Newton vwo deel 3 Uitwerkingen Hoofdstuk 16 Energie en energiestromen 4

Newton vwo deel 3

Uitwerkingen Hoofdstuk 16 – Energie en energiestromen

16 Energiesystemen 16.1 Inleiding Voorkennis 1 Energiesoorten A • Arbeid: W = F ⋅ s ⋅ cos α F = kracht in N; s = verplaatsing in m; α = hoek tussen de bewegingsrichting en de richting waarin de kracht werkt B • Warmte: Q = c ⋅ m ⋅ ΔT (bij stofhoeveelheden) en: Q = C ⋅ ΔT (bij voorwerpen). c = soortelijke warmte in J/(kg·K); m = massa in kg; ΔT = temperatuurverandering; C = warmtecapaciteit in J/K C • Chemische energie: E ch = r v ⋅ V (bij vloeistoffen) en: E ch = r v ⋅ m (bij vaste stoffen). 3 3 rv = stookwaarde (verbrandingswarmte) in J/m of in J/kg; V = volume in m ; m = massa in kg D • Elektrische energie: E e = Pe ⋅ t Pe = elektrisch vermogen in W; t = tijdsduur in s E • Kinetische energie: E k =

1 2

⋅ m ⋅v 2

m = massa in kg; v = snelheid in m/s

F • Zwaarte-energie: E z = m ⋅ g ⋅ h 2 m = massa in kg; g = zwaarteversnelling 9,81 m/s ; h = hoogte ten opzichte van het zelfgekozen nulniveau, bijvoorbeeld de grond. (Strikt genomen is de zwaarte-energie nul in het middelpunt van de aarde.) 2 Energieomzettingen a Volgens de wet van behoud van energie (WvBvE – zie § 7.4)) is de hoeveelheid energie die uit de omzetter komt gelijk aan de hoeveelheid die er in gaat: Ein = Euit . b η=

E nuttig E in

η = rendement

Enuttig = de energie die na omzetting nuttig gebruikt wordt Ein = de toegevoerde energie die de omzetter ingaat

c Bij de omzetting gaat altijd een deel van de energie verloren in de vorm van (onbruikbare) afvalwarmte. 3 Arbeid • De opgeslagen chemische (of elektrische) energie neemt in beide gevallen af. • De kinetische energie neemt toe bij het optrekken en blijft constant bij het rijden met constante snelheid. • De geleverde arbeid wordt uiteindelijk door de wrijving volledig omgezet in warmte (luchtwrijving, remmen).

16.2 Arbeid en kinetische energie Kennisvragen 6 Hieronder worden alleen de formules genoemd. Zoek zelf nog eens op welke grootheid elk van de symbolen voorstelt en in welke eenheid ze opgegeven dienen te worden. A Kinetische energie

Ek =

1 2

⋅ m ⋅ v2

B Chemische energie Ech = rv ⋅ V C Elektrische energie Ee = U ⋅ I ⋅ t

4

Newton vwo deel 3


5

7 A De motor zet chemische energie om in arbeid, warmte en mogelijk nog een klein gedeelte chemische energie in de vorm van onverbrande brandstofdelen in de uitlaatgassen. De mate waarin er sprake is van arbeid W wordt bepaald door de grootte van de uitgeoefende voorwaartse kracht Fvw én of er sprake is van verplaatsing s. B De elektrische energie die ligt opgeslagen in de accu wordt door de elektromotor omgezet in arbeid en warmte. Ook nu weer geldt dat er pas sprake is van arbeid als de uitgeoefende kracht een verplaatsing veroorzaakt. C De fietser zet chemische energie uit het voeldsel om in arbeid en warmte. De kinetische energie verandert niet omdat de snelheid constant is. D Kinetische energie van de fiets (mét fietser) wordt via (negatieve) arbeid omgezet in warmte. Je kunt ook zeggen: tijdens het remmen wordt een achterwaartse kracht Faw op de fiets uitgeoefend. Deze verricht daarom negatieve arbeid W en daarmee is de verandering van de kinetische energie ΔEk ook negatief d.w.z. de kinetische energie (en dus de snelheid) neemt af. 8 A De auto levert arbeid aan de caravan, zodat de kinetische energie Ek constant blijft en niet afneemt ten gevolge van de wrijving die op de caravan wordt uitgeoefend. B De motor van de spaceshuttle levert geen arbeid W meer. De kinetische energie Ek blijft constant (neemt niet af) door het ontbreken van wrijving. C De arbeid W die de fietser levert, wordt geheel omgezet in warmte. De kinetische energie Ek van de fietser is constant omdat de snelheid v constant is. Je kunt ook zeggen: de rijdende fietser ondervindt een achterwaartse wrijvingskracht Faw die tijdens het rijden negatieve arbeid verricht. De door de fietser geleverde arbeid W wordt geheel gebruikt om deze negatieve arbeid 'op te vangen' zodat dit niet ten koste hoeft te gaan van de kinetische energie. D De geleverde arbeid moet even groot zijn als de verliezen door wrijving. Als er meer arbeid geleverd wordt dan er door wrijving verdwijnt, neemt de kinetische energie Ek van de fiets toe. E In een draaiend vliegwiel ligt kinetische energie opgeslagen, nadat arbeid is geleverd aan het vliegwiel. 9 a Chemische energie wordt omgezet in arbeid en warmte. 3

7

b W = F ⋅ s ⋅ cosα met cos α = cos 0º = 1 ⇒ W = 450 · 100·10 = 4,5·10 J c η=

E nuttig E in

=

W E ch

7

Afgerond: W = 4,5·10 J = 45 MJ 9

E ch = r v ⋅ V

3

V = 5,6 L = 5,6 dm = 5,6·10

η=

3

Nieuwe onbekende: rv,benzine = 33·10 J/m (BINAS tabel 28 A) –3

m

3

9

⇒ Ech = 33·10 · 5,6·10

–3

8

= 1,848·10 J

7

W 4,5 ⋅ 10 = 0,24 = E ch 1,848 ⋅ 10 8

Afgerond: η = 0,24 = 24%

10 Gegeven: m = 0,450 kg; Fh = 1,76 N; vb = 0; ve = 4,0 m/s. a De arbeid W die door de horizontale kracht wordt geleverd wordt omgezet in een toename van de kinetische energie ΔEk. 1

2

1

2

b ΔEk = Ek,e – Ek,b = /2 ⋅ m ⋅ ve – /2 ⋅ m ⋅ vb 1 2 1 2 vb = 0 ⇒ ΔEk = /2 ⋅ m ⋅ ve = /2 ⋅ 0,450 ⋅ 4,0 = 3,6 J

Afgerond: ΔEk = 3,6 J

c De som van de arbeid ΣW = Fr ⋅ s = ΔEk Bij een luchtkussenbaan is de wrijving te verwaarlozen ⇒ Fr = Fh = 1,76 N ⇒ 3,6 1,76 ⋅ s = 3,6 ⇒ s = = 2,045 m Afgerond: s = 2,0 m 1,76 11 Gegeven: m = 0,450 kg; Fh = 1,76 N; versnelde beweging over s = 2,0 m; = 0,23 N. a De som van de positieve arbeid W die door de horizontale kracht Fh wordt geleverd en de negatieve arbeid die door de gemiddelde wrijvingskracht wordt verricht, wordt omgezet in een toename van de kinetische energie ΔEk. b ΣW = ΔEk ⇒ Fh ⋅ s − < Fw > ⋅s = (Fh − < Fw >) ⋅ s = ΔEk ⇒ ΔEk = (1,76 − 0,23) ⋅ 2,0 = 3,06 J Afgerond: ΔEk = 3,1 J 1

2

1

2

c ΔEk = Ek,e − Ek,b = / 2 ⋅ m ⋅ v e − / 2 ⋅ m ⋅ v b waarbij vb = 0 m/s dus ΔEk = 1/ 2 ⋅ m ⋅ v e 2 ⇒ 3,06 =

1 ⋅ 0,450 ⋅ v e 2 ⇒ v e = 2

2 ⋅ 3,06 = 3,69 m/s 0,450

Afgerond: ve = 3,7 m/s

Newton vwo deel 3


6

12 Gegeven: m = 0,240 kg; vb = 62 km/h = 17,2 m/s; Fw = 1,6 N; vb = 0; ve = 4,0 m/s. a De kinetische energie van de bal wordt omgezet in arbeid van de tegenwerkende wrijvingskracht. Deze arbeid is negatief omdat de wrijvingskracht Fw tegengesteld is aan de verplaatsing s. b Je mag aannemen dat ve = 0 m/s ⇒ m.b.v. de energievergelijking: ΣW = ΔEk ⇒ − Fw ⋅ s = − − 1,6 ⋅ s = −

1 35,6 ⋅ 0,24 ⋅ 17,22 = 35,6 ⇒ s = = 22,2 m 2 1,6

1 ⋅ m ⋅ v b2 2

Afgerond: s = 22 m

13 Gegeven: m = 880 kg; vb = 90 km/h = 25 m/s; Faw = 700 N; η = 0,25. 3

a In dit geval is de snelheid constant en de afstand s = 100 km = 100⋅10 m. Enuttig = W met W = Fvw ⋅ s ⇒ W = (− ) 700 ⋅ 100 ⋅ 10 3 = (− ) 7,0 ⋅ 10 7 J η= ΔEch Ein 0,25 =

7,0 ⋅ 107 ΔEch

⇒ ΔEch =

7,0 ⋅ 107 = 2,8 ⋅ 108 J 0,25 9

b E ch = r v ⋅ V ; Binas (tabel 28 A): rv,benzine = 33⋅10 J/m V=

8

Afgerond: afname ΔEch = 2,8·10 J 3

Ech 2,80 ⋅ 108 –3 3 = = 8,48·10 m rv 33 ⋅ 109

Afgerond: V = 8,5 L per 100 km

14 W = F ⋅ s = oppervlak onder de lijn in het diagram. Je kunt de trekkracht benaderen door het diagram in twee stukken verdelen: - van s = 0 m tot s = 25 m een horizontale rechte lijn bij ongeveer F1,gem = 50 N en - van s = 25 m tot s = 75 m een horizontale rechte lijn bij F2,gem = 8 N. Hierbij moet je erop letten dat er evenveel oppervlakte boven als onder de horizontale lijn van de gemiddelde kracht ligt. De arbeid (of het oppervlak) is dan als volgt te berekenen: 3 W = F1,gem · s1 + F2,gem · s2 = 50 · 25 + 8 · 50 = 1,65·10 J

3

Afgerond: W = 1,7·10 J

15 Gegeven: constante v = 2,0 m/s; spankracht Fs op slee onder hoek van 30°; Fw = 45 N. y a De snelheid v = constant ⇒ Fw = Fs,horizontaal = 45 N (zie figuur). 45 Dus Fs ⋅ cos α = 45 N ⇒ Fs = = 51,96 N cos 30° Afgerond: Fs = 52 N

Fw = 45 N

b De wrijvingsarbeid wordt volledig omgezet in warmte: Q = W = Fs,x · s = 45 · 2,0 = 90 J per seconde

Fs

α = 30o

Fs,x = Fs ˙ cos α x

Afgerond: Q = 90 J

Oefenopgaven 19 Fietsen Gegeven: mp = 80 kg; mf = 20 kg; constante v = 5,0 m/s; Faw = 12 N; η = 0,25. a Pm = Fv · v , aangezien de snelheid constant is geldt dat Fv = Faw = 12 N Pm = 12 · 5,0 = 60 W

b η=

Pnuttig Pin

=

Pm 60 60 ⇒ 0,25 = ⇒ Pch = = 240 W Pch Pch 0,25

Afgerond: Pm = 60 W 2

Afgerond: Pch = 2,4·10 W

c Het deel van de chemische energie dat omgezet wordt in warmte is: 100% – η = 75% 2 ⇒ Q = 240 · 0,75 = 180 W Afgerond: Q = 1,8·10 W

Newton vwo deel 3


7

20 Remmen Gegeven: ma = 960 kg; vb = 60 km/h = 16,7 m/s ; 3 remmen: 34% van ontwikkelde warmte in ijzeren remschijf van één voorwiel met Vs = 330 cm . a Er is hier sprake van een energieomzetting: Ek ⇒ Q Ek =

1 2

⋅ m ⋅ v b 2 ⇒ Ek =

1 2

⋅ 960 ⋅ 16,7 2 = 133,3 ⋅ 10 3 J 3

3

Per remschijf van één voorwiel: Q = 0,34 ⋅ 133,3⋅10 = 45,33⋅10 J

Afgerond: Q = 45 kJ

b Q = c ⋅ m ⋅ ΔT Nieuwe onbekenden: c en m 3 –1 –1 BINAS (tabel 8): cijzer = 0,46⋅10 Jkg K Nieuwe onbekende: ρijzer m = ρijzer · V 3 –3 BINAS (tabel 8): ρijzer = 7,87⋅10 kg m 3 –6 m = 7,87⋅10 ⋅ 330⋅10 = 2,597 kg

45,33 ⋅ 10 3 = 0,46 ⋅ 10 3 ⋅ 2,597 ⋅ ΔT ⇒ ΔT =

45,33 ⋅ 10 3 = 37,95 o C 0,46 ⋅ 10 3 ⋅ 2,597

o

Afgerond: ΔT = 38 C (of 38 K) 2

c Als de snelheid 2× zo groot dan wordt, wordt de kinetische energie Ek 4× (= 2 ) keer zo groot 2 omdat Ekin ~ vb . Daarmee wordt Q ook vier keer zo groot. En omdat Q ~ ΔT wordt ΔT ook vier keer zo groot. d De wielen zijn geblokkeerd dus er is geen wrijving tussen de remblokjes en de remschijven. Dus verrichten de remblokjes geen wrijvingsarbeid op de remschijf en ontstaat er geen warmte op die plek. De remschijven zullen niet in temperatuur stijgen. N.B. Er is wel wrijving tussen de band en het wegdek: de wrijvingsplek op de band en het wegdek zullen wel in temperatuur stijgen.

21 Optrekkende tram 4 Gegeven: mt = 3,5·10 kg; vb = 0 m/s; na t = 8,1 s is s = 45 m; 3

Pe = 370·10 W; η = 0,90; wrijvingskracht Fw zie diagram.

a η=

Enuttig W W = = W ⇒ 0,90 = ⇒ W = 2,697 ⋅ 10 6 J Ein E e Pe ⋅ t 370 ⋅ 10 3 ⋅ 8,1

6


b WFw = Fw · s De wrijvingskracht is echter niet constant. De ´wrijvingsarbeid´ is gelijk aan het oppervlak onder de kromme. Het oppervlak is bij benadering te bepalen met behulp van een combinatie van een rechthoekige en een driehoekige figuur waarbij je er voor zorgt dat de oppervlakte onder de kromme en de benadering hetzelfde is (zie diagram hiernaast). (5,0 + 29,0) ⋅ 10 3 5 W w = 5,0 ⋅ 10 3 ⋅ 16 + ⋅ ( 45 − 16 ) = 5,73·10 J 2 5 Afgerond: Ww = 5,7·10 J c De arbeid die de motor aan de tram levert , wordt omgezet in (negatieve) arbeid van de wrijvingskracht en in bewegingsenergie. Of m.b.v. de energievergelijking: ΣW = ΔEk ⇒ WFvw − W w = ΔEk =

1 2

⋅ m ⋅ v e 2 ⇒ 2,697 ⋅ 10 6 − 5,73 ⋅ 10 5 =

1 2

⋅ 3,5 ⋅ 10 4 ⋅ v e2 ⇒ v e = 11,0 m/s

Afgerond: ve = 11 m/s

Newton vwo deel 3


8

16.3 Potentiële energie Kennisvragen 23 A • E z = m ⋅ g ⋅ h 2 m = massa in kg; g = zwaarteversnelling 9,81 m/s ; h = hoogte ten opzichte van het zelfgekozen nulniveau, bijvoorbeeld het aardoppervlak. N.B. Strikt genomen is de zwaarte-energie nul in het middelpunt van de aarde. B • Ev =

1 2

⋅C ⋅ u2

C = veerconstante in N/m; u = uitrekking in m

C • Et =

1 2

⋅C ⋅ r 2

C = veerconstante in N/m; r = amplitude (uitwijking) in m

24 A Een onjuiste beschrijving: de zwaarte-energie komt niet vrij (wat suggereert dat het zwaarte-energie blijft), maar de zwaarte-energie van het water wordt omgezet in een andere energievorm. De zwaarte-energie verdwijnt dus juist als het water naar beneden valt. B Een onjuiste beschrijving: het water bezit kinetische energie als het snelheid heeft. Dankzij deze kinetische energie kan het water een kracht uitoefenen waarmee het arbeid kan verrichten. In het algemeen zal de hoeveelheid kinetische energie na de omzetting zijn afgenomen (als de snelheid tenminste bij het wegstromen na het waterrad kleiner is geworden). C Een onjuiste beschrijving: het water levert wel de arbeid. Echter de kracht waarmee het water een schoep over een bepaalde afstand duwt, verricht arbeid. Deze arbeid maakt dat de som van de zwaarte- en kinetische energie van het water afneemt. 25 A De piano: het ligt eraan waarmee de piano omhoog wordt gehesen. Indien het door spierkracht van een mens gebeurt zou je kunnen zeggen dat chemische energie (in het voedsel) gedeeltelijk - via het verrichten van arbeid door de spierkracht - wordt omgezet een toename van zwaartenergie. B De jojo: de afname van de zwaarte-energie wordt omgezet in een toename van de kinetische energie en rotatie-energie. Rotatie-energie is een vorm van kinetische energie. Arbeid verricht door aanwezige wrijvingskrachten kan hierbij ook nog een rol spelen. Deze levert dan uiteindelijk warmte op. C De klok(veer): indien dit door spierkracht gebeurt zou je weer kunnen zeggen dat chemische energie via het leveren van arbeid wordt omgezet een toename van veerenergie. D De wielrenner: als je aanneemt dat de wielrenner zelf even geen arbeid levert door te trappen, geldt dat zwaarte-energie wordt omgezet in toename van kinetische energie en in warmte. Deze laatste ontwikkelt zich door de (negatieve) arbeid die de wrijvingskrachten op de fietser uitoefenen. E De trampoline + springer: tijdens het landen neemt de kinetische energie én zwaarte-energie af en wordt omgezet in een toename van de veerenergie van de trampoline. Mogelijk is hierbij ook nog sprake van omzetting in warmte via de (negatieve) arbeid verricht door de aanwezige wrijvingskrachten. F De snaar: bij het trillen van een gitaarsnaar moet je onderscheidt maken tussen een beweging - vanaf de uitwijkingsstand naar de evenwichtsstand toe en - vanaf de uitwijkingsstand naar de evenwichtsstand toe. Afgezien van eventuele (negatieve arbeid) door wrijvingskrachten (demping) zal bij de eerste situatie de aanwezige veerenergie worden omgezet in kinetische energie. In de tweede situatie treedt het omgekeerde op. Als de demping verwaarloosbaar is zal E t = Σ(Ek + E v ) constant zijn. Hierbij wordt ook aangenomen dat eventuele veranderingen in zwaarte-energie ΔEz verwaarloosbaar zijn. 3

3

26 Gegeven: m = 3,0·10 kg; hoogte Δh = 1,5 m; = 20·10 N. a Een afname van zwaarte-energie van het heiblok wordt omgezet in toename kinetische energie en arbeid verricht door de wrijvingskracht. b M.b.v. de energievergelijking: ΔE z + ΔEk = WFw ⇒ − m ⋅ g ⋅ Δh + ( 21 ⋅ m ⋅ v e 2 − 0) = Fw ⋅ s ⋅ cos α − 3,0 ⋅ 10 3 ⋅ 9,81 ⋅ 1,5 +

1 2

⋅ 3,0 ⋅ 10 3 ⋅ v e 2 = 20 ⋅ 10 3 ⋅ 1,5 ⋅ cos 180° ⇒ v e = 3,071 m/s

Afgerond: ve = 3,1 m/s

Newton vwo deel 3


9

27 a De kracht is te berekenen door uit te gaan van de momentenwet F ⋅r ΣM = 0 ⇒ Ft ⋅ rt = Fz ⋅ rz ⇒ Ft = z z (zie hoofstuk 4 deel 1). rt De vlaggenmast wordt aan de kant van de scharnier ondersteund ⇒ rt = 3,0 m. Het zwaartepunt van de mast bevindt zich halfweg het opgetilde uiteinde ⇒ rz = 1,5 m. F ⋅ 1,5 1 Dus de tilkracht Ft = z Afgerond: Ft = 74 N = 2 Fz = 21 ⋅ m ⋅ g = 21 ⋅ 15 ⋅ 9,81 = 73,57 N 3 .0

b De arbeid W door de persoon geleverd wordt, wordt omgezet in een toename van de zwaarte-energie. c W = ΔE z = m ⋅ g ⋅ Δh . Hierbij is Δh = de hoogte-toename van het zwaartepunt van de vlaggenmast: 2

Δh = 1,5 m ⇒ W = 15 ⋅ 9,81 ⋅ 1,5 = 220,7 J


28 a Aangenomen dat de wrijvingskrachten verwaarloosbaar zijn, kun je zeggen dat zwaarte-energie wordt omgezet in kinetische energie (en omgekeerd op het moment dat de bobslee stijgt). b Energievergelijking: ΔE k = ΣW = WFz = −ΔE z ⇒ ΔE k + ΔE z = 0 ⇒

1 2

⋅ m ⋅ v e2 -

1 2

⋅ m ⋅ v b 2 = −m ⋅ g ⋅ Δh

In de laatste vorm is de massa m weg te delen. Door de verschillende punten (B, C en D) aan te duiden met x én het hoogste verschil te schrijven als Δh = −(hA − hx ) kan de vergelijking ook geschreven worden als: 1 2

⋅ v x2 -

1 2

⋅ v A 2 = 9,81 ⋅ (hA − hx ) ⇒

1 2

⋅ v e2 =

1 2

⋅ v A 2 + 9,81 ⋅ (hA − hx ) ⇒ v x = v A 2 + 2 ⋅ 9,81 ⋅ (hA − hx )

Voor B en D geldt: v B = v D = 10 2 + 2 ⋅ 9,81 ⋅ (80 − 20 ) Voor C geldt: v C = 10 + 2 ⋅ 9,81 ⋅ (80 − 40 ) 2

⇒ v B = v D = 35,7 m/s

⇒ v C = 29,7 m/s

Afgerond: ve = 36 m/s Afgerond: ve = 30 m/s

N.B. Bovenstaande oplossing vraagt om een nauwkeurig hanteren van de min-tekens. Uitgaande van de gedachte dat zwaarte-energie wordt omgezet in kinetische energie kun je de energievergelijking ook opzetten vanuit de gedachte: afname van Ez = toename van Ek ⇒ ⇒ m ⋅ g ⋅ Δh =

1 2

⋅ m ⋅ v e2 -

1 2

⋅ m ⋅ v b 2 ⇒ g ⋅ Δh =

1 2

⋅ v e2 -

1 2

⋅ v b2

Verder invullen levert dan hetzelfde resultaat. De oplossing is wat eenvoudiger van aard.

29 a Tijdens het stoten krijgt de kogel (meer) snelheid en hoogte. De geleverde arbeid wordt dus omgezet in een toename van de bewegingsenergie en de zwaarte-energie. b De energietoename tijdens het stoten is gelijk aan de arbeid W. De arbeid is gelijk aan het oppervlak onder de kromme. In de grafiek hiernaast is gekozen voor de oppervlakken A en B om dit oppervlak (grofweg) te benaderen. W = Fgem,A · sA + Fgem,B · sB = 72 · 0,60 + 21 ⋅ 60 ⋅ 0,20 = 49,2 J Afgerond: W = 49 J

c De energievergelijking zou in dit geval het volgende zijn: WF = ΔE k + ΔE z ⇒ WF = ( 21 ⋅ m ⋅ v e 2 - 0) + m ⋅ g ⋅ Δh

Het is echter niet bekend hoeveel de kogel omhoog (Δh is onbekend) wordt bewogen tijdens het stoten. De toename van de zwaarte-energie (ΔEz) tijdens het stoten is dus niet te bereken.

30 a Fveer = C · u ⇒ C =

Fveer 170 = = 425 N/m u 0,40

2

Afgerond: C = 4,3·10 N/m

b Indien wrijvingskrachten te verwaarlozen zijn, wordt de veerenergie die in de boog is opgeslagen, omgezet in kinetische energie van de pijl. c Energievergelijking: ΔE v − ΔE k = 0 . Je kunt ook uitgaan van de gedachte: afname van Ev = toename van Ek ⇒ ⇒ ΔE v = ΔE k ⇒ E v,b − E v,e = E k,e − E k,b ⇒ 21 ⋅ C ⋅ u b2 − 0 = 21 ⋅ m ⋅ v e2 − 0

⇒ v e2 =

1 2

⋅ C ⋅ ub2 1 2

⋅m

=

C ⋅ ub2 C ⋅ ub2 = ⇒ ve = m m

425 ⋅ 0,40 2 = 56,9 m/s 0,021


Newton vwo deel 3


10

Oefenopgaven 35 Energieopslag 3 9 8 3 Gegeven: Δh = 110 m; ηc = 0,80; Pe,max = 1,1·10 MW = 1,1·10 W; Vmax = 7,0·10 m . a m water = ρwater ⋅ V ⇒ V =

m ρ

Aangezien we hier 'per seconde werken' kunnen we werken met η =

Pnuttig Pe,max = . Pin Pin

Hierbij is Pin de zwaarte-energie die het vallende water per seconde toevoerd: Pin =

η=

E z m ⋅ g ⋅ Δh = t t

Pe,max Pe,max ⇒m = (met m de massa per seconde!) η ⋅ g ⋅ Δh m ⋅ g ⋅ Δh m=

b Δt =

1,1 ⋅ 10 9 1,274 ⋅ 10 6 3 3 ⇒ m = 1,274 ⋅ 10 6 kg/s en V = = 1277 m3 Afgerond: V = 1,3·10 m 3 0,80 ⋅ 9,81 ⋅ 110 0,998 ⋅ 10

Vmax 7,0 ⋅ 10 8 5,48 ⋅ 10 5 = = 5,48 ⋅ 10 5 s = = 6,346 dagen 1277 24 ⋅ 3600 Vper s

Afgerond: t = 6,3 dag

c Bij het omzetten naar elektrische energie gaat 20% van de zwaarte-energie verloren. Die verloren energie moet je ’s nachts wel weer aan het water toevoegen. Verder kan de pomp ‘s nachts ook niet 100% van de elektrische energie omzetten in zwaarte-energie. Er wordt dus overdag minder elektrische energie geleverd dan er ’s nachts wordt gebruikt om het water terug te pompen. Het voordeel van een dergelijke centrale dat andere centrales hierdoor gelijkmatiger elektrische energie kunnen produceren. De elektrische energie die ’s nachts geproduceerd wordt, gaat niet verloren, maar wordt (deels) opgeslagen in het spaarbekken. Overdag hoeven de andere centrales niet een groot piekvermogen te leveren, omdat de centrale met de spaarbekkens tijdens de piekvraag k an worden ingeschakeld. 36 Skiën Gegeven: zie figuur hiernaast; Fw,l,v-diagram. a Als de kinetische energie constant is, is ook de snelheid constant. Ten gevolge van het verrichten van (negatieve) arbeid door de totale wrijvingskracht Fw,t tijdens de afdaling van de skiër wordt zwaarte-energie omgezet in wrijvingsenergie (= warme) Q = Ew = Fw,t · s M.b.v. de energievergelijking: F Δh ΔE z + ΔEk = WFw ⇒ − m ⋅ g ⋅ Δh + 0 = Fw, t ⋅ s ⋅ cos 180° ⇒ = w s m⋅g N.B. Met de gedachte: afname van Ez = toename van warmte Q F Δh ⇒ ΔE z = Q ⇒ m ⋅ g ⋅ Δh = Fw,t ⋅ s ⇒ = w s m⋅g Hiermee omzeil je de min-tekens. Ook geldt sin α =

Δh Fw ⇒ sin α = s m⋅g

Ek = 4,2.104 J m = 90 kg Fw,s = 50 N

Fz,x

s Δh

α α

Fz

Onbekend: Fw

Fw = Fw,s + Fw,l Fw,l is af te lezen uit de grafiek als je de snelheid weet.

Ek =

1 2

⋅m ⋅v 2 ⇒ v =

Dus Fw,l = 260 N

Ek = ⋅m

1 2

4,2 ⋅ 10 4 = 30,6 m/s 1 ⋅ 90 2

(afgelezen uit de diagram bij v = 30,6 m/s)

Fw = 50 + 260 = 310 N 310 Afgerond: α = 21º sin α = = 0,351 ⇒ α = sin −1 (0,351) = 20,6° 90 ⋅ 9,81 Andere manier: Er is een krachtenevenwicht, want de snelheid is constant ⇒ Fw = Fz,x (zie figuur boven). Fw = Fz · sin α F 310 sin α = w = = 0,351 ⇒ α = 20,6º Afgerond: α = 21º Fz 90 ⋅ 9,81 Vervolg op volgende bladzijde.

Newton vwo deel 3


11

Vervolg van opg. 36.

b Nieuw gegeven: α = 30º; snelheid v is opnieuw constant. Het afgestane vermogen aan warmte is gelijk aan de arbeid per seconde verricht door de wrijvingskracht. W F ⋅s P= w = w = Fw ⋅ v t t Fw = Fz · sin α = 90 · 9,81 · sin 30º = 441 N v kun je bepalen uit het diagram als je de luchtwrijvingskracht weet: Fw = Fw,s + Fw,l ⇒ Fw,l = Fw – Fw,s = 441 – 50 = 391 N v = 37,5 m/s (aflezen uit het diagram) 4 4 Afgerond: P = 1,7·10 J P = 441 · 37,5 = 1,65·10 J 37 Bungee jumping Gegeven: m = 70 kg; ℓ = 25 m; C = 56 N/m. a ΔE z + ΔEk = WFw Als we aannemen dat de wrijvingskrachten verwaarloosbaar zijn, kun je zeggen dat de afname van de zwaarte-energie ΔEz gelijk is aan de toename van de kinetische energie ΔEk ⇒ ΔE z = ΔE k

m ⋅ g ⋅ Δh =

1 2

⋅ m ⋅ v e2

(vb = 0 m/s)

v e = 2 ⋅ g ⋅ Δh = 2 ⋅ 9,81 ⋅ 25 = 22,1 m/s


b De eerste 25 meter doorloopt de springer een vrije val waarbij de afnemende zwaarte-energie wordt omgezet in toename van de kinetische energie. Vanaf het moment dat het elastiek strak komt te staan, blijft de kinetische energie toenemen terwijl een deel van de omgezette zwaarte-energie ook in veerenergie wordt omgezet. Dit gaat door tot de evenwichts-stand is bereikt d.w.z. tot het moment dat de omhooggerichte veerkracht Fv = de zwaartekracht Fz . Vanaf dat moment neemt de zwaarteenergie verder af en neemt ook de kinetische energie af. In de laagste stand is de snelheid even 0 dus is ook Ek = 0. Op dat moment is de afgenomen zwaarte-energie volledig omgezet in veerenergie (aangenomen dat de wrijvingskrachten nog steeds verwaarloosbaar zijn' ⇒ ΔE z = ΔE v

m ⋅ g ⋅ Δh =

1 2

⋅C ⋅ u2 1 2

m · g · (u + 25) = ⋅ C ⋅ u

met Δh = u + 25 waarbij u de uitrekking van het elastiek is. 2

70 ⋅ 9,81 ⋅ u + 70 ⋅ 9,81 ⋅ 25 = 2

4

1 2

⋅ 56 ⋅ u 2

28 · u – 687 · u – 1,72·10 = 0 Oplossen met de abc-formule of de grafische rekenmachine. u = 39,9 m Δh = u + 25 = 39,9 + 25 = 64,9 m Afgerond: Δh = 65 m N.B. In deze uitwerking wordt de springer voorgesteld als een puntmassa zonder afmetingen. Als je rekening houdt met de afmetingen van de springer (ca. 2 m lang), dan moet je bij de waarde van 25 m telkens 2 m optellen. Voorafgaand aan de sprong bevindt het zwaartepunt van de springer zich immers 1 m boven het bevestigingspunt van het elastiek, na de sprong bevindt het zwaartepunt zich 1 m lager dan de voeten, wat samen 2 m verschil maakt ⇒ Δh = 27 m ⇒ ve = 23 m/s Als bij het antwoord van vraag b hiermee rekening is gehouden, moet er nóg 1 m bij opgeteld worden, omdat het hoofd zich nog 1 m lager bevindt dan het zwaartepunt van de springer: Dan wordt Δh = u + 27 + 1 = 40,8 + 27 + 1 = 68,8 m ⇒ Δh = 69 m

38 Computermodel bungee jumping Gegeven: computermodel bungeejump. Gevraagd: C-waarde waarbij de jumper na één keer veren tot een hoogte van 80 m komt. Voor de bungeejumper is de snelheidsrichting na het begin omlaag gericht. In het model wordt deze richting als een negatieve waarde voor de snelheid weergegeven. e e In het model is de 2 en 3 regel als volgt geformuleerd: als v<=0 dan c = 56 anders c = 56 eindals e

De c-waarde bij de beweging omhoog wordt dus vastgelegd in de 3 regel. Deze c-waarde moet dus aangepast worden. Bij een c-waarde van 47 N/m blijkt de bungeejumper tot ca. 80 m hoogte terug te veren.

Newton vwo deel 3


39 1 Trilling op een luchtkussenbaan Gegeven: zie figuur hiernaast.

m = 200 g

a Stel u is de uitwijking t.o.v. de evenwichtsstand. De veerconstante van de twee veren is Ct. 5,0 F F = Ct ⋅ u ⇒ Ct = = = 20 N/m u 0,25 Afgerond: Ct = 20 N/m

u = 25 cm

m 1 b f = en T = 2π C T ⇒ T = 2π

12

F = 5,0 N

na 1 trilling: u = 24 cm

0,200 1 = 0,6283 s ⇒ f = = 1,59 Hz 20 0,6283

Afgerond: f = 1,6 Hz

c Veerenergie wordt - via bewegingsenergie - weer omgezet in veerenergie plus een deel als warmte dat ontstaat door de arbeid die de wrijvingskracht verricht. d Ev =

1 2

⋅ C ⋅ u 2 ⇒ ΔE v = E v,0 − E v,1 =

1 2

(

)

⋅ C ⋅ u 02 − u12 =

1 2

(

)

⋅ 20 ⋅ 0,25 2 − 0,24 2 = 0,049 J -2

Afgerond: ΔEv = 4,9·10 J

40 Computermodel trilling op een luchtkussenbaan Gegeven: m = 0,200 kg; ℓe = 40 cm; ℓo = 10 cm. a De veren zijn identiek: stel de veerconstante van elke veer = C. In de evenwichtsstand zal de kracht F1 van de linkerveer even groot zijn als de kracht F2 van de rechter-veer én tegengesteld: dan is de resultante Fr = 0 N. Dit betekent dat ook in de evenwichtsstand beide veren dezelfde beginuitwijking hebben: stel dit is u0 . Bij een uitwijking van 0,25 m vanuit deze evenwichtsstand geldt dat Fr = F1 − F2 = 5,0 N . F1 = C ⋅ u1 = C ⋅ (u 0 + 0,25 ) en F2 = C ⋅ u 2 = C ⋅ (u 0 − 0,25 ) ⇒

Fr = F1 − F2 = C ⋅ (u 0 + 0,25 ) - C ⋅ (u 0 − 0,25 ) = 2 ⋅ C ⋅ 0,25 = 5,0 N ⇒ C =

5,0 = 10 N/m 0,50 Afgerond: C = 10 N/m

N.B. Eigenlijk komt het er op neer dat bij een situatie waarbij twee veren een tegengestelde kracht uitoefenen op een massa er geldt dat F = C t ⋅ u = (C1 + C 2 ) ⋅ u en dus bij identieke veren: F = 2 ⋅ C ⋅ u .

b Gegeven: uitwijking BD = 25 cm (zie figuur hiernaast).

A

40 cm

D

40 cm

C

Fr

De terugdrijvende kracht is de somkracht Fr van de twee veerkrachten F1 en F2 (zie figuur). Om de grootte van één van de veerkrachten te berekenen moet je weten hoe groot de uitrekking van die veer is bijv. u1 = AB - ℓo . Volgens de stelling van Pythagoras is

25 cm

F2

F1

½·Fr

B

AB = AD 2 + BD 2 = 40 2 + 25 2 = 47,2 cm

⇒ u1 = 47,2 - 10 = 37,2 cm = 0,372 m ⇒ F1 = C ⋅ u1 = 10 ⋅ 0,372 = 3,72 N Wiskundig geldt dat bij een parallellogram de diagonalen loodrecht op elkaar staan én elkaar middendoor delen. Uit de constructie-figuur van de krachtenoptelling valt dan 1 ⋅F BD DB 25 r = ⇒ Fr = 2 ⋅ F1 ⋅ = 2 ⋅ 3,72 ⋅ = 3,94 N de volgende verhouding af te leiden: 2 AB AB 47,2 F1 Afgerond: Fr = 3,9 N

c Stel dat de uitwijking BD tweemaal zo groot wordt ⇒ B*D = 50 cm (zie figuur hieronder). Dan is AB* = AD 2 + B * D2 = 402 + 50 2 = 64,0 cm * ⇒ u1 = 64,0 - 10 = 54,0 cm = 0,54 m ⇒

F1*

= C ⋅ u1*

D

A

F

= 10 ⋅ 0,54 = 5,4 N

De kracht F1 is minder dan 2× zo groot: F1* 5,4 = = 1,4 × . Dus de terugdrijvende kracht F1 3,9 is niet rechtevenredig met de uitwijking B*D.

C * r

50 cm

F1*

B

Vervolg op volgende bladzijde.

B*

Newton vwo deel 3


13

Vervolg van opgave 40.

1 Uit het u,t-diagram is af te lezen dat T er 14 trillingen zijn in een tijdsduur Δt = 9,96 s. 9,96 1 T= = 0,711 s ⇒ f = = 1,406 Hz 14 0,711

d f =

Afgerond: f = 1,4 Hz

e Werkwijze: vul in de modelvergelijking steeds een andere waarde voor de uitwijking u in. Laat via de startknop een u,t-diagram tekenen. Lees bijvoorbeeld de tijdsduur van 10 trillingen af 10·T T u f m.b.v. de funktie 'UITLEZEN' (via 'GEREEDSCHAPPEN') (m) (s) (s) (Hz) en bepaal daaruit de trillingstijd T. 0,10 7,22 0,722 1,39 1 0,20 7,16 0,716 1,40 M.b.v. f = bereken je de frequentie (zie diagram). T 0,30 7,06 0,706 1,42 0,40 6,97 0,697 1,43 Conclusie: er is een lichte toename te zien in 0,50 6,89 0,689 1,45 de frequentie f. Bij afronden op 2 getallen is te concluderen dat deze frequentie vrijwel constant is: f = 1,4 Hz.

16.5 Afsluiting Oefenopgaven 44 Lift en contragewicht Oriëntatie: Gevraagd:

E e,zonder E e,met

.

Gegeven: 6 personen met mp = 75 kg; ml = 350 kg; Δh = 18 m; mc = 500 kg. We nemen aan dat de elektromotor een rendement heeft van 100% dat wil zeggen dat het verbruik Ee even groot is als de arbeid W die de motor daardoor verricht.

Planning: De arbeid W, die de motor moet verrichten zonder contragewicht, is gelijk de toename ΔEz = mtotaal ⋅ g ⋅ Δh . Met contragewicht kun je zeggen dat een deel van de massa, die omhoog gaat, gecompenseerd wordt door de massa van het contragewicht dat omlaag gaat. Of mtotaal,mét = mtotaal - mc. Uitvoering: Zonder contragewicht mtotaal = 6 ⋅ mp + ml = 6 ⋅ 75 + 350 = 800 kg ⇒ ΔE z,zonder = 800 ⋅ 9,81 ⋅ 18 = 1,413 ⋅ 10 5 J Mét contragewicht mtotaal,mét = 800 - 500 = 300 kg ⇒ ΔE z,met = 300 ⋅ 9,81 ⋅ 18 = 0,530 ⋅ 10 5 J E e,zonder E e,met

=

ΔE z,zonder W zonder 1,413 ⋅ 10 5 = = = 2,67 Wmet ΔE z,met 0,530 ⋅ 10 5

Controle: Conclusie: Het energieverbruik is door het aanbrengen van het contragewicht 2,7× zo klein. N.B. Als het rendement van de motor lager is, bijvoorbeeld 95%, dan heeft dat geen invloed E e,zonder op de conclusie omdat de verhouding ook dan hetzelfde blijft. E e,met

Newton vwo deel 3


14

45 Rendement bij het fietsen Oriëntatie Gevraagd: η Gegeven: v = 20 km/h = 5,56 m/s; Pch = 520 W; diagram van F tegen ϕ ; s = 5,1 m als Δϕ = 360º (als de trapper één rondje maakt); ℓ = 17 cm = 0,17 m. Planning/uitvoering E nuttig W = η= Nieuwe onbekenden: W en Ech E in E ch W = Fgem ⋅ s

oppervlak grafiek per rondje trappen 360° oppervlak = 21 ⋅ 12 ⋅ 3 ⋅ 125 + 18 ⋅ 3 ⋅ 125 + 21 ⋅ 20 ⋅ 3 ⋅ 125

Fgem =

= 12750 (zie diagram hiernaast) oppervlak grafiek 12750 = 35,4 N Fgem = = 360° 360 s = 2 · π · r = 2 · π · ℓ = 1,07 m W = Fgem ⋅ s = 35,4 · 1,07 = 37,8 J

Tweede manier om de arbeid W te berekenen:

∫

W = F (s ) ⋅ ds want de kracht is niet constant.

Ech = Pch · t

s 5,1 s=v·t ⇒ t = = = 0,917 s v 5,56 Ech = 520 · 0,917 = 477 J 37,8 η= = 0,0792 Afgerond: η = 0,079 = 7,9 % 477 Controle Het aantal significante cijfers en de eenheid kloppen. Het rendement is niet erg groot. Ook andere lichaamsprocessen vereisen (chemische) energie. 46 Schansspringen Oriëntatie Gevraagd: afstand BC Gegeven: m = 85 kg Fw,schans = 57 N AS = 70 m Δh1 = 40 m (zie tekening) 3 Ww,l = - 38·10 J vC = 112 km/h = 31,1 m/s SB = 10 m

2π ⋅ A ⋅ ϕ . 360° De integraal is daarmee ook te schrijven als: De verplaatsing s(ϕ ) =

W =

2π ⋅ A ⋅ 360°

360°

∫ F ( ϕ ) ⋅ dϕ

0°

2π ⋅ A ⋅ oppervlak grafiek (per rondje) 360° 2π ⋅ 0,17 W = ⋅ 12750 = 37,8 J 360° W =

Δh1 Δh2

ΔhBC

Planning/uitvoering ΔhBC ΔhBC ⇒ BC = Nieuwe onbekende: ΔhBC sin 30° = BC sin 30° ΔhBC = Δh2 – SB (zie tekening) Nieuwe onbekende: Δh2 Tijdens de afdaling én de vlucht wordt de zwaarte-energie omgezet in kinetische energie én arbeid verricht door de wrijvingskrachten (d.w.z. warmte): ΔE z, AS + ΔE z,SB = ΔEk + W w, schans + W w,l m ⋅ g ⋅ Δh1 + m ⋅ g ⋅ Δh2 =

1 2

2

⋅ m ⋅ v e + Fw,schans ⋅ AS + W w,l

85 ⋅ 9,81 ⋅ 40 + 85 ⋅ 9,81 ⋅ Δh2 =

1 2

⋅ 85 ⋅ 31,12 + 57 ⋅ 70 + 38 ⋅ 10 3

Δh2 = 59,7 m ΔhBC = Δh2 – SB = 59,7 – 10 = 49,7 ΔhBC 49,7 = 99,4 m = BC = sin 30° sin 30°

Afgerond: BC = 99 m

Controle Het aantal significante cijfers en de eenheid kloppen. Dit is een reële afstand bij het schansspringen.

Newton vwo deel 3


15

47 Motorvermogen Oriëntatie Gevraagd: Pm van de auto groot genoeg? Gegeven: helling = 10% = 0,10 ⇒ sin α = 0,10 v = 100 km/h = 27,8 m/s zie verder de tabel in het verwerkingsboek Planning/uitvoering In de bergen wordt de motor-arbeid van de auto gebruikt voor het opheffen van de (negatieve) arbeid verricht door de zwaartekracht Fz en de wrijvingskracht Fw ⇒ Wmotor = toename Ez + wrijvingsarbeid Ww ⇒ Het is handig de energievergelijking in te vullen voor t = 1,0 s. Pm ⋅ t = ΔE z + W w Pm ⋅ t = m ⋅ g ⋅ Δh + Fw,tot ⋅ s

Nieuwe onbekenden: Δh, Fw,tot en s

s = v · t = 27,8 · 1,0 = 27,8 m Δh sin α = ⇒ Δh = s ⋅ sin α = 27,8 · 0,10 = 2,78 m s Fw,tot = Fw,r + Fw,l Nieuwe onbekende: Fw,l Fw,l = 21 ⋅ c w ⋅ A ⋅ ρ ⋅ v 2 = 21 ⋅ 0,33 ⋅ 2,0 ⋅ 1,293 ⋅ 27,8 2 = 330 N

3

(BINAS tabel 12: ρlucht = 1,293 kg/m )

Fw,tot = Fw,r + Fw,l = 240 + 330 = 570 N Pm · 1,0 = 885 · 9,81 · 2,78 + 570 · 27,8 4

Pm = 4,00·10 W Conclusie:

Afgerond: Pm = 40 kW

De motor heeft een groter vermogen dan 40 kW. Het is dus mogelijk om met deze auto met een grotere snelheid dan 100 km/h tegen een helling van 10% oprijden.

Controle Het aantal significante cijfers en de eenheid kloppen. De uitkomst voor Pm is realistisch en ligt in de buurt van het maximale vermogen van de auto.

Newton vwo deel 3 Uitwerkingen Hoofdstuk 16 Energie en energiestromen 4

Recommend Documents