SPEKTROMETR 6.4.2.2. Optická mřížka. Optickou mřížkou nazýváme soustavu rovnoběžných štěrbin, oddělených neprů hlednými pruhy. Prakticky se mřížky zhotovují rytím rovnoběžných vrypů do povrchu skleněné desky, nebo do kovové vrstvy napařené na desku. Užívá se několika typů mřížek. Jsou to jednak mřížky rovinné, užívané buď na průchod, nebo na odraz, jednak tzv. Rowlandovy konkávní mřížky. Tyto hojně užívané mřížky jsou ryty na vnitřní stranu kulové plochy velkého poloměru (1-10 m). Užívá se jich na odraz tak, že jejich kulová plocha zastává zároveň funkci objektivu kolimátoru nebo komory (viz stať 6.4.3). Je-li štěrbina kolimátoru na obvodu tzv. Rowlandovy kružnice (Rowlandovou kružnicí nazýváme tečnou kružnici k mřížce, která má průměr rovný poloměru křivosti mřížky) je na jejím obvodu ostré spektrum. V této knize se budeme zabývat jen rovinnou mřížkou na průchod. Tento typ se totiž nejčastěji vyskytuje v přístrojích používaných ve fyzikálním praktiku. Podrobněji je o optických mříž kách pojednáno např. v [1]. Uvažujme rovinnou mřížku tvořenou řadou n štěrbin šířky b. Nechť se štěrbiny opakují s periodou a, zvanou konstanta mřížky (viz obr. 4,6).
Obr. 4,6. Průchod světla optickou mřížkou Nechť dopadá na mřížku svazek rovnoběžných paprsků monochromatického světla vlnové délky λ pod úhlem α. Budeme sledovat průběh intenzity tohoto svazku po průchodu mřížkou. Při řešení tohoto problému je nutno uvažovat dva jevy: ohybový jev vznikající při průchodu světla každou štěrbinou mřížky zvlášť a interfe renci svazků od všech štěrbin mřížky. Rozdělení intensity I1 po průchodu jednou štěrbinou mřížky podle obr. 4,6 je v závislosti na směru šíření, charakterizovaném úhlem β, dáno vztahem:
sin 2 u I1 = C1 2 u v němž:
u=
π b( sin α + sin β ) λ
a C1 je konstanta úměrnosti.
Výsledné rozdělení intensity I po průchodu mřížkou je dáno interferencí svazků, pocházejících od jednot livých štěrbin mřížky. Platí tu vztah:
sin 2 u sin 2 nz I =C⋅ 2 u sin 2 z ve kterém:
z=
π a ( sin α + sin β ) λ
(4,14)
a C je opět konstanta úměrnosti.
Obr. 4,7. Rozdělení intenzity monochromatického světla po průchodu ohybovou mřížkou Průběh intenzity podle rovnice (4,14) v závislosti na veličině z je kvalitativně znázorněn na obr. 4,7. Hlavní maxima intenzity odpovídají bodům z = kπ, kde k = 0, ±1, ±2,..., tj.:
kλ = a( sin α + sin β )
(4,15)
Podmínka (4,15) ovšem není nic jiného než podmínka pro vznik hlavního interferenčního maxima k-tého řádu, neboť jak je vidět z obr. 4,6 - je, ∆ = a(sin α. + sin β) dráhový rozdíl mezi svazky procházejícími sousedními štěrbinami. Skutečnost, že směr hlavních interferenčních maxim podle (4,16) závisí na vlnové délce, představuje disperzní schopnost optické mřížky. Dopadne-li totiž na mřížku svazek složeného světla, vzniknou při daném k maxima pro různé vlnové délky v různých směrech. Mluvíme pak o spektru k-tého řádu. U optické ohybové mřížky se užívá zpravidla spekter nízkého řádu. Jak je vidět z obr. 4,7, klesá za tohoto předpokladu s rostoucím řádem spektra intenzita světla. a) Úhlová disperze. Výraz pro úhlovou disperzi optické mřížky ce (4,15):
dβ k = dλ a cos β
dβ je možno získat přímo derivováním vzor dλ (4,16)
Vzorec (4,15) ukazuje zajímavý výsledek, že úhlová disperze mřížky nezávisí vůbec na celkovém počtu štěr bin n. Pro danou mřížkovou konstantu a a daný řád spektra k závisí úhlová disperse pouze na úhlu β. Vhodnou volbou úhlu dopadu β je možné podle vzorce (4,15) pro určitou vlnovou délku dosáhnout žádoucí velikosti disperse. Často se užívá uspořádání s malou hodnotou β. V tomto případě lze položit cos β =1, takže vzorec (4,16) bude mít tvar:
dβ k = dλ a
(4,17)
Disperze má tedy minimální hodnotu, zato však není vůbec závislá na vlnové délce. Tato okolnost výrazně od lišuje vlastnosti optické mřížky od vlastností hranolu. b) Disperzní oblast optické mřížky je omezena překrýváním spekter různých řádů. Pro diskusi této otázky vy
jdeme z rovnice (4,15). Pro spektra k-tého a k + 1 řádu platí vztahy:
( k + 1) λ = a( sin α + sin β k +1, λ ) kλ = a ( sin α + sin β k +1, λ )
(4,18)
v nichž α je úhel dopadu, βk+1, λ charakterizují směry ve spektrech k a k + 1 řádu, odpovídající vlnové délce λ. Odečtením rovnic (4,18) dostaneme rovnici:
sin β k +1, λ − sin β k , λ =
λ a
(4,19)
ze které lze při zvoleném βk ,λ určit úhlovou vzdálenost
β k +1, λ − β k , λ spekter k + 1 a k-tého řádu vlnové délky
λ. Na druhé straně, dopadá-li na mřížku pod úhlem α světlo složené z vlnových délek me-li
β k , λ1 , β k ,λ 2 úhly maxim k-tého řádu, můžeme podle (4,15) odvodit: sin β k , λ 2 − sin β k λ1 =
k ( λ2 − λ1 ) a
λ1 , λ2 ( λ1 〈λ2 ) a označí
(4,20)
Hledejme nyní podmínku pro to, aby spektrum k-tého řádu intervalu vlnových délek λ2 - λ1 nebylo překrýváno spektrem k + 1 řádu. V tomto případě musí platit:
β k , λ 2 − β k , λ1 ≤ β k + 1, λ 1 − β k , λ Použitím rovnic (4,19) a (4,20) dostaneme podmínku:
λ 2 − λ1 ≤
λ1 k
(4,21)
Z podmínky (4,21) plyne zajímavý výsledek. Dosadíme-li do této nerovnosti λ1 = 400 nm, λ2 = 800 nm, což odpovídá právě celé oblasti viditelného záření, vidíme, že podmínka (4,21) je splněna jen pro k = 1. Disperzní oblast libovolné mřížky může tedy obsáhnout celý obor viditelného záření jen pro spektrum prvého řádu. Spek trum druhého řádu je již částečně překryto spektrem řádu třetího. Všimneme si ještě vztahu (4,19), z něhož je vidět, že úhlová vzdálenost spekter sousedního řádu roste s klesa jící mřížkovou konstantou a. Tato okolnost je ovšem v souhlase s tím, že s klesající mřížkovou konstantou roste úhlová disperze - viz rovnici 4,16. Mřížková konstanta nemůže však klesat libovolně. Předpokládejme např., že světlo dopadá kolmo ke mřížce (tj. α = 0), a hledejme úhlovou vzdálenost spekter nultého a prvního řádu. Je likož je v tomto případě β = 0 pro všechny vlnové délky, může levá strana (4,19) nabývat nejvýše hodnoty 1 a úhel β1, λ hodnoty 90°. Celé spektrum 1. řádu se tedy vytvoří jen tehdy, bude-li pro všechny vlnové délky vyšet řované spektrální oblasti splněna podmínka
λ ≤ 1 . Speciálně, má-li mřížka vytvořit celé spektrum prvého řádu a
příslušející viditelné oblasti 400 až 800 nm, musí být a ≥ 8.10-4 mm. To znamená, že taková mřížka může mít nejvýše 1250 vrypů na milimetr. Prakticky se pro viditelnou oblast užívá mřížek s 300 až 1200 vrypy na mili metr. c) Rozlišovací schopnost. Uvažujeme optickou mřížku šířky s o počtu vrypů n a mřížkové konstantě a. Před pokládejme, že na ni dopadá dostatečně široký svazek rovnoběžných paprsků tak, aby byla využita celá její šířka. Pro minimální úhlovou vzdálenost, která může být mřížkou podle vztahu (4,8) rozlišena, plyne ze vzorce (4,16)
ϕ = dβ =
k δλ a cos β
(4,22)
Obr. 4,8. K výkladu rozlišovací schopnosti optické mřížky
Obr. 4,9. Uspořádání Michelsonovy stupňové mřížky
Podle obr. 4,8 je D = s cos β. Uvážíme-li dále, že platí s = na, a použijeme-li vztahů (4,8), (4,15) a (4,22), dostaneme pro rozlišovací schopnost R buď
R=
λ = kn dλ
( 4,23)
nebo také
R=
s ( cos α + cos β ) λ
(4,24)
Vzorec (4,24) dovoluje určit maximální teoretickou rozlišovací schopnost. Jelikož je vždy cos α + cos β ≤ 2, platí:
R ≤ Rmax = 2
s λ
(4,25)
Jak plyne z rovnic (4,23) až (4,25), je rozlišovací schopnost úměrná celkovému počtu vrypů, tj. šířce mřížky. Rytí mřížky představuje však technicky značně náročný úkol. V dnešní době se běžně zhotovují mřížky šířky do 50 mm s rozlišovací schopností do 60 000. V několika laboratořích na světě se zhotovují mřížky o šířce do 100 mm s rozlišovací schopností až 100 000. Mřížky s rozlišovací schopností do 150 000 je nutné považovat za unikátní. Mřížek s větší rozlišovací schopností se do dnešní doby podařilo zhotovit jen několik kusů. Rekordní hodnota rozlišovací schopnosti dosažená Michelsonem činí 600 000. 6.4.3. KONSTRUKCE SPEKTRÁLNÍCH PŘÍSTROJŮ Spektrální přístroje dělíme na několik kategorií. Rozeznáváme spektroskopy, spektrometry a spektrografy. První z nich jsou přístroje umožňující vizuální pozorování a kvalitativní vyhodnocování spektra. Spektroskopy opat řené kalibrovanou stupnicí a dovolující proměřovat pozorované spektrum se nazývají spektrometry. Konečně spektrografy nazýváme přístroje, které poskytují fotografický či jiný záznam spektra schopný kvantitativního vy hodnocování. Každý spektrální přístroj obsahuje kromě vlastní disperzní soustavy, která rozkládá zkoumané světlo, ještě zob razovací soustavu. Ta se skládá z objektivu kolimátoru a objektivu dalekohledu, respektive objektivu foto grafické komory. Každý spektrální přístroj pracuje tak, že světlo zkoumaného zdroje osvětluje štěrbinu kolimátoru. Objektiv koli mátoru vytvoří z rozbíhavého svazku, vycházejícího z osvětlené štěrbiny, svazek rovnoběžný, který pak dopadá na disperzní soustavu. Po průchodu disperzní soustavou vchází rozložené světlo do objektivu dalekohledu, popří padě fotografické komory, který vytvoří ve své ohniskové rovině obrazy štěrbiny příslušející jednotlivým vlnovým délkám. Toto spektrum se pak fotografuje, nebo pozoruje okulárem dalekohledu neakomodovaným okem. V této knize se budeme zabývat jen přístroji zařízenými pro vizuální pozorování spekter. U nich bývá zpravidla použito monokulárního Keplerova dalekohledu (viz čl. 6.3. 3.3). Okulár dalekohledu bývá opatřen buď nit kovým křížem nebo okulárním mikrometrem. V některých případech se používá Gaussova okuláru. Pokud jde o kolimátor, je vždy konstruován tak, že šířka štěrbiny je měnitelná pomocí mikrometrického šroubu. Rovněž její poloha ve směru osy kolimátoru bývá měnitelná. Některé přístroje jsou vybaveny pomocným hranolem, který je
možné přiklonit před štěrbinu kolimátoru. Pomocí tohoto hranolu lze do přístroje přivést ještě světlo od srovnávacího zdroje, takže obě spektra jsou pozorovatelná nad sebou. 6.4.3.1. Hranolový spektrometr. V tomto článku popíšeme jednak jednoduchá uspořádání spektrometru s troj bokým rovnostranným hranolem, jednak Hilgerův spektrometr po užívající hranolu Pellinova-Brocova. a) Spektrometr s trojbokým hranolem. Optická soustava takového přístroje v nejjednodušším uspořádání je znázorněna na obr. 4,14.
Obr. 4,14. Schéma hranolového spektroskopu Celý přístroj se montuje na pevném stativu. Hranol H a tubus kolimátoru K bývá pevný, přičemž poloha kolimá toru je volena tak, aby pro střed funkční oblasti byla splněna podmínka minimální odchylky; štěrbina S kolimáto ru musí být ovšem rovnoběžná s lámavou hranou hranolu. Naproti tomu tubus dalekohledu D bývá otočný ko lem svislé osy přístroje, aby bylo možno nastavit zorné pole na žádanou část spektra. Aby bylo možné použít přístroje k měření vlnových délek ve spektru, bývá velmi často zařízen jako goniometr. To znamená, že polohu dalekohledu lze odečítat na úhloměrné stupnici. Měří se pak tak, že zkoumané místo ve spektru, např. spektrální čára, se nastaví na střed nitkového kříže a odečte se poloha dalekohledu. Je-li provedena kalibrace, je pak možné z polohy dalekohledu určit příslušnou vlnovou délku. Kromě popsaného způsobu může me k proměřování spekter použít uspořádání podle obr. 4,15, představujícího spektrometr Kirchhoffova-Bun senova typu.
Obr. 4,15. Schéma Bunsenova-Kirchhoffova spektrometru Proti předchozímu spektrometru obsahuje tento přístroj navíc ještě jeden pomocný kolimátor K2, v jehož oh niskové rovině je umístěna malá průhledná stupnice M. Je-li tato stupnice osvětlena, pak se světelné paprsky z ní vycházející dostávají po odrazu na přední stěně hranolu do dalekohledu. Ostrý obraz této stupnice můžeme pak v zorném poli dalekohledu pozorovat současně se spektrem. I v tomto případě je zapotřebí před měřením stupnici oka1ibrovat. Před vlastním měřením je mimoto nutné spektrometr zjustovat. Justace přístroje spočívá v nastaveni dalekohledu na nekonečno a v nastavení štěrbiny kolimátoru do ohniskové roviny objektivu.
Nastavení dalekohledu na nekonečno se jednoduše provede buď zaostřením na vzdálený předmět nebo užitím Gaussova okuláru způsobem popsaným v čl. 6.3.3.3; jako odrazové plochy se užije jedné stěny hranolu. Pomocí takto nařízeného dalekohledu lze provést srovnání kolimátoru tím způsobem, že štěrbinu umístíme do té polohy, ve které je v dalekohledu vidět její nejostřejší obraz. Kalibraci provedeme nejjednodušeji pomoci známého zdroje čárového spektra; vhodná pro tento účel je rtuťová výbojka, jejíž spektrum obsahuje čáry z celé viditelné oblasti. b) Hilgerův spektrometr. Optická soustava Hilgerova spektrometru je schematicky zobrazena na obr. 4,16. Díky vlastnostem Pellinova-Brocova hranolu (viz čl. 6.4.2.1) může být tubus kolimátoru K i tubus dalekohledu D montován pevně tak, že jejich osy svírají úhel 90 °. Hranol je naopak otočný kolem svislé osy procházející bodem O.
Obr. 4,14. Schéma Hilgerova spektrometru
Pohyb hranolu se ovládá mikrometrickým šroubem a jeho polohu lze odečítat na stupnici M. V článku 6.4.2.1 bylo ukázáno, že při průchodu světla Pellinovým- Brocovým hranolem nastává odchýlení o 90° právě tehdy, je-li splněna podmínka minimální odchylky. Při určité poloze hranolu bude tedy procházet stře dem zorného pole dalekohledu jen světlo vlnové délky, pro kterou je splněna podmínka minimální odchylky. Na táčením hranolu lze pak volit žádanou spektrální oblast. Nastavení a kalibrace tohoto přístroje je stejná jako u spektrometru s trojbokým hranolem popisovaným v čl. 6.4.3.1a. 6.4.3.2. Mřížkový spektroskop. V moderních laboratorních spektrálních přístrojích se používá nejčastěji konkávních mřížek na odraz. Pro účely fyzikálního praktika je však nejvhodnější jednoduché uspořádání s rovinnou mřížkou na průchod. K schematickému znázornění optické soustavy takového přístroje může sloužit také obr. 4,14, budeme-li si na místě hranolu myslet rovinnou mřížku umístěnou tak, že její vrypy jsou rovnoběžné se štěrbinou kolimátoru.
Obr. 4,17. Rozložení mřížkových spekter různých řádů Rovněž konstrukční provedení spektroskopu je analogické. Tubus kolimátoru je pevně namontován na stativu, na kterém je stolek pro umístění mřížky. Podle povahy přístroje je stolek buď pevný, nebo otočný. Odečítání vlnových délek bývá podobně jako v předchozím případě řešeno dvěma způsoby. Při prvém způso bu bývá spektroskop budován jako goniometr. Dalekohled je pak otočný kolem svislé osy přístroje a jeho poloha se dá odečítat na úhloměrné stupnici s noniem. Okulár dalekohledu je vybaven nitkovým křížem. Měření se provádí tak, že žádané místo ve spektru (např. spektrální čára) se nastaví do středu nitkového kříže a na úhlo
měrné stupnici se odečte příslušný úhel β. Vlnová délka se pak počítá z rovnice (4,15), respektive (4,31). Při druhém způsobu je poloha dalekohledu i mřížky pevná. Zorné pole dalekohledu a směr jeho osy se volí tak, aby bylo možno pozorovat spektrum určitého řádu (zpravidla prvního) celé žádané oblasti. V ohniskové rovině ob jektivu je umístěna stupnice pro odečítání vlnových délek. V běžných případech se umisťuje mřížka kolmo k ose kolimátoru. Úhel dopadu α ve vztahu (4,15) je tedy ro ven nule a pro vznik maxima k-tého řádu platí rovnice:
a. sin β = kλ
(4,31)
Předpokládejme, že spektroskop je za podmínky α = 0 osvětlen bílým světlem. Spektrum vytvořené v tomto pří padě mřížkou je schematicky znázorněno na obr. 4,17. Ve středu zorného pole je světlý pruh, tzv. spektrum nul tého řádu odpovídající β = 0, k = 0, a od něho symetricky na obě strany jsou rozprostřena spektra I., II., III., ... řádu odpovídající k = 1, 2, 3,. . . V článku 6.4.2.2. bylo ukázáno, že s rostoucím řádem spektra vzrůstá úhlová disperze a rozlišovací schopnost mřížky. Na druhé straně se však zároveň zmenšuje disperzní oblast a jak plyne z teorie ohybu na optické mřížce (viz např. [8] § 320 nebo [3], odst. 64), klesá intenzita. Vzhledem k těmto okolnostem je nutné volit řád spektra podle konkrétních podmínek daného případu. Zaostření dalekohledu na nekonečno a nastavení správné polohy štěrbiny kolimátoru se provádí stejným způ sobem jako u hranolového přístroje (viz čl. 6.4.3.1). Kromě toho je však nutné u všech přístrojů, které nemají mřížku montovanou pevně, nastavit zvolený úhel dopadu α a zajistit, aby vrypy mřížky byly přesně rovnoběžné se štěrbinou kolimátoru. Mřížku lze nastavit velmi jednoduše, jestliže je dalekohled vybaven Gaussovým okulá rem (viz čl. 6.3.3.3). Jako odrazové plochy užijeme roviny mřížky. Dalekohled natočíme tak, aby jeho osa svírala s osou kolimátoru žádaný úhel α. Osvětlíme nitkový kříž okuláru a sledujeme jeho obraz vytvořený po odrazu na rovině mřížky. Stavěcími šrouby stolku uvedeme mřížku do takové polohy, ve které se tento obraz přesně kryje s nitkovým křížem. Tím je zajištěno, že rovina mřížky je přesně kolmá k ose dalekohledu. Nyní zbývá ještě natočit mřížku v její rovině tak, aby vrypy byly rovnoběžné se štěrbinou kolimátoru, a tedy i se svislou osou přístroje. Správnost tohoto nastavení kontrolujeme tak, že otáčíme stolkem mřížky a pozorujeme spektrum. Při otáčení se nesmí měnit výška obrazu štěrbiny v dalekohledu.
