ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT PRO

O DHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT PRO SRÁŽKOVÁ A TEPLOTNÍ DATA

Jan Picek Katedra aplikované matematiky ˇ e-humanitní ˇ Fakulta pˇrírodovedn a pedagogická Technická univerzita v Liberci

Novohradské statistické dny

Ú VOD

Velká pozornost v analýze extrémních dat (napˇr. záplavy) je ˇ venována odhadum ˚ T -leté úrovnˇe (návratová hodnota, T -letá voda). ˇ jednou za T let. Pˇredstava: úrovenˇ opakující se v prum ˚ eru

Jan Picek

Odhady návratových hodnot pro srážková a teplotní data

Ú VOD

Velká pozornost v analýze extrémních dat (napˇr. záplavy) je ˇ venována odhadum ˚ T -leté úrovnˇe (návratová hodnota, T -letá voda). ˇ jednou za T let. Pˇredstava: úrovenˇ opakující se v prum ˚ eru ˇ Z pohledu statistiky: vysoký kvantil rozdelení náhodné veliˇciny (prutoku). ˚ 1 u(T ) = F −1 1 − T P (X > u(T )) = 1 − F (u(T )) =

Jan Picek

1 T


ˇ P RÍKLAD Pˇríklad: Roˇcní maxima teploty vzduchu za období 1961-2007 Stanice Liberec Návratová hodnota (roky)

10

20

100

1000

34.1

34.9

36.3

37.9

ˇ GEV rozdelení ˇ metoda max. verohodnosti

Maximální dosažená hodnota za sledované období 36.2.

Jan Picek


Z ÁKLADNÍ PRINCIPY ˇ Necht’ X1 , X2 , . . . jsou nezávislé stejneˇ rozdelené náhodné veliˇciny s distribuˇcní funkcí F . Necht’ Mn = max(X1 , . . . , Xn ). Pˇredpokládejme, že existuje posloupnost reálných cˇ ísel an > 0 a bn tak, že posloupnost (Mn − bn )/an konverguje v distribuci, t.j. P ((Mn − bn )/an ≤ x) = F n (an x + bn ) → G(x), n → ∞, ˇ pro nejakou nedegenerovanou d.f. G(x) Jestliže podmínka platí, ˇríkáme, že F je ve sféˇre pˇritažlivosti G (maximum domain of attraction), F ∈ MDA(G).

Jan Picek


Z ÁKLADNÍ PRINCIPY ˇ F ISHEROVA -T IPPETTOVA V ETA (1928)

Jestliže F ∈ MDA(G) potom G je typu jedné z následujících tˇrí d.f. 0, x≤0 γ>0 Fréchet Φ1/γ (x) = −1/γ , x>0 exp −x exp −(−x)1/γ , x ≤ 0 Weibull Ψ1/γ (x) = γ>0 1 x>0 Gumbel Λ(x) = exp (−e−x ) , x ∈ R.

Jan Picek


Z ÁKLADNÍ PRINCIPY ˇ F ISHEROVA -T IPPETTOVA V ETA (1928)

Jestliže F ∈ MDA(G) potom G je typu jedné z následujících tˇrí d.f. 0, x≤0 γ>0 Fréchet Φ1/γ (x) = −1/γ , x>0 exp −x exp −(−x)1/γ , x ≤ 0 Weibull Ψ1/γ (x) = γ>0 1 x>0 Gumbel Λ(x) = exp (−e−x ) , x ∈ R. ˇ ENKO ˇ G N ED (1943)

ˇ Limitní rozdˇelení je zobecnˇené rozdelení extrémních hodnot. γ = 0 exp −(1 + γx)−1/γ G(x) = Gγ (x) = , γ=0 exp(−e−x ) kde 1 + γx > 0 G je urˇcena jednoznaˇcneˇ až na parametr polohy a mˇeˇrítka. Jan Picek


M ETHOD OF BLOCK MAXIMA Pˇredpokládáme, že data rozdˇelíme do bloku˚ obsahující n (velké) hodnot, bereme maximum v každém bloku a využijeme limitní ˇ výsledek, t.j. GEV rozdelení. Užití limitního rozdˇelení: Mn − bn ≤ x ≈ Gγ (x). P an n = Gγ,bn ,an (y). y = an x + bn ⇒ P (Mn ≤ y) ≈ Gγ y−b an Parametry odhadneme, napˇr. metodou maximální vˇerohodnosti

Jan Picek


M ETHOD OF BLOCK MAXIMA zi − b L(b, a, γ) = −m log a − (1 + 1/γ) log 1 + γ a i=1 m

−1/γ m

zi − b − 1+γ a i=1

pro γ = 0 L(b, a) = −m log a −

m

zi − b i=1

a

−

m

i=1

exp

zi − b a

.

Neexistuje analytické ˇrešení.

Jan Picek


L- MOMENTOVÁ METODA ˇ s distribuˇcní funkcí F (x) a Necht’ X1 , X2 , . . . Xn je náhodný výber kvantilovou funkcí Q(u) a necht’ X1:n ≤ X2:n ≤ Xn:n jsou poˇrádkové statistiky. L-momenty: λr =

r−1 r−1 1

(−1)k EXr−k:r , k r

r = 1, 2, . . .

k=0

EXj:r =

r! (j − 1)!(r − j)!

x (F (x))j−1 (1 − F (x))r−j dF (x)

λ1 = EX = λ2 = λ3 =

1

0

1 E(X2:2 − X1:2 ) = 2

Q(u)du

1 E(X3:3 − 2X2:3 + X1:3 ) = 3 Jan Picek

1 0

0

Q(u)(2u − 1)du 1

Q(u)(6u2 − 6u + 1)du


L- MOMENTOVÁ METODA ˇ ˇ Pˇríklady L-momentu˚ nekterých rozdelení: ˇ Rovnomerné na (a, b) λ1 = 12 (a + b), λ2 = 16 (b − a), τ3 = 0, τ4 = 0 Normální N (µ, σ2 )

λ1 = µ, λ2 =

ˇ Gumbelovo rozdelení

F (x) = exp[− exp(−(x − ξ)/α)]

σ π , τ3

= 0, τ4 = 0.1226

λ1 = ξ + αγ, λ2 = α log 2, τ3 = 0.1699, τ4 = 0.1504, γ = 0.5772... konst. ˇ ˇ Zobecnené rozdelení extrémních hodnot (GEV)

1

F (x) = exp[−(1 − k(x − ξ)/α) k ] λ1 = ξ + α(1 − Γ(1 + k))/k, λ2 = α(1 − 2−k )Γ(1 + k)/k, τ3 = 2(1 − 3−k )/(1 − 2−k ) − 3, τ4 = . . . k > −1, Γ(.) oznaˇcuje gamma funkci Jan Picek


L- MOMENTOVÁ METODA ˇ Odhady: Výberový L−moment: lr =

−1

r−1

n r−1 ... r−1 (−1)k Xir−k :n , r k 1≤i1
k=0

r = 1, 2, . . . , n. Speciálnˇe: 1

Xi , n i=1 n

l1 =

l2 =

−1 1 n 2 2

(Xi:n − Xj:n )

i>j

−1

1 n l3 = (Xi:n − 2Xj:n + Xk:n ) 3 3 i>j>k

−1

1 n l4 = (Xi:n − 3Xj:n + 3Xk:n − Xl:n ) 4 4 i>j>k>l

Jan Picek


L- MOMENTOVÁ METODA Odhady paramteru˚ – L-momentová metoda ˇ Rovnomerné na (a, b) a ˆ = l1 − 3l2 , a ˆ = l1 + 3l2 Normální N (µ, σ2 )

µ ˆ = l1 , = σ ˆ = π 1/2 l2


F (x) = exp[− exp(−(x − ξ)/α)] ξˆ = l1 − αγ, ˆ α ˆ = l2 / log 2 γ = 0.5772... konst.

ˇ ˇ Zobecnené rozdelení extrémních hodnot (GEV)

1

F (x) = exp[−(1 − k(x − ξ)/α) k ] z = 2/(3 + t3 ) − log 2/ log 3, kˆ = 7.8590z + 2.9554z 2, ˆ ˆ ˆ − 2−k )Γ(1 + k)], α ˆ = l2 k/[(1 ˆ ˆ ˆ ˆ + k) − 1]/k ξ = l1 + α[Γ(1 Jan Picek


L- MOMENTOVÁ METODA Výhody:

ˇ u˚ odhady mohou mít lepší Pro malé a stˇrední rozsahy výber vlastnosti než metoda maximální vˇerohodnosti napˇr. simulaˇcní studie (Hosking, Wallis, Wood) ukazuje, že pro všechna k GEV z ˇ do 100 mají odhady menší cˇ i intervalu (-0.5,0.5) a rozsah výberu srovnatelnou stˇrední kvadratickou chybu ve srovnání s odhady ˇ maximální verohodností Výpoˇcetneˇ jednoduchá, metoda maximální vˇerohodnosti pro ˇ ˇ nekterá rozdelení obtížnˇe aplikovatelná Ve srovnání s konvenˇcní metodou momentu˚ ménˇe citlivá na odlehlá pozorování (u vyšších momentu), ˚ Neexistence vyšších konven cˇ ních momentu, ˚ L-momenty ano. napˇr. GEV pro k < −1/3 neexistují tˇretí a cˇ tvrté momenty

Jan Picek



10

20

100

1000

ˇ metoda max. verohodnosti

34.1

34.9

36.3

37.9

L-momentová metoda

34.2

35.0

36.7

38.6

ˇ GEV rozdelení

Maximální dosažená hodnota za sledované období 36.2.

Jan Picek



10

20

100

1000


34.1

34.9

36.3

37.9

L-momentová metoda

34.2

35.0

36.7

38.6


34.4

35.3

38.4

42.2

L-momentová metoda

34.2

35.0

37.8

41.4

ˇ GEV rozdelení


Maximální dosažená hodnota za sledované období 36.2. Jan Picek


50

100

150

200

250

300

ˇ P RÍKLAD

1961

1970

1980

1990

2000

Maximální tˇrídenní úhrny srážek v letech 1961-2000 ve Valašském Mezi ˇríˇcí

Jan Picek


S RÁŽKY - L IBERECKO Stanice

srpen 2010

roky (bez)

roky (s)

Hejnice

179.0

156.9 (53.4 - 24 809)

78.2 (36.8 - 2 612.5)

Mníšek

160.0

305.4 (67.8 - 95 119)

89.9 (38.2 - 8 117.3)

Chrastava

135.5

1337.9 (87.1 - 1.848x106 )

66.1 (28.9 - 4 427.8)

Maˇrenice

124.2

1250.8 (140.6 - 1.608x106 )

153.0 (54.6 - 23 530)

Bedˇrichov

112.0

17.3 (13.1 - 42.7)

15.9 (12.3 - 36.2)

Liberec

98.9

45.0 (24.8 - 535.1)

35.2 (21.4 - 200.6)

Jan Picek


S RÁŽKY - L IBERECKO

Jan Picek


POT METODA ˇ Necht’ X1 , X2 , . . . jsou nezávislé stejneˇ rozdelené náhodné veliˇciny s ditr. funkcí F . Je "rozumné" zahrnovat všechny hodnoty pˇrekraˇcující daný vysoký práh (threshold) u. Chování extrémních událostí je dáno ˇ podmínˇenou pravdepodobností P (Xi > y|Xi > u) a P (Xi < y|Xi > u) → H(y), u → uend , ˇ Paretovo rozdelení ˇ zobecnené ⎧ −1/γ ⎪ ⎨ 1 − 1 + γ x−µ σ H(x) = ⎪ x−µ ⎩ 1 − e −( σ ) kde 1 + γ

x−µ σ

γ = 0 , γ=0

> 0.

ˇ než dostateˇcneˇ vysoký práh (threshold) a Uvažujeme hodnoty vetší pˇredpokládáme, že asymptotický výsledek je pˇribližnˇe pravdivý, tj. ˇ ˇ užijeme zobecnené Paretovo rozdelení jako vhodný model. Metoda je známa jako ‘peaks-over-threshold’ (POT). Jan Picek


POT Pˇríklad: Roˇcní maxima teploty vzduchu za období 1961-2007 Stanice Liberec Návratová hodnota (roky)

10

20

100

1000

34.2

35.0

36.7

38.6

treshold 26.50

34.1

34.6

35.5

36.7

treshold 29.37

34.3

34.9

36.1

37.5

ˇ GEV rozdelení L-momentová metoda POT

Maximální dosažená hodnota za sledované období 36.2. Jan Picek


T REND V DATECH

When a significant trend is present in the data, no fixed threshold in the POT models is suitable over longer periods of time: there are either too few (or no) exceedances over the threshold in an earlier part of records or too many exceedances towards the end of the examined period.

Jan Picek


T REND V DATECH Studovány maximální denní teploty v Evropˇe v letech 1961-2100 za úˇcelem odhadnout vysoké kvantily vysokých teplot. Použity výstupy ze dvou GCMs (‘Global Climate Models CM2.0 and CM2.1.) - denní simulovaná data pokrývající období 1961-2100 CM2.0 a CM2.1 jsou modely NOAA Geophysical Fluid Dynamics Laboratory. Mají horizontální rozlišení 2.5 × 2.0◦ (délka x šíˇrka) a 24 vertikálních úrovní. Pˇredpokládají vzrust ˚ koncentrace skleníkových plynu˚ - uvažuje se ˇ nekolik (7) scénáˇru. ˚ Pro každý uzlový bod a každý scénáˇr za období 2001-2100 byl threshold odhadnut jako 95% regresní kvantil. Soustˇredili jsme se 20-ti letou teplotu (20-yr return values), tj. na 95% kvantil (1-1/20) a srovnávali s "klasickými" POT modely uvažující 30leté periody 2021-2050 a 2071-2100 (jako threshold brán obvyklý 95% kvantil z dat daného období) Jan Picek


T REND V DATECH

Mean annual number of exceedances above the threshold (averaged over gridpoints) for the 95% regression quantile and the 95% quantile.

Jan Picek


T REND V DATECH

Differences between 20-yr return values of TMAX estimated using non-stationary POT model for year 2050 and stationary POT model over 2021-2050. Large (small) crosses mark gridpoints in which the estimated 90% (80%) CIs do not overlap. Jan Picek


T REND V DATECH

Differences between 20-yr return values of TMAX estimated using non-stationary POT model for year 2100 and stationary POT model over 2071-2100. Large (small) crosses mark gridpoints in which the estimated 90% (80%) CIs do not overlap. Jan Picek


ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT PRO

Recommend Documents