Ing. Petr BLAHA, PhD. Prof. Ing. Petr VAVŘÍN, DrSc

ˇ ızen´ı a regulace I R´ Základy regulace lineárn´ıch systém˚ u - spojité a diskrétn´ı

Ing. Petr BLAHA, PhD. ˇ ÍN, DrSc. Prof. Ing. Petr VAVR

´ ˇ RIC ˇ Í TECHNIKY USTAV AUTOMATIZACE A ME

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe

1

Obsah ´ 1 Uvod do automatick´ eho ˇ r´ızen´ı 1.1 Základn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Systémy pˇr´ımého a zpˇetnovazebn´ıho ˇr´ızen´ı (ovládán´ı a regulace) 1.3 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

9 . 9 . 11 . 13 . 13

2 Stavov´ y popis syst´ em˚ u 2.1 Základn´ı pojmy stavového popisu . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Vzájemn´ y vztah mezi vnitˇrn´ım a vnˇejˇs´ım popisem . . . . . . 2.3 Urˇcen´ı matice pˇrenosov´ ych funkc´ı ze stavového popisu . . . . 2.4 Pˇrechod k jin´ ym stavov´ ym promˇenn´ ym . . . . . . . . . . . . 2.5 Urˇcen´ı stavového popisu z pˇrenosu jednorozmˇern´ ych systém˚ u 2.5.1 Pˇr´ımé programován´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Paraleln´ı programován´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Sériové programován´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

15 15 20 20 22 24 24 25 26 28 30

3 Regulovan´ e soustavy 3.1 Pˇretlumené (nekmitavé) soustavy . . . . 3.2 Kmitavé soustavy . . . . . . . . . . . . . 3.3 Soustavy s astatismem . . . . . . . . . . 3.4 Soustavy s neminimáln´ı fáz´ı . . . . . . . 3.5 Identifikace regulovan´ ych soustav . . . . 3.6 Aproximace regulovan´ ych soustav . . . . 3.6.1 Aproximace dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı 3.6.2 Vyuˇzit´ı programu Matlab . . . . 3.7 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

4 Regul´ atory 4.1 Nejˇcastˇejˇs´ı pˇrenosy spojit´ ych regulátor˚ u . 4.1.1 Realizace základn´ıch typ˚ u spojit´ ych 4.2 V´ ykonové ˇcleny regulátor˚ u . . . . . . . . . 4.3 Diskrétn´ı regulátory . . . . . . . . . . . . 4.4 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . 5 Z´ akladn´ı typy pˇ renos˚ u ve spojit´ ych vlastnosti 5.1 Základn´ı typy pˇrenos˚ u . . . . . . . 5.1.1 Pˇrenos otevˇrené smyˇcky . . 5.1.2 Pˇrenos ˇr´ızen´ı . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

31 31 33 34 35 35 36 38 40 41 42

. . . . . . . regulátor˚ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

43 44 47 48 53 54 55

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

zpˇ etnovazebn´ıch obvodech a jejich 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

ˇ ızen´ı a regulace I R´

5.2

5.3

5.4 5.5

2

5.1.3 Pˇrenos poruchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Pˇrenos odchylky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Pˇrenos akˇcn´ı veliˇciny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vlastnosti standardn´ıch spojit´ ych pˇrenos˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Pˇrenos otevˇrené smyˇcky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Pˇrenos ˇr´ızen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Pˇrenos poruchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Pˇrenos odchylky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.5 Pˇrenos akˇcn´ı veliˇciny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ustálené odchylky v regulaˇcn´ıch obvodech . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Tvar odchylky pro r˚ uzné zmˇeny ˇr´ızen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Nulová ustálená odchylka bez integraˇcn´ı sloˇzky v regulaˇcn´ım obvodu 5.3.3 Tvar odchylky pro r˚ uzné zmˇeny poruchy . . . . . . . . . . . . . . . Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Stabilita obvod˚ u se zpˇ etnou vazbou 6.1 Opakován´ı znalost´ı o stabilitˇe lineárn´ıch dynamick´ ych systém˚ u . . . . . . 6.2 Stabilita ze známé charakteristiké rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Nyquistovo kritérium stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Chauchyho teorém o fázi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Odvozen´ı Nyquistova kritéria stability . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Nyquistovo kritérium pro F (p) s póly v poˇcátku . . . . . . . . . . 6.3.4 Zjednoduˇsené Nyquistovo kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.5 Zjednoduˇsené Nyquistovo kritérium v logaritmick´ ych souˇradnic´ıch 6.4 Pouˇzit´ı programu Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Anal´ yza dynamick´ ych vlastnost´ı regulaˇ cn´ıch obvod˚ u 7.1 Integráln´ı kritéria kvality regulace . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Lineárn´ı integráln´ı kritérium . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Kvadratické integráln´ı kritérium . . . . . . . . . . . . 7.1.3 ITAE kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4 Pouˇzit´ı programu Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.5 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Metoda koˇrenového hodografu . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Grafické urˇcen´ı hodnoty pˇrenosu . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Soubor pravidel pro konstrukci koˇrenového hodografu 7.2.3 Segmenty na reálné ose . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4 Poˇcátky a konce vˇetv´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.5 Smˇer asymptot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.6 Stˇred asymptot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.7 Pr˚ useˇc´ık s reálnou osou . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.8 Pouˇzit´ı programu Matlab . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

58 59 60 60 61 61 62 62 63 65 65 67 68 69 69

. . . . . . . . . . .

71 71 72 74 74 76 80 85 87 88 91 92

. . . . . . . . . . . . . . .

93 93 93 95 103 103 106 106 107 108 109 109 110 111 113 115


7.3

7.4 7.5

3

7.2.9 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.2.10 Neˇreˇsené pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Anal´ yza pomoc´ı frekvenˇcn´ıch charakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.3.1 Zásoba stability v amplitudˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.3.2 Zásoba stability ve fázi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.3.3 Zásoba stability v modulu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.3.4 Zásoba stability ve zpoˇzdˇen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.3.5 Zjiˇst’ován´ı amplitudové a fázové bezpeˇcnosti v Matlabu . . . . . . . 119 7.3.6 Zjiˇstˇen´ı frekvenˇcn´ı charakteristiky uzavˇrené smyˇcky z pr˚ ubˇehu F (jω)121 7.3.7 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8 Syt´ eza regulaˇ cn´ıch obvod˚ u ve frekvenˇ cn´ı oblasti 8.1 Metoda standardn´ıho tvaru frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇreného obvodu 8.1.1 Fázovˇe neminimáln´ı systémy a systémy s dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım . 8.1.2 Inverzn´ı regulátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Vyregulován´ı poruchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.4 Regulátor se dvˇema stupni volnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.5 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Metoda optimáln´ıho modulu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Metody optimáln´ıho ˇcasového pr˚ ubˇehu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Metoda Ziegler-Nicholsova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Urˇcen´ı kritick´ ych parametr˚ u z pˇrechodové charakteristiky . . . . . 8.4.2 Urˇcen´ı kritick´ ych parametr˚ u v´ ypoˇctem ze známého modelu . . . . 8.4.3 Rozkmitáván´ı pouˇzit´ım relé bez hystereze . . . . . . . . . . . . . 8.4.4 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Metoda poˇzadovaného rozloˇzen´ı pól˚ u uzavˇreného obvodu . . . . . . . . . 8.6 Metoda standardn´ıch tvar˚ u charakteristického polynomu . . . . . . . . . 8.7 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126 . 126 . 132 . 132 . 133 . 134 . 135 . 135 . 140 . 140 . 141 . 142 . 143 . 143 . 143 . 144 . 148 . 150 . 150

9 Rozvˇ etven´ e regulaˇ cn´ı obvody 9.1 Regulaˇcn´ı obvody s pomocnou regulovanou veliˇcinou 9.2 Regulaˇcn´ı obvody s pomocnou akˇcn´ı veliˇcinou . . . . 9.3 Regulaˇcn´ı obvody s mˇeˇren´ım poruchy . . . . . . . . . 9.4 Regulaˇcn´ı obvody s modelem regulované soustavy . . 9.5 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

151 151 154 155 157 158 159

10 Synt´ eza regulaˇ cn´ıch obvod˚ u se vzorkov´ an´ım 160 10.1 Návrh ˇr´ıdic´ıho algoritmu podle poˇzadovan´ ych vlastnost´ı pˇrenosu ˇr´ızen´ı . . 160 10.1.1 Fyzikáln´ı realizovatelnost ˇr´ıdic´ıho ˇclenu . . . . . . . . . . . . . . . . 161 10.1.2 Regulace na nulovou ustálenou odchylku . . . . . . . . . . . . . . . 161


10.2

10.3 10.4

10.5 10.6

4

10.1.3 Koneˇcná doba trván´ı pˇrechodného dˇeje . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.4 Stabilita obvodu se soustavou, jej´ıˇz diskrétn´ı pˇrenos obsahuje nuly a póly mimo jednotkovou kruˇznici v rovinˇe . . . . . . . . . . . 10.1.5 Dalˇs´ı poˇzadavky na regulaˇcn´ı pochod . . . . . . . . . . . . . . . . Návrh ˇr´ıdic´ıho algoritmu podle poˇzadavk˚ u na pˇrenos poruchy . . . . . . 10.2.1 Fyzikáln´ı realizovatenost regulátoru . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Nulová odchylka v ustáleném stavu . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 Koneˇcná doba trván´ı pˇrechodného dˇeje . . . . . . . . . . . . . . . Regulaˇcn´ı obvody se dvˇema korekˇcn´ımi ˇcleny . . . . . . . . . . . . . . . . Návrh ˇr´ıdic´ıho algoritmu s omezen´ ym poˇctem ˇclen˚ u. Regulátory typu P, S, PS, PD a PSD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.1 Zjednoduˇsen´ı pˇrenosu soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.2 Zjednoduˇsen´ı navrˇzeného regulátoru . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.3 Návrh spojitého regulátoru a jeho pˇrevod na ˇc´ıslicov´ y . . . . . . . Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 162 . . . . . . .

165 173 176 177 178 178 181

. . . . . .

182 183 183 189 193 193

11 V´ıcerozmˇ ern´ e regulaˇ cn´ı obvody 194 ˇ ızen´ı v´ıcerozmˇern´ 11.1 R´ ych obvod˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 11.2 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 11.3 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 A Odpovˇ edi na kontroln´ı ot´ azky B Z´ aklady z maticov´ eho poˇ ctu a zpracov´ an´ı sign´ al˚ u B.1 Algebraick´ y doplnˇek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Adjungovaná matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 Inverzn´ı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4 Vlastn´ı ˇc´ısla matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.5 Masonovo pravidlo pro urˇcen´ı pˇrenosu . . . . . . . . . . . . B.5.1 Pˇrevod blokového diagramu na graf signálov´ ych tok˚ u B.5.2 Základn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.5.3 Masonovo pravidlo pro v´ ypoˇcet pˇrenosu . . . . . . . B.6 Laplaceova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.7 Inverzn´ı Laplaceova transformace . . . . . . . . . . . . . . . B.8 Fourierova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

200 . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

201 201 201 202 203 204 204 204 206 207 207 209


5

Seznam obr´ azk˚ u 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.1 6.2 6.3

Schéma ovládán´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schéma regulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Podrobné schéma regulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Obecn´ y lineárn´ı systém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Obecné stavové schéma systému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jednoduché elektrické schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stavov´ y diagram pˇr´ımého programován´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stavov´ y diagram paraleln´ıho programován´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stavov´ y diagram sériového programován´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇr´ıklad pˇr´ımého programován´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇr´ıklad sériového programován´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stavov´ y diagram pˇr´ıkladu na paraleln´ıho programován´ı . . . . . . . . . . . Pˇrechodové charakteristiky pro systémy prvn´ıho aˇz pátého ˇrádu . . . . . . Proces diskretizace spojité soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Impulsn´ı odezva v´ yraznˇe kmitavé soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . Impulsn´ı odezva kmitavého systému s reáln´ ym dominantn´ım pólem . . . . Parametry pˇrechodové charakteristiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇrechodová charakteristika Padého aproximace 4. ˇra´du . . . . . . . . . . . Pˇrechodová charakteristika systému 2. ˇrádu s dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım realizovan´ ym Padého aproximac´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regulaˇcn´ı obvody se dvˇema stupni volnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . Obecné schéma zapojen´ı s operaˇcn´ım zesilovaˇcem . . . . . . . . . . . . . . Pˇrechodové charakteristiky jednotliv´ ych typ˚ u regulátor˚ u P, I, PD, PI, PID, reáln´ y PD a reáln´ y PID regulátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frekvenˇcn´ı charakteristiky v komplexn´ı rovinˇe jednotliv´ ych typ˚ u regulátor˚ u P, I, PD, PI, PID, reáln´ y PD a reáln´ y PID regulátor . . . . . . . . . . . . Amplitudové a fázové frekvenˇcn´ı charakteristiky jednotliv´ ych typ˚ u regulátor˚ u P, I, PD, PI, PID, reáln´ y PD a reáln´ y PID regulátor . . . . . . . . . . . . Regulaˇcn´ı obvod se servomechanizmem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regulaˇcn´ı obvod s diskrétn´ım regulátorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blokové schéma tvorby programu poˇc´ıtaˇce . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Uspornˇ ejˇs´ı blokové schéma tvorby programu poˇc´ıtaˇce . . . . . . . . . . . . Zjednoduˇsené technologické schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zobrazen´ı otevˇrené smyˇcky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇrenos ˇr´ızen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇrenos poruchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇrenos odchylky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇrenos Akˇcn´ı veliˇciny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moˇznosti zajiˇstˇen´ı nulové ustálené odchylky na skok ˇr´ızen´ı pro r + s = 0 . Mapován´ı kˇrivky Γ do roviny F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vliv koˇren˚ u F (p) na zmˇenu fáze uzavˇrené kˇrivky Γ . . . . . . . . . . . . . Nyquistova kˇrivka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 12 13 15 18 18 26 27 27 28 29 29 31 32 33 34 37 39 39 44 48 49 50 51 52 53 54 55 56 58 58 59 60 60 68 74 75 76


6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12

6.13 6.14 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.19 7.20 7.21 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7

6

Frekvenˇcn´ı charakteristika k pˇr´ıkladu 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Frekvenˇcn´ı charakteristika k pˇr´ıkladu 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Smˇer obcházen´ı poˇcátku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Smˇer obcházen´ı koˇren˚ u na imaginárn´ı ose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Frekvenˇcn´ı charakteristika k pˇr´ıkladu 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Frekvenˇcn´ı charakteristika k pˇr´ıkladu 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Frekvenˇcn´ı charakteristika k pˇr´ıkladu 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Ukázka podm´ınˇenˇe stabiln´ıho systému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Frekvenˇcn´ı charakteristiky v komplexn´ı rovinˇe a logaritmick´ ych souˇradnic´ıch a jejich souvislost z hlediska stability podle zjednoduˇseného Nyquistova kritéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Test stability Nyquistov´ ym kritériem v logaritmick´ ych souˇradnic´ıch . . . . 89 Demonstrace pˇr´ıkazu nyquist v Matlabu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Lineárn´ı regulaˇcn´ı plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Usmˇernˇená lineárn´ı plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Hodnota kvadratického kritéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Kvadratická integráln´ı plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Hodnota ITAE kritéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Blokové schéma vyhodnocuj´ıc´ı ITAE kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Simulinkovské schéma pro vyhodnocen´ı ITAE kritéria . . . . . . . . . . . . 104 Pr˚ ubˇehy v´ ystupu pro r˚ uzné hodnoty zes´ılen´ı K . . . . . . . . . . . . . . . 105 Regulaˇcn´ı schéma pouˇzité pro odvozen´ı metody GMK . . . . . . . . . . . . 107 V´ ypoˇcet pˇrenosu v bodˇe p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Pˇr´ıspˇevek k u ´hlu v testovac´ım bodˇe na reálné ose . . . . . . . . . . . . . . 110 Pˇr´ıklad demonstruj´ıc´ı poˇcátek a konec vˇetv´ı koˇrenového hodografu . . . . . 110 V´ ypoˇcet pˇrenosu v bodˇe vzdáleném od vˇsech nul a pól˚ u . . . . . . . . . . . 111 Obrázek k pˇr´ıkladu 7.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Okno po spuˇstˇen´ı rltool-u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Vysvˇetlen´ı pojm˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Zaj´ımavé pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 V´ ysledek pˇr´ıkazu margin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 M-kruˇznice a N-kruˇznice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Vztah mezi fázovou bezpeˇcnost´ı a velikost´ı pˇrekmitu . . . . . . . . . . . . 124 Vztah mezi délkou u ´seku se sklonem 20dB/dek kolem ω a velikost´ı pˇrekmitu124 Návrh P a PD regulátoru pro astatickou soustavu k pˇr´ıkladu 8.1 . . . . . . 129 Návrh PI a PID regulátoru pro astatickou soustavu k pˇr´ıkladu 8.2 . . . . . 131 V´ yseˇce v rovinˇe p odpov´ıdaj´ıc´ı r˚ uzn´ ym hodnotám tlumen´ı . . . . . . . . . 144 Koˇrenov´ y hodograf s P regulátorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Koˇrenov´ y hodograf s PD regulátorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Koˇrenov´ y hodograf pro soustavu s PID regulátorem navrˇzen´ ym metodou standardn´ıch tvar˚ u frekvenˇcn´ıch charakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Koˇrenov´ y hodograf pro soustavu s PID regulátorem navrˇzen´ ym metodou optimáln´ıho modulu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147


8.8

7

Koˇrenov´ y hodograf pro soustavu s PID regulátorem navrˇzen´ ym metodou Zieglera-Nicholse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 9.1 Schéma regulaˇcn´ıho obvodu s pomocnou regulovanou veliˇcinou . . . . . . . 151 ˇ ızen´ı teploty v obvodu s pomocnou regulovanou veliˇcinou . . . . . . . . . 152 9.2 R´ 9.3 Schéma rozvˇetvené struktury servomechanismu . . . . . . . . . . . . . . . . 153 9.4 Schéma regulaˇcn´ıho obvodu s pomocnou akˇcn´ı veliˇcinou . . . . . . . . . . . 154 ˇ ızen´ı teploty v obvodu s pomocnou akˇcn´ı veliˇcinou . . . . . . . . . . . . . 155 9.5 R´ 9.6 Schéma regulaˇcn´ıho obvodu s mˇeˇren´ım poruchy . . . . . . . . . . . . . . . 156 9.7 Schéma regulaˇcn´ıho obvodu s modelem regulované soustavy . . . . . . . . . 157 9.8 Schéma regulaˇcn´ıho obvodu kompenzuj´ıc´ıho dopravn´ı zpoˇzdˇen´ı . . . . . . . 158 10.1 Odezvy na skokovou zmˇenu ˇzádané hodnoty pro obvody navrˇzené na r˚ uzné pr˚ ubˇehy ˇr´ıdic´ı veliˇciny (konstantn´ı, lineárnˇe nar˚ ustaj´ıc´ı a s konstantn´ım zrychlen´ım) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 10.2 Koneˇcn´ y pˇrechodn´ y dˇej v a mezi okamˇziky vzorkován´ı . . . . . . . . . . . . 163 10.3 Regulaˇcn´ı obvod s diskrétn´ım regulátorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 10.4 Obrázek k pˇr´ıkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 10.5 Obrázek k pˇr´ıkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 10.6 Obrázek k pˇr´ıkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 10.7 Grafické znázornˇen´ı realizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 10.8 Obrázek k pˇr´ıkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 10.9 Obrázek k pˇr´ıkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 10.10Regulaˇcn´ı obvod s omezen´ım akˇcn´ıho zásahu . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 10.11Regulaˇcn´ı obvod s r˚ uzn´ ymi periodami vzorkován´ı . . . . . . . . . . . . . . 176 10.12Regulaˇcn´ı obvod s poruchou na vstupu soustavy . . . . . . . . . . . . . . . 177 10.13Regulaˇcn´ı obvod se vzorkovanou poruchou . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 10.14Obrázek k pˇr´ıkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 10.15Diskrétn´ı regulaˇcn´ı obvod se dvˇema stupni volnosti . . . . . . . . . . . . . 182 10.16Grafické znázornˇen´ı realizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 10.17PSD regulátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10.18Impulsové charakteristiky regulátor˚ u D(z) (plnou ˇcarou), D(z) (ˇcárkovanou ˇcarou) a PS (teˇckovanˇe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 10.19Odezva na skokovou zmˇenu ˇr´ızen´ı pˇri pouˇzit´ı PS regulátoru . . . . . . . . . 188 10.20Obrázek k pˇr´ıkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.21Odezva na skokovou zmˇenu ˇr´ızen´ı pˇri pouˇzit´ı PD regulátoru ve srovnán´ı s p˚ uvodn´ım regulátorem D1 (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.22Vysvˇetlen´ı aproximace vzorkovaˇce s tvarovaˇcem pomoc´ı dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı190 10.23Náhrada vzorkovac´ıho ˇclenu s tvarovaˇcem dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım . . . . . . 191 10.24Odezvy regulaˇcn´ıch obvod˚ u na jednotkov´ y skok ˇr´ızen´ı . . . . . . . . . . . . 192 10.25Impulsové charakteristiky regulátor˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 11.1 V´ıcerozmˇerová regulovaná soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 11.2 Blokové schéma v´ıcerozmˇerového regulaˇcn´ıho obvodu . . . . . . . . . . . . 196 B.1 Prvky grafu signálov´ ych tok˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 B.2 Blokov´ y diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 B.3 Graf signálov´ ych tok˚ u z´ıskan´ y z blokového diagramu . . . . . . . . . . . . . 207


8

Seznam tabulek ˇ ad a velikost ˇcasové konstanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R´ Tabulka chován´ı základn´ıch tvar˚ u pˇrenos˚ u na jednotkov´ y skok . . . . . . Ustálená odchylka pro r˚ uzné typy pr˚ ubˇeh˚ u ˇzádané hodnoty a typu regulaˇcn´ıho obvodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Ustálená odchylka pro r˚ uzné typy pr˚ ubˇeh˚ u poruchy a regulaˇcn´ıho obvodu 7.1 Doporuˇcené hodnoty parametr˚ u pro zásobu stability . . . . . . . . . . . . 8.1 Vzorce pro v´ ypoˇcet regulátor˚ u metodou optimáln´ıho modulu pro soustavy se stejn´ ymi ˇcasov´ ymi konstantami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Vzorce pro návrh parametr˚ u regulátoru metodou Ziegler-Nicholse . . . . 8.3 Whiteley-ho tvary charakteristick´ ych polynom˚ u v bezrozmˇerném tvaru . 10.1 Srovnán´ı hodnot jednotliv´ ych signál˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Diskrétn´ı ekvivalenty spojit´ ych PID regulátor˚ u. . . . . . . . . . . . . . . B.1 Vztah mezi jednoduch´ ymi blokov´ ymi schématy a signálov´ ymi diagramy . 3.1 5.1 5.2

. 38 . 64 . 66 . 69 . 119 . . . . . .

139 142 148 176 186 205


9

´ Uvod do automatick´ eho ˇ r´ızen´ı

1

C´ılem u ´vodn´ı kapitoly je vysvˇetlen´ı z´ akladn´ıch pojm˚ u, které se pouˇz´ıvaj´ı v automatizaˇcn´ı ˇ ızen´ı, jinými slovy regulace technice. Bude zde vysvˇetlen rozd´ıl mezi ovlád´ an´ım a ˇr´ızen´ım. R´ v uzavˇrené smyˇcce, bude hlavn´ı n´ apln´ı tohoto skripta.

1.1

Z´ akladn´ı pojmy

ˇ ızen´ı je kaˇzdé c´ılevˇedomé p˚ R´ usoben´ı na ˇr´ızen´ y objekt, s c´ılem dosáhnout pˇredem daného stavu. Pokud takové ˇr´ızen´ı prob´ıhá automaticky, mluv´ıme o automatickém ˇr´ızen´ı. Automatické ˇr´ızen´ı se v technické praxi vyskytuje ve dvou hlavn´ıch formách: 1. Sekvenˇ cn´ı ˇ r´ızen´ı, kdy ˇr´ızen´ y systém pˇrecház´ı postupnˇe z jednoho stavu do druhého (dalˇs´ıho). K pˇrechodu obvykle docház´ı tehdy, jsou-li splnˇeny urˇcité podm´ınky. Typick´ ym pˇr´ıkladem je start nebo ukonˇcen´ı nˇejakého technologického procesu. Kop´ırka typu xerox je pˇripravena k práci teprve po nahˇrát´ı válce; pˇri vypnut´ı projektoru zhasne lampa ale vˇetrák bˇeˇz´ı jeˇstˇe urˇcitou dobu aby nedoˇslo k pˇrehˇrát´ı zbytkov´ ym teplem. Sekvenˇcn´ı automatiky pr˚ umyslov´ ych celk˚ u (npˇr. energetického bloku) jsou ovˇsem mnohonásobnˇe sloˇzitˇejˇs´ı a poˇcet stav˚ u, kter´ ymi zaˇr´ızen´ı projde, m˚ uˇze j´ıt do des´ıtek tis´ıc˚ u. ˇ ızen´ı dynamick´ 2. R´ ych syst´ em˚ u. V tomto pˇr´ıpadˇe je c´ılem ˇr´ızen´ı aby daná v´ ystupn´ı (regulovaná) veliˇcina co nejpˇresnˇeji sledovala ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh dané ˇr´ıd´ıc´ı (ˇzádané,vstupn´ı) veliˇciny a to bez ohledu na signálové i parametrické poruchy, které na ˇr´ızenou soustavu mohou p˚ usobit. Regulátor, kter´ y generuje akˇcn´ı veliˇcinu, p˚ usob´ıc´ı na soustavu, mus´ı tedy plnit dvˇe u ´lohy: - zajistit vˇerné sledován´ı ˇr´ızen´ı, coˇz je obt´ıˇzné vzhledem k ˇcasov´ ym zpoˇzdˇen´ım (obecnˇe vzhledem k dynamick´ ym vlastnostem) ˇr´ızeného objektu; - kompenzovat poruchy, které mohou na ˇr´ızen´ y objekt p˚ usobit tak, aby se jejich vliv na regulované veliˇcinˇe projevil v co nejmenˇs´ı m´ıˇre. V tomto skriptu se budeme vˇenovat ˇr´ızen´ı dynamick´ ych systém˚ u, bez ohledu na to, p˚ ujde-li o systémy technické, ekonomické ˇci spoleˇcenské nebo jiné. D˚ uleˇzité je, zda rovnice, popisuj´ıc´ı vlastnosti ˇr´ızeného systému maj´ı stejn´ y tvar. Pokud ano, budou odvozené algoritmy ˇr´ızen´ı platit, at’ je fyzická podstata systému jakákoliv. Regulované soustavy (systémy, objekty) mohou m´ıt jeden vstup a jeden v´ ystup. V tom pˇr´ıpadˇe je oznaˇcujeme názvem SISO systémy (z anglického Single Input-Single Output). Pokud maj´ı v´ıce vstup˚ u a v´ıce v´ ystup˚ u, mluv´ıme o MIMO systémech (Multi Input-Multi Output). V systémech automatického ˇr´ızen´ı se vyskytuj´ı tyto základn´ı veliˇciny (promˇenné): • regulovan´ a veliˇ cina je v´ ystupn´ı veliˇcina ˇr´ızeného systému (obvyklé znaˇcen´ı je y) • ˇ r´ıdic´ı veliˇ cina, téˇz ˇzádaná hodnota nebo vstupn´ı veliˇcina; hodnota a ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh této promˇenné urˇcuje jaká má b´ yt hodnotu a ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh regulované veliˇciny (obvykle se znaˇc´ı w )


10

• regulaˇ cn´ı odchylka je rozd´ıl mezi ˇzádanou hodnotou a regulovanou veliˇcinou (obvykle se znaˇc´ı e , a plat´ı e = w − y ) • akˇ cn´ı veliˇ cina, téˇz regulaˇcn´ı veliˇcina, je vstupn´ı veliˇcina regulované soustavy a v´ ystupn´ı veliˇcina regulátoru; obvykle ji znaˇc´ıme u (nˇekdy také x) • porucha je veliˇcina, která p˚ usob´ı bud’ na vstupu, v´ ystupu nebo na libovolném m´ıstˇe regulované soustavy. V praxi m˚ uˇze na jednu soustavu p˚ usobit nˇekolik poruch v r˚ uzn´ ych m´ıstech. (V rámci tohoto kurzu budeme uvaˇzovat pouze signálové poruchy, parametrické poruchy, ˇcili zmˇeny vlastnost´ı regulované soustavy budou prob´ırány pozdˇeji). Signálové poruchy obvykle znaˇc´ıme v. Regulované soustavy mohou m´ıt stálé (ˇcasovˇe nepromˇenné, neboli invariantn´ı) vlastnosti, nebo se jejich vlastnosti mohou v ˇcase mˇenit. V tomto kurzu se budeme pˇreváˇznˇe zab´ yvat ˇcasovˇe nepromˇenn´ ymi soustavami. Procesy, prob´ıhaj´ıc´ı v regulovan´ ych soustavách mohou b´ yt popsány bud’ lineárn´ımi, nebo nelineárn´ımi rovnicemi. Pˇripomeˇ nme, ˇze lineárn´ı je takov´ y systém, u kterého plat´ı následuj´ıc´ı dvˇe tvrzen´ı (vˇety o linearitˇe): n´ asoben´ı konstantou - jestliˇze odezva systému na vstupn´ı signál u(t) je y(t), pak lineárn´ı systém odpov´ı na vstup ku(t) , kde k je konstanta, odezvou ky(t) princip superpozice - jestliˇze odezva syst´ Pemu na vstup ui (t) je Pyi (t), pak pro odezvu lineárn´ıho systému na signál u(t) = ni=1 ui (t) plat´ı y(t) = ni=1 yi (t).

ˇ V reálném svˇetˇe je jen velmi málo systém˚ u, které jsou skuteˇcnˇe lineárn´ı. Rada reáln´ ych systém˚ u se vˇsak - zejména v okol´ı pracovn´ıch bod˚ u - od lineárn´ıch systém˚ u odliˇsuje jen málo a proto je lze s urˇcitou m´ırou nepˇresnosti za lineárn´ı povaˇzovat. Vzhledem k tomu, ˇze popis i ˇreˇsen´ı problém˚ u s lineárn´ımi systémy je nesrovnatelnˇe jednoduˇsˇs´ı neˇz v pˇr´ıpadˇe systém˚ u s nelinearitami, omez´ıme se v tomto základn´ım kurzu na lineárn´ı systémy. Pˇri praktické realizaci provedeme nejprve tzv. linearizaci systému, pˇri které nahrad´ıme skuteˇcn´ y systém jeho modelem, kter´ y v okol´ı pracovn´ıho bodu s dostateˇcnou pˇresnost´ı nahrad´ı p˚ uvodnˇe nelineárn´ı vztahy lineárn´ımi rovnicemi. Linearizovat lze obvykle systémy s tzv. parazitn´ımi nelinearitami, které se v systémech vyskytuj´ı z d˚ uvodu konstrukˇcn´ıch (nasycen´ı, omezen´ı, pásmo necitlivosti, v˚ ule v ozuben´ ych pˇrevodech, hystereze magnetick´ ych materiál˚ u apod). Kromˇe tˇechto nelinearit se vˇsak v systémech automatického ˇr´ızen´ı vyskytuj´ı i tzv. podstatn´ e nelinearity, ˇcasto zavádˇené u ´myslnˇe, které linearizovat obvykle nelze (to se t´ yká zejména prvk˚ u s reléovou charakteristikou, které maj´ı pouze dvou nebo tˇr´ı hodnotov´ y v´ ystup). Nelineárn´ı systémy budou nápln´ı dalˇs´ıho kurzu. Proces ˇr´ızen´ı m˚ uˇze b´ yt realizován r˚ uzn´ ym zp˚ usobem a podle toho se systémy ˇr´ızen´ı rozdˇeluj´ı do nˇekolika skupin, z nichˇz nˇekteré jsou povaˇzovány za standardn´ı. Rozliˇsujeme regulátory pˇ r´ımoˇ cinn´ e a s pomocnou energi´ı podle toho, zda se k ˇr´ızen´ı pouˇz´ıvá pouze energie odebrané z ˇr´ızené soustavy, nebo ze zvláˇstn´ıho zdroje. Mezi pˇr´ımoˇcinné regulátory patˇr´ı jednoduché regulátory v ledniˇckách, ˇzehliˇckách, peˇc´ıc´ıch troubách nebo regulátory hladiny ˇci napˇet´ı (dob´ıjen´ı baterie v autech). Jiné dˇelen´ı m˚ uˇze b´ yt podle toho, zda p˚ usoben´ı akˇcn´ı veliˇciny je v ˇcase spojité, ˇci prob´ıhá pouze v urˇcit´ ych ˇcasech. Podle


11

toho mluv´ıme o spojit´ em nebo diskr´ etn´ım ˇr´ızen´ı.V tomto kurzu se budeme zab´ yvat obˇema typy ˇr´ızen´ı. Podle ˇcasového pr˚ ubˇehu ˇzádané (ˇr´ıd´ıc´ı) veliˇciny dˇel´ıme ˇr´ızen´ı do tˇr´ı skupin: ˇ ızen´ı na konstantn´ı hodnotu je takové, kdy ˇzádaná hodnota má po celou dobu • R´ ˇcinnosti konstantn´ı hodnotu. Sem patˇr´ı ˇr´ızen´ı frekvence a napˇet´ı v rozvodné s´ıti, regulace hladiny (npˇr. ve splachovaˇc´ıch na WC), ˇr´ızen´ı teploty v r˚ uzn´ ych technolog´ ick´ ych provozech. Ukolem ˇr´ızen´ı u tohoto typu je pouze kompenzace poruch, které p˚ usob´ı na ˇr´ızen´ y systém. Regulace na konstantn´ı hodnotu se vyskytuje obvykle u ˇr´ızen´ı základn´ıch fyzikáln´ıch veliˇcin (teplota, tlak, vlhkost, napˇet´ı, proud, otáˇcky, ˇ ıme sem i takové systémy, u kter´ pr˚ utok, hladina). Rad´ ych se ˇzádaná hodnota sice ˇcas od ˇcasu mˇen´ı ale mezi t´ım je konstantn´ı (teplota v obytn´ ych prostorech dennoc). Systémy automatického ˇr´ızen´ı na konstantn´ı hodnotu se ˇcasto obecnˇe naz´ yvaj´ı regul´ atory. • Systémy typu servomechanismus, se vyznaˇcuj´ı t´ım, ˇze ˇzádaná hodnota se mˇen´ı pˇredem neznám´ ym zp˚ usobem a hlavn´ım u ´kolem ˇr´ızen´ı je zajistit jej´ı co nejpˇresnˇejˇs´ı sledován´ı regulovanou veliˇcinou. Název je odvozen od nejˇcastˇejˇs´ı realizace tohoto ´ typu ˇr´ızen´ı, totiˇz sledován´ı polohy. Uloha kompenzace poruch je zde obvykle druhoˇradá a primárn´ı je zajiˇstˇen´ı co nejrychlejˇs´ı a nejvˇernˇejˇs´ı shody ˇr´ıd´ıc´ı a ˇr´ızené veliˇciny • Za programov´ e ˇ r´ızen´ı oznaˇcujeme takové, u kterého ˇzádaná veliˇcina má v ˇcase pˇredem znám´ ym pr˚ ubˇeh. Obˇe základn´ı u ´lohy ˇr´ızen´ı (co nejvˇernˇejˇs´ı sledován´ı a kompenzace poruch) jsou zde rovnocenné a podle toho také mus´ı b´ yt navrˇzen ˇr´ıd´ıc´ı algoritmus. Zcela základn´ı dˇelen´ı vˇsak spoˇc´ıvá v tom, zda se ˇr´ızen´ı dˇeje v otevˇ ren´ em obvodˇ e (bez zpˇetné vazby, obvykle mluv´ıme o ovl´ ad´ an´ı) nebo v uzavˇreném obvodˇe se zpˇ etnou vazbou (obvykle naz´ yvané regulace). Tyto dva základn´ı typy ˇr´ızen´ı jsou tak zásadn´ı, ˇze jim vˇenujeme samostatn´ y odstavec.

1.2

Syst´ emy pˇ r´ım´ eho a zpˇ etnovazebn´ıho ˇ r´ızen´ı (ovl´ ad´ an´ı a regulace)

Blokové schéma systému pˇr´ımého ˇr´ızen´ı je na obrázku 1.1. Na ˇr´ızenou soustavu (S) s v´ ystupem y p˚ usob´ı kromˇe akˇcn´ı veliˇciny x (v´ ystupn´ı veliˇcina regulátoru R) poruchy v1 (na vstupu soustavy) a v2 (pˇriˇc´ıtá se k v´ ystupu soustavy). Regulátor R produkuje akˇcn´ı veliˇcinu x podle ˇr´ıd´ıc´ı (ˇzádané) hodnoty w, která p˚ usob´ı na jeho vstupu. Vzhledem k tomu, ˇze regulátor nemá ˇzádné informace o skuteˇcné hodnotˇe v´ ystupu y , nem˚ uˇze reagovat na p˚ usoben´ı obou poruchov´ ych signál˚ u, z ˇcehoˇz plyne, ˇze v tomto uspoˇrádán´ı nen´ı moˇzné splnit jednu z hlavn´ıch u ´loh, kompenzovat vliv poruchov´ ych signál˚ u. Druhou základn´ı u ´lohu, totiˇz co nejvˇernˇejˇs´ı sledován´ı ˇzádané hodnoty lze realizoˇ ızen´ı bez vat jedinˇe tehdy, má-li regulátor správné informace o vlastnostech soustavy S. R´ zpˇetné vazby lze proto pouˇz´ıt jen tehdy, chceme-li zmˇenit vlastnosti soustavy z hlediska pˇrenosu ˇr´ıd´ıc´ı veliˇciny (podle pravidel blokové algebry je pˇrenos dvou blok˚ u, zapojen´ ych


12

v1 (t) w(t)

v2 (t)

x(t) R

y(t) S

Obr´ azek 1.1: Schéma ovládán´ı v sérii, dán souˇcinem jejich d´ılˇc´ıch pˇrenos˚ u). Jde vˇetˇsinou o jednoduché ˇr´ızen´ı ve smyslu ovládán´ı (ˇr´ızen´ı kˇriˇzovatky podle pˇredem stanoveného programu, vytápˇen´ı budov prost´ ym pˇrepnut´ım poloh ventilu pˇr´ıvodu páry podle denn´ı doby a roˇcn´ıho obdob´ı). V obou uveden´ ych pˇr´ıkladech bude ovˇsem skuteˇcná hodnota v´ ystupu záviset na pˇr´ıtomnosti poruchov´ ych signál˚ u (v pˇr´ıpadˇe kˇriˇzovatky nepˇredpokládaná hustota vozidel v jednom smˇeru, v pˇr´ıpadˇe vytápˇen´ı budov abnormáln´ı venkovn´ı teplota nebo jiné vlastnosti budovy- npˇr. otevˇrené okno). Naproti tomu pˇri pˇresné znalosti pˇrenosu soustavy lze vypoˇc´ıtat tvar akˇcn´ı veliˇciny tak, aby soustava pˇreˇsla z jednoho stavu do druhého pˇri splnˇen´ı zadan´ ych podm´ınek (npˇr. optimáln´ı ˇr´ızen´ı na minimum spotˇrebované energie nebo uskuteˇcnˇené v minimáln´ım moˇzném ˇcase). Naproti tomu ˇr´ızen´ı se zpˇetnou vazbou (regulace), jehoˇz blokové schéma je na obrázku 1.2, poskytuje daleko ˇsirˇs´ı moˇznosti. v1 (t) v2 (t) w(t)

e(t)

x(t) R

y(t) S

Obr´ azek 1.2: Schéma regulace ˇ ıd´ıc´ı veliˇcina w je v souˇctovém (rozd´ılovém) ˇclenu porovnávána s hodnotou reguloR´ vané veliˇciny y a v´ ysledná regulaˇcn´ı odchylka e je vstupn´ı veliˇcinou regulátoru. Regulátor tak m˚ uˇze reagovat nejen na zmˇenu ˇr´ıd´ıc´ı veliˇciny, ale i na d˚ usledky p˚ usob´ıc´ıch poruch. V následuj´ıc´ıch kapitolách budeme podrobnˇe studovat vlastnosti systém˚ u se zpˇetnou vazbou, ˇ ızen´ı a regulace zde jen dodejme, ˇze právˇe tento zp˚ usob ˇr´ızen´ı tvoˇr´ı hlavn´ı náplˇ n kurzu R´ I. Blokové schéma na obrázku 1.2 je maximálnˇe zjednoduˇseno pro u ´ˇcely pochopen´ı principu zpˇetné vazby. Praktická proveden´ı je obvykle sloˇzitˇejˇs´ı. Schéma nejˇcastˇejˇs´ı pˇr´ıstrojové realizace je na obrázku 1.3. ˇ ıd´ıc´ı veliˇcina w je zadávána bud’ ruˇcnˇe, pomoc´ı posuvného nebo otoˇcného ovladaˇce R´ a pro následn´ y rozd´ıl od regulované veliˇciny y je tˇreba ji upravit na stejnou fyzikáln´ı veliˇcinu, jako je signál z ˇcidla regulované veliˇciny. K tomu slouˇz´ı pˇrevodn´ıky Pˇr.1 a Pˇr.2., u kter´ ych pˇredpokládáme linearitu a z hlediska dynamiky nulové zpoˇzdˇen´ı. Proto je v


13

v1 w

Pˇr.1

e

´ redn´ı Ustˇ ˇclen

Výkonový zesilovaˇc

Akˇcn´ı org´ an

Pˇr.2

x

v2 ˇ ızen´ R´ a soustava

y

Sn´ımaˇc (ˇcidlo)

Obr´ azek 1.3: Podrobné schéma regulace uˇzeme vynechat. Dynamické vlastnosti sn´ımaˇce regulaˇcn´ım schématu na obrázku 1.2 m˚ obvykle zanedbatelné nejsou, pˇredpokládáme vˇsak, ˇze jsou zahrnuty do chován´ı regulované soustavy. Samotn´ y regulátor se skládá z u ´stˇredn´ıho ˇclenu, kter´ y urˇcuje vlastn´ı algoritmus ˇr´ızen´ı, v´ ykonového zesilovaˇce a akˇcn´ıho orgánu. Dynamické vlastnosti tˇechto blok˚ u obvykle zahrnujeme bud’ do regulované soustavy, nebo do regulátoru. V obrázku 1.3 nejsou nakresleny signálové poruchy, které ovˇsem mohou p˚ usobit v kterémkoliv m´ıstˇe. V technické praxi je obvyklé chápat pod slovem regulátor vˇsechny bloky z obrázku 1.3, kromˇe samotné soustavy a akˇcn´ıho orgánu. V obchodn´ı nab´ıdce pak najdeme standardnˇe vyrábˇené regulátory, ke kter´ ym se pˇripoj´ı pouze sn´ımaˇc zvoleného typu a jejichˇz v´ ystup je schopen ovládat vybran´ y akˇcn´ı ˇclen (ventil, servomotor, solenoid apod.). Velikost ˇzádané veliˇciny se nastavuje bud’ ruˇcnˇe na ˇceln´ım panelu regulátoru, nebo se zadává dálkovˇe z pˇripojeného poˇc´ıtaˇce. Tyto regulátory se vyrábˇej´ı pro regulaci vˇsech bˇeˇzn´ ych fyzikáln´ıch veliˇcin (teplota, tlak, poloha, vlhkost, otáˇcky, napˇet´ı). Ve velké vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u vyhov´ı pomˇernˇe jednoduché algoritmy ˇr´ızen´ı (reléové nebo PID). Reléové regulátory patˇr´ı do oblasti nelineárn´ıch systém˚ u a jsou obsahem dalˇs´ıho kurzu.

1.3

Shrnut´ı

ˇ aˇr se V této kapitole byly probrány základn´ı pojmy z oblasti automatického ˇr´ızen´ı. Cten´ zde seznámil s rozd´ılem mezi ovládán´ı a ˇr´ızen´ım, se základn´ımi blokov´ ymi schématy. Bylo zde popsáno podrobné regulaˇcn´ı schéma

1.4

Kontroln´ı ot´ azky

Ot´ azka 1.1 Jaký je rozd´ıl mezi ovlád´ an´ım a regulac´ı? Ot´ azka 1.2 Jak jsou definov´ any line´ arn´ı systémy? Ot´ azka 1.3 Vyjmenujte z´ akladn´ı veliˇciny, které se vyskytuj´ı v systémech automatického ˇr´ızen´ı a popiˇste je? Ot´ azka 1.4 Jaký je rozd´ıl mezi pˇr´ımoˇcinným regul´ atorem a regul´ atorem s pomocnou energi´ı?


Ot´ azka 1.5 Jak se rozdˇeluje ˇr´ızen´ı podle ˇcasového pr˚ ubˇehu ˇza´dané hodnoty? Ot´ azka 1.6 Vysvˇetlete pojmy SISO a MIMO. Ot´ azka 1.7 Nakreslete podrobné regulaˇcn´ı schéma pomoc´ı blokové diagramu. Ot´ azka 1.8 Nakreslete blokové schéma ovlád´ an´ı a regulace.

14


2

15

Stavov´ y popis syst´ em˚ u

V pˇredmˇetu Sign´ aly, procesy, soustavy jste se dozvˇedˇeli o vnˇejˇs´ım popisu systém˚ u. Do vnˇejˇs´ıho popisu spad´ a popis pomoc´ı diferenci´ aln´ı rovnice, impulsové charakteristiky, pˇrechodové charakteristiky, frekvenˇcn´ı charakteristiky, operátorového a frekvenˇcn´ıho pˇrenosu systému a rozloˇzen´ı nul a pól˚ u. Jejich spoleˇcným rysem je fakt, ˇze se nezaj´ımaj´ı o to, co se v systému skuteˇcnˇe dˇeje, ale pouze o relaci mezi vstupem a výstupem. Na systém tedy pohl´ıˇzej´ı jako na ˇcernou skˇr´ıˇ nku. V této kapitole se seznám´ıme se stavovým popisem systém˚ u. Základn´ı stavebn´ı prvky stavového popisu jsou integrátor, sumátor a proporcionáln´ı ˇclen. Vzájemnému propojen´ı tˇechto z´ akladn´ıch prvk˚ u tak, aby popisovaly chov´ an´ı nˇejakého systému se ˇr´ıká stavový diagram. Jak jiˇz vyplýv´ a z n´ azvu, je tento popis zaloˇzen na pojmu stav systému na který m˚ uˇzeme pohl´ıˇzet jako na výstup integrátoru. Stavový popis vznikl z d˚ uvodu moˇznosti studovat stavy uvnitˇr systému, zejména u v´ıcerozmˇerových a u nelineárn´ıch systém˚ u.

2.1

Z´ akladn´ı pojmy stavov´ eho popisu

Doposud jsme vˇetˇsinou uvaˇzovali systém s jedn´ım vstupem a jedn´ım v´ ystupem. Stavov´ y popis se ˇcasto pouˇz´ıvá pro systémy s v´ıce vstupy a v´ ystupy. Proto pˇri zavádˇen´ı stavového popisu uvaˇzujme lineárn´ı systém s m vstupy a r v´ ystupy, tak jak je znázornˇeno na obrázku 2.1. Takov´ yto systém bychom mohli popsat mnoˇzstv´ım pˇrenos˚ u mezi jednotliv´ ymi vstupy a v´ ystupy. Pro zv´ yˇsen´ı pˇrehlednosti popisu se pouˇz´ıvá maticového zápis˚ u. T´ım bychom vˇsak opˇet z´ıskali pouze vnˇejˇs´ı popis. poruchy

u2 (t) .. . um (t)

Lineárn´ı systém   x1 (t)  x2 (t)    x(t) =  ..   .  xn (t)

y1 (t) y2 (t) .. .

V´ ystupy

Vstupy

u1 (t)

yr (t)

Obr´ azek 2.1: Obecn´ y lineárn´ı systém K tomu, abychom mohli provést vnitˇrn´ı popis systému 2.1 potˇrebujeme zavést nˇekteré pojmy Stav syt´ emu je nejmenˇs´ı poˇcet promˇenn´ ych n (stavov´ ych promˇenn´ ych), jejichˇz znalost v ˇcase t = t0 spolu se znalost´ı vstup˚ u do systému pro ˇcasy t > t0 plnˇe urˇcuje chován´ı systému v ˇcase t > t0 . Stav systému urˇcuje stavov´ y vektor.


16

Stavov´ y vektor je sloupcov´ y vektor, kter´ y vˇetˇsinou znaˇc´ıme x(t) a jehoˇz sloˇzky tvoˇr´ı stavové promˇenné (viz. 2.1).  x1 (t)  x2 (t)    x(t) =  ..   .  

xn (t)

 u1 (t)  u2 (t)    u(t) =  ..   .  

um (t)

  y1 (t) y2 (t)   y(t) =  ..   .  yr (t)

(2.1)

Stavov´ e promˇ enn´ e dynamického systému jsou ˇcasové funkce, které urˇcuj´ı vnitˇrn´ı stav systému. Z hlediska praktického pouˇzit´ı je lepˇs´ı, kdyˇz stavové promˇenné vyjadˇruj´ı nˇejakou mˇeˇritelnou veliˇcinu uvnitˇr systému. Obecnˇe vˇsak stavy zvolené stavy nemus´ı v systému fyzicky existovat. Stavov´ y prostor je n-rozmˇern´ y prostor reáln´ ych ˇc´ısel Rn , jehoˇz souˇradnice tvoˇr´ı stavové promˇenné. Stav systému v daném okamˇziku je bod v tomto prostoru. Vektor vstup˚ u je m-rozmˇern´ y sloupcov´ y vektor, jehoˇz sloˇzky tvoˇr´ı vstupn´ı veliˇciny systému a znaˇc´ıme jej obvykle u(t) (viz. 2.1). U systému s jedn´ım vstupem je u(t) skalárn´ı veliˇcina u(t) = u(t) Vektor v´ ystup˚ u (v´ ystupn´ı vektor) je r-rozmˇern´ y sloupcov´ y vektor, jehoˇz sloˇzky tvoˇr´ı v´ ystupn´ı veliˇciny systému a znaˇc´ıme jej obvykle y(t) (viz. 2.1). U systému s jedn´ım v´ ystupem je y(t) skalárn´ı veliˇcina y(t) = y(t) Stavov´ e rovnice urˇcuj´ı vztah mezi stavem systému a jeho vstupu a v´ ystupy. Prvn´ı stavovou rovnici tvoˇr´ı soustava diferenciáln´ıch rovnic prvn´ıho ˇrádu. Udává vztah mezi derivacemi stavov´ ych promˇenn´ ych a vektory stavu a vstupu. T´ım vlastnˇe popisuje, jak se vyv´ıj´ı stavy systému v ˇcase. Na stav se m˚ uˇzeme d´ıvat jako na vektor v n-rozmˇerném prostoru, jehoˇz poloha se v ˇcase mˇen´ı a t´ım jeho konec vytváˇr´ı kˇrivku, která se naz´ yvá stavová trajektorie x˙ 1 = a11 x1 (t) + · · · a1n xn (t) + b11 u1 (t) + b1m um (t) x˙ 2 = a21 x1 (t) + · · · a2n xn (t) + b21 u1 (t) + b2m um (t) .. .. . . x˙ n = an1 x1 (t) + · · · ann xn (t) + bn1 u1 (t) + bnm um (t)

(2.2)

Vid´ıme, ˇze tento popis umoˇzn ˇuje vazbu derivace stavové promˇenné na libovoln´ y vstup nebo stav. Pokud zde tento vztah nen´ı, je odpov´ıdaj´ıc´ı koeficient roven nule. Pˇredeˇslá rovnice lze jednoduˇse pˇrepsat maticovˇe ˙ x(t) = Ax(t) + Bu(t)

(2.3)


17

Druhá stavová rovnice urˇcuje vztah mezi vektorem v´ ystupu a vektory stavu a vstupu. y1 = c11 x1 (t) + · · · c1n xn (t) + d11 u1 (t) + d1m um (t) y2 = c21 x1 (t) + · · · c2n xn (t) + d21 u1 (t) + d2m um (t) .. .. . . yr = cr1 x1 (t) + · · · crn xn (t) + dr1 u1 (t) + drm um (t)

(2.4)

Druhou stavovou rovnici m˚ uˇzeme také zapsat maticovˇe y(t) = Cx(t) + Du(t)

(2.5)

Matice koeficient˚ u A, B, C a D maj´ı následuj´ıc´ı v´ yznam A je matice vnitˇrn´ıch vazeb systému (téˇz systémová matice nebo matice zpˇetn´ ych vazeb). Má rozmˇer n × n

B je matice vazeb systému na vstup (téˇz vstupn´ı matice). Má rozmˇer n × m. C je matice vazeb v´ ystupu na stav (téˇz v´ ystupn´ı matice). Má rozmˇer r × n.

D je matice pˇr´ım´ ych vazeb v´ ystupu na vstup (téˇz v´ ystupn´ı matice). Má rozmˇer r × n. Z hlediska dynamick´ ych vlastnost´ı nejsou tyto vazby podstatné a v ˇradˇe pˇr´ıpad˚ u je tato matice nulová. U lineárn´ıho stacionárn´ıho systému jsou vˇsechny koeficienty matic konstantn´ı reálná ˇc´ısla. Pokud jsou nˇekteré koeficienty závislé na ˇcase, pak se jedná o ˇcasovˇe promˇenn´ y systém. U nelineárn´ıho spojitého systému mohou b´ yt prvky matic závislé na stavov´ ych promˇenn´ ych, nebo na vstupn´ıch veliˇcinách. Stavové rovnice se potom nezapisuj´ı maticovˇe, ale pomoc´ı obecnˇejˇs´ıho zápisu, se kter´ ym se budete setkávat v navazuj´ıc´ım kurzu Regulace a ˇr´ızen´ı II. x˙ = f (x, u, t) y = g(x, u, t)

(2.6)

Na obrázku 2.2 je ukázáno obecné stavové schéma, které vyjadˇruje rovnice (2.3) a (2.5). Blok s integrátory pˇredstavuje n nezávisl´ ych integrátor˚ u. Vˇsechny signály jsou nakresleny tuˇcnˇe, aby se upozornilo na skuteˇcnost, ˇze se obecnˇe jedná o vektory. Barevnˇe jsou rozliˇseny r˚ uzné dimenze vektor˚ u. Na rozd´ıl od vnitˇrn´ıho popisu, kdy je relace mezi vstupem a v´ ystupem dána jednoznaˇcnˇe nen´ı zp˚ usob stavového popisu jednoznaˇcn´ y. R˚ uzné tvary matic A, B, C a D mohou totiˇz z hlediska vstup v´ ystupn´ıho dávat stejné odezvy. Pˇ r´ıklad 2.1 U n´ asleduj´ıc´ıho schématu urˇcete a) pˇrenos v Laplaceovˇe transformaci


18

D

˙ x(t)

u(t)

x(t) R

B

y(t)

dt

C

A Obr´ azek 2.2: Obecné stavové schéma systému

i

R

L

uR

uL

u1 (t)

Obr´ azek 2.3: Jednoduché elektrické schéma

C

u2 (t)


19

b) stavový popis c) z urˇceného stavového popisu vyj´ adˇrete pˇrenos v Laplaceovˇe transformaci ad a) Pro urˇcen´ı pˇrenosu potˇrebujeme znát impedance jednotliv´ ych prvk˚ u. Jak v´ıme z teorie elektrick´ ych obvod˚ u je impedance c´ıvky pL a impedance kondenzátoru 1/pC. Operátorov´ y pˇrenos se urˇc´ı jako pomˇer obrazu v´ ystupn´ıho napˇet´ı U2 (p) ku obrazu vstupn´ıho napˇet´ı U1 (p). Pro dané obrazy plat´ı: v´ ystupn´ı napˇet´ı je napˇet´ı na kondenzátoru U2 (p) = I(p)/pC a vstupn´ı napˇet´ı je dáno souˇctem napˇet´ı na odporu, indukˇcnosti a 1 kondenzátoru U1 (p) = RI(p) + pLI(p) + pC I(p). V´ ysledn´ y pˇrenos m˚ uˇzeme psát 1 I(p) U2 (p) pC F (p) = = U1 (p) RI(p) + pLI(p) +

1 I(p) pC

=

LCp2

1 + CRp + 1

Urˇcen´ı pˇrenosu tohoto jednoduchého elektrického zapojen´ı je vcelku jednoduchou záleˇzitost´ı. Vˇsimnˇeme si, ˇze ze zjiˇstˇeného pˇrenosu nejsme schopni zpˇetnˇe urˇcit proud nebo napˇet´ı na jednotliv´ ych prvc´ıch. Dává nám pouze pˇredstavu o vztahu mezi vstupem a v´ ystupem. Pod´ıvejme se nyn´ı, jak je to s urˇcen´ım stavového popisu. ad b) Pˇri urˇcován´ı stavového popisu je potˇreba zvolit stavové promˇenné. Jako stavové promˇenné se u elektrick´ ych obvod˚ u vol´ı veliˇciny, které skokovˇe nemˇen´ı svoji hodnotu. Jedná se o napˇet´ı na kondenzátoru a o proud c´ıvkou. I pˇres toto doporuˇcen´ı existuje pˇri volbˇe stavov´ ych promˇenn´ ych volnost. M˚ uˇzeme si totiˇz tyto veliˇciny vybrat v libovolném poˇrad´ı. Zvolme si napˇr´ıklad proud c´ıvkou, kter´ y odpov´ıdá proudu v celém obvodu i jako stavovou promˇennou x2 a napˇet´ı na kondenzátoru C, které je vlastnˇe v´ ystupn´ım napˇet´ım u2 jako druhou stavovou promˇennou x1 . Z fyziky v´ıme, ˇze pro vztah mezi proudem a napˇet´ım na c´ıvce a na kondenzátoru plat´ı vztahy. i=C

du2 dt

di dt Tyto vzoreˇcky se pokus´ıme upravit tak, aby se zde vyskytovaly pouze stavové promˇenné a vstupy a v´ ystupy. Napˇet´ı na c´ıvce m˚ uˇzeme rozepsat jako uL = u1 −uR −u2 = u1 −Ri−u2 . Dosazen´ım do pˇredchoz´ıch rovnic a vyjádˇren´ım derivac´ı stavov´ ych promˇenn´ ych z´ıskáme uL = L

i du2 = dt C di 1 = (u1 − Ri − u2 ) dt L Toto je prvn´ı stavová rovnice popisuj´ıc´ı chován´ı elektrického schématu podle obrázku 2.3. Druhá stavová rovnice popisuje v´ ystupy ze systému. V naˇsem pˇr´ıpadˇe máme jeden v´ ystup, kter´ y je pˇr´ımo roven jedné stavové promˇenné u2 (t), y(t) = u2 (t)


20

Zkusme si stavové rovnice zapsat maticovˇe. Pˇredt´ım nˇeˇz tak uˇcin´ıme si nejprve pˇrepiˇsme pˇredchoz´ı rovnice do tvaru rovnic 2.2 a 2.4 1 du2 = 0u2 + i + 0u1 dt C 1 R 1 di = − u2 − i + u 1 dt L L L y = 1u2

(2.7)

+0i + 0u1

V maticovém zápisu potom dostáváme     1 du2 0! 0 u2  dt   C  1 u1  di  =  1 R i − − L L L dt u2 + 0u1 y= 1 0 i

2.2

(2.8)

Vz´ ajemn´ y vztah mezi vnitˇ rn´ım a vnˇ ejˇ s´ım popisem

Mezi vnitˇrn´ım a vnˇejˇs´ım popisem existuje vzájemná souvislost. Pokud máme stavov´ y popis systému, m˚ uˇzeme z nˇeho urˇcit matici pˇrenosov´ ych funkc´ı. To, ˇze se jedná o matici je dáno t´ım, ˇze stavov´ y popis je definován obecnˇe pro v´ıce vstup˚ u a v´ ystup˚ u. Naproti tomu pˇrenos systému je definován mezi jedn´ım vstupem a jedn´ım v´ ystupem. V této matici jsou uloˇzeny vˇsechny vzájemné kombinace vstup˚ u a v´ ystup˚ u. Tento smˇer pˇrevodu je jednoznaˇcn´ y. Pokud máme pˇrenos systému s jedn´ım vstupem a jedn´ım v´ ystupem, pak je moˇzné ho pˇrevést na stavov´ y popis. Tento pˇrevod jiˇz nen´ı jednoznaˇcn´ y, protoˇze existuje v´ıce, na prvn´ı pohled r˚ uzn´ ych, stavov´ ych popis˚ u, které maj´ı stejné chován´ı, jako jeden pˇrenos.

2.3

Urˇ cen´ı matice pˇ renosov´ ych funkc´ı ze stavov´ eho popisu

Uvaˇzujme lineárn´ı stacionárn´ı systém s m vstupy a r v´ ystupy. Vnˇejˇs´ı popis je reprezentován matic´ı pˇrenosov´ ych funkc´ı F (p)   F11 (p) F12 (p) · · · F1m (p) F21 (p) F22 (p) · · · F2m (p)   F =  .. (2.9) .. ..  . .  . . . .  Fr1 (p) Fr2 (p) · · · Frm (p) Pro vektor obraz˚ u v´ ystup˚ u Y (p) = (Y1 (p), Y2 (p), · · · , Yr (p))T plat´ı Y (p) = F (p)U (p) kde U (p) = (U1 (p), U2 (p), · · · , Um (p))T . Pro jednotlivé prvky matice pˇrenos˚ u (pˇrenosové matice) F (p) plat´ı Fij (p) =

(2.10) Yi (p) Uj (p)


21

Protoˇze Y (p) a U (p) jsou vektory, jejichˇz dˇelen´ı nen´ı definováno, nem˚ uˇzeme definiˇcn´ı vztah pro celou matici F (p) psát ve stejném tvaru jako vztahy pro jednotlivé jej´ı prvky. Odvozen´ı matice pˇrenosu provedeme pˇrevodem stavov´ ych rovnic do Laplaceovy transformace. pX(p) − X(0) = AX(p) + BU (p) Y (p) = CX(p) + DU (p)

(2.11) (2.12)

Pˇrenosy jsou definovány pro nulové poˇcáteˇcn´ı podm´ınky, proto se prvn´ı rovnice zjednoduˇs´ı na pX(p) = AX(p) + BU (p)

(2.13)

Nyn´ı si vyjádˇr´ıme X X(p) = (pI − A)−1 BU (p)

(2.14)

kde I je jednotková matice. Dosazen´ım takto upravené prvn´ı stavové rovnice do druhé stavové rovnice v Laplaceovˇe transformaci dostaneme Y (p) = C(pI − A)−1 B + D U (p) (2.15) Z matematiky v´ıme, ˇze inverze matice (pI − A)−1 se dá spoˇc´ıtat jako pod´ıl jej´ı adjungované s jej´ım determinantem. Potom 1 Y (p) = C adj(pI − A)B + D U (p) (2.16) det (pI − A)

V hranat´ ych závorkách je z´ıskan´ y pˇrenos F (p). Pˇrenosová matice má póly rovné vlastn´ım ˇc´ısl˚ um matice A. To neznamená, ˇze by vˇsechny pˇrenosy v pˇrenosové matici obsahovaly vˇsechny póly F (p), protoˇze nˇekteré z nich se mohou zkrátit s koˇrenov´ ymi ˇciniteli v ˇcitateli. Zpˇetná transformace matice pˇrenos˚ u F (p) dává matici impulsn´ıch charakteristik G(t). Prvky této matice gij (t) reprezentuj´ı odezvu systému na i-tém v´ ystupu na Dirak˚ uv impuls p˚ usob´ıc´ı na j-tém vstupu. Pˇ r´ıklad 2.2 Systém je pops´ an n´ asleduj´ıc´ımi maticemi: 1 0 0 1 C= 1 2 D=0 B= A= 0 1 0 −2

Urˇcete pˇrenosovou matici F (p).

(2.17)


22

Na základˇe dimenz´ı matic v´ıme, ˇze systém má dva vstupy a jeden v´ ystup. Nejprve vypoˇc´ıtáme inverzi matice p 1 0 1 1 0 = − pI − A = p 0 p+2 0 −2 0 1 −1

(pI − A)

1 1 = adj(pI − A) = det (pI − A) p(p + 2)

p+2 1 0 p

(2.18)

Pro matici pˇrenos˚ u potom plat´ı −1

F (p) = C(pI − A) B = 1 2

2.4

1 p(p + 2)

1 0 p+2 1 0 1 0 p

(2.19)

Pˇ rechod k jin´ ym stavov´ ym promˇ enn´ ym

Regulárn´ı transformace stavov´ ych promˇenn´ ych vytváˇr´ı novou stavovou reprezentaci, která má stejné vztahy mezi vstupy a v´ ystupy. Mnoˇzina n nov´ ych stavov´ ych promˇenn´ ych se z´ıská transformac´ı x01 = p11 x1 + p12 x2 + · · · + p1n xn x02 = p21 x1 + p22 x2 + · · · + p2n xn .. . 0 xn = pn1 x1 + pn2 x2 + · · · + pnn xn

(2.20)

Tento vzorec m˚ uˇzeme zapsat maticovˇe x0 = P x

(2.21)

Pokud je provedená transformace regulárn´ı, potom se daj´ı p˚ uvodn´ı stavové promˇenné vyjádˇrit na základˇe nov´ ych stavov´ ych promˇenn´ ych pomoc´ı inverzn´ı transformace x = Qx0 = P −1 x0

(2.22)

Kdyˇz dosad´ıme inverzn´ı transformaci do stavov´ ych rovnic (2.3) a (2.5), z´ıskáme P −1 x˙ 0 = AP −1 x0 + Bu x˙ 0 = (P AP −1 )x0 + (P B)u y = (CP −1 )x0 + Du

(2.23)

Zavedeme-li oznaˇcen´ı nov´ ych matic A0 = P AP −1 B0 = P B C 0 = CP −1

(2.24)


23

jsou nové stavové rovnice x˙ 0 = A0 x0 + B 0 u y = C 0 x0 + Du

(2.25)

Ukaˇzme, ˇze vztahy mezi vstupy a v´ ystupy jsou u obou stavov´ ych popis˚ u stejné. Matice pˇrenosov´ ych funkc´ı transformovaného systému je F 0 (p) = C 0 (pI − A0 )−1 B 0 Pokud v této rovnici nahrad´ıme nové matice maticemi p˚ uvodn´ıho systému, z´ıskáme rovnici F 0 (p) = = = = =

CP −1 (pI − P AP −1 )−1 P B = CP −1 (pP P −1 − P AP −1 )−1 P B = CP −1 [P (pI − A)P −1 ]−1 P B = CP −1 P (pI − A)−1 P −1 P B = C(pI − A)−1 B

coˇz je stejná matice pˇrenosov´ ych funkc´ı jako pro systém s p˚ uvodn´ımi stavov´ ymi promˇenn´ ymi. Pˇ r´ıklad 2.3 Pomoc´ı programu Matlab pˇreved’te systém popsaný pˇrenosem F (p) =

1 p3 + 2p2 + 3p + 1

na systém popsaný stavovými rovnicemi. Z´ıskané vyj´ adˇren´ı pˇreved’te na jiný tvar pomoc´ı transformaˇcn´ı matice   1 0 1 P = 0 1 2 0 0 3 Nejprve zadáme pˇrenos

>> F = tf(1,[1 2 3 1]); Potom ho pˇrevedeme na stavov´ y popis >> Fss = ss(F) a =

x1 x2 x3

x1 -2 4 0

b = x2 -0.75 0 4

x3 -0.0625 0 0

c = y1

x1 x2 x3

u1 0.25 0 0

d = x1 0

x2 0

x3 0.25

y1

u1 0


24

stavov´ y popis systému pˇretransformujeme na nov´ y pomoc´ı transformaˇcn´ı matice >> P = [1 0 1;0 1 2;0 0 3]; Fsst = ss2ss(Fss,P) a = x1 x2 x3 x1 -2 3.25 -1.521 x2 4 8 -6.667 x3 0 12 -8 c =

x1 x2 x3

u1 0.25 0 0

d = x1 0

y1

2.5

b =

x2 0

x3 0.08333

y1

u1 0

Urˇ cen´ı stavov´ eho popisu z pˇ renosu jednorozmˇ ern´ ych syst´ em˚ u

Máme-li pˇrenos jednorozmˇerného systému v Laplaceovˇe transformaci, ˇci diferenciáln´ı rovnici, m˚ uˇzeme provést pˇrevod na stavov´ y popis. Jak jiˇz bylo ˇreˇceno, nen´ı stavov´ y popis jednoznaˇcn´ y. Nˇekteré tvary pˇrenos˚ u maj´ı zvláˇstn´ı postaven´ı pˇri urˇcován´ı stavového popisu systému. Tato zvláˇstnost se projevuje t´ım, ˇze prvky matic A, B, C a D pˇr´ımo souvisej´ı se zápisem v Laplaceovˇe transformaci, takˇze jejich urˇcen´ı je (jak si ukáˇzeme v následuj´ıc´ıch podkapitolách) jednoduchou záleˇzitost´ı. O pˇrenosové funkci pˇredpokládáme, ˇze je ve tvaru racionáln´ı funkce lomené, neobsahuje ˇzádné nevykrácené nuly a póly. Takov´ y systém byl neˇriditeln´ y a nepozorovateln´ y. Tyto dva pojmy budou rozebrány pozdˇeji. 2.5.1

Pˇ r´ım´ e programov´ an´ı

Tento zp˚ usob pˇrevodu je vhodn´ y, jestliˇze pˇrenosová funkce je ve tvaru pomˇeru dvou polynom˚ u F (p) =

Y (p) bm pm + bm−1 pm−1 + · · · + b1 p + b0 = , kde m ≤ n U (p) pn + an−1 pn−1 + · · · + a1 p + a0

(2.26)

Stavov´ y diagram, kter´ y odpov´ıdá tomuto systému je na obrázku 2.4, coˇz dokáˇzeme tak, ˇze odvod´ıme pˇrenosovou funkci diagramu. Pro Laplace˚ uv obraz funkce e(t) plat´ı a0 an−1 an−2 + 2 + ··· + n E(p) = U (p) − E(p) p p p a pro obraz v´ ystupu 1 1 1 1 Y (p) = E(p) bn + bn−1 + 2 bn−2 + · · · + n−1 b1 + n b0 p p p p Vyjádˇren´ım U (p), dosazen´ım do pomˇeru Y (p)/U (p) a vynásoben´ım ˇcitatele i jmenovatele pn dostaneme stejn´ y pˇrenos jako je uveden v rovnici 2.26. Pokud plat´ı m = n − k,


25

jsou koeficienty bi pro i = n, n − 1, n − 2, · · · , n − k nulové. Pokud zvol´ıme v´ ystupy integrátor˚ u za stavové promˇenné x1 (t) aˇz xn (t), jsou matice systému ve tvaru     0 1 0 ··· 0 0   0   0 1 ··· 0   0    .. .. .. ..  A =  ... B =  ...  . . . .      (2.27)  0 0 0 0 ··· 1  1 −a0 −a1 −a2 · · · −an−1 C = [(b0 − a0 bn ), (b1 − a1 bn ), · · · , (bn−1 − an−1 bn )] D = bn U vˇetˇsiny reáln´ ych dynamick´ ych systém˚ u plat´ı n > m. To znamená, ˇze koeficient bn je nulov´ y, ˇc´ımˇz se podstatnˇe zjednoduˇs´ı matice C a matice pˇr´ım´ ych vazeb ze vstupu na v´ ystup je nulová D = 0. Pˇri tomto zp˚ usobu konstrukce z´ıskáváme zvláˇstn´ı tvar systémov´ ych matic. Matice A má nenulové pouze jednotkové koeficienty nad hlavn´ı diagonálou a v posledn´ım ˇrádku jsou zápornˇe vzaté koeficienty polynomu ve jmenovateli pˇrenosu F (p). Jak jiˇz v´ıme, je dynamika systému dána právˇe jmenovatelem pˇrenosu. Proto nepˇrekvapuje, ˇze je matice zpˇetn´ ych vazeb svázána právˇe s jmenovatelem. Tato realizace stavového popisu se naz´ yvá Frobeni˚ uv kanonický tvar. Pozn´ amka: V nˇekteré literatuˇre a také v programu Matlab jsou stavy indexovány v obráceném poˇrad´ı. To se nám projev´ı ve zmˇenˇe tvaru systémov´ ych matic. Matice A má potom nenulové pouze jednotkové koeficienty pod hlavn´ı diagonálou a koeficienty v prvn´ım ˇrádku, které jsou zápornˇe vzaté koeficienty ve jmenovateli pˇrenosu F (p), ale v obr´ aceném poˇrad´ı. Matice B a C, které jsou v naˇsem uvaˇzovaném pˇr´ıpadˇe jednorozmˇerov´ ych systém˚ u vektory jsou potom v obráceném poˇrad´ı. Je troˇsku matouc´ı, ˇze i tento zp˚ usob zápisu je naz´ yván kanonickým tvarem. 2.5.2

Paraleln´ı programov´ an´ı

Tento zp˚ usob konverze pˇrenosové funkce do stavového popisu se pouˇz´ıvá tehdy, pokud je pˇrenos systému ve tvaru souˇctu jednoduch´ ych v´ yraz˚ u, jejichˇz jmenovatel je nejv´ yˇse druhého ˇrádu. b1 b2 bk bn F (p) = + + ··· + 2 + (2.28) p + a1 p + a2 p + ak−1 p + ak p + an Stavov´ y diagram odpov´ıdaj´ıc´ı tomuto pˇrenosu je na obrázku 2.5. Stavové matice maj´ı tvar.     −a1 0 0 · · · 0 0 ··· 0 1  0 −a2 0 · · · 0 0 ··· 0   .    .. .. .. .. ..   . 1 . . . . .   .  ..  A=  B = . 0 0 · · · −ak−1 −ak · · · 0   0   (2.29)  . 1 .. .. .. .. ..   ..  . . . . . 1 0 0 0 ··· 0 0 · · · −an C = [b1 , b2 , · · · , 0, bk , · · · , bn ]

D=0


26

y(t)

bn−1

bn

bn−2

xn (0) u(t) e(t)

R

xn−1 (0) xn

R

−an−1

b1

x2 (0) xn−1

R

−an−2

b0

x1 (0) x2

R −a1

x1

−a0

Obr´ azek 2.4: Stavov´ y diagram pˇr´ımého programován´ı Tento tvar matice A je Jordan˚ uv kanonick´ y tvar. Matice A má vˇsechny prvky mimo hlavn´ı diagonálu nulové a na hlavn´ı diagonále jsou vlastn´ı ˇc´ısla matice A. Vyj´ımku tvoˇr´ı koeficienty odpov´ıdaj´ıc´ı dvojˇclenu (vlastn´ı ˇc´ısla jsou komplexn´ı). Tento tvar je nesm´ırnˇe v´ yhodn´ y pro dalˇs´ı v´ ypoˇcty a pokud je to moˇzné, snaˇz´ıme se jej vˇzdy pouˇz´ıt. Podm´ınkou je ovˇsem znalost vlastn´ıch ˇc´ısel matice A, coˇz b´ yvá málokdy splnˇeno. 2.5.3

S´ eriov´ e programov´ an´ı

Pˇrevod pomoc´ı sériového programován´ı je vhodn´ y, pokud je pˇrenosová funkce ve tvaru souˇcinu koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u. F (p) =

b0 (p + b1 )(p + b2 ) · · · (p + bm ) (p + a1 )(p + a2 ) · · · (p + an )

(2.30)

Stavov´ y diagram, kter´ y odpov´ıdá pˇrenosu 2.30, je na obrázku 2.6. Tvoˇr´ı jej kaskádn´ı spojen´ı elementárn´ıch blok˚ u, které odpov´ıdaj´ı jednotliv´ ym pól˚ um a nulám pˇrenosu. Pokud by se v ˇcitateli nebo jmenovateli pˇrenosu 2.30 vyskytly komplexn´ı koˇreny, pouˇzije se pro jejich realizace blok sestaven´ y ze dvou integrátor˚ u. Zvol´ıme-li za stavové promˇenné opˇet v´ ystupy jednotliv´ ych integrátor˚ u, bude platit tato soustava rovnic. Pˇ r´ıklad 2.4 Pˇrenos systému je dán ve tˇrech tvarech. Sestavte stavové diagramy a matice pro vˇsechny tˇri pˇr´ıpady. F (p) =

p2

2(p + 0.5) 7/3 1/3 2p + 1 = = − + 5p + 4 (p + 4)(p + 1) p+4 p+1


27

x1 (0) x1 (t)

R

b1

−a1

x2 (0) x2 (t)

R

b2

−a2

xk−1 (0)

xk (0)

xk−1 (t)

R

−ak−1

R

xk (t)

bk

−ak

xn (0) u(t)

xn (t)

R

y(t) bn

−an

Obr´ azek 2.5: Stavov´ y diagram paraleln´ıho programován´ı

xn (0) u(t)

R −an

xn (t)

xn−1 (0)

R

xn−1 (t)

−an−1

x1 (0) bn−1

R −a1

Obr´ azek 2.6: Stavov´ y diagram sériového programován´ı

x1 (t)

y(t) b1

b0


28

Uveden´ ym tvar˚ um pˇrenosu odpov´ıdaj´ı realizace stavov´ ych diagram˚ u metodou pˇr´ımého, sériového a paraleln´ıho programován´ı. Schémata stavov´ ych diagram˚ u jsou na obrázc´ıch 2.7, 2.8 a 2.5. Stavové matice maj´ı následuj´ıc´ı tvary: a) pˇr´ımé programován´ı 0 0 1 C = (1, 2) D = 0 (2.31) B= A= 1 −4 −5 b) sériové programován´ı 0 = −1 1 C = (−0.5, 2) D = 0 B= A= 1 0 4

(2.32)

c) paraleln´ı programován´ı 1 = −4 0 C = (7/3, −1/3) D = 0 B= A= 1 0 −1

(2.33)

y(t)

2

x2 (0) u(t)

R

x2

−5

1

x1 (0)

R

x1

−4

Obr´ azek 2.7: Pˇr´ıklad pˇr´ımého programován´ı

2.6

Shrnut´ı

V této kapitole jsme se seznámili se základy stavového popisu. Po nadefinován´ı pojm˚ u byly vysvˇetleny dvˇe stavové rovnice. Prvn´ı stavová rovnice definuje chován´ı stav˚ u v ˇcase, protoˇze obsahuje prvn´ı derivace stavov´ ych promˇenn´ ych. Urˇcuje dynamické chován´ı systému. Druhá stavová rovnice je algebraická. Definuje, jak se jednotlivé vstupy a stavy pod´ılej´ı na v´ ysledn´ ych v´ ystupech systému. Stavov´ y popis systému nen´ı jednoznaˇcnˇe dan´ y, jako je tomu u vstup-v´ ystupn´ıho popisu. Existuje nekoneˇcnˇe mnoho stavov´ ych popis˚ u


x2 (0) u(t)

x1 (0)

x2 (t)

R

29

x1 (t)

R

−4

y(t) 0.5

2

−1

Obr´ azek 2.8: Pˇr´ıklad sériového programován´ı

x1 (0) x1 (t)

R

7 3

−4

u(t)

y(t)

x2 (0) x2 (t)

R

−

1 3

−1

Obr´ azek 2.9: Stavov´ y diagram pˇr´ıkladu na paraleln´ıho programován´ı


30

systému, kter´ y má jednu a tutéˇz matici pˇrenos˚ u. Jiˇz pˇri r˚ uzné volbˇe poˇrad´ı stavov´ ych promˇenn´ ych ve stavovém vektoru vede na odliˇsné matice systému. Vysvˇetlili jsme si, jak´ ym zp˚ usobem lze transformovat stavové rovnice na jin´ y tvar pomoc´ı regulárn´ı transformaˇcn´ı matice. Nauˇcili jsme se zde pˇrevádˇet stavov´ y popis na matici pˇrenosov´ ych funkc´ı a zpˇetnˇe ze známého pˇrenosu SISO systému popsaného pˇrenosovou funkc´ı z´ıskat stavové vyjádˇren´ı. V závislosti na zadán´ı pˇrenosové funkce lze s v´ yhodou pouˇz´ıt pˇr´ımé programován´ı, sériové programován´ı nebo paraleln´ı programován´ı.

2.7


Ot´ azka 2.1 Napiˇste stavové rovnice line´ arn´ıho spojitého systému a popiˇste je. Ot´ azka 2.2 Je stavový popis jednoznaˇcný? Ot´ azka 2.3 Proˇc se pouˇz´ıvá stavového popisu k popisu systém˚ u a jaké jsou jeho výhody? Ot´ azka 2.4 Jaké jsou hodnosti matic A, B, C a D charakterizuj´ıc´ı stavový popis spojitého systému? Ot´ azka 2.5 Nakreslete obecné stavové schéma line´ arn´ıho spojitého systému. Ot´ azka 2.6 Jaké jsou z´ akladn´ı postupy pro výpoˇcet matic systému z pˇrenosu u jednorozmˇerných systém˚ u. Ot´ azka 2.7 Jaký tvar pˇrevodu do stavového prostoru je vhodný, pokud je pˇrenosov´ a funkce zapsána ve tvaru pomˇeru dvou polynom˚ u. Ot´ azka 2.8 Jaký tvar pˇrevodu do stavového prostoru je vhodný, pokud je pˇrenosov´ a funkce zapsána ve tvaru pomˇeru souˇcin˚ u koˇrenových ˇcinitel˚ u. Ot´ azka 2.9 Jaký tvar pˇrevodu do stavového prostoru je vhodný, pokud je pˇrenosov´ a funkce zapsána ve tvaru souˇctu jednoduchých výraz˚ u, jejichˇz jmenovatel je nejvýˇse druhého ˇrádu.


3

31

Regulovan´ e soustavy

Objekty ˇr´ızen´ı, neboli regulované soustavy, jsou velmi rozmanité a maj´ı r˚ uzné vlastnosti. Bylo jiˇz ˇreˇceno, ˇze v rámci tohoto kurzu se omez´ıme na soustavy se soustˇredˇenými parametry, ˇcasovˇe nepromˇenné a linearizovatelné. Pˇresto, vzhledem k rozmanitosti dynamických vlastnost´ı, zbýv´ a jeˇstˇe velké mnoˇzstv´ı r˚ uzných typ˚ u soustav. V této kapitole ukáˇzeme nˇekolik skupin soustav, které maj´ı charakteristické vlastnosti a zejména v technické praxi se ˇcasto vyskytuj´ı. D´ ale se budeme zabývat identifikac´ı reálných soustav a tvorbou jejich model˚ u, coˇz je nutnˇe spojeno s aproximac´ı (kromˇe jiˇz zm´ınˇené linearizace ).

3.1

Pˇ retlumen´ e (nekmitav´ e) soustavy

V pr˚ umyslové praxi se nejˇcastˇeji setkáváme se soustavami, které jsou tvoˇreny sériov´ ym spojen´ım setrvaˇcn´ ych ˇclánk˚ u. Vˇsechny póly takov´ ych soustav jsou reálné záporné, impulsn´ı i pˇrechodová charakteristika nemá kmitav´ y pr˚ ubˇeh. Z hlediska ˇr´ızen´ı je d˚ uleˇzitá jak hodnota nejvˇetˇs´ıch (dominantn´ıch) ˇcasov´ ych konstant, tak ˇrád soustavy (tj. poˇcet setrvaˇcn´ ych ˇclánk˚ u), neboli také ˇrád popisuj´ıc´ı diferenciáln´ı ˇci diferenˇcn´ı rovnice. Názornˇe to ukazuje obrázek 3.1, na kterém jsou uvedeny pˇrechodové charakteristiky soustav, tvoˇren´ ych setrvaˇcn´ ymi ˇclánky se stejnou ˇcasovou konstantou. Pˇrenosová funkce soustavy má tvar ks F (p) = (T p + 1)n kde ks je statické zes´ılen´ı, T je ˇcasová konstanta a n je jej´ı ˇrád. Na obrázku 3.1 jsou y(t) 1.0 0.8 0.6

1

2

3

4

5

0.4 0.2 5

10

t

Obr´ azek 3.1: Pˇrechodové charakteristiky pro systémy prvn´ıho aˇz pátého ˇrádu pˇrechodové charakteristiky pro ks = 1, T = 1 a n = 1, 2, · · · 5. Podobné vlastnosti maj´ı i diskrétn´ı soustavy, sloˇzené ze setrvaˇcn´ ych ˇclánk˚ u. Pak je ovˇsem podstatné, zda mezi jednotliv´ ymi ˇclánky je ˇci nen´ı zapojen vzorkovac´ı ˇclen. Pˇripomeˇ nme, ˇze spojitá soustava, která má pˇrenosovou funkci ve tvaru: F (p) =

ks (T1 p + 1)(T2 p + 1) · · · (Tn p + 1)


32

bude m´ıt diskrétn´ı obdobu pˇrenosové funkce (plat´ı pro pˇr´ıpad blokovˇe znázornˇen´ y na obrázku 3.2, kdy na vstupu i v´ ystupu soustavy jsou zapojeny vzorkovac´ı ˇcleny a pˇred soustavou je zaˇrazen tvarovac´ı ˇclen nultého ˇrádu- tzv. pˇridrˇzovaˇc) ve tvaru bn−1 z n−1 + bn−2 z n−2 + · · · + b1 z + b0 F (z) = (z − α1 )(z − αn−1 ) · · · (z − αn ) −Tv

kde αi = e Ti . Tv je perioda vzorkován´ı a Ti jsou jednotlivé ˇcasové konstanty spojité soustavy. Podrobné odvozen´ı a vysvˇetlen´ı procesu vzorkován´ı je nápln´ı kurzu Systémy, procesy a signály, zde uvád´ıme jen podstatné d˚ usledky. K nim patˇr´ı i ta skuteˇcnost, ˇze pˇri

x(t)

T

x(k) Tvarovaˇc nultého ˇra ´du

T Spojit´ a soustava

y(k)

Obr´ azek 3.2: Proces diskretizace spojité soustavy procesu vzorkován´ı mohou u diskrétn´ı pˇrenosové funkce vzniknout nuly (koˇreny polynomu v ˇcitateli pˇrenosové funkce), které leˇz´ı v nestabiln´ı oblasti, tj. vnˇe jednotkové kruˇznice v komplexn´ı rovinˇe Z. Pokud pˇrenos soustavy obsahuje takové nuly (u spojit´ ych soustav tyto ˇ ızen´ı takov´ nuly leˇz´ı v pravé polorovinˇe roviny p), jde o soustavu s neminimáln´ı fáz´ı. R´ ych soustav a návrh jejich ˇr´ıd´ıc´ıch algoritm˚ u vyˇzaduje zvláˇstn´ı postupy, na které v pˇr´ıpadˇe potˇreby v tomto textu zvláˇstˇe upozorn´ıme. Zat´ımco u spojit´ ych systém˚ u se neminimálnˇe fázové soustavy vyskytuj´ı zˇr´ıdka (v´ yjimku tvoˇr´ı ty soustavy, ve kter´ ych je pˇr´ıtomno dopravn´ı zpoˇzdˇen´ı), v diskrétn´ıch systémech je to jev pomˇernˇe bˇeˇzn´ y. Regulovaná soustava je ˇcasto tvoˇrena nˇekolika sériovˇe spojen´ ymi ˇclánky s r˚ uzn´ ymi ˇcasov´ ymi konstantami. Pak záleˇz´ı na tom, zda se jedná o pˇribliˇznˇe stejné nebo velmi rozd´ılné konstanty. Jak uˇz bylo ˇreˇceno, kaˇzdé ˇcasové konstantˇe odpov´ıdá pól pˇrenosové funkce (pˇri pouˇzit´ı stavového popisu je to vlastn´ı ˇc´ıslo matice zpˇetn´ ych vazeb A). Vˇsechny tyto póly leˇz´ı v pˇr´ıpadˇe spojitého systému na záporné reálné poloose, v pˇr´ıpadˇe diskrétn´ıho systému na kladné reálné ˇ ım vˇetˇs´ı je ˇcasová konstanta, t´ım bl´ıˇze k poˇcátku (u spojitého poloose v intervalu 0-1. C´ systému) nebo bl´ıˇze k bodu 1 (u diskrétn´ıho systému) j´ı odpov´ıdaj´ıc´ı pól leˇz´ı. V´ıme, ˇze na dynamiku soustavy maj´ı nejvˇetˇs´ı vliv nejvˇetˇs´ı ˇcasové konstanty. Proto ty póly, které ˇ leˇz´ı nejbl´ıˇz zm´ınˇen´ ym bod˚ um naz´ yváme dominantn´ı. Casto pak pˇri návrhu ˇr´ıd´ıc´ıho algoritmu pracujeme se zjednoduˇsen´ ym modelem soustavy, ve kterém jsou pouze dominantn´ı póly a ostatn´ı zanedbáváme. To je ovˇsem moˇzné jedinˇe tehdy, kdyˇz frekvenˇcn´ı vlastnosti celého otevˇreného obvodu (tj. vˇcetnˇe regulátoru) jsou takové, ˇze vliv zanedbán´ı mal´ ych ˇcasov´ ych konstant se neprojev´ı. Prakticky to znamená, ˇze oblast stˇredn´ıch kmitoˇct˚ u, kde tvar frekvenˇcn´ı charakteristiky urˇcuje jak stabilitu, tak dynamické vlastnosti uzavˇreného obvodu, je niˇzˇs´ı, neˇz oblast, ve které by se projevil vliv pˇr´ıtomnosti onˇech zanedban´ ych konstant.


3.2

33

Kmitav´ e soustavy

O kmitav´ ych soustavách mluv´ıme tehdy, jestliˇze se v jejich pˇrenosové funkci vyskytuj´ı komplexnˇe sdruˇzené póly. V ˇcasov´ ych odezvách (impulsn´ı a pˇrechodová charakteristika) se pak vyskytuj´ı harmonické funkce typu sin a cos. Pokud kmitavé póly nejsou v pˇrenosové funkci dominantn´ı, nemus´ı vˇsak b´ yt kmitav´ y charakter na ˇcasovém pr˚ ubˇehu v´ yraznˇe patrn´ y. Tak napˇr´ıklad pˇrenosová funkce 1 F1 (p) = 2 (p + p + 1)(0.1p + 1) má komplexn´ı póly p1,2 = −0.5 ± 0.866j a reáln´ y pól p3 = −10. Impulsn´ı odezva, uvedená g(t) 0.6 F (p) =

(p2

1 + p + 1)(0.1p + 1)

0.4 0.2 0 5

10

t

Obr´ azek 3.3: Impulsn´ı odezva v´ yraznˇe kmitavé soustavy na obrázku 3.3 jasnˇe ukazuje na kmitav´ y charakter této soustavy, u které oba komplexn´ı póly jsou dominantn´ı. Zmˇen´ıme-li hodnotu ˇcasové konstanty stokrát, takˇze dominantn´ım se nyn´ı stane pól p3 = −0.1, bude odezva sp´ıˇse odpov´ıdat soustavˇe pˇretlumené (viz. ubˇehu odezvy je ovˇsem zˇrejmé, ˇze se jedná o soustavu vyˇsˇs´ıho ˇrádu obrázek 3.4). Z pr˚ (svˇedˇc´ı o tom tvar odezvy v okol´ı poˇcátku a téˇz nepravidelnosti v sestupové ˇcásti charakteristiky). Doporuˇ cen´ı: Modelován´ım v jazyce MATLAB zjistˇete, jak´ y vliv na tvar impulsn´ı odezvy bude m´ıt zmˇena tlumen´ı kmitavé ˇcásti soustavy pˇri nezmˇenˇené reálné ˇcásti. Ve v´ yˇse uvedeném pˇr´ıkladˇe, je <(p1,2 ) = −0.5 a pomˇerné tlumen´ı je ξ = 0.5. Pro dvakrát menˇs´ı tlumen´ı a stejnou hodnotu reálné ˇcásti pól˚ u plat´ı p1,2 = −0.5 ± 1.936j a pˇr´ısluˇsná pˇrenosová funkce (samotné kmitavé ˇcásti) pak je 1 F3 (p) = 0.25p2 + 0.25p + 1 Zopakujme, ˇze u kmitav´ ych ˇclánk˚ u jsou d˚ uleˇzité dva parametry: ˇcasová konstanta T a pomˇerné tlumen´ı ξ. Pˇrenosová funkce má tvar k F (p) = 2 2 T p + 2T ξp + 1


34

g(t) 0.8 F (p) =

0.6

(p2

1 + p + 1)(p + 0.1)

0.4 0.2 0 0

5

10

15

20

25

30

35

t

Obr´ azek 3.4: Impulsn´ı odezva kmitavého systému s reáln´ ym dominantn´ım pólem Dále jsou definovány tˇri d˚ uleˇzité frekvence: • vlastn´ı frekvence netlumen´ ych kmit˚ u, pro kterou plat´ı ω0 =

1 T

• vlastn´ u odezvy a plat´ı pro ni rovnice ωv = p ı frekvence ωv . Je to frekvence kmit˚ 1 2 1 − ξ T

• resonanˇcn´ı frekvence ωr , která udává frekvenci ve které má frekvenˇcn´ı charakteristika resonanˇcn´ı pˇrev´ yˇsen´ı. Toto pˇrev´ yˇsen´ı ovˇsem vzniká pouze v pˇr´ıpadˇe, √ ˇze pomˇerné tlumen´ı je menˇs´ı neˇz 0.7. Pro resonanˇcn´ı frekvenci plat´ı rovnice ωr = T1 1 − 2ξ V soustavách se m˚ uˇze vyskytovat i nˇekolik kmitav´ ych ˇclánk˚ u. Celkov´ y charakter soustavy pak záleˇz´ı tom, kter´ y z nich je dominantn´ı, ˇcili ten, jehoˇz póly leˇz´ı nejbl´ıˇze imaginárn´ı osy (pˇr´ıpadnˇe nejbl´ıˇze bodu 1 u diskrétn´ıch systém˚ u).

3.3

Soustavy s astatismem

Jsou charakteristické pˇr´ıtomnost´ı pólu pˇrenosové funkce v poˇcátku. Je-li to pól v´ıcenásobn´ y, jde o soustavy s astatismem vyˇsˇs´ıho ˇrádu. Jejich ˇr´ızen´ı je velmi obt´ıˇzné, nebot’ obvody s takov´ ymito soustavami jsou náchylné k nestabilitˇe. Astatick´ ych systému je v technické praxi celá ˇrada. Jsou to témˇeˇr vˇsechny servomotory, jejichˇz v´ ystupem je poloha nebo u ´hlové natoˇcen´ı, systémy s akumulac´ı kapalin (nádrˇze), stranové ˇr´ızen´ı vozidel, lod´ı i letadel, apod. I astatické soustavy mohou b´ yt pˇretlumené ˇci kmitavé. Jsou charakteristické t´ım, ˇze se jejich pˇrechodová charakteristika neustál´ı na nˇejaké konstantn´ı hodnotˇe, n´ ybrˇz nar˚ ustá do nekoneˇcna. Napˇr´ıklad pˇrenosová funkce F (p) =

1 p(p + 1)

má jeden pól v poˇcátku a proto se jedná o soustavu s astatismem. Nˇekdy zmiˇ nujeme také ˇrád astatismu. V´ yˇse uveden´ y pˇrenos má astatismus prvn´ıho ˇrádu.


3.4

35

Soustavy s neminim´ aln´ı f´ az´ı

Jedná se o soustavy, jejichˇz pˇrenos má alespoˇ n jednu nulu v pravé polorovinˇe komplexn´ı roviny p. Jej´ı pˇr´ıtomnost se projev´ı ve frekvenˇcn´ıch charakteristikách i v ˇcasov´ ych odezvách. Ve frekvenˇcn´ıch charakteristikách pˇrestává platit vztah mezi sklonem amplitudové frekvenˇcn´ı charakteristiky a fáz´ı, protoˇze fáze jiˇz nen´ı minimáln´ı. Odtud oznaˇcen´ı tˇechto systém˚ u. V ˇcasové oblasti se nám pˇr´ıtomnost nestabiln´ı nuly projev´ı poˇcáteˇcn´ım podkmitem pˇrechodové charakteristiky do záporn´ ych hodnot. Jako pˇr´ıklad této soustavy m˚ uˇzeme uvést kotel na uheln´ y prach. Nasypán´ı uhelného prachu do kotle zp˚ usob´ı nejprve jakoby jeho zahaˇsen´ı, coˇz se projev´ı poˇcáteˇcn´ım poklesem teploty. Po chv´ıli ale dojde k rozhoˇren´ı paliva a k nár˚ ustu teploty. Pokud hledáme diskrétn´ı ekvivalent spojité soustavy ˇrádu vyˇsˇs´ıho neˇz druhého v Z transformaci, potom jej´ı ekvivalent vycház´ı prakticky vˇzdycky fázovˇe neminimáln´ı. To znamená, ˇze alespoˇ n jedna nula leˇz´ı mimo jednotkové kruˇznice.

3.5

Identifikace regulovan´ ych soustav

Pro návrh regulátoru potˇrebujeme obvykle znát matematick´ y model regulované soustavy. Existuje sice nˇekolik postup˚ u, které umoˇzn ˇuj´ı navrhnout algoritmus ˇr´ızen´ı bez popisu vlastnost´ı soustavy, pouˇz´ıváme je vˇsak sp´ıˇse jako krajn´ı ˇreˇsen´ı v tˇech pˇr´ıpadech, kdy formulace matematického modelu je bud’ nemoˇzná, nebo velmi obt´ıˇzná. Pro bˇeˇzné a linearizovatelné soustavy vˇsak nen´ı obvykle pˇr´ıliˇs obt´ıˇzné naj´ıt alespoˇ n pˇribliˇzn´ y popis-model. ’ Lze k nˇemu dospˇet bud analyticky, tj. formulac´ı pˇr´ısluˇsn´ ych diferenciáln´ıch ˇci diferenˇcn´ıch rovnic (na základˇe fyzikálnˇe chemick´ ych dˇej˚ u, které v soustavˇe prob´ıhaj´ı) nebo experimentálnˇe, mˇeˇren´ım statick´ ych i dynamick´ ych vlastnost´ı reálného objektu. Pˇri tomto zp˚ usobu identifikace obvykle pouˇz´ıváme pro buzen´ı soustavy nˇekter´ y typick´ y signál. Nejˇcastˇeji je to skoková zmˇena, nebo harmonick´ y pr˚ ubˇeh. Tˇret´ı standardn´ı ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh, totiˇz jednotkov´ y impuls, je obt´ıˇzné realizovat a pouˇz´ıvá se sp´ıˇse v´ yjimeˇcnˇe. Pouˇzijeme-li skok vstupn´ı veliˇciny, obdrˇz´ıme jako odezvu pˇrechodovou charakteristiku. To ovˇsem plat´ı za pˇredpokladu nulov´ ych poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek a pˇri absenci poruchov´ ych signál˚ u (na soustavu kromˇe vstupn´ı veliˇciny nep˚ usob´ı ˇza´dn´ y jin´ y signál). Budeme-li soustavu budit harmonick´ ym signálem, jehoˇz frekvenci budeme postupnˇe mˇenit, m˚ uˇzeme mˇeˇrit zes´ılen´ı a fázov´ y posun procházej´ıc´ıho signálu a z´ıskat tak jednotlivé body frekvenˇcn´ı charakteristiky. S ohledem na praktické podm´ınky lze doporuˇcit: • Mˇeˇren´ı pˇrechodové charakteristiky je vhodné pro soustavy s pˇredpokládan´ ymi ˇcasov´ ymi konstantami v rozmez´ı jednotek aˇz tis´ıc˚ u sekund; zapisovaˇce pro takové ˇcasové pr˚ ubˇehy jsou bˇeˇznˇe dostupné a realizace dostateˇcnˇe vˇerné skokové zmˇeny vstupn´ı veliˇciny je moˇzná. vzorkován´ı mikroprocesorem. • Mˇeˇren´ı s pouˇzit´ım harmonického signálu je vhodné sp´ıˇse pro rychlejˇs´ı soustavy, nebot’ po kaˇzdé zmˇenˇe frekvence je tˇreba poˇckat, aˇz dozn´ı pˇrechodn´ y dˇej vyvolan´ y touto zmˇenou. Totéˇz plat´ı v pˇr´ıpadˇe, kdy nejsou zaruˇceny nulové poˇcáteˇcn´ı podm´ınky. Nev´ yhodou frekvenˇcn´ıho mˇeˇren´ı je nutnost pˇredem odhadnout frekvenˇcn´ı rozsah, ve kterém se dynamické vlastnosti soustavy projev´ı.


36

Spoleˇcnou nev´ yhodou mˇeˇren´ı pˇrechodové charakteristiky nebo jednotliv´ ych bod˚ u frekvenˇcn´ı charakteristiky je nutnost izolovat soustavu od jin´ ych signálov´ ych vliv˚ u. To je moˇzné jen pˇri vyˇrazen´ı soustavy z bˇeˇzného provozu. Existuje i ˇrada tzv. ”on-line” postup˚ u, které urˇcuj´ı potˇrebn´ y matematick´ y model na základˇe dlouhodobého mˇeˇren´ı vstupn´ıch a v´ ystupn´ıch hodnot. Nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı je metoda minima souˇctu kvadrát˚ u odchylek. Jej´ı princip ukáˇzeme na jednoduchém pˇr´ıkladˇe. Pˇredpokládejme, ˇze identifikovaná soustava má pˇredpokládan´ y diskrétn´ı pˇrenos ve tvaru a F (z) = z−b ´ Diskrétn´ı pˇrenos pouˇz´ıváme pro jednoduchost vysvˇetlen´ı). Ukolem identifikace je urˇcit hodnoty parametr˚ u a, b . Vstupn´ı veliˇcina je x(k), v´ ystupn´ı y(k), kde k je krok diskrétn´ıho signálu. Z pˇrenosu plyne, ˇze plat´ı následuj´ıc´ı rovnice: y(k + 1) = ax(k) + by(k). Teoreticky by tedy staˇcilo (za pˇredpokladu nulov´ ych poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek a absence vlivu p˚ usoben´ı poruchového signálu) zmˇeˇrit dvˇe sobˇe odpov´ıdaj´ıc´ı dvojice vstupn´ıch a v´ ystupn´ıch hodnot. T´ım z´ıskáme dvˇe rovnice o dvou neznám´ ych (a, b), které lze ˇreˇsit za pˇredpokladu, ˇze matice soustavy rovnic nen´ı singulárn´ı. To bude splnˇeno, jestliˇze hodnoty vstupn´ıho signálu budou r˚ uzné. Pokud provedeme vˇetˇs´ı mnoˇzstv´ı mˇeˇren´ı, neˇz je nutné pro v´ ypoˇcet neznám´ ych parametr˚ u soustavy, z´ıskáme moˇznost zmenˇsit vliv nenulov´ ych poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek i pˇr´ıpadného poruchového signálu, kter´ y si m˚ uˇzeme pˇredstavit jako chybu provádˇen´ ych mˇeˇren´ı. Z teorie signál˚ u je známo, ˇze tento postup bude u ´spˇeˇsn´ y, pokud poruchov´ y signál bude m´ıt urˇcité statistické parametry (npˇr. nulovou stˇredn´ı hodnotu). Podrobné matematické odvozen´ı pouˇzit´ ych algoritm˚ u pˇresahuje rámec tohoto kurzu. Dodejme, ˇze nev´ yhodou této metody je nutnost pˇredem urˇcit tvar matematického modelu (poˇcet neznám´ ych parametr˚ u v ˇcitateli i jmenovateli pˇrenosu). Podobné metody existuj´ı i pro stanoven´ı spojitého pˇrenosu. V programu MATLAB je k dispozici nˇekolik modifikac´ı metody minima kvadrát˚ u odchylek.

3.6

Aproximace regulovan´ ych soustav

Aproximovat, znamená nahradit pˇresné hodnoty jejich pˇribliˇzn´ ym odhadem. Proces aproximace lze obecnˇe uplatnit na kter´ ykoliv popis vlastnost´ı soustavy: • diferenciáln´ı/diferenˇcn´ı rovnici, pˇresnˇe popisuj´ıc´ı dynamiku soustavy lze nahradit rovnic´ı niˇzˇs´ıho ˇrádu, nebo jiného tvaru, kterou lze snáze ˇreˇsit • frekvenˇcn´ı charakteristiku lze ve zvoleném frekvenˇcn´ım pásmu nahradit charakteristikou jednoduˇsˇs´ıho systému • ˇcasovou odezvu (pˇrechodovou nebo impulsn´ı charakteristiku) nahrad´ıme odezvou nˇekterého ze zvolen´ ych aproximaˇcn´ıch systém˚ u (soustav) • skuteˇcné rozloˇzen´ı nul a pól˚ u nahrad´ıme rozloˇzen´ım, ve kterém budou pouze dominantn´ı póly a nuly.


37

Ponˇekud obt´ıˇznˇejˇs´ı je aproximace ve stavovém prostoru, protoˇze jakékoliv zjednoduˇsen´ı znamená pˇrechod z prostoru vyˇsˇs´ıho rozmˇeru do prostoru niˇzˇs´ı dimense (odpov´ıdá sn´ıˇzen´ı ˇrádu popisuj´ıc´ı diferenciáln´ı/diferenˇcn´ı rovnice). V praxi se nejˇcastˇeji aproximuje zmˇeˇrená pˇrechodová charakteristika charakteristikou zvolené aproximaˇcn´ı soustavy. Jde-li o pˇretlumené soustavy (bez kmitav´ ych ˇclen˚ u) pouˇz´ıvaj´ı se tyto typy aproximac´ı: k e−dp Tp + 1 k F2 (p) = (T1 p + 1)(T2 p + 1) k F3 (p) = e−dp (T1 p + 1)(T2 p + 1) k F4 (p) = (T p + 1)n

F1 (p) =

soustava prvn´ıho ˇrádu s dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım soustava druhého ˇrádu s r˚ uzn´ ymi ˇcasov´ ymi konstantami soustava druhého ˇrádu s dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım soustava n-tého ˇrádu se stejn´ ymi ˇcasov´ ymi konstantami

K rozhodnut´ı o typu vhodné aproximace je potˇrebné znát zejména polohu inflexn´ıho bodu i a velikost parametr˚ u naz´ yvan´ ych doba pr˚ utahu Tu a doba nábˇehu Tn . V´ yznam jednotliv´ ych parametr˚ u je zˇrejm´ y z obrázku 3.5. Postup urˇcen´ı parametr˚ u jednotliv´ ych aproximac´ı závis´ı na tvaru aproximaˇcn´ıho pˇrenosu. Pro pˇrenos F1 (p) plat´ı T = Tn a h(t) 1.0 T u 0.8

Tn F (p) =

0.6

1 (p + 1)3

0.4 i

0.2 0 0

3

6

9 t

Obr´ azek 3.5: Parametry pˇrechodové charakteristiky d = Tu . Pˇrenos F2 (p) a F3 (p) je vhodn´ y pro v´ yˇsku inflexn´ıho bodu menˇs´ı neˇz 0.264. ˇ ad a velikost Pro vˇetˇs´ı hodnoty je vhodné pouˇz´ıt aproximaci pˇrenosem typu F4 (p). R´ ˇcasové konstanty urˇcuje Tabulka 3.1. Uvedené hodnoty se vztahuj´ı k normovanému tvaru pˇrechodové charakteristiky, tj. se zes´ılen´ım k = 1. Skuteˇcnou hodnotu zes´ılen´ı urˇc´ıme z pomˇeru velikosti vstupn´ıho skoku a rozd´ılu ustálen´ ych hodnot v´ ystupn´ıho signálu. O vhodnosti aproximace se lze pˇresvˇedˇcit srovnán´ım pˇrechodov´ ych charakteristik, nebo porovnán´ım frekvenˇcn´ıch charakteristik (pokud je k dispozici f.ch.skuteˇcné soustavy.


ˇ ad n R´ Tu /Tn Tn /T

1 0.00 1.00

38

2 0.104 2.718

3 0.218 3.695

4 0.319 4.463

5 0.410 5.119

6 0.493 5.699

7 0.570 6.226

8 0.642 7.144

9 0.709 7.590

ˇ ad a velikost ˇcasové konstanty Tabulka 3.1: R´ 3.6.1

Aproximace dopravn´ıho zpoˇ zdˇ en´ı

Dopravn´ı zpoˇzdˇen´ı nemˇen´ı tvar procházej´ıc´ıho signálu, pouze jej posunuje v ˇcase. Mezi vstupn´ım a v´ ystupn´ım signálem plat´ı rovnice y(t) = x(t − d). Podle vˇety o posunut´ı v originále lze pˇr´ımo urˇcit pˇrenos F (p) = e−dp Na rozd´ıl od ostatn´ıch dynamick´ ych ˇclánk˚ u tento pˇrenos nen´ı vyjádˇren pomˇ erem 00dvou f 0 (0) x polynom˚ u. Funkci e vˇsak lze vyjádˇrit pomoc´ı mocninné ˇrady f (x) = f (0) + 1! + f 2!(0) + · · · . Zvol´ıme následuj´ıc´ı tvar: F (p) = e−dp =

e−0.5dp 1 − 0.5dp + · · · = 0.5dp e 1 + 0.5dp + · · ·

V ˇcitateli i jmenovateli jsou nyn´ı polynomy nekoneˇcného ˇrádu. Pˇrenosová funkce dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı má tedy nekoneˇcnˇe mnoho nul i pól˚ u. Pouˇzijeme -li pouze omezen´ y poˇcet ˇclen˚ u mocninn´ ych ˇrad, dopust´ıme se jisté nepˇresnosti. Aproximace Padého polynomy tyto chyby minimalizuje vhodnou volbou koeficient˚ u u jednotliv´ ych mocnin operátoru p. Hodnoty závis´ı na ˇrádu aproximaˇcn´ıch polynom˚ u (tj.na poˇctu ˇclen˚ u mocninné ˇrady). Tak pro tˇret´ı ˇrád plat´ı: −p3 + 12d2 p2 − 60dp + 120 Fa3 (p) = 3 p + 12d2 p2 + 60dp + 120

(3.1)

a pro aproximaˇcn´ı polynomy ˇctvrtého ˇrádu: Fa4 (p) =

p4 − 20d3 p3 + 180d2 p2 − 840dp + 1680 p4 + 20d3 p3 + 180d2 p2 + 840dp + 1680

(3.2)

Je zˇrejmé, ˇze plat´ı: limp→0 Fan (p) = 1, kdeˇzto pro p → ∞ je limita rovna +1 pro sudé poˇcty ˇclen˚ u n aproximace a −1 pro liché. Tato náhrada pˇrenosové funkce dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı je nutná pˇri práci v jazyce MATLAB nebo SIMULINK, pokud se zpoˇzdˇen´ı vyskytuje ve zpˇetné vazbˇe, nebo je v systému v´ıce ˇclen˚ u s r˚ uzn´ ymi hodnotami zpoˇzdˇen´ı d. Kvalita aproximace stoupá, pokud je v sérii s dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım zapojen dynamick´ y ˇclánek typu dolnofrekvenˇcn´ı propusti (vyˇsˇs´ı frekvence, na kter´ ych se aproximaˇcn´ı charakteristika znaˇcnˇe liˇs´ı od skuteˇcnosti, jsou tlumeny). Na obrázku 3.6 je pˇrechodová charakteristika samotné aproximace Padého rozvojem 4.ˇrádu. Nahrazované dopravn´ı zpoˇzdˇen´ı má hodnotu d = 1. Na obrázku 3.7 je uvedena aproximace systému druhého ˇrádu se stejn´ ymi ˇcasov´ ymi konstantami velikosti T = 2s a dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım d = 1. Pouˇzita je stejná aproximace Padeho rozvojem 4.ˇrádu. Je patrno, ˇze aproximace dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı je nyn´ı podstatnˇe vˇernˇejˇs´ı.


39

h(t) 0.9 0.6 0.3

F (p) = Fa4 (p)

F (p) = e−p

0 0.5

1.0

t

1.5

−0.3 Obr´ azek 3.6: Pˇrechodová charakteristika Padého aproximace 4. ˇrádu

h(t) 1.0 0.8 0.6 F (p) =

0.4

1 Fa4 (p) (2p + 1)2

0.2 0 2

4

6

8

10

t

Obr´ azek 3.7: Pˇrechodová charakteristika systému 2. ˇrádu s dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım realizovan´ ym Padého aproximac´ı


3.6.2

40

Vyuˇ zit´ı programu Matlab

Definujme si v programu Matlab pˇrenos druhého ˇrádu F (p) =

1 e−p . (2p+1)2

>> Fp = zpk([],[-0.5 -0.5],0.25) Zero/pole/gain: 0.25 --------(s+0.5)^2 Nadefinovali jsme si pˇrenos Fp zat´ım bez dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı, u které ale m˚ uˇzeme nastavovat dalˇs´ı parametry. Které to jsou, se dozv´ıme pomoc´ı pˇr´ıkazu >> get(Fp) z: p: k: Variable: DisplayFormat: Ts: ioDelay: InputDelay: OutputDelay: InputName: OutputName: InputGroup: OutputGroup: Notes: UserData:

{[0x1 double]} {1x1 cell} 0.25 ’s’ ’roots’ 0 0 0 0 {’’} {’’} {0x2 cell} {0x2 cell} {} []

Pro zadan´ı velikosti dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı jsou pro nás zaj´ımavé parametry InputDelay a ˇ OutputDelay. M˚ uˇzeme tedy um´ıstit dopravn´ı zpoˇzdˇen´ı na vstup nebo na v´ ystup. Reknˇ eme, ˇze v naˇsem pˇr´ıpadˇe p˚ usob´ı dopravn´ı zpoˇzdˇen´ı na v´ ystupu. >> set(Fp,’OutputDelay’,1) >> Fp Zero/pole/gain: 0.25 exp(-1*s) * --------(s+0.5)^2 Takto nadefinovan´ y pˇrenos m˚ uˇzeme pouˇz´ıt napˇr´ıklad pro vykreslen´ı pˇrechodové, impulsové, ˇci frekvenˇcn´ı charakteristiky. Nem˚ uˇzeme ji bohuˇzel pouˇz´ıt napˇr´ıklad v pˇr´ıkazu feedback. Pro tento pˇr´ıpad mus´ıme pouˇz´ıt Padého aproximaci dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı. Ta je v programu Matlab podporována pˇr´ıkazem pade.


41

>> Fpapp = pade(Fp,4) Zero/pole/gain: 0.25 (s^2 - 11.58s + 36.56) (s^2 - 8.415s + 45.95) --------------------------------------------------------(s+0.5)^2 (s^2 + 11.58s + 36.56) (s^2 + 8.415s + 45.95) T´ımto pˇr´ıkazem jsme pˇrevedli systém s dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım na systém, kde se jiˇz dopravn´ı zpoˇzdˇen´ı implicitnˇe nevyskytuje, protoˇze je nahrazeno Padého aproximac´ı (v tomto pˇr´ıpadˇe 4. ˇrádu). Tento tvar pˇrenosu je jiˇz samozˇrejmˇe pˇr´ıpustn´ y i pro pˇr´ıkaz feedback. Pˇr´ıkaz pade lze pouˇz´ıt i pro z´ıskán´ı Padého aproximace libovolného ˇrádu pouze dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı (bez zadán´ı systému) >> [n,d]=pade(1,3) n = -1

12

-60

120

1

12

60

120

d =

Tento pˇr´ıkaz vrátil ˇcitatel a jmenovatel Padého aproximace dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı d = 1 (prvn´ı parametr) 3. ˇrádu (druh´ y parametr). Srovnejte v´ ysledek s koeficienty pˇrenosu (3.1). Bez pouˇzit´ı parametr˚ u na pravé stranˇe nakresl´ı v grafu pˇrechodovou a frekvenˇcn´ı charakteristiku zvolené aproximace. >> pade(1,4) Srovnejte vykreslenou pˇrechodovou charakteristiku s obrázkem 3.6.

3.7

Shrnut´ı

Pˇred t´ım, neˇz se m˚ uˇzeme pustit do návrhu regulátoru, se mus´ıme pokusit z´ıskat co moˇzná nejv´ıce informac´ı o soustavˇe, kterou chceme ˇr´ıdit. V této kapitole jsme se dozvˇedˇeli, ˇze informac´ı o soustavˇe m˚ uˇze b´ yt znalost typu regulované soustavy. Soustavy mohou b´ yt pˇretlumené nebo kmitavé, statické nebo astatické, fázovˇe minimáln´ı nebo neminimáln´ı, s dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım nebo bez dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı, pˇr´ıpadnˇe jejich kombinace. Nauˇcili jsme se jak rozpoznat dan´ y typ soustavy z namˇeˇrené pˇrechodové, impulzn´ı nebo frekvenˇcn´ı charakteristiky. V druhé ˇcásti této kapitoly bylo ukázáno nˇekolik moˇznost´ı identifikace regulovan´ ych soustav. Jako apriorn´ı informace identifikace ˇcasto vstupuje zjiˇstˇen´ y typ soustavy. V´ ysledkem identifikace je pˇrenos soustavy. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech je skuteˇcn´ y pˇrenos soustavy vysokého ˇrádu. Vˇetˇsinou nepotˇrebujeme znát pˇrenos vysokého ˇrádu a proto si vystaˇc´ıme s aproximac´ı nˇekter´ ym typem pˇrenosu. Nakonec jsme si probrali aproximaci dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı. Pˇr´ıtomnost dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı nám znemoˇzn ˇuje pouˇz´ıt pravidla pro


42

blokovou algebru. Pouˇzit´ım Padého aproximace se obraz dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı pˇrevede na pod´ıl koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u. Ikdyˇz je tato aproximace platná pouze v oblasti doln´ıch kmitoˇct˚ u, tak vˇetˇsinou postaˇcuje, protoˇze se v sérii s dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım vyskytuje dynamick´ y systém, kter´ y nám vysoké kmitoˇcty vyfiltruje a sn´ıˇz´ı t´ım vliv chyby aproximace.

3.8


Ot´ azka 3.1 Jaké typy regulovaných soustav zn´ ate s ohledem na tvar pˇrechodové charakteristiky? Ot´ azka 3.2 Vysvˇetlete proces diskretizace spojité soustavy Ot´ azka 3.3 Co je podm´ınkou kmitavosti soutavy? Ot´ azka 3.4 Co jsou to dominantn´ı póly? Ot´ azka 3.5 Vysvˇetlete proces identifikace. Ot´ azka 3.6 Co je to Padého aproximace, k ˇcemu a proˇc se pouˇz´ıvá. Ot´ azka 3.7 Je Padého aproximace fázovˇe minim´ aln´ı? Ot´ azka 3.8 Napiˇste libovolný pˇrenos fázovˇe neminim´ aln´ıho systému. Ot´ azka 3.9 Napiˇste libovolný pˇrenos pˇretlumeného systému s astatismem prvn´ıho ˇrádu a nakreslete jeho pˇrechodovou charakteristiku. Ot´ azka 3.10 Napiˇste libovolný pˇrenos kmitavého systému s astatismem druhého ˇrádu a nakreslete jeho impulsovou charakteristiku.


4

43

Regul´ atory

Regul´ ator p˚ usob´ı pomoc´ı akˇcn´ı veliˇciny na soustavu tak, aby regulaˇcn´ı odchylka byla co nejmenˇs´ı. V tomto ˇsirˇs´ım smyslu je regul´ ator sloˇzen z celé ˇrady dalˇs´ıch ˇcást´ı. Podle obr´ azku 1.3 je to nejen u ´stˇredn´ı ˇclen regul´ atoru, který urˇcuje regulaˇcn´ı z´ akon (téˇz algoritmus ˇr´ızen´ı), ale i výkonový zesilovaˇc, mˇeˇric´ı ˇclen a pˇrevodn´ık vstupn´ı veliˇciny. Mˇeˇric´ı ˇclen -ˇcidlo - zahrnujeme nejˇcastˇeji do pˇrenosu soustavy a výkonový zesilovaˇc i vstupn´ı pˇrevodn´ık jsou z dynamického hlediska proporcionáln´ı ˇcleny. Z hlediska kvality regulace je nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı ˇcást´ı jeho u ´stˇredn´ı ˇclen. Ostatn´ı ˇcleny maj´ı v´ıce ménˇe standardn´ı vlastnosti, dané konstrukˇcn´ımi principy a moˇznostmi. Proto pokud kresl´ıme blokové schéma regulaˇcn´ıho obvodu v té nejjednoduˇsˇs´ı formˇe (obrázek 1.2), je stˇredem naˇseho z´ ajmu pr´ avˇe n´ avrh u ´stˇredn´ıho ˇclenu. V praxi se nejˇcastˇeji pouˇz´ıvaj´ı regul´ atory, které jsou sloˇzené ze tˇr´ı z´ akladn´ıch sloˇzek. Jedná se o proporcionáln´ı, integraˇcn´ı a derivaˇcn´ı sloˇzku. T´ım vznikaj´ı r˚ uzné typy jednoduchých regul´ ator˚ u, aˇz po PID regul´ ator. U regul´ ator˚ u PD a PID se mus´ı zajistit realizovatelnost, coˇz se prov´ ad´ı pouˇzit´ım ˇcasové konstanty, kter´ a se vˇetˇsinou vol´ı o dva ˇrády niˇzˇs´ı, neˇz jsou ˇcasové konstanty v ˇcitateli regul´ atoru. V této kapitole se stejnˇe jako v celém skriptu zabýv´ ame pouze line´ arn´ımi systémy, tedy line´ arn´ımi regul´ atory. V praxi jsou bohuˇzel vˇsechny regul´ atory nelineárn´ı z d˚ uvodu omezen´ı akˇcn´ıho z´ asahu. Omezen´ı akˇcn´ıho z´ asahu ve spojen´ı s I sloˇzkou regul´ atoru se n´ am nepˇr´ıznivˇe projev´ı na prodlouˇzen´ı pˇrechodného dˇeje z d˚ uvodu wind-up efektu. O tˇechto problémech a jejich ˇreˇsen´ı se podrobnˇe seznám´ıte v navazuj´ıc´ıch kurzech. Uspoˇrádán´ı podle obrázku 1.2 (nebo obrázku 1.3) nen´ı jediná moˇzná struktura zpˇetnovazebn´ı regulace, i kdyˇz je nejˇcastˇejˇs´ı. Je to struktura typická pro systémy typu servomechanizmu, tedy pˇr´ıpad vleˇcné regulace. V tˇechto pˇr´ıpadech je d˚ uleˇzit´ y bud’ dokonal´ y pˇrenos ˇr´ıdic´ı veliˇciny, zat´ımco kompenzace poruch, vzhledem k menˇs´ı ˇcetnosti jejich v´ yskytu, nen´ı tak podstatná, nebo je tomu naopak; d˚ uleˇzitá je kompenzace poruch a pˇrenos ˇr´ıdic´ı veliˇciny, s ohledem na to, ˇze tato je po vˇetˇsinu doby konstantn´ı, nen´ı podstatn´ y. Spoleˇcn´ ym znakem tˇechto systém˚ u je to, ˇze neklademe souˇcasnˇe poˇzadavky na obˇe základn´ı funkce zpˇetnovazebn´ıho ˇr´ıdic´ıho obvodu. Pak nám struktura podle obrázku 1.2 plnˇe vyhov´ı. Protoˇze m˚ uˇzeme splnit pouze jeden z nˇekolika moˇzn´ ych poˇzadavk˚ u, oznaˇcuje se obvod na obrázku 1.2 jako regulaˇcn´ı obvod s jedn´ım stupnˇem volnosti. Poˇzadavky na oba pˇrenosy, ˇr´ızen´ı i poruchy, m˚ uˇzeme splnit daleko dokonaleji podle struktury, která je nakreslena na obrázku 4.1 a) nebo 4.1 b). Jak lze snadno dokázat, oba obvody jsou co do vlastnost´ı stejné a lze je navzájem transformovat. (Konkrétn´ı pˇrenosy Ra1 , Ra2 a Rb1 , Rb2 jsou ovˇsem rozd´ılné.) Blok VZ je v´ ykonov´ y zesilovaˇc. Je tˇreba zd˚ uraznit, ˇze signál ε(t) nen´ı totoˇzn´ y s regulaˇcn´ı odchylkou e(t) = w(t) − y(t). Obvody tohoto typu naz´ yváme se dvˇema stupni volnosti, nebot’ umoˇzn ˇuj´ı souˇcasné splnˇen´ı dvou skupin poˇzadavk˚ u. Jejich realizace analogov´ ymi prostˇredky vˇsak je ponˇekud obt´ıˇzná a nejsou proto bˇeˇznˇe uˇz´ıvány. Zcela bˇeˇzné jsou v pˇr´ıpadech ˇc´ıslicového ˇr´ızen´ı. V následuj´ıc´ıch kapitolách tohoto skripta vˇsak budeme pˇredpokládat uspoˇrádán´ı podle obrázku 1.2, tedy jedin´ y sériov´ y regulátor. Ve zvláˇstn´ıch pˇr´ıpadech zmˇenu v´ yslovnˇe uvedeme. Ve shodˇe s obvyklou prax´ı také budeme pojem regulátor pouˇz´ıvat ve smyslu u ´stˇredn´ı ˇclen.


44

a) u(t) w(t)

ε(t) Ra1

x(t)

y(t) FS (p)

VZ

Ra2

b) u(t) w(t)

ε(t)

x(t) Rb1

VZ

y(t) FS (p)

Rb2

Obr´ azek 4.1: Regulaˇcn´ı obvody se dvˇema stupni volnosti Podle druhu energie, která napáj´ı samotn´ y regulátor, rozeznáváme • pˇr´ımoˇcinné regulátory, které nemaj´ı vlastn´ı zdroj energie a ke své ˇcinnosti vyuˇz´ıvaj´ı pouze energii odeb´ıranou z regulované soustavy. Do této skupiny patˇr´ı velká vˇetˇsina jednoduch´ ych pr˚ umyslov´ ych regulátor˚ u, zvláˇstˇe regulátory teploty, hladiny, vlhkosti a polohy. Tyto regulátory jsou vˇetˇsinou nelineárn´ı, akˇcn´ı veliˇcina m˚ uˇze nab´ yvat pouze omezen´ y poˇcet hodnot (ˇcasto pouze dvˇe: zapnuto - vypnuto). Jsou to známé “reléové” regulátory, pouˇz´ıvané v ˇzehliˇckách, ledniˇckách, splachovaˇc´ıch, automatick´ ych nab´ıjeˇckách a pod. Pˇrestoˇze to jsou zaˇr´ızen´ı velmi laciná a jednoduchá, dosahovaná kvalita regulace m˚ uˇze b´ yt aˇz pˇrekvapivˇe dobrá a pro ˇradu aplikac´ı plnˇe vyhov´ı. Protoˇze se jedná o nelineárn´ı obvody, bude tato problematika probrána v navazuj´ıc´ım kurzu. • regulátory s pomocn´ ym zdrojem energie. Zde jde o sloˇzitˇejˇs´ı zaˇr´ızen´ı, jehoˇz jádrem je vˇzdy zesilovaˇc. Dosahovaná kvalita regulace je podstatnˇe vyˇsˇs´ı, u ´mˇernˇe náklad˚ um a sloˇzitosti. Statické vlastnosti tˇechto regulátor˚ u povaˇzujeme v urˇcitém pracovn´ım rozsahu za lineárn´ı. Akˇcn´ı veliˇcina je samozˇrejmˇe omezena fyzikáln´ımi moˇznostmi; v rámci tohoto skripta vˇsak tato omezen´ı nebudeme uvaˇzovat (to znamená, ˇze odvozené vlastnosti budou platit pro vymezené pásmo regulaˇcn´ı odchylky).

4.1

Nejˇ castˇ ejˇ s´ı pˇ renosy spojit´ ych regul´ ator˚ u

Základn´ım a nejjednoduˇsˇs´ım regulátorem je regulátor proporcionáln´ı, u nˇehoˇz je akˇcn´ı veliˇcina pˇr´ımo u ´mˇerná velikosti regulaˇcn´ı odchylky. Oznaˇcujeme jej jako P-regulátor. ˇ Cast´ ym poˇzadavkem na regulátor je zajiˇstˇen´ı nulové ustálené odchylky. Jak bude ukázáno dále, P-regulátor nen´ı schopen zajistit nulovou ustálenou odchylku pro nenulovou konstantn´ı ˇzádanou hodnotu pro statické soustavy, stejnˇe tak pro poruchu p˚ usob´ıc´ı na vs-


45

tupu soustavy. Tento poˇzadavek lze splnit pouˇzit´ım integraˇcn´ıho regulátoru (I-regulátor). Nˇekdy se pˇredchoz´ı dva regulátory slouˇc´ı, ˇc´ımˇz vznikne PI-regulátor. Pouˇzit´ı I- sloˇzky bohuˇzel zhorˇsuje dynamické vlastnosti. Zpomaluje totiˇz pˇrechodn´ y dˇej. Ve snaze zrychlit pˇrechodn´ y dˇej je nutné pˇredv´ıdat chován´ı v´ ystupu soustavy. Z matematiky v´ıme, ˇze pro aproximaci funkce v okol´ı pracovn´ıho bodu pouˇz´ıváme Taylorovu ˇradu, kde se vyskytuj´ı derivace této funkce. V´ıme také, ˇze ˇc´ım vˇetˇs´ı mnoˇzstv´ı derivac´ı známe, t´ım je aproximace pˇresnˇejˇs´ı. V regulátorech pouˇz´ıváme pro zrychlen´ı odezvy regulaˇcn´ı smyˇcky derivaci odchylky, resp. v´ ystupu. Je zˇrejmé, ˇze samotn´ y derivaˇcn´ı regulátor nesplˇ nuje poˇzadavky na regulaˇcn´ı dˇej, protoˇze nezajiˇst’uje vyregulován´ı na n´ızk´ ych frekvenc´ıch. Proto se pouˇz´ıvá v kombinac´ıch s proporcionáln´ı a integraˇcn´ı sloˇzkou, kde j´ı ˇr´ıkáme derivaˇcn´ı sloˇzka (Dsloˇzka). T´ım z´ıskáváme regulátor proporcionálnˇe derivaˇcn´ı PD a proporcionálnˇe derivaˇcnˇe integraˇcn´ı PID. Derivace vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u obvykle nepouˇz´ıváme, protoˇze jsou ˇcasto obt´ıˇznˇe poˇcitatelné z d˚ uvodu p˚ usob´ıc´ıho ˇsumu. V´ yˇse popsané regulátory vytváˇrej´ı skupinu pouˇz´ıvan´ ych lineárn´ıch spojit´ ych regulátor˚ u, jejichˇz vlastnosti a chován´ı v uzavˇreném obvodu se budeme zab´ yvat v následuj´ıc´ıch podkapitolách. Syntézou, ˇcili nastaven´ım jejich parametr˚ u za u ´ˇcelem dosaˇzen´ı poˇzadovan´ ych dynamick´ ych vlastnost´ı bude nápln´ı kapitoly 8. Nyn´ı se bl´ıˇze seznám´ıme s jednotliv´ ymi typy regulátor˚ u. Jejich základn´ı charakteristiky, t.j. frekvenˇcn´ı charakteristiky a pˇrechodová charakteristika jsou znázornˇeny na obrázc´ıch 4.4, 4.5 a 4.3. P-regul´ ator Mezi akˇcn´ı veliˇcinou a regulaˇcn´ı odchylkou plat´ı pˇr´ımá u ´mˇera x(t) = r0 e(t), takˇze pˇrenos je FR (p) =

X(p) = r0 = K R E(p)

(4.1)

I-regul´ ator Pro ˇcasové pr˚ ubˇehy plat´ı vztah Z t x(t) = ri e(t)dt + x(0) 0

Tomu odpov´ıdá pˇrenos FR (p) =

ri 1 X(p) = = E(p) p Ti p

(4.2)

Stejnˇe jako u kaˇzdého regulátoru m˚ uˇzeme pro vyjádˇren´ı pˇrenosu pouˇz´ıt zes´ılen´ı ri nebo ˇcasovou konstantu Ti , která je rovna pˇrevrácené hodnotˇe zes´ılen´ı Ti = 1/ri PD-regul´ ator V´ ystupn´ı veliˇcina regulátoru (akˇcn´ı veliˇcina) je sloˇzena ze dvou sloˇzek, z nichˇz jedna je u ´mˇerná regulaˇcn´ı odchylce a druhá jej´ı derivaci. Konstanty u ´mˇernosti jsou r0 a rd de(t) x(t) = r0 e(t) + rd dt


46

takˇze pˇrenos FR (p) =

X(p) = r0 + rd p = KR (TD p + 1) E(p)

(4.3)

Posledn´ı v´ yraz v rovnici (4.3) je jiné vyjádˇren´ı pˇrenosu pomoc´ı zes´ılen´ı a ˇcasové konstanty. Plat´ı rd K R = r0 TD = r0 nuje podm´ınku fyzikáln´ı realizovatelnosti, protoˇze v Vˇsimnˇeme si, ˇze pˇrenos (4.3) nesplˇ ˇcitateli pˇrenosu je polynom vyˇsˇs´ıho ˇrádu neˇz ve jmenovateli. Touto otázkou se budeme zab´ yvat v dalˇs´ım textu. Plocha impulsu na zaˇcátku pˇrechodové charakteristiky je rovna koeficientu rd . PI-regul´ ator Podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe jsou ve v´ ystupn´ı veliˇcinˇe zastoupeny dvˇe sloˇzky. Jak vypl´ yvá z názvu, jedná se o proporcionáln´ı a integraˇcn´ı. Pro ˇcasové pr˚ ubˇehy plat´ı: Z t

x(t) = r0 e(t) + ri

e(t)dt + x(0)

0

takˇze pˇrenos

FR (p) =

X(p) ri Tr p + 1 Tr p + 1 = r0 + = kr = E(p) p p Ti p

(4.4)

Mezi konstantami pro r˚ uzné formy pˇrenosu regulátoru v rovnici (4.4) plat´ı tyto vztahy kr = ri =

1 Ti

Tr =

r0 ri

r0 =

Tr Ti

PID-regul´ ator Tento nejsloˇzitˇejˇs´ı ze základn´ıch typ˚ u regulátor˚ u má ve v´ ystupn´ım signálu obsaˇzeny vˇsechny tˇri sloˇzky, které jsme dosud poznali: Z t de(t) x(t) = r0 e(t) + rd + ri e(t)dt + x(0) dt 0 takˇze pˇrenos má tˇri ˇcleny ri (T1 p + 1)(T2 p + 1) 1 X(p) = r0 + + rd p = KR 1 + TD p + (4.5) = kr FR (p) = E(p) p TI p p Mezi konstantami pro r˚ uzné formy pˇrenosu regulátoru v rovnici (4.5) plat´ı tyto vztahy p −TI ± TI (TI − 4TD ) r0 rd TI = kr = ri T1,2 = KR = r0 TD = r0 ri 2TI TD Velmi ˇcast´ y je druh´ y tvar, kde jednotlivé konstanty maj´ı tyto, v praxi ˇcasto pouˇz´ıvané názvy: KR zes´ılen´ı, TD derivaˇcn´ı sloˇzka, TI integraˇcn´ı sloˇzka. Tento tvar je téˇz vhodn´ y pro


47

praktickou realizaci PID regulátoru, protoˇze umoˇzn ˇuje vypoˇrádat se s problémy, které pˇrináˇs´ı omezen´ı akˇcn´ıho zásahu, jak se dozv´ıte v nˇekterém z navazuj´ıc´ıch kurz˚ u (zde se zab´ yváme pouze lineárn´ımi systémy). Z rovnice 4.5 je patrné, ˇze posledn´ı ˇclen nen´ı zcela rovnocenn´ y pˇredchoz´ım ˇclen˚ um, nebot’ pˇredpokládá pouze reálné ˇcasové konstanty. Pˇredchoz´ı ˇcleny totiˇz umoˇzn ˇuj´ı zvolit konstanty tak, ˇze nuly pˇrenosu FR (p) budou komu, plexn´ı (napˇr. TI < 4TD ). Jak bude ukázáno pozdˇeji v kapitole 8 o syntéze regulátor˚ nejsou komplexn´ı koˇreny v ˇcitateli regulátoru v´ yhodné. Proto lze posledn´ı tvar pˇrenosu 4.5 pouˇz´ıvat bez u ´jmy na praktické obecnosti. M´ısto zes´ılen´ı r0 se v praxi ˇcasto pouˇz´ıvá pojem pásmo proporcionality, které je uvádˇeno v procentech a plat´ı 1 pp = 100 [%] r0 Udává, jaká zmˇena v procentech je nutná ke zmˇenˇe v´ ystupn´ı veliˇciny regulátoru v celém rozsahu. Vyskytuje se zde tedy nelineárn´ı omezen´ı akˇcn´ı veliˇciny. Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze tento tvar regulátoru opˇet nesplˇ nuje podm´ınku fyzikáln´ı realizovatelnosti. Re´ aln´ y PD a PID regul´ ator Regulátory PD a PID popsané v´ yˇse nesplˇ nuj´ı podm´ınku fyzikáln´ı realizovatelnosti. V praxi jsou jejich pˇrenosové funkce doplnˇeny o setrvaˇcn´ y ˇclen s ˇcasovou konstantou ε, která se naz´ yvá realizaˇcn´ı ˇcasová konstanta . Vzniknou tak reálné pˇrenosové funkce PD a PID regulátoru, které maj´ı následuj´ıc´ı tvary: Reáln´ y PD regulátor FR (p) =

X(p) TD p + 1 = KR E(p) εp + 1

kde ε << TD

Reáln´ y PID regulátor FR (p) =

(T1 p + 1)(T2 p + 1) X(p) = KR E(p) p(εp + 1)

kde ε << T1 , T2

realizaˇcn´ı konstanta je tedy volena tak, aby co nejménˇe ovlivˇ novala chován´ı ideáln´ıch regulátor˚ u. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech je realizaˇcn´ı ˇcasová konstanta pˇr´ıtomna jiˇz z konstrukˇcn´ıch d˚ uvod˚ u regulátoru. Nen´ı-li tomu tak, je nutné ji do regulátoru u ´myslnˇe zapojit. Jinak totiˇz stoupaj´ıc´ı amplitudová charakteristika zp˚ usob´ı velké zes´ılen´ı ˇsumu a poruch s obsahem vyˇsˇs´ıch frekvenc´ı, coˇz je nevhodné z hlediska ˇzivotnosti akˇcn´ıch ˇclen˚ u. Tyto ˇsumy a poruchy mohou v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech znemoˇzn ˇovat pouˇzit´ı derivaˇcn´ı sloˇzky v˚ ubec. 4.1.1

Realizace z´ akladn´ıch typ˚ u spojit´ ych regul´ ator˚ u

Analogové ˇr´ızen´ı je pomalu vytlaˇcováno v pr˚ umyslov´ ych aplikac´ıch ˇc´ıslicov´ ymi regulátory. Pˇresto se setkáme s pˇr´ıpady, kdy je nutné pouˇz´ıt analogov´ y PID regulátor. Jedná se o pˇr´ıpady, kdy • poˇzadujeme ˇsiroké frekvenˇcn´ı pásmo (vˇetˇsinou elektricky realizovan´ yu ´stˇredn´ı ˇclen regulátoru)


48

• realizujeme ˇr´ıdic´ı algoritmy ve v´ ybuˇsném prostˇred´ı (´ ustˇredn´ı ˇclen regulátoru na pneumatickém principu) • nav´ yˇsen´ı ceny vzniklé pouˇzit´ım ˇc´ıslicového ˇreˇsen´ı nen´ı kompenzováno dodateˇcn´ ymi funkcemi (snadné nastaven´ı konstant regulátoru, monitorován´ı pr˚ ubˇeh˚ u, ...) Základem elektrického u ´stˇredn´ıho ˇclenu je operaˇcn´ı zesilovaˇc. Pˇredpokládáme, ˇze ten se sv´ ymi vlastnostmi bl´ıˇz´ı ideáln´ımu operaˇcn´ımu zesilovaˇci, kter´ y má zes´ılen´ı bl´ızké nekoneˇcnu K → ∞ pro vˇsechny kmitoˇcty. Potom je vstupn´ı proud iv = 0 a napˇet´ı na vstupn´ıch svorkách nulové (virtuáln´ı nula). Operaˇcn´ı zesilovaˇce se pouˇz´ıvaj´ı v zapojen´ı se zápornou zpˇetnou vazbou (obrázek 4.2 a)). Celkov´ y pˇrenos tohoto zapojen´ı je FR (p) =

X(p) K = = E(p) 1 + KFZ (p)

1 K

1 1 . = FZ (p) + FZ (p)

Pˇribliˇzná rovnost plat´ı za pˇredpokladu K → ∞. Znamená to, ˇze pˇrenosové vlastnosti regulátoru jsou plnˇe urˇceny pˇrevrácenou hodnotou pˇrenosu ve zpˇetné vazbˇe. i1 (t) Z1 e(t)

Z2 i2 (t)

x(t) iv u1 (t)

− ∞ +

u2 (t)

FZ (p)

a)

b)

Obr´ azek 4.2: Obecné schéma zapojen´ı s operaˇcn´ım zesilovaˇcem

4.2

V´ ykonov´ eˇ cleny regul´ ator˚ u

Lineárn´ı regulátory, popsané v pˇredcházej´ıc´ım odstavci, realizuj´ı poˇzadované frekvenˇcn´ı filtry, kter´ ymi dosahujeme potˇrebné vlastnosti regulaˇcn´ıho dˇeje. V´ ystupy tˇechto ˇclánk˚ u, ’ at uˇz se jedná o zapojen´ı s aktivn´ımi nebo pasivn´ımi prvky, vˇsak nelze v´ ykonovˇe zat´ıˇzit. Akˇcn´ı veliˇcina p˚ usob´ıc´ı na regulovanou soustavu vˇsak mus´ı m´ıt urˇcit´ y v´ ykon, a proto signál, kter´ y z´ıskáme z u ´stˇredn´ıho ˇclenu, mus´ıme jeˇstˇe v´ ykonovˇe zes´ılit. Z dynamického hlediska by ovˇsem bylo nejlépe, kdyby se tento v´ ykonov´ y zesilovaˇc choval jako propor´ cionáln´ı ˇclánek. Uloha realizace v´ ykonového zesilovaˇce je pomˇernˇe jednoduchá, pokud akˇcn´ı veliˇcina je elektrick´ y proud nebo napˇet´ı. Dˇr´ıve hojnˇe pouˇz´ıvané rotaˇcn´ı zesilovaˇce (anplidyn, regulex, rototrol a dalˇs´ı), jakoˇz i r˚ uzné typy magnetick´ ych zesilovaˇc˚ u byly v novˇejˇs´ıch zaˇr´ızen´ıch nahrazeny zesilovaˇci s polovodiˇcov´ ymi v´ ykonov´ ymi prvky (v´ ykonové tranzistory, tyristory, triaky). B´ yvaj´ı téˇz oznaˇcovány jako ˇr´ızené usmˇerˇ novaˇce nebo mˇeniˇce. Pro aplikace s jednou polaritou ovládac´ıho napˇet´ı (proudu) se pouˇz´ıvaj´ı jednoduˇsˇs´ı zapojen´ı, ve kter´ ych je ˇr´ızen´ y prvek zapojen v sérii se zátˇeˇz´ı. V pˇr´ıpadˇe, kdy se poˇzaduje zmˇena


P regulátor

49

I regulátor

h(t)

h(t) 1

r0

ri 0

0

t

1

PD regulátor

Ti

t

1

t

PI regulátor

h(t)

h(t) r0 + ri

r0

r0 0

0

t PID regulátor

h(t)

reáln´ y PD regulátor h(t)

rd

Kr Tεd

ri r0 0

r0 1

t

0

Kr ε

t

reáln´ y PID regulátor h(t)

T1 T2 Tc ε

0

t

Obr´ azek 4.3: Pˇrechodové charakteristiky jednotliv´ ych typ˚ u regulátor˚ u P, I, PD, PI, PID, reáln´ y PD a reáln´ y PID regulátor


50

P regulátor

PD regulátor

I regulátor Im

Im

0

r0 0

Im Re

Re r0

0

0

Re

PI regulátor

PID regulátor

reáln´ y PD regulátor

Im

Im

Im

r0 Re

r0

0

Re

Re 0 Kr

Kr Tεd

reáln´ y PID regulátor Im Re 0

T1 T2 Tc ε

Obr´ azek 4.4: Frekvenˇcn´ı charakteristiky v komplexn´ı rovinˇe jednotliv´ ych typ˚ u regulátor˚ u P, I, PD, PI, PID, reáln´ y PD a reáln´ y PID regulátor


P regulátor |F |dB

51

I regulátor ϕ

|FR (jω)|dB

|F |dB

−2

0dB

ϕ

/de k

20 log r0 0

−180

ω

ϕ(ω)

|FR (jω)|dB

0 ϕ(ω)

0

PD regulátor |F |dB

|FR (jω)|dB

ω

−90

PI regulátor

+2

B 0d

ϕ

ek /d

|F |dB

− 20

20 log r0

0

r0 /rd

0

0

ω

ri /r0

ϕ(ω)

ω

0

PID regulátor

0

20

dB

/d ek

−90

ϕ(ω) 90

−

ϕ

|FR (jω)|dB

dB / dek

20 log r0

|F |dB

−180

reáln´ y PD regulátor ϕ

|FR (jω)|dB

20

dB

ek /d

20 d

20 log r0 1/T1 1/T2

|FR (jω)|dB

|F |dB

−90

ω

1/Td

0

1/ε

ω

0

ϕ(ω)

ϕ dek B/

0

ϕ(ω)

+90

+90

reáln´ y PID regulátor |F |dB

−

0

ϕ 20

dB

/d ek

d 20

1/T1 1/T2

ϕ(ω)

B

ek /d

1/ε ω

−90 0 +90

Obr´ azek 4.5: Amplitudové a fázové frekvenˇcn´ı charakteristiky jednotliv´ ych typ˚ u regulátor˚ u P, I, PD, PI, PID, reáln´ y PD a reáln´ y PID regulátor


52

polarity akˇcn´ı veliˇciny, pouˇz´ıvaj´ı se m˚ ustková zapojen´ı. Podle typu napájec´ıho napˇet´ı rozliˇsujeme jednofázová nebo tˇr´ıfázová zapojen´ı s jedno nebo dvoucestn´ ym usmˇernˇen´ım. Podle poˇctu fáz´ı a typu usmˇernˇen´ı se ˇr´ıd´ı zpoˇzdˇen´ı mezi vstupn´ım napˇet´ım (t.j. v´ ystupem frekvenˇcnˇe koriguj´ıc´ıho regulátoru) a v´ ykonovˇe zes´ılen´ ym napˇet´ım - akˇcn´ı veliˇcinou. Obvykle pro dynamické vlastnosti v´ ykonového zesilovaˇce popisujeme setrvaˇcn´ ym ˇclánkem s −2 ˇcasovou konstantou ˇrádu 10 s. Pro vˇetˇsinu pr˚ umyslov´ ych soustav, jejichˇz ˇcasové konstanty jsou podstatnˇe vˇetˇs´ı, m˚ uˇzeme toto zpoˇzdˇen´ı zanedbat. V´ yjimku tvoˇr´ı mechanické pohonové jednotky. Pokud je akˇcn´ı veliˇcina jiného neˇz elektrického typu, napˇr. tlak vzduchu nebo oleje v pneumatick´ ych ˇci hydraulick´ ych systémech, je tˇreba pouˇz´ıt pˇr´ısluˇsn´ y pˇrevodn´ık elektrického signálu na signál poˇzadovaného typu. Dynamické vlastnosti pak závis´ı na typu konstrukce. Zvláˇstn´ı - a velmi ˇcast´ y - pˇr´ıpad tvoˇr´ı takové systémy, u kter´ ych je akˇcn´ı veliˇcina mechanická, t.j. posunut´ı, nebo u ´hlové natoˇcen´ı. Akˇcn´ı orgán je tedy servomotor s pˇr´ımoˇcar´ ym, nebo kruhov´ ym pohybem v´ ystupn´ı ˇcásti. Servomotor s polohov´ ym v´ ystupem se chová jako integraˇcn´ı ˇclánek se setrvaˇcnost´ı. Tuto skuteˇcnost mus´ıme vz´ıt v u ´vahu a jeho pˇrenos zahrnout do pˇrenosu regulované soustavy. Pokud je z nˇejakého d˚ uvodu neˇzádouc´ı pˇr´ıtomnost integraˇcn´ıho ˇclenu v akˇcn´ım orgánu, pouˇzijeme zapojen´ı naznaˇcené na obrázku 4.6 a). Signál regulaˇcn´ı odchylky e(t) je zpracován v lineárn´ım regulátoru PID, kter´ y produkuje a)

e(t)

x1 (t)

x(t) R2

PID

b)

e(t)

x1 (t) PID

1 Ta p + 1

SM

x(t)

Obr´ azek 4.6: Regulaˇcn´ı obvod se servomechanizmem signál akˇcn´ı veliˇciny x1 (t). Tento signál pˇredstavuje ˇzádanou hodnotu pro tzv. malou vnitˇrn´ı smyˇcku, coˇz je polohov´ y servomechanizmus, tvoˇren´ y regulátorem R2 a servomotorem SM. V´ ystupem servomotoru je skuteˇcná akˇcn´ı veliˇcina x(t) ve formˇe mechanického posunut´ı nebo natoˇcen´ı. Regulátor malé smyˇcky R2 mus´ı b´ yt navrˇzen tak, aby byla co nejdokonaleji splnˇena podm´ınka x(t) = x1 (t). Za pˇredpokladu, ˇze pˇrenos servomotoru je FSM (p) =

Kv p(Tm p + 1)

a regulátor R2 je lineárn´ı, typu PD s pˇrenosem FR2 (p) = KR (Tm p + 1)


53

je celkov´ y pˇrenos malé smyˇcky ve tvaru Fa (p) =

FR2 (p)FSM (p) KR Kv 1 = = 1 + FR2 (p)FSM (p) p + KR Kv Ta p + 1

kde Ta =

1 KR Kv

Cel´ y obvod akˇcn´ıho ˇclenu (servopohonu) má tedy pˇrenos jako setrvaˇcn´ y ˇclánek s ˇcasovou konstantou u ´mˇernou pˇrevrácené hodnotˇe zes´ılen´ı regulátoru a rychlostn´ı konstanty servomotoru. Náhradn´ı blokové schéma je na obrázku 4.6 b). Tyto u ´vahy plat´ı ovˇsem v ideáln´ım pˇr´ıpadˇe, kdy jsou splnˇeny vˇsechny v´ yˇse uvedené pˇredpoklady. Ve skuteˇcnosti tomu tak nen´ı. Tak napˇr. PD regulátor v ideáln´ım tvaru nelze - jak v´ıme - realizovat. Proto pˇrenos akˇcn´ıho orgánu se servomotorem m´ıvá sloˇzitˇejˇs´ı tvar. Uvedená struktura regulátoru s akˇcn´ım ˇclenem je v pr˚ umyslov´ ych regulac´ıch tak ˇcastá, ˇze sériovˇe vyrábˇené regulátory lineárn´ıho typu PID jiˇz vˇetˇsinou maj´ı potˇrebn´ y druh´ y regulátor R2 zabudován a na vstupn´ı svorky se pˇrivád´ı nejen signál od ˇcidla regulované soustavy, ale téˇz signál od sn´ımaˇce polohy v´ ystupu servomotoru. B´ yvá oznaˇcen “ˇcidlo servopohonu”. Dodejme, ˇze z hlediska teorie automatického ˇr´ızen´ı patˇr´ı tento typ regulace do skupiny rozvˇetven´ ych regulaˇcn´ıch obvod˚ u, o kter´ ych bude pojednáno ve zvláˇstn´ı kapitole.

4.3

Diskr´ etn´ı regul´ atory

Diskrétn´ı regulátory jsou obvykle popsány diskrétn´ı pˇrenosovou funkc´ı D(z). Zde ukáˇzeme vztah mezi touto pˇrenosovou funkc´ı a programem ˇc´ıslicového procesoru, kter´ ym je obvykle diskrétn´ı regulátor realizován. Pˇrenos regulátoru z obrázku 4.7 je D(z) =

w(t)

e(t)

X(z) a0 + a1 z −1 + a2 z −2 · · · + ak z −k = E(z) 1 + b1 z −1 + b2 z −2 + · · · bk z −k

T D(z)

x∗ (t) Tvarovac´ı ˇclen

y(t) FS (p)

Obr´ azek 4.7: Regulaˇcn´ı obvod s diskrétn´ım regulátorem Pro hodnoty akˇcn´ı veliˇciny v ˇcase tn = nT vypoˇc´ıtáme z pˇredchoz´ı rovnice pomoc´ı zpˇetné transformace vztah: x(nT ) = a0 e(nT ) + a1 e[(n − 1)T ] + a2 e[(n − 2)T ] + · · · + ak e[(n − k)T ]− − b1 x[(n − 1)T ] − b2 x[(n − 2)T ] − · · · − bk x[(n − k)T ] (4.6) Okamˇzitá hodnota akˇcn´ı veliˇciny x(nT ) je dána souˇctem k+1 vzork˚ u odchylky, násoben´ ych koeficienty a0 aˇz ak a k pˇredcházej´ıc´ıch hodnot akˇcn´ı veliˇciny, násoben´ ych koeficienty b1


54

aˇz bk . Blokové schéma na obrázku 4.8 znázorˇ nuje tvorbu programu poˇc´ıtaˇce, kter´ ym je realizován poˇzadovan´ y ˇr´ıdic´ı algoritmus. Pro realizaci je tˇreba 2k + 1 násoben´ı a 2k bunˇek pro pamatován´ı pˇrecházej´ıc´ıch hodnot. Obsah bunˇek se v kaˇzdé periodˇe posouvá. Toto schéma lze pˇrekreslit do tvaru uvedeného na obrázku 4.9. Proti pˇredchoz´ımu zp˚ usobu programován´ı zde uspoˇr´ıme polovinu pamˇet’ov´ ych bunˇek. e(t)

T a0 a1

e−T p

T

a2

e−T p

.. . e−T p

.. .

X

x(nT )

−b1

e−T p

−b2

.. .

.. .

Obr´ azek 4.8: Blokové schéma tvorby programu poˇc´ıtaˇce

4.4

Shrnut´ı

V této kapitole jsme rozebrali základn´ı sloˇzky jednoduch´ ych regulátor˚ u, kter´ ymi jsou proporcionáln´ı, integraˇcn´ı a derivaˇcn´ı sloˇzka. Popsali jsme si vlastnosti jednoduch´ ych regulátor˚ u a jejich popis v ˇcasové a frekvenˇcn´ı oblasti. Proporcionáln´ı sloˇzka je nejjednoduˇsˇs´ı. Jej´ı zvyˇsován´ı vede postupnˇe ke zrychlován´ı pˇrechodného dˇeje a ke sniˇzován´ı zásob stability, o kter´ ych se zm´ın´ıme v kapitole o anal´ yze dynamick´ ych vlastnost´ı regulaˇcn´ıch obvod˚ u. Integraˇcn´ı sloˇzka má destabilizuj´ıc´ı charakter. D˚ uvod jej´ıho pouˇzit´ı je odstranˇen´ı trvalé ustálené odchylky pˇri zmˇenˇe ˇr´ızen´ı ˇci poruchy. Zpomaluje pˇrechodn´ y dˇej, protoˇze pˇrisp´ıvá ke zmˇenˇe fáze o −π/2. Derivaˇcn´ı sloˇzka má obrácené u ´ˇcinky. Stabilizuje pˇrechodn´ y dˇej (posun fáze o π/2) a zrychluje ho, coˇz je hlavn´ım d˚ uvodem jej´ıho pouˇzit´ı. V pˇr´ıpadˇe pˇr´ıtomnosti ˇsumu mˇeˇren´ı derivaˇcn´ı sloˇzka tento ˇsum zesiluje. To m˚ uˇze vést ke zv´ yˇsenému opotˇreben´ı akˇcn´ıho ˇclenu. Tento neˇzádouc´ı jev m˚ uˇze znemoˇznit pouˇzit´ı derivaˇcn´ı sloˇzky. Konec tohoto shrnut´ı obsahuje nˇekteré závˇery, jejichˇz platnost vyplyne z probrán´ı nˇekolika následuj´ıc´ıch kapitol. Jsou zde uvedeny proto, ˇze jsou velmi d˚ uleˇzité pro správnou volbu typu regulátoru.


55 T

a0

e(t)

a1

a2

x(nT )

ak

T e−T p

e−T p −b1

e−T p −b2

−bk

´ Obr´ azek 4.9: Uspornˇ ejˇs´ı blokové schéma tvorby programu poˇc´ıtaˇce

4.5


Ot´ azka 4.1 Napiˇste pˇrenosy jednotlivých jednoduchých typ˚ u regul´ ator˚ u. Ot´ azka 4.2 Nakreslete pˇrechodové charakteristiky jednotlivých jednoduchých typ˚ u regul´ ator˚ u a popiˇste je s ohledem na jejich vyj´ adˇren´ı pomoc´ı pˇrenos˚ u. Ot´ azka 4.3 Nakreslete frekvenˇcn´ı charakteristiky jednotlivých jednoduchých typ˚ u regul´ ator˚ u a popiˇste je s ohledem na jejich vyj´ adˇren´ı pomoc´ı pˇrenos˚ u. Ot´ azka 4.4 Co je to realizaˇcn´ı konstanta regul´ atoru a u kterých typ˚ u regul´ ator˚ u se pouˇz´ıvá. Ot´ azka 4.5 Nakreslete schémata jednotlivých sloˇzek PID regul´ atoru pomoc´ı operaˇcn´ıch zesilovaˇc˚ u. Jakým zp˚ usobem se z tˇechto schémat postav´ı PID regul´ ator.


5

56

Z´ akladn´ı typy pˇ renos˚ u ve spojit´ ych zpˇ etnovazebn´ıch obvodech a jejich vlastnosti

V této kapitole budou nadefinov´ any z´ akladn´ı typy pˇrenos˚ u, které jsou typické pro zpˇetnovazebn´ı regulaˇcn´ı zapojen´ı. S tˇemito pˇrenosy se budeme setk´ avat nejen bˇehem tohoto kurzu, ale i bˇehem kurz˚ u, které na nˇej navazuj´ı. Kromˇe jejich definice zde budou uvedeny jejich vlastnosti. Podrobnˇe rozebereme jejich trvalé ust´ alené odchylky pro r˚ uzné typy vstupn´ıch sign´ al˚ u (ipuls, skok, rampa, kvadratický pr˚ ubˇeh ). To n´ am umoˇzn´ı jednoduchým zp˚ usobem urˇcit poˇcet astatism˚ u které mus´ı být v soustavˇe nebo v regul´ atotu s c´ılem dos´ ahnout nulové trvalé ust´ alené odchylky pro nˇekterý z výˇse uvedených vstupn´ıch sign´ al˚ u.

5.1

Z´ akladn´ı typy pˇ renos˚ u

Jak jsme jiˇz uvedli v u ´vodu, technologické schéma zpˇetnovazebn´ıho regulaˇcn´ıho obvodu lze za urˇcit´ ych pˇredpoklad˚ u zjednoduˇsit na tvar podle obrázku 5.1. Hlavn´ı pˇredpoklady nutné pro zjednoduˇsen´ı jsou • veˇskeré poruchy, které na systém p˚ usob´ı, jsou soustˇredˇeny na vstup regulované soustavy • pˇrenos regulátoru FR (p) zahrnuje i pˇrenosy v´ ykonov´ ych a akˇcn´ıch ˇclen˚ u, pokud nejsou zanedbatelné • pˇrenos ve zpˇetné vazbˇe FZ (p) pˇredstavuje pˇrenos mˇeˇric´ıho ˇcidla, jakoˇz i pˇrenosy dalˇs´ıch pˇr´ıdavn´ ych ˇclen˚ u. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech je tento pˇrenos roven jedné

w(t)

ε(t)

x(t)

u(t)

FR (p)

y(t) FS (p)

i ≈ v(t) FZ (p)

Obr´ azek 5.1: Zjednoduˇsené technologické schéma u U regulaˇcn´ıho obvodu podle obrázku 5.1 definujeme následuj´ıc´ı typy pˇrenos˚


Rovnice

Regulované soustavy

FS (p) =

Y (p) X(p)

Regulátoru

FR (p) =

X(p) ε(p)

Zpˇetné vazby

FZ (p) =

V (p) Y (p)

F0 (p) =

V (p) ε(p)

ˇ ızen´ı R´

Fw (p) =

Y (p) W (p)

Poruchy v uzavˇreném obvodˇe

Fu (p) =

Y (p) U (p)

Odchylky

Fe (p) =

E(p) W (p)

Akˇcn´ı veliˇciny

Fa (p) =

X(p) W (p)

Otevˇrené smyˇcky

1

Poznámka

pˇrenosy uzavˇreného obvodu

Typ pˇrenosu

57

Pro v´ ypoˇcet pˇrenosu otevˇrené smyˇcky a jednotliv´ ych pˇrenos˚ u uzavˇreného obvodu si ˇ sen´ı je provedeno v pˇrekresl´ıme blokové schéma z obrázku 5.1 do potˇrebného tvaru. Reˇ nˇekolika následuj´ıc´ıch podkapitolách. 5.1.1

Pˇ renos otevˇ ren´ e smyˇ cky

Pˇrenos otevˇrené smyˇcky z´ıskáme rozpojen´ım zpˇetné vazby v obrázku 5.1 pˇred vstupem do rozd´ılového ˇclenu, v m´ıstˇe oznaˇceném na obrázku i. Pro pˇrekreslen´ı schématu dostaneme uˇzeme psát schéma na obrázku 5.2. Pro pˇrenos tohoto zapojen´ı m˚ F0 (p) =

V (p) = FR (p)FS (p)FZ (p) ε(p)

(5.1)

Je tˇreba si uvˇedomit, ˇze signál ε(t) je roven regulaˇcn´ı odchylce pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze FZ (p) = 1, nebot’ podle definice regulaˇcn´ı odchylky e(t) plat´ı e(t) = w(t) − y(t). V pˇr´ıpadˇe, ˇze ve zpˇetné vazbˇe nen´ı jednotkov´ y pˇrenos, pak signál ε(t) naz´ yváme vstupn´ı veliˇcinou regulátoru, nikoliv regulaˇcn´ı odchylkou. 1

Za pˇredpokladu, ˇze je zpˇetnovazebn´ı smyˇcka rozpojena v bodˇe i.


58

ε(t)

v(t) FR (p)

FS (p)

FZ (p)

Obr´ azek 5.2: Zobrazen´ı otevˇrené smyˇcky 5.1.2

Pˇ renos ˇ r´ızen´ı

Pˇri v´ ypoˇctu pˇrenosu ˇr´ızen´ı se uvaˇzuje nulová porucha u(t). Pˇrenos potom vypoˇc´ıtáme podle obrázku 5.3 Fw (p) =

Y (p) FR (p)FS (p) FR (p)FS (p) = = W (p) 1 + FR (p)FS (p)FZ (p) 1 + F0 (p)

(5.2)

V pˇr´ıpadˇe jednotkového pˇrenosu ve zpˇetné vazbˇe FZ (p) = 1 plat´ı pro pˇrenos ˇr´ızen´ı rovnice Fw (p) =

F0 (p) 1 + F0 (p)

C´ılem ˇr´ızen´ı je, aby v´ ystupn´ı signál y(t) co nejvˇernˇeji sledoval pr˚ ubˇeh ˇzádané hodnoty w(t). V ustáleném stavu by se tyto signály mˇeli shodovat, ˇcili statické zes´ılen´ı pˇrenosu ˇr´ızen´ı by mˇelo b´ yt rovno jedné.

w(t)

ε(t)

x(t) FR (p)

y(t) FS (p)

v(t) FZ (p)

Obr´ azek 5.3: Pˇrenos ˇr´ızen´ı

5.1.3

Pˇ renos poruchy

Podobnˇe jako pˇri v´ ypoˇcty pˇrenosu ˇr´ızen´ı budeme o druhém vstupn´ım signálu uvaˇzovat, ˇze je nulov´ y. V tomto pˇr´ıpadˇe budeme uvaˇzovat nulovou ˇzádanou hodnotu w(t) = 0. Z pohledu poruchy si m˚ uˇzeme obrázek 5.1 pˇrekreslit na 5.4. Pˇrenos tohoto zapojen´ı je Fu (p) =

Y (p) FS (p) FS (p) = = U (p) 1 + FR (p)FS (p)FZ (p) 1 + F0 (p)

(5.3)


u(t)

59

y(t) FS (p)

x(t)

v(t) FR (p)

FZ (p)

Obr´ azek 5.4: Pˇrenos poruchy Polaritu zpˇetné vazby jsme vyjádˇrili záporn´ ym znam´ınkem v souˇctovém ˇclenu s poruchou. Zd˚ uraznˇeme, ˇze pokud v tomto pˇr´ıpadˇe mluv´ıme o pˇrenosu poruchy, máme na mysli pˇrenos v uzavˇ ren´ em obvodˇ e. Pokud se nˇekdy vyskytne pˇr´ıpad,ˇze poruchov´ y signál p˚ usob´ı v jiném m´ıstˇe soustavy neˇz na jej´ım vstupu, mluv´ıme o pˇrenosu poruchy v samotné soustavˇe a oznaˇcujeme jej zpravidla Fsu (p). Porucha m˚ uˇze vstupovat také na v´ ystupu soustavy. P˚ usoben´ı poruchy nám vyvede systém z rovnováhy. Ikdyˇz porucha m˚ uˇze b´ yt r˚ uzného typu (pulsn´ı, skoková, lineárnˇe nar˚ ustaj´ıc´ı, harmonická, ...), obecnˇe se dá ˇr´ıci, ˇze je naˇs´ı snahou, aby uzavˇren´ y systém p˚ usoben´ım regulátoru vliv poruchy co nejrychleji odstranil a aby statické zes´ılen´ı pˇrenosu poruchy bylo rovné nule. 5.1.4

Pˇ renos odchylky

T´ımto pˇrenosem vyjadˇrujeme, jak se ˇr´ıdic´ı veliˇcina w(t) pˇrenáˇs´ı na regulaˇcn´ı odchylku e(t). Jak jiˇz bylo zm´ınˇeno v´ yˇse, je tˇreba rozliˇsovat dva pˇr´ıpady: a) FZ (p) = 1, pak e(t) = ε(t) = w(t) − y(t) a podle obrázku 5.5 plat´ı Fe (p) = Fε (p) =

E(p) 1) 1 = = W (p) 1 + FR (p)FS (p) 1 + F0 (p)

(5.4)

b) FZ (p) 6= 1, pak e(t) 6= ε(t) a pro v´ ypoˇcet pˇrenosu odchylky pouˇzijeme definiˇcn´ı vztah E(p) = W (p) − Y (p). Pak plat´ı E(p) W (p) − Y (p) FR (p)FS (p) = = 1 − Fw (p) = 1 − W (p) W (p) 1 + F0 (p) 1 + F0 (p) − FR (p)FS (p) 1 + FR (p)FS (p)[1 − FZ (p)] = = 1 + F0 (p) 1 + F0 (p)

Fe (p) =

Pro pˇrenos vstupn´ı veliˇciny regulátoru Fε (p) ovˇsem plat´ı vztah Fε (p) =

ε(p) 1 = W (p) 1 + F0 (p)

(5.5)


60

w(t)

e(t)

y(t)

x(t) FS (p)

FR (p)

Obr´ azek 5.5: Pˇrenos odchylky 5.1.5

Pˇ renos akˇ cn´ı veliˇ ciny

Tento pˇrenos charakterizuje pr˚ ubˇeh akˇcn´ı veliˇciny x(t) v závislosti na pr˚ ubˇehu ˇr´ıdic´ı veliˇciny w(t). Podle obrázku 5.6 plat´ı Fa (p) =

X(p) FR (p) FR (p) = = W (p) 1 + FR (p)FS (p)FZ (p) 1 + F0 (p)

w(t)

(5.6)

x(t) FR (p)

v(t)

y(t) FZ (p)

FS (p)

Obr´ azek 5.6: Pˇrenos Akˇcn´ı veliˇciny Na tomto m´ıstˇe upozorn´ıme na skuteˇcnost, ˇze vˇsechny pˇrenosy uzavˇreného obvodu maj´ı ve jmenovateli stejn´ y v´ yraz 1 + F0 (p). Jeho v´ yznam je vysvˇetlen v kapitole 6 o stabilitˇe zpˇetnovazebn´ıch systém˚ u.

5.2

Vlastnosti standardn´ıch spojit´ ych pˇ renos˚ u

Pˇrenosy popsané v pˇredchoz´ıch podkapitolách maj´ı urˇcité charakteristické rysy, které si rozebereme v této kapitole. Bude zde pro zjednoduˇsen´ı pˇredpokládat, ˇze zpˇetnovazebn´ı pˇrenos FZ (p) = 1. Toto zjednoduˇsen´ı si m˚ uˇzeme dovolit, pokud tento pˇrenos neovlivn´ı limitn´ı stavy lim FZ (p) 6= ∞ a lim FZ (p) 6= ∞ p→0

p→∞

Tyto podm´ınky jsou v praxi vˇzdy splnˇeny. Aˇz na v´ yjimky plat´ı lim FZ (p) = 1

p→0

(5.7)


61

Pˇrenos soustavy a regulátoru nahrad´ıme jejich standardn´ımi tvary, které jsou FS (p) =

KS KS = Q n−s ps S(p) ps i=1 (Ti p + 1)

FR (p) = KR

(5.8)

KR (T1 p + 1)(T2 p + 1) = R(p) pr pr

(5.9)

Snadno se lze pˇrevˇedˇcit, ˇze odvozené vztahy plat´ı i pro pˇr´ıpad, kdy soustava obsahuje také nuly a kdyˇz mezi póly pˇrenosu soustavy jsou komplexnˇe sdruˇzené páry. Pro jednotlivé pˇrenosy plat´ı tyto d˚ uleˇzité vztahy. Pokud nˇekdy v pr˚ ubˇehu návrhu regulátoru zjist´ıme, ˇze tyto vztahy neplat´ı, je to pro nás zpˇetná kontrola, která ˇr´ıká, ˇze jsme se nˇekde dopustili chyby. 5.2.1

Pˇ renos otevˇ ren´ e smyˇ cky F0 (p) =

KR KS R(p) M (p) = r+s p S(p) N (p)

Pro tento pˇrenos vyˇreˇs´ıme limitn´ı stavy. Pro limitu p → 0 mohou nastat dva pˇr´ıpady r+s>0 r+s=0

potom

potom

lim F0 (p) = ∞

p→0

lim F0 (p) = KR KS = K0

p→0

coˇz je zpravidla > 1

Tyto limity pˇredstavuj´ı ustálen´ y stav pˇri odezvˇe na jednotkov´ y skok. Nijak nepˇrekvapuje, ˇze pokud je v F0 (p) pˇr´ıtomen alespoˇ n jeden integrátor, pak v´ ystup odcház´ı do nekoneˇcna. Dále se pod´ıváme na to, co se dˇeje tˇesnˇe po pˇriveden´ı jednotokového skoku, tedy v ˇcase t = 0+ . Pro reálné systémy vˇzdy plat´ı, ˇze ˇrád m ˇcitatele M (p) je niˇzˇs´ı neˇz ˇrád n jmenovatele N (p). Potom lim F0 (p) = 0 p→∞

Pˇrechodová charakteristika zaˇc´ıná v nule h(0+ ) = 0. 5.2.2

Pˇ renos ˇ r´ızen´ı

Pˇrenos ˇr´ızen´ı je dán vztahem Fw (p) =

KR KS R(p) r+s p S(p) + KR KS R(p)

=

M (p) N (p) + M (p)

Jednou ze základn´ıch u ´loh ˇr´ızen´ı je, aby v´ ystup pokud moˇzno co nejpˇresnˇeji sledoval ˇzádanou hodnotu. Následuj´ıc´ı vzorec ukazuje, jak to vypadá v ustáleném stavu po odezvˇe na jednotkov´ y skok. 1 pro r + s > 0 lim Fw (p) = . K0 = 1 pro r + s = 0 p→0 1+K0


62

Pokud soustava a regulátor spoleˇcnˇe obsahuj´ı alespoˇ n jeden integrátor, pak je pˇrenos v ustáleném stavu roven jedné a poˇzadavek ˇr´ızen´ı je splnˇen. Pokud tam integrátor pˇr´ıtomen nen´ı, je pˇrenos ˇr´ızen´ı v ustáleném stavu vˇzdy o nˇeco menˇs´ı neˇz jedna. Abychom se pˇribl´ıˇzili poˇzadavku ˇr´ızen´ı, mus´ıme zajistit co nejvˇetˇs´ı zes´ılen´ı K0 → ∞. Dále plat´ı, ze stejného d˚ uvodu jako u pˇrenosu otevˇrené smyˇcky, lim Fw (p) = 0

p→∞

5.2.3

Pˇ renos poruchy

Pˇrenos poruchy je dán vztahem Fu (p) =

p r KS pr+s S(p) + KR KS R(p)

(5.10)

Potlaˇcen´ı poruchy p˚ usob´ıc´ı na vstupu soustavy je dalˇs´ı základn´ı u ´lohou ˇr´ızen´ı. V ustáleném stavu by proto pˇrenos poruchy mˇel b´ yt roven 0, nebo by mˇel b´ yt co nejmenˇs´ı.  0 pro r > 0  1 . = 0 pro r = 0 a s > 0 lim Fu (p) = p→0  KKSR . = 0 pro r = 0 i s = 0 1+K0 ´ eho vyregulován´ı poruchy je dosaˇzeno pouze v pˇr´ıpadˇe, kdy regulátor obsahuje inteUpln´ graˇcn´ı sloˇzku. Pokud tomu tak nen´ı, pˇresto limita jde k 0, protoˇze KR >> 1 a K0 > 1 Dále plat´ı lim Fu (p) = 0 p→∞

5.2.4

Pˇ renos odchylky

Pˇrenos odchylky je dán vztahem Fe (p) =

pr+s S(p) N (p) = r+s p S(p) + KR KS R(p) N (p) + M (p)

Ustálená odchylka souvis´ı s pˇrenosem ˇr´ızen´ı. Pokud je pˇrenos ˇr´ızen´ı roven Fw (p) = 1, je pˇrenos odchylky roven Fe (p) = 0. 0 pro r + s > 0 . lim Fe (p) = 1 = 1 pro r + s = 0 p→0 1+K0 Protoˇze n > m, bude ˇrád ˇcitatele a jmenovatele pˇrenosu odchylky stejn´ y a koeficienty u nejvyˇsˇs´ıch mocnin budou shodné. Proto lim Fe (p) = 1

p→∞

Tento vztah vyjadˇruje skuteˇcnost, ˇze pˇri skokové zmˇenˇe ˇr´ıdic´ı veliˇciny o velikosti w0 vznikne regulaˇcn´ı odchylka stejné velikosti e(0+ ) = w0 .


5.2.5

63

Pˇ renos akˇ cn´ı veliˇ ciny

Dosazen´ım standardn´ıch tvar˚ u regulátoru (5.9) a soustavy (5.8) do 5.6 dostaneme Fa (p) =

FR (p)N (p) ps KR S(p)R(p) = r+s p S(p) + KR KS R(p) N (p) + M (p)

Hodnoty pro limitn´ı pˇr´ıpady jsou lim Fa (p) =

p→0

 

0 1 KS KR 1+K0



pro s > 0 pro s = 0 a r > 0 pro s = 0 i r = 0

Ustálená hodnota ˇr´ızen´ı je rovna nule pouze v pˇr´ıpadˇe, kdy je v soustavˇe integrátor. Jinak by v´ ystup soustavy nar˚ ustal a nejednalo by se o ustálen´ y stav.   ∞ pro regulátory s ideáln´ı derivaˇcn´ı sloˇzkou x pro vˇetˇsinu pouˇz´ıvan´ ych regulátor˚ u lim Fa (p) = p→∞  0 pro regulátor typu I Pˇ r´ıklad 5.1 Zjistˇete, zda pˇrenos

F (p) =

6p3

3p + 1 + 4p2 + 2p + 10

m˚ uˇze být nˇekterým ze z´ akladn´ıch typ˚ u pˇrenos˚ u uzavˇreného obvodu. Nejprve si vypoˇc´ıtejme odezvu na jednotkov´ y skok ve dvou limitn´ıch ˇcasech t = 0 a t → ∞. Pouˇzijeme k tomu centráln´ı limitn´ı vˇety. h(0) = lim F (p) = 0 p→∞

h(∞) = lim F (p) = 0.1 p→0

Ze zjiˇstˇen´ ych hodnot se dá usoudit, ˇze by se mohlo jednat o pˇrenos poruchy. Pak zˇrejmˇe plat´ı, ˇze v obvodu nen´ı pouˇzit regulátor typu I, PI, nebo PID, jinak by totiˇz byla h(∞) = 0. Postarala by se o to právˇe integraˇcn´ı sloˇzka. Aby to mohl b´ yt pˇrenos . ˇr´ızen´ı, musel by b´ yt h(∞) = 1, coˇz v tomto pˇr´ıpadˇe nen´ı. Aby to byl pˇrenos odchylky, musel by b´ yt h(0) = 1, coˇz také nen´ı. Posledn´ı moˇznost´ı je pˇrenos akˇcn´ı veliˇciny. Odezva pˇrenosu akˇcn´ı veliˇciny na jednotkov´ y skok závis´ı na typu regulátoru a na statickém zes´ılen´ı regulátoru a soustavy. V naˇsem pˇr´ıpadˇe by se mohlo jednat o regulátor I a soustavu se statick´ ym zes´ılen´ım 10. Protoˇze pouˇzit´ı ˇcistˇe integraˇcn´ıho regulátoru je ˇr´ıdké, jev´ı se jako pravdˇepodobnˇejˇs´ı pˇrenos poruchy. Pˇ r´ıklad 5.2 Zjistˇete, zda pˇrenos F (p) =

8.5p4

0.2p + 4.8 + 3p3 + 2.5p2 + 10p + 5

m˚ uˇze být nˇekterým ze z´ akladn´ıch typ˚ u pˇrenos˚ u uzavˇreného obvodu.


64

Pˇrenos

F0 (p)

Fw (p)

Fu (p)

Fe (p)

Fa (p)

Zákl. vztahy

FS (p)FR (p)

FR (p)FS (p) 1 + F0 (p)

FS (p) 1 + F0 (p)

1 1 + F0 (p)

FR (p) 1 + F0 (p)

S N (p) a M (p)

M (p) N (p)

M (p) N (p) + M (p)

FS (p)N (p) N (p) + M (p)

N (p) N (p) + M (p)

FR (p)N (p) N (p) + M (p)

K0 > 1

K0 . =1 1 + K0

KS << 1 1 + K0

1 << 1 1 + K0

KR << 1 1 + K0

∞

1

0

0

1 KS

∞

1

1 << 1 KR

0

0

∞

1

0

0

0

0

0

1

0 ∞ pro ideáln´ı PD a PID >1 pro vˇetˇsinu regul´ ator˚ u 0 pro I regul´ ator

x

r=0

x

s=0

x

r>0

lim

s=0

x

r=0

x

s>0

x x

r>0 s>0

lim

m
p→0

p→∞

Tabulka 5.1: Tabulka chován´ı základn´ıch tvar˚ u pˇrenos˚ u na jednotkov´ y skok


65

Opˇet si nejprve vypoˇc´ıtejme odezvu na jednotkov´ y skok ve dvou limitn´ıch ˇcasech t = 0 at→∞ h(0) = lim F (p) = 0 p→∞

. h(∞) = lim F (p) = 0.96 = 1 p→0

Na základˇe rozboru uvedeného v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe se jedná o pˇrenos ˇr´ızen´ı. Nenulová trvalá ustálená odchylka dále napov´ıdá, ˇze astatismus nen´ı ani v soustavˇe, ani v regulátoru. K ˇr´ızen´ı je pouˇzit bud’to regulátor P nebo PD. Mohl by to b´ yt i pˇrenos akˇcn´ı veliˇciny. V tom pˇr´ıpadˇe by musel b´ yt pouˇz´ıt I regulátor a soustava se statick´ ym zes´ılen´ım 1/0.96.

5.3

Ust´ alen´ e odchylky v regulaˇ cn´ıch obvodech

V pˇredchoz´ı kapitole jsme se zab´ yvali limitn´ımi hodnotami vˇsech pˇrenos˚ u. V této kapitole se zamˇeˇr´ıme na velikost ustálené hodnoty odchylky v pˇr´ıpadˇe r˚ uzn´ ych zmˇen ˇzádané hodnoty a r˚ uzn´ ych zmˇen poruchy p˚ usob´ıc´ı na vstupu soustavy. To odpov´ıdá dvˇema základn´ım poˇzadavk˚ um na ˇr´ızen´ı, kter´ ymi jsou sledován´ı ˇzádané hodnoty a potlaˇcen´ı neˇzádouc´ı poruchy. Ustálená hodnota odchylky nám vypov´ıdá o statické kvalitˇe regulace. Jej´ı hodnota by mˇela b´ yt nulová. Pˇri odvozen´ı budeme opˇet pˇredpokládat, FZ (p) = 1. Jak bylo ukázáno v pˇredchoz´ı kapitole (rovnice (5.7)), nen´ı tento pˇredpoklad nijak limituj´ıc´ı, nebot’ pro p → 0 je této hodnotˇe zpˇetnovazebn´ı pˇrenos roven. 5.3.1

Tvar odchylky pro r˚ uzn´ e zmˇ eny ˇ r´ızen´ı

Pro v´ ypoˇcet regulaˇcn´ı odchylky pouˇzijeme vzorec o koneˇcné hodnotˇe funkce lim e(t) = lim pE(p)

t→∞

(5.11)

p→0

Pro vyjádˇren´ı obrazu odchylky E(p) m˚ uˇzeme pouˇz´ıt zjednoduˇsenou variantu vzorce pro pˇrenos odchylky 5.4. 1 E(p) = Fe (p) = W (p) 1 + F0 (p) Pro obraz odchylky plat´ı E(p) = Fe (p)W (p) S vyuˇzit´ım standardn´ıch tvar˚ u pˇrenosu soustavy (5.8) a regulátoru (5.9) z minulé kapitoly m˚ uˇzeme psát lim e(t) = lim pW (p)Fe (p) = lim pW (p)

t→∞

p→0

p→0

pr+s pr+s + K0

(5.12)

Velikost ustálené odchylky zˇrejmˇe záleˇz´ı na pr˚ ubˇehu ˇzádané hodnoty a na poˇctu pól˚ u pˇrenosu otevˇrené smyˇcky v poˇcátku. Ve vzorci nám stupnˇe astatism˚ u vystupuj´ı vˇzdy v souˇctu, proto nen´ı podstatné, kde se bude astatismus nacházet (zda v soustavˇe ˇci v regulátoru). Systémy s astatismem vyˇsˇs´ıho neˇz druhého ˇrádu maj´ı problémy se stabilitou a proto budeme uvaˇzovat tˇri pˇr´ıpady hodnoty souˇctu r + s ∈ {0; 1; 2}


66

ˇ ıdic´ı veliˇcina m˚ R´ uˇze m´ıt nejr˚ uznˇejˇs´ı ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh. V naˇsem zkoumán´ı se omez´ıme na tˇri typické pr˚ ubˇehy a) konstantn´ı ˇr´ıdic´ı veliˇcina w(t) = w1 s obrazem W1 (p) =

w1 p

b) lineárnˇe nar˚ ustaj´ıc´ı ˇr´ıdic´ı veliˇcina s ˇcasem w(t) = w2 t s obrazem W2 (p) =

w2 p2

c) kvadraticky nar˚ ustaj´ıc´ı ˇr´ıdic´ı veliˇcina s ˇcasem w(t) = 21 w3 t2 s obrazem W3 (p) =

w3 p3

Pˇri urˇcován´ı obraz˚ u W (p) samozˇrejmˇe pˇredpokládáme, ˇze ˇcasové signály jsou pro t < 0 rovny nule. P˚ usoben´ım tˇechto tˇr´ı typ˚ u ˇr´ıdic´ıch signál˚ u na tˇri r˚ uzné typy regulaˇcn´ıch obvod˚ u dostáváme celkem devˇet kombinac´ı. Velikost ustálené odchylky pro jednotlivé kombinace ysledky z´ıskáme prost´ ym dosazen´ım typu pˇrenosu ˇzádané hodnoty do rovnice (5.12). V´ jsou souhrnnˇe uvedeny v tabulce 5.2. Na základˇe poˇzadavk˚ u na ustálenou odchylku potom vol´ıme typ regulátoru a jeho velikost zes´ılen´ı. r + s \ W (p) 0

w1 p w1 1 + K0

w2 p2

w3 p3

∞

∞

1

0

w2 K0

∞

2

0

0

w3 K0

Tabulka 5.2: Ustálená odchylka pro r˚ uzné typy pr˚ ubˇeh˚ u ˇzádané hodnoty a typu regulaˇcn´ıho obvodu

Pˇ r´ıklad 5.3 Regulovan´ a soustava, jej´ımˇz vstupem je teplota, má pˇrenos FS (p) =

0.2 (10p + 1)2 (3p + 1)

Poˇzadujeme, aby ust´ alen´ a odchylka pˇri ˇr´ıdic´ım sign´ alu s n´ ar˚ ustem 0.1◦ Cs−1 nebyla vˇetˇs´ı neˇz 0.3◦ C Z tabulky 5.2 je zˇrejmé, ˇze v obvodu mus´ı b´ yt astatismus alespoˇ n prvn´ıho ˇrádu. Protoˇze soustava je statická, mus´ı b´ yt astatismus v regulátoru, z toho plyne, ˇze m˚ uˇzeme pouˇz´ıt regulátor s integraˇcn´ı sloˇzkou (typ I, PI, nebo PID). Vstupn´ı signál má obraz 0.1 W (p) = 2 p Pro ustálenou odchylku plat´ı lim e(t) =

t→∞

0.1 ≤ 0.3 0.2KR

→

KR ≥

0.1 = 1.67 0.2 · 0.3


67

Statické zes´ılen´ı regulátoru mus´ı b´ yt vˇetˇs´ı neˇz 1.67. Tvar regulátoru bude FR (p) = 1.67

r2 p 2 + r1 p + 1 p(εp + 1)

Velikost jednotliv´ ych konstant se urˇc´ı na základˇe poˇzadavk˚ u na stabilitu a dynamické vlastnosti regulaˇcn´ıho obvodu. 5.3.2

Nulov´ a ust´ alen´ a odchylka bez integraˇ cn´ı sloˇ zky v regulaˇ cn´ım obvodu

Z tabulky 5.2 plyne, ˇze poˇzadavek na nulovou ustálenou odchylku v obvodu se skokovou zmˇenou ˇr´ıdic´ı veliˇciny a statickou soustavou lze splnit pouze v pˇr´ıpadˇe, kdy je v regulátoru obsaˇzena integraˇcn´ı sloˇzka. Vzorce v tabulce 5.2 byly odvozeny za pˇredpokladu, ˇze má zpˇetnovazebn´ı pˇrenos limitu limp→0 FZ (p) = 1. Uvaˇzme nyn´ı, ˇze statické zes´ılen´ı zpˇetnovazebn´ıho pˇrenosu bude r˚ uzné od jedné, rovné nˇejaké konstantˇe limp→0 FZ (p) = KZ 6= 1. Pak vstupn´ı veliˇcina regulátoru nen´ı regulaˇcn´ı odchylka, ale ε(t) = w(t) − KZ y(t) kdeˇzto regulaˇcn´ı odchylka je e(t) = w(t) − y(t) Pod´ıvejme se, zda existuje nˇejaké zes´ılen´ı KZ , pro které by vycházela nenulová vstupn´ı veliˇcina regulátoru, ale nulová regulaˇcn´ı odchylka. Pˇrenos ˇr´ızen´ı je roven Fw (p) =

FR (p)FS (p) 1 + FR (p)FS (p)FZ (p)

Ustálenou hodnotu odchylky vypoˇc´ıtáme limitou lim e(t) = lim pW (p)Fe (p) = lim pW (p)[1 − Fw (p)]

t→∞

p→0

p→0

Dosazen´ım standardn´ıch tvar˚ u pˇrenos˚ u soustavy FS (p) a regulátoru FR (p) dostaneme lim e(t) = lim pW (p)Fe (p) = lim pW (p)

t→∞

p→0

p→0

1 + K0 KZ − K0 1 + K0 KZ

Pokud poloˇz´ıme 1 + K0 KZ − K0 = 0 a vyˇreˇs´ıme tuto rovnici pro hledanou hodnotu KZ , z´ıskáme zes´ılen´ı ve zpˇetné vazbˇe, které zajist´ı nulovou ustálenou regulaˇcn´ı odchylku i v obvodˇe bez astatismu. K0 − 1 KZ = K0 Stejného efektu jako s touto u ´pravou dosáhneme pˇredˇrazen´ım zesilovaˇce s pˇrenosem FF (p) = KF (viz. obrázek 5.7). Zes´ılen´ı se nastav´ı jako inverze statického zes´ılen´ı pˇrenosu ˇr´ızen´ı, tedy 1 + K0 KF = K0


68

w(t)

ε(t)

x(t) FR (p)

KF

y(t) FS (p)

v(t) KZ

Obr´ azek 5.7: Moˇznosti zajiˇstˇen´ı nulové ustálené odchylky na skok ˇr´ızen´ı pro r + s = 0 1 Pˇ r´ıklad 5.4 Pro soustavu s pˇrenosem FS (p) = (p+1)(0.1p+1) byl navrˇzen proporcionáln´ı regul´ ator s pˇrenosem FR (p) = 5. Urˇcete velikost trvalé ust´ alené regulaˇcn´ı odchylky pro pˇr´ıpad, kdy na vstupu p˚ usob´ı skokov´ a zmˇena ˇza´dané hodnoty o velikosti w1 = 2. Navrhnˇete velikost zes´ılen´ı ve zpˇetné vazbˇe, které ust´ alenou regulaˇcn´ı odchylku kompenzuje.

Pouˇzit´ım vzorce pro koneˇcnou hodnotu dostaneme trvalou ustálenou odchylku pro skokovou zmˇenu ˇzádané hodnoty w1 = 2 lim e(t) = lim p

t→∞

p→0

w1 (p + 1)(0.1p + 1) 1 = lim 2 = 0.33 p→0 p 1 + F0 (p) (p + 1)(0.1p + 1) + 5

Nyn´ı urˇc´ıme velikost zes´ılen´ı ve zpˇetné vazbˇe zajiˇst’uj´ıc´ı nulovou ustálenou odchylku. Vyjdeme z pˇrenosu regulaˇcn´ı odchylky Fe (p) =

1 + F0 (p) − FR (p)FS (p) 1 + F0 (p)

Opˇet vyuˇzit´ım vzorce pro koneˇcnou hodnotu dostaneme w1 1 + F0 (p) − FR (p)FS (p) (p + 1)(0.1p + 1) + 5KZ − 5 = lim 2 p→0 p→0 p 1 + F0 (p) (p + 1)(0.1p + 1) + 5KZ 1 + 5KZ − 5 =0 = lim 2 p→0 1 + 5KZ

lim e(t) = lim p

t→∞

Zes´ılen´ı KZ z´ıskáme vyˇreˇsen´ım rovnice 1 + 5KZ − 5 = 0, tedy KZ = 4/5. Simulac´ı pomoc´ı Simulinku se snadno pˇresvˇedˇc´ıme ˇze vypoˇctené hodnoty jsou správné. 5.3.3

Tvar odchylky pro r˚ uzn´ e zmˇ eny poruchy

Pˇrenos poruchy Fu (p) definuje, jak´ ym zp˚ usobem se projev´ı p˚ usoben´ı poruchy na vstupu soustavy na v´ ystup soustavy. V naˇsem pˇr´ıpadˇe nás vˇsak nezaj´ımá v´ ystup, ale regulaˇcn´ı odchylka. Pˇredpokládáme, ˇze ˇzádaná hodnota je nulová w(t) = 0. V tom pˇr´ıpadˇe plat´ı e(t) = −y(t), kde velikost v´ ystupu m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat z pˇrenosu poruchy Fu (p). Pak bude platit vztah lim e(t) = − lim y(t) = − lim pU (p)Fu (p) t→∞

t→∞

p→0


69

Pˇrenos poruchy vyjádˇren´ y pomoc´ı standardn´ıch tvar˚ u pˇrenos˚ u soustavy a regulátoru je uveden v (5.10). Jeho dosazen´ım do limity dostaneme lim e(t) = − lim pU (p)Fu (p) = − lim pU (p)

t→∞

p→0

p→0

p r KS = pr+s + KS KR

Ustálená hodnota regulaˇcn´ı odchylky tedy závis´ı na ˇcasovém pr˚ ubˇehu p˚ usob´ıc´ı poruchy, na pˇr´ıtomnosti integraˇcn´ı sloˇzky v regulátoru (r = 1)a také na jednotliv´ ych zes´ılen´ıch soustavy KS a regulátoru KR . Hodnoty pro stejné typy vstupn´ıch signál˚ u jako v pˇr´ıpadˇe uvodu stability obvodu uvaˇzujeme pouze ˇzádané hodnoty jsou uvedeny v tabulce 5.3. Z d˚ dvˇe hodnoty parametru r ∈ {0; 1}. r = 0 odpov´ıdá regulátor˚ um P nebo PD a r = 1 odpov´ıdá regulátor˚ um I, PI nebo PID. Jeˇstˇe jednou pˇripomeˇ nme, ˇze tabulka 5.3 plat´ı za r, s \ U (p) r=0 s=0 r=0 s>0 r=1 s=0 r=1 s>0

u1 p u1 KS − 1 + K0 u1 − KR 0 0

u2 p2

u3 p3

−∞

−∞

−∞

−∞

u2 KR u2 − KR −

−∞ −∞

Tabulka 5.3: Ustálená odchylka pro r˚ uzné typy pr˚ ubˇeh˚ u poruchy a regulaˇcn´ıho obvodu pˇredpokladu, ˇze porucha p˚ usob´ı na vstupu soustavy.

5.4

Shrnut´ı

V této kapitole jsou popsány základn´ı pˇrenosy, se kter´ ymi se m˚ uˇzeme setkat ve zpˇetnovazebn´ıch regulaˇcn´ıch obvodech. S tˇemito pˇrenosy se budeme setkávat v celém zbytku tohoto uˇcebn´ıho textu. Mezi nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı pˇrenosy uzavˇreného obvodu patˇr´ı pˇrenos ˇr´ızen´ı a pˇrenos poruchy. Je to z toho d˚ uvodu, ˇze nás informuj´ı o tom jak´ ym zp˚ usobem bude systém reagovat na zmˇenu ˇzádané hodnoty a jak se dan´ y zpˇetnovazebn´ı regulaˇcn´ı obvod vypoˇrádá s p˚ usoben´ım poruchy na vstupu soustavy. V této kapitola nás zaj´ımaly statické vlastnosti, tedy trvalé ustálené odchylky. O nulové ustálené odchylce, která b´ yvá nejˇcastˇeji naˇs´ım poˇzadavkem pˇri návrhu regulaˇcn´ıho obvodu, rozhoduje (jak jsme si zde ukázali) poˇcet astatism˚ u v regulátoru a v soustavˇe.

5.5


Ot´ azka 5.1 Co je to pˇrenos otevˇrené smyˇcky? Ot´ azka 5.2 S jakými pˇrenosy uzavˇreného obvodu se setk´ av´ ame v technologickém schématu zpˇetnovazebn´ıho regulaˇcn´ıho obvodu.


70

Ot´ azka 5.3 Urˇcete jmenovatelový polynom vˇsech pˇrenos˚ u uzavˇreného obvodu? Ot´ azka 5.4 Jaký typ regul´ atoru mus´ıme pouˇz´ıt, aby byla nulová ust´ alen´ a odchylka pˇri skokové zmˇenˇe ˇr´ıdic´ıho sign´ alu, pokud je soustava bez astatismu a je kmitav´ a? Ot´ azka 5.5 Jaký typ regul´ atoru mus´ıme pouˇz´ıt, aby byla nulová ust´ alen´ a odchylka pˇri skokové zmˇenˇe poruchy p˚ usob´ıc´ı na vstupu soustavy, pokud je soustava pˇretlumen´ a s astatismem prvn´ıho ˇrádu? Ot´ azka 5.6 Vysvˇetlete pojem regulaˇcn´ı odchylky. Jak se liˇs´ı od vstupn´ı veliˇciny regul´ atoru?


6

71

Stabilita obvod˚ u se zpˇ etnou vazbou

Jednou z moˇznost´ı jak urˇcit stabilitu zpˇetnovazebn´ıho obvodu je vypoˇc´ıtat jeho výsledný pˇrenos, ˇc´ımˇz se ˇreˇsen´ı pˇrevede na urˇcen´ı stability dynamického systému, které jste se nauˇcili v pˇredchoz´ım kurzu. Jedná se zejména o algebraick´ a kritéria stability. V této kapitole zjist´ıme, ˇze pouˇzit´ı tˇechto kritéri´ı sice dáv´ a kvantitativn´ı výsledky, ale jiˇz pro relativnˇe jednoduché u ´lohy vede na znaˇcnˇe sloˇzité ˇreˇsen´ı. Ponˇekud jiným typem kritéria je Nyquistovo kritérium stability. To urˇcuje stabilitu uzavˇreného obvodu na z´ akladˇe znalosti pr˚ ubˇehu frekvenˇcn´ı charakteristiky pˇrenosu otevˇrené smyˇcky a poˇctu nestabiln´ıch pól˚ u tohoto pˇrenosu. Nyquistovo kritérium bude v této kapitole odvozeno a vysvˇetleno na mnoˇzstv´ı pˇr´ıklad˚ u. Na konci kapitoly bude ukázáno vyuˇzit´ı programu Matlab a jeho Toolbox-˚ u.

6.1

Opakov´ an´ı znalost´ı o stabilitˇ e line´ arn´ıch dynamick´ ych syst´ em˚ u

Stabilita lineárn´ıch dynamick´ ych systém˚ u byla podrobnˇe rozebrána v pˇredchoz´ım kurzu. Zde pouze zopakujeme základn´ı poznatky. Nejprve definice stability. Lineárn´ı systém je stabiln´ı tehdy, jestliˇze se jeho v´ ystup po skonˇcen´ı budic´ıho (vstupn´ıho) signálu a po doznˇen´ı pˇrechodného dˇeje vrát´ı na p˚ uvodn´ı hodnotu. Lineárn´ı systém je stabiln´ı tehdy, jestliˇze odezva na omezen´ y budic´ı signál je rovnˇeˇz omezená. Podm´ınkou stability lineárn´ıho spojitého systému je pˇr´ıtomnost vˇsech pól˚ u pˇrenosové funkce v levé polorovinˇe komplexn´ı roviny p. Jde tedy o koˇreny polynomu ve jmenovateli pˇrenosu. Podm´ınkou stability lineárn´ıho diskrétn´ıho systému je pˇr´ıtomnost vˇsech pól˚ u pˇrenosové funkce uvnitˇr jednotkové kruˇznice. Jde opˇet o koˇreny polynomu ve jmenovateli pˇrenosu. Stabilita lineárn´ıch diskrétn´ıch systému se obvykle ˇreˇs´ı pouˇzit´ım bilineárn´ı transformace 1+w z= 1−w a následn´ ym pouˇzit´ım metod znám´ ych pro spojité soustavy. Podm´ınkou stability lineárn´ıho spojitého systému vyjádˇreného stavovou reprezentac´ı je pˇr´ıtomnost vlastn´ıch ˇc´ısel matice zpˇetn´ ych vazeb A v levé polorovinˇe komplexn´ı roviny p. Vlastn´ı ˇc´ısla matice (viz. B.4) urˇc´ıme ˇreˇsen´ım rovnice |Ip − A| = 0 která je charakteristickou rovnic´ı systému. V pˇr´ıpadˇe stavové reprezentace je potˇreba rozliˇsovat stabilitu stavu a stabilitu v´ ystupu, coˇz v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech nemus´ı b´ yt totéˇz. U systém˚ u, které nesplˇ nuj´ı podm´ınku pozorovatelnosti m˚ uˇze doj´ıt k nestabilitˇe stavu, aniˇz by byla poruˇsena stabilita v´ ystupu. V´ yˇse uvedená charakteristická rovnice se t´ yká stability stavu. Uvaˇzujme, ˇze ˇr´ızená soustava obsahuje nestabiln´ı nulu. Jak bude ukázáno pozdˇeji, nestabiln´ı nula se nám nepˇr´ıznivˇe projev´ı ve zpomalen´ı regulaˇcn´ıho dˇeje. Pokud by regulátor obsahoval nestabiln´ı pól, kter´ y by tuto nulu kompenzoval, pak by se nám uzavˇren´ y obvod z hlediska v´ ystupu jevil jako stabiln´ı, ale internˇe by byl nestabiln´ı. V praxi nen´ı moˇzné


72

takovéto ruˇsen´ı dvojice nula-pól, nebot’ z d˚ uvodu nepˇresnosti znalosti modelu soustavy by nedoˇslo k jejich zkrácen´ı, coˇz by se projevilo nestabilitou uzavˇreného systému.

6.2

Stabilita ze zn´ am´ e charakteristik´ e rovnice

S ohledem na rovnice standardn´ıch pˇrenos˚ u uzavˇreného regulaˇcn´ıho obvodu, které jsme odvodili v kapitole 5.1 v´ıme, ˇze vˇsechny zpˇetnovazebn´ı pˇrenosy maj´ı stejn´ y jmenovatelov´ y polynom 1 + F0 (p). Tento polynom naz´ yváme charakteristick´ y polynom a obvykle ho znaˇc´ıme ∆(p). Rovnici ∆(p) = 0 naz´ yváme charakteristickou rovnic´ı systému. K tomu aby byl zpˇetnovazebn´ı systém stabiln´ı, mus´ı leˇzet koˇreny charakteristické rovnice ∆(p) v levé polorovinˇe komplexn´ı roviny p. V pˇr´ıpadˇe, ˇze jsou vˇsechny koeficienty charakteristické rovnice známé, z´ıská se poloha koˇren˚ u ˇreˇsen´ım charakteristické rovnice (pokud to jde tak analyticky, jinak numericky). Protoˇze charakteristick´ y polynom ˇcasto obsahuje jednu nebo v´ıce neznám´ ych promˇenn´ ych (vˇetˇsinou parametry regulátoru), jsou algebraická kritéria v´ yhodnˇejˇs´ı. Pro tento test stability máme k dispozici algebraická kritéria Hurwitzovo a Routh-Schurovo. Jejich v´ yhodou je, ˇze neurˇc´ı stabilitu pro jediné nastaven´ı regulátoru, ale dávaj´ı rozsah hodnot parametr˚ u regulátoru, pro které je dan´ y systém stabiln´ı. Pˇ r´ıklad 6.1 K regulované soustavˇe s pˇrenosem FS (p) =

0.2 p(5p + 1)2

je pˇripojen PD regul´ ator. Urˇcete rozsah jeho koeficient˚ u s ohledem na stabilitu systému. Pˇredpokládejme nejprve ideáln´ı PD regulátor s pˇrenosem FR (p) = K(T p + 1) Charakteristická rovnice má tvar 1+

0.2K(T p + 1) =0 p(5p + 1)2

po u ´pravˇe dostaneme 25p3 + 10p2 + (1 + 0.2KT )p + 0.2K = 0 Stabilitu m˚ uˇzeme urˇcit pomoc´ı Hurwitzov´ ych determinant˚ u. Pro stabilitu je rozhoduj´ıc´ı Hurwitz˚ uv determinant druhého ˇrádu 10 25 0.2K 1 + 0.2KT > 0

Vyˇc´ıslen´ım determinantu z´ıskáme nerovnost

K(2T − 5) > −10


73

Ta je splnˇena pro T > 2.5 pro libovolné K a pˇri 0 < T < 2.5 pro K<

10 5 − 2T

Pˇri pouˇzit´ı reálného PD regulátoru s pˇrenosem FR (p) = K

Tp + 1 εp + 1

bude charakteristická rovnice 1+

0.2K(T p + 1) =0 p(5p + 1)2 (εp + 1)

a po u ´pravˇe 25εp4 + (10ε + 25)p3 + (ε + 10)p2 + (1 + 0.2KT )p + 0.2K Pˇredpokládejme, ˇze realizaˇcn´ı ˇcasová konstanta PD regulátoru je rovna ε = 0.1s. Potom má charakteristick´ y polynom tvar ∆(p) = 2.5p4 + 26p3 + 10.1p2 + (1 + 0.2KT )p + 0.2K Hurwitzova matice je  26 2.5 0  26 H = 1 + 0.2KT 10.1 0 0.2K 1 + 0.2KT 

Podm´ınka stability je vyjádˇrena podm´ınkou kladn´ ych subdeterminant˚ u det(H2 ) a det(H3 ). 26 2.5 >0 det(H2 ) = 1 + 0.2KT 10.1

Vyˇc´ıslen´ım determinantu dostaneme podm´ınku 260.1−0.5KT > 0, jej´ıˇz u ´pravou dostaneme podm´ınku KT < 520.2. 26 2.5 0 >0 26 det(H3 ) = 1 + 0.2KT 10.1 0 0.2K 1 + 0.2KT vyˇc´ıslen´ım determinantu dostaneme podm´ınku

260.1 + 51.5KT − 135.2K − 0.1K 2 T 2 > 0 coˇz je pro obecné ˇreˇsen´ı jiˇz znaˇcnˇe nepˇrehledn´ y vztah. Jak patrno, algebraická kritéria stability jsou v pˇr´ıpadˇe obecného ˇreˇsen´ı i v jednoduch´ ych pˇr´ıpadech dosti v´ ypoˇcetnˇe sloˇzitá.


6.3

74

Nyquistovo krit´ erium stability

Nyquistovo kritérium slouˇz´ı k urˇcován´ı stability uzavˇrené smyˇcky. Jak jiˇz bylo ˇreˇceno v pˇredchoz´ı kapitole, uzavˇrená smyˇcka bude stabiln´ı, pokud budou vˇsechny póly pˇrenosu uzavˇreného obvodu v levé polorovinˇe komplexn´ı roviny p. Nyquist ale ukázal, ˇze o stabilitˇe uzavˇrené smyˇcky se dá rozhodnout na základˇe pr˚ ubˇehu frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇrené smyˇcky a poloze jejich pól˚ u. To je v´ yhodné, protoˇze pˇrenos otevˇrené smyˇcky je na rozd´ıl od pˇrenosu uzavˇrené smyˇcky vˇetˇsinou k dispozici. Nen´ı ani nutné znát analytick´ y tvar F0 (jω), staˇc´ı experimentálnˇe zjiˇstˇená data. Je moˇzné ho nav´ıc pouˇz´ıt pro systémy s dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım, kde algebraická kritéria selhávaj´ı. 6.3.1

Chauchyho teor´ em o f´ azi

Pˇredpokládejme komplexn´ı rovinu p, kde jsou jednotlivé body urˇceny p = σ + jω. Mˇejme racionáln´ı funkci komplexn´ıho argumentu, v naˇsem pˇr´ıpadˇe pˇrenos dan´ y pod´ılem dvou polynom˚ u F (p) = B(p) se zn´ a m´ y mi koˇ r eny A(p) F (p) =

(p − β1 )(p − β2 ) . . . (p − βm ) B(p) =k A(p) p − α1 )(p − α2 ) . . . (p − αn )

Uvaˇzujme uzavˇrenou, zápornˇe orientovanou kˇrivku Γp (kˇrivka orientovaná ve smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek) v rovinˇe p, která neprocház´ı ˇzádn´ ym koˇrenem (nulou ani pólem) pˇrenosu F (p). Pokud budeme postupnˇe dosazovat body z této kˇrivky ve zvoleném smˇeru do pˇrenosu F (p), budeme z´ıskávat jinou orientovanou, uzavˇrenou kˇrivku ΓF v rovinˇe F . Tomuto procesu se ˇr´ıká mapován´ı uzavˇrené kˇrivky Γp z roviny p do roviny F . Obrázek 6.1 ukazuje proces mapován´ı pro pˇr´ıpad, kdy je mapuj´ıc´ı funkce (pˇrenos) rovna F (p) = p+0.5 (p+2)(p+3)

Rovina p

Rovina F Im

Im

−3

−2

1

bc

+

−4

+

1

−1

Re −1

Γp

−2

−1

1 Re −1 ΓF

Obr´ azek 6.1: Mapován´ı kˇrivky Γp do roviny F Existuje vztah mezi poˇctem nul a pól˚ u uvnitˇr uzavˇrené kˇrivky Γp a zmˇenou fáze kˇrivky ΓF , jin´ ymi slovy o kolik se otoˇc´ı vektor zaˇc´ınaj´ıc´ı v poˇcátku a procházej´ıc´ı postupnˇe body na kˇrivce ΓF ve smˇeru z´ıskaném mapován´ım z kˇrivky Γp . O tomto vztahu vypov´ıdá Chauchyho teorém o fázi.


75

Jestliˇ ze uzavˇ ren´ a, z´ apornˇ e orientovan´ a kˇ rivka Γp v rovinˇ e p obkliˇ cuje nB nul a nA p´ ol˚ u pˇ renosu F (p) a neproch´ az´ı ˇ z´ adn´ ym jej´ım p´ olem ani nulou, potom uzavˇ ren´ a kˇ rivka ΓF vznikl´ a mapov´ an´ım kˇ rivky Γp do roviny F funkc´ı F (p) ob´ıh´ a poˇ c´ atek t´ eto roviny nB − nA kr´ at v z´ aporn´ em smˇ eru. Pro pˇr´ıpad z obrázku 6.1 plat´ı, ˇze uvnitˇr uzavˇrené kˇrivky Γp leˇz´ı dva póly a ˇzádná nula. nB = 0 a nA = 2. Kˇrivka také neprocház´ı ˇzádnou nulou ani pólem. Podle pˇredchoz´ı vˇety by mˇel b´ yt poˇcet obˇeh˚ u −2 v záporném smˇeru, coˇz jsou dva obˇehy v kladném smˇeru. Z obrázku 6.1 vid´ıme, ˇze tomu tak skuteˇcnˇe je. Pro odvozen´ı Cauchyho teorému je d˚ uleˇzitá zmˇena fáze uzavˇrené orientované kˇrivky ΓF . V´ıme, ˇze fáze pˇrenosu F (p) je dána souˇctem jednotliv´ ych pˇr´ıspˇevk˚ u koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u ˇcitatele (p − βi ), od kter´ ych se odeˇcte souˇcet jednotliv´ ych pˇr´ıspˇevk˚ u koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u jmenovatele (p−αi ). Jednotlivé koˇrenové ˇcinitele pˇredstavuj´ı pˇri mapován´ı uzavˇrené kˇrivky Γp v komplexn´ı rovinˇe vektory Bi (p) = (p − βi ) a Ai (p) = (p − αi ) s poˇcátkem v jednotliv´ ych koˇrenech a konˇc´ıc´ıch v bodech na kˇrivce Γp . Rovina p Im

Bini bc

αini

βini

+

βouti

Aouti

+

bc

Bouti Aini

αouti

Re

Γp

Obr´ azek 6.2: Vliv koˇren˚ u F (p) na zmˇenu fáze uzavˇrené kˇrivky ΓF Na obrázku 6.2 je znázornˇen pohyb vektor˚ u s koˇreny uvnitˇr (Bini (p) a Aini (p)) a vnˇe (Bouti (p) a Aouti (p)) uzavˇrené kˇrivky Γp . Z obrázku je vidˇet, ˇze vektory s poˇcátkem uvnitˇr Γp se po obejit´ı této kˇrivky otoˇc´ı jednou dokola (o 2π) ve stejném smˇeru, jak je orientovaná kˇrivka Γp . Pro zápornˇe orientovanou kˇrivku Γp plat´ı, ˇze pˇr´ıspˇevek od nuly βini je −2π a pˇr´ıspˇevek pólu αini se bere se záporn´ ym znaménkem, tedy 2π. Pod´ıváme-li se na vektory s poˇcátkem v nule βouti nebo v pólu αouti vnˇe uzavˇrené kˇrivky Γp , pak vid´ıme, ˇze jejich pˇr´ıspˇevek je nulov´ y, ˇcili tyto koˇreny se na v´ ysledné zmˇenˇe fáze uzavˇrené kˇrivky ΓF nepod´ıl´ı. Celková zmˇena fáze (poˇcet obˇeh˚ u kˇrivky ΓF kolem poˇcátku) odpov´ıdá souˇctu d´ılˇc´ıch pˇr´ıspˇevk˚ u od jednotliv´ ych koˇren˚ u. Proto −nB 2π + nA 2π = 2π(nA − nB ), coˇz odpov´ıdá v´ yˇse uvedenému teorému.


6.3.2

76

Odvozen´ı Nyquistova krit´ eria stability

Cauchyho teorému o zmˇenˇe fáze Nyquist vyuˇzil pˇri odvozen´ı pravidla pro urˇcován´ı stability uzavˇreného obvodu. Vytvoˇril zápornˇe orientovanou kˇrivku Γp , která obkliˇcuje celou pravou polorovinu roviny p. Je sloˇzena z imaginárn´ı osy a p˚ ulkruˇznice s nekoneˇcn´ ym polomˇerem r → ∞ pˇres pravou polorovinu (viz. obrázek 6.3). Tento tvar je v´ yhodn´ y, nebot’ bod˚ um na imaginárn´ı ose p = jω odpov´ıdá po mapován´ı frekvenˇcn´ı charakteristika F (jω) a kˇrivce pˇres nekoneˇcno odpov´ıdá bod v poˇcátku roviny F . Uzavˇrená kˇrivka ΓF je tedy frekvenˇcn´ı charakteristika F (jω) pro ω ∈ (−∞, ∞) Rovina p

r

→

∞

Im

Re

Nyquistova kˇrivka Γp

Obr´ azek 6.3: Nyquistova kˇrivka Pro stabilitu uzavˇreného obvodu je rozhoduj´ıc´ı poloha pól˚ u pˇrenosové funkce uzavˇreného obvodu, t.j koˇren˚ u jmenovatele. Jmenovatel vˇsech pˇrenos˚ u uzavˇreného obvodu je podle kapitoly 5.1 roven charakteristickému polynomu 1 + F0 (p). Pˇredpokládejme, ˇze pˇrenos otevˇrené smyˇcky je dán pod´ılem polynom˚ u F0 (p) =

B(p) A(p)

Dosazen´ım do charakteristické rovnice dostaneme F (p) = 1 + F0 (p) = 1 +

A(p) + B(p) C(p) B(p) = = =0 A(p) A(p) A(p)

(6.1)

Prozat´ım také pˇredpokládejme, ˇze koˇreny polynom˚ u C(p) a A(p) neleˇz´ı na imaginárn´ı ose (tedy ani v poˇcátku). Tento poˇzadavek vycház´ı z podm´ınky v Cauchyho teorému, ˇze uzavˇrená kˇrivka Γp neprocház´ı ˇzádnou nulou ani pólem pˇrenosu F (p). Stabilita uzavˇreného obvodu bude zajiˇstˇena, kdyˇz budou koˇreny polynomu C(p) leˇzet v levé polorovinˇe komplexn´ı roviny p. Otevˇren´ y obvod naproti tomu m˚ uˇze b´ yt nestabiln´ı, a proto koˇreny polynomu A(p) mohou leˇzet v pravé polorovinˇe roviny p. Polynomy C(p) a A(p) jsou stejného stupnˇe, nebot’ z d˚ uvodu fyzikáln´ı realizovatelnosti nem˚ uˇze b´ yt polynom B(p) vyˇsˇs´ıho stupnˇe neˇz polynom A(p). Oba polynomy m˚ uˇzeme vyjádˇrit ve tvaru


77

koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u. C(p) = nn (p − γ1 )(p − γ2 ) . . . (p − γn )

A(p) = an (p − α1 )(p − α2 ) . . . (p − αn )

(6.2)

Obecnˇe komplexn´ı koˇreny γi tedy mus´ı leˇzet v levé polorovinˇe komplexn´ı roviny p a koˇreny αi mohou leˇzet kdekoliv (mus´ıme pouze vˇedˇet, kolik je jich v pravé polorovinˇe roviny p). Podle Cauchyho teorému bude uzavˇren´ y systém stabiln´ı pouze tehdy, pokud bude frekvenˇcn´ı charakteristika F (jω) pro ω ∈ (−∞, ∞) ob´ıhat poˇcátek roviny F v kladném smˇeru tolikrát, kolik nestabiln´ıch pól˚ u má pˇrenos F (p). Pokud se poˇcet obˇeh˚ u liˇs´ı, potom polynom C(p) mus´ı nutnˇe obsahovat koˇreny v pravé polorovinˇe komplexn´ı roviny p a uzavˇren´ y zpˇetnovazebn´ı obvod je nestabiln´ı. Vykreslován´ı frekvenˇcn´ı charakteristiky F (jω) by vˇsak bylo velmi pracné. M´ısto urˇcován´ı poˇctu obˇeh˚ u funkce F (jω) kolem poˇcátku, je jednoduˇsˇs´ı sledovat poˇcet obˇeh˚ u funkce F0 (jω) (frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇreného obvodu) kolem bodu (−1, 0). V´ ysledek je tent´ yˇz, nebot’ staˇc´ı upravit rovnici (6.1) na tvar F0 (jω) = −1 V Nyquistovˇe kritériu tedy provád´ıme mapován´ı do roviny F0 . Protoˇze pˇrenos otevˇreného obvodu F0 (p) b´ yvá obvykle dán ve tvaru souˇcinu pˇrenos˚ u základn´ıch typov´ ych ˇclánk˚ u, neˇcin´ı konstrukce frekvenˇcn´ı charakteristiky pot´ıˇze. Nyquistovo kritérium v koneˇcném tvaru zn´ı Uzavˇ ren´ y zpˇ etnovazebn´ı obvod je stabiln´ı, jestliˇ ze frekvenˇ cn´ı charakteristika otevˇ ren´ eho obvodu v komplexn´ı rovinˇ e ob´ıh´ a pˇ ri zmˇ enˇ e frekvence od −∞ do ∞ bod (−1, 0) v kladn´ em smˇ eru tolikr´ at, kolik p´ ol˚ u pˇ renosu otevˇ ren´ e smyˇ cky leˇ z´ı v prav´ e polorovinˇ e roviny p. Pˇri ˇreˇsen´ı stability uzavˇreného obvodu vycház´ıme ze znalosti kreslen´ı frekvenˇcn´ıch charakteristik v komplexn´ı rovinˇe, kterou jsme si osvojili v pˇredchoz´ıch kurzech. Frekvenˇcn´ı charakteristika pro záporné frekvence se z´ıská jako zrcadlov´ y obraz charakteristiky pro kladné frekvence, symetrick´ y podle reálné osy komplexn´ı roviny. Pˇ r´ıklad 6.2 Otevˇrený obvod tvoˇr´ı statick´ a soustava tvoˇren´ a dvˇema setrvaˇcnými ˇcl´ anky v ’ sérii s proporcionáln´ım regul´ atorem. Proved te rozbor stability uzavˇreného obvodu. Pˇrenos otevˇrené smyˇcky je F0 (p) =

K0 (T1 p + 1)(T2 p + 1)

Frekvenˇcn´ı charakteristika je nakreslena na obrázku 6.4 Zmˇena zes´ılen´ı K0 se projevuje jako zmˇena mˇeˇr´ıtka na reálné i imaginárn´ı ose. Je tedy zˇrejmé, ˇze ˇzádn´ ym zes´ılen´ım K0 > 0 se nám nepodaˇr´ı posunout frekvenˇcn´ı charakteristiku F0 (jω) tak, aby ob´ıhala bod (−1; 0). Poˇcet obˇeh˚ u bodu (−1; 0) je proto roven 0 pro vˇsechna moˇzná zes´ılen´ı. Protoˇze pˇrenos F0 (p) neobsahuje ˇzádn´ y nestabiln´ı pól, m˚ uˇzeme na základˇe Nyquistova kritéria ˇr´ıci, ˇze uzavˇren´ y obvod bude stabiln´ı pro K0 > 0.


78

Im F0 (p) =

1 1.8 (p + 1)(0.1p + 1) ω → −∞ ω→∞

−1

ω = 0− K0 + 1 ω=0 2

Re

Obr´ azek 6.4: Frekvenˇcn´ı charakteristika k pˇr´ıkladu 6.2 Pˇ r´ıklad 6.3 Regulovan´ a soustava má pˇrenos FS (p) =

p2

1 − 4p + 1

a regul´ ator je typu reálného PD FR (p) =

5p + 1 0.1p + 1

Proved’te rozbor stability uzavˇreného systému. Pˇrenos otevˇrené smyˇcky je F0 (p) =

(p2

5p + 1 − 4p + 1)(0.1p + 1)

Pokusme se zopakovat postup vedouc´ı k z´ıskán´ı pˇribliˇzného tvaru frekvenˇcn´ı charakteristiky F0 (p). Nejprve vypoˇctˇeme hodnoty vektoru frekvenˇcn´ıho pˇrenosu v limitn´ıch hodnotách frekvence ω. lim |F0 (jω)| = 1 lim |F0 (jω)| = 0 ω→0

ω→∞

Fáze pˇrenosu je urˇcena rovnic´ı ϕ0 (ω) = arctan 5ω + arctan

4ω − arctan 0.1ω 1 − ω2

ϕ0 (ω) = arctan 5ω + π + arctan

4ω − arctan 0.1ω 1 − ω2

lim ϕ0 (ω) = 0

ω→0

pro ω ≤ 1 pro ω > 1

(6.3) (6.4)

lim ϕ0 (ω) = π

ω→∞

ˇ sen´ı fáze se rozdˇelilo na dvˇe rovnice. Hodnota funkce 4ω 2 je pro ω → 1− rovna ∞ a Reˇ 1−ω pro ω → 1+ rovna −∞. Pouˇzit´ım funkce arctan by nám vznikla nespojitost ve fázi (skok z π/2 na −π/2), která je v´ yˇse proveden´ ym rozdˇelen´ım potlaˇcena.


79

Im 1.0 0.5 P

−1 −0.5

ω → −∞ ω = 0+ ω → ∞ 1 ω = 0− Re

−1.0

Obr´ azek 6.5: Frekvenˇcn´ı charakteristika k pˇr´ıkladu 6.3 Protoˇze prvn´ı ˇclen na pravé stranˇe rovnice pro ϕ0 (ω) nar˚ ustá s rostouc´ım ω daleko rychleji, neˇz tˇret´ı ˇclen (kter´ y jej v limitˇe ω → ∞ kompenzuje), bude zˇrejmˇe maximáln´ı u ´hel vˇetˇs´ı nˇeˇz π. Nyn´ı jiˇz m˚ uˇzeme nakreslit pˇribliˇzn´ y tvar frekvenˇcn´ı charakteristiky F0 (jω), jak je vidˇet na obrázku 6.5. Soustava má dva póly v pravé polorovinˇe. Jedná se o koˇreny polynomu p2 − 4p + 1, které jsou p1 = 3.73 a p2 = 0.27. Mohou nastat dva pˇr´ıpady poˇctu obˇeh˚ u frekvenˇcn´ı charakteristiky F0 (jω) v závislosti na velikosti zes´ılen´ı K0 . Pro malé zes´ılen´ı je pr˚ useˇc´ık se zápornou reálnou osou P napravo od bodu −1. Poˇcet obˇeh˚ u kolem bodu −1 je v takovém pˇr´ıpadˇe 0. V druhém pˇr´ıpadˇe, tedy pro vysoké zes´ılen´ı K0 je pr˚ useˇc´ık se zápornou reálnou osou P zápornˇejˇs´ı neˇz bod −1, tak jak je to vidˇet na obrázku 6.5. Frekvenˇcn´ı charakteristika F0 (jω) udˇelá dva obˇehy kolem bodu −1 v kladném smˇeru. Tento pˇr´ıpad je na rozd´ıl od prvn´ıho stabiln´ı, nebot’ se podle Nyquistova kritéria poˇcet obˇeh˚ u v kladném smˇeru shoduje s poˇctem nestabiln´ıch pól˚ u otevˇrené smyˇcky. Pokud je zes´ılen´ı K0 vˇetˇs´ı neˇz nˇejaká mezn´ı hodnota K0min , potom bude uzavˇren´ y obvod stabiln´ı. Pro nás je samozˇrejmˇe tento mezn´ı bod zaj´ımav´ y a proto ho nyn´ı zkus´ıme vypoˇc´ıtat. Nejprve mus´ıme urˇcit hodnotu frekvence ω1 , pˇri které je fáze ϕ0 (ω1 ) = π. Tato u ´loha nen´ı snadno ˇreˇsitelná, nebot’ frekvenci ω1 nelze z rovnic (6.3) a (6.4) analyticky jednoduˇse vypoˇc´ıtat. V´ ypoˇcet se dá provést iterativnˇe, ˇc´ımˇz z´ıskáme . pˇribliˇznou hodnotu ω1 = 1.75. Pro absolutn´ı hodnotu pˇrenosu F0 (jω1 ) plat´ı √ 25 · 1.752 + 1 |F0 (jω1 )| = p = 1.185 ≥ 1 (0.01 · 1.752 + 1)[(1 − 1.752 )2 + 16 · 1.752 ]

Uzavˇren´ y systém je na základˇe v´ yˇse uvedeného rozboru pro K0 = 1 stabiln´ı. Staˇc´ı ovˇsem ˇ aˇr zmenˇsit zes´ılen´ı soustavy v pomˇeru 1/1.185 a systém pˇrejde do nestabiln´ıho stavu. Cten´ se o tom m˚ uˇze snadno pˇresvˇedˇcit pouˇzit´ım nˇekterého algebraického kritéria. Nyquistovo kriterium stability má své v´ yhody a nev´ yhody • kromˇe toho, ˇze kriterium urˇc´ı, zda bude zpˇetnovazebn´ı obvod stabiln´ı, dává nám nav´ıc pˇredstavu o tom, jak daleko jsme od nestability a jaké zmˇeny frekvenˇcn´ı


80

charakteristiky otevˇreného obvodu jsou ˇzádouc´ı. Tohoto poznatku se s v´ yhodou pouˇz´ıvá pˇri syntéze regulaˇcn´ıch obvod˚ u • kriterium se dá pouˇz´ıt i na experimentálnˇe zmˇeˇrená data • kreslen´ı frekvenˇcn´ıch charakteristik v komplexn´ı rovinˇe je vˇetˇsinou pˇribliˇzné, protoˇze kvantitativnˇe pˇresné vykreslen´ı je pracné. Tato nev´ yhoda je z velké m´ıry odstranˇena vyuˇzit´ım v´ ypoˇcetn´ı techniky. 6.3.3

Nyquistovo krit´ erium pro F0 (p) s p´ oly v poˇ c´ atku

V pˇredchoz´ı kapitole jsme si ukázali, ˇze rozhodnut´ı o poˇctu obˇeh˚ u frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇreného obvodu kolem bodu (−1, 0) nen´ı obt´ıˇzné ani v pˇr´ıpadˇe, kdy nˇekteré póly funkce F0 (p) leˇz´ı v pravé polorovinˇe roviny p. Pod´ıvejme se bl´ıˇze na situaci, kdy F0 (p) obsahuje pól nebo v´ıcenásobn´ y pól v poˇcátku. Pak obˇe vˇetve frekvenˇcn´ı charakteristiky F0 (jω) nab´ yvaj´ı v okol´ı bod˚ u ω = 0+ a ω = 0− nekoneˇcné amplitudy a je tˇreba rozhodnout, jakou cestou na sebe budou navazovat. Pro tento pˇr´ıpad se poˇcátek komplexn´ı roviny zahrne do levé poloroviny, coˇz bude m´ıt za následek zmˇenu cesty Γp po imaginárn´ı ose v komplexn´ı rovinˇe. Pˇri zmˇenˇe frekvence od ω = −∞ se bl´ıˇz´ıme k poˇcátku po záporné imaginárn´ı poloose aˇz do minimáln´ı vzdálenosti od poˇcátku (obrázek 6.6). Ten pak obejdeme po p˚ ulkruˇznici s polomˇerem r → 0 a dále pokraˇcujeme po kladné imaginárn´ı poloose. Pod´ıvejme se, jaká bude amplituda a fáze vektoru F0 (pa ), kde pa jsou souˇradnice bod˚ u na p˚ ulkruˇznici. Pˇredpokládejme, ˇze pˇrenos otevˇrené smyˇcky má v poˇcátku k-násobn´ y pól. Pak lze psát F0 (p) =

1 R(p) pk

Pomocná funkce R(p) bude nab´ yvat na p˚ ulkruˇznici s r → 0 témˇeˇr konstantn´ı hodnotu a nemá tud´ıˇz na pr˚ ubˇeh F0 (p) v bl´ızkém okol´ı poˇcátku vliv. Body na p˚ ulkruˇznici se daj´ı vyjádˇrit rovnic´ı kde ϕa ∈ (−π/2, π/2) pa = r · ejϕa Protoˇze r → 0, bude amplituda vektoru F0 (jω) na této p˚ ulkruˇznici nekoneˇcná a fáze se bude mˇenit v mez´ıch kπ/2 do −kπ/2 v záporném smˇeru, nebot’ plat´ı F0 (pa ) =

1 . 1 −jϕa k R(p ) = e konst a pa k rk

Frekvenˇcn´ı charakteristika F0 (jω) se tak uzavˇre pˇres nekoneˇcno obloukem s nekoneˇcnou amplitudou a fáz´ı mˇen´ıc´ı se v rozsahu (kπ/2, −kπ/2) Pozn´ amka 1.: To, ˇze jsme zahrnuli k pól˚ u v poˇcátku do levé poloroviny neznamená, ˇze ˇr´ıkáme, ˇze jsou stabiln´ı. Pouze s nimi jako se stabiln´ımi v Nyquistovu kritériu poˇc´ıtáme. Stejnˇe tak bychom je mohli zahrnout do pravé poloroviny a obcházet je z druhé strany. T´ım by se zmˇenil smysl otáˇcen´ı oblouku pˇres nekoneˇcno a pro urˇcen´ı kritéria bychom museli tyto póly uvaˇzovat jako nestabiln´ı. Pozn´ amka 2.: Podobnˇe by se ˇreˇsil pˇr´ıpad, ve kterém by jmenovatel pˇrenosu otevˇrené smyˇcky A(p) obsahoval dvojici komplexnˇe sdruˇzen´ ych koˇren˚ u leˇz´ıc´ıch na imaginárn´ı ose.


81

Im

+

r

Re pa = r ·

ejϕa

Γp

Obr´ azek 6.6: Smˇer obcházen´ı poˇcátku Opˇet bychom je zahrnuli do levé ˇci pravé poloroviny, obeˇsli je po kruˇznici s polomˇerem jdouc´ım k nule a ˇreˇsili, jak se frekvenˇcn´ı charakteristika uzav´ırá pˇres nekoneˇcno (viz. obrázek 6.7).

+

Im

+

Re

Γp

Obr´ azek 6.7: Smˇer obcházen´ı koˇren˚ u na imaginárn´ı ose

Pˇ r´ıklad 6.4 Na z´ akladˇe Nyquistova kritéria urˇcete stabilitu uzavˇrené smyˇcky, pokud je pˇrenos otevˇrené smyˇcky F0 (p) =

K0 p(T p + 1)2

kde T > 0

Pˇrenos otevˇrené smyˇcky nemá ˇzádné nestabiln´ı póly, protoˇze pól v poˇcátku zahrnujeme pro ˇreˇsen´ı Nyquistov´ ym kritériem do levé poloroviny komplexn´ı roviny p. Frekvenˇcn´ı charakteristika F0 (jω) je znázornˇena na obrázku 6.8. K tomu, aby byl uzavˇren´ y obvod stabiln´ı,


82

nesm´ı frekvenˇcn´ı charakteristika F0 (jω) ob´ıhat kolem bodu (−1; 0). To bude splnˇeno pro malé hodnoty zes´ılen´ı K0 , kdy bod P bude leˇzet napravo od bodu (−1; 0). Jinak totiˇz obˇehne funkce F0 (jω) bod (−1; 0) dvakrát v záporném smˇeru, coˇz odpov´ıdá nestabiln´ımu systému.

∞

Im

−1

P

R

0.5

=

r

1

→

1.0

ω = 0−

ω→∞ ω → −∞

1 Re

−0.5

ω = 0+ −1.0

Obr´ azek 6.8: Frekvenˇcn´ı charakteristika k pˇr´ıkladu 6.4

Pˇ r´ıklad 6.5 Pomoc´ı Nyquistova kritéria urˇcete podm´ınky stability uzavˇrené smyˇcky, pokud je pˇrenos otevˇrené smyˇcky K0 (T1 p + 1) F0 (p) = 2 p (T2 p + 1) Pr˚ ubˇeh frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇrené smyˇcky F0 (jω) kvalitativnˇe závis´ı na pomˇeru ˇcasov´ ych konstant T1 a T2 . Mohou nastat tˇri pˇr´ıpady. a) T1 < T2 pro fázi vektoru F0 (jω) plat´ı ϕ0 (ω) = −π − arctan T2 ω + arctan T1 ω Podle pˇredpokladu je T1 < T2 a proto také arctan T1 ω < arctan T2 ω, takˇze u ´hel ϕ0 (ω) bude zápornˇejˇs´ı neˇz −π. Tvar frekvenˇcn´ı charakteristiky je naznaˇcen na obrázku 6.9 a). V tomto pˇr´ıpadˇe dojde ke dvˇema obˇeh˚ um v záporném smˇeru a systém je proto vˇzdy nestabiln´ı, bez ohledu na velikost zes´ılen´ı K0 . b) T1 > T2 Ze stejného d˚ uvodu jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe pro fázi plat´ı, ˇze u ´hel ϕ0 (ω) bude kladnˇejˇs´ı neˇz −π ϕ0 (ω) > −π Frekvenˇcn´ı charakteristika otevˇrené smyˇcky F0 (jω) je naˇcrtnuta na obrázku 6.9 b). K ˇzádnému obˇehu kolem bodu (−1; 0) nedojde a uzavˇren´ y obvod je bez ohledu na velikost zes´ılen´ı vˇzdycky stabiln´ı.


83

b)

∞

1.0

−1

1 Re

−1

−0.5

−1.0 ω = 0−

ω=

ω → −∞ ω→∞ −0.5 −1.0

0+

c)

∞

Im

−1

R

0.5 ω=0

=

r2

1

→

1.0

ω→∞ ω → −∞

1 Re

−0.5 −1.0

Obr´ azek 6.9: Frekvenˇcn´ı charakteristika k pˇr´ıkladu 6.5

=

r2

ω→∞ ω → −∞

R

0.5

R

0.5

=

r2

1

1

→

1.0

Im

ω = 0−

∞

Im

→

a) ω = 0+

1 Re


84

c) T1 = T2 V tomto pˇr´ıpadˇe je pˇrenos otevˇrené smyˇcky roven F0 (p) =

K0 p2

a ve jmenovateli pˇrenosu uzavˇrené smyˇcky je charakteristick´ y polynom ve tvaru p 2 + K0 = 0 √ Pˇrenos uzavˇreného obvodu má dva imaginárn´ı póly p1,2 = ±j K0 , coˇz znamená, ˇze se chová jako kmitav´ y ˇclánek s nulov´ ym tlumen´ım. V souladu s definic´ı povaˇzujeme takov´ yto systém za nestabiln´ı. Frekvenˇcn´ı charakteristika F0 (jω) je zakreslena na obrázku 6.9 c), odkud rovnˇeˇz plyne, ˇze tento systém je nestabiln´ı. Pˇ r´ıklad 6.6 Pomoc´ı Nyquistova kritéria urˇcete podm´ınky stability uzavˇrené smyˇcky, pokud je pˇrenos otevˇrené smyˇcky K0 F0 (p) = 3 p Pro frekvenˇcn´ı charakteristiku otevˇrené smyˇcky plat´ı F0 (jω) =

K0 K0 = j (jω)3 ω3

Odpov´ıdaj´ıc´ı frekvenˇcn´ı charakteristika je na obrázku 6.10. Charakteristika ob´ıhá kolem bodu (−1; 0) dvakrát v záporném smˇeru, takˇze uzavˇren´ y systém je vˇzdy nestabiln´ı. O platω = 0+

∞

Im

−1

R

0.5

=

r3

1

→

1.0

ω→∞ ω → −∞

1 Re

−0.5 −1.0 ω = 0−

Obr´ azek 6.10: Frekvenˇcn´ı charakteristika k pˇr´ıkladu 6.6 nosti vˇsech proveden´ ych závˇer˚ u se m˚ uˇzeme pˇresvˇedˇcit libovoln´ ym algebraick´ ym kritériem.


6.3.4

85

Zjednoduˇ sen´ e Nyquistovo krit´ erium

Vˇetˇsina regulovan´ ych soustav nemá ˇzádné póly v pravé polorovinˇe komplexn´ı roviny p. Protoˇze se takové póly nevyskytuj´ı ani v pˇrenosu bˇeˇzn´ ych regulátor˚ u, je i celá otevˇrená smyˇcka stabiln´ı, pˇr´ıpadnˇe astatická, pokud je v soustavˇe ˇci v regulátoru pól v poˇcátku. V tˇechto pˇr´ıpadech nesm´ı F0 (jω) ob´ıhat bod (−1, 0) v˚ ubec a lze pouˇz´ıt zjednoduˇsené Nyquistovo kritérium stability Uzavˇ ren´ y obvod je stabiln´ı, jestliˇ ze frekvenˇ cn´ı charakteristika otevˇ ren´ eho obvodu F0 (jω) pˇ ri n´ arustu frekvence od 0 do ∞ prob´ıh´ a vpravo od bodu (−1, 0). ˇ Casto se uvád´ı geometricky názornˇejˇs´ı formulace zjednoduˇseného kritéria Postupujeme-li po frekvenˇ cn´ı charakteristice F0 (jω) v komplexn´ı rovinˇ e smˇ erem nar˚ ustaj´ıc´ı frekvence, mus´ı bod (−1, 0) z˚ ustat po naˇ s´ı lev´ e stranˇ e. Pro urˇcen´ı stability pomoc´ı zjednoduˇseného Nyquistova kritéria je postaˇcuj´ıc´ı sledovat pr˚ ubˇeh F0 (jω) pouze pro kladná ω. Pˇ r´ıklad 6.7 Pomoc´ı zjednoduˇseného Nyquistova kritéria urˇcete stabilitu uzavˇreného obvodu, kdyˇz je pˇrenos otevˇrené smyˇcky F0 (p) =

K0 (p + 1)2 p2 (10p + 1)(0.1p + 1)2

Z´ıskané z´ avˇery srovnejte s výsledky Routh-Shurova kritéria Limitn´ı hodnoty amplitudy F0 (jω) jsou lim F0 (jω) = ∞

ω→0

lim F0 (jω) = 0

ω→∞

Pro fázi tohoto pˇrenosu plat´ı ϕ0 (ω) = −π + 2 arctan ω − arctan 10ω − 2 arctan 0.1ω Odkud lze usoudit, ˇze z poˇcáteˇcn´ıho u ´hlu ϕ0 (0) = −π bude u ´hel se vzr˚ ustaj´ıc´ı frekvenc´ı nejprve klesat (arctan 10ω), potom se projev´ı dvojnásobn´ y koˇren v ˇcitateli a fáze zaˇcne nar˚ ustat. Fáze bude pro jisté frekvence kladnˇejˇs´ı neˇz −π. Potom se zaˇcne projevovat dvojnásobn´ y koˇren ve jmenovateli, fáze zaˇcne opˇet klesat a koneˇcná hodnota bude ϕ0 (∞) = −3π/2. Frekvenˇcn´ı charakteristika F0 (jω) bude prob´ıhat podle obrázku 6.11 Podle zjednoduˇseného Nyquistova kritéria bude uzavˇren´ y obvod stabiln´ı, jestliˇze zes´ılen´ı obvodu K0 bude zvoleno tak, ˇze bod (−1; 0) bude leˇzet mezi body A a B. Pro ovˇeˇren´ı tohoto závˇeru pouˇzijeme Routh-Schurovo kritérium stability. Charakteristick´ y polynom uzavˇreného obvodu je 0.1p5 + 2.01p4 + 10.2p3 + (K0 + 1.0) p2 + 2.0K0 p + K0 Na tento polynom aplikujeme Routh-Schurovo kritérium


86

Im

F0 (jω)

A

−1

B

ω→∞ Re

Obr´ azek 6.11: Ukázka podm´ınˇenˇe stabiln´ıho systému 0.1

2.01

−0.1 0

10.2

1 + K0

2K0

−0.05(1 + K0 ) 2.01

10.15 − 0.05K0

0.1 = 0.05 α1 = 2.01

−0.05K0 1 + K0

1.95K0

K0

2.01 α2 = 10.15−0.05K 0

3.92K

0 − 10.15−0.05K

−2.01

0

K0

0

10.15 − 0.05K0

2 10.15+6.18K0 −0.05K0 10.15−0.05K0

−10.15 + 0.05K0

0

1.95K0 −

K0 (10.15−0.05K0 )2 2 10.15+6.18K0 −0.05K0

−

(10.15−0.05K0 )2 2] 10.15+6.18K0 −0.05K0

2 10.15+6.18K0 −0.05K0 10.15−0.05K0

K0 [1.95−

K0

α3 =

(10.15−0.05K0 )2 2 10.15+6.18K0 −0.05K0

K0

Podle Routh-Schurova kritéria stability mus´ı m´ıt vˇsechny koeficienty v redukovan´ ych ˇrádc´ıch stejné znaménko, aby byl systém stabiln´ı. Z jednotliv´ ych ˇrádk˚ u plynou následuj´ıc´ı podm´ınky pro stabilitu uzavˇreného obvodu. Poznamenejme, ˇze pod´ıl dvou ˇc´ısel je kladn´ y, pokud má ˇcitatel i jmenovatel stejné znaménko. 1 + K0 > 0 → K0 > −1 K0 > 0 10.15 − 0.05K0 > 0 → K0 < 203

10.15 + 6.18K0 − 0.05K02 > 0 → −1.62 < K0 < 125.2 −83.23 + 13.07K0 − 0.1K02 > 0 → 6.7 < K0 < 124

Vˇsechny v´ yˇse uvedené podm´ınky mus´ı platit spoleˇcnˇe. Je vidˇet, ˇze nejpˇr´ısnˇejˇs´ı je pátá podm´ınka, která udává rozsah moˇzn´ ych zes´ılen´ı, která zaruˇc´ı stabilitu uzavˇrené smyˇcky 6.7 < K0 < 124. To potvrzuje v´ ysledky z´ıskané Nyquistov´ ym kritériem stability. Vid´ıme také, ˇze ˇreˇsen´ı pomoc´ı Routh-Schurova kritéria sice dává kvantitativn´ı v´ ysledky, ale ˇreˇsen´ı je i pro tento vcelku jednoduch´ y pˇr´ıklad dosti sloˇzité. Tento obvod patˇr´ı k podm´ınˇenˇe stabiln´ım systém˚ um, které jsou stabiln´ı jen pro zes´ılen´ı omezené nejen shora, ale téˇz zdola.


6.3.5

87

Zjednoduˇ sen´ e Nyquistovo krit´ erium v logaritmick´ ych souˇ radnic´ıch

Pokud pˇrenos otevˇrené smyˇcky neobsahuje póly v pravé polorovinˇe komplexn´ı roviny p, lze jak jsme se jiˇz dozvˇedˇeli v minulé kapitole pouˇz´ıt zjednoduˇsené Nyquistovo kritérium stability. Kromˇe toho se nav´ıc dá velmi rychle urˇcit stabilita z frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇrené smyˇcky v logaritmick´ ych souˇradnic´ıch. Formulace obecného tvaru Nyquistova kritéria by v logaritmick´ ych souˇradnic´ıch byla velmi obt´ıˇzná. Im

nestabiln´ı

40 |F |dB

1 nestabiln´ı

1

−180 log ω[rad/s]

1 Re

−1

−80

ϕ

−90 stabiln´ı

ϕ[◦ ]

−40 stabiln´ı

10

0

mez stability −1

−270

Obr´ azek 6.12: Frekvenˇcn´ı charakteristiky v komplexn´ı rovinˇe a logaritmick´ ych souˇradnic´ıch a jejich souvislost z hlediska stability podle zjednoduˇseného Nyquistova kritéria Pˇri odvozen´ı zjednoduˇseného Nyquistova kritéria stability v logaritmick´ ych souˇradnic´ıch vyjdeme ze vztahu s frekvenˇcn´ımi charakteristikami v komplexn´ı rovinˇe. Na obrázku 6.12 jsou vidˇet oba typy frekvenˇcn´ıch charakteristik pro systém s pˇrenosem otevˇrené smyˇcky F0 (p) =

K0 p(p + 1)(p + 10)

a pro tˇri r˚ uzné hodnoty zes´ılen´ı. Frekvenˇcn´ı charakteristika F0 (p) se zes´ılen´ım K0 = 109.7 procház´ı bodem (−1; 0). Uzavˇren´ y systém by byl podle zjednoduˇseného Nyquistova kritéria na mezi stability. V logaritmick´ ych souˇradnic´ıch to odpov´ıdá pˇr´ıpadu, kdy amplitudová charakteristika nab´ yvá hodnoty 1 (0dB) pˇri stejné frekvenci, kdy fázová charakteristika nab´ yvá hodnoty −180◦ . Pˇripomeˇ nme, ˇze frekvence kdy amplitudová charakteristika nab´ yvá hodnoty 1 (0dB) se naz´ yvá frekvence ˇrezu ωˇr. Vyˇsˇs´ı hodnota zes´ılen´ı K0 = 330 vede podle pr˚ ubˇehu F0 (p) v komplexn´ı rovinˇe k nestabilitˇe. V logaritmick´ ych souˇradnic´ıch se to projev´ı tak, ˇze fáze ϕ je pˇri kmitoˇctu ˇrezu ωˇr zápornˇejˇs´ı neˇz −π (ϕ < −180◦ ). Naopak niˇzˇs´ı hodnota zes´ılen´ı K0 = 33 vede podle pr˚ ubˇehu F0 (p) v komplexn´ı rovinˇe na stabiln´ı zpˇetnovazebn´ı zapojen´ı. V logaritmick´ ych souˇradnic´ıch se to projev´ı tak, ˇze fáze ϕ je pˇri kmitoˇctu ˇrezu ωˇr kladnˇejˇs´ı neˇz −π (ϕ > −180◦ ). Uzavˇ ren´ y syst´ em, jehoˇ z otevˇ ren´ y obvod nem´ a p´ oly v prav´ e polorovinˇ e komplexn´ı roviny p, je stabiln´ı, jestliˇ ze pˇ ri frekvenci ωˇr, pˇ ri kter´ e |F0 (jω)| = 1, je f´ aze kladnˇ ejˇ s´ı neˇ z −π Poznámka: Z tohoto d˚ uvodu se pˇri kreslen´ı frekvenˇcn´ı charakteristiky F0 (jω) v logaritmick´ ych souˇradnic´ıch kresl´ı pr˚ ubˇeh fáze tak, ˇze hodnota 0dB odpov´ıdaj´ıc´ı pˇrenosu 1


88

se shoduje s hodnotou fáze −180◦ . Osa fáze se kresl´ı obrácenˇe, takˇze se sniˇzuje smˇerem nahoru. Pokud fáze procház´ı pˇri kmitoˇctu ˇrezu ωˇr pod osou 0dB, pak bude uzavˇren´ y zpˇetnovazebn´ı systém stabiln´ı, pokud bude fáze pˇri ωˇr procházet osou 0dB, pak bude na mezi stability a pokud bude fáze pˇri ωˇr nad osou 0dB, pak bude systém nestabiln´ı. Pˇ r´ıklad 6.8 Rozhodnˇete o stabilitˇe zpˇetnovazebn´ıho regulaˇcn´ıho obvodu na z´ akladˇe pr˚ ubˇehu frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇrené smyˇcky F0 (p) v logaritmických souˇradnic´ıch, pokud K0 (p + 1)2 F0 (p) = 2 p (10p + 1)(0.1p + 1)2 Tento zp˚ usob rozboru stability m˚ uˇzeme pouˇz´ıt, nebot’ pˇrenos otevˇrené smyˇcky F0 (p) neobsahuje póly v pravé polorovinˇe komplexn´ı roviny p. Pr˚ ubˇeh fáze ϕ ukazuje, ˇze uzavˇren´ y zpˇetnovazebn´ı obvod bude stabiln´ı, pokud bude kmitoˇcet ˇrezu ωˇr leˇzet v rozsahu (1.15; 7.8)rad/s ubˇehy limitn´ıch frekvenˇcn´ıch (viz. obrázek 6.13). Na obrázku 6.13 jsou nakresleny pr˚ charakteristik, pro které je uzavˇren´ y systém na mezi stability. Pr˚ ubˇeh |F01 (jω)|dB procház´ı ωˇr = 1.15 a odpov´ıdá zes´ılen´ı 17dB, ˇcemuˇz odpov´ıdá K0 = 7.08. Druh´ y pr˚ ubˇeh |F02 (jω)|dB procház´ı ωˇr = 7.8 a odpov´ıdá zes´ılen´ı 42dB, ˇcemuˇz odpov´ıdá K0 = 125. Vˇsimnˇeme si, ˇze pˇri kreslen´ı amplitudov´ ych charakteristik mus´ıme respektovat vliv chyby pˇri asymptotické náhradˇe, nebot’ obˇe mezn´ı frekvence leˇz´ı velmi bl´ızko bod˚ u, ve kter´ ych docház´ı ke zlomu asymptotické náhrady o ±40dB/dek. Systém je stabiln´ı pro hodnoty zes´ılen´ı v rozsahu (7.08; 125). Protoˇze je rozsah zes´ılen´ı omezen jak shora, tak také zdola, je tento systém podm´ınˇenˇe stabiln´ı.

6.4

Pouˇ zit´ı programu Matlab

Pˇri ˇreˇsen´ı stability algebraick´ ymi kritérii u systém˚ u, které závisej´ı na promˇenn´ ych parametrech si m˚ uˇzeme pomoci pouˇzit´ım Symbolického toolbox-u v programu Matlab. aln´ım PD regul´ atorem. Pˇ r´ıklad 6.9 S vyuˇzit´ım Symbolického Toolbox-u vyˇreˇste pˇr´ıklad 6.1 s ide´ Nejprve mus´ıme nadefinovat symboly promˇenn´ ych, které budeme bˇehem v´ ypoˇctu potˇrebovat. >> syms p K T Nyn´ı si vypoˇc´ıtáme charakteristick´ y polynom >> delta1 = p*(5*p + 1)^2 + 0.2*K*(T*p + 1) delta1 = p*(5*p+1)^2+1/5*K*(T*p+1) Tento tvar si uprav´ıme tak, aby byl seˇrazen jako polynom, kde budou vidˇet jednotlivé koeficienty u mocnin Laplaceova operátoru p >> delta1 = collect(delta1,p) delta1 = 25*p^3+10*p^2+(1+1/5*K*T)*p+1/5*K

60

−260 |F02 (jω)|dB

−240 ϕ(jω)

40 20

89

−220 −200

|F01 (jω)|dB

0

−180

−20

−160

−40 −60 −80 100

−140

oblast ωˇr pro které je uzavˇren´ y obvod stabiln´ı

101

102

−120

log ω[rad/s]

ϕ[◦ ]

|F |dB


103

Obr´ azek 6.13: Test stability Nyquistov´ ym kritériem v logaritmick´ ych souˇradnic´ıch


90

Tento tvar nen´ı moc pˇrehledn´ y, proto si ho pˇrep´ıˇseme ve tvaru >> pretty(delta1) 3 2 25 p + 10 p + (1 + 1/5 K T) p + 1/5 K Toto je charakteristick´ y polynom, ze kterého m˚ uˇzeme pˇr´ımo psát Hurwitzovu matici. Koeficienty sem m˚ uˇzeme pˇrepsat ruˇcnˇe, nebo pouˇz´ıt funkci, která vybere z polynomu koeficient u dané mocniny. Napˇr´ıklad pro v´ ybˇer koeficientu u p1 pouˇzijeme pˇr´ıkaz >> maple(’coeff’,delta1,p,1) ans = 1+1/5*K*T Potom determinant >> H=[10 25; maple(’coeff’,delta1,p,0) maple(’coeff’,delta1,p,1)] H = [ 10, 25] [ 1/5*K, 1+1/5*K*T] Vypoˇc´ıtáme determinant det(H) >> det(H) ans = 10+2*K*T-5*K Determinant mus´ı b´ yt kladn´ y 10 + 2KT − 5K > 0. Oba koeficienty jsou také kladné K > 0 a T > 0. Tuto soustavu nerovnic ˇreˇs´ıme dále stejnˇe jako v pˇr´ıkladˇe 6.1. Pˇri ˇreˇsen´ı stability uzavˇreného obvodu pomoc´ı Nyquistova kritéria stability si m˚ uˇzeme v Matlabu usnadnit práci pouˇzit´ım pˇr´ıkaz˚ u na vykreslen´ı frekvenˇcn´ıch charakteristik. Je potˇreba m´ıt na pamˇeti, ˇze ne vˇzdycky je automaticky zvolen´ y rozsah frekvenc´ı, ve kterém je frekvenˇcn´ı charakteristika vykreslována, Matlabem vybrán optimálnˇe a ˇze nás zaj´ımá chován´ı kolem bodu (−1; 0). Demonstrujme si to následuj´ıc´ım pˇr´ıkladem. Pˇ r´ıklad 6.10 Pomoc´ı programu Matlab vyˇreˇste stabilitu zpˇetnovazebn´ıho regulaˇcn´ıho obvodu s pˇrenosem otevˇrené smyˇcky F0 (p) z pˇr´ıkladu 6.8. Pro vykreslen´ı frekvenˇcn´ı charakteristiky pouˇzijte zes´ılen´ı K0 = 10 Zadáme pˇrenos F0 (p) =

100(p + 1)2 10(p + 1)2 = p2 (10p + 1)(0.1p + 1)2 p2 (p + 0.1)(p + 10)2

>> F0=zpk([-1 -1 ],[0 0 -0.1 -10 -10],[100]) Zero/pole/gain: 100 (s+1)^2 -------------------s^2 (s+0.1) (s+10)^2


91

Frekvenˇcn´ı charakteristiku v komplexn´ı rovinˇe vykresl´ıme pˇr´ıkazem >> nyquist(F0) Objev´ı se nám pr˚ ubˇeh, kter´ y je na obrázku 6.14 vlevo. Na základˇe tohoto pr˚ ubˇehu bychom mohli ˇr´ıci, ˇze je uzavˇren´ y systém nestabiln´ı, protoˇze F0 (p) nemá nestabiln´ı póly a poˇcet obˇeh˚ u kolem bodu (−1; 0) je dvakrát v záporném smˇeru. Pokud si ale zvˇetˇs´ıme pr˚ ubˇeh F0 (jω) kolem bodu (−1; 0) zjist´ıme, ˇze je pˇredchoz´ı závˇer ˇspatn´ y. Na obrázku 6.14 vpravo

Nyquist Diagram

4

1.5

x 10

Nyquist Diagram

0.3 1

Imaginary Axis

Imaginary Axis

0.2 0.5 0 −0.5

0.1 0 −0.1

−1 −0.2 −1.5 −2.5

−2

−1.5 −1 Real Axis

−0.5

0

−2

5

x 10

−1.5 −1 Real Axis

−0.5

0

Obr´ azek 6.14: Demonstrace pˇr´ıkazu nyquist v Matlabu vid´ıme pˇribl´ıˇzen´ y pr˚ ubˇeh. Ve skuteˇcnosti je uzavˇren´ y systém pro zadané zes´ılen´ı K0 stabiln´ı, protoˇze poˇcet obˇeh˚ u je roven nule. Dalˇs´ım pˇribl´ıˇzen´ım zjist´ıme pr˚ useˇc´ıky se zápornou reálnou osou, které definuj´ı oblast stability. Pr˚ useˇc´ıky jsou pˇribliˇznˇe −1.476 a −0.0793. S uváˇzen´ım, ˇze pr˚ ubˇeh je vykreslen pro zes´ılen´ı K0 = 10 z´ıskáme rozsah zes´ılen´ı, pro které je uzavˇren´ y obvod stabiln´ı. K0 ∈ (1/1.476 · 10; 1/0.0793 · 10) = (6.8; 126). Z´ıskan´ y interval koresponduje s intervalem z´ıskan´ ym Routh-Schurov´ ym kritériem v pˇr´ıkladu 6.8. Pokud v Matlabovském oknˇe ukazuj´ıc´ım pr˚ ubˇeh vykreslen´ y pˇr´ıkazem nyquist, najedete na vyobrazen´ y pr˚ ubˇeh myˇs´ı a zmáˇcknete pravé tlaˇc´ıtko, zjist´ıte informace o reálné a imaginárn´ı sloˇzce a o odpov´ıdaj´ıc´ı frekvenci vybraného bodu.

6.5

Shrnut´ı

V této kapitole byly vysvˇetleny moˇznosti zjiˇst’ován´ı stability zpˇetnovazebn´ıch systém˚ u. V prvn´ı ˇcásti byla ukázána moˇznost pouˇzit´ı algebraick´ ych kritéri´ı. Byly vypoˇc´ıtány vzorové pˇr´ıklady na pouˇzit´ı Hurwitzova a Routh-Schurova kritéria. Nev´ yhoda tˇechto kritéri´ı spoˇc´ıvá ve sloˇzitosti z´ıskan´ ych podm´ınkov´ ych rovnic, které mus´ıme ˇreˇsit. Odmˇenou za jejich vyˇreˇsen´ı z´ıskáváme rozsahy parametr˚ u, pro které je uzavˇren´ y obvod stabiln´ı. Druhá, obsáhlejˇs´ı ˇcást se zab´ yvá vysvˇetlen´ım Nyquistova kritéria stability. Toto kritérium zjiˇst’uje


92

stabilitu uzavˇreného obvodu na základˇe znalosti frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇrené smyˇcky F0 (jω) a poˇctu nestabiln´ıch pól˚ u F0 (p). Stˇeˇzejn´ı je pˇri urˇcován´ı stability t´ımto kritériem poloha bodu (−1; 0). Jak bude ukázáno v dalˇs´ım textu, vzdálenost frekvenˇcn´ı charakteristiky od tohoto bodu ˇr´ıká, jak daleko jsme od nestability, coˇz povede k definici pojmu amplitudové, fázové a modulové zásoby stability. Uvedli jsme si zjednoduˇsenou verzi kritéria pro pˇr´ıpad, ˇze F0 (p) neobsahuje nestabiln´ı póly. To vedlo na moˇznost urˇcován´ı stability v logaritmick´ ych souˇradnic´ıch. Kreslen´ı frekvenˇcn´ıch charakteristik v logaritmick´ ych souˇradnic´ıch je jednoduˇsˇs´ı neˇz v komplexn´ı rovinˇe. Tento zp˚ usob bude v následuj´ıc´ım textu pouˇzit pˇri syntéze regulaˇcn´ıch obvod˚ u metodou standardn´ıch tvar˚ u frekvenˇcn´ı charakteristiky.

6.6


Ot´ azka 6.1 Vysvˇetlete pojmy charakteristický polynom a charakteristická rovnice. Ot´ azka 6.2 Urˇcete charakteristický polynom obvodu s odchylkovým regul´ atorem s pˇrenosem B(p) FR (p) = Q(p) . Pˇ r enos soustavy je F (p) = S R(p) A(p) Ot´ azka 6.3 Z jakého pˇrenosu zjiˇst’uje Nyquistovo kritérium stabilitu zpˇetnovazebn´ıho obvodu? Ot´ azka 6.4 Co je to mapov´ an´ı uzavˇrené kˇrivky z roviny p do roviny F ? Ot´ azka 6.5 Jak je definov´ ana Nyquistova kˇrivka a jej´ı modifikovan´ a varianta? Ot´ azka 6.6 V ˇcem se liˇs´ı Nyquistovo kritérium stability od algebraických kritéri´ı stability? Ot´ azka 6.7 Jak zn´ı Nyquistovo kritérium stability a jaké jsou podm´ınky jeho pouˇzit´ı? Ot´ azka 6.8 Jak se projev´ı nuly v poˇcátku na pr˚ ubˇeh frekvenˇcn´ı charakteristiky kolem poˇcátku ω = 0? Ot´ azka 6.9 Jak zn´ı zjednoduˇsené Nyquistovo kritérium stability? Ot´ azka 6.10 Jak zn´ı zjednoduˇsené Nyquistovo kritérium stability v logaritmických souˇradnic´ıch? Ot´ azka 6.11 Lze pouˇz´ıt Nyquistovo kritérium stability pro systémy s dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım?


7

93

Anal´ yza dynamick´ ych vlastnost´ı regulaˇ cn´ıch obvod˚ u

Analýzou statických vlastnost´ı jsme se zabývali v kapitol´ ach 5.2 a 5.3. Mˇeli jsme t´ım na mysli trvalé ust´ alené hodnoty, tedy stavy po odeznˇen´ı pˇrechodných dˇej˚ u. Pˇri ˇr´ızen´ı dynamických systém˚ u n´ as kromˇe statických vlastnost´ı zaj´ım´ a také, a to nˇekdy zejména, chován´ı v pˇrechodných dˇej´ıch. Zde n´ as zaj´ım´ a rychlost odeznˇen´ı, maxim´ aln´ı pˇrekmit a kmitavost pˇrechodného dˇeje. Tˇemto parametr˚ um se souhrnˇe ˇr´ıká dynamické vlastnosti. Dynamické vlastnosti lze ovlivnit pomoc´ı jednoho ˇci v´ıce parametr˚ u regul´ atoru. Snahou je nastavit takové parametry regul´ atoru, které by dos´ ahly optimáln´ıch dynamických vlastnost´ı. Slovo ”optim´ aln´ı” vyskytuj´ıc´ı se v minule vˇetˇe je ponˇekud vágn´ı pojem. To co je pro nˇekoho optimáln´ı, m˚ uˇze být pro druhého nevyhovuj´ıc´ı. Pokud se bav´ıme o optimalitˇe, je vˇzdy potˇrebné uvést hledisko, které bylo pˇri optimalizaci uvaˇzováno. Toto hledisko je ˇcasto matematicky pops´ ano kriteriáln´ı funkc´ı. Výbˇer vhodného hlediska, nebo také kriteriáln´ı funkce je ned´ılnou a velmi d˚ uleˇzitou souˇcást´ı procesu n´ avrhu regul´ atoru. Nevhodná volba kritéria m˚ uˇze m´ıt za n´ asledek ˇspatné chován´ı ve srovnán´ı s jinou volbou kritéria. Tato kapitola n´ as seznám´ı se zjiˇst’ov´ an´ım dynamických vlastnost´ı podle n´ asleduj´ıc´ıch hledisek • z odezev v ˇcasové oblasti • z pr˚ ubˇehu frekvenˇcn´ıch charakteristik • z rozloˇzen´ı nul a pól˚ u v komplexn´ı rovinˇe

7.1

Integr´ aln´ı krit´ eria kvality regulace

Integráln´ı kritéria kvality regulace zjiˇst’uj´ı kvalitu nastaven´ı parametr˚ u regulátoru v ˇcasové oblasti. Vycház´ı se z pr˚ ubˇehu regulaˇcn´ı odchylky e(t), kterou z´ıskáme z odezvy regulaˇcn´ıho obvodu na skokovou zmˇenu ˇzádané hodnoty. Postupnˇe se zde pop´ıˇseme tyto integráln´ı kritéria. • Lineárn´ı kritérium • Usmˇernˇené lineárn´ı kritérium • Kvadratické kritérium • ITAE kritérium 7.1.1

Line´ arn´ı integr´ aln´ı krit´ erium

Lineárn´ı integráln´ı kritérium spoˇc´ıtá plochu mezi pr˚ ubˇehem regulaˇcn´ı odchylky e(t) a ustálenou odchylkou e(∞). Této ploˇse se ˇr´ıká lineárn´ı regulaˇcn´ı plocha. Matematicky je plocha ohraniˇcená nˇejakou kˇrivkou definována integrálem Z ∞ [e(t) − e(∞)] dt (7.1) JL = 0

Odeˇcten´ı ustálené odchylky e(∞) zajiˇst’uje konvergenci integrálu k nˇejaké koneˇcné hodnotˇe. Bez odeˇcten´ı ustálené odchylky by v pˇr´ıpadˇe jej´ı nenulovosti vycházela nekoneˇcná


94

e(t) e(0) JL

e(∞)

t

Obr´ azek 7.1: Lineárn´ı regulaˇcn´ı plocha hodnota kritéria JL . V´ıme, ˇze obvody s astatismem alespoˇ n prvn´ıho ˇrádu maj´ı nulovou ustálenou odchylku e(∞) = 0, ˇc´ımˇz se pˇredchoz´ı rovnice (7.1) zjednoduˇs´ı na tvar Z ∞ e(t) dt (7.2) JL = 0

Stejné u ´vahy plat´ı i pro pˇr´ıpad ostatn´ıch integráln´ıch kritéri´ı. Z hlediska v´ ypoˇctu integrálu je nutné, aby byl systém aperiodick´ y. Pokud by tomu tak nebylo, plochy pod osou e(∞) by se odeˇc´ıtali, ˇc´ımˇz by se nesprávnˇe sniˇzovala hodnota kritéria a dostali bychom zkreslen´ y ˇ v´ ysledek. Reˇsen´ı v tomto pˇr´ıpadˇe pˇredstavuje pouˇzit´ı modifikovaného kritéria usmˇernˇené lineárn´ı plochy, ve kterém pouˇz´ıváme nam´ısto rozd´ılu [e(t)−e(∞)] jeho absolutn´ı hodnotu JU L =

Z

0

∞

|e(t) − e(∞)| dt

(7.3)

e(t) e(0) JU L

e(∞)

t

Obr´ azek 7.2: Usmˇernˇená lineárn´ı plocha T´ım se plochy pod osou e(∞) pˇriˇc´ıtaj´ı a logicky zhorˇsuj´ı hodnotu kritéria. Pozorn´ y ˇctenáˇr m˚ uˇze nam´ıtnout, proˇc jsme nedefinovali pouze usmˇernˇenou variantou lineárn´ıho integráln´ıho kritéria. D˚ uvod spoˇc´ıvá v nelinearitˇe absolutn´ı hodnoty, která znemoˇzn ˇuje analytick´ y v´ ypoˇcet, kter´ y je v pˇr´ıpadˇe prostého lineárn´ıho kritéria a aperiodického pr˚ ubˇehu moˇzn´ y.


7.1.2

95

Kvadratick´ e integr´ aln´ı krit´ erium

Toto kritérium vyjadˇruje kvadratickou regulaˇcn´ı plochu. Je definováno integrálem Z ∞ [e(t) − e(∞)]2 dt (7.4) JK = 0

e(t) e(0) JK

e(∞)

t

Obr´ azek 7.3: Hodnota kvadratického kritéria V pˇr´ıpadˇe tohoto kritéria nás netráp´ı záporné odchylky, nebot’ jejich kvadrát je kladné ˇc´ıslo. Pro systémy s astatismem, kdy je trvalá ustálená odchylka nulová plat´ı zjednoduˇsen´ y vztah Z ∞ e2 (t) dt (7.5) JK = 0

Z pr˚ ubˇehu kvadratické funkce je zˇrejmé, ˇze toto kritérium pˇrikládá vˇetˇs´ı váhu vˇetˇs´ım odchylkám. Jedná se o hodnoty odchylky e(t) z poˇcátku pˇrechodného dˇeje (obrázek 7.3). Pˇri minimalizaci kvadratického kritéria dojde k tomu, ˇze se systém snaˇz´ı co nejrychleji vyeliminovat právˇe tyto odchylky na poˇcátku, coˇz následnˇe pˇrináˇs´ı relativnˇe velk´ y pˇrekmit a kmitavost odchylky, coˇz b´ yvá povaˇzováno jako nev´ yhoda kvadratického kritéria. Toto kritérium je obl´ıbené z d˚ uvodu moˇznosti jednoduchého v´ ypoˇctu. Existuje nˇekolik moˇznost´ı pro urˇcen´ı kvadratického kritéria, z nichˇz nˇekteré si pop´ıˇseme v následuj´ıc´ıch podkapitolách. • analytick´ y v´ ypoˇcet v´ ypoˇctem inverzn´ı Laplaceovy transformace obrazu odchylky s následnou integrac´ı podle (7.4) • pˇr´ım´ y analytick´ y v´ ypoˇcet pomoc´ı reziduové vˇety • v´ ypoˇcet pomoc´ı Nekolného doplˇ nku k Routh-Schurovˇe algoritmu • pomoc´ı simulace


96

Pˇ r´ım´ ym v´ ypoˇ ctem pomoc´ı reziduov´ e vˇ ety Definiˇcn´ı integrál (7.5) m˚ uˇzeme chápat jako funkci horn´ı meze, která v limitˇe pˇrejde na Jk . Z τ Jk = lim e2 (t)dt τ →∞

0

a podle vˇety o koneˇcné hodnotˇe lze psát Z τ 1 2 Jk = lim e (t) e2 (t)dt = lim p τ →∞ 0 p→0 p

(7.6)

V Laplaceovˇe transformaci souˇcinu dvou funkc´ı v ˇcase odpov´ıdá konvoluce obraz˚ u, takˇze Z c+jω 1 {e(t) · e(t)} = E(p − q)E(q)dq 2πj c−jω

a po dosazen´ı do (7.6) máme Z c+jω Z c+jω 1 1 Jk = lim E(p − q)E(q)dq = E(−q)E(q)dq p→0 2πj c−jω 2πj c−jω

(7.7)

Integrál na pravé stranˇe rovnice (7.7) nahrad´ıme integrálem po uzavˇrené kˇrivce, a ten je roven 2πj násobku sumy residu´ı v pólech integrované funkce, které leˇz´ı uvnitˇr integraˇcn´ı uzavˇrené kˇrivky. Protoˇze E(p) mus´ı m´ıt pouze stabiln´ı póly, leˇz´ı vˇsechny póly E(q) v levé polorovinˇe a póly E(−q) v pravé polorovinˇe komplexn´ı roviny. Jako integraˇcn´ı dráhu m˚ uˇzeme zvolit imaginárn´ı osu uzavˇrenou p˚ ulkruˇznic´ı o nekoneˇcném polomˇeru. Pak X Jk = res E(−q)E(q) qi

kde qi jsou póly funkce E(q). Nyn´ı je zˇrejmé, proˇc jsme na poˇcátku pˇredpokládali, ˇze póly této funkce jsou známé. Integrál na pravé stranˇe rovnice (7.7) lze vyˇc´ıslit také tak, ˇze za integraˇcn´ı dráhu vezmeme imaginárn´ı osu c = 0. Vzhledem k symetrii staˇc´ı integrovat v mez´ıch 0 < ω < ∞ a v´ ysledek násobit dvˇema: Z Z 1 ∞ 1 ∞ Jk = E(−jω)E(jω)dω = [E(−jω)]2 dω π 0 π 0 To znamená, ˇze kvadratická integráln´ı plocha je u ´mˇerná ploˇse vymezené funkc´ı kvadrátu amplitudové frekvenˇcn´ı charakteristiky E(jω) (obrázek 7.4). Tento zp˚ usob v´ ypoˇctu vyˇzaduje nasazen´ı v´ ypoˇcetn´ı techniky, pomoc´ı které lze v´ ypoˇcet automatizovat. Pˇ r´ıklad 7.1 Pˇrenos ˇr´ızen´ı uzavˇreného regulaˇcn´ıho obvodu je typu statického ˇcl´ anku druhého ˇrádu s ˇcasovou konstantou T = 1. Stanovte velikost pomˇerného tlumen´ı tak, aby systém byl z hlediska kvadratického kritéria optimáln´ı.

|E(jω)|


97

|E(jω)| |E(jω)|2

ω

Obr´ azek 7.4: Kvadratická integráln´ı plocha Pˇrenos ˇr´ızen´ı má tvar

1 + 2ξp + 1 kde ξ je pomˇerné tlumen´ı. Pro obraz odchylky plat´ı Fw (p) =

E(p) = W (p)[1 − Fw (p)] =

p2

1 p2 + 2ξp p + 2ξ · 2 = 2 p p + 2ξp + 1 p + 2ξp + 1

jeho póly jsou p1,2 = −ξ ± Pro kvadratickou plochu plat´ı Jk =

X

p1 ,p2

res E(p)E(−p) =

p

ξ2 − 1

X

p1 ,p2

4ξ 2 − p2 p[4p2 + 2(2 − 4ξ 2 )]

Po dosazen´ı hodnot pól˚ u dostaneme rovnici p p 2ξ 2 − 2ξ ξ 2 − 1 + 1 2ξ 2 + 2ξ ξ 2 − 1 + 1 4ξ 2 + 1 p p − p = Jk = p 4ξ ( ξ 2 − 1 − ξ)(−8ξ ξ 2 − 1) ( ξ 2 − 1 + ξ)(8ξ ξ 2 − 1) Tuto funkci je nyn´ı tˇreba derivovat podle tlumen´ı ξ a splnit podm´ınku dJk 4ξ 2 − 1 = =0 dξ 4ξ 2 Z této podm´ınky urˇc´ıme optimáln´ı hodnotu ξkik = 0.5. Hodnota kritéria je Jk (ξkik = 0.5) = 1 Nekoln´ eho doplnˇ ek Routh-Schurova algoritmu y. Mnohem jednoduˇsˇs´ı Analytick´ y v´ ypoˇcet kvadratického kritéria (7.4) je znaˇcnˇe pracn´ je pouˇzit´ı Nekolného doplnˇeku Routh-Schurova kritéria, kter´ y dokáˇze urˇcit hodnotu kvadratického kritéria pomoc´ı jednoduchého a algoritmizovatelného postupu.


98

Pro pˇrenos odchylky jsme si jiˇz dˇr´ıve vyjádˇrili vztah 1 bn p n + · · · + b1 p + b0 = 1 + F0 (p) a n p n + · · · + a1 p + a 0

(7.8)

1 bn pn−1 + · · · + +b2 p + b1 E(p) = Fe (p) = p an p n + · · · + a1 p + a0

(7.9)

Fe (p) =

kde bn = an (stupeˇ n ˇcitatele soustavy je alespoˇ n o jedniˇcku menˇs´ı neˇz stupeˇ n jmenovatele) a pro systémy s astatismem v otevˇreném obvodu nav´ıc plat´ı b0 = 0. Tato podm´ınka zde plat´ı i pro systémy bez astatismu, nebot’ v tom pˇr´ıpadˇe se pouˇz´ıvá sloˇzitˇejˇs´ı verze kritéria s e(t) − e(∞), které vynuluje absolutn´ı ˇclen v ˇcitateli. Takˇze podm´ınka b0 = 0 vlastnˇe plat´ı vˇzdy. Obraz odchylky E(p) jako odezvy regulaˇcn´ı odchylky na jednotkov´ y skok ˇr´ıdic´ı veliˇciny je dán ve tvaru

Nekoln´ eho algoritmus pro v´ ypoˇ cet kvadratick´ eho krit´ eria 1. Na jmenovatelov´ y polynom A(p) aplikujeme Routh-Schur˚ uv algoritmus, ale neskonˇc´ıme u ˇrádku se tˇremi koeficienty, n´ ybrˇz pokraˇcujeme aˇz do konce. V pˇr´ıpadˇe nestabiln´ıho systému nemá smysl pokraˇcovat dál, nebot’ hodnota kritéria stejnˇe jako odchylka p˚ ujde do nekoneˇcna. Koeficienty, kter´ ymi v jednotliv´ ych kroc´ıch redukce násob´ıme podtrˇzené ˇcleny, nazveme αi . 2. Koeficienty ˇcitatele bi nap´ıˇseme do ˇrádku, podobnˇe jako jsme to provedli u jmenovatelového polynomu. Jsou-li nˇekteré koeficienty nulové, zap´ıˇseme do ˇrádku na jejich m´ıstˇe nuly. Z rovnice (7.9) vypl´ yvá, ˇze je-li stupeˇ n jmenovatele n, bude m´ıt tento ˇrádek n − 1 koeficient˚ u. 3. Kaˇzd´ y druh´ y koeficient ˇrádku ˇcitatele podtrhneme. M˚ uˇzeme postupovat opˇet zprava i zleva, avˇsak vˇzdy ve stejném smyslu, v jakém byla provedena redukce jmenovatele. 4. Od nepodtrˇzen´ ych koeficient˚ u ˇcitatele odeˇcteme podtrˇzené koeficienty jmenovatele, násobené takov´ ym ˇc´ıslem βi , aby se prvn´ı nepodtrˇzen´ y koeficient ˇrádku ˇcitatele bn anuloval. 5. S takto z´ıskan´ ym redukovan´ ym ˇrádkem koeficient˚ u opakujeme cel´ y postup aˇz do konce. V kaˇzdém kroku i stanov´ıme násob´ıc´ı koeficient βi . 6. Kvadratická regulaˇcn´ı plocha je dána vzorcem n

JK =

1 X βi 2 2 i=1 αi

(7.10)

Pˇ r´ıklad 7.2 K regulované soustavˇe s pˇrenosem Fs (p) = byly navrˇzeny tˇri typy regul´ ator˚ u

1 (10p + 1)2


a) regul´ ator typu I s pˇrenosem FR1 =

99

0.05 p

b) regul´ ator typu PI s pˇrenosem FR2 =

0.6(10p + 1) p(0.5p + 1)

FR3 =

2(10p + 1)2 p(0.5p + 1)

c) regul´ ator typu PID s pˇrenosem

Vypoˇctˇete kvadratickou regulaˇcn´ı plochu pro vˇsechny uvedené regul´ atory. ˇ sen´ı ad a) Reˇ Pˇrenos otevˇrené smyˇcky je F0 (p) =

0.05 p(10p + 1)2

a pˇrenos odchylky je Fe (p) =

100p3 + 20p2 + p 1 1 = = 0.05 1 + F0 (p) 100p3 + 20p2 + p + 0.05 1 + p(10p+1) 2

Obraz odchylky pˇri jednotkovém skoku ˇr´ızen´ı je roven 100p2 + 20p+ 1 1 E(p) = Fe (p) = p 100p3 + 20p2 + p + 0.05 Nyn´ı provedeme redukci jmenovatele a v pˇr´ıpadˇe, ˇze systém bude stabiln´ı i redukci ˇcitatele podle Nekolného algoritmu. 100 20 −100

1

0.05

α1 = 5 x

1 β1 = 5 100 20 −100 −0.25 20 0.75 β2 = 26.67 −20 0.75 β3 = 15

−0.25 20 0.75 0.05 α2 = 26.67 −20 0.75 0.05 α3 = 15

Protoˇze v tomto pˇr´ıpadˇe αi = βi , bude 3

Ik1

1X 1 = βi = (5 + 26.67 + 15) = 23.34 2 i=1 2

ˇ sen´ı ad b) Reˇ Pˇrenos otevˇrené smyˇcky je nyn´ı

F0 (p) =

0.6 p(10p + 1)(0.5p + 1)


100

a pˇrenos odchylky je Fe (p) =

1 = 1 + F0 (p) 1+

1 0.6 p(10p+1)(0.5p+1)

=

5p3 + 10.5p2 + p 5p3 + 10.5p2 + p + 0.6

Obraz odchylky pˇri jednotkovém skoku ˇr´ızen´ı je roven 1 5p2 + 10.5p + 1 E(p) = Fe (p) = 3 p 5p + 10.5p2 + p + 0.6 Opˇet provedeme redukci jmenovatele a v pˇr´ıpadˇe, ˇze systém bude stabiln´ı i redukci ˇcitatele podle Nekolného algoritmu. 5 10.5 −5

1

0.6

α1 = 0.48

5 10.5 1 β1 = 0.48 −5 −0.25 10.5 0.71 β2 = 14.79 −10.5 0.71 β3 = 1.18

−0.29 10.5 0.71 0.6 α2 = 14.79 −10.5 0.71 0.6 α3 = 1.18

Obdobnˇe jako v minulém pˇr´ıpadˇe plat´ı αi = βi , a proto bude 3

Ik2

1 1X βi = (0.48 + 14.79 + 1.18) = 8.23 = 2 i=1 2

Obvod s PI regulátorem má tedy podle kvadratického kritéria témˇeˇr dvojnásobnˇe vˇetˇs´ı kvalitu regulaˇcn´ıho dˇeje. ˇ sen´ı ad c) Pro pˇrenos otevˇrené smyˇcky v tomto pˇr´ıpadˇe plat´ı Reˇ F0 (p) = a pro obraz odchylky E(p) =

2 p(0.5p + 1)

0.5p + 1 0.5p2 + p + 2

Opˇet provedeme redukci jmenovatele a ˇcitatele podle Nekolného algoritmu. 0.5 1 2 α1 = 0.5 −0.5 1 2 α2 = 0.5 −1

0.5 1 β1 = 0.5 −0.5 1 β2 = 0.5

Obdobnˇe jako v minulém pˇr´ıpadˇe plat´ı αi = βi , a proto bude 2

Ik3

1X 1 = βi = (0.5 + 0.5) = 0.5 2 i=1 2


101

Obvod s PID regulátorem v tomto pˇr´ıkladˇe vykazuje podle kvadratického kritéria v´ yrazné zlepˇsen´ı kvality regulaˇcn´ıho dˇeje ve srovnán´ı s I a PI regulátory. Je zaj´ımavé, ˇze nám ve vˇsech tˇrech pˇr´ıpadech vyˇsly stejné koeficienty αi = βi . Nen´ı tˇeˇzké dokázat, ˇze k tomuto jevu docház´ı vˇzdy, pokud je ˇcitatel pˇrenosu otevˇrené smyˇcky F0 (p) roven konstantˇe (nemá nuly). Plyne to pˇr´ımo z rovnice (7.8), kde se potom shoduje ˇcitatel s jmenovatelem aˇz na absolutn´ı ˇclen. Pro regulaˇcn´ı systémy bez astatismu v otevˇreném obvodˇe plat´ı, ˇze maj´ı nenulovou ustálenou odchylku. Abychom dostali smyslupln´ y v´ ysledek kvadratického kritéria, mus´ıme provést v´ ypoˇcet z upravené odchylky e¯(t) = e(t) − e(∞) Rovnost koeficient˚ u αi = βi v tomto pˇr´ıpadˇe nenastane nikdy, jak se snadno pˇresvˇedˇc´ıme pˇrevodem do Laplaceovy transformace a dosazen´ım (7.9). F0 (p) = Fe (p) =

bn

pn

k + · · · + b1 p + b0

bn p n + · · · + b1 p + b0 bn p n + · · · + b1 p + b0 + k

bn p n + · · · + b1 p + b0 1 E(p) = Fe (p) = p bn pn+1 + · · · + b1 p2 + (b0 + k)p

bn [1 − e(∞)]pn + · · · + b1 [1 − e(∞)]p + b0 [1 − e(∞)] e(∞) ¯ == E(p) = E(p) − p bn pn+1 + · · · + b1 p2 + (b0 + k)p

Z v´ yˇse uvedeného rozboru plat´ı následuj´ıc´ı zjednoduˇsen´ı. Pokud je ˇcitatel F0 (p) roven konstantˇe a jmenovatel obsahuje astatismus alespoˇ n prvn´ıho ˇrádu, pro v´ ypoˇcet kvadratického kritéria staˇc´ı provést pouze redukci jmenovatele a pouˇz´ıt vzorec 2

1X JK = αi 2 i=1

(protoˇze αi = βi )

Pˇ r´ıklad 7.3 Pˇrenos otevˇreného obvodu je F0 (p) =

2(3p + 1) + 1)

p2 (0.1p

Vypoˇctˇete kvadratickou regulaˇcn´ı plochu. Obraz odchylky je E(p) =

0.1p2 + p 0.1p3 + p2 + 6p + 2

Provedeme redukci ˇcitatele a jmenovatele. Protoˇze v obrazu odchylky chyb´ı absolutn´ı ˇclen v ˇcitateli, mus´ıme na jeho m´ısto napsat nulu.


0.1 1 −0.1

6

102

2

α1 = 0.1

0.1 1 0 β1 = 0.1 −0.1 −0.2 1 −0.2 β2 = 0.17 −1 −0.2 β3 = −0.1

−0.2 1 5.8 2 α2 = 0.17 −1 5.8 2 α3 = 2.9

1 JK = (0.1 + 0.17 + 0.0034) = 0.14 2 Pˇ r´ıklad 7.4 K soustavˇe s pˇrenosem Fs (p) =

0.4 (3p + 1)3

je pˇripojen regul´ ator typu P, se zes´ılen´ım KR = 6. Vypoˇctˇete velikost kvadratické regulaˇcn´ı plochy. Pˇrenos otevˇreného obvodu je F0 (p) = KR Fs (p) =

2.4 (3p + 1)3

a obraz odchylky pˇri skokové zmˇenˇe ˇr´ızen´ı o jedniˇcku je 1 27p3 + 27p2 + 9p + 1 1 (3p + 1)3 = E(p) = p (3p + 1)3 + 2.4 p 27p3 + 27p2 + 9p + 3.4 Ustálená odchylka bude podle vˇety limt→∞ e(t) = limp→0 pE(p) rovna e(∞) = 1/3.4 = 0.294. Mus´ıme proto vytvoˇrit Laplace˚ uv obraz modifikované odchylky e¯(t) = e(t) − 0.294 1 27p3 + 27p2 + 9p + 1 0.294 19.06p2 + 19.06p + 6.35 0.294 ¯ = − = E(p) = E(p) − p p 27p3 + 27p2 + 9p + 3.4 p 27p3 + 27p2 + 9p + 3.4 Teprve na tento obraz budeme aplikovat Nekolného algoritmus. 27 27 −27

9

3.4

α1 = 1

−3.4 27 5.6 3.4 α2 = 4.82 −27 5.6 3.4 α3 = 1.65

19.06 19.06 6.35 β1 = 0.71 −19.06 −2.41 19.06 3.94 β2 = 3.4 −19.06 3.94 β3 = 1.16

1 JK = (0.5 + 2.4 + 0.82) = 1.86 2


7.1.3

103

ITAE krit´ erium

Nev´ yhodou kvadratického kritéria je kmitav´ y v´ ysledek odezvy s relativnˇe vysok´ ym pˇrekmitem. Tuto nev´ yhodu odstraˇ nuje dalˇs´ı z integráln´ıch kritéri´ı a to ITAE. Název ITAE vycház´ı z anglického Integral of Time multiplied by Absolute value of Error. Kritérium ITAE je definováno vztahem Z ∞ |e(t) − e(∞)|t dt (7.11) JIT AE = 0

e(t) e(0) JIT AE

e(∞)

t

Obr´ azek 7.5: Hodnota ITAE kritéria kde e(t) je ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh regulaˇcn´ı odchylky, e(∞) je trvalá ustálená odchylka a t je ˇcas. V pˇr´ıpadˇe nulové trvalé ustálené odchylky se kritérium zjednoduˇs´ı na tvar Z ∞ JIT AE = |e(t)|t dt (7.12) 0

ITAE patˇr´ı mezi váhová kritéria. Váha odchylky nar˚ ustá lineárnˇe s ˇcasem. Analytick´ y v´ ypoˇcet prakticky nen´ı moˇzn´ y kv˚ uli pˇr´ıtomnosti nelineárn´ı funkce absolutn´ı hodnoty. Pro v´ ypoˇcet ITAE kritéria se pouˇz´ıvá simulace viz. obrázek 7.6. Z odchylky je nejprve provedena absolutn´ı hodnota. Poté je vynásobena ˇcasem, kter´ y je v daném schématu realizován integrátorem s jednotkov´ ym vstupem. V´ ysledek násoben´ı se vede na integrátor, na jehoˇz v´ ystupu je po odeznˇen´ı pˇrechodného dˇeje v´ ysledek ITAE kritéria. Integrace se v praxi nepoˇc´ıtá do t → ∞, ale skonˇc´ı se v ˇcase, kdy se jiˇz hodnota kritéria nemˇen´ı. Ikdyˇz nen´ı moˇzné ITAE kritérium vyjádˇrit analytick´ ym v´ ypoˇctem, tak se dá pouˇz´ıt hodnot z´ıskan´ ych z opakovan´ ych simulac´ı pro ladˇen´ı konstant regulátoru pomoc´ı gradientn´ıch metod nebo metod nelineárn´ı optimalizace. V pˇr´ıpadˇe, ˇze je moˇzné experimentovat se skuteˇcn´ ym zaˇr´ızen´ım, je moˇzné brát odchylku e(t) pˇr´ımo ze vstupu regulátoru. 7.1.4


Pˇ r´ıklad 7.5 K soustavˇe s pˇrenosem Fs (p) =

0.4 (3p + 1)3


104

w(t)

e(t)

y(t) FR (p)

FS (p)

abs(·)

1

JIT AE

R

×

R

Obr´ azek 7.6: Blokové schéma vyhodnocuj´ıc´ı ITAE kritérium je pˇripojen regul´ ator typu I, s pˇrenosem FR (p) = KpI . Pomoc´ı simulace v Simulinku urˇcete hodnotu ITAE kritéria pro tˇri r˚ uzn´ a zes´ılen´ı KI = 0.1, KI = 0.2 a KI = 0.3

Cas

1 s |u|

Nasobicka

Integrator

ITAE

Abs

w

0.16

0.4/27

s

(s+1/3)(s+1/3)(s+1/3)

I Regulator

Soustava

y

Obr´ azek 7.7: Simulinkovské schéma pro vyhodnocen´ı ITAE kritéria Simulaˇcn´ı schéma je ukázáno na obrázku 7.7. Kromˇe soustavy a regulátoru, které jsou uzavˇreny zpˇetnou vazbou, je zde realizováno vyhodnocen´ı ITAE kritéria, které je blokovˇe ukázáno na obrázku 7.6. Nastav´ıme délku simulace tak, aby na konci simulace se jiˇz hodnota na v´ ystupu integrátoru v´ıce nemˇenila. V naˇsem pˇr´ıpadˇe jsme nastavili ˇcas simulace 300s. Postupnˇe mˇen´ıme zes´ılen´ı KI a z´ıskáváme v´ ysledky ITAE kritéria JIT AE (KI = 0.1) = 406.5 JIT AE (KI = 0.2) = 283.3 JIT AE (KI = 0.3) = 427.9


105

y

Vid´ıme, ˇze v rozsahu KI ∈ (0.1, 0.3) zˇrejmˇe bude leˇzet zes´ılen´ı, pro které bude hodnota ITAE kritéria minimáln´ı. Postupn´ ym zkouˇsen´ım m˚ uˇzeme doj´ıt k hodnotˇe KI = 0.16, pro kterou je hodnota kritéria JIT AE (KI = 0.16) = 266

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

50

100

150

200

250 t

Obr´ azek 7.8: Pr˚ ubˇehy v´ ystupu pro r˚ uzné hodnoty zes´ılen´ı KI ubˇehy v´ ystupn´ı veliˇciny. Plnou tuˇcnou ˇcarou je Na obrázku 7.8 jsou zobrazeny pr˚ vyznaˇcen optimáln´ı pr˚ ubˇeh. Jak je vidˇet, dává ITAE kritérium podstatnˇe lepˇs´ı v´ ysledky ’ neˇz kvadratické integráln´ı kritérium, nebot pˇrekmit je v tomto pˇr´ıpadˇe pˇrijateln´ y, stejnˇe jako celková kmitavost v´ ystupu. Teˇckovan´ y pr˚ ubˇeh odpov´ıdá zes´ılen´ı KI = 0.1, plnou tenkou ˇcarou je KI = 0.2 a ˇcárkovanˇe je pr˚ ubˇeh odpov´ıdaj´ıc´ı KI = 0.3. Pˇ r´ıklad 7.6 Pouˇzit´ım funkce fminsearch zkuste naj´ıt optimáln´ı hodnotu zes´ılen´ı KI . Funkce fminsearch vyˇzaduje jako prvn´ı parametr název funkce, jej´ıˇz vstupem je vektor parametr˚ u, pro kter´ y vrac´ı hodnotu kritéria. Jako druh´ y parametr se zadává poˇcáteˇcn´ı odhad ˇreˇsen´ı. Z tohoto d˚ uvodu mus´ıme napsat funkci eval itae, která spoˇc´ıtá hodnotu ITAE kritéria pro zadanou hodnotu zes´ılen´ı KI . Pouˇzijeme simulinkovské schéma z obrázku 7.7, kde v bloku s názvem ITAE nastav´ıme ukládán´ı vykreslovan´ ych dat do promˇenné s názvem dataITAE, která má formát pole. Samotná funkce m˚ uˇze potom vypadat následovnˇe function valITAE

= eval_itae(k_i)

open_system(’ITAE’); reg_bl = find_system(gcs,’Name’,’I Regulator’); set_param(reg_bl{1},’Numerator’,[’[’ num2str(k_i) ’]’]); sim(’ITAE’); valITAE = dataITAE(length(dataITAE),2);


106

Potom staˇc´ı zavolat funkci fminsearch se zvolen´ ym poˇcáteˇcn´ım odhadem minima, v naˇsem pˇr´ıpadˇe tˇreba 0.1 >> fminsearch(’eval_itae’,0.1) ans = 0.1601 V tomto jednoduchém pˇr´ıkladˇe jsme hledali jeden neznám´ y parametr. Samozˇrejmˇe bychom mohli pˇri pouˇzit´ı sloˇzitˇejˇs´ıho regulátoru podobn´ ym zp˚ usobem hledat nˇekolik neznám´ ych parametr˚ u. Zkuste se zamyslet nad t´ım, jak´ ym zp˚ usobem by se muselo upravit pouˇzité simulinkovské schéma, kdybychom se snaˇzili nalézt zes´ılen´ı proporcionáln´ıho regulátoru k zadané soustavˇe, které by bylo optimáln´ı z hlediska ITAE kritéria (bude v takovém uspoˇrádán´ı nulová ustálená odchylka?). 7.1.5


Ot´ azka 7.1 Jaká zn´ ate kritéria kvality regulace, které se pouˇz´ıvaj´ı v ˇcasové oblasti? Ot´ azka 7.2 Jmenujte výhody a nevýhody integráln´ıho kvadratického kritéria. Ot´ azka 7.3 Jaké jsou výhody a nevýhody ITAE kritéria. Ot´ azka 7.4 K ˇcemu se pouˇz´ıvá Nekolného doplnˇek k Routh-Schurovu kritériu stability? Popiˇste pouˇzit´ı tohoto algoritmu. Ot´ azka 7.5 Nakreslete blokov´ a schémata, kter´ a by se dala pouˇz´ıt pro urˇcen´ı kvadratického integráln´ıho kritéria a usmˇernˇené line´ arn´ı plochy.

7.2

Metoda koˇ renov´ eho hodografu

Koˇrenov´ y hodograf je zobrazen´ı pr˚ ubˇehu pól˚ u charakteristické rovnice v v závislosti na nˇejakém promˇenlivém parametru komplexn´ı rovinˇe. Vˇsechny póly se v závislosti na tomto parametru pohybuj´ı v komplexn´ı rovinˇe po kˇrivkách, které naz´ yváme vˇetve koˇrenového hodografu. Základn´ı u ´loha koˇrenového hodografu spoˇc´ıvá ve zjiˇstˇen´ı vˇetv´ı koˇrenového hodografu systému v závislosti na promˇenlivém zes´ılen´ı K = 0 · · · ∞. To odpov´ıdá stavu, kdy je soustava ˇr´ızena proporcionáln´ım regulátorem se zes´ılen´ım K a my chceme vˇedˇet, jak se zmˇen´ı poloha pól˚ u charakteristické rovnice, pokud budeme mˇenit velikost tohoto zes´ılen´ı. Mnoˇzinu pravidel, které umoˇzn´ı pˇribliˇznˇe nakreslit vˇetve koˇrenového hodografu vyvinul Walter Evans v 50 letech minulého stolet´ı a nazval ji metodou koˇrenového hodografu. Tato metoda se také naz´ yvá metoda geometrického m´ısta koˇren˚ u, protoˇze jej´ı kˇrivky urˇcuj´ı geometrická m´ısta koˇren˚ u charakteristické rovnice. Hlavn´ı d˚ uvod pro vznik této metody spoˇc´ıvá v tom, ˇze koˇreny pˇrenosu otevˇrené smyˇcky F0 (p) jsou vˇetˇsinou známé, kdeˇzto koˇreny charakteristické rovnice, které urˇcuj´ı chován´ı zpˇetnovazebn´ıho obvodu, známy nejsou a jejich ˇreˇsen´ı je ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u obt´ıˇzné. Pro potˇreby odvozen´ı metody GMK uvaˇzujme regulaˇcn´ı schéma na obrázku 7.9.


w

e

K

u

F0 (p)

107

y

Obr´ azek 7.9: Regulaˇcn´ı schéma pouˇzité pro odvozen´ı metody GMK Pro pˇrenos ˇzádané hodnoty plat´ı vztah Fw (p) =

KF0 (p) 1 + KF0 (p)

Póly tohoto pˇrenosu jsou urˇceny koˇreny charakteristické rovnice, tedy koˇreny jmenovatele 1 + KF0 (p) = 0

(7.13)

ˇ sen´ı rovnice (7.13) je obt´ıˇzné. Z tohoto jejichˇz poloha závis´ı na promˇenném zes´ılen´ı K. Reˇ hlediska je v´ yhodnˇejˇs´ı jej´ı u ´prava na 1 K Pokud je zes´ılen´ı K kladné a reálné, pak je moˇzné tuto rovnici rozepsat na dvˇe rovnice F0 (p) = −

|F0 (p)| =

1 K

∠(F0 (p)) = lich´ y násobek 180◦ = 180◦ + i360◦

(7.14) kde i = 0, 1, · · · , ∞

Uvaˇzujme, ˇze existuje bod ve kterém plat´ı druhá z tˇechto podm´ınek. Potom nezávisle na prvn´ı podm´ınce m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze tento bod je bodem koˇrenového hodografu, protoˇze bude urˇcitˇe existovat takové zes´ılen´ı K, které zajist´ı splnˇen´ı i prvn´ı podm´ınky. 7.2.1

Grafick´ e urˇ cen´ı hodnoty pˇ renosu

Pˇri stanoven´ı pravidel pro konstrukci koˇrenového hodografu budeme ˇcasto potˇrebovat graficky urˇcit hodnotu pˇrenosu v nˇejakém bodˇe. Uvaˇzujme, ˇze chceme urˇcit hodnotu pˇrenosu otevˇrené smyˇcky k(p − β1 )(p − β2 ) · · · (p − βm ) bm pm + bm−1 pm−1 + · · · + b1 p + b0 (7.15) = F0 (p) = an pn + an−1 pn−1 + · · · + a1 p + a0 (p − α1 )(p − α2 ) · · · (p − αn )

v zadaném bodˇe p = p0 . Pak F0 (p0 ) =

k(p0 − β1 )(p0 − β2 ) · · · (p0 − βm ) (p0 − α1 )(p0 − α2 ) · · · (p0 − αn )

(7.16)


108

Na kaˇzdou závorku reprezentuj´ıc´ı komplexn´ı ˇc´ıslo se také m˚ uˇzeme d´ıvat jako na vektor. Uvaˇzujme napˇr´ıklad vektor (p0 − α1 ). Jeho velikost je |p0 − α1 | a u ´hel, kter´ y sv´ırá s kladnou ˇcást´ı reálné osy je ∠(p0 − α1 ). Celá situace je znázornˇena na obrázku 7.10. Komplexn´ı ˇc´ıslo (p0 − α1 ) se dá pˇrevést na goniometrick´ y tvar

Im p0

+

α1

|p 0

−

| α1 ∠(p0 − α1 ) Re

(p0 − α1 ) = |p0 − α1 |∠(p0 − α1 )(7.17)

Jak v´ıme z matematiky, je goniometrick´ y y pro jejich Obr´ azek 7.10: V´ ypoˇcet pˇrenosu v bodˇe p0 . tvar komplexn´ıch ˇc´ısel vhodn´ vzájemné násoben´ı a dˇelen´ı. Pokud se pod´ıváme na rovnici (7.16) tak vid´ıme, ˇze se zde vyskytuj´ı právˇe a pouze tyto operace. Pˇreved’me rovnici (7.16) tak, aby se v nˇem vyskytovali komplexn´ı ˇc´ısla v goniometrickém tvaru. F0 (p0 ) =

k|p0 − β1 |∠(p0 − β1 )|p0 − β2 |∠(p0 − β2 ) · · · |p0 − βm |∠(p0 − βm ) |p0 − α1 |∠(p0 − α1 )|p0 − α2 |∠(p0 − α2 ) · · · |p0 − αn |∠(p0 − αn )

(7.18)

ˇ sen´ı rovnice s komplexn´ımi ˇc´ısly se dá rozdˇelit na dvˇe rovnice s reáln´ Reˇ ymi ˇc´ısly |F0 (p0 )| =

|k||p0 − β1 ||p0 − β2 | · · · |p0 − βm | |p0 − α1 ||p0 − α2 | · · · |p0 − αn |

(7.19)

∠(F0 (p0 )) = ∠(p0 − β1 ) + · · · + ∠(p0 − βm ) − ∠(p0 − α1 ) − · · · − ∠(p0 − αn ) (7.20) yslednému u ´hlu ∠(F0 (p0 )) muselo pˇriˇc´ıst V rovnici (7.20) uvaˇzujeme k > 0, jinak by se k v´ ◦ 180 . Pˇredchoz´ı vzorce umoˇzn´ı jednoduˇse graficky urˇcit hodnotu pˇrenosu ve zvoleném bodˇe p0 . 7.2.2

Soubor pravidel pro konstrukci koˇ renov´ eho hodografu

1. Symetrie. Koˇrenov´ y hodograf je symetrick´ y kolem reálné osy, protoˇze komplexn´ı nuly a póly se vyskytuj´ı v komplexnˇe sdruˇzen´ ych párech. 2. Poˇ cet vˇ etv´ı. Koˇrenov´ y hodograf obsahuje n vˇetv´ı. ˇ ast reálné osy je vˇetv´ı koˇrenového hodografu, pokud 3. Segmenty na re´ aln´ e ose. C´ napravo od n´ı leˇz´ı na reálné ose lich´ y poˇcet nul a pól˚ u. 4. Poˇ c´ atky a konce vˇ etv´ı. Kaˇzdá vˇetev zaˇc´ıná pro K = 0 v pólu F0 (p) a konˇc´ı pro K → ∞ v nule F0 (p). Je-li v pˇrenosu F0 (p) v´ıce pól˚ u nˇeˇz nul, pak (n − m) vˇetv´ı odcház´ı do nekoneˇcna podél pˇr´ımkov´ ych asymptot.


109

5. Poloha asymptot. yˇse zm´ınˇené pˇr´ımkové asymptoty se prot´ınaj´ı na reálné ose Pn PV´ m ◦ +i360◦ i=1 αi − i=1 βi v bodˇe σ = a sv´ıraj´ı s kladnou reálnou poloosou u ´hel ϕ = 180n−m , n−m kde i = 0, · · · , n − m − 1. 6. Pr˚ useˇ c´ık s imagin´ arn´ı osou. Hodnota K, pro kterou procház´ı vˇetve koˇrenového hodografu imaginárn´ı osou se dá urˇcit pomoc´ı algebraick´ ych kritéri´ı stability, t.j. pomoc´ı Hurwitzova nebo Routh-Schurova kritéria. ´ ´ 7. Uhel v komplexn´ı nule nebo p´ olu Uhel teˇcny se kter´ ym vycház´ı vˇeP tev koˇrenového n ◦ ◦ hodografu Pm z komplexn´ıho pólu αk se vypoˇc´ıtá jako γk = 180 +i360 − i=1,i6=k ∠(αk − αi ) + i=1 ∠(αk − βi ) Podobnˇe, u ´hel teˇcny se kter´ ym vcház´ı vˇetevPkoˇrenového hodografu do komplexn´ ı nuly β se vypoˇ c ´ ıt´ a jako δ = 180◦ + i360◦ − ni=1 ∠(βk − k k Pm αi ) + i=1,i6=k ∠(βk − βi ).

8. Pr˚ useˇ c´ık s re´ alnou osou Pr˚ useˇc´ık vˇetve koˇrenového hodografu s reálnou osou se vˇetˇsinou analyticky vyˇreˇsit nedá, ˇreˇs´ı se proto iterativnˇe (viz. Kapitola 7.2.7).

Pravidla jsou seˇrazena podle d˚ uleˇzitosti. Obecnˇe m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze prvn´ıch pˇet pravidel je pro pˇribliˇznou konstrukci koˇrenového hodografu nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch. Dalˇs´ı tˇri pouze zpˇresˇ nuj´ı tuto pˇribliˇznou konstrukci. V následuj´ıc´ıch podkapitolách si dokáˇzeme platnost v´ yˇse popsan´ ych pravidel. 7.2.3

Segmenty na re´ aln´ e ose

Body na re´ aln´ e ose jsou vˇ etv´ı koˇ renov´ eho hodografu, jestliˇ ze napravo od nich leˇ z´ı lich´ y poˇ cet nul a p´ ol˚ u pˇ renosu otevˇ ren´ e smyˇ cky F0 (p). Tato podm´ınka nám velmi jednoduˇse umoˇzn´ı urˇcit, které body reálné osy jsou vˇetv´ı koˇrenového hodografu a které nikoliv. Z obrázku 7.11 plyne, proˇc tato podm´ınka plat´ı. Vycház´ıme z toho, ˇze pokud má pˇrenos otevˇrené smyˇcky F0 (p) komplexn´ı nuly nebo póly, tak se vyskytuj´ı vˇzdy ve dvojici a to jako komplexnˇe sdruˇzené. Z obrázku 7.11 c) je vidˇet, ˇze pokud jeden pól (nula) z této dvojice pˇrisp´ıvá u ´hlem ϕ = φ, tak druh´ y z dvojice ◦ pˇrisp´ıvá u ´hlem ϕ = −φ. V´ ysledn´ y pˇr´ıspˇevek této dvojice je tedy 0 . Pokud chceme vypoˇc´ıtat hodnotu pˇrenosu uzavˇrené smyˇcky v nˇejakém bodˇe na reálné ose a zaj´ımá nás pˇr´ıspˇevek u ´hlu od nˇejakého pólu pˇrenosu otevˇrené smyˇcky F0 (p), kter´ y rovnˇeˇz leˇz´ı na reálné ose, pak záleˇz´ı na tom, jestli je tento bod nalevo nebo napravo od pólu. Je-li nalevo, pak je pˇr´ıspˇevek dan´ yu ´hlem 180◦ (7.11 a)). Je-li napravo, pak je pˇr´ıspˇevek zmˇeny u ´hlu 0◦ (7.11 b)). To stejné plat´ı v pˇr´ıpadˇe, kdy sledujeme pˇr´ıspˇevek od nuly pˇrenosu otevˇrené smyˇcky F0 (p). Aby byl testovan´ y bod bodem koˇrenového hodografu, pak zde mus´ı celkov´ yu ´hel vyhovovat podm´ınce 180◦ ± i360◦ . Tato podm´ınka je splnˇena v pˇr´ıpadˇe, ˇze je nalevo od testovaného bodu lich´ y poˇcet nul nebo pól˚ u. Je jedno, jestli do tohoto poˇctu zahrnujeme komplexnˇe sdruˇzené nuly ˇci póly, nebot’ jejich spoleˇcn´ y pˇr´ıspˇevek ◦ je 0 , jak bylo ukázáno v´ yˇse. 7.2.4

Poˇ c´ atky a konce vˇ etv´ı

Vˇ etve koˇ renov´ eho hodografu jsou spojit´ e kˇ rivky, kter´ e zaˇ c´ınaj´ı v n p´ olech pˇ renosu otevˇ ren´ e smyˇ cky F0 (p) pro K = 0. m vˇ etv´ı koˇ renov´ eho hodografu se


110

Im

Im

b)

Re

p0

Re

Re

+

+

ϕ = −φ

ϕ = 0◦ p0 +

ϕ = 180◦

p0

Im

c) +

a)

ϕ=φ

Obr´ azek 7.11: Pˇr´ıspˇevek k u ´hlu v testovac´ım bodˇe na reálné ose pro K → ∞ bl´ıˇ z´ı m nul´ am pˇ renosu F0 (p). Protoˇ ze vˇ etˇ sinou plat´ı, ˇ ze n > m, pak se zb´ yvaj´ıc´ı vˇ etve vzdaluj´ı od poˇ c´ atku do nekoneˇ cna. Pˇ r´ıklad 7.7 Mˇejme pˇrenos otevˇrené smyˇcky F0 (p) =

p+3 (p + 1)(p + 4)

Nakreslete pr˚ ubˇeh vˇetv´ı koˇrenového hodografu. ˇ sen´ı tohoto pˇr´ıkladu je ukázáno na obrázku 7.12. Reˇ Im

n1

+

p2

p+3 (p + 1)(p + 4) bc

+

F0 (p) =

p1

Re

Obr´ azek 7.12: Pˇr´ıklad demonstruj´ıc´ı poˇcátek a konec vˇetv´ı koˇrenového hodografu

7.2.5

Smˇ er asymptot

Uvaˇzujme, ˇze pˇrenos otevˇrené smyˇcky F0 (p) má n pól˚ u a m nul. Pro hodnotu zes´ılen´ı k jdouc´ı do nekoneˇ cna, m p´ ol˚ u konverguje k nul´ am. Zbytek p´ ol˚ u, t.j. n − m konverguje do nekoneˇ cna. Jejich konvergence nen´ı


111

n´ ahodn´ a. P´ oly se pohybuj´ı tak, ˇ ze se bl´ıˇ z´ı k pˇ r´ımkov´ ym asymptot´ am, jejichˇ z u ´ hel je urˇ cen n´ asleduj´ıc´ı rovnic´ı 180◦ + i360◦ ϕ= n−m

pro i = 0, · · · , n − m − 1

(7.21)

Im p0

ϕ

+

++

p1 bc p2 n 1 p3

Re

Obr´ azek 7.13: V´ ypoˇcet pˇrenosu v bodˇe vzdáleném od vˇsech nul a pól˚ u Proˇc tomu tak opravdu je, ukazuje obrázek 7.13. Pokud je bod p0 dostateˇcnˇe vzdálen od vˇsech pól˚ u a nul pˇrenosu otevˇrené smyˇcky, pak u ´hel vektor˚ u, které jsou dány jednotliv´ ymi póly a bodem p0 je pro vˇsechny póly pˇribliˇznˇe stejn´ y, roven u ´hlu ϕ. Stejnˇe to plat´ı i s ´ uu ´hl˚ u nul nulami. Uhel pˇrenosu uzavˇrené smyˇcky je podle (7.20) dán souˇctem pˇr´ıspˇevk˚ od kterého se odeˇc´ıtá pˇr´ıspˇevek u ´hl˚ u pól˚ u. V naˇsem pˇr´ıpadˇe pˇribliˇznˇe plat´ı mϕ − nϕ = (m − n)ϕ = −(n − m)ϕ Pokud je asymptota m´ıstem koˇrenového hodografu, pak zde plat´ı podm´ınka (7.14) −(n − m)ϕ = 180◦ ± i360◦ i násobek u ´hlu 360◦ je zde proto, abychom postihli vˇsechny ˇreˇsen´ı, nebot’ asymptot, které jdou do nekoneˇcna, je n − m. Vyjádˇren´ım ϕ z minulé rovnice z´ıskáme rovnici (7.21). Uved’me si pro osvojen´ı nˇekolik pˇr´ıklad˚ u. V pˇr´ıpadˇe, ˇze je rozd´ıl n − m = 1, pak je asymptota záporná reálná poloosa. Pro pˇr´ıpad n − m = 2 jsou asymptoty dvˇe, obˇe jsou rovnobˇeˇzné s imaginárn´ı osou. Obecnˇe lze ˇr´ıci, ˇze asymptoty jsou rozm´ıstˇeny symetricky kolem reálné osy. Vytváˇr´ı pravidelnou hvˇezdici s n − m c´ıpy, protoˇze u ´hly mezi asymptotami jsou stejné, která je symetrická kolem reálné osy, protoˇze i cel´ y koˇrenov´ y hodograf je takto symetrick´ y. 7.2.6

Stˇ red asymptot

Stˇ red asymptot leˇ z´ı na re´ aln´ e ose v bodˇ e Pn Pm αi − i=1 βi σ = i=1 n−m

(7.22)


112

Stˇred asymptot má smysl poˇc´ıtat pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze n − m > 1. Pokud n = m, konˇc´ı vˇsechny póly v nulách pˇrenosu F0 (p). Pro n − m = 1 nám jeden pól odcház´ı po reálné ose do −∞, takˇze zde také ˇzádn´ y stˇred nen´ı. Skuteˇcnost, ˇze stˇred asymptot leˇz´ı na reálné ose nás nijak nepˇrekvapuje, protoˇze koˇrenov´ y hodograf je symetrick´ y kolem reálné osy. Pˇri odvozen´ı polohy stˇredu asymptot vyjdeme z rovnic (7.13) a (7.16). Jejich slouˇcen´ım dostaneme 1+K

k(p − β1 )(p − β2 ) · · · (p − βm ) =0 (p − α1 )(p − α2 ) · · · (p − αn )

(7.23)

Roznásoben´ım ˇcitatele a jmenovatele dostaneme P m−1 k(pm − m + ···) i=1 βi p P 1+K =0 n n n−1 p − i=1 αi p + ···

(7.24)

Nyn´ı podˇel´ıme jmenovatele ˇcitatelem (dˇel´ımeme polynom polynomem)

n

p −

n X

αi p

n−1

i=1

m

+ ··· : p −

m X i=1

βi pm−1 + · · · = = pn−m + (−

n X

αi +

i=1

m X i=1

βi )pn−m−1 + · · · (7.25)

Dosazen´ım (7.25) do rovnice (7.24) dostaneme 1+

pn−m

+ (−

Kk Pm =0 n−m−1 + · · · i=1 αi + i=1 βi )p

Pn

(7.26)

Pokud budeme uvaˇzovat velké p, pak se dá jmenovatel pˇribliˇznˇe nahradit prvn´ımi dvˇema ˇcleny. Chceme urˇcit σ jako pr˚ useˇc´ık asymptot s reálnou osou. Uvaˇzujme, ˇze vˇsechny vektory jdouc´ı do bodu p0 vycházej´ı ze stejného bodu (vˇsechny nuly a póly leˇz´ı v bodˇe σ). Pro velké p0 to pˇribliˇznˇe plat´ı (podle obrázku 7.13) a proto m˚ uˇzeme psát (p − σ)m Kk 1 + Kk = 1 + =0 (p − σ)n (p − σ)n−m

(7.27)

Roznásoben´ım jmenovatele dostaneme 1+

pn−m

Kk =0 − (n − m)σpn−m−1 + · · ·

(7.28)

Nyn´ı m˚ uˇzeme srovnán´ım rovnic (7.26) a (7.28) a s uvaˇzován´ım pouze prvn´ıch dvou ˇclen˚ u z´ıskat rovnici (n − m)σ =

n X i=1

αi −

m X

βi

i=1

useˇc´ıku asymptot. Vyjádˇren´ım σ z´ıskáme rovnici (7.22) pro polohu pr˚ Na vypoˇc´ıtan´ y stˇred asymptot σ se m˚ uˇzeme d´ıvat jako na tˇeˇziˇstˇe.

(7.29)


7.2.7

113

Pr˚ useˇ c´ık s re´ alnou osou

Existuj´ı dva typy pr˚ useˇc´ık˚ u vˇetv´ı koˇrenového hodografu s reálnou osou. U prvn´ıho typu z reálné osy vˇetve vycházej´ı (rozvˇetven´ı), u druhého do n´ı naopak vcházej´ı. Prvn´ı typ nastává v bodˇe mezi dvˇema póly na reálné ose, mezi kter´ ymi nen´ı nula a od kterého napravo leˇz´ı lich´ y poˇcet nul a pól˚ u. Druh´ y typ nastává v bodˇe mezi dvˇema nulami na reálné ose nebo mezi nulou na reálné ose a nekoneˇcnem. Opˇet mus´ı platit ˇze mezi nimi nen´ı ˇzádn´ y pól a ˇze napravo od nˇej leˇz´ı lich´ y poˇcet nul a pól˚ u. Pro v´ ypoˇcet vzdálenosti pr˚ useˇc´ıku od poˇcátku x pˇredpokládejme, ˇze jsme v bodˇe nad pr˚ useˇc´ıkem, v malé vzdálenosti od reálné osy ∆. Pak podle rovnice 7.21 pro u ´hly dostaneme −

n X i=1

∠(p − αi ) +

m X i=1

∠(p − βi ) = 180◦ + i360◦

kde p = x + j∆

(7.30)

´ Uhly m˚ uˇzeme nahradit funkc´ı arctg pomˇeru imaginárn´ı a reálné sloˇzky jednotliv´ ych vek. tor˚ u. Protoˇze ∆ je malé, plat´ı pˇribliˇznˇe arctg(α) = α. Po vydˇelen´ı ∆ dostaneme n X i=1

m

X 1 1 − =0 x − αi x − βi i=1

(7.31)

Tuto rovnici lze obvykle ˇreˇsit pouze iterativnˇe, t.j. zkusm´ ym dosazen´ım pˇredpokládané hodnoty a pak postupn´ ymi opravami pˇredpokladu. Napˇr´ıklad se dá pouˇz´ıt metoda p˚ ulen´ı interval˚ u. Pˇ r´ıklad 7.8 Metodou koˇrenového hodografu dokaˇzte, ˇze systém s pˇrenosem otevˇreného obvodu K(p + 4) F0 (p) = p(p + 10)(p + 1) je stabiln´ı pro jakékoliv kladné zes´ılen´ı K. Stupeˇ n polynomu jmenovatele, tedy ˇrád systému je n = 3. Koˇrenov´ y hodograf bude obsahovat tˇri vˇetve. Stupeˇ n polynomu ˇcitatele je m = 1. Relativn´ı ˇrád pˇrenosu otevˇrené smyˇcky je tedy roven n − m = 2. Dvˇe vˇetve koˇrenového hodografu p˚ ujdou ze dvou pól˚ u do nekoneˇcna. Vˇsechny nuly a póly leˇz´ı na reálné ose n1 = −4, p1 = 0, p2 = −1 a p3 = −10. Jednotlivé koˇreny nám rozdˇel´ı reálnou osu na u ´seky, z nichˇz ty které maj´ı napravo lich´ y poˇcet koˇren˚ u jsou vˇetv´ı koˇrenového hodografu. V naˇsem pˇr´ıpadˇe se jedná o u ´seky (−1, 0) uˇzeme vypoˇc´ıtat stˇred asymptot a (−10, −4). Pouˇzit´ım vzorce (7.22) m˚ Pn Pm 0 − 1 − 10 + 4 i=1 αi − i=1 βi σ= = = −3.5 n−m 2 ´hel asymptot Dále m˚ uˇzeme pomoc´ı rovnice 7.21 spoˇc´ıtat u ϕ=

180◦ + i360◦ 180◦ + i360◦ = n−m 2


114

Pro i = 0 dostaneme ϕ1 = 90◦ a pro i = −1 dostaneme ϕ2 = −90◦ . Pro dalˇs´ı hodnoty parametru i bychom dostávali stejné u ´hly. Asymptotami jsou tedy polopˇr´ımky rovnobˇeˇzné s imaginárn´ı osou, zaˇc´ınaj´ıc´ı v bodˇe [−3.5; 0]. Dva póly, které se potkaj´ı na intervalu (−1; 0) se s rostouc´ım zes´ılen´ım K odpoj´ı od reálné osy a zaˇcnou se bl´ıˇzit dˇr´ıve popsan´ ym asymptotám. Protoˇze ˇzádná vˇetev koˇrenového hodografu neprocház´ı pravou polorovinou komplexn´ı roviny p, je zadan´ y pˇrenos otevˇrené smyˇcky stabiln´ı pro vˇsechna kladná zes´ılen´ı. T´ım jsme splnili poˇzadavek zadán´ı. Vˇetve koˇrenového hodografu m˚ uˇzeme vidˇet na obrázku 7.15. Pˇ r´ıklad 7.9 Nakreslete pr˚ ubˇeh vˇetv´ı koˇrenového hodografu systému s pˇrenosem otevˇrené smyˇcky K(p + 1) F0 (p) = (p + 2)(p + 3) Povˇsimnˇete si tvaru pˇrenosu uzavˇrené smyˇcky. Im

−3

−2

bc

p+1 (p + 2)(p + 3) +

+

F0 (p) = K

−1

Re

Obr´ azek 7.14: Obrázek k pˇr´ıkladu 7.9 Nen´ı tˇeˇzké ukázat, ˇze obˇe vˇetve koˇrenového hodografu leˇz´ı na reálné ose. Prvn´ı leˇz´ı na intervalu (−2; −1), kde nám jeden pól odcház´ı do nuly a druhá leˇz´ı na intervalu (−∞; −3), kde nám druh´ y pól odcház´ı do −∞. Na základˇe tˇechto u ´vah a na základˇe znalost´ı vztahu mezi dominantn´ımi póly a rychlost´ı odezvy systému bychom mohli ˇr´ıci, ˇze zmˇenou zes´ılen´ı nem˚ uˇzeme zrychlit chován´ı zpˇetnovazebn´ıho obvodu, protoˇze zde bude dominantn´ı pól bl´ıˇz´ıc´ı se do bodu −1. Pokud si ale nap´ıˇseme pˇrenos ˇr´ızen´ı Fw (p) =

K(p + 1) (p + 2)(p + 3) + K(p + 1)

tak zjist´ıme, ˇze se v tomto pˇrenosu vyskytuje také nula p˚ uvodn´ıho pˇrenosu, která se s t´ımto dominantn´ım pólem pro vysoké zes´ılen´ı K zkrát´ı a v´ ysledn´ y pˇrenos ˇr´ızen´ı se dá pˇribliˇznˇe nahradit pˇrenosem prvn´ıho ˇrádu . Fw (p) =

K p+K

V Matlabu si tuto skuteˇcnost m˚ uˇzete ovˇeˇrit pomoc´ı pˇr´ıkaz˚ u


115

>> Fp = zpk([-1],[-2 -3],1); >> feedback(Fp*1000,1,-1) Zero/pole/gain: 1000 (s+1) -----------------(s+1.002) (s+1004) 7.2.8


V programu Matlab existuje pˇr´ıkaz rltool, kter´ y otevˇre sisotool se zobrazen´ım pr˚ ubˇehu koˇrenového hodografu. Pomoc´ı tohoto nástroje lze interaktivnˇe pˇridávat nuly a póly do regulátoru a nastavovat zes´ılen´ı regulátoru tak, aby dominantn´ı póly uzavˇreného obvodu leˇzely co nejv´ıce vlevo od imaginárn´ı osy a aby leˇzely ve v´ yseˇci, která vyhovuje poˇzadovanému tlumen´ı. Pˇ r´ıklad 7.10 Pomoc´ı pˇr´ıkazu rltool vyˇreˇste pˇredchoz´ı pˇr´ıklad Nejprve nadefinujeme pˇrenos otevˇrené smyˇcky v Matlabu >> F0 = zpk([-4],[-1 -10 0],1) Zero/pole/gain: (s+4) -------------s (s+1) (s+10) Potom zavoláme pˇr´ıkaz >> rltool(F0) ten zp˚ usob´ı otevˇren´ı okna, které je vidˇet na obrázku 7.15. Zde je pˇr´ımo vidˇet, ˇze ˇzádná vˇetev koˇrenového hodografu nezasahuje do pravé poloroviny komplexn´ı roviny p a tud´ıˇz je dan´ y pˇrenos otevˇrené smyˇcky stabiln´ı pro libovolné zes´ılen´ı K. 7.2.9


Ot´ azka 7.6 Vysvˇetlete princip metody koˇrenového hodografu. K ˇcemu se pouˇz´ıvá? Ot´ azka 7.7 Jaká je podm´ınka toho, ˇze bod na reálné ose je souˇcást´ı vˇetve koˇrenového hodografu? Ot´ azka 7.8 Na ˇcem z´ avis´ı poˇcet vˇetv´ı koˇrenového hodografu. Ot´ azka 7.9 Kde zaˇc´ınaj´ı a kde konˇc´ı vˇetve koˇrenového hodografu? Ot´ azka 7.10 Podle které osy je koˇrenový hodograf symetrický a proˇc? Ot´ azka 7.11 Napiˇste vzorec pro výpoˇcet stˇredu asymptot. Ot´ azka 7.12 Napiˇste vzorec pro výpoˇcet smˇeru asymptot.


116

Obr´ azek 7.15: Okno po spuˇstˇen´ı rltool-u 7.2.10

Neˇ reˇ sen´ e pˇ r´ıklady

´ Ukol 7.1 Sestrojte koˇrenový hodograf, pokud je pˇrenos otevˇrené smyˇcky roven F0 (p) =

k0 (p + 1) p(p + 2)(p2 + 10p + 26)

´ Ukol 7.2 Naˇcrtnˇete koˇrenový hodograf diskrétn´ıho systému, jehoˇz pˇrenos otevˇreného obvodu je k0 (z + 2) F0 (p) = (z − 1)(z + 0.5) Proved’te rozbor dynamických vlastnost´ı. Rozhodnˇete, zda je moˇzné zmˇenou zes´ılen´ı k0 dos´ ahnout um´ıstˇen´ı vˇsech pól˚ u do poˇcátku, coˇz odpov´ıdá koneˇcnému poˇctu krok˚ u impulsové charakteristiky uzavˇreného obvodu.

7.3

Anal´ yza pomoc´ı frekvenˇ cn´ıch charakteristik

Poˇzadavky na tvar frekvenˇcn´ıch charakteristik uzavˇreného obvodu pro ˇr´ızen´ı a poruchu lze shrnout do následuj´ıc´ıch bod˚ u • Frekvenˇ cn´ı charakteristika pˇ renosu ˇ r´ızen´ı Fw (jω) by mˇ ela m´ıt amplitudu rovnou jedn´ e aˇ z do co nejvyˇ sˇ s´ıch frekvenc´ı a nav´ıc by mˇ ela b´ yt bez rezonanˇ cn´ıch pˇ rekmit˚ u. Poˇzadavek na to j´ıt do co nejvyˇsˇs´ıch frekvenc´ı je analogické poˇzadavku na co nejvyˇsˇs´ı rychlost odezvy uzavˇreného obvodu na zmˇenu ˇr´ıdic´ı


117

veliˇciny. Rezonanˇcn´ı pˇrekmit souvis´ı s kmitavost´ı uzavˇreného obvodu (vzpomeˇ nte si na frekvenˇcn´ı charakteristiky systému druhého ˇrádu pro r˚ uzné hodnoty tlumen´ı). • Amplituda frekvenˇ cn´ı charakteristiky pˇ renosu poruchy Fu (jω) by mˇ ela b´ yt co nejmenˇ s´ı v cel´ em rozsahu frekvenc´ı.To odpov´ıdá poˇzadavku na potlaˇcen´ı poruchy na vˇsech frekvenc´ıch. Anal´ yza dynamick´ ych vlastnost´ı obvodu se vˇetˇsinou neprovád´ı z frekvenˇcn´ı charakteristiky uzavˇreného obvodu, nebot’ ˇcasto nen´ı k dispozici. Proto pracujeme s frekvenˇcn´ı charakteristikou otevˇreného obvodu F0 (jω), jako pˇri rozboru stability. Plat´ı zde stejné v´ yhody a nev´ yhody, jako pˇri zjiˇst’ován´ı stability pomoc´ı Nyquistova kritéria. V´ yhodou je to, ˇze nemus´ıme znát analytick´ y popis regulované soustavy, protoˇze nám postaˇc´ı experimentálnˇe zjiˇstˇená data. Nev´ yhodou je grafick´ y zp˚ usob ˇreˇsen´ı, kter´ y je pracn´ y a obt´ıˇznˇe algoritmizovateln´ y. Dalˇs´ı nev´ yhodou je fakt, ˇze poˇzadavky na dynamické chován´ı regulaˇcn´ıho obvodu jsou vˇetˇsinou zadány v ˇcasové oblasti, takˇze je nutné je nejprve pˇrevést na poˇzadavky na tvar frekvenˇcn´ıch charakteristik. Pˇri ˇreˇsen´ı stability uzavˇrené smyˇcky pomoc´ı Nyquistova kritéria pro nás byl d˚ uleˇzit´ y bod -1, kter´ y pro nás pˇredstavoval mez stability. V této ˇcásti se dostáváme ponˇekud dále. Nebude nás zaj´ımat pouze rozliˇsen´ı, zda je uzavˇrená smyˇcka stabiln´ı ˇci nikoliv, ale nav´ıc se budeme zab´ yvat t´ım, jak daleko jsme od nestability. Jin´ ymi slovy jak daleko je frekvenˇcn´ı charakteristika otevˇreného obvodu od bodu -1. Pro posouzen´ı se pouˇz´ıvaj´ı pojmy zásoba stability v amplitudˇe, zásoba stability ve fázi a zásoba stability v modulu. V´ yznam tˇechto pojm˚ u si vysvˇetl´ıme v následuj´ıc´ıch podkapitolách. 7.3.1

Z´ asoba stability v amplitudˇ e

Zásoba stability v amplitudˇe je taková hodnota zes´ılen´ı, se kterou kdyˇz vynásob´ıme stávaj´ıc´ı zes´ılen´ı otevˇrené smyˇcky, tak pˇrivede uzavˇrenou smyˇcku na mez stability. B´ yvá oznaˇcována také jako amplitudová bezpeˇcnost . Udává se ve formˇe násob´ıc´ıho faktoru nebo v decibelech. Na obrázku 7.16 je ukázáno, ˇze amplitudová bezpeˇcnost je pˇrevrácenou hodnotou vzdálenosti pr˚ useˇc´ıku frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇrené smyˇcky se zápornou ˇcást´ı reálné osy od poˇcátku. 7.3.2

Z´ asoba stability ve f´ azi

Zásoba stability ve fázi je zápornˇe vzatá zmˇena fáze otevˇreného obvodu, která pˇrivede uzavˇren´ y obvod na mez stability. B´ yvá oznaˇcována také jako fázová bezpeˇcnost . Na obrázku 7.16 je vyznaˇcena fázová bezpeˇcnost, jako u ´hel mezi zápornou reálnou osou a pˇr´ımkou procházej´ıc´ı poˇcátkem a pr˚ useˇc´ıkem frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇrené smyˇcky s kruˇznic´ı se stˇredem v poˇcátku a amplitudou 1. Frekvence, pˇri které dojde k tomuto pr˚ useˇc´ıku se naz´ yvá kmitoˇcet ˇrezu ωˇr. 7.3.3

Z´ asoba stability v modulu

Zásoba stability v modulu je definována jako nejkratˇs´ı vzdálenost frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇrené smyˇcky od bodu -1 v komplexn´ı rovinˇe. Geometricky to odpov´ıdá polomˇeru


118

kruˇznice se stˇredem v bodˇe -1, která se dot´ yká frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇrené smyˇcky, ale neprot´ıná ji. Zásoba stability v modulu je znázornˇena na obrázku 7.16. Je silnˇejˇs´ım kritériem, neˇz amplitudová a fázová bezpeˇcnost. Pokud je totiˇz dána zásoba stability v modulu, pak nám zároveˇ n urˇcuje jistou hodnotu amplitudové a fázové bezpeˇcnosti. Opak samozˇrejmˇe neplat´ı. Napˇr´ıklad zvolené MM = 0.5 automaticky znamená MG = 2 a MP = 29◦ . Pod´ıváme-li se do Tabulky 7.1, vid´ıme, ˇze jsou to mezn´ı hodnoty zásob stability, které se v praxi pouˇz´ıvaj´ı. Pro bliˇzˇs´ı vysvˇetlen´ı se pod´ıvejme na obrázek 7.17. Zde jsou ukázány tˇri pr˚ ubˇehy frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇrené smyˇcky a zvolené hranice zásob stability, které vyhovuj´ı podm´ınkám pro jejich typické nastavován´ı (tabulka 7.1). Ikdyˇz F02 splˇ nuje poˇzadavek na zásobu stability ve fázi, je zásoba stability v amplitudˇe velmi malá a proto nevyhovuj´ıc´ı. Naproti tomu F03 splˇ nuje poˇzadavek na zásobu stability v amplitudˇe, ale zásoba stability ve fázi je nevyhovuj´ıc´ı. Vˇsimnˇete si, ˇze oba tyto pr˚ ubˇehy nevyhovuj´ı zásobˇe stability v modulu. Vˇsem poˇzadavk˚ um na zásoby stability vyhovuje pouze pr˚ ubˇeh F01 . 7.3.4

Z´ asoba stability ve zpoˇ zdˇ en´ı

Tento parametr je v tˇesné souvislosti s fázovou bezpeˇcnost´ı. Jak v´ıme z pˇredchoz´ıho kurzu, dopravn´ı zpoˇzdˇen´ı Td nezp˚ usobuje zmˇenu amplitudy, ale pouze zmˇenu fáze φ, která je pˇr´ımo u ´mˇerná frekvenci ω. φ = Td ω M˚ uˇzeme proto pˇrevést fázovou bezpeˇcnost MP na zásobu stability ve zpoˇzdˇen´ı MD pomoc´ı vzorce MP MD = ωˇr Im

1 MG

MM −1

1 Re MP

ωˇr F0 (jω)

Obr´ azek 7.16: Vysvˇetlen´ı pojm˚ u Typické hodnoty v´ yˇse popsan´ ych parametr˚ u jsou shrnuty v tabulce 7.1.


119

Im

∼ MM = 0.5

∼ MG = 2.5

−1 F03 (jω)

1 Re

∼ MP = 45◦ F02 (jω) F01 (jω)

Obr´ azek 7.17: Zaj´ımavé pˇr´ıklady Typ parametru Zásoba stability v amplitudˇe Zásoba stability ve fázi Zásoba stability v modulu

Typické nastaven´ı Minimáln´ı hodnota MG ≥ 2(6dB) MG = 1.6(4dB) 30◦ ≤ MP ≤ 60◦ MM ≥ 0.5(−6dB) MG = 0.4(−8dB)

Tabulka 7.1: Doporuˇcené hodnoty parametr˚ u pro zásobu stability 7.3.5

an´ı amplitudov´ e a f´ azov´ e bezpeˇ cnosti v Matlabu Zjiˇ st’ov´

V programu Matlab existuj´ı dva pˇr´ıkazy, které se daj´ı pouˇz´ıt pro zjiˇstˇen´ı amplitudové a fázové bezpeˇcnosti. Jedná se o pˇr´ıkazy margin a allmargin. Vstupn´ım parametrem je pˇrenos otevˇrené smyˇcky. U pˇr´ıkazu margin mohou b´ yt zadány vstupn´ı parametry tˇri, které pak vyjadˇruj´ı vektor modul˚ u, vektor fáz´ı a vektor frekvenc´ı. Mezi jednotliv´ ymi hodnotami se provád´ı interpolace. Pokud nen´ı u pˇr´ıkazu margin pouˇzit v´ ystupn´ı parametr, pˇr´ıkaz vykresl´ı frekvenˇcn´ı charakteristiku pˇrenosu otevˇrené smyˇcky v logaritmick´ ych souˇradnic´ıch s vyznaˇcen´ım amplitudové a fázové bezpeˇcnosti. Jinak oba pˇr´ıkazy vrac´ı hodnoty amplitudové a fázové bezpeˇcnosti s odpov´ıdaj´ıc´ımi frekvencemi. Pˇ r´ıklad 7.11 Pomoc´ı programu Matlab zjistˇete amplitudovou a fázovou bezpeˇcnost pˇrenosu F (p) =

5 (p + 1)3

Nejprve mus´ıme zadat poˇzadovan´ y pˇrenos. Protoˇze je pˇrenos zadán ve tvaru, ze kterého vid´ıme rozloˇzen´ı nul a pól˚ u, pouˇzijeme pˇr´ıkaz >> F = zpk([],[-1 -1 -1],5) Zero/pole/gain: 5


120

------(s+1)^3 Nyn´ı m˚ uˇzeme jednoduˇse pouˇz´ıt pˇr´ıkaz >> margin(F) Ten zp˚ usob´ı vykreslen´ı grafu, kter´ y je na obrázku 7.18. Amplitudová bezpeˇcnost je MGdB = Bode Diagram Gm = 4.08 dB (at 1.73 rad/sec) , Pm = 17.4 deg (at 1.39 rad/sec)

Magnitude (dB)

20 0 −20 −40 −60 −80

Phase (deg)

−100 180 90 0 −90 −180 −2 10

−1

10

0

10 Frequency (rad/sec)

1

10

2

10

Obr´ azek 7.18: V´ ysledek pˇr´ıkazu margin 4.08dB a fázová bezpeˇcnost je MP = 17.4◦ . Amplitudovou bezpeˇcnost vˇetˇsinou poˇzadujeme z´ıskat ve formˇe násob´ıc´ıho faktoru. Pˇrevod je snadn´ y a znám´ y z pˇredchoz´ıho kurzu. Pro zopakován´ı MGdB = 20log(MG )

⇒

MG = 10MGdB /20 = 104.08/20 = 1.6

Pokud zadáme v´ ystupn´ı parametry, pak se pr˚ ubˇeh nevykresl´ı >> [Mg,Mp,Wcg,Wcp]=margin(F) Mg = 1.6002 Mp = 17.3704 Wcg = 1.7322 Wcp = 1.3870 Obdrˇzeli jsme po ˇradˇe amplitudovou a fázovou bezpeˇcnost a jim odpov´ıdaj´ıc´ı frekvence. Pˇr´ıkaz allmargin vrac´ı strukturu, která obsahuje zásoby stability a jim odpov´ıdaj´ıc´ı frekvence.


>> allmargin(F) ans = GMFrequency: GainMargin: PMFrequency: PhaseMargin: DMFrequency: DelayMargin: Stable:

121

1.7322 1.6002 1.3870 17.3704 1.3870 0.2186 1

Pomoc´ı tohoto pˇr´ıkazu jsme z´ıskali nav´ıc zásobu stability ve zpoˇzdˇen´ı. Pro bliˇzˇs´ı vysvˇetlen´ı pouˇzit´ ych pˇr´ıkaz˚ u m˚ uˇzete nahlédnout do jejich help-˚ u. Pˇ r´ıklad 7.12 Urˇcete z´ asobu stabilitu v modulu, pokud zn´ ate pˇrenos otevˇrené smyˇcky 1 F0 (p) = 4 3 p + 2p + 2.5p2 + 2p Pˇrenos zadáme pomoc´ı pˇr´ıkazu >> F0=tf(1,[1 2

2.5

2 0]);

Mohli bychom si nakreslit pr˚ ubˇeh frekvenˇcn´ı charakteristiky v komplexn´ı rovinˇe pomoc´ı pˇr´ıkazu >> nyquist(F0); a zde se pokusit naj´ıt polomˇer kruˇznice, která by se dot´ ykala frekvenˇcn´ı charakteristiky. Existuje ovˇsem jednoduˇsˇs´ı ˇreˇsen´ı. M´ısto toho abychom ˇreˇsili minimáln´ı vzdálenost frekvenˇcn´ı charakteristiky F0 (jω) od bodu −1, m˚ uˇzeme ˇreˇsit minimáln´ı vzdálenost frekvenˇcn´ı charakteristiky 1 + F0 (jω) od bodu 0, coˇz je vlastnˇe minimum modulu (amplitudové ˇ sen´ı obdrˇz´ıme po zavolán´ı pˇr´ıkazu frekvenˇcn´ı charakteristiky) min(|1 + F0 (jω)|). Reˇ >> MM = min(bode((1+F0))) MM = 0.3273 V pˇr´ıpadˇe odeˇc´ıtán´ı minima z pr˚ ubˇehu z´ıskaném pˇr´ıkazem bode nesm´ıme zapomenout pˇrepoˇc´ıtat decibely −9.715dB na absolutn´ı hodnotu. 7.3.6

Zjiˇ stˇ en´ı frekvenˇ cn´ı charakteristiky uzavˇ ren´ e smyˇ cky z pr˚ ubˇ ehu F0 (jω)

Pro zhodnocen´ı dynamick´ ych vlastnost´ı uzavˇreného obvodu potˇrebujeme znát frekvenˇcn´ı charakteristiku Fw (jω). K dispozici je vˇsak vˇetˇsinou jen frekvenˇcn´ı charakteristika otevˇrené smyˇcky F0 (jω). V této podkapitole si vysvˇetl´ıme grafickou metodu, která se dá pouˇz´ıt pro z´ıskán´ı frekvenˇcn´ı charakteristiky Fw (jω) ze známé F0 (jω). Jedná se jiˇz o zastaral´ y zp˚ usob, kter´ y je pˇrekonan´ y pouˇzit´ım v´ ypoˇcetn´ı techniky. Pro nás je vˇsak zaj´ımav´ y z hlediska chápán´ı souvislost´ı. Rozebereme frekvenˇcn´ı charakteristiku Fw (jω) pro mezn´ı hodnoty F0 (jω) . Fw (jω) =

F0 (jω) 1 + F0 (jω)

(7.32)


122

|F0 (jω)| >> 1 . Pro |F0 (jω)| >> 1 plat´ı pˇribliˇznˇe Fw (jω) = 1. Tato situace nastává vˇetˇsinou pro oblast n´ızk´ ych frekvenc´ı, menˇs´ıch neˇz pˇrevrácené hodnoty ˇcasov´ ych konstant regulované soustavy. |F0 (jω)| << 1 . Pro |F0 (jω)| << 1 plat´ı pˇribliˇznˇe Fw (jω) = F0 (jω). To znamená, ˇze se frekvenˇcn´ı pˇrenos uzavˇrené smyˇcky ztotoˇzn´ı s pˇrenosem otevˇrené smyˇcky. Protoˇze polynom ve jmenovateli soustavy je prakticky vˇzdy vyˇsˇs´ıho ˇrádu neˇz polynom v ˇcitateli, nastane pˇribliˇzná rovnost obou pˇrenos˚ u vˇzdy pro vysoké frekvence, tj. vyˇsˇs´ı neˇz pˇrevrácené hodnoty ˇcasov´ ych konstant soustavy. . |F0 (jω)| = 1 Zb´ yvá nám urˇcit chován´ı Fw (jω) v oblasti stˇredn´ıch kmitoˇct˚ u, jmenovitˇe v okol´ı ωˇr. Tato oblast urˇcuje dynamické chován´ı uzavˇreného obvodu a je tedy pro nás nejzaj´ımavˇejˇs´ı a proto se na ni zamˇeˇr´ıme podrobnˇeji. Zavedeme pojmy M-kruˇznice a N-kruˇznice. Mkruˇznice je tvoˇrena geometrick´ ymi m´ısty x v komplexn´ı rovinˇe, kde jsou amplitudy komx plexn´ıho ˇc´ısla 1+x konstantn´ı a rovny ˇc´ıslu M. Uvaˇzujme F0 (jω) = u + jv. Potom

neboli

√ |F0 (jω)| u2 + v 2 |Fw (jω)| = =p |1 + F0 (jω)| (1 + u)2 + v 2 u2 + v 2 = [(1 + u)2 + v 2 ]M 2

Tento v´ yraz m˚ uˇzeme upravit do tvaru 2 2 M2 M 2 u− +v = 1 − M2 1 − M2

(7.33) 2

M M Tato rovnice popisuje kruˇznici se stˇredem v bodˇe ( 1−M eru | 1+M 2 , 0) a o polomˇ 2 |. Proto název M-kruˇznice. Pro pˇr´ıpad M = 1 se kruˇznice zmˇen´ı v pˇr´ımku kolmou k reálné ose a procházej´ıc´ı bodem (-0.5,0). x konstantn´ı N-kruˇznice je mnoˇzina bod˚ u x v komplexn´ı rovinˇe, ve kter´ ych je fáze 1+x a rovna N .

F0 (jω) = arg F0 (jω) − arg(1 + F0 (jω)) = 1 + F0 (jω) v v = arctan − arctan = φ1 − φ2 (7.34) u 1+u q 1 1 ). Vˇsechny N-kruˇznice N-kruˇznice má polomˇer 2 1 + tan12 N a stˇred v bodˇe (− 21 , 2 tan N procházej´ı body (0, 0) a (−1, 0). Tyto body vytváˇrej´ı tˇetivu k N-kruˇznic´ım. Vrcholové u ´hly nad tˇetivou kruˇznice jsou konstantn´ı. Proto se opˇet jedná o kruˇznice. Nˇekteré M a N-kruˇznice jsou zobrazeny na obrázku 7.19. N = arg Fw (jω) = arg

3 2

1.1

0.9

1.2

0.8

1 0

Im

Im


0.7 1.5 2

0.5

−1

3 15◦

2 1

5◦

−2

−3 −4 −3 −2 −1

0

1 Re 2

30◦ 60◦

0 −1 −5◦

−2

123

−60◦ −15◦ −30◦

−3 −4 −3 −2 −1

0

1 Re 2

Obr´ azek 7.19: M-kruˇznice a N-kruˇznice Amplituda frekvenˇcn´ı charakteristiky uzavˇrené smyˇcky Fw (jω) se zjist´ı jako pr˚ useˇc´ık frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇrené smyˇcky F0 (jω) s M-kruˇznic´ı. Podobnˇe fáze Fw (jω) vycház´ı z pr˚ useˇc´ıku F0 (jω) s N-kruˇznic´ı. Pˇr´ımo m˚ uˇzeme urˇcit dalˇs´ı parametry • v´ yˇska rezonanˇcn´ıho pˇrev´ yˇsen´ı je urˇcena kruˇznic´ı s maximáln´ı hodnotou M, kterou F0 (jω) procház´ı • rezonanˇcn´ı frekvence ωr je frekvence ve které docház´ı k tomuto maximu • ˇs´ıˇrka pásma je frekvence ve které F0 (jω) procház´ı M-kruˇznici s polomˇerem M=0.707. Mezi fázovou bezpeˇcnost´ı MP a pˇrekmitem pˇrechodové charakteristiky uzavˇreného obvodu pˇri zmˇenˇe ˇr´ızen´ı je tˇesn´ y vztah. Nelze jej vyjádˇrit pˇresnˇe analyticky, plat´ı tedy pouze pˇribliˇznˇe. Byl z´ıskám experimentálnˇe. Graficky je znázornˇen na obrázku 7.20. Protoˇze u fázovˇe minimáln´ıch systému plat´ı jednoznaˇcn´ y vztah mezi amplitudovou a fázovou charakteristikou, nen´ı pˇrekvapuj´ıc´ı, ˇze má tento graf obdobu i pro amplitudovou bezpeˇcnost. Z d˚ uvodu návaznosti na syntézu regulátoru se udává v logaritmick´ ych souˇradnic´ıch. Protoˇze amplitudová a fázová bezpeˇcnost nejsou uvádˇeny pro jednu frekvenci, nebude vztah mezi obrázky jednoznaˇcn´ y. Bude platn´ y pouze za pˇredpokladu, ˇze sklon frekvenˇcn´ı charakteristiky bude v dostateˇcnˇe velkém okol´ı frekvence ωˇr roven −20dB/dek, kterému odpov´ıdá fázov´ y posun −90◦ . Nyn´ı troˇsku pˇreskoˇc´ıme do oblasti syntézy regulaˇcn´ıho obvodu, která bude nápln´ı nˇekteré z dalˇs´ıch kapitol. Pˇri návrhu regulátoru metodou standardn´ıch tvar˚ u frekvenˇcn´ı charakteristiky se snaˇz´ıme o vytvoˇren´ı u ´seku na frekvenˇcn´ı charakteristice se sklonem -20dB/dek tak, aby ωˇr leˇzelo uprostˇred tohoto u ´seku a zároveˇ n aby byl ωˇr co nejvˇetˇs´ı. 7.3.7


Ot´ azka 7.13 Vysvˇetlete pojmy: amplitudov´ a bezpeˇcnost, fázov´ a bezpeˇcnost, z´ asoba stability v modulu a z´ asoba stability ve zpoˇzdˇen´ı.


α[%]

124

60 50 40 30

20

30

40

50

∆xm [%]

L[db]

Obr´ azek 7.20: Vztah mezi fázovou bezpeˇcnost´ı a velikost´ı pˇrekmitu

30 20 10

20

30

40

50

∆xm [%]

Obr´ azek 7.21: Vztah mezi délkou u ´seku se sklonem 20dB/dek kolem ωˇr a velikost´ı pˇrekmitu


125

Ot´ azka 7.14 Jaká jsou obvyklé hodnoty jednotlivých z´ asob stability? Ot´ azka 7.15 Vysvˇetlete, proˇc je pojem z´ asoby stability v modulu silnˇejˇs´ım kritériem neˇz z´ asoba stability v amplitudˇe nebo ve fázi. Demonstrujte na pˇr´ıkladˇe. Ot´ azka 7.16 Spoˇc´ıtejte minim´ aln´ı z´ asobu stability v amplitudˇe a ve f´ azi, pokud v´ıte, ˇze je z´ asoba stability v modulu rovna MM = 0.4.

7.4

Shrnut´ı

V této kapitole jsme si probrali r˚ uzné metody, které se pouˇz´ıvaj´ı pro anal´ yzu dynamick´ ych vlastnost´ı zpˇetnovazebn´ıch regulaˇcn´ıch obvod˚ u. Dozvˇedˇeli jsme se, ˇze základn´ı rozdˇelen´ı je na metody v ˇcasové oblasti, ve frekvenˇcn´ı oblasti a na metodu koˇrenového hodografu, která sleduje polohu pól˚ u uzavˇreného regulaˇcn´ıho obvodu v komplexn´ı rovinˇe. V ˇcasové oblasti lze pouˇz´ıt integráln´ı kritéria. Jejich nev´ yhodou je ovˇsem pracnost v´ ypoˇctu (kvadratické integráln´ı kritérium), respektive nemoˇznost z´ıskán´ı analytického ˇreˇsen´ı (usmˇernˇená regulaˇcn´ı plocha, ITAE). Bohuˇzel ty, které jdou analyticky spoˇc´ıtat dávaj´ı málo tlumené odezvy (kvadratické integráln´ı kritérium). Toto jsou d˚ uvody, proˇc se tyto kritéria vˇetˇsinou nepouˇz´ıvaj´ı k syntéze regulaˇcn´ıch obvod˚ u. Kritéria ve frekvenˇcn´ı oblasti jsou v´ yhodná, protoˇze vˇetˇsinou pracuj´ı s frekvenˇcn´ı charakteristikou otevˇrené smyˇcky, která je ˇcasto k dispozici. Na základˇe pr˚ ubˇehu F0 (jω) usuzuj´ı jak´ ym zp˚ usobem se bude chovat pˇrenos uzavˇrené smyˇcky. Vycház´ı z Nyquistova kritéria stability. Sleduj´ı, jaká je vzdálenost frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇrené smyˇcky od bodu −1. Frekvenˇcn´ı charakteristika uzavˇreného obvodu by mˇela m´ıt modul roven jedné do co nejvyˇsˇs´ıch kmitoˇct˚ u, ˇc´ımˇz se zajist´ı nulová ustálená odchylka pˇri skokové zmˇenˇe ˇr´ızen´ı a co nejrychlejˇs´ı pˇrechodn´ y dˇej . Je zde dovolené m´ırné rezonanˇcn´ı pˇrev´ yˇsen´ı, které souvis´ı s povolen´ ym pˇrekmitem v ˇcasové oblasti. Metoda koˇrenového hodografu je soubor pravidel, které nám umoˇzn ˇuj´ı sledovat v´ yvoj polohy pól˚ u uzavˇreného obvodu v závislosti na zmˇenˇe zes´ılen´ı pˇrenosu otevˇrené smyˇcky a na znalosti polohy nul a pól˚ u otevˇrené smyˇcky. Pˇrestoˇze se jedná o metodu, která má v souˇcasné dobˇe silnou podporu ze strany v´ ypoˇcetn´ı techniky (napˇr. rltool v programu Matlab), je pochopen´ı tˇechto pravidel nezbytnou souˇcást´ı práce s tˇemito nástroji. Tato metoda, stejnˇe tak jako metody ve frekvenˇcn´ı oblasti se daj´ı pouˇz´ıt a také s v´ yhodou pouˇz´ıvaj´ı pˇri syntéze zpˇetnovazebn´ıch regulaˇcn´ıch obvod˚ u.

7.5


Ot´ azka 7.17 Jaké zn´ ate metody pro vyhodnocov´ an´ı dynamických vlastnost´ı zpˇetnovazebn´ıch obvod˚ u? Ot´ azka 7.18 Dokáˇzete vyznaˇcit na frekvenˇcn´ı charakteristice zvoleného pˇrenosu amplitudovou a f´ azovou bezpeˇcnost a z´ asobu stability v modulu?


8

126

Syt´ eza regulaˇ cn´ıch obvod˚ u ve frekvenˇ cn´ı oblasti

Syntézou regulaˇcn´ıho obvodu rozum´ıme takový n´ avrh struktury a parametr˚ u obvodu, který splˇ nuje poˇzadavky kladené na regulaˇcn´ı dˇej. Východiskem jsou tedy poˇzadavky na kvalitu regulace a vlastnosti regulované soustavy. Pˇri volbˇe dalˇs´ıch ˇclen˚ u obvodu, t.j. ˇcidel, akˇcn´ıch ˇclen˚ u, výkonových zesilovaˇc˚ uau ´stˇredn´ıch ˇclen˚ u jsme v´ıce ˇci ménˇe omezeni ˇradou ˇcinitel˚ u. Mohou to být speciáln´ı poˇzadavky vyplývaj´ıc´ı z technologie provozu (v´ aha, jiskrov´ a bezpeˇcnost, agresivita prostˇred´ı, ...), ekonomické d˚ uvody i okamˇzit´ a situace na trhu souˇcástek a zaˇr´ızen´ı. Podle stupnˇe volnosti, s jakou m˚ uˇze konstruktér regulaˇcn´ıho obvodu pracovat, m˚ uˇzeme rozliˇsit zhruba tˇri typy u ´loh: • m˚ uˇzeme volit jak strukturu tak parametry obvodu • struktura obvodu je dána, navrhujeme pouze parametry obvodu • je zad´ ana struktura a nˇekteré parametry, ˇcást parametr˚ u je voliteln´ a Vˇetˇsina obvod˚ u v pr˚ umyslové automatizaci má strukturu odpov´ıdaj´ıc´ı blokovému schématu na obr´ azku 1.2. Jedná-li se o obvody s vysokými poˇzadavky na kvalitu regulace, m˚ uˇze být tato z´ akladn´ı struktura doplnˇena nˇekterými dalˇs´ımi vazbami (viz. kapitola 9). Urˇcité rozˇs´ıˇren´ı moˇznost´ı pˇredstavuje zaˇrazen´ı korekˇcn´ıho ˇclenu do vˇetve zpˇetné vazby (obrázek 4.1). Stejné struktury jako v pˇr´ıpadˇe spojitých regul´ ator˚ u se daj´ı pouˇz´ıt v pˇr´ıpadˇe diskrétn´ıch regul´ ator˚ u. Jejich n´ avrh je n´ apln´ı kapitoly 10. Návrh regulaˇcn´ıho obvodu zaˇc´ın´ a obvykle dialogem s technologem pˇr´ısluˇsného odvˇetv´ı, bˇehem kterého se definuj´ı regulované, akˇcn´ı a ˇr´ıdic´ı veliˇciny a poruchy, vlastnosti regulované soustavy a poˇzadavky na kvalitu regulace. V dalˇs´ım kroku automatizaˇcn´ı technik urˇc´ı typy a um´ıstˇen´ı ˇcidel a typy akˇcn´ıch ˇclen˚ u. Pˇritom mus´ı obvykle respektovat ˇradu omezen´ı a technologických poˇzadavk˚ u. Výraznou roli hraj´ı téˇz bezpeˇcnostn´ı pˇredpisy daného oboru. Po vyjasnˇen´ı tˇechto problém˚ u se m˚ uˇze pˇristoupit k n´ avrhu jednotlivých pˇrenos˚ u regul´ ator˚ u a posléze k jejich realizaci. V pr˚ ubˇehu uplynulých let bylo vypracov´ ano velké mnoˇzstv´ı metod pro n´ avrh struktury i parametr˚ u regulaˇcn´ıch obvod˚ u. Dosud nebyla nalezena univerz´ aln´ı metoda, kter´ a by umoˇzn ˇovala splnˇen´ı ˇsiroké palety poˇzadavk˚ u pˇri r˚ uzných výchoz´ıch informac´ıch o regulované soustavˇe i poˇzadovaných vlastnostech regulace. Proto, i kdyˇz praxe ˇradu navrˇzených metod zavrhla (nebo se v ˇsirˇs´ı m´ıˇre neuplatnily), zbýv´ a nˇekolik metod, které je nutno zn´ at k ˇreˇsen´ı r˚ uzných typ˚ uu ´loh. Uvedeme je zde v poˇrad´ı odpov´ıdaj´ıc´ım zhruba ˇs´ıˇri jejich uplatnˇen´ı.

8.1

Metoda standardn´ıho tvaru frekvenˇ cn´ı charakteristiky otevˇ ren´ eho obvodu

Jak jiˇz vypl´ yvá z názvu, návrh regulátoru touto metodou se provád´ı tvarován´ım frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇreného obvodu, abychom dosáhli jej´ıho vhodného tvaru. Souvislost mezi tvarem F0 (jω) a ˇcasovou odezvou jsme rozebrali v kapitole 7.3. Nejprve pˇredpokládejme, ˇze známe poˇzadovan´ y tvar F0 (jω). Potom plat´ı F0 (jω) = FR (jω)FS (jω) = |FR (jω)FS (jω)|ej(ϕR +ϕS )


127

Amplitudová charakteristika regulátoru v dB je pak urˇcena rovnic´ı |FR (jω)|dB = |F0 (jω)|dB − |FS (jω)|dB a fáze vztahem ϕR (ω) = ϕ0 (ω) − ϕS (ω)

Jak je vidˇet z tˇechto vztah˚ u, dá se frekvenˇcn´ı charakteristika regulátoru urˇcit odeˇcten´ım frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇreného obvodu od poˇzadovaného tvaru frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇreného obvodu. To plat´ı v pˇr´ıpadˇe, ˇze jsou frekvenˇcn´ı charakteristiky vyjádˇreny v decibelech. Proto se návrh touto metodou provád´ı v logaritmick´ ych souˇradnic´ıch. To pˇrináˇs´ı dalˇs´ı v´ yhodu v tom, ˇze se jednotlivé charakteristiky daj´ı nahradit asymptotick´ ymi pˇr´ımkov´ ymi u ´seky, jejichˇz souˇcet je snadno provediteln´ y i ruˇcnˇe graficky, bez nutnosti pouˇzit´ı v´ ypoˇcetn´ı techniky. Nyn´ı se pokus´ıme odpovˇedˇet na otázku, jak vypadá poˇzadovan´ y tvar F0 (jω). Poznali jsme jiˇz, ˇze pr˚ ubˇeh F0 (jω) v oblasti n´ızk´ ych kmitoˇct˚ u urˇcuje ustálené odchylky v systému. Tato ˇcást se proto navrhuje s ohledem na poˇzadavky na ustálen´ y stav v systému. Vˇetˇsinou se tedy jedná o poˇcet astatism˚ u, které vloˇz´ıme do regulátoru s pˇrihlédnut´ım na moˇzné astatismy v soustavˇe. Oblast vysok´ ych kmitoˇct˚ u, ve kter´ ych |F0 (jω)| << 1, je z hlediska regulaˇcn´ıho dˇeje nepodstatná. Charakter pˇrechodného dˇeje urˇcuje stˇredn´ı pásmo kmitoˇct˚ u, . jmenovitˇe oblast, ve které |F0 (jω)| = 1. Zde jsou obecnˇe formulovány dva poˇzadavky • co nejvyˇsˇs´ı hodnota kmitoˇctu ˇrezu ωˇr, která je urˇcuj´ıc´ı pro rychlost pˇrechodného dˇeje • co nejvˇetˇs´ı fázová bezpeˇcnost, která zajist´ı mal´ y pˇrekmit na pˇrechodové charakteristice. Jak jiˇz bylo popsáno v kapitole 7.3 o anal´ yze dynamick´ ych vlastnost´ı ve frekvenˇcn´ıch charakteristikách, dá se poˇzadavek na fázovou bezpeˇcnost vyjádˇrit také tak, ˇze amplitudová ˇcást frekvenˇcn´ı charakteristiky F0 (jω) má procházet pˇres osu 0dB pod sklonem −20dB/dek a tento sklon je tˇreba dodrˇzet v co nejvˇetˇs´ım okol´ı bodu ωˇr. Existuje nˇekolik zásad, jak správnˇe navrhnout regulátor, které jsou platné pro urˇcité typy regulovan´ ych soustav. Obecnˇe platn´ y postup vˇsak bohuˇzel neexistuje. Hlavn´ı zásadou je, aby byl navrˇzen´ y regulátor realizovateln´ y, jin´ ymi slovy aby ˇrád ˇcitatele regulátoru byl niˇzˇs´ı nebo roven ˇrádu jmenovatele. Pokud budeme pˇri návrhu uvaˇzovat regulátory typu PID, mus´ıme vz´ıt v u ´vahu realizaˇcn´ı konstantu PD a PID regulátor˚ u. Jej´ı volba se vˇetˇsinou provád´ı tak, aby pomˇer ˇcasové konstanty ˇcitatele T a realizaˇcn´ı konstanty ε vyhovoval rovnici T /ε < 100. Zaˇrazen´ı integraˇcn´ı sloˇzky zmenˇsuje, nebo dokonce anuluje ustálenou regulaˇcn´ı odchylku. Jej´ı nev´ yhodou je zpomalen´ı pˇrechodného dˇeje. Opaˇcn´ y vliv má pˇridán´ı derivaˇcn´ı sloˇzky, která pˇrechodn´ y dˇej zrychluje. Jej´ı pouˇzit´ı mus´ıme zváˇzit s ohledem na ˇsum, kter´ y je pˇr´ıtomn´ y ve v´ ystupn´ım signálu. Ten m˚ uˇze b´ yt derivaˇcn´ı sloˇzkou zes´ılen a p˚ usobit tak nepˇr´ıznivˇe na soustavu. Dalˇs´ı zásady si probereme postupnˇe pomoc´ı vyˇreˇsen´ ych pˇr´ıklad˚ u. Pˇ r´ıklad 8.1 Mˇejme astatickou regulovanou soustavu s pˇrenosem FS (p) =

0.1 p(3p + 1)(0.8p + 1)


128

K této soustavˇe postupnˇe pˇripoj´ıme regul´ atory typu P a PD. Navrhnˇete tyto regul´ atory ◦ metodou standardn´ıch tvar˚ u tak, aby byla fázov´ a bezpeˇcnost 45 . Pˇredpokládáme P regulátor dan´ y FR1 (p) = KR1 . Potom je pˇrenos otevˇrené smyˇcky F01 (p) = KR1 FS (p) = KR1

0.1 p(3p + 1)(0.8p + 1)

Zat´ım neznáme velikost zes´ılen´ı KR1 . Uvaˇzujme pro zaˇcátek, ˇze je KR1 = 1. Vykresl´ıme si v logaritmick´ ych souˇradnic´ıch pr˚ ubˇeh |F01 (jω)|dB pro toto zes´ılen´ı, coˇz je vlastnˇe |FS (jω)|dB (viz. obrázek 8.1 modˇre, teˇckovanˇe). Pro fázi ∠F01 (p) plat´ı ϕ01 (jω) = −

π − arctan 3ω − arctan 0.8ω 2

Fázová charakteristika ϕ01 (jω) nezávis´ı na velikosti proporcionáln´ı sloˇzky KR1 . Zakresl´ıme ji také do logaritmick´ ych charakteristik. Fázové bezpeˇcnosti MP = 45◦ odpov´ıdá frekvence . ω = 0.23rad/s, která mus´ı b´ yt kmitoˇctem ˇrezu. V logaritmick´ ych souˇradnic´ıch to znamená posunout amplitudovou frekvenˇcn´ı charakteristiku |F0 (jω)|dB (KR1 = 1) ve svislém smˇeru tak, aby pˇri frekvenci ω = 0.23rad/s procházela u ´rovn´ı 0dB. Pr˚ ubˇeh mus´ıme posunout o KR1dB = 8dB, z ˇcehoˇz pˇr´ımo plyne zes´ılen´ı P regulátoru KR1 = 2.5. Ke stejné soustavˇe navrhneme regulátor typu PD s pˇrenosem FR2 (p) =

KR2 (Td p + 1) εp + 1

Volba konstant Td a KR2 je dána v´ yˇse uveden´ ymi poˇzadavky na pˇrechodn´ y dˇej, konstantu ε, která zajiˇst’uje fyzikáln´ı realizovatelnost regulátoru budeme volit tak, aby neovlivnila pr˚ ubˇeh frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇrené smyˇcky F02 (jω) na stˇredn´ıch kmitoˇctech. Nejprve urˇc´ıme vhodnou derivaˇcn´ı ˇcasovou konstantu Td . Pokud bychom zvolili Td > 3, vytvoˇrili bychom na amplitudové charakteristice |F02 (jω)| u ´sek s nulov´ ym sklonem amplitudy, coˇz nen´ı vhodné. Zvol´ıme-li naopak Td < 3, vznikne jiˇz v okol´ı frekvence ω = 1/3rad/s u ´sek se sklonem −40dB/dek, coˇz také nen´ı ˇzádouc´ı. Jako nejv´ yhodnˇejˇs´ı se jev´ı volba Td = 3, ikdyˇz se t´ım z hlediska stavové teorie vytvoˇr´ı stavovˇe neˇriditeln´ y systém. Potom staˇc´ı zvolit ε ≤ 0.05 (pomˇer Td /ε nemá b´ yt vˇetˇs´ı neˇz 100). Pˇrenos otevˇreného obvodu je KR2 · 0.1 F02 (p) = p(0.8p + 1)(0.05p + 1) Pro fázovou charakteristiku F02 (p) plat´ı ϕ02 (ω) = −

π − arctan 0.8ω − arctan 0.05ω 2

Jej´ı pr˚ ubˇeh opˇet vykresl´ıme v logaritmick´ ych souˇradnic´ıch a urˇc´ıme ωˇr2 , pˇri které je ϕ02 (ωˇr2 ) = −135◦ . Z obrázku 8.1 odeˇcteme ωˇr2 = 1.1rad/s, a odpov´ıdaj´ıc´ı zes´ılen´ı KR2dB = 24dB, neboli KR2 = 16. Pˇrenos regulátoru PD tak z´ıskáváme ve v´ ysledném tvaru 3p + 1 FR2 (p) = 16 0.05p + 1


−20

−220 ϕ02 (jω) −180 −140 |F02 (jω)|dB (KR2 = 1)

−40

−100

−60 −80 100

|F01 (jω)|dB (KR1 = 1)

101

ωˇr1

102

log ω[rad/s]

−60 −20 103

Obr´ azek 8.1: Návrh P a PD regulátoru pro astatickou soustavu k pˇr´ıkladu 8.1

ϕ[◦ ]

0

|F01 (jω)|dB

MP = 45◦

20

ϕ01 (jω) −260

|F02 (jω)|dB

KR1dB = 8dB

|F |dB

40

129


130

Pˇri stejné fázové bezpeˇcnosti jsme pˇri pouˇzit´ı regulátoru typu PD z´ıskali zhruba ˇctyˇrnásobné ωˇr, coˇz pˇribliˇznˇe znamená ˇctyˇrnásobné zrychlen´ı pˇrechodného dˇeje. V tomto pˇr´ıkladu jsme si ovˇeˇrili vliv derivaˇcn´ı sloˇzky v regulátoru na zrychlen´ı pˇrechodného dˇeje pˇri stejné fázové bezpeˇcnosti, tedy pˇri zhruba stejném pˇrekmitu (tlumen´ı). To co jsme si ukázali na pˇr´ıkladu astatické soustavy ˇr´ızené regulátory P a PD, plat´ı stejnˇe pro statickou soustavu ˇr´ızenou regulátory I a PI. Z hlediska otevˇreného obvodu je totiˇz lhostejné, zda je astatismus v soustavˇe nebo v regulátoru. Lhostejné to ale nen´ı z pohledu p˚ usoben´ı poruchy. K tomu abychom odstranili p˚ usoben´ı konstantn´ı poruchy na vstupu soustavy je zapotˇreb´ı, aby byla integraˇcn´ı sloˇzka v regulátoru. Odstranˇen´ı takovéto poruchy demonstruje následuj´ıc´ı pˇr´ıklad. Pˇ r´ıklad 8.2 Navrhnˇete regul´ ator pro soustavu z pˇredeˇslého pˇr´ıkladu, který bude schopen kompenzovat p˚ usoben´ı konstantn´ı poruchy p˚ usob´ıc´ı na vstupu soustavy (poˇzadavek na nulovou ust´ alenou odchylku pˇri konstantn´ı poruˇse) Z diskuze v kapitole 5.3.3 je zˇrejmé, ˇze do regulátoru mus´ıme zaˇradit integraˇcn´ı sloˇzku I. Teoreticky pˇripadaj´ı v u ´vahu tˇri typy regulátor˚ u, a to I, PI a PID. Prost´ y I regulátor je nepouˇziteln´ y, nebot’ systém by byl pro vˇsechna zes´ılen´ı nestabiln´ı. Provedeme zde postupnˇe návrh zbyl´ ych dvou regulátor˚ u s integraˇcn´ı sloˇzkou. Nejprve tedy PI regulátor s pˇrenosem K0 (T p + 1) FR3 (p) = p Pˇrenos otevˇrené smyˇcky bude F03 (p) =

K0 (T p + 1) + 1)(0.8p + 1)

p2 (3p

Pro zajiˇstˇen´ı stability je tˇreba, aby T > 3. Pro nalezen´ı vhodné hodnoty pouˇzijeme kˇrivku na obrázku 8.2, ze které odeˇcteme potˇrebnou velikost u ´sek˚ u LdB pˇri daném maximáln´ım pˇrekmitu. Zvol´ıme-li ∆xm = 30%, vycház´ı LdB = 16dB. To znamená, ˇze stˇredn´ı u ´sek charakteristiky |F0 (jω)|dB s asymptotou −20dB/dek bude navazovat na asymptoty se sklonem −40dB/dek pˇri amplitudách ±16dB. Poˇcáteˇcn´ı sklon −40dB/dek zmˇen´ıme ˇcasovou konstantou T na sklon −20dB/dek a ˇcasová konstanta 3s ve jmenovateli pˇrenosu F0 (p) jej opˇet vrát´ı na hodnotu −40dB/dek. T´ım je urˇcen tvar a poloha amplitudové ˇcásti frekvenˇcn´ı charakteristiky |F0 (jω)|dB (viz. obrázek 8.2) Prvn´ı zlom asymptotické náhrady |F0 (jω)|dB bude pˇri frekvenci ω1 = 1/T = 0.009rad/s, . . . odtud T = 110s a zes´ılen´ı K0d B = −82dB, coˇz je K0 = 0.8 · 10−4 . Pˇrenos otevˇreného obvodu bude 110p + 1 F03 (p) = 0.8 · 10−4 2 p (3p + 1)(0.8p + 1) Pro fázi plat´ı ϕ03 (ω) = −π + arctan 110ω − arctan 3ω − arctan 0.8ω Odpov´ıdaj´ıc´ı fázová charakteristika je nakreslena v obrázku 8.2. Pro ωˇr = 0.05rad/s odeˇcteme fázovou bezpeˇcnost témˇeˇr 70◦ . Zdánlivˇe je tato hodnota zbyteˇcnˇe vysoká, jde


ϕ03 (jω) −260

0

|F04 (jω)|dB

−220 ϕ04 (jω)

|F03 (jω)|dB

−180

−20

−140

−40

−100

−60

−60

−80 100

101

102

log ω[rad/s]

−20 103

Obr´ azek 8.2: Návrh PI a PID regulátoru pro astatickou soustavu k pˇr´ıkladu 8.2

ϕ[◦ ]

|F |dB

40

20

131


132

vˇsak o systém s astatismem druhého ˇrádu, a proto je vhodné tuto vyˇsˇs´ı hodnotu dodrˇzet. Vˇsimnˇeme si také pˇetinásobného sn´ıˇzen´ı frekvence ˇrezu oproti p˚ uvodn´ımu systému s P regulátorem. Pouˇzit´ı PI regulátoru se kromˇe vyregulován´ı konstantn´ı poruchy projev´ı také v´ yrazn´ ym zpomalen´ım pˇrechodného dˇeje. Tento nepˇr´ızniv´ y vliv m˚ uˇzeme jeˇstˇe kompenzovat pouˇzit´ım PID regulátoru. Pak máme v ˇcitateli regulátoru dvˇe ˇcasové konstanty. Jedna z nich m˚ uˇze kompenzovat nejvˇetˇs´ı ˇcasovou konstantu a druhá bude, stejnˇe jako v minulém pˇr´ıpadˇe urˇcovat zaˇcátek u ´seku asymptoty se sklonem −20dB/dek. Z konstrukce na obrázku 8.2 plyne pˇrenos otevˇreného obvodu F04 (p) =

K01 (30p + 1) p2 (0.8p + 1)(0.3p + 1)

Konstanta 0.3 ve jmenovateli pˇrenosu F01 (p) je realizaˇcn´ı konstanta ε z pˇrenosu regulátoru FR4 (p) = KR

(T1 p + 1)(T2 p + 1) p(εp + 1)

Zvol´ıme ji opˇet z podm´ınky T1 /ε ≤ 102 , kde T1 > T2 . Zes´ılen´ı obvodu K01dB = −44dB, . . neboli K01 = 0.0063 a ωˇr = 0.2rad/s. Pro fázi plat´ı ϕ04 (ω) = −π + arctan 30ω − arctan 0.8ω − arctan 0.3ω Z pr˚ ubˇehu na obrázku 8.2 je vidˇet, ˇze fázová bezpeˇcnost se takˇrka nezmˇenila a frekvence ˇrezu se zhruba rovná hodnotˇe p˚ uvodn´ıho obvodu s P regulátorem. Z uveden´ ych pˇr´ıklad˚ u je vidˇet, ˇze u ´spˇeˇsnost návrhu metodou standardn´ıch tvar˚ u frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇreného obvodu závis´ı do urˇcité m´ıry na zkuˇsenostech a intuici konstruktéra. Proto tento postup nelze dost dobˇre algoritmizovat a automatizovat (tak jako nˇekteré dále popsané metody). Pouˇzit´ı souˇcasn´ ych program˚ u lze tento návrh velkou mˇerou usnadnit. To nic nemˇen´ı na nutnosti chápat vzájemné souvislosti mezi ˇcasovou a frekvenˇcn´ı doménou 8.1.1

F´ azovˇ e neminim´ aln´ı syst´ emy a syst´ emy s dopravn´ım zpoˇ zdˇ en´ım

Uvaˇzujme, ˇze ˇr´ızená soustava je fázovˇe neminimáln´ı (obsahuje nulu n = k v pravé polorovinˇe roviny p). Potom provád´ıme návrh tak, ˇze do jmenovatele regulátoru um´ıst´ıme pól p = −k. T´ım zajist´ıme, ˇze pomˇer −p+k bude m´ıt amplitudovou charakteristiku rovnou p+k jedné a neprojev´ı se tak na amplitudové charakteristice ˇzádn´ ym zlomem. Projev´ı se vˇsak ve fázi. Fáze se mˇen´ı s rostouc´ım kmitoˇctem od 0 do −π podle vzorce −2 arctan(ω/k). Stejnˇe se projevuje dopravn´ı zpoˇzdˇen´ı e−pTd , které má amplitudovou charakteristiku rovnou jedné a fázovou charakteristiku rovnou −ωTd . Pˇr´ıspˇevek ve fázové charakteristice se nám v obou pˇr´ıpadech nepˇr´ıznivˇe projev´ı na fázové bezpeˇcnosti. T´ım jsme pˇri návrhu regulátoru nuceni volit niˇzˇs´ı kmitoˇcet ˇrezu ωˇr, ˇc´ımˇz docház´ı ke zpomalen´ı regulace. 8.1.2

Inverzn´ı regul´ ator

V pˇr´ıkladu 8.1 jsme pˇri návrhu PD regulátoru um´ıstili nulu regulátoru do pólu soustavy. T´ım jsme sice vytvoˇrili neˇriditeln´ y systém, ale zbavili jsme se jednoho pólu ve jmenovateli soustavy. V této podkapitole provedeme diskuzi k návrhu, kter´ y by postupnˇe t´ımto


133

zp˚ usobem eliminoval vˇsechny nuly a póly systému tak, aby se dosáhlo pˇrenosu otevˇrené smyˇcky ω F0 (p) = ˇr (8.1) p , kde ωˇr je poˇzadovan´ y kmitoˇcet ˇrezu. Tento tvar F0 (p) je vhodn´ y v pˇr´ıpadˇe, kdyˇz se ˇzádaná hodnota a porucha mˇen´ı skokovˇe, nebot’ zajiˇst’uje nulovou ustálenou odchylku (pro skokovou zmˇenu poruchy mus´ı b´ yt integrátor v regulátoru), fázovou bezpeˇcnost MP = 90◦ a dokonce nekoneˇcnou amplitudovou bezpeˇcnost (F0 (p) nikdy neprotne zápornou reálnou osu). Na základˇe vzorce (8.1) m˚ uˇzeme psát vzorec pro v´ ypoˇcet regulátoru. ω (8.2) FR (p) = ˇr FS−1 (p) p Omezen´ı této metody spoˇc´ıvá v tom, ˇze pro soustavy s relativn´ım stupnˇem druh´ ym a vyˇsˇs´ım nebude navrˇzen´ y regulátor realizovateln´ y. Toto omezen´ı se dá vyˇreˇsit pouˇzit´ım realizaˇcn´ıch konstant na vyˇsˇs´ıch frekvenc´ıch. V pˇr´ıpadˇe PID regulátoru máme moˇznost kompenzovat dva póly soustavy. Doposud jsme jako mˇeˇr´ıtko pro návrh regulátoru uvaˇzovali rychlost vyregulován´ı zmˇeny ˇzádané hodnoty. Pod´ıvejme se nyn´ı, jak souvis´ı poloha nul regulátoru s rychlost´ı vyregulován´ı R (p) poruchy. Uvaˇzujme regulátor dan´ y pˇrenosem FR (p) = B , kter´ y ˇr´ıd´ı soustavu FS (p) na AR (p) jej´ımˇz vstupu p˚ usob´ı porucha u(t). Pˇrenos ˇr´ızen´ı BR (p) F (p) FR (p)FS (p) AR (p) S Fw (p) = = R (p) 1 + FR (p)FS (p) 1+ B F (p) AR (p) S

(8.3)

Nyn´ı se pokus´ıme vyjádˇrit pˇrenos poruchy Fu (p) s vyuˇzit´ım Fw (p). Fu (p) =

Y (p) AR (p) FS (p) = = Fw (p) B (p) U (p) BR (p) 1 + ARR (p) FS (p)

(8.4)

Jak vid´ıme z (8.4), nuly regulátoru se nám zde objevily jako póly pˇrenosu poruchy. Toto zjiˇstˇen´ı má velk´ y v´ yznam. Poloha nul regulátoru takto rozhoduje o rychlosti vyregulován´ı skokové poruchy. Snahou je um´ıstit tyto nuly co nejv´ıce vlevo, t.j. aby se jejich zlom projevil na co nejvyˇsˇs´ıch kmitoˇctech. Zároveˇ n mus´ıme zajistit zvolenou fázovou bezpeˇcnost. Z pohledu rychlosti vyregulován´ı poruchy se proto jev´ı nejvhodnˇejˇs´ı um´ıstˇen´ı obou nul do stejného bodu. Na tomto pozorován´ı je zaloˇzena metoda Ziegler-Nicholse, se kterou se seznám´ıme v pozdˇejˇs´ı kapitole. Z tohoto d˚ uvodu také nen´ı vhodné kompenzovat dvojici komplexnˇe sdruˇzen´ ych pól˚ u v soustavˇe dvojic´ı nul v regulátoru. Ikdyˇz bude reakce na skokovou zmˇenu ˇzádané hodnoty uspokojivá, reakce na skokovou zmˇenu poruchy bude kmitat. 8.1.3

Vyregulov´ an´ı poruchy

V této kapitole budeme uvaˇzovat, ˇze porucha m˚ uˇze vstupovat do soustavy v kterémkoliv bodˇe. To se dá vyjádˇrit obrázkem ... Pokud je FP (p) = FS (p), pak to odpov´ıdá poruˇse vstupuj´ıc´ı na vstup soustavy.


134

Uvaˇzujme pro jednoduchost, ˇze je porucha normalizovaná, takˇze |u(ω)| ≤ 1. C´ılem ˇr´ızen´ı je dosáhnout |e(ω)| ≤ 1. Pro odchylku m˚ uˇzeme psát E(jω) = −Y (jω) = −

FP (jω) U (jω) 1 + F0 (jω)

FP (jω) V pˇr´ıpadˇe nejhorˇs´ı poruchy, tedy |u(ω)| = 1 poˇzadujeme, aby | 1+F | ≤ 1 pro vˇsechny 0 (jω) kmitoˇcty ω. To je stejné, jako poˇzadavek

|1 + F0 (jω)| ≥ |FP (jω)| Pro frekvence, kde F0 (jω) > 1 se dá tato podm´ınka zjednoduˇsit na tvar |F0 (jω)| > |FP (jω)|. Protoˇze zároveˇ n nechceme zvyˇsovat velikost |F0 (jω)|, abychom nenarazili na problémy se stabilitou (zvláˇstˇe kolem frekvence ˇrezu), jev´ı se jako rozumné zvolit minimáln´ı moˇzné F0min (p), které zajist´ı, ˇze |e(ω)| ≤ 1. |F0min (p)| ≈ |FP (p)| Pro regulátor plat´ı FP (p) |FRmin (p)| ≈ FS (p)

(8.5)

V pˇr´ıpadˇe, ˇze chceme zajistit nulovou ustálenou odchylku pˇri p˚ usoben´ı konstantn´ı poruchy, pˇridáváme do regulátoru integrátor. Potom p + a FP (p) |FR (p)| = (8.6) p FS (p)

V pˇr´ıpadˇe, ˇze porucha p˚ usob´ı na vstupu systému, je FP (p) = FS (p). Z rovnice (8.5) plyne, ˇze ideáln´ı regulátor z hlediska této poruchy je proporcionáln´ı regulátor s jednotkov´ ym zes´ılen´ım. Pokud porucha p˚ usob´ı na v´ ystupu, je FP (p) = 1. Vhodn´ ym regulátorem je pak inverzn´ı regulátor. To nijak nepˇrekvapuje, nebot’ na poruchu p˚ usob´ıc´ı na v´ ystupu soustavy se m˚ uˇzeme d´ıvat jako na zmˇenu ˇzádané hodnoty, která okamˇzitˇe ovlivˇ nuje v´ ystup. 8.1.4

Regul´ ator se dvˇ ema stupni volnosti

Pro správné sledován´ı ˇzádané hodnoty obvykle poˇzadujeme FR (p) = p1 Fs−1 (p). Pro potlaˇcen´ı poruchy poˇzadujeme FR (p) = p1 Fs−1 (p)FP (p). Oba poˇzadavky se liˇs´ı, tud´ıˇz je pochopitelné, ˇze nen´ı moˇzné dosáhnout jedn´ım zpˇetnovazebn´ım regulátorem splnˇen´ı obou poˇzadavk˚ u souˇcasnˇe. Pro ˇreˇsen´ı tohoto problému se dá pouˇz´ıt regulátor se dvˇema stupni volnosti. Tento regulátor zpracovává oba vstupy w(t) a y(t) nezávisle m´ısto toho, aby pracoval pouze s regulaˇcn´ı odchylkou e(t). Existuje nˇekolik moˇzn´ ych realizac´ı regulátoru se dvˇema stupni volnosti. V této kapitole budeme uvaˇzovat realizaci, kde je ˇzádaná hodnota pˇredzpracována regulátorem FR2 (p) a regulátor FR1 (p) odstraˇ nuje p˚ usoben´ı poruch a chyb v modelu soustavy (viz. obrázek 4.1a), kde Ra1 = FR2 (p) a Ra2 = FR1 (p)). Návrh obou regulátor˚ u se


135

provád´ı následovnˇe. Nejprve se provede návrh regulátoru FR1 (p) tak, aby byla správnˇe vyregulována porucha. Následnˇe se navrhne regulátor FR2 (p), aby bylo dosaˇzeno poˇzadovaného F (p)F (p) sledován´ı ˇzádané hodnoty Fref (p). Pˇrenos celého obvodu je FR2 (p) 1+FRR1 (p)FS S (p) . Pokud 1 máme FR1 (p) jiˇz nastaven a známe pˇrenos soustavy FS (p), m˚ uˇzeme FR2 (p) dopoˇc´ıtat pomoc´ı vzorce 1 + FR1 (p)FS (p) FR2 (p) = Fref (p) FR1 (p)FS (p) Teoreticky se dá dosáhnout libovolného sledován´ı ˇzádané hodnoty. V praxi m˚ uˇze vycházet FR2 (p) nestabiln´ı, nebo nerealizovateln´ y. Regulátor FR2 (p) se v praxi vol´ı jako pomˇer T1 p+1 , kde T1 > T2 vol´ıme pokud chceme zrychlit sledován´ı ˇzádané hodnoty a T1 < T2 T2 p+1 vol´ıme pokud ho chceme zpomalit. Nˇekdy se pouˇz´ıvá jednoduchého setrvaˇcného ˇclánku (T1 = 0). 8.1.5

Shrnut´ı

Metoda standardn´ıch tvar˚ u frekvenˇcn´ıch charakteristik je vhodná pro návrh regulátor˚ u pro stabiln´ı soustavy. Je nav´ıc vhodná pro soustavy obsahuj´ıc´ı dopravn´ı zpoˇzdˇen´ı. Jak jiˇz vypl´ yvá z jej´ıho popisu a z vyˇreˇsen´ ych pˇr´ıklad˚ u, nepˇredstavuje jednoznaˇcn´ y algoritmus návrhu, a vyˇzaduje jistou m´ıru zkuˇsenost´ı. Druhou nev´ yhodou je pracnost, která je v dneˇsn´ı dobˇe kompenzována kvalitn´ımi programov´ ymi nástroji, jako je napˇr´ıklad sisiotool v programu Matlab. Nev´ yhodou metody inverzn´ıho regulátoru je skuteˇcnost, ˇze pokud jsou kompenzované póly daleko od sebe, dosáhneme sice v´ yrazného zlepˇsen´ı pˇrechodného dˇeje na zmˇenu ˇr´ızen´ı, ale m˚ uˇzeme dosáhnout velmi ˇspatné kompenzace poruchy. Nuly regulátoru se totiˇz objev´ı jako póly pˇrenosu poruchy. Stejn´ y problém m˚ uˇze nastat u metody standardn´ıho tvaru frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇreného obvodu, ˇcemuˇz se mus´ıme snaˇzit pˇredej´ıt.

8.2

Metoda optim´ aln´ıho modulu

Na rozd´ıl od metody standardn´ıch tvar˚ u, která vycházela z poˇzadovaného tvaru frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇrené smyˇcky pracuje metoda optimáln´ıho modulu s poˇzadovan´ ym tvarem frekvenˇcn´ı charakteristiky uzavˇrené smyˇcky. Ta je dána pˇrenosem ˇr´ızen´ı Fw (p). Ze souvislost´ı mezi frekvenˇcn´ı a ˇcasovou oblast´ı v´ıme, ˇze pˇrechodn´ y dˇej bude optimáln´ı . tehdy, bude-li |Fw (jω)| = 1 do co nejvyˇsˇs´ıch frekvenc´ı a bude-li tento pr˚ ubˇeh monotónn´ı, t.j bez rezonanˇcn´ıch pˇrekmit˚ u. Tuto podm´ınku lze matematicky formulovat vztahem d|Fw (jω)| ≤0 dω

(8.7)

Pˇredpokládejme, ˇze pro pˇrenos ˇr´ızen´ı plat´ı Fw (p) =

bm pm + bm−1 pm−1 + · · · + b1 p + b0 an pn + an−1 pn−1 + · · · + a1 p + a0

m

136

Po dosazen´ı p = jω budou v ˇcitateli i jmenovateli vektory B(jω) a A(jω), které vyjádˇr´ıme pomoc´ı jejich reáln´ ych a imaginárn´ıch ˇcást´ı. Fw (jω) =

c(jω) + jd(jω) f (jω) + jg(jω)

c(jω) =
Pro modul Fw (jω) plat´ı s c2 (jω) + d2 (jω) |Fw (jω)| = f 2 (jω) + g 2 (jω)

(8.8)

Podm´ınka (8.7) plat´ı i pro druhou mocninu modulu a to nás zbav´ı nutnosti pracovat s odmocninou. |Fw (jω)| =

Bm ω 2m + Bm−1 ω 2(m−1) + · · · + B1 ω 2 + B0 c2 (jω) + d2 (jω) = f 2 (jω) + g 2 (jω) An ω 2n + An−1 ω 2(n−1) + · · · + A1 ω 2 + A0

Porovnán´ım s rovnic´ı (8.8) z´ıskáme vztahy mezi koeficienty Ai , Bi , ai a bi B0 B1 B2 B3 .. .

= b20 = b21 − 2b0 b2 = b22 − 2b1 b3 + 2b0 b4 = b23 − 2b2 b4 + 2b1 b5 − 2b0 b6

Bm−1 = b2m−1 − 2bm−2 bm Bm = b2m

A0 A1 A2 A3 .. .

= a20 = a21 − 2a0 a2 = a22 − 2a1 a3 + 2a0 a4 = a23 − 2a2 a4 + 2a1 a5 − 2a0 a6

An−1 = a2n−1 − 2an−2 an An = a2n

Dˇr´ıve uvedené podm´ınky pro optimáln´ı pr˚ ubˇeh |Fw (jω)| m˚ uˇzeme nyn´ı vyjádˇrit ve formˇe Bi B0 ≤ Ai A0

(8.9)

T´ım je zaruˇcena monotónnost pr˚ ubˇehu |Fw (jω)|. Frekvence, po kterou bude |Fw (jω)| . m´ıt poˇzadovanou hodnotu = 1 bude t´ım vyˇsˇs´ı, ˇc´ım vˇetˇs´ı poˇcet koeficient˚ u Ai a Bi bude splˇ novat podm´ınku (8.9). Poˇcet koeficient˚ u splˇ nuj´ıc´ıch tuto podm´ınku záleˇz´ı na poˇctu voliteln´ ych konstant korekˇcn´ıch ˇclen˚ u v obvodˇe. Tak napˇr´ıklad pro regulátory typu P a I staˇc´ı jedna rovnice, pro typy PI a PD dvˇe a pro PID regulátor staˇc´ı tˇri rovnice. Je-li poˇcet podm´ınkov´ ych rovnic k vˇetˇs´ı neˇz je stupeˇ n polynomu ˇcitatele m, jsou koeficienty Bj , kde j > (k − m), rovny nule. Z podm´ınky (8.9) pak plyne i Aj = 0. Návrh konstant regulátoru metodou optimáln´ıho modulu nezaruˇcuje stabilitu obvodu. Tu je tˇreba vˇzdy zvláˇst’ kontrolovat. Pˇ r´ıklad 8.3 Metodou optimáln´ıho modulu urˇcete koeficienty regul´ ator˚ u P, PD, PI a PID pro soustavu 0.1 FS (p) = p(3p + 1)(0.8p + 1)


137

Pro pˇrenos ˇr´ızen´ı pˇri zapojeném P regulátoru plat´ı Fw (p) =

0.1KR 0.1KR = 3 p(3p + 1)(0.8p + 1) + 0.1KR 2.4p + 3.8p2 + p + 0.1KR

kde KR je zes´ılen´ı regulátoru. Koeficienty Ai , Bi jsou B0 = 0.01KR2 A0 = 0.01KR2 B1 = 0 A1 = 1 − 2 · 0.1KR · 3.8 = 1 − 0.76KR Protoˇze hledáme jedin´ y parametr KR , staˇc´ı jediná rovnice B0 B1 = =1 A1 A0

→

A1 = 0

Odtud vypoˇcteme KR = 1/0.76 = 1.32. Metodou standardn´ıho tvaru frekvenˇcn´ıch charakteristik jsme navrhli KR1 = 2.5, coˇz je asi o 5dB v´ıce. Nahlédnut´ım do obrázku 8.1 vid´ıme, ˇze v obvodu navrˇzeném podle optimáln´ıho modulu by byla fázová bezpeˇcnost asi 65◦ . Je snadné ukázat, ˇze zpˇetnovazebn´ı obvod s navrˇzen´ ym regulátorem je stabiln´ı. Pˇri pouˇzit´ı PD regulátoru bude pˇrenos uzavˇreného obvodu dán rovnic´ı Fw (p) =

0.1KR (T p + 1) p(3p + 1)(0.8p + 1)(εp + 1) + 0.1KR (T p + 1)

Za realizaˇcn´ı konstantu dosad´ıme ε = 0.05 a dostaneme Fw (p) =

0.1KR (T p + 1) 0.12p4 + 2.59p3 + 3.85p2 + (1 + 0.1KR T )p + 0.1KR

Pro Ai , Bi plat´ı B0 = 0.01KR2 A0 = 0.01KR2 2 2 B1 = 0.01KR T A1 = (1 + 0.1KR T )2 − 2 · 0.1KR · 3.85 B2 = 0 A2 = 3.852 − 2(1 + 0.1KR T ) · 2.59 + 0.1KR · 0.12 · 2 Nyn´ı budeme formulovat dvˇe rovnice B1 =1 A1

A2 = 0

ˇ sen´ım tˇechto rovnic z´ıskáme konstanty PD regulátoru KR a T : Reˇ KR = 6.21

T = 3.04

Volba konstanty T je stejná jako pˇri metodˇe standardn´ıch tvar˚ u, zes´ılen´ı je zhruba o 8dB sn´ıˇzeno. Na obrázku 8.1 vid´ıme, ˇze opˇet je systém navrˇzen na fázovou bezpeˇcnost 65◦ . Opˇet nesm´ıme zapomenout ovˇeˇrit stabilitu zpˇetnovazebn´ıho obvodu s navrˇzen´ ym regulátorem. Snadno zjist´ıme pomoc´ı nˇekterého algebraického kritéria, ˇze je stabilita zaruˇcena.


138

Pozn´ amka: Dosad´ıme-li do pˇrenosu uzavˇreného obvodu pouze ideáln´ı pˇrenos PD regulátoru, bude jeho tvar Fw (p) =

0.1KR (T p + 1) 0.1KR (T p + 1) = 3 2 p(3p + 1)(0.8p + 1) + 0.1KR (T p + 1) 2.4p + 3.8p + (1 + 0.1KR T )p + 0.1KR

Odtud pro Ai , Bi plat´ı B0 = 0.01KR2 A0 = 0.01KR2 B1 = 0.01KR2 T 2 A1 = (1 + 0.1KR T )2 − 2 · 0.1KR · 3.8 B2 = 0 A2 = 3.82 − 2(1 + 0.1KR T ) · 2.4 ˇ sen´ım stejn´ Reˇ ych podm´ınkov´ ych rovnic jako v pˇr´ıpadˇe reálného PD regulátoru z´ıskáme ˇreˇsen´ı . . KR = 6.6 T = 3.04 Snadno se lze pˇresvˇedˇcit, ˇze stabilita zpˇetnovazebn´ıho zapojen´ı je zajiˇstˇena také v tomto pˇr´ıpadˇe. Vid´ıme, ˇze obˇe varianty se pˇr´ıliˇs neliˇs´ı, o ˇcemˇz se opˇet m˚ uˇzeme pˇresvˇedˇcit pohledem do frekvenˇcn´ıch charakteristik. Pro PI regulátor bude pˇrenos uzavˇreného obvodu dán rovnic´ı Fw (p) =

p2 (3p

0.1KR (T p + 1) + 1)(0.8p + 1) + 0.1KR (T p + 1)

Pro koeficienty Ai , Bi plat´ı B0 = 0.01KR2 A0 = 0.01KR2 B1 = 0.01KR2 T 2 A1 = 0.01KR2 T 2 − 2 · 0.1KR B2 = 0 A2 = 1 − 2 · 0.1KR T · 3.8 + 2 · 0.1KR · 2.4 Prvn´ı podm´ınka

B0 B1 < =1 A1 A0 Z rovnic pro koeficienty B1 a A1 vˇsak vid´ıme, ˇze tuto podm´ınku nelze pro dan´ y typ regulátoru splnit. Parametry tohoto obvodu nelze metodou optimáln´ıho modulu navrhnout, nebot’ na charakteristice |Fw (jω)| bude vˇzdy existovat urˇcité rezonanˇcn´ı zvˇetˇsen´ı, coˇz odporuje definici optimáln´ıho modulu. Pro PID regulátor bude platit Fw (p) =

0.1KR (up2 + vp + 1) p2 (3p + 1)(0.8p + 1) + 0.1KR (up2 + vp + 1)

kde u a v jsou koeficienty u p2 a p1 v ˇcitateli pˇrenosu regulátoru. Realizaˇcn´ı konstantu zat´ım neuvaˇzujeme. Koeficienty B1 a A1 urˇcuj´ı rovnice B0 B1 B2 B3

= 0.01KR2 = 0.01KR2 v 2 − 0.02KR2 u = 0.01KR2 u2 =0

A0 A1 A2 A3

= 0.01KR2 = 0.01KR2 v 2 − 0.2KR (1 + 0.1KR u) = (1 + 0.1KR u)2 − 0.76KR v + 0.48KR = 3.82 − 4.8(1 + 0.1KR u)


139

Z rovnic pro koeficienty B1 a A1 vˇsak vid´ıme, ˇze tuto podm´ınku nelze opˇet pro dan´ y typ regulátoru splnit. D˚ uvod je stejn´ y jako v pˇr´ıpadˇe pokusu o návrh PI regulátoru. Metodu optimáln´ıho modulu nelze obecnˇe pouˇz´ıt v pˇr´ıpadˇe, kdy je v pˇrenosu otevˇrené smyˇcky v´ıce neˇz jeden astatismus. Tato podm´ınka nen´ı splnˇena ani v pˇr´ıpadˇe PI, ani v pˇr´ıpadˇe PID regulátoru. Stejnˇe bychom dopadli, kdybychom se pokusili navrhnout reáln´ y PID regulátor se zvolenou realizaˇcn´ı konstantou. Pro ˇcasto pouˇz´ıvanou aproximaci statick´ ych regulovan´ ych soustav soustavou n-tého ˇrádu se stejn´ ymi ˇcasov´ ymi konstantami FS (p) =

kS (T p + 1)n

byly hodnoty r˚ uzn´ ych typ˚ u regulátor˚ u vypoˇcteny a jsou uvedeny v tabulce 8.1. Pˇrenos

konst.

Typ

P

I

PI

PID

1 kp = kS (n − 1)

1 ki = kS T 2n

kd = ki = 0

kd = kp = 0

n+2 kp = kS 4(n − 1) 3 ki = kS T 4(n − 1)

17n + 16 16kS (n − 2) 15 ki = 16kS T (n − 2)

kd = 0

kp =

kd =

T (n + 1)(n + 3) kS 16(n + 2)

Tabulka 8.1: Vzorce pro v´ ypoˇcet regulátor˚ u metodou optimáln´ıho modulu pro soustavy se stejn´ ymi ˇcasov´ ymi konstantami regulátoru je pˇredpokládán ve tvaru FR (p) = kp +

ki + kd p p

Pˇ r´ıklad 8.4 Uvaˇzujme systém druhého ˇrádu s promˇenným tlumen´ım ξ Fw (p) =

T 2 p2

1 + 2T ξp + 1

Vypoˇc´ıtejte hodnotu tlumen´ı ξ metodou optimáln´ıho modulu. Pro koeficienty Ai a Bi plat´ı B0 = 1 A0 = 1 B1 = 0 A1 = 4T 2 ξ 2 − 2T 2 V´ ysledné tlumen´ı ξ je dáno rovnic´ı 4T 2 ξ 2 − 2T 2 = 0 jej´ımˇz ˇreˇsen´ım z´ıskáváme ξom =

r

1 = 0.707 2


140

Pˇrenos uzavˇrené smyˇcky je stabiln´ı pro vˇsechny kladné hodnoty ˇcasové konstanty T a tlumen´ı ξ. Pokud v´ ysledek srovnáme s návrhem podle kvadratického integráln´ıho kritéria (viz. pˇr´ıklad 7.1) zjist´ıme, ˇze metoda optimáln´ıho modulu dává tlumenˇejˇs´ı pr˚ ubˇeh pˇrechodného dˇeje, protoˇze hodnota tlumen´ı podle kvadratického integráln´ıho kritéria vycház´ı ξkik = 0.5. Metoda optimáln´ıho modulu dává stejné v´ ysledky jako metoda optimáln´ıho rozloˇzen´ı pól˚ u v komplexn´ı rovinˇe. 8.2.1

Shrnut´ı

Metoda optimáln´ıho modulu vycház´ı z poˇzadovaného tvaru frekvenˇcn´ı charakteristiky uzavˇrené smyˇcky. Snaˇz´ı se dosáhnout toho, aby na frekvenˇcn´ı charakteristice uzavˇrené smyˇcky nebylo rezonanˇcn´ı pˇrev´ yˇsen´ı. Vzhledem k tomu, ˇze se jedná pouze o aproximaci, je nutné vˇzdy provést následn´ y test stability uzavˇreného obvodu a po vykreslen´ı frekvenˇcn´ı charakteristiky uzavˇreného obvodu m˚ uˇze po návrhu touto metodou nˇejaké rezonanˇcn´ı pˇrev´ yˇsen´ı b´ yt. Metodu nelze pouˇz´ıt pro regulaˇcn´ı obvody, ve kter´ ych je v´ıce neˇz jeden astatismus v otevˇrené smyˇcce.

8.3

Metody optim´ aln´ıho ˇ casov´ eho pr˚ ubˇ ehu

I kdyˇz poˇzadavky na regulaˇcn´ı dˇej jsou ˇcasto definovány právˇe v ˇcasové oblasti, t.j. tvarem pˇrechodové nebo impulsn´ı charakteristiky, pˇr´ım´ y návrh regulátoru podle nich neprovád´ıme. V´ yjimku tvoˇr´ı metody zaloˇzené na simulaci systému. Vˇetˇsinou jsou p˚ uvodn´ı poˇzadavky pˇrevedeny do odpov´ıdaj´ıc´ıho tvaru frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇreného obvodu, nebo na poˇzadované rozloˇzen´ı pól˚ u pˇrenosu uzavˇreného obvodu. Jednu z moˇznost´ı návrhu poskytuje minimalizace nˇekterého z integráln´ıch kritéri´ı jakosti regulace. Pro algebraick´ y návrh je vˇsak k dispozici prakticky pouze kvadratické kritérium, nebot’ analytick´ y v´ ypoˇcet ostatn´ıch kritéri´ı je velmi obt´ıˇzn´ y. U kvadratického kritéria jsou vˇsak v´ ysledky návrhu pomˇernˇe málo tlumené pr˚ ubˇehy. Proto se tˇechto metod pouˇz´ıvá sp´ıˇse pro porovnán´ı kvality systém˚ u s r˚ uzn´ ymi typy regulátor˚ u. Pˇ r´ıklad 8.5 Navrhnˇete proporcionáln´ı regul´ ator P, který bude minimalizovat kvadratickou regulaˇcn´ı plochu, pro soustavu FS (p) =

0.1 p(3p + 1)(0.8p + 1)

Pro v´ ypoˇcet kvadratické regulaˇcn´ı plochy pouˇzijeme Nekolného doplnˇek Routh-Schurova kritéria (kapitola 7.1.2). K tomu potˇrebujeme znát obraz odchylky pˇri skokové zmˇenˇe ˇr´ıdic´ı veliˇciny. V naˇsem pˇr´ıpadˇe plat´ı (3p + 1)(0.8p + 1) 2.4p2 + 3.8p + 1 1 = E(p) = FE (p) = p p(3p + 1)(0.8p + 1) + 0.1KR 2.4p3 + 3.8p2 + p + 0.1KR Na koeficienty jmenovatele a ˇcitatele aplikujeme Routh-Schur˚ uv algoritmus


2.4 3.8 −2.4

1

−0.063KR 3.8 1 − 0.063KR

−3.8

α1 =

0.1KR α2 =

1 − 0.063KR 0.1KR

1 2.4 3.8 −2.4 −0.063KR 3.8 1 − 0.063KR −3.8

0.1KR

α3 =

2.4 3.8

141

= 0.63

3.8 1−0.063KR 1−0.063KR 0.1KR

β1 = 0.63 β2 =

3.8 1−0.063KR

1 − 0.063KR β3 =

1−0.063KR 0.1KR

Velikost kvadratické regulaˇcn´ı plochy je 1 − 0.063KR 3.8 1 + 0.63 + Jk = 2 1 − 0.063KR 0.1KR

Minimum tohoto v´ yrazu urˇc´ıme z podm´ınky dJk =0 (8.10) dKR Vypoˇctená hodnota je KR = 4.6. Ve srovnán´ı s metodou standardn´ıch tvar˚ u je to takˇrka dvojnásobek a proti hodnotˇe urˇcené metodou optimáln´ıho modulu je to 3.5 násobek. Z obrázku 8.1 je vidˇet, ˇze fázová bezpeˇcnost je v tomto pˇr´ıpadˇe znaˇcnˇe n´ızká M P = 35◦ . Kromˇe toho i v tomto jednoduchém pˇr´ıpadˇe mus´ıme pro v´ ypoˇcet rovnice (8.10) ˇreˇsit algebraickou rovnici tˇret´ıho ˇrádu (iterac´ı). I tento pˇr´ıklad pˇredurˇcuje pouˇzit´ı této metody sp´ıˇse pro anal´ yzu neˇz pro syntézu regulaˇcn´ıho obvodu.

8.4

Metoda Ziegler-Nicholsova

Jedná se o jednoduchou metodu, která nevyˇzaduje nijak hluboké vˇedomosti z oblasti teorie ˇr´ızen´ı dynamick´ ych systém˚ u. V praxi je obl´ıbená a hojnˇe pouˇz´ıvaná právˇe pro svoji jednoduchost. Metoda vyˇzaduje mˇeˇren´ı na reálném objektu, model soustavy, pˇr´ıpadnˇe simulaˇcnˇe z´ıskaná data z modelu. Pˇredpokládáme regulátor typu PID s pˇrenosem 1 FR (p) = KR 1 + + TD p (8.11) TI p Princip metody se dá shrnout do následuj´ıc´ıch krok˚ u.

1. vyˇrad´ıme integraˇcn´ı a derivaˇcn´ı sloˇzku PID regulátoru (TD = 0 a TI = ∞) 2. zvyˇsujeme zes´ılen´ı proporcionáln´ı sloˇzky KR , dokud nedosáhneme meze stability. Hodnota KR , pˇri kterém v obvodu vznikly netlumené kmity, se naz´ yvá kritické zes´ılen´ı a znaˇc´ı se Kkrit . Perioda netlumen´ ych kmit˚ u se naz´ yvá kritická perioda a znaˇc´ı se Tkrit


142

Typ regulátoru KR TI P KR = 0.5Kkrit PI KR = 0.45Kkrit TI = 0.85Tkrit PD dolad´ıme na optimáln´ı hodnotu PID KR = 0.6Kkrit TI = 0.5Tkrit

TD TD = 0.12Tkrit TD = 0.125Tkrit

Tabulka 8.2: Vzorce pro návrh parametr˚ u regulátoru metodou Ziegler-Nicholse 3. pokud máme zjiˇstˇeny kritické hodnoty Kkrit a Tkrit , m˚ uˇzeme dosazen´ım do vzoreˇck˚ u v tabulce 8.2 urˇcit parametry zvoleného regulátoru Metoda pˇredpokládá uveden´ı regulaˇcn´ıho obvodu na mez stability. Soustava pak kmitá netlumen´ ymi kmity. Takov´ yto experiment nen´ı z d˚ uvod˚ u technologick´ ych a nebo bezpeˇcnostn´ıch pro vˇsechny soustavy pˇr´ıpustn´ y. Pro takovéto soustavy máme ˇctyˇri moˇznosti • urˇcit kritické parametry z pˇrechodové charakteristiky • pouˇz´ıt model soustavy a kritické parametry urˇcit z v´ ysledk˚ u simulace • pouˇz´ıt model soustavy a kritické parametry urˇcit v´ ypoˇctem • pouˇz´ıt relé bez hystereze Postup urˇcen´ı kritick´ ych parametr˚ u z v´ ysledk˚ u simulace se nijak neliˇs´ı od zjiˇst’ován´ı tˇechto hodnot na reálném systému. Ostatn´ı body si probereme postupnˇe v následuj´ıc´ıch podkapitolách. Nyn´ı se jeˇstˇe vrát´ıme ke vzoreˇck˚ um v tabulce 8.2. Zkusme si dosadit hodnoty parametr˚ u PID regulátoru do vzorce (8.11). FR (p) = 0.6Kkrit (1 +

2

+ 0.125Tkrit p) =

Tkrit p 1.2Kkrit (0.25p + 1)2 = Tkrit p

2 p2 + 0.5Tkrit p + 1 1.2Kkrit 0.0625Tkrit Tkrit p

Jak vid´ıme, regulátor má obˇe nuly um´ıstˇeny ve stejném bodˇe a to v n1,2 = 0.25T1 krit . T´ım takto navrˇzen´ y regulátor optimálnˇe vyreguluje poruchu (diskuze v kapitole 8.1.1). 8.4.1

Urˇ cen´ı kritick´ ych parametr˚ u z pˇ rechodov´ e charakteristiky

Pokud máme k dispozici pˇrechodovou charakteristiku, m˚ uˇzeme urˇcit kritické parametry odeˇcten´ım doby pr˚ utahu Tu a doby nábˇehu Tn . Pro kritické parametry plat´ı pˇribliˇzné vztahy . . π Tn +1 Tkrit = 4Tu Kkrit = 2 Tu Tyto hodnoty dosad´ıme do vzoreˇck˚ u v tabulce 8.2 a t´ım z´ıskáme parametry zvoleného regulátoru.


8.4.2

143

Urˇ cen´ı kritick´ ych parametr˚ u v´ ypoˇ ctem ze zn´ am´ eho modelu

Pokud máme model soustavy, zaj´ımá nás zes´ılen´ı, které pˇrivede soustavu na mez stability. K tomu m˚ uˇzeme pouˇz´ıt r˚ uzn´ ych postup˚ u. Podle Nyquistova kritéria stability je uzavˇren´ y obvod na mezi stability, pokud frekvenˇcn´ı charakteristika otevˇrené smyˇcky procház´ı bodem (−1, 0). Na základˇe tohoto kritéria staˇc´ı urˇcit pr˚ useˇc´ık frekvenˇcn´ı charakteristiky F0 (jω) se zápornou ˇcást´ı reálné osy (−x, 0). Kritické zes´ılen´ı je potom Kkrit = 1/x. Urˇcen´ı tohoto pr˚ useˇc´ıku nen´ı pro soustavy vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u jednoduché, proto je lepˇs´ı pouˇz´ıt pro urˇcen´ı kritického zes´ılen´ı nˇekterého z algebraick´ ych kritéri´ı stability (Routh-Schurovo nebo Hurwitzovo). Kritická perioda se spoˇc´ıtá z podm´ınky pro nulovou imaginárn´ı ˇcást. 8.4.3

Rozkmit´ av´ an´ı pouˇ zit´ım rel´ e bez hystereze

Pro zjiˇstˇen´ı kritick´ ych parametr˚ u soustavy se nˇekdy pouˇz´ıvá m´ısto proporcionáln´ıho regulátoru ideáln´ıho relé bez hystereze. V´ yhodou je, ˇze kmity jsou potom ˇr´ızené (amplituda kmit˚ u závis´ı na amplitudˇe relé) a nehroz´ı proto, ˇze by se nám systém nekontrolovanˇe rozkmital. Protoˇze relé je nelineárn´ı prvek, je tato problematika mimo rámec tohoto kurzu. Pˇ r´ıklad 8.6 U soustavy s pˇrenosem FS (p) =

0.1 p(3p + 1)(0.8p + 1)

byly experimentálnˇe zmˇeˇreny kritické parametry Kkrit = 16 a Tkrit = 10s. Navrhnˇete regul´ ator PID metodou Ziegler-Nicholse. Podle tabulky 8.2 dostaneme tyto hodnoty parametr˚ u regulátoru KR = 9.6

TI = 5s

odkud pˇrenos regulátoru FR (p) = 1.9

TD = 1.25s

(2.5p + 1)2 p

Srovnán´ım v´ ysledk˚ u metody Ziegler-Nicholse s v´ ysledky metodou standardn´ıch tvar˚ u a metodou optimáln´ıho modulu vid´ıme, ˇze dostáváme dalˇs´ı moˇznou variantu nastaven´ı konstant regulátoru, nepˇr´ıliˇs odliˇsnou od obou pˇredchoz´ıch. 8.4.4

Shrnut´ı

Metoda Ziegler-Nicholse je v´ yhodná v pˇr´ıpadˇe, kdy nemáme k dispozici pˇrenos soustavy, ale m˚ uˇzeme na n´ı provádˇet experiment spoˇc´ıvaj´ıc´ı v pˇriveden´ı soustavy na mez stability. Toto m˚ uˇze b´ yt v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech nebezpeˇcné, proto je lepˇs´ı vyuˇz´ıt rozkmitáván´ı pomoc´ı relé bez hystereze, kdy je amplituda kmit˚ u ˇr´ızena v´ ystupn´ı amplitudou relé.


8.5

144

Metoda poˇ zadovan´ eho rozloˇ zen´ı p´ ol˚ u uzavˇ ren´ eho obvodu

Tato metoda vyuˇz´ıvá vztahu mezi ˇcasov´ ymi odezvami a rozloˇzen´ım pól˚ u pˇrenosu, v tomto pˇr´ıpadˇe uzavˇrené smyˇcky. Pouˇz´ıvá jiˇz dˇr´ıve vysvˇetlené konstrukce koˇrenového hodografu. Je vhodná pro návrh struktury korekˇcn´ıch ˇclen˚ u (t.j. typu jejich pˇrenosové funkce). Pouˇzit´ı v´ ypoˇcetn´ı techniky umoˇzn´ı urˇcen´ı konkrétn´ıch konstant regulátoru. (rltool programu Matlab). Stanov´ıme-li poˇzadavky na tlumen´ı uzavˇreného obvodu, vymez´ıme t´ım souˇcasnˇe jistou oblast v rovinˇe p, ve které mohou leˇzet póly uzavˇrené smyˇcky. Z obrázku 8.3 je vidˇet, ˇze vˇetˇs´ı hodnotˇe tlumen´ı odpov´ıdá v´ yseˇc, jej´ıˇz omezuj´ıc´ı pˇr´ımky sv´ıraj´ı s imaginárn´ı osou vˇetˇs´ı u ´hel. Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı pro nás bude poloha dominantn´ıch pól˚ u (póly leˇz´ıc´ı nejbl´ıˇze od imaginárn´ı osy). Zrychlen´ı odezvy dosáhneme posunem tˇechto pól˚ u co nejv´ıce vlevo. Takto modifikovanou v´ yseˇc ukazuje obrázek 8.3 d). Im

Im

ξ = 0.707

ξ = 0.87

45◦

60◦

0

0

Re

45◦

Re

60◦

a)

b) ξ = 0.5

Im

Im ξ = 0.707

30◦

0

0

Re

Re

30◦

c)

d)

Obr´ azek 8.3: V´ yseˇce v rovinˇe p odpov´ıdaj´ıc´ı r˚ uzn´ ym hodnotám tlumen´ı


145

Pˇ r´ıklad 8.7 Pro soustavu 0.1 p(3p + 1)(0.8p + 1)

FS (p) =

navrhnˇete pomoc´ı programu Matlab proporcionáln´ı regul´ ator KR , který zajist´ı tlumen´ı dominantn´ıch pól˚ u ξ = 0.707 Nejprve zadáme pˇrenos soustavy, napˇr´ıklad ve tvaru pod´ılu dvou polynom˚ u >> Fs=tf([0.1],[2.4 3.8 1 0]) Nyn´ı spust´ıme pˇr´ıkaz rltool, kter´ y spust´ı nástroj sisotool se zobrazen´ım koˇrenového hodografu. >> rltool(Fs); Kliknut´ım pravého tlaˇc´ıtka myˇsi na grafu koˇrenového hodografu se zobraz´ı menu, ze kterého vybereme Design constraints (Návrhová omezen´ı) - New (Nové) typ Damping ratio (Tlumen´ı) a nastav´ıme ho na 0.707. T´ım se nám v grafu objev´ı v´ yseˇc odpov´ıdaj´ıc´ı zadanému tlumen´ı. Pomoc´ı funkce Zoom si pˇribl´ıˇz´ıme oblast, kde se nacházej´ı dominantn´ı póly. V naˇsem pˇr´ıpadˇe je to obdéln´ık dan´ y body (−0.3, −0.3j) a (0, 0.3j). Nyn´ı uchop´ıme myˇs´ı jeden pól (ˇcerven´ y obdéln´ık)a táhneme jej smˇerem k ˇsedé hranici v´ yseˇce. Aktuáln´ı hodnotu tlumen´ı, spoleˇcnˇe s aktuáln´ı polohou pólu, je moˇzné sledovat ve spodn´ı ˇcásti okna. Pokud pˇreneseme pól na tuto hranici, leˇz´ı v bodˇe (−0.145 ± 0.145j). V horn´ı ˇcásti okna tomu odpov´ıdá Current compensator (aktuáln´ı regulátor) C(p) = 1.31 Na obrázku 8.4 vid´ıme koˇrenov´ y hodograf odpov´ıdaj´ıc´ı zadané soustavˇe pˇri pouˇzit´ı P regulátoru. Im

ξ = 0.707

−1.0

−0.5

+

+

+

0.5

Re −0.5

Obr´ azek 8.4: Koˇrenov´ y hodograf s P regulátorem


146

Pˇ r´ıklad 8.8 Pro stejnou soustavu jako v minulém pˇr´ıpadˇe navrhnˇete PD regul´ ator, který zajist´ı tlumen´ı dominantn´ıch pól˚ u pˇrenosu uzavˇrené smyˇcky ξ = 0.707. Zaˇcátek je stejn´ y jako v minulém pˇr´ıpadˇe. Pˇridejme do regulátoru C(p) jednu nulu, ˇc´ımˇz vytvoˇr´ıme PD regulátor. Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe metody standardn´ıch tvar˚ u frekvenˇcn´ıch charakteristik ji um´ıst´ıme do bodu (−1/3, 0), kde vykompenzuje pól pˇrenosu soustavy. Um´ıstˇen´ı pólu provedeme tak, ˇze najedeme na ˇcást okna Siso Design Tool, kde je vidˇet Current compensator a stlaˇc´ıme tlaˇc´ıtko myˇsi. Objev´ı se okno, ve kterém m˚ uˇzeme pˇridávat nuly a póly do regulátoru C(p).Opˇet uchop´ıme jeden dominantn´ı pól a pˇretáhneme ho na hranici v´ yseˇce. Pól potom bude leˇzet v bodˇe (−0.625±0.625j). Regulátor je dán pˇrenosem C(p) = 6.25(3p + 1) Protoˇze tento pˇrenos je nerealizovateln´ y, vloˇzme realizaˇcn´ı konstantu (pól) do bodu (−20, 0). To se nám projev´ı tak, ˇze dominantn´ı póly budou mimo definovanou v´ yseˇc. Pˇretaˇzen´ım jednoho z nich na hranici do bodu (−0.606 ± 0.606j) se zmˇen´ı hodnota zes´ılen´ı PD regulátoru na 5.86. V´ ysledn´ y pˇrenos regulátoru je potom C(p) = 5.86

3p + 1 0.05p + 1

Koˇrenov´ y hodograf soustavy s PD regulátorem je na obrázku 8.5. Vˇsimnˇeme si, ˇze poloha dominantn´ıch pól˚ u se pˇri pouˇzit´ı PD regulátoru posune, ve srovnán´ı pˇr´ıkladem s regulátorem P (obrázek 8.4), asi ˇctyˇrikrát dále od imaginárn´ı osy. To odpov´ıdá pˇribliˇznˇe ˇctyˇrnásobnému zv´ yˇsen´ı rychlosti odezvy zpˇetnovazebn´ıho zapojen´ı na jednotkov´ y skok. Im

ξ = 0.707

0.5

+

+

pól v −20 −1.0

−0.5

Re −0.5

Obr´ azek 8.5: Koˇrenov´ y hodograf s PD regulátorem

Pˇ r´ıklad 8.9 Srovnejte koˇrenové hodografy PID regul´ ator˚ u, které byly navrˇzeny metodou standardn´ıch tvar˚ u frekvenˇcn´ıch charakteristik, metodou optimáln´ıho modulu a metodou Ziegler-Nicholsovou. Srovnán´ı proved’te s ohledem na hodnotu tlumen´ı ξ = 0.707.


147

Pro jednoduchost budeme ve vˇsech tˇrech pˇr´ıpadech uvaˇzovat verze PID regulátor˚ u bez realizaˇcn´ıch konstant. Jednotliv´ ymi návrhov´ ymi metodami jsme postupnˇe z´ıskali následuj´ıc´ı pˇrenosy otevˇrené smyˇcky (bez zes´ılen´ı proporcionáln´ı sloˇzky, které pro tvar koˇrenového hodografu nepotˇrebujeme) F0 (p) =

K0 (30p + 1) p2 (0.8p + 1)

F0 (p) =

K0 (30p2 + 10p + 1) p2 (3p + 1)(0.8p + 1)

F0 (p) =

K0 (2.5p + 1)2 p2 (3p + 1)(0.8p + 1)

Jejich koˇrenové hodografy jsou znázornˇeny na obrázc´ıch 8.6, 8.7 a 8.8. Nyn´ı se na tyto obrázky pod´ıvejme podrobnˇeji. Metoda optimáln´ıho modulu (obrázek 8.7) dává pˇri poˇzadované hodnotˇe tlumen´ı ξ = 0.707 rychlejˇs´ı pˇrechodn´ y dˇej, nebot’ pr˚ useˇc´ıky vˇetv´ı koˇrenového hodografu s v´ yseˇc´ı, která odpov´ıdá zadanému tlumen´ı, leˇz´ı v´ıce vlevo od imaginárn´ı osy u frekvenˇcn´ıch charakneˇz je tomu na obrázku 8.6 z´ıskaném metodou standardn´ıch tvar˚ teristik. Zaj´ımav´ y je v´ ysledek z´ıskan´ y návrhovou metodou Ziegler-Nicholsovou (8.8). Dvˇe vˇetve koˇrenového hodografu s dominantn´ımi póly totiˇz leˇz´ı mimo v´ yseˇc odpov´ıdaj´ıc´ı poˇzadovanému tlumen´ı, tud´ıˇz pro jakékoliv zes´ılen´ı nen´ı moˇzné dosáhnou s takto rozloˇzen´ ymi nulami PID regulátoru poˇzadovaného tlumen´ı. 0.2

−1.2

Im

bc

+

+

ξ = 0.707

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

Re

−0.2 −0.2

Obr´ azek 8.6: Koˇrenov´ y hodograf pro soustavu s PID regulátorem navrˇzen´ ym metodou standardn´ıch tvar˚ u frekvenˇcn´ıch charakteristik

0.2

Im

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

+

Re

−0.2 bc

−1.2

+

+

bc

ξ = 0.707

−0.2

Obr´ azek 8.7: Koˇrenov´ y hodograf pro soustavu s PID regulátorem navrˇzen´ ym metodou optimáln´ıho modulu


148

−1.2

−1.0

−0.8

−0.6

0.2

−0.4

Im

+

+

bc

+

ξ = 0.707

Re

−0.2 −0.2

Obr´ azek 8.8: Koˇrenov´ y hodograf pro soustavu s PID regulátorem navrˇzen´ ym metodou Zieglera-Nicholse

8.6

Metoda standardn´ıch tvar˚ u charakteristick´ eho polynomu

Jedná se opˇet o návrh, kter´ y se snaˇz´ı definovat tvar jmenovatele pˇrenosu uzavˇreného obvodu, kterému se ˇr´ıká charakteristick´ y polynom. Z pˇredchoz´ıch kapitol v´ıme, ˇze koˇreny charakteristického polynomu jsou urˇcuj´ıc´ı pro dynamiku uzavˇreného obvodu. Pro r˚ uzné typy astatismu v otevˇreném obvodˇe a ˇrád charakteristického polynomu lze pˇredem stanovit optimáln´ı hodnoty koeficient˚ u u jednotliv´ ych mocnin (respektive jejich vzájemn´ y pomˇer). Pro r˚ uznˇe definované poˇzadavky na ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh (nejˇcastˇeji maximáln´ı velikost pˇrekmitu) byly vypoˇcteny r˚ uzné standardn´ı tvary. Jedny z nejˇcastˇeji pouˇz´ıvan´ ych jsou Witeley-ho tvary, které plat´ı pro soustavy s astatismem 1. ˇrádu a regulátory typu P, PI, PD a PID. Tyto tvary charakteristick´ ych polynom˚ u jsou v bezrozmˇerném tvaru uvedeny v tabulce 8.3. Typ reg. n Koeficienty standardn´ıch tvar˚ u 2 1 1.4 1 3 1 2 2 1 P 4 1 2.6 3.4 2.6 1 5 1 3.2 5.2 5.2 3.2 1 6 1 3.7 7.5 9.1 7.5 3.7 1 2 1 2.5 1 PD 3 1 5.1 6.3 1 nebo 4 1 7.2 16 12 1 PI 5 1 9 29 38 18 1 6 1 11 43 83 73 25 1 3 1 6.7 6.7 1 PID 4 1 7.9 15 7.9 1 5 1 18 69 69 18 1 6 1 36 251 486 251 36 1 Tabulka 8.3: Whiteley-ho tvary charakteristick´ ych polynom˚ u v bezrozmˇerném tvaru Pro konkrétn´ı pouˇzit´ı je tˇreba charakteristick´ y polynom upravit na bezrozmˇern´ y tvar.


149

V tomto tvaru je prvn´ı i posledn´ı koeficient roven jedné. Uvaˇzujme charakteristick´ y polynom A(p) = an pn + an−1 pn−1 + · · · + a1 p + a0 Pˇrevod na bezrozmˇern´ y tvar se provede vydˇelen´ım koeficientem a0 a zaveden´ım frekvenˇcn´ı transformace an n p = qn a0 kde q je nová bezrozmˇerná promˇenná. Pˇ r´ıklad 8.10 K soustavˇe FS (p) =

0.1 p(3p + 1)(0.8p + 1)

navrhnˇete metodou standardn´ıch tvar˚ u charakteristického polynomu PD regul´ ator ve tvaru FR (p) = Kr (T p + 1) Nejprve si vyjádˇr´ıme charakteristick´ y polynom 2.4p3 + 3.8p2 + (1 + K0 T )p + K0 Nejprve podˇel´ıme vˇsechny koeficienty K0 , ˇc´ımˇz dostaneme 2.4 3 3.8 2 (1 + K0 T ) p + p + p+1 K0 K0 K0

(8.12)

Nyn´ı zavedeme substituci 2.4 3 p = q3 K0

→

p=q

r 3

K0 2.4

Dosazen´ım za p do rovnice (8.12) dostaneme 3.8 q + K0 3

K0 2.4

23

1 + K0 T q + K0 2

K0 2.4

13

q+1

Protoˇze se jedná o regulátor PD a stupeˇ n charakteristického polynomu je roven tˇrem, vybereme z tabulky 8.3 odpov´ıdaj´ıc´ı ˇrádek s koeficienty standardn´ıho bezrozmˇerného tvaru charakteristického polynomu. Srovnán´ım koeficient˚ u z´ıskáme 3.8 K0

K0 2.4

23

= 5.1

1 + K0 T K0

K0 2.4

13

= 6.3

odkud plyne K0 = 0.072

→

KR =

K0 = 0.72 0.1

a

T = 6.36


150

Navrˇzen´ y regulátor má pˇrenos FR (p) = 0.72(6.36p + 1) Vˇsimnˇeme si, ˇze PD regulátor navrˇzen´ y metodou standardn´ıch tvar˚ u charakteristického polynomu dává ve srovnán´ı s ostatn´ımi probran´ ymi metodami srovnatelnou hodnotu derivaˇcn´ı ˇcasové konstanty, avˇsak velmi n´ızkou hodnotu proporcionáln´ıho zes´ılen´ı. Systémy navrtˇzené metodou standardn´ıch tvar˚ u charakteristického polynomu podle tabulky 8.3 vykazuj´ı silnˇe tlumené a pomalé odezvy.

8.7

Shrnut´ı

V této kapitole jsme se vˇenovali metodám návrhu regulátor˚ u. Zhodnocen´ı jednotliv´ ych metod je provedeno bud’to pˇr´ımo v dané podkapitole nebo na jej´ım konci v samostatné podkapitole. Mohli bychom nam´ıtnout, proˇc se zab´ yváme návrhov´ ymi metodami spojit´ ych regulátor˚ u, kdyˇz jsme si v u ´vodu uˇcebn´ıho textu ˇrekli, ˇze stejnˇe vˇetˇsina dnes navrˇzen´ ych regulátor˚ u pracuje v nˇejakém ˇr´ıdic´ım poˇc´ıtaˇci, ˇcili diskrétnˇe. Je to z toho d˚ uvodu, ˇze návrh spojit´ ych regulátor˚ u je dostateˇcnˇe dobˇre propracován. Jednou z moˇznost´ı jak navrhnout diskrétn´ı regulátor je navrhnout spojit´ y regulátor na soustavu s dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım o hodnotˇe poloviny periody vzorkován´ı a tento regulátor pˇrevést na diskrétn´ı ekvivalent. Tento postup bude ukázán v kapitole 10 (podkapitola 10.4.3)

8.8


Ot´ azka 8.1 Vysvˇetlete metodu standardn´ıch tvar˚ u frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇreného obvodu. Ot´ azka 8.2 Kdy se nehod´ı pouˇz´ıt metodu inverzn´ıho regul´ atoru a proˇc? Ot´ azka 8.3 Proˇc je v praxi obl´ıben´ a metoda Ziegler-Nicholse pro n´ avrh regul´ atoru. Jaké zn´ ate zp˚ usoby jej´ıho pouˇzit´ı?


9

151

Rozvˇ etven´ e regulaˇ cn´ı obvody

Regulaˇcn´ı obvody, které jsme dosud prob´ırali, byly tvoˇreny soustavou a regul´ atorem v jedné zpˇetnovazebn´ı smyˇcce. Takové obvody nazýv´ ame jednoduché. Jsou-li na kvalitu regulace kladeny vyˇsˇs´ı poˇzadavky, pˇr´ıpadnˇe je-li poˇzadováno optimáln´ı uspoˇrád´ an´ı regulaˇcn´ıho obvodu, nestaˇc´ı uˇz tato jednoduchá struktura a mus´ıme pouˇz´ıt dalˇs´ı regulaˇcn´ı vazby. Vznikne tak systém s vˇetˇs´ım poˇctem vazeb mezi jednotlivými ˇcleny obvodu. Takové obvody nazýv´ ame rozvˇetvené. Ke zlepˇsen´ı kvality regulace pouˇz´ıváme r˚ uzné pomocné veliˇciny a podle toho rozezn´ av´ ame tyto hlavn´ı typy rozvˇetvených regulaˇcn´ıch obvod˚ u. 1. obvody s pomocnou regulovanou veliˇcinou 2. obvody s pomocnou akˇcn´ı veliˇcinou 3. obvody s mˇeˇren´ım poruchy 4. obvody s modelem regulované soustavy Vlastnosti jednotlivých typ˚ u ukáˇzeme na vybraných pˇr´ıkladech.

9.1

Regulaˇ cn´ı obvody s pomocnou regulovanou veliˇ cinou

Blokové schéma tohoto typu regulaˇcn´ıho obvodu je na obrázku 9.1. V regulované soustavˇe u(t) w(t)

e(t) R1

x1 (t)

R2

S1

x2 (t)

y(t) S2

Obr´ azek 9.1: Schéma regulaˇcn´ıho obvodu s pomocnou regulovanou veliˇcinou tvoˇrené sériov´ ym spojen´ım blok˚ u S1 a S2 je mˇeˇrena veliˇcina x2 (t), která je regulátorem R2 ˇr´ızena podle ˇzádané hodnoty x1 (t) (hlavn´ı akˇcn´ı veliˇcina). Jako hlavn´ı regulátor pracuje blok R1 . Pˇrenos ˇr´ızen´ı tohoto rozvˇetveného obvodu je Fw (p) =

R1 (p)R2 (p)S1 (p)S2 (p) Y (p) = W (p) 1 + R2 (p)S1 (p) + R1 (p)R2 (p)S1 (p)S2 (p)

(9.1)

a pˇrenos poruchy Fu (p) =

S2 (p)[1 + S1 (p)R2 (p)] Y (p) = U (p) 1 + R2 (p)S1 (p) + R1 (p)R2 (p)S1 (p)S2 (p)

(9.2)


152

Z tˇechto rovnic je vidˇet vliv zavedené pomocné zpˇetné vazby na tvar charakteristického polynomu. Jiˇz v kapitole o regulátorech jsme poznali jeden typ tohoto obvodu. Je-li akˇcn´ım orgánem servomotor s polohov´ ym v´ ystupem, zavád´ıme zpˇetnou vazbu od polohy a zmˇen´ıme tak pˇrenos tohoto akˇcn´ıho ˇclenu. Protoˇze se jedná o pevnou zpˇetnou vazbu (bez derivaˇcn´ıho ˇclenu), zmˇen´ı se p˚ uvodnˇe astatick´ y akˇcn´ı ˇclen na ˇclánek statick´ y. Zaˇrad´ıme-li jako hlavn´ı regulátor nˇekter´ y typ s integraˇcn´ı sloˇzkou (I, PI, nebo PID), nen´ı v systému astatismus 2. ˇrádu a systém je ménˇe náchyln´ y k nestabilitˇe. Pomocná regulovaná veliˇcina se ˇcasto pouˇz´ıvá pˇri regulaci teploty a v polohov´ ych servomechanismech. Pˇri regulaci teploty je soustava obvykle tvoˇrena vˇetˇs´ım poˇctem setrvaˇcn´ ych ˇclánk˚ u spojen´ ych sériovˇe. Zaveden´ım pomocné regulované veliˇciny mˇeˇrené v bl´ızkosti vstupu do soustavy, z´ıskáme moˇznost rychlejˇs´ı reakce na vznik poruchy, a t´ım jej´ı lepˇs´ı potlaˇcen´ı. w(t) R1

ˇ C1

pec

ˇ C2

R2

hoˇráky

topn´ y plyn

ˇ ızen´ı teploty v obvodu s pomocnou regulovanou veliˇcinou Obr´ azek 9.2: R´ y regulaˇcn´ı obvod, ve kterém je jako pomocná Na obrázku 9.2 je nakreslen rozvˇetven´ regulovaná veliˇcina zavedena teplota pláˇstˇe pece vyhˇr´ıvané hoˇráky. Zmˇen´ı-li se v´ yhˇrevnost nebo tlak topného plynu, projev´ı se tato zmˇena rychleji na teplotˇe pláˇstˇe, neˇz na teplotˇe látky v peci. Reakce regulátoru R2 je proto mnohem rychlejˇs´ı neˇz regulátoru R1 a vliv poruchy je rychleji kompenzován. Pˇri konstrukci servomechanism˚ u (regulátor˚ u polohy) a regulátor˚ u otáˇcek se taktéˇz uplatˇ nuj´ı pomocné regulované veliˇciny. Servomechanismus s rozvˇetvenou strukturou je blokovˇe nakreslen na obrázku 9.3. U vˇetˇs´ıch servomechanism˚ u se kromˇe hlavn´ı regulace polohy v´ ystupn´ıho hˇr´ıdele zavád´ı ˇ i regulace otáˇcek ω a regulace proudu i. Zádané hodnoty tˇechto podˇr´ızen´ ych regulac´ı zadávaj´ı vˇzdy nadˇrazené regulátory. Seˇr´ızen´ı podˇr´ızen´ ych regulátor˚ u se obvykle vol´ı tak, aby dynamické vlastnosti uzavˇren´ ych mal´ ych smyˇcek odpov´ıdaly statick´ ym soustavám na mezi aperiodicity.


153

y w

e Regulátor ωw

Regul´ ator iw

polohy y

ot´ aˇcek ω

Regul´ ator proudu i

Výkonový zesilovaˇc

SM

i

ω

Obr´ azek 9.3: Schéma rozvˇetvené struktury servomechanismu Jednoduch´ y zp˚ usob návrhu je opakované pouˇzit´ı metody Ziegler-Nicholse. Prvnˇe se nastav´ı vnitˇrn´ı smyˇcka a potom vnˇejˇs´ı smyˇcka. Pokud je nutné dalˇs´ı pˇrenastaven´ı vnitˇrn´ı smyˇcky, tak se dá provést s uzavˇrenou vnˇejˇs´ı smyˇckou. Pˇ r´ıklad 9.1 Navrhnˇete regul´ ator polohy s pomocnou ˇr´ıdic´ı veliˇcinou u stejnosmˇerného motoru s ciz´ım buzen´ım s pˇripojenou z´ atˇeˇz´ı. Pomocnou regulovanou veliˇcinou bude u ´hlov´ a rychlost. Zn´ ame odpor statoru motoru Ra = 5[Ω]. D´ ale v´ıme, ˇze elektrick´ a ˇcasov´ a konstanta je zanedbateln´ a (nepotˇrebujeme zn´ at indukˇcnost statoru La ) a ˇze buzen´ı je konstantn´ı a zn´ ame konstantu kb = cΦ = 2[V s/rad]. Zátˇeˇz je dána momentem setrvaˇcnosti J = 1[kg · m2 ] , tlumen´ım B = 2[N · m · s/rad] a konstantou pruˇziny K = 0.5[N · m/rad]. Proud motorem se urˇc´ı podle vzorce ia =

u − ui Ra

kde ia je proud statoru, u je vstupn´ı napˇet´ı a ui = kb dϕ je zpˇetné indukované napˇet´ı dt motoru. Moment motoru je M = kb ia Moment zátˇeˇze je Mz = J

d2 ϕ dϕ +B + Kϕ 2 dt dt

Nyn´ı odvod´ıme pˇrenos motoru J

u − kb dϕ d2 ϕ dϕ dt + B + Kϕ = k b dt2 dt Ra

kb2 dϕ kb u d2 ϕ + Kϕ = ) J 2 + (B + dt Ra dt Ra k

b ϕ(p) Ra J 2 S(p) = = k U (p) p2 + RabJ + BJ p +

Dosazen´ım zadan´ ych hodnot dostaneme S(p) =

p2

0.4 + 2.8p + 0.5

K J


154

K tomu, abychom pouˇzili regulátor s pomocnou regulovanou veliˇcinou, rozdˇel´ıme si soustavu na dvˇe ˇcásti 0.4p 1 S(p) = S1 (p) · S2 (p) = 2 · p + 2.8p + 0.5 p Nejprve navrhneme regulátor na soustavu S1 (p) =

9.2

0.4p . (p+2.608)(p+0.192)

Regulaˇ cn´ı obvody s pomocnou akˇ cn´ı veliˇ cinou

Podm´ınkou pro zaveden´ı této pomocné vazby je moˇznost p˚ usobit na soustavu nejménˇe dvˇema akˇcn´ımi veliˇcinami. Pˇritom ˇrád pˇrenosu akˇcn´ıch veliˇcin na v´ ystup má b´ yt r˚ uzn´ y, nebo se alespoˇ n mus´ı liˇsit velikost ˇcasov´ ych konstant obou pˇrenos˚ u. To je nutné s ohledem na to, ˇze zásahy na jedné akˇcn´ı veliˇcinˇe se mus´ı rychleji pˇrenáˇset na regulovanou veliˇcinu neˇz zmˇeny druhé akˇcn´ı veliˇciny. u(t) w(t)

e(t) R1

R2

x1 (t)

y(t) S1

S2

x2 (t)

Obr´ azek 9.4: Schéma regulaˇcn´ıho obvodu s pomocnou akˇcn´ı veliˇcinou Na obrázku 9.4 je nakresleno blokové schéma rozvˇetveného regulaˇcn´ıho obvodu s pomocnou akˇcn´ı veliˇcinou. Soustavu tvoˇr´ı dva sériovˇe zapojené bloky S1 a S2 . Hlavn´ı regulátor R1 p˚ usob´ı na soustavu akˇcn´ı veliˇcinou x1 , kdeˇzto pomocn´ y regulátor R2 ovládá pomocnou akˇcn´ı veliˇcinu x2 . Zmˇeny této pomocné akˇcn´ı veliˇciny se pˇrenáˇsej´ı na v´ ystup soustavy y rychleji, neˇz zmˇeny hlavn´ı akˇcn´ı veliˇciny x1 . Pro pˇrenos ˇr´ızen´ı plat´ı Fw (p) =

Y (p) [R1 (p)S1 (p) + R2 (p)]S2 (p) = W (p) 1 + R2 (p)S2 (p) + R1 (p)S1 (p)S2 (p)

(9.3)

a pro pˇrenos poruchy p˚ usob´ıc´ı na vstupu druhé ˇcásti soustavy Fu (p) =

S2 (p) Y (p) = U (p) 1 + R2 (p)S2 (p) + R1 (p)S1 (p)S2 (p)

(9.4)

Porovnán´ım s rovnicemi (9.1) a (9.2) popisuj´ıc´ımi pˇrenosy rozvˇetveného obvodu s pomocnou regulovanou veliˇcinou vid´ıme, ˇze obˇe pomocné vazby ovlivˇ nuj´ı stability systému. Zaveden´ım pomocné regulované veliˇciny se v´ yraznˇeji zlepˇsuje kompenzace poruch - tedy pˇrenos poruchy, zat´ımco pomocnou akˇcn´ı veliˇcinou se zlepˇs´ı v´ıce pˇrenos ˇr´ızen´ı neˇz pˇrenos poruchy.


155

w(t) R1

R2

y(t) pára

odeb´ırané mnoˇzstv´ı

ˇ ızen´ı teploty v obvodu s pomocnou akˇcn´ı veliˇcinou Obr´ azek 9.5: R´ Praktické zaveden´ı pomocné akˇcn´ı veliˇciny ukazuje obrázek 9.5. Regulovanou veliˇcinou je teplota vody ve v´ ymˇen´ıku vyhˇr´ıvaném protékaj´ıc´ı parou. Jako hlavn´ı akˇcn´ı veliˇcina p˚ usob´ı mnoˇzstv´ı protékaj´ıc´ı páry, jako pomocná veliˇcina mnoˇzstv´ı odeb´ırané vody. Zmˇenou pr˚ utoku páry zp˚ usob´ıme zmˇenu teploty látky ve v´ ymˇen´ıku s daleko vˇetˇs´ım zpoˇzdˇen´ım, neˇz zmˇenou mnoˇzstv´ı odeb´ırané látky. Tuto pomocnou akˇcn´ı veliˇcinu vˇsak nelze pouˇz´ıt jako jedinou, nebot’ odeb´ırané mnoˇzstv´ı je dáno potˇrebami uˇzivatele a jeho vnucené zmˇeny nejsou z hlediska celého procesu vhodné. Hlavn´ı regulátory se v tˇechto rozvˇetven´ ych obvodech vol´ı typu I nebo PI, aby byly zajiˇstˇeny co nejmenˇs´ı ustálené odchylky. Pomocné regulátory jsou vˇetˇsinou typu PD s ohledem na co nejrychlejˇs´ı pr˚ ubˇeh pˇrechodného dˇeje v pomocné regulaˇcn´ı smyˇcce. Velmi ˇcasto se tento typ rozvˇetveného regulaˇcn´ıho obvodu pouˇz´ıvá v regulaci destilaˇcn´ıch chemick´ ych proces˚ u. Akˇcn´ımi veliˇcinami destilaˇcn´ı kolony jsou teplota páry kolony a reflux veden´ y ˇ z hlavy kolony. R´ızen´ı refluxu je podstatnˇe rychlejˇs´ı neˇz ˇr´ızen´ı teploty a umoˇzn ˇuje tak dosáhnout vysokou kvalitu regulace ˇcistoty produkt˚ u.

9.3

Regulaˇ cn´ı obvody s mˇ eˇ ren´ım poruchy

Blokové schéma tohoto typu rozvˇetveného regulaˇcn´ıho obvodu je na obrázku 9.6. Porucha u(t) procház´ı ˇclánkem s pˇrenosem Su (p) a pˇriˇc´ıtá se k v´ ystupu regulované soustavy. Souˇcasnˇe tuto poruchu mˇeˇr´ıme a pˇres regulátor R2 pˇriˇc´ıtáme k akˇcn´ı veliˇcinˇe x1 (t). Pˇrenos ˇr´ızen´ı z˚ ustává touto pˇr´ıdavnou vazbou nezmˇenˇen. Pˇrenos poruchy je ve tvaru Fu (p) =

Su (p) + R2 (p)S(p) Y (p) = U (p) 1 + R1 (p)S(p)

(9.5)

Z tohoto vzorce je patrno, ˇze pˇrenos poruchy je moˇzné regulátorem R2 v´ yraznˇe mˇenit. Teoreticky lze dosáhnout u ´plné kompenzace poruchového signálu, ˇcili tzv. invariantnosti


156

u(t) Su

R2

x2 (t) w(t)

e(t) R1

x1 (t)

x(t)

y(t) S

Obr´ azek 9.6: Schéma regulaˇcn´ıho obvodu s mˇeˇren´ım poruchy systému v˚ uˇci poruˇse u(t). Tento stav nastane, je-li splnˇena podm´ınka Su (p) + R2 (p)S(p) = 0 odkud R2 (p) = −

Su (p) S(p)

Praktická realizovatelnost této podm´ınky je ovˇsem omezena na pˇr´ıpady, kdy je pˇrenos Su (p) vyˇsˇs´ıho nebo alespoˇ n stejného ˇrádu jako pˇrenos S(p). Tato podm´ınka je ovˇsem splnˇena velmi zˇr´ıdka, sp´ıˇse je tomu naopak. Pak ovˇsem vycház´ı pˇrenos regulátoru, kter´ y má v ˇcitateli polynom vyˇsˇs´ıho ˇrádu, neˇz je polynom jmenovatele, coˇz je nereálné. Pokud se ˇrády pˇrenos˚ u Su (p) a S(p) liˇs´ı pouze o jedniˇcku, lze dosáhnout pˇribliˇzné invariantnosti pomoc´ı reálného PD regulátoru R2 . Na stabilitu samotného regulaˇcn´ıho obvodu nemá pomocná vazba od poruchy vliv. Pˇ r´ıklad 9.2 Pˇrenos regulované soustavy je S(p) =

1 (10p + 1)(p + 1)

a pˇrenos poruchy na výstup je Su (p) =

3 10p + 1

Navrhnˇete pomocný regul´ ator R2 (p) kompenzuj´ıc´ı poruchu, pokud je porucha mˇeˇritelná. ´ Uplnou invariantnost v˚ uˇci poruˇse by zˇrejmˇe zajistil pomocn´ y regulátor s pˇrenosem R2 (p) = −

Su (p) = −3(p + 1) S(p)


157

Pouˇzijeme reáln´ y PD regulátor s pˇrenosem R2 (p =

−3(p + 1) 0.01p + 1

a pokud bude hlavn´ı regulátor typu P s pˇrenosem R1 (p) = 5 pak bude pˇrenos poruchy Fu (p) =

(10p2

0.03p(p + 1) + 11p + 6)(0.01p + 1)

V ustáleném stavu je porucha plnˇe kompenzována. V pr˚ ubˇehu pˇrechodného dˇeje je jej´ı vliv velmi podstatnˇe sn´ıˇzen. Systémy s mˇeˇren´ım poruchy jsou ˇcasto realizovány u regulac´ı teploty velk´ ych objem˚ u. Napˇr´ıklad vytápˇen´ı budov lze v´ yraznˇe zlepˇsit mˇeˇren´ım venkovn´ı teploty, jej´ıˇz zmˇeny jsou hlavn´ı poruchou. Podobnˇe mˇeˇren´ı napájec´ıho napˇet´ı, teploty a tlaku vyhˇr´ıvac´ıho média nebo kvality topného materiálu obvykle zv´ yˇs´ı kvalitu regulace.

9.4

Regulaˇ cn´ı obvody s modelem regulovan´ e soustavy

Systémy s modelem regulované soustavy se pouˇz´ıvaj´ı hlavnˇe v adaptivn´ıch obvodech, mohou vˇsak zlepˇsit i kvalitu regulace v jednoduchém regulaˇcn´ım obvodu. u(t) w(t)

e(t)

x(t) R1

y(t) S

RM

em (t)

ym (t) M

Obr´ azek 9.7: Schéma regulaˇcn´ıho obvodu s modelem regulované soustavy usob´ı Blokové schéma rozvˇetveného obvodu je na obrázku 9.7. Akˇcn´ı veliˇcina x(t) p˚ jak na regulovanou soustavu S(p), tak na model M (p). Rozd´ıl v´ ystup˚ u y(t) − yM (t) tvoˇr´ı pomocnou odchylku eM (t), kterou zpracovává regulátor RM (p).


158

Pˇrenos ˇr´ızen´ı je Fw (p) =

Y (p) R1 (p)S(p) + R1 (p)S(p)RM (p)M (p) = W (p) 1 + R1 (p)S(p) + S(p)RM (p) + S(p)R1 (p)M (p)RM (p)

(9.6)

a pˇrenos poruchy Fu (p) =

S(p) Y (p) = U (p) 1 + R1 (p)S(p) + S(p)RM (p) + S(p)R1 (p)M (p)RM (p)

(9.7)

Hlavn´ım pˇr´ınosem zaveden´ı této pomocné vazby je znaˇcná necitlivost kvality regulace na zmˇeny parametr˚ u regulované soustavy. Tuto vlastnost zabezpeˇcuje regulátor RM (p), kter´ y vyrovnává rozd´ıly mezi soustavou a jej´ım modelem.

w(t)

e(t)

x(t) R

y(t) S

e−∆p

M

e−∆p

ym (t)

Obr´ azek 9.8: Schéma regulaˇcn´ıho obvodu kompenzuj´ıc´ıho dopravn´ı zpoˇzdˇen´ı Speciáln´ım pˇr´ıpadem rozvˇetveného obvodu s modelem regulované soustavy je obvod kompenzuj´ıc´ı pˇr´ıtomnost dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı v regulované soustavˇe. Jeho blokové schéma je na obrázku 9.8. Pˇredpokládáme, ˇze souˇcást´ı soustavy je ˇclánek s dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım o velikosti ∆. Model obsahuje stejn´ y ˇclánek, mimo to je vˇsak k dispozici nezpoˇzdˇen´ y v´ ystup modelu. Pˇrenos ˇr´ızen´ı tohoto rozvˇetveného obvodu je Fw (p) =

Y (p) R(p)S(p)e−∆p = W (p) 1 + R(p)S(p)

(9.8)

V charakteristickém polynomu se nevyskytuje ˇclen s dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım, coˇz pˇrisp´ıvá ke stabilitˇe systému. Praktická realizace modelu a dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı ve spojité variantˇe by byla velmi nákladná, proto se pˇri realizaci pouˇz´ıvá diskrétn´ı model ve struktuˇre s diskrétn´ım regulátorem.

9.5

Shrnut´ı

V této kapitole jsme se seznámili s moˇzn´ ymi blokov´ ymi schématy pro zlepˇsen´ı vlastnost´ı jednoduch´ ych regulátor˚ u. Pouˇz´ıvaj´ı se tam, kde kvalita jednoduch´ ych regulátor˚ u nedostaˇcuje. V závislosti na tom, co nám na regulaˇcn´ım dˇeji vad´ı se m˚ uˇzeme rozhodnout pro nˇekter´ y typ regulaˇcn´ıho obvodu, kter´ y jsme probrali v této kapitole, pˇr´ıpadnˇe pro jejich kombinaci.


9.6

159


Ot´ azka 9.1 Proˇc se pouˇz´ıvaj´ı rozvˇetvené regulaˇcn´ı obvody? Ot´ azka 9.2 Jaké typy rozvˇetvených regulaˇcn´ıch obvod˚ u zn´ ate? Ot´ azka 9.3 Nakreslete jednotlivá schémata rozvˇetvených regulaˇcn´ıch obvod˚ u, urˇcete pˇrenosy ˇr´ızen´ı a poruchy, popiˇste jejich hlavn´ı výhody a uved’te pˇr´ıklady jejich pouˇzit´ı. Ot´ azka 9.4 Jakým zp˚ usobem lze dos´ ahnout u ´plnou invariantnost regulaˇcn´ıho obvodu na poruˇse? Diskutujte moˇznost jej´ıho dosaˇzen´ı. Ot´ azka 9.5 Nakreslete blokové schéma rozvˇetveného regulaˇcn´ıho obvodu, ve kterém lze kompenzovat negativn´ı vliv dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı v regulované soustavˇe.


10

160

Synt´ eza regulaˇ cn´ıch obvod˚ u se vzorkov´ an´ım

Vˇetˇsina dnes navrhovaných ˇr´ıdic´ıch algoritm˚ u bˇeˇz´ı na ˇc´ıslicovém ˇr´ıdic´ım poˇc´ıtaˇci. Algoritmus ˇr´ızen´ı v nˇem nebˇeˇz´ı spojitˇe, ale je spouˇstˇen v diskrétn´ıch ˇcasových okamˇzic´ıch, které jsou od sebe ˇcasovˇe posunuty o periodu vzorkov´ an´ı. Systém˚ um, které jsou ˇr´ızeny takovýmto regul´ atorem ˇr´ıkáme systémy se vzorkov´ an´ım. Kromˇe toho zde doch´ az´ı také ke kvantov´ an´ı sign´ alu v amplitudˇe. Analogovˇe-ˇc´ıslicový pˇrevodn´ık pˇrevád´ı p˚ uvodnˇe analogový sign´ al na diskretizovaný sign´ al, který nabýv´ a koneˇcného poˇctu u ´rovn´ı. Jev kvantov´ an´ı m˚ uˇzeme v dneˇsn´ı dobˇe zanedbat, nebot’ se pouˇz´ıvaj´ı pˇrevodn´ıky s rozliˇsen´ım 12 bit˚ u, 16 bit˚ u i v´ıce, které poskytuj´ı dostateˇcnˇe pˇresné pˇribl´ıˇzen´ı se ke skuteˇcné hodnotˇe. Pokud se v obvodˇe vyskytuje jeden ˇclen který pracuje diskrétnˇe, mus´ıme celý obvod ˇreˇsit pomoc´ı -transformace (respektive modifikované m -transformace). Ta pˇredpoklád´ a, ˇze vˇsechny vzorkovaˇce pracuj´ı synchronnˇe. V této kapitole budeme proto pˇredpokládat, ˇze doba výpoˇctu algoritmu je nulová. V praxi se spokoj´ıme s t´ım, ˇze je zanedbateln´ a ve srovnán´ı s periodou vzorkov´ an´ı. Pokud tomu tak nen´ı, m˚ uˇzeme tuto dobu zahrnout do zpoˇzdˇen´ı soustavy a regul´ ator potom navrhnout na soustavu s t´ımto zpoˇzdˇen´ım. Realizace ˇc´ıslicového ˇr´ızen´ı poˇc´ıtaˇcem s sebou pˇrin´ aˇs´ı moˇznost mˇenit jednotlivé algoritmy ˇr´ızen´ı podle provozn´ıch podm´ınek, doplnˇen´ı line´ arn´ıch algoritm˚ u nelineárn´ımi logickými podm´ınkami a koneˇcnˇe snadnou moˇznost realizace ˇr´ıdic´ıch algoritm˚ u vyˇsˇs´ıch typ˚ u (extrem´ aln´ı, adaptivn´ı, apod.). V prvn´ı ˇcásti této kapitoly se seznám´ıme s n´ avrhem ˇc´ıslicových korekˇcn´ıch ˇclen˚ u, které se navrhuj´ı na z´ akladˇe poˇzadavk˚ u na tvar pˇrenosu ˇr´ızen´ı. Poˇzadovaný pˇrenos ˇr´ızen´ı se nem˚ uˇze zvolit libovolnˇe. Mus´ıme pˇri tom dodrˇzet jist´ a pravidla, jinak by n´ am mohl vyj´ıt nerealizovatelný regul´ ator. Pouˇzit´ım ˇc´ıslicových korekˇcn´ıch ˇclen˚ u lze dos´ ahnout koneˇcného regulaˇcn´ıho dˇeje, coˇz u spojitých regul´ ator˚ u dos´ ahnout nem˚ uˇzeme. Regulaˇcn´ı dˇej m˚ uˇze být koneˇcný pouze v okamˇzic´ıch vzorkov´ an´ı (slabˇs´ı varianta), nebo i mezi okamˇziky vzorkov´ an´ı (silnˇejˇs´ı varianta) Silnˇejˇs´ı varianta n´ as bude zaj´ımat v´ıce. V druhé ˇcásti si ukáˇzeme, jak se dá navrhnout ˇc´ıslicový korekˇcn´ı ˇclen pokud jsou zad´ any poˇzadavky na vyregulován´ı poruchy a poˇzadovaný tvar pˇrenosu poruchy. Ve tˇret´ı ˇca´sti ze zamˇeˇr´ıme na regulaˇcn´ı obvod se dvˇema stupni volnosti, který navrhneme s ohledem na souˇcasnˇe splnˇen´ı poˇzadavk˚ u na pˇrenos ˇr´ızen´ı a pˇrenos poruchy. Ve ˇctvrté ˇcásti se zamˇeˇr´ıme na n´ avrh jednoduchých typ˚ u diskrétn´ıch regul´ ator˚ u P, PS, PD a PSD, které jsou obdobou jejich spojitých verz´ı.

10.1

N´ avrh ˇ r´ıdic´ıho algoritmu podle poˇ zadovan´ ych vlastnost´ı pˇ renosu ˇ r´ızen´ı

Pˇredpokládejme, ˇze regulaˇcn´ı obvod má blokové schéma podle obrázku 4.7. Pˇrenosovou funkci tvarovaˇce a soustavy oznaˇc´ıme FC (z), takˇze pro tvarovaˇc nultého ˇrádu plat´ı 1 − e−T p FC (z) = ekv FS (p) (10.1) p Pˇrenosová funkce uzavˇreného obvodu pro ˇr´ızen´ı je Fw (z) =

D(z)FC (z) 1 + D(z)FC (z)


161

Stanov´ıme-li na základˇe dan´ ych poˇzadavk˚ u konkrétn´ı tvar této funkce, m˚ uˇzeme u ´pravou uvedeného vztahu vyˇc´ıslit pˇrenos ˇr´ıdic´ıho poˇc´ıtaˇce D(z) =

1 Fw (z) FC (z) 1 − Fw (z)

(10.2)

V následuj´ıc´ıch odstavc´ıch této kapitoly ukáˇzeme, jak se jednotlivé poˇzadavky na statické i dynamické vlastnosti regulátoru prom´ıtnou do tvaru poˇzadované pˇrenosové funkce Fw (z). 10.1.1

Fyzik´ aln´ı realizovatelnost ˇ r´ıdic´ıho ˇ clenu

Pˇrenos spojité ˇcásti obvodu (tvarovaˇce a soustavy) je dán pomˇerem dvou polynom˚ u P (z) a Q(z), pˇriˇcemˇz Q(z) je o m vyˇsˇs´ıho ˇrádu neˇz polynom P (z) FC (z) =

P (z) = gm z −m + gm+1 z −(m+1) + · · · Q(z)

V d˚ usledku toho se akˇcn´ı zásah pˇriveden´ y v ˇcase t = 0 m˚ uˇze na v´ ystupu soustavy projevit ˇ ıkáme, ˇze regulovaná soustava zp˚ aˇz za m period. R´ usobuje zpoˇzdˇen´ı procházej´ıc´ıho signálu o m period. Pˇrenosovou funkci ˇr´ızen´ı m˚ uˇzeme také zapsat ve tvaru mocninné ˇrady Fw (z) =

Y (z) = fn z −n + fn+1 z −(n+1) + · · · W (z)

ˇ ıdic´ı ˇclen D(z) je realizovateln´ R´ y pouze tehdy, plat´ı-li m ≤ n. Tato podm´ınka vypl´ yvá pˇr´ımo z rovnice (10.2). Dosad´ıme-li jednotlivé pˇrenosy v rozvedeném tvaru. D(z) =

1 gm

z −m

+ gm+1 z −(m+1) + · · ·

(hn z −n + hn+1 z −(n+1) + · · · )

Nen´ı-li m ≤ n, má nejménˇe jeden ˇclen na pravé stranˇe této rovnice kladn´ y exponent u promˇenné z, a to znamená, ˇze v´ ystupn´ı veliˇcina ˇc´ıslicového regulátoru mus´ı pˇredcházet veliˇcinu vstupn´ı, coˇz nen´ı fyzikálnˇe realizovatelné. Pokud regulovaná soustava neobsahuje ˇclánek s dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım Td rovn´ ym nebo vˇetˇs´ım neˇz je perioda vzorkován´ı T , je m = 1. Soustava zp˚ usobuje zpoˇzdˇen´ı signálu o jednu periodu. Nebrán´ı-li tomu jiné d˚ uvody, m˚ uˇze v takovém pˇr´ıpadˇe m´ıt pˇrenosová funkce ˇr´ızen´ı tvar Fw (z) = f1 z −1 + f2 z −2 + · · · 10.1.2

Regulace na nulovou ust´ alenou odchylku

K vyjádˇren´ı podm´ınky pro Fw (z) (ˇzádáme-li nulovou ustálenou odchylku v ustáleném stavu) pouˇzijeme vˇetu o koneˇcné hodnotˇe vzorkované funkce. Pro obvod z obrázku 4.7 plat´ı lim e(nT ) = lim(1 − z −1 )E(z) = lim (1 − z −1 )[W (z) − Y (z)] = 0 n→∞

z→1

z→1


162

Dosad´ıme Y (z) = Fw (z)W (z) a dostaneme lim (1 − z −1 )W (z)[1 − Fw (z)] = 0

z→1

Pro jednotlivé typy ˇr´ıdic´ıho signálu w(t) mus´ı Fw (z) splˇ novat tyto podm´ınky: pro w = konst., t.j. Az W (z) = z−1 1 − Fw (z) = (1 − z −1 )G(z)

kde G(z) je libovolná racionáln´ı funkce lomená (ovˇsem bez pól˚ u zk = 1) pro w = t, t.j. Tz W (z) = (z − 1)2 pro w = t2 , t.j.

1 − Fw (z) = (1 − z −1 )2 G(z) W (z) =

T 2 z(z + 1) (z − 1)3

1 − Fw (z) = (1 − z −1 )3 G(z) Tyto podm´ınky lze obecnˇe formulovat vˇetou: Trvalá regulaˇcn´ı odchylka pˇri ˇr´ıdic´ım signálu k-tého ˇrádu je nulová tehdy, vyhovuje-li pˇrenosová funkce ˇr´ızen´ı rovnici 1 − Fw (z) = (1 − z −1 )k+1 G(z) Pokud nemáme na pˇrenos ˇr´ızen´ı dalˇs´ı poˇzadavky, m˚ uˇzeme volit G(z) = 1. Pak dostaneme tzv. minimáln´ı tvary pˇrenosov´ ych funkc´ı. Podle typu vstupn´ıho signálu w(t) plat´ı: pˇri w(t) = w0 pˇri w(t) = at pˇri w(t) = bt2

Fw (z) = z −1 Fw (z) = 2z −1 − z −2

Fw (z) = 3z −1 − 3z −2 + z −3

Odezvy obvod˚ u s tˇemito pˇrenosov´ ymi funkcemi na skok ˇr´ıdic´ıho signálu jsou nakresleny na obrázku 10.1. Plná kˇrivka plat´ı pro obvod navrˇzen´ y na konstantn´ı ˇr´ıdic´ı veliˇcinu, ˇcárkovaná kˇrivka plat´ı pro obvod navrˇzen´ y na lineárnˇe nar˚ ustaj´ıc´ı signál a teˇckovaná kˇrivka plat´ı pro obvod navrˇzen´ y na vstupn´ı signál o konstantn´ım zrychlen´ı. 10.1.3

Koneˇ cn´ a doba trv´ an´ı pˇ rechodn´ eho dˇ eje

Zde je tˇreba rozliˇsovat dva pˇr´ıpady. Poˇzadavek, aby pˇrechodn´ y dˇej byl koneˇcn´ y pouze pokud se t´ yká okamˇzik˚ u vzorkován´ı (pr˚ ubˇeh nakreslen´ y na obrázku 10.2 ˇcárkovanˇe) a poˇzadavek rozˇs´ıˇren´ y i na pr˚ ubˇeh mezi ˇcasy tn = nT (plná kˇrivka v obrázku 10.2). Prvn´ı podm´ınku lze formulovat tak, ˇze diference dvou po sobˇe následuj´ıc´ıch hodnot y(nt) a y[(n + 1)T ] mus´ı b´ yt od urˇcitého k nulové. V druhém pˇr´ıpadˇe mus´ı tomuto poˇzadavku

163

y


3.0 bc

Fw (z) = 3z −1 − 3z −2 + z −3

2.5 2.0 bc

Fw (z) = 2z −1 − z −2

1.5 1.0 bc

0.5 0

bc

bc

bc

Fw (z) = z −1 bc

bc

0T

1T

2T

t

3T

y

Obr´ azek 10.1: Odezvy na skokovou zmˇenu ˇzádané hodnoty pro obvody navrˇzené na r˚ uzné pr˚ ubˇehy ˇr´ıdic´ı veliˇciny (konstantn´ı, lineárnˇe nar˚ ustaj´ıc´ı a s konstantn´ım zrychlen´ım)

1.2T 1.0T bc

bc

bc

bc

bc

2T

3T

4T

5T

bc

0.8T 0.6T 0.4T 0.2T 0T

bc

0T

1T

t

Obr´ azek 10.2: Koneˇcn´ y pˇrechodn´ y dˇej v a mezi okamˇziky vzorkován´ı


164

vyhovovat i diference hodnot y[(n + m)t] a y[(n + 1 + m)t] pro 0 ≤ m ≤ 1. Pˇri ˇr´ıdic´ım signálu typu jednotkového skoku plat´ı pro amplitudy v´ ystupn´ı veliˇciny y(nt) rovnice y(nT ) =

n X

fi

i=0

kde koeficienty fi urˇc´ıme z rozvoje pˇrenosové funkce ˇr´ızen´ı Fw (z) =

Y (z) = f0 + f1 z −1 + f2 z −2 + · · · W (z)

Má-li b´ yt splnˇena dˇr´ıve uvedená podm´ınka t´ ykaj´ıc´ı se diferenc´ı, mus´ı od ˇcasu tk = kT platit y[(k + j)T ] = y(kT ) pro j = 1, 2, 3, · · · , ∞ To ovˇsem znamená, ˇze plat´ı y[(k+j)T ] = 0 a tedy rozvoj pˇrenosové funkce Fw (z) mus´ı m´ıt koneˇcn´ y poˇcet ˇclen˚ u. Podm´ınku koneˇcné doby trván´ı pˇrechodného dˇeje formuluje vˇeta: Pˇrechodn´ y dˇej v regulaˇcn´ım obvodu je pˇri zmˇenˇe ˇr´ıdic´ı veliˇciny koneˇcn´ y (v okamˇzic´ıch vzorkován´ı), jestliˇze pˇrenosová funkce ˇr´ızen´ı je vyjádˇritelná polynomem o koneˇcném poˇctu ˇclen˚ u. Pˇrechodn´ y dˇej je koneˇcn´ y i v ˇcasech mimo okamˇziky vzorkován´ı, jestliˇze i Fw (z, m) má koneˇcn´ y poˇcet ˇclen˚ u pro vˇsechna m z intervalu h0; 1i. Tuto podm´ınku lze splnit pouze tehdy, obsahuje-li funkce Fw (z, m) cel´ y ˇcitatelov´ y polynom pˇrenosu spojitˇe pracuj´ıc´ı ˇcásti obvodu P (z, m).

w(t)

e(t)

T

T

x∗ (t)

D(z)

y(t) FC (z, m)

Obr´ azek 10.3: Regulaˇcn´ı obvod s diskrétn´ım regulátorem Má-li obvod blokové schéma podle obrázku 10.3 a jednotlivé pˇrenosy jsou definovány A(z) (z,m) vztahy D(z) = B(z) , FC (z) = PQ(z) , pak pro pˇrenos ˇr´ızen´ı plat´ı Fw (z, m) =

A(z)P (z, m) D(z)FC (z, m) = 1 + D(z)FC (z) B(z)Q(z) + A(z)P (z)

Volitelné jsou polynomy pˇrenosu ˇc´ıslicového regulátoru A(z) a B(z), pˇrenos Fw (z) vˇsak mus´ı obsahovat polynom P (z). Podobn´ ym zp˚ usobem lze dokázat, ˇze akˇcn´ı veliˇcina x(nT ) bude od urˇcitého ˇcasu kT konstantn´ı (koneˇcn´ y poˇcet krok˚ u regulace) pouze tehdy, bude-li splnˇena ˇsirˇs´ı podm´ınka koneˇcného pˇrechodného dˇeje.


10.1.4

165

Stabilita obvodu se soustavou, jej´ıˇ z diskr´ etn´ı pˇ renos obsahuje nuly a p´ oly mimo jednotkovou kruˇ znici v rovinˇ e

Pˇrenosová funkce ˇr´ızen´ı Fw (z) mus´ı v tomto pˇr´ıpadˇe vyhovovat dalˇs´ım poˇzadavk˚ um. Pˇredpokládejme, ˇze pˇrenos FC (z) lze psát ve tvaru z+a FC (z) = QC (z) z+b kde |a| ≥ 1 i |b| ≥ 1 a zbytková funkce QC (z) jiˇz má vˇsechny nuly i póly uvnitˇr jednotkové kruˇznice. Pro jednoduchost jsme zvolili pˇr´ıklad, kde pouze jedna nula −a a jeden pól −b leˇz´ı vnˇe jednotkové kruˇznice. Pro pˇrenos ˇr´ızen´ı plat´ı Fw (z) =

D(z)FC (z) A(z)(z + a)QC (z) = 1 + D(z)FC (z) B(z)(z + b) + A(z)(z + a)QC (z)

Poˇzadujeme, aby tato funkce mˇela urˇcit´ y ˇzádan´ y tvar Fwk (z), takˇze pro pˇrenos regulátoru plat´ı z+b 1 Fwk (z) Fwk (z) 1 = D(z) = FC (z) 1 − Fwk (z) z + a QC (z) 1 − Fwk (z) Pokud matematick´ y model soustavy, reprezentovan´ y pˇrenosem FC (z), zcela pˇresnˇe odpov´ıdá skuteˇcnosti, budou nuly i póly pˇrenosu soustavy kompenzovány póly a nulami pˇrenosu regulátoru a skuteˇcn´ y pˇrenos ˇr´ızen´ı bude roven poˇzadovanému. Tento stav vˇsak v praxi nebude nikdy dosaˇzen, nebot’ kaˇzd´ y pˇrenos je pouze v´ıce ˇci ménˇe dokonalou aproximac´ı skuteˇcn´ ych vlastnost´ı soustavy. Necht’ skuteˇcné hodnoty nuly a pólu, leˇz´ıc´ıch vnˇe jednotkové kruˇznice, jsou a¯ = a + ∆a a ¯b = b + ∆b. Pˇrenos ˇr´ızen´ı uzavˇreného obvodu pak je Fw (z) =

Fwk (z) z+¯ z+b 1 a Q (z) z+a QC (z) 1−Fwk (z) z+¯b C

1 + ˇcitatel

=

(z + b)(z + a ¯)Fwk (z) (z + a)(z + ¯b)[1 − Fwk (z)] + (z + b)(z + a ¯)Fwk (z)

V tomto pˇr´ıpadˇe ke kompenzaci nedojde, vzniknou zde dipólové ˇcleny, které zp˚ usob´ı nestabilitu celého obvodu. Stabilita bude zachována pouze tehdy, bude-li ˇzádaná pˇrenosová funkce ˇr´ızen´ı vyhovovat podm´ınkám Fwk (z) = (z + a)M (z) 1 − Fwk (z) = (z + b)N (z)

(10.3)

kde M (z) a N (z) jsou volitelné polynomy. Pro pˇrenos regulátoru plat´ı D(z) =

(z + b) 1 (z + a)M (z) M (z) = (z + a) QC (z) (z + b)N (z) N (z)QC (z)

a pro skuteˇcn´ y pˇrenos ˇr´ızen´ı Fw (z) =

Fwk (z) + δ(z) (z + a ¯)M (z) = ¯ 1 + ε(z) (z + b)N (z) + (z + a ¯)M (z)

Pokud se pˇredpokládané i skuteˇcné hodnoty nul i pól˚ u liˇs´ı jen o malé hodnoty, jsou i koeficienty v polynomech δ(z) a ε(z) malé a skuteˇcn´ y pˇrenos ˇr´ızen´ı se bude málo liˇsit od ˇzádaného pˇrenosu. Následuj´ıc´ı pˇr´ıklady slouˇz´ı pro ilustraci odvozen´ ych závislost´ı.


166

Pˇ r´ıklad 10.1 Regulovan´ a soustava má spojitý pˇrenos FS (p) =

1 p(20p + 1)2

Tvarovac´ı ˇclen je nultého ˇrádu a perioda vzorkov´ an´ı je T = 10s. Navrhnˇete diskrétn´ı regul´ ator, který zajist´ı nulovou ust´ alenou odchylku pˇri konstantn´ım ˇr´ızen´ı. Diskrétn´ı pˇrenos celého zapojen´ı je −1 −1 1 − e−T p −1 (1 + 2.928z )(1 + 0.2072z ) FC (z) = ekv = 0.32653z p2 (20p + 1)2 (1 − z −1 )(1 − 0.6065z −1 )2 Poˇzadujeme, aby ustálená odchylka pˇri konstantn´ım ˇr´ızen´ı byla rovna nule. Z toho vypl´ yvá podm´ınka 1 − Fwk (z) = (1 − z −1 )G(z)

Nebudeme-li respektovat skuteˇcnost, ˇze se v pˇrenosu soustavy vyskytuje jedna nula n1 = −2.928 a jeden pól p1 = −1 mimo vnitˇrek jednotkové kruˇznice, m˚ uˇzeme volit G(z) = 1 a ˇ ıslicov´ tedy Fwk = z −1 . C´ y regulátor má pˇrenos D(z) =

3.0625(1 − 0.6065z −1 )2 (1 + 2.928z −1 )(1 + 0.2072z −1 )

Je-li skuteˇcná hodnota pˇrenosu soustavy FC (z) = 0.32653z −1

(1 + 2.5z −1 )(1 + 0.2072z −1 ) (1 − z −1 )(1 − 0.6065z −1 )2

bude skuteˇcn´ y pˇrenos ˇr´ızen´ı Fw (z) =

(1 + 2.5z −1 )z −1 z + 2.5 = 2 −1 −1 −1 −1 (1 + 2.5z )z + (1 + 2.928z )(1 − z ) z + 2.928z − 0.4276

Charakteristická rovnice je pouze druhého ˇrádu a jej´ı koˇreny jsou √ −2.928 ± 8.573 + 1.71 0.1394 = z1,2 = −3.067 2 Jeden koˇren leˇz´ı mimo jednotkovou kruˇznici a obvod je tedy nestabiln´ı. Budeme-li respektovat dˇr´ıve uvedené poˇzadavky s pˇrihlédnut´ım ke stabilitˇe systému, bude pˇrenos ˇr´ızen´ı popsán rovnicemi Fwk = (1 + 2.928z −1 )M (z) 1 − Fwk = (1 − z −1 )N (z)

Druhá rovnice souˇcasnˇe zajiˇst’uje splnˇen´ı podm´ınky nulové ustálené odchylky. Tvary polynom˚ u M (z) a N (z) urˇc´ıme z poˇzadavku rovnosti koeficient˚ u u stejn´ ych mocnin promˇenné z (1 − z −1 )(1 + n1 z −1 ) = 1 − (1 + 2.928z −1 )m1 z −1


167

Koeficient m0 = 0 z d˚ uvodu fyzikáln´ı realizovatelnosti systému. Koeficient n0 = 1, jak ˇ ad obou polynom˚ plyne z podm´ınky pro nestabiln´ı póly. R´ u vol´ıme tak, aby v´ ysledná soustava rovnic jednoznaˇcnˇe urˇcovala vˇsechny koeficienty. Porovnán´ım v´ yraz˚ u na obou stranách rovnice dostaneme n1 − 1 = −m1 −n1 = −2.928m1 a této soustavˇe rovnic vyhovuj´ı hodnoty m1 = 0.2546 a n1 = 0.7454. Poˇzadovan´ y pˇrenos ˇr´ızen´ı má tvar Fwk = 0.2546z −1 + 0.7454z −2 Skuteˇcn´ y pˇrenos ˇr´ızen´ı vypoˇc´ıtáme dosazen´ım jednotliv´ ych pˇrenos˚ u Fw (z) =

1+2.5z −1 0.2546z −1 +0.7454z − 2 1+2.928z −1 1−0.2546z − 1−0.7454z −2

1 + ˇcitatel

=

0.2546z + 0.6365 z 2 − 0.1089

Koˇreny charakteristické rovnice nyn´ı jsou √ z1,2 = ± 0.1089 = ±0.33

y

takˇze obvod je stabiln´ı. Na obrázku 10.4 jsou nakresleny pr˚ ubˇehy regulované veliˇciny pˇri skokové zmˇenˇe ˇr´ızen´ı. Plná kˇrivka odpov´ıdá pˇr´ıpadu, kdy soustava má pˇredpokládan´ y pˇrenos, ˇcárkovaná kˇrivka odpov´ıdá zmˇenˇené pˇrenosové funkci. V pˇr´ıpadˇe ˇr´ıdic´ıho algoysledkem simulac´ı nestabiln´ı pr˚ ubˇehy z ritmu, kter´ y nerespektuje podm´ınky (10.3), jsou v´ d˚ uvodu zaokrouhlován´ı pˇri návrhu i pˇri simulaci.

1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0T

1T

2T

Obr´ azek 10.4: Obrázek k pˇr´ıkladu

3T

4T

5T

t


168


1 (5p + 1)(p + 1)

Pˇripojen je tvarovaˇc nultého ˇrádu, perioda vzorkov´ an´ı je T = 5s. Navrhnˇete diskrétn´ı regul´ ator, který zajist´ı nulovou ust´ alenou odchylku pˇri konstantn´ım ˇr´ızen´ı a koneˇcný regulaˇcn´ı dˇej. Modifikovan´ y diskrétn´ı pˇrenos spojité ˇcásti obvodu je p2 (m)z 2 + p1 (m)z + p0 (m) 1 1 − e−T p = FC (z, m) = m p (5p + 1)(p + 1) q2 z 2 + q1 z + q0 p2 (m) = 1 − 1.25e−m + 0.25e−5m p1 (m) = 1.2584e−m − 0.3420e−5m − 0.3746 p0 (m) = 0.0025 − 0.0084e−m − 0.0920e−5m

q2 = 1 q1 = −0.3746 q0 = 0.0025

Pro m = 0 má pˇrenos hodnotu FC (z) =

z2

0.5418z + 0.0861 P (z) = − 0.3746z + 0.0025 Q(z)

Podle poˇzadavk˚ u má pˇrenos ˇr´ızen´ı vyhovovat rovnic´ım Fw (z) = P (z)R(z) 1 − Fw (z) = (1 − z −1 )G(z) Z hlediska realizovatelnosti mus´ı m´ıt prvn´ı ˇcleny voliteln´ ych polynom˚ u hodnoty r0 = r1 = 0 a g0 = 1. Dalˇs´ı ˇcleny urˇc´ıme z rovnice 1 − (0.5418z + 0.0861)r2 z −2 = (1 − z −1 )(1 + g1 z −1 ) ze které srovnán´ım koeficient˚ u u stejn´ ych mocnin z dostaneme 0.5418r2 = 1 − g1 0.0861r2 = g1 Soustavˇe vyhovuj´ı hodnoty r2 = 1.5926 a g1 = 0.1371. Poˇzadovan´ y pˇrenos ˇr´ızen´ı má tvar Fw (z) = 0.8629z −1 + 0.1371z −2 Pˇrenos ˇc´ıslicového korekˇcn´ıho ˇclenu je D(z) = 1.5926

1 − 0.3746z −1 + 0.0025z −2 1 − 0.8629z −1 − 0.1371z −2

169

y


1.2T 1.0T bc

bc

bc

bc

bc

bc

0.8T 0.6T bc

0.4T bc bc

0.2T 0T

bc bc bc

0T

1T

2T

3T

bcbc

4T

bc

5T

t

Obr´ azek 10.5: Obrázek k pˇr´ıkladu Pr˚ ubˇeh odezvy na jednotkovou zmˇenu ˇr´ıdic´ı veliˇciny je na obrázku 10.5 (plná ˇcára). Pro odezvu na konstantn´ı poruchu jednotkové velikosti, p˚ usob´ıc´ı na vstupu do soustavy plat´ı Y (z) =

FC U (z) 0.5418z −1 + 0.1604z −2 + 0.0118z −3 = = 1 + FC (z)D(z) 1 − 0.3746z −1 + 0.0025z −2 = 0.5418z −1 + 0.3634z −2 + 0.1466z −3 + 0.0540z −4 + · · ·

Graf této odezvy je nakreslen na obrázku 10.5 rovnˇeˇz plnou ˇcarou. Pro srovnán´ı vyˇsetˇr´ıme jeˇstˇe chován´ı obvodu s algoritmem ˇr´ızen´ı, navrˇzen´ ym podle podm´ınky nulové ustálené odchylky a koneˇcného pˇrechodného dˇeje jen pokud se t´ yká ˇcas˚ u vzorkován´ı. Pˇrenos ˇr´ızen´ı mus´ı splˇ novat pouze podm´ınku 1 − Fw (z) = (1 − z −1 )G(z) kde G(z) je koneˇcn´ y polynom. Je zˇrejmé, ˇze m˚ uˇzeme volit G(z) = 1 a pak Fw (z) = z −1 . Pˇrenos ˇr´ıdic´ıho ˇclenu nyn´ı je D(z) =

1 − 0.3746z −1 + 0.0025z −2 1 − 0.3746z −1 + 0.0025z −2 z −1 = 1.8457 · · 0.5418z −1 + 0.0861z −2 (1 − z −1 ) 1 − 0.8411z −1 − 0.1589z −2

Pro bliˇzˇs´ı urˇcen´ı tvaru odezvy na skokovˇe promˇenné ˇr´ızen´ı vypoˇc´ıtáme pˇrenos v modifikované transformaci Fw (z, m) =

Q(z) P (z)

Fw (z) (z,m) · PQ(z) 1−Fw (z) Fw (z) 1 + 1−F w (z)

·

=

P (z, m) p2 (m)z + p1 (m) + p0 (m)z −1 · Fw (z) = P (z) 0.5418z + 0.0861

Maximáln´ı hodnoty nab´ yvá odezva v druhé periodˇe. Pro obraz odezvy plat´ı P (z, m) z −1 p2 (m) p1 (m) + 0.8411p2 (m) −1 Y (z, m) = Fw (z, m) · W (z) = · + z +· · · = −1 P (z) 1 − z 0.5418 0.5418


170

Pro ˇcas tm = T (1 + m), ve kterém nastává maximum mus´ı b´ yt dx2 (m) d p1 (m) + +0.8411p2 (m) = · =0 dm dm 0.5418 Dosad´ıme ˇc´ıselné hodnoty a dostaneme 0.2070e−m − 0.1317e−5m = 0 odkud plyne 1 m = − ln 4

0.2070 0.6585

= 0.2893

ˇ tm = 5(1 + 0.2893) = 6.4465s a maximáln´ı velikost odezvy je Cas y2 (T · 1.2893) = 1.0899 Pr˚ ubˇeh odezvy na skokovou zmˇenu ˇr´ızen´ı i konstantn´ı poruchu, p˚ usob´ıc´ı opˇet na vstupu soustavy, jsou naznaˇceny na obrázku 10.5 ˇcárkovanˇe. Odezva na poruchu má obraz YU (z) =

FC U (z) = FC U (z)(1 − z −1 ) = FC (z) 1 + D(z)FC (z)

takˇze odezva na poruchov´ y signál typu jednotkového skoku je totoˇzná s odezvou samotné soustavy (s tvarovaˇcem) na jednotkov´ y impuls: y(t) = 1 − 1.25e−0.2t + 0.25e−t

pro 0 ≤ t ≤ T

y(t) = 1.25e−0.2t (e − 1) − 0.25e−t (e5 − 1) = 2.148e−0.2t − 36.85e−t

pro T ≤ t

Pˇ r´ıklad 10.3 Koneˇcnou dobu regulace m˚ uˇzeme dos´ ahnout i tehdy, obsahuje-li reguloˇ vaná soustava dopravn´ı zpoˇzdˇen´ı. Casto se pˇrenos˚ u prvn´ıho ˇrádu s dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım pouˇz´ıvá k aproximaci skuteˇcné pˇrenosové funkce. Výhodou je, ˇze ˇr´ıdic´ı algoritmy jsou pouze druhého ˇrádu a n´ aroky na pamˇet’ a rychlost ˇr´ıdic´ıho poˇc´ıtaˇce nejsou pˇr´ıliˇs veliké. Necht’ pˇrenos soustavy je ve tvaru e−ap FS (p) = τp + 1 a tvarovac´ı ˇclen je opˇet nultého ˇrádu. D´ ale pˇredpokládejme, ˇze plat´ı a < T . Diskrétn´ı pˇrenos celé soustavy v modifikované m transformaci je 1 − e−T p (1 − c) − (d − c)z −1 1 FC (z, m) = m z −1 = p (τ p + 1) m=1−a/T z−d kde

T

d = e− τ

a

T

a

c = e− τ (1− T )


171

Pˇri poˇzadované nulové ustálené odchylce pro konstantn´ı ˇr´ıdic´ı veliˇcinu bude pˇrenos ˇr´ıdic´ıho ˇclenu (z − d)z D(z) = 2 (1 − d)z − (1 − c)z + (d − c) Tak napˇr´ıklad pro hodnoty T = 1, τ = 1 a a = 0.5 bude d = 0.3679, c = 0.6065 a pˇrenos D(z) 1 − 0.3679z −1 D(z) = 1.5820 1 − 0.6225z −1 − 0.3775z −2 Pˇrenos ˇr´ızen´ı je Fw (z) =

1 (1 − c)z −1 + (c − d)z −2 = 0.6225z −1 + 0.3775z −2 1−d

x

y

Tvar odezvy na jednotkovou zmˇenu ˇr´ızen´ı a odpov´ıdaj´ıc´ı pr˚ ubˇeh akˇcn´ı veliˇciny x(nT ) jsou zakresleny na obrázku 10.6. Grafické znázornˇen´ı ˇr´ıdic´ıho algoritmu je na obrázku 10.7. 1.0

3 2

0.5

1 0 0

1

2

3

t

0 0

1

2

3

t

Obr´ azek 10.6: Obrázek k pˇr´ıkladu

Pˇ r´ıklad 10.4 Postup n´ avrhu ˇr´ıdic´ıho algoritmu z˚ ust´ av´ a stejný i tehdy, klademe-li na pr˚ ubˇeh regulaˇcn´ıho dˇeje zvýˇsené poˇzadavky. Zvˇetˇs´ı se poˇcet podm´ınkových rovnic a t´ım i pracnost výpoˇctu. Regulovan´ a soustava je tˇret´ıho ˇra´du, astatická a jej´ı spojitý pˇrenos (vˇcetnˇe tvarovac´ıho ˇclenu) je 1 − e−T p FC (p) = 2 p (20p + 1)2 Perioda vzorkov´ an´ı je T = 10s. Tomu odpov´ıdá diskrétn´ı pˇrenos FC (z) = 0.324

(1 + 2.95z −1 )(1 + 0.21z −1 )z −1 (1 − z −1 )(1 − 0.607z −1 )2

Poˇzadujeme koneˇcn´ y poˇcet krok˚ u regulace a nulovou ustálenou odchylku pˇri lineárnˇe nar˚ ustaj´ıc´ım ˇr´ıdic´ım signálu w(t) = t. Jednotlivé poˇzadavky formuluj´ı následuj´ıc´ı podm´ınkové rovnice:


172

x(nT )

−0.368

e(nT )

e−T p

1.5820

e−T p

0.6225

0.3775

Obr´ azek 10.7: Grafické znázornˇen´ı realizace 1. fyzikáln´ı realizovatelnost regulátoru Fw (z) = f1 z −1 + · · · 2. stabilita Fw (z) = (1 + 2.95z −1 )M (z) 1 − Fw (z) = (1 − z −1 )N (z) 3. nulová ustálená odchylka 1 − Fw (z) = (1 − z −1 )2 G(z) tato podm´ınka je pˇr´ısnˇejˇs´ı nˇeˇz druhá rovnice z bodu 2. 4. koneˇcn´ y regulaˇcn´ı dˇej Fw (z) = (1 + 2.95z −1 )(1 + 0.21z −1 )z −1 R(z) tento poˇzadavek je opˇet pˇr´ısnˇejˇs´ı neˇz prvn´ı podm´ınka bodu 2. M˚ uˇzeme tedy cel´ y bod 2. vynechat a nahradit jej body 3. a 4. Vzhledem k bod˚ um 1. a 4. budou m´ıt volitelné polynomy tvar G(z) = 1 + g1 z −1 + · · · + gk z −k R(z) = r0 + r1 z −1 + · · · + rk−1 z −(k−1)


173

Koeficienty g1 , · · · , gk a r0 , · · · , rk−1 vypoˇc´ıtáme z podm´ınky rovnosti koeficient˚ u u stejn´ ych − mocnin z 1 v následuj´ıc´ı rovnici (1 − z −1 )2 (1 + g1 z −1 + · · · + gk z −k ) =

= 1 − z −1 (1 + 2.95z −1 )(1 + 0.21z −1 )(r0 + r1 z −1 + · · · + rk−1 z −(k−1) )

Poˇcet neznám´ ych koeficient˚ u je roven poˇctu rovnic pˇri k = 2. Neznámé koeficienty jsou g1 = 1.385, g2 = 0.2452, r0 = 0.6152 a r1 = −0.4043. Odpov´ıdaj´ıc´ı pˇrenos ˇr´ızen´ı má tvar

y

Fw (z) = 0.6152z −1 + 1.524z −2 − 0.8943z −3 − 0.2452z −4 2.0 1.5 1.0 0.5 0

0T

1T

2T

3T

4T

5T

t

Obr´ azek 10.8: Obrázek k pˇr´ıkladu Pr˚ ubˇeh odezvy na jednotkov´ y skok ˇr´ızen´ı je na obrázku 10.8. Je zˇrejmé, ˇze obvod nen´ı pro tento typ signálu vhodnˇe navrˇzen, nebot’ pˇrekmit je vˇetˇs´ı neˇz 100%. Je proto tˇreba upravit vlastnosti obvodu dalˇs´ım rozˇs´ıˇren´ım poˇzadavk˚ u. Postup je popsán v následuj´ıc´ım odstavci. 10.1.5

Dalˇ s´ı poˇ zadavky na regulaˇ cn´ı pochod

Kromˇe poˇzadovan´ ych vlastnost´ı regulace, uveden´ ych v pˇredcházej´ıc´ıch odstavc´ıch této kapitoly, je v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech nutné pˇripojit dalˇs´ı poˇzadavky, vypl´ yvaj´ıc´ı bud’ z konstrukˇcn´ıch podm´ınek, nebo z podm´ınek dan´ ych jin´ ymi kritérii. Nejˇcastˇeji to b´ yvá maximáln´ı dovolen´ y pˇrekmit a omezen´ı akˇcn´ı veliˇciny vzhledem k realizaci tvarovac´ıho ˇclenu. Splnˇen´ı tˇechto dodateˇcn´ ych poˇzadavk˚ u zajist´ıme formulac´ı dalˇs´ıch podm´ınkov´ ych rovnic, které pak maj´ı za následek rozˇs´ıˇren´ı jak polynomu vyjadˇruj´ıc´ıho pˇrenos ˇr´ızen´ı, tak i nárok˚ u na pamˇet’ pamˇet’ov´ ych bunˇek ˇr´ıdic´ıho poˇc´ıtaˇce. Maximáln´ı pˇrekmit odezvy m˚ uˇzeme zmenˇsit tak, ˇze pˇrenos ˇr´ızen´ı rozˇs´ıˇr´ıme pˇr´ıdavn´ ym polynomem (nejménˇe dvojˇclenn´ ym). K jiˇz dˇr´ıve uveden´ ym rovnic´ım pˇribude dalˇs´ı ve tvaru y(nT ) =

n X i=0

fi ≤ (1 + 0.01H)

kde H je povolen´ y pˇrekmit v procentech a fi jsou koeficienty rozvoje pˇrenosu ˇr´ızen´ı v nekoneˇcnou ˇradu. Postup v praxi ukazuje následuj´ıc´ı pˇr´ıklad.


174

Pˇ r´ıklad 10.5 Regulaˇcn´ı obvod u kterého poˇzadujeme nulovou ust´ alenou odchylku pˇri line´ arnˇe nar˚ ustaj´ıc´ı ˇr´ıdic´ı veliˇcinˇe, má pˇrenos ve tvaru Fw (z) = 2z −1 − z −2 coˇz vyplýv´ a z podm´ınky 1 − Fw (z) = (1 − z −1 )2 G(z)

y

kde G(z) = 1. Pˇrekmit odezvy na skokovˇe promˇenný sign´ al je 100% pokud se týk´ a ˇcas˚ u vzorkov´ an´ı tn = nT . Je-li soustava vyˇsˇs´ıho neˇz prvn´ıho ˇrádu, je skuteˇcný pˇrekmit jeˇstˇe vˇetˇs´ı, jak ukazuje obr´ azek 10.9 (plnou ˇcarou). 2.0

G(z) = 1 G(z) = 1 + 0.5z −1 G(z) = 1 + 1.667z −1 + 0.333z −2

1.5 1.0 0.5 0

0T

1T

2T

3T

4T

5T t

Obr´ azek 10.9: Obrázek k pˇr´ıkladu Pˇrenos ˇr´ızen´ı rozˇs´ıˇr´ıme dvojˇclenem a dostaneme rovnici 1 − Fw (z) = (1 − z −1 )2 (1 + g1 z −1 ) Fw (z) = (2 − g1 )z −1 + (2g1 − 1)z −2 − g1 z −3

Pro amplitudy odezvy na jednotkov´ y skok ˇr´ızen´ı plat´ı y(0) = 0 y(T ) = 2 − g1 y(2T ) = 1 + g1 y(3T ) = 1 .. .

Posuzujeme-li regulaˇcn´ı pochod pouze podle hodnot odezvy v okamˇzic´ıch vzorkován´ı, bude zˇrejmˇe optimáln´ı, kdyˇz g1 = 0.5. Pˇrenos ˇr´ızen´ı pak je Fw (z) = 1.5z −1 − 0.5z −3 a pr˚ ubˇeh odezvy odpov´ıdá ˇcárkované kˇrivce v obrázku 10.9. Rozˇs´ıˇr´ıme-li p˚ uvodn´ı pˇrenosovou funkci trojˇclenem, 1 − Fw (z) = (1 − z −1 )2 (1 + g1 z −1 + g2 z −2 )


175

Fw (z) = (2 − g1 )z −1 + (2g1 − 1 − g2 )z −2 + (2g2 − g1 )z −3 − g2 z −4 bude pro amplitudy y(nT ) platit y(0) = 0 y(T ) = 2 − g1 y(2T ) = 1 + g1 − g2 y(3T ) = 1 − g2 y(4T ) = 1 .. . Pokud pˇrihl´ıˇz´ıme opˇet pouze k ˇcas˚ um vzorkován´ı, je optimáln´ı volba konstant g1 = 0.67 a g2 = 0.33, nebot’ pak amplitudy y(nT ) pro n = 1, 2 a 3 jsou stejné a rovné 1.33 (teˇckovan´ y pr˚ ubˇeh v obrázku 10.9). Zde je pak ale vhodné sledovat téˇz skuteˇcné maximu a návrh algoritmu upravit s ohledem na celkov´ y pr˚ ubˇeh. Z fyzikáln´ıho názoru vypl´ yvá, ˇze ˇc´ım rychlejˇs´ı má b´ yt pˇrechodn´ y dˇej (ˇc´ım dˇr´ıve má b´ yt dosaˇzeno ˇzádané hodnoty), t´ım vˇetˇs´ı amplitudy akˇcn´ı veliˇciny je tˇreba pouˇz´ıt. Akˇcn´ı veliˇcina je vˇsak vˇzdy omezena co do maximáln´ı amplitudy a k tomu je téˇz tˇreba pˇrihl´ıˇzet pˇri návrhu ˇr´ıdic´ıho algoritmu. Jakmile ˇzádaná hodnota je tak veliká, ˇze odpov´ıdaj´ıc´ı akˇcn´ı zásah vyboˇc´ı z pásma linearity, pˇrestanou platit odvozené vztahy a regulaˇcn´ı pochod jiˇz neprob´ıhá podle stanoven´ ych podm´ınek. Pro akˇcn´ı veliˇcinu plat´ı X(z) =

w(t)

e(t)

T

D(z) Fw (z) W (z) = W (z) 1 + FC (z)D(z) FC (z)

x(t) D(z)

T Tvarovac´ı ˇclen

1 (5p + 1)(p + 1)

y(t)

Obr´ azek 10.10: Regulaˇcn´ı obvod s omezen´ım akˇcn´ıho zásahu Jestliˇze pˇri dovolené velikosti vstupn´ıch signál˚ u pˇrekroˇc´ı jednotlivé amplitudy x(nT ) stanovené meze, je nutné upravit pˇrenos Fw (z). Pro systém na obrázku 10.10 byly navrˇzeny tˇri ˇr´ıdic´ı algoritmy, které splˇ nuj´ı podm´ınku nulové ustálené odchylky pˇri lineárnˇe nar˚ ustaj´ıc´ım ˇr´ıdic´ım signálu. Algoritmus D1 (z) odpov´ıdá pˇrenosu Fw (z) = 2z −1 − z −2 , algoritmus D2 (z) je vypoˇc´ıtán pro pˇrenos Fw (z) = 1.5z −1 − 0.5z −3 a algoritmus D3 (z) je vypoˇc´ıtán pro pˇrenos Fw (z) = 1.333z −1 − 0.33z −4 . Hodnoty akˇcn´ı veliˇciny, odchylky a regulované veliˇciny pro prvn´ıch sedm period vzorkován´ı pˇri skokové zmˇenˇe ˇr´ızen´ı o jedniˇcku jsou uvedeny v tabulce 10.1. Rozˇs´ıˇrené tvary pˇrenosov´ ych funkc´ı je ˇcasto tˇreba volit i z dalˇs´ıho d˚ uvodu. Perioda mˇeˇren´ı (vzorkován´ı) regulované veliˇciny je v praxi urˇcována nejen s pˇrihlédnut´ım


t w(nT ) y(nT ) D1 (z) e(nT ) x(nT ) y(nT ) D2 (z) e(nT ) x(nT ) y(nT ) D3 (z) e(nT ) x(nT )

176

0 1 0 1.0000 2.8000 0 1.0 2.7684 0 1.0 2.4609

1T 1 1.5171 -0.5171 1.6591 1.5 -0.5 1.2918 1.3333 -0.3333 1.1481

2T 1 1.7082 -0.7082 0.2917 1.5 -0.5 0.6103 1.3333 -0.3333 1.3627

3T 1 0.9370 0.0630 0.9710 1.0 0.0 1.0642 1.3333 -0.3333 0.7135

4T 1 0.8980 0.1020 1.0046 1.0 0.0 0.9898 1.0 0.0 1.0470

5T 1 0.9619 0.0381 0.9993 1.0 0.0 1.0016 1.0 0.0 0.9925

6T 1 0.9860 0.0140 1.0001 1.0 0.0 0.9997 1.0 0.0 1.0012

Tabulka 10.1: Srovnán´ı hodnot jednotliv´ ych signál˚ u k potˇrebám regulace, ale téˇz na podkladˇe poˇzadavk˚ u dan´ ych potˇrebami informaˇcn´ıho systému, sledován´ım mezn´ıch hodnot a pod. Tak se m˚ uˇze stát, ˇze tato perioda vzorkován´ı je menˇs´ı neˇz jaká by byla optimáln´ı s ohledem na omezen´ı akˇcn´ı veliˇciny. V systému je pak moˇzné zavést dvoj´ı periodu vzorkován´ı. Periodu T1 pro mˇeˇren´ı a periodu T2 pro akˇcn´ı zásahy. V takovém pˇr´ıpadˇe pak lze signál z ˇcidla regulované veliˇciny podrobit ˇc´ıslicové filtraci a sn´ıˇzit tak vliv náhodn´ ych poruch (obrázek 10.11).

w(t)

e(t)

x(t)

T2 Tvarovac´ı ˇclen

D(z)

y(t) FS (p)

T1 ˇ ıslicový C´ filtr

Obr´ azek 10.11: Regulaˇcn´ı obvod s r˚ uzn´ ymi periodami vzorkován´ı

10.2

N´ avrh ˇ r´ıdic´ıho algoritmu podle poˇ zadavk˚ u na pˇ renos poruchy

Obvykle pˇredpokládáme, ˇze poruchov´ y signál p˚ usob´ı na vstupu regulované soustavy spolu s akˇcn´ı veliˇcinou (obrázek 10.12). Pˇrenos poruchy v uzavˇreném obvodˇe je Fu (z, m) =

1 FS U (z, m) · 1 + FC (z)D(z) U (z)

(10.4)

kde FS U (z, m) =

m

{FS (p)U (p)}


w(t)

e(t)

T

u(t)

T

x(t)

177

Tvarovac´ı ˇclen

D(z)

y(t) FS (p)

Obr´ azek 10.12: Regulaˇcn´ı obvod s poruchou na vstupu soustavy a FC (z) =

ekv

1 − e−T p FS (p) p

Jak je zˇrejmé, tvar pˇrenosu poruchy závis´ı na typu poruchy. Tato závislost ponˇekud komplikuje rozbor chován´ı systému. Pokud pˇredpokládáme pouze skokovˇe promˇenn´ y poruchov´ y signál (a ke zmˇenám docház´ı jen v ˇcasech vzorkován´ı), m˚ uˇzeme schéma obvodu pˇrekreslit podle obrázku 10.13.

w(t)

e(t)

u(t)

T

T Tvarovac´ı ˇclen

D(z)

y(t) FS (p)

Obr´ azek 10.13: Regulaˇcn´ı obvod se vzorkovanou poruchou Pˇrenos poruchy je nyn´ı Fu (z, m) =

FC (z, m) 1 + FC (z)D(z)

(10.5)

Tento vzorec plat´ı pouze za dˇr´ıve uveden´ ych podm´ınek, jinak je tˇreba pouˇz´ıvat vztah (10.4). Pro pˇrenos Fu (z, m) plat´ı podobné podm´ınkové rovnice jako pro pˇrenos ˇr´ızen´ı. 10.2.1

Fyzik´ aln´ı realizovatenost regul´ atoru

Necht’ je pˇrenos spojité ˇcásti obvodu FC (z) =

P (z) = g1 z −1 + g2 z −2 + · · · Q(z)

Protoˇze porucha p˚ usob´ı soustavou FC (z), nem˚ uˇze se na v´ ystupu objevit rychleji, neˇz je reakce soustavy, proto FU (z) = u1 z −1 + u2 z −2 + · · ·


178

Z rovnice (10.5) plyne D(z) =

FC (z) − Fu (z) FC (z)Fu (z)

Dosazen´ım v´ yˇse definovan´ ych pˇrenos˚ u FU (z) a FC (z) z´ıskáváme D(z) =

g1 z −1 + g2 z −2 + · · · − u1 z −1 − u2 z −2 − · · · g12 z −2 + g1 (g2 + u2 )z −3 + · · ·

Má-li b´ yt pˇrenos D(z) realizovateln´ y, nesm´ı b´ yt ˇrád ˇcitatele vyˇsˇs´ı neˇz ˇrád jmenovatele. To bude splnˇeno, pokud bude g1 − u 1 = 0

Prvn´ı ˇclen v rozvoji pˇrenosu Fu (z) mus´ı b´ yt roven prvn´ımu ˇclenu rozvoje FC (z). Vypl´ yvá to také pˇr´ımo z fyzikáln´ıho názoru, nebot’ p˚ usoben´ım regulátoru m˚ uˇzeme pr˚ ubˇeh odezvy na poruchov´ y signál ovlivnit teprve tehdy, aˇz se projev´ı p˚ usoben´ı poruchy - aˇz vznikne regulaˇcn´ı odchylka. Pro systémy s dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım, kdy soustava zpoˇzd’uje o k krok˚ u (kde k > 1), se mus´ı shodovat prvn´ıch k ˇclen˚ u rozvoje pˇrenosu Fu (z) a FC (z). 10.2.2

Nulov´ a odchylka v ust´ alen´ em stavu

Pro regulaˇcn´ı odchylku pˇri p˚ usoben´ı poruchy plat´ı E(z) = −Y (z) = −Fu (z)U (z) Podm´ınku nulové ustálené odchylky odvod´ıme pomoc´ı vˇety o koneˇcné hodnotˇe lim e(nT ) = lim(1 − z −1 )E(z) = − lim (1 − z −1 )Fu (z)U (z) = 0

n→∞

z→1

z→1

Z toho vypl´ yvaj´ı následuj´ıc´ı podm´ınky: pro u(t) = u0

Fu (z) = (1 − z −1 )G(z)

pro u(t) = at

Fu (z) = (1 − z −1 )2 G(z)

pro u(t) = bt2 kde G(z) je voliteln´ y polynom. 10.2.3

Fu (z) = (1 − z −1 )3 G(z)

Koneˇ cn´ a doba trv´ an´ı pˇ rechodn´ eho dˇ eje

Stejn´ ym zp˚ usobem jako v pˇr´ıpadˇe pˇrenosu ˇr´ızen´ı odvod´ıme tyto podm´ınky: Pˇrechodn´ y dˇej (sledovan´ y pouze v okamˇzic´ıch vzorkován´ı) je koneˇcn´ y tehdy, má-li pˇrenos poruchy Fu (z) v rozvedeném tvaru koneˇcn´ y poˇcet ˇclen˚ u. Pro koneˇcn´ y poˇcet krok˚ u regulace (pˇrechodn´ y dˇej koneˇcn´ y i mezi ˇcasy vzorkován´ı) je tˇreba, aby i rozvoj modifikovaného pˇrenosu Fu (z, m) mˇel koneˇcn´ y poˇcet ˇclen˚ u. Snadno se pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe lze podm´ınku splnit pouze tehdy, obsahuje-li pˇrenos poruchy cel´ y ˇcitatelov´ y polynom spojité ˇcásti soustavy Fu (z, m) = P (z, m)R(z)


kde FC (z, m) =

179

P (z, m) Q(z)


1 (5p + 1)(p + 1)

Perioda vzorkov´ an´ı je T = 5s. Navrhnˇete diskrétn´ı regul´ ator D(z) tak, aby pˇri konstantn´ı poruˇse p˚ usob´ıc´ı na vstupu soustavy byla ust´ alen´ a odchylka nulová a poˇcet krok˚ u regulace koneˇcný. Pˇrenos poruchy mus´ı splˇ novat tyto rovnice Fu (z) = (1 − z −1 )(g0 + g1 z −1 + · · · ) Fu (z) = P (z)(r0 + r1 z −1 + · · · ) Diskrétn´ı pˇrenos soustavy s tvarovaˇcem je FC (z) =

0.5418z −1 + 0.0861z −2 1 − 0.3746z −1 + 0.0025z −2

Soustava zpoˇzd’uje procházej´ıc´ı signál o jeden impuls a prvn´ı ˇcleny voliteln´ ych polynom˚ u maj´ı tedy hodnoty g0 = 0, g1 = p1 a r0 = 1. Porovnán´ım koeficient˚ u v obou podm´ınkov´ ych rovnic´ıch vypoˇc´ıtáme hodnoty ostatn´ıch ˇclen˚ u (1 − z −1 )(g1 z −1 + g2 z −2 ) = (0.5418z −1 + 0.0861z −2 )(1 + r1 z −1 ) g1 = 0.5418

,

g2 = 0.0861

a

r1 = −1

Pˇrenos poruchy pak je Fu (z) = 0.5418z −1 − 0.4557z −2 − 0.0861z −3 a pˇrenos ˇr´ıdic´ıho ˇclenu D(z) =

1 1 1 − Q(z)(1 − z −1 ) 1.3746 − 0.3771z −1 + 0.0025z −2 − = = Fu (z) FC (z) P (z)(1 − z −1 ) 0.5418z −1 − 0.4557z −2 − 0.0861z −3

Pro pˇrenos ˇr´ızen´ı plat´ı Fw (z, m) =

FC (z, m)D(z) = Fu (z, m)D(z) 1 + FC (z)D(z)

Podle dan´ ych podm´ınek pˇrenos poruchy je Fu (z, m) = P (z, m)(1 − z −1 )


180

a pˇrenos ˇr´ıdic´ıho ˇclenu D(z) =

FC (z) − Fu (z) FC (z)Fu (z)

Dosad´ıme-li tyto vztahy do rovnice pro pˇrenos ˇr´ızen´ı, dostaneme P (z) − P (z)(1 − z −1 ) −1 Q(z) z ) P (z) · P (z)(1 − z −1 ) Q(z)

Fw (z, m) = P (z, m)(1 −

=

P (z, m) 1 − Q(z)(1 − z −1 ) P (z)

Z této rovnice je zˇrejmé, ˇze pˇrechodn´ y dˇej pˇri zmˇenˇe ˇr´ıdic´ı veliˇciny je koneˇcn´ y pouze v okamˇzic´ıch vzorkován´ı, nebot’ pˇrenos Fw (z, m) má koneˇcn´ y poˇcet ˇclen˚ u jen pˇri m = 0. Pak plat´ı Fw (z) = 1.3746z −1 − 0.3771z −2 + 0.0025z −3 Pro ˇcasy, rovné polovinˇe periody vzorkován´ı, vypoˇc´ıtáme Fw (z, 0.5) =

0.3606 + 0.3966z −1 − 0.1283z −2 − 0.0010z −3 0.5418 + 0.0861z −1

y

Odezvy na jednotkov´ y skok ˇr´ızen´ı a poruchy jsou nakresleny na obrázku 10.14 (plné kˇrivky). 1.6T 1.4T 1.2T 1.0T 0.8T 0.6T 0.4T 0.2T 0T

bc bc

bcbc

bc bc

bc

bc

bc

bc

bc bc

0T

1T

bc

bc

bc

bc

2T

3T

4T

5T

bc

t

Obr´ azek 10.14: Obrázek k pˇr´ıkladu Kdybychom poˇzadovali pˇri skokové poruˇse pˇrechodn´ y dˇej koneˇcn´ y pouze v ˇcasech vzorkován´ı, staˇcilo by, aby pˇrenos poruchy vyhovoval rovnici Fu (z) = (1 − z −1 )p1 z −1 kde p1 je prvn´ı ˇclen v rozvoji funkce FC (z). To vypl´ yvá z poˇzadavku realizovatelnosti ˇr´ıdic´ıho ˇclenu. Pro uveden´ y pˇr´ıpad plat´ı Fu (z) = 0.5418z −1 − 0.5418z −2


181

a pˇrenos ˇr´ıdic´ıho ˇclenu nyn´ı je D(z) =

1 (1 − z −1 )p1 z −1

−

Q(z) 1.5336 − 0.3771z −1 + 0.0025z −2 = P (z) 0.5418 − 0.4557z −1 − 0.0861z −2

Pˇrenos ˇr´ızen´ı pak bude Fw (z) = p1 (1 − z =1−

−1

P (z) − p1 (1 − z −1 )z −1 −1 Q(z) )z P (z) (1 − z −1 )p1 z −1 Q(z)

=

Q(z) 0.8309z −1 − 0.2044z −2 + 0.0014z −3 p1 (1 − z −1 )z −1 = = P (z) 0.5418 + 0.0861z −1 = 1.5336z −1 − 0.6209z −2 + 0.1013z −3 + · · ·

V tomto pˇr´ıpadˇe nen´ı pˇrechodn´ y dˇej koneˇcn´ y ani v okamˇzic´ıch vzorkován´ı. Odezvy na skok ˇr´ızen´ı i poruchy pˇri tomto ˇr´ıdic´ım algoritmu jsou ˇcárkovanˇe nakresleny na obrázku 10.14.

10.3

Regulaˇ cn´ı obvody se dvˇ ema korekˇ cn´ımi ˇ cleny

V praxi jsou ˇcasto poˇzadavky na pˇrenos ˇr´ızen´ı i poruchy kladeny souˇcasnˇe. Poˇzadujeme, aby byla koneˇcná i mezi okamˇziky vzorkován´ı odezva na ˇr´ızen´ı a zároveˇ n na poruchu. V tomto pˇr´ıpadˇe nelze dosáhnout poˇzadovan´ ych minimáln´ıch realizac´ı pˇrenosu ˇzádané hodnoty a odchylky ve tvaru Fw (z) = P (z) · k

(10.6)

Fu (z) = (1 − z −1 )P (z)

(10.7)

kde

1 p1 + p2 + · · · + pn pouˇzit´ım jediného korekˇcn´ıho ˇclenu. To je moˇzné pouze za podm´ınky rozˇs´ıˇren´ı polynom˚ u Fw (z) a Fu (z) o vhodné polynomy. Minimáln´ıch realizac´ı lze dosáhnout pouˇzit´ım regulaˇcn´ıho obvodu se dvˇema korekˇcn´ımi ˇcleny, jehoˇz schéma je ukázáno na obrázku 10.15. Toto schéma s sebou nepˇrináˇs´ı zmˇenu v pˇr´ıstrojovém uspoˇrádán´ı. Zapojen´ım ˇr´ıdic´ıho ˇclenu D2 (z) vzrostou pouze poˇzadavky na programové vybaven´ı ˇr´ıdic´ıho poˇc´ıtaˇce. Jsou-li zapojeny dva ˇr´ıdic´ı ˇcleny, plat´ı pro pˇrenos ˇr´ızen´ı a poruchy k=

Fw (z) =

FC (z)D1 (z) 1 + FC (z)D1 (z)D2 (z)

FC (z) 1 + FC (z)D1 (z)D2 (z) odkud lze vypoˇc´ıtat jednotlivé ˇr´ıdic´ı algoritmy Fu (z) =

D1 (z) =

Fw (z) FC (z)[1 − D2 (z)Fw (z)]


182

u(t) w(t)

e(t)

Tvarovac´ı ˇclen

D1 (z)

FS (p)

y(t)

D2 (z) Obr´ azek 10.15: Diskrétn´ı regulaˇcn´ı obvod se dvˇema stupni volnosti

D2 (z) =

FC (z) − FU (z) FC (z)Fu (z)D1 (z)

Pro poˇzadavky uvedené v rovnic´ıch (10.6) a (10.7) dostaneme D1 (z) =

k (1 − z −1 )

1 − (1 − z −1 )Q(z) D2 (z) = sP (z) Kde s je konstanta zajiˇst’uj´ıc´ı jednotkové statické zes´ılen´ı pˇrenosu ˇr´ızen´ı. Pˇ r´ıklad 10.7 Pro soustavu s diskrétn´ım pˇrenosem FC (z) =

0.5418z −1 + 0.0864z −2 1 − 0.3746z −1 + 0.0025z −2

navrhnˇete regul´ atory D1 (z) a D2 (z) tak, aby byl regulaˇcn´ı dˇej na skokovou zmˇenu ˇr´ızen´ı i poruchy koneˇcný i mezi okamˇziky vzorkov´ an´ı. Budeme hledat minimáln´ı realizaci pˇrenosu ˇr´ızen´ı a poruchy, proto mus´ı b´ yt splnˇeny rovnice (10.6) a (10.7). Pˇrenos ˇr´ıdic´ıho ˇclenu v pˇr´ımé vˇetvi bude D1 (z) =

1 1.5926 = −1 0.6279(1 − z ) 1 − z −1

a pˇrenos ˇr´ıdic´ıho ˇclenu ve zpˇetné vazbˇe 1.5930 − 0.4370z −1 + 0.0029z −2 D2 (z) = 1 + 0.1589z −1 Odezva obvodu na jednotkovou skokovou zmˇenu ˇr´ızen´ı i skok poruchy jsou na obrázku ...

10.4

N´ avrh ˇ r´ıdic´ıho algoritmu s omezen´ ym poˇ ctem ˇ clen˚ u. Regul´ atory typu P, S, PS, PD a PSD

Pˇrenosové funkce ˇr´ıdic´ıho ˇclenu, vypoˇc´ıtané na základˇe poˇzadavk˚ u na dynamické i statické vlastnosti regulaˇcn´ıho obvodu, mohou b´ yt znaˇcnˇe sloˇzité. Ve skuteˇcném provozu vˇsak


183

málokdy b´ yvá dosaˇzeno pˇresného souhlasu mezi poˇzadovan´ ym a skuteˇcn´ ym pr˚ ubˇehem regulaˇcn´ıho dˇeje. Matematick´ y model soustavy, se kter´ ym pˇri návrhu pracujeme, neodpov´ıdá vˇetˇsinou naprosto pˇresnˇe skuteˇcn´ ym vlastnostem soustavy a je jen jejich aproximac´ı. Nask´ ytá se pak otázka, zda velmi sloˇzit´ y a na rychlost i kapacitu nároˇcn´ y ˇr´ıdic´ı ˇ algoritmus je v´ yhodn´ y. Casto vystaˇc´ıme s jednoduˇsˇs´ım tvarem pˇrenosu D(z), aniˇz dojde k podstatnému zhorˇsen´ı kvality regulaˇcn´ıho dˇeje. Pro návrh regulátoru s omezen´ ym poˇctem koeficient˚ u v pˇrenosu m˚ uˇzeme pouˇz´ıt tˇri r˚ uzné metody. Liˇs´ı se t´ım, na kterém stupni projektu pouˇzijeme aproximace. 10.4.1

Zjednoduˇ sen´ı pˇ renosu soustavy

Pˇrenos regulované soustavy nahrad´ıme pˇrenosem nejv´ yˇse druhého ˇrádu, nebo prvn´ıho ˇrádu s dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım. Pˇri bˇeˇzn´ ych poˇzadavc´ıch (napˇr. podle odstavce 10.1 nebo 10.2 této kapitoly) je vypoˇc´ıtan´ y pˇrenos ˇr´ıdic´ıho ˇclenu ve tvaru D(z) =

d0 + d1 z −1 + d2 z −2 1 + c1 z −1 + c2 z −2

Blokové schéma algoritmu, kter´ y realizuje tento ˇr´ıdic´ı ˇclen je na obrázku 10.16. Pro v´ ypoˇcet okamˇzité hodnoty akˇcn´ı veliˇciny je tˇreba pˇeti násoben´ı a ˇctyˇr souˇct˚ u. V pamˇeti je obsazeno 7 bunˇek. Tento postup dává pomˇernˇe dobré v´ ysledky, záleˇz´ı ovˇsem hlavnˇe na pouˇzité aproximaˇcn´ı metodˇe. x(nT )

d0

e(nT )

d1

e−T p

d2

e−T p −c1

−c2

Obr´ azek 10.16: Grafické znázornˇen´ı realizace

10.4.2

Zjednoduˇ sen´ı navrˇ zen´ eho regul´ atoru

Pˇrenos ˇr´ıdic´ıho ˇclenu navrhneme podle skuteˇcného pˇrenosu regulované soustavy a zadan´ ych poˇzadavk˚ u. Vypoˇc´ıtan´ y pˇrenos D(z) pak nahrad´ıme jednoduˇsˇs´ım typem, kter´ y sv´ ymi vlastnostmi odpov´ıdá spojit´ ym regulátor˚ um typu P, I, PI, PD nebo PID.


184

Pˇri vytváˇren´ı PSD regulátoru jako analogie PID regulátoru se vˇetˇsinou vycház´ı z tvaru pˇrenosu regulátoru z rovnice (4.5) 1 FR (p) = KR 1 + TD p + (10.8) TI p V regulaˇcn´ım schématu vstupuje do regulátoru odchylka. V ˇcasové oblasti se dá p˚ usoben´ı PID regulátoru popsat rovnic´ı Z t 1 de(t) + u(t) = KR e(t) + TD e(τ )dτ (10.9) dt TI 0 y k praktické realizaci z Jak jiˇz bylo popsáno v kapitole 4, je tento typ popisu vhodn´ d˚ uvodu snadné fyzikáln´ı názornosti. Jedná se o tvar regulátoru, kdy se oddˇelenˇe vytváˇrej´ı jeho jednotlivé sloˇzky. Proporcionáln´ı sloˇzka z˚ ustává v diskrétn´ı verzi stejná, jako ve verzi spojité. Derivace se nahrad´ı v´ ypoˇctem diference de dt

→

e(k) − e(k − 1) T

≈

1 − z −1 T

, kde T je perioda vzorkován´ı. V pˇr´ıpadˇe integrace se pouˇz´ıvá obdéln´ıková popˇr´ıpadˇe lichobˇeˇzn´ıková aproximace. U obdéln´ıkové aproximace se nahrad´ı pr˚ ubˇeh mezi okamˇziky vzorkován´ı jednou jeho krajn´ı hodnotou s t´ım, ˇze se uvaˇzuje, ˇze se mezi okamˇziky vzorkován´ı nemˇen´ı. Pokud vezmeme levou krajn´ı hodnotu, jedná se o dopˇrednou obdéln´ıkovou aproximaci. Pokud bychom naopak zvolili pravou krajn´ı hodnotu, jednalo by se o zpˇetnou obdéln´ıkovou aproximaci. V pˇr´ıpadˇe lichobˇeˇzn´ıkové aproximace se pr˚ ubˇeh mezi dvˇema okamˇziky vzorkován´ı nahrad´ı u ´seˇckou, spojuj´ıc´ı levou a pravou krajn´ı hodnotu. Integrál tohoto pr˚ ubˇehu odpov´ıdá obsahu lichobˇeˇzn´ıku. Uvaˇzujme pro jednoduchost zpˇetnou obdéln´ıkovou aproximaci. Potom se dá integál nahradit následuj´ıc´ı sumac´ı Z

0

t

e(τ )dτ =

Z

0

NT

e(τ )dτ

→

T

N X

e(n)

n=0

≈

S uváˇzen´ım tˇechto zjednoduˇsen´ı pˇrecház´ı rovnice (10.9) na tvar ! k TD T X e(i) (e(k) − e(k − 1)) + u(k) = KR e(k) + T TI i=0 ze kterého urˇc´ıme diskrétn´ı pˇrenosovou funcki PSD regulátoru TD 1 T −1 −1 FR (z ) = KR 1 + (1 − z ) + T TI 1 − z −1

T 1 − z −1

(10.10)

(10.11)

Blokové schéma PSD regulátoru je na obrázku 10.17. nuje reDerivaˇcn´ı sloˇzka v rovnici (10.8) je jak v´ıme nerealizovatelná. V praxi se doplˇ alizaˇcn´ı konstantou (εp + 1) ve jmenovateli. Pro dosaˇzen´ı lepˇs´ıho chován´ı PSD regulátoru, jako diskrétn´ı verze PID regulátoru, se ˇcasto realizaˇcn´ı konstanta pˇrevád´ı i do této diskrétn´ı verze, ikdyˇz to z hlediska realizovatelnosti nen´ı nutné.


e(k) KR

185

u(k)

T TI

z −1 TD T

z −1 Obr´ azek 10.17: PSD regulátor ych regulátor˚ u. Jsou V tabulce 10.2 jsou uvedeny jednotlivé typy tˇechto jednoduch´ zde uvedeny jejichˇz pˇrenosové funkce, odezvy na jednotkov´ y impuls i na konstantn´ı vstupn´ı signál, odpov´ıdaj´ıc´ı typy pˇrenos˚ u spojit´ ych regulátor˚ u a poˇcet pamˇet’ov´ ych bunˇek, nutn´ ych k realizaci daného algoritmu ˇr´ızen´ı. Poˇcet pamˇet’ov´ ych bunˇek obsahuje buˇ nky pro uloˇzen´ı konstant regulátoru a pro uloˇzen´ı jeho stavov´ ych veliˇcin. Napˇr´ıklad PSD regulátor obsahuje tˇri konstanty regulátoru KR , TI a TD a dvˇe stavové promˇenné (jedna pro v´ ypoˇcet diference a jedna pro uchován´ı hodnoty sumátoru).

Odezva na jed- Odezva na notkov´ y impuls stantn´ı signál

D(z)

d0 Proporcion´ aln´ı D(z) = d0 P

kon- Odpov´ıdaj´ıc´ı spojit´ y Poˇcet pˇrenos pamˇet’ov´ ych bunˇek

d0 F (p) = k t

T


Typ regul´ atoru

1

t

d0 Sumaˇcn´ı S

D(z) =

d0 (1 − z −1 )

d0

F (p) = k(1 + Td p)

3

d0

Proporcion´ alnˇe D(z) = d0 − d1 z −1 diferenˇcn´ı PD

T

−d1 d0

2T

t

T

Proporcion´ alnˇe d0 − d1 D(z) = sumaˇcn´ı PS 1 − z −1

t

d0 − d1

d1

z −1

Proporcion´ alnˇe D(z) = sumaˇcnˇe d0 − d1 z −1 + d2 z −2 diferenˇcn´ı = 1 − z −1 PSD

2

T 2T · · · t

t d0

k p

F (p) =

d0 t

T d0

F (p) = k(1 +

d0 − d1 + d2 d0 t

T d0 − d1

T

d0 − d1 d0 − d1 + d2

t

1 ) Ti p

3

F (p) = t

= k(1 + Td p +

5 1 ) Ti p

Tabulka 10.2: Diskrétn´ı ekvivalenty spojit´ ych PID regulátor˚ u 186


187

Provedenou aproximaci je vˇsak vˇzdy nutné kontrolovat v´ ypoˇctem pˇrenosu uzavˇrené smyˇcky. Pˇ r´ıklad 10.8 Pro soustavu s pˇrenosem FS (p) =

1 (5p + 1)(p + 1)

a periodou vzorkov´ an´ı T = 5s jsme v pˇredchoz´ıch odstavc´ıch navrhli dva r˚ uzné algoritmy ˇr´ızen´ı. Srovnejte jejich impulsové charakteristiky a aproximujte je jednoduˇsˇs´ım typem regul´ ator˚ u. Byly navrˇzeny regulátory: 1) pro pˇrechodn´ y dˇej koneˇcn´ y jen v ˇcasech vzorkován´ı D1 (z) = 1.8457 ·

1 − 0.3746z −1 + 0.0025z −2 1 − 0.8411z −1 − 0.1589z −2

2) pro koneˇcn´ y poˇcet regulaˇcn´ıch krok˚ u (dˇej koneˇcn´ y i mimo okamˇziky vzorkován´ı) 1 − 0.3746z −1 + 0.0025z −2 1 − 0.8629z −1 − 0.1371z −2

x

D2 (z) = 1.5926

1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0T

1T

2T

3T

4T

5T

t

Obr´ azek 10.18: Impulsové charakteristiky regulátor˚ u D1 (z) (plnou ˇcarou), D2 (z) (ˇcárkovanou ˇcarou) a PS (teˇckovanˇe) Z obrázku 10.18, kde jsou nakresleny impulsové odezvy navrˇzen´ ych regulátor˚ u (pro D1 (z) plnou ˇcarou a pro D2 (z) ˇcárkovanˇe) vypl´ yvá, ˇze rozd´ıly jsou velmi malé. Poubˇeh podobá impulsové charakteristice proporcionálnˇe sumaˇcn´ıho dle tabulky 10.2 se pr˚ regulátoru. Jako aproximaci proto zvol´ıme PS regulátor s pˇrenosem D(z) =

1.7 − 0.75z −1 1 − z −1


188

Jeho impulsová charakteristika je na obrázku 10.18 nakreslena teˇckovanˇe. Obraz odezvy uzavˇreného obvodu s PS regulátorem na skok ˇr´ızen´ı je 0.9211z −1 − 0.2600z −2 − 0.0646z −3 1 − 1.4535z −1 + 0.5706z −2 − 0.1842z −3 + 0.0671z −4

y

Y (z) =

1.2T 1.0T 0.8T 0.6T 0.4T 0.2T 0T 0T

1T

2T

3T

4T

5T

t

Obr´ azek 10.19: Odezva na skokovou zmˇenu ˇr´ızen´ı pˇri pouˇzit´ı PS regulátoru ˇ u dosaˇzitelná Casov´ y pr˚ ubˇeh je nakreslen na obrázku 10.19. Kvalita regulaˇcn´ıch pochod˚ pomoc´ı tˇechto jednoduch´ ych regulátor˚ u, je mnohem menˇs´ı, neˇz pˇri pouˇzit´ı algoritm˚ u s neomezenou pˇrenosovou funkc´ı. V pˇr´ıpadech soustav vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u nebo zv´ yˇsen´ ych poˇzadavk˚ u na regulaˇcn´ı vlastnosti nen´ı ani moˇzné jednoduch´ ym regulátorem typu PSD dané poˇzadavky splnit. Pˇ r´ıklad 10.9 V odstavci 10.1 d) této kapitoly jsme ˇreˇsili n´ avrh ˇr´ıdic´ıho algoritmu pro soustavu s pˇrenosem 1 FS (p) = p(20p + 1)2 pˇri poˇzadavc´ıch nulové ust´ alené odchylky pro line´ arnˇe nar˚ ustaj´ıc´ı ˇr´ıdic´ı sign´ al w(t) = t a koneˇcný regulaˇcn´ı dˇej. Navrˇzen´ y regulátor nelze nahradit jednoduch´ ym algoritmem PSD. Pokud se spokoj´ıme s nulovou odchylkou pouze pˇri konstantn´ım ˇr´ızen´ı, bude m´ıt pˇrenosová funkce tvar Fw (z) = 0.2092z −1 + 0.6611z −2 + 0.1297z −3 Diskrétn´ı pˇrenos soustavy s tvarovaˇcem nultého ˇrádu je (1 + 2.95z −1 )(1 + 0.21z −1 )z −1 FC (z) = 0.324 (1 − z −1 )(1 − 0.607z −1 )2

189

x


2.0 1.5 1.0 0.5 0 0T

1T

2T

3T

4T

5T

6T t

−0.5 −1.0 Obr´ azek 10.20: Obrázek k pˇr´ıkladu a pˇrenos ˇc´ıslicového regulátoru D1 (z) =

0.6457 − 0.7839z −1 + 0.2379z −2 1 + 0.7908z −1 + 0.1297z −2

Odezva regulátoru na jednotkov´ y impuls je na obrázku 10.20 plnou ˇcarou. Tento pˇrenos opˇet nelze aproximovat regulátorem jednoduchého typu. Nejvhodnˇejˇs´ı jednoduch´ y regulátor je typu PD. Kritické zes´ılen´ı regulátoru P vypoˇc´ıtáme napˇr. pomoc´ı bilineárn´ı transformace a Hurwitzova kritéria. Jeho hodnota je d = 0.0685. Vhodn´ y pˇrenos typu PD je D2 (z) = 0.07 − 0.04z −1

Pˇrenos ˇr´ızen´ı pak je

Fw (z) =

0.0227z −1 + 0.0587z −2 − 0.0269z −3 − 0.008z −4 1 − 2.1913z −1 + 1.6411z −2 − 0.3953z −3 − 0.008z −4

ˇ Impulsn´ı charakteristika PD regulátoru je na obrázku 10.20 ˇcárkovanou ˇcarou. Casov´ y pr˚ ubˇeh odezvy na jednotkovou zmˇenu ˇr´ızen´ı je nakreslen na obrázku 10.21, kde je pro srovnán´ı téˇz uvedena odezva systému, je-li zapojen pˇrenos D1 (z). 10.4.3

N´ avrh spojit´ eho regul´ atoru a jeho pˇ revod na ˇ c´ıslicov´ y

Jsou-li ˇcasové konstanty regulované soustavy znaˇcnˇe vˇetˇs´ı neˇz je perioda vzorkován´ı, m˚ uˇzeme navrhnout vhodn´ y spojit´ y regulátor a pˇrenos diskrétn´ıho ˇr´ıdic´ıho ˇclenu D(z) zvolit tak, aby se jejich pˇrechodové charakteristiky co nejv´ıce pˇribliˇzovaly. Spojit´ y regulátor navrhujeme pro soustavu s pˇrenosem FS (p) a vzorkovac´ı ˇclen s tvarovaˇcem nahrad´ıme ˇclenem typu dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı o velikosti poloviny periody


y

190

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0T

4T

8T

12T

16T

20T

t

Obr´ azek 10.21: Odezva na skokovou zmˇenu ˇr´ızen´ı pˇri pouˇzit´ı PD regulátoru ve srovnán´ı s p˚ uvodn´ım regulátorem D1 (z) vzorkován´ı T /2. Blokové schéma je na obrázku 10.23. Tato náhrada vycház´ı ze skuteˇcnosti, ˇze vzorkovan´ y a tvarovan´ y signál akˇcn´ı veliˇciny je vyhlazen velk´ ymi ˇcasov´ ymi konstantami v soustavˇe a v´ ysledná odezva je pˇribliˇznˇe rovna odezvˇe na signál, kter´ y je stˇredn´ı hodnotou pravo´ uhl´ ych akˇcn´ıch impuls˚ u (obrázek 10.22). Tento signál xa (t) je proti p˚ uvodn´ımu x(t) posunut o polovinu periody vzorkován´ı. y

xa (t)

x(t) T /2

0T

1T

2T

3T

4T

5T

6T

t

Obr´ azek 10.22: Vysvˇetlen´ı aproximace vzorkovaˇce s tvarovaˇcem pomoc´ı dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı

Pˇ r´ıklad 10.10 Navrhnˇete ˇr´ıdic´ı algoritmus pro soustavu se spojitým pˇrenosem FS (p) = s periodou vzorkov´ an´ı T = 1s.

1 (5p + 1)(p + 1)


w(t)

e(t)

x(t)

− T2 p

FR (p)

e

191

y(t) FS (p)

Obr´ azek 10.23: Náhrada vzorkovac´ıho ˇclenu s tvarovaˇcem dopravn´ım zpoˇzdˇen´ım Vhodn´ y spojit´ y regulátor typu PI má pˇrenos 5p + 1 1 = 2.5(1 + ) FR (p) = 0.5 p 5p Tvar tohoto pˇrenosu m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat nˇekterou z metod teorie lineárn´ı spojité regulace. Má-li spojit´ y pˇrenos tvar 1 FR (p) = k(1 + ) Ti p je odpov´ıdaj´ıc´ı diskrétn´ı pˇrenos D(z) = kde d0 = k(1 +

1 ) Ti

Po dosazen´ı dostaneme D(z) = Diskrétn´ı pˇrenos soustavy s tvarovaˇcem je

d0 − d1 z −1 1 − z −1 a

d1 = k

3 − 2.5z −1 1 − z −1

0.0686z −1 + 0.0460z −2 1 − 1.1866z −1 + 0.3011z −2 a celková hodnota pˇrenosové funkce ˇr´ızen´ı pˇri pouˇzit´ı regulátoru D(z) bude FC (z) =

Fw (z) =

0.2058z −1 − 0.0335z −2 − 0.1150z −3 + 1.4542z −2 − 0.4161z −3 1 − 1.9808z −1

Pr˚ ubˇeh odezvy na jednotkov´ y skok ˇr´ızen´ı je nakreslen na obrázku 10.24 plnou ˇcarou. Regulátor navrˇzen´ y podle poˇzadavku koneˇcného pˇrechodného dˇeje by mˇel pˇrenos 8.726 − 10.354z −1 + 2.6274z −2 ¯ D(z) = 1 − 0.5986z −1 − 0.4014z −2 a jemu odpov´ıdaj´ıc´ı odezva na jednotkov´ y skok ˇr´ızen´ı je nakreslena na obrázku 10.24 ˇcárkovanˇe. Pro srovnán´ı jsou na obrázku 10.25 nakresleny impulsové odezvy obou regulátor˚ u. 0.2058z −1 − 0, 0335z −2 − 0.1150z −3 Fw (z) = + 1.4542z −2 − 0.4161z −3 −1 1 − 1.9808z


y

192

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0T

2T

4T

6T

8T

10T 12T

t

x

Obr´ azek 10.24: Odezvy regulaˇcn´ıch obvod˚ u na jednotkov´ y skok ˇr´ızen´ı

9 6 3 0

0T

1T

2T

3T

4T

−3 −6 Obr´ azek 10.25: Impulsové charakteristiky regulátor˚ u

5T

t


10.5

193

Shrnut´ı

Tato kapitola ukazuje jak´ ymi r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby se dá navrhnout diskrétn´ı regulátor, ˇcili ˇc´ıslicov´ y korekˇcn´ı ˇclen. V prvn´ı ˇcásti jsou prezentovány metody, které umoˇzn ˇuj´ı navrhnout ˇc´ıslicov´ y korekˇcn´ı ˇclen, kter´ y má koneˇcn´ y pˇrechodn´ y dˇej. Pˇrechodn´ y dˇej m˚ uˇze b´ yt koneˇcn´ y pouze v okamˇzic´ıch vzorkován´ı, nebo i mimo okamˇziky vzorkován´ı. Druh´ y pˇr´ıpad je pro nás ˇcastˇejˇs´ı. Tato metoda vycház´ı ve vhodném zadán´ı pˇrenosu ˇr´ızen´ı (respektive poruchy). Pˇri tom mus´ıme respektovat podm´ınky fyzikáln´ı realizovatelnosti a dalˇs´ı podm´ınky zajiˇst’uj´ıc´ı koneˇcn´ y pˇrechodn´ y dˇej a nulovou ustálenou odchylku. Ve druhé ˇcásti se kapitola vˇenuje návrhu jednoduch´ ych typ˚ u regulátor˚ u, které maj´ı své analogie ve spojit´ ych regulátorech. Jedná se o kombinace proporcionáln´ıho, sumaˇcn´ıho a diferenˇcn´ıho regulátoru (regulátory typu PSD). Jsou zde pˇrehlednˇe popsány tˇri metody, které se pro tento u ´ˇcel daj´ı pouˇz´ıt.

10.6


Ot´ azka 10.1 Jaké zn´ ate zp˚ usoby n´ avrhu diskrétn´ıch regul´ ator˚ u? Ot´ azka 10.2 Napiˇste omezuj´ıc´ı podm´ınku na pˇrenos ˇr´ızen´ı s ohledem na realizovatelnost regul´ atoru. Ot´ azka 10.3 M˚ uˇzeme u dynamického systému s ekvivalentn´ım pˇrenosem Fc (z) = poˇzadovat pˇrenos ˇr´ızen´ı roven Fw (z) = 1? Svoji odpovˇed’ zd˚ uvodnˇete.

bz −1 1+az −1

Ot´ azka 10.4 Odvod’te vzorec pro výpoˇcet pˇrenosu regul´ atoru D(z), pokud zn´ ate ekvivalentn´ı pˇrenos soustavy Fc (z) a poˇzadovaný pˇrenos ˇr´ızen´ı je Fw (z). Ot´ azka 10.5 Jakou podm´ınku mus´ı splˇ novat pˇrenos ˇr´ızen´ı Fw (z), aby byla dosaˇzena nulová ust´ alen´ a odchylka? Ot´ azka 10.6 Jakou podm´ınku mus´ı splˇ novat pˇrenos ˇr´ızen´ı Fw (z), aby byl dosaˇzen koneˇcný pˇrechodný dˇej v ˇcasech vzorkov´ an´ı a koneˇcný pˇrechodný dˇej i mezi okamˇziky vzorkov´ an´ı Ot´ azka 10.7 Pokuste se odpovˇedˇet na pˇredchoz´ı otázky s t´ım, ˇze m´ısto pˇrenosu ˇr´ızen´ı Fw (z) uvaˇzujte pˇrenos poruchy Fu (z) Ot´ azka 10.8 Napiˇste pˇrenos PSD regul´ atoru a nakreslete jeho pˇrechodovou charakteristiku a popiˇste ji pomoc´ı promˇenných pˇrenosu (napiˇste hodnoty prvn´ıch nˇekolika vzork˚ u). To stejné m˚ uˇzete vyzkouˇset s ostatn´ımi typy jednoduchých diskrétn´ıch regul´ ator˚ u P, S, PS a PD. Ot´ azka 10.9 Jak se dá nahradit vzorkovaˇc s tvarovaˇcem pˇri n´ avrhu regul´ ator˚ u v systémech se vzorkov´ an´ım metodou poˇzadovaného tvaru frekvenˇcn´ı charakteristiky? Odpovˇed’ zd˚ uvodnˇete.


11

194

V´ıcerozmˇ ern´ e regulaˇ cn´ı obvody

Regulované soustavy, kterými jsme se dosud zabývali, mˇely pouze jeden výstup a regulace se týkala pouze jediné regulované veliˇciny. Té odpov´ıdala také jediná ˇr´ıdic´ı veliˇcina. Vˇetˇsina regulovaných soustav vˇsak má v´ıce vstupn´ıch veliˇcin, které je tˇreba regulovat. Na soustavu p˚ usob´ı také vˇetˇs´ı poˇcet akˇcn´ıch veliˇcin, které jsou s výstupn´ımi veliˇcinami r˚ uznˇe vázány. Proto takové soustavy nelze ˇreˇsit jako nˇekolik oddˇelených jednoduchých obvod˚ u, navz´ ajem nez´ avislých. Tyto obvody nazýv´ ame v´ıcerozmˇerové (dˇr´ıvˇejˇs´ı oznaˇcen´ı bylo v´ıceparametrové) a jejich analýza i syntéza je sloˇzitˇejˇs´ı, neˇz u systém˚ u jednorozmˇerných. Pˇri spojov´ an´ı v´ıcerozmˇerných systému zde z´ aleˇz´ı na poˇrad´ı n´ asoben´ı jednotlivých pˇrenosových matic, ˇc´ımˇz se modifikuj´ı pravidla blokové algebry. Na obrázku 11.1 je blokovˇe znázornˇena v´ıcerozmˇerová regulovaná soustava. Soustava má n v´ ystupn´ıch veliˇcin y1 ,y2 , · · · , yn , stejn´ y poˇcet akˇcn´ıch veliˇcin x1 ,x2 , · · · , xn a tent´ yˇz poˇcet poruch u1 ,u2 , · · · , un . Podm´ınka stejného poˇctu vˇsech typ˚ u veliˇcin nen´ı na u ´jmu obecnosti, nebot’ vˇzdy je moˇzné doplnit menˇs´ı poˇcet veliˇcin veliˇcinami trvale nulov´ ymi. Na druhé stranˇe stejn´ y poˇcet vˇsech promˇenn´ ych vede na popis ˇctvercov´ ymi maticemi, coˇz je znaˇcnˇe v´ yhodné. Mezi jednotliv´ ymi akˇcn´ımi a regulovan´ ymi veliˇcinami plat´ı následuj´ıc´ı soustava rovnic: u 1 u2 un

y1 y2

x1 x2 S

yn

xn

Obr´ azek 11.1: V´ıcerozmˇerová regulovaná soustava

Y1 (p) = S11 (p)X1 (p) + S12 (p)X2 (p) + · · · + S1n (p)Xn (p) Y2 (p) = S21 (p)X1 (p) + S22 (p)X2 (p) + · · · + S2n (p)Xn (p) .. .. . . Yn (p) = Sn1 (p)X1 (p) + Sn2 (p)X2 (p) + · · · + Snn (p)Xn (p) Tuto soustavu nap´ıˇseme maticovˇe Y(p) = S(p)X (p)

(11.1)


195

kde Y(p) a X (p) jsou sloupcové vektory obraz˚ u v´ ystupn´ıch a akˇcn´ıch veliˇcin     X1 (p) Y1 (p)  X2 (p)   Y2 (p)      X (p) =  ..  Y(p) =  ..   .   .  Xn (p) Yn (p) a S(p) je matice pˇrenos˚ u akˇcn´ıch veliˇcin v soustavˇe   S11 (p) · · · S1n (p)  ..  S(p) =  ... .  Sn1 (p) · · · Snn (p)

Podobnˇe je tomu s pˇrenosy poruch, pro které zavedeme matici pˇrenos˚ u poruch V(p)   V11 (p) · · · V1n (p)  ..  V(p) =  ... .  Vn1 (p) · · · Vnn (p)

a plat´ı

Y(p) = V(p)U(p) kde U(p) je vektor obraz˚ u poruchov´ ych veliˇcin. Kaˇzdá regulovaná veliˇcina má svou ˇr´ıdic´ı veliˇcinu (ˇzádanou hodnotu). Tyto promˇenné tvoˇr´ı vektor ˇzádan´ ych hodnot W(p), jehoˇz obraz je T W(p) = W1 (p) W2 (p) · · · Wn (p)

Rozd´ıl vektoru ˇzádan´ ych hodnot a vektoru regulovan´ ych veliˇcin tvoˇr´ı vektor regulaˇcn´ıch odchylek E(p), pro kter´ y plat´ı E(t) = W(t) − Y(t) Regulaˇcn´ı odchylky jsou vstupn´ımi veliˇcinami regulátor˚ u jednotliv´ ych obvod˚ u. Jedn´ım z hlavn´ım poˇzadavk˚ u kladen´ ych na v´ıcerozmˇerové systémy je autonomnost. Systém je autonomn´ı tehdy, jestliˇze zmˇena k-té ˇzádané hodnoty zp˚ usob´ı zmˇenu k-té regulované veliˇciny a na ostatn´ıch se neprojev´ı. To by bylo splnˇeno za pˇredpokladu, ˇze vˇsechny pˇrenosy Sij , i 6= j, v matici pˇrenos˚ u S by byly nulové. Jin´ ymi slovy, kdyby matice S byla diagonáln´ı. Pokud tomu tak nen´ı, je tˇreba neˇzádouc´ı vzájemné vazby mezi sobˇe neodpov´ıdaj´ıc´ımi akˇcn´ımi a regulovan´ ymi veliˇcinami kompenzovat vhodn´ ymi vazbami v regulátorech. Proto obecnˇe kaˇzdá akˇcn´ı veliˇcina m˚ uˇze b´ yt vázána na libovolnou regulaˇcn´ı odchylku, coˇz vyjádˇr´ıme matic´ı pˇrenos˚ u regulátor˚ uR   R11 (p) · · · R1n (p)  ..  R(p) =  ... .  Rn1 (p) · · · Rnn (p)


196

Prvek Rij (p) této matice je definován vztahem Rij (p) =

Xi (p) Ej (p)

a znamená pˇrenos j-té odchylky na i-tou veliˇcinu. Blokové schéma v´ıcerozmˇerového regulaˇcn´ıho obvodu je na obrázku 11.2. U(t)

W(t)

E(t)

R(p)

X (t)

V(p)

S(p)

Y(t)

Obr´ azek 11.2: Blokové schéma v´ıcerozmˇerového regulaˇcn´ıho obvodu Z rovnic Y(p) = S(p) · X (p) + V(p) · U(p) X (p) = R(p) · [W(p) − Y(p)] odvod´ıme matice pˇrenos˚ u ˇr´ızen´ı a poruch Fw (p) = S(p)R(p)[I + S(p)R(p)]−1 Fu (p) = V(p)[I + S(p)R(p)]−1

(11.2) (11.3)

Prvek Fwij v matici Fw (p) znamená pˇrenos j-té ˇzádané hodnoty na i-tou regulovanou veliˇcinu. Pro autonomn´ı systém mus´ı platit Fwij (p) = 0

pˇri i 6= j

a matice Fw (p) mus´ı b´ yt diagonáln´ı. Z rovnice (11.2) plyne, ˇze tato podm´ınka bude splnˇena, bude-li matice pˇrenos˚ u otevˇren´ ych smyˇcek F0 (p) = S(p)R(p) matic´ı diagonáln´ı. Tento poˇzadavek samozˇrejmˇe neurˇcuje matici R(p) jednoznaˇcnˇe; pˇredstavuje pouze jednu z podm´ınek. Dalˇs´ı poˇzadavky na prvky matice regulátor˚ u mohou b´ yt formulovány bud’ prostˇrednictv´ım ˇzádaného tvaru pˇrenos˚ u otevˇren´ ych nebo uzavˇren´ ych smyˇcek. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe je v´ ypoˇcet regulátoru jednoduˇsˇs´ı, nebo plat´ı R(p) = S −1 ((p)F0 (p)


197

kdeˇzto v druhém pˇr´ıpadˇe R(p) = S −1 (p)[I − Fw (p)]−1 Fw (p) Pro nalezen´ı poˇzadovan´ ych tvar˚ u matic F0 (p) a Fw (p) m˚ uˇzeme pouˇz´ıt prakticky vˇsechny dˇr´ıve uvedené metody. V´ ypoˇcty jsou pouze v odpov´ıdaj´ıc´ı m´ıˇre sloˇzitˇejˇs´ı. ˇ Ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u nelze dosáhnout u ´plnou autonomnost systému. Casto se spokoj´ıme pouze s autonomnost´ı ustálen´ ych stav˚ u. V tom pˇr´ıpadˇe mus´ı b´ yt splnˇena podm´ınka lim Fw (p) = D

p→0

kde D je diagonáln´ı matice. Kromˇe autonomnosti se u v´ıcerozmˇerov´ ych systém˚ u poˇzaduje téˇz invariantnost, coˇz je ´ necitlivost v˚ uˇci poruchov´ ym signál˚ um. Uplné invariantnosti lze dosáhnout pouze tehdy, je-li k dispozici informace o p˚ usob´ıc´ıch poruchách, ˇcili lze-li poruchové veliˇciny mˇeˇrit (viz. kapitola 9.3).

11.1

ˇ ızen´ı v´ıcerozmˇ R´ ern´ ych obvod˚ u

Pˇri návrhu ˇr´ıdic´ıch algoritm˚ u pro v´ıcerozmˇerové obvody z˚ ustávaj´ı v platnosti vˇsechny postupy, uvedené v pˇredchoz´ıch kapitolách. Nav´ıc u tˇechto obvod˚ u vznikaj´ı dalˇs´ı poˇzadavky, které m˚ uˇzeme splnit dalˇs´ım rozˇs´ıˇren´ım polynom˚ u pˇrenosov´ ych funkc´ı. Zde uvedeme poˇzadavky autonomnosti a invariantnosti u v´ıcerozmˇerov´ ych systém˚ u. Na regulovanou soustavu s n v´ ystupn´ımi veliˇcinami (y1 , y2 , · · · , yn ) p˚ usob´ı n akˇcn´ıch veliˇcin (x1 , x2 , · · · , xn ) a stejn´ y poˇcet poruchov´ ych veliˇcin (u1 , u2 , · · · , un ). Pˇredpoklad stejného poˇctu vstupn´ıch, v´ ystupn´ıch i poruchov´ ych veliˇcin nen´ı na u ´jmu obecnosti, nebot’ skuteˇcn´ y poˇcet veliˇcin lze vˇzdy doplnit na potˇrebné ˇc´ıslo pomoc´ı trvale nulov´ ych promˇenn´ ych. Pro vzájemné pˇrenosy jednotliv´ ych veliˇcin zavedeme znaˇcen´ı Sij =

Yi Xj

;

Rij =

Yi Uj

Protoˇze vˇsechny akˇcn´ı veliˇciny (v´ ystupy ˇr´ıdic´ıho poˇc´ıtaˇce) jsou tvarovány, budeme pˇredpokládat, ˇze plat´ı symbolika Sij (z, m) =

m

{Si,j (p)FT V (p)}

;

Rij (z, m) =

m

{Rij (p)Uj (p)}

1 Uj (z)

Vid´ıme, ˇze pˇrenosy Rij budou opˇet funkcemi tvaru poruchového signálu u(t). Podle obrázku ..., na kterém je nakresleno obecné schéma v´ıcerozmˇerového obvodu, plat´ı Y1 = S11 X1 + S12 X2 + · · · + S1n Xn + R11 U1 + R12 U2 + · · · + R1n Un Y2 = S21 X1 + S22 X2 + · · · + S2n Xn + R21 U1 + R22 U2 + · · · + R2n Un .. .. . . Yn = Sn1 X1 + Sn2 X2 + · · · + Snn Xn + Rn1 U1 + Rn2 U2 + · · · + Rnn Un


198

Pro zjednoduˇsen´ı zápisu jsou vynechány symboly obrazové promˇenné z. Pro jednotlivé regulaˇcn´ı odchylky plat´ı ei = wi − yi a pro pˇrenosy korekˇcn´ıch ˇclen˚ u plat´ı Dij (z) =

Xi (z) Ej (z)

Potom cel´ y soubor ˇr´ıdic´ıch algoritm˚ u je popsán soustavou rovnic X1 = D11 E1 + D12 E2 + · · · + D1n En X2 = D21 E1 + D22 E2 + · · · + D2n En .. .. . . Xn = Dn1 E1 + Dn2 E2 + · · · + Dnn En Zápis soustav rovnic pro Xn i Yn zjednoduˇs´ıme, pouˇzijeme-li maticového poˇctu. Pˇrenosy Sij i Rij vytvoˇr´ı ˇctvercové matice, promˇenné Xi , Yi , Ui a Ri tvoˇr´ı sloupcové matice. Rovnice systému zap´ıˇseme ve tvaru Y = SX + RU = SD(W − Y) + RU Matice pˇrenosov´ ych funkc´ı ˇr´ızen´ı bude Fw = (I + SD)−1 SD a matice pˇrenos˚ u poruch Fu = (I + SD)−1 R Systém je autonomn´ı tehdy, jestliˇze zmˇena i-té ˇr´ıdic´ı veliˇciny ovlivn´ı pouze i-tou v´ ystupn´ı veliˇcinu, kdeˇzto na ostatn´ıch v´ ystupech se tato zmˇena neprojev´ı. Systém bude autonomn´ı, pokud bude platit Fwi,j (z, m) = 0 pro vˇsechna i 6= j. Matice pˇrenos˚ u Fw (z, m) mus´ı b´ yt diagonáln´ı.   F11 0 0 ··· 0  0 F22 0 · · · 0     0 F33 · · · 0  Fw (z, m) =  0    ..   . 0 0 0 · · · Fnn

Ve vzorci pro matici pˇrenosov´ ych funkc´ı Fw se v ˇcitateli i jmenovateli vyskytuje souˇcin matic SD. Pokud bude tento souˇcin diagonáln´ı matice, pak také jej´ı souˇcet s jednotkovou matic´ı a inverze takto vzniklé matice bude diagonáln´ı matice. Inverzn´ı matice k diagonáln´ı matici je opˇet diagonáln´ı matice. Postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou autonomnosti proto bude, aby souˇcin matic SD byl diagonáln´ı matic´ı.


11.2

199

Shrnut´ı

V této kapitole jsme nast´ınili problematiku v´ıcerozmˇerov´ ych regulaˇcn´ıch obvod˚ u. Vysvˇetlili jsme si pojmy autonomnost a invariantnost. V pˇr´ıpadˇe, kdy je systém autonomn´ı, nebo se ho podaˇr´ı vhodnou transformac´ı na takov´ yto systém pˇrevést, ˇreˇs´ı se návrh regulátoru oddˇelenˇe, postupnˇe pro kaˇzd´ y pˇrenos zvláˇst’ pomoc´ı metod popsan´ ych dˇr´ıve. Tato kapitola slouˇz´ı pouze jako struˇcn´ yu ´vod do ˇr´ızen´ı v´ıcerozmˇerov´ ych systém˚ u. S podrobnˇejˇs´ım popisem se zˇrejmˇe setkáte v nˇekterém z navazuj´ıc´ıch kurz˚ u.

11.3


Ot´ azka 11.1 Jaká jsou pravidla pro blokovou algebru v´ıcerozmˇerových obvod˚ u? V ˇcem se liˇs´ı od jednorozmˇerných systém˚ u? Ot´ azka 11.2 Definujte pojem autonomnosti. Ot´ azka 11.3 Jaký je rozd´ıl mezi statickou a dynamickou autonomnost´ı? Ot´ azka 11.4 Definujte pojem autonomnosti v´ıcerozmˇerového regulaˇcn´ıho obvodu. Ot´ azka 11.5 Jaký je rozd´ıl mezi absolutn´ı a selektivn´ı invariantnost´ı?


A

Odpovˇ edi na kontroln´ı ot´ azky

200


B B.1

201

Z´ aklady z maticov´ eho poˇ ctu a zpracov´ an´ı sign´ al˚ u Algebraick´ y doplnˇ ek

Necht’ A je ˇctvercová matice ˇrádu n. Pokud z matice A vynecháme i-t´ y ˇrádek a j-t´ y i+j ˇ sloupec, dostaneme matici, kterou si oznaˇc´ıme M ij . C´ıslo Aij = (−1) det (M ij ) se naz´ yvá algebraick´ y doplnˇek prvku aij v matici A, nebo také subdeterminant. Pˇ r´ıklad B.1 Vypoˇc´ıtejte algebraický doplnˇek  1  A= 4 7

A23 , pokud je matice A dána  2 3 5 6 8 1

Vynecháme druh´ y ˇrádek a tˇret´ı sloupec matice A. 1 2 M 23 = 7 8

Algebraick´ y doplnˇek je podle definiˇcn´ı rovnice A23 = (−1)2+3 det (M 23 ) = 6

B.2

Adjungovan´ a matice

Adjungovaná matice ke ˇctvercové matici A se urˇc´ı t´ım zp˚ usobem, ˇze se jednotlivé prvky aij nahrad´ı algebraick´ ymi doplˇ nky Aij a potom se tato matice transponuje.  T   A11 A12 · · · A1n A11 A21 · · · An1  A21 A22 · · · A2n   A12 A22 · · · An2      adj(A) =  .. .. ..  =  .. .. ..  . . . .  .  . . . . .  . .  An1 An2 · · · Ann A1n A2n · · · Ann

Pˇ r´ıklad B.2 Vypoˇc´ıtejte adjungovanou matici k matici A z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu Nejprve si vypoˇc´ıtáme vˇsechny Algebraické doplˇ nky 4 6 5 6 = 38 = −43 A12 = − det A11 = det 7 1 8 1 1 3 2 3 = −20 = 22 A22 = det A21 = − det 7 1 8 1 1 3 2 3 =6 = −3 A32 = − det A31 = det 4 6 5 6

A13 A23 A33

4 5 = −3 = det 7 8 1 2 =6 = − det 7 8 1 2 = −3 = det 4 5

Nyn´ı m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat adjungovanou matici adj(A)  T   −43 22 −3 −43 38 −3 adj(A) =  22 −20 6  =  38 −20 6  −3 6 −3 −3 6 −3


B.3

202

Inverzn´ı matice

Pokud existuje inverzn´ı matice k matici A, pak mus´ı splˇ novat rovnici AA−1 = A−1 A = I kde I je jednotková matice. Jednotková matice má jedniˇcky na hlavn´ı diagonále, jinde má samé nuly. Matice A mus´ı b´ yt ˇctvercová a jej´ı determinant mus´ı b´ yt nenulov´ y (matice nem˚ uˇze b´ yt singulárn´ı). Inverzn´ı matice se dá vypoˇc´ıtat podle vzorce A−1 =

adj(A) det(A)

(B.1)

Pˇ r´ıklad B.3 Vypoˇc´ıtejte inverzn´ı matici k matici A Adjungovanou matici jsme si spoˇc´ıtali v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe. K v´ ypoˇctu inverzn´ı matice zb´ yvá urˇcit determinant matice A. det(A) = 1 · 5 · 1 + 2 · 6 · 7 + 4 · 8 · 3 − 7 · 5 · 3 − 4 · 2 · 1 − 6 · 8 · 1 = 24 Inverzn´ı matice k matici A A−1

  −43 22 −3 1  adj(A) 38 −20 6  = = det(A) 24 −3 6 −3

Pˇ r´ıklad B.4 Ovˇeˇrte správnost výpoˇctu determinantu a inverzn´ı matice k matici A v Matlabu. Nadefinujeme si matici A >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 1] A = 1 4 7

2 5 8

3 6 1

Determinant z´ıskáme zavolán´ım funkce >> det(A) ans = 24 Inverzn´ı matice násobená determinantem je


203

inv(A)*det(A) ans = -43.0000 38.0000 -3.0000

22.0000 -20.0000 6.0000

-3.0000 6.0000 -3.0000

V´ ysledky se shoduj´ı, poˇc´ıtali jsme správnˇe.

B.4

Vlastn´ı ˇ c´ısla matice

Nˇekdy je potˇrebné naj´ıt skalár λ a vektor x spojené s matic´ı A tak, ˇze je splnˇena rovnice: λx = Ax Pokud je matice A ˇrádu n, pak se dá nalézt n koeficient˚ u λi , které vyhovuj´ı pˇredchoz´ı rovnici. Hodnoty koeficient˚ u λi se naz´ yvaj´ı Matice!vlastn´ı ˇc´ısla matice A. Vlastn´ı ˇc´ısla nalezneme ˇreˇsen´ım rovnice det (λI − A) = 0

K urˇcenému vlastn´ımu ˇc´ıslu λi m˚ uˇzeme nalézt vektor xi splˇ nuj´ıc´ı rovnici [(λi I − A)] xi = 0

Vypoˇcten´ y vektor xi se naz´ yvá vlastn´ı vektor. Jeho urˇcen´ı nen´ı jednoznaˇcné, coˇz plyne z toho, ˇze je determinat det (λI − A) nulov´ y. Nˇekdy se vlastn´ı ˇc´ısla zapisuj´ı do vektoru, kter´ y naz´ yváme vektor vlastn´ıch ˇc´ısel. To nen´ı stejné jako vlastn´ı vektor. Pˇ r´ıklad B.5 Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matice −1 2 A= 0 −3

Nejprve urˇc´ıme determinant λ + 1 −2 = (λ + 1)(λ + 3) det (λI − A) = det 0 λ+3

(B.2)

Z´ıskáváme dvˇe vlastn´ı ˇc´ısla λ1 = −1 a λ2 = −3. Nyn´ı vypoˇc´ıtáme vlastn´ı vektory x1 a x2 . x11 0 0 −2 0 −2 (B.3) = x1 = 0 x12 0 2 0 2

Pokud bude x12 = 0, bude rovnice splnˇena pro libovolné x11 . M˚ uˇzeme si zvolit napˇr´ıklad x11 = 1 Druh´ y vlastn´ı vektor x2 urˇc´ıme podobnˇe ˇreˇsen´ım rovnice 0 x21 −2 −2 −2 −2 = x2 = (B.4) x22 0 0 0 0 0

Na základˇe prvn´ıho ˇrádku m˚ uˇzeme psát, ˇze prvky vlastn´ıho vektoru mus´ı splˇ novat rovnici x21 = −x22 , takˇze napˇr´ıklad x21 = 1 a x21 = −1.


B.5

204

Masonovo pravidlo pro urˇ cen´ı pˇ renosu

Masonovo pravidlo nám umoˇzn ˇuje pomoc´ı jednoduchého algoritmu urˇcit pˇrenos prakticky libovolnˇe sloˇzitého schématu. Pravidla pro postupné zjednoduˇsován´ı umoˇzn ˇuj´ı taktéˇz doj´ıt ke stejnému v´ ysledku. Jejich nev´ yhodou ale je, ˇze jsou obt´ıˇznˇe algoritmizovatelné a vyˇzaduj´ı hodnˇe psan´ı a pˇrekreslován´ı. B.5.1

Pˇ revod blokov´ eho diagramu na graf sign´ alov´ ych tok˚ u

Masonovo pravidlo se pouˇz´ıvá pro z´ıskán´ı pˇrenosu grafu signálov´ ych tok˚ u. Graf signálov´ ych tok˚ u se skládá ze dvou základn´ıch element˚ u, kter´ ymi jsou vˇetev a uzel. To je ponˇekud zjednoduˇsené pojet´ı na které jsme zvykl´ı z blokov´ ych diagram˚ u, kde se vyskytuj´ı bloky a sumátory, které jsou vzájemnˇe pospojovány vazbami. Pˇrechod od blokov´ ych diagram˚ u ke grafu signálov´ ych ˇ asti schémat mezi tok˚ u nen´ı nijak obt´ıˇzn´ y. Sumátory i rozvˇetvován´ı se nahrad´ı uzly. C´ dvˇema uzly se nahrad´ı v´ ysledn´ ym pˇrenosem, kter´ y pak pˇredstavuje vˇetev. Pokud daná ˇcást schématu vstupuje do sumátoru se záporn´ ym znaménkem, pak se v´ ysledn´ y pˇrenos vynásob´ı −1. Je d˚ uleˇzité podotknout, ˇze stejnˇe jako v blokovém schématu jsou u vˇetv´ı zadávány smˇery pr˚ uchodu signálu.

F (p)

⇔

F (p)

⇔

Obr´ azek B.1: Prvky grafu signálov´ ych tok˚ u Pˇrevodem blokového diagramu na graf signálov´ ych tok˚ u se sn´ıˇz´ı poˇcet pouˇzit´ ych element˚ u. B.5.2

Z´ akladn´ı pojmy

Pˇredt´ım neˇz nap´ıˇseme Masonovo pravidlo, které se pouˇz´ıvá k v´ ypoˇctu pˇrenosu, je nutné zavést nˇekteré pojmy. Pˇ r´ım´ a vˇ etev je jakákoliv posloupnost vˇetv´ı ze vstupu na v´ ystup ve smˇeru ˇsipek, která neprocház´ı ˇzádn´ ym uzlem v´ıce neˇz jednou. Protoˇze jich m˚ uˇze b´ yt v´ıce, ˇc´ısluj´ı se indexem. Poˇrad´ı nen´ı d˚ uleˇzité. Pˇ renos pˇ r´ım´ e vˇ etve je souˇcin pˇrenos˚ u vˇsech vˇetv´ı, které jsou obsaˇzeny v dané pˇr´ımé vˇetvi. Pˇrenos budeme oznaˇcovat Vi , kde i je index pˇr´ımé vˇetve. Smyˇ cka je jakákoliv uzavˇrená posloupnost vˇetv´ı ve smˇeru ˇsipek, která neprocház´ı ˇzádn´ ym uzlem v´ıce neˇz jednou. Pˇ renos smyˇ cky je souˇcin pˇrenos˚ u vˇsech vˇetv´ı ˇ ıkáme, ˇze se dvˇe smyˇcky dot´ obsaˇzen´ ych ve smyˇcce. R´ ykaj´ı, pokud maj´ı nˇejak´ y spoleˇcn´ y uzel. Jinak ˇr´ıkáme, ˇze se nedot´ ykaj´ı. Stejnˇe tak je to s dot´ ykán´ım ˇci nedot´ ykán´ım u


Blokové schéma u(t)

u1 (t)

Graf signálov´ ych tok˚ u F (p) y u

y(t)

F (p)

u1

F 1 (p) y(t)

u2 (t)

u(t)

F 1 (p)

x(t)

F 1 (p)

y(t)

u

u

p) F 2(

F 1 (p)

x

1

y

y

x −F 2 (p)

y(t)

F (p)

F 2 (p)

F 1 (p)

F 2 (p)

u(t)

y

y(t)

v(t)

u(t)

u2

F 2 (p)

F1( p)

1

F 2 (p)

x(t)

205

u

1

x

1

y

−F (p)

Tabulka B.1: Vztah mezi jednoduch´ ymi blokov´ ymi schématy a signálov´ ymi diagramy


206

pˇr´ım´ ych vˇetv´ı. Determinant grafu signálov´ ych tok˚ u ∆ se urˇc´ı jako ∆ = 1 − souˇcet pˇrenos˚ u smyˇcek +souˇcet souˇcin˚ u pˇrenos˚ u kombinac´ı dvou vz´ ajemnˇe nedot´ ykaj´ıc´ıch se smyˇcek −souˇcet souˇcin˚ u pˇrenos˚ u kombinac´ı tˇr´ı vz´ ajemnˇe se nedot´ ykaj´ıc´ıch se smyˇcek +··· Subdeterminant i-té pˇr´ımé vˇetve je determinant ∆i grafu signálov´ ych tok˚ u z´ıskaného tak, ˇze se z p˚ uvodn´ıho grafu vymaˇzou vˇsechny smyˇcky, které se dot´ ykaj´ı i-té pˇr´ımé vˇetve. B.5.3

Masonovo pravidlo pro v´ ypoˇ cet pˇ renosu

Nyn´ı máme nadefinované vˇsechny potˇrebné pojmy k tomu, abychom napsali Masonovo pravidlo pro v´ ypoˇcet pˇrenosu grafu signálov´ ych tok˚ u. Pˇrenos systému s jedn´ım vstupem a jedn´ım v´ ystupem popsaného grafem signálov´ ych tok˚ u se urˇc´ı podle rovnice: G(s) =

V1 ∆1 + V2 ∆2 + · · · ∆

Pro systémy s v´ıce vstupy a v´ıce v´ ystupy se Masonovo pravidlo jednoduˇse postupnˇe aplikuje na vˇsechny kombinace vstup˚ u a v´ ystup˚ u. Pˇ r´ıklad B.6 Urˇcete pˇrenos blokového schématu z obr´ azku B.2. Nejprve pˇreved’te blokové schéma na graf sign´ alových tok˚ u a potom vyuˇzijte Masonova pravidla pro výpoˇcet pˇrenosu.

y(t) u(t)

F1 (p)

F2 (p)

F3 (p)

F4 (p)

F5 (p)

Obr´ azek B.2: Blokov´ y diagram Graf signálov´ ych tok˚ u odpov´ıdaj´ıc´ı blokovému schématu B.2 je ukázáno na obrázku B.3. Graf signálov´ ych tok˚ u obsahuje dvˇe pˇr´ımé vˇetve a tˇri smyˇcky. Nejprve urˇc´ıme pˇrenosy obou vˇetv´ı a jejich subdeterminanty V1 = F1 F2 F3 F4 V2 = F3 F4

∆1 = 1 ∆2 = 1 + F 1


207

1 u(t)

1

F1

1

F2

F3

−1

F4

1

y(t)

−1 −F5

Obr´ azek B.3: Graf signálov´ ych tok˚ u z´ıskan´ y z blokového diagramu Determinant celého grafu ∆ = 1 + F1 + F3 + F1 F2 F3 F4 F5 + F1 F3 V´ ysledn´ y pˇrenos F (p) =

B.6

V1 ∆1 + V2 ∆2 F1 F2 F3 F4 + F3 F4 (1 + F 1) = ∆ 1 + F1 + F3 + F1 F2 F3 F4 F5 + F1 F3

Laplaceova transformace

Pro ˇreˇsen´ı lineárn´ıch spojit´ ych systém˚ u pouˇz´ıváme Laplaceovu transformaci, protoˇze je to snazˇs´ı, neˇz ˇreˇsen´ı diferenciáln´ıch rovnic. Laplaceova transformace pˇrevád´ı funkci ˇcasu f (t) na funkci F (p) operátoru p. Definiˇcn´ı vzorec pro Laplaceovu transformaci je Z ∞ f (t)e−pt dt (B.5) {f (t)} = F (p) = 0

Laplace˚ uv operátor je komplexn´ı ˇc´ıslo p = σ + jω.

B.7

Inverzn´ı Laplaceova transformace

Po proveden´ı v´ ypoˇctu v Laplaceovˇe transformaci nás zaj´ımá ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh odpov´ıdaj´ıc´ı z´ıskanému operátorovému pˇrenosu. Pro pˇrevod operátorového pˇrenosu do ˇcasové oblasti se pouˇz´ıvá inverzn´ı Laplaceova transformace. Jej´ım pouˇzit´ım z´ıskáme funkci pro t ≥ 0. Z σ+j∞ 1 −1 {F (p)} = f (t) = F (p)ept dp (B.6) 2πj σ−j∞ Promˇenná σ definuje pozici pˇr´ımky v komplexn´ı rovinˇe, která je rovnobˇeˇzná s imaginárn´ı osou. Pˇri v´ ypoˇctu mus´ı vˇsechny póly pˇrenosu F (p) leˇzet nalevo od této pˇr´ımky. Inverzn´ı Laplaceova transformace se m˚ uˇze vypoˇc´ıtat pouˇzit´ım Reziduové vˇety jako suma rezidu´ı funkce F (p)ept . −1

1 {F (p)} = f (t) = 2πj

Z

σ+j∞

σ−j∞

pt

F (p)e dp =

N X i=1

res [F (p)ept ]

p=pi

(B.7)


208

kde N je poˇcet rezidu´ı. Funkce F (p)ept má rezidua ve vˇsech pólech pˇrenosu F (p). Poˇzadavkem je, aby mˇel pˇrenos F (p) v´ıce pól˚ u neˇz nul. Reziduum v jednoduchém pólu pi se urˇc´ı v´ ypoˇctem limity res [F (p)ept ] = lim (p − pi )F (p)ept

p=pi

(B.8)

p→pi

Pokud chceme urˇcit reziduum funkce F (p) ve v´ıcenásobném (k-násobném) pólu pi , mus´ıme pro jeho v´ ypoˇcet pouˇz´ıt sloˇzitˇejˇs´ı vzorec res [F (p)ept ] =

p=pi

1 dk−1 lim k−1 [(p − pi )k F (p)ept ] (k − 1)! p→pi dp

Pˇ r´ıklad B.7 Vypoˇc´ıtejte reziduum funkce F (p)ept , kde F (p) =

(B.9) p+2 p(p+1)2

v bodˇe p = 0.

Pouˇzit´ım vzorce (B.8) pro jednoduch´ y koˇren, kde za pi dosad´ıme 0 res [F (p)ept ] = lim p

p=0

p→0

p + 2 pt p + 2 pt 2 e = lim e = 2 e0t = 2 2 2 p→0 (p + 1) p(p + 1) 1

Pˇ r´ıklad B.8 Vypoˇc´ıtejte reziduum funkce F (p)ept , kde F (p) =

p+2 p(p+1)2

v bodˇe p = −1.

y koˇren, kde za pi dosad´ıme -1 a za k 2, protoˇze Pouˇzit´ım vzorce (B.9) pro v´ıcenásobn´ koˇren pi = −1 je dvojnásobn´ y d2−1 d p + 2 pt 1 p + 2 pt lim e ] = lim e = [(p + 1)2 2−1 2 p→−1 dp (2 − 1)! p→−1 dp p(p + 1) p d pt 2ept 2ptept − 2ept = lim (e + ) = lim (tept + )= p→−1 dp p→−1 p p2 = te−t − 2te−t − 2e−t = −te−t − 2e−t

res [F (p)ept ] =

p=−1

Pˇ r´ıklad B.9 Vypoˇc´ıtejte inverzn´ı Laplaceovu transformaci pˇrenosu F (p) = moc´ı reziduové vˇety.

p+2 p(p+1)2

po-

Funkce F (p)ept má rezidua v bodech p1 = 0 a p2 = −1. Hodnoty tˇechto rezidu´ı jsou vypoˇc´ıtány v pˇredchoz´ıch dvou pˇr´ıkladech. Dosazen´ım do definiˇcn´ıho vztahu pro inverzn´ı Laplaceovu transformaci

−1

{F (p)} = f (t) = = res[ p=0

N X i=1

res [

p=pi

p + 2 pt e ]= p(p + 1)2

p + 2 pt p + 2 pt e ] + res [ e ] = 2 − te−t − 2e−t 2 2 p=−1 p(p + 1) p(p + 1)

Pˇ r´ıklad B.10 Pomoc´ı programu Matlab a jeho toolboxu pro symbolickou matematiku urˇcete zpˇetnou Laplaceovu transformaci pˇrenosu z pˇredch´ azej´ıc´ıho pˇr´ıkladu.


209

Nejprve mus´ıme nadefinovat pouˇz´ıvané promˇenné p a t. To se provede pomoc´ı pˇr´ıkazu >> syms p t Potom zavedeme pˇrenos F (p) >> Fp=(p+2)/p/(p+1)^2 Fp = (p+2)/p/(p+1)^2 Pro inverzn´ı Laplaceovu transformaci slouˇz´ı pˇr´ıkaz ilaplace >> ft = ilaplace(Fp,p,t) ft = 2-t*exp(-t)-2*exp(-t) Jako prvn´ı parametr se zadává pˇrenos, kter´ y se má pˇrevést, druh´ y parametr je oznaˇcen´ı Laplaceova operátoru a tˇret´ı promˇenná je oznaˇcen´ı pro ˇcas. Podstatné je skuteˇcnost, ˇze jsme v obou pˇr´ıpadech, tedy v´ ypoˇctem i v Matlabu, dostali stejn´ y v´ ysledek.

B.8

Fourierova transformace

Fourierova transformace pˇrevád´ı signál z ˇcasové oblasti do frekvenˇcn´ı oblasti pomoc´ı vzorce Z ∞ {f (t)} = F (jω) = f (t)e−jωt dt (B.10) −∞

Pokud je f (t) = 0 pro t < 0 a f (0+ ) vyjadˇruje poˇcáteˇcn´ı podm´ınku pro f (t), pak vzorec B.10 pˇrejde na stejn´ y tvar, jako má definiˇcn´ı vzorec Laplaceovy transformace s promˇennou p = jω. Inverzn´ı Fourierova transformace má definiˇcn´ı vztah Z ∞ 1 −1 F (jω)ejωt dω (B.11) f (t) = {F (jω)} = 2π −∞

Index pr˚ useˇc´ık s reálnou osou, 113 segmenty na reálné ose, 109 smˇer asymptot, 110 stˇred asymptot, 111 vˇetve, 106 Kritické perioda, 143 zes´ılen´ı, 143 Kritérium Hurwitzovo, 72 Nyquistovo, 74, 77 Routh-Schurovo, 72, 86 Nekolného doplnˇek, 97 zjednoduˇsené Nyquistovo, 84, 87

Amplitudová bezpeˇcnost, 117, 118 Aproximace Padého rozvojem, 38 regulovan´ ych soustav, 36 Autonomnost, 195 Bilineárn´ı transformace, 71 Cauchyho teorém, 74 Charakteristická rovnice, 72 Charakteristick´ y polynom, 72 Dopravn´ı zpoˇzdˇen´ı, 37 Frobeni˚ uv kanonick´ y tvar, 25 Fyzikáln´ı realizovatelnost, 162, 178 Fázová bezpeˇcnost, 117, 118

lineárn´ı systém, 10 M-kruˇznice, 122 Masonovo pravidlo, 204, 206 Matice adjungovaná, 201 algebraick´ y doplnˇek, 201 impulsn´ıch charakteristik, 21 inverzn´ı, 202 pˇrenosov´ ych funkc´ı, 20, 23 vlastn´ı ˇc´ısla, 71, 203 Metoda inverzn´ı regulátor, 133 optimáln´ıho modulu, 135 optimáln´ıho ˇcasového pr˚ ubˇehu, 141 poˇzadovaného rozloˇzen´ı pól˚ u uzavˇreného obvodu, 145 standardn´ıch tvar˚ u charakteristického polynomu, 149 standardn´ıch tvar˚ u frekvenˇcn´ı charakteristiky otevˇreného obvodu, 126 Zieglera-Nicholse, 142 Mez stability, 143 MIMO systémy, 9

Graf signálov´ ych tok˚ u, 204 determinant, 206 Masonovo pravidlo, 206 pˇr´ımá vˇetev, 204 smyˇcka, 204 subdeterminant, 206 Identifikace, 35 Integráln´ı kritéria, 93 ITAE, 103 kvadratické, 95 lineárn´ı, 93 Integráln´ı kritérium kvadratické, 142 Invariantnost, 197 Jordan˚ uv kanonick´ y tvar, 26 Kanonick´ y tvar Frobeni˚ uv, 25 Jordan˚ uv, 26 Kompenzace dopravn´ıho zpoˇzdˇen´ı, 159 Koneˇcn´ y pˇrechodn´ y dˇej, 163, 179 Koˇrenov´ y hodograf, 106 poˇcátky a konce vˇetv´ı, 109

N-kruˇznice, 122 Nyquistovo kritérium, 74, 77

210


Otevˇrená smyˇcka, 57 ovládán´ı, 11 Padého aproximace, 38 princip superpozice, 10 Programován´ı paraleln´ı, 25 pˇr´ımé, 24 sériové, 26 Pˇrenos akˇcn´ı veliˇciny, 60 odchylky, 59 otevˇrené smyˇcky, 57 poruchy, 58 vstupn´ı veliˇciny regulátoru, 59 ˇr´ızen´ı, 58 Realizaˇcn´ı ˇcasová konstanta, 47 Regulaˇcn´ı odchylka, 57 Regulátor akˇcn´ıˇclen, 13 amplitudová a fázová frekvenˇcn´ı charakteristika, 51 diskrétn´ı, 11, 53 frekvenˇcn´ı charakteristika, 50 integraˇcn´ı, 45 P, S, PS, PD a PSD, 183 PD, 45 PI, 46 PID, 46 proporcionáln´ı, 45 pˇrechodová charakteristika, 49 pˇr´ımoˇcinn´ y, 10 s pomocnou energi´ı, 10 se dvˇema korekˇcn´ımi ˇcleny, 182 se dvˇema stupni vlonosti, 134 spojit´ y, 11 v´ ykonov´ y zesilovaˇc, 13 u ´stˇredn´ı ˇclen, 13 Residuová vˇeta, 96 Reziduová vˇeta, 207 Rozvˇetven´ y regulaˇcn´ı obvod s modelem soustavy, 158 s mˇeˇren´ım poruchy, 156 s pomocnou akˇcn´ı veliˇcinou, 155

211

s pomocnou regulovanou veliˇcinou, 152 Servomechanismus, 153 SISO systémy, 9 Soustava fázovˇe minimáln´ı, 34 fázovˇe neminimáln´ı, 34 kmitavá, 32 pˇretlumená, 31 s a bez astatismu, 34 Stabilita definice, 71 Stavov´ y popis, 15 stav systému, 15 stavové rovnice, 16 stavov´ y vektor, 15 transformace stav˚ u, 22 vektor vstup˚ u, 16 vektor v´ ystup˚ u, 16 Transformace Fourierova, 209 inverzn´ı Fourierova, 209 inverzn´ı Laplaceova, 207 Laplaceova, 207 stav˚ u, 22 Tvarovaˇc, 161 Ustálené odchylky, 65 Vˇeta o koneˇcné hodnotˇe, 65 V´ıcerozmˇerné obvody, 194, 197 Zásoba stability v amplitudˇe, 117 v modulu, 117 ve fázi, 117 ve zpoˇzdˇen´ı, 118 ˇ ızen´ı R´ dynamick´ ych systém˚ u, 9 na konstantn´ı hodonotu, 11 programové, 11 sekvenˇcn´ı, 9 servomechanismus, 11


212

Reference [1] G. H. Hostetter, C. J. Savant, and R. T. Stefani, Design of Feedback Control Systems, 2nd ed. Saunders College Publishing, 1989. [2] I. D. Landau, Identification et commande des systèmes. Hermès, Paris, 1993. [3] P. Vavˇr´ın, Teorie dynamických systém˚ u. Vysoké uˇcen´ı technické v Brnˇe, 1989. [4] K. Rektorys, Pˇrehled uˇzité matematiky I a II, ˇsesté vydán´ı ed. 1995.

Praha: Prometheus,

[5] P. Vavˇr´ın, Teorie automaticého ˇr´ızen´ı I. Vysoké uˇcen´ı technické v Brnˇe, 1991. [6] C. C. Hang, A. P. Loh, and V. U. Vasnani, “Relay feedback auto-tuning of cascade controllers,” ieeetcst, vol. 2, no. 1, pp. 42–45, March 1994. [7] C. C. Hang, “The choice of controller zeros,” ieeecsm, pp. 72–75, January 1989. [8] J. C. Doyle, B. A. Francis, and A. R. Tannenbaum, Feedback Control Theory. Macmillan, 1992. [9] K. J. ˚ Aström and B. Wittenmark, Computer-Controlled Systems: Theory and Design. Prentice Hall, 1997.

Ing. Petr BLAHA, PhD. Prof. Ing. Petr VAVŘÍN, DrSc

Recommend Documents