Petr Šedivý
www.e-matematika.cz
Šedivá matematika
L IMITA POSLOUPNOSTI
Úvod: Kapitola, kde poprvé narazíme na nekonečno. Argumenty posloupností rostou nade všechny meze a zkoumáme, jak vypadají hodnoty posloupnosti. V kapitole se seznámíte se základními typy limit a početními technikami, které vedou ke správným výsledkům.
Co je potřeba umět: Bez znalostí elementárních funkcí se v této kapitole neobejdete.
Posloupnosti známe, posloupnost je funkce, jejíž definiční obor je množina přirozených čísel.
Př.
an =
1 n
a1 = 1
a2 =
1 = 0,5 2
a3 =
1 = 0, 3 3
a4 =
1 = 0, 25 … 4
Můžeme určit libovolný člen. Stý člen posloupnosti je a100 =
1 = 0, 01 100
Nyní nás ale zajímá, jak vypadají členy posloupnosti, když n (označující n-tý člen) roste nade všechny meze, tedy do nekonečna. Naše posloupnost je klesající, každý člen je menší než ten předchozí, vidíme tak, že členy se neustále zmenšují.
[1]
Petr Šedivý
www.e-matematika.cz
Blíží se k nule. a1000 = 0, 001
Šedivá matematika
a10000 = 0, 0001 1 =0 n →∞ n
Řekneme, že limita naší posloupnosti je nula; zapisujeme lim an = lim n →∞
DEFINICE Přesná definice vypadá takto:
Řekneme, že posloupnost an má limitu A, jestliže:
∀ε > 0 ∃n0 ; n > n0
⇒
an − A < ε
Vysvětlující douška (na našem příkladu) an =
1 n
A=0
Takže ∀ε > 0 ∃n0 ; n > n0
an < ε
Česky: pro libovolně malé číslo ε (které je větší než nula) existuje index (nějaké číslo) takové, že všechny členy posloupnosti s vyšším indexem jsou od hodnoty nula vzdáleny méně než dané ε .
[2]
Petr Šedivý
Př.
www.e-matematika.cz
Někdo nám dá např. ε =
Šedivá matematika
1 10
1 1 Hledám index n0 takový, že všechny následující prvky posloupnosti budou v intervalu − ; 10 10
Zajímá mě, kdy an < ε To platí pro n > 10 Pro ε =
1 1 < n 10
n0 = 10
1 je zřejmě n0 = 100 100
Tedy obecně n0 =
1
ε
Ať je teď ε libovolné, n0 vždy najdu. Proto lim
1 =0 n
[3]
Petr Šedivý
an =
Př.
a1 =
1 = 0,5 2
a99 =
www.e-matematika.cz
Šedivá matematika
n n +1 a2 =
99 = 0,99 100
2 = 0, 6 3 a999 =
a3 =
3 = 0, 75 4
a4 =
4 = 0,8 … 5
999 = 0, 999 … 1000
Vidíme, že hodnoty se blíží neustále k jedničce.
lim
n →∞
n =1 n +1
Důkaz např. ε =
1 = 0,1 10
Hledám n0 , aby an − 1 < ε
n 9 > n + 1 10
ε=
⇒
⇒
an ∈ ( 0,9; 1,1)
n0 = 9
1 = 0, 01 100
Tak chceme, aby an ∈ ( 0, 99; 1, 01) n 99 > n + 1 100 Obecně ε
⇒ n0 = 99
⇒ chceme an ∈ (1 − ε ;1 + ε )
n > 1− ε n +1
⇔
n > ( n + 1)(1 − ε )
[4]
⇔
n > n +1− ε ⋅ n − ε
⇔
Petr Šedivý
www.e-matematika.cz
⇔
ε ⋅ n > 1− ε
Proto n0 =
⇔
n>
Šedivá matematika
1− ε
ε
1− ε
ε
Ať je ε libovolné, vždy najdu n0 .
n =1 n →∞ n + 1
Proto lim
V obou předchozích případech byla limita nějaké reálné číslo. Říkáme, že limita je vlastní.
Př. a1 = 1
an = n a2 = 2
a3 = 3
…
a10 = 10
a100 = 100
Vidíme, že hodnoty naší posloupnosti se neustále zvětšují. Říkáme, že
lim an = ∞ n →∞
DEFINICE an je posloupnost, lim an = ∞ n →∞
Pokud ∀K > 0 ∃n0 ; an > K
Vysvětlující douška Hodnoty posloupnosti mají růst do nekonečna, nade všechny meze. Takže když mi někdo dá libovolně
[5]
Petr Šedivý
www.e-matematika.cz
Šedivá matematika
velké číslo K. Tak od určitého indexu musí hodnoty posloupnosti být větší než K. Pokud dokážu takový index najít pro každé K, pak limita je ∞ .
Př.
an = n
Pro K = 100 je zřejmě n0 = 100 protože a100 = 100 pro n > n0 = 100 je an > K Pro K = 1000 je n0 = 1000 ⋮
n0 = K
Př.
an = n 2
a1 = 1
a2 = 4
a3 = 9
a4 = 16 …
lim an = ∞ n →∞
Protože K = 100 stačí n0 = 10 , protože a10 = 100 K = 10000 je n0 = 100 , protože a100 = 10000
Takže n0 = K
[6]
Petr Šedivý
Př. a1 = +1
www.e-matematika.cz
Šedivá matematika
an = − n + 2 a2 = 0
a3 = −1
…
a10 = −8
…
a102 = −100
…
a1002
Zřejmě lim an = −∞ n →∞
DEFINICE lim an = −∞ pokud ∀K ∃n0 ; an < K n →∞
Pokud je limita posloupnosti ∞ nebo −∞ , říkáme, že limita je nevlastní.
Limita posloupnosti ale nemusí existovat.
Př. a1 = −1
an = ( −1)
n
a2 = 1
a3 = −1
a4 = 1
Hodnoty posloupnosti oscilují. K žádné hodnotě se v nekonečnu neblíží - pořád skáčou. lim an = neexistuje n →∞
Mějme dvě posloupnosti an a bn . Pak platí:
[7]
Petr Šedivý
www.e-matematika.cz
Věta lim ( an ± bn ) = lim an ± lim bn n →∞
n →∞
n →∞
Pokud se ovšem nejedná o výraz ∞ − ∞
Př.
n 1 lim + n →∞ n n +1
n 1 n 1 lim + = lim + lim = 0 +1 = 1 n →∞ n n + 1 n→∞ n n →∞ n + 1
Př.
lim ( n 2 − n ) n →∞
Zde nelze větu použít. lim ( n 2 − n ) = lim n 2 − lim n = ∞ − ∞ = nevíme! n →∞
n →∞
n →∞
Obdobná věta platí i pro součin a podíl limit.
Věta lim ( an ⋅ bn ) = lim an ⋅ lim bn n →∞
n →∞
n →∞
Pokud výraz vpravo má smysl.
[8]
Šedivá matematika
Petr Šedivý
www.e-matematika.cz
Šedivá matematika
Věta a lim n n →∞ b n
an lim n →∞ = bn lim n →∞
Pokud výraz vpravo má smysl.
Poznámka V předchozích větách se objevila věta: Pokud výraz vpravo má smysl. Co to přesně znamená? Věty platí pokud se nejedná a tzv. neurčité výrazy. Neurčitý výraz je např. 0 ⋅ ∞ Neurčitý výraz je to proto, že výsledkem může být cokoliv. Nelze určit (bez podrobnějšího zkoumání) výsledek. Situaci objasním na následujících příkladech.
lim ( n1 ⋅ n ) = lim 1n ⋅ lim n = 0 ⋅ ∞ přitom ale lim ( n1 ⋅ n ) = lim(1) = 1 n →∞
n→∞
(
1 2 n →∞ n
lim
(
)
n →∞
n →∞
n →∞
(
⋅ n = lim
)
n →∞
⋅ n = lim n12 ⋅ lim n = 0 ⋅ ∞ přitom ale lim
)
n →∞
1 2 n →∞ n
n →∞
(
)
1 =0 n →∞ n
lim 1n ⋅ n 2 = lim 1n ⋅ lim n 2 = 0 ⋅ ∞ ale lim 1n ⋅ n 2 = lim n = ∞ n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
Všechny tři limity byly typu 0 ⋅ ∞ , ale výsledky jsou různé. Proto říkáme, že výraz je neurčitý a věty nelze použít, protože 0 ⋅ ∞ může být skutečně cokoliv.
Další neurčité výrazy jsou:
0 ∞ číslo ∞ , , ∞−∞, , 0 , ∞ 0 , 00 0 ∞ 0
Oproti tomu následující výrazy smysl mají: ∞ + ∞ = ∞ ,
číslo = 0 , ∞ ⋅ ∞ = ∞ , kladné číslo ⋅ ∞ = ∞ , ∞
záporné číslo ⋅ ∞ = −∞ Nyní si projdeme jednotlivé limity podle typů, podobně jako je to v kapitole O funkcích.
[9]
Petr Šedivý
www.e-matematika.cz
I. M OCNINNÉ
Šedivá matematika
LI MITY
Jedná se o limity, kde se vyskytují jen mocninné posloupnosti (funkce), tj. limity, kde neznámá je jen v základech posloupností (funkcí), ale v mocnině jsou jen čísla! Nikdy ne neznámá!
Rada nad zlato: Rozhodující je nejrychleji rostoucí člen-V případě mocninných limit je to člen s nejvyšší mocninou! Proto jej vždy vytkneme. Jak toto pravidlo funguje, uvidíme v následujících příkladech.
Př.
lim n 2 − n n →∞
Pravidlo o limitě rozdílu nelze použít.
lim n 2 = ∞
lim n = ∞
n →∞
n →∞
Odečítáme od sebe dvě nekonečna. Které nekonečno je ale větší? Vzpomene si na radu. Nejdůležitější je člen s nejvyšší mocninou! Protože:
an = n 2 bn = n
a10 = 100 b10 = 10
a100 = 10000
⇒
b100 = 100
a10 − b10 = 90
⇒
a100 − b100 = 9900
proto převáží člen n 2 , n 2 roste rychleji než n . Použití rady pak vypadá takto: 1 1 lim n 2 − n = lim n 2 1 − = lim n 2 ⋅ lim 1 − = ∞ ⋅1 = ∞ n →∞ n →∞ n →∞ n n→∞ n
[10]
Petr Šedivý
Př.
www.e-matematika.cz
Šedivá matematika
4n 2 + 5n − 12 n →∞ 3n 2 − 6 n + 68
lim
→4 5 12 n2 ⋅ 4 + − 2 4n 2 + 5n − 12 n n 4 lim 2 = lim = n →∞ 3n − 6 n + 68 n →∞ 6 68 3 2 n ⋅3 − + 2 n n →3
Př.
lim
n →∞
1 1 − n →∞ n + 1 n+2
lim
1 1 n + 2 − n −1 1 − = lim = lim =0 n →∞ n →∞ n +1 n + 2 ( n + 1) ⋅ ( n + 2 ) ( n + 1) ⋅ ( n + 2 )
V případě, že máme limitu rozdílu, kde se vyskytuje odmocnina, pak většinou výraz rozšíříme stejným výrazem, jen ten druhý bude s opačným znaménkem. Využijeme tak vzorce ( A − B )( A + B ) = A2 − B 2
Př.
lim n + 3 − n n →∞
lim n + 3 − n = lim n →∞
n →∞
(
)
n+3 − n ⋅
( (
) = lim n)
n+3 + n n+3 +
n →∞
[11]
n +3− n 3 = lim =0 n + 3 + n n →∞ n + 3 + n
