto se tento způsob používá spíše u tenčích desek do tloušťky 100mm a hrany drážek se zaoblují s poloměrem do 3mm. Takto upravené spáry nejsou vhodné pro zatížení dopravou. Profily zatlačované do čerstvé směsi bývají tenké, tuhé pásky, které se většinou v podlaze ponechávají. Některé pásky mohou být opatřeny i povrchovými úchyty, s jejichž pomocí se později odstraní a v betonu zůstane drážka pro těsnění. Protože se takto vytvoří poměrně ostré hrany, mohou být spáry zatíženy i dopravou. Zatlačování pásků není příliš vhodné pro superrovné podlahy, neboť v okolí pásků se obtížněji kontroluje pravidelnost povrchu.
4.3. Oddělovací (izolační) spáry Oddělovací (izolační) spáry oddělují podlahovou desku od ostatních součástí stavby tak, aby byla podlaze ponechána možnost volného pohybu a zároveň aby byl eliminován vliv vynucených přetvoření způsobených ostatními prvky stavby.Podlahová deska by tedy měla být oddělena od všech prvků, které mohou působit jako nechtěné podpory, především od stěn, sloupů základů pro stroje atd. Izolační spáry se vyplňují měkkým stlačitelným materiálem při jehož stlačení na polovinu původní tloušťky musí postačit tlak max. velikosti 1MPa. Standardní tloušťka izolačních spár u stěn je 15-20mm. Izolační spáry u sloupů se provádějí následujícími způsoby. Nejjednodušší a nejlevnější je sloup obalit nejméně 25mm výplňového materiálu (obr. 4.3 a)). Doporučuje se potom podlahovou desku v okolí sloupu diagonálně přivyztužit 5R12 délky 1,0-1,5m u každého rohu, a to zvláště pokud se jedná o vnitřní sloup, ke kterému nedobíhají žádné spáry. Sloupy lze též odizolovat tak, že se malá část podlahy kosočtvercového nebo kruhového tvaru (obr. 4.3 b) c), obr. 4.4) pevně spojí se sloupem a až kolem tohoto bloku se vytvoří spára. Tento způsob je sice nákladnější, spíše se tak ale předejde vzniku trhlinek v okolí sloupu. I v tomto případě je vhodné přidat diagonální výztuž. Tlouš‘tka spár bývá 20-25mm, ale např. u předpjatých desek velkých rozměrů nemusí postačit ani spáry tloušťky 40mm. U bezespárých drátkobetonových podlah doporučuje firma BEKAERT ke sloupům přidat kromě diagonální výztuže ještě síť 8 - 150mm / 8 - 150mm v ploše cca 2x2m.
49
Obr. 4.3 Izolační spáry u sloupů
Obr. 4.4 Izolační spára kruhového tvaru u sloupu
4.4. Konstrukce spár
Častým požadavkem na spáry bývá schopnost přenášet namáhání z jednoho úseku podlahy do úseku přilehlého. Podle tohoto můžeme spáry rozdělit na ty, které nepřenášejí žádné síly a na spáry schopné přenášet posouvající síly. Pro všechny spáry je společný základní požadavek - umožnění vodorovných deformací každého celku podlahy. Existuje několik základních způsobů konstrukčního uspořádání spár (viz obr. 4.5 až 4.11). Konstrukční uspořádání je nutné volit podle typu spáry.
Obr. 4.5 Styk těsný
Obr. 4.6 Spára bez propojení
50
Obr. 4.7 Řezaná spára
Obr. 4.8 Zazubená spára na pero a drážku
Obr. 4.10 Plošná čtvercová hmoždinka
Obr. 4.9 Tyčová hmoždinka
Obr. 4.11 Podélná lišta
Poměrně jednoduchý způsob uspořádání spáry je těsný styk (obr. 4.5). Případnou propojovací výztuž je vhodné antikorozně upravit. Podobné je uspořádání dilatační spáry bez propojení (obr. 4.6), kde je mezi oběmi částmi vynechána mezera přibližně 20mm, která je 51
vyplněna trvale pružným materiálem. Další možností je dodatečné řezání smršťovacích spár (obr. 4.7), které může být prováděno buď záhy po betonáži, řádově po 1 hodině - tzv. mokré řezání, nebo až po zatuhnutí betonu, tj. po 12-24 hodinách. K jednoduchým způsobům konstrukce spár patří i zazubená spára na pero a drážku (obr. 4.8). Složitější jsou konstrukce s různými druhy propojovacích hmoždinek a podélných lišt, jejichž hlavním úkolem je přenášení smykových sil ze sousedních částí desek při nezávislých vodorovných posunech obou částí. Tyto prvky lze ještě kombinovat s výztužnými ocelovými pásky horních hran, jejichž úkolem je zpevňování extrémně lokálně namáhaných horních okrajů desek u spár (např. při přejezdu těžkých vozidel). Původně měly propojovací hmoždinky převážně tvar tyčový s kruhovým či čtvercovým průřezem (obr. 6) na jedné straně přímo zabetonovaným a na druhé straně uloženým do vodorovné kapsy. V současné době se jako výhodnější tvar jeví plošně čtvercové hmoždinky (obr. 7). Tyto hmoždinky jsou v konstrukci lépe využity a je jich tedy zapotřebí méně [2]. Je možné používat i podélné lišty tvaru U, které jsou z jedné strany spáry a ze strany druhé jsou do této lišty zasunuty hmoždinky (obr. 8). 4.5. Těsnění spár [39] Spáry se utěsňují proto, aby nedocházelo k jejich zaplnění prachem, špínou a betonovou drtí z hran spáry, aby se zabránilo pronikání vody a chemikálií a v neposlední řadě také proto, aby se podlahy snadněji čistily a dobře vypadaly. Dále musí těsnění tvořit výztuhu pro hranu spáry tam, kde hrozí porušení od přejíždějících vozidel a hrany nejsou chráněny ocelovými výztuhami. V některých málo náročných provozech nebo mimo oblasti dopravního zatížení někdy ani není těsnění spár nutné [4]. Mezi základní požadavky kladené na těsnící materiály patří trvanlivost, odolnost proti abrazi a dostatečná tvárnost, u spár přejížděných vozidly také vysoká pevnost. Spáry musí být schopné se přizpůsobit dodatečnému rozevření po jejich utěsnění. Z tohoto důvodu je nutné znát, jak velké rozevření spáry lze po jejím utěsnění ještě očekávat. U běžných betonových a drátkobetonových podlah, které mají smršťovací spáry rozmístěny zhruba po 5-10m, lze při smrštění (0,3-0,4) očekávat celkové rozevření spár od 1,5mm do 4mm. Těsnící materiály se většinou aplikují minimálně měsíc po vybetonování a do té doby proběhne zhruba 30-50% z celkového smrštění podlahy. Dodatečné rozevření spáry po aplikaci těsnícího materiálu tedy bude 1mm až 3mm a pokud je spára propojena výztuží, bude dodatečné rozevření ještě menší. V závislosti na způsobu vytvrzování lze těsnící tmely rozdělit na jednosložkové a dvousložkové (vícesložkové). Tmely jednosložkové dosahují svých konečných vlastností díky přítomnosti vzduchu nebo vlhkosti vzduchu, zatímco dvousložkové tmely nabudou konečných vlastností smísením jednotlivých složek. V podlahářství se tmely často dělí na pružné, polotuhé a tuhé. V zásadě pak platí, že pružné tmely připouštějí velké deformace (i 100-200%), mají nižší pevnost i soudržnost s podkladem a obtížně se povrchově upravují (natírají). Tuhé tmely mají víceméně opačné vlastnosti, tedy malou deformabilitu (2-5%), vysokou pevnost i soudržnost s podkladem a většinou se i snadno natírají. Tmely polotuhé jsou potom jakýmsi kompromisem mezi předchozími skupinami. V některých případech může mít tmel vyšší pevnost i soudržnost
52
něžli okolní beton. Toho je třeba se vyvarovat, neboť potom i při malých vodorovných deformacích dochází v betonu ke vzniku trhlin umístěných paralelně se spárami. Poznamenejme, že ideální těsnící materiál pro průmyslové podlahy pojížděné vozidly by měl být pružný, pevný, adhezivní, snadno natíratelný, chemicky a požárně odolný a dlouhodobě trvanlivý. Bohužel takový materiál dosud neexistuje. Kromě již zmíněných tmelů se pro těsnění spár používají i za tepla zpracovávané materiály, např. asfalt a dehet. Tyto materiály ovšem mají příliš negativních vlastností (nižší tažnost, pevnost, adhezi, chemickou i požární odolnost, trvanlivost, nelze je natírat, obtížně se aplikují do užších spár), díky nimž je nelze doporučit i přes jejich nízkou cenu. Poslední variantou, nepříliš často používanou, jsou pryžové popř. neoprénové předem lisované profily, které se do spár zatlačují. Tyto profily nejsou příliš tuhé, nedají se natírat a jsou středně deformabilní, jejich jedinou výhodou je, že mohou být zatěžovány okamžitě po aplikaci. Proto se někdy tyto profily používají jako dočasné těsnění, které je v budoucnu nahrazeno některým z kvalitnějších typů. Těsnící materiály musí být aplikovány do dokonale čistých spár zbavených jakýchkoliv nečistot, prachu, betonové drtě atd. Pro zajištění dostatečného přilnutí těsnícího materiálu ke stěnám spáry je nutné před aplikací některých materiálů penetrovat podklad. Aby při provádění těsnění nedocházelo k vylití těsnícího materiálu na povrch podlahy v okolí spáry, kde při přejezdu vozidel vzniká potenciální místo poruch, je vhodné na povrch v okolí spáry nalepit ochranné pásky, které se po aplikaci a zarovnání těsnícího materiálu sejmou ( i s případným vyhřezlým tmelem). Pokud se trvalý těsnící materiál do spáry neaplikuje ihned po jejím vytvoření (proříznutí), musí se i vnitřní strany spáry ošetřovat proti nadměrnému vysýchání. Lze to provést tak, že se do spáry vtlačí vlhký provazec nebo vsype vlhký písek, případně se spára vyplní dočasným těsněním [34, 35]. Následující tabulka 4.1 shrnuje orientační vlastnosti materiálů použitelných pro těsnění spár.
5-20 let
možná
5-20 let
dobrá vysoká střední -40 až +80
odolné proti abrazi
špatná nízká střední -50 až +160 možná střední
pro podlahy nevhodné
možná vysoká špatná nízká nižší možná střední střední -40 až +80
nižší abrazívní odolnost
silikony ±50% 20 let i více pryskyřice, epoxidy ±5-20% akrylátové tmely ±5-25% 5-20 let asfalt, dehet ±12% 3-10 let pryžové profily ±50% do 20 let
nízká střední -30 až +65
poznámka
natíratelnost
±50% ±5-25%
provozní teplota
životnost
polysulfidy polyuretany
chemická odolnost
přípustné přetvoření
Orientační vlastnosti těsnících materiálů
odolnost proti dopravě
Tab. 4.1. Tabulka orientačních vlastností materiálů určených pro těsnění spár
po aplikaci se smrští
ne pro úzké spáry často jako dočasné
Pro spáry zatěžované tvrdými koly se jako těsnící materiál používají tuhé a polotuhé tmely, což mohou být polyuretany, akryláty, lité epoxidy, pryskyřice nebo i polysulfidy. Tyto materiály jsou málo elastické, jejich maximální protažení se pohybuje kolem 2-25% (běžné provozní hodnoty 1-10%), díky své tuhosti však tvoří výztuhu hran spáry. Výplně se musí aplikovat co nejpozději (min. 90 dnů po betonáži), aby větší část smrštění desek již proběhla. Pokud se tak neučiní, je velmi pravděpodobné, že do jednoho roku dojde k poruše v těsnění
53
spáry. Z tohoto důvodu se spáry často nejprve dočasně vyplní některým z pružnějších těsnících materiálů a teprve po jednom až dvou letech se dočasné těsnění odstraní, spára se začistí a aplikuje se tuhý tmel. Řezané spáry je třeba tuhými a polotuhými tmely vyplňovat celé, aby se zatížení od přejíždějících vozidel přeneslo tmelem až do paty spáry a nedošlo k postupnému zatlačení těsnění do spáry (obr. 4.5). Pokud je těsnění prováděno do spáry, která probíhá na celou výšku podlahy, tak musí být podepření tmelu patou spáry nahrazeno jiným způsobem. Nejlépe se toho dosáhne zvětšením hloubky, do které se těsnící materiál aplikuje. Díky větší postranní kontaktní ploše tak dojde ke zvýšení svislé odolnosti tmelu proti zatlačení. Všeobecně se za postačující považuje hloubka rovná dvoj až trojnásobku šířky spáry, ne však méně než 50mm. Zkosení hran spáry se nedoporučuje, neboť vozidla potom snadněji vytlačují tmel ze spáry na povrch a dochází tak k narušení spojitosti povrchu podlahy.
Obr. 4.5 Správné a nesprávné provedení tuhého těsnění spáry
Tam, kde je těsnění požadováno pouze jako ochrana proti pronikání vody nebo z důvodu ochrany před prachem, lze použít měkké pružné tmely nebo pryže. Trvanlivější jsou polysulfidy a tvarované neoprénové pásky. Pro úzké spáry, které mají být úhledné, jsou možné i silikonové tmely. Při použití těchto tmelů je třeba spodní část těsněné spáry (zvláště jedná-li se o řezanou spáru indukující trhlinu) nejprve vyplnit polyetylénovým pramencem nebo páskem, který zabrání přilnutí těsnícího materiálu ke spodní straně drážky. Toto opatření zabrání porušení těsnění na spodní straně při opakovaných deformacích spáry. Průměr polyetylénového pramence by měl být přibližně o 25-33% větší, než je šířka spáry. Pouze tak bude pramenec dostatečně těsnit (obr. 4.6).
Obr. 4.6 Správné a nesprávné provedení pružného těsnění spáry Při výběru těsnícího materiálu je třeba si uvědomit, že přetvoření povrchové vrstvy tohoto těsnění není stejné jako přetvoření (rozevření) spáry. Na základě rozsáhlých laboratorních testů rozpracoval podrobně E. Tons zásady použití elastoplastických tmelů [33]. Vychází z předpokladu potvrzeného zkouškami, že deformace
54
povrchové vrstvy tmelu je větší než deformace samotné spáry, neboť deformace povrchové vrstvy tmelu má parabolický charakter. Vzájemný vztah mezi poměrným přetvořením spáry 100(W-WMI N)/WMIN a poměrným přetvořením povrchové vrstvy tmelu 100(L-WMIN)/WMI N při různých poměrech K (poměr hloubky vyplnění spáry D k počáteční šířce spáry WMIN) je znázorněn grafem na obrázku 4.7. Je zřejmé, že při malých hloubkách vyplnění není nárůst přetvoření tmelu vůči přetvoření spáry výrazný. Hloubka vyplnění spáry pružnými tmely nemá překročit dvojnásobek šířky spáry, a doporučuje se, aby nebyla větší než šířka spáry. Těsnící materiál tak bude účinnější a navíc se i ušetří. Ve všech případech by se měl výrobce podlahy předem informovat o sortimentu a vlastnostech nabízených těsnění a tomu přizpůsobit tvar a hlavně šířku spáry. A opačně, tvaru spáry je třeba přizpůsobit těsnící materiál. Těsnění spár není věčné, a proto je třeba provádět pravidelné prohlídky a údržbu spár.
Obr. 4.7 Závislost přetvoření povrchové vrstvy pružného tmelu na přetvoření spáry
55
5.
Povrch podlahy
Požadavky na kvalitu povrchu patří k nejdůležitějším, neboť povrch je v podstatě jediná součást podlahy, se kterou uživatel přichází přímo do styku. Problém totiž vždy nastává v okamžiku, kdy se porucha projeví na povrchu podlahy. Proto se tyto požadavky musí sestavit s mimořádnou pečlivostí a jejich dodržení je pro konečné užitné vlastnosti podlahy rozhodující. Patří sem požadavky na rovinnost, vodorovnost a obrusnost povrchu (abrazívní odolnost) [36], dále pak na hrubost povrchu (jemný hrubý, leštěný), požadavky na dodatečné povrchové úpravy, přípustné barevné variace, přípustný počet odprýsknutí povrchu na m2 a přípustný rozsah oprav povrchu ( 1, 2, 3, 4, 5, jiné % povrchu). Existují v podstatě dvě nejběžnější metody měření rovinnosti a vodorovnosti povrchu podlah. První spočívá v přikládání rovné latě k povrchu podlahy. Latě mohou být různých délek a pro každou délku je dána maximální velikost mezery pod latí. Druhá metoda je poněkud sofistikovanější a spočívá v proměření výškové úrovně vybraných bodů podlahy pomocí optického, laserového či jiného zařízení. Naměřené hodnoty se statisticky zpracují a vyhodnotí. 5.1. Kritéria rovinnosti povrchu podlah dle ČSN 74 4505 Rovinnost povrchu podlahy se u nás většinou kontroluje podle ČSN 74 4505 „Podlahy: Základní ustanovení“ pomocí dvoumetrové latě přiložené k povrchu podlahy. Mezera vzniklá mezi latí a nejnižším bodem povrchu podlahy pod latí nesmí být větší nežli 2mm (obr. 5.1). Velkou výhodou této metody je její jednoduchost a dostupnost. K nevýhodám patří to, že kritérium 2mm/2m je pro průmyslové podlahy poměrně přísné a navíc není jasně definováno, ve kterých místech podlahy je třeba měření provádět. Pro ověření rovinnosti celého povrchu podlahy by bylo nutné provést nespočetně měření.
Obr. 5.1. Kontrola rovinnosti dvoumetrovou latí
K dalším nevýhodám patří fakt, že touto metodou nelze dostatečně zkontrolovat celkovou vodorovnost podlahy, že nelze rozlišit více kategorií podlah a že nelze postihnout vlnitost povrchu. Přitom vlnitost povrchu je např. pro bezproblémový provoz vysokozdvižných vozíků rozhodující. Povrchy podlah vyznačené v obrázku 5.2 jsou z hlediska kritéria 2mm/2m rovnocenné, z hlediska skutečného provozu však diametrálně odlišné.
56
Obr. 5.2 Povrchy podlah s různou vlnitostí
5.2. Kritéria rovinnosti povrchu podlah ve světě Ve světě existuje několik uznávaných předpisů pro kontrolu rovinnosti a vodorovnosti povrchu průmyslových podlah. Podlahy se dělí na podlahy s předem definovanými a neměnnými dopravními trasami a na podlahy s náhodně uspořádanou dopravou. Pro podlahy s předem definovanými dopravními trasami je nejpropracovanější systém doporučený v Technical Reportu 34 [4]. Dle tohoto doporučení se sledují tzv. charakteristiky (charakteristika 1, 2, 3) a tyto se porovnávají s mezními hodnotami těchto charakteristik. Každá z charakteristik má dvě mezní hodnoty, z nichž první hodnota může být překročena maximálně v 5% ze všech provedených měření, druhá hodnota být překročena nesmí. Charakteristika 1 vyjadřuje převýšení bodů umístěných ve stopě kola ve vzdálenostech 300mm. Charakteristika 2 se určí jako rozdíl dvou následných charakteristik 1. Charakteristika 3 se určí jako převýšení bodů mezi jednotlivými rovnoběžnými stopami kol (ve stopě se měří místa ve vzdálenostech 300mm). Jednotlivé charakteristiky jsou graficky znázorněny na obr. 5.3.
Obr. 5.3 Charakteristiky určené pro kontrolu rovinnosti podlahy s předem definovaným provozem
Za účelem posouzení rovinnosti se podlahy dělí do tří kategorií; superrovné, rovné a běžné. Každé kategorii přísluší jiné mezní hodnoty jednotlivých charakteristik (Tab. 5.1). Vodorovnost podlahy se pak kontroluje pomocí přípustné výškové tolerance vzhledem ke srovnávací rovině (rovina získaná průměrováním všech měření povrchu). Pro superrovné a rovné podlahy se připouští výšková tolerance ±10mm a pro běžné podlahy ±15mm od srovnávací roviny.
57
Tab. 5.1 Mezní hodnoty charakteristik pro podlahy s předem definovaným provozem Přípustné hodnoty jednotlivých charakteristik povrchu [mm] charakteristika 1 charakteristika 2 charakteristika 3 rozchod kol do 1,5m rozchod kol nad 1,5m 5% 0% 5% 0% 5% 0% 5% 0%
Kategorie podlah
Superrovné
Rovné Běžné
-sklady s velmi úzkými uličkami a rychle se pohybujícími vozíky, které zakládají zboží do velkých výšek (nad 13m) -sklady s velmi úzkými uličkami, kde se zboží zakládá do výšky 8 až 13m -ostatní sklady s velmi úzkými uličkami
0,75
1,00
1,00
1,50
1,50
2,50
2,00
3,00
1,50
2,50
2,50
3,50
2,50
3,50
3,00
4,50
2,50
4,00
3,25
5,00
3,50
5,00
4,00
6,00
V TR34 je zpracován i systém posouzení rovinnosti podlah s náhodně uspořádaným provozem. Sledují se opět tzv. charakteristiky (charakteristika 2, 4). V ploše podlahy se vytvoří základní rastr bodů vzájemně v obou směrech vzdálených 3m a charakteristika 4 sleduje převýšení mezi jednotlivými sousedními body. Charakteristika 2 se stanoví stejně jako u podlah s předem definovaným provozem a měří se na všech spojnicích bodů základního rastru (obr. 5.4). Jednotlivé hodnoty se opět porovnávají s hodnotami mezními (Tab. 5.2). Pro kategorii FM1 se připouští výšková tolerance ±10mm a pro kategorie FM2 a FM3 ±15mm od srovnávací roviny.
Obr. 5.4 Rozmístění bodů určených pro kontrolu podlahy s náhodně uspořádaným provozem
Tab. 5.2 Mezní hodnoty charakteristik pro podlahy s náhodně uspořádaným provozem Přípustné hodnoty jenotlivých charakteristik [mm] charakteristika 2 charakteristika 4 Kategorie podlah FM1 FM2
FM3
-limity jsou velmi přísné a použijí se jen ve výjimečných případech (např. zakládání do výšek nad 13m) -sklady s širokými uličkami, kde se zakládá do výšky nad 8m -sklady se širokými uličkami, kde se zakládá do výšky nepřesahující 8m, maloobchodní sklady, prodejní haly, výrobní haly
58
3%
0%
10%
3%
0%
2,50
4,00
3,00
4,50
7,00
3,50
5,50
6,00
8,00
12,00
5,00
7,50
8,00
10,00
15,00
Pro posouzení rovinnosti a vodorovnosti podlahy s náhodně uspořádaným provozem se jako nejlepší a nejpropracovanější jeví americký systém tzv. čísel rovinnosti FF a vodorovnosti FL. Je podobný výše uvedenému systému z TR34, dokonalejším způsobem však zpracovává naměřená data, rovněž jeho klasifikace podlah je jednodušší. V současné době se v USA začíná používat nový systém klasifikace podlah, tzv. „index vlnitosti“. V našich podmínkách se pro posouzení rovinnosti povrchu podlah často používá normy DIN 18 202, která dělí podlahy do čtyř kategorií. Každá kategorie musí splňovat mezní výškové tolerance měřené na pěti různých vodorovných vzdálenostech (100mm, 1m, 4m, 10m a 15m). Tato norma má však jednu velkou nevýhodu. Definuje dva postupy stanovení výškových tolerancí, přičemž výsledky jednotlivých postupů jsou vzájemně nezaměnitelné a často i diametrálně odlišné.
59
6.
Závěr
Konečný vzhled a kvalita průmyslové podlahy závisí na mnoha činitelích, z nichž většinu lze příznivě či nepříznivě ovlivnit návrhem a následným provedením podlahy. Aby vůbec bylo možné k navrhování přistoupit, je třeba pro podlahu vytýčit vstupní požadavky. Čím obsáhlejší a kompletnější bude seznam požadavků, tím efektivněji a v požadované kvalitě za přijatelných finančních podmínek lze podlahu navrhnout a provést. Vytyčování požadavků musí začínat u budoucího uživatele (investora) a pravděpodobně si vyžádá konzultaci s architektem, stavebním inženýrem a geotechnikem. Někteří investoři mohou při sestavování seznamu požadavků získat představu o možných nárocích kladených na budoucí podlahu a po konzultaci s dodavatelem zjistit i finanční náročnost svých speciálních přání. Pro dodavatele je pak seznam požadavků základním vodítkem při návrhu a provádění podlahy. Seznam vstupních požadavků pro průmyslové podlahy slouží k přesnému vymezení rozsahu a kvality budoucího díla a měl by být přílohou smlouvy o dílo. V budoucnu lze na jeho základě rozhodnout o oprávněnosti případných reklamačních nároků. Je zcela zřejmé, že díky konečným uživatelům se věnuje problematice průmyslových betonových podlah stále vyšší a vyšší pozornost. Uživatelé požadují podlahy odolnější, únosnější a dostatečně trvanlivé. Realizační firmy a potažmo i projektanti musejí být schopni takové podlahy navrhnout a dodat, samozřejmě při minimalizaci vstupních nákladů. Případné vady v projektu či vady prováděcí mohou vyústit v rozsáhlá reklamační řízení a nehledě na výsledek takového řízení lze konstatovat, že následné opravy jsou většinou velmi obtížné a technicky náročné. Tato práce seznamuje s vybranými kapitolami z problematiky průmyslových betonových podlah uložených přímo na podloží. Některé části jsou zpracovány poměrně podrobně (Zatížení podlah a jeho účinky, Zásady dimenzování), některé podávají alespoň základní informace (Podloží, Spáry, Povrch podlah) a všude jsou uvedeny poměrně četné odkazy na další podrobnější nebo doplňující informační zdroje. Práce neobsahuje nové poznatky (snad kromě přílohy 1), nýbrž pouze shrnuje současný stav vědění. Avšak již tato část by měla být velmi přínosná, neboť většina informací je čerpána ze zahraniční literatury a podkladů realizačních firem. Navíc (alespoň pokud vím) u nás zatím žádná ucelená práce tohoto druhu neexistuje. Na základě této práce by statik měl být schopen navrhnout podlahy vyhovující nejrozmanitějším vstupním požadavků, avšak důležité informace zde najde i zástupce realizační firmy. V další části se práce bude podrobněji zabývat uspořádáním spár a způsobem přenosu smykových sil spárami. Budou provedena porovnání účinnosti, kvality a nákladnosti jednotlivých způsobů. Problematika spár je totiž velmi důležitá, neboť většina poruch průmyslových podlah je zapříčiněna právě nesprávným návrhem nebo provedením spár.
60
Použité informační zdroje: [1] GARBER,George. Design and construction of concrete floors, 1. edition, Edward Arnold, London, 1991, ISBN 0-340-53918-6 [2] BEKAERT. Design of ground supported steelfiber reinforced floors based on the Losberg Yield Line model, NV Bekaert SA, 2001 [3] RINGO,B.C. and ANDERSON,R.B. Designing Floor Slabs On Grade: Step-by step procedures, sample solutions and commentary, 2. edition, The Aberdeen Group, Addison, 1996, ISBN 0-924659-75-0 [4] THE CONCRETE SOCIETY. Technical Report 34:Concrete Industrial Ground Floors-A guide to their Design and Construction, 2. edition, The Concrete Society, Slough, 1994, ISBN 0-946691-49-5 [5] DEPARTMENTS OF THE ARMY AND THE AIR FORCE. Concrete floor slabs on grade subjected to heavy loads : Technical Manual TM-5-809-1, U.S. Government printing office, Washington, D.C., September 1987 [6] ČSN P ENV 1992-1-1, Navrhování betonových konstrukcí, Část 1.1 Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby [7] MAYERHOF, G.G. Load carrying capacity of concrete pavements, Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, Proceedings ASCE, June 1962 [8] LOSBERG, A. Design metods for structurally reinforced concrete pavements, 1961 [9] BEKAERT. Industrieböden aus Dramix Stahldrahtfaserbeton, N.V. Bekaert S.A, 1990 [10] HOŘEJŠÍ, J. ŠAFKA, J. a kol. Statické tabulky, SNTL, Praha, 1987, [11] ČSN 73 0035: Zatížení stavebních konstrukcí, Vydavatelství úřadu pro normalizaci a měření, Praha, 1986 [12] BEKAERT. Steel fibre reinforced industrial floor design in accordance with the Concrete Society TR34, N.V. Bekaert S.A. 1999 [13] CHANDLER, J.W.E. Technical Report 550: Design of floors on ground, Cement and Concrete Association, Slough, , June 1982 [14] GOLDBECK, A.T. Thickness of concrete slabs, Public Roads, Vol. 1, No. 12, April 1919
61
[15] BRADÁČ, J. KRÁTKÝ, J. PROCHÁZKA, J. Průmyslové betonové podlahy, Stavební ročenka 1999, ČSSI a ČKAIT Praha 1999 [16] BECKETT, D. Concrete ground slabs: an appraisal of corner loading, Concrete, September 2000 [17] PROCHÁZKA, J. KRÁTKÝ, J. Navrhování betonových konstrukcí podle Eurocode 2, Vydavatelství ČVUT, Praha 1995 [18] LOHMEYER, G. Betonböden im Industriebau, Hallen und Freiflächen, Bundesverband der Deutschen Zementindustrie, 4. überarbeitete und ergänzte Auflage, Köln 1993 [19] ENV 1992-3: Design of concrete structures. Part 3: Concrete Foundations, návrh 11/95 [20] BRADÁČ, J. Betonové konstrukce velkých půdorysných rozměrů, Beton a zdivo,
[21] CHANDLER, J.W.E. Design of floors on ground. Cement and Concrete Association, Wexham Springs, 1982, p. 9. [22] PROCHÁZKA, J. KRÁTKÝ, J. Navrhování konstrukcí z prostého betonu podle ČSN P ENV 1992-1-6, sborník ke školení „Navrhování betonových konstrukcí podle ENV 1992“, ČVUT Praha, Fakulta stavební, katedra betonových konstrukcí a mostů, Praha, září 1999, s. 71 – 86, ISBN 80-01-02040-1
[23] PETŘÍK, V. KŘÍSTEK, V. Praktická pomůcka pro výpočet vlivů smršťování a dotvarování betonu, sborník příspěvků z konference „Betonářské dny 2000“, Česká společnost pro beton a zdivo, 1. vydání, Pardubice, listopad 2000, s. 380 – 384
[24] FALKNER, H. TEUTSCH, M. KLINKERT, H. Výkonové třídy železového vláknobetonu, Institut pro stavební materiály, masivní konstrukce a protipožární ochranu, Braunschweig, 1999, ISBN 3-89288-122-7
[25] KRÁTKÝ, J. TRTÍK, K. VODIČKA, J. Drátkobetonové konstrukce:Směrnice pro navrhování, provádění, kontrolu výroby a zkoušení drátkobetonových konstrukcí, Informační centrum ČKAIT, 1. vydání, Praha, září 1999, ISBN 80-86364-00-3
[26] KRÁTKÝ, J. TRTÍK, K. VODIČKA, J. Komentář a příklady ke směrnici pro drátkobetonové konstrukce, Sdružení KTV, 1. vydání, Praha, 1999
[27] ACI COMMITTEE 360. ACI 360R-92:Design of slabs on grade, American Concrete Institute, Farmington Hills, Michigan, 1999
62
[28] KRÁTKÝ, J. Navrhování konstrukcí z prostého drátkobetonu podle zásad EUROKÓDU 2, sborník semináře „CONCON 2000“: Nové druhy betonu, objemové změny betonu a jejich vliv na konstrukce, Česká společnost pro beton a zdivo, 1. vydání, Praha, únor 2000 [29] BEKAERT. Design guidelines for Dramix steel wire fibre reinforced concrete, N.V. Bekaert S.A. 2000
[30] Kim, J Hjelmstad, K.Three-dimensional finite element analysis of multi-layered systems: Compressive Nonlinear Analysis of Rigid Airport Pavement Systems, Center of Excellence for Airport Pavement Research, COE Report No. 10, Urbana, Illinois, January 2000 [31] ČSN 73 1001: Základová půda pod plošnými základy, Vydavatelství úřadu pro normalizaci a měření, Praha, [32] Bradáč, J. Řehák, K. Směrnice pro navrhování základů výškových skladů:Státní úkol A11-152-801, Hutní projekt Praha, závod Ostrava, červen 1988 [33] HOŠEK, J. Nauka o materiálech 27:Materiály a technologie pro rekonstrukce staveb, 2. vydání, Vydavatelství ČVUT Praha, 2001, s. 84–88, ISBN 80-01-02291-9 [34] DEPARTMENT OF THE ARMY: Technical Manual 5-805-6:Joint Sealing for Buildings, Washington DC, September 1994 [35] METZGER, S. A closer look at industrial floor joints [on-line], The Aberdeen Group, 1996, [cit. 07-052002], dostupné z
[36] PLAČEK, J. Co měříme? Odolnost proti obrusu! [on-line], 2001, [cit. 07-05-2002], dostupné z
[37] PILHOFER, W. KŘÍSTEK, V. Stress distribution in steel fibre reinforced slabs due to drying effects, sborník semináře „CONCON 98“: Betonové podlahy, ČVUT, Stavební fakulta, katedra betonových konstrukcí a mostů, 1. vydání, Praha, leden 1998, ISBN 80-01-01772-9
[38] PROCHÁZKA, J. ŽALSKÝ, P. Betonové podlahy z prostého betonu namáhané objemovými změnami, sborník odborného semináře „Funkční způsobilost a optimalizace staveb“, 1. vydání, Praha, únor 2002, ISBN 80-01-02508-X
[39] ŽALSKÝ, P. Těsnění spár průmyslových betonových podlah, BETON TKS, Beton TKS, s.r.o., Praha, 5/2002, ISSN 1213-3116 [40] Holický, M. Zásady ověřování spolehlivosti a životnosti staveb, ČVUT Praha, Fakulta stavební, Praha, listopad 1998, s. 35 – 39, ISBN 80-01-01880-6
63
[41] Vorlíček, . 1961
[42] Kala, Z. Respecting the influence of geometrical and material imperfections of steel frames when calculating their load-carrying capacity, Proceedings of the II. Internationl Scientific Conference „Quality and reliability in building industry“, Levoča 10/2001, pp. 248-255, ISBN 80-7099-707-9
[43] Kala, Z. Aproximační a zdokonalené numerické simulační metody, Sborník z II. ročníku celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ, Dům techniky Ostrava 3/2001, ISBN 80-02-01410-3
[44] Florian, A. An efficient sampling scheme: Updated Latin hypercube sampling, Probabilistic Engineering Mechanics 7, pp. 123-130, 1992 [45] Bittnar, Z. Šejnoha J. Numerické metody mechaniky 2, Vydavatelství ČVUT, pp. 231-240, Praha 1992, ISBN 80-01-00901-7
64
7.
Citlivostní analýza vlivu vstupních parametrů na chování železobetonové podlahy
Deterministické modely navrhování a posuzování průmyslových betonových podlah uložených přímo na podloží jsou založeny na určitých charakteristických hodnotách vstupních veličin, které reprezentují minimální, maximální nebo průměrné hodnoty a obvykle se volí na základě předešlých zkušeností nebo na základě zkoušek. Dostatečná spolehlivost konstrukce se poté zajistí pomocí dílčích součinitelů spolehlivosti. Ve skutečnosti je však většina vstupních veličin náhodného charakteru a pro každou takovou veličinu existuje celé spektrum hodnot, kterých veličina může nabývat. Pokud tedy využijeme pouze jedné hodnoty z mnoha možných, zanedbáváme tak vědomě existující cenné informace o náhodné proměnlivosti dané veličiny a současně se zbavujeme možnosti posuzovat spolehlivostní hledisko problému. Místo deterministického modelu je možné použít model stochastický, který na veličiny hledí jako na náhodné, zatížené určitými nejistotami. Při analýze stavebních konstrukcí a potažmo i podlah se v současné době často používají složité matematické modely založené na moderních numerických metodách. Závislost mezi vstupními veličinami a sledovaným výstupem tak není explicitně matematicky vyjádřitelná a je zprostředkována více či méně složitým algoritmem. Má-li se v takovém případě model chovat stochasticky, je nutné použít metody umožňující vliv nejistot vstupních veličin zahrnout do výpočtu. Takové výpočty lze provádět na základě -
přesné analytické metody
-
přibližné analytické metody (First Order Reliability Method – FORM; Second Order Reliability Method – SORM; momentová metoda)
-
metody numerické integrace (numerická integrace; metoda momentů druhého řádu; pravděpodobnostní metoda konečných prvků – PMKP)
-
simulační metody (základní varianta metody Monte Carlo – MC; zdokonalené varianty metody MC, především metoda Importance Sampling – IS, Adaptiv Sampling – AS a stratifikovaná metoda latinských hyperkrychlí – Latin Hypercubes Sampling – LHS, Updated Latin Hypercubes Sampling – ULHS ; metoda aproximace oblasti poruchy - Response Surface – RS)
-
kombinace předchozích metod.
Ačkoliv přesnost simulačních metod záleží do značné míry na počtu náhodně generovaných pokusů, jsou pro jejich jednoduchost a názornost v praxi velmi oblíbené. Používání moderních simulačních metod lze považovat za určitý kvalitativní skok v možnostech analýzy konstrukcí. Oproti deterministickým metodám jdou simulační metody ve schopnostech modelovat realitu dále, daný problém řeší spolehlivěji a výstižněji a zahrnují v sobě všechny možnosti a přednosti dosavadních deterministických metod. Simulační metody proto umožňují analyzovat i problémy jinými metodami jen velmi těžko řešitelné či zcela neřešitelné.
7.1. Cíl práce V porovnání s jinými stavebními konstrukcemi se průmyslové podlahy poměrně často navrhují pomocí jednoduchých analytických vztahů vyjadřujících odezvu konstrukce na různé typy zatížení. Jsou odvozeny vztahy pro plošná, liniová a bodová zatížení, případně i pro zatížení smršťováním betonu a teplotními změnami. Stejně tak samozřejmě lze pro analýzu podlah použít i složité numerické modely. Tyto však musí být dostatečně výstižné, neboť jinak pozbývají smyslu a je pak vhodnější a zcela postačující použít přibližné analytické vztahy a nikoliv složitý „špatný“ model.
65
Cílem této práce je prezentovat některé metody vhodné pro stochastickou analýzu betonových podlah, předvést aplikaci na vhodném ilustrativním příkladu z běžné praxe a provést citlivostní analýzu jednotlivých vstupních veličin. Bude ukázáno, že i při přibližných hodnotách vstupních veličin je taková analýza možná a smysluplná, a že lze s její pomocí dospět k všeobecným požadavkům na přesnost jednotlivých vstupních veličin. V rámci ilustrativního příkladu bude provedena komplexní spolehlivostní analýza svislých posunů, ohybových momentů a napětí železobetonové desky uložené přímo na podloží a vystavené účinkům různých typů zatížení. Bude určena relativní důležitost jednotlivých vstupních parametrů a tedy citlivost modelu na nejistoty v jednotlivých vstupních veličinách. Pro konstrukci bude opakovaně pro náhodně vygenerované vstupní hodnoty metodou ULHS použit nelineární výpočet Newton-Raphsonovou metodou v systému FEAT98.
7.2. Náhodné veličiny V teorii spolehlivosti stavebních konstrukcí se často uplatňují spojité náhodné veličiny. Souhrn všech možných realizací x náhodné veličiny X se nazývá základní soubor. Distribuční funkce F(x) udává pro každou hodnotu x pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude menší nebo rovna x: F(x) = P[X ≤ x] a hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny f(x) je derivací distribuční funkce: f(x) = dF(x)/dx. Základním parametrem popisujícím polohu základního souboru vzhledem k nule je průměr (střední hodnota) m, míru rozptylu vzhledem k průměru vyjadřuje rozptyl s2 a jeho odmocnina označuje směrodatnou odchylku s, mírou nesymetrie základního souboru je šikmost a a mírou strmosti je špičatost e. Bezrozměrným parametrem základního souboru je variační koeficient w definovaný jako poměr směrodatné odchylky k průměru.
µ = ∫ xϕ ( x)dx a jeho výběrová charakteristika bude m = σ 2 = ∫ ( x − µ ) 2ϕ ( x )dx ; s 2 =
1 ∑ xi n i
1 ( xi − m ) 2 ∑ n −1 i
(7.2)
α=
1 1 ( x − µ ) 3ϕ ( x)dx ; a = ∑ ( xi − m ) 3 3 ∫ (n − 1)(n − 2) s 3 i σ
ε=
1 n(n + 1) ( x − µ ) 4ϕ ( x)dx ; e = 4 ∫ (n − 1)(n − 2)(n − 3)s 4 σ
w=
(7.1)
σ s ; v= µ m
∑(x i
i
(7.3)
− m) 4 −
3(n − 1) 2 (n − 2)(n − 3)
(7.4)
(7.5)
Nejdůležitějším typem rozdělení spojité náhodné veličiny je z praktického i teoretického hlediska rozdělení normální (Laplace-Gaussovo). Toto rozdělení je symetrické, je definováno na intervalu -∞<x<∞ a závisí pouze na dvou parametrech, na průměru m a směrodatné odchylce s. Symbolicky se značí N(m, s). Je vhodné pro symetrické náhodné veličiny s relativně malým rozptylem. Šikmost a špičatost tohoto rozdělení jsou nulové. Hustota pravděpodobnosti normální náhodné veličiny X s průměrem m a směrodatnou odchylkou s je dána známým vztahem
66
ϕ ( x) =
1 x − µ 2 1 exp − . σ 2π 2 σ
(7.6)
Důležitým typem rozdělení náhodných veličin je obecné, jednostranně omezené, nesymetrické lognormální rozdělení, které je definováno na intervalu x0<x<∞ nebo -∞<x<x0 , je závislé na třech parametrech – průměru m, směrodatné odchylce s a šikmosti a a značí se LN(m, s,a). Zvláštní případ je oblíbené lognormální rozdělení s dolní mezí v nule (x0=0), které stejně jako normální rozdělení závisí pouze na dvou parametrech, střední hodnotě a směrodatné odchylce a symbolicky se značí LN(m, s). Šikmost tohoto rozdělení je dána hodnotou variačního koeficientu w podle vztahu a =3w+w3 a hustota pravděpodobnosti je dána vztahem
x 1 + w2 ϕ ( x) = exp − ln µ x ln(1 + w 2 ) 2π 1
2 (2 ln (1 + w 2 ))−1 .
(7.7)
Lognormální rozdělení s počátkem v nule má vždy kladnou šikmost, jejíž hodnota může být i poměrně vysoká a neuvážené aplikace tohoto rozdělení mohou vést k nereálným modelům zpravidla podceňujícím výskyt záporných a zveličujícím výskyt kladných odchylek od průměru. Jelikož je u většiny mechanických veličin výskyt záporných hodnot nereálný, zdá se být lognormální rozdělení s dolní mezí v nule na první pohled lepší nežli rozdělení normální. Z praktického hlediska se však u normálního rozdělení výskyt záporných hodnot zpravidla stává zanedbatelným. Příkladem potvrzujícím výjimku z pravidla může být například popis tloušťky krycí vrstvy výztuže, která nemůže být záporná. Lognormální rozdělení se proto pro krycí vrstvu jeví jako vhodnější než rozdělení normální, dle [40] však krycí vrstvě výztuže ještě lépe odpovídají další typy rozdělení, tzv. gama rozdělení nebo beta rozdělení. Hodnocení výstižnosti jednotlivých typů rozdělení se provádí různými statistickými testy dobré shody, v praktických aplikacích však tyto testy často selhávají a volba vhodného modelu náhodné veličiny je pak závislá na jejím charakteru, dostupných zkušenostech a ustálených zvyklostech.
7.2.1. Náhodné veličiny dvou a více proměnných Souhrn všech možných realizací x a y dvojice sdružených náhodných veličin X a Y se nazývá dvourozměrným základním souborem; obecně souhrn všech realizací x1, x2…xn n sdružených náhodných veličin X 1 , X2…X n, který se značí X[X1, X 2…Xn], se nazývá n-rozměrným základním souborem. Dvourozměrná distribuční funkce F(x,y) udává pro každou dvojici x, y pravděpodobnost, že náhodná veličina X je menší nebo rovna x a náhodná veličina Y je menší nebo rovna y: F(x,y) = P[X ≤ x; Y ≤ y]. Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny je potom derivací distribuční funkce
ϕ ( x, y) =
∂ 2 Φ ( x, y ) . ∂x∂y
(7.8)
Obdobně jako jednorozměrné náhodné veličiny se i dvou a vícerozměrné veličiny popisují momentovými parametry a různými typy rozdělení. Kromě jednorozměrných momentů, které vedou k definici průměru mx a my a směrodatné odchylky s x a sy, se u dvourozměrných veličin uplatňují rovněž sdružené momenty obou veličin X a Y. Nejdůležitější je sdružený centrální moment prvního řádu sxy, který se nazývá kovariace a určí se jako
67
σ xy2 = ∫ ϕ ( x, y )( x − µ x )( y − µ y )dxdy s xy2 =
případně výběrová kovariace se určí jako
1 ∑ ( xi − mx )( yi − my ) n −1
(7.9)
Na základě kovariace se definuje korelační koeficient, případně výběrový korelační koeficient jako
ρ xy =
σ xy σ xσ y
s xy
; rxy =
(7.10)
sx s y
Výběrový korelační koeficient lze dle [45] odhadnout též pomocí vztahu
n ∑ xi yi − ∑ xi ∑ y i
rxy =
i
n ∑ (xi )
2
i
− ∑ xi i
i
2
i
n ∑ ( yi )
2
i
− ∑ yi i
2
(7.xx)
Výběrový korelační koeficient se často používá k numerickému vyjádření vzájemné lineární závislosti mezi veličinami X a Y a vždy nabývá hodnot z intervalu <–1,+1>. Rovná-li se jeho hodnota –1 nebo +1, znamená to, že mezi X a Y je přesná lineární závislost. Jsou-li veličiny nezávislé, je korelační koeficient roven 0. Stavební konstrukce a systémy jsou zpravidla popsány řadou základních náhodných veličin X1 , X2…X n a funkční závislost mezi těmito základními veličinami a veličinou hledanou zapíšeme symbolicky ve tvaru
F = f(X) = f(x1, x2…xn)
(7.11)
Přesné vyjádření takové funkce je možné jen v některých jednodušších případech (viz např. vztah 7.17). V obecném případě je však nutné aplikovat různé numerické metody, přibližné analytické metody nebo metody simulační. Přesným analytickým řešením různých typů funkcí náhodných proměnných se zabývá například publikace [41]. Při zanedbání členů vyššího řádu Taylorova rozvoje lze přibližnou analýzou momentů druhého řádu pro průměrnou hodnotu mF a směrodatnou odchylku sF normálně rozdělené veličiny F stanovit obecnou funkční závislost
µ F = f (µ x1 , µ x 2 ...µ xn ) ∂F σ F = ∑ σ xi i =1 ∂xi n
(7.12)
2
(7.13)
Takto stanovené hodnoty průměrných hodnot a směrodatných odchylek mohou být v řadě případů zcela dostačující a především v případě relativně malých směrodatných odchylek jednotlivých veličin budou vykazovat jen nepatrné chyby.
7.2.2. Citlivostní analýza a statistická závislost Při studiu chování složitějších systémů symbolicky popsaných funkční závislostí (7.11) nás velmi často zajímá, jaký vliv mají jednotlivé vstupní náhodné veličiny X1 , X 2…Xn na výsledek F. Jednou z možností, jak tento vliv vystihnout, je výpočet parciálních variačních koeficientů vFi funkce F pro proměnnou xi za předpokladu, že ostatní veličiny se ustálí na středních hodnotách. Příslušné citlivostní koeficienty získáme jako podíl parciálních variačních koeficientů a celkového variačního koeficientu vF funkce F, tedy
68
CK =
v Fi σ Fi ≅ vF σ F
[-]
(7.14)
Při simulačních metodách nebo v případech, kdy nemáme k dispozici hodnoty realizací náhodných proměnných, ale známe jejich pořadí, nebo pokud náhodné veličiny nemají stejné rozdělení, se pro hodnocení statistické závislosti používá Spearmanův koeficient pořadové korelace
6∑ (d ij(α ) ) n
R ( xi , x j ) = 1 −
2
α =1
(7.15)
n(n − 1)(n + 1)
v němž dij(a) je rozdíl pořadí prvků v uspořádaných souborech a n je rozsah statistických souborů xi a xj. Přitom R(xi,xj) nabývá hodnot z intervalu <–1,+1>. Hledá-li se tedy závislost mezi určitou vstupní veličinou xi a výslednou funkcí F, odpovídají veličině xj právě funkční hodnoty funkce F. Pro velké soubory náhodných veličin se tento koeficient přibližně rovná korelačnímu koeficientu. Poznamenejme, že některé typy vstupních veličin jsou svou podstatou zcela nezávislé, některé se ovšem navzájem dokáží určitou měrou ovlivňovat a říkáme o nich potom, že jsou statisticky závislé. Míra závislosti se určuje také pomocí korelačních či Spearmanových koeficientů. V případě, že máme náhodný výběr více než dvou náhodných veličin, je korelace mezi nimi vyjádřena tzv. korelační maticí K, která je čtvercová, symetrická a na hlavní diagonále má jedničky. Jsou-li vstupní veličiny navzájem zcela lineárně nezávislé, je korelační matice K jednotková. V praktických úlohách je možno mezi náhodnými veličinami uvažovat i závislosti velmi složité, viz například [42]. Takové statistické závislosti mezi vstupními veličinami mohou v některých případech značně ovlivnit výsledek a experimentálním výzkumem by proto měly být tyto závislosti pečlivě zkoumány.
7.3. Základy teorie spolehlivosti Konstrukce musí být navržena tak, aby po dobu předpokládané životnosti s příslušným stupněm bezpečnosti a hospodárnosti vyhověla požadovanému účelu a odolala všem zatížením při provádění a provozu. Obecně může být přijata rozdílná úroveň spolehlivosti pro únosnost a použitelnost. Jako ukazatel spolehlivosti se uvádí pravděpodobnost poruchy pf a index spolehlivosti b. Stavební konstrukci považujeme za bezpečnou, pokud pravděpodobnost vzniku poruchy pf je nižší než referenční pravděpodobnost poruchy pd. Pro stavební konstrukce je nutné požadovat co největší vnitřní rezervu, tzn. aby pravděpodobnost vzniku poruchy byla číslo blízké nule a obvykle se referenční hodnota pravděpodobnosti poruchy pd a tomu odpovídající index spolehlivosti b uvažují dle následující tabulky 7.1.
Tab. 7.1. Referenční úrovně a jim příslušné pravděpodobnosti vzniku poruchy referenční pravděpodobnost poruchy - pd
index spolehlivosti - b
méně významé
0,000 500
3,29
běžné
0,000 072
3,80
velmi důležité
0,000 008
4,32
Konstrukce:
Základní úlohou teorie spolehlivosti stavebních konstrukcí je rozbor zdánlivě jednoduché podmínky mezi účinkem zatížení E a odolností konstrukce R ve tvaru nerovnosti E
69
proměnné, nelze platnost této podmínky zaručit absolutně a je nutné připustit, že s určitou malou pravděpodobností dojde k překročení meze porušení a porucha nastane. Základním cílem teorie spolehlivosti je stanovit pravděpodobnost porušení pf. Pro podmínku vyhovujícího stavu ve tvaru nerovnosti lze pravděpodobnost poruchy zapsat ve tvaru
p f = P( E > R)
[-]
(7.16)
Obrázek 7.1 ukazuje příklad rozdělení pravděpodobnosti účinku zatížení E a odolnosti R a jejich vzájemnou polohu. Hustoty pravděpodobnosti se na obrázku překrývají a je tedy zřejmé, že může dojít k současnému výskytu takových nepříznivých realizací e a r veličin E a R, že platí e>r a nastává porucha. Aby k takovému stavu došlo pouze s přijatelně malou pravděpodobností pf, musí být v závislosti na typech rozdělení splněny určité podmínky o vzájemné poloze a rozptýlení veličin E a R. Jednou z takových podmínek je nerovnost mE<mR, která je například na obrázku 7.1 splněna. Tato podmínka však není dostačující.
Obr. 7.1 Účinek zatížení E a odolnost R jako náhodné veličiny
Za předpokladu normálního rozdělení veličin E a R se stanoví tzv. rezerva spolehlivosti G jako rozdíl veličin E a R a má též normální rozdělení s parametry mG a sG:
G = R − E;
µ G = µ R − µ E ; σ G2 = σ R2 + σ E2
(7.17)
Pravděpodobnost poruchy lze potom modifikovat na tvar
p f = P( E > R) = P(G < 0) = Φ G (0) = Φ G ( β )
[-]
(7.18)
kde b je index spolehlivosti funkce G a v podstatě značí vzdálenost průměru mG rezervy spolehlivosti od počátku, vyjádřenou v jednotkách směrodatné odchylky sG. Obecně je index spolehlivosti definován jako
β = −Φ u−1 ( p f ) kde
[-]
(7.19)
Φ u−1 ( p f ) označuje inverzní distribuční funkci normálního rozdělení. Takto formálně definovaný
index spolehlivosti je dnes všeobecně používanou mírou spolehlivosti konstrukcí.
70
7.3.1. Nejistoty Průmyslové podlahy se ve všech stádiích návrhu, provádění a působení střetávají s významnými nejistotami a lze rozlišovat několik základních skupin nejistot: -
přirozené náhodnosti zatížení, vlastností materiálů a geometrických veličin
-
statistické nejistoty v důsledku omezeného rozsahu dostupných dat
-
nejistoty výpočetních modelů způsobené zjednodušením skutečných podmínek
-
hrubé chyby zapříčiněné člověkem.
Přirozené náhodnosti a statistické nejistoty vstupních dat nelze odstranit, lze je však poměrně snadno popsat dostupnými prostředky teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky. Problémem je nedostatek věrohodných experimentálních údajů na jejichž základě by bylo možné tyto nejistoty popsat. Nejistoty výpočetních modelů lze do jisté míry stanovit na základě teoretického a experimentálního výzkumu. Při volbě modelu by prioritou měla být volba co nejpřesnějšího dosažitelného výpočtového modelu. Postupy založené na metodě konečných prvků v řadě případů vedou k řešení rozsáhlých systémů rovnic, a proto nemusí být cena strojového času zanedbatelná, nevýhodou může být i pracnost přípravy vstupních dat a přípravy modelu. Jedním výpočtem pak získáme pouze jeden specifický výsledek pro daný problém a nikoliv obecné řešení. Přestože při narůstající výkonnosti počítačů a preprocesorů se tyto problémy zmenšují, je někdy výhodné využít jednodušší řešení, pokud existuje. Pak je možné provádět rozsáhlé parametrické či statistické studie. Nejméně teoretických prostředků je k dispozici pro popis a analýzu hrubých chyb, které jsou však při vzniku poruchy často rozhodujícím faktorem. Účinným prostředkem pro omezení hrubých chyb může být systém řízení jakosti včetně metod statistické přejímky. Jedna z aplikací těchto metod je naznačena například v kapitole 5.2 týkající se kontroly rovinnosti a vodorovnosti povrchu podlah.
7.3.2. Stochastický model Stochastický model je výpočtový model zahrnující pokud možno veškeré možnosti dané deterministickým modelem a přitom respektující náhodnou proměnnost jednotlivých vstupních veličin. Používá se ve třech základních oblastech analýzy konstrukcí, ve statistické, pravděpodobnostní a citlivostní analýze. Tyto souhrnně nazýváme jako spolehlivostní analýza výpočetních modelů. Účelem statistické analýzy je získání statistických parametrů charakterizujících náhodné chování konstrukce (například náhodné chování průhybů, napětí, šířky trhlin atd.). Patří sem nejen získávání odhadů středních hodnot, směrodatných odchylek, variačních koeficientů, šikmosti, špičatosti (viz kapitola 7.2), minimálních a maximálních hodnot v souboru, ale i odhad vhodného typu rozdělení pro popis náhodného jevu. Cílem
pravděpodobnostní
analýzy
je
kvantifikace
spolehlivosti
konstrukce
prostřednictvím
pravděpodobnosti splnění či nesplnění určité podmínky. Účelem citlivostní analýzy je posoudit relativní citlivost náhodné proměnlivosti sledovaného jevu na náhodné proměnlivosti jednotlivých vstupních veličin. Jinými slovy, jak náhodná proměnlivost určité vstupní veličiny ovlivňuje (v porovnání s ostatními) náhodnou proměnlivost sledovaného chování konstrukce (viz kapitola 7.2.2). Důležitou skupinou metod umožňujících analýzu stochastického chování jsou simulační metody.
71
7.4. Simulační metody Simulační metody se používají jak v případech, kdy závislost mezi vstupními veličinami a sledovaným výstupem není explicitně vyjádřitelná a je zprostředkována algoritmem realizovaným na počítači, tak i v případech složitějších, explicitně vyjádřitelných vztahů. Předpokládejme, že závislost náhodných vstupních veličin qij = q1 j , q2 j ...qkj , kde k je počet vstupních veličin, je dána vztahem:
F = f (qij ) ;
(7.20)
kde operátor f( . ) představuje libovolný deterministický výpočtový model buď ve tvaru počítačového algoritmu a nebo ve tvaru matematicky uzavřených vztahů. Podstatou simulačních metod je opakované vyčíslení tohoto vztahu pro N různých realizací vstupních veličin, jejichž prvky splňují určité podmínky. Výsledkem numerické simulace je statistický soubor výsledných dat f = (f1, f2…fN), který dále slouží jako podklad pro statistickou, pravděpodobnostní a citlivostní analýzu. V případě složitých výpočetních modelů je třeba, aby počet simulací N byl při zachování dostatečné přesnosti výsledků co nejmenší. Jednotlivé realizace vstupních veličin je pak nutno vybírat zvláště opatrně. A právě v tom se jednotlivé simulační metody navzájem odlišují. Nejuniverzálnější, časově však nejnáročnější je metoda Monte Carlo (MC). Je použitelná jak pro analýzu pravděpodobnosti poruchy, tak i pro určení statistických parametrů (střední hodnoty, směrodatné odchylky atd.) hledané závislosti. Především pro určení pravděpodobnosti poruchy konstrukce jsou určeny aproximační metody FORM a SORM, dále pak i vylepšené simulační metody MC, např. IS nebo AS. Naopak pro statistickou a citlivostní analýzu složitých, časově náročných problémů se hodí metoda LHS případně ULHS. Pokud je to možné, je vhodné dát přednost kvalitnější metodě ULHS před LHS. Je-li vzhledem ke složitosti problému nutné metodami LHS a ULHS provést i pravděpodobnostní analýzu poruchy konstrukce, nedoporučuje se vyčíslovat přímo pravděpodobnost poruchy, ale použít pro kvantifikaci spolehlivosti index spolehlivosti b daný přibližným vztahem
β=
mF − f lim ; sF
[-]
(7.21)
kde mF a sF jsou střední hodnota respektive směrodatná odchylka získané s vysokou přesností a spolehlivostí ze statistické analýzy a flim je daná mez, pravděpodobnost jejíhož překročení či podkročení určujeme. Odhad příslušné pravděpodobnosti poruchy je poté možné získat ze vztahu 7.18.
7.4.1. Metoda Monte Carlo (MC) Metoda MC je experimentální numerická metoda, která řeší danou úlohu experimentováním se stochastickým
modelem,
v němž
se
využívá
vzájemného
vztahu
mezi
hledanými
veličinami
a
pravděpodobnostmi, se kterými nastanou určité jevy. Metodou MC se řeší například některé soustavy lineárních rovnic, výpočty vícerozměrných integrálů, funkcionální rovnice apod. Chyba metody je úměrná výrazu (D/N)1/2, kde D je jistá konstanta a N je počet simulovaných pokusů. V technické praxi se při řešení problémů často realizuje velké množství simulací. Například pro zjištění statistických parametrů funkčních hodnot stochastických modelů jsou potřeba řádově tisíce simulací. Pokud však chceme přímou metodu MC použít k odhadu pravděpodobnosti vzniku poruchy, která je obvykle velmi malá (viz. tabulka 7.1), musíme provádět velké množství simulací, řádově statisíce až milióny.
72
Metoda je založena na náhodném výběru vstupních veličin qij podle typu jejich rozdělení tak, že pravděpodobnost jednotlivých realizací musí být stejná. Generace vstupních hodnot se provádí pomocí generátorů pseudonáhodných čísel a uplatňuje se varianta rovnoměrného rozdělení pseudonáhodných čísel na intervalu 0,1 . Pro každý náhodně vybraný vzorek qijk je spočtena odezva Fk a se souborem všech realizací odezvy Fk lze potom operovat jako s jakýmkoliv souborem dat, tedy vyhodnotit statistické parametry, provést citlivostní analýzu a případně vyhodnotit typ rozdělení.
7.4.2. Metoda Latin Hypercube Sampling (LHS) Metoda LHS poskytuje ve srovnání s jednoduchou metodou MC velmi dobré odhady střední hodnoty, směrodatné odchylky, šikmosti a špičatosti distribuční funkce při mnohem menším počtu simulací. Výpočet konkrétní realizace vektoru vstupních veličin qij; kde j=1…N a N je počet simulací, je založen na následující strategii [43]. Mějme realizaci vektoru náhodných vstupních veličin qij = q1 j , q2 j ...qkj , kde k je počet vstupních veličin. Označíme-li hodnotu odezvy jako F, můžeme zapsat F=f(qij), kde význam operátoru f( . ) je stejný jako ve vztahu 7.20.
Obr. 7.2 Schéma výběru vstupních veličin metodou LHS Uvažujme distribuční funkci F(qi ) libovolné náhodné vstupní veličiny. Rozdělíme interval platnosti distribuční funkce Φ( qi ) ∈ 0,1 na N dílků na svislé ose. Potom dle obrázku 7.2. odpovídá hodnotě distribuční funkce v polovině j-té vrstvy hodnota qij náhodné veličiny qi. Dále vygenerujeme N pseudonáhodných čísel z intervalu 0,1 a každé j-té vrstvě tak přísluší jedno vygenerované pseudonáhodné číslo. Seřazením těchto čísel podle velikosti určíme požadovanou permutaci čísel 1,2…N. Protože středu každé vrstvy odpovídá konkrétní hodnota na vodorovné ose qi, vygenerovali jsme také N konkrétních realizací náhodné veličiny qi. Opakováním postupu u ostatních náhodných veličin dostaneme N konkrétních realizací vstupních veličin. N-krát opakovaným řešením vztahu 7.20 dostáváme podobně jako u metody MC výstupní statistický soubor konkrétních realizací výstupní náhodné veličiny F, u kterého lze dále vyhodnotit střední hodnoty,
73
směrodatné odchylky či další statistické momenty. S využitím např. Pearsonova testu dobré shody lze zvolit vhodnou aproximační funkci rozdělení pravděpodobnosti veličiny F a stanovit odhad teoretické pravděpodobnosti poruchy dle vztahu 7.21.
7.4.3. Metoda Updated Latin Hypercube Sampling (ULHS) Zdokonalenou variantou metody LHS je metoda ULHS, viz např. [44]. Zlepšení spočívá v minimalizaci nechtěné statistické závislosti mezi vstupními náhodnými veličinami. Pro každou vstupní veličinu qj; j=1…N se generuje N náhodných čísel R k(1), … Rk(N) rovnoměrně rozdělených na intervalu 0,1 . Pořadí n-té hledané vrstvy se určí jako počet všech čísel Rk(j) < R k(n) zvětšených o jedničku. Tak se vytvoří následující přiřazení: náhodná čísla:
Rk(1), … Rk(N)
pořadí:
ck(1), … ck(N) pro k=1,2…N
Soustava přirozených čísel ck(1), … ck(N) tvoří náhodnou permutaci, podle níž se v jednotlivých bězích (výpočtech, simulacích) vybírají realizace prvků q j tak, že k číslu vrstvy ck(n) se najde podle obr. 7.2. hodnota qi,j. Pro lepší orientaci slouží tabulka 7.2. náhodných permutací.
Tab. 7.2. Tabulka náhodných permutací simulace č.
q1
1
c1
(1)
2
c1
(2)
n
c1(n)
N
c1
(N)
q2 c2
(1)
c2
(2)
náhodná veličina: qi qj
c2(n) c2
ci
(1)
ci
(2)
ci(n)
(N)
ci
(N)
qK
cj
(1)
ck
(1)
cj
(2)
ck
(2)
cj(n) cj
(N)
ck(n) ck
(N)
Předpokládáme-li, že jednotlivé vstupní veličiny jsou navzájem nezávislé, musí být nezávislé i statistické soubory tvořící sloupce v tabulce 7.2. Zda tabulka skutečně splňuje předpoklady statistické nezávislosti, se můžeme přesvědčit např. pomocí Spearmanových koeficientů pořadové korelace. Pokud je koeficient korelace mezi jednotlivými sloupci menší než předem zadaná dostatečně malá hodnota e max (tj. korelační matice T příslušná k tabulce 7.2. musí být za předpokladu statistické nezávislosti dostatečně blízká jednotkové matici), tabulka je přijata. V opačném případě se generuje nová tabulka a postup se opakuje. Pro potřeby této práce byl vytvořen jednoduchý program v systému FAMULUS, jehož zdrojový kód je uveden v příloze 2 této práce. Program generuje právě takovou tabulku náhodných permutací přirozených čísel 1,2…N, jak je popsáno v předchozím odstavci. V radě případů je mezi vstupními veličinami zřetelná statistická závislost (např. mezi pevností a tuhostí materiálu). V bezrozměrném tvaru se tato závislost zadává pomocí korelační matice R příslušné k vektoru vstupních veličin qi,j. Stejnou korelační matici by potom měl mít i vektor c={c1,c2…cN}, jehož prvky jsou reprezentovány statistickými soubory ck(n) uvedenými po sloupcích v tabulce 7.2. Při náhodném generování bude korelační matice T příslušná k tabulce odlišná od zadané matice R a tabulku je proto třeba modifikovat.
74
Pouhé opakování náhodné generace celé tabulky a následné ověřování, zda nově vygenerovaná tabulka není dostačující, je velmi zdlouhavé a neefektivní. Proto se doporučuje tabulku přetransformovat na matici H s prvky
c (n) hk( n ) = G −1 k ; N + 1
[-]
(7.22)
kde G je distribuční funkce standardního normálního rozdělení. Matice H má stejné pořadí prvků jako tabulka, je však určeno jen velikostí číselných hodnot. Tabulka i matice H tudíž mají i stejnou korelační matici. Využije-li se rozkladu zadané korelační matice R a aktuální matice korelačních koeficientů T na součin T
R = B.B
T
-T
T = Q.Q ;
kde B i Q jsou dolní trojúhelníkové matice, potom transformace H*=H.Q
povede
k přibližně jednotkové korelační matici a následná transformace T
-T
T
H**=H*.B =H.Q .B ;
[-]
(7.23)
poskytne matici, jejíž korelační matice bude blízká zadané matici R. Postup lze opakovat, až je dosaženo uspokojivého výsledku. Nakonec se vyjádří pořadí v tabulce 7.2. pomocí přirozených čísel. Tento postup lze využít jak k odstranění nežádoucích závislostí mezi vstupními veličinami, tak i k nastavení velikosti případných závislostí. 7.5. Řešený ilustrativní příklad Ve skladové hale je požadována průmyslová betonová podlaha uložená přímo na podloží. Základní modulový systém sloupů haly je navržen v rastru 6,0x10,0m a předpokládá se, že hala bude klimatizována. Ekonomickou analýzou různých materiálových variant byla jako nejvýhodnější zvolena podlaha železobetonová. Velikost jednotlivých smršťovacích celků podlahy je navržena 6,0x10,0m a tloušťka podlahy h=200mm. Výpočtový model lze idealizovat jako výsek podlahy šířky 1,0m a délky 10,0m (obr. 7.3).
Obr. 7.3 Výpočtové schéma konstrukce
Analýzou vnitřního uspořádání haly bylo stanoveno zatížení charakteristického smršťovacího celku podlahy. Ve vzdálenosti 2,5m od levého okraje působí plošné pásové zatížení maximální intenzity qmax=40kN/m´, šířky 1,5m a reprezentující např. dvě řady palet se zbožím. Ve vzdálenosti 2,5m a 4,0m od
75
pravého okraje působí břemena reprezentující např. linii stojek regálových stojanů. Jejich maximální velikost dosahuje hodnoty Fmax =50kN a minimální hodnoty Fmin =10kN. Z hlediska nahodilosti těchto zatížení lze uvažovat, že jakákoliv hodnota z intervalu
´ 0;40,0 kN/m pro q a
10,0;50,0 kN pro F má stejnou
pravděpodobnost výskytu. Jedná se tedy o veličiny s obdélníkovým rovnoměrným rozdělením hustoty pravděpodobnosti. Kromě užitných zatížení je podlaha dále zatížena vlastní tíhou a nerovnoměrnou změnou teploty. Jelikož bude hala klimatizována, budou se v průběhu užívání haly měnit teploty horního povrchu podlahy jen málo, pro výpočet se uvažuje normální rozdělení se směrodatnou odchylkou 5°C. K dalším parametrům vstupujícím do výpočtu patří modul pružnosti betonu E c, tloušťka podlahové desky h a modul reakce podloží k. Modul pružnosti betonu včetně jeho směrodatné odchylky lze stanovit z norem a pro beton s krychelnou pevností 30MPa je střední hodnota modulu pružnosti rovna 30GPa a příslušná směrodatná odchylka je 1,5GPa. Určení typu rozdělení a směrodatné odchylky pro tloušťku podlahy a pro modul reakce podloží není nikterak snadné. Neexistuje totiž dostatek měřených dat, podle kterých by se na typ rozdělení a především rozptyl hodnot dalo usuzovat. Lze ale předpokládat, že „dostatečně správné“ bude normální rozdělení těchto veličin. Na směrodatnou odchylku tloušťky podlahy je možné hledět též jako na přesnost, se kterou musí být deska provedena. Z kapitoly 3.8 vyplývá, že u desky tloušťky 200mm by měla být přesnost provedení ±15mm. Při troše nadsázky lze tuto hodnotu považovat i za směrodatnou odchylku. Největší neznámou se velikost směrodatné odchylky modulu reakce podloží. Jelikož se jedná o běžné štěrkopískové podloží se střední hodnotou modulu reakce 30,0MPa/m a jelikož lze u charakteristiky podloží očekávat relativně velké rozdíly v kvalitě, je pro tento výpočet uvažován variační koeficient modulu reakce podloží o velikosti 0,2, tedy směrodatná odchylka 6,0MPa/m. Náhodné vstupní hodnoty uvažovaná v tomto příkladu jsou shrnuty v následující tabulce 7.3.
Tab. 7.3. Statistické parametry vstupních veličin Veličina
Modul pružnosti betonu C25/30 Tloušťka podlahové desky Modul reakce podloží Zatížení nerovn. změnou teploty Zatížení plošné, pásové Zatížení břemenem
symbol
Ec h k (T-T0) q F
jednotka
[GPa] [m] [MPa/m] [K,°C] 2 [kN/m ] [kN]
typ střední rozdělení hodnota m normální normální normální normální rectang. rectang.
30,00 0,20 30,00 0,00 20,00 30,00
směrodatná variační odchylka koeficient s w 1,50 0,015 6,00 5,00 11,55 11,55
0,050 0,075 0,200 0,577 0,385
Vlastní model a výpočet konstrukce je proveden programem FEAT98, který umožňuje postihnout nelineární chování podloží užitím iteračního postupu Newton-Raphsonovou metodou. Aby bylo možné sledovat chování okrajů podlahy i při nadzvedávání, musí být na styku podlahy s podložím vyloučeno tahové namáhání. Modul reakce podloží je proto roven hodnotě uvedené v tabulce 7.3. v případě deformace směrem dolů a je roven nule při nadzvednutí (obr. 7.4).
76
Obr. 7.4 Modul reakce podloží
Model podlahy je rozdělen celkem na 100 prvků délky 0,1m. Pro simulaci náhodného chování vstupních veličin je použita metoda ULHS a je nastavena tak, že počet provedených simulací N=10 je roven počtu vrstev metody ULHS.
7.5.1 Postup výpočtu konstrukce metodou ULHS Vlastní výpočet konstrukce lze rozdělit do několika kroků: 1) Určení požadovaných lineárních závislostí mezi vstupními veličinami pomocí korelační matice R vstupních veličin. V našem případě jsou všechny vstupní parametry nezávislé, proto je matice R jednotková (viz tab. 7.4). O nezávislosti plošného užitného zatížení a osamělých břemen by však mohla být vedena polemika, neboť určitou závislost by mezi nimi bylo možné zavést. Když se jedno z těchto zatížení bude blížit např. své minimální hodnotě, tzn. že hala je v této části zcela vyskladněna, bude nejspíše vyskladněna i o kousek vedle a i druhé z těchto zatížení se bude blížit minimální hodnotě. Avšak pravidlo to být nemusí a pro výpočet je tedy uvážena pouze jednotková korelační matice.
Tab. 7.4. Požadovaná korelační matice vstupních veličin R
NPE NPh NPk
NPE
NPh
NPk
NPT
NPq
NPF
1,000
0,000 1,000
0,000 0,000 1,000
0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 0,000
1,000
0,000 1,000
0,000 0,000 1,000
NPT NPq NPF
symetrie
2) Vygenerování náhodných permutací pro „zamíchání“ vstupních veličin do náhodného souboru. Generování je provedeno algoritmem popsaným v kapitole 7.4.3. V našem případě jsou pro 10 vrstev vstupních veličin metody ULHS a 6 náhodných veličin vygenerovány následující permutace (tab. 7.5).
Tab. 7.5. Náhodné permutace pořadí vstupních veličin
NPE
NPh
NPk
NPT
NPq
NPF
9
8
9
4
10
9
77
10 2 5 4 7 3 1 6 8
3 1 10 5 4 9 6 2 7
2 6 5 4 3 1 8 7 10
3 8 9 1 6 7 2 10 5
8 9 6 2 3 5 7 4 1
2 3 5 6 10 4 7 8 1
Příslušná matice Spearmanový koeficientů náhodných permutací má pro tento případ následující podobu (tab. 7.6).
Tab. 7.6. Matice Spearmanových koeficientů Matice Spearmanových koeficientů náhodných permutací vstupních veličin mimodiagonální prvky ~ 0, veličiny jsou skoro lineárně nezávislé:
NPE
NPE
NPh
NPk
NPT
NPq
NPF
1,000
0,006
0,067
-0,079
-0,018
-0,018
1,000
0,055
-0,055
-0,067
-0,006
1,000
-0,030
0,042
0,067
1,000
0,018
0,018
1,000
0,055
NPh NPk NPT NPq
symetrie
NPF
1,000
Je zřejmé, že všechny mimodiagonální prvky matice se svou hodnotou blíží k nule a tudíž jsou vygenerovány téměř nezávislé permutace.
3) Rozdělení vstupních hodnot podle pravděpodobnosti jejich výskytu do jednotlivých vrstev metody ULHS. V našem případě je vrstev N=10, střed první vrstvy má proto pravděpodobnost 0,5/N=0,5/10 a pravděpodobnost středů dalších vrstev se zvyšuje po 1/N=1/10.Dle typu rozdělení jsou potom ke každé pravděpodobnosti výskytu přiřazeny konkrétní realizace vstupních veličin. Tabulka náhodných permutací udává, v jakém pořadí jsou jednotlivé hodnoty zavedeny do výpočtu. Například hodnota modulu pružnosti Ec=27,5MPa bude použita v 9. simulaci, hodnota Ec=28,4MPa v 10. simulaci, hodnota h=0,175m v 8. simulaci atd (viz tab. 7.7). Tab. 7.7. Hodnoty vstupních veličin a jejich pořadí do výpočtu Počet simulací = počtu vrstev metody ULHS = N = 10 Pravděpodobnost Ecm NPE střední hodnoty [MPa]
h [m]
NPh
k NPk T - T0 NPT q NPq F NPF [MPa/m] [K-1] [kN/m2] [kN]
1
0,05
27,5
9
0,175
8
20,1
9
-8,22
4
2,0
10
12,0
9
2
0,15
28,4
10 0,184
3
23,8
2
-5,18
3
6,0
8
16,0
2
3
0,25
29,0
2
1
26,0
6
-3,37
8
10,0
9
20,0
3
0,190
78
4
0,35
29,4
5
0,194 10
27,7
5
-1,93
9
14,0
6
24,0
5
5
0,45
29,8
4
0,198
5
29,2
4
-0,63
1
18,0
2
28,0
6
6
0,55
30,2
7
0,202
4
30,8
3
0,63
6
22,0
3
32,0
10
7
0,65
30,6
3
0,206
9
32,3
1
1,93
7
26,0
5
36,0
4
8
0,75
31,0
1
0,210
6
34,0
8
3,37
2
30,0
7
40,0
7
9
0,85
31,6
6
0,216
2
36,2
7
5,18
10
34,0
4
44,0
8
10
0,95
32,5
8
0,225
7
39,9
10
8,22
5
38,0
1
48,0
1
NP - náhodná permutace jednotlivých veličin udávající, ve kterém běhu programu bude daná hodnota použita. 4) Setřídění vstupních veličin pro jednotlivé simulace (tab. 7.8).
Tab. 7.8. Hodnoty vstupních veličin setříděné pro jednotlivé simulace Simulace č. 1
Ecm [MPa] 31,0
h [m] 0,190
k [MPa/m] 32,3
T - T0 -1 [K ] -0,63
q 2 [kN/m ] 38,0
F [kN] 48,0
2
29,0
0,216
23,8
3,37
18,0
16,0
3
30,6
0,184
30,8
-5,18
22,0
20,0
4
29,8
0,202
29,2
-8,22
34,0
36,0
5
29,4
0,198
27,7
8,22
26,0
24,0
6
31,6
0,210
26,0
0,63
14,0
28,0
7
30,2
0,225
36,2
1,93
30,0
40,0
8
32,5
0,175
34,0
-3,37
6,0
44,0
9
27,5
0,206
20,1
-1,93
10,0
12,0
10
28,4
0,194
39,9
5,18
2,0
32,0
5) Opakování výpočtu vždy s pozměněnými vstupními hodnotami a zápis sledovaných výsledků. V našem případě je sledován průběh ohybových momentů mk, napětí v krajních vláknech desky s, průhybů s a délky nadzvednutí okrajových částí desky L l a Lp. Výsledky jednotlivých výpočtů jsou zaznamenány v následující tabulce (tab. 7.9) a grafech (obr. 7.5 až 7.7).
Tab. 7.9. Výsledky jednotlivých simulací
Obr. 7.5 Průběhy ohybových momentů
Obr. 7.6 Průběhy pružných napětí v krajních vláknech
Obr. 7.7 Průběhy sedání
6) Výpočet korelačních koeficientů mezi jednotlivými vstupními veličinami a sledovanými výsledky. Například pro výpočet korelačního koeficientu mezi sednutím v bodě x=1,0m a modulem pružnosti betonu Ec se použijí hodnoty modulu pružnosti z 2. sloupce tabulky 7.8 a hodnoty výsledných sednutí bodu vzdáleného 1,0m od levého okraje desky uvedené v 1. sloupci následující tabulky. Ostatní korelační koeficienty se určí obdobně.
79
80
Příloha 1 – Podrobnější pohled na smršťování podlahových desek od vysýchání Důležitým činitelem ovlivňujícím namáhání betonové podlahy je její volná vlhkost. Vedle volné vlhkosti je v betonu též vlhkost chemicky vázaná, která se však na objemových změnách nepodílí. Přibližně lze uvažovat, že dvě pětiny celkového obsahu vlhkosti v betonu tvoří vlhkost vázaná a zbytek tvoří vlhkost volná H. Po vybetonování podlahy je vlhkost betonu H = 100% ve všech místech konstrukce. Postupně však v místech kontaktu konstrukce s ovzduším dochází k vysýchání a vyrovnávání vlhkosti konstrukce a vzduchu. Tento proces je výrazně nelineární a dlouhodobý. Časový průběh vlhkosti v betonu lze modelovat jako difúzní proces, který je popsán parciální diferenciální rovnicí
∂H ∂ ∂H = * C ( H , t ) ∂t ∂z ∂z
(P.1)
kde H je hledaná vlhkost v čase t a hloubce desky z. Difuzivita betonu C(H,t) je výrazně závislá na okamžité hodnotě vlhkosti a na čase. Časový průběh vysýchání betonových prvků a řešení jejich následné napjatosti lze modelovat pomocí numerického programu HUTEM. Podrobnější popis tohoto programu a teorie na níž je založen lze nalézt např. v [37].
Hydroizolace a smršťování podlahy od vysýchání Dále jsou uvedeny výsledky porovnávacího výpočtu časového průběhu vysýchání betonové nevyztužené desky tloušťky 150mm. V případě, že pod betonovou deskou je hydroizolační vrstva, nemůže docházet k volnému vysýchání na spodní straně a vlhkost ze spodní části desky uniká jako poslední. Na obr. P.1 je typický průběh nerovnoměrného vysýchání této betonové desky. Na počátku vysýchání byla vlhkost v celé tloušťce desky 100%, následně se vlhkost při horním povrchu během prvních 14 dnů lineárně snížila na hodnotu 60% a dále se předpokládalo stálé udržování této vlhkosti. Pevnost betonu v tahu byla uvažována hodnotou 3,0 MPa. Při smršťování horních vrstev desky dochází ke vzniku tahových napětí, která dosahují pevnosti betonu v tahu a k následnému vzniku trhlin. V konečných fázích postupného vysychání desky je již gradient vlhkosti u horního povrchu malý a deska se zde prakticky nesmršťuje. Naopak při spodním povrchu těsně nad izolací může ještě dojít k úbytkům vlhkosti a tedy i ke smrštění. Nastává tedy opačný proces nežli na počátku vysychání, okraje desky se ohýbají zpět dolů a tahová napětí se přemísťují do spodních vrstev podlahové desky. Typický průběh napětí v čase po tloušťce desky způsobený smršťováním od vysychání je znázorněn na obr. P.2. V místech, kde došlo k nadzvednutí okrajů a rohů desek, by mohla vlhkost omezeně unikat i při spodním povrchu. Proto v dalším případě byla uvažována deska uložená na podloží umožňujícím únik vlhkosti. Tento únik vlhkosti nebývá tak intenzívní jako při horním povrchu, dochází ale k současnému přetváření vrstev desky při horním i dolním povrchu a výsledná deformace podlahové desky jako celku se tedy oproti jednostrannému vysýchání sníží. Uvážíme-li stejný model desky jako v případě jednostranného vysýchání, ale s tím rozdílem, že se sníží i vlhkost na rozhraní desky a izolační fólie ze 100% na 80%, obdržíme časový vývoj vlhkosti znázorněný na obr. P.3. Tomuto průběhu vysýchání odpovídá časový průběh napětí znázorněný na obr. P.4. Je zřejmé, že v ranných fázích vysýchání vznikají při obou površích desky tahová napětí, která jsou kompenzována tlakovým napětím ve středu desky. Po uplynutí 14 dnů již deska při površích nevysýchá a
81
vysýchá potom pouze uprostřed. Tahová namáhání se postupně přemísťují do středu desky a při obou površích začínají vznikat tlaková napětí. Poznamenejme, že tahové napětí vznikající ve středu desky je poměrně malé a v našem případě nepřekračuje pevnost betonu v tahu. Existuje ještě jeden způsob izolování betonové podlahy a to zabráněním vysýchání při obou površích. V tom případě je pod podlahou umístěna hydroizolační vrstva a na povrch podlahy je aplikována vrstva vodonepropustného materiálu. Dojde tak k uzavření betonové desky, vysýchání prakticky neprobíhá a průběh tvrdnutí je velmi podobný průběhu tvrdnutí betonu umístěného pod vodou. Pokud je horní vrstva nepropustná, může někdy dojít ke vzniku „puchýřů“ v důsledku zabránění unikání vlhkosti z betonu.
Obr. P.1 Vysýchání desky tl. 150mm
Obr. P.2 Napětí od vysýchání
Obr. P.3 Vysýchání desky tl. 150mm
Obr. P.3 Napětí od vysýchání
82
Příloha 2 – Výpis programu pro generování náhodných permutací vstupních veličin pro ULHS Algoritmus pro generaci permutací posloupností náhodných čisel linearne zavislych dle pozadovane korelacni matice. Copy right Ing. Petr Žalský 9.11.2003 - - - - - - - - - proměnné‚, konstanty, procedury a funkce - - - - - - USES LINALG !...pouzita knihovna pro linearni algebru N=6 !...pocet nahodnych promennych I=10 !...pocet simulaci MOSKK=0.08 !...max. odchylka Spearmanova korelacniho !...koeficientu vuci pozadovanemu
PROCEDURE Choleski_Decomp(INT N,REAL A[,], VAR L[,]) !********************************************************************** !***Procedura vypocte dolní trujuhelnikovou matici L[,] ze symetricke** !***pozitivne definitni matice A[,] Choleskeho metodou odmocnin.******* !********************************************************************** INT r,s,i REAL suma1, suma2 BEGIN FOR r=1 TO N DO FOR s=1 TO N DO L[r,s]=0 END END FOR r=1 TO N DO suma1=0 FOR s=1 TO r-1 DO suma1=suma1+L[r,s]^2 END L[r,r]=(A[r,r]-suma1)^0.5 FOR i=r+1 TO N DO suma2=0 FOR s=1 TO r-1 DO suma2=suma2+L[r,s]*L[i,s] END L[i,r]=(A[i,r]-suma2)/L[r,r] L[r,i]=0 END END END
PROCEDURE TransMat(A[i=iMin TO iMax,j=jMin TO jMax], AT[ii=iiMin TO iiMax,jj=jjMin TO jjMax]) !************************************************************** !***Procedura provede transpozici matice A[i,j] na AT[j,i]***** !************************************************************** BEGIN FOR ALL i DO FOR ALL j DO AT[j,i]=A[i,j] END END END
FUNCTION Korelace(x[i=iMin TO iMax],y[]) !...funkce spocita soucinitel korelace vektoru x[] a y[] REAL a,b,c,d,e INTEGER N BEGIN N=iMax-iMin+1 a=0; b=0; c=0; d=0; e=0
83
FOR ALL i DO a=a+x[i]*y[i] b=b+x[i] c=c+y[i] d=d+x[i]*x[i] e=e+y[i]*y[i] END Korelace=(N*a-b*c)/(((N*d-b^2)^0.5)*((N*e-c^2)^0.5)) END
PROCEDURE Korel_Mat(M[i=iMin TO iMax,n=nMin TO nMax], KM[j=jMin TO jMax,k=kMin TO kMax]) !******************************************************************* !***Procedura vypocte ctvercovou matici soucinitelu korelace KM[,]** !***ze vstupni matice M[,], matice M[,] zustane beze zmeny.********* !******************************************************************* REAL X[i],Y[i] BEGIN FOR ALL j DO FOR ALL k DO FOR ALL i DO X[i]=M[i,j] Y[i]=M[i,k] END KM[k,j]=Korelace(X[],Y[]) END END END
FUNCTION SPEARMAN(INT I,x[],y[]) !...funkce vypocte Spearmanuv koef. poradove korelace vektoru x[] a y[] REAL SOUCET INTEGER F BEGIN SOUCET=0 FOR F=1 TO I DO SOUCET=SOUCET+(x[F]-y[F])*(x[F]-y[F]) END SPEARMAN=1-6*SOUCET/(I*(I-1)*(I+1)) END
PROCEDURE SPEARM_KOREL_MAT(VAR REAL SKM[,], INT N,I,M[,]) !********************************************************************** !***Procedura vypocte matici SKM[,] Spearmanovych koef. poradove******* !***korelace pro matici M[,]. M[,] zustava nezmenena.****************** !********************************************************************** INTEGER AA,BB,CC,X[1 TO I],Y[1 TO I] BEGIN FOR AA=1 TO N DO FOR BB=1 TO N DO FOR CC=1 TO I DO X[CC]=M[CC,AA] Y[CC]=M[CC,BB] END SKM[AA,BB]=SPEARMAN(I,X[],Y[]) END END END
84
PROCEDURE SORT(Pole[a=aMin TO aMax],INT Indexy[]) !************************************************************ !***Procedura do pole Indexy[] vlozi poradi prvku ulozenych** !***v poli Pole[]. Pole[] zustane beze zmeny.**************** !************************************************************ INT I,i,j,index BEGIN I=aMax-aMin+1 FOR i=1 TO I DO index=1 FOR j=1 TO I DO IF Pole[j]
PROCEDURE Cisla(VAR MT[i=iMin TO iMax,n=nMin TO nMax]) !****************************************************************** !***Procedura generuje vychozi matice MT[I,N] nahodnych cisel z**** !***intervalu (0,1).*********************************************** BEGIN FOR ALL i DO FOR ALL n DO MT[i,n]=rnd() END END END
PROCEDURE Pozadovana_Korel_Mat(K[i=iMin TO iMax,j=jMin TO jMax]) !...Procedura nastavi prvky pozadovane korelacni matice K[i,i] BEGIN !...nejprve se tvori jednotkova korelacni matice FOR ALL i DO FOR ALL j DO K[i,j]=0 END K[i,i]=1 END !...a dale se meni pozadovane mimodiagonalni prvky K[3,2]=0.5 K[2,3]=0.5 END
PROCEDURE Porovnej_Korel_Mat(MAX,K[i=iMin TO iMax,j=jMin TO jMax], KM[k=kMin TO kMax,l=lMin TO lMax], VAR BOOLEAN VYHOVUJE) REAL nejvetsi BEGIN nejvetsi=0 FOR ALL i DO FOR ALL j DO IF abs(K[i,j]-KM[i,j])>nejvetsi THEN nejvetsi=abs(K[i,j]-KM[i,j]) END END END IF nejvetsi>MAX THEN VYHOVUJE=FALSE ELSE VYHOVUJE=TRUE END END
PROCEDURE Porovnej_Spearm_Mat(VAR MAX,K[i=iMin TO iMax,j=jMin TO jMax], SKM[k=kMin TO kMax,l=lMin TO lMax]) REAL nejvetsi BEGIN nejvetsi=0 FOR ALL i DO FOR ALL j DO IF abs(K[i,j]-SKM[i,j])>nejvetsi THEN nejvetsi=abs(K[i,j]-SKM[i,j]) END
85
END END MAX=nejvetsi END
PROCEDURE Hledane_permutace(INT I,N, REAL MOSKK) !************************************************** !...Vykonna procedura hledajici vhodnou permutaci** !************************************************** !...deklarace promennych REAL MAX=0.01 !...maximalni odchylka od pozadovane korelacni matice REAL SKOROJEDNA=0.999 INT pocet,pocet1,ii,jj,index[1 TO I] INT MaxPocetCyklu=10000 BOOLEAN VYHOVUJE REAL MMM,NOVY REAL K[1 TO N,1 TO N] !...pozadovana korelacni matice REAL B[1 TO N,1 TO N] REAL TB[1 TO N,1 TO N] REAL Q[1 TO N,1 TO N] REAL IQ[1 TO N,1 TO N] REAL TIQ[1 TO N,1 TO N] REAL TM[1 TO I,1 TO N] !...matice nahodnych cisel REAL KM[1 TO N,1 TO N] !...korelacni matice REAL C1[1 TO I,1 TO N] REAL Pole[1 TO I] REAL SKM[1 TO N,1 TO N] !...Spearmanova korelacni matice INT Permutace[1 TO I,1 TO N],PermutaceV[1 TO I,1 TO N] BEGIN Pozadovana_Korel_Mat(K[,]) !...pozadovana korelacni matice K[,] WRITELN "Pozadovana korelacni matice K[N,N]:" WRITE TAB K[,]:6:3 WRITELN Choleski_Decomp(N,K[,],B[,]) !...dekompozice K[,] na dolni trojuh. B[,] TransMat(B[,],TB[,]) !...transpozice B[,] na horni trojuh. TB[,] MMM=1; pocet=0 LOOP pocet=pocet+1 Cisla(TM[,]) !...generuje matici nahodnych cisel VYHOVUJE=FALSE; pocet1=0 WHILE (VYHOVUJE=FALSE) AND 50>pocet1 DO pocet1=pocet1+1 Korel_Mat(TM[,],KM[,]) FOR ii=1 TO N DO FOR jj=ii+1 TO N DO IF abs(KM[jj,ii])>SKOROJEDNA THEN pocet1=pocet1+50 END END END Porovnej_Korel_Mat(MAX,K[,],KM[,],VYHOVUJE) IF (VYHOVUJE=TRUE) OR pocet1>50 THEN VYHOVUJE=TRUE !...Timto se ukonci cyklus WHILE protoze bud je dosazeno !...pozadovane presnosti korelacni matice nebo reseni !nekonverguje. ELSE Choleski_Decomp(N,KM[,],Q[,]) InvMat(Q[,],IQ[,]) TransMat(IQ[,],TIQ[,]) MultMat(TM[,],TIQ[,],C1[,])
86
MultMat(C1[,],TB[,],TM[,]) END END !...konec cyklu WHILE FOR ii=1 TO N DO FOR jj=1 TO I DO Pole[jj]=TM[jj,ii] END SORT(Pole[],index[]) FOR jj=1 TO I DO Permutace[jj,ii]=index[jj] END END SPEARM_KOREL_MAT(SKM[,],N,I,Permutace[,]) Porovnej_Spearm_Mat(NOVY,K[,],SKM[,]) IF MMM>NOVY THEN MMM=NOVY FOR ii=1 TO I DO FOR jj=1 TO N DO PermutaceV[ii,jj]=Permutace[ii,jj] END END END WRITELN MMM:8:4,pocet IF MOSKK>MMM OR pocet>MaxPocetCyklu THEN !... vypis vysledku na obrazovku WRITE MMM:8:4,pocet WRITE " PermutaceV[,]:" WRITE TAB PermutaceV[,]:3 SPEARM_KOREL_MAT(SKM[,],N,I,PermutaceV[,]) WRITE " Spearman SKM[,]:" WRITE TAB SKM[,]:7:3 EXIT END END !...konec cyklu LOOP END
!...telo programu BEGIN Hledane_permutace(I,N,MOSKK) END
87
