ˇ Petr Sediv´ y
www.e-matematika.cz
ˇ Sediv´ a matematika
O FUNKC´ICH
Obsah Nezbytnˇe nutn´a kapitola, kterou mus´ıte zn´at pro studium limit, derivac´ı a integr´al˚ u. Z´aklad, bez kter´eho se neobejdete. Nejprve se sezn´am´ıte se vˇsemi typy funkc´ı, kter´e budete potˇrebovat, a kter´e je nutn´e zn´at, a tak´e s pojmy definiˇcn´ı obor funkce a obor hodnot funkce. Poznatky z t´eto kapitoly absolvent stˇredn´ı ˇskoly uˇz zˇrejmˇe zvl´ad´a, pˇresto doporuˇcuji u ´vodn´ı kapitolu peˇclivˇe proj´ıt a prostudovat.
Co mus´ıte umˇ et Nemus´ıte umˇet t´emˇeˇr nic, kromˇe sˇc´ıt´an´ı, odˇc´ıt´an´ı a dalˇs´ıch z´akladn´ıch dovednost´ı. Vˇse ostatn´ı v´as nauˇc´ım j´a.
1
ˇ Petr Sediv´ y
www.e-matematika.cz
ˇ Sediv´ a matematika
Co je to funkce V t´eto kapitole V´as chci sezn´amit se vˇsemi funkcemi, kter´e m˚ uˇzete ve sv´em matematick´em ˇzivotˇe potkat. Jedn´a se o funkce, kter´ ym se ˇr´ık´a element´arn´ı. Existuj´ı i jin´e, ale s tˇemi se (skoro jistˇe) nesetk´ate. Element´arn´ıch funkc´ı je nekoneˇcnˇe mnoho, takˇze popsat kaˇzdou zvl´aˇst’ je nemoˇzn´e. Zavedu syst´em (tˇr´ıdˇen´ı) funkc´ı do 4 pˇrihr´adek. T´ım se cel´a problematika funkc´ı velmi zpˇrehledn´ı. Nejprve si ale mus´ıme vysvˇetlit, co to funkce je. V odborn´e literatuˇre se doˇctete, ˇze funkce f je takov´e zobrazen´ı z mnoˇziny A do mnoˇziny B, kter´e kaˇzd´emu x z mnoˇziny A pˇriˇrad´ı jednoznaˇcnˇe (pr´avˇe jedno) y z mnoˇziny B. Tak je to spr´avnˇe, ale nˇekomu to nemus´ı b´ yt pˇr´ıliˇs srozumiteln´e. Funkci si pˇredstavujte jako ˇcernou skˇr´ıˇ nku do kter´e z jedn´e strany vhod´ıte ˇc´ıslo, a podle jist´eho n´avodu (pˇredpisu) vypadne z druh´e strany jin´e ˇc´ıslo. Pˇredpis je jednoznaˇcn´ y, ˇcern´a skˇr´ıˇ nka tedy nev´ah´a, nerozhoduje se jak´e ˇc´ıslo vyhod´ı, m´a jen jednu moˇznost.
Pˇ r´ıklad: f (x) = x2 + 1 Toto je funkce, kter´a vezme ˇc´ıslo x, vyn´asob´ı jej samo sebou a pˇriˇcte k nˇemu jedniˇcku. f (2) = 22 + 1 = 5 To je ta naˇse ˇcern´a skˇr´ıˇ nka, do kter´e hod´ıte ˇcislo 2, a n´aslednˇe vypadne ˇ ıslu 2 tedy pˇriˇrad´ıme ˇc´ıslo 5, funkˇcn´ı hodnota v bodˇe 2 je 5. ˇc´ıslo 5. C´ f (4) = 42 + 1 = 17 ˇ ıslu 4 tedy pˇriˇrad´ıme Kdyˇz hod´ıte do skˇr´ıˇ nky ˇc´ıslo 4, tak vypadne ˇc´ıslo 17. C´ ˇc´ıslo 17, funkˇcn´ı hodnota v bodˇe 4 je 17. f (−3) = (−3)2 + 1 = 10 Jestliˇze vhod´ıte ˇc´ıslo -3, vypadne ˇc´ıslo 10, funkˇcn´ı hodnota v bodˇe -3 je 10. 2
ˇ Petr Sediv´ y
www.e-matematika.cz
ˇ Sediv´ a matematika
Graf funkce Graf funkce je obr´azek, ze kter´eho m˚ uˇzete o funkci z´ıskat nˇejakou pˇredstavu, vid´ıte jej´ı vlastnosti a vyˇctete funkˇcn´ı hodnoty. Na vodorovn´e ose jsou hodnoty x, na svislou osu vyn´aˇs´ıme funkˇcn´ı hodnoty, f (x). Pˇ r´ıklad: f (x) = x2 + 1
Pozn´ amka:
Tato “klikatice” nem˚ uˇze b´ yt grafem ˇz´adn´e funkce, protoˇze bodu x = 4 bychom mohli pˇriˇradit minim´alnˇe tˇri hodnoty a my v´ıme, ˇze funkce mus´ı b´ yt jednoznaˇcn´a!
3
ˇ Petr Sediv´ y
www.e-matematika.cz
ˇ Sediv´ a matematika
Definiˇ cn´ı obor a obor hodnot Definiˇ cn´ı obor funkce je mnoˇzina vˇsech ˇc´ısel, kter´e do ˇcern´e skˇr´ıˇ nky m˚ uˇzeme vhodit, aniˇz by se porouchala. Definiˇcn´ı obor funkce f znaˇc´ıme Df .
Pˇ r´ıklad: f (x) = x2 + 1 Libovoln´e ˇc´ıslo mohu umocnit na druhou a pak pˇriˇc´ıst jedniˇcku, neexistuje tedy ˇz´adn´e ˇc´ıslo, kter´e bychom do skˇr´ıˇ nky nemohli vhodit. Df = R R je mnoˇzina vˇsech re´aln´ ych ˇc´ısel, nˇekdy tak´e p´ıˇseme m´ısto p´ısmene R interval (−∞, ∞)
Pˇ r´ıklad:
4 x−3 Tato funkce uˇz nen´ı tak sn´aˇsenliv´a. Nesm´ıme totiˇz dˇelit nulou! Proto x 6= 3, a Df = R \ {3}, nebo–li Df = (−∞, 3) ∪ (3, ∞). f (x) =
Pˇ r´ıklad:
3x − 2 − 6x + 8 I zde si mus´ıte d´at pozor, abyste nedˇelili nulou. Hled´ame proto takov´a x, pro kter´a plat´ı x2 − 6x + 8 = 0 a tato ˇc´ısla z definiˇcn´ıho oboru vylouˇc´ıme. f (x) =
x2
ˇ s´ıme tedy kvadratickou rovnici, coˇz jistˇe kaˇzd´ Reˇ y um´ı, ale pro jistotu pˇripom´ın´am: nejprve se spoˇc´ıt´a tzv. diskriminant D = b2 − 4ac . 4
ˇ Petr Sediv´ y
www.e-matematika.cz
ˇ Sediv´ a matematika
ˇ ısla a, b, c jsou ˇc´ısla z kvadratick´e rovnice (a je ˇc´ıslo u x2 , b je u x a c je to C´ zb´ yvaj´ıc´ı), tedy a = 1, b = −6, c = 8. D = (−6)2 − 4 · 1 · 8 = 36 − 32 = 4 . Koˇreny kvadratick´e rovnice (hledan´a x, pro kter´a x2 − 6x + 8 = 0) jsou
d´any vzoreˇckem x1,2 =
√ −b± D 2a
x1,2
.
√ 6± 4 6±2 = = , 2 2
8 4 6+2 6−2 = = 4, x2 = = = 2. 2 2 2 2 2 M˚ uˇzeme si udˇelat zkouˇsku. Pro g(x) = x − 6x + 8 m´ame x1 =
g(2) = 22 − 6 · 2 + 8 = 4 − 12 + 8 = 0 g(4) = 42 − 6 · 4 + 8 = 16 − 24 + 8 = 0.
ˇ ısla 2 a 4 tedy nem˚ C´ uˇzeme vhodit do ˇcern´e skˇr´ıˇ nky, protoˇze bychom dˇelili nulou. Proto plat´ı: Df = R \ {2; 4},
nebo–li Df = (−∞, 2) ∪ (2, 4) ∪ (4, ∞).
5
ˇ Petr Sediv´ y
www.e-matematika.cz
ˇ Sediv´ a matematika
Obor hodnot funkce je mnoˇzina vˇsech tˇech ˇc´ısel, kter´a z ˇcern´e skˇr´ıˇ nky vypadnou, kdyˇz tam nah´az´ıme cel´ y definiˇcn´ı obor. Obor hodnot funkce f znaˇc´ıme Hf .
Pˇ r´ıklad: Urˇci obor hodnot funkce f (x) = x2 + 1 Urˇcit obor hodnot je obecnˇe tˇeˇzk´e, mus´ıme totiˇz urˇcit nejmenˇs´ı a nejvˇetˇs´ı hodnotu, kter´a z ˇcern´e skˇr´ıˇ nky m˚ uˇze vypadnout. To se nauˇc´ıme aˇz v kapitole o vyuˇzit´ı derivac´ı a pr˚ ubˇehu funkce. V tomto pˇr´ıkladˇe to ale pozn´ame. uˇze nab´ yt, je nula. x2 je totiˇz vˇzdy kladn´e. Nejmenˇs´ı hodnota, kter´e m˚ 2 Proto nejmenˇs´ı ˇc´ıslo, kter´e z ˇcern´e skˇr´ıˇ nky s n´apisem x + 1 vypadne, je 1. ˇ ım vˇetˇs´ı ˇc´ıslo do skˇr´ıˇ Nejvˇetˇs´ı hodnota t´eto funkce neexistuje. C´ nky vhod´ıme, t´ım vˇetˇs´ı ˇc´ıslo vypadne. Hf =< 1, ∞) Pozn´ amka: Definice definiˇcn´ıho oboru a oboru hodnot maj´ı za c´ıl jedin´e - abyste je pochopili. V t´eto podobˇe je jistˇe v ˇz´adn´e uˇcebnici nenajdete. Slouˇz´ı hlavnˇe k vysvˇetlen´ı a pochopen´ı, a to i za cenu menˇs´ı pˇresnosti a korektnosti.
Posledn´ı, co bych chtˇel pˇred v´ yˇctem konkr´etn´ıch funkc´ı pˇripomenout, jsou nˇekter´e z´akladn´ı vlastnosti funkc´ı, kter´e m˚ uˇzeme vyˇsetˇrovat.
6
ˇ Petr Sediv´ y
www.e-matematika.cz
ˇ Sediv´ a matematika
Monotonie Prvn´ı z´akladn´ı vlastnost´ı je monotonie funkce. Monotoni´ı mysl´ıme ot´azku, zda je funkce rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı. Definice. O funkci ˇrekneme, ˇze je rostouc´ı na intervalu I, jestliˇze pro kaˇzd´a x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 plat´ı, ˇze tak´e f (x1 ) < f (x2 ). Vysvˇ etluj´ıc´ı douˇ ska: Pokud do funkce h´az´ıme vˇetˇs´ı a vˇetˇs´ı ˇc´ısla, tak vypad´avaj´ı vˇetˇs´ı a vˇetˇs´ı hodnoty. Pohybujeme–li se po grafu tak, jak je obvykl´e (tedy zleva doprava), pak graf m´ıˇr´ı poˇr´ad v´ yˇs a v´ yˇs (roste). Pˇ r´ıklad:
rostouc´ı funkce
7
ˇ Petr Sediv´ y
www.e-matematika.cz
ˇ Sediv´ a matematika
Definice. O funkci ˇrekneme, ˇze je klesaj´ıc´ı na intervalu I, jestliˇze pro kaˇzd´a x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 plat´ı, ˇze naopak f (x1 ) > f (x2 ). Vysvˇ etluj´ıc´ı douˇ ska: Pokud do funkce h´az´ıme vˇetˇs´ı a vˇetˇs´ı ˇc´ısla, tak vypad´avaj´ı menˇs´ı a menˇs´ı hodnoty. Pohybujeme–li se po grafu tak, jak je obvykl´e (zleva doprava), pak graf m´ıˇr´ı poˇr´ad n´ıˇz a n´ıˇz (kles´a). Pˇ r´ıklad:
klesaj´ıc´ı funkce
8
ˇ Petr Sediv´ y
www.e-matematika.cz
ˇ Sediv´ a matematika
Definice. O funkci ˇrekneme, ˇze je neklesaj´ıc´ı na intervalu I, jestliˇze pro kaˇzd´a x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 plat´ı, ˇze f (x1 ) ≤ f (x2 ). Vysvˇ etlen´ı: Funkce tedy nekles´a, ale nemus´ı r˚ ust!
Pˇ r´ıklad:
neklesaj´ıc´ı funkce - nen´ı ale rostouc´ı!
Definice. O funkci ˇrekneme, ˇze je nerostouc´ı na intervalu I, jestliˇze pro kaˇzd´a x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 plat´ı, ˇze f (x1 ) ≥ f (x2 ). Vysvˇ etlen´ı: Funkce tedy neroste, ale nemus´ı nutnˇe klesat!
Pˇ r´ıklad:
nerostouc´ı funkce - nen´ı ale klesaj´ıc´ı!
9
ˇ Petr Sediv´ y
www.e-matematika.cz
ˇ Sediv´ a matematika
Pozn´ amka:
- tato funkce je klesaj´ıc´ı na intervalech (−∞, 3) a (3, ∞) ale nen´ı klesaj´ıc´ı na intervalu (−∞, ∞)! 2 < 4 ale f (2) < f (4)
Pozn´ amka:
- tato funkce je klesaj´ıc´ı na intervalu (−∞, ∞), i kdyˇz na cel´em intervalu nen´ı spojit´a (“je pˇretrˇzen´a”) Pozn: Pˇresnou definici spojitosti naleznete v nˇekter´e z n´asleduj´ıc´ıch kapitol.
10
ˇ Petr Sediv´ y
www.e-matematika.cz
ˇ Sediv´ a matematika
Omezenost Definice. O funkci f ˇrekneme, ˇze je omezen´a zdola na intervalu I, jestliˇze existuje nˇejak´e ˇc´ıslo K takov´e, ˇze pro vˇsechna x ∈ I je f (x) ≥ K. Vysvˇ etlen´ı: Pˇredstavujeme–li si st´ale funkci jako ˇcernou skˇr´ıˇ nku, tak at’ do n´ı vhod´ıme cokoliv, vˇzdy vypadne ˇc´ıslo vˇetˇs´ı neˇz nˇejak´e K nebo rovn´e K. Nem˚ uˇze tedy vypadnout hodnota menˇs´ı.
Pˇ r´ıklad: Rozhodnˇete, zda je omezen´a funkce: f (x) = x2 + 1 Uˇz jsme si ˇr´ıkali, ˇze nejmenˇs´ı hodnota, kterou z t´eto funkce m˚ uˇzeme z´ıskat, je 1. Je tedy zdola omezen´a a K = 1. (jeˇstˇe ale tak´e m˚ uˇze b´ yt K = 0, nebo K = −1, K = −17, ... staˇc´ı ale, ˇze takov´e K existuje). Graf funkce vypad´a takto:
funkce omezen´a zdola
11
ˇ Petr Sediv´ y
www.e-matematika.cz
ˇ Sediv´ a matematika
Definice. O funkci f ˇrekneme, ˇze je omezen´a shora na intervalu I, jestliˇze existuje nˇejak´e ˇc´ıslo K takov´e, ˇze pro vˇsechna x ∈ I je f (x) ≤ K. Vysvˇ etlen´ı: Po vhozen´ı libovoln´eho ˇc´ısla do funkce, vˇzdy vypadne ˇc´ıslo menˇs´ı, neˇz nˇejak´e K nebo rovn´e K. Nem˚ uˇze tedy nikdy vypadnout hodnota vˇetˇs´ı.
Pˇ r´ıklad: Rozhodnˇete, zda je omezen´a funkce: f (x) = −x2 + 7 ˇ ıslo x2 je vˇzdy vˇetˇs´ı nebo rovno nule, proto ˇc´ıslo −x2 je vˇzdy menˇs´ı C´ nebo rovno nule. Tud´ıˇz: f (x) = −x2 + 7 ≤ 7
pro kaˇzd´e x ∈ R
Funkce je omezen´a shora.
funkce omezen´a shora
12
ˇ Petr Sediv´ y
www.e-matematika.cz
ˇ Sediv´ a matematika
Prostota Dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym pojmem je prostota funkce. Definice. O funkci f (x) ˇrekneme, ˇze je prost´a, plat´ı–li, ˇze pokud x1 6= x2 , pak f (x1 ) 6= f (x2 ). Jinak zaps´ano, jestliˇze f (x1 ) = f (x2 ), pak tak´e x1 = x2 . Vysvˇ etluj´ıc´ı douˇ ska: Funkce je prost´a, jestliˇze kaˇzd´a hodnota z H(f ) je pˇriˇrazena jen jedenkr´at. Tedy jen jednomu ˇc´ıslu z definiˇcn´ı oboru. Vhod´ıme–li do naˇs´ı ˇcern´e skˇr´ıˇ nky dvˇe r˚ uzn´a ˇc´ısla, tak mus´ı vypadnout dvˇe r˚ uzn´e hodnoty. uzn´ ym ˇc´ısl˚ um pˇriˇrad´ı Funkce f (x) = x2 nen´ı prost´a, protoˇze dvˇema r˚ stejnou hodnotu. f (−3) = 9 ale tak´e f (3) = 9. Jedna hodnota (y = 9) z oboru hodnot je pˇriˇrazena dvˇema r˚ uzn´ ym ˇc´ısl˚ um (x1 = −3, x2 = 3) z definiˇcn´ıho oboru.
13
ˇ Petr Sediv´ y
www.e-matematika.cz
ˇ Sediv´ a matematika
Sudost, lichost Sud´ a funkce O funkci f (x) ˇrekneme, ˇze je sud´a, pokud funkˇcn´ı hodnoty pro ˇc´ısla opaˇcn´a jsou stejn´e. Nez´aleˇz´ı na znam´enku ˇc´ısla x. Zapisujeme f (x) = f (−x). Pokud do ˇcern´e skˇr´ıˇ nky vhod´ıme napˇr. ˇc´ıslo 2, tak vypadne stejn´a hodnota, jako kdybychom vhodili ˇc´ıslo −2. Pˇ r´ıklad: f (x) = x2
f (2) = f (−2) = 4 f (11) = f (−11) = 121 atd.
Graf sud´e funkce je osovˇe soumˇern´ y podle osy y.
14
ˇ Petr Sediv´ y
www.e-matematika.cz
ˇ Sediv´ a matematika
Lich´ a funkce Funkˇcn´ı hodnoty lich´e funkce pro ˇc´ısla opaˇcn´a uˇz nemus´ı b´ yt stejn´e, ale liˇs´ı se jen znam´enkem. Zapisujeme f (x) = −f (−x). Pokud do ˇcern´e skˇr´ıˇ nky vhod´ıme napˇr. ˇc´ıslo 2, tak vypadne hodnota liˇs´ıc´ı se jen ve znam´enku od hodnoty, kter´a vypadne po vhozen´ı ˇc´ısla −2. Pˇ r´ıklad: f (x) = x3
f (2) = 8 f (−2) = −8 f (5) = 25 f (−5) = −25 atd.
Graf lich´e funkce je stˇredovˇe soumˇern´ y podle poˇc´atku.
Z´ avˇ er: Vysvˇetlili jsme si tedy z´akladn´ı vlastnosti funkc´ı, kter´e budeme nad´ale ˇcasto pouˇz´ıvat. Nyn´ı k jednotliv´ ym typ˚ um funkc´ı. Existuj´ı jen 4 velk´e skupiny funkc´ı. Vˇsechny ostatn´ı vzniknou jejich sˇc´ıt´an´ım, odˇc´ıt´an´ım, n´asoben´ım, dˇelen´ım a skl´ad´an´ım. 15
