Číslo projektu
CZ.1.07/1.5.00/34.0743
Název školy
Moravské gymnázium Brno s.r.o.
Autor
Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková
Tematická oblast
Matematika. Funkce. Vlastnosti funkce. Text a příklady.
Ročník
2.
Datum tvorby
12. 9. 2012
Anotace
1) pro žáky jako text látky, do kterého si mohou po vytisknutí psát poznámky podle výkladu učitele (nezdržují se opisováním pouček a mohou se soustředit na výklad) 2) pro učitele k promítnutí na tabuli a názornému výkladu 3) pro žáky, kteří chyběli (nemusí si látku opisovat od spolužáků) 4) základní učivo je na boku zvýrazněno dvojitou modrou čárou
VLASTNOSTI FUNKCE Prostá funkce Funkce f je prostá, právě když pro libovolné dvě x1,x2 Df platí: Je-li x1 x2 , pak f(x1) f(x2). Tzn. pro různá x jsou různé hodnoty y. Je-li funkce jen rostoucí (nebo jen klesající) v celém Df, pak je prostá. y
y
f (x)
h(x)
x
x
x
g(x) funkce f(x) je prostá (je jen rostoucí)
g(x) je prostá (je jen klesající)
h(x) není prostá
Rostoucí funkce Funkce f je rostoucí v množině M, právě když pro každé dva prvky x1 , x 2 M platí: Je-li x1 x 2 f( x1 ) f( x 2 ) . Tzn. s rostoucím x roste y. Obr.
y y = f(x) f(x2) f(x1)
0
x1
x2
Př. Dokažte podle definice, že funkce f : y = 2x – 5 Důkaz : Předpokládejme .2 x1 x 2 2 x1 2 x 2 -5 2 x1 - 5 2 x 2 - 5 f( x1 ) f( x 2 )
x
je prostá
je funkce rostoucí.
funkce je rostoucí
Klesající funkce Funkce f je klesající v množině M, právě když pro každé dva prvky x1 , x 2 M platí: Je-li x1 x 2 f( x1 ) f( x 2 ) . Tzn. s rostoucím x klesá y. y f(x1) y = f(x)
f(x2) Obr.
x1
0
x2
x je prostá
Př. Dokažte užitím definice, že funkce f : y = –2x – 5 je funkce klesající. Důkaz : Předpokládejme .(-2) změní se znaménko nerovnosti x1 x 2 –2 x1 –2 x 2 -5 –2 x1 – 5 –2 x 2 – 5 f( x1 ) f( x 2 ) funkce je klesající
Neklesající funkce Funkce f je neklesající v množině M, právě když pro každé dva prvky x1 , x 2 M platí: Je-li x1 x 2 f( x1 ) f( x 2 ) . Obr.
y y = f(x) f(x4) f(x2)=f(x3)
x1
0 x2 f(x1)
x3
x4
x
není prostá
Nerostoucí funkce Funkce f je nerostoucí v množině M,právě když pro každé dva prvky x1 , x 2 M platí: Je.li x1 x 2 f( x1 ) f( x 2 ) . y f(x1)
f(x2)=f(x3) y=f(x)
f(x4)
Obr.
x1
x2
0
x3
x4
x není prostá
Monotónní funkce: Funkce rostoucí, klesající, neklesající,nerostoucí se souhrnně nazývají funkce monotónní. Ryze monotónní funkce: Funkce rostoucí a klesající se souhrnně nazývají funkce ryze monotónní. Ryze monotónní funkce (tzn. funkce jen rostoucí nebo jen klesající) je vždy prostá.
Shora omezená funkce Funkce f je shora omezená v množině M, právě když existuje na ose y číslo h takové,že pro všechna x M jsou funkční hodnoty f( x ) h .
Obr.
omezená jen shora,celkově není omezená
Zdola omezená funkce Funkce f je zdola omezená v množině M, právě když existuje na ose y číslo d takové, že pro všechna x M jsou funkční hodnoty f( x ) d . Obr.
omezená jen zdola, celkově není omezená
Omezená funkce Funkce f je omezená v množině M, právě když je omezená v M současně shora i zdola. Obr.
omezená shora i zdola, je omezená
Maximum funkce Funkce f má v bodě a maximum, právě když pro všechna x Df je f(x) f(a).
Obr.
y f(a) funkce má maximum v bodě a f(x)
a
x
x
Minimum funkce Funkce f má v bodě b minimum, právě když pro všechna x Df je f(x) f(b). Obr. y
y=f(x)
f(x) funkce má minimum v bodě b
f(b)
b
x
x
Sudá funkce 1) Pro každé x Df je také -x Df. 2) Pro každé x Df je f(-x) = f(x). Jinými slovy: Funkce se nazývá sudá, když: 1) pro každé x z def.oboru existuje číslo opačné z def.oboru 2) pro každá dvě opačná čísla z def.oboru platí,že mají stejné funkční hodnoty Graf sudé funkce je souměrný podle osy y. Funkce je sudá, právě když zároveň platí:
Př.
Graf funkce y = x2-1
Důkaz : f(x) = x2-1 f(-x) = (-x)2-1 = x2-1
z toho plyne f(x) = f(-x)
Lichá funkce Funkce f je lichá, právě když zároveň platí:1) Pro každé x Df je také –x Df. 2) Pro každé x Df je f(–x) = – f(x). Jinými slovy: Funkce se nazývá lichá, když: 1) pro každé x z def.oboru existuje opačné číslo z def.oboru 2) pro každá dvě opačná čísla z def.oboru platí, že mají opačné funkční hodnoty Graf liché funkce je souměrný podle počátku souřadnic Oxy. Př.
Graf funkce y = x3
Důkaz : f(x) = x3 f(–x) = (–x)3 = x3
z toho plyne f(x) = f(–x) , tj. – f(x) = f(–x)
Periodická funkce Funkce f je periodická, právě když existuje takové číslo p 0 (toto číslo p se nazývá perioda funkce), že pro každé k Z zároveň platí: 1) Je-li x Df, pak x kp Df. 2) f(xkp) = f(x). Tzn., že se funkční hodnoty po určité periodě opakují. Př.
Funkce
y = sin x
y
hodnoty funkce y = sin x se opakují po periodě 2 , tj. asi 6,28.
Doporučeno: Vlastnosti funkcí – test s řešením: http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika/Funkcie/Vlastnosti-funkcii.alej Doporučeno: Video – funkce: http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika/Funkcie/Funkcie-video.alej
