NEPARAMETRCKÝ ODHAD MODELU GARCH-M

´ ODHAD MODELU NEPARAMETRCKY GARCH-M Q. V. Tran, J. Radov´a Vysok´a ˇskola ekonomick´a v Praze Abstrakt Modely typu GARCH jsou obvykle odhadov´ any metodou maxim´ aln´ı vˇ erohodnosti, a to bud’ parametrick´ ym nebo neparametrick´ ym pˇ r´ıstupem. Odhad modelu GARCH parametrick´ ym pˇ r´ıstupem je velmi pohodln´ y, nicm´ enˇ e odhadnut´ e parametry touto technikou silnˇ e z´ avis´ı na distribuˇ cn´ı specifikaci. Nevhodnˇ e zvolen´ y typ rozdˇ elen´ı n´ ahodn´ e sloˇ zky m˚ uˇ ze v´ est k nekonzistentn´ım odhad˚ um parametr˚ u tohoto modelu. Jako alternativa k t´ eto technice proto je zvolen neparametrick´ y pˇ r´ıstup, ve kter´ em jak parametry modelu, tak i rozdˇ elen´ı n´ ahodn´ e sloˇ zky jsou odhadnuty pˇ r´ımo z dat. K nalezen´ı ˇ reˇ sen´ı maximalizuj´ıc´ıho hodnotu vˇ erohodnostn´ı funkce m´ısto tradiˇ cn´ı optimalizaˇ cn´ı techniky se v t´ eto pr´ aci pouˇ z´ıv´ a heuristick´ y algoritmus, konkr´ etnˇ e diferenci´ aln´ı evoluce. Tento heuristick´ y pˇ r´ıstup sice nemus´ı naj´ıt skuteˇ cn´ e optim´ aln´ı ˇ reˇ sen´ı, ale m˚ uˇ ze efektivnˇ e zabr´ anit tomu, aby se postup pˇ ri hled´ an´ı ˇ reˇ sen´ı uv´ızl v lok´ aln´ım optimu. Vhodnost zvolen´ e metody bude ovˇ eˇ rena na modelov´ an´ı forwardov´ e pr´ emie smˇ enn´ eho kurzu, a to kurz ˇ cesk´ e koruny v˚ uˇ ci americk´ emu dolaru a spoleˇ cn´ e mˇ enˇ e Euro modelem GARCH-M v obdob´ı od roku 2007 do roku 2012. V´ ysledky z´ıskan´ e toto metodou budou tak´ e porovn´ any s v´ ysledky t´ ehoˇ z modelu z´ıskan´ ymi tradiˇ cn´ı optimalizaˇ cn´ı metodou. Cel´ y v´ ypoˇ cet v t´ eto pr´ aci je proveden v prostˇ red´ı Matlab.

1

´ Uvod

Od chv´ıle, kdy Engle [3] (specifikace ARCH) a pozdˇeji Bollerslev [1] vypracovali model zobecnˇen´e autoregresn´ı podm´ınˇen´e heteroskedasticity (GARCH) se ukazuje, ˇze modely z t´eto rodiny jsou cenn´ ymi n´astroji pro modelov´an´ı finanˇcn´ıch ˇcasov´ ych ˇrad s ˇcasovˇe promˇenlivou volatilitou. Finanˇcn´ı data, jak zn´amo, ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpadech nemaj´ı norm´aln´ı rozdˇelen´ı. Jejich rozdˇelen´ı b´ yvaj´ı leptokurtick´a, to znamen´a, ˇze jsou ˇspiˇcatˇejˇs´ı a maj´ı tlustˇs´ı konce neˇz norm´aln´ı rozdˇelen´ı. Nevˇzdy tento fakt b´ yv´a br´an na zˇretel pˇri odhadu parametr˚ u modelu z t´eto rodiny. Sp´ıˇse naopak, jeho parametry jsou nejˇcastˇeji odhadov´any metodou maxim´aln´ı vˇerohodnosti, pˇri kter´e se mus´ı specifikovat typ rozdˇelen´ı n´ahodn´e ˇ a specifikace pˇri odhadu je norm´aln´ı rozdˇelen´ı. Tuto specifikaci lze sloˇzky modelu. Cast´ modifikovat Studentov´ ym t-rozdˇelen´ım, pˇr´ıpadnˇe obecn´ ym rozdˇelen´ım n´ahodn´eho ˇclenu modelu. V´ıme, ˇze chybn´a specifikace typu rozdˇelen´ı pˇri odhadu parametr˚ u metodou maxim´aln´ı vˇerohodnosti m˚ uˇze v´est k jejich nekonzistentn´ım odhad˚ um a proto pˇri odhadu parametr˚ u modelu GARCH parametricky pomoc´ı urˇcit´eho typu rozdˇelen´ı nezajist´ı konzistentn´ı odhad jeho parametr˚ u. Dalˇs´ı probl´em spojen´ y s odhadem parametr˚ u modelu je ten, ˇze se nejˇcastˇeji maximum vˇerohodnostn´ı funkce hled´a pomoc´ı tradiˇcn´ıch iterativn´ıch optimalizaˇcn´ıch metod. Bˇeˇznˇe se pouˇz´ıv´a napˇr. Newtonova Raphsonova metoda, Berndt˚ uv - Hall˚ uv - Hall˚ uv a Hausman˚ uv algoritmus (zkr´acenˇe BHHH, [2]) nebo Marquardtova metoda [5]. Tyto metody vych´azej´ı z urˇcit´ ych poˇca´teˇcn´ıch hodnot vˇsech odhadovan´ ych parametr˚ u modelu a v kaˇzd´em kroku se tyto hodnoty pˇribliˇzuj´ı k maximu vˇerohodnostn´ı funkce. M´a-li tato funkce jedno jedin´e maximum, odhadovan´e parametry modelu se vˇzdy najdou po urˇcit´em

poˇctu iterac´ı. Pokud jich m´a vˇsak v´ıce, tyto metody mohou nal´ezt pouze lok´aln´ı maximum, nikoliv glob´aln´ı maximum. A neexistuje ˇz´adn´ y zp˚ usob, jak dostat optimalizaˇcn´ı iterace z lok´aln´ıho optima k glob´aln´ımu optimu. Glob´alnˇe optim´aln´ı ˇreˇsen´ı je moˇzn´e z´ıskat pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze zaˇc´ın´ame optimalizaˇcn´ı postup s hodnotami parametr˚ u v okol´ı bodu optima. To vˇsak nem˚ uˇzeme vˇedˇet pˇredem, kde se nach´az´ı. Abychom pˇredeˇsli zm´ınˇen´ ym probl´em˚ um, navrhujeme odhad modelu GARCH neparametrick´ ym postupem. Pˇri tomto postupu nejen parametry modelu, ale i pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı chybov´e sloˇzky modelu jsou odhadnuty z dat. Tento postup odstran´ı probl´em s moˇznou chybnou specifikaci typu rozdˇelen´ı, kter´a vede ˇcasto k nekonzistentn´ım odhad˚ um parametr˚ u modelu. Pokud jde o vyˇreˇsen´ı probl´emu spojen´eho s tradiˇcn´ımi optimalizaˇcn´ımi metodami, m´ısto nich zvol´ıme heuristickou optimalizaˇcn´ı techniku, konkr´etnˇe diferenci´aln´ı evoluci, pˇri hled´an´ı hodnot parametr˚ u modelu maximalizuj´ıc´ı jejich vˇerohodnostn´ı funkci. Heuristick´e metody sice nezaruˇc´ı, ˇze nalezen´e hodnoty jsou skuteˇcnˇe optim´aln´ı hodnoty, ale spolehlivˇe zabran´ı tomu, aby se optimalizaˇcn´ı proces uv´ızl v lok´aln´ım maximu vˇerohodnostn´ı funkce. Takto zvolen´a metodika, pokud je n´am zn´amo, je zcela nov´a a v´ yraznˇe se liˇs´ı od ˇcasto citovan´eho pˇr´ıstupu od Buhlmanna a McNeila [6]. Abychom ovˇeˇrili spr´avnost n´ami navrˇzen´eho postupu, budeme jej verifikovat na specifikaci GARCH-M na datech o forwardov´em mˇenov´em kurzu ˇcesk´e koruny v˚ uˇci spoleˇcn´e mˇenˇe Euru a americk´emu dolaru v obdob´ı 2007- 2012. Tyto v´ ysledky jsou n´aslednˇe porovn´any s v´ ysledky z´ıskan´ ymi tradiˇcn´ı optimalizaˇcn´ı metodou pro stejn´ y datov´ y soubor.

2

Model GARCH-M a jeho odhad

Engle v roce 1982 pˇriˇsel s jednoduch´ ym modelem autoregresn´ı podm´ınˇen´e heteroskedasticity, jehoˇz specifikace se skl´ad´a ze dvou rovnic. Prvn´ı z nich je rovnice podm´ınˇen´eho pr˚ umˇeru: yt = XtT b + t , (1) kde yt je podm´ınˇen´ y pr˚ umˇer, Xt je matice vysvˇetluj´ıc´ıch promˇenn´ ych, b je vektor koeficient˚ u a t je n´ahodn´a sloˇzka nezn´am´eho rozdˇelen´ı s nulov´ ym pr˚ umˇerem a podm´ınˇen´ ym rozptylem ht vzhledem k mnoˇzinˇe informac´ı F dostupn´ ych v ˇcase t − 1 (t /Ft−1 ∼ (0, ht ). Druh´a rovnice je rovnice podm´ınˇen´eho rozptylu, kter´ y je autoregresn´ı proces ˇctverc˚ u n´ahodn´e sloˇzky ˇr´adu p: ht = α0 + α1 2t−1 + α1 2t−2 + ... + αp 2t−p .

(2)

Aby byla zajiˇstˇena podm´ınka nez´apornosti podm´ınˇen´eho rozptylu, vˇsechny koeficienty v rovnici podm´ınˇen´eho rozptylu mus´ı b´ yt kladn´e a jejich souˇcet mus´ı b´ yt menˇs´ı neˇz 1. Bollerslev [1] v roce 1986 zobecnil Engle˚ uv model ARCH na model GARCH zahrnut´ım q zpoˇzdˇen´ ych ˇclen˚ u od ht−1 aˇz ht−q do vztahu pro podm´ınˇen´ y rozptyl a rovnice (2) nab´ yv´a n´asleduj´ıc´ı podobu: p q X X 2 ht = α0 + αi t−i + βj ht−j . (3) 1

1

Podm´ınka nez´apornosti podm´ınˇen´eho rozptylu opˇet vyˇzaduje, aby vˇsechny koeficienty v rovnici (3) byly nez´aporn´e a jejich souˇcet byl menˇs´ı neˇz 1. Engle, Lilien a Robins [7] v roce 1987 zaˇclenili podm´ınˇen´ y rozptyl do rovnice (1), t´ım vytvoˇrili tzv. model ARCH-M, jehoˇz rovnice podm´ınˇen´eho rozptylu m´a n´asleduj´ıc´ı podobu: yt = XtT b + δht + t .

(4)

Zaˇclenˇen´ım podm´ınˇen´eho rozptylu do rovnice podm´ınˇen´eho pr˚ umˇeru ˇcin´ı podm´ınˇen´ y pr˚ umˇer funkc´ı podm´ınˇen´eho rozptylu. To znamen´a, ˇze zmˇena ve variabilitˇe pr˚ umˇeru

zpˇetnˇe ovlivn´ı samotn´ y pr˚ umˇer a ˇc´ım vyˇsˇs´ı je variabilita v minulosti, t´ım v´ıce se to projev´ı na zmˇenˇe samotn´eho pr˚ umˇeru v souˇcasnosti. O rok pozdˇeji specifikace ARCH-M byla rozˇs´ıˇrena o ˇcleny zpoˇzdˇen´eho podm´ınˇen´eho rozptylu v rovnici pro podm´ınˇen´ y rozptyl a tak vznikl zobecnˇen´ y model GARCH-M. Parametry modelu GARCH-M jsou nejˇcastˇeji odhadov´any metodou maxim´aln´ı vˇerohodnosti, pokud jsou p a q jsou relativnˇe mal´a ˇc´ısla. Na zaˇca´tku jsme pˇredpokl´adali, ˇze n´ahodn´a sloˇzka modelu poch´az´ı z nˇejak´eho pravdˇepodobnostn´ıho rozdˇelen´ı s nulov´ ym pr˚ umˇerem a podm´ınˇen´ ym rozptylem t . Jelikoˇz z rovnice (3) ji m˚ uˇzeme vyj´adˇrit takto: t = yt − XtT b − δht . Dosad´ıme ht = α0 +

p X

αi 2t−i +

βj ht−j do rovnice (5), dostaneme:

1

1

t = yt −

q X

(5)

XtT b

− δ(α0 +

p X

αi 2t−i

+

q X

βj ht−j ).

(6)

1

1

yt je vektor vysvˇetlovan´e promˇenn´e, Xt je matice vysvˇetluj´ıc´ıch promˇenn´ ych, oba jsou zn´am´e. Z toho je patrn´e, ˇze odpov´ıdaj´ıc´ı vˇerohodnostn´ı funkce n´ahodn´e sloˇzky modelu mus´ı b´ yt funkc´ı nezn´am´ ych parametr˚ u b, α0 , αi a βj , kter´e spoj´ıme do vektoru nezn´am´ ych parametr˚ u θ, a jej´ıho podm´ınˇen´eho rozptylu ht . Souhrnnˇe m˚ uˇzeme vˇerohodnostn´ı funkci formalizovat l takto: l(θ, ht ; yt | Xt ) = f (yt | Xt ; θ, ht ). (7) Protoˇze m´ame T pozorov´an´ı a jednotliv´ y ˇclen n´ahodn´e sloˇzky mus´ı b´ yt nez´avisl´ y na ostatn´ıch, celkov´a vˇerohodnostn´ı hodnota L je: L=

T Y

f (yt | Xt ; θ, ht ).

(8)

1

Zlogaritmujeme vztah (5), obdrˇz´ıme tzv. logaritmickou vˇerohodnostn´ı funkci: ln L =

T X

ln f (yt | Xt ; θ, ht ).

(9)

1

Je-li rozdˇelen´ı n´ahodn´e sloˇzky modelu zn´am´e, odhad vektoru parametr˚ u θ se st´av´a bˇeˇzn´ ym optimalizaˇcn´ım probl´emem, tj. naj´ıt takov´ y vektor θ, kter´ y maximalizuje hodnotu ln L. Napˇr. pˇredpokl´adejme, ˇze n´ahodn´a sloˇzka m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı s nulov´ ym pr˚ umˇerem a podm´ınˇen´ ym rozptylem ht , potom jej´ı vˇerohodnostn´ı funkce je:   1 (yt − XtT b − δht ))2 f (t ; 0, ht ) = √ exp . (10) ht 2πht Zlogaritmujeme rovnici (10), dostaneme: 1 1 1 (yt − XtT b − δht )2 ln f (t ; 0, ht ) = − ln 2π − ln ht − . 2 2 2 ht

(11)

Celkov´a vˇerohodnostn´ı hodnota T

T

T 1X 1 X (yt − XtT b − δht )2 ln L = − ln 2π − ln ht − , 2 2 1 2 1 ht

(12)

kde ht = α0 +

p X 1

αi 2t−i

+

q X

βj ht−j . Z toho je zˇrejm´e, ˇze odhad parametr˚ u modelu

1

GARCH-M parametrickou metodou je velmi pohodln´ y. K nalezen´ı optim´aln´ı vektor parametr˚ u θ m˚ uˇzeme pouˇz´ıt nˇekterou ze zn´am´ ych optimalizaˇcn´ıch metod pro neline´arn´ı vˇerohodnostn´ı funkci ln L. Takov´ y odhad ovˇsem nemus´ı b´ yt konzistentn´ı v pˇr´ıpadˇe, ˇze rozdˇelen´ı n´ahodn´e sloˇzky je ˇspatnˇe specifikov´ano. Abychom tomu zabr´anili, budeme se snaˇzit z vstupn´ıch dat odhadnout i rozdˇelen´ı n´ahodn´e sloˇzky.

3

Kernelov´ y odhad rozdˇ elen´ı n´ ahodn´ e sloˇ zky modelu

Parametrick´ y odhad parametr˚ u modelu GARCH-M je pohodln´ y, protoˇze apriornˇe pˇredpokl´ad´a funkˇcn´ı tvar pravdˇepodobnostn´ıho rozdˇelen´ı n´ahodn´e sloˇzky modelu. Neparametrick´ y pˇr´ıstup odhadu postupuje jinak. Povaˇzuje za nutn´e, aby funkˇcn´ı tvar rozdˇelen´ı byl odhadnut z dat stejnˇe tak jako parametry modelu. Vych´az´ı z definice hustoty pravdˇepodobnosti, ˇze pro spojitou n´ahodnou veliˇcinu X s hustotou rozdˇelen´ı f (x) mus´ı platit: Z b f (x)dx, (13) P (a ≤ X ≤ b) = a

pˇriˇcemˇz f (x) zn´ame a mus´ıme ji odhadnout z pozorov´an´ı (x1 , x2 , ..., xn ), kter´e jsou povaˇzov´any za nez´avisl´e realizace n´ahodn´e veliˇciny X. V naˇsem pˇr´ıpadˇe je to n´ahodn´a sloˇzka modelu t , kter´a tuto podm´ınku splˇ nuje. Vztah (13) m˚ uˇzeme aproximovat n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: Z x+h

P (x − h ≤ X ≤ x + h) =

f (x)dx ≈ 2hf (x),

(14)

x−h

kde h je mal´e kladn´e ˇc´ıslo. Vztah (14) m˚ uˇzeme upravit na: 1 fˆ(x) = P (x − h ≤ X ≤ x + h). 2h

(15)

Protoˇze P (x − h ≤ X ≤ x + h) m˚ uˇzeme vypoˇc´ıst jako: P (x − h ≤ X ≤ x + h) =

# ∈ (x − h, x + h) , n

kde n je celkov´ y poˇcet pozorov´an´ı, potom uprav´ıme (15) na: 1 # ∈ (x − h, x + h) fˆ(x) = . 2h n

(16)

Vztah (16) nen´ı nic jin´eho neˇz definice histogram a histogram je tedy hrub´ y odhad hustoty rozdˇelen´ı n´ahodn´e veliˇciny. Histogram poskytuje z´akladn´ı informace o typu rozdˇelen´ı n´ahodn´e veliˇciny, o jej´ı ˇsikmosti, ˇspiˇcatosti. Nicm´enˇe je to pouze hrub´ y odhad hustoty, protoˇze je to schodkovit´a funkce a v pˇr´ıpadˇe, ˇze nˇekter´ y z tˇech interval˚ u je pr´azdn´ y, je to i nespojit´a funkce. Hladkost a spojitost odhadnut´e hustoty lze dos´ahnout n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem. Rovnici (16) uprav´ıme na: n

1X w(x − xi , h), fˆ(x) = n 1

(17)

kde (x1 , x2 , ..., xn ) jsou realizace n´ahodn´e veliˇciny X a w(t, h) je tzv. v´ahov´a funkce definovan´a n´asledovnˇe:   1 if |t| < h, w(t, h) = 2h (18) 0 otherwise.

Je snadn´e dok´azat, ˇze funkce fˆ(x) splˇ nuje vˇsechny podm´ınky pro hustoty pravdˇepodobnosti, n n X X 1 w(x − xi , h) = 1. Ukazuje se, ˇze odhadnut´e hladk´e rozdˇelen´ı tj. je nez´aporn´a a n 1 1 pravdˇepodobnosti je v´aˇzen´ y pr˚ umˇer tˇech pozorov´an´ı, kter´e padaj´ı do symetrick´eho okol´ı bodu, ve kter´em odhadujeme, pˇriˇcemˇz v´ahy jsou urˇceny v´ahovou funkc´ı w(t, h). V´ahovou funkci tak´e naz´ yvaj´ı kernelovou (j´adrovou) funkci, kterou znaˇc´ıme jako K(x). Existuje pomˇernˇe velk´e mnoˇzstv´ı kernelov´ ych funkc´ı, kter´e by mˇely b´ yt symetrick´e a ohraniˇcen´e. Nejˇcastˇeji pouˇz´ıvan´e kernelov´e funkce jsou norm´aln´ı, Epaneˇcnikovova a troj´ uheln´ıkov´a. Z ˆ rovnice (17) je patrn´e, ˇze vlastnost odhadnut´e hustoty rozdˇelen´ı f (x) z´avis´ı jak na volbˇe typu kernelov´e funkce, tak na zvolen´e d´elce intervalu kolem bodu, v nˇemˇz odhadujeme tuto hustotu. Ukazuje se, ˇze odhad hustoty nez´avis´ı tolik na volbˇe kernelu, ale je silnˇe ˇ ım ˇsirˇs´ı je toto okno, t´ım hladˇs´ı je odhadnut´a z´avisl´ y na d´elce vyhlazovac´ıho okna [4]. C´ hustota, coˇz ale tak´e znamen´a, ˇze odklon od skuteˇcn´e hustoty bude vˇetˇs´ı. Naopak, pokud je d´elka tohoto okna je menˇs´ı, odklon skuteˇcn´e hustoty bude menˇs´ı, zato vˇsak m´a vˇetˇs´ı rozptyl. Volba d´elky tohoto okna proto mus´ı b´ yt kompromisem mezi tˇemito dvˇema faktory. Pˇredpokl´adejme, ˇze m´ame odhadnutou hustotu rozdˇelen´ı n´ahodn´e sloˇzky modelu GARCHM ve formˇe:   T  − t 1 X ˆ K , (19) f () = Th 1 h potom odhad parametr˚ u modelu GARCH-M znamen´a naj´ıt vektor parametr˚ u θ, kter´ y maximalizuje hodnotu logaritmick´e vˇerohodnostn´ı funkce: "  # T T X 1 X  − t ln L = ln K , (20) T h h 1 1 kde t = yt − XtT b − δht .

4

Diferenci´ aln´ı evoluce

Optim´aln´ı ˇreˇsen´ı pro logaritmickou vˇerohodnostn´ı funkci (20) je moˇzn´e naj´ıt pomoc´ı tradiˇcn´ıch optimalizaˇcn´ıch metod. Funkce (20) je funkce s pomˇernˇe velk´ ym poˇctem nez´avisl´ ych promˇenn´ ych se sloˇzit´ ym pr˚ ubˇehem, proto nelze vylouˇcit, ˇze se jedn´a o v´ıcemod´aln´ı funkci. Z toho plyne, ˇze optim´aln´ı ˇreˇsen´ı nemus´ı b´ yt glob´aln´ı, ale pouze lok´aln´ı. Abychom obeˇsli tomuto probl´emu, pouˇz´ıv´ame heuristick´ y algoritmus zvan´ y diferenci´aln´ı evoluci pro hled´an´ı optim´aln´ıho ˇreˇsen´ı. Jedn´a se o pomˇernˇe nov´ y heuristick´ y postup pro hled´an´ı glob´aln´ıho optima funkc´ı v´ıce promˇenn´ ych, kter´ y navrhli Storn a Price [8] na konci 90. let minul´eho stolet´ı. Jedn´a se o jednoduch´ y model Darwinovy evoluˇcn´ı teorie v´ yvoje populac´ı a vyuˇz´ıv´a se r˚ uzn´ ych pojm˚ u z evoluˇcn´ı teorie jako jedinec, populace, generace, evoluce, rodiˇc, potomek, kˇr´ıˇzen´ı, mutace. Na zaˇc´atku se vygeneruje populace s urˇcit´ ym poˇctem jedinc˚ u. Pˇrechod k nov´e generaci prob´ıh´a tak, ˇze se kaˇzd´ y jedinec z p˚ uvodn´ı generace kˇr´ıˇz´ı se sv´ ym vlastn´ım n´ahodn´ ym mutantem. T´ım vznikne nov´ y potomek a pokud je kvalitnˇejˇs´ı neˇz sv˚ uj rodiˇc, tak ho vytlaˇc´ı z p˚ uvodn´ı populace. T´ım vznik´a nov´a populace. Jednoduch´ ym cyklem pˇres vˇsechny jedince star´e populace tak dostaneme celou novou populaci, kter´a nem˚ uˇze b´ yt horˇs´ı, neˇz ta star´a. Prob´ıh´a tedy urˇcit´e pˇribliˇzov´an´ı se k optim´aln´ımu ˇreˇsen´ı a t´ım se liˇs´ı diferenci´aln´ı evoluce od n´ahodn´eho prohled´av´an´ı. Podstatou u ´spˇechu diferenci´aln´ı evoluce je tedy generace n´ahodn´eho mutanta a jeho kˇr´ıˇzen´ı s rodiˇci. Pˇri hled´an´ı optima spojit´e funkce f (x) na nepr´azdn´e oblasti D = {x ∈ Rd : a ≤ x ≤ b} vych´az´ıme z n´ahodn´e populace N jedinc˚ u, tedy z mnoˇziny P = (x1 , . . . , xN ) ⊂ D. Potom

pro kaˇzd´ y vektor xk ze star´e populace P urˇc´ıme mutanta y s vyuˇzit´ım nov´ ych vz´ajemnˇe r˚ uzn´ ych jedinc˚ u r1 , r2 , r3 z populace P podle vztahu: y = r1 + F (r2 − r3 )

(21)

kde 0 < F ≤ 1 je parametr ovlivˇ nuj´ıc´ı rozsah mutace. Uveden´a technika mutace je oznaˇcov´ana jako n´ahodn´a evoluce. Alternativn´ım postupem pˇri vygenerov´an´ı nov´e generace n´ı je c´ılen´a mutace, kdy vybereme nejlepˇs´ıho (m´a nejlepˇs´ı hodnotu u ´ˇcelov´e funkce f ) jedince xbest z populace P a ˇctyˇri od sebe r˚ uzn´e jedince r1 , r2 , r3 , r4 z populace P podle vztahu: y = xbest + F (r1 + r2 − r3 − r4 ). (22) Takto vznikl´ y mutant y nemus´ı b´ yt prvkem oblasti D. V tom pˇr´ıpadˇe ho pˇreklop´ıme zpˇet s vyuˇzit´ım jedn´e nebo nˇekolika hraniˇcn´ıch nadrovin oblasti D. Uveden´a korekce polohy je naz´ yv´ana zrcadlen´ı. Pˇri kˇr´ıˇzen´ı rodiˇce xk s (pˇr´ıpadnˇe korigovan´ ym) mutantem y vyjadˇrujeme genetickou pˇrevahu mutanta parametrem 0 ≤ C ≤ 1 a n´ahodn´eho kˇr´ıˇzence z generujeme po sloˇzk´ach vztahem ( yj pro rndj < C, zj = (23) xj pro rndj ≥ C, kde j = 1, . . . , d a rndj je n´ahodn´e ˇc´ıslo z rovnomˇern´eho rozdˇelen´ı na intervalu [0, 1]. Nejen pro C = 0 se m˚ uˇze st´at, ˇze z = xk . V takov´em pˇr´ıpadˇe n´ahodnˇe vybereme index j a modifikujeme zj na yj . Souboj kˇr´ıˇzence z s rodiˇcem xk vyhr´av´a kˇr´ıˇzenec pokud f (z) je lepˇs´ı neˇz f (xk ). V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe vyhr´av´a rodiˇc. Jeden z nich se tak dostane do nov´e populace Q ⊂ D. Takto se postupnˇe dopracujeme aˇz ke koneˇcn´e populaci, kterou pozn´ame podle toho, ˇze rozpˇet´ı funkˇcn´ıch hodnot a jednotliv´ ych souˇradnic prvk˚ u populace nepˇrekraˇcuje pˇredem stanoven´e meze. Pro diferenci´aln´ı evoluci jsou d˚ uleˇzit´e tˇri parametry: N, F a C. Vysok´ y poˇcet jedinc˚ uN v populaci usnadˇ nuje v´ ybˇer, ale znesnadˇ nuje v´ ypoˇcet. Parametr F , kter´ y se tak´e naz´ yv´a diferenci´aln´ı v´aha, umoˇzn ˇuje optimalizaˇcn´ımu postupu pˇreskakovat z jedn´e lok´aln´ı oblasti na druhou. Parametr C urˇc´ı, jak bude vypadat nov´a generace. Diferenci´aln´ı evoluce je pomˇernˇe z´avisl´a na volbˇe tˇechto parametr˚ u. Storm a Price [8], a tak´e Tvrd´ık [9] doporuˇcuj´ı, aby se volilo N = 4d, F = 0, 8 a C = 0, 5. M´a se za to, ˇze diferenci´aln´ı evoluce je z hlediska programov´an´ı jednoduch´a a rychl´a. Optimum se najde s vysokou pravdˇepodobnost´ı.

5

Verifikace a jej´ı v´ ysledky

V´ yˇse popsan´ y postup pro neparametrick´ y odhad koeficient˚ u modelu GARCH-M budeme aplikovat na odhad rizikov´e pr´emie forwardov´eho mˇenov´eho kurzu ˇcesk´e koruny v˚ uˇci Euru a americk´emu dolaru modelem GARCH-M. Podle kryt´e verze teorie parity u ´rokov´e m´ıry mus´ı platit: Ftt+1 (1 + rf ), (24) 1+r = St kde r je v´ ynos aktiv denominovan´ ych v dom´ac´ı mˇenˇe, rf je v´ ynos aktiv denominovan´ ych t+1 v zahraniˇcn´ı mˇenˇe, St je spotov´ y mˇenov´ y kurz v ˇcase t, Ft je forwardov´ y mˇenov´ y kurz sjednan´ y v ˇcase t a platn´ y v ˇcase t + 1. Vztah (24) zlogaritmujeme a po mal´e u ´pravˇe dostaneme: ftt+1 − st = r − rf , (25) kde ftt+1 = ln Ftt+1 a st = ln St . Podobn´ ym zp˚ usobem m˚ uˇzeme odvodit vztah pro oˇcek´avan´ y spotov´ y mˇenov´ y kurz z nekryt´e verze teorie parity u ´rokov´ ych sazeb, a sice mus´ı platit: Et st+1 − st = r − rf ,

(26)

Obr´azek 1: V´ yvoj vypoˇcten´ ych rizikov´ ych pr´emi´ı v ˇcase kde Et st+1 je oˇcek´avan´ y spotov´ y smˇenn´ y kurz v ˇcase t pro ˇcas t + 1. Dlouho se mˇelo za to, ˇze by forwardov´ y mˇenov´ y kurz mˇel b´ yt nestrann´ ym odhadem budouc´ıho spotov´eho smˇenn´eho kurzu. Nicm´enˇe, byla pozorov´ana systematick´a deviace forwardov´eho kurzu od budouc´ıho spotov´eho kurzu a tato deviace by mˇela b´ yt pr´emie za riziko za forwardov´ y mˇenov´ y kurz a tato rizikov´a pr´emie rpt je definov´ana takto: rpt = r − rf − (ftt+1 − st ).

(27)

Zpoˇca´tku se snaˇzilo modelovat tuto pr´emii line´arn´ım modelem. Ten ji bohuˇzel nedok´azal spolehlivˇe zachytit. Dalˇs´ı zp˚ usob modelov´an´ı forwardov´e rizikov´e pr´emie vych´az´ı z modelu oceˇ nov´an´ı aktiv. Ten pˇredpokl´ad´a, ˇze se budouc´ı cena jak´ehokoli aktiva diskontovan´a stochastick´ ym diskontn´ım faktorem mus´ı rovnat jeho dneˇsn´ı cenˇe. To plat´ı i pro mˇenu a mˇenov´ y kurz je cena ciz´ı mˇeny vyj´adˇren´e v dom´ac´ı mˇenˇe. Rizikov´a pr´emie potom mus´ı b´ yt funkc´ı volatility budouc´ıho kurzu a volatility stochastick´eho diskontn´ıho faktoru. Kdyˇz pˇredpokl´ad´ame, ˇze diskontn´ı faktor je stabiln´ı, potom rizikov´a pr´emie forwardov´eho mˇenov´eho kurzu je funkce pouze volatility mˇenov´eho kurzu. Za tohoto zjednoduˇsen´eho pˇredpokladu m˚ uˇzeme modelovat rizikovou pr´emii forwardov´eho mˇenov´eho kurzu modelem GARCH-M s n´asleduj´ıc´ı specifikac´ı: rovnice podm´ınˇen´eho pr˚ umˇeru: rpt = b0 + δht + t ,

(28)

ht = α0 + α1 2t−1 + β1 ht−1 .

(29)

rovnice podm´ınˇen´eho rozptylu:

Pouˇ zit´ a data a jejich pˇ redbˇ eˇ zn´ a anal´ yza Pro ovˇeˇren´ı n´ami navrˇzen´eho postupu pˇri odhadu parametr˚ u modelu GARCH-M pro modelov´an´ı rizikov´e pr´emie forwardov´eho mˇenov´eho kurzu pouˇz´ıv´ame tyto ˇcasov´e ˇrady: dvˇe ˇrady denn´ıch spotov´ ych mˇenov´ ych kurz˚ u EUR/CZK a USD/CZK. D´ale jsou vyuˇz´ıv´any ˇctyˇri ˇrady denn´ıch forwardov´ ych pr´emi´ı na Euro a USD pro dvˇe lh˚ uty tˇri mˇes´ıce a ˇsest mˇes´ıc˚ u, kter´e pˇriˇc´ıt´ame k hodnot´am spotov´ ych kurz˚ u, ˇc´ımˇz z´ısk´av´ame ˇrady denn´ıch forˇ e wardov´ ych kurz˚ u EUR/CZK a USD/CZK na tˇri mˇes´ıce a 6 mˇes´ıc˚ u. Protoˇze v Cesk´ republice nejsou dostupn´e ˇrady denn´ıch v´ ynos˚ u vl´adn´ıch dluhopis˚ u se splatnost´ı na 3 mˇes´ıce a na 6 mˇes´ıc˚ u, pouˇz´ıv´ame m´ısto nich u ´rokovou sazbu na mezibankovn´ım trhu v Praze PRIBOR na tˇri na na ˇsest mˇes´ıc˚ u. Odpov´ıdaj´ıc´ı sazby pro zahraniˇcn´ı mˇeny jsou EURIBOR na Euro a LIBOR na americk´ y dolar na obdob´ı tˇri a ˇsest mˇes´ıc˚ u. Vˇsechna data jsou v obdob´ı z kvˇetna roku 2007 do u ´nora roku 2012. Jejich deskriptivn´ı statistiky jsou uvedeny v Tabulk´ach 1 a 2. Z tˇechto dat vygenerujeme ˇctyˇri ˇrady rizikov´e pr´emie forwardov´eho mˇenov´eho kurzu EUR/CZK a USD/CZK podle vztahu (27), kter´e znaˇc´ıme jako RPE3, RPE6, RPU3, RPU6. Jejich v´ yvoj v ˇcase je v Obr. 1. Pro stanoven´ı stacionarity tˇechto ˇrad prov´ad´ıme na nich test jednotkov´eho koˇrenu upraven´ ym Dickey-Fullerov´ ym testem. V´ ysledky tohoto testov´an´ı referujeme v Tabulce 3. Z v´ ysledk˚ u test jednotkov´eho koˇrenu je vidˇet, ˇze tyto ˇrady nejsou stacion´arn´ı, proto ˇ mus´ıme je transformovat na ˇrady jejich diferenc´ı, kter´e uˇz jsou stacion´arn´ı. Rady diferenc´ı jsou pouˇzity pro odhadu modelu GARCH-M.

V´ ysledky odhadu modelu GARCH-M neparametrickou metodou Model GARCH-M pro rizikovou pr´emii forwardov´eho mˇenov´eho kurzu ˇcesk´e koruny v˚ uˇci Euru a americk´emu dolaru specifikovan´ y ve vztaz´ıch (28) a (29) je odhadov´an metodou maxim´aln´ı vˇerohodnosti. Odpov´ıdaj´ıc´ı vˇerohodnostn´ı funkce je definov´ana vztahem (29), T 1X ∆rp2t . kde t = ∆rpt −δht a ht je definov´ana vztahem (29). Prvn´ı hodnota 1 = h1 = T 1 Protoˇze odhad rozdˇelen´ı n´ahodn´e sloˇzky modelu nen´ı ovlivnˇen volbou kernelu, pouˇz´ıv´ame norm´aln´ı kernel jako kernelovou funkci. Pokud se jedn´a o d´elku vyhlazovac´ıho okna, do1 poruˇcuje se v literatuˇre, aby h = 1.06ht T − 5 . My toto doporuˇcen´ı respektujeme. Odhadovan´ y vektor koeficient˚ u je pˇetiprvkov´ y: θ = (b0 , δ, α0 , α1 , β1 )T , tedy m´ame d = 5. Koeficienty α0 , α1 , β1 mus´ı b´ yt nez´aporn´e a jejich souˇcet nesm´ı b´ yt vyˇsˇs´ı neˇz 1. Na b0 , δ nen´ı kladen ˇza´dn´ y apriorn´ı poˇzadavek. Hodnoty tˇechto koeficient˚ u maximalizuj´ıc´ı vˇerohodnostn´ı funkce jsou odhadnuty diferenci´aln´ı evoluc´ı, jej´ıˇz parametry jsou: N = 10d = 50, F = 0.8 a C = 0.5, jak je doporuˇceno v literatuˇre. Pro kaˇzdou ˇradu prov´ad´ıme 100000 optimalizac´ı. Pokud jde o pˇresnost odhad˚ u, protoˇze se jedn´a o odhady metodou maxim´aln´ı vˇerohodnosti, mˇely by m´ıt asymptotick´e vlastnosti. Pro jejich rozptyl mus´ı platit, ˇze je omezen zdola, tedy: ˆ ≥ 1 , (30) V ar(θ) I(θ)

´ ch s Eurem Tabulka 1: Deskriptivn´ı statistiky dat spojeny EUR/CZK Forward 3m Forward 6m Euribor3 Euribor6 Pr˚ umˇer 25.53 25.53 25.52 2.26 2.45 Medi´an 25.34 25.37 25.37 1.429 1.68 Maximum 29.53 29.55 29.57 5.39 5.44 Minimum 22.94 22.89 22.83 0.63 0.94 Std. odch 1.18 1.18 1.19 1.68 1.59 ˇ Sikmost 0.839 0.768 0.702 0.690 0.714 ˇ Spiˇcatost 3.213 3.102 2.999 1.673 1.715 Poˇcet pozor. 1230 1230 1230 1230 1230

Pribor3 1.98 1.490 4.24 0.74 1.26 0.557 1.621 1230

´ ch s americky ´ m dolarem Tabulka 2: Deskriptivn´ı statistiky dat spojeny USD/CZK Forward 3m Forward 6m Libor U3 Libor U6 Pribor6 Pr˚ umˇer 18,42 18.43 18.44 1.54 1.73 2,19 Medi´an 18.40 18.42 18.42 0.52 0.76 1.72 Maximum 23.44 23.48 23.48 5.72 5.44 5.59 Minimum 14.40 14.44 14.46 0.24 0.38 1.03 Std. odch 1.55 1.54 1.52 1.72 1.62 1.17 ˇ Sikmost 0.144 0.153 0.153 1.196 1.097 0.557 ˇ catost Spiˇ 2.822 2.853 2.883 1.673 2.847 1.633 Poˇcet pozor. 1230 1230 1230 1230 1230 1230 ´ho Tabulka 3: Test jednotkove ˇ Coefficient γ RADA RPE3 -0.001513 RPE6 -0.001608 RPU3 -0.002536 RPU6 -0.003526

ˇenu na r ˇada ´ ch rizikovy ´ ch pre ´mi´ı kor S.E. Stat p-value 0.000815 -1.856831 0.0636 0.000830 -1.936223 0.0531 0.001420 -1.786448 0.0745 0.001872 -1.883183 0.0602

 ∂2 kde I(θ) = −E logf (X, θ)|θ je tzv. Fisherova informaˇcn´ı matice. Tato matice je ∂θ2 vypoˇc´ıt´ana numericky. Cel´ y v´ ypoˇcet je proveden v prostˇred´ı Matlab. V´ ysledky neparamerick´eho odhadu koeficient˚ u modelu GARCH-M pro rizikovou pr´emii forwardov´eho mˇenov´eho kurzu ˇcesk´e koruny v˚ uˇci Euru a americk´emu dolaru jsou uvedeny v Tabulce 4. V´ ysledky neparamerick´eho odhadu koeficient˚ u modelu GARCH-M pro rizikovou pr´emii forwardov´eho mˇenov´eho kurzu ˇcesk´e koruny v˚ uˇci Euru a americk´emu dolaru jsou uvedeny v Tabulce 5. V obou tabulk´ach v hranat´ ych z´avork´ach jsou uvedeny hodnoty standardn´ı odchylky odhad˚ u. 

´ sledky neparamericke ´ho Tabulka 4: Vy RPE3 RPE6 b0 7.4440e-4 2.0619e-4 [0.0054e-4] [0.2218e-4] δ 7.8239 4.1048 [0.5718e-4] [0.3356e-4] α0 8.5751e-4 7.9337e-4 [0.0038e-4] [0.0001e-4] α1 0.0867 0.0296 [0.0647e-4] [0.0246e-4] β1 0.8560 0.9598 [0.0638e-4] [0.0012e-4] ln L -21.280 -13.081

odhadu modelu GARCH-M RPU3 RPU6 1.9696e-3 8.7083e-4 [NaN] [1.6771e-4] 3.6916 4.3378 [0.0045e-6] [0.0014e-0] 5.5706e-4 5.2224e-4 [1.0317e-6] [NaN] 4.6487e-3 5.0721e-3 [3.5106e-6] [3.0359e-5] 0.9886 0.9862 [8.6481e-6] [6.6635e-9] -46.225 -59.810

´ sledky paramericke ´ho odhadu modelu GARCH-M Tabulka 5: Vy RPE3 RPE6 RPU3 RPU6 b0 -0.0023 0.0004 0.0003 0.0012 [0.0008] [0.0009] 0.0005 [0.0012] δ 4.4603 0.2441 -0.0738 -0.1182 [1.4660] [0.5325] [0.6956] [0.4105] α0 5.55E-6 2.85E-05 3.15E-06 6.33E-05 [9.86E-7] [0.0001e-4] [1.44E-06] [8.69E-06] α1 0.0547 0.1817 0.1840 0.1540 [0.0049] [0.0063] [0.012] [0.0100] β1 0.9378 0.8502 0.8523 0.8404 [0.0043] [0.0048] [0.0085] [0.0081] ln L -122.680 -103.108 -186.522 -229.112 V´ ysledky ukazuj´ı, ˇze v´ ysledky neparametrick´eho odhadu se podstatnˇe liˇs´ı od v´ ysledk˚ u parametrick´eho odhadu modelu GARCH-M. Podle hodnoty vˇerohodnostn´ı funkce se jev´ı neparametrick´ y odhad modelu GARCH-M pro rizikovou pr´emii forwardov´eho mˇenov´eho kurzu koruny v˚ uˇci Euru a americk´emu dolaru jako lepˇs´ı ve vˇsech ˇctyˇrech ˇrad´ach. Hodnoty vˇerohodnostn´ı funkce neparametrick´ ym odhadem jsou vyˇsˇs´ı neˇz hodnoty t´eto funkce pˇri parametrick´em odhadu (parametrick´e odhady po dosazen´ı do vˇerohodnostn´ı funkce pro neparametrick´ y odhad d´avaj´ı niˇzˇs´ı hodnoty vˇerohodnostn´ı funkce, jsou tedy suboptim´aln´ı z hlediska neparametrick´eho odhadu). Tak´e koeficient δ v rovnici podm´ınˇen´eho pr˚ umˇeru je statisticky v´ yznamn´ y pˇri neparametrick´em odhadu ve vˇsech pˇr´ıpadech, zat´ımco tento koeficient pˇri parametrick´em odhadu je statisticky v´ yznamn´ y pouze pro ˇradu RPE3. Dalˇs´ı rozd´ıl mezi dvˇema zp˚ usoby odhadu je ten, ˇze zat´ımco m˚ uˇzeme velmi dobˇre kontrovat podm´ınku kladenou na hodnoty koeficient˚ u α0 , α1 , β1 pˇri neparametrick´em odhadu

s vyuˇzit´ım diferenci´aln´ı evoluce, v pˇr´ıpadˇe parametrick´eho odhadu koeficient˚ u modelu GARCH-M s vyuˇzit´ım tradiˇcn´ı optimalizaˇcn´ı metody (Newtonovy - Raphsonovy metody) toto nem˚ uˇzeme ovlivnit. Proto pˇri neparametrick´em odhadu souˇcet hodnot koeficient˚ u α0 , α1 , β1 je vˇzdy menˇs´ı neˇz 1, pˇri parametrick´em odhadu s tradiˇcn´ı optimalizaˇcn´ı technikou tato podm´ınka nen´ı splnˇena v pˇr´ıpadˇe ˇrady RPE6 a ˇrady RPU3. Jsme si vˇedomi, ˇze odhad koeficient˚ u modelu GARCH je vˇzdy spojen s ˇradou probl´em˚ u. Odhad modelu GARCH-M je jeˇstˇe sloˇzitˇejˇs´ı, protoˇze se podm´ınˇen´ y rozptyl objev´ı v rovnici podm´ınˇen´eho pr˚ umˇeru. Nicm´enˇe n´ami navrˇzen´ y zp˚ usob odhadu koeficient˚ u modelu GARCH-M se jev´ı jako spolehliv´ y. Proto rizikovou pr´emii forwardov´eho mˇenov´eho kurzu ˇcesk´e koruny v˚ uˇci Euru a americk´emu dolaru m˚ uˇzeme vyj´adˇrit takto: rpt = rpt−1 + b0 + δht + t ,

(31)

kde ht je podm´ınˇen´ y rozptyl ∆rpt .

6

Z´ avˇ er

Modely typu GARCH jsou obvykle odhadov´any metou maxim´aln´ı vˇerohodnosti. Je pomˇernˇe snadn´e odhadnout je parametrick´ ym zp˚ usobem, kdy se apriornˇe pˇredpokl´ad´a typ rozdˇelen´ı n´ahodn´e sloˇzky modelu. To vˇsak hroz´ı jedno nebezpeˇc´ı. Pokud rozdˇelen´ı n´ahodn´e sloˇzky nen´ı spr´avnˇe zvoleno, v´ ysledn´e odhady koeficient˚ u modelu mohou b´ yt nekonzistentn´ı. Proto v naˇsem pˇr´ıspˇevku navrhujeme alternativn´ı pˇr´ıstup, kdy jak koeficienty modelu, tak i rozdˇelen´ı n´ahodn´e sloˇzky jsou odhadnuty souˇcasnˇe z dat. Tento neparametrick´ y pˇr´ıstup jeˇstˇe vylepˇs´ıme t´ım, ˇze na ˇreˇsen´ı u ´lohy maximalizace vˇerohodnostn´ı funkce pouˇz´ıv´ame diferenci´aln´ı evoluce. Vhodnost naˇseho pˇr´ıstupu je ovˇeˇrena na modelov´an´ı forwardov´e pr´emie smˇenn´eho kurzu, a to kurz ˇcesk´e koruny v˚ uˇci americk´emu dolaru a spoleˇcn´e mˇenˇe Euro modelem GARCH-M v obdob´ı od roku 2007 do roku 2012. Stejn´ y model je tak´e odha’ dov´an tradiˇcnˇe. Ukazuje se, ˇze n´aˇs pˇr´ıstup zajiˇst uje odhad koeficient˚ u modelu GARCH-M pro rizikovou pr´emii forwardov´eho mˇenov´eho kurzu s vyˇsˇs´ımi hodnotami vˇerohodnostn´ı funkce neˇz tradiˇcn´ı pˇr´ıstup. Tak´e n´ami navrˇzen´ y pˇr´ıstup l´epe kontroluje splnˇen´ı podm´ınek kladen´ ych na odhadovan´e parametry neˇz tradiˇcn´ı pˇr´ıstup. N´aˇs pˇr´ıstup dok´aˇze identifikovat statisticky v´ yznamn´ y vliv podm´ınˇen´ y rozptyl na rizikovou pr´emii forwardov´eho mˇenov´eho kurzu ve vˇsech pˇr´ıpadech ve zkouman´em obdob´ı, zat´ımco tradiˇcn´ı pˇr´ıstup tento vliv zaznamen´a pouze ve dvou pˇr´ıpadech. Podle tˇechto v´ ysledk˚ u se jev´ı, ˇze volatilita ve mˇenov´em kurzu ovlivˇ nuje v´ yˇsi rizikov´e pr´emie forwardov´eho mˇenov´eho kurzu ˇcesk´e koruny v˚ uˇci americk´emu dolaru a spoleˇcn´e mˇenˇe Euro, coˇz je v souladu s teori´ı.

Podˇ ekov´ an´ı Tento ˇcl´anek vznikl za podpory z grantu ˇc. IP 100041/1020.

Literatura [1] T. Bollerslev. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 31(4): 307–327, 1986. [2] R. Hall E. Berndt, B. Hall and J. Hausman. Estimation and Inference in Nonlinear Structural Models. Annals of Economic and Social Measurement, 3(4): 653–665, 1974. [3] R. F. Engle. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation. Econometrica, 50(4): 987–1007, July 1982.

[4] W. Hardle. Applied Nonparametric Regression. Cambridge, UK, 1992.

Cambridge University Press,

[5] D. Marquardt. An Algorithm for Least-Squares Estimation of Nonlinear Parameters. Journal on Applied Mathematics, 11(2): 431–441, 1963. [6] A. J. McNeil P. B¨ uhlmann. An algorithm for nonparametric GARCH modelling. Journal of Computational Statistics and Data Analysis, 40: 665–683, 2002. [7] A. Robins R. F. Engle, D. Lilien. Estimating timevarying risk premia in the term structure: the ARCH-M model. Econometrica, 55: 391–407, 1987. [8] K.Price R. Storn. Differential Evolution – a Simple and Efficient Heuristic for Global Optimization. J. Global Optimization, 11: 341–359, 1997. [9] J. Tvrd´ık. Evoluˇcn´ı algoritmy . Uˇcebn´ı texty Ostravsk´e University - Pˇr´ırodovˇedeck´a fakulta, Ostrava, 2004. Quang Van Tran Katedra bankovnictv´ı a pojiˇst’ovnictv´ı, Fakulta financ´ı a u ´ˇcetnictv´ı, Vysok´a ˇskola ekonomick´a v Praze, n´am. W. Churchilla 4, Praha 3 - 130 67, email: [email protected] Jarmila Radov´a Katedra bankovnictv´ı a pojiˇst’ovnictv´ı, Fakulta financ´ı a u ´ˇcetnictv´ı, Vysok´a ˇskola ekonomick´a v Praze, n´am. W. Churchilla 4, Praha 3 - 130 67, email: [email protected]