Číslo projektu
CZ.1.07/1.5.00/34.0743
Název školy
Moravské gymnázium Brno s.r.o.
Autor
Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková
Tematická oblast
Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Text a příklady.
Ročník
2.
Datum tvorby
8. 9. 2012
Anotace
1) pro žáky jako text látky, do kterého si mohou po vytisknutí psát poznámky podle výkladu učitele (nezdržují se opisováním pouček a mohou se soustředit na výklad) 2) pro učitele k promítnutí na tabuli a názornému výkladu 3) pro žáky, kteří chyběli (nemusí si látku opisovat od spolužáků) 4) základní učivo je na boku zvýrazněno dvojitou modrou čárou
DEFINICE FUNKCE. GRAF FUNKCE. Pojem funkce; motivační příklady užití funkcí v praxi Funkce vyjadřuje z á v i s l o s t jedné veličiny na jiné veličině (obvykle závislost y na x ). Př. -
v praxi ve výrobě: závislost počtu vyrobených součástek na čase, např. když se za hodinu vyrobí 4 součástky, pak je to funkce y = 4x (lineární funkce) závislost dráhy s na čase t při stejné rychlosti, km např. je-li rychlost 80 , pak dráha s = 80 t h
-
v planimetrii: závislost obsahu čtverce S na délce jeho strany a, S = a2
-
(lineární funkce)
(kvadratická funkce)
ve fyzice: závislost času t na rychlosti v, má-li se ujet určitá vzdálenost, 320 např. má se ujet 320 km, pak čas t = (lineární lomená funkce) v
-
využití funkcí ve finanční matematice: závislost velikosti vkladu V na počtu úrokovacích období n (složené úrokování), např. je-li vklad 10 000 Kč uložen na n let při stejné úrokové míře 3% p.a. a 15-tiprocentním zdanění na konci každého úrokovacího období, je velikost vkladu V po n letech : V = 10 000.(1 + 0,85.0,03) n (exponenciální funkce)
Úkol: Uveďte sami další příklady funkcí (závislostí jedné veličiny na druhé).
Definice funkce Funkcí f na množině A R se nazývá předpis , který každému prvku (prvku x) z množiny A přiřazuje právě jedno reálné číslo (číslo y). Množinu A nazýváme definičním oborem funkce f a značíme ji Df nebo D(f). Funkci zapisujeme takto: f: y = f(x)
Definice funkce pomocí zobrazení: Funkcí nazýváme každé zobrazení f množiny A do množiny R. Zobrazení množiny A do množiny B je předpis , který každému prvku z A přiřazuje právě jeden prvek z B. Obr.1
x
x
y
x
y
x
y
A
B Je zobrazení (každému prvku z A je přiřazen právě jeden prvek z B )
Obr.2
x
x
y
x x A
y y B
Není zobrazení ( každému prvku z A není přiřazen prvek z B )
Obr.3
x
y
x
y
x
y
A
y B
Není zobrazení ( jednomu prvku z A je přiřazen více jak jeden prvek z B )
Způsob zadání funkce - funkčním předpisem (rovnicí) : y = f(x) x……. nezávisle proměnná (argument funkce) ; vybíráme ji z definičního oboru Df y……. závisle proměnná (funkční hodnota, která závisí na proměnné x) ; patří do Hf Př.
y = –2x + 1 y = (x + 3)2 – 2
y = 4.log x y = sin2x + cos x
- tabulkou : x 1 y 1
Př. 2 3 0 1
4 0
- slovním popisem : Př.
5 1
6 0
f:
7 1
8 0
9 1
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
y = –1
pro
x0
y=1
pro
x 0
- grafem funkce
Graf funkce Graf funkce y = f(x) je množina všech bodů o souřadnicích x, f(x) ve zvolené soustavě souřadnic Oxy v rovině, kde x Df . Připomínáme podle definice funkce: každému x je přiřazena právě jedna hodnota f(x) .
Obr. y
y = f(x)
f(x1)
0
x1
x
Př. Určete, které z následujících grafů jsou grafy funkcí :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Řešení: (na dalším listu)
Řešení: a)
b)
není graf funkce
c)
není graf funkce
je graf funkce
d)
e)
není graf funkce
f)
je graf funkce konstantní
není graf funkce
Při sestrojování grafů funkcí se nám bude hodit znalost průsečíků grafu funkce s osami souřadnic. Úkol: Dokázali byste vymyslet způsob, jak u funkce nejjednodušším způsobem najít průsečíky jejího grafu s osami souřadnic? Např. pro funkci f :
y = 2x + 5 ?
(Řešení je na dalším listu.)
Průsečíky grafu funkce s osami soustavy souřadnic
s osou x :
tam je y-ová souřadnice rovna nule, proto položíme y = 0 Př.
Najděte průsečíky grafu funkce f : Řešení:
y = 2x + 5 s osou x.
V rovnici funkce položíme y = 0. Dostaneme: 0 = 2x + 5 –2x = 5 x = –2,5 Graf funkce f protíná osu x v bodě x = –2,5.
s osou y :
tam je x-ová souřadnice rovna nule, proto položíme x = 0 Př.
Najděte průsečíky grafu funkce f : Řešení:
y = 2x + 5 s osou y.
V rovnici funkce položíme x = 0. Dostaneme: y = 2.0 + 5 y=5 Graf funkce f protíná osu y v bodě y = 5.
Modelování závislosti reálných dějů pomocí funkcí (Užití funkcí ve slovních úlohách z praxe) Př.
Vyjádřete jako funkci závislost : a) obsahu obdélníka na délce jedné strany, má-li mít jeho druhá strana stále stejnou délku 7 cm. b) délky odvěsny pravoúhlého trojúhelníku, která leží proti ostrému úhlu o velikosti 35o, na délce druhé odvěsny. c) objemu nafty v nádrži na době čerpání, bylo-li v nádrži na počátku čerpání 12 litrů, rychlost čerpání je 2 litry za sekundu a do nádrže se vejde 100 litrů. d) spotřeby obalové fólie na počtu stejně velkých krabic, které se do ní mají zabalit, jsou-li rozměry krabice 24 cm, 16 cm, 8 cm a počítá-li se se 5% odpadu. e) objemu válce s průměrem dna 9 m na jeho výšce. f) objemu válce o výšce 10 cm na průměru jeho dna. Řešení: a) y = 7.x b) y = x.tg 35o
(x…je přilehlá odvěsna, y…je protilehlá odvěsna, tzn. tg 35o =
c) y = 12 + 2.x
y x
)
kde y 100 ( neboť do nádrže se více litrů nevejde); určíme Df : 12 + 2.x 100 2.x 88 x 44 Df = 0;44, tzn. může se čerpat nejdéle 44 sekund, aby nepřetekla nádrž.
d) y = 2.(24.16 + 16.8 + 24.8).x . 1,05 kde 1,05 znamená: 1……100% y = 1408.x . 1,05 +odpad 0,05……5% y = 1478,4.x (x je počet krabic, y je spotřeba obalové fólie v cm2) e) V = .4,52.v V = 20,25v
(v je výška válce v metrech, V je objem válce v m3)
2
f)
d V = . .10 2 V = 2,5d2
(d je průměr dna v cm, V je objem válce v cm3)
Doporučeno: Video – funkce: http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika/Funkcie/Funkcie-video.alej
