Numerické modelování hodnot elektrické permitivity štěrkového lože a možnosti využití výsledků pro správu železničních tratí

Vědeckotechnický sborník ČD č. 27/2009 Michal Tesař 1 , Ondřej Jiroušek 2 , Petr Štěpánek 3

Numerické modelování hodnot elektrické permitivity štěrkového lože a možnosti využití výsledků pro správu železničních tratí Klíčová slova: Georadar, kolejové (štěrkové) lože, elektrická permitivita, numerické modelování, metoda FDTD, elektromagnetické vlny, Maxwellovy rovnice, MATLAB

Úvod Důležitým trendem evropských železnic je využívání nedestruktivního monitoringu pro efektivní a včasnou údržbu tratí s cílem zajištění bezpečné přepravy nákladů a osob. Jedním ze směrů je využití možnosti GPR technologie. Tento příspěvek se zabývá možností využívání veličiny relativní permitivity pražcového podloží pro projektování a zajištění včasné údržby pražcového podloží. Vypracování matematického modelu změn permitivity pražcového podloží drážního tělesa v provozním období by mělo přinést odpovědi na následující otázky pro praktické využití tohoto příspěvku: - hodnocení homogenity vícevrstevné konstrukce pražcového podloží - kontrola skutečného provedení stavby - sběr dat skutečného provedení pro řešení případných reklamací - kontrola správného provedení údržby tratí - kontrola současného stavu (vzájemné promísení materiálu konstrukčních vrstev, zatlačování konstrukčních vrstev do tělesa zemní pláně, vznik vodních pytlů) - lokalizace poruch vzniklých z důvodu nefunkčního odvodnění

Princip georadaru Georadar (Ground Penetrating Radar, GPR) je nedestruktivní geofyzikální metoda, která využívá pulzy elektromagnetického záření v mikrovlnné oblasti ke zobrazení podloží. Krátké pulzy elektromagnetického vlnění jsou vysílací anténou vysílány do země. Signál odražený od rozhraní jednotlivých vrstev s různou dielektrickou konstantou je registrován přijímací anténou (přesněji jeho změna je registrována). Hloubka dosahu georadaru je dána jeho frekvencí, radiačním výkonem a elektrickou vodivostí podloží. S rostoucí vodivostí podloží se snižuje hloubkový dosah radaru. Použijeme-li radar s vyšší frekvencí, snížíme tím dosah radaru (hloubku penetrace), ale současně zvýšíme jeho rozlišení v detailech. Antény se používají většinou jako dotykové (na povrchu zkoumaného prostředí, je však možno je použít i pro měření ze vzduchu. Typický příklad radarogramu je uveden na obr. 1. 1 RNDr. Michal Tesař, nar. 1946, absolvent Přírodovědecké fakulty Karlovy Univerzity, Obor geologie, specializace Užitá geofyzika, G IMPULS Praha spol. s.r.o., tel: +420 266712779 2 Doc. Ing. Ondřej Jiroušek, Ph.D., nar. 1974, absolvent Fakulty stavební, ČVUT v Praze, Obor konstrukce a dopravní stavby, Ústav teoretické a aplikované mechaniky AV ČR, v.v.i. 3 Petr Štěpánek, nar. 1985, student 4. ročníku Fakulty dopravní, ČVUT v Praze, obor Dopravní systémy a technika, Ústav mechaniky a materiálů (K618), tel: +420 224890748 e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

1

Vědeckotechnický sborník ČD č. 27/2009 Výhodou radarové metody je její nedestruktivní charakter, dostatečný hloubkový dosah (změna frekvence antény), rychlost zpracování výsledků a malé náklady na provoz. Neopomenutelnou výhodou je rychlost měření bez potřeby vyloučení provozu na tratích. Mezi nevýhody patří zejména fakt, že interpretace výsledků je pro nezkušeného uživatele obtížná (na druhou stranu zkušený operátor dovede obrazová data interpretovat s velkou přesností), pořizovací náklady jsou poměrně vysoké a jako poslední nevýhodu lze zmínit potřebu elektrické energie (baterie), v našem příkladě použití při jízdě měřícího vozu GPR na železnici toto odpadá.

Obr. 1; Prvotní radarogram před zpracováním (dvě antény 500 MHz)

Elektrická permitivita pražcového podloží Elektrická permitivita jako fyzikální veličina vyjadřuje schopnost polarizace materiálu v elektrickém poli. Permitivita tedy udává schopnost materiálu vést střídavý elektrický proud. Elektrická permitivita prostředí ε je poměrové číslo (koeficient) vyjadřující poměr rychlosti elektromagnetického vlnění v daném prostředí a jeho rychlosti ve vakuu (permitivita vakua se neměří, je to dohodnutá hodnota). Uvádí se v jednotkách F/m (Farad/metr). U materiálu se nejčastěji uvádí jeho relativní permitivita, tedy podíl permitivity daného materiálu ku permitivitě vakua:

εr =

ε ε0

Hodnoty permitivity všech látek jsou v rozsahu 1 (vzduch) až 80 (voda). Pro ilustraci vybíráme hodnoty relativní permitivity materiálů, které jsou významné pro studované štěrkové lože: Vzduch εr =1; voda εr = 80 Hornina vhodná pro štěrk do kolejového lože εr = 5-7 2

Vědeckotechnický sborník ČD č. 27/2009 Normově připravené kolejové lože, 25 až 35 % mezerovitost štěrku εr = 2.8-4.0 (dle druhu horniny) Suché znečištěné štěrkové lože 35 % podsítné složky εr = 3.7-5.5 Znečištěné lože s navázanou vlhkostí na znečištění do 20 % H2O εr = 5,6 až 7 a více Graficky je průběh vztahu znečištění kolejového lože a relativní permitivity převzat z ukončeného řešení výzkumného projektu SAFE RAIL [1] šestého rámcového programu Evropské unie a zobrazen na obr. 2.

Obrázek 2; Graf vztahu permitivity a kvality kolejového (štěrkového) lože

Z výše uvedených hodnot relativní permitivity kolejového lože vyplývá, že pro hodnocení úrovně znečištění štěrkového lože a dalších výstupů z měření GPR nestačí jedno stanovení permitivity, ale musí být hodnocena celá časová řada stanovení permitivity z období od obnovy úseku počínaje po dobu provozu a to v plánovaných intervalech. Okamžitou hodnotu εr pražcového podloží ovlivňují následující parametry: -

petrografický typ horniny Znalost přesné hodnoty εr horniny tvořící štěrk není nutná pro monitoring a časové hodnocení průběhu znečišťování štěrkového lože, protože je po celou dobu provozu konstantní.

3

Vědeckotechnický sborník ČD č. 27/2009 -

úroveň hutnění a stabilizace kolejového lože Je praxí prokázáno, že ve venkovním přirozeném prostředí ve většině případů hodnoty εr nižší než 3 signalizují velkou mezerovitost (nekvalitní homogenizace a hutnění vrstvy štěrku v kolejovém loži).

-

míra a druh znečištění štěrkového lože Čím více jílovitých částic je ve štěrkovém loži, tím je εr vetší.

-

míra vázané vlhkosti na znečištění Jílovité znečištění trvale váže část H2O (stálá vlhkost ve štěrkovém loži) a také zvyšuje

ε r. -

čas měření po ukončení deště (množství volné vody) Experimentálně bylo v projektu SAFE RAIL prokázáno, že měření při dešti a do 2h po dešti je nekorektní. Data z takového měření nebudou ukládána do databáze a nebudou závazně hodnocena.

Způsoby stanovení okamžité hodnoty relativní permitivity in situ Relativní permitivitu kolejového lože εr lze měřit in situ dvěma způsoby: (a) bodově Provádí se měřením metodou TDR na trvale do štěrkového lože zabudovaných mosazných elektrodách. Lze měřit pouze bodovou hodnotu v okolí zabudovaných elektrod. Přesnost stanovení εr je +/- 0,1. Tento způsob stanovení εr je vhodný pro sledování vývoje vodního pytle v pražcovém podloží a nebo lokálně malé anomálie v kolejovém loži. (b) spojitě Provádí se měřením metodou GPR se dvěma anténami 500 MHz (400 MHz) v geometrii měření: normálový odraz do společné antény vysílač, přijímač a odraz do druhé přijímací antény vzdálené 1m od vysílací antény. Kvantitativním zpracováním GPR dat získáme hodnoty εr. Výpočet hodnot εr je poloautomatický podle vzorců:

h=

ct1 2 εr

h=

;

ct2 2 εr

kde: c ... rychlost světla h ... mocnost štěrkového lože t1 a t2 ... interpretátorem odečítané časy průchodu vlnění z radarogramu εr ... relativní permitivita Absolutní přesnost stanovení relativní permitivity štěrkového lože εr je +/- 0,15. (c) automaticky technologií SAFE RAIL (zatím ve výzkumu není publikováno) 4

Vědeckotechnický sborník ČD č. 27/2009 Měření je realizováno tak, že na jednu vysílací anténu je 5 přijímacích antén s frekvencí 750 MHz. Předpokládá se, že vyhodnocení εr bude probíhat on-line do datových souborů s lineární souřadnicí koleje. Předpokládaná přesnost stanovení εr je +/- 0,05.

Numerické modelování šíření EM vlny Numerické modelování je prováděno pomocí vyššího programovacího jazyka MATLAB. Jedná se o tvorbu rovinných (2-D) parametrických modelů štěrkového lože, kterým prochází elektromagnetická vlna vysílaná anténou georadaru. Model štěrkového lože je definován jeho elektromagnetickými vlastnostmi, pórovitostí, znečištěním a obsahem vody ve znečištění. Z času průchodu elmag. vlny kolejovým ložem vypočteme pomocí již známého vzorce výslednou relativní permitivitu podobně jako při skutečném měření na železniční trati. Na rozdíl od skutečného měření georadarem uvažujeme však v numerickém modelu pouze jeden průchod elmag. vlny štěrkovým ložem, a tedy nepočítáme s jejím odrazem zpět k přijímací anténě. Vzorec pro výpočet permitivity upravíme podle těchto potřeb tak, že nebudeme výsledný čas průchodu vlny dělit dvěmi. Vzorec pro výpočet relativní permitivity použitý v numerickém modelu bude tedy vypadat následovně:

⎛ ct ⎞ εr = ⎜ ⎟ ⎝h⎠ kde:

2

εr = relativní permitivita

c = rychlost světla h = mocnost štěrkového lože t = čas průchodu vlny

Při numerickém modelování elektromagnetických vln bylo již představeno několik odlišných přístupů a metod. Pro numerickou analýzu je použito řešení Maxwellových rovnic šíření elektromagnetické vlny prostředím pomocí numerické metody konečných diferencí v časové oblasti (Finite-difference time-domain, FDTD). Základním principem FDTD metody je diskretizace Maxwellových diferenciálních rovnic v prostoru i čase. Časové a prostorové derivace jsou nahrazeny časovými a prostorovými diferencemi. Složky elektrického pole (E) a magnetického pole (H) jsou propojeny do krychlové mřížky tak, že každá složka elektrického pole (E) je radiálně obklopena čtveřicí složek magnetického pole (H) a naopak (viz. obr. 3). Toto schéma, dnes známé pod pojmem Yeeova mřížka [2], se osvědčilo jako velmi robustní.

5

Vědeckotechnický sborník ČD č. 27/2009

Obrázek 3; Yeeova buňka použitá pro diskretizaci

Složky vektoru elektrického pole v prostoru jsou vyřešeny v daném časovém okamžiku (t) a následně vektor magnetického pole ve stejném místě je vyřešen v následujícím časovém okamžiku (t+dt). Tento postup je opakován dokola za postupu elektromagnetické vlny. Jako budící impuls je v našem případě zvolen Blackman-Harrisův impuls s šířkou cca. 2 ns. Metoda FDTD je dnes nejčastěji používanou numerickou metodou pro řešení Maxwellových rovnic. Důvody častého využití FDTD jsou následující. Přístup této metody je relativně koncepčně jednoduchý, přesný pro libovolně komplexní modely a také schopný se přizpůsobit realistickým designům antén a jevům jako je např. disperze elektrických vlastností.

Využití FDTD simulace ke stanovení permitivity kolejového lože Jak již bylo uvedeno výše, numerické modelování v jazyce MATLAB provádíme pouze jako rovinnou úlohu ve 2-D. Rovinný model je sice omezený v tom smyslu, že nemůže úplně popsat chování antény Georadaru a prostorové variace materiálových vlastností, ale pro naše potřeby je však dostačující a na rozdíl od plně 3-D algoritmů má také zlomkové výpočetní nároky. V modelu jsou použity absorpční hraniční podmínky PML (perfectly matched layer), které zajišťují, že nedojde k nežádoucím odrazům vlnění od okrajů modelového prostoru [3], [4], Pro optimalizaci rychlosti výpočtů v MATLABu je v modelovacích skriptech v maximální možné míře použit maticový zápis. Základním krokem je tedy vytvoření numerického modelu, kdy každá buňka je popsána svými elektromagnetickými vlastnostmi, které odpovídají buď štěrku jako hornině nebo mezeře mezi zrny štěrku (vzduch), která však může být zčásti vyplněna drobnými úlomky. Tyto úlomky na sebe dále do určité míry vážou vodu. Základní schéma uspořádání konstrukce kolejového svršku pro tvorbu numerického modelu je na obr. 4. Vstupními parametry pro popisovaný numerický model jsou tyto hodnoty:

6

Vědeckotechnický sborník ČD č. 27/2009

1. 2. 3. 4.

Permitivita horniny z níž je štěrkové utvořeno = 5–7 Mezerovitost štěrkového lože (pórovitost) = 25-35% Znečištění póru (zaplnění póru drobnými úlomky horniny) = 0-35% Obsah vody ve znečištění póru (voda vázaná na drobné úlomky horniny) = 0-25%

Obrázek 4; Schématické zobrazení situace pro tvorbu modelu (řez kolejovým svrškem)

Dále uvažujeme mocnost štěrkového lože 550mm a frekvenci elektromagnetického vlnění 500MHz. V našem případě využíváme při modelování problému georadaru techniku povrchového odrazu vlny, kdy je anténa umístěna na povrchu země a podloží (zde štěrkové lože) je zobrazováno na základě změn v jeho elektrických vlastnostech. Numerické modely poskytují způsob, jak zkoumat spojení mezi vlastnostmi daného podloží a daty naměřenými georadarem. Můžeme vytvořit model podloží, kde definujeme jeho litologické nebo hydrogeologické vlastnosti. Poté transformujeme tento model na takový, který je reprezentován na základě svých elektrických vlastností. Numerické modelování může být potom využito k simulaci přírůstku dat v dané oblasti podloží. Ze zdroje umístěného na horním okraji štěrkového lože se modelem šíří elektromagnetická vlna a počítá se doba jejího průchodu k dolnímu okraji modelu, ze které se následně stanoví permitivita štěrkového lože. Štěrkové lože (jednotlivá zrna) se generuje náhodně tak, aby byla dodržena požadovaná pórovitost (viz. obr. 5).

7

Vědeckotechnický sborník ČD č. 27/2009

Obrázek 5; MATLAB: numerický model náhodně generovaného štěrkového lože (nahoře) a ukázka prostupu EM vlny daným modelem (dole)

Výpočet jednoho průchodu EM vlny modelem není časově náročný. Simulaci jsme provedli pro následující hodnoty vstupních parametrů: Permitivita horniny: (5.0, 5.5, 6.0, 6.5, 7.0) Pórovitost štěrk. lože: (25, 27, 29, 31, 33, 35) [%] Znečištění póru: (0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35) [%] Obsah vody ve znečištění: (0, 5, 10, 15, 20) [%] Celkem tedy 4-D výsledné pole obsahuje: 5 x 6 x 8 x 5 = 1200 vypočtených hodnot relativní permitivity. Při generování náhodné struktury modelu pouze jednou pro každou kombinaci vstupních hodnot trval tento cyklus cca. 10 minut. Ze statistických důvodů jsme ale generovali náhodnou strukturu 40krát, takže celková doba simulace činila cca. 400 minut (tedy zhruba necelých 7 hodin). Toto zjištění nám umožňuje v případě potřeby počet cyklů ještě zvýšit.

8

Vědeckotechnický sborník ČD č. 27/2009

Pro názornost je uvedena tabulka vypočtených hodnot permitivity štěrkového lože výše popsanou simulací. V tabulce jsou uvedeny hodnoty výsledné permitivity pro vybrané hodnoty vstupních parametrů (mezerovitost lože, permitivita horniny, zaplnění pórů a obsah vody vázané na znečištění v pórech). Mezerovitost štěrkového lože 25% 25% 35% 35% 25% 25% 25% 25% 35% 35% 35% 35%

Permitivita horniny Zaplnění pórů Obsah vody Výsledná permitivita 3,4129 5 0% 0% 4,3186 7 0% 0% 2,9029 5 0% 0% 3,6425 7 0% 0% 4,4472 5 35% 0% 6,5124 5 35% 20% 5,8978 7 35% 0% 7,6609 7 35% 20% 4,1581 5 35% 0% 6,7364 5 35% 20% 5,5793 7 35% 0% 8,4340 7 35% 20%

Tabulka 1; Vypočtené hodnoty permitivity pro vybrané vstupní parametry (mezní podmínky) Z vypočtených hodnot permitivity štěrkového lože pro všechny kombinace vstupních parametrů bude možno sestavit vhodné nomogramy, které pro danou výchozí permitivitu a pórovitost kolejového lože umožní např. stanovit stupeň znečištění (zaplněnost pórů) v závislosti na množství vody vázané na tyto drobné částečky. Ilustrativní grafické vyjádření hodnoty permitivity štěrkového lože v závislosti na znečištění v mezerách mezi kamenivem a množstvím navázané vody je uvedeno na obrázku 6.

9

Vědeckotechnický sborník ČD č. 27/2009

10

Vědeckotechnický sborník ČD č. 27/2009

Obrázek 6; Příklady nomogramů vytvořených ze spočtených hodnot permitivity štěrkového lože 11

Vědeckotechnický sborník ČD č. 27/2009

Závěr Pomocí numerického modelování šíření elektromagnetické vlny pražcovým podložím lze: • stanovit závislosti rychlosti jeho znečišťování a velikosti jeho εr, • stanovit hodnoty εr jako limit znečištění pražcového podloží pro bezpečný provoz vlaků, • vypočítat hodnotu εr pro včasné plánování čištění či rekonstrukci ve vztahu k plánování efektivního využívání finančních prostředků údržby a investic, • provést výpočet času zbývajícího k nutnosti čištění kolejového lože. Použití numerické simulace – nomogramů pro běžné výpočty bude možno využít v běžné praxi každého správce trati po malém zaškolení.

Literatura [1] The SAFE-RAIL project, the Sixth Framework Programme, project N°: FP6-PLT-506218, Development of an Innovative Ground Penetrating Radar System for Fast and Efficient Monitoring of Rail Track Substructure Conditions, http://www.saferail-project.eu/ [2] Kane Yee (1966). "Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media". Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 14: 302–307. [3] J. Berenger (1994). "A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves". Journal of Computational Physics 114: 185–200. [4] S. D. Gedney (1995). "An anisotropic perfectly matched layer absorbing media for the truncation of FDTD lattices". Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 44: 16301639.

Praha, duben 2009

Lektorský posudek: Ing. Danuše Marusičová VUZ, a.s.

12