Měření permitivity plynů rezonátorovou metodou

Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav fyzikální elektroniky

Měření permitivity plynů rezonátorovou metodou

Diplomová práce

Jakub Tesař

Brno 2010

Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracoval samostatně, pouze s použitím uvedené literatury.

Na tomto místě bych chtěl poděkovat především Mgr. V. Kudrlemu, Ph.D. za odborné vedení práce. Dále děkuji Prof. Dr. Ing. Z. Raidovi z FEL VUT Brno za vstřícné jednání a také za poskytnutí softwaru pro naše modelování.

Anotace Tato práce se zabývá možností měření permitivity plynů rezonátorovou metodou. Jejím cílem je zpřesnění často používané Slaterovy metody pro konkrétní typ rezonátoru prostřednictvím numerického modelování porušeného elektromagnetického pole. Tato metoda má své uplatnění i při diagnostice plazmatu – stejný postup lze využít pro měření koncentrace elektronů ve výboji. I zde nabízí numerické modelování elektromagnetického pole zpřesnění dosud používaných vztahů. Vedle zpřesnění rezonátorové metody obsahuje práce také naměřené hodnoty permitivity několika plynů (vzduch, kyslík, argon, acetylen) a teflonu, stejně tak koncentrace elektronů v doutnavém výboji.

Annotation The topic of this diploma thesis is a measurement of a dielectric constant using circular cavity. We tried to put an often used Slater method more precisely through numerical modeling of altered electromagnetic field. This method is useful also for plasma physics – we can use the same method for measurement of concentration of electron in plasma discharge. This work contain also measured values of relative permittivity of several gases (air, oxygen, argon, acetylene) and teflon and concentration of electron in glow discharge.

Jakub Tesař


Obsah 1.

Úvod.........................................................................................................................................11

2.

Slaterova poruchová metoda ..................................................................................................13

3.

4.

5.

6.

2.1

Ideální rezonátor – řešení neporušené pole ......................................................................... 13

2.2

Obecné řešení elektromagnetického pole pro dutinový rezonátor ....................................... 14

2.3

Změna kvality a rezonanční frekvence rezonátoru ........................................................... 16

2.4

Hustota elektrického proudu v dielektrickém prostředí ....................................................... 17

2.5

Důsledky použití Slaterovy poruchové metody .................................................................. 19

Modelování elektromagnetického pole metodou konečných prvků .......................................21 3.1

Metoda konečných prvků ................................................................................................... 21

3.2

Použitý software ................................................................................................................ 23

Numerické řešení porušeného elektromagnetického pole ......................................................25 4.1

Model A – prázdný rezonátor............................................................................................. 25

4.2

Model B – válcové dielektrikum v ose rezonátoru .............................................................. 28

4.3

Model C – dielektrikum ve skleněné trubici ....................................................................... 30

4.4

Model D – kompletní geometrie, otevřený problém............................................................ 32

4.5

Numerické modely – shrnutí .............................................................................................. 36

Experiment ..............................................................................................................................39 5.1

Experimentální uspořádání ................................................................................................ 39

5.2

Dílčí problémy experimentálního uspořádání a jejich řešení ............................................... 40

Charakter naměřených dat a jejich zpracování .....................................................................45 6.1

Změna frekvence způsobená výměnou pracovního plynu ................................................... 45

6.2

Změna frekvence způsobená zapálením doutnavého výboje ............................................... 47

7.

Výsledná permitivita / koncentrace elektronů – srovnání s modely ......................................49

8.

Závěr........................................................................................................................................55

Seznam použité literatury.................................................................................................................. 57 Přílohy .............................................................................................................................................. 59

9

Jakub Tesař

10


Jakub Tesař


1. Úvod Jedním z podstatných znaků moderní průmyslové společnosti je spotřeba velkého množství energie. Na přeměně a využití této energie se stále větší měrou podílí plazmové technologie a dá se očekávat, že tento trend bude pokračovat s rostoucí intenzitou. Procesy využívající plazma získávají na důležitosti nejen díky tomu, že umožňují činnosti, které by byly bez jeho použití neproveditelné, ale také proto, že mohou zefektivnit stávající výrobní procesy. Výjimečnost plazmových technologií vychází zejména ze dvou hlavních znaků. Tím prvním je vysoká teplota, respektive výkonová hustota, které je možné v plazmatu dosáhnout. Druhým specifikem je vznik velkého množství aktivních částic, jako jsou fotony, volné elektrony, či reaktivní atomové a molekulové zbytky. Využití těchto vlastností, může vedle úspory energie, vést také například k omezení množství nežádoucích sekundárních produktů. Takový postup méně zatěžuje životní prostředí a dá se očekávat, že podobné technologie budou v budoucnosti podporovány. Pro základní výzkum v oblasti plazmových technologií, jsou nezbytné kvalitní diagnostické metody, které pomohou stanovit klíčové parametry plazmatu a dynamiku jejich změn. Jedním z takových parametrů je koncentrace elektronů, neboť ta se rozhodující měrou podílí na vzniku aktivních částic. Tato práce spadá právě do této oblasti. Koncentrace elektronů v plazmatu není veličina, kterou by bylo možné měřit přímo. Snažíme se tedy najít metodu, která by pro její stanovení využívala měření nějaké dobře měřitelné veličiny. Tou může být právě rezonanční frekvence, neboť frekvence elektromagnetického vlnění je dnes jednou z nejlépe měřitelných veličin. Tato práce je rozdělena do osmi kapitol. Následující kapitola se detailně věnuje Slaterově poruchové teorii, s cílem ukázat odkud plynou její omezení. Třetí kapitola se věnuje teoretickému základu numerického modelování elektromagnetického pole metodou konečných prvků a také softwarovým možnostem, které se v této oblasti nabízejí. V další kapitole je možné najít výsledky numerických modelů, jejichž cílem je analyzovat charakter poruchy způsobené různými vlivy a posoudit rozdílnost

11

Jakub Tesař


výsledků Slaterovy poruchové teorie a numerického modelování. Pátá kapitola je věnována samotnému experimentu, kapitola následující potom způsobu vyhodnocení naměřených dat. Sedmá kapitola srovnává naměřená data s modelovými a nabízí konečné výsledky této práce. V závěru lze nalézt shrnutí možností této metody. V přílohách lze najít kompletní výsledky numerického modelování a přesné schéma použitého rezonátoru, které by mohly být využitelné při hledání analogie s podobnými případy.

12

Jakub Tesař


2. Slaterova poruchová metoda Jak již bylo naznačeno v úvodu, měření rezonanční frekvence mikrovlnného oscilátoru, může být velmi cenným diagnostickým nástrojem pro zkoumání elektrických či magnetických vlastností látek. Pro stanovení těchto veličin je však nezbytné najít vztahy, které nám umožní vypočíst jejich hodnotu na základě veličin přímo měřitelných. Jednou z cest, která je dodnes ve značné míře využívána, je Slaterova poruchová metoda. Slaterův článek z roku 1946 [Slater] uvažuje vlastní rezonanční frekvenci rezonátoru a poté změny této frekvence a kvality rezonátoru, jako důsledek několika druhů poruch. Na několika místech svého postupu využívá zjednodušující předpoklady, které mají za následek omezenou platnost a s tím spojenou přesnost získaných výsledků (čím lépe jsou splněny předpoklady, tím je chyba menší). Podívejme se nyní na Slaterův postup, abychom v dalších kapitolách mohly posoudit, jak se projevují omezení této metody v získaných veličinách. 2.1 Ideální rezonátor – řešení neporušené pole Začněme s nejjednodušším případem – neporušeným rezonátorem. Uvažujme ideální případ, tedy situaci, kdy je rezonátor uzavřený (bez otvorů ve stěnách), stěny mají nekonečnou vodivost a v objemu rezonátoru je homogenní prostředí bez prostorového náboje. V tomto případě lze najít rozložení elektromagnetického pole pro jednotlivé módy analyticky. Vyjdeme-li z homogenních Maxwellových rovnic, snadno získáme vlnové rovnice pro jednotlivé složky elektromagnetického pole: ∇2 𝐸𝑎 + 𝑘𝑎2 𝐸𝑎 = 0

(2.1a)

∇2 𝐻𝑎 + 𝑘𝑎2 𝐻𝑎 = 0

(2.1b)

Tyto rovnice mají nekonečné množství řešení odpovídající různým hodnotám vlnového čísla 𝑘𝑎 (a příslušným okrajovým podmínkám). Funkce 𝐸𝑎 a 𝐻𝑎 tedy označují rozložení pole pro jednotlivé vidy neporušeného pole.

13

Jakub Tesař


V případě válcového rezonátoru lze s výhodou přejít do válcových souřadnic. V jednotlivých složkách intenzit elektrického a magnetického pole se pak objevují Besselovy funkce obou druhů, jejich přesná podoba však v tuto chvíli není podstatná. Výsledný mód lze také charakterizovat jeho rezonanční frekvencí. Tu můžeme pro válcový rezonátor vypočíst z následujícího vztahu:

𝜔𝑚𝑛𝑝 =

1 2𝜋

𝛼 𝑛𝑚 2

1 𝜇 0 𝜖0

𝑟

+

𝑝𝜋 2 𝑕

(2.2)

kde 𝜔𝑚𝑛𝑝 je rezonanční frekvence daného módu, 𝛼𝑛𝑚 m-tý kořen Besselovy funkce n-tého řádu a p celé číslo. Nás bude nyní zajímat, jak se tato frekvence změní při porušení některého z předpokladů, které jsme pro ideální rezonátor na začátku tohoto oddílu vyslovili. 2.2 Obecné řešení elektromagnetického pole pro dutinový rezonátor Pokusme se nyní najít rovnice pro obecné pole. Protože předpokládáme, že porucha pole nebude příliš velká, můžeme s výhodou hledat výsledné pole jako lineární kombinaci jednotlivých módů pole neporušeného. Testovací funkci 𝐴 tedy můžeme zapsat jako nekonečnou sumu bázových funkcí 𝐸𝑎 násobených příslušným koeficientem rozvoje. 𝐴=

𝑎

𝑒𝑎 𝐸𝑎

(2.3)

Pokud nyní 𝐴 vynásobíme kteroukoliv bázovou funkcí a výsledek integrujeme přes celý objem, získáme příslušný koeficient rozvoje. (Funkce jsou ortogonální a normalizované [Slater].) 𝑒𝑎 =

𝑉

𝐴 𝐸𝑎 𝑑𝑉

(2.4)

Rozvoj testovací funkce tak můžeme přepsat do následujícího tvaru, se kterým budeme dále pracovat. 𝐴=

14

𝑎

𝐸𝑎

𝑉

𝐴𝐸𝑎 𝑑𝑉

(2.5)

Jakub Tesař


Nyní tento rozvoj použijeme pro vyjádření vektorových polí, která se vyskytují v Maxwellových rovnicích. V dalším vynecháme pro zjednodušení u objemových integrálů index V, předpokládejme, že všechny objemové integrály jsou přes celé V, pokud není uvedeno jinak. 𝐸=

𝑎

𝐸𝑎

𝐸 𝐸𝑎 𝑑𝑉

(2.6a)

𝐻=

𝑎

𝐻𝑎

𝐻 𝐻𝑎 𝑑𝑉

(2.6b)

𝐽=

𝑎

𝐸𝑎

𝐽𝐸𝑎 𝑑𝑉

(2.6c)

Toto vyjádření jednotlivých polí již můžeme dosadit do Maxwellových rovnic. Pokud tyto rovnice dále upravíme s využitím vektorové analýzy a Stokesova teorému (detailní odvození viz [Slater]) a separujeme rovnice pro elektrickou a magnetickou složku pole, získáme následující vztahy. 𝑑2 𝜀0 𝜇0 2 𝑑𝑡 −𝜇0 𝑑2 𝜀0 𝜇0 2 𝑑𝑡 𝑘𝑎 Pro

𝐸 𝐸𝑎 𝑑𝑉 + 𝑘𝑎2 𝑑 𝑑𝑡

𝐸 𝐸𝑎 𝑑𝑉 =

𝐽𝐸𝑎 𝑑𝑉 −

𝑆’

𝐻 𝐻𝑎 𝑑𝑉 + 𝑘𝑎2 𝐽𝐸𝑎 𝑑𝑉 −

𝐸 𝐸𝑎 𝑑𝑉 a

𝑆’

𝑛 × 𝐻 𝐸𝑎 𝑑𝐴 − 𝑘𝑎

𝑆

𝑛 × 𝐸 𝐻𝑎 𝑑𝐴

(2.7a)

𝐻 𝐻𝑎 𝑑𝑉 =

𝑛 × 𝐻 𝐸𝑎 𝑑𝐴 − 𝜖0

𝑑 𝑑𝑡 𝑆

𝑛 × 𝐸 𝐻𝑎 𝑑𝐴

(2.7b)

𝐻 𝐻𝑎 𝑑𝑉 opět dostáváme vlnovou rovnici, ovšem s nenulovou

pravou stranou. Podívejme se na význam jednotlivých členů na pravé straně. Při analogii s jednoduchým harmonickým pohybem představují vnější síly, které mění rezonanční frekvenci oscilátoru. Oproti neporušenému stavu tak získáváme pozměněné elektromagnetické pole (a tím i rezonanční frekvenci), která je ovlivněna po řadě: proudy, které protékají rezonátorem, otvory ve stěnách rezonátoru (jde např. o vazebné otvory pro buzení rezonátoru) a konečnou vodivostí stěn (na stěně existuje nenulová tangenciální složka 𝐸 ).

15

Jakub Tesař


2.3 Změna kvality a rezonanční frekvence rezonátoru Nyní nás bude zajímat, jak se změní rezonanční frekvence a kvalita rezonátoru vlivem nenulové pravé strany v rovnici (2.7a). Slater zde využívá analogie s rezonančním obvodem LCR, kde pro rezonanční frekvenci 𝜔 nalézá tuto relaci: 𝜔

𝑗

𝜔0

−

𝜔0

+

𝜔

1

=0

𝑄

(2.8)

kde ω0 je rezonanční frekvence rezonančního LC obvodu. Dále budeme předpokládat, že se úhlová frekvence ω0 příliš neliší od jedné z rezonančních frekvencí ωa . 𝜔0 = 𝜔𝑎 + ∆𝜔𝑎

(2.9)

z toho v prvním přiblížení plyne: 𝜔

𝑗

𝜔𝑎

−

𝜔𝑎

1

∆𝜔 𝑎

𝑄

𝜔𝑎

+ − 2𝑗

𝜔

=0

(2.10)

Pomocí tohoto vztahu již snadno vyjádříme změny rezonanční frekvence a kvality rezonátoru způsobené dříve uvedenými efekty (v dalším už budeme pokračovat pouze s elektrickou složkou elektromagnetického pole, rovnice pro magnetickou složku jsou analogické): 1 𝑄

− 2𝑗

∆𝜔 𝑎 𝜔𝑎

=−

𝑗

𝑆

𝜔 𝑎 𝜀0 𝜇 0

𝑛 ×𝐸 𝐻𝑎 𝑑𝐴 𝐸 𝐸𝑎 𝑑𝑉

−

1 𝜀0 𝜔 𝑎

𝑆’

𝑛 ×𝐻 𝐸𝑎 𝑑𝐴 𝐸 𝐸𝑎 𝑑𝑉

+

1

𝐽 𝐸𝑎 𝑑𝑉

𝜀0 𝜔 𝑎


(2.11)

Nyní budeme uvažovat pouze třetí z procesů, které způsobují poruchu elektromagnetického pole – nenulové proudy v prostoru rezonátoru. Zanedbáme tedy konečnou vodivost stěn a vazební otvory ve stěnách rezonátoru. 1 𝑄

− 2𝑗


=

1

𝐽 𝐸𝑎 𝑑𝑉

𝜀0 𝜔 𝑎


(2.12)

Toto je základní vztah, se kterým budeme v celé této práci pokračovat. Souhrnně lze říci, že představuje změnu kvality a rezonanční frekvence rezonátoru způsobenou proudy, které protékají objemem rezonátoru. Vztah platí dobře pouze pro malé změny rezonanční frekvence.

16

Jakub Tesař


2.4 Hustota elektrického proudu v dielektrickém prostředí Další krok, který je nezbytný pro využití tohoto vztahu, je vyjádření vektoru proudové hustoty dielektrika. S využitím Maxwellových rovnic je vidět, že proudová hustota dielektrika je způsobena dvěma procesy. Jde o vlastní vodivost a časovou změnu polarizace prostředí. 𝑟𝑜𝑡 𝐻 = 𝐽 +

𝜕𝐷

= 𝜎𝐸 + 𝜖

𝜕𝑡

𝜕𝐸 𝜕𝑡

= 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖 𝐸

(2.13)

Pro dielektrikum, které má vodivost 𝜎 a dielektrickou konstantu 𝜖 lze tak celkovou vodivost vyjádřit jako součet těchto dvou složek: 𝐽 = 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖 𝐸

(2.14)

Vztah (2.12) nám tedy pro dielektrikum přechází do následující podoby: 1 𝑄

− 2𝑗


=

1

𝜎+𝑗𝜔 𝜖−𝜀 0 𝐸 𝐸𝑎 𝑑𝑉

𝜀0 𝜔 𝑎


(2.15)

Je vidět, že vlastní vodivost prostředí způsobuje změnu kvality rezonátoru, zatímco relativní permitivita (různá od jedné) způsobuje změnu rezonanční frekvence. V našem experimentu půjde o měření změn rezonanční frekvence: −2


=

𝜔

𝜖 𝑟 −1 𝐸 𝐸𝑎 𝑑𝑉

𝜔𝑎


(2.16)

Poslední krok, který je nezbytné provést, je vyjádření obou integrálů ve zlomku. Už při předchozích úpravách jsme uvažovali pouze malou změnu frekvence (2.9) oproti neporušenému rezonátoru. Za takové situace se příliš nezmění ani elektromagnetické pole a v prvním přiblížení můžeme uvažovat 𝑬 = 𝑬𝒂 . Fyzikálně samozřejmě není možné, aby se změnila rezonanční frekvence bez příslušné změny elektromagnetického pole, pro malé poruchy nám však tato metoda umožní vyjádřit změnu frekvence bez nalezení přesného rozložení elektromagnetického pole. −2


=

𝜖 𝑟 −1 𝐸𝑎2 𝑑𝑉 𝐸𝑎2 𝑑𝑉

(2.17)

17

Jakub Tesař


Výše uvedenou teorii je možné aplikovat také na plazma, pokud se na něj podíváme jako na dielektrikum. Díky charakteru plazmatu však bude třeba jiným způsobem vyjádřit proudovou hustotu v tomto prostředí. Podívejme se nejdříve na jeho vodivost. Pomocí Langevinovy rovnice [např. Bittencourt] lze elektronovou vodivost plazmatu vyjádřit následujícím vztahem. 𝜎𝑒 =

𝑛𝑒 𝑒2

𝜈

𝑚𝑒

𝜔 2 +𝜈 2

−𝑗

𝜔

(2.18)

𝜔 2 +𝜈 2

Vidíme, že vodivost plazmatu má komplexní charakter (dochází tedy k fázovému posuvu mezi proudem a přiloženým napětím). Vztah můžeme dále zjednodušit za předpokladu, že srážková frekvence elektronů s neutrálními částicemi je menší než použitá frekvence rezonátoru 𝜈 < 𝜔; 𝜈 2 ≪ 𝜔2 . Elektronová vodivost se tak stává dokonce čistě imaginární. 𝜎 = −𝑗

𝑛𝑒 𝑒 2

(2.19)

𝑚𝑒𝜔

Na plazma se nyní můžeme podívat ze dvou pohledů – na prostředí charakterizované touto vodivostí a permitivitou vakua, nebo na prostředí charakterizované pouze relativní permitivitou (která zahrne oba předchozí vlivy). 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖0 𝐸 = 𝑗𝜔𝜖𝐸

(2.20)

Pokud tento vztah dále upravíme a dosadíme relaci pro elektronovou vodivost (2.19), získáme relativní permitivitu prostředí jako funkci hustoty elektronů a rezonanční frekvence. 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖0 = 𝑗𝜔𝜖 𝜖 = 𝜖0 −

𝑛𝑒 𝑒2 𝑚𝑒

𝜔2

=>

𝜖 = 𝜖0 +

= 𝜖0 1 −

𝜎 𝑗𝜔

𝑛𝑒 𝑒 2 𝜖0𝑚 𝑒 𝜔 2

(2.21) (2.22)

Pro plazma tak dostáváme obdobu vztahu (2.16) v následující podobě: −2

18


=−

𝑒2 𝜀 0 𝑚 𝑒 𝜔𝜔 𝑎

𝑛 𝑒 𝑟 𝐸 𝐸𝑎 𝑑𝑉 𝐸 𝐸𝑎 𝑑𝑉

(2.23)

Jakub Tesař


Stejně jako v předchozím případě můžeme nyní použít Slaterovu poruchovou metodu, čímž získáme konečný vztah 2


=

𝑒2

𝑛 𝑒 𝑟 𝐸𝑎2 𝑑𝑉

𝜀 0 𝑚 𝑒 𝜔 𝑎2

𝐸𝑎2 𝑑𝑉

(2.24)

2.5 Důsledky použití Slaterovy poruchové metody Jak se tedy celkově můžeme dívat na Slaterovu metodu? Jde o poruchovou teorii, jejíž platnost je omezená na případy, kdy se elektromagnetické pole příliš neliší od některého z neporušených módů ideálního rezonátoru. Pro získání konečného vzorce (2.17, případně 2.24), který umožní stanovit relativní permitivitu bez nalezení konkrétního rozložení pole, jsme museli použít „nultou“ aproximaci tohoto pole. To samozřejmě neodpovídá fyzikální realitě (změna rezonační frekvence bez odpovídající změny elektromagnetického pole odporuje Maxwellovým rovnicím), pro velmi malé změny však získáme přibližný výsledek Je zřejmé, že chyba této metody roste spolu s rostoucí relativní permitivitou prostředí (koncentrací elektronů plazmatu). Použití této metody tak do výsledku zanáší systematickou chybu, jejíž velikost se pokusíme v dalších kapitolách posoudit. Pro přesné řešení elektromagnetického pole využijeme numerické řešení metodou konečných prvků.

19

Jakub Tesař

20


Jakub Tesař


3. Modelování elektromagnetického pole metodou konečných prvků Metoda konečných prvků je numerická metoda určená pro řešení problému okrajových hodnot. Její vznik se datuje do 50. let, kdy byla poprvé ve větší míře využita v oblasti leteckého inženýrství. Dnes je hojně využívána v mnoha oblastech výzkumu, čemuž odpovídá také velké množství literatury, která se tímto tématem zabývá [Jin, Taflove]. Cílem této kapitoly je stručné představení metody konečných prvků, také s ohledem na řešení Maxwellových rovnic a softwaru, který jich využívá. 3.1 Metoda konečných prvků Jak již bylo řečeno v úvodu, tato metoda je numerická hodnota určená pro řešení problému okrajových hodnot. Obecně lze tento problém popsat diferenciální rovnicí, která platí na oblasti 𝛺: 𝐿𝜙 = 𝑓

(3.1)

společně s okrajovou podmínkou na hranici Γ, která uzavírá oblast 𝛺. Zde 𝐿 je diferenciální operátor, 𝜙 neznámá veličina a 𝑓 budící funkce [Jin]. Nyní předpokládejme, že 𝜙 je přibližným řešením rovnice (3.1). Pokud nyní 𝜙 dosadím do této rovnice na místo přesného řešení, získáme nenulový zbytek 𝑟 = 𝐿𝜙 − 𝑓 ≠ 0

(3.2)

Nejlepší aproximace 𝜙 bude taková, pro níž 𝑟 bude ve všech místech oblasti 𝛺 co nejmenší. Tato úvaha nás vede k podmínce, která musí být pro nalezení řešení splněna: 𝑅𝑖 =

𝛺

𝜔𝑖 𝑟 𝑑𝛺 = 0

(3.3)

kde 𝜔𝑖 jsou zvolené váhové funkce. V této metodě (Galerkinova) se za váhové funkce nejčastěji volí stejné funkce, které se použijí pro rozvoj přibližného řešení. Předpokládejme nyní, že 𝜙 je reálné. Přibližné řešení 𝜙 pak můžeme hledat v následujícím tvaru:

21

Jakub Tesař


𝜙=

𝑁 𝑗 =1 𝑐𝑗 𝑣𝑗

= 𝑐

𝑇

𝑣 = 𝑣

𝑇

𝑐

(3.4)

Rovnice (3.3) tak přejde do tvaru 𝑅𝑖 =

𝛺

𝑣𝑖 𝐿 𝑣

𝑇

𝑐 − 𝑣𝑖 𝑓 𝑑𝛺 = 0

𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑁

(3.5)

Získáváme systém lineárních rovnic, který můžeme pro samosdružený operátor 𝐿 v krátkosti napsat následovně: 𝑆 𝑐 = 𝑏 𝑆𝑖𝑗 = 𝑏𝑖 =

𝛺 𝛺

(3.6a)

𝑣𝑖 𝐿𝑣𝑗 𝑑𝛺

(3.6b)

𝑣𝑖 𝑓𝑑𝛺

(3.6c)

Řešením této soustavy získáme přibližné řešení našeho problému. Řešení diferenciální rovnice s danými okrajovými podmínkami metodou konečných prvků tedy probíhá ve čtyřech krocích. Nejdříve musíme zkoumanou oblast vhodným způsobem rozdělit do N prvků. Na těchto prvcích poté zvolíme funkce, kterými budeme hledané řešení rozvíjet. Dalším krokem je sestavení systému rovnic výše uvedeným způsobem (kromě Galerkinovy metody se používá často metoda Rayleigh-Ritzova, obě však vedou na stejnou soustavu rovnic). Posledním krokem je řešení systému rovnic. Hledání rezonanční frekvence spočívá v řešení homogenní diferenciální rovnice s homogenními okrajovými podmínkami. Jde tedy o problém vlastních hodnot, který lze charakterizovat následující soustavou rovnic (analogickou pro soustavu (3.6a)): 𝐴 𝜙 =𝜆 𝐵 𝜙

(3.7)

V této rovnici je 𝜙 vlastní vektor (elektrická či magnetická intenzita), příslušející vlastní hodnotě 𝜆 (rezonanční frekvence odpovídajícího módu).

22

Jakub Tesař


3.2 Použitý software Pro řešení problémů metodou konečných prvků dnes existuje nemalé množství programových prostředí. Řada z nich se (celá, nebo alespoň svou částí) soustředí právě na řešení elektromagnetického pole. Numerické modely v této práci jsme namodelovali pomocí komerčního programu CST STUDIO SUITE™, konkrétně CST MICROWAVE STUDIO® verze 2010 (copyright © 1998-2009 CST Computer Simulation Technology AG), ten kromě metody konečných prvků využívá také metodu konečných integrálů, jejíž princip je však do jisté míry obdobný. Práce na tomto programu byla možná díky výukové licenci FEL VUT Brno, která s námi touto cestou spolupracovala. Celý problém jsme se pokusili namodelovat také ve freeware GetDP (General enviroment for the treatment of Dicrete Problems), copyright © 1997-2010 P. Dular, C. Geuzaine. Byly vytvořeny zdrojové kódy pro jednotlivé části programu, úplný model se však díky chybě v tomto softwaru nepodařilo dokončit. Francouzští autoři problém odstranili teprve na konci dubna, výsledky tedy tato práce neobsahuje. Napsaný zdrojový kód je však k dispozici v elektronické příloze. Oba zmíněné programy poskytují poměrně velkou volnost při volbě různých parametrů řešení, ať již jde o tvorbu sítě pro sestavení systému rovnic, nebo parametru solveru, který problém následně počítá. V prostředí GetDP je volnost o něco větší, je však zaplacena poměrně komplikovanou prací s geometrií problému. Ani jeden z programů neumožňuje pracovat s konečnou vodivostí stěn, případně absorpčními okrajovými podmínkami (v tom případě kmity rezonátoru samozřejmě zaniknou). Tento nedostatek jsme museli řešit alternativní metodou, která bude blíže popsána u příslušného modelu v následující kapitole.

23

Jakub Tesař

24


Jakub Tesař


4. Numerické řešení porušeného elektromagnetického pole V této kapitole se podíváme na výsledky získané numerickým výpočtem elektromagnetického pole pomocí CST Microwave studio. Celkově bylo vytvořeno pět modelů, které pomohou pochopit efekty způsobené jednotlivými druhy poruch. Některé z těchto modelů lze využít pro konkrétní diagnostické metody. V tomto případě bude taková možnost zmíněna u příslušného modelu. Obecně lze říci, že tyto modely pracují pouze se dvěma druhy poruch, které se objevují v rovnicích (2.7) – jde o dielektrické prostředí v prostoru rezonátoru a vazební otvory v jeho stěnách. Třetím efektem je konečná vodivost stěn, kterou však díky vysoké vodivosti použitých materiálů (𝜎𝐴𝑔 = 63.0 × 106 𝑆 𝑚, 𝜎𝐶𝑢 = 59.3 × 106 𝑆 𝑚) můžeme zanedbat. Pravoúhlý souřadný systém má počátek ve středu rezonátorové dutiny, přičemž osy x a y leží v rovině rovnoběžné s podstavami. 4.1 Model A – prázdný rezonátor Jako první byl modelován ideální válcový rezonátor o výšce 𝑕 = 21 𝑚𝑚 a poloměru podstavy 𝑟 = 29,95 𝑚𝑚 (viz obrázek 4.1). Na tomto modelu byl otestován vliv počtu buněk sítě na rezonanční frekvenci. Výsledná frekvence pro vakuum a pět sítí s různou velikostí buněk je v grafu 4.1 porovnána s teoretickou hodnotou. Ta byla vypočtena podle následujícího vzorce pro válcový rezonátor [Kvasil]:

𝜔𝑚𝑛𝑝 =

1 2𝜋

1 𝜇 0𝜖0

𝛼 𝑛𝑚 2 𝑟

+

𝑝𝜋 2 𝑕

(4.1)

kde 𝜔𝑚𝑛𝑝 je rezonanční frekvence použitého módu (TE011), 𝛼𝑛𝑚 je m-tý kořen Besselovy funkce n-tého řádu a p celé číslo. Z grafu je patrné, že se vypočtená rezonanční frekvence s rostoucím počtem buněk sítě blíží k teoretické hodnotě. S rostoucím počtem buněk však také exponenciálně narůstá výpočetní doba modelu, jak je patrné z tabulky 4.1. Výsledek numerického modelu tedy není nikdy zcela přesný, se zvyšováním počtu buněk sítě se však přesnost

25

Jakub Tesař


zvyšuje. Pro další modely jsme museli najít vhodný kompromis mezi přesností a rostoucí výpočetní dobou. Nakonec jsme se rozhodli pro síť obsahující přibližně 74000 buněk, kde výsledná hodnota je asi o 0,0027% nižší než skutečná. Všechno modely dále byly počítány na stejné síti, chyba je tedy u všech přibližně stejná. Navíc ve vzorci, který pro stanovení permitivity používáme, vystupuje veličina ∆𝜔𝑎 , ve které se tato chyba odečte, jak uvidíme níže na konkrétním případu. Počet buněk sítě

𝜔𝑟 [MHz]

Výpočetní doba [min]

1444

9350,84

0,2

5887

9378,11

0,4

18490

9385,42

1,9

80656

9389,64

11,6

280900

9391,14

92,9

Tab. 4.1: Vliv počtu buněk sítě na výsledky modelu. (Výpočetní čas pro CPU Genuine Intel® Duo T2130 @ 1,86 GHz.)

Graf 4.1: Závislost vypočtené rezonanční frekvence na počtu buněk sítě.

26

Jakub Tesař


Tento model lze s výhodou využít pro přesné měření permitivity plynů. Pokud bychom celý prostor rezonátoru zaplnili nějakým plynem, lze relativní permitivitu tohoto plynu spočítat podle následujícího vzorce: 𝜖𝑟 = 1 − 2

∆𝜔 𝑎

(4.2)

𝜔𝑎

Podíváme-li se na výsledky, které získáme pro prázdný rezonátor pro vakuum a vzduch (ve všech modelech uvažujeme 𝜖𝑟 = 1,00058), vidíme (tabulka 4.2), že přesnost našeho modelu je na šest platných číslic. ωr [MHz] Vakuum (𝜖𝑟 = 1,0)

9389,5600

Vzduch (ϵr = 1,00058)

9386,8375

∆ωr model

2,7225

∆ωr vzorec (4.2)

2,7230

Tab. 4.2: Výsledky modelu A v porovnání s teoretickým vztahem.

Obr. 4.1: Modely A – prázdný rezonátor a B – rezonátor s válcovým dielektrikem.

27

Jakub Tesař


4.2 Model B – válcové dielektrikum v ose rezonátoru V dalším modelu byl uvažován stejný rezonátor jako v modelu A, s tím rozdílem, že v jeho ose je umístěnou válcové dielektrikum o poloměru 𝑟𝑑 = 5 𝑚𝑚. Výška válce je shodná s výškou rezonátoru (viz obrázek 4.1 vpravo). Tento model již obsahuje místa s různou relativní permitivitou, výsledky numerického modelu se tak budou lišit od hodnot určených Slaterovou metodou podle vzorce (2.17). Jako neporušené pole (vektor 𝐸𝑎 ), byl uvažován rezonátor zaplněný vzduchem (ϵr = 1,00058). Rezonanční frekvence podle obou modelů byla pak spočtena pro relativní permitivitu dielektrika v rozmezí mezi 1,0 (vakuum) a 2,08 (teflon). Změna pole způsobená dielektrikem je patrná z grafu 4.2. Vidíme, že elektrické pole se oproti neporušenému módu v dielektriku zvětšuje, zatímco na okraji rezonátoru je o něco menší. Jaké rozdíly způsobí tato změna oproti Slaterově teorii je zřejmé z grafu 4.3 (všechna získaná data jsou v příloze A).

Graf 4.2: Velikost elektrického pole na úsečce x ∈ −29,95; 29,95 , y = 0, z = 0 mm pro neporušené pole a pole s teflonovým válečkem v ose rezonátoru.

28

Jakub Tesař


Graf 4.3: Srovnání rezonanční frekvence rezonátoru vypočtené podle Slaterovy teorie a numerického modelu B. Ve shodě s očekáváním jsou výsledné hodnoty rezonanční frekvence obou modelů velmi blízké pro relativní permitivitu blízkou vzduchu (neporušenému poli). Pro vyšší hodnoty však dochází k výrazné odchylce, která je způsobena odlišným vývojem modelů. Zatímco Slaterův model je lineární (lze proložit přímkou), numerický model má exponenciální charakter. Výsledná data modelu B byla fitována exponenciálou s rovnicí 𝜔𝑟 = 𝐴 ∙ exp −𝜖𝑟 𝑡 + 𝜔0 , kde 𝐴, 𝑡 a 𝜔0 jsou neznámé parametry. I z grafu 4.3 je patrné, že tato závislost velmi dobře odpovídá (zbytková suma čtverců tohoto fitu je 6,29e-4). Například pro teflon (ϵr = 2,08) činí rozdíl obou metod přibližně 6,5 MHz. Hodnota určená podle Slaterova vztahu se tak liší pouze o 0,07 %, poměr ∆𝜔𝑎 𝜔𝑎 pro permitivitu teflonu je však o 13 % menší než ve skutečnosti! Tento model je možné využít pro měření relativní permitivity pevných látek (např. teflonových válečků).

29

Jakub Tesař


4.3 Model C – dielektrikum ve skleněné trubici Jako další krok k reálnému modelu se nyní podíváme na vliv skleněné trubice, která uzavře dielektrikum (obr. 4.2 vlevo). Model tak již odpovídá reálné situaci, kdy je pro diagnostiku zkoumaného prostředí dobré oddělit ho od samotného rezonátoru (jde například o výbojovou trubici s doutnavým výbojem). Trubice o vnitřní průměr 𝑟𝑣 = 3,9 𝑚𝑚 a vnějším průměru 𝑟𝑑 = 5 𝑚𝑚 je umístěna v ose rezonátoru. K předchozímu modelu tak přidáváme prostředí s relativní permitivitou, která se výrazně liší od relativní permitivity vzduchu (ϵr = 4,82). Tomu by měly odpovídat také výraznější rozdíly mezi Slaterovým a tímto modelem. Výsledky pro oba modely, jsou vyneseny do grafů 4.4 a 4.5, kompletní data je možné nalézt opět v příloze A.

Graf 4.4: Velikost elektrického pole na úsečce x ∈ −29,95; 29,95 , y = 0, z = 0 mm pro neporušené pole a pole deformované přítomností skleněné trubice (ϵr = 4,82).

30

Jakub Tesař


Graf 4.5: Srovnání rezonanční frekvence rezonátoru vypočtené podle Slaterovy teorie a numerického modelu C. Z grafu 4.4 můžeme vidět, že vlivem dielektrika opět dochází k deformaci pole, k největší změně pole dochází přímo v místě skleněné trubice. Tato změna je výrazně větší než u předchozího modelu, což odpovídá, podíváme-li se opět na teflon, následujícím chybám. Slaterova hodnota se liší o 51,9 MHz, což odpovídá chybě 0,56 %. Ještě více se tato změna projeví u poměru ∆𝜔𝑎 𝜔𝑎 , kde je hodnota určená Slaterovou metodou menší dokonce o 59,4 %. Tento model je asi jen těžko využitelný pro praktickou diagnostickou metodu, do práce však byl zařazen proto, aby bylo zřejmé, jaké změny způsobuje skleněná trubice, se kterou budeme pracovat i v posledním, zcela reálném modelu. Hodnoty získané numerickým modelem jde stejně jako v předešlém modelu velmi dobře aproximovat exponenciálou (zbytková suma čtverců je 4,78 e-5).

31

Jakub Tesař


Obr. 4.2: Modely C – dielektrikum uzavřené skleněnou trubicí a D – skleněná trubice s dielektrikem prochází rezonátorem do otevřeného prostoru. 4.4 Model D – kompletní geometrie, otevřený problém Zbývá poslední krok, který je třeba udělat k reálnému modelu rezonátoru. Jak naznačuje obrázek 4.2, jde o „protažení“ skleněné trubice, a dielektrika v ní, dále mimo prostor rezonátoru. Jde o velmi podstatnou změnu, neboť pro numerické řešení metodou konečných prvků je třeba mít nějakým způsobem oblast uzavřenou. Zde však elektromagnetické z rezonátorové dutiny proniká skrz trubici a dielektrikum do vnějšího prostoru (reálný problém tedy odpovídá spíše anténě – v rezonátoru budíme elektromagnetické pole, které, byť omezeně, vyzařuje do okolního prostoru). Tento problém je možné řešit několika způsoby. V literatuře lze nalézt například postupné zvětšování buněk sítě až do nekonečna [Jin]. Naše uspořádání však nabízí jednodušší variantu. Dostatečně velký prostor kolem rezonátoru ohraničit vodivou plochou, čímž získáme nový rezonátor. Řešení problému vlastních hodnot (viz předchozí kapitola) potom nabízí v hledaném rozmezí větší množství módů (jde o rezonanci mj. i vně našeho původního rezonátoru), mezi nimi však také TE011 našeho původního rezonátoru. Obrázek 4.2 popisuje reálný rezonátor samozřejmě pouze schematicky, konkrétnější představu našeho problému získáme z obrázku 4.3. Zde je znázorněn řez rezonátorem rovinou yz. Vnitřní dutina rezonátoru odpovídá předchozím modelům, stejně tak poloměr dielektrika a skleněné trubice (ostatní rozměry rezonátoru lze nalézt v příloze B). V trubici (vně rezonanční dutiny) jsou elektrody pro buzení výboje. Hrají

32

Jakub Tesař


však i jinou roli – do jisté míry „nahrazují“ chybějící stěnu rezonátoru a brání vyzařování elektromagnetického pole.

Obr. 4.3: Model D - reálný rezonátor: a) rezonanční dutina, b) trubice s plynem, c) a d) elektrody pro buzení plazmatu, e) tělo rezonátoru, f) a g) okolní vzduch Velikost a tvar okolního prostoru, který je zahrnut do výpočtu, byl zvolen s ohledem na dvě skutečnosti. Pokud je problém symetrický, snižuje se výpočetní doba modelu. Zvolili jsme proto prostor symetrický podle roviny 𝑥𝑦. Další otázkou byla jeho velikost. Bylo provedeno několik výpočtů pro různou velikost přidaného prostoru, které ukázaly, že se výsledná frekvence se zvětšením sítě příliš nemění. S ohledem na výpočetní dobu modelu jsme proto zvolili nejmenší možný (symetrický) přidaný prostor. Jaké jsou tedy výsledky modelu? Elektrické pole se oproti předchozímu modelu příliš nezmění ve středu rezonátoru. Velkou změnu však lze očekávat u otvorů, kterými prochází trubice s dielektrikem. Zde pole proniká do vnějšího prostoru. Tento jev je dobře patrný v grafech 4.6 a 4.7. Takto výrazná změna se pochopitelně projeví i v rezonanční frekvenci. Srovnání tohoto modelu modelem předchozím a Slaterovou metodou vidíme v grafu 4.8.

33

Jakub Tesař


Graf 4.6: Velikost elektrického pole na úsečce x ∈ −29,95; 29,95 , y = 0, z = 9,45 mm pro neporušené pole, pole deformované trubicí a otevřený problém.

Graf 4.7: Totéž co předchozí graf pro rovinu z = 10,15 mm.

34

Jakub Tesař


Graf 4.8: Srovnání rezonanční frekvence rezonátoru vypočtené podle Slaterovy teorie a numerických modelů C a D. Z grafu 4.8 je zřejmé, že „otevření“ problému nemění exponenciální charakter závislosti rezonanční frekvence na relativní permitivitě použitého prostředí (zbytková suma čtverců je 4,02e-5). Rozdíl oproti Slaterově metodě se opět o něco zvětšil. Podíváme-li se naposledy na teflon, získáme absolutní chybu 72,7 MHz, což odpovídá 0,79 % hodnoty. Oproti předchozímu modelu se také mírně zvýší chyba ∆𝜔𝑎 𝜔𝑎 na 61,8 % (oproti 59,4 % u modelu C). Pro názornější představu změn elektrické intenzity, která jsou způsobeny přítomností dielektrika a otevřením problému, viz obrázky 4.4-4.6 na následující straně.

35

Jakub Tesař


Obr 4.4: Rozložení intensity elektrického pole v řezu pro neporušený případ.

Obr 4.5: Totéž v přítomnosti skleněné trubice, v jejímž nitru je teflon.

Obr 4.6: Rozložení intenzity elektrického pole pro otevřený problém.

36

Jakub Tesař


4.5 Numerické modely – shrnutí Numerické modelování porušeného rezonátoru pomocí modelů A-D nabízí několik podstatných výsledků. Zatímco Slaterův model je lineární, lze numerické modely charakterizovat nejlépe exponenciální funkcí. Ve shodě s očekáváními roste tedy chyba Slaterovy metody s rostoucí hodnotou relativní permitivity přítomného dielektrika. Trend této závislosti byl dobře namodelován i v případě otevřeného problému a nabízí tedy teoretickou možnost velmi přesného měření dielektrické konstanty, případně koncentrace elektronů ve výboji. Dále je zřejmé, že největší vliv na získanou hodnotu změny rezonanční frekvence má dielektrická konstanta použité trubice. Plyny samotné sice nemají relativní permitivitu příliš různou od vakua či vzduchu, takže pro ně by Slaterova metoda byla velmi přesná, přítomnost skleněné trubice však tuto chybu zcela zásadně změní. Přítomnost trubice zesiluje elektrické pole v jejím nitru a změna relativní permitivity prostředí při výměně plynů je tak násobně vyšší, než pokud by zde trubice nebyla. Slaterova metoda tedy systematicky nadhodnocuje vypočtenou permitivitu testovaného prostředí (přisuzuje danému rozdílu frekvence vyšší rozdíl permitivity obou prostředí) - viz například souhrnný graf 4.9. Nabízí se tak otázka, zda by experiment nedával přesnější výsledky s trubicí o nižší permitivitě, případně v zcela jiném uspořádání. Pokud budeme výsledky získávat Slaterovou metodou, znamená použití trubice s vysokou permitivitou velkou chybu výsledku (čím vyšší permitivita, tím větší chyba). Pokud však jsme schopní namodelovat vliv této poruchy, je odpověď opačná. Zesílení pole uvnitř trubice způsobuje, že se metoda pro daný rozdíl permitivity stává citlivější. Vyšší permitivita výbojové trubice tedy zvyšuje citlivost metody. Podobného efektu bychom dosáhli, kdybychom výbojovou trubici umístili do míst s větší intenzitou elektrického pole, či změnili mód, který používáme tak, aby v oblasti dielektrika byla vyšší intenzita elektrického pole. Při takovém postupu je však numerické modelování elektromagnetického pole nezbytné.

37

Jakub Tesař


Graf 4.9: Srovnání podílu ∆ωa ωa pro různou změnu permitivity prostředí (jako základní prostředí byl zvolen atmosférický vzduch) u různých modelů. Pohled na výše uvedené modely nabízí ještě jednu zajímavou možnost experimentálního uspořádání. Všechny uvedené modely se pro malé rozdíly permitivity ve vztahu k atmosférickému vzduchu příliš neliší od lineární závislosti (např. hranice chyby 1 % odpovídá pro model C relativní permitivitě 1,1). Toho lze využít pro velmi přesné měření například koncentrace elektronů tak, že nejdříve naměříme rozdíl frekvence pro dvě dobře známá prostředí (např. argon a vakuum), čímž metodu nakalibrujeme (známému rozdílu permitivity přiřadíme změnu frekvence). Tato metoda (jde vlastně o obdobu Slaterovy poruchové metody v následném kroku – nejdříve stanovíme rozložení pole v přítomnosti trubice a následně díky malým změnám permitivity testovaných prostředí již další změny pole neuvažujeme) sice není použitelná pro prostředí s vysokou permitivitou, pro běžné plyny a např. doutnavý výboj však nabízí okamžité získání výsledků bez numerického modelování daného rezonátoru. I zde pak platí, že čím vyšší permitivitu bude mít použitá trubice, tím přesněji budeme schopni rozdíl permitivity určit.

38

Jakub Tesař


5. Experiment V této kapitole se podíváme na samotný experiment, který nám umožní měřit relativní permitivitu plynů či koncentraci elektronů v plazmatu. Experimentální uspořádání (s výjimkou vakuové aparatury) je zřejmé z následujících obrázků, zejména pak schématu 5.1.

Obr. 5.1: Schéma experimentu. 5.1 Experimentální uspořádání Základem celého zařízení je válcový rezonátor, jehož středem prochází výbojová trubice. Elektromagnetické pole je v rezonátoru buzeno pomocí Gunnovy diody (GD). Část energie z rezonátoru je vazebním otvorem vyvedena do třícentimetrového vlnovodu, dále pak koaxiálním kabelem do osciloskopu (OSC). Ten snímá rezonanční frekvenci oscilátoru. Data z osciloskopu jsou pomocí sériového kabelu přenášena do počítače, kde jsou v reálném čase zapisována. Výbojová trubice má dva výstupy, které nám umožňují jak její čerpání, tak profukování zkoumaným plynem. V případě plazmatu je výboj buzen pomocí dvou elektrod, které jsou umístěny vně rezonátorové dutiny (přesné rozměry rezonátoru jsou k dispozici v příloze D). Na tyto elektrody je přivedeno stejnosměrné napětí o velikosti

39

Jakub Tesař


400-800 V. Tuto hodnotu můžeme regulovat jednak přímo pomocí zdroje, stejně tak proměnným odporem. Ampérmetrem měříme proud protékající plazmatem. Toto uspořádání je v zásadě velmi jednoduché, přesto má specifické problémy, které bylo třeba před samotným měřením vyřešit. Jejich diskuzi je možné nalézt v následujícím oddíle.

Obr. 5.2: Celkový pohled na experiment. Umístění na okenním parapetu bylo zvoleno s cílem omezit otřesy způsobené vývěvou. 5.2 Dílčí problémy experimentálního uspořádání a jejich řešení Gunnova dioda Základním prvkem celého experimentu je dutinový rezonátor, který je buzen pomocí Gunnovy diody. Tento typ diody je tvořena ze tří částí typu N. V části její V-A charakteristiky se tak objevuje negativní diferenciální odpor (s rostoucím napětím klesá procházející proud). Pokud je na diodu přiloženo napětí, které odpovídá této oblasti, může dioda fungovat jako generátor velmi vysokých frekvencí. Pokud je v systému s dutinovým rezonátorem, rozkmitá se na frekvenci, která odpovídá módu s nejvyšší kvalitou. V našem případě tedy generuje kmity odpovídající módu TE011.

40

Jakub Tesař


Obr. 5.3: Detail válcového rezonátoru. Z pravé strany je dobře patrný obvod Gunnovy diody. Na protější straně navazuje třícentimetrový vlnovod, pomocí něhož vyvazujeme část energie pro měření rezonanční frekvence. Použití Gunnovy diody však přináší i dva problémy. Prvním z nich je stálost generované frekvence. Při našich pokusech se hodnota rezonanční frekvence měnila v řádu 102-103 Hz, což bylo pravděpodobně způsobeno právě nestabilitou generovaných kmitů. Abychom minimalizovali tuto chybu, zapisovali jsme hodnoty frekvence v reálném čase do počítače. Získali jsme tím velké množství dat, čímž byl tento šum minimalizován. Druhým problémem je samotné propojení okruhu Gunnovy diody s rezonátorem. Rezonátor byl buzen pomocí drátěné smyčky, která byla umístěna přibližně ve středu rezonátoru v rovině rovnoběžné s jeho podstavami. Toto uspořádání nepochybně nějakým způsobem deformuje vzniklé elektromagnetické pole, velikost této poruchy však těžko nějak vyčíslíme. Pro odhad velikosti této poruchy můžeme sledovat následující úvahu. Budící smyčka nezasahuje příliš do prostoru rezonátoru (přibližně 5 mm) a pole tedy

41

Jakub Tesař


deformuje spíše na kraji rezonančního prostoru. V našem experimentu měníme relativní permitivitu prostředí v samém středu rezonátoru. Stejně tak jde o naměření poměru ∆𝜔𝑎 𝜔𝑎 a můžeme předpokládat, že tato chyba se do jisté míry v čitateli tohoto zlomku odečte. Výsledná porucha tedy hledané řešení neovlivní příliš. Čítač frekvence Měření rezonanční frekvence probíhalo na čítači HP 53132A Universal Counter. Tento přístroj umožňuje zápis dat s volitelnou frekvencí. Nastavitelná je tak doba, po kterou integruje měřenou frekvenci a zobrazuje její průměrnou hodnotu. Tyto hodnoty je také možné exportovat jako ascii data po sériovém portu. Zápis dat pomocí počítače Pro dosažení maximální přesnosti metody jsme data měřená čítačem frekvence v reálném čase zapisovali do počítače. Softwarově jsme tento problém vyřešili pomocí programu Commandline Serial Terminal 1.1 [Schmidt], který umožňuje mj. import dat prostřednictvím sériového portu. Volitelným parametrem je především rychlost přenosu dat (použitá přenosová rychlost musí být shodná s rychlostí zápisu čítače, v našem případě 9600 bit/s). Načtené hodnoty program zobrazuje v příkazovém řádku, případně zapisuje ve shodném formátu do textového souboru. Reálně jsme pomocí tohoto uspořádání rezonanční frekvenci zapisovali rychlostí 5,5 hodnot/s. Zapalování výboje Další důležitou otázkou bylo zapalování výboje v trubici. Pouze některé hodnoty tlaku a přiloženého napětí postačovali pro splnění Paschenova kritéria, určující kritickou mez pro samozapálení výboje. V ostatních případech bylo třeba výboj nastartovat pomocí vysokofrekvenčního výboje, k čemuž jsme použili Teslův transformátor. Tato metoda však často ovlivnila pokus natolik, že čítač přestal snímat frekvenci. To mohlo být způsobeno „rozladěním“ Gunnovy diody, případně samotným čítačem. V každém případě se po dalším použití Teslova transformátoru snímání obnovilo.

42

Jakub Tesař


Výbojová trubice Další poznámku věnujme výbojové trubici. Jde o skleněnou trubici, u které známe pouze jeden parametr. Dobře definovaný je její vnější poloměr, který činí 5 mm. Její vnitřní poloměr již nemusí být tak přesně definovaný, u okrajů jsme však naměřili 3,9 mm. S těmito hodnotami pracujeme i v našich modelech, je však jasné, že různé změny v tloušťce stěny trubice mohou mít poměrně velký vliv na výslednou rezonanční frekvenci (respektive vypočtenou relativní permitivitu). I zde však platí, že se velká část této chyby odečte ve výrazu ∆𝜔𝑎 𝜔𝑎 . Vakuová aparatura Abychom byli schopni měřit změny rezonanční frekvence pro různé plyny oproti vakuu, je výbojová trubice napojena na vakuovou aparaturu. Tato aparatura je společná pro několik pokusů a je čerpána rotační vývěvou, přičemž lze dosáhnout tlaku asi 5 Pa. Toto čerpání s sebou nese dva konkrétní problémy. Prvním z nich jsou otřesy způsobené vývěvou, které by mohly zásadním způsobem ovlivnit experiment. Abychom minimalizovali jejich vliv, byla aparatura umístěna na okenném parapetu, kde jsou otřesy vývěvy zanedbatelné. Nelze však vyloučit drobné otřesy, které se přenášejí přes vakuovou aparaturu. Druhým problémem je poměrně velký objem aparatury. To se projevuje především při výměně testovaných plynů. Trvá nějakou dobu, než plyn zaplní celou aparatury (případně než je aparatura vyčerpána), což se projevuje pomalejším poklesem (u čerpání nárůstem) rezonanční frekvence. Omezení objemu aparatury na nezbytné minimum by byla opět, díky ostřejšímu „skoku“ v časovém vývoji frekvence, o něco zvýšena přesnost metody. Měření s využitím zápisu dat do počítače, však tento vliv téměř zcela eliminuje, neboť umožňuje snadno určit oblast, ve které je již aparatura zaplněna (vyčerpána) celá.

43

Jakub Tesař

44


Jakub Tesař


6. Charakter naměřených dat a jejich zpracování 6.1 Změna frekvence způsobená výměnou pracovního plynu V této se podíváme podrobněji na charakter získaných dat a jejich zpracování. Typický průběh změny rezonanční frekvence vidíme na grafu 6.1. Jde o měření změny frekvence způsobené napuštěním atmosférického vzduchu do výbojové trubice. Trubice byla nejdříve vyčerpána na tlak přibližně 10 Pa. Zhruba po třech minutách byla vypnuta vývěva a do aparatury byl napuštěn atmosférický vzduch. Po obdobném časovém úseku byla aparatura opět uzavřena a vyčerpána zpět na 10 Pa.

Graf 6.1: Změna rezonanční frekvence způsobená napuštěním a opětovným odčerpáním atmosférického vzduchu z výbojové trubice. V grafu si můžeme všimnout hned několika charakteristických rysů celého měření. Podle očekávání je rezonanční frekvence závislá na tlaku plynu a skok není ostrý – kopíruje postupné zvyšování tlaku při napouštění, respektive pokles při čerpání aparatury. Dále si v grafu můžeme všimnout, že rezonanční frekvence po celu dobu experimentu klesá. Takový vývoj se objevoval ve většině naměřených závislostí, výjimkou však nebyl ani mírný nárůst. Tento může být způsoben dvěma druhy

45

Jakub Tesař


procesů. Prvním z nich je ohřev aparatury. Gunnova dioda do aparatury dodává tepelný výkon přibližně 1 W. Při měření proto dochází k ohřívání experimentu, lineární rozměry aparatury mírně rostou vlivem teplotní roztažnosti a rezonanční frekvence tak (podle vztahu 4.1) pomalu klesá.

Graf 6.2: Příklad zpracování změny rezonanční frekvence. Vedle teplotní závislosti se v grafu projevuje i nestálost kmitů diody. Ta se projevuje více způsoby: šumem na základní frekvenci, ale také např. zákmity při velkých frekvenčních skocích. Vliv všech těchto efektů jsme se pokusili omezit sběrem velkého množství dat. Způsob jejich zpracování je patrný z grafu 6.2. Získaná data jsou „očištěn“ o body nacházející se na přechodu mezi oběma dielektriky. Základní frekvence (zde odpovídající vakuu) je pak fitována vhodnou funkcí (velmi dobře odpovídá exponenciální funkce, její rovnice je patrná z fitu v grafu). Následně hledáme průměrnou hodnotu rozdílu tohoto fitu a dat odpovídající druhému plynu. Touto metodou lze určit změna rezonanční frekvence s přesností jednotek případně desítek kHz (podle charakteru pokusu).

46

Jakub Tesař


To, že experiment věrně odpovídá fyzikální realitě, můžeme dobře dokumentovat dalším příkladem. V grafu 6.3 je vynesena závislost rezonanční frekvence pro napouštění a opětovné čerpání acetylenu. Malý schodek, který se opakuje na všech náběžných hranách při napouštění acetylenu, odpovídá atmosférickému vzduchu. Ten do aparatury vnikl po vypnutí vývěvy, poté však byl vyfouknut acetylenem. Rozdíl relativní permitivity vzduchu a vakua je přitom přibližně poloviční než stejná konstanta pro acetylen. Naše představa tedy odpovídá velmi dobře i kvantitativně.

Graf 6.3: Změna rezonanční frekvence při napouštění a opětovném čerpání acetylenu. Malý schodek na náběžné hraně každého schodu odpovídá atmosférickému vzduchu, který při výměně plynů na čas vnikl do aparatury. 6.2 Změna frekvence způsobená zapálením doutnavého výboje V případě měření změny rezonanční frekvence přítomností plazmatu je situace v několika ohledech odlišná. Typický charakter dat můžeme vidět v grafu 6.4. V tomto pokusu bylo v intervalu tří minut připojováno a následovně odpojováno budící napětí, přičemž pokaždé byla zvolena jiná jeho hodnota.

47

Jakub Tesař


Graf 6.4: Časová změna rezonanční frekvence pro doutnavý atmosférický výboj při tlaku 50 Pa. Jednotlivé skoky odpovídají různým hodnotám proud, který protéká plazmatem. V čase 21 min došlu vlivem zapalování výboje ke skokové změně základní frekvence (odpovídající atmosférickému vzduchu). Jaké jsou tedy hlavní rozdíly oproti poměřování dvou plynů? Především je vidět, že změna frekvence je ve shodě s teorií kladná. Komplexní permitivita plazmatu je tedy nižší než permitivita vakua (jde o vliv prostředí s nábojem – viz vztah 2.22). Dále vidíme, že změna probíhá výrazně rychleji – v grafu téměř chybí body odpovídající přechodu mezi jednotlivými stavy. Vlivem velkých a náhlých skoků také dochází k narušení kmitů Gunnovy diody, což se projevuje zvlněním této charakteristiky. V případě největšího proudu, který teče plazmatem (v časovém intervalu 15 – 18 min), je také patrný výrazný pokles frekvence. To může být způsobeno např. již diskutovaným ohřevem aparatury. Ve vyhodnocení změn způsobených přítomností plazmatu však není zásadní rozdíl oproti předchozímu. Při silně narušených datech však lze díky rychlosti procesu využít konkrétní rozdíl mezi dvěma okrajovými body. Chyba tohoto měření je však vždy o něco větší než v případě změny pracovního plynu, neboť rezonanční frekvence zde není tak stálá. 48

Jakub Tesař


7. Výsledná permitivita / koncentrace elektronů – srovnání s modely Jaké jsou tedy výsledky této metody? Podívejme se nejdříve na měření permitivity různých plynů a teflonu. Každé z těchto dielektrik bylo měřeno na několika schodcích rezonanční frekvence. Celkové výsledky jsou shrnuty v tabulce 7.1. Graf 7.1 a tabulky 7.1 a 7.2 poté nabízí srovnání vypočtené relativní permitivity podle našeho modelu, Slaterova modelu a skutečné (jinými autory naměřené) hodnoty. Jak bylo ukázáno v páté kapitole, výsledky numerického modelu do značné míry závisí na správně stanovené permitivitě použité trubice. Tato konstanta byla pro naši trubici neznámá – pro její určení jsme proto taktéž využili našeho modelu. Experimentálně se rezonanční frekvence bez a s trubicí lišila přibližně o 79,2 MHz. Této změně v našem modelu D odpovídá relativní permitivita 3,7 (tato hodnota se přibližně shoduje s v literatuře uváděnou hodnotou pro křemenné sklo). Výsledky uvedené v této kapitole jsou spočteny pro tuto konstantu skla.

Graf 7.1: Relativní permitivita čtyř plynů odpovídající změnám rezonanční frekvence pro Slaterův model a numerický model D ve srovnání s tabulkovou hodnotou těchto plynů.

49

Jakub Tesař

zkoumané dielektrikum


Δω

δ(Δω) [MHz]

ω [MHz]

Δω/ω

δ(Δω/ω)

δ(Δω/ω)r

kyslík

-0,0176

0,0010

9337,36

-1,88E-06

1,07E-07

5,7%

argon

-0,0189

0,0008

9338,07

-2,02E-06

8,57E-08

4,2%

vzduch

-0,0193

0,0010

9338,40

-2,06E-06

1,08E-07

5,2%

acetylen

-0,0408

0,0008

9337,94

-4,37E-06

8,57E-08

2,0%

teflon

-25,7332

0,0330

9338,05

-2,76E-03

3,53E-06

0,1%

Tab. 7.1: Změny rezonanční frekvence způsobené přítomností měřených dielektrik. zkoumané dielektrikum

εr (tabulková)

εr (num. model)

δεr (num. model)

εr (Slater)

δεr (Slater)

kyslík

1,000494

1,00068

0,00004

1,00123

0,00007

argon

1,000513

1,00073

0,00003

1,00132

0,00006

vzduch

1,000535

1,00075

0,00004

1,00135

0,00007

acetylen

1,012200

1,00158

0,00003

1,00285

0,00006

~2

1,899

0,001

2,797

0,002

teflon

Tab. 7.2: Srovnání Slaterova a numerického modelu ve vztahu k měřené konstantě. Z výše uvedeného je patrné, že závěry uvedené na konci páté kapitoly byly oprávněné. Slaterova poruchová metoda při použití v našem experimentu (tedy především s přítomností skleněné trubice) významně nadhodnocuje hodnotu relativní permitivity měřených plynů (přibližně 2,5krát větší rozdíl oproti permitivitě vakua). Výrazně méně se tato chyby projeví v případě teflonu, neboť zde proti sobě působí dva vlivy. Slaterova poruchová metoda sice nadhodnocuje výslednou permitivitu, zároveň však nezahrnuje nelinearitu problému, která působí opačným směrem. Obě chyby se částečně vyruší, takže výsledná relativní chyba je menší než v případě plynů s relativní permitivitou blízkou jedné. Námi získané hodnoty relativní permitivity jsou také o něco vyšší než hodnoty uváděné v literatuře (přibližně o 40 % u plynů). Tato odchylka může být způsobena tím, že jsme do výpočtu nezahrnuli další dva typy poruch uvedené v rovnici (2.7a), konkrétně konečnou vodivost stěn rezonátoru a vazební otvor pro měření frekvence. Pokud srovnáme výsledky modelu C a D, je zřejmé, že otvor pro výbojovou trubici

50

Jakub Tesař


způsobil zvětšení rozdílů v rezonanční frekvenci. Vazební otvor tedy dále snižuje výslednou permitivitu a je tak částečně odpovědný za tuto odchylku. Svou roli samozřejmě hraje i možná chyba způsobená stanovením permitivity skla. Jiná je situace u teflonu. Zde vychází relativní permitivita přibližně 1,9. V literatuře lze nalézt hodnoty široké rozmezí hodnot mezi 2,0 a 2,8 podle typu materiálu. Není tedy dost dobře možné posoudit, nakolik se modelová hodnota blíží k hodnotě skutečné. Podívejme se nyní na koncentraci elektronů v doutnavém výboji. Měřili jsme změnu rezonanční frekvence v závislosti na přiloženém napětí pro tři různé tlaky. Pracovním plynem byl atmosférický vzduch. Na grafu 7.2 vidíme srovnání vypočtené elektronové koncentrace (uvažujeme průměrnou koncentraci elektronů) pro Slaterův a numerický model pro tlak 100 Pa.

Graf 7.2: Vypočtená koncentrace elektronů v závislosti na proudu protékajícím plazmatem pro doutnavý výboj ve vzduchu při tlaku 100 Pa.

51

Jakub Tesař


V tomto rozsahu změn frekvence již není numerický model možno považovat za lineární, což se v grafu projevuje změnou poměru obou vypočtených hodnot. Pro nejmenší proud protékající plazmatem (Ipl = 0,19 mA) je vzájemný poměr 2,9, zatímco pro nejvyšší proud (Ipl = 0,85 mA) je tento poměr již pouze 1,9. Graf závislosti koncentrace elektronů stanovené podle numerického modelu má tak větší druhou derivaci (je více „prohnutý“). Všechny naměřené hodnoty jsou shrnuty v tabulkách 7.3 a 7.4, výsledná koncentrace elektronů (podle numerického modelu)

v závislosti na proudu

protékajícím plazmatem potom v grafu 7.3. Doutnavý výboj ve vzduchu, tlak 50 Pa δ(Δω) I [mA] Δω ω [MHz] [MHz] 0,1715 0,078 0,002 9338,4

Δω/ω

δ(Δω/ω)

δ(Δω/ω)r

8,37E-06

2,14E-07

2,6%

0,2425

0,138

0,008

9338,4

1,47E-05

8,57E-07

5,8%

0,4050

0,336

0,010

9338,4

3,60E-05

1,07E-06

3,0%

0,5325

0,387

0,006

9338,4

4,14E-05

6,43E-07

1,6%

0,6680

0,497

0,010

9338,4

5,32E-05

1,07E-06

2,0%

Δω/ω

δ(Δω/ω)

δ(Δω/ω)r

8,36E-06

4,28E-07

5,1%

Doutnavý výboj ve vzduchu, tlak 70 Pa δ(Δω) I [mA] Δω ω [MHz] [MHz] 0,3385 0,078 0,004 9338,4 0,5440

0,177

0,005

9338,4

1,90E-05

5,35E-07

2,8%

0,7040

0,261

0,005

9338,4

2,79E-05

5,35E-07

1,9%

0,9700

0,445

0,005

9338,4

4,76E-05

5,35E-07

1,1%

1,2100

0,586

0,015

9338,4

6,27E-05

1,61E-06

2,6%

Δω/ω

δ(Δω/ω)

δ(Δω/ω)r

1,49E-06

2,14E-07

14,4%

Doutnavý výboj ve vzduchu, tlak 100 Pa δ(Δω) I [mA] Δω ω [MHz] [MHz] 0,1875 0,014 0,002 9338,4 0,2450

0,020

0,002

9338,4

2,17E-06

2,14E-07

9,9%

0,3775

0,045

0,003

9338,4

4,80E-06

3,21E-07

6,7%

0,6400

0,113

0,002

9338,4

1,21E-05

2,14E-07

1,8%

0,8500

0,179

0,007

9338,4

1,92E-05

7,50E-07

3,9%

Tab. 7.3: Naměřené hodnoty změny rezonanční frekvence pro doutnavý výboj ve vzduchu při třech různých hodnotách tlaku.

52

Jakub Tesař


Doutnavý výboj ve vzduchu, tlak 50 Pa I [mA]

ne [m-3 ] (model)

δne [m-3 ] (model)

ne [m-3 ] (Slater)

δne [m-3 ] (Slater)

0,1715

8,13E+13

2,08E+12

1,62E+14

3,75E+12

0,2425

1,43E+14

8,33E+12

2,73E+14

1,50E+13

0,4050

3,50E+14

1,04E+13

6,46E+14

1,87E+13

0,5325

4,03E+14

6,26E+12

7,39E+14

1,12E+13

0,6680

5,18E+14

1,04E+13

9,47E+14

1,87E+13


ne [m-3 ] (model)

δne [m-3 ] (model)

ne [m-3 ] (Slater)


0,3385

8,13E+13

4,16E+12

1,62E+14

7,49E+12

0,5440

1,84E+14

5,21E+12

3,47E+14

9,36E+12

0,7040

2,72E+14

5,21E+12

5,04E+14

9,36E+12

0,9700

4,63E+14

5,22E+12

8,48E+14

9,36E+12

1,2100

6,11E+14

1,57E+13

1,11E+15

2,81E+13


ne [m-3 ] (model)

δne [m-3 ] (model)

ne [m-3 ] (Slater)


0,1875

1,45E+13

2,08E+12

4,16E+13

3,75E+12

0,2450

2,11E+13

2,08E+12

5,35E+13

3,75E+12

0,3775

4,67E+13

3,12E+12

9,96E+13

5,62E+12

0,6400

1,17E+14

2,08E+12

2,27E+14

3,75E+12

0,8500

1,87E+14

7,29E+12

3,51E+14

1,31E+13

Tab. 7.4: Koncentrace elektronů vypočtená pomocí numerického modelu ve srovnání se Slaterovou poruchovou teorií. Jednotlivé závislosti v grafu 7.3 jsou proloženy exponenciálou, která velmi dobře kopíruje naměřenou závislost. Pouze je otázkou, zda nedošlo k nějaké hrubé chybě při měření při 50 Pa u hodnoty proudu Ipl = 0,41 mA. Podívejme se kvalitativně na získanou závislost. Co se stane, jestliže zvýšíme přiložené napětí? Potom se pohybujeme podél grafu ve směru rostoucího proudu i koncentrace. Závislost je téměř lineární, neboť s rostoucí koncentrací elektronů, roste i počet částic, které se podílejí na vedení proudu. Pro tlak 100 Pa je však závislost mírně konvexní, z čehož lze usuzovat, že s rostoucím proudem (a koncentrací nabitých částic) dochází ke snížení pohyblivosti elektronů. Podobně je tomu pro tlak 70 Pa, zde

53

Jakub Tesař


je však tento vliv méně výrazný. Pro nejnižší tlak 50 Pa je situace odlišná. Závislost koncentrace elektronů na procházejícím proudu je konkávní – můžeme usuzovat, že pohyblivost elektronů při nižším tlaku s procházejícím proudem vzrůstá.

Graf 7.3: Vypočtená koncentrace elektronů v závislosti na proudu protékajícím plazmatem pro výboj ve vzduchu za různých tlaků. Pokud se ještě podíváme na konkrétní koncentraci (např. 1,5x1014 m-3), vidíme, že s rostoucím tlakem roste také proud procházející plazmatem. To bychom také očekávali, neboť opět platí, že s rostoucím tlakem roste koncentrace nosičů náboje. Tento pohled je samozřejmě pouze zjednodušený, neboť ve výše uvedených úvahách neuvažujeme např. iontový proud, změnu teploty neutrálních, nebo ztráty na stěnách trubice. Určitý vliv bude mít také změna velikosti katodové oblasti výboje se změnou tlaku. Celkově lze říci, že měření koncentrace elektronů je zatíženo větší chybou než měření permitivity plynů. A to díky odchylkám rezonanční frekvence, které byly popsány v předchozí kapitole. Také jsme ukázali, že použití Slaterovy metody v tomto případě znamená systematické nadhodnocení koncentrace elektronů. V tomto případě se také mění charakter závislosti, neboť se již pohybujeme v oblasti, kdy závislost permitivity prostředí na změně rezonanční frekvence nelze považovat za lineární.

54

Jakub Tesař


8. Závěr Cílem této práce bylo nalézt vhodnou metodu přesného měření permitivity dielektrických prostředí rezonátorovou metodou. Kromě přímého měření různých plynů jsme se zabývali využitím metody pro stanovení koncentrace elektronů v plazmatu. Získaná data byla porovnána s dodnes hojně používanou Slaterovou poruchovou metodou, s cílem ukázat hranice jejího využití a navrhnout její modifikaci pro ostatní oblasti. Numerické modelování metodou konečných prvků přineslo několik důležitých závěrů. Předně se potvrdilo, že Slaterova metoda je s přijatelnou chybou použitelná pouze pro dielektrická prostředí s relativní permitivitou blízkou jedné. Pro prostředí s vyšší dielektrickou konstantou bylo nutné vztah upravit. S ohledem na praktické využití v diagnostice plazmatu jsme se zaměřili na případ výbojové trubice procházející osou válcového rezonátoru. Tato trubice významně zesiluje elektrické pole ve svém nitru a měření relativní permitivity rezonátorovou metodou je tak citlivější. V tomto uspořádání byly naměřeny dielektrické konstanty argonu, kyslíku, vzduchu, acetylenu a teflonu. Dále byla stejnou metodou stanovena koncentrace elektronů v doutnavém výboji ve vzduchu pro různé tlaky a různé proudy procházející výbojem. Získané hodnoty podle očekávání zpřesnili původní Slaterovu metodu, shoda s tabelovanými hodnotami však nebyla úplná. Zvýšení citlivosti experimentu pomocí výbojové trubice s vysokou relativní permitivitou může být zajímavou cestou k velmi přesné (relativní chyba našeho měření byla 2-6%) diagnostice výbojů. Pro malé odchylky rezonanční frekvence (odpovídající koncentraci elektronů řádově 1013-1015 m-3) lze metodu kalibrovat pomocí známého plynu a uvažovat lineární závislost koncentrace elektronů na změně rezonanční frekvence. Uvedenou metodou lze měřit permitivitu dielektrického prostředí s přesností v řádu 10-5 až 10-6, citlivost metody dále lze zvýšit právě vyšší permitivitou použité výbojové trubice či změnou módu pomocí něhož měříme.

55

Jakub Tesař

56


Jakub Tesař


Seznam použité literatury Slater: Rev. Mod. Phys. 18 (1946) 441 Heald, Wharton: Plasma diagnostics with microwaves (Wiley 1965) Ginzton: Microwave measurements (McGraw-Hill 1957) Jin: The finite element method in electromagnetics (Wiley 2002) Taflove: Advances in Computational Electrodynamics (Artech house 1998) Tysl, Růžička: Teoretické základy mikrovlnné techniky (SNTL 1974) Tirpák: Elektronika velmi vysokých frekvencí (UK Bratislava 2001) Tálský, Janča: Speciální praktikum z vysokofrekvenční elektroniky a fyziky plazmatu (UJEP Brno 1975) Bittencourt: Fundamentals of plasma physics (Springer 2004)

Schmidt:

Commandline

Serial

Terminal

1.1,

Lancaster

University,

2001

(http://www.comp.lancs.ac.uk/~albrecht/)

57

Jakub Tesař

58


Jakub Tesař


Přílohy Příloha A: kompletní výsledky numerických modelů Model B - válcové dielektrikum v ose rezonátoru

Slaterova metoda

εr

počet buněk sítě

ωr [MHz]

δωr [MHz]

plasma A

0,98000

---

---

---

plasma B

0,98500

---

---

---

plazma C

0,99000

---

---

plazma D

0,99500

---

vakuum

1,00000

vzduch

Δω/ω

ωr [MHz]

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

73 984

9 386,861

1,86E-11

0,000

0,00E+00

9 386,862

0,000

0,00E+00

---

1,00058

73 984

9 386,839

1,63E-11

-0,022

-2,38E-06

9 386,839

-0,023

-2,48E-06

4,3%

acetylen A

1,00130

73 984

9 386,811

1,39E-11

-0,050

-5,34E-06

9 386,810

-0,052

-5,57E-06

4,2%

acetylen B

1,00260

73 984

9 386,761

1,56E-11

-0,100

-1,07E-05

9 386,758

-0,104

-1,11E-05

4,2%

acetylen C

1,00390

73 984

9 386,711

1,46E-11

-0,150

-1,60E-05

9 386,705

-0,157

-1,67E-05

4,2%

teflon A

1,36000

73 984

9 372,163

3,88E-11

-14,698

-1,57E-03

9 372,394

-14,468

-1,54E-03

-1,6%

teflon B

1,72000

73 984

9 355,625

2,99E-12

-31,237

-3,33E-03

9 357,926

-28,936

-3,08E-03

-7,4%

teflon C

2,08000

73 984

9 336,905

3,90E-12

-49,956

-5,32E-03

9 343,459

-43,404

-4,62E-03

-13,1%

dielektrikum

Δω

Model C - skleněná trubice

Δω

Δω/ω

srovnání rozdíl ve výpočtu εr

Slaterova metoda

εr


ωr [MHz]

δωr [MHz]

plasma A

0,98000

---

---

---

plasma B

0,98500

---

---

---

plazma C

0,99000

---

---

plazma D

0,99500

---

vakuum

1,00000

vzduch

Δω/ω

ωr [MHz]

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

76 582

9 257,661

1,63E-12

0,000

0,00E+00

9 286,810

0,000

0,00E+00

---

1,00058

76 582

9 257,643

1,66E-12

-0,018

-1,95E-06

9 286,802

-0,008

-8,89E-07

-54,4%

acetylen A

1,00130

76 582

9 257,620

1,55E-12

-0,041

-4,38E-06

9 286,792

-0,019

-1,99E-06

-54,5%

acetylen B

1,00260

76 582

9 257,580

1,61E-12

-0,081

-8,76E-06

9 286,773

-0,037

-3,99E-06

-54,5%

acetylen C

1,00390

76 582

9 257,539

1,88E-12

-0,122

-1,31E-05

9 286,754

-0,056

-5,98E-06

-54,5%

teflon A

1,36000

76 582

9 245,976

1,72E-12

-11,684

-1,26E-03

9 281,683

-5,127

-5,52E-04

-56,3%

teflon B

1,72000

76 582

9 233,290

1,68E-12

-24,371

-2,63E-03

9 276,556

-10,254

-1,10E-03

-58,1%

teflon C

2,08000

76 582

9 219,484

1,50E-12

-38,177

-4,12E-03

9 271,430

-15,380

-1,66E-03

-59,8%

dielektrikum

Δω

Model D - otevřený problém

Δω

Δω/ω


Slaterova metoda


εr


ωr [MHz]

δωr [MHz]

Δω

plasma A

0,98000

75 168

9 239,435

8,86E-05

0,656

plasma B

0,98500

---

---

---

plazma C

0,99000

75 168

9 239,107

3,76E-04

plazma D

0,99500

---

---

---

---

---

vakuum

1,00000

75 168

9 238,779

2,95E-04

0,000

0,00E+00

9 286,810

0,000

0,00E+00

---

vzduch

1,00058

75 168

9 238,760

3,03E-04

-0,019

-2,07E-06

9 286,802

-0,008

-8,89E-07

-57,0%

acetylen A

1,00130

75 168

9 238,736

5,83E-05

-0,043

-4,64E-06

9 286,792

-0,019

-1,99E-06

-57,0%

acetylen B

1,00260

75 168

9 238,693

2,36E-05

-0,086

-9,27E-06

9 286,773

-0,037

-3,99E-06

-57,0%

acetylen C

1,00390

75 168

9 238,650

2,94E-04

-0,128

-1,39E-05

9 286,754

-0,056

-5,98E-06

-57,0%

teflon A

1,36000

75 168

9 226,465

9,03E-12

-12,314

-1,33E-03

9 281,683

-5,127

-5,52E-04

-58,6%

teflon B

1,72000

75 168

9 213,141

8,29E-14

-25,638

-2,78E-03

9 276,556

-10,254

-1,10E-03

-60,2%

teflon C

2,08000

75 168

9 198,693

2,99E-05

-40,086

-4,34E-03

9 271,430

-15,380

-1,66E-03

-61,8%

dielektrikum

--0,329 ---

Δω/ω

ωr [MHz]

Δω

7,11E-05

9 287,085

0,275

Δω/ω

---

---

3,56E-05

9 286,943

--0,133 ---

2,96E-05

-58,3%

---

---

1,43E-05

-59,8%

---

---

59

Jakub Tesař Příloha B: nákres rezonátoru

60


Měření permitivity plynů rezonátorovou metodou

Recommend Documents