Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 20050409
Obsah 1 Jazyk matematiky 1.1 Výrokový počet . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Logické spojky . . . . . . . . . 1.1.2 Tautologie výrokového počtu . . 1.2 Predikátový počet . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Tautologie predikátového počtu 1.3 Množinové operace . . . . . . . . . . . 2 Algebra 2.1 Mocniny a odmocniny . . . . . 2.2 Logaritmy . . . . . . . . . . . . 2.3 Komplexní čísla . . . . . . . . . 2.3.1 Moivreova věta . . . . . 2.4 Posloupnosti . . . . . . . . . . . 2.4.1 Aritmetická posloupnost 2.4.2 Geometrická posloupnost 2.5 Kombinatorika . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
3 Goniometrie 3.1 Vztahy mezi goniometrickými funkcemi stejného 3.2 Funkce součtu a rozdílu dvou úhlů . . . . . . . 3.3 Funkce dvojnásobného a polovičního úhlu . . . 3.4 Funkční hodnoty goniometrických funkcí . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
úhlu . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
3 3 3 3 4 4 4
. . . . . . . .
5 5 5 6 6 6 6 7 7
. . . .
8 8 8 9 9
4 Analytická geometrie v rovině 4.1 Přímka . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Rovnoběžné přímky . . . . . . 4.1.2 Kolmé přímky . . . . . . . . . 4.1.3 Parametrická rovnice přímky . 4.2 Kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Matematická analýza 5.1 Základní pravidla pro výpočet limit 5.2 Limity důležitých funkcí . . . . . . 5.3 L’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . 5.4 Šikmé asymptoty . . . . . . . . . . 6 Diferenciální počet 6.1 Základní pravidla pro derivování 6.2 Derivace elementárních funkcí . 6.3 Taylorův polynom . . . . . . . . 6.4 Wronského determinant . . . .
. . . .
. . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
7 Integrální počet 7.1 Základní vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Integrační metoda per partes . . . . . . . . . . 7.3 Integrace substitucí . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Integrály racionálních funkcí . . . . . . . . . . 7.5 Simpsonova formule . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Geometrické aplikace . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1 Délka grafu hladké funkce . . . . . . . 7.6.2 Objem tělesa vytvořeného rotací grafu 7.6.3 Plášť tělesa vytvořeného rotací grafu .
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
10 10 10 10 10 10 10 11 11
. . . .
12 12 12 13 13
. . . .
14 14 14 15 15
. . . . . . . . .
16 16 17 17 18 19 19 19 19 19
1
Jazyk matematiky
1.1
Výrokový počet
1.1.1
Logické spojky
Logická operace negace
Zapisujeme ¬α
Čteme non α
disjunkce konjunkce
α∨β α∧β
α vel β α et β
implikace
α⇒β
α implikuje β
ekvivalence
α⇔β
α je ekvivalentní β
α 0 1 0 0 1 1 1.1.2
β
¬α 1 0
0 1 0 1
Česky není pravda, že α α není pravdivé α neplatí α nebo β αaβ α a současně β jestliže α, potom β α je dostačující podmínka pro β β je nutná podmínka pro α α právě tehdy, jestliže β α tehdy a jen tehdy, jestliže β α je nutná a postačující podmínka pro β
α∨β
α∧β
α⇒β
α⇔β
0 1 1 1
0 0 0 1
1 1 0 1
1 0 0 1
Tautologie výrokového počtu
α ∨ ¬α (α ⇒ β) ⇐⇒ (¬β ⇒ ¬α) ¬(α ∨ β) ⇐⇒ (¬α ∧ ¬β) ¬(α ∧ β) ⇐⇒ (¬α ∨ ¬β) ¬(α ⇒ β) ⇐⇒ (α ∧ ¬β) (α ⇔ β) ⇐⇒ ((α ⇒ β) ∧ (β ⇒ α)) 3
1.2 1.2.1
Predikátový počet Tautologie predikátového počtu
∀ (α(x)) ⇐⇒ ¬ ∃ ¬(α(x))
x∈M
x∈M
∃ (α(x)) ⇐⇒ ¬ ∀ ¬(α(x))
x∈M
x∈M
∀ ¬(α(x)) ⇐⇒ ¬ ∃ (α(x))
x∈M
x∈M
∃ ¬(α(x)) ⇐⇒ ¬ ∀ (α(x))
x∈M
x∈M
1.3
Množinové operace
sjednocení množin průnik množin rozdíl množin kartézký součin
A ∪ B = {x; x ∈ A ∨ x ∈ B} A ∩ B = {x; x ∈ A ∧ x ∈ B} A − B = {x; x ∈ A ∧ x ∈ / B} A × B = {[x, y]; x ∈ A ∧ y ∈ B}
4
2 2.1
Algebra Mocniny a odmocniny ar · as = ar+s ar /as = ar−s (ar )s = ars (ab)r = ar br a r b
2.2
=
ar br
Logaritmy logz n = l zl = n logz an = n · logz a logz (ab) = logz a + logz b logb x = loga x · logb a
5
2.3
Komplexní čísla z = a + bi z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) |z| =
2.3.1
√
a2 + b 2
cos ϕ =
a |z|
sin ϕ =
b |z|
Moivreova věta z1 · z2 = |z1 ||z2 |(cos (ϕ1 + ϕ2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ2 )) z n = |z|n (cos nϕ + i sin nϕ)
2.4 2.4.1
Posloupnosti Aritmetická posloupnost an+1 = an + d an = a1 + (n − 1)d sn =
n(a1 + an ) 2
6
2.4.2
Geometrická posloupnost an+1 = an · q an = a1 · q n−1 sn = a 1 ·
qn − 1 q−1
1 − qn sn = a 1 · 1−q
2.5
Kombinatorika n n! = (n − k)!k! k
7
3 3.1
Goniometrie Vztahy mezi goniometrickými funkcemi stejného úhlu sin2 α + cos2 α = 1 tg α cotg α = 1 tg α =
1 sin α = cos α cotg α
1 + tg2 α =
1 cos2 α
1 + cotg2 α =
3.2
1 sin2 α
Funkce součtu a rozdílu dvou úhlů sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α ± β = cos α cos β ∓ sin α sin β sin α + sin β = 2 sin
8
α+β α−β cos 2 2
3.3
Funkce dvojnásobného a polovičního úhlu sin 2α = 2 sin α cos α α r 1 − cos α sin = 2 2
cos 2α = cos2 α − sin2 α r α 1 + cos α cos = 2 2
3.4
sin2 α =
1 − cos 2α 2
cos2 α =
1 + cos 2α 2
Funkční hodnoty goniometrických funkcí
sin α cos α tg α cotg α
0 0 1 0 ?
π 6 1 √2 3 √2 3 √3
3
π √4 2 √2 2 2
1 1
π √3 3 2 1 √2
3
√ 3 3
9
π 2
1 0 ? 0
π 0 −1 0 ?
3π 2
−1 0 ? 0
2π 0 1 0 ?
4 4.1
Analytická geometrie v rovině Přímka y = kx + q y − y1 = k(x − x1 ) y − y1 =
y2 − y 1 (x − x1 ) x2 − x 1
Ax + By + C = 0 4.1.1
Rovnoběžné přímky k1 = k 2
4.1.2
Kolmé přímky k2 = −
4.1.3
1 k1
Parametrická rovnice přímky s=B−A X = P + ts
4.2
Kružnice (x − m)2 + (y − n)2 = r 2
4.3
Elipsa (x − m)2 (y − n)2 + =1 a2 b2 10
4.4
Hyperbola (x − m)2 (y − n)2 − =1 a2 b2
4.5
Parabola (x − m)2 = 2p(y − n) (y − n)2 = 2p(x − m)
11
5
Matematická analýza
5.1
Základní pravidla pro výpočet limit lim (f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x))
x→c
x→c
x→c
lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x)
x→c
x→c
x→c
lim f (x) f (x) = x→c x→c g(x) lim g(x) lim
x→c
lim (k · f (x)) = k · lim f (x)
x→c
x→c
lim |f (x)| = lim f (x)
x→c
5.2
x→c
Limity důležitých funkcí
1 =0 n→∞ n lim
lim
n→∞
√ n n=1
1 n =e n→∞ n a x lim 1 + = ea x→∞ x lim
1+
lim
√ n
n→∞
n! = ∞
sin x =1 x→0 x lim
ex − 1 =1 x→0 x lim
a0 nk + a1 nk−1 + · · · + ak−1 n + ak n→∞ b0 nm + b1 nm−1 + · · · + bm−1 n + am lim
lim q n
n→∞
a0 b0 =0 =∞
=
pro k = m
= −∞
pro k < m a0 pro k > m ∧ >0 b0 a0 pro k > m ∧ <0 b0
=∞
=1 =0 = neexistuje 12
pro q > 1 pro q = 1 pro q ∈ (−1; 1) pro q ≤ −1
5.3
L’Hospitalovo pravidlo
f 0 (x) f (x) = lim 0 x→c g (x) x→c g(x) lim
5.4
platí pro
0 0 ∞ ∞
Šikmé asymptoty
Funkce y = f (x) má v ∞ šikmou asymptotu y = kx+q pokud existují limity: f (x) =k x→∞ x lim
lim (f (x) − kx) = q
x→∞
13
6 6.1
Diferenciální počet Základní pravidla pro derivování (f ± g)0 = f 0 ± g 0 (f · g)0 = f 0 g + f g 0 f 0 g
=
f 0g − f g0 g2
(f [g])0 = f 0 [g] · g 0 f (n+1) = (f (n) )0 (f · g)0000 = f 0000 g + 4f 000 g 0 + 6f 00 g 00 + 4f 0 g 000 + f g 0000
6.2
Derivace elementárních funkcí 1 cos2 x
(axn )0 = naxn−1
(tg x)0 =
(x)0 = 1
(cotg x)0 =
(a)0 = 0
(arcsin x)0 = √
(ex )0 = ex
(arccos x)0 = √
(ax )0 = ax ln a
(arctg x)0 =
(ln x)0 =
1 x
(loga x)0 =
−1 sin2 x
−1 1 − x2
1 1 + x2
(arccotg x)0 = 1 x ln a
1 1 − x2
−1 1 + x2
(sinh x)0 = cosh x
14
(log x)0 =
6.3
1 1 = log e x ln 10 x
(cosh x)0 = sinh x (tgh x)0 =
(cos x)0 = − sin x
(cotgh x)0 =
−1 sinh2 x
Taylorův polynom
Tn (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
6.4
1 cosh2 x
(sin x)0 = cos x
f (n) (a) f 00 (a) (x − a)2 + · · · + (x − a)n 2! n!
Wronského determinant
f1 (x) f10 (x) 00 W (f1 , f2 , f3 , · · · fn )(x) = f1 (x) .. . (n−1)
f1
f2 (x) f20 (x) f200 (x) .. . (n−1)
(x) f2
f3 (x) f30 (x) f300 (x) .. . (n−1)
(x) f3
··· ··· ··· .. .
fn (x) fn0 (x) fn00 (x) .. . (n−1)
(x) · · · fn
(x)
Pokud platí W (f1 , f2 , f3 , · · · fn )(x) 6= 0 je soustava rovnic lineárně nezávislá.
15
7
Integrální počet
7.1 Z
Základní vzorce
0 dx = C
Z
1 dx = x + C
Z
cos x dx = sin x + C
Z
sin x dx = − cos x + C
Z
1 dx = arctg x + C 1 + x2
Z
1 dx = − arccotg x + C 1 + x2
Z
ex dx = ex + C
Z
√
Pro 0 Z a 6= 1, a > x a +C ax dx = ln a Pro Z n ∈ N n+1 x xn dx = +C n+1 Pro Z x ∈ (−1, 1) platí 1 √ dx = arcsin x + C 1 − x2
1 dx = − arccos x + C 1 − x2
Na každém intervalu neobsahující body xn = (2n + 1) π2 , resp. xn = nπ, kde n ∈ Z, je Z Z 1 1 dx = tg x + C dx = − cotg x + C 2 cos x sin2 x Pro x > α a α ∈ R, α 6= −1 je Z xα+1 xα dx = +C α+1 Pro Z x ∈ (0, +∞), resp. pro x ∈ (−∞, 0) je 1 dx = ln |x| + C x 16
7.2 Z Z
f (x) g(x) dx = f (x) g(x) −
Z
f (x) g 0 (x) dx
f (x) g (x) dx = f (x) g(x) −
Z
f 0 (x) g(x) dx
0
0
7.3
Integrační metoda per partes
Integrace substitucí
f g(x)
Z
0
f g(x)
= f 0 g(x) g 0 (x)
0
dx = f g(x) =
Z
f 0 g(x) g 0 (x) dx
y = g(x) x = g−1 (y)
dy = g 0 (x) dx 0 dx = g−1 (y) dy
Zužující substituce Z Z 0 0 f g(x) g (x) dx = f 0 (y) dy = f (y) = f g(x) Rozšiřující substituce Z Z 0 f (y) dy = f 0 g(x) g 0 (x) dx = f 0 g(x) = f (y) Kombinovaná substituce Z Z 0 0 f g(x) dx = f 0 (y) g−1 (y) dy
17
7.4
Integrály racionálních funkcí
Z
1 dx = ln |x + a| + C x+a
Z
x2
Z
Z
x2
1 dx = arctg x + C +1
2x + b dx = ln |x2 + bx + c| + C + bx + c
1 1 dx = +C n (x + a) (1 − n)(x + a)n−1
Pro Z n>1 1 2x + b dx = +C 2 n 2 (x + bx + c) (−n + 1)(x + bx + c)n−1 Z 1 dx – dále neřešit, považovat za výsledek (x2 + 1)n Jmenovatel má dva různé reálné kořeny Z Ax + B dx = x2 + px + q
=
Z
γ+δ =A −βγ − αδ = B
γ δ + dx = γ ln |x − α| + δ ln |x − β| + C x−α x−β
Jmenovatel má jedenZdvojnásobný reálný kořen Z Ax + B Ax + B dx = dx = x2 + px + q (x − α)2 x−α =y dx = dy x=y+α Z Z Z 1 1 A(y + α) + B dy = A dy + (Aα + B) dy = = 2 y y y2 Aα + B = A ln |x − α| − +C x−α
18
Jmenovatel nemá reálné kořeny Z Ax + B dx = x2 + px + q
x2 + px + q = (x + p2 )2 + (q − 2 (q − p4 ) = % x2 + px + q = (x + p2 )2 + % x+p=y dx = dy Z Z A(y − p2 ) + B Ax + B dy = dx = = p 2 2+% (x + ) + % y 2 Z Z 1 y p dy + (B − A 2 ) dy = =A 2 2 y +% y +% p p B−A x+ A = ln(x2 + px + q) + √ 2 arctg √ 2 2 % %
7.5
Simpsonova formule (b − a) 2n
h= Z
b a
f (x) dx ≈
7.6 7.6.1
i hh f (x0 ) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + 2f (x4 ) + . . . + f (x2n ) 3
Geometrické aplikace Délka grafu hladké funkce Z bq 2 d f, ha, bi = 1 + f 0 (x) dx
7.6.2
a
Objem tělesa vytvořeného rotací grafu
V f, ha, bi = π 7.6.3
p2 ) 4
Z
b
f 2 (x) dx a
Plášť tělesa vytvořeného rotací grafu
S f, ha, bi = 2π
Z
b a
q 2 f (x) 1 + f 0 (x) dx 19
