Newton vwo deel 3 Uitwerkingen Hoofdstuk 17 Ruimtevaart 16

Newton vwo deel 3

Uitwerkingen Hoofdstuk 17 – Ruimtevaart

16

17 Ruimtevaart 17.1 Inleiding Voorkennis 1 Ruimtevaart a De baan van een satelliet heeft de vorm van een ellips (een cirkel is een bijzondere ellips). b De wrijving is verwaarloosbaar, zodat er geen aandrijvende kracht nodig is om te blijven bewegen. Als er geen enkele kracht op een satelliet zou werken, zou hij eenparig in een rechte lijn voortbewegen. De zwaartekracht van de aarde zorgt er voor dat de bewegingsrichting van de satelliet voortdurend wordt afgebogen. Zodoende volgt de satelliet een elliptische baan rond de aarde. c Het gewicht is de kracht die een voorwerp op het ondersteunende vlak uitoefent. Een astronaut in een ruimtestation oefent geen kracht uit op eventuele aanrakingspunten in het station omdat hij of zij én het ruimtestation dezelfde (val)beweging uitvoeren. 2 Kracht en beweging a Voor de nettokracht (of resultante) geldt: Fr = m ⋅ a Als Fr dezelfde richting heeft als de beginsnelheid (of als de beginsnelheid nul is): 2 Fr = 0: De versnelling a = 0 m/s dus de snelheid v is dan constant (of nul). Het voorwerp voert dan een eenparige beweging uit langs een rechte lijn. Fr > 0: Het voorwerp voert een eenparig versnelde beweging langs een rechte lijn uit. Fr < 0: Het voorwerp voert een eenparig vertraagde beweging langs een rechte lijn uit. Als de resulterende kracht voortdurend loodrecht op de bewegingsrichting staat, voert het voorwerp een eenparige cirkelbeweging uit. Als Fr loodrecht staat op de richting van de beginsnelheid en in diezelfde richting blijft staan (zoals bij een horizontale worp), volgt het voorwerp een paraboolvormige baan. b A

s s (t ) = v ⋅ t

B

s (t ) =

C

s (t ) = v b ⋅ t +

D

s (t ) =

1 2

1 2

⋅a ⋅t2 1 2

⋅a ⋅ t2

⋅g ⋅t2

v v = constant

a a=0

Fr Fr = 0

v (t ) = a ⋅ t

a > 0 (constant)

Fr = m ⋅ a

v (t ) = v b + a ⋅ t

a < 0 (constant)

Fr = m ⋅ a

v (t ) = g ⋅ t

a=g

Fr = m ⋅ g

3 Kracht en ruimtevaart a Ja, de zwaartekracht veroorzaakt de kromlijnige beweging van de satelliet. Als er geen zwaartekracht was, zou de satelliet in een rechte lijn voortbewegen. Hoe hoger de satelliet zich bevindt, hoe kleiner de zwaartekracht is die op de satelliet werkt. b Ja, een satelliet ondervindt een kleine luchtwrijvingskracht. Satellieten in een lage baan rond de aarde, bijvoorbeeld op 300 km afstand van het aardoppervlak, worden daardoor langzamerhand afgeremd. Ze vallen op den duur terug naar de aarde, tenzij de snelheid met behulp van raketmotoren op peil wordt gehouden. Satellieten in een hoge baan, bijvoorbeeld geostationaire satellieten op 36 duizend km hoogte, ondervinden nauwelijks luchtwrijving. Hoe verder van het aardoppervlak, hoe ijler de atmosfeer en dus hoe kleiner de dichtheid wordt (zie BINAS tabel 30 B).

17.2 Rechtlijnige bewegingen Kennisvragen 5 Het beste is natuurlijk dat je het bestuderen van de tekst samen laat gaan met het maken van een schematische samenvatting of begrippenkaart. Vergelijk jouw schema met dat van andere leerlingen en probeer het zo compleet mogelijk te maken.

Newton vwo deel 3


17

6 De krachten zijn even groot, maar tegengesteld van richting. Volgens de derde wet van Newton (actie- en reactiewet) geldt: F1 = F2. Ze vormen een krachtenpaar. N.B. Beide krachten bestaan niet onafhankelijk van elkaar en je kun dus niet zeggen welke de actiekracht en welke de reactiekracht is. Je kiest zelf de actiekracht; de andere kracht mag je dan de reactiekracht noemen. Met evenveel recht had je ze andersom kunnen kiezen.

7 Fz = m · g 2 2 BINAS tabel 31: gaarde = 9,81 m/s ; gmaan = 1,63 m/s . 9,81 = 6,0. De verhouding is 1,63 8 Je kunt de waarden in de tabel berekenen met de formule: m ⋅m Fg = G ⋅ 1 2 2 r –11 2 –2 G = 6,6726·10 N·m ·kg (zie BINAS tabel 7), Voor m1 vul je bijvoorbeeld de massa 24 van de aarde maarde = 5,976·10 kg in (zie BINAS tabel 31). En voor m2 vul je in 1,0 kg. Je krijgt dan de gravitatiekracht op het voorwerp per kg.

6

r (10 m) 0 6,378 (= Raarde) 10 15 20

N.B. In het binnenste van de aarde neemt de gravitatiekracht evenredig toe met de afstand tot het middelpunt r. Hieronder is afgeleid waarom dit zo is: maarde ⋅ mvoorwerp m ⋅m Fg = G ⋅ 1 2 2 ⇒ Fg = G ⋅ r r2 De massa van het deel van het hemellichaam dat binnen de straal r valt, bepaalt de gravitatiekracht op de afstand r tot het middelpunt. (Wiskundig is aan te tonen dat het netto effect van de massa buiten de straal nul is.) mbinnen = V ⋅ ρ = 43 ⋅ π ⋅ r 3 ⋅ ρ

Fg = G ⋅

ma ⋅ mv

=G⋅

r2

Fg = G ⋅ 34 ⋅ π ⋅ ρ ⋅

r

3

4 3

10

Fg 6 (N) per kg

4

2

⋅ π ⋅ r 3 ⋅ ρ ⋅ mv r2

0

r2 c = constant aangenomen dat de dichtheid ρ niet verandert. Hieruit volgt dat Fg binnen het hemellichaam evenredig toeneemt met r . m1 ⋅ m 2 r2

Van de maan-aarde: Fg,maan = G ⋅

Fg,zon Fg,maan Fg,zon Fg,maan

10 Fg = G ⋅

G⋅

=

400

2

5

10

15

20

r (106 m) m zon ⋅ maarde 2 r zon

mmaan ⋅ maarde 2 rmaan

2 2 m zon rmaan m zon r zon = ⋅ 2 = m maan ⋅ m aarde m maan r zon mmaan G⋅ 2 rmaan

1

0

) van de zon-aarde kun je schrijven als: Fg,zon = G ⋅

m zon ⋅ m aarde

= 27 ⋅ 10 6 ⋅

aardoppervlak

8

⋅ mv = c ⋅ r ⋅ mv

9 De gravitatiekracht ( Fg = G ⋅

Fg,aarde (N) per kg 0 9,80 3,99 1,77 1,00

= 169

⎛r ⋅ ⎜ maan ⎜ r ⎝ zon

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

Afgerond:

Fg,zon Fg,maan

= 1,7·10

m1 ⋅ m 2

r2 –11 2 –2 G = 6,6726·10 N·m ·kg (zie BINAS tabel 7); m1 en m2 zijn beide 0,100 kg (= 100 g), r = 0,10 m.

Fg = 6,6726 ⋅ 10 −11 ⋅

(0,100)2 (0,10 )2

= 6,6726 ⋅ 10 −11 N

Fz = m · g = 0,100 · 9,81 = 0,981 N

Afgerond: Fg = 6,7·10

–11

N

Conclusie: de zwaartekracht is vele malen groter.

2

Newton vwo deel 3


11 De gravitatiekracht t.o.v. de aarde is te schrijven als Fg = G ⋅

18

maarde ⋅ m r2

Op het aardoppervlak met r = R (= straal van de aarde) is Fg = Fz = G ⋅

maarde ⋅ m

(= m · g ) R2 Op grotere hoogte neemt de gravitatiekracht af (en dus ook de valversnelling). m ⋅m m ⋅m Als deze 1% is afgenomen, dan is Fg = 0,99 ⋅ Fz ⇒ G ⋅ aarde = 0,99 ⋅ G ⋅ aarde r2 R2 Deze vergelijking is te vereenvoudigen tot: r 2 = R = 6,378·10 m ⇒ r = 6,378 ⋅ 10 6 ⋅ 6

6

R2 ⇒ r = 0,99

1 R2 =R⋅ 0,99 0,99

1 = 6,410 ⋅ 10 6 m 0,99 6

3

Hoogte h = r - R ⇒ h = 6,410·10 - 6,378·10 = 32,1·10 m

12 Fz,maan = G ⋅

mmaan ⋅ m 2 Rmaan

Afgerond: h = 32 km

. Daarnaast geldt net als op aarde: Fz,maan = m · gmaan ⇒ g maan = G ⋅

M.b.v. BINAS (tabel 31): g maan = 6,6726 ⋅ 10 −11 ⋅

0,0735 ⋅ 10 24

(1,738 ⋅ 10 )

6 2

= 1,6236 m/s

2

mmaan 2 Rmaan

Afgerond: gmaan = 1,62 m/s 2

Voor de gravitatieversnelling aan het oppervlak wordt de waarde van 1,63 m/s opgegeven. De afwijking ten opzichte van de hierboven berekende waarde is gering. Bij de bovenstaande berekening is de straal bij de evenaar gebruikt. Door de afplatting ten gevolge van de draaiing van de maan is de waarde voor de valversnelling bij de evenaar kleiner dan bij de polen. Conclusie: De gegevens zijn met elkaar in overeenstemming.

13 a Fn en F : F is de kracht (gewicht) van de persoon op de plank, Fn van de plank op de persoon. b Fn en Fz : deze zijn even groot en werken op dezelfde persoon in tegengestelde richting. c Het voorwerp staat stil, dus geen netto kracht (of Fr = 0). Dus is Fn = Fz. Omdat F en Fn een krachtenpaar vormen, is ook Fn even groot als F.

Fn

14 a Zie figuur hiernaast. b Fz,m is de zwaartekracht op de man uitgeoefend door de aarde; Fk is de duwkracht (gewicht) uitgeoefend door het kind; Fn is de normaalkracht uitgeoefend door de plank. c Fz,m = mm ⋅ g = 80 ⋅ 9,81 = 784,8 N Fk = Fz,k = mk ⋅ g = 40 ⋅ 9,81 = 392,4 N Fn = Fz,m + Fk = 784,8 + 392,4 = 1177,2 N

2

Afgerond: Fz,m = 7,8·10 N 2 Afgerond: Fk = 3,9·10 N Afgerond: Fn = 1,2 kN

Fk

15 A Het wiel oefent een achterwaartse kracht uit op het wegdek en het wegdek oefent een voorwaartse kracht uit op het wiel. B Het wiel oefent een voorwaartse kracht uit op het wegdek en het wegdek oefent een achterwaartse kracht uit op het wiel.

Fz,m

C Het wiel oefent weinig (wrijvings)kracht uit op het wegdek en het wegdek oefent daardoor ook weinig (voorwaartse) kracht uit op het wiel. D De schroef oefent een achterwaartse kracht uit op het water en het water oefent een voorwaartse kracht uit op de schroef. E De straalmotor oefent een achterwaartse kracht uit op de lucht en de lucht oefent een voorwaartse kracht uit op de straalmotor. 16 a Fgas = m gas ⋅ a gas met agas =

Δv gas

Δt 2 2 2 Het gas ondergaat per seconde een snelheidsverandering van 0 tot 5,0·10 m/s ⇒ a gas = 5,0·10 m/s 2 3 Afgerond: Fgas = 20 kN Fgas = 40 ⋅ 5,0·10 = 20·10 N

b De kracht van de raket op de uitgestoten brandstof is 20 kN. Volgens de derde wet van Newton werkt er een even grote kracht op de raket (en tegengesteld van richting). Verder werken er geen krachten op de raket, dus is de resulterende kracht op de raket Fr = 20 kN. Fr = mr ⋅ ar ⇒ ar =

Fr 20 ⋅ 10 3 = = 9,09 m/s 2 mr 2,2 ⋅ 10 3

2

Afgerond: a = 9,1 m/s

2

Newton vwo deel 3


19

Oefenopgaven 22 Caravan a Je weet de resulterende kracht op de auto en de caravan niet apart. Je kent immers de onderlinge kracht tussen auto en caravan niet. Je weet wel de resulterende kracht op de auto met caravan samen. Fr,t = Fv – Fw = mt ⋅ a ⇒ a =

Fv − Fw 1,56 ⋅ 10 3 − 0 2 = 1,20 m/s = 1000 + 300 mt


2

b Nu je de begin-versnelling kent die zowel de auto als de caravan krijgt, kun je de resulterende kracht op de caravan of auto uitrekenen omdat de afzonderlijke massa's gegeven zijn. Ook nu weer gaan we ervan uit de de wrijvingskrachten verwaarloosbaar zijn: Fw = 0 N Deelsysteem caravan: Ft,c = Fr,c = mc ⋅ a ⇒ Ft,c = 300 · 1,20 = 360 N Afgerond: Ft,c = 360 N Deelsysteem auto: Fr,a = Fv - Ft,c Daarnaast geldt ook dat Fr,a = ma ⋅ a ⇒ Fr,a = 1000 · 1,20 = 1200 N 3 1200 = 1,56·10 - Ft,c ⇒ Ook dit levert op dat Ft,c = 360 N 23 Vrachtwagen Gegeven: zie figuur hiernaast. a Aanhangwagen: de snelheid is constant dus Fr,a = 0 ⇒ ⇒ Fv,a = Fw,a = 1,2 kN

m = 10 .10 3 kg Fw,a = 1,2 .10 3 N

Vrachtwagen: Ook voor de vrachtwagen is Fr,v = 0 ⇒ 3 3 ⇒ Fvw = Fw,v + Fw,a = (2,4 + 1,2) ⋅10 = 3,6 ⋅10 N = 3,6 kN

Fvw

m = 15 .10 3 kg Fw,v = 2,4 .10 3 N

constante snelheid v = 50 km/h = 13,9 m/s 3

b Nieuw gegeven Fv wordt twee keer zo groot ⇒ Fv = 2 ⋅ 3,6 = 7,2 kN = 7,2⋅10 N; Fw,v en Fw,a blijven hetzelfde. • versnelling a: Voor de combinatie vrachtwagen-met-aanhanger geldt: Fr = mtotaal ⋅ a 3 3 Fr = Fv – (Fw,v + Fw,a) = (7,2 – 2,4 – 1,2)⋅10 = 3,6⋅10 N 3 3 mtotaal = (15 + 10 )⋅10 = 25⋅10 kg

3,6 ⋅ 103 = 25 ⋅ 103 ⋅ a ⇒ a =

3,6 ⋅ 10 3 25 ⋅ 10 3

= 0,144 m/s 2

• voorwaartse trekkracht Fv,a: Fr,a = Fv,a – Fw,a = ma ⋅ a of Fv, a = ma ⋅ a + Fw,a 3 3 3 Fv, a = 10⋅10 · 0,144 + 1,2⋅10 = 2,64⋅10 N


Afgerond: Fv,a = 2,6 kN

24 Honkbalwedstrijd Gevraagd: ve -3 Gegeven: vb = 90 km/h = 25 m/s; F = 750 N gedurende Δt = 12,5⋅10 s ; m = 0,145 kg.

a Fr = m ⋅ a ⇒ 144 ⋅ 10 3 = 10 ⋅ a ⇒ a =

750 = 5,172 ⋅ 10 3 m/s 2 0,145

2

Afgerond: a = 5,17·10 m/s

2

Δv b a = Δv ⇒ 5,172 ⋅ 10 3 = ⇒ Δv = 64,66 m/s Δt 12,5 ⋅ 10 − 3 Aangezien de kracht F bij een slag tegengesteld gericht is aan de beginsnelheid vb, moet je deze snelheidsverandering invullen met een min-teken: Δv = ve – vb = – 64,66 = ve – 25 ⇒ ve = – 64,66 + 25 = – 39,66 m/s Afgerond: v e = – 40 m/s N.B. Het min-teken geeft aan dat de snelheid tegengesteld gericht is t.o.v. de beginsnelheid.

25 Apollo-8 a Fg,a = Fg,m ma m m m = 2m G ⋅ 2a ⋅ mapollo = G ⋅ 2m ⋅ mapollo ⇒ (vergelijking 1) r a2 rm ra rm 6 Verder is de afstand van de aarde tot de maan 384,4·10 m (zie BINAS tabel 31). 6 Dus geldt: ra + rm = 384,4·10 m (vergelijking 2) Je hebt nu twee vergelijkingen gekregen met twee onbekenden. Die kun je oplossen.

Vervolg op volgende bladzijde.

2

Newton vwo deel 3


20

Vervolg van opgave 25. Eerste manier: 6 Je kunt vergelijking 2 omwerken tot rm = 384,4·10 – ra en invullen in vergelijking 1. Je krijgt dan: ma mm = 2 2 ra 384,4 ⋅ 10 6 − ra

(

)

24

BINAS tabel 31: mmaan = 0,0735·10 kg 24 en maarde = 5,976·10 kg Je kunt deze vergelijking oplossen met je grafische rekenmachine (zie nevenstaande schermafbeeldingen). Druk op Y=. en voer de vergelijkingen in (zie het linker schermpje). Stel de Xmin en Xmax waarde in onder WINDOW. (zie de afbeelding). Voer bij Xmax een waarde in die zeker groter is dan de afstand van de Apollo tot de aarde (hier: 4E8 = 400 duizend km). Druk op GRAPH. . Eventueel kun je de Y-as instellen met ZOOM. 0:ZoomFit. Toets in 2nd. [CALC] 5:intersect ENTER. ENTER. ENTER. . 8 Je ziet het resultaat in het scherm (zie de afbeelding): op een afstand van r = 3,460·10 m (=X) tot de aarde is de gravitatiekracht van de aarde en de maan even sterk. 8 Het is wel logisch dat je dan dichter bij de maan zit dan bij de aarde. Afgerond: r = 3,46·10 m Tweede manier: Je kunt ook vergelijking 1 omwerken tot: m 5,976 ⋅ 10 24 r a2 = a ⋅ rm2 ⇒ r a2 = ⋅ rm2 ⇒ ra2 = 81,3 ⋅ rm2 ⇒ ra = 9,02 · rm mm 0,0735 ⋅ 10 24 Als je dit invult in vergelijking 2, krijg je: 6 6 7 9,02 · rm + rm = 384,4·10 ⇒ 10,02 · rm = 384,4·10 ⇒ rm = 3,836·10 m 6 6 7 8 ra = 384,4·10 – rm = 384,4·10 – 3,836·10 = 3,460·10 m

8

Afgerond: r = 3,46·10 m

v 1 = 216 km/h = 60 m/s ???

vb = 0

26 Vliegtuigstart Gegeven: zie figuur hiernaast.

a Gevraagd: versnelling a1. v − vb v a = Δv = e ⇒ a1 = 1 Δt t1 Δt s1 < v > = s ⇒ t1 = t < v1 >

s1 = 1800 m

s2 = 600 m

Nieuwe onbekende: t1 Nieuwe onbekende:

Neem aan dat de beweging eenparig versneld is: < v > =

t 1 = 1800 = 60,0 s ⇒ a1 = 60 = 1,0 m/s 2 60,0 30

ve + vb ⇒ < v 1 > = 60 + 0 = 30 m/s 2 2 Afgerond: a1 = 1,0 m/s

2

b Voor het remmen werk je volgens dezelfde methode als hierboven met het verschil dat nu vb = v1 = 60 m/s en ve = 0 m/s , terwijl s2 = 600 m 2 < v 2 > = 0 + 60 = 30 m/s ⇒ t 2 = 600 = 20,0 s ⇒ a 2 = 60 = 3,0 m/s 2 Afgerond: a2 = 3,0 m/s 20,0 2 30 N.B. Bij deze opgave is de versnelling (of vertraging) ook te bepalen m.b.v. de formule s = 21 ⋅ a ⋅ t 2 waarbij t =

v v s en < v > = e respectievelijk < v > = b 2 2

Het rekenwerk is iets moeilijker.

Newton vwo deel 3


21

27 Schaatsrit Gegeven: schaatsafstand s = 500 m; schaatser: in 6,3 s een ve = 14 m/s. De schaatsrit moet je opdelen in 2 delen. Neem voor het eerste deel s1 aan dat de beweging eenparig versneld is. Voor het tweede deel s2 is de beweging eenparig ⇒ schaatsafstand s = s1 + s2 De eindtijd t = t1 + t2 = 6,3 + t2

Nieuwe onbekende: t2

v2 = ve = 14 m/s s 2 = v 2 ⋅ t2 . s = s1 + s2 ⇒ s2 = 500 – s1

Nieuwe onbekende: s2 Nieuwe onbekende: s1

Afstand s1 met eenparig versnelde beweging en vb = 0: s1 = ⋅ t1 v + vb < v1 > = e ⇒ < v1 > = 14 + 0 = 7,0 m/s 2 2 s1 = 7,0 ⋅ 6,3 = 44,1 m s2 = 500 – 44,1 = 455,9 m 455,9 455,9 = 14 ⋅ t 2 ⇒ t 2 = = 32,56 s 14 t = 6,3 + 32,56 = 38,86

Nieuwe onbekende:

Afgerond: t = 39 s

28 Neutronenster a Vbol =

4 3

⋅π⋅r3 ⇒ r = 3

V 4 3

Nieuwe onbekende: V

⋅π

Dichtheid: ρ = m · V ⇒ V =

m ρ

Nieuwe onbekende: m

90% stermassa wordt weggeslingerd ⇒ 10% blijft over. BINAS (tabel 32 C): mzon = 1,989·10

V = r =3

5,967 ⋅ 10

29

1017

5,967 ⋅ 1012 4 3

⋅π

12

= 5,967·10

30

kg ⇒ mneutronenster = 0,10 · 3 · 1,989·10

mn ⋅ m Rn2

.

Daarnaast geldt net als op aarde: Fz,n = m · gn ⇒ g n = G ⋅

(11,25 ⋅ 10 )

kg

Afgerond: r = 11 km

b Op het oppervlak is Fz,n = Fg,n = G ⋅

3 2

29

3

3

5,967 ⋅ 10 29

= 5,967·10

m

= 11,25·10 m

g n = 6,6726 ⋅ 10 −11 ⋅

30

11

= 3,146·10

m/s

2

mn Rn2 Afgerond: g = 3,2·10

11

2

m/s

17.3 Kromlijnige bewegingen Kennisvragen 29 Probeer na het bestuderen van de tekst weer een schematische samenvatting of begrippenkaart van deze paragraaf te maken. Vergelijk jouw schema met dat van andere leerlingen en ga na of je het wilt veranderen en/of aanvullen. Bespreek het structuurschema in de klas en maak het zo compleet mogelijk. 30 De kracht is recht omlaag gericht (verticaal) en de beginsnelheid is horizontaal van richting. In horizontale richting verandert de snelheid niet (als de wrijving tenminste verwaarloosd mag worden). In verticale richting voert het voorwerp een eenparig versnelde (val)beweging uit. De resulterende snelheid (de optelling van de horizontale en verticale snelheidsvector) wordt steeds groter en meer verticaal gericht.

Newton vwo deel 3


31 Gegeven: h = 100 m; vx = 5,0 m/s; F w,l = 0 (verwaarloosbaar). Voor de horizontale richting geldt: s x (t ) = v x ⋅ t en voor de verticale richting: s y (t ) =

1 2

⋅ g ⋅ t2

s y (t ) =

1 2

⋅g ⋅t2 ⇒ t = x(t) (m) 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 22,6

t (s) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 4,52

= g y(t) (m) 0,0 4,9 19,6 44,1 78,5 100

x(m) 0

0

5

10

15

20

25

20

Met deze formules zijn de enkele waarden te berekenen (zie tabel hieronder). Het tijdstip waarop het voorwerp de grond raakt is als volgt berekend: 2 ⋅ s y (t )

22

40

2 ⋅ 100 = 4,52 s 9,81

60 tegenwind

y(t) (m)

80 100 luchtwrijving

De x-as en de y-as zijn niet 1:1 getekend, omdat de parabool dan erg smal wordt. Als er sprake is van tegenwind is de valtijd gelijk (als je de luchtwrijving in verticale richting mag verwaarlozen). De baan is geen echte parabool meer. Als er sprake is van luchtwrijving nemen de horizontale en verticale snelheid af en daardoor neemt de valtijd toe. De grootte van de wrijvingskracht bepaalt hoe sterk de baan verandert.

32 a De voorwerpen raken tegelijk de grond. De eenparig versnelde (val)beweging in verticale richting is immers hetzelfde. b Het voorwerp met de grootste snelheid (van 10 m/s) heeft in dezelfde (val)tijd de grootste verplaatsing in horizontale richting. c s x (t ) = v x ⋅ t

s y (t ) =

1 2

⋅g ⋅t2 ⇒ t =

2 ⋅ s y (t ) g

=

2 ⋅ 100 = 4,52 s 9,81

Eerste voorwerp:

s x (t ) = v x ⋅ t = 5,0 · 4,52 = 22,6 m

Afgerond: sx = 23 m

Tweede voorwerp:

s x (t ) = v x ⋅ t = 10 · 4,52 = 45,2 m

Afgerond: sx = 45 m

d s x (t ) = v x ⋅ t

s y (t ) =

1 2

⋅g ⋅t2 ⇒ t =

2 ⋅ s y (t ) g

=

2⋅h g

Dit is het tijdstip waarop het voorwerp de grond raakt.

2⋅h g

s x (t ) = v x ⋅

33 a Het voorwerp dat van 100 m hoogte valt. De voorwerpen voeren dezelfde eenparig versnelde valbeweging uit. Het eerste voorwerp raakt dus eerder de grond. b De val van het voorwerp dat van 200 m hoogte valt duurt langer. Het voorwerp heeft een grotere valtijd en dus ook een grotere verplaatsing in horizontale richting. c Eerste voorwerp:

s y (t ) =

1 2

⋅g ⋅t2 ⇒ t =

2 ⋅ s y (t ) g

=

2 ⋅ 100 = 4,52 s 9,81

s x (t ) = v x ⋅ t = 5,0 · 4,52 = 22,6 m

Afgerond: sx = 23 m

Tweede voorwerp:

s y (t ) =

1 2

⋅g ⋅t2 ⇒ t =

2 ⋅ s y (t ) g

=

2 ⋅ 200 = 6,39 s 9,81

s x (t ) = v x ⋅ t = 5,0 · 6,39 = 31,9 m

d s x (t ) = v x ⋅

2⋅h g

Afleiding: zie vraag 42 d.

Afgerond: sx = 32 m

Newton vwo deel 3


23

34 Vlakbij het aardoppervlak is de kracht steeds loodrecht naar beneden gericht. Bij het ‘vallen’ van de maan staat de kracht steeds loodrecht op de bewegingsrichting. De snelheid verandert dus wel van richting, maar niet van grootte. 35 Een voorwerp voert een eenparige cirkelbeweging uit als de kracht voortdurend loodrecht op de bewegingsrichting staat en de snelheid voortdurend de richting heeft van de raaklijn aan de cirkel. De kracht en de snelheid veranderen niet van grootte. De kracht en de snelheid veranderen voortdurend van richting (namelijk loodrecht op respectievelijk langs de raaklijn aan de cirkel). 36 Baansnelheid: Hoeksnelheid:

A v = 2π ⋅ ω=

v = ω ⋅ r = 2π ⋅

ω=

r T

2π ϕ ( t ) = T t

Deze formules zijn ook te vinden in BINAS (tabel 35 A3). Gegevens over de aarde zijn te vinden in BINAS (tabel 31).

0,015 –3 = 1,57·10 m/s 60

2π = 0,1047 rad/s 60

6,378 ⋅ 106 = 464 m/s 24 ⋅ 60 ⋅ 60 2π –5 ω= = 7,27·10 rad/s 24 ⋅ 60 ⋅ 60

B v = 2π ⋅

0 = 0 m/s 24 ⋅ 60 ⋅ 60 2π –5 ω= = 7,27·10 rad/s 24 ⋅ 60 ⋅ 60

C v = 2π ⋅

0,1496 ⋅ 1012 4 = 2,98·10 m/s 365,256 ⋅ 24 ⋅ 3600 2π –7 = 1,99·10 rad/s ω= 365,256 ⋅ 24 ⋅ 3600

D v = 2π ⋅

Afgerond: v = 1,6 mm/s Afgerond: ω = 0,10 rad/s 2

Afgerond: v = 4,64·10 m/s Afgerond: ω = 7,27·10

–5

rad/s

–5

rad/s

Afgerond: v = 0 m/s Afgerond: ω = 7,27·10

4

Afgerond: v = 2,98·10 m/s Afgerond: ω = 1,99·10

–7

rad/s

37 Gegeven: r = 34 cm; v = 20 km/h = 5,56 m/s. • De baansnelheid is gelijk aan de snelheid van de fietser. v 5,56 • v = ω ⋅r ⇒ ω = = = 16,4 rad/s r 0,34 1 • f = T 2π 2π 2π ω= ⇒T = = 0,383 s = T ω 16,4 1 –1 f = = 2,61 s 0,383

Afgerond: v = 5,6 m/s Afgerond: ω = 16 rad/s

Afgerond: f = 2,6 Hz

38 A De wrijvingskracht die het wegdek uitoefent op de banden van de auto. Bij een hellende bocht functioneert (ook) de naar het middelpunt gerichte component van de zwaartekracht als middelpuntzoekende kracht. B De combinatie van zwaartekracht en normaalkracht. C De combinatie van spankracht in de kabels van de zweefmolen en zwaartekracht op de zweefstoel. D De gravitatiekracht van de aarde op de maan.

Newton vwo deel 3


24

39 a De spankracht in het touw is gelijk aan de middelpuntzoekende kracht. BINAS (tabel 35 A3): Fmpz =

2,5 ⋅ 3,62 m ⋅v 2 = Fspan ⇒ Fspan = = 16,2 N r 2,00

r = 200 cm = 2,00 m

v = 3,6 m/s

b Fbreek = 20 N Uit Fmpz =

Afgerond: Fspan = 16 N

m ⋅v 2 ⇒v = r

Fmpz ⋅ r m

20 ⋅ 0,60 = 4,67 m/s 0,55 Afgerond: v = 4,7 m/s

M

=

m = 2,5 kg

moment van breken

c De steen heeft een horizontale snelheid en volgt de baan van een horizontale worp. De steen beweegt in de richting van de raaklijn aan de cirkel. 3

3

6

4

40 Gegeven: ms = 2,1⋅10 kg; h = 10,4⋅10 km = 10,4⋅10 m boven aardoppervlak; Ts = 6,0 u = 2,16⋅10 s. Fmpz =

m ⋅ v s2 rs

Nieuwe onbekenden: vs en rs

v is de baansnelheid langs de cirkelbaan: v s =

2 ⋅ π ⋅ rs Ts

rs = Raarde + h 6 BINAS (tabel 31): Raarde = 6,378·10 m 6 6 6 rs = 6,378⋅10 + 10,4⋅10 = 16,778⋅10 m 2 ⋅ π ⋅ 16,778 ⋅ 10 6

vs =

2,1⋅ 103 ⋅ 48812 16,778 ⋅ 10 6

Nieuwe onbekenden: Raarde

= 4881 m/s

2,16 ⋅ 10 4

Fmpz =

Nieuwe onbekenden: rs

= 2981N

Afgerond: Fmpz = 3,0 kN

N.B. De middelpuntzoekende kracht wordt geleverd door de gravitatiekracht.

41 M.b.v. Fmpz = Fg ⇒

m ⋅v 2 m ⋅M =G ⇒ v2 ⋅r = G ⋅M r r2

En m.b.v.: v =

T 2 4 ⋅ π2 2⋅π⋅r = ⇒ T r3 G ⋅M

Dit is de derde wet van Kepler voor een cirkelbaan. Hieruit is af te leiden dat M =

4 ⋅ π2 r 3 ⋅ G T2

In BINAS (tabel 7 en 31) vind je de waarden van G, r en T: M=

42

4 ⋅π 2 6,6726 ⋅ 10 −11

⋅

(384,4 ⋅ 10 )

6 3

(27,32 ⋅ 24 ⋅ 3600 )2

= 6,0315·10

24

Afgerond: M = 6,032·10

kg

24

kg

4 ⋅ π2 r 3 4 ⋅ π2 ⋅ (zie eerste regel bij uitwerking opg. 41) ⇒ M = G T2 G ⋅M r In BINAS (tabel 7 en 31) vind je de waarden van G en Rmaan: 6 3 6 r = Rmaan + h = 1,738·10 + 112·10 = 1,850·10 m

T2 3

M=

=

4 ⋅π 2 6,6726 ⋅ 10 −11

⋅

(1,850 ⋅ 10 )

6 3

(120,5 ⋅ 60)2

= 7,1664·10

22


kg

22

kg

11

m

43 Voor een planeet om de zon geldt (zie eerste regel bij uitwerking opg. 41: T2 r3

2

=

T T 4 ⋅ π2 = constant ⇒ a3 = m3 G ⋅ M zon ra rm

2

⇒ rm = 3

Tm 2 Ta 2

⋅ ra 3

Omdat het om een verhouding gaat, kun je de tijd in dagen invullen: rm = 3

6872 365

2

(

⋅ 1,50 ⋅ 1011

)

3

11

= 2,287·10

m

Afgerond: rm = 2,29·10

Newton vwo deel 3


25

3

44 Gegeven: polaire satelliet met Ts = 2,5 u = 9,0⋅10 s. h = r – Raarde T

2

r3

=

Nieuwe onbekenden: r en Raarde 2

4⋅π G ⋅M

(zie eerste regel bij uitwerking opg. 41) ⇒ r = 3

In BINAS (tabel 7 en 31) vind je de waarden van G, Raarde

r =3

T 2 ⋅G ⋅ M 2

=3

(9,0 ⋅ 10 ) ⋅ 6,6726 ⋅ 10 3 2

4 ⋅π 4 ⋅π 6 6 6 h = 9,35·10 – 6,378·10 = 2,98·10 m

2

−11

⋅ 5,976 ⋅ 10 24

T 2 ⋅G ⋅ M

4 ⋅π2 Nieuwe onbekenden: G en M en Maarde. 6

= 9,35·10 m 6

Afgerond: h = 3,0·10 m

45 De gravitatiekracht Fg is naar het middelpunt van de aarde gericht en doet dienst als middelpuntzoekende kracht Fmpz. Het middelpunt van een baan loodrecht boven Nederland ligt echter niet in het middelpunt van de aarde maar ergens op de aardas. De gravitatiekracht kan dus niet de middelpuntzoekende kracht leveren die nodig is voor een baan boven Nederland. 46 a Als de aarde 180º gedraaid is, bevindt de baan van de satelliet zich weer recht boven hetzelfde punt (van A* naar B*). 12 ⋅ 60 Na 180º draaien, dus na 12 uur, heeft deze satelliet = 8 omlopen 90 gemaakt. De satelliet bevindt zich op dat moment echter weer op precies hetzelfde punt als eerst d.w.z. in positie A dus boven A* aan de andere kant van de aarde. Na 360º draaien,dus na 24 uur, bevindt de satelliet zich wel weer precies boven hetzelfde punt d.w.z. na 16 omlopen.

satelliet

B

A A*

2π 2π –3 = 1,16·10 rad/s = T 90 ⋅ 60 2π 2π –5 De hoeksnelheid van de satelliet is: ω = = 7,27·10 rad/s = T 24 ⋅ 60 ⋅ 60

180°

B*

b De hoeksnelheid van de satelliet is: ω =

Als de aarde zou stilstaan: Dan zou de satelliet een hoek moeten afleggen van ϕs(t) = 2π (eenheid: rad). Daar doet de satelliet 90 minuten over.

A* A

satelliet

Als de satelliet met de draairichting van de aarde meebeweegt: Dan moet de satelliet niet alleen het rondje (2π) afleggen, maar ook nog de door de aarde afgelegde hoek: ϕs(t) = 2π + ϕa(t) ϕ(t) = ω · t ⇒ ωs · t = 2π + ωa · t ⇒ ωs · t – ωa · t = 2π 2π 2π 3 t = = 5,78·10 s = 96,3 min Afgerond: t = 96 min = ω s − ω a 1,16 ⋅ 10 −3 − 7,27 ⋅ 10 −5 Als de satelliet tegen de draairichting van de aarde in beweegt: Dan moet de satelliet minder dan één rondje (2π) afleggen. De door de aarde afgelegde hoek gaat eraf: ϕs(t) = 2π – ϕa(t) ⇒ ωs · t = 2π – ωa · t ⇒ ωs · t + ωa · t = 2π 2π 2π 3 t = = 5,10·10 s = 85,0 min Afgerond: t = 85 min = − 3 ω s + ω a 1,16 ⋅ 10 + 7,27 ⋅ 10 −5 vb NL c Een satelliet die pal oostwaarts wordt gelanceerd zal toch een gravitatiekracht Fg ondervinden die naar het middelpunt M Fg van de aarde gericht is. Deze kracht zal als middelpuntzoekende M kracht Fmpz fungeren waardoor de satelliet een cirkelbaan gaat beschrijven in een 'hellend vlak' t.o.v. de aarde. Deze baan ligt voor de helft boven het zuidelijk halfrond.

d De plaats van Nederland is niet uniek. Voor elke plaats waarbij een satelliet pal oostwaarts (of westwaarts) wordt gelanceerd geldt hetzelfde als bij vraag c. Een satelliet die vanuit Nederland pal noordwaarts of zuidwaarts zou worden gelanceerd, zou een polaire baan krijgen. Ook deze baan ligt voor de helft boven het zuidelijke halfrond. En ook als de satelliet in willekeurige richting wordt gelanceerd, zal er een cirkelbaan ontstaan met het middelpunt van de aarde als middelpunt, waardoor ook deze baan voor de helft boven het zuidelijk halfrond ligt (zie figuur).

polaire baan

NL

vb

Newton vwo deel 3


26

47 Bij het nemen van de bocht levert de wrijvingskracht Fw tussen wegdek en banden de benodigde middelpuntzoekende kracht Fmpz. Voor deze wrijvingskracht geldt: Fw,max = f ⋅ Fn Hierbij is Fn = Fz = m ⋅ g De snelheid is veilig als Fmpz ≤ Fw,max : m ⋅v2 = f ⋅m⋅g ⇒ v = f ⋅g ⋅r r Bij een nat wegdek is de maximale wrijvingskracht kleiner omdat de wrijvingscoëfficiënt f daar kleiner is. Uit de afgeleide formule volgt daarmee ook dat de veilige snelheid dan kleiner is. Fmpz = Fw,max ⇒

48 In het hoogste punt van een looping is de resulterende kracht Fr = Fz + Fn. Deze resulterende kracht levert de benodigde middelpuntzoekende kracht Fmpz om in de 'cirkelbaan' te blijven. Hoe groter je snelheid is, hoe meer je in je stoel gedrukt wordt en dus hoe groter de normaalkracht Fn is. Zolang er een normaalkracht Fn aanwezig is, zit je goed en is Fmpz ≥ Fz. Als de snelheid te klein is, kom je los van de baan en zou je uit je stoel kunnen vallen.. De snelheid is minimaal (en daarmee de benodigde Fmpz,min) als Fmpz,min = Fz. Dus als

m ⋅ v min r

2

2

= m ⋅ g ⇒ v min =

m⋅g ⋅r m

⇒ v min = g ⋅ r = g ⋅ r Als de snelheid vmin in km/h is: v min = 3,6 ⋅ g ⋅ r Je kunt de grafiek tekenen met je grafische rekenmachine (zie de schermafbeeldingen). Met de trace-functie kun je voor verschillende waarden van de straal van de looping de minimale snelheid bepalen.

49 Bij een hellend wegdek staat de zwaartekracht Fz niet loodrecht op het wegdek. Deze is dan te ontbinden in een component Fz,y en Fz,x (zie figuur hiernaast). Fz,x en Fw liggen in dezelfde richting. Optellen levert Fx = Fz,x + Fw Fx,h De horizontale component Fx levert dan de middelpuntzoekende kracht Fmpz. Deze is groter dan in de situatie van een horizontaal wegdek, waarin alleen de wrijvingskracht Fw de Fmpz levert. Fw Fx N.B.: Doordat de component F wat kleiner is dan F zal ook z,y

Fz,x

z

de normaalkracht Fn wat kleiner zijn. Dit betekent dat Fw,max = f · Fn (= f · m · g) ook wat kleiner zal zijn. Dit nadeel weegt echter niet op tegen het voordeel.

Fz

Fz,y

Oefenopgaven 53 De maan 3 Gegeven: cirkelvormige baan van maan met v = 1,02 km/s = 1,02⋅10 m/s. 3

en r = 484,4⋅10 km; 21 m = 73,53⋅10 kg.

a Eenparige beweging (constante baansnelheid): v = s ⇒ T = s t v s is omtrek van cirkelbaan: s = 2 ⋅ π ⋅ r 6 BINAS (tabel 31): r = 484,4⋅10 m 6 6 s = 2 ⋅ π ⋅ 384,4⋅10 = 2415⋅10 m

Nieuwe onbekende: s Nieuwe onbekende: r

6 T = 2415 ⋅ 103 = 2,368 ⋅ 10 6 s = 27,41 dagen 1,02 ⋅ 10 N.B. BINAS geeft in tabel 31 als antwoord 27,32 d.

b Eerste manier: m ⋅m Fg,maan = G ⋅ maan2 aarde rmaan Fg,maan = 6,6726 ⋅ 10 −11 ⋅ Tweede manier: Fmpz =

Afgerond: T = 27,4 dagen

In BINAS (tabel 7 en 31) vind je de waarden van G, mmaan en maarde.

0,0735 ⋅ 10 24 ⋅ 5,976 ⋅ 10 24

= 1,9835·10

(384,4 ⋅ 10 )

6 2

(

m ⋅v2 0,07353 ⋅ 10 24 ⋅ 1,02 ⋅ 10 3 ⇒ Fmpz = r 384,4 ⋅ 10 6

Conclusie: De uitkomsten komen overeen.

)

20

N

Afgerond: Fg,maan = 1,98·10

20

N

2

= 1,990 ⋅ 10 20 N 20

Afgerond: Fmpz = 1,99⋅10 N = 199 EN 18 (N.B. E = exa = 10 zie BINAS tabel 2)

Newton vwo deel 3


27

54 Superslag Als de luchtwrijving te verwaarlozen is aan het aardoppervlak zou Fmpz = Fg zijn: m ⋅m r m ⋅m G ⋅ ma m ⋅v 2 =G⋅ a2 ⇒ v2 =G⋅ a2 ⋅ ⇒ v= m r r r r In BINAS (tabel 7 en 31) vind je de waarden van G, ma en ra. We nemen hierbij aan dat de baanstraal r van het voorwerp dezelfde is als raarde. 6,6726 ⋅ 10 −11 ⋅ 5,976 ⋅ 1024

v=

6

3

3

Afgerond: v = 7,9·10 m/s

= 7,91·10 m/s

6,378 ⋅ 10 Dit is de snelheid die je ter hoogte van het aardoppervlak nodig hebt. Dit is dus inderdaad ongeveer 8 km/s.

55 Manen van Jupiter Voor de satellieten (manen) om een planeet geldt (zie ook eerste regel bij uitwerking opg. 41): T2 r3

=

4 ⋅ π2 T2 ⇒ = constant (ook wel de derde wet van Kepler genoemd). G ⋅ Mplaneet r3

Dit kun je controleren voor de manen van Jupiter: 1,77 2 Io: = 0,0142 Europa: 6,04 3

7,15 2

9,62 3

= 0,0142

16,7 2

= 0,0142 15,3 3 27,0 3 De waarnemingen zijn in overeenstemming met de derde wet van Kepler. Ganymedes:

= 0,0143

3,55 2

Callisto:

56 Auto in de bocht 3 Gegeven: m = 850 kg; v = 50 km/h = 13,9 m/s; Fw,max = 7,1 kN = 7,1⋅10 N. a Figuur 21 is weergegeven met schaal 1 : 500 d.w.z. 1 cm op papier is 500 cm = 5 m in werkelijkheid. Als je een cirkel probeert te tekenen door het deel van de bocht dan blijk je een cirkel te krijgen met een straal van ongeveer 1,0 cm. Dus in werkelijkheid heeft de auto op dat wegdeel een cirkelbeweging met straal r = 1,0 ⋅ 5 = 5,0 m b Fmpz =

850 ⋅ 13,9 2 m ⋅v2 ⇒ Fmpz = = 32,85 ⋅ 10 3 N 5,0 r

Afgerond: Fmpz = 33 kN

c De wrijvingskracht tussen wegdek en banden doet dienst als middelpuntzoekende kracht. Volgens de gegevens is Fw,max = 7,1 kN ⇒ Fmpz,max = 7,1 kN m ⋅v2 ⇒ als de snelheid toeneemt, wordt de benodigde Fmpz ook groter. r Op een bepaald moment geldt Fmpz > Fw,max.: er is meer kracht nodig dan er feitelijk door de wrijvingskracht geleverd kan worden. De auto blijft dan niet in de cirkelbaan van het wegdek maar schiet door naar een cirkelbaan met grotere straal r d.w.z. hij vliegt uit de bocht.

d Fmpz =

e De auto komt veilig door de bocht als Fmpz = Fw,max ⇒ ⇒

850 ⋅ v 2 = 7,1 ⋅ 10 3 ⇒ v = 5,0

57 Boogschieten Gegevens zie figuur hiernaast.

m ⋅v 2 = Fw,max ⇒ r

5,0 ⋅ 7,1 ⋅ 103 = 6,46 m/s 850 m = 0,125 kg

M

v =?

x a De horizontale snelheid wordt gekregen doordat de boog gedurende korte tijd 1,70 m een kracht F op de pijl uitoefend. Als we eventuele wrijvingskrachten daarbij verwaarlozen geldt: F = Fr . v −0 ⇒ M.b.v. Fr = m · a en a = Δv = x Δt Δt is dit verband ook te schrijven als Fr ⋅ Δt = m ⋅ v x


Afgerond: v = 6,5 m/s = 23 km/h

? 1,50 m

30,0 m

Newton vwo deel 3


28

Vervolg van opgave 57. Aangezien Fr niet constant is moet je gebruik maken van het diagram: ' Fr ⋅ Δt ' is bepalen m.b.v. de oppervlaktemethode toegepast op de grafiek vx =

oppervlak m

oppervlak =

vx =

Het oppervlak is te benaderen met een driehoek (zie figuur). 1 2

⋅ 260 ⋅ 125 ⋅ 10 −3 = 16,25

oppervlak 16,25 = = 130 m/s m 0,125

Afgerond: vx = 130 m/s

b De roos bevindt zich 20 cm lager dan het punt van wegschieten. sy(t) is de verticale afstand die de pijl daalt. s y (t ) = 21 ⋅ g ⋅ t 2 Nieuwe onbekende: t s x (t ) = v x ⋅ t ⇒ t =

s y (t ) =

1 2

⋅g ⋅t2 =

1 2

s x (t ) 30,0 = = 0,2308 s vx 130

⋅ 9,81 ⋅ 0,2308 2 = 0,261 m

De pijl komt dus 26,1 – 20 = 6,1 cm onder de roos terecht.

Afgerond: 6,1 cm onder de roos

58 Ravijn Gegeven: hoogteverschil sy = 2,1 m; overbrugging sx = 10 m. Gevraagd: vx s (t ) s x (t ) = v x ⋅ t ⇒ v x = x Nieuwe onbekende: t t

s y (t ) = vx =

1 2

⋅g ⋅t2 ⇒ t =

2 ⋅ s y (t ) g

=

2 ⋅ 2,1 = 0,654 s 9,81

s x (t ) 10 = 15,3 m/s = 55,0 km/h = t 0,654

Afgerond: vx = 55 km/h

59 Observatiesatelliet Gegeven: Spot-4 heeft cirkelbaan met T = 1 uur, 39 min. en 44 s = 5984 s. 4 Artemis heeft geostationaire baan ⇒ T = 24 uur = 8,64·10 s. a h = r – R (R = straal van de aarde)

T2

4 ⋅π2 T 2 ⋅G ⋅ M (afleiding zie eerste regel bij uitwerking opg. 41) ⇒ r = 3 G⋅M 4 ⋅ π2 r In BINAS (tabel 7 en 31) vind je de waarden van G, M en R. 3

=

r =3

5984 2 ⋅ 6,6726 ⋅ 10 −11 ⋅ 5,976 ⋅ 1024

6

= 7,1248·10 m 4 ⋅π 2 6 6 6 h = r – R = 7,1248·10 – 6,378·10 = 0,7469·10 m

b Een geostationaire satelliet draait in 24 uur een rondje om de aarde. 2π 2π –5 ωA = = = 7,27·10 rad/s TA 8,64 ⋅ 10 4

5

Afgerond: h = 7,47·10 m Afgerond: ωA = 7,27·10

–5

rad/s

c De Spot-4 heeft zicht op aardstation P in het baanstuk tussen de stippen boven en onder P (zie onderstaande figuur). Er passen ongeveer 7,7 van die baanstukken in de hele cirkelbaan van de Spot-4 (zie de stippellijntjes). Eén omloop duurt 5984 s. 5984 = 777 s = 13 minuten direct met aardstation P communiceren. De Spot-4 kan dus 7,7 N.B. Hierbij is geen rekening gehouden met van de aarde! d Zie onderstaande figuur: teken vanuit Artemis twee raaklijnen aan de bolling van de aarde. Je ziet dat dat Spot-4 nu meer dan de helft van zijn omlooptijd via Artemis met P kan communiceren.

Newton vwo deel 3


29

60 De derde wet van Kepler a Volgens de gravitatietheorie levert de gravitatiekracht de middelpuntzoekende kracht die nodig is om een planeet om de zon te laten draaien of een satelliet om de aarde. Fmpz = Fg m ⋅v 2 M ⋅m =G⋅ 2 r r

Hierbij is M de massa in het middelpunt en m de massa die rondcirkelt.

Baansnelheide v =

2π ⋅ r T

Vul deze uitdrukking voor de baansnelheid v in de vorige vergelijking in.

m 4 ⋅ π2 ⋅ r 2 M ⋅m r3 G ⋅M ⋅ =G⋅ 2 ⇒ 2 = 2 r T r T 4 ⋅ π2 T

De waarde van

⇒

T2 r

3

=

4 ⋅ π2 G ⋅M

2

is dus alleen afhankelijk van de massa M die in het centrum staat r3 waarbij M = Mz voor een planeet om de zon ra en M = Mp voor een satelliet om een planeet.

b Gegeven: (kortste) afstand tussen aarde 10 en Venus is s = 4,1·10 m. Gevraagd: ra Ta 2 ra

3

=

rV

a

zon

V

Tv 2

rv 3 BINAS (tabel 31): Ta = 365,256 d en TV = 224,7 d. 10 10 Uit figuur: ra = rv + 4,1·10 m ⇒ rv = ra – 4,1·10 m

s = 4,1·1010 m Nog onbekend: rv

Invullen in de eerste vergelijking levert: Ta 2 ra 3

=

(r

a

365,256 2 ra

3

Tv 2 − 4,1⋅ 1010 =

)

3

224,7 2

(r

)

3

− 4,1⋅ 1010 Je hoeft Ta en Tv niet om te rekenen, als je ze beide maar in dezelfde eenheid invult (de eenheid van tijd valt weg). a

Eerste manier: Je kunt deze vergelijking oplossen met je grafische rekenmachine (zie bovenstaande schermafbeeldingen). Druk op Y=. en voer de vergelijkingen in (zie het linker schermpje). Stel de Xmin en Xmax waarde in onder WINDOW. (zie de afbeelding). Voer bij Xmax een waarde in die 9 zeker groter is dan de afstand van de aarde tot de zon (hier: 200·10 = 200 miljoen km). Je weet immers dat de afstand van de aarde tot de zon ongeveer 150 miljoen kilometer bedraagt. Druk op GRAPH. . Eventueel kun je de Y-as instellen met ZOOM. 0:ZoomFit. Toets in 2nd. [CALC] 5:intersect ENTER. ENTER. ENTER. . Je ziet het resultaat in het scherm (zie de afbeelding): de aarde staat op een afstand 11 11 van ra = 1,48·10 m (=X) tot de zon. Afgerond: ra = 1,5·10 m Tweede manier: 365,256 2 ra

3

=

(r

a

224,7 2

3

⇒ ra =

)

10 3

− 4,1⋅ 10

365,256 2 224,7 2

(

⋅ ra − 4,1 ⋅ 1010

)

3

(

)

⇒ r a = 3 2,642 ⋅ r a − 4,1 ⋅ 1010 ⇒

r a = 1,382 ⋅ r a − 1,382 ⋅ 4,1 ⋅ 1010 ⇒ (1,382 − 1) ⋅ ra = 1,382 ⋅ 4,1 ⋅ 10 10 ⇒ ra =

1,382 ⋅ 4,1 ⋅ 1010 11 = 1,483·10 m 0,382

Afgerond: ra = 1,5·10

(

)

3

4 ⋅π 2 r 3 4 ⋅π 2 0,1483 ⋅ 1012 4 ⋅ π2 30 ⋅ = ⋅ = 1,938·10 kg c 3 = ⇒ M= −11 2 2 G G M ⋅ r 6,6726 ⋅ 10 T (365,256 ⋅ 24 ⋅ 3600 ) 30 Dit komt redelijk overeen met de waarde in BINAS tabel 33: Mzon = 1,989·10 kg. T2

8

5

d Gegeven: Io met r = 4,22·10 m en T = 42,5 uur = 1,53·10 s.

( (

) )

3

4 ⋅π 2 r 3 4 ⋅π 2 4,22 ⋅ 108 4 ⋅ π2 27 ⋅ = = 1,90·10 kg ⇒ M= ⋅ 3 − 2 11 G G ⋅M 5 2 r T 6,6726 ⋅ 10 1,53 ⋅ 10 24 27 Dit komt overeen met de waarde in BINAS tabel 31: MJupiter = 1900·10 kg = 1,900·10 kg T2

=

Vervolg zie volgende bladzijde.

11

m

Newton vwo deel 3


30

Vervolg van vraag 60.

e De massa van een hemellichaam is te bepalen door de baanstraal r en omlooptijd T te van een satelliet 4 ⋅ π2 4 ⋅ π2 r 3 T2 ⇒ M= te bepalen en in te vullen in de derde wet van Kepler: 3 = ⋅ 2 . G G ⋅M T r f Er is nog geen satelliet (maan) van Pluto gevonden, waarvan de baanstraal r en omlooptijd T bepaald zijn. N.B. Sinds augustus 2006 is Pluto geen planeet meer!

61 Aardrotatie 2π ⋅ r T

a v=

6

In BINAS (tabel 31): r = 6,378·10 m ⇒ v =

2π ⋅ 6,378 ⋅ 10 6 2 = 464 m/s = 4,6·10 m/s 24 ⋅ 3600

60 ⋅ 464 2 m ⋅v 2 = = 2,03 N r 6,378 ⋅ 10 6

b Fmpz =

Afgerond: Fmpz = 2,0 N 2

c Fmpz = Fr = Fz – Fn ⇒ Fn = Fz – Fmpz = 60 · 9,81 – 2,03 = 587 N

Afgerond: Fn = 5,9·10 N

d Ja, want 2,0 N is slechts 0,3% van 587 N. Het verschil tussen de normaalkracht en de zwaartekracht is dus minimaal. e De benodigde middelpuntzoekende kracht zou groter zijn. Fn = Fz – Fmpz ⇒ de normaalkracht zou dan dus kleiner zijn. 2π ⋅ r 2π ⋅ r Nieuwe onbekende: v v= ⇒T = T v Fz = Fmpz m ⋅v 2 ⇒ v = g ⋅ r = 9,81 ⋅ 6,378 ⋅ 10 6 = 7910 m/s m⋅g = r T =

2π ⋅ 6,378 ⋅ 106 = 5066 s = 1,41 uur 7910

Afgerond: T = 1,4 uur

62 Dubbelster a v1 =

2π ⋅ r1 2π ⋅ r2 ; v2 = T1 T2

Fg = G ⋅

;

m1 ⋅ m2

(r1 + r 2 )2

b Fmpz,1 = Fg = Fmpz,2 ⇒ Fmpz,1 = Fmpz,2 2

m1 ⋅ v 1 m ⋅v = 2 2 r1 r2

m1 ⋅ r1 T12

=

m2 ⋅ r2

2

Invullen v 1 =

2π ⋅ r1 2π ⋅ r2 en v 2 = T1 T2

⇒

r1 =

m2 ⋅ r2 m1

c Voor ster 1 geldt: Fg = Fmpz,1 ⇒ G ⋅ m2

=

m1 ⋅ 4 ⋅ π 2 ⋅ r1 r1 ⋅ T1

2

2

=

m2 ⋅ 4 ⋅ π 2 ⋅ r2 r 2 ⋅ T2

2

2

Verder is T1 = T2 ⇒ m1 · r1 = m2 · r2

T2 2

Uit m1 ⋅ r1 = m 2 ⋅ r 2

G⋅

⇒

4 ⋅ π 2 ⋅ r1

⇒ Als m1 groter is dan m2 is r1 dus kleiner dan r2.

m1 ⋅ m 2

(r1 + r 2 )

2

=

m1 ⋅ v 1 r1

2

⇒ G⋅

m1 ⋅ m 2

(r1 + r 2 )

2

=

m1 ⋅ 4 ⋅ π 2 ⋅ r1 r1 ⋅ T1

2

2

⇒

(1) 2 T1 Op dezelfde manier kun je afleiden dat voor ster 2 geldt: m1 4 ⋅ π 2 ⋅ r2 G⋅ = (2) 2 (r1 + r 2 )2 T2 Tel vergelijking (1) en (2) bij elkaar op. Bedenk dat T1 = T2 = T m2 m1 4 ⋅ π 2 ⋅ r1 4 ⋅ π 2 ⋅ r 2 m + m2 4 ⋅ π2 G⋅ + G ⋅ = + ⇒ G⋅ 1 = ⋅ (r1 + r 2 ) ⇒ 2 2 2 2 2 T2 T T (r1 + r 2 ) (r1 + r 2 ) (r1 + r 2 ) ⇒

(r1 + r 2 )2

(r1 + r2 )3 T

2

=

G ⋅ (m1 + m 2 ) 4 ⋅ π2


⇒

Newton vwo deel 3


31

Vervolg van opgave 62.

d Er geldt:

(r1 + r2 )3 T2

=

G ⋅ (m1 + m 2 )

4 ⋅ π 2 ⋅ (r1 + r 2 )

m1 ⋅ r1 = m 2 ⋅ r 2

en

4 ⋅ π2 3

m1 + m 2 = v1 =

2π ⋅ r1 T1

r1 = r1 =

Nieuwe onbekenden: r1 en r2

G ⋅T 2

v2 =

2π ⋅ r2 T2

v 1 ⋅ T1 2π

r2 =

v 2 ⋅ T2 2π

4,8 ⋅ 10 3 ⋅ 2,5 ⋅ 10 9 12 = 1,91·10 m 2π

r2 =

3,6 ⋅ 10 3 ⋅ 2,5 ⋅ 10 9 12 = 1,43·10 m 2π

4 ⋅ π 2 ⋅ (r1 + r 2 )

3

m1 + m 2 =

=

G ⋅T 2

m1 + m2 = 3,53·10

30

(

4 ⋅ π 2 ⋅ (1,91 + 1,43) ⋅ 1012

6,6726 ⋅ 10 (1)

kg

Tevens geldt: m1 ⋅ r1 = m 2 ⋅ r 2 ⇒ m1 =

m1 = 0,947 · m2

−11

(

⋅ 2,5 ⋅ 10

) )

3

9 2

= 3,53·10

30

kg

r2 1,43 ⋅ m2 = ⋅ m2 = 0,749 ⋅ m2 r1 1,91

(2)

Vul vergelijking (2) in in vergelijking (1): 3,53 ⋅ 10 30 30 30 = 2,02·10 kg 0,749·m2 + m2 = 3,53·10 ⇒ m 2 = 1,749 m1 = 0,749 ⋅ m 2 = 0,749 · 2,02·10

30

= 1,51·10

30

kg

satelliet S

Je hebt veel satellieten nodig, omdat de satellieten in een lage baan slechts een klein deel van het aardoppervlak bestrijken. N.B.: Als de satelliet zich erg laag boven de horizon bevindt, heb je bovendien een grote kans op storingen in de ontvangst ten gevolge van obstakels en atmosferische storingen. Daarom zal men voor een nog groter aantal kiezen waarbij het ontvangstgebied elkaar wat overlapt.

b

T2

4 ⋅ π2 (afleiding zie eerste regel bij uitwerking opg. 41) ⇒ T = G ⋅M r 6 r = ra + h In BINAS (tabel 31): ra = 6,378·10 m 6 3 6 r = 6,378·10 + 700·10 = 7,078·10 m 3

T =

=

(

4 ⋅ π 2 ⋅ 7,078 ⋅ 10 6


aarde

4 ⋅π 2 ⋅ r 3 G ⋅M

)

3

= 5925 s 6,6726 ⋅ 10 −11 ⋅ 5,976 ⋅ 10 24 66 = 6 satellieten in elke polaire cirkelbaan. Er bevinden zich 11 5925 = 987,51 s (= 16,46 minuut) een satelliet over. Er komt dus elke 6 24 ⋅ 3600 = 87,5 keer een satelliet over. Per dag komt 787,51

kg

30

kg

Afgerond: m1 = 1,5·10

63 Satelliettelefoon a Een hanteerbare handtelefoon heeft maar weinig zendvermogen. De afstand tot de satelliet moet dus niet te groot zijn. Daarom bevinden de satellieten zich in een lage baan.

30

Afgerond: m2 = 2,0·10

Afgerond: 87,5 keer

Newton vwo deel 3


32


c Een satelliet op grotere hoogte heeft een groter ontvangstgebied (zie fig. a) Als het ontvangstgebied x keer zo groot is, dan zal het aantal satellieten x keer zo klein kunnen zijn. 2

De oppervlakte van een cirkel = π · r De oppervlakte van een bolcirkel is ook evenredig met de straal in het kwadraat.

figuur a oppervlakte 2 satelliet 2 satelliet 1

M oppervlakte 1

figuur b satelliet S 2 satelliet S 1

Figuur b geeft een dwarsdoorsnede te zien van het ontvangstgebied met straal r1 en het gebied met straal r2. Het raakpunt A ontstaat door vanuit de satelliet een raaklijn te tekenen aan de aardbol. Wiskundig gezien staat zo'n raaklijn altijd loodrecht op de straal R van de aarde.

r1

A1 A2

r2

R+h

R M

In figuur c is de driehoek satelliet S - middelpunt aarde M - raakpunt A nog eens overgetekend. De straal r van het ontvangstgebied is de loodlijn AB vanuit A figuur c op de lijn SM. Zowel bij A als bij B ontstaat een rechte hoek. A Stel lijn AS = a. Wiskundig is dan op te merken dat a · R = r · (R + h) = 2× de oppervlakte SMA. a⋅R . Verder is volgens Pythagoras a = (R + h )2 − R 2 . Dus r = R+h 6

6

6

Gegevens: R = 6,378·10 m; h1 = 0,700·10 m en h2 = 1,400·10 m. In de tabel van figuur d zijn de verschillende waarden weergegeven. Hieruit blijkt dat

r22 r12

het aantal benodigde satellieten =

66 = 37,9 1,74

S

6

h (·10 m) 0,700 1,400

rr

B

figuur d

13,33 = = 1,74 × en dus 7,65

R

a

6

a (·10 m) 3,07 4,45

M

R+h 6

r (·10 m) 2,77 3,65

2

r (·10 7,65 13,33

12

2

m)

D.w.z. 38 satellieten.

N.B. Dus mogelijk bevat het gegeven getal '48' een typfout en moet het 38 zijn!

64 Vloeibare telescoopspiegel 2 Gegeven: mkwik = 330 kg, T = 20 °C; A = 4,8 m , laag overal even dik. a Volume V = d · A ⇒ d =

ρ=

V A

Nieuwe onbekende: V

m m (zie ook BINAS tabel 35) ⇒ V = V ρ 3

(BINAS tabel 8 of 11): ρkwik = 13,5·10 kg/m d=

330 V m = = = 0,00509 m A ρ ⋅ A 13,5 ⋅ 103 ⋅ 4,8

b De middelpuntzoekende kracht is het resultaat van de zwaartekracht en de normaalkracht. Kop aan staart leggen is het makkelijkste: Als je de zwaartekrachtvector zo verplaatst dat de kop wijst naar de kop van de resulterende kracht (Fmpz), dan moet de normaalkracht naar de staart van de zwaartekracht wijzen. Je kunt ook een parallellogram construeren. De normaalkracht moet loodrecht op het oppervlak staan. Dat klopt wel in de tekening.

Nieuwe onbekende: ρkwik 3

Afgerond: d = 5,1 mm

α Fz

Fn

α


Newton vwo deel 3


33


c v = ω ⋅r ⇒ ω =

tan α =

v r

Fmpz Fz

Nieuwe onbekende: v

⇒ Fmpz = Fz · tan α

m ⋅v 2 = m ⋅ g ⋅ tan α ⇒ v = g ⋅ tan α ⋅ r r Fmpz 10 = Meet de grootte van de krachten op in de tekening. tan α = Fz 21

v = 9,81⋅

ω=

10 ⋅ 1,1 = 2,32 m/s 21

v 2,32 = = 2,11 rad/s (0,34 toeren per seconde) r 1,1

Afgerond: ω = 2,1 rad/s

65 Vliegsnelheid 3 Gegeven: m = 1,5⋅10 kg; r = 500 m; Fd maakt hoek van 60° met horizontaal vlak.

Fd,y

Fd

a Om op dezelfde hoogte te blijven moet de nettokracht in de verticale richting 0 zijn d.w.z. Fd,y = Fz

M

Ontbinden van Fd in een vertikale component Fd,y en Fd, y een horizontale component Fd,x levert op: = sin 60° Fd

60 o

Fd,x

3

Fz = m ⋅ g = 1,5⋅10 ⋅ 9,81 = 14715 N ⇒ Fd,y = 14715 N 14715 14715 = sin 60° ⇒ Fd = = 16991N Afgerond: Fd = 17 kN Fd sin 60°

Fz

b Omdat Fz verticaal naar beneden is gericht, levert deze geen bijdrage aan de horizontaal gerichte Fmpz · De nettokracht op het sportvliegtuig is dus gelijk aan Fd,x ⇒ Fmpz F M.b.v. de figuur hierboven is af te leiden dat d, x = cos 60° ⇒ Fd

Fd, x 16991 c Fmpz =

3

= cos 60° ⇒ Fd, x = 16991 ⋅ cos 60° = 8495,5 N 1,5 ⋅ 103 ⋅ v 2 m ⋅v 2 ⇒ 8495,5 = ⇒ v= 500 r

Afgerond: F mpz = 8,5⋅10 N = 8,5 kN

8495,5 ⋅ 500 1,5 ⋅ 103

= 53,21m/s

Afgerond: v = 53 m/s

17.5 Afsluiting Oefenopgaven 70 De ‘weging’ van de aarde • Op het aardoppervlak geldt: Fz = Fg

m⋅g =G⋅

M ⋅m R2

(M de massa van de aarde en R de straal van de aarde) ⇒ M =

M.b.v. de gegevens van Cavendish: M = • Dichtheid ρ = ρ=

m en volume van bol V = V

5,912 ⋅ 10 24 4 3

(

⋅ π ⋅ 6,38 ⋅ 10

)

6 3

(

9,81⋅ 6,38 ⋅ 106 6,754 ⋅ 10 −11 4 3

)

g ⋅ R2 G

2

= 5,912 ⋅ 10 24 kg

⋅ π ⋅R3 ⇒ ρ =

m = V

= 5434,8 kg/m3

• Volgens de huidige gegevens (BINAS tabel 31): 24 M = 5,976·10 kg De afwijking in de massa is dus 1,07 % ρ = 5515 kg/m3 De afwijking in de dichtheid is dus 1,45 %


24

kg

m 4 3

⋅π ⋅ R3 3

Afgerond: ρ = 5,43·10 kg/m

Afgerond: 1,1 % Afgerond: 1,5 %

3

Newton vwo deel 3


34

71 Sprongopslag Oriëntatie: Gevraagd: Is sx(t) < 18 m als de bal de grond raakt? Gegeven: Zie de figuur hiernaast. Planning/uitvoering: s x,grond (t ) = v x ⋅ t grond Onbekend: vx en tgrond vx =

s x,net (t )

s y (t ) = vx =

Onbekend: tnet

t net 1 2

s x,net (t )

s y (t ) =

t net 1 2

⋅ g ⋅ t 2 ⇒ tnet = =

3,05 m net

2,43 + 0,02 = 2,45 m

? 9,0 m

=

2 ⋅ (3,05 − 2,45 ) = 0,3497 s 9,81

=

2 ⋅ 3,05 = 0,7886 s 9,81

2 ⋅ s y,net (t ) g

achterlijn

9,0 m

9,0 = 25,7 m/s 0,3497

⋅ g ⋅ t 2 ⇒ t grond =

2 ⋅ s y,grond (t ) g

s x,grond (t ) = v x ⋅ t grond = 25,7 · 0,7886 = 20,3 m

Afgerond: sx,grond = 20 m

Conclusie: De bal legt in horizontale richting meer dan 18 m af en gaat dus uit.

Controle: Controleer de eenheid en het aantal significante cijfers ook als het antwoord bestaat uit een conclusie! De uitkomst is realistisch en in de buurt van de te verwachten waarde. Het antwoord zal dus wel kloppen. 72 Schaatsen Oriëntatie: Gevraagd: snelheid vs ? Gegeven: Zie de figuur hiernaast.

Fijs

Planning/uitvoering: Op de schaatser werken twee krachten: de zwaartekracht Fz en de reactiekracht Fijs van het ijs op de schaats. In het zwaartepunt Z levert de resultante van deze twee krachten de middelpuntzoekende kracht Fmpz. De kracht van het ijs op de schaatser heeft de richting van de schuine stippellijn. Als je vanuit de punt van Fmpz een stippellijn recht naar boven tekent, vindt je dus Fijs. De lengte van de zojuist getekende stippellijn is gelijk aan de lengte van de zwaartekrachtsvector. Die teken je vanuit het zwaartepunt recht naar beneden. Je kunt ook een stippellijn tekenen evenwijdig met de schuine stippellijn. De zwaartekracht is één van de zijden van het parallellogram.

Fmpz ⋅ r m ⋅v2 ⇒ v= Nieuwe onbekenden: Fmpz r m Fz m⋅g F Nieuwe onbekenden: α = tan α = z ⇒ Fmpz = tan α tan α Fmpz

m = 76 kg Z

α

71( S

Fmpz =

Fz

De hoek α tussen SZ en het ijs is 71º. 76 ⋅ 9,81 Fmpz = = 256,72 N tan 71° v=

256,72 ⋅ 32 = 10,397 m/s 76

r = 32 m

Fmpz

Afgerond: v = 10 m/s

Controle: 10 m/s is 36 km/h. Dit lijkt een aannemelijke waarde voor de gegeven hellingshoek.

Newton vwo deel 3


35

73 Verkanting Gevraagd: verkantingshoek α ? Gegeven: v = 140 km/h = 38,89 m/s, r = 500 m. Planning/uitvoering: De resultante van de zwaartekracht Fz en de normaalkracht Fn levert de benodigde middelpuntzoekende kracht Fmpz. De verkantingshoek α is op diverse plaatsen terug te vinden (zie figuur): tan α =

α = tan

Fmpz Fz −1

Fmpz

m ⋅v2 v2 38,89 2 = 0,3083 ⇒ tan α = r = = m⋅g g ⋅ r 9,81⋅ 500

(0,3083 ) = 17,14°

α α

Afgerond: α = 17,1º

Controle: het lijkt een aannemelijke waarde. 74 Trainingscentrifuge Gevraagd: toerental fmax? Gegeven: r = 5,0 m; voor mens: amax = 9 ⋅ g Planning/uitvoering: 2π ⋅ r 2π ⋅ r 1 f = f is het toerental (ook wel: de frequentie) en met v = ⇒T = ⇒ T T v v 1 v f = = ⇒ fmax = max Nieuwe onbekende: vmax r 2π ⋅ r 2π ⋅ r 2π ⋅ v In de centrifuge ondervindt een astronaut een maximale normaalkracht Fn = Fmpz,max = 9 · Fz 2

m ⋅ v max = 9 ⋅ m ⋅ g ⇒ v max = 9 ⋅ g ⋅ r = 9 ⋅ 9,81 ⋅ 5,0 = 21,0 m/s r v 21,0 –1 fmax = max = = 0,669 s (= 40 tpm = 40 toeren per minuut) 2π ⋅ r 2π ⋅ 5,0

Afgerond: fmax = 0,67 Hz

Controle: als je je voorstelt dat je 1,5 keer per seconde wordt rondgeslingerd in een cirkel met een straal van 5,0 m dan kun je je voorstellen dat je behoorlijk tegen de wand geduwd wordt. 75 Aardobservatiesatelliet Gevraagd: hoogte h? Gegeven: spoor Landsat in 24 uur (figuur 35). Planning/uitvoering: h=r–R

R is straal van de aarde.

Nieuwe onbekende: r

T 2 ⋅G ⋅ M 4⋅π (afleiding zie eerste regel bij uitwerking opg. 41) ⇒ r = 3 Nieuwe onbekende: T G ⋅M 4 ⋅ π2 r 24 ⋅ 3600 De satelliet draait 15 rondjes om de aarde in 24 uur, dus T = = 5760 s 15 In BINAS (tabel 7 en 31) vind je de gegevens van G, M en R.

T

2

3

=

2

5760 2 ⋅ 6,6726 ⋅ 10 −11 ⋅ 5,976 ⋅ 1024

= 6,946 ⋅ 106 m 4 ⋅π 2 6 6 6 h = r – R = 6,946·10 – 6,378·10 = 0,568·10 m = 568 km r =3

Afgerond: h = 568 km

Controle: In het informatieboek staat dat polaire satellieten zich bevinden op hoogtes tussen 300 en 1500 km. De berekende waarde voldoet hier aan.

Newton vwo deel 3


36

76 Drietrapsraket Gevraagd: maximale snelheid vmax en waarom kleiner in de praktijk? ⎛m ⎞ Δv = v g ⋅ ln⎜⎜ b ⎟⎟ ; gegevens figuur 37. Gegeven: ⎝ me ⎠ Planning/uitvoering: Δvtot = Δv1 + Δv2 + Δv3 ⎛m ⎞ Δv = v g ⋅ ln⎜⎜ b ⎟⎟ = v g ⋅ ln(massaverhouding ) ⎝ me ⎠ Eerste trap:

Voor de massaverhouding per trap: zie figuur 37.

Δv = 2,34 ⋅ 103 ⋅ ln(4,97 ) = 3752 m/s

Tweede trap: Δv = 2,71⋅ 103 ⋅ ln(2,78 ) = 2771 m/s

Derde trap: Δv = 2,79 ⋅ 103 ⋅ ln(3,31) = 3339 m/s Δvtot = 3752 + 2771 + 3339 = 9862 m/s met vbegin = 0 m/s

⇒

Afgerond: vmax = 9,86 km/s

Om de volgende redenen is de eindsnelheid kleiner: • De snelheid wordt door het stijgen kleiner, omdat een deel van de arbeid die bij het uitstoten wordt verricht, wordt omgezet in gravitatie-energie (de gravitatiekracht verricht negatieve arbeid op de raket met satelliet). Bij de gegeven formule is het onduidelijk of dat effect verwerkt is. • Er is sprake van luchtwrijving die zelfs op 500 km afstand nog merkbaar is.

Controle: de waarden stemmen wat betreft de orde van grootte overeen met de gegeven waarden in figuur 4 van het informatieboek.

Newton vwo deel 3 Uitwerkingen Hoofdstuk 17 Ruimtevaart 16

Recommend Documents